Analysis - Münsterj-engel/Mathe/Infini.pdf2.2 Beispiele a) Q ist ein Korper¤ b) Q p 2 ist ein...

Analysis

Jurgen Elstrodt

1. April 2003

Teil I

Die reellen Zahlen1 Grundlagen

N := {1, 2, 3, . . .} Menge der naturlichen ZahlenN0 := {0, 1, 2, . . .} Menge der ganzen Zahlen ≥ 0Z := {0,±1,±2, . . .} Menge der ganzen ZahlenQ := {mn ;m,n ∈ Z, n 6= 0} Menge der rationalen Zahlen

1.1 Vollstandige Induktion

Vorgelegt sei eine Aussage A(n), die fur alle n ≥ n0(n ∈ Z) sinnvoll ist, und esgelte:

a) A(n0) ist richtig (Induktionsanfang)

b) Es gilt fur jedes n ≥ n0: Falls A(n) richtig ist, so ist auch A(n+ 1) richtig.(Induktionsschluss)

Dann gilt A(n) fur alle n ≥ n0.Begrundung: Zunachst gilt A(n0) nach a)b) mit n = n0 ⇒ A(n0 + 1) richtigWiederum b) mit n = n0 + 1⇒ A(n0 + 2) richtig...⇒ A(n) richtig fur alle n ≥ n0.

Fur die folgenden Beispiele wird der Korper der reellen Zahlen als bekanntvorausgesetzt, um die Wirkungsweise des Induktionsprinzips zu uben. Der axio-matische Aufbau von R kommt ab Kapitel 2.

1.2 Definition

Seien m,n ∈ Z, fur alle k ∈ Z,m ≤ k ≤ n sei ak ∈ R. Dann setzt man:n∑

k=m

ak := am + am+1 + . . .+ an fur m ≤ n

n∑

k=m

ak := 0, falls m > n (leere Summe)

n∏

k=m

ak := am · am+1 · . . . · an fur m ≤ n

n∏

k=m

ak := 1 fur m > n (leeres Produkt)

3

1.3 Folgerung

n∑

k=m

ak =

n∑

l=m

al =

n+1∑

k=m+1

ak−1

n∑

k=m

ak +

p∑

k=n+1

ak =

p∑

k=m

ak fur m ≤ n ≤ p

Dasselbe gilt fur das entsprechende Produkt.

1.4 Summenformel

Fur alle n ∈ N gilt:

n∑

k=1

k =n (n+ 1)

2

(Summenformel fur endliche arithmetische Progression)

Beweis

n∑

k=1

k = 1 + 2 + ...+ n− 1 + n

n∑

k=1

k = n+ n− 1 + ...+ 2 + 1

=1

2

(1 + 2 + ...+ n− 1 + n

+n+ n− 1 + ...+ 2 + 1

)

=1

2n︸︷︷︸

Anzahl der Terme

(n+ 1) 2

1.5 Satz

n∑

k=1

(2k − 1) = n2 fur alle n ∈ N

4

Beweis

n∑

k=1

(2k − 1) =2n∑

k=1

k −n∑

k=1

2k =2n(2n+ 1)

2− 2

n(n+ 1)

2

= 2n2 + 1− n2 − 1 = n2

oder:n∑

k=1

(2k − 1) = 2

n∑

k=1

k − n = 2n(n+ 1)

2− n

= n2 + n− n = n22

oder:

IB:n∑

k=1

(2k − 1) = 1 = 12

IV:n∑

k=1

(2k − 1) = n2

IS:n+1∑

k=1

(2k − 1) =n∑

k=1

(2k − 1) + 2(n+ 1)− 1

= n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)22

1.6 Satz

n∑

k=0

xk =

{xn+1−1x−1 fur x 6= 1

n+ 1 fur x = 1

(Summenformel fur die endliche geometrische Progression)

Beweis

IB1∑

k=0

xk = 1 + x =x2 − 1

x− 1

ISn+1∑

k=0

xk =n∑

k=0

xk + xn+1

=xn+1 − 1

x− 1+ xn+1 =

xn+1 − 1 + (x− 1)xn+1

x− 1

=xn+1 − 1 + xn+2 − xn+1

x− 1=xn+2 − 1

x− 12

5

Alternativ:

sn :=n∑

k=0

xk = 1 + x+ x2 + . . .+ xn

⇒ sn · x = x+ x2 + x3 + . . .+ xn+1

⇒ x · sn − sn = sn(x− 1) = xn+1 − 1

⇒ sn =xn+1 − 1

x− 12

1.7 Folgerung

Fur alle a, b ∈ R, n ∈ N ist:

an − bn = (a− b) ·n∑

k=1

an−kbk−1

n = 2 : a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

n = 3 : a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)

...

Beweis Ist a = b oder a = 0, so ist die Behauptung klar.Sei also a 6= b und a 6= 0:

(a− b)n∑

k=1

an−kbk−1 = (a− b)an−1n∑

k=1

(b

a

)k−1

= (a− b)an−1n−1∑

l=0

(b

a

)l

= (a− b)an−1 1−(ba

)n

1− ba

= an − bn 2

1.8 Definition

a) 0! := 1 n! := 1 · 2 · . . . · n fur n ∈ N.

b) Fur α ∈ R sei(α0

):= 1,

(αk

):= 0 fur k < 0, k ∈ Z,

(α

k

)

:=α(α− 1) · . . . · (α− k + 1)

k!

fur k ∈ N.

6

1.9 Folgerung

a)(α1

)= α,

(α2

)= α(α−1)

2 , . . .

b)(nk

)= 0, falls n ∈ N0 und k > n

c)(nk

)= n!

k!(n−k)! fur n ∈ N0 und 0 ≤ k ≤ n=(n

n−k)

d)(αk

)+(αk+1

)=(α+1k+1

)fur α ∈ R und alle k ∈ Z.

Beweis nur d). Fur k ≤ 0 ist die Behauptung klar, nur fur k ≥ 1

(α

k

)

+

(α

k + 1

)

=α(α− 1) · . . . · (α− k + 1)

k!+α(α− 1) · . . . · (α− k + 1)(α− k)

(k + 1)!

=α(α− 1) · . . . · (α− k + 1)

k!·(

1 +α− kk + 1

)

︸︷︷︸

=α+1k+1

=α+ 1)α(α− 1) · . . . · (α− k + 1)

(k + 1)!=

(α+ 1

k + 1

)

2

Berechnung der Binomialkoeffizienten mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks:(n

k

)

+

(n

k + 1

)

=

(n+ 1

k + 1

)

(n ∈ N0, k ∈ Z)

In der Zeichnung ist jede Zahl gleich der Summe ihres linken oberen und rechtenoberen Nachbarn. Insbesondere sind

(nk

)∈ N0 fur alle n ∈ N0 und k ∈ Z, sogar

(nk

)∈ N fur n ∈ N0 und 0 ≤ k ≤ n.

1.10 Binomischer Satz

Fur alle a, b ∈ R und alle n ≥ 0 gilt:

(a+ b)n =

(n

0

)

anb0 +

(n

1

)

an−1b1 + . . .+

(n

n− 1

)

a1bn−1 +

(n

n

)

a0bn

=n∑

k=0

(n

k

)

an−kbk

speziell: (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2, (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

7

Beweis: mit Induktion:

A(n) : (a+ b)n =n∑

k=1

(n

k

)

an−kbk

A(1) ist richtigA(n)→ A(n+ 1):

(a+ b)n+1 = (a+ b)(a+ b)nA(n)= (a+ b)

(n∑

k=0

(n

k

)

an−kbk)

=n∑

k=0

(n

k

)

an+1−kbk +n∑

k=0

(n

k

)

an+1−(k+1)bk+1

= an + 1 +n∑

k=1

an+1−kbk +n∑

k=1

an+1−kbn+1

=

(n

0

)

an+1 +n∑

k=1

((n

k

)

+

(n

k + 1

))

an+1−kbk +

(n+ 1

n+ 1

)

bn+1

=n+1∑

k=0

(n+ 1

k

)

an+1−kbk

Ersetzung von k durch n− k gibt der Formel die Gestalt:

(a+ b)n =n∑

k=0

(n

n− k

)

akbn−k =n∑

k=0

(n

k

)

akbn−k 2

1.11 Folgerung

n∑

k=0

(n

k

)

= 2n fur alle n ≥ 0, n ∈ N0

Folgt mit a = b = 1 aus dem binomischen Satz.

n∑

k=0

(−1)k(n

k

)

= 0

Folgt mit a = 1, b = −1 aus dem binomischen Satz.

n2∑

k=0

(n

2k

)

= 2n−1 fur alle n ≥ 1

Folgt durch Addition der vorausgegangenen Summen.

8

2 Korperbegriff

Die reellen Zahlen sind charakterisiert durch 3 Eigenschaften:

a) R ist ein Korper, d.h. es sind die Grundrechenarten Addition, Subtraktion,Multiplikation und Division erklart und es gelten die ublichen Rechenregeln.

b) R ist angeordnet, d.h. fur a, b ∈ R ist entweder a > b, a = b oder a < b undes gelten entsprechende Rechenregeln. (siehe Kap. 3)

c) R ist vollstandig (siehe Kap. 5)

2.1 Definition

Ein Korper K ist eine Menge, in der 2 Verknupfungen erklart sind:

+ K ×K → K, (a, b) 7→ a+ b genannt ”Addition“

· K ×K → K, (a, b) 7→ a · b genannt ”Multiplikation“,

die folgenden Axiomen genugen:

2.1.1 (A) Axiome der Addition

a) Assoziativgesetz der Addition: (a+ b) + c = a+ (b+ c) (a, b, c ∈ K).

b) Kommutativgesetz: a+ b = b+ a (a, b ∈ K)

c) Existenz eines ”Nullelements“: es gibt mindestens ein Element 0K ∈ K, sodass x+ 0K = x (x ∈ K).Bemerkung: Wir werden zeigen, dass es genau ein Nullelement gibt.

d) Existenz eines ”Negativen“: Zu jedem x ∈ K gibt es mindestens ein (−x) ∈K mit x+ (−x) = 0K

2.1.2 (M) Axiome der Multiplikation

a) Assoziativgesetz der Multiplikation: (a · b) · c = a · (b · c) (a, b, c ∈ K)

b) Kommutativgesetz der Multiplikation: a · b = b · a (a, b ∈ K)

c) Existenz eines ”Einselements“: Es gibt ein Element 1K ∈ K(1K 6= 0K), sodass x · 1K = x (x ∈ K)

d) Existenz eines ”Inversen“: Zu jedem 0K 6= x ∈ K existiert mindestens einx−1 ∈ K, so dass x · x−1 = 1K

e) Distributivgesetz: a · (b+ c) = ab+ acDabei Konvention: ”·“bindet starker als ”+“.

9

2.2 Beispiele

a) Q ist ein Korper

b) Q(√

2)

ist ein Korper (siehe Vorlesung Lineare Algebra)

c) R ist ein Korper (siehe weiter hinten)

d) K := {0; 1} ist bzgl. Addition und Multiplikation nach den bekannten Wer-tetabellen ein Korper.

e) Z ist ein Korper.

2.3 Folgerungen aus (A)

a) 0K ist eindeutig bestimmt

Beweis: Sei 0′K ein weiteres Element mit x+ 0′K = x fur alle x ∈ K.Setze dann x := 0K ⇒ 0K + 0′K = 0K .Benutze nun (A.3) mit x = 0′K⇒ 0′K + 0K = 0KZusammen folgt: 0K = 0′K 2

b) Fur jedes x ∈ K ist (−x) eindeutig bestimmt:

Beweis: Sei x′ ein weiteres Element mit x+ x′ = 0K . Dann gilt:(−x) + (x+ x′) = (−x) + 0K = −x nach (A.3)Andererseits:(−x) + (x + x′) = ((−x) + x) + x′ = (x + (−x)) + x′ = 0K + x′ =x′ + 0K = x′

Zusammen folgt: x′ = (−x) 2

c) (−0K) = 0K

Beweis: (A.3): 0K + 0K = 0K .(A.4): 0K + (−0K) = 0KNach b) folgt: 0K = (−0K) 2

d) Fur alle a, b ∈ K hat die Gleichung

a+ x = b (1)

die eindeutig bestimmte Losung x = b− a.

10

Beweis:

1.) a+ x = a+ (b− a) = (a+ b)− a = (b+ a)− a = b⇒ x = b− a ist Losung von (1).

2.) Sei x′ eine weitere Losung von (1). Dann gilt:a+x′ = b⇔ (−a)+a+x′ = (−a)+b⇔ (a+(−a))+x′ = b+(−a)⇔ 0K + x′ = b+ (−a)⇔ x′ = b− a = x 2

e) (−(−x)) = x (x ∈ K) (Eindeutigkeit des Inversen)

f) −(a+ b) = −a− b (a, b ∈ K) (Ebenso)

2.4 Folgerungen aus (M) und (D)

a) 1K ist eindeutig bestimmt.Beweis wie in 2.3 a)

b) Fur jedes vom Nullelement verschiedene x ∈ K ist x−1 eindeutig bestimmt.Beweis wie in 2.3 b)

c) (1K)−1 = 1KBeweis wie in 2.3 c)

Bezeichnung: Fur a, b ∈ K, b 6= 0K sei ab definiert als a ·(b)−1 = (b)−1 ·anach (M.2)

d) In K gilt das Distributivgesetz (a+ b) · c = ac+ bc (a, b, c ∈ K)

Beweis: (a+ b) · c = c · (a+ b) = ca+ cb = ac+ bc 2

e) 0K · x = 0K (x ∈ K)

Beweis: 0K · x = (0K + 0K) · x d)= 0K · x+ 0K · x

d)⇒ 0K · x = 0K · x−0K · x = 0K 2

f) Die Gleichung

a · x = b (2)

hat genau eine Losung x = a−1 · b = ba .

11

Beweis: Wegen a ·(a−1 · b

) 2.1.2 a=

(a · a−1

)· b = 1K · b = b ist x = a−1 · b

eine Losung von (2).Sei x ∈ K irgendeine Losung von (2), a 6= 0.

⇒ a−1 · (a · x) = a−1 · b(a−1 · a

)· x = 1 · x = x

}

⇒ x = a−1 · b.

g) Fur alle x, y ∈ K gilt: x · y = 0⇔ x = 0 ∧ y = 0 2

Beweis:

”⇐“ klar nach e) und (M.2).

