Dragoslav Stojić, Radovan Cvetković

11

UDK: 624.072.2:624.011.1(045)

ANALIZA ZAKRIVLJENIH NOSAČA OD LEPLJENOG LAMELIRANOG DRVETA

OPTEREĆENIH NA SAVIJANJE

Dragoslav Stojić1 Radovan Cvetković2

Rezime:

U savremenim drvenim konstrukcijama veliki broj nosača, različitog oblika i različitih geometrijskih karakteristika opterećen je na pravo savijanje. Tako opterećeni nosači se najčešće dimenzionišu iz uslova iskorišćenja dopuštene vrednosti napona savijanja, a zatim kontroliše napon smicanja, veličina ugiba i ako je nosač zakrivljen, delimično ili potpuno, vrednost radijalnog napona zatezanja ili pritiska. Dosadašnja inženjerska praksa je pokazala da je iskorišćenost dopuštenog napona smicanja, dopuštene vrednosti ugiba i dopuštene vrednosti radijalnog napona veoma niska, sa ekonomskog aspekta, neracionalna. Koristeći proceduru optimizacije, Ovaj rad razmatra optimalno ponašanje zakrivljene grede od lepljenog lameliranog drveta opterećene na savijanje uz zanemarenje uticaja normalne sile i faktora zakrivljenosti β > 10. Postupak optimizacije je zasnovan na jednovremenoj iskorišćenosti dopuštene vrednosti naponsko deformacijske analize. Pri tome je korišćen uslov iskorišćenja dopuštenih normalnih napona savijanja, smićućih napona i maksimalnog ugiba.

Ključne reči: drvene konstrukcije, normalni, smičući i radijalni naponi, dimenzionisanje, rarametarska analiza, optimizacija.

1 Dr, redovni profesor, dipl.inž.građ. Građevinsko-arhitektonski fakultet u Nišu 2 Mr, asistent, dipl.inž.građ. Građevinsko-arhitektonski fakultet u Nišu

ZBORNIK RADOVA GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKOG FAKULTETA No.22

12

1. UVOD

Optimalnim dimenzionisanjem nosača velikih raspona u konstrukcijskim sistemima od monolitnog (MD) i lepljenog lameliranog drveta (LLD), postiže se manji utrošak materijala po m2 osnove objekta, odnosno niža cena koštanja noseće konstrukcije. U nosećim konstrukcijama objekata različitih namena čest je slučaj upotrebe velikog broja grednih nosača istih dimenzija poprečnih preseka. Relativno veliko procentualno učešće utroška građe za ove nosače u odnosu na ukupan utrošak građe, ukazuje na potrebu optimizacije, odnosno minimizacije dimenzija poprečnog preseka nosača različitih oblika.

U ovom radu biće analiziran zakrivljeni nosač konstantnog momenta inercije, delimično zakrivljen u srednjem delu raspona i sa zanemarenjem uticaja normalne sile pritiska. Minimalne dimenzije poprečnog preseka b/h, nosača oblika kao na slici 1, raspona l, opterećenog poprečnim opterećenjem q i faktora zakrivljenosti β>10, biće određene iz uslova optimalnog iskorišćenja vrednoti dopuštenih normalnih, radijalnih i tangecijalnih napona kao i vrednosti dopuštenog ugiba.

Slika 1. Nosač od LLD 2. TEORIJSKE POSTAVKE PROBLEMA

Nosači u drvenim konstrukcijama su veoma često opterećeni na savijanje ili koso savijanje sa ili bez normalne sile. Za određivanje optimalnih dimenzija preseka u pogledu utroška materijala, analiziraće se slučaj zakrivljenog nosača statičkog sistema proste grede, pravougaonog poprečnog preseka, opterećenog na pravo savijanje.

U analizi nije uzet uticaj normalne sile. Pri proračunu zakrivljenih grednih nosača opterećenih na pravo savijanje, u opštem slučaju, postoje četiri kriterijuma za određivanje dimenzija poprečnog preseka:

Dragoslav Stojić, Radovan Cvetković

13

• iskorišćenje stvarnih normalnih napona savijanja, mdσ :

ym md md

y

MW

σ = σ ⇒ = σ ⇒ yy

md

MW =

σ [cm3] (2.1)

• iskorišćenje stvarnih napona smicanja, m||dτ :

odsz y

m|| m||d m||dy (z)

T SI b

τ = τ ⇒ = τ ⇒

⇒ y (z)T ods

y

I bA

S= ⇒ z

Tm||d

TA =τ

[cm2] (2.2)

• iskorišćenje radijalnih napona zatezanja , t d⊥σ :

t t d t dt d

3M 3MA2bHR 2R⊥ ⊥ ⊥

⊥

σ = σ ⇒ = σ ⇒ =⋅ σ

(2.3)

• iskorišćenje stvarnog maksimalnog ugiba - stvf :

y y ystv dop

l || y || y

M M M lf f dxE I E I m

= ⇒ = Ψ =∫ ⇒

⇒ yy

||

M mI

E l= Ψ [cm4] (2.4)

U izrazu (2.1) otporni moment raste sa kvadratom visine,

površina AT u izrazu (2.2) i (2.3) raste linearno, a krutost E||Iy, u izrazu (2.4) sa trećim stepenom visine.

Na osnovu izraza (2.1) i (2.4) zaključujemo da se sa povećanjem visine preseka na račun njegove širine dobijaju ekonomičniji preseci. Međutim, treba voditi računa da sa povećanjem visine na račun širine preseka opada bočna i torziona krutost nosača i da se time može narušiti bočno–torziona stabilnost nosača.

