Analytická geometriestudent21.gjwprostejov.cz/uploads/VG10 Analyticka...počátek kartézské...

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově

Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia

Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve

vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2009

2 Analytická geometrie

Úvod

Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny

střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina:

Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Analytická geometrie 3

Obsah

Analytická geometrie ................................................................................................................. 8

Souřadnice .............................................................................................................................. 8

Souřadnice ........................................................................................................................ 12

Varianta A ........................................................................................................................ 12

Souřadnice ........................................................................................................................ 13

Varianta B ........................................................................................................................ 13

Souřadnice ........................................................................................................................ 15

Varianta C ........................................................................................................................ 15

Vektory ................................................................................................................................. 16

Vektory ............................................................................................................................. 23

Varianta A ........................................................................................................................ 23

Vektory ............................................................................................................................. 24

Varianta B ........................................................................................................................ 24

Vektory ............................................................................................................................. 26

Varianta C ........................................................................................................................ 26

Přímka .................................................................................................................................. 28

Přímka .............................................................................................................................. 31

Přímka .............................................................................................................................. 32

Varianta A ........................................................................................................................ 32

Přímka .............................................................................................................................. 33

Varianta B ........................................................................................................................ 33

Přímka .............................................................................................................................. 34

Varianta C ........................................................................................................................ 34

Polohové úlohy v rovině ...................................................................................................... 35

Polohové úlohy v rovině .................................................................................................. 36

Varianta A ........................................................................................................................ 36



Varianta B ........................................................................................................................ 37


Varianta C ........................................................................................................................ 38

Metrické úlohy v rovině ....................................................................................................... 40

Metrické úlohy v rovině ................................................................................................... 42

Varianta A ........................................................................................................................ 42


Varianta B ........................................................................................................................ 43


Varianta C ........................................................................................................................ 44

Přímka, rovina ...................................................................................................................... 45

Přímka a rovina ................................................................................................................ 47

Varianta A ........................................................................................................................ 47

Přímka a rovina ................................................................................................................ 49

Varianta B ........................................................................................................................ 49

Přímka a rovina ................................................................................................................ 51

Varianta C ........................................................................................................................ 51

Polohové úlohy v prostoru ................................................................................................... 52

Polohové úlohy v prostoru ............................................................................................... 53

Varianta A ........................................................................................................................ 53


Varianta B ........................................................................................................................ 55


Varianta C ........................................................................................................................ 57

Metrické úlohy ..................................................................................................................... 59

Metrické úlohy ................................................................................................................. 61


Varianta A ........................................................................................................................ 61

Metrické úlohy ................................................................................................................. 63

Varianta B ........................................................................................................................ 63

Metrické úlohy ................................................................................................................. 65

Varianta C ........................................................................................................................ 65

Kuželosečky a kulová plocha ................................................................................................... 67

Kružnice ............................................................................................................................... 67

Kružnice ........................................................................................................................... 69

Varianta A ........................................................................................................................ 69

Kružnice ........................................................................................................................... 71

Varianta B ........................................................................................................................ 71

Kružnice ........................................................................................................................... 73

Varianta C ........................................................................................................................ 73

Tečna kružnice ..................................................................................................................... 75

Tečna kružnice ................................................................................................................. 76

Varianta A ........................................................................................................................ 76

Tečna kružnice ................................................................................................................. 78

Varianta B ........................................................................................................................ 78

Tečna kružnice ................................................................................................................. 80

Varianta C ........................................................................................................................ 80

Parabola ................................................................................................................................ 82

Parabola ............................................................................................................................ 87

Varianta A ........................................................................................................................ 87

Parabola ............................................................................................................................ 89

Varianta B ........................................................................................................................ 89

Parabola ............................................................................................................................ 90

Varianta C ........................................................................................................................ 90


Tečna paraboly ..................................................................................................................... 92

Tečna paraboly ................................................................................................................. 93

Varianta A ........................................................................................................................ 93

Tečna paraboly ................................................................................................................. 94

Varianta B ........................................................................................................................ 94

Tečna paraboly ................................................................................................................. 96

Varianta C ........................................................................................................................ 96

Elipsa .................................................................................................................................... 98

Elipsa .............................................................................................................................. 101

Varianta A ...................................................................................................................... 101

Elipsa .............................................................................................................................. 102

Varianta B ...................................................................................................................... 102

Elipsa .............................................................................................................................. 104

Varianta C ...................................................................................................................... 104

Hyperbola ........................................................................................................................... 106

Hyperbola ....................................................................................................................... 111

Varianta A ...................................................................................................................... 111

Hyperbola ....................................................................................................................... 113

Varianta B ...................................................................................................................... 113

Hyperbola ....................................................................................................................... 114

Varianta C ...................................................................................................................... 114

Elipsa, hyperbola, přímka, tečny ........................................................................................ 116

Elipsa, hyperbola, přímka, tečny .................................................................................... 118

Varianta A ...................................................................................................................... 118


Varianta B ...................................................................................................................... 120



Varianta C ...................................................................................................................... 122

Kulová plocha .................................................................................................................... 124

Kulová plocha ................................................................................................................ 127

Varianta A ...................................................................................................................... 127

Kulová plocha ................................................................................................................ 129

Varianta B ...................................................................................................................... 129

Kulová plocha ................................................................................................................ 131

Varianta C ...................................................................................................................... 131


Analytická geometrie

Souřadnice

Soustava souřadnic na přímce

Na libovolné přímce p zvolíme bod O a bod I tak, aby |OI|=1. Pak každému bodu X této

přímky přiřadíme reálné číslo x = |OX|, pokud bod X leží na polopřímce OI, nebo číslo

| |, pokud bod X leží na polopřímce opačné. Tuto přímku nazýváme ČÍSELNOU

OSOU, bod se nazývá počátek soustavy souřadnic na přímce p.

Soustava souřadnic v rovině

Dvojice číselných os x, y v rovině, pro které platí

– obě osy jsou navzájem kolmé

– jejich průsečíku odpovídá na obou osách číslo 0,

se nazývá KARTÉZSKÁ SOUSTAVA souřadnic v rovině a označuje se Oxy. Bod O je

počátek kartézské soustavy souřadnic, přímky x, y se nazývají souřadnicové osy.

[ ] dvojice je uspořádaná souřadnice nelze zaměnit!


Soustava souřadnic v prostoru

Trojice číselných os x, y, z v prostoru takových, že

– každé dvě osy jsou navzájem kolmé

– všechny procházejí jedním bodem

– na všech osách je bodu O přiřazeno číslo 0,

se nazývá kartézská soustava souřadnic Oxyz. Bod nazýváme počátek, přímky x; y; z se

nazývají souřadnicové osy. Roviny určené dvojicemi souřadnicových os se nazývají

souřadnicové roviny.

Pravotočivá soustava souřadnic:


Levotočivá soustava souřadnic:

Vzdálenost bodů v rovině

[ ] [ ]

Podle Pythagorovy věty: | | ( ) ( )

⇒ | | √( ) ( )

Vzdálenost bodů v prostoru

[ ] [ ]

⇒ | | √( ) ( ) ( )


Střed úsečky

dělí úsečku na 2 stejné části

v rovině: [

]

v prostoru:

[

]


Souřadnice

Varianta A

Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB: [ ] [ ]

Příklad:

Řešení:

[

]

[

]

[ ]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1.) Vypočítejte vzdálenost bodů C; D: [ ] [ ]

Řešení: | | √

2.) Vypočítejte vzdálenost bodů A, B: [ ] [ ]

Řešení: | |

3.) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC a rozhodněte, zda je pravoúhlý.

[ ] [ ] [ ]

Řešení: | | | | √ | | √ ⇒ trojúhelník není pravoúhlý

(neplatí Pythagorova věta).

4.) Určete, který z bodů A; B; C má nejmenší vzdálenost od bodu K.

[ ] [ ] [ ] [ ]

Řešení: Bod A.

Výsledek řešení: [ ]


Souřadnice

Varianta B

Sestrojte pravidelný šestiúhelník KLMNOP tak, aby střed kružnice byl v počátku O kartézské

soustavy souřadnic, aby první vrchol byl bod K[4;0] a aby pro bod L [l1; l2]

platilo l2>O. Určete souřadnice všech vrcholů šestiúhelníku.

Řešení:

| | | | | |

| | √| | | |

| | √ √ √

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení:

[ √ ] [ √ ] [ ] [ √ ] [ √ ]



1.)Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte krychli ABCDEFGH;

[ ] [ ] [ ] . Zapište souřadnice ostatních vrcholů krychle.

Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

2.) Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte kvádr ABCDEFGH;

[ ] [ ] [ ] , jeho výška je 6. Určete souřadnice zbývajících vrcholů.

Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

3.) Určete obraz bodu K ve středové souměrnosti se středem S; [ ] [ ]

Řešení: [ ]

4.) Vypočítejte délku těžnice tc trojúhelníku ABC. [ ] [ ] [ ]

Řešení: | | √ √


Souřadnice

Varianta C

Určete číslo r tak, aby vzdálenost bodů

[ ] [ ] byla √ .

Příklad:

√( ) ( ) ( ) √

⇒

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Na ose y určete bod Y tak, aby jeho vzdálenost od bodu [ ] byla √ .

Řešení: [ ] [ ]

2.) Na ose x najděte bod X tak, aby měl od bodu A dvakrát větší vzdálenost než od bodu B.

[ ] [ ] .

Řešení: [ ] [

]

3.) V kartézské soustavě souřadnic Oxyz zakreslete pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož

výška je 6 a zapište souřadnice bodu V. [ ] [ ] [ ]

Řešení: [ ]

4.) Jsou dány body S1; S2. K libovolnému bodu A určete jeho obraz A1 ve středové

souměrnosti se středem S1. Pak najděte obraz bodu A1 ve středové souměrnosti se středem S2

a tento obraz označte A2. Určete vzdálenost bodů A; A2.

[ ] [ ] [ ]

Řešení: [ ] [ ] ⇒ | | √ √



Vektory

Orientovaná úsečka je úsečka AB, jejíž krajní body mají určené pořadí. Bod A je

počáteční bod, bod B je koncový bod orientované úsečky. Velikost orientované úsečky je

vzdálenost bodů A, B. Nulová orientovaná úsečka má počáteční bod totožný s koncovým

bodem. Její velikost je nula.

Nenulový vektor je množina všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejnou

velikost a stejný směr.

Dva vektory mají stejný směr, jestliže

a) polopřímky jsou rovnoběžné a obě leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou

AC.

b) přímky jsou totožné a průnikem polopřímek je opět polopřímka.

Nulový vektor je množina všech nulových orientovaných úseček, značíme ho .

