Angulos compuestos ok
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Funciones Trigonométricas de ángulos compuestos,
ángulo doble y ángulo mitad.
11/09/2012 1
11/09/2012 2
Funciones Trigonométricas de Ángulos Compuestos
Un ángulo compuesto es aquel formado por la suma o
diferencia de dos o mas ángulos simples ( , , ..)
Determinaremos las F.T. de ángulos de la forma:+ y-
En términos de las F.T. de y .
Para ello usaremos el círculo trigonométrico y laresolución de triángulos rectángulos vistaanteriormente.
11/09/2012 3
O
A
B
C
1
DE
F
En el círculo trigonométrico mostrado, BC = sen( + )
sen( + ) = BE + EC … (1)
En el OBD:
OD = cos BD = sen
En el BED:
BE = BD cos BE = sen cos … (2)
En el OFD:
DF = OD sen = ECEC = sen cos …(3)
(2) y (3) en (1):
sen( + ) = sen cos + cos sen
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Ejercicio Resuelto 1: Calcular Cos 75º
4
26º75
4
2
4
6º75
2
2.
2
1
2
2.
2
3º75
º45º.30º45º.30º75
)º45º30(º75
Cos
Cos
Cos
SenSenCosCosCos
CosCos
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Tarea:Determine el valor exacto de las expresiones:a) sen 75ºb) sen (7π/12)
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Análogamente se obtiene:
cos( + ) = cos cos - sen sen
Para la diferencia se tiene:
sen( - ) = sen cos - cos sen
cos( - ) = cos cos + sen sen
Se puede demostrar:
βtantanα1
βtanαtanβ)tan(α
y:
βtantanα1
βtanαtanβ)tan(α
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Cosx
xSenxSenL
)º60()º60(
Ejercicio Resuelto 2:Simplificar:
3
2
32
)º.60(2
º60.º.60º60.º.60
)º60()º60(
L
L
Cosx
CosxSenL
Cosx
CosSenxCosxSenCosSenxCosxSenL
Cosx
xSenxSenL
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Tarea:Calcule el valor exacto de:
sen 20º cos 40º + cos 20º sen 40º
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Tarea:Del gráfico mostrado calcular Tan(x)
Rpta: 9/23
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Funciones Trigonométricas del Ángulo Doble
Si en las diapositivas anteriores reemplazamos porse obtendrá:
(3)..............αtan1
αtan22αtan
(2c)............1αcos2
(2b)............αsen21
(2a)......αsenαcos2αcos
(1)........αcosαsen22αsen
2
2
2
22
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Ejercicio Resuelto 3:Si , calculemos
5
4Sen 2,2,2 TgCosSen
7
24
25
725
24
2
25
7
25
16
25
92
2
25
24
5
3.
5
4.22
.22
22
Tg
Cos
SenCosCos
Sen
CosSenSen
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Tarea:Si cos x = -2/3 y x está en el cuadrante II, determinesen 2x y cos 2x.
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Funciones Trigonométricas del Ángulo Mitad
)2x(sen21xcos 2
Si en las expresiones (2b) y (2c) del ángulo doble,reemplazamos 2α por x, entonces α = , por lo queobtendremos:
2x
Despejando queda:2
xcos1)
2xsen(
También:2
xcos1)
2xcos(
dividiendo:xcos1
xcos1)
2xtan(
racionalizando:xcos1
xsen
xsen
xcos1)
2xtan(
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Ejercicio Resuelto 3:Si:
2,
2,
2,
2
,3
5;º270º180
CtgTgSecCoscalcular
Sen
65
1)
2(
65
3
5
3
2
Sec
)2
cos(
1
2)
2cos(
2
1)
2cos(
2cos1
)2
cos(
5
a
a
a
a
2
4
59
53
2
2
222
5
1)
2(
5
3
1
3
2
Ctg
)2
tan(
3
5-
)2
tan(
1
3
5-
)2
tan(
cos1sen
)2
tan(
cos1sen
sencos1
)2
tan(
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Tarea:Determine tan(u/2) si sen u = 2/5 y u está en elcuadrante II.
2215)
2utan(:RPTA
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