Ángulos y rectas.docx

7/21/2019 Ángulos y rectas.docx

http://slidepdf.com/reader/full/angulos-y-rectasdocx 1/12

Ángulos y rectas

Relaciones entre parejas de ángulos

En casi todas las figuras geométricas donde intervengan rectas aparecen ángulos, los cuales es posible relacionaren cuanto a sus dimensiones y a su posición en el plano.

Así, dos ángulos pueden ser entre sí complementarios, suplementarios o adyacentes.

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es90°

α + β son complementarios

α + β= 90°

Dos ángulos son suplementarios si lasuma de sus medidas es !0°

α + β son suplementarios

α + β = !0°

Dos ángulos son adyacentes si tienenun lado en com"n y los otros dos están

en la misma recta.

a es adyacente con b # A, $, % soncolineales &están en la misma recta', $(

lado com"n para a y b

"os ángulos adyacentes sonsuplementarios.

Rectas secantes y paralelas%omo ya vimos, por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas)ue parten de un mismo punto.

*i+ando nuestra atención en las rectas, sabemos )ue estas pueden ser secantes #$ue se cortan% o paralelas #$ueno se cortan nunca%.

(os rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. %ada ángulo tiene dos lados y un vértice.



Esta construccción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados.

Ángulos opuestos por el &'rtice

on los ángulos formados por dos rectas )ue se cortan enun punto llamado &'rtice #(%.

α es opuesto por el vértice con β

) es opuesto por el vértice con *

%omo podemos verificar en la fígura- "os ángulos

opuestos por el &'rtice son iguales

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante

(os rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocoángulos-

Esta distribución numérica nos permite carecteri/ar pare+as deángulos seg"n su posición, aciendo notar )ue los ángulos , 1,2 y 3 son interiores #o internos% y )ue los ángulos , 4, 5 y !

son eteriores #o eternos% respecto a las rectas-

Ángulos internos #, -, y /%

6os ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios &suman !07'

Ángulos y son suplementarios #suman !0% Ángulos - y / son suplementarios #suman !0%



Ángulos eternos #, 1, 2 y !%

6os ángulos e8ternos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios.

Ángulos y 2 son suplementarios #suman !0% Ángulos 1 y ! son suplementarios #suman !0%

Ángulos correspondientes-

on a)uellos )ue están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

y son ánguloscorrespondientes

#iguales%, ∠ = ∠

1 y / son ánguloscorrespondientes

#iguales% ∠ 1 = ∠ /

y 2 son ánguloscorrespondientes

#iguales% ∠ = ∠ 2

- y ! son ánguloscorrespondientes

#iguales% ∠ - = ∠ !

Esta relación da pie para formular el siguiente postulado-

3i dos rectas paralelas son cortadas por una trans&ersal, entonces cada par de ángulos correspondientes escongruente entre s4.

Ángulos alternos internos-

on a)uellos ángulos interiores )ue están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.



y / son ángulos alternos internos ∠ = ∠ / - y son ángulos alternos internos ∠ - = ∠


3i dos rectas paralelas son cortadas por una trans&ersal, entonces cada par de ángulos alternos internos escongruente entre s4.

Ángulos alternos eternos5

on a)uellos ángulos e8teriores )ue están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

y ! son ángulos alternos eternos ∠ = ∠ ! 1 y 2 son ángulos alternos eternos ∠ 1 = ∠ 2


3i dos rectas paralelas son cortadas por una trans&ersal, entonces cada par de ángulos alternos eternos escongruente entre s4.



Ángulos en un triágulo

6os ángulos )ue se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las siguientes propiedades ocaracterísticas-

.6 "a suma de los ángulos internos de untriágulo es igual a dos ángulos rectos7 es decir,

suman !0.

En la figura, α + ) + 8 = !0. ecordar )ue ) = β y)ue 8 = * por ser ángulos alternos internos.

1.6 "a suma de los ángulos agudos de un triángulorectángulo es igual a 90.

En la figura, α + β = 90

.6 n todo triángulo, la medida de un ánguloeterno es igual a la suma de las medidas de los

ángulos internos no contiguos #opuestos%.