Každou orientovanou úsečku , která představuje vektor , nazýváme umístěním vektoru

.


Souřadnice vektoru

Je-li vektor určen orientovanou úsečkou , pak .

[ ] [ ] ( ) ( )

Operace s vektory

Součet vektorů

; ;


Pro každé dva vektory v rovině nebo prostoru platí:

Pro každé tři vektory v rovině nebo prostoru platí:

( ) ( )

Sčítání vektorů ke komutativní a asociativní.

Je-li , pak vektor je opačný k a značíme ho .

( )

Rozdíl vektorů

( )

( )


Násobení vektoru číslem

Násobek nenulového vektoru reálným číslem je vektor , kde C je bod, pro který

platí:

a) | | | |

b) je-li , leží bod C na polopřímce AB

Je-li , leží bod C na polopřímce opačné k polopřímce AB

( )

Platí: pro každé dva vektory a každé R

( )

( ) ( ) asociativnost násobení vektoru číslem

( ) distributivnost násobení součtu vektorů číslem

( ) distributivnost násobení vektoru součtem čísel

Lineární kombinace vektorů

Lineární kombinací vektorů je vektor , kde . Lze

vytvořit lineární kombinaci libovolného počtu vektorů. Lineární kombinace jednoho vektoru

je jeho reálný násobek.

Vektory se nazývají lineárně závislé právě tehdy, když lze jeden z nich vyjádřit jako lineární

kombinaci ostatních. Nejsou-li vektory lineárně závislé, nazývají se lineárně nezávislé.

Skalární součin vektorů

Velikost vektoru je velikost kterékoliv orientované úsečky , která je jeho umístěním.

Platí:

| | | | | | . Jednotkový vektor má velikost 1, nulový vektor má velikost 0.

Pro každý vektor ( ) v rovině platí:| | √

.

Pro každý vektor ( ) v prostoru platí: | | √

.

Skalární součin dvou nenulových vektorů je reálné číslo, které je rovno součinu

velikostí těchto vektorů a kosinu velikosti úhlu φ, který tyto vektory svírají.


| | | |

Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ( ) ( ) v rovině:

Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ( ) ( )

v prostoru:

Vlastnosti skalárního součinu

komutativnost skalárního součinu vektorů

( ) ( ) asociativnost skalárního součinu vzhledem k násobení

číslem

( ) distributivnost skalárního součinu vzhledem ke sčítání

vektorů

| |

Velikost úhlu dvou vektorů lze určit použitím skalárního součinu:

| | | |

√

√

| | | |

√

√

Vektorový součin

Vektorový součin dvou vektorů , které neleží v jedné přímce, je vektor , pro který platí:

a) vektor je kolmý k oběma vektorům

b) vektor je orientován vůči vektorů pravotočivě, tedy podle pravidla pravé ruky

c) | | | | | | , kde je úhel vektorů .


Vektorový součin dvou vektorů, které leží v jedné přímce, je nulový vektor.

Vektorový součin ( )

Příklad: ( ) ( )

( ( ) ( ) ) ( ) ( )

Užití vektorového součinu:

1. při určení vektoru kolmého ke dvěma daným vektorům

2. při výpočtu obsahu rovnoběžníku ABCD, popř. trojúhelníku ABC

Obsah rovnoběžníku ABCD je | |

Obsah trojúhelníku ABC je

| |


Smíšený součin

Smíšený součin vektorů v tomto pořadí je číslo, které vypočteme ( ) .

Užití smíšeného součinu:

Pro objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH platí:

|( ) | , kde .

Objem trojbokého hranolu je roven polovině objemu rovnoběžnostěnu.

Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu rovnoběžnostěnu.

Objem čtyřstěnu je roven šestině objemu rovnoběžnostěnu.


Vektory

Varianta A

Jsou dány body [ ] [ ] [ ].

a) Rozhodněte, zda body A, B, C leží na přímce

b) Určete číslo tak, aby bod [ ] ležel na přímce AB.

Příklad:

a) Leží-li body A, B, C na jedné přímce, musí platit, že .

( ) ( ) ⇒ ⇒ body A; B; C leží v jedné přímce

b) Má-li bod D ležet na přímce AB, musí platit

( ) ( ) ⇒

⇒

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Vektor ( ) zapište jako lineární kombinaci vektorů ( ) ( ).

Řešení:

2.) Určete číslo tak, aby velikost vektoru ( ) byla 10.

Řešení:

3.) V trojúhelníku ABC označte vektory . Jako lineární kombinaci

vektorů zapište následující vektory:

a)

b) , kde je střed strany BC.

Řešení: a) ; b)

4.) Je dán vektor ( ). Určete tak, aby vektor ( ) byl kolmý

k vektoru .

Řešení:

Výsledek řešení: ) body A; B; C leží v jedné přímce

b)


Vektory

Varianta B

Je dán vektor (√ ). Určete souřadnice vektoru , který svírá s vektorem úhel

a jehož velikost je 4.

Příklad:

| | | |

√

√ √ ∧ √

√

⇒ √

Dosadíme do vztahu pro velikost vektoru

√ (√ ) |

2

√

√

( √ ) ⇒ √

( ) ( √ )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Je dán vektor ( ). Určete tak, aby pro vektor ( ) platilo | | .

Řešení:

2.)Určete vektor tak, aby platilo ∧ | | √ , kde ( ).

Řešení: ( ) ( )

3.) Jsou dány body [ ] [ ] Určete souřadnice bodů B, C, D tak, aby čtyřúhelník

ABCD byl čtverec. Bod S je střed čtverce.

Řešení: [ ] [ ] [ ]

Výsledek řešení: ( ) ( √ )


4.) Jsou dány body [ ] [ ]. Určete bod C tak, aby platilo:

a) bod C leží na ose x a | |

b) bod C leží na ose y a | |

Řešení: a) [ ] [ ]; b) [ ]


Vektory

Varianta C

Jsou dány body [ ] [ ] [ ].

a) Dokažte, že body A, B, C tvoří trojúhelník.

b) Určete reálná čísla tak, aby body [ ] [ ] ležely na přímce AB.

Příklad:

a) Body A, B, C tvoří trojúhelník, jestliže vektor není násobkem vektoru .

( ) ( ). Vektor není násobkem vektoru , proto body A, B, C

tvoří trojúhelník.

b) musí být násobek vektoru , ( ) ( )

⇒

musí být násobek vektoru , ( )

⇒

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Jsou dány vektory ( ) ( ). Určete hodnotu parametru tak, aby

platilo | | √ .

Řešení:

2.) Na ose určete bod V tak, aby objem čtyřstěnu ABCDV, kde

[ ] [ ] [ ] byl 14.

Řešení: [ ] [ ]


;


3.) Na ose y určete bod C tak, aby obsah trojúhelníku ABC byl 10. [ ] [ ].

Řešení: [ √ ] [ √ ]

4.) Je dán vektor ( ) Určete tak, aby pro vektor ( ) platilo | | .

Řešení:


Přímka

Přímka je dána dvěma různými body A, B.

Vektor se nazývá směrový vektor přímky AB.

Přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, lze ji totiž určit pomocí nekonečného počtu

dvojic bodů.

1.) Parametrická rovnice přímky

Parametrická rovnice přímky AB je rovnice

Proměnná se nazývá parametr. Každé hodnotě parametru odpovídá jeden bod přímky

AB.

Je-li z množiny všech nezáporných čísel, jde o vyjádření polopřímky AB, je-li

⟨ ⟩, jde o vyjádření úsečky AB, je-li z množiny všech nekladných čísel,

jde o polopřímku opačnou k polopřímce AB.

Mějme v rovině body [ ] [ ] a vektor ( ). Rovnici přímky

lze rozepsat do soustavy rovnic s parametrem :


2.) Obecná rovnice přímky

Obecná rovnice přímky má tvar , kde a alespoň jedna

z konstant je nenulová.

( ) je normálový vektor = je kolmý na směrový vektor přímky ⇒ skalární součin a je

nula.

⇒

( ) ( )

⇒ kde


3.) Směrnicový tvar rovnice přímky

Rovnice se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo je směrnice

přímky.

Směrnice přímky je rovna , kde je odchylka přímky od kladné poloosy .

Přímka rovnoběžná s osou nemá žádnou směrnici, směrnicový tvar neexistuje.

Přímka se směrovým vektorem ( ) má směrnici

.

Přímka kolmá na přímku má směrnici

.

Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li buď obě rovnoběžné s osou , nebo jsou

obě různoběžné s osou a mají stejnou směrnici.

4.) Úsekový tvar rovnice přímky

Získáme z obecné rovnice přímky tak, že ji vydělíme číslem .

∧ , kde [ ] [ ] jsou průsečíky s osami soustavy

souřadnic.


Přímka

Je dána přímka . Sestavte její parametrické rovnice, obecnou rovnici, zapište ji ve

směrnicovém a úsekovém tvaru, pokud existují.

a) Přímka je daná bodem [ ] a směrovým vektorem ( ).

b) Přímka je daná bodem [ ] a normálovým vektorem ( ).

Příklad:

Řešení:

a) parametrické rovnice:

obecná rovnice: normálový vektor ( ) ⇒ , pro výpočet

dosadíme za a souřadnice bodu A ⇒ ⇒ ⇒

směrnicový tvar:

, pro výpočet dosadíme do rovnice bod A ⇒

⇒

úsekový tvar: průsečík s osou : [ ]

s osou y: [

]

b) parametrické rovnice: ( ) ⇒

obecná rovnice: , po dosazení bodu B ⇒ ⇒ .

směrnicový tvar:

, po dosazení bodu B ⇒

⇒

úsekový tvar:


Přímka

Varianta A

Napište obecnou rovnici přímky , která prochází bodem [ ] a je rovnoběžná s přímkou

: .

Příklad:

Každá rovnoběžná přímka s přímkou má stejný normálový vektor jako přímka ⇒

( )

: , dosadíme bod K ⇒ ⇒ ⇒ .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


) Napište obecnou rovnici přímky která prochází bodem [ ] a je kolmá na

přímku : .

Řešení: :

2.) Body [ ] [ ] určují přímku . Napište obecnou rovnici přímky, která prochází

středem úsečky KL a je kolmá na přímku AB, [ ] [ ].

Řešení:

) Jsou dány dva body [ ] [ ]. Napište rovnici osy úsečky MN; polopřímky

MN; polopřímky NM.

Řešení: Osa: ; polopřímka MN: ⟨ )

Polopřímka : ⟨ ).

4.) Jsou dány body [ ] [ ]. Napište obecnou rovnici kolmice k úsečce AB

v bodě A.

Řešení:



Přímka

Varianta B

Body [ ] [ ] [ ] jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice

průsečíku os jeho stran.

