Ángulos

1. Clasificación de ángulos. Bisectriz de un ángulo

Definición de ángulo: un ángulo es la región

del plano determinada por dos semirrectas

cuyo origen es el mismo punto.

Clasificación de ángulos

Bisectriz de un ángulo

Definición: la semirrecta que divide el ángulo en otros dos ángulos iguales se llama bisectriz.

Construcción de la bisectriz: para trazar la bisectriz de un ángulo,

se debe tomar el compás, pinchar en el vértice del ángulo y trazar

un arco que corte ambos lados.

Desde las intersecciones del arco trazado y los lados del ángulo,

sin cambiar la abertura del compás, trazar otros dos arcos.

Con la regla, dibujar una semirrecta con origen en el vértice del

ángulo y que pase por el punto común de los dos arcos trazados

anteriormente.

Para pensar

Clasificar cada uno de los siguientes ángulos.

a. � = 38° ………………………… c. � = 180°……………………….

b. = 126° ………………………. d. � = 90°…………………………

2. Definiciones que debemos recordar

Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si la

suma de sus amplitudes es igual a 90°.

Ángulos

Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios si la

suma de sus amplitudes es igual a 180°.

Ángulos consecutivos: los ángulos

que tienen un lado y un vértice común

son ángulos consecutivos.

Ángulos adyacentes: se llama ángulos adyacentes a todo par

de ángulos que son consecutivos y suplementarios.

Los ángulos adyacentes tienen un lado en común y los otros

dos lados son semirrectas opuestas.

Ángulos opuestos por el vértice: se llama ángulos opuestos

por el vértice a todo par de ángulos que tienen el vértice en

común y sus lados son semirrectas opuestas.

3. Posiciones relativas de dos rectas. Mediatriz de un

segmento

En el siguiente cubo se trazaron algunas de las rectas que

contienen las aristas del mismo. Las rectas A, D, C y E determinan el

plano �.

La recta B no está incluida en el plano �.

Las rectas A, C, D y E son coplanares, por estar incluidas en

el mismo plano.

Si dos rectas no están incluidas en el mismo plano, son

alabeadas, A y B son rectas alabeadas.

Las rectas coplanares pueden ser incidentes (tienen un

punto en común) o paralelas (no tienen puntos comunes).

Ángulos

Mediatriz de un segmento

Definición: la recta perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio se llama

mediatriz.

Construcción de la mediatriz: para trazar la mediatriz de un

segmento �����, se debe tomar el compás con una abertura mayor

que la mitad del segmento, pinchar con la aguja del compás el

punto � y trazar una circunferencia.

Luego, sin modificar la abertura del compás repetir el

procedimiento con centro en el punto �.

Dibujar la recta que pasa por las intersecciones de los arcos

formados.

4. Ángulos determinados por dos rectas y una trasversal

Dos rectas B y C, coplanares, cortadas ambas

por una tercera, llamada transversal,

determinan 8 ángulos.

Los mismos se clasifican en internos y externos.

Clasificación de los 8 ángulos de acuerdo con su posición respecto de las dos rectas y

la transversal

Ángulos alternos

Internos: son los pares de ángulos internos que está en distinto

semiplano respecto de la trasversal y no son adyacentes. Ejemplo:

1� � 4� 2� � 3�.

Externos: son los pares de ángulos externos que están en distintos

semiplanos respecto de la transversal y no son adyacentes.

Ejemplo: 5� � 8� 6 �� 7�.

Ángulos conjugados

Internos: son los pares de ángulos internos que están en el mismo

semiplano respecto de la transversal. Ejemplo: 1� � 3� 2� � 4�.

Externos: son los pares de ángulos externos que están en el mismo

semiplano respecto de la transversal. Ejemplo: 5� � 7� 6� � 8�.

Ángulos

Ángulos correspondientes

Son los pares de ángulos que están en el mismo semiplano respecto

de la transversal, pero uno es interno y el otro es externo y no son

adyacentes. Ejemplo: 1� � 7� 6� � 4� 2� � 8� 5� � 3�.