”⇒“ Sei x, y ∈ K,x · y = 0, x 6= 0

2.1.2 d⇒ ∃x−1 ⇒ x−1 · (x · y) = x−1 · 0K = 0K

⇒(x−1 · x

)· y =

(x · x−1

)· y = 1K · y = y

Zusammen: y = 0 2

h) Fur alle x 6= 0 ist x−1 6= 0 und(x−1

)−1= x

Beweis: x · x−1 = 1 6= 0K ⇒ x−1 6= 0K ⇒(x−1

)−1 existiert. Restanalog zu 2.3 e).

x−1 ·(x−1

)−1= 1K nach 2.1.2 d) und x−1 · x = 1K

x−1 6=0f)⇒ x =

(x−1

)−12

i) Fur alle x, y ∈ K x 6= 0, y 6= 0 gilt: (x · y)−1 = x−1 · y−1

Beweis: Analog zu 2.3 f.

j) a · (x− y) = ax− ay (a, x, y ∈ K)

Beweis:

ay + a(x− y) = a(x− y) + ay = a((x− y) + y)

= a(x+ ((−y) + y)) = a(x+ 0) = ax

2.3 d)⇒ a(x− y) = ax− ay 2

12

2.5 Folgerungen

In jedem Korper K gilt:

a) (−x) · y = −(x · y) = x · (−y) (x, y ∈ K)

b) (−1k) · x = −x (x ∈ K)

c) (−x) · (−y) = xy (x, y ∈ K), speziell (−1) · (−1) = 1, −1−1 = −1

d) (−x)−1 = −(x−1

)(0 6= x ∈ K)

Beweis:

a) xy+(−xy) 2.4 d)= (x+(−x)) ·y = 0K ·y = 0K

2.3 b)⇒ −(xy) = (−x) ·y ⇒−(yx) = (−y) · x 2

b) Setze x := 1 und ersetze y durch x in a).

c) x · y 2.3 d)= −(−(xy))

a)= −((−x) · y) = −(x · (−x)) = (−y) · (−x) =

(−x) · (−y) 2

d) Fur x 6= 0K ∈ K ist auch (−x) 6= 0K , denn ware (−x) = 0K , so ware

x2.3= −(−x) = −0K = 0 Widerspruch!

⇒ (−x)−1 ist sinnvoll (−x)−1 = ((−1) · x)−1 = −1−1 · x−1 =−1 · x−1 = −

(x−1

)2

2.6 Folgerungen

In jedem Korper K gelten die Rechenregeln der Bruchrechnung:

a) Erweitern, Kurzen: Fur alle a, b, q ∈ K, b 6= 0 6= q gilt: a·qb·q = ab .

b) Addition und Subtraktion: Fur alle a, b, c, d ∈ K; b, d 6= 0 gilt: ab ± cd =

ad±bcbd

c) Multiplikation: Fur alle a, b, c, d ∈ K; b, d 6= 0 gilt: ab · cd = acbd

d) Fur alle a, b ∈ K − {0} gilt:(ab

)−1= b

a

Beweis:

a)aq

bq︸︷︷︸

6=0, da b6=0 6=q

= (aq) · (bq)−1 = (aq) ·(b−1 · q−1

)=(a · b−1

)·(q · q−1

)=

(a · b−1

)· 1K = a · b−1 = a

b 2

b) (bd) ·(ab ± c

d

)= (bd) ·

(ab−1 ± cd−1

)= (db)

(b−1a

)± (bd)

(d−1c

)=

da± bc 2

13

c)(ab · cd

)=(ab−1

)·(cd−1

)⇒ (bd) ·

(ab · cd

)= (ac) . . . 2

d)(ab

)−1 6= 0, da a 6= 0 6= b ⇒(ab

)−1=(ab−1

)−1= a−1 ·

(b−1)−1

=

a−1b = ba 2

2.7 Folgerungen

Es sei K Korper und x1, . . . , xn ∈ K. Dann haben samtliche durch sinnvollesEinfugen von Klammern in x1 + . . . + xn entstehenden Summen bzw. Produkteden gleichen Wert. (Allgemeines Assoziativgesetz)

Beweis: A(n): Fur jede Summe x1 + . . .+xm mit Summanden x1, . . . , xm ∈ Kmit 1 ≤ m ≤ n ergibt jede sinnvolle Beklammerung den Wert

(x1 + (x2 + (. . .+ (xn−1 + xn) . . .)

Nachzulesen bei [Mey80], S. 18, Satz 1.2.7.Resultat: Summen und Produkte von Elementen aus K konnen ohne Angabe vonKlammern geschrieben werden; die Schreibweise

∑oder

∏ist sinnvoll.

2.8 Permutationen

Es sei K ein Korper und k1, . . . , kn ∈ K, (i1, . . . ; in) Permutation (d.h. Umord-nung) von (1, . . . n). Dann ist

x1 + x2 + . . .+ xn = xi1 + xi2 + . . .+ xin

Das Produkt funktioniert analog nach dem allgemeinen Kommutativgesetz.

Beweis: Jede Permutation der Zahlen von 1 bis n lasst sich durch geeignete suk-zessive Vertauschung zweier nebeneinanderstehender Elemten gewinnen. Oder:Jede Permutation lasst sich als Produkt von Transpositionen schreiben.

2.9 Folgerung

x1, . . . , xm; y1, . . . , yn ∈ K ⇒m∑

j=1

xj ·n∑

k=1

yk =n∑

j=1

n∑

k=1

xjyk

nach dem allgemeinen Distributivgesetz.

2.10 Definition

Sei K ein Korper, x ∈ K, n ∈ N, n ≤ 1. Dann gilt:

x0 = 1K , speziell: 00 = 1K xn =n∏

k=1

x x−n =n∏

k=1

(x−1

)n fur x 6= 0.

14

2.11 Satz

Es sei x ∈ K, m,n ∈ Z, x 6= 0, falls m < 0 oder n < 0. Dann gilt:

a) x−k =(xk)−1

k ∈ N, x 6= 0

b) xm+n = xm · xn, speziell (fur n = −1) (xm)−1 = x−m fur 0 6= x ∈ K undalle ganzen Zahlen m.

c) (xm)n = xm·n

Beweis:

a) Induktion

b) xm+n =m+n∏

k=1

x =m∏

k=1

x ·m+n∏

k=m

x =m∏

k=1

x ·n∏

k=1

x = xm · xn fur m,n > 0

xm+n =−m−n∏

k=1

x−1 =−m∏

k=1

x−1 ·−m−n∏

k=−mx−1 =

−m∏

k=1

x−1 ·−n∏

k=1

x−1 = xm · xn

fur m,n < 0

xm+n =m+n∏

k=1

x =m∏

k=1

x ·−n∏

k=1

x−1 = xm ·xn furm > 0, n < 0,m+n > 02

c) 1.) Induktion: Hier nur der Schluss

(xm)n+1 b)= (xm)n · xm = xmn · xm b)

= xmn+m = xm(n+1).

2.) Sei n ∈ Z, n = −k < 0.

⇒ (xm)na)=(

(xm)k)−1 c1.)

=(xmk

)−1= x−mk = xm·(−k) = xm·n

2

2.12 Satz

Es seien x, y ∈ K,n ∈ Z, x, y 6= 0, falls n < 0. Dann gilt:

(x · y)n = xn · yn

Beweis:

a) n ≥ 0 (x · y)n = xn · yn Induktion wie in 2.11 b) 2

b) n < 0 (x · y)n = ((x · y)−n)−1 a)= (x−n · y−n)−1 a)

= xn · yn 2

2.13 Folgerung

Es seien x ∈ K, n ∈ N. Dann gilt: Z 3 0 · x = 0K , n · x = x+ x+ . . .+ x︸︷︷︸

n Summanden

∈ K,

(−n) · x = (x) + (−x) + . . .+ (−x)︸︷︷︸

n Summanden

∈ K

15

2.14 Folgerung

Fur x, y ∈ K, m,n ∈ Z gilt:

a) (m+ n) · x = mx+ nx, speziell (−m)x︸︷︷︸

”-“aus Z

= −(mx)︸︷︷︸

”-“aus K

b) n · (mx) = (nm) · x

c) m · (x+ y) = mx+my

d) m · x = (m · 1K) · x

Beweis: a) bis c) analog oben. d) leicht.

Ergebnis: In jedem Korper gelten die bekannten Rechenregeln fur +,−,·,divund fur Potenzen ∈ Z.

16

3 Anordnung

Konvention: 1k := 1 0k := 0

3.1 Definition

Ein Korper K heißt angeordnet, wenn in K eine Menge P 6= ∅, die Menge dersog. positiven Elemente von K ausgezeichnet ist, so dass folgende Axiome erfulltsind:

a) ∀x ∈ K gilt: Entweder x ∈ P oder x = 0 oder −x ∈ P .

b) ∀x ∈ P, y ∈ P gilt: (x+ y) ∈ P und (x · y) ∈ P

In jedem angeordneten Korper ist 1 positiv.In jedem angeordneten Korper ist x2 positiv fur x 6= 0, x ∈ K ⇒ C ist keinangeordneter Korper.

3.2 Definition

Sei K ein angeordneter Korper. Dann wird definiert fur x, y ∈ K:

• x > y heißt: (x+ (−y)) ∈ P

• x ≥ y heißt: (x+ (−y)) ∈ P oder (x+ (−y)) = 0

• x < y heißt: (y + (−x)) ∈ P

• x ≤ y heißt: (y + (−x)) ∈ P oder (y + (−x)) = 0

• x heißt positiv, wenn x > 0; x heißt negativ, wenn x < 0.

3.3 Satz

a) ∀a, b ∈ K gilt: Entweder a b

Beweis: (b− a) ∈ P oder (b− a) = 0 oder − (b− a) ∈ P 2

b) a < b⇔ −a > −b

Beweis: a < b⇔ b− a ∈ P ⇔ −a− (−b) ∈ P ⇔ −a > −ba ≥ b ∧ b ≥ a⇒ b = a 2

c) a < b ∧ b < c⇒ a < c, a ≤ b ∧ b ≤ c⇒ a ≤ c, a ≤ b ∧ b < c⇒ a < c

17

Beweis: a < b ∧ b < c⇔ b− a ∈ P ∧ c− b ∈ P ⇔(b− a) + (c− b) ∈ P ⇔ c− a ∈ P ⇔ a < c 2

d) x < y, a ∈ K ⇒ x+ a < y + a

Beweis: x < y ⇔ y − x ∈ P ⇔ (y − a)− (x− a) ∈ P ⇔x+ a < y + a 2

e) x < x′, y < y′ ⇒ x + y < x′ + y′ ⇒ Ungleichungen durfen addiert, nichtaber subtrahiert werden.

Beweis: x+ y < x′ + y < x′ + y′ ⇔ x+ y < x′ + y′ 2

f) x < y, a > 0⇔ ax < ayx < y, a < 0⇔ ax > ay

g) 0 ≤ x ≤ x′ ∧ 0 ≤ y ≤ y′ ⇒ x · y ≤ x′ · y′

Beweis: x · y ≤ x′ · y ≤ x′ · y′ 2

h) xk < yk (k = 1 . . . n)⇒n∑

k=1

xk <n∑

k=1

yk

Beweis: Induktion in e) 2

i) xk ≤ yk (k = 1 . . . n) ∧n∑

k=1

xk ≤n∑

k=1

yk ⇒ ∃j ∈ {1, . . . n} mit xj < yj

Beweis: indirekt 2

j) xk ≥ 0, xk < yk ⇒n∏

k=1

xk <n∏

k=1

yk

Beweis: Indirekt mit g) 2

k) x 6= 0⇒ x2 > 0 speziell: −1 < 0⇒ 1 > 0

Beweis: Sei x 6= 0. Zwei Falle:

1.) x > 0⇒ x2 > 0

2.) x < 0⇒ −x > 0⇒ x2 2.5 c)= (−x)2 > 0

⇒ x2 > 0 fur x 6= 0 2

l) x > 0⇒ 1x > 0; x < 0⇒ 1

x < 0

18

Beweis:

1.) Sei x > 0⇒ 1x = 1

x · 1 =(

1x ·(

1x · x

))=(

1x

)2 · x > 0

2.) Sei x < 0⇒ − 1x

2.5 d)= (−x)−1 > 0⇒ 1

x < 0 2

m) 0 < x < y ⇒ 1x >

1y

Beweis: x, y > 0⇒ x · y > 0⇒ 1x·y > 0 Multiplikation der Ungleichung

mit 1x·y 2

n) x · y > 0⇒ (x > 0 ∧ y > 0) oder (x < 0 ∧ y < 0).

Beweis:

1.) x > 0⇒ 1x > 0⇒ y =

1

x︸︷︷︸

>0

· xy︸︷︷︸

>0

> 0

2.) x < 0⇒ 1x < 0⇒ y =

1

x︸︷︷︸

<0

· xy︸︷︷︸

>0

< 0 2

o) x · y < 0⇒ (x > 0 ∧ y < 0) oder (x < 0 ∧ y > 0)

Beweis: Analog zu n) 2

3.4 Definition

Fur a ∈ K sei |a| :={a fur a ≥ 0−a fur a < 0

3.5 Folgerung

|a| ≥ 0 |a| = 0⇔ a = 0 | − a| = |a| |1| = 1

3.6 Satz

Fur alle a, b ∈ K gilt:

a) |a · b| = |a| · |b|, speziell∣∣ 1a

∣∣ = 1

|a|

b) Ist c ≥ 0, so gilt |a| ≤ c⇔ −c ≤ a ≤ c

c) −|a| ≤ a ≤ |a|

19

Beweis:

a) 1.) a · b = 0 ⇒ |a · b| = 0 = |a| · |b|, da a = 0 ∨ b = 0 2

2.) a·b > 0⇒ a > 0 ∨ b > 0⇒ |a| · |b| = |a · b|∧a < 0 ∨ b < 0⇒ |a · b| = a · b = (−a)(−b) = |a||b| 2

3.) a·b < 0⇒ a > 0 ∨ b < 0⇒ |a · b| = −(ab) = a · (−b) = |a| · |b|∧a < 0 ∨ b > 0⇒ |a · b| = −(ab) = (−a) · b = |a||b| 2

b) |a| ≤ c ⇔ a ≤ c ∧ −a ≤ c, dann entweder |a| = a ⇒ a ≤ c oder|a| = −a⇒ −a ≤ c−a analog 2

c) klar nach b) mit c = |a| 2

3.7 Dreiecksungleichung

∀a, b ∈ K gilt:

a) |a+ b| ≤ |a|+ |b|

b) |a− b| ≤ |a|+ |b|

c) ||a| − |b|| ≤ |a+ b|

d) ||a| − |b|| ≤ |a− b|

Beweis:

a)−|a| ≤ a ≤ |a|−|b| ≤ b ≤ |b|

}

⇒ − (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| 3.6.c⇒ |a + b| ≤|a|+ |b| 2

b) Man ersetze b durch (−b)⇒ |b| = | − b|. Dann klar nach 3.7 a) 2

c) |a| = |a+ b− b|3.7.a≤ |a+ b|+ | − b| = |a+ b|+ |b|

⇒ |a| − |b| ≤ |a+ b| ∀ a, b ∈ KVertauschung der Buchstaben a, b⇒ ||a| − |b|| ≤ |a+ b| 2

d) klar nach 3.7 c) bei Ersetzung von b durch (−b) 2

3.8 Bernoullische Ungleichung

(benannt nach Jakob Bernoulli (1654-1705), sein Bruder Johann war der Lehrervon L. Euler)Sei x ≥ −1⇒ ∀n ∈ N0

(1 + x)n ≥ 1 + n · x.

