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Anexo 1
Reglas y valores establecidas en una clase
☺ Mantener el orden y la disciplina durante las lecciones.
☺ No hacer ruido, hacer silencio cuando el profesor y los compañeros están
hablando o explicando.
☺ Que el profesor tengan disponibilidad.
☺ Participación por parte de todos los integrantes del grupo.
☺ Compañerismo.
☺ Puntualidad estar en el aula antes que suene el timbre.
☺ Respeto hacia el profesor y los demás compañeros.
☺ Responsabilidad en las tareas y actividades de clase.
☺ No golpear a los compañeros ni al profesor.
☺ No comer ni mascar chicle.
☺ No decir apodos.
☺ Obedecer al profesor.
☺ No salir del aula sin permiso y no atender estudiantes en la puerta.
☺ Paciencia.
☺ No decir palabras vulgares.
☺ Llamar al profesor como profesor.
☺ Celulares apagados.
Universidad de Costa Rica Sede Rodrigo Facio. Trabajo Comunal Universitario Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria Alumno: Roiner Gerardo Segura Cubero. III Ciclo 2010
Números y casillas
Instrucciones:
Situar los números del 1 al 9 en las casillas del dibujo, de tal forma que cada número de la casilla superior sea la suma de los dos números de las casillas inferiores en las que se apoya.
Solución:
Universidad de Costa Rica Sede Rodrigo Facio. Trabajo Comunal Universitario Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria Alumno: Roiner Gerardo Segura Cubero. III Ciclo 2010
Estrella con diagonales:
Acomode los números del 1 al 7, uno por círculo, de modo que cada uno de los
triángulos grandes y cada diagonal sumen lo mismo
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Trabajo Comunal Universitario
Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria
Alumno: Roiner Gerardo Segura Cubero.
III Ciclo 2010
COLOCANDO NÚMEROS
Coloque los números del 1al 9, un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:
a) 3, 6, 8, están en la horizontal superior. b) 5, 7, 9, están en la horizontal inferior. c) 1, 2, 3, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha.
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Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria
Alumno: Roiner Gerardo Segura Cubero.
III Ciclo 2010
Las sumas en la rueda
Instrucciones:
Ponga las cifras del 1 al 8 en
las casillas de la rueda de modo que:
Los números vecinos del 4 sumen 9.
Los números vecinos del 5 sumen 11.
Los números vecinos del 6 sumen 10.
Los números vecinos del 7 sumen
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Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria
Alumno: Roiner Gerardo Segura Cubero.
III Ciclo 2010
Las sumas en la rueda
Instrucciones:
Ponga las cifras del 1 al 8 en
las casillas de la rueda de modo que:
Los números vecinos del 4 sumen 9.
Los números vecinos del 5 sumen 11.
Los números vecinos del 6 sumen 10.
Los números vecinos del 7 sumen 8.
Anexo 2
Trabajo Comunal Universitario Nombre del Proyecto: Mejoramiento del rendimiento en la secundaria Estudiante: Roiner Gerardo Segura Cubero Nivel: 7 año. Nombre del estudiante:
_____________________________________________
Prueba de diagnóstico
Objetivo: Evaluar los conocimientos previos de los estudiantes, necesarios
para el adecuado desarrollo de los temas a estudiar.
Indicaciones: A continuación se presenta una serie de ejercicios que debe
contestar en forma individual. Su fin es medir cuales son sus conocimientos
previos del estudiante.
Selección Única:
Lea cuidadosamente cada uno de los siguientes ítems. Marque con una equis
(x) dentro del paréntesis ( ) que indica la respuesta correcta a cada ítem.
1) El número entero antecesor de corresponde a
2) El resultado de corresponde a
3) Al realizar la multiplicación – se obtiene como resultado
4) Cuando realizamos | | obtenemos como resultado
5) Al efectuar obtenemos:
6) El resultado de (
)
es:
( )
( )
( ) -1
( )
7) Al efectuar 5
6
3
1
obtenemos:
( )
( )
( )
( )
8) El resultado de 2
5
1
es:
( )
( )
( )
( )
9) El gráfico adjunto representa la fracción siguiente:
( )
( )
( )
( )
10) El resultado de la división 3424 16 corresponde a:
( ) 214 ( ) 415 ( ) 570 ( ) 107
11) Según la figura adjunta. El valor de “x” es:
( ) 50° ( ) 70° ( ) 90° ( ) 45°
12) De las siguientes parejas de ángulos, la única que posee dos ángulos
complementarios es:
( ) 73° y 17° ( ) 20° y 30° ( ) 40° y 60° ( ) 90° y 1°
X 135°
13) La recta determinada por los puntos A y D se representa por:
( ) ⃡
( )
( ) ⃡ ( ) ̅̅ ̅̅
14) El perímetro de la figura es:
( ) 12 cm. ( ) 22 cm. ( ) 24 cm. ( ) 30 cm
15) En la figura L // M. Hay tres ángulos congruentes con el ángulo 2. ¿Cuáles son esos ángulos? ( ) 4, 5 y 8 ( ) 3, 4 y 6 ( ) 3, 6 y 7 ( ) 3, 5 y 8
16) En un triángulo, al segmento que biseca al ángulo y tiene como punto terminal un punto del lado opuesto se denomina ( ) Mediana ( ) Altura ( ) Bisectriz ( ) Baricentro
Fin
L
M
Anexo 3
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Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria
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III Ciclo 2010
Adivino el número a todos
Descripción de la actividad:
Se le pide a todos los estudiantes que realicen los siguientes pasos
1. Se piensen un número de tres dígitos tal que todos los dígitos no sean
iguales y sus extremos tampoco pueden ser iguales.
