anexo cuadráticas
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1
Reduccin de una forma cuadrtica a la forma diagonal
El objetivo es que dada una ecuacin general de segundo grado en dos
variables que tenga trmino mixto,
022 =+++++ FEyDxCyBxyAx
transformarla a una ecuacin sin dicho trmino
022 =++++ FyExDyCxA
para identificar la cnica que representa tal ecuacin
Teorema. Toda forma cuadrtica 22 2 CyBxyAx ++++++++ puede transformarse
mediante una rotacin de coordenadas ++++======== uyuxyxUyx ),(),(
a una forma diagonal 222
1 yx + donde 21 , son las races de la ecuacin 0)()( 22 =+ ACBCA y u es un vector unitario ortogonal
a ),( 1 BA . Demostracin.
Si ),( 21 uuu = , entonces
12
21
uyuxy
uyuxx
++++====
====
Como 2222 22 yCyxBxACyBxyAx ++++++++====++++++++
Se debe satisfacer
),(2
),()(
),(2
1212
2
121
2
2
2121
2
221
2
1
2121
2
221
2
1
CuBu BuAuuCuuBuAuC
CuBu BuAuuBuuuACBuB
CuBu BuAuuCuuBuAuA
++=+=
++=+=
++=++=
Podemos definir la transformacin ),(),(),(),( yCxByBxACByBAxyxL ++++++++====++++====
Entonces escribimos
)(uLuA ==== , )(uLuB ==== y )( ==== uLuC
Para que )(uLuB ==== sea cero, u y )(uL deben ser paralelos, es decir uuL =)(
Que en coordenadas es ),(),(),(),(),( 2121212121 uuCuBu BuAuCBuBAuuuL =++=+=
O lo que es lo mismo )0,0(),( 221121 =++ uCuBu uBuAu
O tambin 0),( = BAu 0),( = CBu
Esto significa que u es ortogonal tanto a ),( BA como a ),( CB Es decir ),( BA y ),( CB son paralelos, o
-
2
0)()(
0)(
0),(),(
0),(),(
22
22
=+
=+++
=
=
ACBAC
ACACB
CBAB
CBBA
Esta ltima ecuacin, se conoce como ecuacin caracterstica de la forma
cuadrtica.
Resolvemos la ecuacin de segundo grado
2
4)(
2
42
2
442
2
)(4)(
22222
22222
BCAACBCACAAC
ACBCACAACACBCAAC
++=
+++
++++=
+++=
La cual siempre tiene solucin porque 04)( 22 + BCA ; las races 21 , se llaman races caractersticas de la forma cuadrtica
Para 1 = se satisface uuL 1)( = , por * , que sustituimos en
11 )()( === uuuLuA Ahora se probar que 2=C De las expresin ))((0)()( 21
22 ==+ ACBAC Tenemos ACCA =+=+ 2121 Como 0),( 1 = CBu por **
),(
),(),(),(
2
221
BAu
BAuABuCBu
=
==
Por lo tanto 0),( 2 =
BAu
Es decir u solucin de la ecuacin 0),( ==== BAu con 2 = Y como ),( 2 BA y ),( 2CB son paralelos,
u es solucin de la
segunda ecuacin 0),( ==== CBu Por lo tanto = uuL 2)(
De aqu que 22 )()( ===uuuLuC
En el caso general para transformar
FEyDxCyBxyAx +++++ 22 2 en FyExDyCyxBxA +++++ 22 2
Los coeficientes FED , , se obtienen como sigue:
).(21 EDuEuDuD ====++++==== ),(12 EDuEuDuE ====++++==== FF ====
Ejemplo. Transformar la ecuacin con una rotacin adecuada, e identificar
la cnica que representa
081616565 22 =+++ yxyxyx
-
3
8 ,16 ,16 ,5 ,3 ,5 ======================== FEDCBA