20

Beweis: Induktion

a) n = 0⇒ Behauptung richtig

b) n→ n+ 1 Sei bekannt: A(n) : (1 + x)n ≥ 1 + nx fur x ≥ −1.

Dann gilt: (1 + x)n+1A(n)

≥ (1 + x)n︸︷︷︸

≥1+nx

· (1 + x)︸︷︷︸

≥0

≥ (1 + nx) · (1 + x) = 1 +

(n+ 1)x+ nx2︸︷︷︸

≥0

≥ 1 + (n+ 1)x 2

3.9 Satz

Fur 0 ≤ x ≤ 1 und alle n ∈ N0 gilt: (1 + x)n ≤ 1 + (2n − 1)x

Beweis:

a) Induktion funktioniert 2

b) Fur(0 ≤ x ≤ 1⇒ 0 ≤ xk ≤ x fur k ≥ 1

)gilt:

(1 + x)n =n∑

k=0

(nk

)xk = 1 +

n∑

k=1

(nk

)xk ≤ 1 +

(n∑

k=1

(nk

))

x

1.11= 1 + (2n − 1)x 2

3.10 Satz

Seien a1, . . . an ∈ K, n ∈ N ⇒ es existiert ein kleinstes und ein großtes Elementaus {a1, . . . an}, genannt Minimum bzw. Maximum, geschrieben min1≤i≤n ai odermin {a1, . . . an}Beweis durch Induktion.

3.11 Definition

Seien a, b ∈ K, a < b.

• [a; b] := {x ∈ K, a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall von a nach b

• [a; b[:= {x ∈ K, a ≤ x < b} nach rechts halboffenes Intervall von anach b

• ]a; b] := {x ∈ K, a < x ≤ b} nach links halboffenes Intervall von anach b

• ]a; b[:= {x ∈ K, a < x < b} offenes Intervall von a nach b

• [a;∞[:= {x ∈ K, a ≤ x}

21

• ]−∞; b] := {x ∈ K,x ≤ b}

• ]−∞;∞[:= K

22

4 Einbettung von Q in K

Ziel: Jeder angeordnete Korper enthalt Q, genauer: ein isomorphes Bild von Q.

4.1 Definition

Seien K,L Korper, f : K → L Abbildung.

a) f heißt Isomorphismus, falls f bijektiv ist und falls gilt: f(x+ y) = f(x) +f(y) ∧ f(x · y) = f(x) · f(y) fur alle x, y ∈ K.

b) Sind K,L zusatzlich angeordnet, so heißt f ordnungstreuer Isomorphismus,falls zusatzlich gilt: x ∈ K,x > 0⇒ f(x) > 0 ∀x ∈ K.

Beispiel Sei K := Q, L := {(r, r); r ∈ Q} mit (r, r) + (s, s) = (r + s, r + s),(r, r) · (s, s) = (rs, rs), (r, r), (s, s) ∈ L⇒ L ist bezuglich dieser Addition und Multiplikation ein Korper.⇒ f ist ein Isomorphismus zwischen Korpern.Fur L werde definiert: P := {(r, r), r > 0, r ∈ Q} ⇒ (r, r) < (s, s)⇔ r < s⇒ f ist ein ordnungstreuer Isomorphismus.

Bemerkung Sei f : K → L ein Korperisomorphismus. Dann gilt:

a) f(x− y) = f(x)− f(y),f(xy

)

= f(x)f(y) fur y 6= 0, da f(0K) = 0L und f(1K) = 1L.

b) f−1 : L→ K ist ein Isomorphismus

c) Sind zusatzlich K,L angeordnet, f : K → L ein ordnungstreuer Isomor-phismus ⇒ x > 0K ⇔ f(x) > 0L, x = 0K ⇔ f(x) = 0L, x < 0K ⇔f(x) < 0L, (x ∈ K).

4.2 Einbettung von Q in K

Es sei K ein angeordneter Korper, f : Q→ K wie folgt definiert: f(mn

):= m·1K

n·1K

fur m,n ∈ Z, n > 0Dann ist f wohldefiniert und f ist ein ordnungstreuer Isomorphismus von Q. Kurz:K enthalt die rationalen Zahlen.

Beweis: K ist angeordnet⇒ 1K > 0K ⇒ ∀n ∈ N n · 1K︸︷︷︸

2.13= 1K + 1K + . . .+ 1K︸︷︷︸

n Terme

> 0⇒ m·1K

n·1Kist sinnvoll.

23

Wir zeigen: f ist sinnvoll definiert, d. h. gilt mn = kl mit k, l,m, n ∈ Z, l, n > 0, so

gilt m·1K

n·1K= k·1K

l·1K, da gilt:

m

n=k

l⇒ m · l = k · n⇒ (n · 1K) · (k · 1K)

2.4= m · l · 1K

(m · 1K) (l · 1K) = m · (l · 1K) = (m · l) · 1K = (n · k) · 1K= n · (k · 1K) = (n · 1K) · (k · 1K)

n · 1K 6= 0 6= l · 1K ⇒m · 1Kn · 1K

=k · 1Kl · 1K

⇒ Definition ist sinnvoll. 2

Uberprufung der Rechenregeln Sei r = kl , s = m

n mit k, l,m, n ∈ Z,l > 0 < n.

f(r) + f(s) =k · 1Kl · 1K

+m · 1Kn · 1K

2.6 b)=

(k · 1K) · (n · 1K) + (l · 1K) · (m · 1K)

(l · 1K) (n · 1K)

2.14=

(kn+ lm) · 1K(ln) · 1K

= f

(kn+ lm

ln

)

= f(r + s).

Ebenso: f(r) · f(s) =k · 1kl · 1K

· m · 1Kn · 1K

2.14=

(km) · 1K(ln) · 1K

= f

(km

ln

)

= f(r · s)

⇒Wegen f injektiv gilt: f : Q→ L ist ein Isomorphismus.Ordnungstreue: Sei r ∈ Q, r = m

n , m,n ∈ N

⇒ f(r) =m · 1Kn · 1K

> 0 nach 3.3 l)

Resultat: f vermittelt eine Einbettung von Q in K. Wir konnen daher Q mitf (Q) identifizieren und Q als Unterkorper auffassen.Fass man Q als Unterkorper von K auf, ist somit die Skalarmultiplikation sowohlintern als auch extern!

24

5 Unvollstandigkeit von Q, das Supremumsaxiom in R

5.1 Satz

Die Gleichung x2 = q fur q ∈ N, q > 1, q ”quadratfrei“, hat keine Losung in Q.Allgemeiner: Ist n ∈ N, n > 1, k ∈ N, k ≥ 2 und gilt mk ist kein Teiler von n(m ∈ N,m > 1), so ist xk = n nicht losbar in Q.

Beweis: Annahme: r ∈ Q sei Losung von rk = n ⇒ r = uv u, v ∈ Z, v > 0

ggT(u, v) = 1 ⇒ uk = n · vk, n > 1 ⇒ ∃ Primzahl p mit p|n ⇒ p|vk ⇒p|u⇒ pk|uk ⇒ pk|n · vk ⇒ p|v E Widerspruch!kurz: Q ist unvollstandig 2

Bemerkung: In Q gibt es sehr wohl Zahlen, deren Quadrat naherungsweise = 2ist.

5.2 Definition

Im folgenden sei K ein angeordneter Korper, Q ⊂ K.

a) Eine Teilmenge M ⊂ K heißt nach oben (bzw. unten) beschrankt, wenn esein β ∈ K (α ∈ K) gibt, so dass gilt: ∀x ∈ M : x ≤ β bzw. x ≥ α.Dann heißt β eine obere Schranke von M bzw. α eine untere Schranke vonM .

b) M heißt beschrankt, wenn M nach oben und nach unten beschrankt ist, d.h.∃α, β ∈ K α ≤ β mit M ⊂ [α;β].

5.3 Beispiele

a) Jedes Intervall [a; b] , ]a; b] , [a; b[ , ]a; b[ mit a, b ∈ K, a < b ist nach obenund unten beschrankt. Obere Schranke ist z. B. b, aber auch b+1 . . .. UntereSchranke ist analog a, aber auch a− 1 . . .

b) ]−∞; b] b ∈ K ist nach oben beschrankt, aber nicht nach unten.

c) M :={r, r ∈ K, r2 ≤ 2

}ist nach oben beschrankt mit 2 als oberer

Schranke.

Idee: Um die Zahl√

2 zu finden, suche man unter allen r aus c) eine großte, einsog. Supremum. Von dieser zeige man, dass sie das Quadrat 2 hat.

25

5.4 Definition

Es sei M ⊂ K,M 6= ∅, α, β ∈ K (α, β nicht notwendig ∈M ).β heißt kleinste obere Schranke von M oder Supremum von M , falls gilt

a) β ist obere Schranke von M

b) β ist minimal mit a), d.h. fur jede andere obere Schranke β ′von M gilt:β′ > β.

α heißt großte untere Schranke von M oder Infimum von M , falls gilt:

a) α ist untere Schranke von M

b) α ist maximal mit a), d. h. fur jede andere untere Schranke α′ von M gilt:α′ < α

Bezeichnung: β := sup(M) α = inf(M) oder besser: β = supM , α =infM .

5.5 Folgerungen

a) β = supM ⇔{

(1) ∀x ∈M : x ≤ β(2) ∀γ < β : ∃x ∈M mit x > γ

α = infM analog.

b) Hat M ein Supremum (Infimum), so ist dieses eindeutig bestimmt.

Beweis: Seien β und β∗ Suprema von M⇒ β∗ ≤ β, denn β∗ ist minimale obere Schranke, β ist eine obere Schranke.⇒ β ≤ β∗, denn β ist minimale obere Schranke, β∗ ist eine obere Schranke.⇒ β = β∗

2

Infimum analog.

5.6 Beispiele

a) M = [a; b] a, b ∈ K, a < b ⇒ a ist Infimum von M , b ist Supremumvon M .

b) M = ]−∞, 1[ supM = 1

Beweis: Offenbar ist 1 obere Schranke von M .Sei x < 1. Wir zeigen: x ist keine obere Schranke von MBegrundung: 2 · x = x + x < x + 1 < 2 ⇒ x < x+1

2 < 1 ⇒ x+12 ∈

M ∧ x+12 > x⇒ Behauptung. 2

26

c) M :={r ∈ Q; r2 ≤ 2

}hat kein Supremum in Q. Hier ohne Beweis, folgt

spater.

5.7 Supremumsaxiom

(S) Jede nichtleere, nach oben beschrankte Menge M ⊂ K hat ein Supremum.

5.7.1 Folgerung

Sei K ein angeordneter Korper mit (S). Dann hat jede nichtleere, nach unten be-schrankte Menge M ⊂ K ein Infimum in K.

Beweis: Sei γ untere Schranke von M ⊂ K,M 6= ∅, γ ∈ KM∗ := {−x;x ∈ M} ⇒ −γ ist obere Schranke von M ∗, d. h. M∗ ist nach obenbeschrankt.⇒ ∃β mit β = supM∗ α := −β ⇒ α = infMSei x ∈M ⇒ −x ∈M∗ ⇒ −x ≤ β ⇒ x ≥ α⇒ α ist untere Schranke von MSei η untere Schranke von M ⇒ −η ist obere Schranke von M ∗ ⇒ −η ≥ β ⇒η ≤ α⇒ α ist Infimum von M . 2

5.8 Satz

Es gibt einen angeordneten Korper R, in dem das Supremumsaxiom erfullt ist. Jezwei Korper, die dem Supremumsaxiom genugen, sind ordnungstreu isomorph.Kurz: R ist eindeutig.Wir wollen R als den Korper der reellen Zahlen bezeichnen.

Beweis: Siehe in [E+92].Weitere Ansatze finden sich in [SH75], [Hol83], [Kno64], [Lan60], [Obe68] sowiebei [BF74].

5.9 Aquivalente Charakterisierungen von R

Sei K angeordneter Korper. Dann gilt:(S)⇔Axiom vom Dedekinschen Schnitt⇔Archimedisches Axiom + Vollstandig-keitsaxiom ”Jede Cauchy-Folge in K konvergiert“([For01a])⇔Axiom von der In-tervallschachtelung ([Die85]).

Beweis: Siehe in [E+92].Einige der gemachten Aussagen (6.1, 8.4) werden im folgenden noch bewiesen.

27

6 Erste Folgerungen aus dem Supremumsaxiom

6.1 Archimedisches Axiom

Dieser Satz fungiert auch unter dem Namen Postulat des Eudoxus.Zu allen a, b ∈ R mit a > 0 gibt es ein n ∈ N mit n · a > b. Kurz: R istarchimedisch angeordnet.

Beweis: Annahme: Die Behauptung sei falsch.

⇒ ∃a, b ∈ R, a > 0 mit n · a ≤ b ∀n ∈ N

⇒M := {na, n ∈ N} 6= ∅ ist nach oben beschrankt z. B. durch b.(S)⇒ ∃α := supM ⇒ α−a < α wegen a > 0⇒ α−a ist keine obere Schrankevon M .⇒ ∃n ∈ N mit n · a > α − a ⇒Fur ein solches n ist aber (n + 1) · a > α.Widerspruch, da n+ 1 ∈ N⇒ (n+ 1)a ∈M !Somit folgt die Behauptung. 2

6.2 Folgerung

Zu jedem x ∈ R existiert n ∈ N mit n > x.

Beweis: 6.1 mit a = 1, b = x 2

6.3 Satz

Zu jedem ε > 0 gibt es n0 ∈ N mit n ≥ n0 ⇒ 1n < ε

Beweis: Sei n0 ∈ N so gewahlt, dass n0 >1ε . Das ist nach 6.2 moglich.

