Andreas Soba

33
BAB 7 DINAMIKA SISTEM PARTIKEL 7.1 Pendahuluan: Pusat Massa dan Momentum linear dari Sistem Sekarang kita perluas pembelajaran kita tentang mekanika sistem dari banyak partikel (dua atau lebih). Partikel ini mungkin atau mungkin tidak bergerak secara bebas satu sama lain. Sistem khusus, yang disebut rigid bodies, di mana posisi relatif dari semua partikel tetap diambil di depan dua bab. Untuk saat ini, kita kembangkan beberapa teorema umum yang berlaku untuk semua sistem. Kemudian kita terapkan beberapa sistem sederhana partikel bebas. Sistem umum kita terdiri dari partikel n massa m1, m2,. . . , Yang posisinya vektor masing-masing adalah, r1, r2,. . . , Kita definisikan pusat massa dari sistem sebagai titik yang posisinya vektor (Gambar 7.1.1) diberikan oleh Dimana adalah total dari massa. Definisi dari persamaan 7.1.1 setara untuk tiga persamaan. Kita definisikan momentum p linear dari sistem sebagai jumlah vektor linear momentum partikel individu, yaitu, 1

description

lol

Transcript of Andreas Soba

BAB 7DINAMIKA SISTEM PARTIKEL

7.1 Pendahuluan:Pusat Massa dan Momentum linear dari Sistem

Sekarang kita perluas pembelajaran kita tentang mekanika sistem dari banyak partikel (dua atau lebih). Partikel ini mungkin atau mungkin tidak bergerak secara bebas satu sama lain. Sistem khusus, yang disebut rigid bodies, di mana posisi relatif dari semua partikel tetap diambil di depan dua bab. Untuk saat ini, kita kembangkan beberapa teorema umum yang berlaku untuk semua sistem. Kemudian kita terapkan beberapa sistem sederhana partikel bebas. Sistem umum kita terdiri dari partikel n massa m1, m2,. . . , Yang posisinyavektor masing-masing adalah, r1, r2,. . . , Kita definisikan pusat massa dari sistem sebagaititik yang posisinya vektor (Gambar 7.1.1) diberikan oleh

Dimana adalah total dari massa. Definisi dari persamaan 7.1.1 setara untuk tiga

persamaan.

Kita definisikan momentum p linear dari sistem sebagai jumlah vektor linear momentum partikel individu, yaitu,

Pada perhitungan dari persamaa 7.1.1 dan dibandingkan dengan persamaan 7.1.3

berikut bahwa

1

yaitu, momentum linear dari sistem partikel adalah sama dengan kecepatan pusat massa dikalikan dengan total massa dari sistem. Misalkan bahwa sekarang ada dorongan keluar F1, F2,....Fi ...., Fn bekerja pada masing-masing partikel. Selain itu, mungkin ada dorongan kedalam yang berinteraksi antara setiap dua partikel dari sistem. Kita nyatakan dorongan kedalam sebagai Fij, dorongan kedalam dengan gaya yg diberikan pada partikel i oleh partikel j, dengan Fii = 0. Maka persamaan gerak partikel i menjadi,

dimana Fi berarti dorongan keluar keseluruhan yang bekerja pada partikel i. Istilah keduaPersamaan 7.1.5 merupakan penjumlahan vektor semua dorongan kedalam yang bekerja pada partikel i oleh semua partikel lain dari sistem. Menambahkan Persamaan 7.1.5 untuk partikel n, kita dapatkan

Dalam penjumlahan ganda dalam Persamaan 7.1.6, untuk setiap gaya ada juga

dorongan/tarikan dan dua dorongan/tarikan ini adalah sama dan berlawanan

dari hukum aksi dan reaksi, hukum ketiga Newton. Akibatnya, dorongan/tarikan kedalammembatalkan berpasangan, dan jumlah ganda lenyap. Kita bisa menulis Persamaan 7.1.7dengan cara sebagai berikut:

Pendahuluan: Pusat Massa dan Linear Momentum Sistem

Dalam kata: Percepatan pusat massa sistem partikel adalah samaseperti yang dilakukan oleh satu partikel memiliki massa sama dengan massa total sistem danbertindak dengan jumlah dari kekuatan eksternal.

2

Perhatikan, misalnya, segerombolan partikel yang bergerak dalam medan gravitasi seragam.

Kemudian, karena = m1g untuk setiap partikel,

Langkah terakhir mengikuti dari fakta bahwa g adalah konstan. Oleh karena itu,

Ini adalah sama dengan persamaan untuk sebuah partikel tunggal atau proyektil. Dengan demikian, pusatmassa pecahan peluru dari shell artileri yang telah meledak di udara mengikuti parabola yang samajalan yang shell akan mengambil itu belum meledak (sampai salah satu potonganpemogokan sesuatu).Dalam kasus khusus di mana tidak ada kekuatan eksternal yang bekerja pada sistem (atau jika

F = 0),

maka = 0 dan = konstan; dengan demikian, momentum linear dari sistem tetap

konstan:

Ini adalah prinsip kekekalan momentum linear. Dalam mekanika Newtonian yangkeajegan momentum linear dari suatu sistem yang terisolasi secara langsung berhubungan dengan, dan di kenyataan konsekuensi dari, hukum ketiga. Tetapi bahkan dalam kasus-kasus di mana kekuatan antara partikel tidak langsung mematuhi hukum aksi dan reaksi, seperti kekuatan magnetantara muatan bergerak, prinsip kekekalan momentum linear masih berlaku ketika perhitungan karena diambil dari total momentum linear dari partikel dan elektromagnetik bidang.1

