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ANALYSIS REFERENCE Chapter 3. Elements

개요

midas Plant는 기하학적 모델링을 위한 다양한 요소 라이브러리를 사용할 수 있다. 이러한 요소들을 모델에 활용하여 선형 및 비선형 해석, 크레인 이동하중 해석 등 다양한 해석이 가능하다. 정확한 유한요소 해석을 위해서는 사용 가능한 요소의 종류와 각각의 특성을 이해하는 것이 중요하며, 3장에서는 midas Plant의 다양한 유한요소에 사용된 기술 및 배경이 되는 이론을 소개한다. midas Plant에서 사용 가능한 요소의 종류는 그 형상 또는 특성에 따라 다음과 같이 구분할 수 있다. 스칼라(Scalar) 요소 1개의 절점을 가지며 절점의 운동이 접지점(ground point)에 대한 상대값으로 정의되는 변형 또는 운동 에너지를 가지게 된다. 2 개의 절점에 의해 정의할 수도 있으나, 절점간의 거리 등의 형상 정보를 이용하지 않는다. Point spring/damper, mass 요소가 스칼라 요소에 해당된다. Spring/damper 의 경우는 주로 구조물의 경계에 해당하는 지반의 탄성이나 감쇠를 고려하기 위해 사용하며, mass 는 비구조체의 질량을 고려하기 위한 용도로 주로 사용된다. 1차원 형상 요소 두 개의 절점을 가지는 선 모양이며, 절점 간의 상대 거리 등의 형상 정보를 이용한다. Truss, beam, elastic link 등의 요소가 1차원 형상요소에 포함된다. Truss 는 brace 를, beam 은 보와 기둥을 구성하는 요소로 주로 사용되며, 대부분의 골조 구조를 모델링하는데 적용된다. Elastic link 는 비구조체로, 주로 설비와의 연결 강성을 고려하기 위한 용도로 사용된다. 2차원 형상 요소 삼각형 또는 사각형 모양이며 3/4 개의 절점을 가질 수 있다. 2 차원 형상은 공간 상에서 곡률을 가질 수 있다. Shell 요소가 2 차원 형상 요소에 해당된다. 슬래브나 벽체, 외피, 파이프 등을 모델링할 때 주로 사용된다. 3차원 형상 요소 사면체(tetrahedron), 오면체(pentahedron), 육면체(hexahedron) 모양이며 4/5/6/8개의 절점을 가질 수 있다. 오면체 요소는 쐐기(wedge) 형상 또는 피라미드(pyramid) 형상이 된다. Solid 요소가 3차원 형상요소에 해당된다. 설비나 기초 등의 체적을 가지는 구조를 모델링할 때 주로 사용된다. 강체 링크(Rigid link)/보간(interpolation) 요소

Section 1

Section 1. 개요 | 11

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절점 간의 강체(rigid body) 운동이나 상대 운동을 보간(interpolation)하여 정의할 수 있는 요소이다. 다중점 구속(multi-point constraint)과 유사한 특성을 가진다. Rigid link요소와 Interpolation 요소가 이에 해당된다. 주로 설비와의 접합을 정의할 때 주로 사용된다.

12 | Section 1. 개요


유한요소 정식화

응력에 의한 가상일의 원리(principle of virtual work)에 응력-변형률 관계와 변형률-응력 관계를 변분형태(variational form)의 구속조건으로 적용하면 Hu-Washizu 변분 원리 1, 2가 되며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

( ) ( ( ) ) ( )T T TextG dδ δ δ δ

Ω= ∇ + − + ∇ − Ω∫ u σ ε σ ε σ σ u ε (3.2.1)

extGδ : 외력에 의한 가상 일

u : 변위(displacement)

σ : 응력(stress)

ε : 변형률(strain)

( )σ ε : 변형률에 의해 계산된 응력

∇ : 변형률-변위 관계 연산자(operator) 위 식은 평형 방정식(equilibrium equation), 구성 방정식(constitutive equation) 그리고 적합조건 (compatibility condition)을 포함한 가장 일반적인 형태이다. 구성 방정식에 의해 변형률 ε과 응력 σ 의 관계가 항상 만족된다고 가정하면, 다음과 같이 Hellinger-Reissner 원리 3, 4 가 된다.

( ) ( ( ))T TextG dδ δ δ

Ω= ∇ + ∇ − Ω∫ u σ σ u ε σ (3.2.2)

( )ε σ : 응력에 의해 계산된 변형률 추가적으로 적합조건에 의해 ε과 ∇u 의 관계가 만족된다고 가정하면, 일반적인 가상일의 원리(principle of virtual work)가 된다.

1 Hu, H.C., “On some variational principles in the theory of elasticity and the theory of plasticity,” Scintia Sinica,

Vol. 4, 1955. 2 Washizu, K., On the Variational Principles of Elasticity, Aeroelastic and Structural Research Laboratory, MIT,

Technical Report, 1955. 3 Hellinger, E., “Der allgemeine Ansatz der Mechanik der Kontinua,” Encyclopadie der Mathernafischen

Wissenschaften, Vol. 4, 1914. 4 Reissner, E., “On a variational theorem in elasticity,” Journal of Mathematical Physics, Vol. 29, 1950.

Section 2

Section 2. 유한요소 정식화 | 13

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( ) ( )T

extG dδ δΩ

= ∇ Ω∫ u σ u (3.2.3)

가상일의 원리에 유한요소법을 적용하기 위하여 적분 영역을 하나의 요소로 국한하여 생각해 보자. 하나의 요소 내에서 변위 u 를 형상 함수로 보간하면 다음과 같다.

h e=u Nd (3.2.4)

N : 형상 함수 (shape function)

ed : 요소 절점 자유도

변형률-변위 관계 h h e= ∇ =ε u Bd 를 이용하면, 전체 요소에 대해 가상일의 원리를 다음과 같이 표현할 수 있다.

e

T T T TextG dδ δ δ δ

Ω

= = Ω = ∑∫d F d B DB d d Kd (3.2.5)

D : 응력-변형률 관계 행렬 선형 해석에서 전체강성행렬 K 는 전체 절점 자유도 d 에 독립적이며, 개별 요소의 강성 eK 는 다음과 같이 표현된다.

e

e T dΩ

= Ω∫K B DB (3.2.6)

이 식은 미소 변위를 가지는 탄성 구조물의 해석에 적합하지만, 동일한 원리를 이용하여 비선형 해석에 적용할 수 있다.

14 | Section 2. 유한요소 정식화


형상함수

요소의 정의는 형상함수(shape function)에 의한 변위장(displacement field)의 가정으로부터 출발한다. 본 절에서 사용되는 인덱스는 합의 규약(summation convention)을 따르지 않는다. 1,2,3 차원 형상함수는 자연좌표계( , ,ξ η ζ )에 대하여 표현된다. 2절점 형상함수

12

iiN ξ ξ+= , 1 1ξ− ≤ ≤

1 21, 1ξ ξ= − = 2절점 Hermite 형상함수

2 31 1 3 2N ξ ξ= − + , 2 3

2 2N l l lξ ξ ξ= − + , 2 33 3 2N ξ ξ= − , 2 3

4N l lξ ξ= − + , 0 1ξ≤ ≤ l : 요소길이 3절점 삼각형

1 1N ξ η= − − , 2N ξ= , 3N η=

ξ

η

(1, 0)(0, 0)

(0, 1)

1 2

3

Section 3

3.1 1 차원 형상

3.2 2 차원 형상 그림 3.3.1 삼각형 요소의 절점 위치와 자연좌표계

Section 3. 형상함수 | 15

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4절점 사각형

( )( )1 1 14i i iN ξ ξ ηη= + +

4절점 사면체

1 1N ξ η ζ= − − − , 2N ξ= , 3N η= , 3N ζ=

6절점 오면체

(-1, -1)

ξ

η

(1, 1)

1 2

34

η

ζ

ξ(1, 0, 0)

(0, 0, 1)

(0, 1, 0)

(0, 0, 0)

1

2

4

3

그림 3.3.2 사각형 요소의 절점 위치와 자연좌표계

3.3 3 차원 형상

그림 3.3.3 사면체 요소의 절점 위치와 자연좌표계

16 | Section 3. 형상함수


1 (1 )(1 )2i iN ξ η ζ ζ= − − + , 1, 4i =

1 (1 )2i iN ξ ζ ζ= + , 2,5i =

1 (1 )2i iN η ζ ζ= + , 3,6i =

5절점 오면체는 피라미드 모양이며, 절점 결합에 의한 감절점 형상함수(degenerated shape function)가 널리 이용된다. 그러나 이 형상함수는 수치적분의 문제점 5이 존재하는 것으로 알려져 있기 때문에 midas Plant에서는 다음과 같은 형태를 사용한다. 5절점 오면체

1 (1 )(1 ) 4 1i i i i iN ξηζξ ξ ηη ζ ξη

ζ= + + − +

−, 1, 2,3, 4i =

5N ζ=

5 Bedrosian, G., “Shape functions and integration formulas for three-dimensional finite element analysis”,

International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 35, 1992

η

ζ

ξ

(1, 0, -1)

(0, 0, 1)

(0, 1, -1)

(0, 0, 0)

1

2

3

4

5

6

그림 3.3.4 오면체(쐐기) 요소의 절점 위치와 자연좌표계

그림 3.3.5 오면체(피라미드) 요소의 절점 위치와 자연좌표계


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8절점 육면체

1 (1 )(1 )(1 )8i i i iN ξ ξ ηη ζ ζ= + + + , 1, 2,3,...,8i =

위의 형상 함수들을 이용하여 3.1절의 정식화 과정에 적용하려면 수치 적분(numerical integration) 방법이 필요하다. 수치 적분은 강성 행렬, 질량 행렬, 하중 벡터, 요소 내력(internal force) 등을 계산할 때 필요하며 midas Plant에서 사용하는 수치적분 방법으로는 가우스(Gauss) 적분법과 Lobatto 적분법이 있다.

수치 적분법 행렬의 종류 적용 요소

Gaussian quadrature

강성 행렬

구조 요소 수치 적분을 사용하는 모든 요소

분포 질량 (consistent mass)

모든 요소

η

ξ(0, 0, 0)

1 2

34

5

9

ζ (1, 1, 0)

(0, 0, 1)

(-1, -1, 0)

5

78

6

1

34

2

η

ξ

ζ

그림 3.3.6 육면체 요소의 절점 위치와 자연좌표계

표 3.3.1 수치 적분법의 종류와 적용 요소

18 | Section 3. 형상함수


질량 행렬

집중 질량 (lumped mass)

대각항 스케일링 6 (diagonal scaling)을 사용하는 모든 요소

Lobatto quadrature

강성 행렬

구조 요소 -

질량 행렬

분포 질량 (consistent mass)

-

집중 질량 (lumped mass)

3절점 삼각형, 4절점 사각형 4절점 사면체, 6절점 오면체, 8절점 육면체

6 Hinton, E., Tock, T. and Zienkiewicz, O.C., “A Note on mass lumping and related processes in the finite element

method,” Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 4, 1976

-1.0 1.00.0

-1.0 1.013

−13

-1.0 1.00.0

Gauss Lobatto

-1.0 1.00.0

-1.0 1.013

−13

-1.0 1.00.00.6− 0.6

Gauss Qudarature

그림 3.3.8 수치 적분법에서 적분점 위치


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잠김 현상에 대한 보완

변위장 가정(assumed displacement) 방법에 의한 유한요소는 일반적으로 해(solution)의 정확도가 매우 떨어지는 것으로 알려져 있다. 이러한 이유는 잠김(locking) 현상 때문이며, 이를 해결하여 해의 정확도를 높이는 것은 유한요소 프로그램의 활용성에 있어서 매우 중요하다. midas Plant에서는 다음에 설명하는 방법들을 사용하여 각 요소의 정밀도를 높이고 있다. 각각의 방법은 독립적으로 사용되지 않으며, 요소에 따라 2가지 또는 3 가지 이상의 기법들이 혼용되어 사용될 수 있다. 혼합 정식화 방법은 변분 이론 또는 변위와 혼합하여 가정하는 성분에 따라 매우 다양하게 분류할 수 있다. midas Plant에서는 응력 가정(assumed stress) 방법과 혼합 u-p 방법을 사용하고 있다. Hellinger-Reissner의 원리에 의해 변위와 응력을 미지수로 하는 변분식은 다음과 같다.