2. Luego que cambien los dígitos extremos del número pensado,
obteniendo otro número, por ejemplo si alguien se pensó el número
al cambiar los extremos obtendría el número .
3. Al número mayor entre los dos le quita el menor.
4. Luego se suman los dígitos del resultado.
5. El profesor le dice a todos el número que obtuvo cada uno, el cual es el
mismo para todos.
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Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria
Alumno: Roiner Gerardo Segura Cubero.
III Ciclo 2010
“El número 30”
¿Cómo podrías expresar el número 30 con tres cifras iguales y con las operaciones + , ─ , • ¿
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Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria
Alumno: Roiner Gerardo Segura Cubero.
III Ciclo 2010
“El número 30”
¿Cómo podrías expresar el número 30 con tres cifras iguales y con las operaciones + , ─ , • ¿
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Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria
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III Ciclo 2010
El problema del Restaurante
José Manuel, Miguel Ángel, Rogelio y José Antonio fueron, con sus respectivas esposas, a comer a un buen restaurante. En el restaurante, se sentaron en una mesa de forma redonda, de manera que: Ninguna esposa se sentaba al lado de su marido Enfrente de Miguel Ángel se sentaba José Antonio A la derecha de la esposa de Miguel Ángel se sentaba Rogelio. No había dos esposas juntas ¿Quién se sentaba entre Miguel y José Manuel?
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III Ciclo 2010
El problema del Restaurante
José Manuel, Miguel Ángel, Rogelio y José Antonio fueron, con sus respectivas esposas, a
comer a un buen restaurante.
En el restaurante, se sentaron en una mesa de forma redonda, de manera que:
Ninguna esposa se sentaba al lado de su marido
Enfrente de Miguel Ángel se sentaba José Antonio
A la derecha de la esposa de Miguel Ángel se sentaba Rogelio.
No había dos esposas juntas
¿Quién se sentaba entre Miguel y José Manuel?
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Nombre del Proyecto: mejoramiento del rendimiento en la secundaria
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III Ciclo 2010
Iba un día Pepito caminando por la calle y pensó que tenía que llegar a estudiar
matemáticas, cuando llegó a su casa y tomó sus apuntes lo primero que encontró un
problema de sistemas de ecuaciones el cual decía:
“Si al doble de un número le sumo el triple de otro obtengo 10, pero si a ese número
le resto el otro obtengo 4 ¿Cuál es el valor de cada uno de eso dos números? ”
Pepito pensó y pensó pero aún no lo ha logrado resolver.
Te propongo un trato. ¿Qué tal si le ayudas a Pepito a solucionar el problema
anterior?
Uy! Se me había olvidado
que tengo que estudiar matemáticas.
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III Ciclo 2010
COLOCA LOS DÍGITOS
Problema: Colocar en forma correcta los dígitos del 1 al 8 en la siguiente figura, si el 1
no puede estar junto al 2, el 5 no puede estar junto al 4, el 3 y el 6 deben estar
separados al igual que el 7 y el 8.
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III Ciclo 2010
Cuadro Mágico
Problema: Colocar los números del 1 al 9 en los cuadrados, de tal forma que al
sumarlos ya sea en forma vertical, horizontal o en diagonal, el resultado sea igual.
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III Ciclo 2010
Cuadro Mágico
Problema: Colocar los números del 1 al 9 en los cuadrados, de tal forma que al
sumarlos ya sea en forma vertical, horizontal o en diagonal, el resultado sea igual.
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III Ciclo 2010
LA DIFERENCIA
Problema: Coloque los ocho primeros números en el tablero, de forma que cada
número que esté en un cuadrado, sea la diferencia de los que están en los círculos a
sus lados.
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LA DIFERENCIA
Problema: Coloque los ocho primeros números en el tablero, de forma que cada
número que esté en un cuadrado, sea la diferencia de los que están en los círculos a
sus lados.
Anexo 4
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Nombre del Proyecto: Mejoramiento del rendimiento académico en la secundaria
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III Ciclo 2010
LOS TRIÁNGULOS PEQUEÑOS
Problema: Coloque las cifras del 1 al 8 en los círculos de los dos cuadrados de
forma que los tres vértices de los triángulos pequeños sumen lo mismo.