0)2)(8(1610)259(10)()( 2222 ==+==+ ACBCA Tomando 8,2 21 == u un vector unitario ortogonal a )3,3()3,25(),( 1 == BA
====
2
1,
2
1u ,
====
2
1,
2
1u luego calculamos
)(uLuA ==== , )(uLuB ==== y )( ==== uLuC
Para ello
====++++====++++====
++++========
2
2,
2
2)5,3(
2
1)3,5(
2
1)5,3()3,5(
),(),(),()(
21
2121
uu
CBuBAuuuLuL
====++++====++++====
2
8,
2
8)5,3(
2
1)3,5(
2
1)5,3()3,5()( 12 uuuL
22
2,
2
2
2
1,
2
1)( ====
======== uLuA
02
2,
2
2
2
1,
2
1)( ====
======== uLuB
82
8,
2
8
2
1,
2
1)( ====
======== uLuC
(((( )))) 016,162
1,
2
1),( ====
======== EDuD
(((( )))) 2162
3216,16
2
1,
2
1),( ========
======== EDuE
Entonces
08216822 2222 ====++++++++++++====++++++++++++++++++++ yyxFyExDyCyxBxA o
(((( )))) 424484)222(4
04284
22
22
22
====++++++++
====++++====++++++++++++
====++++++++++++
yx
yyx
yyx
( ) 124
22
=++
yx
que corresponde a una elipse
Ejemplo. Transformar la ecuacin con una rotacin adecuada, e identificar
la cnica que representa
0555244 22 =+++ yxyxyx
5 ,5 ,52 ,4 ,2 ,1 ====== FEDCBA
-
4
0)5(5)44(5)()( 2222 ====+ ACBCA Tomando 5 ,0 21 ==
u un vector unitario ortogonal a )2,1()2,01(),( 1 == BA
=
5
1,
5
2u ,
=
5
2,
5
1u luego calculamos
)(uLuA ==== , )(uLuB ==== y )( ==== uLuC
Para ello
( )0,0)4,2(5
1)2,1(
5
2)4,2()2,1(
),(),(),()(
21
2121
==+=
+==
uu
CBuBAuuuLuL
=+=+=
5
10,
5
5)4,2(
5
2)2,1(
5
1)4,2()2,1()( 12 uuuL
( ) 00,05
1,
5
2)( =
== uLuA
( ) 00,05
2,
5
1)( =
== uLuB
55
10,
5
5
5
2,
5
1)( =
== uLuC
( ) 55,525
1,
5
2),( =
== EDuD
( ) 05,525
2,
5
1),( =
== EDuE
Entonces
05552 222 ==+++++ xyFyExDyCyxBxA
12 += xy obtenemos una parbola
Ejemplo. 055585611244 22 =+++ yxyxyx
En este caso 55 ,58 ,56 ,11 ,12 ,4 ====== FEDCBA
0)5)(20(10015
)44144(15)()(
2
222
=+=+=
=+
ACBCA
Tomando 20 ,5 21 ==
u un vector unitario ortogonal a )12,9(),( 1 = BA
=5
3,
5
4u ,
=5
4,
5
3u luego calculamos
)(uLuA ==== , )(uLuB ==== y )( ==== uLuC
-
5
Para ello
( )3,4)11,12(5
3)12,4(
5
4)11,12()12,4(
),(),(),()(
21
2121
=+=+=
+==
uu
CBuBAuuuLuL
( )16,12)11,12(5
4)12,4(
5
3)11,12()12,4()( 12 =+=+=
uuuL
( ) 53,45
3,
5
4)( =
== uLuA
( ) 03,45
4,
5
3)( =
== uLuB
( ) 2016,125
4,
5
3)( =
== uLuC
( ) 1058,565
3,
5
4),( =
== EDuD
( ) 8058,565
4,
5
3),( =
== EDuE
Entonces
05580102052 2222 =+++=+++++ yxyxFyExDyCyxBxA
0558010205 22 =+++ yxyx o
( )
14
)1()2(
4)2(4)1(
16111444)12(
0111624
22
22
22
22
=
=+
+=+++
=+++
xy
yx
yyxx
yxyx
obtenemos una hiprbola
BIBLIOGRAFIA
- Haaser, LaSalle, Sullivan. Anlisis Matemtico Vol. 1 y 2, Trillas.
- Lehmann, C. Geometra Analtica, Limusa.
- Kindle H. Joseph. Geometra Analtica. Mc Graw Hill.
- Borbolla, Geometra Analtica, Esfinge.
- Larson, Hostetler, Edwars. Clculo Vol. 2, Mc Graw Hil