Analysis of a structure of bars with the Finite Elements method

Disciplina de MECÂNICA E MOCELAÇÃO COMPUTACIONAL Mestrado Integrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA

4º Ano, 1º Semestre 2009/10

ANÁLISE DUMA ESTRUTURA DE BARRAS A PARTIR DO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Paula Antunes 64407

e-mail: [email protected]

Ana Sabino 64416

e-mail: [email protected]

Palavras-chave: Mecânica computacional, estrutura de barras, método de elementos finitos, deformação, tensões concentradas em nós, reacções de apoio.

Resumo. O objectivo deste trabalho é construir um programa em Matlab que resolva um

problema de estrutura de barras. O método escolhido para a sua resolução foi o método de

elementos finitos. Após a estruturação do programa procedemos a uma validação com um

problema bastante simples e de solução conhecida. A solução obtida foi concordante e daí

avançámos para a resolução do nosso problema. Através da discussão dos resultados

provamos que as soluções obtidas são fidedignas e têm um significado prático lógico.

Paula Antunes e Ana Sabino

1. INTRODUÇÃO

Quando temos um problema físico cuja resolução passa pela modelação matemática por

equações diferenciais nem sempre conseguimos achar a solução exacta. Perante esta situação torna-se imprescindível a utilização de um método que nos permita determinar uma solução aproximada. Na literatura os mais referenciados são: o método de diferenças finitas, os métodos variacionais de Rayleigh-Ritz, Galerni e o de elementos finitos.

Numa aproximação por diferenças finitas de uma equação diferencial, a última derivada é substituída por quocientes de diferenças (ou a função é expandida numa série de Taylor) que envolvem a solução em pontos discretos da malha do domínio. As equações algébricas resultantes são resolvidas, após a imposição de condições de fronteira, para os valores da solução desses mesmos pontos.

Quando a solução nos é dada por uma equação diferencial resolvida a partir dum método variacional é utilizada a formulação integral da equação diferencial (integral ponderado) e é assumido que a sua solução aproximada é uma combinação linear do tipo

∑ ��(�)�� (1)

em que ψi são funções de aproximação e ci coeficientes indeterminados. Estes coeficientes vão ser determinados ao longo do método de modo a satisfazerem o integral. A obtenção da solução aproximada por este processo pode ser feita por diferentes métodos, consoante a função peso escolhida. A desvantagem deste tipo de métodos é que torna-se bastante difícil achar as funções de aproximação para problemas com domínios arbitrários.

Este obstáculo é ultrapassado pelo método dos elementos finitos através de uma sistematização, que consiste nos seguintes passos:

1. Divisão do domínio em partes simples (elementos finitos); 2. Construção das funções aproximadas definidas elemento a elemento com base

na ideia de que qualquer função contínua pode ser representada por uma combinação linear de polinómios algébricos;

3. Ligação dos elementos, que é feita de forma a garantir a continuidade da solução, e respeitando a equação de forças;

O domínio “ligado” (assemblado) e a respectiva solução correspondem a um problema análogo ao problema matemático definido no domínio original.

2. ESTRUTURA DE BARRAS

No nosso trabalho a estrutura de barras a resolver, através deste último método, é 2apresenta a seguinte configuração:

Sendo F = 2kN, P = 5kN, A = 0.7m

O nosso programa em Matlab deve devolver: as reacções de apoio, a deformação no pontoD e a tensão em cada barra.

2.1. Método de elementos finitos

No método de elementos finitos as funções de aproximação são, geralmente, polinómios

algébricos e os parâmetros indeterminados representam os valores da solução dum número finito de pontos pré-seleccionados, os funções de aproximação são derivadas através de interpolação e por isso são chamadas de funções interpoladoras. Verifica-de nós e da ordem da equação diferencial a ser resolvida.

Para obter a solução pelo método dos elementos finitos é necessário:1. Obter a formulação variacional do problema;2. Seleccionar a fórmula da solução apr3. Obter o sistema de equações substituindo a solução aproximada na formulação

variacional.