⇒ ∀n ≥ n0 n > 1ε ⇒ ∀n ≥ n0

1n < ε 2

6.4 Satz

a) Sei x > 1. Dann existiert fur alle K > 0 ein n0 ∈ N mit xn > K ∀n ≥ n0

b) Ist |x| < 1, so existiert zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N mit |x|n < ε ∀n ≥ n0.

Beweis:

a) y := x− 1 > 0 xn = (1 + y)n3.8≥ 1 + ny

6.1⇒ ∃n0 ∈ N mit n0 · y > K⇒ ∀n ≥ n0 xn0 ≥ 1 + n0 · y ≥ K 2

28

b) Fur x = 0 leistet n0 := 1 das Verlangte.Fur x 6= 0, |x| < 1⇒ 1

|x| > 1 mit K := 1ε folgt nach a):

∃n0 ∈ N ∀n > n0

(1|x|

)n> K = 1

ε

⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 |x|n ≥ ε 2

6.5 Satz

Seien a, b, c ∈ R, a < b; c 6= 0. Dann gibt es r ∈ Q mit a < rc < b.

Beweis:

a) Sei c > 0 ⇒ b−ac > 0

6.3⇒ ∃n ∈ N mit 1n < b−a

c . Sei ein solches n festgewahlt.

1.) a > 06.1⇒ ∃m ∈ N mit m · 1

n >ac . Sei ein solches m minimal gewahlt.

⇒ (m− 1) 1n ≤ a

c ≤ mn = m−1

n + 1n <

ac + b−a

c = bc

⇒ ac <

mn =: r ≤ b

c c > 0⇒ a < rc ≤ b.

2.) a < 06.2⇒ ∃k ∈ N mit k > −a

c ⇒ 0 < a+ kcVor.< b+ kc

a1.)⇒ ∃r ∈ Q mit a+ kc < r + kc < b+ kc⇔ a < (r − k)c︸︷︷︸

∈Q

< b 2

b) Sei c < 0a) mit −c statt c⇒ ∃r ∈ Q mit a < r(−c) < b

mit s = −r gilt: a < sc < b 2

6.6 Korollar

Sind a, b ∈ R, a < b, so gibt es unendlich viele rationale Zahlen r mit a < r < b.Kurz: Die rationalen Zahlen liegen dicht in R⇔ Q liegt dicht in R.

Beweis: 6.5 mit c = 1⇒ ∃r1 ∈ Q a < r1 < b⇒ ∃r2 ∈ Q r1 < r2 < b . . .

29

7 Wurzeln

7.1 Satz

Sei a ≥ 0, n ∈ N. Dann gibt es genau ein x ∈ R, x ≥ 0 mit xn = a.x heißt dann n. Wurzel von a oder x = n

√a fur a ≥ 0.

Beweis:

a) Existenz: Betrachte M := {x ∈ R, xn ≤ a}. M 6= ∅, da 0 ∈M . Ferner:Fur a ≤ 1 ist 1 obere SchrankeFur a ≥ 1 ist a obere Schranke

}(S)⇒ ∃ξ := supM

Ziel: Wir wollen zeigen, dass gilt: ξn = a.

1.) a = 0 ⇒ ξ = 0 und ξ ist eindeutig bestimmte Losung der Gleichungxn = 0.

2.) a > 0 Zunachst gilt: 0 < 11+a < min(1, a)⇒ 0 <

(a

1+a

)n< a, (klar

fur 0 ≤ a ≤ 1)⇒ a

1+a ∈M , d.h. ξ ≥ a1+a > 0!

(i) Behauptung: ξn ≥ aBegrundung: indirekt. Annahme: ξn < a. Dann ist zu zeigen: ξist keine obere Schranke von M .Sei dazu 0 < ε < min

(

1, a− ξn · 1(2n−1)ξn

)

⇒ (ξ(1 + ε))n = ξn · (1 + ε)n︸︷︷︸

≤1+(2n−1)ε nach 3.9

≤ ξn + (2n − 1) εξn

nach Wahl von ε< ξn + (a− ξn) = a

⇒ ξ(1 + ε) ∈M . E Widerspruch, denn ξ(1 + ε) > ξ ⇒ ξ istnicht obere Schranke von M .⇒ Annahme war falsch⇒ ξn ≥ a.

(ii) Behauptung: ξn ≤ aBegrundung: indirekt. Annahme: ξn > a. Wir zeigen: Es gibteine kleinere untere Schranke von M als ξ. Dazu wahle man k ∈N mit ξn

(1− n

k

)n= ξn

(1− 1

k

)n 3.8≥ ξn

(1− n

k

)

nach Wahl von k> a

⇒ ξ(1− 1

k

)ist obere Schranke von M . E Widerspruch, denn

ξ(1− 1

k

)< ξ⇒ ξn ≤ a

Zusammen: ξn = a: Existenz bewiesen.

b) Eindeutigkeit: Annahme: Seien x1, x2 Losungen der Gleichung xn = a,x1 6= x2. OBdA: x1 < x2

⇒ a = xn1 < xn2 = aWiderspruch. Somit ist ξ wie oben eindeutig bestimmt.2

30

7.2 Definition

R−Q = {x ∈ R, x /∈ Q} =Menge der irrationalen Zahlen.

7.3 Satz

Fur jedes k ∈ N, k ≥ 2 und q ∈ N mit ∀m ∈ N,m ≥ 1 mk 6 |q ist m√q irrational.

Beweis: Existenz von k√q siehe 7.1

5.1⇒ k√q /∈ Q

}

⇒ Behauptung 2

7.4 Satz

Es seien a, b ∈ R mit a < b. Dann gibt es unendlich viele rationelle Zahlen ξ mita < ξ < b. Kurz: R \Q liegt dicht in R.

Beweis: 6.5 mit ε =√

2⇒ 0 6= r1 ∈ Q mit a < r1√

2 0,m ∈ Z, n, q ∈ N. Dann gilt:

(n√a)m

=(

n·q√a)m·q

Beweis: 2.11⇒ Beide Seiten der behaupteten Gleichung sind positive Losungender Gleichung xn·q = an·q. Nach 7.1 folgt daraus die Behauptung 2

7.6 Bemerkung

Seien a ≥ 0, r ∈ Q, r = mn ,m ∈ Z, n ∈ N. Wenn a = 0, sei zusatzlich m ≥ 0.

Dann hangt ( n√a)m nicht ab von der Auswahl von m und n (Siehe Lemma 7.5),

und man setzt ar := ( n√a)m. Fur ganzzahlige Exponenten ist diese Schreibweise

vertraglich mit 2.10.

7.7 Satz

Seien a, b > 0, r, s ∈ Q. Dann gilt:

a) ar+s = ar · as

b) (ar)s = ar·s

c) (a · b)r = ar · br, dies gilt auch, wenn a, b ≥ 0, wenn zusatzlich r, s ≥ 0.

31

Beweis:

a) Beide Seiten sind Losung der Gleichung xn·q = amq+np. Die Behauptungfolgt daher nach 7.1 2

b) Beide Seiten sind Losung der Gleichung xnq = amp. Die Behauptung folgtdaher nach 7.1 2

c) Beide Seiten sind Losung der Gleichung xm = (ab)n. Die Behauptung folgtdaher nach 7.1 2

7.8 Satz

Seien a, b ∈ R, a, b > 0, r, s ∈ Q, r < s. Dann gilt (a < b):

a) 1.) a > 1⇒ ar < as

2.) 0 < a < 1⇒ ar > as

b) 1.) r > 0⇒ ar br

Beweis:

a) 1.) a > 1, s− r > 0⇒ as−r > 1·ar

⇒ as > ar 2

2.) 0 < a < 1: Nach a1.) ist(

1a

)r<(

1a

)s 7.7 c⇒(

1a

)r= 1

ar ⇒ Behaup-tung 2

b) 1.) r = mn ,m, n ∈ N, 0 < 0 br 2

32

8 Abzahlbarkeit von Q, Uberabzahlbarkeit von R

8.1 Definition

Sei M eine Menge.

a) Dann heißtM endlich genau dann, wenn gilt:M = ∅∨∃n und eine bijektiveAbbildung f : M → {1, . . . , n}.

b) M heißt abzahlbar unendlich genau dann, wenn gilt: ∃f : M → N alsBijektion.

c) M heißt abzahlbar genau dann, wenn gilt: M endlich oder M abzahlbarunendlich.

8.2 Satz

Sei M :=∞⋃

n=1Mn und alle Mn abzahlbar⇒M ist abzahlbar.

Beweis: Wir denken uns die Elemente von M wie folgt geschrieben:M1 : x1,1 x1,2 → x1,3 . . .

↓ ↑ ↓M2 : x2,1 → x2,2 x2,3 . . .

......

......

Mn : xn,1 ← xn,2 ← xn,3 . . .Nun zahlen wir die Elemente von M nach Quadraten ab. Danach werden sol-che Elemente, die bereits vorgekommen sind, ubersprungen; ebenso werden leerePlatze ubersprungen.⇒ Jedes Element von M erhalt ein n ∈ N als Nummer. Wenn M unendlich ist,werden alle n ∈ N verbraucht, wenn M endlich ist, nur endlich viele, eventuellsogar gar keine fur M = ∅.⇒M ist abzahlbar 2

8.3 Satz

Erstmals aufgestellt von Georg Cantor.Q ist abzahlbar unendlich.

Beweis: Z ist abzahlbar, denn 0 7→ 0, 1 7→ 1, 2 7→ −1, 3 7→ 2 . . . ist eineBijektion N→ Z.⇒M1 :=

{kn , k ∈ Z

}, (n ∈ N) ist abzahlbar unendlich

8.2⇒ Q =∞⋃

n=1Mn ist abzahlbar unendlich 2

33

8.4 Prinzip von der Intervallschachtelung

Es sei In := [an; bn] (n ∈ N, an < bn) eine Folge abgeschlossener Intervallemit

a) In+1 ⊂ In fur alle n ∈ N

b) Zu jedem ε > 0 exisitiert ein n ∈ N mit bn − an < ε

Behauptung: Dann gibt es genaue eine Zahl x0 ∈ R mit∞⋂

n=1In = {x0}.

Beweis: In+1 ⊂ In (n ∈ N)⇒ ∀n ∈ N ist an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn, also:a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ an+1 ≤ . . . ≤ bn+1 ≤ bn ≤ bk ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1⇒ ∀k ∈ N A := {an;n ∈ N} hat die obere Schranke bk⇒ α := supA existiert und ist ≤ bk fur alle k ∈ N(S)⇒ ∀k ∈ N ak ≤ α ≤ bk, d.h. ∀k ∈ N α ∈ Ik, d.h. α ∈

∞⋂

k=1

Ik, speziell:

∞⋂

k=1

Ik 6= ∅

Angenommen, es gibt x, y ∈∞⋂

n=1In mit x < y

b)⇒ ∃k ∈ N mit bk − ak < y − x.Andererseits ist aber {x, y} ⊂ Ik, d.h. ak ≤ x < y ≤ bk, d.h. y − x < bk − ak.E Widerspruch!

⇒∞⋂

n=1In enthalt genau eine reelle Zahl 2

8.5 Satz

Nach Georg CantorJedes Intervall [a; b], a, b ∈ R, a < b ist uberabzahlbar. R ist uberabzahlbar.

Beweis: indirekt: Annahme: ∃ a, b ∈ R, a < b dd1 [a; b] ist abzahlbar.Sei (xn)n∈N eine Abzahlung von [a; b]. Wir werden ein z ∈ [a; b] konstruieren, dasvon allen xn (n ∈ N) verschieden ist. Daraus folgt der geforderte Widerspruch.

Konstruktion von z:

I1 := [a; b] =

[

a; a+b− a

3

]

∪[

a+b− a

3; a+ 2

b− a3

]

∪[

a+ 2b− a

3; b

]

Mindestens eines der Teilstucke enthalt x1 nicht! Ein solches Intervall wahlen wiraus und nennen es I2: x1 /∈ I2. Gleiche Konstruktion angewandt auf I2 liefert einIntervall I3 ⊂ I2 mit x2 /∈ I3. usw.

1derart, dass

34

Die Konstruktion liefert eine Folge von IntervallenI1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ In+1 ⊃ I... In − [an; bn].

bn − an =b− a3n−1

(n ≥ 1) xn /∈ In+1 (n ≥ 1)

Nach 6.4! sind die Voraussetzungen 8.4 insbesondere b) erfullt.8.4⇒ es existiert genau ein z ∈ R mit

∞⋂

n=1In = {z}. Offenbar ist z ∈ I1 = [a; b].

Nach Voraussetzung existiert k ∈ N mit z = xk ⇒ z = xK /∈ Ik+1,

aber andererseits ist z ∈∞⋂

n=1In ⊂ Ik+1 E Widerspruch!

35

9 Polynomfunktionen,algebraische und transzendente Zahlen

Sei im folgenden I ⊂ R ein Intervall, ggf. I = R.

9.1 Definition: PolynomfunktionenCd.h.: Im Nebenstehen-den lasst sich sinn-gemaß R durch C erset-zen.

Eine Funktion f : I → R heißt Polynomfunktion, wenn ein ganzes m ≥ 0

und a1, . . . , am ∈ R exisitieren mit f(x) =m∑

k=0

akxk fur alle x ∈ I . Sind

a0, . . . , am = 0, so heißt f Nullpolynom.

Offenbar ist℘ := {f ; f Polynomfunktion} ein R-Vektorraum bezuglich der naturli-chen Verknupfungen

(α · f)(x) := α · f(x) = αm∑

k=0

akxk =

m∑

k=0

αakxk (x ∈ I).

(f + g)(x) := f(x) + g(x) =m∑

k=0

akxk +

n∑

l=0

blxl =

max(m,n)∑

k=0

(ak + bk)xk, wobei

ak := 0 fur k > m und bl := 0 fur l > n.Fur f, g ∈ ℘ ist auch f · g ∈ ℘, denn:

(f · g)(x) := f(x) · g(x) =m∑

k=0

akxk ·

n∑

l=0

blxl =

∑

0≤k≤m0≤l≤n

akblxk+l

=m+n∑

j=0

(j∑

k=0

akbj−k

)

xj , wobei ak := 0 fur k > m und bl := 0 fur l > n.

Also: Auch f · g ist eine Polynomfunktion.

