ANGULOS

Srta. Yanira Castro Lizana

β αO

A

B

ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice.

ELEMENTOS DE UN ANGULO:

α 0º < α < 180º

0º < β < 90ºβ

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA

a) ÁNGULO CONVEXO

a.1) ÁNGULO AGUDO

θ = 90º

α 90º < α < 180º

θ

a.2) ÁNGULO RECTO

a.3) ÁNGULO OBTUSO

α + β = 90º

θ + δ = 180º

δθ

αβ

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA

a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

α β δ εφ

α α

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN

a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Son congruentes

Puede formar más ángulosUn lado común

01. Ángulos alternos internos: m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6

02. Ángulos alternos externos: m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m ∠803. Ángulos conjugados internos: m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°

04. Ángulos conjugados externos: m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°

05. Ángulos correspondientes: m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE

1 2

34

5 6

78

α + β + θ = x + y

α

β

θ

x

y

01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas.

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

α

β

θ

δ

ε

α + β + θ + δ + ε = 180°

02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

α + β = 180°

α β

03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”.

90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X

90° - 90° = 180° - 2X

2X = 180° X = 90°

RESOLUCIÓN

Problema Nº 01

La estructura según el enunciado:

Desarrollando se obtiene:

Luego se reduce a:

La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.

Sean los ángulos: α y βα + β = 80° Dato: β = 80° - α ( 1 )

( 90° - α ) = 2β ( 2 )

Reemplazando (1) en (2):

( 90° - α ) = 2 ( 80° - α )

90° - α = 160° -2α

β = 10°

α = 70°

α - β = 70°-10°

= 60°

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

Dato:

Diferencia de las medidas

Resolviendo

La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.

Sean los ángulos: α y β

( 90° - α ) ( 90° - β ) = 130°+β + α = 50° ( 1 )

( 180° - α ) ( 180° - β ) = 10°-β - α = 10° ( 2 )

Resolviendo: (1) y (2)

β + α = 50° β - α = 10°

(+)

2β = 60°

β = 30°

α = 20°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

Del enunciado:

Del enunciado:

Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB.

A B

O C

M

αα

60°

20°X

De la figura:

α = 60° - 20°

Luego:

X = 40° - 20°

α = 40°

X = 20°

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.

A

O

B

C

θ

θX

(θ- X)

( θ + X) (θ - X) = 30º

2X=30º

X = 15°

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

M

Construcción de la gráfica según el enunciado

Del enunciado:

AOB - OBC = 30°

-

Luego se reemplaza por lo queSe observa en la gráfica

Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

A

C

B

D

M

N

αα

ββ

θX

De la figura:

2α + θ = 90°θ + 2β = 90°

( + )

2α + 2θ + 2β = 180°α + θ + β = 90°

X = α + θ + β

X = 90°

Problema Nº 06

RESOLUCIÓNConstrucción de la gráfica según el enunciado

Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”

80°

30°

αα

θθ

X

m

n

Problema Nº 07

2α + 2θ = 80° + 30°

Por la propiedad

Propiedad del cuadrilátero cóncavo

α + θ = 55° (1)

80° = α + θ + X (2)

Reemplazando (1) en (2)

80° = 55° + X

X = 25°

80°

30°

αα

θθ

X

m

n

RESOLUCIÓN

Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”

5α

4α 65°

X

m

n

Problema Nº 08

5α

4α 65°

X

m

n

Por la propiedad:

4α + 5α = 90°

α = 10°

Ángulo exterior del triángulo

40° 65°

X = 40° + 65°

X = 105°

RESOLUCIÓN

Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”

α

2α

x

m

n

θ

2θ

Problema Nº 09

3α + 3θ = 180°

α + θ = 60°

Ángulos entre líneas poligonales

X = α + θ X = 60°

RESOLUCIÓN

α

2α

x

m

n

θ

2θ

x

Ángulos conjugados internos

PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ∠ x

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

x

αα

ββ

4x

3x L1

L2

m

n

30°

X

PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ∠ x

A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ∠ α

A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

3α

3α3α

α

m

n

PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

40°

95°

αα

2x

m

n

PROBLEMA 05.- Calcule la m ∠ x

A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

3α

6α

x

α4θ

4αθ

Xm

n

PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m ∠ x

A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m ∠ x

88°

24°

x

αα

θθ

m

n

PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m ∠ x

20°

30°

X

m

n

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

PROBLEMA 09.-Si m//n y θ- α = 80°. Calcule la m∠x

A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

θθ

x

αα

m

n

PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m ∠ x

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

x

x

x

m

n

PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m ∠ α

A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

180°-2α

α

2αm

n

PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m ∠ x

A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

αα

θθ

x

80°

m

n

PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m ∠ x

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

80°

αα

β β

m

n

x

REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

1. 20º 8. 50º

2. 30º 9. 80º

3. 45º 10. 30º

4. 10º 11. 60º

5. 120º 12. 40º

6. 36º 13. 50º

7. 32º