7.2 Momentum sudut dan Kinetik Energi Sistem

Kami sebelumnya menyatakan bahwa momentum sudut dari partikel tunggal didefinisikan sebagai kali r x mv. Momentum sudut L dari sistem partikel didefinisikan sesuai, sebagai jumlah vektor dari sudut momentum individu, yaitu,

3

Mari kita jumlahkan waktu turunan dari momentum sudut. Menggunakan aturan untuk membedakan silang produk, kita temukan

Sekarang istilah pertama di sebelah kanan hilang, karena, dan, karena sama

dengan total gaya yang bekerja pada partikel i, kita dapat menulis

di mana, seperti di Bagian 7.1, menunjukkan kekuatan eksternal total terhadap partikel i,

dan Menandakan (internal) gaya yang diberikan pada partikel i oleh particlej lainnya.

Sekarang penjumlahan ganda di sebelah kanan terdiri dari pasangan segi bentuk

Menunjukkan perpindahan vektor particlej relatif terhadap partikel i oleh , kita lihat dari

segitiga yang ditunjukkan pada Gambar 7.2.1 yang

Oleh karena itu, karena ekspresi 7.2.4 mengurangi untuk

yang jelas hilang jika kekuatan internal pusat, yaitu, jika mereka bertindak di sepanjang garismenghubungkan pasang partikel. Oleh karena itu, jumlah ganda dalam Persamaan 7.2.3

4

hilang. sekarangProduk lintas r, X F1 adalah momen gaya F1 eksternal. Jumlah ZR1 x F, adalah, oleh karena itu,total saat semua kekuatan eksternal yang bekerja pada sistem. Jika kita menyatakanTotal torsi eksternal, atau saat kekuatan, oleh N, Persamaan 7.2.3 mengambil bentuk

Artinya, tingkat waktu perubahan momentum sudut sistem adalah sama dengan totalsaat semua kekuatan eksternal yang bekerja pada sistem.Jika sistem terisolasi, maka N = 0, dan momentum sudut tetap konstan dibaik besar dan arah:

Ini adalah pernyataan dari prinsip kekekalan momentum sudut. Ini adalah generalisasiuntuk partikel tunggal dalam bidang pusat. Seperti keteguhan momentum linear dibahas dalam bagian sebelumnya, momentum sudut dari suatu sistem yang terisolasi juga konstan dalam kasus sistem biaya yang bergerak ketika momentum sudut dari medan elektromagnetik adalah considered.2Kadang-kadang mudah untuk mengekspresikan momentum sudut dalam hal gerak dari pusat massa. Seperti ditunjukkan dalam Gambar 7.2.2, kita dapat mengekspresikan setiap vektor posisi bentuk.

5

Berikut adalah kecepatan pusat massa dan adalah kecepatan partikel i relatif

ke pusat massa. Ekspresi untuk L bisa, karena itu, ditulis

Sekarang, dari Persamaan 7.2.9, kita miliki

Demikian pula, kita mendapatkan

oleh diferensiasi terhadap t. (Kedua persamaan hanya menyatakan bahwa posisi dan kecepatan pusat massa, relatif terhadap pusat massa, keduanya nol.) Akibatnya, penjumlahan kedua dan ketiga dalam perluasan L lenyap, dan kita bisa menulis

6

mengekspresikan momentum sudut sistem dalam hal suatu "orbital" bagian (gerak pusat massa) dan "spin" bagian (motion tentang pusat massa).

Sistem Energi Kinetik

Total energi kinetik T dari sistem partikel diberikan oleh jumlah individuenergi, yaitu,

Seperti sebelumnya, kita dapat mengekspresikan kecepatan relatif terhadap pusat massa diberikan

Karena penjumlahan kedua hilang, kita dapat mengekspresikan energi kinetik sebagai berikut:

Istilah pertama adalah energi kinetik translasi dari seluruh sistem, dan yang kedua adalahenergi kinetik dari gerak relatif terhadap pusat massa. Pemisahan momentum sudut dan energi kinetik menjadi pusat-dari-massa bagian dan relatif-ke-pusat-dari-massa bagian menemukan aplikasi penting dalam atom dan molekular Fisika dan dalam astrofisika. Kami menemukan sebelumnya dua teorema yang berguna dalam penelitian rigid bodies (tubuh kaku) dalam bab-bab berikut.