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III Ciclo 2010
Problema:
Tres hombres reciben, como pago de un servicio hecho, una partida de refresco
compuesta de 21 vasos iguales, estando 7 llenos, 7 medio llenos y 7 vacíos. Quieren
ahora dividir los 21 vasos de manera que cada uno reciba el mismo número de vasos
y la misma cantidad de refresco. ¿Cómo hacer el reparto?
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III Ciclo 2010
Problema:
Tres hombres reciben, como pago de un servicio hecho, una partida de refresco
compuesta de 21 vasos iguales, estando 7 llenos, 7 medio llenos y 7 vacíos. Quieren
ahora dividir los 21 vasos de manera que cada uno reciba el mismo número de vasos
y la misma cantidad de refresco. ¿Cómo hacer el reparto?
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III Ciclo 2010
Pares e impares en una suma
Instrucciones:
Con los números del 1 al 9 realiza la suma que aparece en el tablero, colocando los
números pares en los cuadrados y los impares en los círculos, de tal forma que al realizar
la suma el resultado sea correcto.
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III Ciclo 2010
Motivación
Determine el número de cuadrados que hay en la siguiente figura.
Solución: __________.
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III Ciclo 2010
Las cifras del 1 al 9 hay
que distribuirlas en
la rueda de la figura: una cifra debe ocupar el centro del círculo y las demás, los extremos
de cada diámetro de manera que las tres cifras de cada fila sumen siempre 15.
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III Ciclo 2010
Se trata de dividir esta esfera de reloj en seis partes, de la forma que usted desee,
pero con la condición de que en cada parte, la suma de los números sea la misma.
12
3
6
9
1
2
4
5 7
8
10
11
Anexo 5
Ficha 1
Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez
simplificada, el mayor exponente de la incógnita es dos. Un una variable con
coeficientes reales es una ecuación que puede escribirse como:
donde son constante reales, con .
Ejemplos:
A. Determine el valor de las constantes de las siguientes ecuaciones
cuadráticas
1.
2.
3.
4.
5.
Discriminante: Al número en la ecuación cuadrática se denomina
discriminante y se representa con el símbolo . Puede utilizarse para determinar
la naturaleza de las raíces de la ecuación como se explica a continuación:
I. Si la ecuación tiene dos soluciones reales distintas
II. Si la ecuación tiene una solucione real.
III. Si la ecuación no tiene soluciones reales
Ejemplos:
B. Determine el discriminante y cuantas soluciones reales posee las
siguientes ecuaciones cuadráticas.
1.
2.
3.
4.
Ecuación cuadrática con una incógnita por fórmula general
Fórmula cuadrática: Si entonces las raíces de la ecuación
están dadas por:
√
Ejemplo:
C. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general y
determine el conjunto de solución:
1.
2.
3.
4.
5.
Ecuación cuadrática con una incógnita por calculadora
D. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por calculadora y
determine el conjunto de solución.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ecuación cuadrática con una incógnita de la forma
Las ecuaciones que se pueden expresar se la forma con
constantes reales, se resuelve simplemente con la siguiente fórmula:
√
En este caso
E. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto de
solución.
1.
2.
3.
4.
Ecuación cuadrática con una incógnita de la forma
Las que se expresan de la forma con constantes reales, se
resuelven simplemente con la siguiente fórmula:
En este caso
F. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto
solución.
1.
2.
3.
4.
G. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto
solución
1.
2.
3.
4.
5.
6.
H. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto de
solución.
1.
2.
3.
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III Ciclo 2010
Tarea 1
A. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto de solución
1.
2. = 0
3.
4. 5. 6.
B. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto de solución y restricción.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bibliografía:
Meneses, R (2004). Matemática 10 enseñanza- aprendizaje; 2a ed. San José, C R. Editorial Norma. Rodríguez, E (2010). Material didáctico para décimo. Liceo de Escazú.
Anexo
Ficha 2
A. Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales y determine el siguiente
conjunto de solución:
1. √
2. √ √
3. √ √
4. √
Suma y el producto de las raíces de una ecuación cuadrática
B. Francios Viete estudió ecuaciones en las cuadráticas encontró
que entre los coeficientes y las raíces , se cumple que
,
Ejemplos:
1. Encuentre las suma y el producto de las raíces de la ecuación
.
2. Encuentre la suma y el producto de las raíces de la ecuación
3. Halle la ecuación cuadrática cuya suma de las raíces sea y cuyo
producto sea
4. Halle una ecuación cuadrática cuya suma de las raíces sea y cuyo
producto sea .
5. Hallar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean -2 y 7.
6. Hallar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean
y
.
Valor de k de una ecuación cuadrática
C. Determine el valor de k de las siguientes ecuaciones cuadráticas de tal manera
que las ecuaciones solo tenga una solución real
1.