Figura 1 . Estrutura a resolver com o programa desenvolvido em Matlab.


ESTRUTURA DE BARRAS 2D

No nosso trabalho a estrutura de barras a resolver, através deste último método, é 2configuração:

A = 0.7m e B = 1.5m

O nosso programa em Matlab deve devolver: as reacções de apoio, a deformação no ponto

Método de elementos finitos

No método de elementos finitos as funções de aproximação são, geralmente, polinómios algébricos e os parâmetros indeterminados representam os valores da solução dum número

seleccionados, os nodos ou nós, na fronteira e no interior do elemento. As funções de aproximação são derivadas através de interpolação e por isso são chamadas de

-se que o grau das funções interpoladoras depende do número e nós e da ordem da equação diferencial a ser resolvida.

Para obter a solução pelo método dos elementos finitos é necessário: Obter a formulação variacional do problema; Seleccionar a fórmula da solução aproximada para um elemento tipo;

equações substituindo a solução aproximada na formulação

. Estrutura a resolver com o programa desenvolvido em Matlab.

No nosso trabalho a estrutura de barras a resolver, através deste último método, é 2-D e

O nosso programa em Matlab deve devolver: as reacções de apoio, a deformação no ponto

No método de elementos finitos as funções de aproximação são, geralmente, polinómios algébricos e os parâmetros indeterminados representam os valores da solução dum número

, na fronteira e no interior do elemento. As funções de aproximação são derivadas através de interpolação e por isso são chamadas de

se que o grau das funções interpoladoras depende do número

equações substituindo a solução aproximada na formulação


2.2. Aplicação do MEF a uma estrutura de barras

Figura 2 - Elemento de barra para aplicação do método de elementos finitos.

Para qualquer problema de barras a equação diferencial é dada por − �� (�. � ) = �(�) (2)

onde A corresponde à área da secção da barra, f(x) é o carregamento axial e sx é a tensão segundo x. A tensão, pela lei de Hooke, é igual a

s = �. � onde � = �� (3)

sendo E o módulo de Young, � a deformação que se traduz na derivada do deslocamento axial u em ordem a x. Deste modo a nossa equação diferencial evolui para a forma − �� (�. �. �� ) = �(�) (4)

em que A.E nos informa acerca da rigidez da barra. Esta equação é válida para problemas unidimensionais e constituídos por materiais elásticos. Em geral, se substituirmos a aproximação do tipo

�� = ∑ �� . �� (5)

directamente na equação diferencial, não conseguimos obter condições que permitam determinar os parâmetros αi. Para contornar este problema devemos utilizar a formulação integral da equação diferencial (4) que nos leva a

� −!. ". #′′ − $(%)& . '(%). (% = )%*%+ ∀ '(%)+(-.//.012 (6)

Sendo w(x) a função peso.


Nas fronteiras do elemento barra são impostas condições – condições de fronteira. Estas podem ser essenciais ou naturais. As primeiras correspondem a deslocamentos impostos em x=0 e/ou x=L, o que faz com que nesses nós a função peso seja nula, e as segundas correspondem a forças impostas (A.E.u’).

Posto isto, chegamos à formulação fraca através da integração por partes � 3�. �. 45. �5. 6� − �(�). 4(�)76� − 89 : 4(��) − 8;94(�<) = 0 ∀ 4(�) >6?@AA@BCD (7) onde −�. �. �5(��) = 89 −�. �. �5(�<) = 8;9 (8)

Uma vez que o elemento barra é um elemento linear, pois possui dois nós (Ilustração 2), a

solução aproximada é do tipo �E9 = �9 F �;9� (9)

onde h é o comprimento da barra e dado por xb-xa. Calculando a solução aproximada em cada nó, resolvendo-a em ordem a c1 e c2 e sabendo que �E9 = ∑ ��9��9�� (10) obtemos as soluções interpoladoras que neste caso são polinómios de Lagrange de 1º grau ��9 = 1 − 1H9 (�I) �;9 = EJ (�I) (11) onde x é a coordenada local.