Příklad:

[ ] ( ) ⇒ :

[ ] ( ) ⇒ :

[ ] ( ) ⇒ :

Z první osy plyne pro průsečík, že jeho y-ová souřadnice je 1,5; z druhé osy, že x-ová

souřadnice je 1,5 ⇒ [ ].

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky , která prochází bodem

[ ] a je kolmá k přímce : .

Řešení: : : .

2.) Určete souřadnici bodu [ ] tak, aby bod A ležel na přímce KL, kde

[ ] [ ].

Řešení: .

3.) Body [ ] [ ] [ ] jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Napište obecné rovnice

přímek, na nichž leží těžnice trojúhelníku JKLM a určete souřadnice těžiště.

Řešení: : : : [

]

4.) Je dána polopřímka {[ ] (

⟩}. Určete souřadnice počátečního

bodu A dané polopřímky. Určete tak, aby bod [ ] ležel na dané polopřímce.

Řešení: [

] .

Výsledek řešení: [ ]


Přímka

Varianta C

Určete hodnotu parametru tak, aby přímka procházela

počátkem soustavy souřadnic.

Příklad:

Má-li přímka procházet počátkem soustavy souřadnic, musí bod [ ] vyhovovat rovnici

přímky. Dosadíme proto do rovnice přímky za nulu a dostaneme: .

√( ) ( )

⇒

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Je dán trojúhelník EFG, [ ] [ ] [ ]. Určete v parametrickém tvaru

rovnici přímky, na které leží střední příčka rovnoběžná s FG.

Řešení: .

2.) Je dán trojúhelník KLM, [ ] [ ] [ ]. Vypočítejte souřadnice těžiště T.

Řešení: [

] .

3.) Osy a přímka AB, kde [ ] [ ], určují trojúhelník. Vypočítejte jeho obsah.

Řešení:

4.) Určete reálné číslo tak, aby bod K ležel na přímce MN, je-li:

[ ] [ ] [ ].

Řešení: .



Polohové úlohy v rovině

Vzájemnou polohu dvou přímek lze vyšetřit dvěma způsoby:

1.) řešíme soustavu složenou z obou rovnic, o vzájemné poloze rozhodne počet řešení

1 řešení různoběžné, 1 průsečík

0 řešení rovnoběžné různé

řešení totožné

2.) určíme směrové (normálové) vektory obou přímek

Přímky jsou rovnoběžné, jestliže: , kde { }; (

{ }).

Dvě přímky ( ) a ( ) jsou totožné, jsou-li rovnoběžné a leží-li bod Q na přímce .

Přímky jsou k sobě kolmé, jsou-li jejich směrové (normálové) vektory navzájem kolmé,

tj. platí-li ( ).



Varianta A

Vyšetřete vzájemnou polohu přímek KL a MN, znáte-li souřadnice bodů, kterými dané přímky

procházejí; [ ] [ ] [ ] [ ].

Příklad:

( ) ⇒ ( ) ⇒ :

( ) ⇒ ( ) ⇒ :

Přímky jsou různoběžné, protože

Průsečík má x-ovou souřadnici (plyne z rovnice přímky KL), y-ovou souřadnici

dopočítáme z rovnice přímky MN ⇒ [ ].

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek ;

{[ ]} {[ ]}.

Řešení: Rovnoběžné různé

2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek .

{[ ]} {[ ]}

Řešení: Různoběžné; [ ]


{[ ]} {[ ]} .

Řešení: totožné


: : .

Řešení: Různoběžné, [ ]

Výsledek řešení: Přímky jsou různoběžné; [ ]



Varianta B

Určete hodnotu parametru tak, aby přímka procházela

průsečíkem přímek : : .

Příklad:

|

po sečtení obou rovnic dostaneme: ⇒ ⇒ [ ].

Nyní bod X dosadíme do rovnice přímky s parametrem ⇒ ⇒

.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Vyšetřete vzájemnou polohu úseček.

{[ ⟨ ⟩]} {[ ⟨ ⟩]}.

Řešení:

2.) Průsečíkem přímek {[ ]} {[ ]} veďte kolmici

k přímce {[ ]}.

Řešení:

3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku KLM tak, aby jeho strany ležely na přímkách

: : : .

Řešení: [ ] [ ] [ ]

4.) Je dána úsečka KL, kde [ ] [ ]. Určete hodnotu parametru tak, aby

úsečka AB protínala úsečku KL v jejím středu. Souřadnice bodů A, B jsou

[ ] [ ].

Řešení:




Varianta C

Zjistěte, zda bod [ ] je vnitřním bodem trojúhelníku ABC,

[ ] [ ] [ ].

Příklad:

Má-li bod K ležet uvnitř trojúhelníku ABC, musí ležet ve stejné polorovině s hraniční přímkou

AB jako bod C, ve stejné polorovině s hraniční přímkou BC jako bod A a ve stejné polorovině

s hraniční přímkou AC jako bod B.

Přímka AB má rovnici , polorovina s bodem C má rovnici

.

Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, bod K proto leží ve

stejné polorovině jako bod C.

Přímka AC má rovnici , polorovina s bodem B má rovnici .

Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, proto bod K leží ve

stejné polorovině jako bod B.

Přímka BC má rovnici , polorovina s bodem A má vyjádření

. Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí.

Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Jsou dány body [ ] [ ] a vektor ( ). Napište analytické vyjádření

poloroviny , je-li ( ).

Řešení:

Výsledek řešení: Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC.


2.) Určete reálné číslo tak, aby přímka s parametrickým vyjádřením

procházela průsečíkem přímek {[ ]}

{[ ]}.

Řešení:

3.) Určete hodnoty parametrů tak, aby přímky byly totožné.

{[ ]} {[ ]}.

Řešení:

4.) Určete všechny hodnoty parametru tak, aby bod [ ] ležel v polorovině

.

Řešení: ⟨ )


Metrické úlohy v rovině

Patří sem úlohy, ve kterých je použito měření – vzdálenosti bodů, velikosti úhlů apod.

Vzdálenost bodu od přímky

Postup vidíme z obrázku:

1.) bodem X vedeme kolmici k přímce

2.) najdeme průsečík P kolmice vedené bodem X a přímky

3.) Určíme vzdálenost | |

[ ] : . Pak kolmice má rovnici: ∧

.

Hledáme průsečík [ ] přímek .

( ) ( )

, kde je vypočítaná hodnota parametru.

Pak √( ) ( )

√

| | √

Jestliže dosadíme za , dostaneme: | |

√


Odchylka dvou přímek

Odchylka přímek je ta velikost úhlu, která leží v intervalu ⟨

⟩.

Odchylku přímek určíme pomocí úhlu směrových vektorů (případně normálových vektorů).

| |

| | | |



Varianta A

Na přímce : určete bod P tak, aby jeho vzdálenost od přímky :

byla 3.

Příklad:

Má-li bod P ležet na přímce , musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici přímky ⇒

[ ].

Dosadíme do vzorce pro vzdálenost: | ( ) |

√

Po úpravě dostaneme: | |

Řešíme rovnici s absolutní hodnotou:

Dostáváme řešení: a

[ ] [ ] .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžek : a : .

Řešení:

2.) Na přímce : najděte bod A tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný se

základnou BC, kde [ ] [ ].

Řešení: [

]

3.) Na ose najděte bod P, který má od bodu [ ] vzdálenost 7.

Řešení: [ √ ] [ √ ].

4.) Vypočítejte obvod trojúhelníku KLM, kde [ ] [ ] [ ].

Řešení: √ √ .

Výsledek řešení: [ ] [ ]



Varianta B

Vypočítejte odchylku přímek : : .

Příklad:

Určíme normálové vektory obou přímek: ( ) ( )

Úhel přímek vypočteme dosazením do vzorce: | ( ) ( )|

√ ( ) √ ( )

⇒

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Jsou dány dvě přímky : : . Určete hodnotu parametru

tak, aby přímky svíraly úhel .

Řešení:

2.) Vypočítejte odchylku přímek {[ ] } {[ ] }.

Řešení:

3.) Vypočítejte odchylku přímek : : .

Řešení:

4.) Vypočítejte odchylku přímek : : .

Řešení:




Varianta C

Body [ ] [ ] [ ] jsou středy stran trojúhelníku KLM. Vypočítejte

souřadnice vrcholů .

Příklad:

Na přímce, spojující středy dvou stran, leží střední příčka v trojúhelníku, proto má tato přímka

stejný směrový (normálový) vektor jako přímka, na které leží třetí strana.

( ) ⇒ ( )

Přímka KM má tedy rovnici: .

( ) ⇒ ( )

Přímka LM má tedy rovnici: .

( ) ⇒ ( )

Přímka KL má tedy rovnici: .

Řešíme vzájemnou polohu těchto přímek jako soustavy rovnic.

{ } [ ] { } [ ] [ ] .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Určete bod R tak, aby trojúhelník PQR byl pravoúhlý a rovnoramenný s přeponou PQ, kde

[ ] [ ].

Řešení: [ ] [ ]

2.) Určete souřadnice vrcholů čtverce ABCD, jestliže [ ] [ ].

Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ].

3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů čtverce KLMN, je-li [ ] [ ].

Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ].

4.) V rovnoramenném trojúhelníku EFG se základnou EF, [ ] [ ] leží vrchol G na

přímce . Určete souřadnice vrcholu G.

Řešení: [ ]

Výsledek řešení: [ ] [ ] [ ]


Přímka, rovina

1.) Parametrická rovnice roviny

Rovina je dána třemi body, které neleží v jedné přímce. Proto lze sestavit dva vektory

ležící v této rovině. Rovinu značíme malými písmeny řecké abecedy.

Rovinu, která je dána bodem A a směrovými vektory , zapisujeme ( ).

Rovnice se nazývá parametrická rovnice roviny ABC.

Můžeme opět rozepsat:

2.) Obecná rovnice roviny

Užívá se častěji než parametrická. Rovinu určíme bodem P a vektorem , který je k ní kolmý.

Tento vektor se nazývá normálový. Bod X leží v rovině právě tehdy, jestliže vektor je

kolmý k vektoru ⇒ ( ) .

Bod X má souřadnice [ ], bod P má souřadnice [ ] a normálový vektor

má souřadnice ( ) Pak můžeme psát:

( ) ( ) ( )

Po úpravě dostaneme


Označíme výraz a máme obecnou rovnici roviny:

Poznámka: známe-li dva směrové vektory roviny, normálový vektor určíme jako vektorový

součin těchto dvou vektorů.

3.) Úsekový tvar rovnice roviny

Rovina určená body [ ] [ ] [ ] má rovnici


Přímka a rovina

Varianta A

Jsou dány body [ ] [ ]. Rozhodněte, zda body [ ] [ √ √ ]

leží na přímce KL, a určete tak, aby bod [ ] ležel na přímce KL.