Para pensar

Observar el dibujo y completar las frases con el ángulo correspondiente:

a. El conjugado interno de � es …………..

b. El alterno externo de es …………….

c. El correspondiente de � es …………..

d. El conjugado externo de � es …………..

e. El alterno interno de � es …………….

5. Ángulos entre paralelas

Ángulos correspondientes entre paralelas

Los ángulos correspondientes entre rectas paralelas cortadas por una transversal son iguales.

Ángulos alternos entre paralelas

Los ángulos alternos entre rectas paralelas cortadas por una transversal son iguales.

Ángulos conjugados entre paralelas

Los ángulos conjugados entre rectas paralelas cortadas por una transversal son

suplementarios.

Ángulos

Actividades 1. Clasificar los ángulos marcados en las siguientes figuras.

2. Trazar la bisectriz de un ángulo de 80°, 120° � 90°.

3. Determinar V (verdadero) o F (falso), según corresponda en cada caso.

La bisectriz de un ángulo:

a. Obtuso determina dos ángulos cóncavos………..

b. Llano determina dos ángulos rectos…………

c. Agudo determina dos ángulos obtusos…………

d. Obtuso determina dos ángulos agudos………….

e. Agudo determina dos ángulos agudos………..

f. Cóncavo determina dos ángulos convexos………..

4. Unir con una flecha cada par de ángulos con la propiedad correspondiente.

5. Completar cada una de las siguientes frases con la clasificación correspondiente.

a. El complemento de un ángulo nulo es un ángulo………………………

b. El complemento de un agudo es un ángulo……………………………….

c. El complemento de un ángulo recto es un ángulo…………………….

d. El suplemento de un ángulo nulo es un ángulo…………………………

e. El suplemento de un ángulo agudo es un ángulo………………………

f. El suplemento de un ángulo recto es un ángulo………………………..

g. El suplemento de un ángulo obtuso es un ángulo……………………..

h. El suplemento de un ángulo llano es un ángulo…………………………

6. Hallar el valor de cada uno de los siguientes ángulos.

Ángulos

7. Marcar con una cruz la opción correcta en cada caso.

1. Los ángulos consecutivos: 4. Los ángulos opuestos por el vértice:

a. Siempre son adyacentes. a. siempre son complementarios.

b. A veces son adyacentes. b. siempre son suplementarios.

c. Nunca son adyacentes. c. siempre son iguales.

2. Los ángulos adyacentes: 5. Los ángulos opuestos por el vértice:

a. Siempre son consecutivos. a. a veces son adyacentes.

b. A veces son consecutivos. b. nunca son adyacentes.

c. Nunca son consecutivos. c. siempre son adyacentes.

3. Los ángulos adyacentes: 6. Los ángulos opuestos por el vértice:

a. Siempre son complementarios. a. a veces son complementarios.

b. Siempre son suplementarios. b. nunca son complementarios.

c. Siempre son iguales. c. siempre son suplementarios.

8. Hallar el valor de cada uno de los ángulos en las siguientes figuras.

9. Plantear y calcular en cada caso cada uno de los ángulos.

a. � � son opuestos por el vértice y el complemento de � mide 35°.

b. � � � son adyacentes y el complemento de � mide 27°.

c. � � son opuestos por el vértice y el adyacente de mide 104°.

d. � � � son adyacentes y el opuesto por el vértice de � mide 83°.

10. Plantear las ecuaciones y hallar el valor de cada uno de los ángulos.

Ángulos

11. Observar el plano de las calles.

Completar cada una de las siguientes frases con “oblicua”, “paralela” o

“perpendicular”:

12. Trazar la mediatriz de un segmento de 3��, 5�� � 7��.

13. Marcar, en la figura, los ángulos que cumplan con las siguientes condiciones.

14. Completar las siguientes frases con “iguales” o “suplementarios”.

Ángulos

15. Unir cada uno de los siguientes dibujos con la propiedad correspondiente.

16. Calcular el valor de cada uno de los siguientes ángulos, justificando la respuesta.

Ángulos

17. Calcular el valor de �, � �, en cada uno de los siguientes casos.