1( ) ( )T TextG dδ δ δ −

Ω= ∇ + ∇ − Ω∫ u σ σ u D σ (3.4.1)

임의의 요소에 대해 형상함수에 의한 변위를 h e=u Nd 로, 응력을 e=σ Pβ 로 가정하여 대입하면, 위 식의 우변은 다음과 같다.

( )eT T e eT e eδ δ+ −d Q β β Qd Pβ (3.4.2) 여기서

e

Ted

Ω= Ω∫Q P B (3.4.3)

1

e

Ted−

Ω= Ω∫P P D P (3.4.4)

eβ 는 요소 사이에서 연속적이라고 가정하지 않기 때문에 요소 내에서 다음과 같이 소거할 수 있다.

1e e−=β P Qd (3.4.5)

이 식을 식 (3.4.2)에 대입하면 요소 강성은 다음과 같다.

Section 4

4.1 혼합 정식화 방법

(Mixed-hybrid formulation)

20 | Section 5. Continuum 요소


1e T −=K Q P Q (3.4.6) 응력을 가정하는 함수 P 를 적절하게 선택하는 것은 요소의 성능을 좌우하는 가장 중요한 부분이다. 예를 들어 shell 요소의 면내(in-plane) 방향 응력 7은 다음과 같이 가정한다.

1 0 0 0ˆ 0 1 0 0

0 0 1 0 0

xx

yy

xy

σ ησ ξτ

= = = =

σ Pβ TPβ T β (3.4.7)

여기서 T 는 다음과 같은 반변(contravariant) 응력 성분의 좌표변환 행렬이다.

2 211 21 11 212 212 22 12 22

11 12 21 22 11 22 12 21

2ˆ 2

j j j jj j j j

j j j j j j j j

ξξ

ηη

ξη

σστ

= =

+

σ Tσ (3.4.8)

변환 행렬의 각 항은 자코비안(Jacobian)으로부터 계산되며, 주로 요소 중심에서의 값을 이용한다.

11 12

21 22

x yj jj jx y

ξ ξ

η η

∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂

J (3.4.9)

혼합 u-p 법은 응력 σ의 모든 성분을 가정하는 대신에 정수압 응력(hydrostatic stress) 또는 압력(pressure) p 만을 가정하는 방법으로서, 비압축성(incompressible) 재료에서 발생하는 잠김 현상에 대한 해법 8으로 이용되어 왔다. 응력 텐서를 다음 식과 같이 편차 응력(deviatoric stress)과 압력으로 분해하여 Hu-Washizu 변분 원리를 이용한다.

( )dev p

p Ktr= −=

σ σ Iε

(3.4.10)

devσ : 편차 응력

K : 체적 탄성계수 (bulk modulus) ( )tr ε : 변형률의 대각합 (trace)

7 Pian, T.H.H. and Sumihara, K., “Rational approach for assumed stress finite elements,” International Journal

for Numerical Methods in Engineering, Vol. 20, 1984 8 Zienkiewicz, O.C., Rojek, J., Taylor, R.L. and Pastor, M., “Triangles and tetrahedral in explicit dynamics codes

for solids,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 43, 1998

Section 4. 잠김현상에 대한 보완 | 21

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자연 변형률 가정법은 고전적인 변위 가정법에서 크게 벗어나지 않기 때문에 쉽게 적용할 수 있는 방법으로 널리 사용되어 왔으며, 특히 shell 요소에 대한 적용 사례 9 , 10 , 11를 많이 찾아볼 수 있다. 이론적으로는 Hu-Washizu 원리를 기반으로 하고 있으나, 유한요소법에 적용할 때에는 B-bar 방법 12의 일종으로 간주할 수 있다.

예를 들어 위의 그림과 같은 4 절점 shell 요소의 횡방향 전단 변형률에 자연 변형률 가정법을 적용해 보자. 자연 좌표계 성분 중 Zξγ 는 B, D 위치에서, Zηγ 는 A, C 위치에서 정확한 것으로 알려져 있다. 이 값들을

이용하여 적분점에서의 변형률을 다음과 같이 보간한다.

1 1(1 ) (1 )2 2

B Dz z zξ ξ ξγ η γ η γ= − + + (3.4.11)

1 1(1 ) (1 )2 2

A Cz z zη η ηγ ξ γ ξ γ= − + + (3.4.12)

자연 좌표계에서의 변형률은 다음의 변환식을 이용하여 공간 좌표계로 변환할 수 있다.

xz zT

yz z

ξ

η

γ γγ γ

− = =

γ T (3.4.13)

9 MacNeal, R.H., “Derivation of element stiffness matrices by assumed strain distribution,” Nuclear Engineering

and Design, Vol. 70, 1982

10 Hughes, T.J.R. and Tezduyar, T.E., “Finite elements based upon Mindlin plate theory with particular reference

to the four-node bilinear isoparametric element,” Journal of Applied Mechanics, Vol. 48, 1981

11 Bathe, K.J. and Dvorkin, E.N., “A formulation of general shell elements-The use of mixed interpolation of

tensorial components,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 22, 1986

12 Hughe, T. J. R., The Finite Element Method, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1987

ξ

η

1 2

34

A

B

C

D

Local transverse direction

x

xx

xIntegration

point

4.2 자연 변형률 가정법

(ANS: assumed natural strain)

그림 3.4.1 횡방향 전단 변형률의 가정



여기서 T 는 다음과 같은 공변(covariant) 성분의 좌표변환 행렬이다.

11 21

12 22

j jj j

=

T (3.4.14)

변환 행렬의 각 항은 자코비안(Jacobian)으로부터 계산된다. 자연 변형률 가정법은 식 (3.4.11-13)을 이용하여 변형률만을 바꾸어주기 때문에, 변위 가정법에서 B 행렬을 다음과 같이 수정하는 것과 같다.

e= ∇ =ε u Bd (3.4.15)

개선된 변형률 가정법은 비적합 모드(incompatible mode) 13를 이용한 방법과 매우 유사하며 결과 또한 동일하지만, Hu-Washizu 원리에 이론적 기반을 두고 있으며 변위가 아닌 변형률 가정에서 출발한다는 점 14에서 다르다. 다음의 Hu-Washizu 변분식은 3가지 항(변위, 변형률, 응력)을 미지수로 가정하고 있다.

( ) ( ) ( )T T TextG dδ δ δ δ

Ω= ∇ + − + ∇ − Ω∫ u σ ε Dε σ σ u ε (3.4.16)

변형률 ε을 변위로부터 계산된 적합(compatible) 항과 비적합 항(개선된 변형률 가정)의 합으로 가정한다.

= ∇ +ε u ε (3.4.17) 위 식을 (3.4.16)에 대입하여 정리하면 다음과 같다.

( ) ( ) ( )T T TextG dδ δ δ δ

Ω= ∇ ∇ + + ∇ + − − Ω∫ u D u ε ε D u Dε σ σ ε (3.4.18)

응력 분포와 변형률의 비적합 항이 요소 내에서 직교한다고 가정하면 변위와 개선된 변형률만으로 이루어진 다음 식이 된다.

( ) ( )T TextG dδ δ δ

Ω= ∇ ∇ + + ∇ + Ω∫ uD u ε ε D u Dε (3.4.19)

13 Taylor, R.L., Beresford, P.J. and Wilson, E.L., “A non-conforming element for stress analysis,” International

Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 10, 1976

14 Simo, J.C. and Rifai, M.S., “A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes,”


4.3 개선된 변형률 가정법

(EAS: enhanced assumed strain)


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임의의 요소에 대해 형상함수에 의한 변위를 h e=u Nd 로, 개선된 변형률을 e=ε Gα 로 가정하여 대입하면, 위 식의 우변은 다음과 같다.

eT e e eT e e eT e e eT e edd d dα α ααδ δ δ δ+ + +d K d d K α α K d α K α (3.4.20)

여기서 e

ddK 는 변위 가정에 의한 고전적인 요소강성이며 edαK 와 e

ααK 는 다음과 같다.

e

e Td edα Ω= Ω∫K B DG (3.4.21)

e

e Tedαα Ω

= Ω∫K G DG (3.4.22)

eα 는 요소 사이에서 불연속이라 가정하고 eδα 에 대한 외력의 일(work)은 없기 때문에 요소 내에서

다음과 같이 소거할 수 있다.

1e e e edαα α

−= −α K K d (3.4.23) 이 식을 식 (3.4.20)에 대입하면 요소강성은 다음과 같다.

1e e e e edd d dα αα α

−= −K K K K K (3.4.24) 개선된 변형률을 가정하는 함수 G 를 적절하게 선택하는 것은 요소의 성능을 좌우하는 가장 중요한 부분이다.

적분 차수를 낮게 적용한 적분점에서의 변형률은 다른 위치에서의 값보다 정확한 것으로 알려져 있다 15, 16. 또한 요소의 잠김 현상은 일반적으로 변형률의 불필요한 차수 때문에 발생하므로 수치적분을 통하여 이러한 고차 변형 형상을 제거할 수 있다. 그러나 감차 적분은 경우에 따라 강성 행렬의 수치적 성질을 악화시키기 때문에 가영 에너지 모드(spurious zero energy mode or hourglass mode)를 유발할 수도 있다.

15 Barlow, J., “A stiffness matrix for a curved membrane shell,” Conf. Recent Advances in Stress Analysis, Royal

Aeron. Soc., 1968 16 Barlow, J., “Optimal stress locations in finite element models,” International Journal for Numerical Methods

in Engineering. Vol. 10, 1976

4.4 감차 적분법

(reduced integration)



일반적으로 3차원 저차 요소의 변형률은 다음과 같은 식으로 근사화 할 수 있다.

0 1( ( , , )) eξ η ζ= ∇ ≈ +ε u B B d (3.4.25) 적분 차수를 낮게 적용하여 요소의 잠김 현상을 제거하는 방법은 0B 만을 이용하는 것과 같고, 이는 요소의 중심에서 변형률을 평가하는 것과 같다. 그러나 요소 중심의 변형률을 이용하는 경우 균일한 변형이 가해지는 검증 해석(patch test)을 만족하지 못하는 문제가 발생하며, 이를 해결하기 위하여 0B 를

0B 로 대체하는 것이 일반적이다 17. 평균 변형률에 해당하는 0B 는 다음 식을 만족한다.

01

ee

e

dV Ω

= Ω∫B B (3.4.26)

여기서 eV 는 요소 체적을 의미한다. 평균 변형률에 해당하는 0B 만을 이용하게 되면 앞서 설명한 가영 에너지 모드에 대한 변형 에너지가 고려되지 않으며, 저차 요소에서는 그 현상이 매우 심하기 때문에 이를 안정화 할 수 있는 기법이 필요하다. “Hourglass control”이라 불리는 안정화 기법에는 다양한 방법이 존재하며, midas Plant 에서는 Puso에 의해 제안된 물리적 안정화(physical stabilization) 기법 18을 이용한다. 예를 들어 8 절점 육면체 요소의 안정화 변형률 계산을 위해 1B 을 자연 좌표계에 대해 표현하면 다음과

같다.

1 ξ η ζ ξη ηζ ζξξ η ζ ξη ηζ ζξ= + + + + +B B B B B B B (3.4.27) 위 식의 변형률을 모두 사용하게 되면 감차 적분의 효과가 사라지기 때문에, 일부 전단 변형률 항을 제외하는 것이 일반적이다. 평균 변형률과 안정화 기법을 적용하면 선택적 감차 적분(selective reduced integration)과 동일한 효과를 얻을 수 있을 뿐만 아니라, 수치 적분 과정을 다음 식으로 대체하기 때문에 계산 속도에 있어서 큰 장점이 있다.