Posto isto e pegando novamente na equação (7) sabemos que � �. �. 45. 3∑ ��59;� (�)��97. 6� = � �(�). 4(�)6� F : K 89 : K 4(��) − 8;94(�<) (12)

e escolhendo para as funções peso as próprias funções interpoladoras

Figura 3 - Elemento de barra


[ ] [ ] [ ]eeTee TKTK = (18)

[ ]

−−

−−

−−

−−

=

αααααα

αααααα

αααααα

αααααα

22

22

22

22

sinsincossinsincos

sincoscossincoscos

sinsincossinsincos

sincoscossincoscos

e

e

h

EAK

(19)

(17) [ ]

−

−

=

0000

0101

0000

0101

e

e

h

EAK

4E = ∑ ��94�9;� (4E); = �9 (4E); = �;9 (13)

e substituindo na equação (12) obtém-se: LMN. O�P = OQP (14) sendo k a matriz de rigidez e F o vector das forças. Para um elemento barra, cada um deles é definido como R�S9 = T �. �. (��5. �S5) ��9 = � �9 . ��96� F 8� : K (15) que em forma matricial corresponde a LMN9 = ��H9 U 1 −1−1 1 V OQP9 = WEJ; XY (16)

Para o nosso problema, em 2D, vão existir forças e deslocamentos segundo duas direcções, e por isso a matriz de rigidez a preencher ao longo do nosso programa será da forma

Como existe vantagem em utilizarmos um referencial local temos que ter o cuidado de passar de coordenadas do referencial local de cada elemento finito, para o referencial global através da seguinte transformação


onde [T] é a matriz de transformação de coordenadas e α o ângulo que o referencial local faz com o global.

Uma vez que o nosso sistema possui múltiplas barras, para montar o sistema global é necessário utilizarmos uma matriz de conectividades que relaciona os graus de liberdade locais com os do sistema global e nos permite construir a matriz de rigidez global de dimensão n x n sendo n o dobro do número de nós do sistema.


3. ESTRUTURAÇÃO DO PROGRAMA

Aqui descreveremos todo o raciocínio utilizado para o desenvolvimento do código em Matlab que irá resolver o nosso problema de barras 2D. 3.1. Introdução de dados

Por motivos de facilidade na introdução dos dados escolhemos que esta fosse feita através

de uma folha de Excel. Existem dois ficheiros Excel disponíveis para avaliação: o Estrutura.xls que contem os dados que caracterizam o nosso problema e o EstruturaAvalia.xls que corresponde à estrutura de validação que será descrita na secção 3.4. Existe um ficheiro Excel com uma tabela de introdução de dados em branco para o caso de se querer avaliar uma outra estrutura para além destas duas. Após o seu preenchimento há que salvar com o nome NovaEstrutura.xls.

A tabela dos dados consiste numa tabela de treze colunas e tantas linhas quantas necessárias para definir a estrutura de barras em questão (Figura 4).

Como é perceptível na Figura 4, vão existir quatro subtabelas principais, que serão introduzidas no programa como um vector de 4 matrizes:

1. Coordenadas dos pontos de interesse – indicação do índice de cada nó e das respectivas coordenadas;

2. Elementos de barra - indicação dos dois nós que estão nos extremos de cada barra, os módulos de Young do material de que são constituídas e a área de secção de cada uma. No nosso caso o material é aço, cujo � = 2.1 [ 10\ Pa, e todas as barras possuem a mesma área de secção 2 [ 10]^ m2.

3. Forças exteriores – introdução dos índices dos nós onde são aplicadas forças exteriores e das componentes vectoriais dessa mesma força.

4. Deslocamentos impostos – indicação dos índices dos nós onde existem apoios e

Figura 4 - Tabela para introdução de dados. Os dados de exemplo correspondem aos do problema do enunciado.


informação acerca dos deslocamentos. Se nesse ponto de aplicação não existir deslocamento numa ou em ambas as direcções o valor a colocar é 0. Se houver uma direcção na qual é permitido um deslocamento então o valor a colocar é -.