Příklad:

Napíšeme rovnice přímky KL: ( ) ⇒ .

Dosadíme postupně souřadnice bodů do rovnice přímky KL.

∧ ∧ ⇒ bod A neleží na přímce KL.

Totéž provedeme s bodem B: √ ∧ ∧ √ . Prostřední rovnice

platí vždy, z první i třetí rovnice plyne, že √ , proto bod B leží na přímce KL.

Do rovnice přímky KL nyní dosadíme souřadnice bodu C:

∧ ∧ .

Z prostřední rovnice určíme, že

; dosadíme do první rovnice ⇒

a po dosazení do

třetí rovnice zjistíme, že

.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: bod A neleží na přímce KL; bod B leží na přímce KL;

;



1.) Je dána přímka {[ ] }. Rozhodněte, zda body

[ ] [ ] leží na přímce a určete tak, aby bod [ ] ležel na

přímce .

Řešení:

2.) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka {[ ] } protíná

souřadnicové roviny.

Řešení: [ ] [ ] neexistuje

3.) Napište parametrické rovnice přímky , která prochází bodem [ ] a je rovnoběžná

s přímkou {[ ] }.

Řešení:

4.) Napište parametrické rovnice přímky , která prochází bodem [ ] a je rovnoběžná s

osou .

Řešení:


Přímka a rovina

Varianta B

Dokažte, že body [ ] [ ] [ ] určují rovinu a napište její

parametrické rovnice, určete její obecnou rovnici a vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých

rovina KLM protíná souřadnicové osy.

Příklad:

3 body určují rovinu, pokud neleží v jedné přímce, čili vektor

( ) ( ) ⇒ body určují rovinu.

( ) ( ) ⇒ .

Průsečíky se souřadnicovými osami mají vždy dvě souřadnice nulové ⇒

[ ] [ ] [ ]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Je dána rovina {[ ] }. Vypočítejte průsečíky

roviny se souřadnicovými osami.

Řešení: [ ] [ ] [ ]

2.) Zjistěte, zda body [ ] [ ] [ ] [ ] leží v jedné rovině.

Řešení: neleží

Výsledek řešení: body určují rovinu;

[ ] [ ] [ ]


3.) V soustavě souřadnic v prostoru je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV tak, že

[ ] [ ] [ ] [ ]. Napište parametrické vyjádření roviny BCV.

Řešení:

4.) Jsou dány body [ ] [ ] [ ]. Napište parametrické vyjádření

těžnice trojúhelníku KLM, která prochází bodem K.

Řešení: ⟨ ⟩


Přímka a rovina

Varianta C

Dokažte, že přímky {[ ] } {[ ] }

určují rovinu a napište její obecnou rovnici.

Příklad:

Přímky určují rovinu, pokud bod jedné přímky neleží na přímce druhé, což ověříme

dosazením bodu [ ] z přímky do rovnic přímky .

∧ ∧ ⇒ bod neleží na přímce ⇒ přímky určují rovinu.

Vypíšeme si směrový vektor přímky : ( ) a určíme vektor daná body v obou

přímkách ( ) ( ). Vektorový součin těchto směrových

vektorů určí normálový vektor hledané roviny ⇒ ( ) ( ). Proto rovnice

hledané roviny je ,kde člen vypočítáme dosazením některého bodu

kterékoliv ze zadaných přímek do této rovnice ⇒ .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Dokažte, že přímka {[ ] } a bod [ ] určují rovinu a

napište její obecnou rovnici.

Řešení:

2.) Je dána rovina {[ ] }. Napište její

obecnou rovnici.

Řešení:

3.) Napište obecnou rovnici roviny , ve které leží body [ ] [ ] a rovina je

kolmá k rovině : .

Řešení: :

4.) Kolmicemi sestrojenými z bodu [ ] na roviny :

: proložte rovinu . Určete její obecnou rovnici.

Řešení: :



Polohové úlohy v prostoru

1.) Vzájemná poloha přímek

Dvě přímky v prostoru mohou být totožné, rovnoběžné různé, různoběžné nebo mimoběžné.

Základním kritériem jsou směrové vektory obou přímek.

Je-li , jsou přímky totožné nebo rovnoběžné různé. Která z možností to bude,

rozhodneme podle toho, zda bod jedné přímky leží na přímce druhé – pokud ano, jsou přímky

totožné, pokud ne, jsou rovnoběžné různé.

Je-li , jsou přímky různoběžné nebo mimoběžné. Řešíme vzájemnou polohu těchto

přímek, v případě společného bodu jsou přímky různoběžné a určujeme průsečík, v případě,

že společný bod neexistuje, jsou přímky mimoběžné.

2.) Vzájemná poloha přímky a roviny

Přímka buď leží v rovině (pak je mnoho společných bodů), je rovnoběžná různá s rovinou

(žádný společný bod) nebo je různoběžná a pak určujeme 1 společný bod. Řešíme nejsnadněji

dosazením parametrických rovnic přímky do obecné rovnice roviny a podle počtu řešení

rozhodneme o vzájemné poloze.

3.) Vzájemná poloha 2 rovin

Dvě roviny mohou být totožné, rovnoběžné různé nebo různoběžné. Která z možností nastane,

závisí na rovnicích obou rovin. V nejjednodušším případě máme obecné rovnice obou rovin a

sledujeme normálové vektory obou rovin. Pokud platí, že ∧ , pak jsou

roviny totožné. Pokud platí, že ∧ , pak jsou roviny rovnoběžné různé.

Pokud platí, že , pak jsou roviny různoběžné a pak určujeme průsečnici. Při

hledání průsečnice dvou různoběžných rovin hledáme dva body, které leží zároveň v první i

druhé rovině. To zajistíme tak, že zvolíme dvě ze tří souřadnic a třetí souřadnici dopočítáme

pří řešení soustavy dvou rovnic, které získáme dosazením zvolených souřadnic do obou

rovnic rovin.



Varianta A

Vyšetřete vzájemnou polohu přímek:

{[ ] } {[ ] }

Vypíšeme si směrové vektory obou přímek: ( ) ( ). Vektor

přímky není násobkem směrového vektoru přímky ⇒ přímky jsou různoběžné nebo

mimoběžné. Budeme řešit jako soustavu, pokud bude mít řešení, jsou přímky různoběžné,

pokud ne, jsou mimoběžné.

Příklad:

Po sečtení prvních dvou rovnic zjistíme, že Dosazením do 1. Rovnice vypočteme

.

Nyní obě hodnoty dosadíme do třetí rovnice. ( ) , což je výrok pravdivý.

Přímky jsou proto různoběžné. Musíme tedy určit průsečík (dosazením např. hodnoty

do rovnice přímky ).

Průsečík má tedy souřadnice [ ].

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: přímky jsou různoběžné, [ ].



1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek:

{[ ] } {[ ] }

Řešení: přímky jsou rovnoběžné různé


{[ ] } {[ ] }

Řešení: přímky jsou totožné


{[ ] } {[ ] }

Řešení: přímky jsou mimoběžné

4.) Určete hodnotu parametru tak, aby přímky byly různoběžné. Pak vypočítejte

souřadnice průsečíku přímek

{[ ] } {[ ] }

Řešení: ⇒ [ ]



Varianta B

Vyšetřete vzájemnou polohu přímky a roviny:

a) {[ ] } :

b) {[ ] } :

c) {[ ] } :

Příklad:

Vzájemnou polohu přímky a roviny vyšetřujeme dosazením přímky do rovnice roviny.

a) ( ) ⇒ ⇒ ⇒ přímka je různoběžná

s rovinou, mají společný 1 bod, jehož souřadnice zjistíme dosazením do rovnice

přímky ⇒ [ ].

b) ( ) ( ) ( ) ⇒ ⇒ přímka je rovnoběžná

různá s rovinou

c) ( ) ( ) ⇒ ⇒ přímka leží v rovině

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky [ ] [ ] a roviny , která je

dána body [ ] [ ] [ ].

Řešení: přímka je různoběžná s rovinou, [

].

2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky {[ ] } a roviny

{[ ] }.

Výsledek řešení: a) [ ]; b) přímka je rovnoběžná různá

s rovinou; c) přímka leží v rovině


Řešení: přímka je rovnoběžná různá s rovinou

3.) Jsou dány body [ ] [ ] [ ] [ ]. Určete, pokud

existuje, průsečík úsečky KL a přímky MN.

Řešení: [ ].

4.) Ukažte, že přímka , kde [ ] [ ] je různoběžná s rovinou o rovnici

. Potom najděte jejich průsečík.

Řešení: [ ].



Varianta C

Vyšetřete vzájemnou polohu rovin : : .

Podle souřadnic normálových vektorů vidíme, že roviny jsou různoběžné, budeme proto

hledat rovnici přímky, která je průsečnicí rovin. Hledáme tedy dva body, které leží současně

v obou rovinách.

Příklad:

Zvolíme si jednu souřadnici každého bodu libovolně, zbylé dvě souřadnice vypočteme ze

soustavy rovnic.

[ ] ⇒ dosadíme souřadnice bodu A do rovnic obou rovin

⇒ ⇒ ⇒ [ ].

Totéž provedeme pro bod B: [ ]

⇒ ⇒ ⇒ [ ]

Nyní určíme směrový vektor přímky AB, ( )

Průsečnice má tedy rovnici: {( ) }.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: roviny jsou různoběžné, {(

) }.



1.) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny {[

] } {[ ] }.

Řešení:roviny jsou rovnoběžné různé

2.) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny {[

] } {[ ] }.

Řešení: roviny jsou totožné

3.) Určete hodnoty parametrů tak, aby roviny : :

byly a) rovnoběžné; b) různoběžné; c) navzájem kolmé

Řešení: a) ∧ ; b) ; c)

4.) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin {[ ] }

{[ ] }.

Řešení: roviny jsou totožné


Metrické úlohy

1.) Vzdálenost bodu od přímky

Postup:

a.) Určíme parametrické vyjádření přímky :

b.) Z podmínky ( ) určíme tu hodnotu parametru , pro kterou platí (viz

obr.).

c.) Určíme vzdálenost | |

2.) Vzdálenost bodu od roviny

Bodem P vedeme přímku kolmou k rovině , určíme průsečík R přímky p a roviny a

určíme vzdálenost | |.

: ; [ ]; {[ ] }.

Hledáme průsečík přímky p s rovinou tak, že rovnice přímky dosadíme do rovnice roviny.

( ) ( ) ( )

Odtud

Tuto hodnotu dosadíme do parametrického vyjádření přímky a dostaneme souřadnice bodu R.