[] []8e

ee

Vd d d dξ η ζΩ

Ω =∫ ∫∫∫ (3.4.28)

17 Flanagan, D.P. and Belytschko, T., “A uniform strain hexahedron and quadrilateral with orthogonal hourglass

control,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 17, 1981 18 Puso, M.A., “A highly efficient enhanced assumed strain physically stabilized hexahedral element,”


4.5 감차적분의 안정화 (stabilization) 기법


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비적합 요소는 요소간 적합조건을 적분 형태로 만족하도록 하기 위해 변형률을 분해하는 방법을 사용한다. 앞서 설명한 EAS 방법 역시 비적합 요소의 일종으로 볼 수 있다. 일반적으로 요소간의 적합조건을 적분 형태로 표현하면 다음과 같다.

*,

e ei j i ju d u n dS

Ω ∂ΩΩ =∫ ∫ (3.4.29)

*u : 요소 내부에서 가정한 변위 u : 요소의 바깥 면에서 가정한 변위

jn : 요소 바깥 면에 수직한 벡터 (direction cosine)

j : j 방향 미분

요소 내부에서 가정한 변위는 일반적인 형상함수를 이용한 부분과 그 외의 추가 부분으로 구성한다.

* e= +u Nd Pλ (3.4.30) 요소의 바깥 면에서 가정한 변위 역시 일반적인 형상함수를 이용한 부분과 그 외의 추가 부분으로 가정한다. 단, 가정된 변위는 절점 변위의 보간 형태로 표현한다.

e eα= +u Nd Md (3.4.31)

M : 추가된 형상함수 ( ≠ N )

위 식에서 α 는 임의의 계수이며, 요소의 수렴성 또는 해의 정확도를 기초로 가장 적절한 값을 사용한다.

식 (3.4.30)과 식 (3.4.31)를 식 (3.4.29)에 대입하면 ed 를 이용하여 λ 를 계산할 수 있다. 계산된 λ 를 이용하면 요소의 변형률이 다음과 같이 표현된다.

( )e= + ∇ε Bd P λ (3.4.32) 비적합 요소는 변위 가정법에서 B 행렬을 다음과 같이 수정하는 것과 같다.

e= ∇ =ε u Bd (3.4.33)

4.6 비적합(non-conforming) 요소



Continuum 요소

연속체(Continuum) 요소는 기초나 설비와 같은 체적 모델링에 사용된다. 3차원 해석에서의 solid 요소가 이에 해당한다. Solid 요소는 기초와 같이 부피가 있는 구조물의 모델링에 주로 이용된다. midas Plant에서 사용할 수 있는 solid 요소는 사면체(tetrahedron), 오면체(pentahedron), 육면체(hexahedron) 형상이며 4/5/6/8 개의 절점을 가질 수 있다. 오면체 요소로는 쐐기(wedge) 형상과 피라미드(pyramid) 형상이 있다. 좌표계 사면체 요소의 ECS 는 절점 1, 2, 3 이 이루는 삼각형 형상에 plane stress 요소의 ECS 정의 규칙을 적용한 것과 같다. 오면체 쐐기 요소의 ECS 는 절점 1과 4, 절점 2와 5, 절점 3 과 6의 중점들이 이루는 삼각형 형상에 plane stress 요소의 ECS 정의 규칙을 적용한 것과 같다. 오면체 피라미드 요소의 ECS 는 절점 1, 2, 3, 4 가 이루는 사각형 형상에 plane stress 요소의 ECS 정의 규칙을 적용한 것과 같다. 육면체 요소의 경우에는 먼저 ECS 에 근접한 벡터를 다음과 같이 정의한다. r : 절점 1, 5, 8, 4의 중점에서 절점 2, 6, 7, 3의 중점을 향하는 벡터 s : 절점 1, 2, 6, 5의 중점에서 절점 4, 3, 7, 8의 중점을 향하는 벡터 t : 절점 1, 2, 3, 4의 중점에서 절점 5, 6, 7, 8의 중점을 향하는 벡터 위 세 개의 벡터와 가장 근접하게 놓이는 직교 좌표계가 육면체 요소의 ECS 가 된다.

Section 5

5.1 Solid 요소

그림 3.5.1 Solid 요소의 좌표계

Section 5. Continuum 요소 | 27

Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

자유도 Solid 요소는 GCS 의 x , y , z 축 모든 방향에 대한 변위를 자유도로 가진다.

Ti i i iu v w=u

(3.5.1) 응력과 변형률 Solid 요소는 GCS 에서 정의된 응력과 변형률 고려하며 그 성분은 다음과 같다.

xx

yy

zz

xy

yz

zx

σσστττ

=

σ ,

xx

yy

zz

xy

yz

zx

εεεγγγ

=

ε (3.5.2)

(3차원 응력과 변형률)

2

3

4

1

ECS x−

ECS y−

ECS z− ECS y−

ECS x−

1

2

3

4

5

6

ECS z−

1

2

3

4

5

ECS x−

ECS y−

ECS z−

1 2

34

5 6

78

ECS y−

ECS x−

ECS z−

그림 3.5.2 Solid 요소의 응력/변형률



하중 Solid 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.

하중 종류 설명 중력에 의한 자중 재료의 밀도에 대해 적용

압력 하중 요소의 면에 작용하는 분포하중 요소 온도 하중 체적변형을 유발하는 요소 온도

요소 결과 midas Plant의 solid 요소의 결과는 사용자가 지정한 기준 좌표계에 대한 값으로 출력된다. 사용자가 선택할 수 있는 결과 좌표계(ERCS)는 멤버단위로 정의된 멤버의 요소 좌표계이다.

결과 항목 설명

Stress

Stress component 위치 : 꼭지점/요소중심

xxσ , yyσ , zzσ , xyτ , yzτ , zxτ

Principal stress 위치 : 꼭지점/요소중심

1P , 2P , 3P , 주응력 방향

Von-Mises stress 위치 : 꼭지점/요소중심

vσ

Max shear stress 위치 : 꼭지점/요소중심

GCS x−

GCS y−GCS z−

,xx xxσ ε

,xy xyτ γ

,zx zxτ γ

,yy yyσ ε

,xy xyτ γ

,yz yzτ γ

,zz zzσ ε

,yz yzτ γ

,zx zxτ γ

표 3.5.1 Solid 요소에 적용되는 하중

표 3.5.2 Solid 요소의 결과 항목


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

maxτ

Octahedral stress 위치 : 꼭지점/요소중심

oτ

Mean pressure 위치 : 꼭지점/요소중심

0p

요소 기법의 선택 midas Plant에서 사용할 수 있는 solid 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러 가지 종류가 있다. 다음은 각각에 대해 midas Plant에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, 음영으로 표시된 것이 기본값이다.

형상 절점수 명칭 요소기법 강성행렬 수치적분

집중질량 계산방법

사면체 4 Full integration 변위가정법 1점 Lobatto

Enhanced EAS, u-p혼합법 4점 Lobatto

쐐기 6

Full integration 변위가정법 3X2점 Lobatto Reduced integration

(stabilized) 감차적분법

(안정화 기법) 1X1 점 Lobatto

Hybrid 혼합법 3X2점 Lobatto

피라미드 5

Full integration 변위가정법 4X2점 대각항 스케일링

Reduced integration 감차적분법 1X1 점 대각항 스케일링

Hybrid 혼합법 4X2점 대각항 스케일링

육면체 8

Full integration 변위가정법 2X2X2점 Lobatto Reduced integration

(stabilized) 감차적분법

(안정화 기법) 1X1X1 점 Lobatto

Hybrid 혼합법 2X2X2점 Lobatto 각 요소 기법의 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다. 4절점 요소 : 기법에 관계 없이 변위 결과는 비슷하나, EAS 와 u-p 혼합법을 이용한 요소가 더 정확한 응력 결과를 보인다. 6절점 요소 : 얇은 구조물에 대해 혼합법을 적용한 요소의 성능이 월등하다. 8절점 요소 : 굽힘을 받는 구조물에 대해 혼합법 또는 감차적분법을 적용한 요소의 성능이 월등하다.

표 3.5.3 Solid 요소에 사용된 성능향상 기법



비선형 해석 Solid 요소는 P-delta effect 를 고려할수 없는 요소이며, midas Plant에서는 Solid요소에 대해서는 선형 탄성 재료만 지원하므로, 비선형 해석에서도 선형요소로 적용된다.


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

구조 요소

특정 하중 상태를 효과적으로 표현하기 위한 요소를 구조(structural) 요소로 분류하였고, Truss, beam, shell 요소가 이에 해당한다. 모델링 시에 구조 부재의 하중 상태 및 변형 조건이 해당 요소의 가정에 적합한지 확인 할 필요가 있다. Truss 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선 요소이며, 일반적으로 공간트러스(space truss) 또는 대각부재(diagonal brace) 등 단면적에 비해 길이가 길어 휨 거동이 무시되는 부재를 모델링 하는데 사용된다.

좌표계

Truss 요소의 ECS 에서 x 축 방향은 절점 1 에서 2 방향을 향한다. 유한요소 정식화는 ECS 를 기준으로 한다.

자유도

Truss 요소는 ECS 의 x축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다.

i iu=u , i xiθ=θ (3.6.1) 응력과 변형률

Truss 요소는 그림 3.6.1과 같이 ECS 에서 정의된 축방향 변형와 비틀림을 표현한다.

,xx xxN ε

1

2

ECS x−

,x xM φ

,xx xxN ε

,x xM φ

Section 6

6.1 Truss 요소

그림 3.6.1 Truss 요소의 좌표계와 응력/변형률

32 | Section 6. 구조 요소


xxN=N , xxε=ε (3.6.2)

(축방향 힘과 변형률)

xM=T , xφ=φ (3.6.3) (비틀림 모멘트와 비틀림)

하중

Truss 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.

하중 종류 설명 중력에 의한 자중 재료의 밀도에 대해 적용 요소 온도 하중 길이변형을 유발하는 요소 온도

요소 결과

Truss 요소를 사용했을 경우에 요소 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는 항상 ECS 이다.


Stress Axial stress 위치 : 요소 중심, xxσ

Torsional stress 위치 : 요소 중심

비틀림 응력 계수 c 로부터 계산( /Tc Jτ = )

Force /Moment

Axial force 위치 : 요소 중심, xxN

Torsional Moment 위치 : 요소 중심, xM

비선형 해석

Truss 요소는 P-delta해석과 선형 좌굴해석에서 축력에 대한 기하학적 비선형성을 고려할 수 있으며, 압축 또는 인장전담의 재료특성을 가질 수 있다. 압축이나 인장전담 특성이 있는 경우 일반 정적 하중에 대해서 자동으로 비선형 해석을 수행하게 되는데, 비선형 하중조합을 사용하는 경우는 하중조합별로 압축이나 인장특성이 개별적으로 결정되고 각 하중조합을 구성하는 개별 하중의 기여도 결과도 같이 출력된다. Beam 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 1차원 선 요소이며, 단면의 치수에 비하여 길이가 긴 부재가 굽힘 변형을 받을 때 주로 사용된다. 길이에 대한 단면의 폭 또는 높이 비가 대략 1/5 보다 커질 경우에는 전단 변형에 의한 영향이 매우 커지게 되므로, beam 요소를 사용하지 않고 shell 요소나 solid 요소를 사용하는 것이 바람직하다.