7.3 Gerak Dua Benda yang Berinteraksi: Pengumpul Massa

Mari kita perhatikan gerak sebuah sistem yang terdiri dari dua benda, diperlakukan di sini sebagai partikel, yang berinteraksi satu sama lain dengan kekuatan pusat. Kita asumsikan sistem terisolasi, dan, sehingga, pusat massa bergerak dengan kecepatan konstan. Untuk mempermudah, kita mengambil pusat massa sebagai asal. Kita miliki maka

7

di mana, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.3.1, vektor r1 dan r2 mewakili posisi partikel m1 dan m2, masing-masing, relatif terhadap pusat massa. Sekarang, jika n adalah vektor posisi partikel 1 relatif terhadap partikel 2, maka

Langkah terakhir berikut dari Persamaan 7.3.1. Persamaan diferensial gerak partikel 1 relatif terhadap pusat massa adalah

di mana Jika (R) I adalah besarnya gaya timbal balik antara kedua partikel. Dengan menggunakan Persamaan 7.3.2, dapat kita tuliskan

Dimana,

Jumlah p disebut massa berkurang. Persamaan baru gerak (Persamaan 7.3.4)memberikan gerak partikel 1 relatif terhadap partikel 2, dan persamaan persis sama memberikan gerak partikel 2 relatif terhadap partikel 1. Persamaan ini justru sama denganPersamaan biasa gerak dari partikel tunggal p massa bergerak dalam bidang pusat kekuatandiberikan By f (R). Dengan demikian, fakta bahwa kedua partikel bergerak relatif terhadap pusat massa secara otomatis dicatat dengan mengganti m1 oleh berkurangnya p massa. Jika benda adalah massa yang sama m, maka μ = m / 2. Di sisi lain, jika m2 sangat jauh lebih besar dari m1, sehingga m1/m2 sangat kecil, maka μ hampir sama dengan m1.Selama dua tubuh menarik satu sama lain dengan gravitasi

8

Dalam hal ini persamaan gerak adalah

atau, sama,

7.4 Dibatasi Tiga-Benda Masalah 5

Dalam Bab 6, kita menganggap gerakan subjek partikel tunggal untuk kekuatan pusat. Itu gerak sebuah planet di medan gravitasi Matahari baik dijelaskan oleh teori tersebut karena massa Matahari begitu besar dibandingkan dengan sebuah planet yang bergerak sendiri dapat diabaikan. Pada bagian sebelumnya, kami santai kondisi ini dan menemukan bahwa kita masih bisa menerapkan teknik analisis Newton ke kasus yang lebih umum ini dan menemukan solusi analitik untuk gerakan mereka. Jika kita menambahkan hanya satu lagi, benda ketiga, bagaimanapun, masalah menjadi benar-benar keras. Masalah tiga benda secara umum, yaitu perhitungan gerak tiga benda massa yang berbeda, posisi awal, dan kecepatan, tergantung pada medan gravitasi gabungan dari yang lain, bingung beberapa pikiran terbesar dalam era pasca-Newtonian. Hal ini tidak mungkin untuk memecahkan masalah ini secara analitis karena kesulitan matematika dapat diatasi. Memang, masalah ini dijelaskan oleh sistem sembilan orde kedua persamaan diferensial: tiga benda yang bergerak dalam tiga dimensi. Bahkan setelah pengurangan matematika dilakukan dengan pilihan yang bijaksana sistem koordinat dan dengan menerapkan hukum kekekalan untuk menemukan invariants gerak, masalah terus menentang serangan dengan teknik analisis modern.Untungnya, adalah mungkin untuk memecahkan kasus sederhana dari masalah umum yang tetap menggambarkan berbagai fenomena. Kasus khusus ini disebut dibatasi masalah tiga-benda. Penyederhanaan yang terlibat baik secara fisik dan matematika: Kami berasumsi bahwa dua benda (disebut primaries6) adalah jauh lebih besar daripada benda ketiga (disebut tersier) dan bahwa mereka bergerak pada bidang-in orbit lingkaran tentang pusat massa . Tersier memiliki massa diabaikan dibandingkan dengan salah satu dari primary, bergerak dalam bidang orbit mereka, dan mengerahkan pengaruh gravitasi pada salah satu dari mereka. Tidak ada sistem fisik memenuhi persyaratan ini persis. Tersier selalu perturbs orbit pemilihan pendahuluan. Sempurna orbit lingkaran tidak pernah terjadi, meskipun sebagian besar orbit badan di tata surya datang sangat dekat-dengan pengecualian komet. Itu orbit tersier hampir tidak pernah coplanar dengan orang-orang dari primary, meskipun

9

penyimpangan dari coplanarity seringkali cukup kecil. Sistem gravitasi dengan dominan massa pusat menunjukkan kecenderungan yang luar biasa untuk coplanarity. Sekali lagi, mengabaikan komet, sisa anggota tata surya menunjukkan tingkat tinggi coplanarity, seperti halnya sistem individu dari planet Jovian besar dan kumpulan mereka bulan.

Pembatasan masalah tiga benda berfungsi sebagai model yang sangat baik untuk menghitung gerakan orbital tersier kecil di medan gravitasi dari dua lainnya. Hal ini cukupmudah untuk melihat dua solusi yang mungkin menggambarkan dua situasi yang ekstrim. Satu terjadi ketika orbit tersier lebih atau kurang pusat massa dari dua lainnya pada jarak jauh sehingga dua primary tampak kabur bersama sebagai sumber gravitasi tunggal. Sebuah kedua terjadi ketika tersier terikat begitu erat dengan salah satu primary yang mengorbit dalam mode Keplerian, tampaknya tak menyadari kehadiran primer kedua. Kedua kemungkinan ini direalisasikandialam

Persamaan Gerak untuk Dibatasi Tiga benda Masalah

Masalahnya dibatasi adalah dua dimensi, yaitu: Seluruh orbit terletak dalam satu, pesawat tetap di ruang angkasa. Orbit masing-masing dua primary adalah sebuah lingkaran dengan kecepatan yang sama co sudut sekitar pusat massa. Kami berasumsi bahwa pusat massa dari dua primary tetap tetap dalam ruang dan bahwa rasa rotasi gerak orbit dilihat dari atas adalah berlawanan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.4.1 Kami menunjuk M1 massa utama yang paling besar, M2 massa dari besar satu paling, dan m massa kecil dari tersier yang orbit kita ingin menghitung. Kami memilih sistem koordinat x'-y 'yang berputar dengan dua pemilihan pendahuluan dan yang asal pusat massa. Kami membiarkan kebohongan +x-sumbu sepanjang arah menuju M1 utama yang paling besar. Jari-jari orbit melingkar M1 dan M2 ditetapkan a dan b, masing-masing. Jarak ini tetap sepanjang x'-sumbu dalam koordinat berputar sistem.