Platí ( ), kde je vypočítaná hodnota.

Proto | | | | √ .


Vzdálenost bodu [ ] od roviny : je vyjádřena

| |

√

3.) Odchylka dvou přímek

Odchylka přímek ( ) ( ) je číslo ⟨

⟩, pro které platí:

| |

| | | |

4.) Odchylka přímky a roviny

Je-li přímka p kolmá k rovině , je odchylka přímky p a roviny rovna

Pokud přímka p

není kolmá k rovině , vedeme jí rovinu kolmou k rovině . Rovina protne rovinu

v přímce p´. Odchylka přímky p a roviny je pak odchylka přímek p, p´.

Výhodnější je sestrojit přímku q kolmou k rovině . Jestliže odchylka přímek p a q je , pak

5.) Odchylka dvou rovin

Odchylku rovin a snadno určíme pomocí normálových vektorů těchto rovin.

Platí:

| |

| | | |


Metrické úlohy

Varianta A

V trojúhelníku ABC vypočítejte výšku , víte-li, že [ ] [ ] [ ].

Příklad:

Počítáme vzdálenost bodu A od přímky BC.

Směrový vektor přímky BC je ( ) ( ). Rovnice přímky BC

je:

Kterýkoliv bod X přímky BC má souřadnice [ ] .

Vektor ( ).

Hledáme takovou hodnotu , aby platilo, že přímka AX je kolmá na přímku BC.

( ) ( ) ( ) ⇒ ⇒

Bod X má tedy souřadnice [ ] a vzdálenost bodů A, X je

| | √( ) ( ) ( ) √ √ √

Velikost výšky trojúhelníku ABC je √ .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: Velikost výšky trojúhelníku ABC je √ .



1.) Vypočítejte vzdálenost bodu [ ] od přímky {[ ] }.

Řešení: | | √

2.) Vypočítejte vzdálenost bodu [ ] od roviny : .

Řešení: | |

3.) Vypočítejte vzdálenost dvou rovnoběžných rovin : :

.

Řešení: | | .

4.) Na přímce {[ ] } určete bod P tak, aby vzdálenost bodu P od

přímky {[ ] } byla 4.

Řešení: [ ] [

].


Metrické úlohy

Varianta B

Vypočítejte odchylku průsečnice rovin : : od osy z.

Příklad:

Hledáme dva body, které leží v obou rovinách – určíme od každého bodu libovolně jednu

souřadnici a zbylé dvě dopočítáme ze soustav rovnic, které dostaneme po dosazení bodů do

rovnic rovin.

[ ] [ ] u obou bodů byla zvolena x-ová souřadnice.

( )

( )

Dosadíme do vzorce pro velikost odchylky dvou přímek:

| ( ) |

√ ( )

√ ⇒

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Vypočítejte odchylku přímky {[ ] } od roviny

:

Řešení: .

2.) Vypočítejte odchylku rovin : : .

Řešení: .



3.) Je dána přímka {[ ] } a rovina : .

Určete hodnotu parametru tak, aby platilo .

Řešení: .

4.) Je dán bod [ ] a přímka {[ ] }. Na přímce p určete bod

tak, aby odchylka přímek a p byla .

Řešení:

[

].


Metrické úlohy

Varianta C

Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany AE. Vypočítejte odchylku přímek BK

a AG.

Příklad:

[ ] [ ] [ ] [

]

(

) ( )

|(

) ( ) ( ) |

√(

) ( ) √( )

√

√

√

√ ⇒

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C




1.) Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany AE, bod L je střed hrany BC.

Vypočítejte odchylku přímky BK od roviny ALG.

Řešení: .

2.) Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany EH, bod L je střed hrany BC.

Vypočítejte odchylku rovin BCK a ALH.

Řešení: .

3.) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku , délku hrany | | . Označte

postupně středy hran AB, AD, CV. Vypočítejte vzdálenost bodu V od roviny KLM.

Řešení: √

.

4.) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku , délku hrany | | . Označte

postupně středy hran AB, AD, CV. Vypočítejte odchylku přímek KM a CV.

Řešení: .


Kuželosečky a kulová plocha

Kružnice

Patří mezi kuželosečky, které můžeme získat jako průnik rotační kuželové plochy a roviny.

Kružnici získáme jako průnik rotační kuželové plochy a roviny, která je kolmá na její osu. Je

to středová kuželosečka, protože má střed souměrnosti.

Kružnice

je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S

(středu kružnice) v rovině danou vzdálenost r (poloměr kružnice),| |

| | ⇒ √( ) ( )

Odtud dostáváme středovou rovnici kružnice

( ) ( )


Rovnici můžeme upravit na obecnou rovnici kružnice

, kde

Pozor! Rovnice je rovnicí kružnice pouze tehdy, jestliže platí:

Vnitřní oblast kružnice

je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenost

menší než r (poloměr kružnice).

( ) ( )

Vnější oblast kružnice


větší než r (poloměr kružnice).

( ) ( )

Kruh


menší nebo rovnu r (poloměr kružnice).

( ) ( )

Kružnice a přímka

Přímka buď s kružnicí nemá žádný společný bod, pak je vnější přímkou kružnice, nebo má

s přímkou jeden společný bod, pak je tečnou kružnice, nebo má s kružnicí dva společné body,

pak je sečnou kružnice. Řešíme tedy vzájemnou polohu přímky a kružnice dosazením z

rovnice přímky do rovnice kružnice.


Kružnice

Varianta A

Napište rovnici kružnice, která má střed [ ] a prochází bodem [ ]. Potom

vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých kružnice protíná osy x a .

Při hledání rovnice kružnice použijeme středový tvar rovnice kružnice, do kterého dosadíme

souřadnice středu.

Příklad:

( ) ( )

Pro výpočet poloměru můžeme dosadit do rovnice kružnice za x a y souřadnice bodu K nebo

můžeme spočítat vzdálenost bodů S, K. Při dosazení bodu K do rovnice kružnice: ( )

( )

⇒ √ ( ) √

Hledaná rovnice kružnice tedy je ( ) ( ) .

Průsečíky s osami mají vždy jednu souřadnici nulovou.

⇒ ( ) ⇒ √ ⇒ √

⇒ ( ) ⇒ √ ⇒ √ √

Průsečíky s osami jsou [ √ ] [ √ ] [ √ ] [ √ ]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: [ √ ] [ √ ]

[ √ ] [ √ ]



) Napište rovnici kružnice jestliže úsečka [ ] [ ] je jejím průměrem

Řešení: ( ) ( )

2.) Napište rovnici kružnice, která prochází body [ ] [ ] a má střed na přímce

.

Řešení: ( ) ( ) .

3.) Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

[ ].

Řešení: .

4.) Najděte souřadnice středu a poloměr kružnice, jejíž rovnice je:

.

Řešení: ( ) ( ) ⇒ [ ] .


Kružnice

Varianta B

Určete vzájemnou polohu kružnice dané rovnicí a přímky o

rovnici v závislosti na hodnotě parametru .

Vzájemnou polohu přímky a kružnice řešíme vyjádřením jedné neznámé (x nebo y) z rovnice

přímky a jejím dosazením do rovnice kružnice. Má-li být přímka tečnou, musí být jedno

řešení kvadratické rovnice ( ), má-li být přímka sečnou, musí vyjít dvě řešení

( ), má-li být přímka vnější přímkou, kvadratická rovnice nemá řešení ( ).

Příklad:

Z rovnice přímky vyjádříme: a dosadíme do rovnice kružnice.

( ) ( )

( )

( ) ( )

Tečna: ⇒ ⇒ ( ) ( ) ⇒

Sečna: ⇒ ( ) ( )

Vnější přímka: ⇒ ( )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: Tečna:

Sečna: ( ) ( )

Vnější přímka: ( )



1.) Určete vzájemnou polohu přímky : a kružnice

: .

Řešení: Přímka je sečna kružnice.

2.) Určete vzájemnou polohu přímky : a kružnice : ( )

( ) .

Řešení: přímka je tečnou kružnice.

3.) Určete vzájemnou polohu přímky : a kružnice : .

Řešení: Přímka je vnější přímkou kružnice.

4.) Určete souřadnice společných bodů os x, y s kružnicí .

Řešení: [ ] [ ].


Kružnice

Varianta C

Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky : , její střed leží na

přímce : a poloměr je 5.

Příklad:

Mají-li být splněny všechny podmínky ze zadání, musí platit, že ( ) ∧

, kde m, n jsou souřadnice středu kružnice.

| |

√ ∧

První rovnici upravíme: | |

a z druhé rovnice dosadíme

| ( ) |

| |

| | ⇒ ⇒

Dopočítáme souřadnici středu ⇒

Hledané kružnice jsou dvě o rovnicích: ( ) ( ) a ( )

( ) .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě [ ] a dotýká se přímky

: .

Výsledek řešení: ( ) ( ) a ( )

( ) .


Řešení: ( ) ( ) .

2.) Napište rovnici kružnice, která prochází body [ ] [ ] a dotýká se osy .

Řešení: ( ) ( ) ( ) ( ) .

3.) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x i osy . Její střed leží na přímce

: .

Řešení: (

) (

)

.

4.) Určete rovnice všech kružnic, které se dotýkají osy x, procházejí bodem [ ] a mají

střed na přímce, která prochází středy kružnic o rovnicích

.

Řešení: kružnice neexistuje.


Tečna kružnice

Jestliže bod [ ] je bodem kružnice se středem [ ] a poloměrem r, je bod

bodem dotyku kružnice a její tečny t v tomto bodě.

Tečna má obecnou rovnici , kde a, b jsou souřadnice normálového vektoru

tečny, tedy vektoru .

( )

Tečna má tedy rovnici ( ) ( )

Hodnotu c určíme z podmínky, že tečna t prochází bodem .

Tedy ( ) ( ) ⇒ ( ) ( )

Dosadíme do rovnice tečny a dostaneme:

( ) ( ) ( ) ( ) (1)

Bod [ ] leží na kružnici, musí proto jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice,

takže je dosadíme za x a .

( ) ( )

(2)

Pokud rovnice (1) a (2) sečteme, dostaneme rovnici tečny ve tvaru

( ) ( ) ( ) ( )


Tečna kružnice

Varianta A

Ověřte, že bod [ ] leží na kružnici : . Potom napište rovnici

tečny v bodě A ke kružnici k.

Příklad:

Leží-li bod A na kružnici k, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice.

( ) ( )

Rovnost platí, bod A proto leží na kružnici k.

Rovnici kružnice si upravíme na středový tvar: ( ) ( )

Tečna kružnice v libovolném bodě dotyku [ ] má rovnici:

( ) ( ) ( ) ( )

Tečnu v bodě A najdeme tak, že do rovnice tečny dosadíme za souřadnice souřadnice

bodu A.