표 3.6.1 Truss 요소에 적용되는 하중

표 3.6.2 Truss 요소의 결과 항목

6.2 Beam 요소

Section 6. 구조 요소 | 33

Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

좌표계 Beam 요소의 ECS 는 공간상의 배치 방향에 따라 자동으로 결정된다. Beam 요소의 유한요소 정식화는 ECS 에 대하여 수행한다. ECS 의 결정 방법은 다음과 같다. ECS-x : 작도된 1D Member의 벡터를 기준으로 GCS-X 성분이 양의 값이 되는 방향으로 ECS-x를 설정한다. 만약 작도된 1D Member 의 X 방향 벡터 성분이 0인 경우에는 Y 방향 성분이 양의 값이 되는 방향으로 설정하며, Y 방향 성분도 0인 경우에는 Z방향 성분이 양의 값이 되는 방향으로 설정한다. ECS-z : ECS-x 를 설정 후 ECS-z 를 설정한다. ECS-x 에 수직인 평면에 GCS-Z 축을 투영하여, 투영된 Z축의 양의 방향으로 ECS-z 를 설정한다. 만약 ECS-x가 GCS-Z 와 일치한 경우, 위와 같이 ECS-z 를 설정할 수 없으므로, ECS-x에 수직인 평면에 GCS-Y 축을 투영하여, 투영된 Y 축의 양의 방향으로 ECS-y를 설정한다.

zy

xGCS

ECS x−

1

2

ECS y−

ECS z−그림 3.6.2 부재 방향에 따른 Beam 요소의 좌표계 설정



자유도 Beam 요소는 ECS 의 모든 축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다.

Ti i i iu v w=u , T

i xi yi ziθ θ θ=θ (3.6.4)

응력과 변형률 Beam 요소는 그림 3.6.3과 같이 ECS 에서 정의된 축방향 변형, 굽힘, 비틀림, 전단 변형 등을 고려할 수 있다. 전단 변형을 고려하지 않는 Euler 이론을 적용할 경우에는 전단 단면적 (shear area)에 0을 입력하면 된다.

xxN=N , xxε=ε (3.6.5) (축방향 힘과 변형률)

y

z

MM

=

M , y

z

κκ

=

κ (3.6.6)

(굽힘 모멘트와 곡률)

xM=T , xφ=φ (3.6.7) (비틀림 모멘트와 비틀림)

zy

x

ECS x−

ECS y−

ECS z−

1

2


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

y

z

QQ

=

Q , xy

zx

γγ

=

γ (3.6.8)

(전단력과 전단변형률)

하중 Beam 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.

하중 종류 설명 중력에 의한 자중 재료의 밀도와 비구조 질량에 대해 적용

Beam 요소 하중 요소의 절점 사이 임의 구간에 작용하는 분포하중 또는 요소의 절점 사이 임의 위치에 작용하는

집중하중

Beam 요소 온도 하중 축방향 변형을 유발하는 단면 평균 온도

굽힘을 유발하는 단면 온도 구배

Beam 요소 하중은 그림 3.6.4와 같이 분포하중 또는 집중하중의 형태로 재하할 수 있으며, ECS 또는 GCS에 대하여 방향을 설정할 수 있다. 분포하중 방향을 GCS 로 정의하는 경우, 하중방향에 수직한 선분 길이에 대하여 분포하중이 작용하도록 GCS 와 ECS 축 간의 각도를 고려한 유효 분포하중 재하할 수 있다(그림 3.6.5).

ECS x−

1

2

ECS y−ECS z−

,x xM φ,xx xxN ε

,z zM κ

,z zxQ γ

,y yM κ ,y xyQ γ

,x xM φ

,xx xxN ε

,z zM κ

,z zxQ γ

,y yM κ

,y xyQ γ

그림 3.6.3 Beam 요소의 좌표계와 응력/변형률

표 3.6.3 Beam 요소에 적용되는 하중

그림 3.6.4 Beam 요소 하중의 적용 예



요소 결과 Beam 요소 끝단 결과뿐 아니라 내부 결과를 효과적으로 확인하기 위하여 각 요소를 4 개의 등분된 출력 세그먼트(output segment)로 분할 정의한다. Beam 요소 결과는 출력 세그먼트의 양 끝단 (A-B)에서 볼 수 있으며, 확인할 수 있는 결과 항목은 다음과 같다. Stress 와 Force의 기준 좌표계는 항상 ECS 이고, 멤버의 최대 상대처짐계산을 위한 Internal displacement 의 기준좌표계는 항상 GCS 이다.

1 2

21

P M

1p 2p 2m1m

w

L

z

xGCS

θ

w

Lθ

cosw θ

Lθ

Distributed beam load on original segment Distributed beam load on projected segment

| |

그림 3.6.5 하중 방향에 따른 Beam 요소 하중의 조정


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE


Stress

Axial stress 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

xxσ

Torsional stress 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

비틀림 응력 계수 c 로부터 계산( /Tc Jτ = )

Combined stress 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

사용자 지정 위치(1,2,3,4)에서 축력과 굽힘에 의한 응력 xxσ

Combined stress-Max 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

1~4 위치 중 Axial stress 와 Point stress 합의 절대 최대

Bending stress 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

1~4 위치 중 방향별 굽힘에 의한 응력 xxσ 절대 최대

Torsional stress 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

단면 1차모멘트와 단면폭 x단면 2차모멘트 비가 최대인 위치에서 계산

Shear stress 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

/ ( )xy y kyQ S Aτ = , / ( )xz z kzQ S Aτ =

Von-mises stress 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

( )2 2 2 23v xx xy xz xxσ σ τ τ τ= + + +

Force /Moment

Axial force 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

xxN

Bending moment 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

yM , zM

Torsional moment 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

xM

Shear force 위치 : 각 세그먼트의 A-B 단

yQ , zQ Internal

displacement Translation XT , YT , ZT

표 3.6.4 Beam 요소의 결과 항목

그림 3.6.6 Beam 요소의 결과 출력 위치와 방향



내부 변위(Internal displacement) 세그먼트(output segment)에서의 변위는 전단변형을 고려한 선형 보 이론식에 의하여 계산된다. 계산된 변위는 midas Plant 에서 적용할 수 있는 모든 하중 및 오프셋(offset) 정보를 반영한다. 따라서, 요소를 세분화 하여 얻은 결과와 동일하며, 적은 요소를 사용하더라도 정확한 변위를 얻을 수 있다. 하지만 선형 이론에 기반하여 변위를 계산하기 때문에, P-delta 해석과 같은 비선형성에 의한 효과는 반영하지 못한다. 단부 해제조건(release) 단부 해제조건은 부재의 양단이 핀 접합과 같이 특정 방향의 운동에 대해 상호 구속이 발생하지 않는 경우에 사용한다. 단부 해제조건은 ECS 에 대해 적용되기 때문에 GCS 에 대한 연결 해제를 입력하고자 하는 경우에는 좌표계 상호관계를 정확히 파악하여 사용해야 한다. 또한 단부 해제가 적용된 절점에는 구속되지 않은 성분에 대한 자유도가 추가되며, 결과적으로 연결된 전체 구조물이 불안정해질 수 있다. 따라서 단부 해제조건을 사용하는데 있어서 조건을 포함한 구조계의 안정성에 대한 종합적인 검토가 필요하다.

Rotation DOF released

Translation DOFreleased

Pin joint

Sliding joint그림 3.6.7 단부 해제조건의 적용 예

ECS x−

I

J

ECS y−ECS z−

xM

xxN

zM

zQ

yM yQ

xM

xxN

zM

zQ

yMyQ

2

34

1

ECS y−

ECS z−

Stress recovery point (I-section)

1/41/2

3/4YT

XTZT


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

오프셋(offset) Beam 요소의 중립축이 절점과 격리되어 있는 경우 또는 연결되는 요소 간의 중립축이 일치하지 않는 경우에는 오프셋을 사용할 수 있다. 오프셋은 beam 요소의 절점에 설정되어 있는 NCS 에 대해 적용되며, 오프셋이 요소의 축방향으로 설정된 경우에는 요소의 길이에 변화가 있는 것으로 간주한다.

강성역(rigid end offset) 골조부재로 이루어진 구조물은 중립축간의 교차점 사이의 거리를 해당부재의 길이로 간주하여 해석한다. 이로 인해 실제보다 다소 큰 변위가 계산되고, 단부 및 중앙부의 모멘트 또한 크게 계산된다. 이를 해결하기 위해 기둥과 보의 접합부나 부재 단부의 강성역을 고려할 수 있다. 접합부에서 휨변형과 전단변형 등이 발생하지 않는다고 가정하면 골조부재의 휨변형과 전단변형에 대한 유효강성길이는 부재의 양 중립축 교차점(양단절점) 사이의 길이와 강성역의 길이로 표현할 수 있다.

( )' i jL L ZF R R= − + (3.6.9)

'L : 유효강성길이

L : 부재 중립축 교차점 사이의 길이

,i jR R : 양단의 강성역 길이

ZF : 강성역 보정계수 ( 0 1ZF≤ ≤ )

그림 3.6.8 오프셋의 적용 예



요소의 길이를 유효강성길이로만 고려하게 되면, 미소하지만 접합부위에서 발생되는 변형을 무시하는데 따른 오차가 발생하게 되므로 강성역 보정계수를 통해 오차를 조정할 수 있다. 강성역 보정계수는 축방향변형(axial deformation)과 비틀림변형(torsional deformation)에 대해서는 영향을 미치지 않으며, 이들 변형을 계산할 때는 요소의 전체길이(L)를 사용한다. 강성역은 접합부 효과(Panel zone effect)를 이용하여 고려하거나 강성역 길이를 직접 입력하여 사용할 수 있으며, 길이를 입력할 경우에는 강성역 보정계수가 1.0인 경우와 같다. 강성역 사용시 특징 및 사용 시 주의 사항은 다음과 같다. 요소 강성 계산 : 요소의 강성을 계산할 때 축방향강성과 비틀림강성에 대해서는 양 절점 사이의 길이가 사용되고, 전단강성과 휨강성을 계산할 때는 강성역 보정계수가 반영된 유효강성길이를 사용한다. 분포하중 및 자중 계산 : 강단이격위치와 절점 사이의 구간에 재하되는 분포하중은 해당 절점상에 전단력으로만 고려되며, 나머지 구간에 재하된 분포하중은 등가의 전단력과 모멘트로 치환된다. 단부 해제조건이 고려된 경우 : 기둥 및 거더부재의 어느 한쪽 또는 양쪽 연결점이 핀접합에 의해 자유도 해제조건이 부여되었을 때 해당 연결점에 대해서도 강성역을 고려한다.

변단면(tapered section) Beam 요소의 단면 변화는 ECS 축에 대해 단면의 변화양상을 정의한다. 사각형 단면의 경우 y 축이 선형변화를 하고 z 축이 constant 인 경우 단면적은 1 차로 변화하며, 관성모멘트는 3 차로 변한다. 이를 이용하여 단면의 각 축에 대한 단면 특성치 변화를 아래와 같이 가정한다.

rigid end offset distance of a beam member

centerline of a beam coincides with a story level

rigid

end

offs

et d

ista

nce

of

a c

olum

n m

embe

r

Panel Zone

Panel Zone

rigid

end

offs

et d

ista

nce

of

a c

olum

n m

embe

r

rigid end offset distance of a beam member

그림 3.6.9 기둥과 보의 연결부에 형성된 강성역


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

y-axis z-axis A ( )xxI J= yyI zzI constant constant 1 1 1 1 constant linear 1 1 3 1

linear constant 1 1 1 3 linear linear 2 2 4 4

( ) ( )1 2 1

m

m m mxA x A A AL

= + −

, 1, 2m = (3.6.10)

( ) ( )1 2 1

n

n n nxI x I I IL

= + −

, 1,3, 4n = (3.6.11)

여기서, 단면적과 단면 2차모멘트의 하부첨자는 요소의 양 끝단을 의미한다. 기하강성에 반영되는 단면은 등가의 단면으로 치환하여 적용한다.

1 2

2 1 2 2

, 12

, 23

eff

A A mA

A A A Am

+ == + + =

(3.6.12)

3 34 41 1 2 1 2 1 2 2

5I I I I I I I I

I+ + + +

= (3.6.13)

비선형 해석 Beam 요소는 기하학적 비선형성만을 고려할 수 있으며, 비선형 또는 비탄성 재료를 사용할 수 없다. Crane 이동하중 해석 Beam 요소는 Crane 이동하중 해석결과로 동시발생 부재력(Concurrent force/moment)을 확인할 수 있다. 일반 해석결과처럼 모든 segment 의 양 끝단에서 결과를 얻을 수 있고, 최대/최소 값이 동일한 하중 상태들에 대해서는 좀더 불리한 조건으로 설계가 되도록 추가적인 선택기준을 두고 있다.