10

Membiarkan koordinat tersier menjadi (x ', y'). jarak antara itu dan setiapdua primary adalah

Gaya gravitasi bersih diberikan pada m (lihat Persamaan 6.1.1) dengan demikian

dimana r1 'dan r2' adalah posisi vektor m sehubungan dari M1 dan M2. Gaya ini adalah satu-satunya yang nyata yang bekerja pada m, tapi karena kita memiliki efektif ditiadakan gerakan dua pemilihan pendahuluan dengan memilih untuk menghitung gerakan dalam kerangka acuan yang berputardengan mereka, kita harus menyertakan pengaruh kekuatan noninertial yang diperkenalkan sebagaiHasil pilihan ini. Persamaan umum gerak untuk sebuah partikel dalam bingkai acuan yang berputar diberikan oleh Persamaan 5.3.2. Karena asal sistem koordinat berputar tetap tetap

dalam ruang, , dan karena laju rotasi adalah konstan, untuk dan Persamaan

5.3.2 mengambil bentuk

Karena m yang umum bagi semua istilah dalam Persamaan 7.4.3, kita dapat menulis ulang dalam hal percepatan sebagai

Kita sekarang dalam posisi untuk menghitung dua percepatan non inersia kemudian Persamaan 7.4.4- Coriolis dan percepatan sentrifugal

11

Kita sekarang masukkan Persamaan 7.4. 1a dan b, 7.4.2, 7.4.5, dan 7.4.6 ke 7.4.4 untuk mendapatkan persamaan gerak massa m x 'dan y' koordinat

Potensi Efektif: The lima poin Lagrangian

Sebelum memecahkan Persamaan 7.4.7a dan b, kami ingin berspekulasi tentang kemungkinansolusi yang kami bisa mendapatkan. Untuk itu, kami mencatat bahwa pertama tiga istilah di setiapdari mereka persamaan dapat dinyatakan sebagai gradien dari potensial fungsi yang efektif, V (r ') dalam koordinat polar

atau V (x ', y') dalam koordinat Cartesian

Istilah terakhir dalam persamaan 7.4.7a dan b adalah-kecepatan tergantung dan tidak dapat dinyatakan sebagai gradien dari potensial yang efektif. Dengan demikian, kita harus menyertakan istilah Coriolis sebagai Istilah tambahan dalam persamaan yang berasal kekuatan dari potensi efektif. Untuk Misalnya, Persamaan 7.4.3 menjadi

Sebuah penyederhanaan dalam semua perhitungan lebih lanjut dapat dicapai dengan mengungkapkan massa, panjang, dan waktu dalam satuan yang mengubah V (x ', y') ke dalam bentuk invarian yang membuatnya berlaku untuk semua situasi tiga benda dibatasi terlepas dari nilai-nilai massa mereka. Pertama, kita skalakan semua jarak total pemisahan dua primary; yaitu, kita membiarkan a + b sama dengan satu satuan panjang. Hal ini analog dengan konvensi di mana

12

satuan astronomi, atau AU, jarak rata-rata antara Bumi dan Matahari, digunakan untuk mengekspresikan jarak ke planet-planet lain di tata surya. Berikutnya, kita menetapkan faktorG (M1 + M2), sama dengan satu "gravitasi" satuan massa. The "gravitasi" massa GMI darisetiap benda kemudian dapat dinyatakan sebagai kelipatan pecahan a, unit ini. Akhirnya, kami menetapkan periode orbit τ pemilihan pendahuluan 'sama dengan unit waktu 2π. Ini berarti bahwa sudut kecepatan dua pemilihan pendahuluan tentang pusat massa dan, oleh asosiasi, tingkatrotasi x'-y 'kerangka acuan, adalah ω = 1 terbalik satuan waktu. Penggunaan ini skala unit memungkinkan kita untuk mengkarakterisasi persamaan gerak oleh parameter tunggal, di mana0 < α <0,5. Selain itu, ia memiliki manfaat tambahan naik ekspresi kita tentang faktor menjengkelkan G. Dalam hal, jarak dari masing-masing primer dari pusat massa kemudian

Koordinat primer pertama adalah, dengan demikian, (α, 0) dan yang dari kedua primer adalah(1- α, 0). Selain itu, karena asal sistem koordinat pusat massa, dari Persamaan 7.3.1, kami memiliki

dan "gravitasi" massa masing-masing primer maka dapat dinyatakan juga dalam hal faktor α

M1 adalah massa primer yang lebih besar, dan M2 adalah massa yang lebih kecil, maka, 0 < α <0,5 dan 0,5 < 1 - α <1.