2.
3.
D. Resuelva los siguientes problemas de ecuaciones cuadráticas.
1. Si el perímetro de un rectángulo es . Y su área entonces hallar
la medida del largo del rectángulo.
2. La diferencia de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es
. Determine los números.
3. Hallar dos números pares consecutivos y positivos cuyos productos es 360.
4. Un número excede a otro en 4. Si el producto de ambos es 285. ¿Cuáles
son los números?
5. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos y positivos es
113. Hallar los números.
6. Un número es el triple del otro y la diferencia de su cuadrados es
200.Hallar los números sabiendo que son positivos.
Tarea 2
a) Hallar el valor de k de manera que las raíces de la ecuación sean iguales
1. 2. 3.
Sugerencia: para esto se debe resolver la ecuación
b) Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales y determine el conjunto
de solución
1. √
2. √
3. √ √
4. √ √ √
c) Resuelva los siguientes problemas de ecuaciones cuadráticas
1. El largo de un rectángulo excede en 6cm al ancho. Si su área es
. Cuáles son sus dimensiones.
2. Hallar dos enteros consecutivos cuyo producto sea 156.
3. Un cateto de un triángulo mide 7m más q el otro. Y dos menos que la
hipotenusa. Hallar las longitudes de los lados.
4. Un rectángulo tiene de largo 5cm más que de ancho. Si su área es
. ¿Cuáles son sus dimensiones?
Bibliografía:
Meneses, R (2004). Matemática 10 enseñanza- aprendizaje; 2a ed. San José, C R. Editorial Norma. Rodríguez, E (2010). Material didáctico para décimo. Liceo de Escazú.
Anexo 7
Ficha 3
Factorización:
Factorizar un polinomio es expresarlo como el producto de dos o más
polinomios de igual o menor grado que él.
Un polinomio es irreducible o cónico si no es posible factorizarlo.
Factorización por factor común:
Para factorizar un polinomio por factor común, primero obtengo el
factor común, luego divido el polinomio entre el factor común y
expreso el producto del factor común por el cociente encontrado.
Ejemplo: Factorizar la expresión
1. Obtengo el factor común.
2. Divido el polinomio entre el factor común.
3. Expreso el producto
Factorización por agrupamiento:
Cuando no puedo factorizar por factor común en ocaciones debo
agrupar los sumandos, factorizar cada uno por factor común y volver a
factorizar por factor común.
Ejemplo: Factorizar la expresión
1. Asocio )
2. Factorizo por factor común )
3. Factorizo nuevamente )
Factorización por tercera fórmula:
Para factorizar la diferencia de los cuadrados, se extrae la raíz
cuadrada a cada término y se expresa la suma por su diferencia.
Ejemplo 1: Factorizar la expresión
1. Extraigo la raíz cuadrada
2. Indico la suma por la diferencia
Ejemplo 2: Factorizar la expresión
1. Extraigo la raíz cuadrada
2. Indico la suma por la diferencia
3. Elimino paréntesis y sumo
Factorización por primera fórmula:
Ejemplo: Se extrae la raíz cuadrada de cada cuadrado y se expresa
la suma al cuadrado si el otro término es positivo.
Factorizar la expresión
1. Extraigo la raíz cuadrada
2. Factorizo por primera fórmula
Factorización por inspección: Se usa fundamentalmente para
factorizar polinomios de la fórma .
Factorizar la expresión
1. Busco los factores para y -3
2x -5
2. Expreso el producto
Factorización por suma y diferencia de cuadrados: Para este tipo
de factorización se utilizan las fórmulas:
Ejemplo:
1. Factorizar la expresión
Extraigo la raíz cúbica
Sustituyo en la fórmula y obtengo
Factorización por varios métodos: Algunas veces, al factorizar por
un método, observo que uno de los factores o ambos se pueden volver
a factorizar.
Factorizar la expresión
1. Factorizo por factor común
2. Factorizo por Fórmula notable
Ejercicios:
1. La factorización completa de corresponde
a________________.
2. Al factorizar uno de los factores
es__________.
3. Un factor de es ____________________.
4. La expresión es equivalente a
_________________.
5. Un factor del polinomio es
_________________.
6. Al factorizar un factor es ________________.
7. Un factor del polinomio corresponde a
____________.
8. La factorización de es _____________________.
9. La expresión es equivalente a ______________.
10. Al factorizar uno de los factores es
___________.
11. Al factorizar en forma completa la expresión uno
de los factores es _____________________________.
12. La factorización completa de
corresponde a _____________________.
13. Al factorizar uno de los factores es
_______________.
14. Un factor del polinomio corresponde a
____________.
15. Un factor del polinomio corresponde a
__________.
Fracciones algebraicas racionales
Simplificación:
Para simplificar fracciones algebraicas cuyos términos son monomios,
procedo como en la división de monomios.