최대/최소 선택기준 성분 추가적인 선택기준 1 추가적인 선택기준 2

Concurrent force/moment

xxN 2 2y zM M+ 2 2

y zQ Q+

yQ xxN zQ

zQ xxN yQ

xM 2 2y zQ Q+ 2 2

y zM M+

yM zM xxN

표 3.6.5 Beam 요소 변단면의 단면 변화에 따른 차수

표 3.6.6 Beam 요소의 크레인 이동하중 해석 결과 항목 선택 기준



zM yM xxN Shell 요소는 곡면 상에 위치한 3/4개의 절점으로 이루어지는 삼각형 또는 사각형 요소이다. 벽체나 직경이 큰 파이프 같이 두께가 얇은 구조물이 굽힘 변형을 받을 때 주로 이용하며, 2차원 응력상태 및 굽힘, 전단 변형을 고려할 수 있다. 좌표계 Shell 요소는 곡면 상에 위치하는 경우가 많기 때문에 절점이 동일한 평면 상에 존재하지 않을 수 있으며, ECS 의 정의에서도 이를 반영해야 한다. 삼각형 shell 요소의 ECS 는 절점 1에서 절점 2를 향하는 방향을 x 축으로 하며, 이 벡터와 절점 1 에서 3 을 향하는 벡터의 외적 방향을 z 축으로 한다. 사각형 요소의 경우에는 절점 1에서 3을 향하는 대각선과 절점 4에서 2 를 향하는 대각선이 이루는 각을 이등분하는 방향을 x축으로 하며, 이들 두 벡터의 외적 방향을 z축으로 한다. Shell 요소의 유한요소 정식화는 ECS 에 대해 수행한다.

재료의 방향(MCS)을 정의하는 방법은 절점 1 과 2 사이를 연결하는 변으로부터의 각도 또는 임의의 좌표계를 이용할 수 있다. 곡면 모델링 midas Plant 에서 사용하는 shell 요소는 각 절점마다 디렉터(director)라 불리는 고유의 수직 벡터 19가 존재한다고 가정하며 이 벡터의 움직임으로 변형을 표현한다. 요소 절점에서의 회전자유도 방향은 디렉터를 기준으로 정의하기 때문에 요소 내력 중에서 디렉터 방향의 모멘트는 존재하지 않는다. 이 벡터는 요소면에 수직한 경우도 있으나, 곡면을 shell 요소로 모델링한 경우에는 그렇지 않다.

19 Simo, J.C. and Fox, D.D., “On a stress resultant geometrically exact shell model. Part I : Formulation and

optimal parametrization,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 72, 1989

1

2

3

ECS x−

ECS y−

ECS z−

2

1 3

4

ECS x−

ECS y−

ECS z−

6.3 Shell 요소

그림 3.6.10 Shell 요소의 좌표계


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

예를 들어 그림 3.6.11 과 같이 인접한 요소 간에 작은 꺾임각이 존재하는 경우 다음과 같이 곡면 수직벡터를 계산할 수 있다.

i

i

= ∑∑

nt

n (3.6.14)

t : 곡면 수직 벡터

in : 요소면에 수직한 벡터

이 때, t 와 in 가 이루는 각도 β 가 허용치를 넘어서게 되면 곡면의 일부분이 아닌 실제로 꺾인 구조물로

간주하여 곡면 수직 벡터를 정의하지 않는다. 곡면 수직 벡터가 정의되지 않은 절점에서는 요소면에 수직한 벡터를 디렉터로 간주한다. 곡면 수직 벡터를 생성하여 기하학적 형상을 정확하게 표현하는 것은 결과의 정확도에 큰 기여를 하기도 하지만, 대칭 조건을 이용하여 원통 모양의 절반 또는 1/4을 모델링 하였을 경우에는 주의가 필요하다. 대칭 조건이 부여된 변에는 그림 3.6.11 의 shell 2가 존재하지 않기 때문에 기하학적으로 정확한 곡면 수직 벡터를 얻을 수 없다. 이러한 경우에는 오히려 곡면 수직 벡터를 생성하지 않는 것이 좋다. 자유도 Shell 요소는 ECS 의 x, y, z 축 모든 방향 변위를 자유도로 가진다.

Ti i i iu v w=u

(3.6.15)

회전 자유도는 디렉터에 수직한 두 방향으로 정의된다.

i xi yiθ θ=θ (3.6.16)

디렉터는 앞서 설명한 바와 같이 곡면 수직 벡터 또는 요소면 수직 벡터이다. 응력과 변형률

Shell 1 Shell 2

1n 2n

t

Element normal Element normal

Surface normal

2β1β

그림 3.6.11 곡면을 모델링한 shell 요소 사이의 각도



Shell 요소는 그림 3.6.12과 같이 ECS 에서 정의된 2차원 응력 상태와 굽힘, 전단 변형을 고려할 수 있다. midas Plant의 shell 요소는 전단 변형을 항상 고려한다.

xx

yy

xy

NNN

=

N , xx

yy

xy

εεγ

=

ε (3.6.17)

(면내방향 합력과 변형률)

xx

yy

xy

MMM

=

M , xx

yy

xy

κκκ

=

κ (3.6.18)

(굽힘 모멘트와 곡률)

zx

yz

QQ =

Q , zx

yz

γγ =

γ (3.6.19)

(전단력과 전단변형률)

하중 Shell 요소에 적용되는 하중은 다음과 같다.

ECS y−

ECS x− ,xx xxN ε

,xy xyN γ

,xy xyN γ

,xy xyN γ

,xy xyN γ

,xx xxN ε

,yy yyN ε

,yy yyN ε

,xx xxM κ

,xx xxM κ

,yy yyM κ

,yy yyM κ

,xy xyM κ

,xy xyM κ

,xy xyM κ

,xy xyM κ

,zx zxQ γ

,zx zxQ γ,yz yzQ γ

,yz yzQ γ

그림 3.6.12 Shell 요소의 응력/변형률


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

하중 종류 설명 중력에 의한 자중 재료의 밀도에 대해 적용

압력 하중 요소면에 작용하는 분포하중

또는 요소의 변에 작용하는 분포하중

요소 온도 하중 면내방향 변형을 유발하는 요소 온도 굽힘 변형을 유발하는 온도 구배

요소 결과 midas Plant의 shell 요소는 요소의 두께 방향으로 두 지점(상/하단) 에서 요소결과를 제공한다. Shell 요소를 사용했을 경우에 결과 항목은 다음과 같으며 기준 좌표계는 멤버에 정의된 요소 좌표계이다.


Stress

In-plane stress 위치 : 상/하단, 꼭지점/요소중심

xxσ , yyσ , xyτ

Principal stress 위치 : 상/하단, 꼭지점/요소중심

1P , 2P , 주응력 방향

Von-Mises stress 위치 : 상/하단, 꼭지점/요소중심

vσ

Max shear stress 위치 : 상/하단, 꼭지점/요소중심

maxτ

Maximum values 위치 : 꼭지점/요소중심

상/하단 중 최대값, ( 1P , 2P , vσ , maxτ )

Force/ Moment

In-plane force 위치 : 꼭지점/요소중심

xxN , yyN , xyN

Bending moment 위치 : 꼭지점/요소중심

xxM , yyM , xyM

Shear force 위치 : 꼭지점/요소중심

zxQ , zyQ

Principal in-plane force 위치 : 꼭지점/요소중심

1N , 2N

Principal bending moment 위치 : 꼭지점/요소중심

1M , 2M

Max shear force 위치 : 꼭지점/요소중심

maxQ

표 3.6.7 Shell 요소에 적용되는 하중

표 3.6.8 Shell 요소의 결과 항목



오프셋(offset) Shell 요소의 중립면이 절점과 격리되어 있는 경우 또는 연결되는 요소 간의 중립면이 일치하지 않는 경우에는 오프셋을 사용할 수 있다. Shell 요소의 오프셋은 디렉터 방향으로 요소 내에서 일정한 값을 가질 수 있다. 단부 해제조건(release) 단부 해제조건은 요소의 절점이 핀접합과 같이 특정 방향의 운동에 대해 상호 구속이 발생하지 않는 경우에 사용한다. shell 요소의 단부 해제조건은 beam 요소와 달리 NCS 에 대해 적용된다. ECS 에 대한 연결 해제를 입력하고자 하는 경우에는 좌표계 상호관계를 정확히 파악하여 사용해야 한다. 또한 단부 해제가 적용된 절점에는 구속되지 않은 성분에 대한 자유도가 추가되며, 결과적으로 연결된 전체 구조물이 불안정해질 수 있다. 따라서 단부 해제조건을 사용하는데 있어서 조건을 포함한 구조계의 안정성에 대한 종합적인 검토가 필요하다. 요소 기법의 선택 midas Plant 에서 사용할 수 있는 shell 요소는 요소의 성능향상 기법에 따라 여러 가지 종류가 있다. 특히 shell 요소는 변형이 발생하는 방향 별로, 예를 들어 면내 방향과 횡방향에 따라 서로 다른 기법들이 적용되기 때문에 그 종류가 매우 다양하다. 다음은 각각에 대해 midas Plant에서 통칭하는 명칭과 관련 유한요소 기법 그리고 적분 방법 등을 정리한 것이며, Hybrid방법이 기본값이다.

ERCS y−

ERCS x−xxN

xyN

xyN

xyN

xyN

xxN

yyN

yyN

xxM

xxM

yyM

yyM

xyM

xyM

,xy xyM κ

xyM

zxQ

zxQyzQ

,yz yzQ γ Top

Bottom

그림 3.6.13 Shell 요소의 결과 출력 방향


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

형상 절점수 절점 자유도

명칭 요소기법

(면내/횡방향) 강성행렬 수치적분

집중질량 계산방법

삼각형 3 5 Full integration 변위가정법/ANS 1점 Lobatto

Hybrid 혼합법/ANS+혼합법 3점 Lobatto

사각형 4 5

Full integration 변위가정법/ANS 2X2점 Lobatto Reduced integration

(stabilized) 감차적분법/ANS

(안정화 기법) 1x1 점 Lobatto

Hybrid 혼합법/ANS+혼합법 2X2점 Lobatto 비선형 해석 Shell 요소는 P-delta effect를 고려할수 없는 요소이며, midas Plant에서는 Shell요소에 대해서는 선형 탄성 재료만 지원하므로, 비선형 해석에서도 선형요소로 적용된다.

표 3.7.9 Shell 요소에 사용된 성능향상 기법



특수 용도 요소

Point spring/damper 요소는 모델의 경계부분에 위치한 인접구조물이나 기초, 지반경계조건 등의 탄성 강성을 고려할 때, 또는 자유도가 부족한 요소(truss)가 상호 접합될 경우에 발생할 수 있는 특이성 오류(singular error)를 방지하고자 할 때 사용된다. 또한, 탄성 강성뿐만 아니라 감쇠 상수를 입력 받아 지반의 점성 경계조건 모델링에도 사용된다. 절점 감쇠는 특성상 일반 정적 해석에는 반영되지 않고 동해석의 경우에만 적용된다. 좌표계 Point spring/damper 요소는 별도의 좌표계를 지정하지 않고 GCS 를 참조한다. 자유도 Point spring/damper 요소는 모든 축 방향으로 변위와 회전을 자유도로 가진다.

Ti i i iu v w=u , T

i xi yi ziθ θ θ=θ (3.7.1)

요소 힘 Point spring/damper 요소는 각 축방향에 대한 힘과 모멘트를 고려할 수 있다.

xx

xx

zz

NNN

=

N , xx

yy

zz

MMM

=

M (3.7.2)

(축방향 힘과 모멘트) 하중 Point spring/damper 요소는 재료 특성이 없고 단순히 강성만을 갖기 때문에, 집중하중이나 모멘트 이외의 하중을 적용하지 않는다. 요소 결과 midas Plant의 Point spring/damper 요소의 결과 항목은 GCS 에 대한 값으로 출력된다.