Contoh 7.4.1

13

Menggunakan unit dibahas sebelumnya, menggambarkan sifat umum untuk bintang biner

sistem pada Contoh 7.3.1. Massa Matahari adalah = 1.99 x kg. astronomi yang

unit 1 AU = 1,496 x m.

Solusi

Dalam hal ini unit baru, fungsi potensial efektif Persamaan 7.4.8b menjadi

Sebidang potensi V efektif (x ', y') ditunjukkan pada Gambar 7.4.2 untuk Bumi-Bulansistem utama, di mana parameter = 0,0121. Plot potensi efektifsistem biner lainnya, seperti bintang biner dimana parameter jarang kurang dari 20%atau, di ekstrim yang lain, sistem Sun-Jupiter mana = 0,000953875, secara kualitatif identik. Perlu meluangkan waktu untuk memeriksa plot ini erat karena pameran sejumlah fitur yang memberi kita beberapa wawasan ke dalam kemungkinan orbit tersier.

• V (x ', y') di lokasi dua pemilihan pendahuluan. Titik-titik ini singularitas. Ini

14

Masing-masing 4 dan 1

1 / (1 + 4) = 0,2.1-α = 0,8; α = 0,2.(0,2, 0), (-0,8, 0)

6.6x

1.58 x s

2.51 x s (0,796 tahun)

3.98 x

7.48 x m

Massa dari dua primary: MiParameter α:Massa yang skala dari dua primary αi:Koordinat (x’i, y’i) dari dua primary:Unit "gravitasi" massa G (M1 + M2):Periode orbit: τ = 5 tahun = 2π unit waktuUnit waktu: τ / 2πKecepatan angular: ω = 2π/τ (= 1 terbalik satuan waktu)Satuan panjang: a + b = 5 AU

merupakan konsekuensi dari fakta bahwa setiap primer telah diperlakukan seolah-olah itu adalah massa titik. Kita mungkin membayangkan bahwa, jika tersier yang telah tertanam di suatu tempat.

dalam salah satu potensi "lubang," mungkin mengorbit utama yang seolah-olah lainnya primer bahkan tidak ada. Sebagai contoh, mempertimbangkan sistem Sun-Jupiter: Setiap primer adalah sumber dari accouterment dari "satelit"; Jupiter memiliki bulan danMatahari memiliki empat bagian, planet terestrial nya. Primer tidak mengganggulampiran yang lain (setidaknya tidak terlalu banyak). Catatan, meskipun, bahwa sudutkecepatan semua ini "satelit" tentang primer masing-masing jauh lebih besar dari kecepatan sudut dari dua primary tentang pusat massa. Selain itu, tertiaries di orbit tersebut diseret oleh utama dalam orbitnya sendiri.

7.5 Tumbukan

Setiap kali dua tubuh mengalami tabrakan, kekuatan yang baik diberikan pada yang lain selama kontak merupakan kekuatan internal, jika tubuh dianggap sama sebagai sebuah sistem tunggal. Itumomentum linear total tidak berubah. Kita bisa, karena itu, menulis

atau, sama,

Berikut kuantitas Q diperkenalkan untuk menunjukkan rugi bersih atau laba dalam energi kinetik yang terjadi sebagai akibat dari tabrakan. Dalam kasus tumbukan elastis, tidak ada

15

perubahan terjadi dalam total energi kinetik, sehingga Q = 0. Jika kehilangan energi tidak terjadi, maka Q adalah positif. Ini disebut tabrakan exoergic. Ini mungkin terjadi bahwa keuntungan energi terjadi. Hal ini akan terjadi, misalnya, jika bahan peledak hadir pada salah satu mayat di titik kontak. Dalam hal ini Q adalah negatif, dan tumbukan disebut endergonik. Studi tentang tabrakan sangat penting terutama dalam atom, nuklir, dan fisika energi tinggi.

16

Di sini mayat yang terlibat mungkin atom, inti, atau berbagai partikel dasar, seperti elektron dan quark.

Tumbukan Langsung

Mari kita mempertimbangkan kasus khusus dari tabrakan dari dua badan, atau partikel, di mana gerakan berlangsung sepenuhnya pada satu garis lurus, sumbu x, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.5.1. Dalam hal ini persamaan keseimbangan momentum (Persamaan 7.5.1b) dapat ditulis

Arah sepanjang garis gerak diberikan oleh tanda-tanda x 's. Untuk menghitung nilai-nilai dari kecepatan setelah tumbukan, mengingat nilai-nilai sebelum tumbukan, kita dapat menggunakan persamaan momentum sebelumnya bersama-sama dengan energi persamaan keseimbangan (Persamaan 7.5.2b), jika kita tahu nilai Q. Hal ini sering nyaman di masalah seperti ini untuk memperkenalkan parameter lain ϵ disebut koefisien restitusi.