A função lerdados lê o ficheiro de Excel e introduz os dados no vector de matrizes est,

com a informação acima explicitada. Salientamos ainda que o programa consegue receber os dados por ordem arbitrária permitindo que o utilizador atribua qualquer numeração aos nós pois essa informação só é necessária para a definição das barras.

3.2. Método dos elementos finitos

A função principal chama-se melfin e esta possui no seu corpo o método dos elementos finitos. A ser executada ela devolve os vectores U, R e TENSÃO correspondentes aos deslocamentos sofridos em cada nó, às reacções nos apoios e às tensões interiores de cada barra, respectivamente. Todo o código se encontra comentado com os passos que vamos agora descrever, e que correspondem àqueles já descritos na secção 2.2. Após a leitura de dados inicializamos a matriz de rigidez global, KG, a zeros e o primeiro ciclo for que aparece serve para somar as contribuições de cada barra para esta mesma matriz. Estas contribuições são calculadas com o auxílio da matriz de rigidez de cada elemento barra, Ke, que por sua vez não necessita do cálculo explícito dos ângulos entre as barras e os eixos do referencial global pois os senos e os cosenos são directamente calculados a partir dos seus vectores directores.

Após esta iteração passamos à definição das condições de fronteira que é feita com base

nos dados introduzidos na terceira subtabela de Forças exteriores e na quarta subtabela Deslocamentos Impostos. Nesta etapa ocorrem dois passos importantes:

1. Geração do vector de forças exteriores - é inicializado a zero e gerado o vector das forças exteriores {F} a partir de um ciclo for. Este será igual a 0 nas coordenadas dos nós onde não são aplicadas forças exteriores e diferente de 0, e igual à componente da força em Newtons, nas coordenadas dos nós onde há forças aplicadas.

2. Geração do vector dos deslocamentos – este será um vector coluna, com 2*n linhas, igual a 0 nas coordenadas dos nós onde impusemos deslocamentos, ou seja, que obrigamos a não sofrer deformação e NaN (Not a Number) naquelas que irão sofrer deslocamento quando simularmos a aplicação das forças exteriores, e que darão origem à estrutura deformada.

Após todas estas definições procedemos à resolução do sistema seguindo a seguinte

expressão LR9NO∆9P = OQ9P F L8N (20) onde {∆e} é o vector dos deslocamentos e [Q] o vector das reacções.


L

Eδσ = (21)

Começamos por calcular a resolução do sistema para os nós onde não conhecemos os deslocamentos e para isso criamos o vector índices que deixa os pontos cujo deslocamento é imposto a zero e os outros (definidos com NaN) iguala-os a um. É através deste vector que um outro designado por Kmatriz vai buscar à matriz de rigidez (kglobal) os valores correspondentes a estes pontos. Depois calculamos a resolução do sistema para os nós em que tínhamos imposto o deslocamento e criamos o vector indicesinv que não é mais que o contrário do vector índices e assim sendo revela os pontos para os quais impusemos o deslocamento (os zeros tornam-se uns e os NaN tornam-se zeros). Criamos também a matriz C para lidar com deslocamentos impostos diferentes de zero, caso existam.

De seguida calculámos os deslocamentos nos nós e recorrendo à equação 20 calculámos as reacções nos apoios da estrutura.

Após a resolução do sistema podemos passar a resolver o problema das tensões em cada barra recorrendo à variação do comprimento das mesmas. Assim, a tensão em cada barra é dada por

onde L é o comprimento da barra, E o módulo de Young e δ a variação de comprimento da barra.