결과 항목 설명 Force Force 위치 : 요소중심

Section 7

7.1 Point Spring/Damper 요소

표 3.7.1 Point spring/damper 요소의 결과 항목

Section 7. 특수 용도 요소 | 49

Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

xxN , yyN , zzN

Moment Bending moment 위치 : 요소중심

xxM , yyM , zzM

Elastic link 요소는 두 절점을 사용자가 입력한 강성으로 연결하는 요소이며, point spring 요소와 마찬가지로 강성을 제외한 구조적 특성은 가지고 있지 않다. 일반적인 elastic link 요소는 각 축 3방향에 대해 변위와 회전에 대한 강성으로 구성되어 있다. 하지만 이외에도 인장전담(tension-only)이나 압축전담(compression-only) 특성을 부여할 수 있는데, 이러한 경우에는 ECS 의 x 방향으로만 강성을 입력할 수 있다. Elastic link 요소는 탄성받침이나, 압축전담 특성을 갖는 지반 경계조건에 적절하게 사용할 수 있다. 좌표계/자유도 Elastic link 요소의 좌표계와 자유도는 beam 요소와 동일한 방법으로 정의된다. 요소 힘 Point spring 요소와 마찬가지로 각 축방향에 대한 힘과 모멘트를 고려할 수 있다. 하중 Point spring 요소와 마찬가지로 집중하중과 모멘트 이외의 하중을 적용하지 않는다. 요소 결과 Elastic link 요소의 결과 항목은 point spring 요소의 결과 항목과 같지만, 기준 좌표계는 항상 ECS 이다. Rigid link 와 interpolation 요소는 절점들 간의 상대적인 운동을 상호 구속하는 요소이다. 여기서, 구속의 주체가 되는 절점을 주절점(independent node) 또는 구속의 주체가 되는 자유도를 주자유도(independent DOF)라 하고 구속을 받는 절점 또는 자유도를 종속절점(dependent node) 또는 종속자유도(dependent DOF)라 한다. Rigid link 요소는 하나의 절점에 의해 다른 여러 절점의 기하학적 상대거동을 구속하는 기능을 한다. 그러므로 주절점 1 개에 여러 개의 종속절점이 연결되어 있는 형태이다. 주절점과 종속절점 사이의 상호 관계식은 다음과 같다.

( )D I I I I

D I

= + × = + ∆ ×

=

u u r θ u x θθ θ

(3.7.3)

7.2 Elastic Link 요소

7.3 Rigid Link/Interpolation 요소

50 | Section 7 특수 용도 요소


,D Du θ : 종속절점의 변위와 회전

,I Iu θ : 주절점의 변위와 회전

∆x : 종속절점에서 주절점을 향하는 벡터 ( I D−x x ) 종속절점의 6 자유도 중에서 주절점의 구속을 받아 거동하도록 하고자 하는 자유도를 선택할 수 있으며 이를 이용하여 방향 별 선택적 rigid link 요소를 만들 수 있다. 다음은 x-y 평면 상에서 강체 거동을 하도록 구속하는 예이다.

ΔyD I Izu u θ= − , ΔxD I I

zv v θ= + , D Iz zθ θ= (3.7.4)

Interpolation 요소는 하나의 절점이 다른 여러 절점의 운동에 따라 상대적 거동을 하는 요소이다. 그러므로 종속절점 1개에 여러 개의 주절점이 연결되어 있는 형태이다. Interpolation 요소는 장비에 의한 하중을 여러 절점에 분포시킬 때 프로그램 내부적으로만 사용되며 rigid link 요소에 비해 구속되는 절점이 적기 때문에 구속력 또한 약하다. 아래 예시는 2차원 x-y 평면 상에서 주절점과 종속 절점의 변위 관계를 보이기 위해 힘의 분포 과정을 살펴 본 예제이다.

x

y

1

1

2

34

x

y

Independent node

2

34

C.G.

1w

2w

3w

Referencepoint

D D+ ×M e Fe

DF

DM

DF

2r

1r3r

그림 3.7.1 평면 내 강체 거동의 예

그림 3.7.2 주절점의 무게중심과 종속절점에 작용하는 힘의 관계

Section 7. 특수 용도 요소 | 51

Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

그림 3.7.2 와 같이 가중치 iw 를 가지고 분포되어 있는 주절점들의 무게중심에서 거리 e 만큼 떨어진

위치에 종속절점이 위치하면, 종속절점에 가해지는 힘 DF 와 모멘트 DM 는 무게중심에 대해 D DM e F+ × 의 모멘트로 작용한다. 종속절점에 의해 무게중심에 작용하는 힘과 모멘트는 각 주절점에

다음과 같이 가중 평균된 힘으로 분산시킬 수 있다.

( )( )def

1ˆ D D Di i iw −= + + × ×F F T M e F r (3.7.5)

여기서 ˆ iw 는 가중치 합으로 정규화된 가중치이며, T 는 주절점들의 무게중심에서의 평균적인

관성텐서(Inertia tensor)이다.

ˆ ii

i

www

=∑

(3.7.6)

( )ˆ i i i i ii

w Τ Τ = − ∑T r r I rr (3.7.7)

이와 같은 힘의 관계식은 다음의 변위와 회전 관계식으로 변환할 수 있다.

( )1ˆ ˆD I Ii i i

i iw w−

= + × ×

∑ ∑u u T r u e (3.7.8)

( )1 ˆD Ii i

iwθ −= ×∑T r u (3.7.9)

결국 주절점들의 평균적인 거동이 종속절점의 움직임을 결정하는 형태가 되며, 이러한 특성 때문에 rigid link 요소에 비해 작은 개수의 자유도 구속이 발생한다.

Rigid link Interpolation

그림 3.7.3 Rigid link/Interpolation 요소의 거동 비교

52 | Section 7 특수 용도 요소


기하강성

기하강성(geometric stiffness) 또는 응력강성(stress stiffness)은 내력을 지니고 있는 구조물에 기하학적 형상변화가 발생했을 때 유발되는 내력 변화에 의한 강성이다. 기하강성은 선형좌굴 해석과 P-delta해석에서 사용되며, midas Plant의 요소 중에서 기하강성을 고려하는 요소는 다음과 같다.

요소종류 내력 성분 자유도 성분

P-delta 해석 선형 좌굴해석

Truss 축방향 힘 xxN 축방향 힘 xxN 축방향 힘 xxN

Elastic Link 축방향 힘 xxN 축방향 힘 xxN 축방향 힘 xxN

Beam 축방향 힘 xxN 축방향 힘 xxN 축방향 힘 xxN

Shell

면내방향 합력 xxN , yyN , xyN

굽힘 모멘트 xxM , yyM , xyM

전단력 zxQ , yzQ

- 축방향 힘 xxN

Solid 응력 성분

xxσ , yyσ , zzσ , xyτ , yzτ , zxτ - u , v , w

midas Plant 에서는 Jaumann 응력률(stress rate)을 객관(objective) 응력률로 가정한 개정 라그란지안 방법(updated Lagrangian formulation)에 기초하여 기하강성을 계산한다. 예를 들어 solid 요소의 내력은 다음과 같이 응력과 가상 변형으로부터 계산한다.

i i ij iju f D dVδ σ δ= ∫ (3.8.1)

ijDδ : 가상 변형 1 ( )2

ji

j i

uux x

δδ ∂∂+

∂ ∂

내력의 접선(tangent) 기울기가 강성에 해당하므로, 다시 한번 변분을 취하면 피적분항은 다음과 같다.

ij ij ij ijd D d Dσ δ σ δ+ (3.8.2)

Section 8

표 3.8.1 기하강성을 고려하는 요소 종류

8.1 기하강성 계산방법

Section 8. 기하강성 | 53

Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

위 식에서 적분 영역의 변분은 무시하였다. Solid 요소는 EFCS 가 GCS 이므로 구조물의 변형과 무관하게 고정되어 있다. 그러므로 0ijd Dδ = 이고, 첫 번째 항에서 객관 응력률에 의한 응력 증분(increment)는

다음과 같다.

ij ik kj ij jk ijkl kld dw dw C dDσ σ σ= + + (3.8.3)

ijwδ : 증분 스핀(spin) 1 ( )2

ji

j i

uux x

δδ ∂∂−

∂ ∂

식 (3.8.2)와 식 (3.8.3)을 식 (3.8.1)에 대입하여 정리하면 다음의 접선강성을 얻을 수 있다.

( 2 )i ij j ij ijkl kl ij ki kj ik kju K du D C dD L dL D dD dVδ δ σ δ δ= + −∫ (3.8.4)

ijLδ : 증분 변위 구배(displacement gradient), ij ijD wδ δ+

피적분 값의 첫 번째 항은 재료강성(material stiffness)이라 하며 두 번째 항이 기하강성이다.

54 | Section 8. 기하강성


요소 검증 예제

1) 꼬여있는 보

REFERENCE MacNeal et al.1

ELEMENTS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME Element01.mpb

아래 그림은 자유단으로 갈수록 원래 단면의 90 도만큼 꼬여있는 보 모델이다. 왼쪽 끝은 고정경계조건으로 구속되어있다. 오른쪽 끝단에 방향별로 단위분포하중이 가해질 때 각각 요소의 면내/외 방향 거동에 대한 성능을 A 점에서의 변위로 확인하는 문제이다.

Material data Elastic modulus Poisson’s ratio

E = 29 MPa ν = 0.22

Section property Thickness t = 0.32 m

X

Z Y

Out-of-plane shearFY = 1 N

In-plane shearFZ = -1 N

A

1.1 12

Units : m

Section 9

Figure 9.1.1 Twisted beam model

Section 9. 요소 검증 예제 | 55

Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

Table 9.1.1 Displacements Yu and Zu at the point A - shell elements

Table 9.1.2 Displacements Yu and Zu at the point A - solid elements

Load AZu [m]

in-plane shear ZF

AYu [m]

out-of-plane shear

YF

Reference 5.424×10-3 1.754×10-3

Element type Number of elements

TRIA-3 2×(12×2) 5.322×10-3 1.463×10-3

QUAD-4 2×12 5.405×10-3 1.733×10-3

Load AZu [m]

in-plane shear ZF

AYu [m]

out-of-plane shear

YF

Reference 5.424×10-3 1.754×10-3


TETRA-4 144 0.384×10-3 0.267×10-3

PENTA-6 48×1 2.344×10-3 0.743×10-3

HEXA-8 2×12×1 5.411×10-3 1.738×10-3

56 | Section 9. 요소 검증 예제


2) 곡선보

REFERENCE MacNeal et al.1 ELEMENTS Beam elements, shell elements, solid elements MODEL FILENAME Element02.mpb

아래 그림은 오른쪽 끝이 고정구속되어있는 켄틸레버형태의 곡선보를 나타낸다. 왼쪽 끝은 방향별로 단위분포하중을 가해서, 각 요소별 면내/외 거동 성능을 A 점에서의 변위로 확인하는 문제이다.

Material data Elastic modullus Poisson’s ratio

E = 10 Mpsi ν = 0.25

Section property Thickness t = 0.1 in

X

Z

Y

Out-of-plane shear

FZ = 1 lbf

In-plane shearFY = -1 lbf

Ø 8.24

Ø 8.64 A

Units : inFigure 9.2.1 Curved cantilevered beam model


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

Table 9.2.1 Displacements Yu and Zu at the point A - beam elements

Table 9.2.2 Displacements Yu and Zu at the point A - shell elements

Table 9.2.3 Displacements Yu and Zu at the point A - solid elements

Load AYu [in]

in-plane shear YF

AZu [in]

out-of-plane shear

ZF

Reference -8.734×10-2 5.022×10-1


BEAM-2 6 -8.735x10-2 4.968x10-1

Load AYu [in]

in-plane shear YF

AZu [in]

out-of-plane shear

ZF

Reference -8.734×10-2 5.022×10-1


TRIA-3 1x(6x2) -0.222x10-2 4.347x10-1

QUAD-4 1x6 -8.543x10-2 4.739x10-1

Load AYu [in]

in-plane shear YF

AZu [in]

out-of-plane shear

ZF

Reference -8.734×10-2 5.022×10-1


TETRA-4 76 -0.236x10-2 0.043x10-1

PENTA-6 1 x (6 x 2) x 1 -0.221x10-2 0.347x10-1

HEXA-8 1 x 6 x 1 -8.534x10-2 4.415x10-1



3) 직선 켄틸레버 보

REFERENCE MacNeal et al.1 ELEMENTS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME Element03.mpb

아래 그림은 왼쪽이 구속된 직선형태의 켄틸레버보를 나타낸다. 오른쪽 끝의 A 점에 3 방향에 대한 집중하중과 토크하중을 각각 가했을 때, 메쉬 형태에 따른 요소의 성능을 확인하는 문제이다. A 점에서의 변위결과성분별로 성능을 확인하는데, 이때 회전각은 B 와 C 에 발생한 변위를 이용하여 계산한 상대적인 회전각을 의미한다.