Kuantitas ini didefinisikan sebagai rasio kecepatan pemisahan v 'dengan kecepatan pendekatan v. Dalam notasi ϵ dapat kita tulis sebagai

Nilai numerik dari ϵ terutama tergantung pada komposisi dan fisik susunan dua benda. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa dalam tumbukan elastis nilai dari ϵ≈1. Untuk melakukannya, kami menetapkan Q = 0 pada Persamaan 7.5.2b dan menyelesaikannya bersama-sama dengan Persamaan 7.5.3 untuk kecepatan akhir. Langkah-langkah yang tersisa sebagai latihan. Dalam kasus tabrakan benar-benar inelastis, dua badan tetap bersatu setelah bertabrakan, sehingga ϵ = 0. Untuk sebagian besar tubuh nyata memiliki nilai di suatu tempat antara dua ekstrem 0 dan 1. Untuk bola bilyar gading itu adalah sekitar 0,95. Nilai koefisien restitusi mungkin juga tergantung pada kecepatan pendekatan. Hal ini terutama jelas dalam

kasus senyawa silikon yang dikenal sebagai Silly Putty. Sebuah bola bahan ini memantul ketika menyerang permukaan yang keras dengan kecepatan tinggi, tapi pada kecepatan rendah itu bertindak seperti dempul biasa. Kita dapat menghitung nilai-nilai dari kecepatan akhir dari Persamaan 7.5.3 bersama dengan definisi koefisien restitusi (Persamaan 7.5.4). Hasilnya adalah

Mengambil kasus benar-benar tidak elastis dengan menetapkan ϵ = 0, kita menemukan, sebagaimana seharusnya, bahwa x1 '= x2'; bahwa adalah, tidak ada rebound. Di sisi lain, dalam kasus khusus bahwa tubuh adalah massa sama m1 = m2 dan elastis sempurna ϵ = 1, kita peroleh

Kedua badan, oleh karena itu, hanya bertukar kecepatan mereka sebagai akibat dari tabrakan. Dalam kasus umum dari tabrakan tidak elastis langsung, mudah diverifikasi bahwa energi hilangnya Q berkaitan dengan koefisien restitusi dengan persamaan

Impuls dalam tumbukan

Pasukan durasi yang sangat singkat dalam waktu, seperti yang diberikan oleh badan-badan mengalami tabrakan, disebut pasukan impulsif. Jika kita membatasi perhatian kita pada satu tubuh, atau partikel, persamaan diferensial gerak adalah d (mv) / dt = F, atau dalam bentuk diferensial d (mv) = F dt. Mari kita meluangkan waktu yang tidak terpisahkan selama interval t = t1 sampai t = t2. Ini adalah waktu di mana gaya dianggap untuk bertindak. Maka kita harus

Waktu yang tidak terpisahkan dari gaya adalah impuls. Hal ini lazim dilambangkan dengan simbol P.Persamaan 7.5.8a adalah, sesuai, dinyatakan sebagai

Kita bisa memikirkan dorongan yang ideal seperti yang dihasilkan oleh kekuatan yang cenderung tak terbatas tetapi berlangsung untuk interval waktu yang mendekati nol

sedemikian rupa sehingga integral dt tetap terbatas.Impuls yang ideal tersebut akan

menghasilkan perubahan seketika dalam momentum dan kecepatan tubuh tanpa menghasilkan perpindahan apapun.

7.6 Oblik tumbukan dan Hamburan: Perbandingan Laboratorium dan Pusat Massa Koordinat

Kita sekarang beralih perhatian kita pada kasus yang lebih umum dari tumbukan di mana gerakan tersebut tidak terbatas pada satu garis lurus. Berikut bentuk vektorial dari persamaan momentumharus digunakan. Mari kita mempelajari kasus khusus dari partikel m1 massa dengan awal kecepatan (partikel insiden) yang menyerang partikel m2 massa yang awalnya diam (target partikel). Ini adalah masalah khas ditemukan dalam fisika nuklir. Momentum persamaan dalam hal ini adalah

Kondisi keseimbangan energi adalah

Atau

Di sini, seperti sebelumnya, bilangan prima menunjukkan kecepatan dan momen-momen setelah tumbukan, dan Q merupakan energi bersih yang hilang atau diperoleh sebagai akibat dari dampak. Kuantitas Q sangat penting mendasar dalam fisika atom dan nuklir, karena merupakan energi yang dilepaskan atau diserap dalam tumbukan atom dan nuklir. Dalam banyak kasus partikel target rusak atau diubah oleh tabrakan. Dalam kasus seperti partikel yang meninggalkan tabrakan berbeda dengan yang masuk. Hal ini mudah diperhitungkan dengan menetapkan massa yang berbeda, mengatakan m3 dan m4, partikel meninggalkan tumbukan. Dalam hal apapun, hukum kekekalan momentum linear selalu berlaku. Pertimbangkan kasus tertentu di mana massa insiden dan sasaran partikel adalah sama. Maka persamaan keseimbangan energi (Persamaan 7.6.2a) dapat ditulis

di mana m = m1 = m2. Sekarang jika kita mengambil dot product dari setiap sisi persamaan momentum (Persamaan 7.6.la) dengan dirinya sendiri, kita mendapatkan

Membandingkan Persamaan 7.6.3 dan 7.6.4, kita melihat bahwa

Untuk tumbukan elastis (Q = 0) kita miliki, oleh karena itu,

sehingga dua partikel muncul dari tabrakan di sudut kanan satu sama lain.