Ejemplo Simplifique
Operaciones Básicas
Para factorizar operaciones con fracciones algebraicas racionales, recuerdo
como se efectúan estás operaciones con números racionales.
Ejemplo 1:
Realice la operación y simplifique:
1. Factorizo los numeradores y denominadores de ambas fracciones.
2. Efectúo el producto de fracciones
3. Aplico la propiedad de la cancelación
Ejemplo 2:
Realice la simplificación y simplifique:
1. Factorizo los numeradores y denominadores de ambas fracciones y
se cambia la división por la multiplicación invirtiendo el divisor.
2. Aplico la propiedad de la cancelación
Ejemplo 3:
Efectúe la operación y simplifique
1) Factorizo los denominadores
2) Obtengo el mínimo denominador común
3) Efectúo la suma de fracciones como es usual, dividiendo el mínimo
denominador común para cada denominador y multiplico por el
numerador correspondiente.
4) Sumamos y simplificamos
Ejercicios:
Simplifique las siguientes expresiones algebraicas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
La ecuación de una recta, no importa en cual de sus Formas se exprese,
Corresponde a una ecuación con dos incógnitas. Por eso, la intersección de
dos rectas corresponde a la solución de un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas.
Ejercicios:
1. El valor de x en la solución es
2. El conjunto de solución del sistema es
3. El conjunto de solución del sistema es
4. El conjunto de solución del sistema es
Bibliografía:
Porras, V.: Gamboa, G (2008). Matemática 11°. Recopilación de
ejercicios. 6 Ed.- San José, CR.
Anexo 8
Ficha 4
Función lineal
Una función lineal es un función tal que , donde y son
constantes reales y su representación gráfica es una recta. Es importante señalar que a la
constante se le denomina pendiente de la recta, es decir; el grado de inclinación de
dicha recta con respecto al eje x y b es el punto donde corta al eje y.
La pendiente de la recta nos indica cuanta inclinación tiene una recta; incluso
señalaremos que conforme aumenta el valor de la pendiente; la recta es más inclinada.
Estudio de la pendiente de la recta
Sea una función de la forma con
1. Si entonces la función es estrictamente creciente.
2. Si entonces la función es estrictamente decreciente.
3. Si entonces la función es constante.
Intersección con los ejes de las coordenadas
Sea una función de la forma con
1. La intersección del eje y es el punto
2. La intersección del eje x es el punto (
).
Ejemplos:
De acuerdo con las siguientes ecuaciones de la recta; complete el espacio en
blanco
Ecuación de la
recta
“m” “b” Intersección
con el eje x
Intersección
con el eje y
(
). (
Gráfica de una recta
Ejemplos
1. Graficar una recta definida por la ecuación
2. Graficar una recta definida por la ecuación
Ecuación de la recta:
La ecuación de la recta es de la forma o donde y
son constantes reales.
I CASO: Ecuación de una recta a partir de su pendiente y un punto que
pertenece a la recta.
Ejemplos:
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene
pendiente .
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene
pendiente .
II CASO: Ecuación de una recta a partir de los puntos y que
pertenece a la recta. A se le conoce como pendiente de la recta y la podemos
calcular con la siguiente fórmula:
Ejemplos:
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos y .
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos y .
3. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos
y
4. Con los datos de la figura determine la ecuación lineal de la recta.
Problemas de la función lineal
1. La función dada por
se utiliza para aproximar la
temperatura de aire en grados Celsius a metro de altura sobre la
superficie de la tierra. ¿A qué altitud se tiene una temperatura del aire de
15°C.
2. El costo en colones por alquiler semanas una casa de verano está dado
por Si se alquila esa casa por 2 semanas. ¿Cuál
es el costo del alquiler?
3. Si bajo ciertas condiciones la distancia a la que se encuentra un objeto
por encima del suelo está dada por donde está dada en
segundos y en metros, entonces en que instante en segundos se
encuentra el objeto a 30metros del suelo?
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si , donde es la pendiente de la
recta y es pendiente de .
Dos rectas son paralelas si , donde es la pendiente de la recta y
es pendiente de . (es decir si ambas rectas tienen igual pendiente)
Ejercicios:
1. Determine una recta que sea paralela y otra que sea perpendicular a la
recta .
2. Determine una recta que sea paralela y otra que sea perpendicular a la
recta
.
3. Determine la ecuación de la recta que es paralela a y
pasa por el punto (1,-2).
4. Determine la ecuación de la recta que es paralela a y pasa
por el punto
5. Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a
y pasa por el punto .
6. Halle la ecuación de la recta que contenga el punto y que sea
perpendicular a la recta que pasa por los puntos y .
Bibliografía:
Rodríguez, E (2010). Material didáctico para décimo. Liceo de Escazú.