( ) ( ) ( ) ( )

Po úpravě dostaneme:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Najděte rovnici tečny kružnice : v bodě [ ].

Řešení:

2.) Najděte rovnici tečny kružnice : v bodě [ ].

Řešení:



3.) Určete všechna reálná čísla m, pro něž je přímka {[ ] } tečnou

kružnice : .

Řešení: {

}

4.) Napište rovnice tečen kružnice : v jejích průsečících

s přímkou : .

Řešení: .


Tečna kružnice

Varianta B

Napište rovnice tečen kružnice : , které jsou kolmé k přímce

:

Jakákoliv přímka kolmá k přímce p, má rovnici .

Přímka má být tečnou, to znamená, že při řešení vzájemné polohy kružnice a přímky musí

vyjít jedno řešení.

Řešíme tedy vzájemnou polohu přímky a kružnice tak, že vyjádříme z rovnice přímky x nebo

y a dosadíme do rovnice kružnice.

Příklad:

( ) ( )

Kvadratická rovnice má právě jedno řešení, jestliže platí: .

( ) ( )

Po úpravě dostaneme ⇒ ⇒ ( )

Odtud

Hledané tečny jsou: : : .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: : : .



1.) Napište rovnice tečen kružnice : , které jsou rovnoběžné

s přímkou : .

Řešení:

2.) Napište rovnice tečen kružnice : ( ) ( ) , které jsou rovnoběžné

s přímkou : .

Řešení: .

3.) Napište rovnice tečen kružnice , víte-li, že směrnice tečny je

.

Řešení:

4.) Napište rovnici tečny kružnice : tak, aby odchylka tečny a osy

x byla .

Řešení:


Tečna kružnice

Varianta C

Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ ] ke kružnici : .

Příklad:

Kružnici upravíme na středový tvar: ( )

Tečna této kružnice v libovolném bodě dotyku [ ] má rovnici:

( ) ( )

Bod M je vnější bod kružnice, musí ležet na tečně, takže jeho souřadnice musí rovnici tečny

vyhovovat.

( ) ( ) ⇒ ⇒

Protože bod [ ] leží na kružnici musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice

dosadíme tedy souřadnici

a vypočítáme souřadnici .

(

)

⇒

⇒

√

Tečny mají tedy rovnice:

:

√

:

√

Odchylku tečen vypočítáme podle vzorce pro odchylku přímek:

|

√

(

√

)|

√

√

|

|

⇒

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C




1.) Vypočítejte velikost úhlu, pod kterým je vidět kružnici :

z bodu [ ]

Řešení:

2.) Určete odchylky tečen kružnic : :

ve

společných bodech těchto kružnic.

Řešení:

3.) Najděte průsečíky kružnic : :

. V každém průsečíku určete tečny obou kružnic a úhel, který tyto tečny svírají.

Řešení: [ ] [ ] .

4.) Určete m tak, aby přímka : byla tečnou kružnice

a určete bod dotyku.

Řešení: √ [ √ √ [ √ √ ]]


Parabola

Parabolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy rovinou, která neprochází vrcholem

kuželové plochy a je rovnoběžná právě s jednou přímkou kuželové plochy.

Parabola je množina všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu F

jako od dané přímky d, která bodem F neprochází.

Bod F se nazývá ohnisko paraboly, přímka d se nazývá řídící přímka paraboly. Osa o

paraboly je kolmá na řídící přímku a prochází ohniskem F paraboly a vrcholem V paraboly.

Vzdálenost ohniska F od řídící přímky d se nazývá parametr paraboly a značíme ho

( ) .

Analytické vyjádření paraboly ve vrcholovém tvaru:

1.) [ ], osa o paraboly splývá s osou y, ohnisko leží nad vrcholem V:

; rovnice řídící přímky: :

; ohnisko [

]


2.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží nad vrcholem V:

( ) ( ) ; rovnice řídící přímky: :

; ohnisko [

]

3.) [ ], osa o paraboly splývá s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem V:

; rovnice řídící přímky :

; ohnisko [

]


4.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem V:

( ) ( ) ; rovnice řídící přímky :

; ohnisko [

]

5.) [ ], osa o paraboly splývá s osou x, ohnisko F leží napravo od vrcholu V:


; ohnisko [

]


6.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží napravo od vrcholu V:


; ohnisko [

]

7.) [ ], osa o paraboly splývá s osou x, ohnisko F leží nalevo od vrcholu V:


; ohnisko [

]


8.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží nalevo od vrcholu V:


; ohnisko [

]

Vnitřní oblastí paraboly s ohniskem F a řídící přímkou d nazýváme množinu všech bodů X

roviny, pro které platí: | | ( ).


Parabola

Varianta A

Napište rovnici paraboly, která má vrchol [ ] a řídící přímku : .

Příklad:

Z obrázku je patrné, že parabola má osu rovnoběžnou s osou x, její ohnisko leží nalevo od

vrcholu.

Pracujeme tedy s rovnicí:

( ) ( )

Vzdálenost vrcholu V od řídící přímky d je rovna

⇒

Dosadíme do rovnice paraboly souřadnice vrcholu a parametr a dostaneme:

( ) ( )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: ( ) ( )



1.) Napište rovnici paraboly, která má vrchol [ ] a řídící přímku : .

Řešení: ( ) ( )

2.) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko [ ] a řídící přímku : .

Řešení: ( ) ( )

3.) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko [ ] a řídící přímku : .

Řešení: ( ) ( )

4.) Určete ohnisko a řídící přímku paraboly o rovnici ( ) .

Řešení: [ ] : .


Parabola

Varianta B

Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku, osa paraboly je shodná s osou y a

parabola prochází bodem [ ].

Příklad:

Parabola s vrcholem v počátku a osou shodnou s osou y má rovnici:

Jestliže bod K leží na parabole, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici paraboly, proto je

dosadíme.

⇒

Parabola má tedy rovnici .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku, osa paraboly je shodná s osou x a

parabola prochází bodem [ ].

Řešení:

2.) Napište rovnici paraboly, znáte-li vrchol [ ] a víte-li, že prochází bodem

[ ] a zároveň platí, že osa je rovnoběžná s osou .

Řešení: ( )

( )

3.) Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly dané rovnicí .

Řešení: [ ] [ ] : .

4.) Určete rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y, má vrchol [ ] a

prochází bodem [ ].

Řešení: ( ) ( )



Parabola

Varianta C

Napište rovnici paraboly, která prochází body [ ] [ ] [ ] [ ].

Příklad:

Vidíme, že parabola má osu rovnoběžnou s osou y a ohnisko nad vrcholem, pracujeme tedy

s rovnicí ( ) ( )

Máme tři neznámé – x, y, z, které vypočítáme dosazením tří bodů do rovnice paraboly.

: ( ) ( )

: ( ) ( )

: ( ) ( )

Po umocnění:

Od druhé rovnice odečteme první a dostaneme: ⇒

Od druhé rovnice odečteme třetí a dostaneme: .

Pokud dosadíme dostaneme ⇒

Dopočítáme poslední neznámou dosazením za m a p do kterékoliv ze tří rovnic ⇒ .

Hledaná parabola je ( ) ( ).

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: ( ) ( )



1.) Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou x a prochází body

[ ] [ ]. Ohnisko je [ ].

Řešení: ( ) ( )

2.) Napište rovnici paraboly, která prochází body [ ] [ ] [ ]. Její osa je

rovnoběžná s osou .

Řešení: ( ) ( )

3.) Napište rovnici paraboly, která prochází body [ ] [ ] [ ]. Její osa

je rovnoběžná s osou .

( ) ( )

4.) Určete souřadnice společných bodů přímky a paraboly, jestliže

: : .

Řešení: [ ]


Tečna paraboly

[ ] je bod dotyku, [ ] je libovolný bod tečny. Pak tečna paraboly má rovnici:

1.) parabola: ( ) ( )

tečna: ( )( ) ( ) ( )

2.) parabola: ( ) ( )

tečna: ( )( ) ( ) ( )

3.) parabola: ( ) ( )

tečna: ( )( ) ( ) ( )

4.) parabola: ( ) ( )

tečna: ( )( ) ( ) ( )

Poznámka: Osa paraboly a každá přímka s ní rovnoběžná má s parabolou pouze jediný

společný bod, tyto přímky však nepovažujeme za tečny paraboly.


Tečna paraboly

Varianta A

Napište rovnici tečny k parabole v jejím bodě [ ].

Příklad:

Rovnici paraboly přepíšeme do vrcholového tvaru: ( ) ( )

Tečna této paraboly v bodě dotyku [ ] má rovnici:

( )( ) ( ) ( )

Bod K je bodem dotyku, proto jeho souřadnice dosadíme za .

( )( ) ⇒ tečna má rovnici

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Určete rovnici tečny paraboly v jejím bodě [ ].

Řešení:

2.) Určete rovnici tečny paraboly v jejím bodě [ ].

Řešení:

3.) Napište rovnici tečny k parabole v jejím bodě [ ]

Řešení:

4.) Ověřte, že bod [ ] leží na parabole a potom napište rovnici

tečny v tomto bodě.

Řešení:



Tečna paraboly

Varianta B

Napište rovnici tečny paraboly rovnoběžné s přímkou

: .

Příklad:

Jakákoliv rovnoběžka s přímkou p má rovnici . Pokud to má být tečna, musí

při řešení vzájemné polohy paraboly a přímky vyjít jedno řešení.

Vyjádříme jednu neznámou z rovnice přímky:

a dosadíme do rovnice paraboly:

(

)

Po úpravě

Musí platit: ⇒ ( ) ⇒

Tečna má rovnici:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Napište rovnice tečen paraboly , které jsou rovnoběžné s přímkou

: .

Řešení:

2.) Napište rovnice tečen paraboly , které jsou kolmé k přímce : .

Řešení:



3.) Parabola je dána rovnicí . Určete rovnice všech tečen paraboly, které jsou

kolmé k přímce .

Řešení:

4.) Parabola je dána rovnicí . Určete rovnice všech tečen paraboly, které

obsahují bod [ ] .

Řešení:


Tečna paraboly

Varianta C

Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ ] k parabole .

Příklad:

Tečna této paraboly v bodě dotyku [ ] má rovnici

Bod M leží na této tečně, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat rovnici tečny:

( ) ⇒

Bod dotyku leží na tečně a současně na parabole, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat

rovnici paraboly:

⇒

Máme tedy dva body dotyku [ ] [ ].

Můžeme tedy napsat rovnice obou tečen:

: ⇒

: ⇒

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Rozhodněte, zda lze z bodu [ ] sestrojit tečny k parabole .