Pusat Massa Koordinat

Perhitungan teoritis dalam fisika nuklir sering dilakukan dalam hal jumlah dimaksuduntuk sistem koordinat di mana pusat massa partikel bertabrakan beristirahat. padasisi lain, pengamatan eksperimental pada hamburan partikel dilakukandalam hal koordinat laboratorium. Karena itu, kami pertimbangkan secara singkat masalah konversi dari satu sistem koordinat yang lain. Vektor kecepatan dalam sistem laboratorium

dan di pusat sistem massa diilustrasikan diagram pada Gambar 7.6.1. Dalam gambar

adalah sudut defleksi partikel datang setelah menyerang partikel sasaran, dan ɸ2 adalah sudut bahwa garis gerak partikel sasaran membuat dengan garis gerak partikel insiden. Kedua ɸ1 dan ɸ2 diukur dalam sistem laboratorium. Di tengah sistem massa, karena pusat massa harus berbaring di garis bergabung dengan dua partikel setiap saat, baik partikel mendekati pusat

massa, berbenturan, dan surut dari pusat massa dalam arah yang berlawanan. Sudut

menunjukkan defleksi sudut partikel insiden di pusat sistem massa seperti yang ditunjukkan.

Dari definisi pusat massa, momentum linear di pusat massa sistem adalah nol baik sebelum dan setelah tumbukan. Oleh karena itu, kita dapat menulis

Bar yang digunakan untuk menunjukkan bahwa jumlah tersebut disebut pusat sistem massa. Persamaan keseimbangan energi membaca

Kita dapat menghilangkan p2 dan p2 'dari Persamaan 7.6.8 dengan menggunakan hubungan momentum dalam Persamaan 7.6.7a dan b. Hasil, yang nyaman dinyatakan dalam halpenurunan massa, adalah

Hubungan momentum, Persamaan 7.6.7a dan b dinyatakan dalam bentuk kecepatan, membaca

Kecepatan dari pusat massa (lihat Persamaan 7.1.3 dan 7.1.4)

Oleh karena itu, kita harus

Hubungan antara vektor kecepatan , dan ditunjukkan pada Gambar 7.6.2.

Dari gambar, kita melihat bahwa

Oleh karena itu, dengan membagi, kita menemukan persamaan yang menghubungkan sudut hamburan menjadi dinyatakan dalam bentuk

di mana y adalah parameter numerik yang nilainya diberikan oleh

Langkah terakhir berikut dari Persamaan 7.6.11.Sekarang kita dapat dengan mudah menghitung nilai v1 'dalam hal energi awal partikel insiden dari persamaan energi (Persamaan 7.6.9). Ini memberi kita diperlukan informasi untuk menemukan y dan, dengan demikian, menentukan hubungan antara hamburan sudut. Misalnya dalam kasus elastis tabrakan Q = 0, kita menemukan dari energi persamaan yang p1 = p1 'atau v1 = v1'. Hasil ini, bersama-sama dengan Persamaan 7.6.12, menghasilkan nilai

7.7 Gerak benda dengan Variable Massa: Gerak Roket

Sejauh ini, kita telah membahas hanya situasi di mana massa benda yang dipertimbangkan tetap konstan selama gerakan. Dalam banyak situasi ini tidak benar. Air hujan yang jatuh meskipun atmosfer mengumpulkan tetesan kecil sebagai mereka jatuh, yang meningkatkan massa mereka. Rockets mendorong diri mereka sendiri dengan membakar bahan bakar eksplosif dan mendepak gas yang dihasilkan pada kecepatan knalpot tinggi. Dengan demikian, mereka kehilangan massa saat mereka mempercepat. Dalam setiap kasus, massa terus-menerus ditambahkan atau dikeluarkan dari tubuh yang bersangkutan, dan perubahan dalam massa mempengaruhi gerakannya. Di sini kita menurunkan persamaan diferensial umum yang menggambarkan gerak benda tersebut. Agar tak terlalu bingung dengan tanda-tanda, kita memperoleh persamaan dengan mempertimbangkan kasus di mana massa ditambahkan ke tubuh ketika bergerak. Persamaan gerak juga berlaku untuk roket, tetapi dalam kasus bahwa laju perubahan massa adalah kuantitas negatif. Periksa Gambar 7.7.1. Sebuah massa besar bergerak melalui beberapa media yang penuh dengan partikel kecil yang menempel massa karena menyerang mereka. Dengan demikian, tubuh yang lebih besar terus mengumpulkan hingga massa ketika bergerak melalui medium. Pada beberapa waktu t, massanya adalah m (t) dan yang

kecepatan adalah v (t). Partikel-partikel kecil, secara umum, tidak pada saat istirahat tetapi bergerak melalui media juga dengan kecepatan yang kita asumsikan sebagai u (t). Pada waktu t + Δt, bergerak besar objek telah bertabrakan dengan beberapa partikel yang lebih kecil dan akumulasi tambahansejumlah kecil Am massa. Dengan demikian, massa sekarang m (t + Δt) = m (t) + Δm dan kecepatannya telah berubah menjadi v (t + Δt). Dalam interval waktu kecil Di, perubahan (jika ada) dalam total linear momentum sistem adalah

Perubahan ini dapat dinyatakan dalam hal massa dan kecepatan sebelum dan sesudah tumbukan