E = 10 Mpsi ν = 0.3


Mesh (A)

Mesh (B)

45o 45o

Mesh (C)

45o

A

X

Z

Y

B

C

AB

C

AB

C

Figure 9.3.1 Cantilever beam model


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

Table 9.3.1 Displacements and rotation at the point A - shell elements, mesh (A)

Table 9.3.2 Displacements and rotation at the point A - shell elements, mesh (B)

Table 9.3.3 Displacements and rotation at the point A - shell elements, mesh (C)

Load AXu [in]

extension XF

AYu [in]

out-of-plane

YF

AZu [in]

in-plane ZF

AXθ [rad]

twist XM

Reference 3.000×10-5 4.321×10-1 1.081×10-1 3.408×10-2


TRIA-3 2×(12×2) 3.000×10-5 4.199x10-1 0.034x10-1 2.979x10-2

QUAD-4 2×12 3.000×10-5 4.238x10-1 1.073x10-1 3.019x10-2

Load AXu [in]

extension XF

AYu [in]

out-of-plane YF

AZu [in]

in-plane

ZF

AXθ [rad]

twist XM

Reference 3.000×10-5 4.321×10-1 1.081×10-1 3.408×10-2


TRIA-3 2×(12×2) 3.000×10-5 4.177x10-1 0.016x10-1 3.137x10-2

QUAD-4 2×12 3.000×10-5 4.171x10-1 0.240x10-1 3.020x10-2

Load AXu [in]

extension XF

AYu [in]

out-of-plane

YF

AZu [in]

in-plane

ZF

AXθ [rad]

twist XM

Reference 3.000×10-5 4.321×10-1 1.081×10-1 3.408×10-2


TRIA-3 2×(12×2) 3.000×10-5 4.201x10-1 0.024x10-1 3.508x10-2

QUAD-4 2×12 3.000×10-5 4.238x10-1 0.086x10-1 3.022x10-2



Table 9.3.4 Displacements and rotation at the point A - solid elements, mesh (A)

Load AXu [in]

extension XF

AYu [in]

out-of-plane

YF

AZu [in]

in-plane ZF

AXθ [rad]

twist XM

Reference 3.000×10-5 4.321×10-1 1.081×10-1 3.408×10-2


TETRA-4 222 3.000×10-5 0.031x10-1 0.023x10-1 0.029x10-2

PENTA-6 1x(6x2)x1 3.000×10-5 0.509x10-1 0.034x10-1 0.077x10-2

HEXA-8 1x6x1 3.000×10-5 4.249x10-1 1.072x10-1 2.931x10-2


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

4) 구멍이 있는 반구형태의 판

REFERENCE MacNeal et al.1, Simo et al.2 ELEMENTS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME Linearstatic04.mpb

아래 그림은 반구 형태의 판으로, 위쪽에 18˚크기의 구멍이 있는 모델을 나타낸다. 대칭조건을 이용하여 1/4 만 모델링 하였고, A 점과 B 점에 각각 구의 외측과 내측으로 향하는 집중하중이 가해진다. A 점의 변위결과로 요소성능을 확인하는 문제이다.


E = 6.825x107 psi ν = 0.3


Z18o

X

F = 1

Y

F = 1

A

B

Figure 9.4.1 Pinched hemispherical shell with hole



Table 2.4.1 Displacement Xu at the point A - shell elements

Table 2.4.2 Displacement Xu at the point A - solid elements

AXu [in]

Reference 9.4x10-2 (Ref. 1), 9.3x10-2(Ref. 2)

Number of elements per side

4 8 12

Element type

TRIA-3 9.799x10-2 9.439 x10-2 9.343 x10-2

QUAD-4 9.701x10-2 9.445 x10-2 9.373 x10-2

AXu [in]

Reference 9.4x10-2 (Ref. 1), 9.3x10-2(Ref. 2)


4 8 12

Element type

PENTA-6 0.004 x10-2 0.015 x10-2 0.033 x10-2

HEXA-8 1.016 x10-2 7.404 x10-2 8.872 x10-2


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

5) 평면 트러스

REFERENCE McCormac3 ELEMENTS Truss elements MODEL FILENAME Element05.mpb

아래 그림은 다양한 단면크기를 가지는 요소들로 구성된 2 차원 평면 트러스 구조이다. A, B, C 절점에 수직하중이 가해졌을 때 A 점에서의 수직변위를 구하는 문제이다.

Material data Elastic modullus E = 3.0x104 psi

Section property Area

A = 1.0 in2 (element-a) A = 2.0 in2 (element-b) A = 1.5 in2 (element-c) A = 3.0 in2 (element-d) A = 4.0 in2 (element-e)

20 kips 20 kips 20 kips

A

B C

a

a a

a

bb

c cd dd

e e

180 180 180 180

180

X

Z

Units : in

Figure 9.5.1 Truss model



Table 9.5.1 Displacement Zu at the point A

AZu [in]

Reference -2.63

TRUSS-2 13-elements -2.63


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

6) 마름모 형태의 판

REFERENCE NAFEMS4 KEYWORDS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME Element06.mpb

아래 그림은 둔각이 150 도인 외곡된 마름모 형태의 판 모델로, 700 Pa 의 등분포 압력을 받고 있다. 판의 중앙부(E 지점)의 아랫면에서 최대 주응력으로 요소의 성능을 확인하는 문제이다.


E = 210 GPa ν = 0.3


X

Y

A B

CD

E

1

1

30o

150o

150o

30o

Units : mt = 0.01

simply-supported on all edgesAB, BC, CD and DA

Figure 9.6.1 Skewed plate model



Table 9.6.1 Maximum principal stress at bottom surface 1Pσ - shell elements

Table 9.6.2 Maximum principal stress at bottom surface 1Pσ - solid elements

1EPσ [MPa]

Reference 0.802


2 4 8

Element type

TRIA-3 0.804 0.783 0.804

QUAD-4 0.666 0.799 0.799

1EPσ [MPa]

Reference 0.802


2 4 8

Element type

PENTA-6

0.329 0.087 0.251

HEXA-8 0.336 0.675 0.736


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

7) 두꺼운 탄원판

REFERENCE NAFEMS4 ELEMENTS Solid elements MODEL FILENAME Element07.mpb

아래 그림은 외측선은 원형, 내측선은 타원인 두꺼운 판을 나타낸다. 외측선의 두께방향으로 중간이 고정되어있고, 위쪽면에 1MPa 의 등분포 압력이 가해지기 때문에 대칭조건을 이용하여 1/4 부분만 모델링하였다. D 절점에서 Y 방향 수직응력 ( D

YYσ )을 평가하여 요소성능을 확인하는

문제이다.


E = 210 GPa ν = 0.3


X

Z Y

0.6

X

Y

1.252

1

1.751

22

2

=+

yx

125.325.3

22

=

+

yx

Units : m

z displacements fixed along mid-planeFigure 9.7.1 Thick plate model



Table 9.7.1 Stress YY

σ at the point D

DYYσ [MPa]

Reference 5.38

Number of elements per side 3x2 6x4

Element type

PENTA-6 4.878 5.751

HEXA-8 5.321 5.577


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

8) 변단면 켄틸레버

REFERENCE Young et al5 ELEMENTS Beam elements, solid elements MODEL FILENAME Element08.mpb

아래 그림은 길이방향으로 단면이 선형적으로 바뀌는 켄틸레버 모델이다. 오른쪽 끝에 인장력을 가했을 때 횡변위와, 모멘트를 가했을 때 수직변위로 요소의 성능을 확인하는 문제이다.


E = 1.0x103 ksi ν = 0.3

20

3

FY= 50 Kips/in

MX= 3 in-Kips/in

1

100

A

Y

X

Z

Units : in

Figure 9.8.1 Cantilever model with variable thickness



Table 9.8.1 Displacement Zu subjected to end moment, and Yu subjected to end tension at the point A - beam elements

Table 9.8.2 Displacement Zu subjected to end moment, and Yu subjected to end tension at the point A - solid elements

Load AZu [in]

End moment

AYu [in]

End tension

Reference 20.0 2.7465


BEAM-2 1 20 2.7465

Load AZu [in]

End moment

AYu [in]

End tension

Reference 20.0 2.7465


TETRA-4 60 0.27 2.6930

PYRAM-5 30 0.50 2.6931

PENTA-6 (5x3)x1 6.09 2.7031

HEXA-8 5x1 19.95 2.7026


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

9) 실린더형 지붕

REFERENCE MacNeal1, Simo et al.2


아래 그림은 단스팬 실린더형 지붕(Scordelis-Lo roof) 모델로, 대칭조건을 이용하여 1/4 부분을 모델링한 것이다. 자중(360 lbf/ft3)이 작용하는 경우에 A 지점(자유단의 중앙에서 두께 방향으로 중간지점)의 수직변위를 구하는 문제이다.


E = 4.32x108 lbf/ft2 ν = 0

X

Y

t = 0.25

40o

50

Weight density (γ) = 360 lbf/ft3

R = 25

Units : ft

Z

X

Y

40o

50

Weight density (γ) = 360 lbf/ft3

R = 25

Z A

Figure 9.9.1 Scordelis-Lo barrel vault model



Table 9.9.1 Vertical displacement Zu at the point A - shell elements

Table 9.9.2 Vertical displacement Zu at the point A - solid elements

AZu [ft]

Reference -0.3024


4 6 8

Element type

TRIA-3 -0.2019 -0.2381 -0.2603

QUAD-4 -03195 -0.3080 -0.3058

AZu [ft]

Reference -0.3024


4 6 8

Element type

PENTA-6 -0.0163 -0.0228 -0.1326

HEXA-8 -0.3118 -0.3061 -0.3046


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

10) 계단형 판

REFERENCE NAFEMS4 ELEMENTS Shell elements MODEL FILENAME Element10.mpb

아래 그림은 계단형태의 켄틸레버 판 모델을 나타낸다. 왼쪽끝은 고정구속이며, 오른쪽 끝의 플렌지부분에는 수직전단방향으로 등분포 하중(S = 0.6 MN)을 적용하여 전체 1.2 MN-m 의 토크를 재하하였다. A 지점에서의 축응력( XXσ )을 기준으로 요소의 성능을 확인하는 문제이다.


E = 210 GPa ν = 0.3


XZ

Y

1

2

10

1

2.5

Units : m

S

S

Figure 9.10.1 Z-section cantilever model



Table 9.10.1 Stress XXσ at the point A

AXXσ [MPa]

Reference -108


TRIA-3 48 -30.789

QUAD-4 24 -110.231


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

11) Hemisphere under point loads

REFERENCE NAFEM4


아래 그림은 반구모델로 대칭성을 이용하여 1/4 부분만 모델링한 것이다. A 와 B 절점에 각각 집중하중이 작용했을 때 A 지점의 지름방향 변위로 요소의 성능을 확인하는 문제이다.