Řešení: nelze

2.) Napište rovnici tečny paraboly procházející bodem [ ].

Řešení:

: ⇒

: ⇒



3.) Vypočítejte odchylku tečen kružnice a paraboly v jejich

společných bodech.

Řešení:

4.) Určete rovnici každé tečny paraboly o rovnici , která má od osy paraboly

odchylku .

Řešení:


Elipsa

Elipsu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která není kolmá na osu této

plochy a neprochází jejím vrcholem. Lze ji také získat jako průnik rotační válcové plochy a

roviny, která není s osou válcové plochy rovnoběžná.

Elipsa je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou pevně daných bodů E, F

konstantní součet vzdáleností; toto číslo značíme 2a.

| | | |

Bod [ ] je střed elipsy; body E, F se nazývají ohniska elipsy, přičemž platí | |

| | , kde číslo e se nazývá excentricita ( výstřednost ) elipsy. Přímka EF se nazývá

hlavní osa elipsy, body A, B jsou hlavní vrcholy elipsy a platí | | | | , | | .

Číslo a je délka hlavní poloosy. Body C, D jsou vedlejší vrcholy elipsy a platí | |

| | | | , číslo b je délka vedlejší poloosy. Přímka CD se nazývá vedlejší osa

elipsy.

Z pravoúhlého trojúhelníku SCF platí podle Pythagorovy věty:

.


Analytické vyjádření elipsy:

[ ]; hlavní osa leží na ose x:

[ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou x: ( )

( )

[ ]; hlavní osa leží na ose y:


[ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou y: ( )

( )

Vnitřní oblast elipsy s ohnisky E, F a s hlavní osou délky | | nazýváme množinu

všech bodů X roviny, pro které platí:| | | | .

Elipsa a přímka

Přímka, která leží v rovině elipsy a má s elipsou jeden společný bod, je tečnou elipsy. Má-li

přímka s elipsou dva společné body, nazývá se sečna. Vzájemnou polohu řešíme dosazením

z rovnice přímky do rovnice elipsy.


Elipsa

Varianta A

Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní poloosu 5.

Příklad:

Střed elipsy je střed úsečky EF ⇒ [ ] podle polohy ohnisek vidíme že elipsa má osu

rovnoběžnou s osou .

| | ;

U elipsy platí: ⇒ √

√ √ √

Rovnice elipsy tedy je:

( )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a vedlejší poloosu 3.

Řešení: ( )

( )

2.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní vrchol [ ].

Řešení: ( )

( )

3.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní vrchol

[ ].

Řešení: ( )

( )

4.) Napište rovnici elipsy, znáte-li jedno ohnisko [ ] a vedlejší vrcholy

[ ] [ ].

Řešení: ( )

( )


( )


Elipsa

Varianta B

Určete, pro které hodnoty parametru má přímka : s elipsou

a) právě jeden společný bod; b) dva společné body; c) žádný společný bod

Vzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy.

Podle diskriminantu rozhodujeme o počtu řešení.

Příklad:

Vzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy.

Podle diskriminantu rozhodujeme o počtu řešení.

( )

( )

a) ⇒ ( ) ⇒ ⇒ ⇒ √

b) ⇒ ( √ ) (√ )

c) ⇒ ( √ √ )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky : a elipsy o rovnici .

Řešení: p je sečna elipsy; [ ] [ ]

Výsledek řešení: a) √ ; b) ( √ ) (√ )

c) ( √ √ )


2.) Určete, pro které hodnoty parametru má přímka s elipsou o rovnici

právě jeden společný bod, dva společné body, žádný společný bod.

Řešení: ( ) ( ) ( )

3.) Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa na přímce .

Řešení:

√

4.) Vypočítejte délku tětivy elipsy o rovnici , která leží na ose I. A III.

kvadrantu.

Řešení: √


Elipsa

Varianta C

Napište rovnici elipsy, která má osy rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, střed [ ] a

prochází body [ ] [ ].

Příklad:

Rovnice elipsy se středem [ ] je: ( )

( )

V rovnici máme dvě neznámé (a, b), které vypočítáme dosazením obou zadaných bodů do

rovnice elipsy za x a .

( )

( )

∧

( )

( )

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic

∧

Z první rovnice vyjádříme výraz

a dosadíme do rovnice druhé

Po úpravě dostaneme

Hledaná elipsa má tedy rovnici

( )

( )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

( )

( )




1.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou x, její střed je v počátku

soustavy souřadnic, hlavní poloosa má délku 4 a elipsa prochází bodem [ √ ].

Řešení:

2.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed [ ], hlavní

poloosa je dvakrát delší než vedlejší poloosa a elipsa prochází počátkem soustavy souřadnic.

Řešení: ( )

( )

3.) Napište rovnici elipsy, která má osy shodné s osami soustavy souřadnic a prochází body

[ √ ] [ √ ].

Řešení:

4.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou y, střed má v počátku soustavy

souřadnic, hlavní poloosa má délku √ a elipsa prochází bodem [ √ ].

Řešení:


Hyperbola

Hyperbolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází vrcholem

kuželové plochy. Úhel, který svírá rovina s osou kužele, je menší než úhel, který svírají osa

kužele a strana kužele.

Hyperbola je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou daných bodů E, F roviny

konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností; toto číslo značíme 2a.

Bod [ ] je střed hyperboly, body jsou ohniska hyperboly.

Platí: | | | | , je excentricita (výstřednost) hyperboly.

Přímka se nazývá hlavní osa hyperboly, body jsou hlavní vrcholy hyperboly.

Platí: | | | | | | ; číslo je délka hlavní poloosy. Vedlejší vrcholy

hyperbola nemá, body vnímáme jako pomocné body, pro které platí: | | | |

| | , číslo je délka vedlejší poloosy, přímka se nazývá vedlejší osa

hyperboly.

Mezi čísly platí vztah odvozený na základě Pythagorovy věty: , takže

√

Hyperbola má dvě asymptoty, které procházejí středem hyperboly.


Analytické vyjádření hyperboly a jejích asymptot:

1.) [ ]; hlavní osa leží na ose x

; rovnice asymptot: :

:


2.) [ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou x

( )

( )

rovnice asymptot: :

( ) :

( )


3.) S[ ]; hlavní osa leží na ose y

; rovnice asymptot: :

:


4.) S[ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou y

( )

( )

;

rovnice asymptot: :

( ) :

( )

Speciálním případem je rovnoosá hyperbola. Platí: ⇒ √ √ √ .

Vnitřní oblastí jedné větve hyperboly s ohnisky a hlavní osou délky ( | |)

nazýváme množinu všech bodů roviny, pro které platí | | | | ; vnitřní oblastí

druhé větve téže hyperboly nazýváme množinu všech bodů roviny, pro které platí

| | | | .


Hyperbola

Varianta A

Najděte střed, ohniska, vrcholy a rovnice asymptot hyperboly:

Příklad:

Rovnici hyperboly upravíme na středový tvar

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Z rovnice hyperboly nyní určíme velikost hlavní poloosy, vedlejší poloosy a excentricity:

⇒ ⇒ √ √

Souřadnice vrcholů a ohnisek tedy jsou:

[ ] [ ] [ ] [ √ ] [ √ ].

Asymptoty:

( )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Najděte střed, ohniska, vrcholy a rovnice asymptot hyperboly:

Řešení:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ √ ] [ √ ].

Asymptoty:

( )

Výsledek řešení: [ ] [ ] [ ] [ √ ] [

√ ]. Asymptoty:

( )

Asymptoty:

( )


2.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly:

( ) ( )

Řešení:

[ ] √ [ √ ] [ √ ]

( )


( )

Řešení: [ ] √

√

[

√

] [

√

] √


Řešení: [ ] √ [ √ ] [ √ ]


Hyperbola

Varianta B

Napište rovnici hyperboly, která má ohniska [ ] [ ] a hlavní vrchol [ ].

Příklad:

Určíme souřadnice středu hyperboly, jde o střed úsečky ⇒ [ ].

Vzdálenost bodů je velikost hlavní poloosy , vzdálenost bodů je délka

excentricity ⇒ , takže délka vedlejší poloosy je √ .

Rovnice hyperboly tedy je:

( )

( )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Napište rovnici hyperboly, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní poloosu

o délce 8.

Řešení: ( )

2.) Napište rovnici hyperboly s ohnisky [ ] [ ] a vedlejší poloosou o délce 4.

Řešení: ( )

( )

3.) Napište rovnici rovnoosé hyperboly s ohnisky [ ] [ ] .

Řešení: ( )

( )

4.) Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy [ ] [ ] a jedno ohnisko

[ ].

Řešení: ( )

( )

Výsledek řešení:( )

( )


Hyperbola

Varianta C

Napište rovnici hyperboly, která má osy rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, střed

[ ] a prochází body [ ] [ ].

Příklad:

Dosadíme do středové rovnice hyperboly souřadnice středu:

( )

( )

, proto jeho souřadnice musí vyhovovat rovnici hyperboly:

( )

( )

⇒

, proto jeho souřadnice musí také vyhovovat rovnici hyperboly:

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Z druhé rovnice vyjádříme

A dosadíme do rovnice první

(

)

Po roznásobení závorky

⇒ ⇒ ⇒

Rovnice hledané hyperboly tedy je

( )

( )

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení:( )

( )



1.) Napište rovnici hyperboly, která prochází bodem [ ] a má ohniska v bodech

[ √ ] [ √ ].

Řešení:

2.) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty mají rovnice

: : a jeden vrchol je [ ].

Řešení:

3.) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty mají rovnice

: ( ) a jedno její ohnisko je [ ]

Řešení: ( )

4.) Napište rovnici hyperboly, která prochází počátkem soustavy souřadnic a její asymptoty

jsou : : .

Řešení: ( )

( )


Elipsa, hyperbola, přímka, tečny

Elipsa a přímka

Přímka, která leží v rovině elipsy, je tečnou elipsy, má-li s elipsou jeden společný bod. Má-li

přímka s elipsou dva společné body, je sečnou elipsy.

Tečna elipsy

v jejím bodě [ ] má rovnici

Tečna elipsy ( )

( )


( )( )

( )( )

Hyperbola a přímka

Asymptota nemá s hyperbolou žádný společný bod, přímka od ní různá, ale s ní rovnoběžná,

protíná hyperbolu právě v jednom bodě. Každá další přímka buď protíná hyperbolu ve dvou

různých bodech, pak je sečna, nebo má s hyperbolou společný právě jeden bod, pak jde o

tečnu, nebo nemá s hyperbolou žádný společný bod.