3.3. Interface gráfica

Para o utilizador conseguir visualizar todos os parâmetros pedidos no enunciado tem que escrever o comando guitrab no Matlab. Ao fazê-lo aparecerá um painel com opções igual ao da Figura 5. As funções implícitas neste painel são desenhadeformada, desenhaoriginal,

plotdeform, plotorig e melfin. Primeiro escreve-se o nome do ficheiro Excel que contem a tabela com os dados do

problema no primeiro campo de escrita, no formato Ficheiro.xls e tendo atenção às maiúsculas. No segundo campo de escrita introduz-se um factor de multiplicação para que seja multiplicado pelos deslocamentos melhorando bastante a percepção dos mesmos. Aconselha-se um factor de 100.

Se se quiser visualizar a estrutura original, a função guitrab chamará a função desenhaoriginal que após resolver o método de elementos finitos, recorre à função plotorig para desenhar a estrutura original e colori-la. No caso em que se desejar ver a estrutura deformada o guitrab chamará a função desenhadeformada e esta fará o mesmo que a anterior, mas desta vez desenhará a estrutura deformada através da função plotdeform. A primeira parte do corpo de ambas as funções desenha é igual à função melfin.

Para ter acesso aos valores de deformação, reacções nos apoios e força interiores das barras

tem que se seleccionar umas das opções indicadas no menu popup aparecerão numa matriz nx2 em que a primeira coluna indica a componente x da renesse ponto e a segunda coluna a componente y da mesma. As deformações aparecerão numa matriz idêntica à das reacções, mas desta vez os valores numéricos corresponderam ao deslocamento em x e em y de cada nó. A opção tensão em Pa que cada barra sofre. A ordem das barras deste vector coincidirpela qual foram definidas no ficheiro Excel introduzido.

Utilizamos ainda o colormap(jet)

forças que actua na nossa estrutura de barras. Os deslocamentos são multiplicados por um factor de escala para que o utiliapresentados são os reais.

3.4. Validação do programa

De modo a verificar se o nosso prdesenvolvemos uma estrutura de baixa complexidade de modo a que pudéssemos calcular os valores das tensões nas barras (23seguinte:

Figura 5 - Painel


Para ter acesso aos valores de deformação, reacções nos apoios e força interiores das barras tem que se seleccionar umas das opções indicadas no menu popup tabelas.

aparecerão numa matriz nx2 em que a primeira coluna indica a componente x da renesse ponto e a segunda coluna a componente y da mesma. As deformações aparecerão numa matriz idêntica à das reacções, mas desta vez os valores numéricos corresponderam ao

camento em x e em y de cada nó. A opção tensões_interiores dá um vector ctensão em Pa que cada barra sofre. A ordem das barras deste vector coincidirá pela qual foram definidas no ficheiro Excel introduzido.

colormap(jet) para uma percepção mais intuitiva de todo o sistema de que actua na nossa estrutura de barras. Os deslocamentos são multiplicados por um

factor de escala para que o utilizador se aperceba da deformação, contudo, os valores

rificar se o nosso programa estava a efectuar os cálculos correctamente desenvolvemos uma estrutura de baixa complexidade de modo a que pudéssemos calcular os

nas barras (23) e das reacções nos apoios (22). A estrutura testada foi a

Painel guitrab para visualização de resultados.

Para ter acesso aos valores de deformação, reacções nos apoios e força interiores das barras s. As reacções

aparecerão numa matriz nx2 em que a primeira coluna indica a componente x da reacção nesse ponto e a segunda coluna a componente y da mesma. As deformações aparecerão numa matriz idêntica à das reacções, mas desta vez os valores numéricos corresponderam ao

dá um vector coluna com a com a ordem

para uma percepção mais intuitiva de todo o sistema de que actua na nossa estrutura de barras. Os deslocamentos são multiplicados por um

ontudo, os valores

a efectuar os cálculos correctamente desenvolvemos uma estrutura de baixa complexidade de modo a que pudéssemos calcular os

). A estrutura testada foi a

Figura 6 - Esquema da estrutura utilizada para validar o programa

Realizam-se os cálculos para prever quais os valores das reacções nos apoios e das tensões interiores das barras que o nosso programa terá que devolver para que o possamosConsiderando o sistema em equilíbrio estático resolvemos o seguinte sistema:

abac∑ d = d F d e − 3000∑ dg = dg − dge F 3000∑ h;i�� = d e∑ h;jkl = d

Visto que a área de secção é:

" = + m Podemos calcular a tensão em cada barra (

� = no =

Inserem-se os dados da estrutura numa folha de Excel à qual chamamos EstruturaAvalia.xls (Figura 7) e executamos o


Esquema da estrutura utilizada para validar o programa

se os cálculos para prever quais os valores das reacções nos apoios e das tensões

interiores das barras que o nosso programa terá que devolver para que o possamosConsiderando o sistema em equilíbrio estático resolvemos o seguinte sistema:

3000 m cos (45°) = 03000 m ACu(45°) = 0 e m 1.5 = 0dg m 2 = 0

v w abacd = 2121.3 xdg = 0 xd e = 0 xdge = 2121.3 x

v

* = ), )z m ), ){ = | m })]~ --z

odemos calcular a tensão em cada barra (σ1→2 para a barra 1 e σ2→3 para a barra 2)

= � ��; = −3.5353 h�> �;�e = −3.5353 h�>v

se os dados da estrutura numa folha de Excel à qual chamamos ) e executamos o guitrab obtendo o resultado da Figura 8

se os cálculos para prever quais os valores das reacções nos apoios e das tensões interiores das barras que o nosso programa terá que devolver para que o possamos validar.

v (22)

para a barra 2)

(23)

se os dados da estrutura numa folha de Excel à qual chamamos Figura 8.


Figura 7 - Dados inseridos na folha de Excel para analisar a estrutura de validação.

Figura 8 - Estrutura de validação original (cinzento) e a respectiva estrutura deformada (colorida).

Para não inserirmos todas as imagens no relatório, de modo a demonstrar as tabelas de

valores de interesse, colectaram-se esses valores na tabela 1.

Ponto Deslocamentos / m Reacções nos apoios / N

Barra Tensão/Pa XX YY XX YY

1 0 0 2121,3 0 1→2 - 3,3535e+007

2 -0,00036 0,00025 0 0 2→3 - 3,3535e+007

3 0 0 0 2121,3

Tabela 1 - Valores das deslocamentos e das reacções nos apoios da estrutura de validação.

x (/m) y (/m)Ponto inicial

Ponto final

Modulo de Young (/Pa)

Área (/m^2)

Ponto de aplicação

componente em XX (/N)

componente em YY (/N)

Ponto de aplicação

componente em XX

componente em YY

1 0 0 1 2 21000000000 0,0006 2 -2.121,3 2121,3 1 0 02 2 0 2 3 21000000000 0,0006 3 0 03 2 1,5

Deslocamentos ImpostosCoordenadas dos pontos de

interesse:elementos de barra: Forças Exteriores


Como se pode verificar os valores tabelados coincidem com os valores anteriormente calculados. Pode-se então considerar que o programa é válido para resolver problemas com estruturas de barras.

4. RESULTADOS E DISCUSS

Recorrendo ao guitrab introduzimos os dados visíveis

estrutura deformada bem como os valores dos deslocamentos, das reacções e das tensões interiores descriminados na tabela

Figura 9 - Painel guitrab com a estrutura original (cinzento claro), estrutura de formada (colorida) e os valores

O primeiro pormenor vantajoso, a estrutura sofre, é a estrutura cinzenta que apareceo utilizador escolhe visualizar a configuração deformada, automaticamente, a estrutura original aparece atrás, a cinzento. de vista, permite uma muito melhocomo da alteração de inclinação de cada uma das barras.