9.2 Definition: Nullstellen

Sei f : I → R eine Funktion, α ∈ I . Dann heißt α Nullstelle von f genau dann,wenn gilt: f(α) = 0

9.3 Satz

Sei f : I → R eine Polynomfunktion

f(x) =n∑

k=0

akxk (x ∈ I), n ≥ 0, a0, . . . an ∈ R, an 6= 0

und es gebe ein α ∈ I mit f(α) = 0.Dann ist n ≥ 1 und es gibt eine Polynomfunktion g : I → R mit

g(x) =n−1∑

j=0

bjxj n ≥ 1, b0, . . . bn−1 ∈ R, bn−1 = an 6= 0,

36

so dass gilt:

f(x) = (x− α)g(x)

Beweis: Wegen f(α) = 0, an 6= 0 ist n > 0, d.h. n ≥ 1Wegen f(α) = 0 gilt fur alle x ∈ I:

f(x) = f(x)− f(α) =n∑

k=0

ak

(

xk − αk)

=n∑

k=1

ak

(

xk − αk)

7.1=

n∑

k=1

ak(x− α) ·k∑

j=1

xk−jαj−1 = (x− α)g(x)

mit eine Polynomfunktion g(x) der gerade behaupteten Form 2

9.4 Korollar

Ist f : I → R eine Polynomfunktion der Gestalt f(x) =n∑

k=0

akxk mit n ≥ 0,

x ∈ I , a1, . . . an ∈ R, an 6= 0, so hat f(x) hochstens n Nullstellen in I .

Beweis: Induktion uber n: Fur n = 0 klar.Sei n ≥ 1, Schluss von n−1→ n: Sei f Polynomfunktion wie in 9.3. Hat f keineNullstellen, so ist die Behauptung richtig. Hat f Nullstelle α, so zerlege man nach9.3 f(x) = (x− α)g(x). Nach Induktionsvoraussetzung hat g(x) hochstens n− 1Nullstellen⇒ f hat also hochstens n Nullstellen. 2

9.5 Korollar

Es seien f, g : I → R Polynomfunktionen. f(x) =m∑

j=0ajx

j , g(x) =n∑

k=0

bkxk,

m,n ∈ Z, m,n ≥ 0, ai, bi ∈ R, am, bn 6= 0. Dann gilt:

f = g ⇔ m = n ∧ aj = bj ∀j = 0, . . . ,m

Bemerkung: K := {0, 1} f : K → K; f(x) = x2 + x, d.h. nicht gultig furendliche Korper.

Beweis: f = g ⇔ ∀x ∈ I f(x) = g(x) ⇔ ∀x ∈ I (f − g)(x) = 0 ⇔ Allex ∈ I sind Nullstellen von f − g ⇔ f − g ist Nullpolynom. 2

9.6 Definition: Grad eines Polynoms

Ist f : I → R eine Polynomfunktion, f(x) =n∑

k=0

akxk mit a ≥ 0, an ∈ R,

an 6= 0, so heißt n der Grad der Funktion: n := gradf .Kein Grad wird erklart fur das Nullpolynom.

37

Folgerung: f, g Polynomfunktionen 6= 0 (keine Nullpolynome)⇒ grad(f · g) = gradf + gradg.

9.7 Satz

Sei f : I → R eine Polynomfunktion, f(x) =n∑

k=0

akxk mit n ≥ 0, a0, . . . , an ∈

R, an 6= 0, x ∈ I , so gibt es verschiedene Zahlen α1, . . . , αρ ∈ I mit ρ ≥ 0,naturliche Zahlen m1, . . . ,mρ ≥ 1 und eine Polynomfunktion g : I → R, so dassgilt:

f(x) =

ρ∏

j=1

(x− αj)mj

g(x) x ∈ I, g(x) 6= 0∀x ∈ I

n∑

j=1

mj ≤ 1 a1, . . . , aρ,m1, . . . ,mρsind eindeutig bestimmt

Beweis: Induktion mit 9.3; Eindeutigkeit mit 9.5 2

9.8 Definition: VielfachheitC

In der Situation von 9.7 heißt mj die Vielfachheit der Nullstelle αj von f , (j =1, . . . , n)

9.9 FolgerungC

Jede Polynomfunktion f : I → R, f 6=Nullpolynom hat hochstens gradf Null-stellen, wenn man die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit evtl. mehrfachzahlt.

Beweis: Nach 9.7 istn∑

j=1mj ≤ n. 2

9.10 Definition: Algebraische ZahlenC

α ∈ R bzw. ∈ C heißt algebraische Zahl, falls es eine Polynomfunktion f : R →R, bzw. f : C → C gibt mit der Form f(x) =

n∑

k=0

akxk mit x ∈ R bzw. x ∈

C und n ≥ 0, ai ∈ Q, an 6= 0, so dass f(α) = 0. D.h. α ist Nullstelle einerPolynomfunktion mit rationalen Koeffizienten.Eine nicht-algebraische Zahl heißt transzendent.

38

9.11 Folgerungen

a) α algebraisch⇒ ∃c0, . . . , cn ∈ Z; cn 6= 0, so dassk∑

j=0cjα

j = 0

Beweis: Man multipliziere Koeffizienten a1, . . . , an mit ihrem Hauptnenner.2

b) Ist α ∈ Q⇒ α ist algebraisch (:)Beweis: ”⇒“ α = p

q mit q > 0, p, q ∈ Z⇒ α ist Nullstelle von x− pq 2

”:“√

2 ist algebraisch, aber irrational. 2

c) α transzendent⇒ α irrational (:)Beweis: Negation von b.

9.12 SatzC

nach Georg CantorDie Menge aller reellen (oder komplexen) algebraischen Zahlen ist abzahlbar. Je-des Intervall enthalt uberabzahlbar viele transzendente Zahlen.

Beweis: Fur l > 1 sei

Pl :=

{

f ; f : R→ R, f(x) =n∑

k=0

akxk, n ≥ 0, ai ∈ Z, an 6= 0 ∧

n∑

i=1

|ai|+ n < l

}

9.4⇒ Ml := {α ∈ R; ∃f ∈ Pl mit f(α) = 0} ist endlich.

8.5⇒∞⋃

l=1

Ml ist abzahlbar, aber∞⋃

l=1

Ml = Menge der reellen alg. Zahlen.

⇒Menge aller algebraischen Zahlen ist abzahlbar.8.5: Jedes Intervall I ⊂ R ist uberabzahlbar. Da aber nur abzahlbar viele algebrai-sche Zahlen darin sind, muss es uberabzahlbar viele transzendente Zahlen daringeben.

Inklusion: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂{algebraische Zahlen}⊂ R algebraische Zahlen sindUnterkorper von R, {transzendente Zahlen}⊂{irrationale Zahlen}⊂ R.Beispiele transzendenter Zahlen: e, π.

39

Teil II

Folgen und Reihen10 Folgen

10.1 DefinitionC

Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : N→ R, n 7→ a(n) = an. Schreib-weise: (an)n∈N oder (an)n≥1 oder a1, a2, . . ..an ∈ R heißt der n-te Term oder das n-te Glied der Folge. Gelegentlich startet dieIndizierung mit n0 ∈ Z z. B. (an)n≥0.

Man unterscheide sorfgaltig zwischen der Folge (an)n≥1 und der Menge der Fol-genglieder {an, n ∈ N}.z. B. Die konstante Folge an = 1 ∀n ∈ N hat als Menge von Folgengliedern {1}.z. B. an = (−1)n, bn = (−1)n+1 (n ∈ N).⇒ (an)n≥1 6= (bn)n≥1; sogar an 6= bn ∀n ∈ N; aber {an;n ≥ 1} = {−1; 1} ={bn;n ≥ 1}!

10.2 Beispiele

a) an = 0 ∀n ∈ N: konstante Folge

b) an = 1n ∀n ∈ N: Folge der Stammbruche

c) an = (−1)n n ≥ 1

d) an = n√n n ≥ 1

e)(1 + 1

n

)nn ≥ 1

f) an = xn (n ≥ 1;x ∈ R fest)

g) a1 := 1, a2 := 1; an+1 := an+an−1 fur n > 2: Folge der Fibonacci-Zahlen,hier: rekursive Definition.

10.3 Definition: KonvergenzC

a) (an)n≥1 konvergiert gegen a ∈ R:⇔ Zu jedem ε > 0 gibt es n0 ∈ N =n0(ε), so dass |an − a| < ε⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N = n0(ε) ∀n ≥ n0 |an − a| < ε.Schreibweise: lim

n→∞an = a oder an

n→∞−−−→ a siehe Satz 10.8

b) (an) konvergiert :⇔ Die Folge (an)n≥1 konvergiert ⇔ Es gibt a ∈ R, sodass an

n→∞−−−→ a

c) (an) divergiert⇔ Die Folge (an)n≥1 ist divergent⇔ (an) konvergiert nicht.

40

10.4 Definition: Umgebung

Sei a ∈ R, ε > 0, U ⊂ R. Das Intervall ]a−ε; a+ε[ heißt eine offene ε-Umgebungvon a. U heißt Umgebung von a, falls es ein ε > 0 gibt, so dass ]a− ε; a+ ε[⊂ UU(a) := {U ⊂ R;U Umgebung von a}.

10.5 Folgerung

ann→∞−−−→ a⇔ ∀U ∈ U(a) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ∈ U .

⇔ Jede Umgebung U von a enthalt die Folgenglieder an fur alle n ∈ N mithochstens endlich vielen Ausnahmen.

Beweis: 10.3: ann→∞−−−→ a⇔ ∀ε > 0 ∃n0(ε) ∈ N ∀an ≥ a0 (an − a) < ε

⇔ ∀U ∈ U(a) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 a(n) ∈ U

Exkurs: Komplexe Zahlen: C = R2 = {(a, b); a, b ∈ R}⇒ {(a, 0); a ∈ R} ist ein zu R isomorpher Unterkorper von C.Es gilt: i := (0, 1) und C 3 z = a+ ib a, b ∈ RFur jedes z ∈ C heißt z := a− ib die zu z konjugiert komplexe Zahl.Rechenregel: (z · w) = z · w fur alle z, w ∈ Cz · z = (a+ ib)(a− ib) =

(a2 + b2, 0

)

Definition: |z| :=√z · z =

√a2 + b2 (geometrischer Abstand des Punktes z

vom Nullpunkt)Bemerkung: Fur z ∈ R ist |z| gleich dem in R erklarten Betrag.

Rechenregel: |z · w| = |z| · |w|Beweis: |z · w| =

√z · w · z · w =

√z · z ·

√w · w = |z| · |w| 2

Ferner gilt fur den Betrag in C die Dreiecksungleichung: |z + w| ≤ |z|+ |w|Beweis siehe Aufgabe 21.

Sei a ∈ C, r ∈ R>0: Dann heißt{z ∈ C; |z − a| < r} = Kr(a) die offene Kreisscheibe um a mit Radius r und{z ∈ C; |z − a| ≤ r} = Kr(a) die abgeschlossene Kreisscheibe um a mit Radiusr.

Im Falle C besagt die Ungleichung aus 10.3 |an − a| < ε: an liegt in der offenenKreisscheibe um a mit Radius ε.Umgebungsbegriff: Kε(a) = {z ∈ C; |z − a| < ε} heißt offene ε-Umgebung uma,U ⊂ C heißt Umgebung von a, falls ∃ε > 0 mit Kε(a) ⊂ UU(a) := {U ⊂ C;U Umgebung von a}.Damit gilt auch in C: an

n→∞−−−→ a⇔ ∀U ∈ U(a) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ∈ U .

10.6 Definition: NullfolgeC

(an)n∈N heißt Nullfolge :⇔ (an)n∈N

n→∞−−−→ 0

41

10.7 FolgerungC

ann→∞−−−→ a⇔ (an − a)n∈N ist Nullfolge.

10.8 SatzC

Gilt ann→∞−−−→ a ∧ an n→∞−−−→ b⇒ a = b, d.h. der Limes einer konvergenten Folge

ist eindeutig bestimmt.

Beweis: Annahme: a 6= b. Wir wahlen speziell ε := 12 |a− b| (> 0!)

10.3⇒ Zu diesem ε ∃n1 ∈ N mit |an − a| < ε ∀n ≥ n1 undzu diesem ε ∃n2 ∈ N mit |bn − b| < ε ∀n ≥ n2

Setze n0 := max (n1, n2)⇒ ∀n ≥ n0 |a − b| = |a − an + an − b| ≤ |a− an|

︸︷︷︸

≤ε

+ |an − b|︸︷︷︸

≤ε

< 2ε = |a − b|

Widerspruch!⇒ Behauptung 2

10.9 Beispiele

a) an = a fur alle n ∈ N.⇒ limn→∞

an = a

b) an = 1n ⇒ lim

n→∞an = 0. Das folgt aus 6.3: ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n > n0

1n = | 1n − 0| < ε

c) an = (−1)n⇒ (an)n≥1 divergiert, denn:2 = |an − an+1| = |an − a+ a− an+1| ≤ |an − a|

︸︷︷︸

≤ε

+ |a− an+1|︸︷︷︸

≤ε

< 2ε fur

alle ε > 0. Widerspruch! (Wahle ε ≤ 1)

d) (an)n∈N konvergiert⇒ (an+1 − an)n≥1 ist Nullfolge. :

Beweis:

”⇒“ ann→∞−−−→ a. Sei ε > 0 ⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 |an − a| < ε

2 ⇒|an − an+1| ≤ |an − a|+ |a− an+1| < ε 2

”:“ Man setze an := logn ⇒ an+1 − an = log(n + 1) − log(n) =log(n+1n

)= log

(1 + 1

n

) n→∞−−−→ 0 2

e) Sei r ∈ Q, r > 0. Dann gilt: limn→∞

1nr = 0 Gilt auch fur r ∈ R, r > 0

Beweis: Sei ε > 0 1nr < ε⇔ 1

n < ε1r ⇒ Behauptung nach b): n−r < ε

f) limn→∞

n√n = 1

42

Beweis: ∀n ≥ 2 n = (1 + ( n√n− 1))

n ≥(n2

)( n√n− 1)

2

= n(n−1)2 ( n

√n− 1)

2

⇒ 0 ≤ n√n− 1 ≤

√2

n−1 fur n ≥ 2

Nach e) gibt es dazu ε > 0 und n0 ∈ N mit n

√2

n−1 < ε ∀n ≥ n0.

Damit gilt: | n√n− 1| < ε ∀n ≥ n0 2

10.10 Definition: Beschranktheit

Eine Folge (an)n∈N heißt nach oben (bzw. unten) beschrankt genau dann, wenn{an;n ∈ N} nach oben (bzw. unten) beschrankt ist, d.h. genau dann, wenn gilt:∃k > 0 ∀n ≥ 1 an ≥(bzw. ≤)k, bzw. |an| ≤ k.

Bemerkung: Auch uber C ist die Definition:(an)n∈N beschrankt⇔ ∃k > 0 ∀n ≥ 1 |an| ≤ k sinnvoll.

10.11 SatzC

Jede konvergente Folge ist beschrankt. Aber: Nicht jede beschrankte Folge ist kon-vergent.