Tečna hyperboly



Tečna hyperboly ( )

( )


( )( )

( )( )

Tečna hyperboly


Tečna hyperboly ( )

( )


( )( )

( )( )



Varianta A

Určete, pro které hodnoty parametru má daná přímka s hyperbolou

a) právě jeden společný bod

b) dva společné body

c) žádný společný bod

: :

Příklad:

O počtu společných bodů rozhoduje diskriminant při řešení kvadratické rovnice, kterou

dostaneme při řešení vzájemné polohy přímky a hyperboly. Z rovnice přímky tedy dosadíme

do rovnice hyperboly.

( )

Po úpravě

⇒ ( )

Vyjádříme diskriminant

( )

a) Přímka má s hyperbolou jeden společný bod, pokud je .

√

b) Přímka má s hyperbolou dva společné body, pokud je .

( √ √ )

c) Přímka nemá s hyperbolou společný bod, pokud je .

( √ ) (√ )

Poznámka: pro jde o asymptotickou přímku.


Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky : a hyperboly .

Řešení: je asymptotická přímka hyperboly, [

]

2.) Určete souřadnice všech společných bodů hyperboly : a přímky

: .

Řešení: [ ]

3.) Určete souřadnice společných bodů hyperboly : a přímky

: .

Řešení:

4.) Určete souřadnice společných bodů přímky a elipsy

.

Řešení: [ ] [

]

Výsledek řešení:a) √ ; b) ( √ √ ) ;

c) ( √ ) (√ )



Varianta B

Ověřte, že bod leží na elipse a potom napište rovnici tečny v bodě elipsy.

[ ] :

Příklad:

Má-li bod ležet na elipse, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici elipsy.

Po dosazení dostaneme

Bod je tedy bodem elipsy.

Rovnici elipsy nyní upravíme na tvar

( )

Tečna této elipsy v libovolném bodě dotyku o souřadnicích [ ] má rovnici

( )( )

Dosadíme souřadnice bodu dotyku

( )( ) ⇒

Hledaná tečna má rovnici

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Ověřte, že bod leží na hyperbole a potom napište rovnici tečny v bodě hyperboly.

[ ] :

Řešení:



2.) Napište rovnice tečen elipsy : , která je rovnoběžná s přímkou

: .

Řešení:

3.) Napište rovnice tečen hyperboly : , které jsou kolmé k přímce :

.

Řešení:

4.) Určete délku tětivy, kterou vytíná hyperbola : na přímce .

Řešení: √



Varianta C

Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ ] k hyperbole

.

Příklad:

Rovnici hyperboly upravíme na tvar

( )

Libovolná tečna této hyperboly v bodě dotyku [ ] má rovnici

( )( )

Bod má ležet na tečně hyperboly, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat při dosazení za

.

( )( ) ⇒

Hledaný bod dotyku [ ] leží na hyperbole, jeho souřadnice tedy musí vyhovovat

rovnici hyperboly

( ) ⇒

Můžeme tedy napsat rovnice tečen:

: ( )( )

: ( )( ) ( )

Po úpravě

:

:

Odchylka tečen je , protože vidíme podle normálových vektorů obou přímek, že přímky

jsou na sebe kolmé.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Výsledek řešení: .



1.) Napište rovnici tečny hyperboly tak, aby odchylka tečny a osy x byla .

Řešení: √

2.) Pro která reálná čísla m přímka o rovnici

a) protíná hyperbolu o rovnici

b) dotýká se jí

c) nemá s ní společné body?

Řešení:

a) ( √ ) (√ )

b) { √ √ }

c) ( √ √ )

3.) Vypočítejte odchylku tečen hyperboly o rovnici , které procházejí bodem

[

].

Řešení:

4.) Napište rovnici tečny elipsy tak, aby odchylka tečny a osy byla .

Řešení: √

√


Kulová plocha

Kulová plocha (sféra) je množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S (středu

kulové plochy) danou vzdálenost r, tzv. poloměr kulové plochy.

Má-li střed kulové plochy souřadnice [ ] a poloměr kulové plochy je r, pak bod

[ ] je bodem kulové plochy právě tehdy, jestliže platí:

( ) ( ) ( )

Koule je množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S (středu koule)

vzdálenost menší nebo rovnu danému číslu, tzv. poloměru koule.

Má-li střed koule souřadnice [ ] a poloměr koule je r, pak bod [ ] je bodem

koule právě tehdy, jestliže platí:

( ) ( ) ( )

Vzájemná poloha roviny a kulové plochy (koule)

Průnikem kulové plochy (koule) a roviny je kružnice (kruh), bod nebo prázdná množina.

Závisí to na vzdálenosti roviny od středu kulové plochy (koule).

Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) větší než její poloměr, je průnikem

prázdná množina.


Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) menší než její poloměr, průnikem je

kružnice (kruh).

Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) rovna jejímu poloměru, průnikem je

bod, který nazýváme bod dotyku. Rovinu v tomto případě nazýváme tečná rovina.

Vzájemná poloha přímky a kulové plochy

Přímka má s kulovou plochou nejvýše dva společné body. Vzájemná poloha závisí na

vzdálenosti přímky od středu kulové plochy.

Je-li vzdálenost přímky od kulové plochy menší než její poloměr, má přímka s kulovou

plochou dva společné body.

Je-li vzdálenost přímky od středu kulové plochy větší než její poloměr, je průnikem prázdná

množina.

Je-li vzdálenost přímky od středu kulové plochy rovna jejímu poloměru, je průnikem jediný

bod, který nazýváme bod dotyku. Přímka je tečnou kulové plochy.


Vzájemná poloha přímky a koule

Je-li vzdálenost přímky od středu koule menší než její poloměr, je průnikem úsečka.

Je-li vzdálenost přímky od středu koule větší než její poloměr, je průnikem prázdná množina.

Je-li vzdálenost přímky od středu koule rovna poloměru koule, je průnikem jediný bod, který

nazýváme bod dotyku.


Kulová plocha

Varianta A

Určete všechny hodnoty parametru , pro něž rovnice

vyjadřuje kulovou plochu.

Příklad:

Rovnici upravíme na středový tvar

( ) ( )

( ) ( )

Rovnice bude rovnicí kulové plochy právě tehdy, jestliže pravá strana rovnice bude

větší než 0 ⇒ ⇒

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici .

Také určete průsečíky os souřadnic s kulovou plochou.

Řešení: [ ] průsečík s osou x a s osou neexistuje

[ √ ] [ √ ]

2.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici . Také

určete průsečíky souřadnicových os s kulovou plochou.

Řešení: [ ] √ [ ] [ ] [ ] [ ]




Také určete průsečíky souřadnicových os s kulovou plochou.

Řešení: [ ] √ [ √ ] [ √ ]

[ ( √ ) ] ; [ ( √ ) ] [ √ ] [ √ ]


Také určete průsečíky souřadnicových os s kulovou plochou.

Řešení: [ ] √ [ √ ] [ √ ]

[ √ ] [ √ ] [ ] [ ]


Kulová plocha

Varianta B

Napište rovnici kulové plochy, která má střed [ ] a prochází bodem [ ].

Pak určete průsečíky této plochy s přímkami, které procházejí bodem A a jsou rovnoběžné

s osami soustavy souřadnic.

Příklad:

Určíme poloměr kulové plochy jako vzdálenost bodů A a S.

| | √( ) ( ) ( ) √ √

Rovnice kulové plochy tedy je

( ) ( ) ( )

Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou x, má parametrické vyjádření

Vzájemnou polohu kulové plochy a přímky řešíme dosazením parametrických rovnic přímky

do rovnice kulové plochy

( ) ( ) ( )

( )

Průsečíky mají souřadnice: [ ] [ ]

Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou y, má rovnici

Dosadíme do rovnice kulové plochy

( ) ( ) ( )

( )

Průsečíky mají souřadnice. [ ] [ ]


Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou z, má rovnici

Dosadíme do rovnice kulové plochy

( ) ( ) ( )

Průsečíky mají souřadnice: [ ] [ ]

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Určete průsečíky kulové plochy dané rovnicí ( ) ( ) a přímky,

která prochází bodem [ ] a je rovnoběžná se souřadnicovou osou z.

Řešení: [ ] [ ]

2.) Jsou dány body [ ] [ ]. Určete společné body kulové plochy dané

rovnicí ( ) ( ) a polopřímky BA.

Řešení: [ ] [ ]

3.) Je dána přímka : a bod [ ]. Najděte rovnici

kulové plochy, která má střed v bodě A a s přímkou p má právě jeden společný bod.

Řešení: ( ) ( ) ( )

4.) Mezi kulovými plochami, které mají rovnice ( ) ( ) ( )

určete ty, které mají s přímkou právě

jeden společný bod.

Řešení:

Výsledek řešení:( ) ( ) ( )


Kulová plocha

Varianta C

Určete rovnice kulové plochy, která prochází body

[ ] [ ] [ ] [ ]. Určete rovnice tečných rovin kulové

plochy v bodech A, B a odchylku těchto tečných rovin.

Příklad:

Do středové rovnice kulové plochy budeme postupně dosazovat jednotlivé body.

( ) ( ) (1)

( ) ( ) (2)

( ) ( ) (3)

( ) ( ) ( ) (4)

Po umocnění a sečtení

(1)

(2)

(3)

(4)

Od rovnice (1) odečteme rovnici (2)

⇒


⇒


⇒

Dostáváme soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou vyřešíme

Po vyřešení soustavy dostaneme

Dopočítáme poloměr kulové plochy dosazením do některé z rovnic s výrazem ⇒

Kulová plocha má tedy rovnici

( ) ( )

Normálový vektor tečné roviny v bodě A je: ( )


Tečná rovina má tedy rovnici

Normálový vektor tečné roviny v bodě B je: ( )

Tečná rovina má tedy rovnici

Odchylka tečných rovin je odchylka normálových vektorů

√ √ ⇒

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C


1.) Určete společné body kulové plochy a přímky

[ ] [ ].

Řešení: [ ] [ ]

2.) Mezi rovinami, které mají rovnice určete ty, které se

dotýkají kulové plochy o rovnici . (Využijte střed a poloměr

kulové plochy).

Řešení: √

3.) Určete tečné roviny kulové plochy o rovnici ( ) ( ) ( )

v jejích bodech [ ] [ ] [ ].

Řešení:

4.) Je dána kulová plocha a bod [ ]. Určete

rovnici roviny, která se dotýká dané kulové plochy v bodě A.

Řešení: .


Analytická geometriestudent21.gjwprostejov.cz/uploads/VG10 Analyticka...počátek kartézské...

Documents

Transcript of Analytická geometriestudent21.gjwprostejov.cz/uploads/VG10 Analyticka...počátek kartézské...