Anexo 9
Ficha 5
La función cuadrática
Se llama función cuadrática a una función polinómica real de variable real que
tiene grado . Se representa por con números reales y . Su gráfica es una parábola cuyo eje es paralelo al eje de las ordenadas. Ejemplos:
Concavidad. Una manera sencilla de referirnos a la concavidad es hacia donde “abre” la parábola.
Hacia arriba si
Hacia abajo si
Ejercicios: Determine la concavidad de las siguientes funciones cuadráticas
1. ______________________________
2. ______________________________
3.
______________________________
4.
__________________________
Discriminante: Se llama discriminante a la expresión .
Si la parábola interseca al eje en un solo punto.
Si la parábola toca al eje “x” en dos puntos.
Si la parábola no toca al eje “x”.
Ejercicios: Determine el discriminante de las siguientes funciones cuadráticas.
Además indique cuantas veces toca la parábola el eje “x”.
1.
2.
3.
Intersección con el eje y: La intersección de la parábola con el eje y está dada
por el par ordenado .
Ejercicios: Las gráficas de las siguientes funciones intersecan el eje “y” en el
punto
1. +3x _______________
2. _______________
3.
_______________
Eje de simetría: El eje de simetría es la recta dada por
.
Ejercicios: determine el eje de simetría para las siguientes funciones cuadráticas.
1. +x ____________________
2. _______________
3.
_______________
Intervalos de crecimiento, decrecimiento y ámbito de la función cuadrática:
Ámbito
Crecimiento
Decrecimiento
Si
[
[
]
[
]
[
Si
]
]
]
[
]
[
Ejercicios:
1. Determine el intervalo de crecimiento, decrecimiento y ámbito del
la función cuadrática siguiente:
2. Determine el intervalo de crecimiento, decrecimiento y ámbito de
las siguientes funciones cuadráticas.
1)
2)
3)
4)
Vértice: El vértice es el punto dado por (
)
Si entonces v es un mínimo
Si entonces es un máximo.
Ejercicios:
Determine el vértice de las siguientes funciones cuadráticas
1)
2)
3)
4)
Bibliografía:
Porras, V.: Gamboa, G (2008). Matemática 11°. Recopilación de ejercicios. 6 Ed.-
San José, CR.
Rodríguez, E (2010). Material didáctico para décimo. Liceo de Escazú.
Anexo 10
Ficha 6
Problemas que involucran relaciones que se modelan mediante la función
cuadrática.
1. El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de
gasolina, a una velocidad en , está dada por
. Indique
la velocidad más económica para un viaje.
2. Al lanzar un objeto con velocidad inicial , su altura s sobre el
suelo después de segundos está dada por la función .
Entonces el tiempo en segundos en el cual el objeto alcanza la altura
máxima es aproximadamente.
3. El ozono se presenta en todos los niveles de la atmósfera terrestre y su
densidad varía según la estaciones del año y la latitud. En Edmonton,
Canada, la densidad del ozono para altitudes h entre
y se determino a nivel experimental. Para
(0toño), calcule la altitud a la que la densidad del ozono es
máxima.
Función inversa
Si una función es biyectiva entonces tiene una función inversa. El procedimiento
para determinar la función inversa de una función dada , es plantear la ecuación
y despejar en ella a en términos de y.
A. Función inversa de la función lineal:
Ejemplos:
Determinar la función inversa de las siguientes funciones lineales.
1)
2)
3)
4)
B. Función inversa de la función √ = y, donde
.
Ejemplos:
Determine la función inversa de las siguientes funciones:
1) √
2) √
3) √
4) √
C. Función inversa de las función cuadrática de la forma
donde .
1.
2.
3.
4.
Ejercicios:
A. Calcule la función inversa de las siguientes funciones
1.
2.
3.
+
4. √
5. √
6. √
7.
8.
B. Resuelva los siguientes ejercicios
1. Determine para la función dada por
2. Si halle la preimagen de 4 en .
3. Determine la imagen de 5 en para la función
4. Si halle (3)
5. Halle la imagen de -1 en el criterio √
6. Si
y es la inversa de halle
Bibliografía:
Porras, V.: Gamboa, G (2008). Matemática 11°. Recopilación de ejercicios. 6 Ed.- San José, CR. Rodríguez, E (2010). Material didáctico para décimo. Liceo de Escazú.
Anexo 11
Ficha 7
Función exponencial
Es una función definida por la ecuación , y , donde es una
constante llamada base, y el exponente es la variable. Además, .
I caso: sí
Características:
No interseca al eje
Interseca al eje en .
Es estrictamente creciente.
Es asintótica al eje por la izquierda.
Dominio
Ámbito ] ].
Es biyectiva.
II caso: sí
Características:
No interseca al eje x.
Interseca al eje y en (0,1).
Es estrictamente decreciente.
Es asintótica eje por la derecha.
Dominio .
Ámbito ] ].
Es biyectiva.
Ejemplos 1: Si la gráfica corresponde a una función exponencial
entonces debe ser un número ____________________.