E = 68.25 Gpa ν = 0.3


X

Z

Y

A

B

R = 10

2 kN

2 kN

100222 =++ zyx

Units : m

Figure 9.11.1 Hemisphere quadrant model



Table 9.11.1 Displacement Xu at the point A obtained using shell elements

Table 9.11.2 Displacement Xu at the point A obtained using solid elements

AXu [m]

Reference 1.850x10-1

Number of elements per side 4 8

Element type

TRIA-3 1.844 x10-1 1.851 x10-1

QUAD-4 1.048x10-1 1.809 x10-1

AXu [m]


Number of elements per side 4 8

Element type

PENTA-6 9.422x10-5 3.533x10-4

HEXA-8 9.995x10-3 1.192x10-1


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

12) 정사각형 판

REFERENCE Zienkiewicz et al6 ELEMENTS Shell elements, solid elements MODEL FILENAME Element12_thick.mpb, Element12_thin.mpb

아래 그림은 네변이 고정구속된 정사각형 판모델을 나타낸다. 1Pa 의 등분포 압력하중이 작용할 때 요소 중앙(A 지점)에서의 처짐으로 요소의 성능을 확인하는 문제이다. 두께가 0.001m 로 얇은 경우와 0.1m 로 두꺼운 경우에 대해서 각각의 결과를 확인한다. 대칭성을 이용하여 1/4 부분만 모델링하였다.


E = 29.0 kPa (Model A) E = 29.0 GPa (Model B) ν = 0.3

Section property Thickness

t = 0.1 m (Model A) t = 0.001 m (Model B)

A

1

1

Uniform PressureP = 1 Pa

X

Y

Units : m

Figure 9.12.1 Hemisphere quadrant model



Table 9.12.1 Displacement Zu obtained at the point A -shell elements, t=0.1m

Table 9.12.2 Displacement Zu obtained at the point A - solid elements, t=0.1m

Table 9.12.3 Displacement Zu obtained at the point A - shell elements, t=0.001m

AZu [m]


Number of elements 2x2 4x4 8x8

Element type TRIA-3 5.548x10-4 5.675x10-4 5.670x10-4

QUAD-4 6.145x10-4 5.815x10-4 5.704x10-4

AZu [m]


Number of elements 2x2x1 4x4x1 8x8x1

Element type PENTA-6 2.752x10-4 4.358x10-4 5.169x10-4

HEXA-8 5.355x10-4 5.488x10-4 5.516x10-4

AZu [m]


Number of elements 2x2 4x4 8x8

Element type TRIA-3 4.533x10-4 4.725x10-4 4.759x10-4

QUAD-4 4.562x10-4 4.714x10-4 4.765x10-4


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

Table 9.12.4 Displacement Zu obtained at the point A - solid elements, t=0.001m

AZu [m]


Finite element mesh 2x2x1 4x4x1 8x8x1

Element type PENTA-6 0.005x10-5 0.021x10-5 0.080x10-5

HEXA-8 4.667x10-4 4.735x10-4 4.757x10-4



13) 실린더형 판 patch 테스트

REFERENCE NAFEMS4 ELEMENTS Shell elements MODEL FILENAME Element13.mpb

아래 그림은 요소의 patch 테스트를 위한 실린더형 판 모델이다. 첫번째 하중조건은 DC 선상에 1kN-m/m 의 등분포 모멘트가 작용하는 경우이고, 두번째 하중조건은 전체면 바깥쪽 방향으로 0.6 MPa 의 등분포압력이 작용하는 경우이다. E 지점의 외측면에서의 접선방향 응력을 기준으로 성능을 평가하는 문제이다.


E = 210 Gpa ν = 0.3


A

B

C

D

0.5

r = 1.0

30o z

A B

CD

E

0.3

0.5

30o

20o

t=0.01

15o

Units : m

Figure 9.13.1 Cylindrical shell patch test


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

Table 9.13.1 Tangential stress θθσ at the point E for load cases 1 and 2

Eθθσ [MPa]

Reference 60

Load Case Edge moment

(Case 1) Outward pressure

(Case 2)


TRIA-3 (4x2) 43.903 41.083

QUAD-4 4 52.908 68.487



14) 정적 부정정 기둥

REFERENCE Timoshenko7 ELEMENTS Beam elements, truss elements MODEL FILENAME Element14.mpb

아래 그림은 양단이 고정된 부정정 기둥구조 모델이다. 내부 두 절점에 수직방향으로 하중이 가해지고 있어 이에 대한 반력을 구하는 문제이다. 보요소와 트러스요소를 이용하여 각 결과를 얻어내었다.


E = 3.0x107 kgf/m2 ν = 0.0

Section property Area A = 1.0 m2

X

Z

3

Units : m

1000 kgf

1

1500 kgf

3

4

B

A

Figure 9.14.1 Both ends clamped model


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

Table 9.14.1 Reaction forces ZF at the at the supports

Reaction AZF [kgf] B

ZF [kgf]

Reference 600 900


TRUSS-2 3 600.000 900.000

BEAM-2 3 600.000 900.000



15) 2 경간 연속보

REFERENCE Lausen et al.8 ELEMENTS Beam elements MODEL FILENAME Element15.mpb

아래 그림은 2 경간 연속보로 양단은 고정되어있고 중간부분은 힌지형태로 구속되어있다. 좌측 보는 등분포 하중을, 우측 보는 중앙에 집중하중을 받는 상태에서 각 지점부에 발생하는 모멘트를 구하는 문제이다.


E = 4.32x106 kips/ft2 ν = 0.0

Section property Moment of inertia AB : Ix = 0.0201 ft4 BC : Ix = 0.0067 ft4

20

A

X

Z

B C

5 5

8 kips1.2 kips/ft

Units : ft

Figure 9.15.1 Continuous beam


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

Table 9.15.1 Bending moment YM at the supports

Bending moment AYM [kips-ft] A

YM [kips-ft] AYM [kips-ft]

Reference -49.0 -22.0 -4.00

Element type

Number of elements

BEAM-2 2 -49.0 -22.0 -4.00



16) 돌출된 보

REFERENCE Timoshenko7 ELEMENTS Beam elements MODEL FILENAME Element16.mpb

아래 그림은 양끝이 돌출된 연속보로 좌우 대칭이다. 돌출된 보에 작용하는 분포하중에 의해서 보의 중앙에 발생하는 변위를 구하는 문제이다. 좌우 대칭성을 이용하여 대칭 중심에서 우측만을 모델링하여 해석을 수행했다.


E = 3.0x107 psi ν = 0.0

Section property Moment of inertia Ix = 7892.0 in4

120

X

Z

833.333 lbf/in 833.333 lbf/in

240 120

833.333 lbf/in

120 120

CL

Units : in

Figure 9.16.1 Overhanging beam model


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

Table 9.16.1 Displaccement zu at the at center

zu [in]

Reference 0.182


BEAM-2 2 0.182



17) 2 경간 프레임

REFERENCE AISC9 ELEMENTS Beam elements MODEL FILENAME Element17.mpb

아래 그림은 2 경간 평면 프레임으로, 일부 부재들이 힌지연결된 모델이다. 보에 그림과 같은 집중하중과 등분포 하중이 재하된 경우에 대한 왼쪽 보(A)의 전단력과 모멘트를 구하는 문제이다.


E = 3.0x103 kips/in2 ν = 0.0

Section property Area Moment of inertial (Columns) Moment of inertial (Beams)

A = 1.0 x107 in2 Ix = 1.3824 x104 in4

Ix = 2.7000 x104 in4

X

Z

18 18

: Pinned joint (release Ry)

A

10Units : ft

Case 2

Case 150 kips 50 kips

100 kips 100 kips 100 kips

10 kips/ft

9 9 9 9

Figure 9.17.1 Plane frame model


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

Table 9.17.1 Bending moment YM and Shear forces ZQ of element A for Case 1

Table 9.17.2 Bending moment YM and Shear forces ZQ of element A for Case 2

Location YM [kip-in] ZQ [kip]

Reference

0.00L 0.00 -31.25

0.25L 1687.50 -31.25 0.50L 3375.00 68.75 0.75L -337.50 68.75 1.00L -4050.00 68.75

Element type

BEAM-2

0.00L 0.00 -31.25

0.25L 1687.50 -31.25 0.50L 3375.00 68.75 0.75L -337.50 68.75 1.00L -4050.00 68.75

Location YM [kip-in] ZQ [kip]

Reference

0.00L 0.00 -67.50

0.25L 2430.00 -22.50 0.50L 2430.00 22.50 0.75L 0.00 67.50 1.00L -4860.00 112.50

Element type

BEAM-2

0.00L 0.00 -67.50

0.25L 2430.00 -22.50 0.50L 2430.00 22.50 0.75L 0.00 67.50 1.00L -4860.00 112.50



18) 탄성 경계

REFERENCE Beaufait. W., et al.10 ELEMENTS Beam elements MODEL FILENAME Element18.mpb

아래 그림은 탄성경계조건이 부여된 평면 프레임 모델을 나타낸다. 보와 기둥에 각각 집중하중이 가해지고 있고, 기둥은 보에 핀연결되어있다. 상부보 3 절점 각각의 변위와 회전량을 구하는 문제이다.


E = 4.32x106 kips/ft2 ν = 0.0

Section property

Area (Beam) Area (Column) Moment of inertia (Beam) Moment of inertia (Column) Spring constant

A = 0.125 ft2 A = 0.175 ft2

Ix = 0.263 ft4

Ix = 0.193 ft4

K = 1200 kips/ft

X

Z

24

: Pinned joint (release Ry)

A

12Units : ft

B C

30

15 kips

1515

6

6

5 kips

Figure 9.18.1 Beam with elastic supports model


Chapter 3. Elements

ANALYSIS REFERENCE

Table 9.18.1 Displacement Xu at the points (A, B, C)

Table 9.18.2 Displacement Zu at the points (A, B, C)

Table 9.18.3 Rotation Yθ at the points (A, B, C)

Displacement AXu [ft] B

Xu [ft] CXu [ft]

Reference 1.079 x10-3 1.079 x10-3 1.079 x10-3

Element type

BEAM-2 1.079 x10-3 1.079 x10-3 1.079 x10-3

Displacement AZu [ft] B

Zu [ft] CZu [ft]

Reference 1.787 x10-3 -0.180 x10-3 -4.820 x10-3

Element type

BEAM-2 1.787 x10-3 -0.180 x10-3 -4.820 x10-3

Rotation AYθ [rad] B

Yθ [rad] CYθ [rad]

Reference -0.099 x10-3 0.444 x10-3 -0.361 x10-3

Element type

BEAM-2 -0.099 x10-3 0.444 x10-3 -0.361 x10-3



References

1 MacNeal, R.H., and Harder, R.L., “A Proposed Standard Set of Problems to Test Finite Element Accuracy,” Finite Element Analysis and Design, Vol. 1, pp. 3-20, 1985

2 Simo, J.C., Fox, D.D., and Rifai, M.S., “On a Stress Resultant Geometrically Exact

Shell Model. Part II: The Linear Theory,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 73, pp. 53-92, 1989

3 McCormac, J.C., “Structural Analysis”, International Textbook Company, Scranton, PA, 1965 4 NAFEMS, “The Standard NAFEMS Benchmarks, Rev. 3”, NAFEMS, Glasgow, 1990 5 Young, W.C., and Budynas, R.G., “Roark’s Formulas for Stress and Strain, 7th

Edition”, McGraw-Hill, New York, 2002 6 Zienkiewicz, O., and XU, Z., “Linked Interpolation for Reisner-Midlin Plate Elements:

Part I-A simple quadrilateral,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 36, pp. 3043-3056, 1993

7 Timoshenko, S., “Strength of Materials, Parts I, Elementary Theory and Problems,”

3rd Edition, D.Van Nostrand Co., Inc., New York, 1956 8 Lausen, Harold I., “Structural Analysis,” McGraw Hill Book Co. Inc., New York, 1969 9 American Institute of Steel Construction, “Manual of Steel Construction – Allowable

Stress Design,” Chicago, Illinois, 1989 10 Beaufait F.W.,et al., “Computer Methods of Structural Analysis,” Prentice-Hall, Inc.,

New Jersey, 1970


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