Beweis: Es gelte limn→∞

an = a⇒ Zu ε = 1 existiert n0 ∈ N, so dass ∀n ≥ n0

|an − a| < ε = 1⇒ ∀n ≥ n0 |an| ≤ |an − a|+ |a| < |a|+ 1K := max (|a1| , |a2| , . . . , |an0−1| , |a|+ 1)⇒ ∀n ≥ 1 |an| ≤ K 2

”:“: an = (−1)n ist beschrankt aber divergent. Widerspruch! 2

10.12 Satz

Sei x ∈ R. Dann gilt:

a) |x| < 1⇒ limn→∞

xn = 0

b) |x| = 1, x = 1⇒ limn→∞

xn = 1

c) |x| = 1, x = −1⇒ @ limn→∞

xn⇒ Die Folge divergiert.

d) |x| > 1⇒ limn→∞

xn =∞⇒ Folge ist unbeschrankt und somit divergent.

43

Beweis:

a) Klar nach 6.4

b) klar

c) klar mit 10.9

d) |xn| = |x|n Behauptung folgt nach 6.4 a).

10.13 Rechenregeln fur konvergente Folgen

Es seien (an), (bn) konvergente Folgen, limn→∞

an = a, limn→∞

bn = b, λ ∈ R. Danngilt:

a) (λan)n≥1 konvergiert mit limn→∞

λan = λ · limn→∞

an = λa

b) (an + bn)n≥1 konvergiert mit limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an+ limn→∞

bn = a+ b

c) (an · bn)n≥1 konvergiert mit limn→∞

(an · bn) = limn→∞

an · limn→∞

bn = ab

d) Ist a 6= 0 ⇒ ∃N ∈ N mit an 6= 0 ∀n ≥ N und es gilt fur(

1an

)

n≥1:

limn→∞

1an

= 1a

e) Unter den Voraussetzungen von d gilt auch limn→∞

bnan

= ba

Beweis:

a) Spezialfall von c) mit bn = λ fur alle n ∈ N.

b) Sei ε > 0⇒ ∃n1 ∈ N ∀n ≥ n1 |an − a| < ε2

∃n2 ∈ N ∀n ≥ n2 |bn − b| < ε2

}

Setze dann:

n0 := max{n1, n2}⇒ ∀n ≥ n0 |(an + bn)− (a+ b)| ≤ |an − a|+ |bn − b| < ε

c) |anbn − ab| = |anbn − anbn + anbn − ab| ≤ |an − a| |bn|+ |a| |bn − b|Sei k > 0 Schranke von (|bn|)n∈N, ε > 0.⇒ ∃n3, n4 ∈ N ∀n ≥ n3 |an − a| ≤ 1

2εk

∧∀n ≥ n4 |bn − b| ≤ 12

ε|a|+1

n5 := max (n3, n4)⇒ ∀n ≥ n5 |anbn − ab| ≤ 12εk · k + a1

2ε

|a|+1 < ε

d) Sei a 6= 0, δ := 12 |a| (> 0). Setze speziell ε := δ ⇒ ∃N ∈ N ∀n ≥ N

|a0 − a| < δ = 12 |a|

⇒ ∀n ≥ N |an| = |a+ (an − a)| ≥ |a| − |an − a| > |a| − δ = 12 |a|

⇒ ∀n ≥ N∣∣∣

1an− 1

a

∣∣∣ =

|an−a||an||a| = 1

12|a2| |an − a|

Sei ε > 0⇒ ∃n7 ∈ N ∀n ≥ n7 |an − a| < ε12 |a|2

}

∀n ≥ max (N,n7)

∣∣∣

1an− 1

a

∣∣∣ < ε 2

44

e) folgt aus c) und d).

10.14 Beispiele fur die Anwendung der Rechenregeln

a) cn := n+2n ⇒ cn = 1 + 2 · 1

n ⇒ cnn→∞−−−→ 1

b) cn := 4n2−10n+362n2+n+10

=4− 10

n+ 36

n2

2+ 1n

+ 10n2

n→∞−−−→ 2

c) Fur jedes c > 0 gilt: limn→∞

n√c = 1

Beweis: Sei zunachst c ≥ 1⇒ c = (1 + ( n√c− 1))

n

1.103.8≥ 1+n ( n

√c− 1)

⇒ 0 ≤ n√c− 1 ≤ c−1

n⇒ Behauptung fur c ≥ 1.

Sei nun 0 < c < 1⇒ 1c > 1 und daher lim

n→∞n

√1c = lim

n→∞1n√c

︸︷︷︸

6=0

= 1

10.13a)⇒ limn→∞

n√c = 1 2

10.15 Satz

Seien (an), (bn) konvergente Folgen in R mit an ≤ bn ∀n ≥ 1. Dann gilt:limn→∞

an ≤ limn→∞

bn.Warnung: Auch bei an < bn gilt nur lim

n→∞an ≤ lim

n→∞bn.

Beweis: Sei a := limn→∞

an > b := limn→∞

bn. Sei ε := a−b2 (> 0)

⇒ ∃n1 ∈ N ∀n ≥ n1 |an − a| < ε∃n2 ∈ N ∀n ≥ n2 |bn − b| < ε⇒ n ≥ max (n1, n2) a − ε < an ≤ bn < b + ε⇒ a− ε < b + ε⇒ a− b < 2ε⇒ a− b < a− b E Widerspruch!

10.16 Korollar

(an)n∈N sei konvergent, an ∈ [α;β] ∀n ∈ N⇒ limn→∞

an ∈ [α;β].

Beweis: 10.15 mit konstanten Folgen α, β 2

45

10.17 Einschließungskriterium

Es seien (an),(bn),(cn) reelle Folgen mit folgenden Eigenschaften: (an),(bn) seienkonvergent mit lim

n→∞(an) = lim

n→∞(bn) =: α,

an ≤ cn ≤ bn⇒ limn→∞

cn = α

Beweis: Sei ε > 0⇒ ∃n1 ∈ N ∀n ≥ n1 an ∈]α− ε;α+ ε[ ∧∃n2 ∈ N ∀n ≥ n2

bn ∈]α− ε;α+ ε[⇒ ∀n ≥ max (n1, n2) α− ε < an ≤ cn ≤ bn < α+ ε, d.h. ∀n ≥ max (n1, n2)|cn − α| < ε.

10.18 Definition

Sei (an)n∈N eine Folge reeller Zahlen. Dann heißt

a) (an) (monoton){

wachsendfallend

, fallsan ≤ an+1

an ≥ an+1∀n ∈ N

b) (an) streng (monoton){

wachsendfallend

, fallsan < an+1

an > an+1∀n ∈ N

c) (an) monoton, falls (an) wachsend oder fallend.

d) (an) streng monoton, falls (an) streng wachsend oder streng fallend.

10.19 Folgerung

Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschrankt ist; und zwargilt:

a) Ist (an) wachsend und (nach oben) beschrankt, so istlimn→∞

an = sup{an;n ∈ N}

b) Ist (an) fallend und (nach unten) beschrankt, so istlimn→∞

an = inf{an;n ∈ N}.

Beweis: Ist (an) konvergent, so ist (an) beschrankt nach 10.11. Zum Beweis derUmkehrung zeige:

a) α := sup{an;n ∈ N} existiert nach (S). Wir zeigen: ann→∞−−−→ α.

Dazu sei ε > 0 ⇒ α − ε ist keine obere Schranke von {an;n ∈ N}, d.h.∃n0 ∈ N mit an0 > α− ε.(an) wachsend⇒ ∀n > n0 α− ε < an0 ≤ an ≤ α+ ε 2.

b) (−bn) ist wachsend und konvergiert nach a gegen sup {−bn;n ∈ N} =inf {bn;n ∈ N}⇒ nach 10.13a mit λ = −1: lim

n→∞bn = inf {bn;n ∈ N} 2

46

10.20 Beispiel

Die Eulersche Zahl e. Seien n ≥ 1, an :=(1 + 1

n

)n, bn :=(1 + 1

n

)n+1.Dann gilt:

a) (an) ist wachsend,

b) (bn) ist fallend,

c) an < bn ∀n ∈ N,

d) limn→∞

an = limn→∞

bn =: e.

Plausibilitatsprufung: a2 = 214 < e < 33

8 = b2

Beweis:

a) Fur n > 1 gilt:

anbn−1

=

(n+ 1

n

)n( n

n− 1

)−n=

(n2 − 1

n2

)n

=

(

1− 1

n2

)n 3.8≥ 1− 1

n

⇒ an ≥(

1− 1

n

)

bn−1 =

(n− 1

n

)(n

n− 1

)n

=

(n

n− 1

)n−1

=

(

1 +1

n− 1

)n−1

= an−1 2

b) Fur n > 1 gilt:

bn−1

an=

(n2

n2 − 1

)n

=

(

1 +1

n2 − 1

)n

>

(

1 +1

n2

) 3.8≥ 1 +

1

n

⇒ bn−1 >

(

1 +1

n

)

· an = bn 2

c) klar

d) 10.19 liefert: (an) und (bn) konvergierenund wegen bn =

(1 + 1

n

)an folgt aus 10.13c:

limn→∞

bn = limn→∞

(1 + 1

n

)· limn→∞

an = 1 · limn→∞

an =: e 2.an < e < bn wegen Monotonie.Genauer:

e = 2, 718281828459045 . . .

47

10.21 Das Wurzelzeichen

Sei a > 0 fest gegeben, a0 > 0 beliebig gewahlt, an+1 := 12

(

an + aan

)

fur n ≥ 0

⇒ an > 0 fur alle n ∈ N. Ziel: ann→∞−−−→ √a.

a) an ≥√a ∀n ≥ 1

Beweis: an+1 −√a = 1

2

(

an + aan

)

−√a =(an−

√a)

2

2an≥ 0 ∀n ≥ 0

b) an+1 ≤ an ∀n ≥ 1

Beweis: an − an+1 = an − 12

(

an + aan

)

= 12an

(a2n − a

)≥ 0 ∀n ≥ 1

nach a).

Ist auch a0 <√a, so ist (an)n≥0 fallend. Auf jeden Fall gilt wegen a und b: (an)

ist fallend fur n ≥ 1 und nach unten beschrankt durch√a.

⇒ (an) konvergiert. Sei α := limn→∞

an⇒ α ≥ √a > 0

an+1 = 12

(

an + aan

)

Lasse auf beiden Seiten n→∞ gehen:

⇒ α = 12

(α+ a

α

)⇒ α2 = a und wegen α > 0 bleibt nur α =

√a.

Die Folge ist fur genaue Berechnung von√a gut geeignet:

an+1 −√a =

(an −√a)

2

2an(3)

Angenommen: an approximiert√a schon auf k Dezimalstellen genau,

d.h. |an −√a| < 10−k. Sei etwa a ≥ 1. Dann folgt nach a) und (3):

an+1 −√a ≥ 0, an+1 −

√a < 1

210−2k

Bei jedem Rechenschritt verdoppelt sich also die Anzahl der ersten richtigen De-zimalstellen.

10.22 Definition

Sei an ∈ R ∀n ∈ N. Dann schreibe:(an)n∈N divergiert gegen ±∞ :⇔ (an)n∈N konvergiert (im uneigentlichen Sinne)gegen±∞⇔ ∀k > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 (an) > k bzw. ∀k < 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0

an < k.

10.23 Beispiele

a) Sei r ∈ Q, r > 0⇒ limn→∞

nr =∞

48

Beweis: Sei k > 0: nr > k ⇒ n > k1r . Rest klar.

b) an = −2n ann→∞−−−→ −∞

c) an = (−1)n · n Die Folge divergiert weder gegen∞ noch gegen −∞.

Bemerkung:

a) Jede gegen ±∞ divergente Folge ist unbeschrankt, also nicht im ublichenSinne konvergent.

b) ∞ bzw. −∞ sind Symbole, die den Sachverhalt der Definition pragnantabkurzen. (/∈ R)

10.24 Satz

a) Sei an ∈ R, an 6= 0∀n ∈ N. Gilt limn→∞

an =∞ oder limn→∞

an = −∞, so gilt

limn→∞

1an

= 0.

b) Sei an > 0 (bzw. an < 0) ∀n ∈ N. Dann gilt ”⇔“ in a).

Beweis:

a) Sei ε > 0, k := 1ε ⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an > k (bzw. an < −k)⇒ 1

an<

1k = ε

(

bzw. 1an> − 1

k = −ε)

2

b) ”⇐“ siehe a)

”⇒“ Sei an > 0 (bzw. an < 0) ∀n ∈ N, K > 0, ε := 1k ⇒ ∃n0 ∈ N

∀n ≥ n0 0 < an < ε = 1k

(bzw. − ε = − 1

k < an < 0)

⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n01an

> k(

bzw. 1an< −k

)

⇔ limn→∞

1an

= ∞bzw. −∞ 2

10.25 Bemerkung

Es gelten folgende Rechenregeln:

a) ann→∞−−−→∞, λ > 0 (bzw. λ < 0)⇒ λan

n→∞−−−→∞ (bzw. −∞)

b) an ≥ α > 0, bnn→∞−−−→ ∞ (bzw. −∞) ⇒ anbn

n→∞−−−→ ∞ (bzw. −∞)analog fur an ≤ α < 0

c) an nach unten beschrankt, bnn→∞−−−→ ∞ (bzw. −∞)⇒ an + bn

n→∞−−−→ ∞(bzw. −∞) Fur an nach oben beschrankt analog.

49

11 Das Cauchy-Kriteriumund der Satz von Bolzano/Weierstraß

benannt nach Augustin Louis Baron de Cauchy (1789–1857)

Vorbemerkung: Sei (an)n∈N konvergent in R bzw. C.⇒ lim

n→∞an = a⇔ ∀ε > 0 ∃n0(ε) ∈ N ∀n ≥ n0(ε) |an − a| < ε

Sei nun ε > 0 und seien m,n ≥ n0

(ε2

)⇒ ∀m,n ≥ n0

(ε2

)|am − an| ≤

|am − a|︸︷︷︸

≤ ε2

+ |a− an|︸︷︷︸

≤ ε2

< ε

11.1 Definition: Cauchy-FolgeC

Sei (an)n∈N eine Folge in R (bzw. in C). Dann heißt (an)n∈N Cauchy-Folge (=:Cf)genau dann, wenn gilt: ∀ε > 0 ∃n1(ε) ∀m,n ≥ n1(ε) |am − an| < ε

11.2 SatzC

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

Beweis: siehe Vorbemerkung. Setze n1(ε) := n0

(ε2

)2

D.h.: Notwendig fur die Konvergenz einer Folge ist, dass sie eine Cauchy-Folgeist. Umkehrrichtung bei 11.10: Jede Cauchy-Folge ist konvergent.