Ejemplo 2: Un par ordenado que pertenece al gráfico de la función (
)
es _____________. (0,1), (1,1/2), (1,1/4),…
Ejemplo 3: La gráfica de la función dada por (
)
interseca al eje y en
___________.
Ejemplo 4:
Para que la función sea una función creciente de debe tener que
_________.
Ejemplo 5: Una función exponencial decreciente corresponde a
(
)
(
)
Ejemplo 6: El dominio máximo de la función exponencial definida por (
)
es _________.
Ejemplo7:
El ámbito de la función (
)
con dominio es ] ].
Ejemplo 8:
El ámbito de la función (
)
con dominio ] ] es ] [.
Ejemplo 9:
Para la función dada por la imagen de
es ________________.
Ejercicios:
1. La imagen de
por la función dada por (
)
es
__________________.
2. La gráfica de la función dada por interseca al eje y en
_____________.
3. Un criterio de una función estrictamente creciente es ________________.
4. De las siguientes funciones cuales son exponenciales:
5
6.
Ecuación exponencial
Para resolver ecuaciones exponenciales, se factoriza las bases; si las bases son
iguales, entonces eliminamos las bases, iguala exponentes y resuelve la ecuación
resultante.
Ejemplo 1: Resuelva la ecuación
1. Factorizamos las bases
2. Igualamos los exponentes
Ejemplo 2: Resuelva la ecuación
1. Factorizamos las bases
2. Aplicamos leyes de potencia
3. Igualamos exponentes
4. Resolvemos
Ejemplo 3: La solución de
Ejemplo 4: La solución de
(
)
Ejemplo 4: La solución de √
Tarea:
1. La solución de
2. La solución de
3. La solución de
4. La solución de
5. La solución de (
)
6. La solución de (
)
corresponde a
7. La solución de (
)
(
)
corresponde a
8. La solución de (
)
(
)
corresponde a
9. La solución de (
)
(
)
corresponde a
10. La solución de
es
Bibliografía:
Porras, V.: Gamboa, G (2008). Matemática 11°. Recopilación de ejercicios. 6 Ed.- San José, CR.
Anexo 12
Ficha 8
La función logarítmica
Si ; tal que es una función exponencial entonces la función
inversa
tal que se conoce como la función logarítmica
Además se puede ver que se cumple que:
I caso: Base mayor que 1
Características:
1. No interseca al eje y
2. Interseca al eje x en (1,0)
3. Es estrictamente creciente
4. Es asintótica al eje y por abajo
5. Dominio
6. Ámbito
7. Es biyectiva
8. II caso: Base entre 0 y 1
Características:
1. No interseca al eje y
2. Interseca al eje x en (1,0)
3. Es estrictamente decreciente
4. Es asintótica al eje y por arriba
5. Dominio
6. Ámbito
7. Es biyectiva
__________________________________________________________________
Ejemplos 1:
De acuerdo a la gráfica siguiente de la función se puede afirmar que
debe cumplir
Ejemplos 2:
De acuerdo a la gráfica siguiente de la función se puede afirmar que
debe cumplir .
Ejemplos 3:
La gráfica de la función
interseca al eje en ____________.
La gráfica de la función interseca al eje en ____________.
Ejemplos 4:
Un par ordenado de la función dada por corresponde a:
Ejemplos 5:
Una función creciente corresponde a:
Ejemplo 6:
El ámbito de la función
es
Ejemplo 7:
La función dada por es positiva en el intervalo
Ejemplo 8:
Si el ámbito de la función dada por
es ] [ entonces el dominio
de es:
Ejemplo 9:
Para la función *
* con el ámbito es
__________________________________________________________________
_______
Definición: Sea un número real positivo diferente de . EL logaritmo de con
base se define como . Para todo y todo número
real .
Ejemplo: Determine el valor de si
1. Cambiando de base
2. Se saca raíz a ambos lados √
Ejemplo: Determine el valor de si
1. Cambiando a notación exponencial .
2. Resolvemos la potencia .
Ejemplo: Determine el valor de si
1. Cambiando a notación exponencial 27
2. Resolvemos la potencia
Ejercicios:
Determine el valor de x en las siguientes expresiones
1. = - 3
2.
= 5
3.
4.
5.
Ejemplos: Utilizando las propiedades de los logarítmos anteriores obtenga las
expresiones equivalentes de
1.
2.
3.
4.
Ecuaciones logarítmicas
Ejemplo 1: Resolver la ecuación .
Ejemplo 2: Resolver la ecuación
Ejemplo 3: Resolver la ecuación
Ejemplo 4: Resolver la ecuación
Ejemplo 5: Resolver la ecuación
Ejemplo 6: Resolver la ecuación
Ejemplo 7: Resolver la ecuación
Ejercicios:
Bibliografía:
Porras, V.: Gamboa, G (2008). Matemática 11°. Recopilación de ejercicios. 6 Ed.- San José, CR.