Karena kecepatan Δm relatif tom adalah V = u - v, Persamaan 7.7.2 dapat dinyatakan sebagai

dan membaginya dengan Δt kita memperoleh

Dalam limit sebagai , kita memiliki

Gaya mewakili setiap kekuatan eksternal, seperti gravitasi, hambatan udara, dan

sebagainyayang bekerja pada sistem di samping kekuatan impulsif yang dihasilkan dari interaksi

antara massa m dan Am. Jika = 0, maka momentum total P dari sistem adalah

konstan gerak dan perubahan bersih adalah nol. Ini adalah kasus untuk roket di luar angkasa,

di luar pengaruh gravitasi dari setiap planet atau bintang, di mana pada dasarnya adalah

nol. Kita sekarang menerapkan persamaan ini gerak untuk dua kasus khusus di mana massa ditambah atau hilang dari tubuh bergerak. Pertama, misalkan, seperti yang kita telah dijelaskan, tubuh jatuh melalui kabut atau kabut sehingga mengumpulkan massa saat berjalan, tetapi menganggap bahwa tetesan kecil materi tersuspensi di atmosfer sehingga kecepatan awal mereka sebelum ekskresi adalah nol. Secara umum, ini akan menjadi pendekatan yang baik. Oleh karena itu, V = v, dan kita memperoleh

untuk persamaan gerak. Ini berlaku hanya jika kecepatan awal dari masalah ini yang sedangmenyapu kita adalah nol. Jika tidak, Persamaan yang lebih umum 7.7.5, harus digunakan.Untuk kasus kedua, pertimbangkan gerak roket. Tanda m negatif karena roket kehilangan massa dalam bentuk bahan bakar dikeluarkan. Istilah Vm dalam Persamaan 7.7.5 disebut dorong roket, dan arahnya berlawanan arah V, kecepatan relatif dari produk knalpot. Di sini, kita memecahkan persamaan gerak untuk kasus yang paling sederhana dari gerakan roket dimana gaya luar terhadap itu adalah nol; yaitu, roket tersebut tidak tunduk pada gaya

gravitasi, hambatan udara, dan sebagainya. Dengan demikian, pada persamaan 7.7.5, =

0, dan kami memiliki

Kita sekarang dapat memisahkan variabel dan mengintegrasikan untuk menemukan v sebagai berikut:

Jika kita mengasumsikan bahwa V adalah konstan, maka kita dapat mengintegrasikan antara batas untuk menemukan kecepatan sebagai fungsi m:

Berikut m0 adalah massa awal roket ditambah bahan bakar tidak terbakar, m adalah massa setiap saat, dan V adalah kecepatan bahan bakar relatif dikeluarkan untuk roket. Karena sifat dari fungsi logaritma, roket harus memiliki rasio besar bahan bakar-to-payload untuk mencapai besar kecepatan yang diperlukan untuk meluncurkan satelit ke ruang angkasa.

Soal

1. Suatu sistem terdiri dari tiga partikel, masing-masing satuan massa, dengan posisi dan kecepatan sebagai berikut: r1 = i + j v1 = 2i r2 = j + k v2 = j r3 = k v3 = i + j + kCari posisi dan kecepatan pusat massa. Cari juga momentum linear sistem.

2. (a) Tentukan energi kinetik dari sistem pada Soal 7.1.

(b) Tentukan nilai (c) Tentukan momentum sudut tentang asal.

3. Sebuah peluru dengan massa m ditembakkan dari pistol massa M. Jika pistol dapat mundur secara bebas dan moncong kecepatan peluru (kecepatan relatif terhadap pistol saat meninggalkan laras) adalah v0, menunjukkan bahwa kecepatan sebenarnya dari peluru relatif

terhadap tanah adalah dan kecepatan mundur untuk pistol adalah

4. Sebuah balok kayu bersandar pada meja horizontal halus. Sebuah senjata ditembakkan secara horizontal di blokdan peluru melewati blok, muncul dengan kecepatan setengah awal sebelum itu memasuki blok. Menunjukkan fraksi energi kinetik awal peluru yang hilang

sebagai panas gesekan adalah dimana y adalah rasio massa peluru ke massa blok

5. Sebuah shell artileri ditembakkan pada sudut elevasi 600 dengan v0 kecepatan awal. Pada upermost yang bagian dari lintasan, shell semburan menjadi dua fragmen yang sama, salah satunya bergerak langsung ke atas, relatif terhadap tanah, dengan kecepatan awal v0 / 2. Apa arah dan kecepatan fragmen lain segera setelah ledakan?

6. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian h ke trotoar horisontal. Jika koefisien restitusiadalah E, menunjukkan bahwa total jarak vertikal bola pergi sebelum gencatan rebound

adalah Cari juga total panjang kapur bahwa bola memantul.7. Sebuah mobil kecil dari massa m dan kecepatan awal ½ v0 bertabrakan kepala-on di jalan

licin dengan truk 4m massa akan menuju mobil dengan ¼ V0 kecepatan awal. Jika koefisien restitusi dalam tabrakan adalah menemukan kecepatan dan arah setiap kendaraan setelah bertabrakan.

8. Tunjukkan bahwa energi kinetik sistem dua partikel di mana m = m1 + m2,v adalah kecepatan relatif, dan p adalah massa berkurang.

9. Jika dua tubuh mengalami tabrakan langsung, menunjukkan bahwa hilangnya energi kinetik

sama dengan di mana π adalah massa berkurang, v adalah kecepatan relatif sebelum dampak, dan koefisien restitusi.

10. Sebuah partikel bergerak dari m1 massa bertabrakan elastis dengan partikel target m2 massa, yang awalnya saat istirahat. Jika tabrakan adalah kepala-on, menunjukkan bahwa partikel insiden kehilangan pecahan 4p / m energi kinetik aslinya, di mana p adalah mengurangi massa dan m = m1 + m2.