11.3 DefinitionC

Sei (an)n≥1 eine streng wachsende Folge naturlicher Zahlen. Dann heißt (ank)k≥1

eine Teilfolge der Folge (an)n≥1

Bemerkung: (an) ist Abbildung N→ R (bzw. C), n 7→ an,(nk) ist Abbildung N→ N, k 7→ nk,(ank

) ist Verkettung von (an) und (nk).

Beispiele: (ak+10)k∈N, (a2k)k∈N, (a2k+1)k≥0, (a2k)k∈N etc. sind Teilfolgen von(an)n∈N.

11.4 BemerkungC

Konvergiert (an)n∈N gegen a, so konvergiert jede Teilfolge gegen a. Umkehrungfalsch.

50

Beweis: Gelte limn→∞

an = a und sei (ank)k∈N

Teilfolge. Dann gilt:

∀ε > 0 ∃n0(ε) |an − a| < ε nk ≥ k ∀n ∈ N ⇒ ∀ε > 0 ∃n0(ε) ∀k ≥ n0(ε)|ank− a| < ε 2

11.5 DefinitionC

Sei (an)n∈N eine Folge in R (bzw. in C), b ∈ R (bzw. C). Dann gilt:b heißt Haufungswert der Folge (an)n∈N genau dann, wenn gilt:∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃k ≥ N |ak − b| < ε.

Bemerkung: Eine Folge kann durchaus mehrere verschiedene Haufungswertehaben, z. B. an := (−1)n ∀n ∈ N.

11.6 FolgerungC

Konvergiert (an)n∈N gegen a, so ist a Haufungswert. Umkehrung falsch.

11.7 SatzC

Sei (an)n∈N eine Folge in R (bzw. C) und b ∈ R (bzw. C). Dann gilt:b ist Haufungswert von (an)n∈N⇔ ∃ Teilfolge (ank

)k∈Nmit lim

k→∞ank

= b

Beweis:

”⇐“ klar mit 11.6

“⇒“ Wir wahlen induktiv eine streng monoton wachsende Folge naturlicher Zah-len.Sei n1 := 1, k ≥ 1 und nk bereits gewahlt, so dass n1 < n2 < . . . < nk.Dann existiert nk+1 > nk mit

∣∣ank+1

− b∣∣ < 1

k+1 (Begrundung: Wahle in11.5 ε := 1

k+1 , N := nk + 1)Dann konvergiert diese Folge der ank

gegen b.Begrundung: Sei ε > 0⇒ ∃k0 ∈ N mit 1

k0< ε

⇒ ∀k ≥ max (k0; 2) |ank− b| < 1

k ≤ 1k0< ε

⇒ limk→∞

ank= b 2

11.8 Satz

Jede Folge reeller Zahlen hat eine monotone Teilfolge.

Beweis: Blatt 8 Ubungsaufgabe 30.

51

11.9 Satz von Bolzano/WeierstraßC

benannt nach Bernhard Bolzano (1781–1848) und Karl Weierstraß (1815–1897)

a) Jede beschrankte Folge hat eine konvergente Teilfolge

b) Jede beschrankte Folge hat mindestens einen Haufungswert

Beweis:

a) 1.) reeller Fall: Nach 11.8 hat (an) eine monotone Teilfolge (ank), die

nach Voraussetzung beschrankt ist und somit nach 10.19 auch konver-gent.

2.) Nach der Konvergenz-Definition gilt im Falle C: znn→∞−−−→ z(∈ C)

⇔ Re znn→∞−−−→ Re z ∧ Im zn

n→∞−−−→ Im z

Sei (an)n∈N ∈ C |an| ≤ K (n ∈ N)⇒ |Re an| ≤ K (n ∈ N)a1⇒ ∃

Teilfolge (nk) in N und α ∈ R mit Re ank

k→∞−−−→ α.Die Folge (Im ank

) ist durch K beschrankt, hat also nach a1 eine kon-

vergente Teilfolge(

Im ankj

)

j≥1, die gegen β ∈ R konvergiert. Nach

Vorbemerkung folgt:(

ankj

)j→∞−−−→ α+ β 2

b) Folgt aus 11.7 u.a. 2

11.10 Hauptsatz uber konvergente FolgenC

Sei (an) eine Folge in R (bzw. in C). Dann ist aquivalent:

a) (an) konvergiert

b) (an) ist Cauchy-Folge, d. h. es gilt das Cauchy-Kriterium:∀ε > 0 ∃n1(ε) ∀m,n ≥ n1(ε) |am − an| < ε.

c) (an) ist beschrankt und hat genau einen Haufungswert.

Beweis:

a)⇒b) siehe in 11.2

b)⇒c) Sei (an) Cauchy-Folge. Wir zeigen:

a) (an) ist beschrankt.

52

Begrundung: Zu ε := 1 ∃n1 ∈ N ∀m ≥ n1

|am| ≤ |am − an1 |︸︷︷︸

<1

+ |an1 | < 1 + |an1 |

K := max (|a1| , . . . , |an1−1| , 1 + |an1 |)⇒ ∀n ≥ 1 |an| ≤ K⇒ (an) beschrankt.⇒ (an) hat mindestens einen Haufungswert.

b) (an) hat genau einen Haufungswert.Annahme: (an) hat 2 Haufungswerte a, b mit a 6= b; ε := a−b

3 .⇒ ∃n1 ∈ N ∀m,n ≥ n1 |am − an| < a−b

3

a ist Haufungswert⇒ ∃k ≥ n1 mit |ak − a| < εb ist Haufungswert⇒ ∃l ≥ n1 mit |al − a| < ε

}

⇒ |a− b|

≤ |a− ak|︸︷︷︸

<ε

+ |ak − al|︸︷︷︸

<ε

+ |al − b|︸︷︷︸

<ε

< 3ε = |a−b|3 · 3 = |a− b| E

⇒ (an) hat genau einen Haufungspunkt.

c)⇒a) Sei a der Haufungswert von (an)n∈N. Wir zeigen: ann→∞−−−→ a

Begrundung: Sei zunachst an ∈ R (n ∈ N).Annahme: Die Behauptung sei falsch.a Haufungswert⇒ ∃ ε > 0 dd. |an − a| ≥ ε fur unendlich viele n, etwa furn = nk (k = 1, 2, . . .), n1 < n2 < . . .Nach Voraussetzung ist (an) beschrankt, d.h. ∃α, β ∈ R ∀n ∈ N an ∈[α;β]. Ohne Einschrankung: α < a− ε < a+ ε < β⇒ In [α; a− ε] oder in [a+ ε;β] liegen Folgenglieder ank

fur unendlichviele k.Aus 11.9 und 11.7 und 10.16 folgt: In [α; a− ε] oder [a+ ε;β] liegt ein wei-terer Haufungswert von (an) E

⇒ an konvergiert gegen aSei nun an ∈ C. Dann sind (Re an) und (Im an) laut Voraussetzung be-schrankt und beide haben je genau einen Haufungswert. Nach dem schonbewiesenen folgt:(Re an) und (Im an) konvergieren:Re an

n→∞−−−→ a Im ann→∞−−−→ b

⇒ ann→∞−−−→ a+ ib 2

11.11 Definition: Limes superior, Limes inferiorR

Sei an eine Folge in R, α, β ∈ R.

a) Dann heißt β Limes superior von an, falls gilt:

1.) ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N an < β + ε

2.) ∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N an > β − ε

53

Schreibweise: β = lim supn→∞

an = limn→∞

an

b) Dann heißt α Limes inferior von an, falls gilt:

1.) ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N an > α− ε2.) ∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N an < α+ ε

Schreibweise: α = lim infn→∞

an = limn→∞an

Beispiel:

a) an := (−1)n + 1n ⇒ lim sup

n→∞an = 1, lim inf

n→∞an = −1

b) bn := n · ((−1)n − 1)⇒ lim supn→∞

bn = 0, lim infn→∞

bn existiert nicht.

11.12 FolgerungenR

a) lim infn→∞

an und lim supn→∞

an sind im Falle ihrer Existenz eindeutig bestimmt.

b) Falls lim infn→∞

an existiert, ist die Folge (an) nach unten beschrankt,lim infn→∞

an ist kleinster Haufungswert.

Falls lim supn→∞

an existiert, ist die Folge (an) nach oben beschrankt,

lim supn→∞

an ist großter Haufungswert.

c) lim infn→∞

an ≤ lim supn→∞

an, falls beide existieren.

11.13 SatzR

Sei (an) Folge in R. Dann gilt:

a) lim supn→∞

an existiert⇔ (an) ist nach oben beschrankt und

(cn)2 := sup {ak; k ≥ n} ist nach unten beschrankt.

Im Falle der Existenz gilt: lim supn→∞

an = limn→∞

cn = limn→∞

sup {ak; k ≥ n}

b) lim infn→∞

an existiert⇔ (an) ist nach unten beschrankt und

(dn)3 := inf {ak; k ≥ n} ist nach oben beschrankt.

Im Falle der Existenz gilt: lim infn→∞

an = limn→∞

dn = limn→∞

inf {ak; k ≥ n}

c) lim supn→∞

an = − lim supn→∞

(−an), falls einer der Ausdrucke existiert.

d) (an) beschrankt⇒ lim infn→∞


an existieren.

2nach Konstruktion monoton fallend3nach Konstruktion monoton steigend

54

Beweis

a) ”⇒“ Sei β := lim supn→∞

an11.11;ε=1⇒ ∃N ∈ N ∀n ≥ N an ≤ β + 1

K := max {a1, . . . , an−1, β + 1}⇒ ∀n ∈ N an < K ⇒ (an) ist nach oben beschrankt.Sei ε > 0. Dann existiert zu jedem p ∈ N ein K ≥ p mit ak ≥ β − ε(siehe Definition 11.11 a)⇒ ∀p ∈ N cp := sup {ak; k ≥ p} < β − ε ⇒ cn ist nach untenbeschrankt.

”⇐“ (cn) ist sinnvoll lt. Voraussetzung, monoton fallend und nach untenbeschrankt.⇒ ∃γ := lim

n→∞cn

Behauptung: lim supn→∞

an = γ

Begrundung: Sei ε > 0, cn ↓ γ, d.h. (cn) ist monoton fallend ge-gen γ.⇒1.) ∃N ∈ N ∀n ≥ N cn < γ + ε⇒ ∀n ≥ N an ≤ γ + ε⇒ Bedingung b1 aus Definition 11.11.

2.) Sei N ∈ N⇒ cN > γ − ε (sogar ∀n ∈ N cn > γ)⇒ ∃n ∈ N n > N an > γ − ε⇒ Bedingung b2 aus Definition 11.11.

⇒ γ = lim supn→∞

an 2

b) folgt aus a) und c).

c) leicht aufgrund der Definition.

d) folgt aus a) und b).

11.14 SatzC

Sei (an) eine Folge in R. Dann gilt:(an) konvergiert⇔ lim inf

n→∞an und lim sup

n→∞an existieren und

lim infn→∞

an = lim supn→∞

an = limn→∞

an

Beweis: (an) konvergiert 11.10⇔ (an) ist beschrankt und hat genau einen Hau-

fungswert⇔

lim infn→∞


an existieren

lim infn→∞

an = lim supn→∞

an2

55

12 Unendliche Reihen

12.1 Definition: Unendliche ReihenC

Sei an ∈ R, (bzw. C), die Folge (sn)n≥1, sn :=n∑

k=1

ak heißt unendliche Reihe.

Die Summe sn =n∑

k=1

ak heißt n-te Teilsumme von∞∑

k=1

ak (Partialsumme).

Die Reihe∞∑

k=1

ak heißt konvergent, falls (sn)n≥1 konvergiert. Konvergiert (sn) ge-

gen α ∈ R (bzw. in C), so heißt α der Wert der Summe, man schreibt:∞∑

k=1

ak = α.

Oft kommen andere Indizierungen vor, z. B.∞∑

k=0

ak,∞∑

k=2

ak etc.

Das Symbol∞∑

k=1

ak hat demnach doppelte Bedeutung:

a)∞∑

k=1

ak ist eine Abkurzung fur (sn)n≥1

b) Konvergiert letztere Folge, so bezeichnet∞∑

n=1an den Limes der Folge der

Teilsummen.

12.2 Beispiel

∞∑

n=1

1

n(n+ 1)= 1

Beweis:

sn =n∑

k=1

1

k(k + 1)=

n∑

k=1

(1

k− 1

k + 1

)

=

(

1− 1

2

)

+

(1

2− 1

3

)

+ . . .+

(1

n− 1

n+ 1

)

= 1− 1

n+ 1

n→∞−−−→ 1

12.3 RechenregelnC

Seien∞∑

n=1an,

∞∑

n=1bn konvergent, λ, µ ∈ R (bzw. C). Dann gilt:

a)∞∑

n=1(λan + µbn) konvergiert und

∞∑

n=1(λan + µbn) = λ

∞∑

n=1an + µ

∞∑

n=1bn

56

b) Fur jedes N ≥ 1 konvergiert∞∑

k=N

ak und es gilt:∞∑

k=1

ak =N−1∑

k=1

ak +∞∑

k=N

ak

c) Sei (nk) eine streng wachsende Folge in N und c1 :=n1−1∑

j=1aj ;

ck+1 :=nk+1−1∑

j=nk

aj mit k ≥ 1.

Dann konvergiert∞∑

k=1

ck und es gilt:∞∑

k=1

ck =∞∑

n=1an

Beweis:

a) sn :=n∑

j=1aj , tn :=

n∑

j=1bj , sn

n→∞−−−→∞∑

k=1

ak, tnn→∞−−−→

∞∑

k=1

bk. Nach 10.13

gilt:

λsn + µtnn→∞−−−→ λ

∞∑

k=1

ak + µ∞∑

k=1

bk

λsn +µtn =n∑

k=1

(λak + µbk) i.e. die n-te Teilsumme von∞∑

n=1(λan + µbn)

b)n∑

k=N

ak =n∑

k=1

ak −N−1∑

k=1

ak

︸︷︷︸

konstant in Abh. von n

10.13n→∞−−−→

∞∑

k=1

ak −N−1∑

k=1

ak =∞∑

k=N

ak

c) ∀k ≥ 1k∑

j=1cj =

nk−1∑

j=1aj = snk−1

k→∞−−−→∞∑

n=1an 2

12.4 SatzR

Sei an ≥ 0 (n ∈ N). Dann gilt:∞∑

n=1an konvergiert ⇔ (sn) beschrankt. Im Falle der Konvergenz gilt:

∞∑

k=1

ak =

sup {sn}.