Anexo 13
Universidad de Costa Rica Tiempo Probable: 150 minutos Sede Rodrigo Facio Puntuación Total: 46 pts. Liceo de Escazú Porcentaje Total: 0 %. Departamento de Matemática Puntuación obtenida: _______. Profesor: Roiner Gerardo Segura Cubero. Calificación obtenida _______. Prueba diagnóstico final Porcentaje obtenido ________. Proyecto TCU: Mejoramiento del rendimiento académico en secundaría.
Nombre: _____________________________________ Sección: ________. Firma del padre o encargado__________________________ Fecha: ________. Instrucciones Generales:
La prueba consta de cuatro partes: Selección única, respuesta corta y desarrollo.
Lea detenidamente toda la prueba y cada instrucción que se le ofrece.
Resuelva en forma clara y ordenada cada ítem que en ella aparece, para ello utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra, en caso de que las respuestas aparezcan con lápiz o usa corrector no se aceptaran reclamos.
Se permite el uso de la calculadora. No se permite el uso de celular, hojas adicionales, ni préstamo de
materiales durante la ejecución de la prueba.
I Parte. Selección única Instrucciones: A continuación se le presentan 18 ítems de selección única, con cuatro opciones de respuesta de las cuales sólo una es correcta. Marque con un
punto ( ) dentro del paréntesis que antecede a la respuesta correcta. En caso de error marque con asterisco y selecciones de nuevo. (1 punto cada acierto)
1. Los valores de las constantes respectivamente en la ecuación
cuadrática
corresponden a
( )
y
( )
y
( ) y
( )
y 2
2. Al determinar el discriminante de la ecuación cuadrática
se puede afirmar
( ) y la ecuación tiene solo una raíz real
( ) y la ecuación tiene dos raíces reales
( ) y la ecuación no tiene raíces reales
( ) No se puede decir nada sobre las soluciones de la ecuación
3. El conjunto de solución de la ecuación cuadrática está dado
por
( ) , √
-
( )
( ) , √
-
( ) , √
-
4. El conjunto de solución de la ecuación cuadrática
está dado por
( ) {√ }
( )
( ) {√ √ }
( ) {√ √ }
5. Una solución de la ecuación √ está dada por
( )
( )
( )
( )
6. Un valor de k de la ecuación cuadrática de tal manera que
la ecuaciones solo tenga una solución real está dado por
( )
( )
( ) √
( ) √
7. Un factor de la expresión corresponde a
( )
( )
( )
( )
8. Al simplificar al máximo la expresión
se obtiene como
resultado
( )
( )
( )
( )
9. El criterio de la función lineal a cuyo gráfico pertenece los puntos y
es
( )
( )
( )
( )
10. Una ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por
está
dada por
( )
( )
( )
( )
11. La pendiente de cualquier recta paralela a la recta
corresponde a
( )
( )
( )
( )
12. El eje de simetría de la función corresponde a
( )
( )
( )
( )
13. El ámbito de la función dada por con
corresponde a
( ) +
+
( ) *
*
( ) +
+
( ) *
*
14. El vértice de la gráfica de la función dada por
( )
( )
( ) (
)
( ) (
)
15. La imagen de
por la función dada por (
)
( )
( )
( ) √
( ) √
16. Sea una función dada por , con . Entre las
características de están
( ) es creciente e interseca al eje y
( ) es creciente e interseca al eje x
( ) decreciente e interseca al eje y
( ) decreciente e interseca al eje x
17.
18. El conjunto de solución de es
( ) { }
( ) { }
( ) { }
( ) , -
19. El conjunto de solución corresponde a
( ) { }
( ) { }
( ) { }
( ) , -
20. La gráfica de la función dada por
interseca al eje
en
( )
( )
( ) (
)
( ) ( )
II Parte. Respuesta corta Instrucciones: Resuelva cada ejercicio que se le presenta a continuación. Su respuesta debe ser clara y legible de lo contrario NO se calificará. Deben aparecer los procedimientos que realice. Debe aparecer la respuesta en el espacio en blanco.
1) Escriba el conjunto de solución de la ecuación
2) Escriba la suma y el producto de las raíces de la ecuación . .
3) Escriba una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean
y
.
4) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 156. .
5) Determine la función inversa de la siguiente función
√
6) Determine el conjunto de solución del sistema (
7) Determine (3) Si
8) Determine la función inversa de la función
9) Determine la solución de
IV Parte. Desarrollo Instrucciones: Esta parte consta de tres preguntas. En la primera debe simplificar una expresión. En la segunda debe resolver una ecuación exponencial y en la tercera resolver una ecuación logarítmica .Trabaje en forma ordenada, además deben aparecer todos los procedimientos necesarios para llegar a la respuesta final.
1. Simplifique la siguiente expresión al máximo.
2. Resuelva la siguiente ecuación exponencial (
)
(
)
.
3. Resuelva la siguiente ecuación logarítmica.