Ova četiri uslova u praksi skoro nikada nisu jednovremeno zadovoljena, ali je jedan od njih uvek merodavan za dimenzionisanje, odnosno ispunjenjem tog uslova uvek su zadovoljena i druga dva, tako da pri kontroli važe relacije:

ZBORNIK RADOVA GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKOG FAKULTETA No.22

14

m mdσ ≤ σ (2.5)

m|| m||dτ ≤ τ (2.6)

t t d⊥ ⊥σ ≤ σ (2.7)

stv dopf f≤ (2.8)

Međutim pri analizi, pa i u praktičnom proračunu moguće je postaviti uslov da su jednovremeno dva uslova zadovoljena, na primer:

m mdσ ≤ σ i m|| m||dτ ≤ τ , ili (2.9)

m mdσ ≤ σ i stv dopf f≤ , ili (2.10)

m mdσ ≤ σ i t t d⊥ ⊥σ ≤ σ , ili (2.11)

t t d⊥ ⊥σ ≤ σ i stv dopf f≤ , ili (2.12)

t t d⊥ ⊥σ ≤ σ i m|| m||dτ ≤ τ , ili (2.13)

stv dopf f≤ i m|| m||dτ ≤ τ (2.14)

Teorijski je moguće čak i da sva četiri uslova jednovremeno budu ispunjena, ali u praksi zbog ograničenja elastomehaničkih konstanti ovaj slučaj nije od praktičnog značaja. U ovom slučaju sprovedena je analiza za nosač statičkog sistema proste grede, raspona l, pravougaonog poprečnog preseka b/h, opterećenog jednakopodeljenim opterećenjem q (sl.2).

Slika 2. Statički sistem i opterećenje

OSA

SIMETRIJE

Dragoslav Stojić, Radovan Cvetković

15

Matematičkim transformacijama jednačina (2.1) - (2.4), dobijamo kriterijume za dimenzionisanje u parametarskom obliku:

mdm md 2

q 4b 3 l

h

σσ ≤ σ ⇒ = ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.15)

m|| m||d m dq 4 hb 3 l

⎛ ⎞τ ≤ τ ⇒ = τ ⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.16)

2

t t d t dq 16 hb 3 l⊥ ⊥ ⊥

⎛ ⎞σ ≤ σ ⇒ = σ ⋅β ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.17)

3

stv dopq E hf f 6,40b m l

⎛ ⎞≤ ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.18)

3. PARAMETARSKA STUDIJA ZA ZAKRIVLJENE

NOSAČE OD LEPLJENOG LAMELIRANOG DRVETA

Za napred definisani nosač, prema izvedenim izrazima (2.15)-(2.18), u zavisnosti od argumenta l / h dat je grafik funkcije q / b (slika 3), za lepljeno lamelirano drvo, četinara I klase. Nosač je delimično zakrivljen. U analizi čiji su rezultati dati na slici 3, radijus zakrivljenosti ima vrednost β=10 i β=12.

Osnovni dopušteni naponi, za LLD, četinari I klase, iznose: • dopušteni normalni napon savijanja:

2 2md 1400 N cm 14000kN mσ = = ,

• dopušteni napon smicanja: 2 2

m||d 120 N cm 1200kN mτ = = , • radijalni napon zatezanja: 2 2

t d 25N cm 250kN m⊥σ = = , • modul elastičnosti || vlaknima 2 2

||E 1100 N cm 11000000kN m= = , • dopušteni ugib:

dopl lf

m 300= = .

ZBORNIK RADOVA GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKOG FAKULTETA No.22

16

Slika 3. Parametarska studija zakrivljenog nosača od LLD

4. ZAKLJUČAK

Iz dijagrama odnosa q / b i l / h možemo zaključiti sledeće:

• l / h 8,35≤ - nosač male dužine, za dimenzionisanje

merodavan napon smicanja τ; • 8,35 l / h 17,61< < - nosač srednje dužine, za

dimenzionisanje merodavan radijalni napon zatezanja t d⊥σ ,

• l / h 17,61≥ - nosač velike dužine, za dimenzionisanje merodavan ugib -f .

σtf

σm=

τ

(β=10)

σt

(β=12)

σt (β=14)

Dragoslav Stojić, Radovan Cvetković

17

Sa povećanjem faktora zakrivljenosti (smanjenjem krivine nosača), značaj radijalnih zatežućih napona za dimenzionisanje ovakvih tipova nosača se smanjuje, tako da se za vrednost faktora zakrivljenosti β = 14, kriva radijalnih napona gotovo u potpunosti poklapa sa krivom normalnih napona izazavnih savijanjem.

U ovom slučaju, kriterijumi za dimenzionisanje su drugačiji ii glase:

• l / h 11,66≤ , za dimenzionisanje merodavan napon smicanja τ; • 11,66 l / h 12,60< < , za dimenzionisanje merodavan normalni napon savijanja mdσ , • l / h 12,60≥ , za dimenzionisanje merodavan ugib f .

5. LITERATURA

[1] Gojković M., Stojić D.: Drvene konstrukcije, Grosknjiga, Beograd, 1996.

[2] Gojković M., Stevanović B., Komnenović M., Kuzmanović S., Stojić D.: Drvene konstrukcije, Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 2001.

[3] Stojić D., Živković S.: Facta Universitatis, Vol. 3, No 2, Optimal design of timber beam, Univerzitet u Nišu, Niš, 2005.

[4] Stojić D.: Drvene konstrukcije i skele, knjiga I, Univerzitet u Nišu, Niš, 1996.