O segundo pormenor trata-se das cores atribuídas às barras, através da função do Matlab colormap(jet), em função das tensões interiores de cada ulateral vai desde o valor mínimo distribuição de cores ao valor da tensão interior que cada barra sofre, é conveniente fazer a analogia de que a escala de cores vai doevidenciando as barras que se encontram à compressão (tensões interiores negativas) e do amarelo ao vermelho escuro (0 MPa a 2.5 MPa)tracção (tensões interiores positiva


RESULTADOS E DISCUSSÃO

introduzimos os dados visíveis na figura 9 e obtivemos a respectiva estrutura deformada bem como os valores dos deslocamentos, das reacções e das tensões

tabela 2.

com a estrutura original (cinzento claro), estrutura de formada (colorida) e os valores

das deformações em cada nó.

O primeiro pormenor vantajoso, relacionado com uma análise imediata da deformação que é a estrutura cinzenta que aparece atrás da colorida. Decidiu-se que, quando

o utilizador escolhe visualizar a configuração deformada, automaticamente, a estrutura a cinzento. Esta opção de apresentação de resultados, no nosso ponto

de vista, permite uma muito melhor percepção da alteração ou não da posição dos nós bem como da alteração de inclinação de cada uma das barras.

se das cores atribuídas às barras, através da função do Matlab em função das tensões interiores de cada uma. A escala da barra colorida

lateral vai desde o valor mínimo -2.5x107 é ao máximo 2.5x107. Uma vez que associamos esta distribuição de cores ao valor da tensão interior que cada barra sofre, é conveniente fazer a analogia de que a escala de cores vai do azul escuro ao verde claro (-2.5 MPa a 0 MPa) evidenciando as barras que se encontram à compressão (tensões interiores negativas) e do amarelo ao vermelho escuro (0 MPa a 2.5 MPa) colorindo as barras que se encontram à tracção (tensões interiores positivas).

e obtivemos a respectiva estrutura deformada bem como os valores dos deslocamentos, das reacções e das tensões

com a estrutura original (cinzento claro), estrutura de formada (colorida) e os valores

análise imediata da deformação que se que, quando

o utilizador escolhe visualizar a configuração deformada, automaticamente, a estrutura , no nosso ponto

r percepção da alteração ou não da posição dos nós bem

se das cores atribuídas às barras, através da função do Matlab ma. A escala da barra colorida

. Uma vez que associamos esta distribuição de cores ao valor da tensão interior que cada barra sofre, é conveniente fazer a

2.5 MPa a 0 MPa) evidenciando as barras que se encontram à compressão (tensões interiores negativas) e do

colorindo as barras que se encontram à


Os eixos estão escalados em metros e também fornecem informação acerca das dimensões da estrutura.

O único ponto não realista nesta apresentação é o efeito do factor de multiplicação. Para ter uma melhor percepção das deformações teve que se abdicar da representação dos deslocamentos reais, que não iriam ser perceptíveis por serem muitos pequenos. Deste modo não se pode ver a quantidade de deslocamento que os nós sofrem, olhando para os eixos x e y tendo que se recorrer à tabela dos deslocamentos.

Ponto Deslocamentos / m Reacções nos apoios / N

Barras Tensão/Pa XX YY XX YY

1 0 0 -2202,2483 -7593,2945 1→2 1.4495e+007 2 0,0052 0,0010 0 0 2→3 -1.8277e+007 3 0,0045 0,0001 0 0 1→3 2.6101e+007 4 0 0 -2797,7917 -648,6879 2→4 -1.5759e+007 5 0,0047 -0,0019 0 0 3→4 0.2106e+007 6 0,0016 0 0 10241,9824 4→6 1.7253e+007 3→5 0.4758e+007 3→6 -2.8142e+007 6→5 -1.0834e+007

Tabela 2- Valor dos deslocamentos (em metros), das reacções nos apoios (em Newtons) e as tensões interiores em cada barra

4.1. Deslocamentos

Os valores positivos na direcção do eixo dos xx indicam um deslocamento do nó para a direita e na direcção dos yy um deslocamento para cima. Por sua vez, os deslocamentos negativos na direcção do eixo dos xx indica uma deslocamento do nós para a esquerda e na direcção do eixo dos yy um deslocamento do nó para baixo, em relação à posição inicial.