En la figura, β = α + 8

-.6 n todo triángulo la medida de un ánguloeterno es mayor $ue la de cual$uier ángulo

interior no adyacente.En la figura,

β : #es mayor $ue% α

β : #es mayor $ue% e



.6 "a suma tres ánguloseteriores de cual$uier triángulo

&ale cuatro ángulos rectos7 esdecir, suman /0.

En la figura, α + β + ) = /0

Ángulos en la circun;erencia

(ibu+ando líneas )ue estén dentro de una circun;erencia o )ue tengan relación con ellapodemos definir distintos tipos de ángulos, como se aprecia en la figura a la dereca-

(onde-

* #delta% = ángulo inscrito &5,157', con el &'rtice sobre la circunferencia y con lados )ueson cuerdas de la misma.

α #al;a% = ángulo semiinscrito &1,3!7' , cuyo &'rtice está en la circunferencia y tiene unlado )ue es tangente en dico vértice y el otro )ue es una cuerda.

) #gama% = ángulo central o del centro &12,147', con el &'rtice en el centro de lacircunferencia y con sus lados coincidentes con radios.

β #<eta% = ángulo interior &15,7', con sus lados )ue son cuerdas de la circunferencia y con el &'rtice situado en elinterior de la misma.

A continuación veremos algunas características de estos ángulos y anali/aremos ciertas relaciones entre ellos.

Ángulo inscrito en la circun;erenciaEl ángulo inscrito en una circunferencia es a)uel )ue tiene su vértice sobre la circunferenciay cuyos lados son dos cuerdas de la misma &si las cuerdas se prolongan, diremos )ue sondos rectas secantes'.

En la figura a la i/)uierda, vemos varios ángulos inscritos )ue abarcan o subtienden el arcoD.

:odos miden lo mismo &5,157', por ello, podemos afirmar )ue >los ángulos inscritos $uea<arcan el mismo arco son iguales?.

En nuestro e+emplo, son iguales los ángulos de vértices @, A, B, C.

:ambién debemos recordar )ue un ángulo inscrito &ale la mitad del arco $ue a<arca .

El ángulo se e8presa en grados. El valor de un arco se e8presa en grados ycoincide con el valor del ángulo del centro correspondiente.

%uando el arco comprendido entre los radios tiene la longitud de éstos, el valor del ángulocentral es un radián, una circunferencia tiene pues 1 radianes.

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/circulocircunferencia.htm



http://www.profesorenlinea.cl/geometria/angulosclasificacion.htm



http://www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCircunfelementos.htm








Ángulo central o del centro en la circun;erenciaEl ángulo central o del centro es el )ue tiene el vértice en el centro de la circunferencia,siendo sus lados dos radios.

En la figura a la dereca, vemos )ue el ángulo del centro dibu+ado, con vértice en ;, abarcao subtiende el arco B.

Al respecto, debemos reiterar )ue >l ángulo del centro mide lo mismo $ue el arco $uea<arca?.

En la misma figura de la dereca se dibu+ó un ángulo inscrito #α = 2,% )ue subtiende oabarca el mismo arco )ue el ángulo del centro #) = 2-,/%< en dica situación &y los valoresindicados lo confirman', =Euando un ángulo inscrito y un ángulo del centro de unacircun;erencia a<arcan el mismo arco, el ángulo inscrito &ale la mitad $ue el delcentro?.

(er5 F3G5 Beometr4a7

Fregunta 0/H100

Fregunta 0H100

Es importante notar )ue dospuntos, A y @, sobre una

circunferencia determinan dosarcos y, por tanto, dos ángulos

centrales-

uno cInca&o #α = 0,/!% y

uno con&eo #β = 119,1% ,

o los dos iguales, )ue sumarán/0.

6os ángulos inscritos #) = /,-y * = -,// en la ;igura de laderecJa% )ue subtienden los

mismos arcos )ue subtienden losángulos del centro mencionados,

serán suplementarios, puessumarán siempre !0.

http://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/geometria/Pregunta%2006_2005.html







Ángulo semiinscrito en la circun;erencia

El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda A@ &figura a la i/)uierda'.

6a tangente, )ue es perpendicular al radio, es lado de dos ángulos semiinscritos y cada unosubtiende un arco diferente.

>n ángulo semiiscrito &en la figura es * = /2,' vale la mitad )ue el ángulo del centro &α =' )ue abarca el arco A@.

?ótese )ue en la figura están dados los valores de los ángulos y es fácil comprobar lo antesdico, pero para comprobarlo de modo general, sin saber los valores, calculamos el valor delángulo central así-

,

por pertenecer al triángulo isIsceles A@E &recordar )ue los ángulos interiores de cual)uiertriángulo suman !07, y )ue el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales'.

Entonces, calculamos el valor del ángulo * semiinscrito-

El ra/onamiento es el mismocuando el ángulo semiiscrito

#K #Leta% = 1,% abarca elotro arco definido por A@.

Ángulo interior en la circun;erenciaEl ángulo interior α tiene el vértice en un punto interior de la circunferencia, en el c4rculo.us lados son dos rectas secantes.

El ángulo interior , siendo * y 8 los ángulos centrales de los arcos &A% y($' definidos por las rectas secantes.

@amos a comprobarlo-

%onsideramos el triángulo escaleno ABD-





el ángulo , pues es el ángulo inscrito )ue abarca el arco AE<

el ángulo , pues es el ángulo inscrito )ue abarca el arco D@<

entonces el ángulo , por lo tanto,

Ángulos eteriores a la circun;erencia

El ángulo eterior 8 tiene el vértice &A' en un punto e8terior a la circunferencia. us ladosson dos rectas secantes #A@ y AE%.

El ángulo e8terior , siendo α y β los ángulos centrales de los dos arcosdefinidos por las dos rectas secantes.


%onsideramos el triángulo escaleno AD@5

el ángulo , pues es el ángulo inscrito )ue abarca el arco D<

el ángulo , pues es el ángulo inscrito )ue abarca el arco @E<

el ángulo , suplementario de ED@<por lo tanto, el ángulo

ay otros dos casos de ángulos e8teriores, seg"n sus lados sean secantes o tangentes a lacircunferencia-

El ángulo eterior circunscrito α &figura de la i/)uierda' tiene los dos lados tangentes a lacircunferencia< α = !0 M ), siendo ) el ángulo central @NE definido por las tangentes.




El cuadrilátero A@NE cumple, como tal, )ue la suma de sus ángulos interiores es 307.

iendo dos de sus ángulos rectos #β y *% , resulta )ue !0 = α + ),

luego α = !0 M ).

El ángulo eterior circunscrito ) tiene un lado secante y otro tangente a la circunferencia&figura a la dereca'.

El ángulo eterior , siendo α y β los ángulos centrales de los arcosdefinidos por sus lados.


%onsideramos el triángulo escaleno A@E-

el ángulo , pues es el ángulo inscrito )ue abarca el arco ED<

el ángulo , pues es el ángulo suplementario de *, ángulosemiinscrito )ue abarca el arco $%<

el ángulo

uente Onternet5

Jttp5PPQQQ.educared.orgPQiiducaredPSES!ngulosHenHlasHcircun;erencias.Jtml

"os contenidos de Tiillerato están disponi<les <ajo una licencia de Ereati&e Eommons. Fueden utiliLarse yredistri<uirse li<remente siempre $ue se reconoLca su procedencia

jercicios de geometr4a !

jercicio %

i

http://www.educared.org/wikiEducared/%C3%81ngulos_en_las_circunferencias.html

http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/es/


http://www.educared.org/wikiEducared/%C3%81ngulos_en_las_circunferencias.html




calcular-

jercicio 1%

i bisectri/ del , calcular

jercicio %

i

encuentre la medida de

jercicio -%

En la figura, , entonces cuál&es' de las siguientes relaciones son siempreverdaderas-

Alternati&as

a' solo Bb' solo BBc' solo BBBd' B, BB y BBBe' B y BB

Ángulos y rectas.docx

Documents

Transcript of Ángulos y rectas.docx