Os deslocamentos nos pontos 1 (segundo as duas direcções), 4 (também segundo as duas direcções) e 6 (segundo o eixo vertical) são zero. Tal deve-se ao facto termos imposto deslocamentos precisamente nessas direcções desses pontos. Os nós 1, 4 e 6 correspondem aos apoios da estrutura e como tal estão fixos ao referencial segundo as direcções em que o deslocamento é igual a 0 mm.

Os valores tabelados estão de acordo com a deformação que a estrutura sofre. A força horizontal de 5 kN aplicada no ponto 2 faz com que toda a estrutura, excepto os nós fixos, se mova para a direita, ou seja, na direcção da força. Por outro lado, a força vertical de -2 kN provoca um abatimento da estrutura na extremidade em que é aplicada (nó 5). Ao ser aplicada, esta força cria tensões nas barras 4 → 5 e 4 → 6 que puxarão a estrutura para baixo e para a direita. Os nós 3 e 3 sofrem uma elevação estão na extremidade oposta daquela em que é aplicada a força vertical negativa de 2 kN.

No ponto D (que corresponde ao ponto 5 da nossa estrutura) houve uma deformação de 4.7 mm na horizontal e de 1.9 mm na vertical.


4.2. Reacções As reacções obtidas apresentam um significado lógico. Só existem reacções nos apoios: em

ambas as direcções nos nós 1 e 4 e na direcção dos yy no nó 6. Nos dois primeiros nós ambas as componentes das reacções vão ser negativas, ou seja, com direcção para a esquerda e para baixo, pois as barras que estão ligadas a estes exercem tracção a estes pontos de apoio. O nó 6, apresenta uma reacção positiva na vertical pois a estrutura está a ser deformada no sentido negativo da direcção vertical.

4.3. Tensões

Associando os valores das tensões da tabela 2 às cores das barras é fácil perceber porque é que elas tomam esses valores. Como já foi referido, quando elas tomam valores positivos, possuem cores entre o amarelo e o vermelho e significa que se encontram à tracção e quando elas tomam valores negativos apresentam cores entre o azul escuro e o verde e significa que estão à compressão. Estas apresentam valores da ordem do MPa como seria de esperar.

Podemos concluir que a estrutura está em equilíbrio estático recorrendo ao somatório das forças segundo as várias direcções

=

=

∑∑

0

0

y

x

F

F

(24)

Como sabemos as reacções nos apoios e as componentes das forças segundo as duas direcções (vertical e horizontal) calculamos o somatório da seguinte forma:

� ∑ Q F d F d = 5000 F (−2202.2483) F (−2797.7917) = 0∑ � F dg F dg F d� = (−2000) F (−7593.2945) F (−648.6879) F 1024.9824 = 0v (25)


5. CONCLUSÃO

Concluímos que o nosso programa se encontra preparado para resolver a generalidade dos

problemas de estruturas de barras e no algoritmo desenvolvido, todo o método de elementos finitos foi estruturado dum modo sistemático e eficaz. A interface foi pensada para o utilizador conseguir uma interpretação intuitiva e rápida.

Na prática este é um resultado satisfatório pois todas as barras sofrem tensões da ordem dos MPa e os nós pelas quais elas se encontram ligadas sofrem deslocamentos reduzidos.

Apesar de não termos feito nenhum teste deste tipo, este programa resolve também estruturas de barras que possuam módulos de Young diferentes, ou seja, que são feitas de material diferente.


REFERÊNCIAS

[1] F. Beer, R. Johnston e J. DeWolf, Mecânica do Materiais, 3ª edição, McGrawHill, 2003. [2] J. N. Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, 3ª edição, McGrawHill,

2006. [3] P. R. Fernandes, J. Folgado e R. B. Ruben, Shape optimization of a cementless hip stem

for a minimum of interface stress and displacement, Computer Methods in Biomechanics

and Biomedical Engineering, 7, 51-61 (2004).

Analysis of a structure of bars with the Finite Elements method

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