Beweis:

”⇒“∞∑

n=1an konvergiert 10.11⇒ (sn) beschrankt.

”⇐“ an ≥ 0 (n ∈ N)⇒ (sn)n∈N ist monoton wachsend. Ist also (sn) beschrankt,

so konvergiert (sn) nach 10.19.⇒∞∑

k=1

ak = sup {sn} (n ∈ N) 2

12.5 Beispiel∑∞

n=01n!

n→∞−−−→ e.

57

Beweis: Fur n ≥ 2 ist

1

n!≤ 1

n(n− 1)=

1

n− 1− 1

n⇒ ∀n ≥ 2

sn :=n∑

k=0

1

k!= 1 + 1 +

n∑

k=2

1

k!≤ 2 +

n∑

k=2

(1

k − 1− 1

k

)

= 3− 1

n< 3

⇒ (sn) ist beschrankt, monoton wachsend⇒ (sn) konvergiert.

an :=

(

1 +1

n

)nn→∞−−−→ e, da monoton wachsend und

an =n∑

k=0

(n

k

)1

nk= 1 + 1 +

n∑

k=2

1

k!

(n

k

)1

nk=

1

k!

n(n− 1) · . . . · (n− k + 1)

nk︸︷︷︸

0<...<1

<1

k!

10.15⇒ ann→∞−−−→ e

⇒ e = limn→∞

an ≤ limn→∞

sn =∞∑

k=0

1

k!

Umgekehrt: Sei ε > 0, N ∈ N, N ”fest“, N ≥ 2.Wir betrachten k ∈ N, 2 ≤ k ≤ N . Sei n ≥ N

(n

k

)1

nk=

1

k!1 ·(

1− 1

n

)

· . . . ·(

1− k − 1

n

)

n→∞−−−→ 1

k!

⇒ ∃nk(ε) ∀n ≥ nk(n

k

)1

k!≥ 1

k!− ε 1

N + 1

Setze nun n0(ε) := max (nk(ε); k = 2, . . . , N). Dann gilt:

∀n ≥ n0(ε)

(n

k

)1

nk≥ 1

k!− ε 1

N + 1fur ε ≤ k ≤ N

(richtig fur k = 0 und k = 1)

⇒ ∀n ≥ n0(ε) an =

(1

n+ 1

)n

=n∑

k=0

(n

k

)1

nk

≥N∑

k=0

(n

k

)1

nk≥

N∑

k=0

(1

k!− ε 1

N + 1

)

= sN − ε

∀n ∈ N an ≤ ε⇒ ∀N ≥ 2, ε > 0 e ≥ sN − ε

58

⇒ ∀N ≥ 2 sN ≤ ε+ e ∀ε > 0

⇒ ∀N ≥ 2 sN ≤ inf{e+ ε; ε > 0} = e

⇒ ∀N ≥ 2 sN ≤ e

⇒ limn→∞

sn ≤ e

⇒∞∑

n=0

1

n!= e 2

Fehlerabschatzung:

∀n ∈ N 0 < e−n∑

k=0

1

k!≤(

1 +1

n+ 1

)1

(n+ 1)!<

1

n · n!

Beweis:

e− sn 12.3=

∞∑

k=n+1

1

k!

es gilt hier fur p ≥ 1:

n+p∑

k=n+1

1

k!

=1

(n+ 1)!

(

1 +1

n+ 2+

1

(n+ 2)(n+ 3)+ . . .+

1

(n+ 2) · . . . · (n+ p)

)

≤ 1

(n+ 1)!

(

1 +1

n+ 2+

1

(n+ 2)2+ . . .+

1

(n+ 2)p−1

)

=1

(n+ 1)!

1− 1(n+2)p

1− 1n+2

<1

(n+ 1)!· 1

1− 1n+2

=n+ 2

n+ 1· 1

(n+ 1)!=

(

1 +1

n+ 1

)1

(n+ 1)!

<1

n · n!

12.6 Korollar

e ist irrational.

59

Anmerkung: Charles Hermite (1822–1901) hat 1873 bewiesen, dass e transzen-dent ist.Annahme: e ist rational ⇒ e = m

n , m,n ∈ N. Mit diesem n wird obige Fehler-abschatzung durchgefuhrt. ⇒ 0 < e − sn < 1

n·n! Multiplikation mit n! liefert:0 < n! · e

︸︷︷︸

m(n−1)!∈N

−n! · sn︸︷︷︸

∈N

< 1n EWiderspruch! 2

12.7 Cauchysches KonvergenzkriteriumC

∞∑

n=1

an konvergiert⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0, p ≥ 0

∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n

ak

∣∣∣∣∣< ε

Beweis:∞∑

n=1an konvergiert ⇔ (sn) konvergiert 11.10⇔ (sn) ist Cauchy-Folge

⇔ ∀ε > 0 ∃n1 ∈ N ∀m,n ≥ n1 |sm − sn| < εHier setze man m := n+ p (p ≥ 0) und ersetze n durch n− 1⇒ Bedingung des Satzes 2

12.8 FolgerungC ∞∑

n=1an konvergiert⇒ (an) ist Nullfolge, :

Beweis:

”⇒“ 12.7 mit p = 0 (Alternative: an = sn − sn−1n→∞−−−→ 0)

”:“ siehe 12.9 2

12.9 Beispiel: Harmonische Reihe

Die harmonische Reihe∞∑

n=1

1n divergiert.

Beweis: sn =n∑

k=1

1k s2n − sn =

2n∑

k=1

1k −

n∑

k=1

1k =

n∑

k=1

1n+k ≥

n∑

k=1

12n = 1

2

⇒ mit ε = 12 , p = n ist das Cauchy-Kriterium verletzt, d.h. die Reihe divergiert.

Fur a, b > 0 heißt 12(a+ b) das arithmetische Mittel,√

a · b das geometrische Mittel und2

1a+ 1

b

das harmonische Mittel von a und b.

Die harmonische Reihe heißt harmonisch, weil 1n das harmonische Mittel von 1

n−1

und 1n+1 ist fur alle n ≥ 2.

60

12.10 Beispiel: Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe∞∑

n=0zn (z ∈ C) konvergiert⇔ |z| < 1.

D.h.: Die geometrische Reihe ist konvergent fur z im Inneren der offenen Einheits-kreisscheibe.Im Falle der Konvergenz gilt:

∞∑

n=0zn = 1

1−z fur |z| < 1

Beweis: |z| ≥ 1⇒ |zn| = |z|n ≥ 1 ∀n ≥ 012.8⇒ Die Reihe divergiert.

Sei |z| < 1. Dann ist∣∣∣∣

n∑

k=0

zk − 11−z

∣∣∣∣

=∣∣∣1−zn+1

1−z − 11−z

∣∣∣ = |z|n+1

|1−z|n→∞−−−→ 0, nach

10.12 a, denn |z| < 1 2

12.11 Vergleichskriterium

Vorgelegt sei∞∑

n=1an.

a) Ist an ∈ C (n ∈ N) und gibt es eine konvergente Reihe∞∑

n=1bn mit bn ≥ 0,

so dass |an| ≤ bn fur alle n ≥ N fur N hinreichend groß, so konvergiert

auchn∑

k=1

an und es gilt:∣∣∣∣

∞∑

n=1an

∣∣∣∣≤

∞∑

n=1|an| ≤

∞∑

n=1bn

b) Ist an ≥ 0 und gibt es eine divergente Reihe∞∑

n=1cn, so dass 0 ≤ cn ≤ an

fur n ≤ N , so ist∞∑

n=1an divergent.

Beweis:

a) Cauchy-Kriterium: Sei ε > 0, ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0, p ≥ 0

∣∣∣∣

n+p∑

k=n

bk

∣∣∣∣< ε

⇒ ∀n ≥ max (n0, N) , p ≥ 0n+p∑

k=n

ak ≤∣∣∣∣

n+p∑

k=n

ak

∣∣∣∣≤

n+p∑

k=n

bk < ε

⇒ Behauptung 2

b)∞∑

n=1cn divergiert, cn ≥ 0⇒

n∑

k=1

ckn→∞−−−→ ∞⇒ ∀k ≥ N wegen ak ≥ ck:

n∑

k=1

akn→∞−−−→∞, also

∞∑

k=1

an divergiert 2

61

12.12 Beispiel

a)∞∑

k=1

1n2 konvergiert, denn 1

n2 <1

n(n−1) fur n ≥ 2

und∞∑

n=2

1n(n−1) =

∞∑

n=1

1n(n+1) konvergiert nach 12.2.

Wir werden spater zeigen, dass∞∑

n=1

1n2 = π2

6 (nach Leonard Euler)

b) Fur jedes r ∈ Q 0 < r ≤ 1 divergiert∞∑

n=1

1nr , denn 1

nr ≥ 1n 2

12.13 Definition: Absolute KonvergenzC

Sei an ∈ R (bzw. C).∞∑

n=1an konvergiert absolut⇔

∞∑

n=1|an| konvergiert.

12.14 SatzC

Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Die Umkehrung gilt nicht (siehe12.16).

Beweis: 12.11 a) mit bn = |an| 2

12.15 Leibnizsches Konvergenzkriterium

Ist (an) eine monotone Nullfolge, so konvergiert∞∑

n=1(−1)n+1an

Beweis: Ohne Einschrankung sei an ≥ 0, (an) monoton fallend, sonst Ersetzungan 7→ −an.

⇒∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n

(−1)k+1ak

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

an − an+1︸︷︷︸

≥0

+ an+2 − an+3︸︷︷︸

≥0

± . . .+ (−1)pan+p

∣∣∣∣∣∣∣

=

an−an+1 + an+2︸︷︷︸

≤0

−an+3 + an+4︸︷︷︸

≤0

± . . .−an+p−2 + an+p−1︸︷︷︸

≤0

−an+p

an−an+1 + an+2︸︷︷︸

≤0

−an+3 + an+4︸︷︷︸

≤0

± . . .+ an+p−2−an+p−1 + an+p︸︷︷︸

≤0

≤{an − ap falls p ungeradean falls p gerade

}

≤ an ∀n ∈ N

Ergebnis:∣∣∣∣

n+p∑

k=n

ak

∣∣∣∣≤ an fur alle n ≥ 1, p ≥ 0. Da (an) Nullfolge ist, folgt die

Behauptung nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium 2

62

Zusatz: In 12.15 gilt fur s :=∞∑

n=1(−1)nan die Abschatzung:

∣∣∣∣∣

n∑

k=1

(−1)k−1ak − s∣∣∣∣∣≤ |an+1|

Beweis: ∀p ≥ 1 ist

∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

(−1)k−1ak

∣∣∣∣∣≤ |ak+1| nach obiger Abschatzung.

Fur p→∞ folgt die Behauptung 2

12.16 Beispiele

a)∞∑

n=1

(−1)n−1

n konvergiert nach 12.15, aber sie konvergiert nicht absolut, da(

1n

)divergiert.

Wir werden spater sehen:∞∑

n=1

(−1)n−1

n = log 2

b)∞∑

n=0

(−1)n

2n+1 konvergiert nach 12.15, aber nicht absolut. (Beweis ahnlich wie

in 12.9).

Spater:∞∑

n=0

(−1)n

2n+1 = π4 , die sog. Leibnizsche Reihe.

12.17 WurzelkriteriumC

Vorgelegt sei an ∈ R (bzw. C), und es gebe q ∈]0; 1[, so dass n√

|an| ≤ q fur∀n ≥ N (N hinreichend groß)

⇒∞∑

n=1an konvergiert absolut.

Beweis: Vergleichskriterium mit bn = qn. Wegen 0 < q < 1 konvergiert∞∑

n=0qn

(geometr. Reihe) 2

Beispiel: an := n · xn mit 0 < x < 1 ⇒ n√an = n

√n · x n→∞−−−→ 1 · x < 1,

x < q = x+12 < 1

⇒ ∃N ∈ N, so dass 0 < n√an = n

√n · x < q fur alle n ≥ N .

Nach dem Wurzelkriterium konvergiert also∞∑

n=0n · xn fur 0 < x < 1.

63

12.18 QuotientenkriteriumC

Sei an ∈ R (bzw. C) und es gebe ein q ∈ R, 0 < q < 1 und ein N ∈ N, so dass

an 6= 0 fur alle n ≥ N und∣∣∣an−1an

∣∣∣ ≤ q fur alle n ≥ N ⇒

∞∑

n=1an konvergiert

absolut.

Beweis: ∀n ≥ N |an| =∣∣∣∣

anan−1

∣∣∣∣

︸︷︷︸

≤q

·∣∣∣∣

an−1

an−2

∣∣∣∣

︸︷︷︸

≤q

· . . . ·∣∣∣∣

aN+1

aN

∣∣∣∣

︸︷︷︸

≤q

· |aN | ≤ |aN | qn−N =

|aN |qN · qn

Nach Vergleichskriterium mit bn :=∣∣∣aN

qN · qn∣∣∣ (n ≥ 1) folgt die Behauptung 2

Beispiele:

a) an = n · xn (0 < x < 1)∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = n+1

n x =(1 + 1

n

)x ≤ q := 1+x

2 < 1

∀a, n ≥ N hinreichend groß.

b) an = 1n

a:n+1an

= nn+1

n→∞−−−→ 1 Quotientenkriterium liefert keine Aussagebezuglich Konvergenz.

c) an = 1n2

an+1

an= n2

(n+1)2n→∞−−−→ 1 Quotientenkriterium liefert keine Aus-

sage bezuglich Konvergenz.

12.19 Cauchysches Verdichtungskriterium

Sei (an) monoton fallende Nullfolge. Dann gilt:

∞∑

n=1

an konvergiert⇔∞∑

n=1

2na2n konvergiert ← verdichtete Reihe

Beispiel: an = 1n 2na2n = 2n · 1

2n = 1⇒∞∑

n=1

1n divergiert.

Beweis: Sei ck =2k+1∑

j=2k+1

aj (k ≥ 0),

c0 = a2, c1 = a3 + a4, c2 = a5 + a6 + a7 + a8,. . .

2k Terme, alle≥ a2k+1

≤ a2k+1 ≤ a2k

⇒ 2ka2k+1 ≤ ck ≤ 2ka2k (4)

64

”⇒“∞∑

n=1an konvergiert

12.3 c)⇒∞∑

k=0

ck konvergiert12.4⇒(

n∑

k=0

ck

)

n≥0

ist beschrankt.

(4)⇒(

n∑

k=0

2ka2k+1

)

n≥0

ist beschrankt.

·2⇒(

n∑

k=0

2k+1a2k+1

)

n≥0

ist beschrankt.

12.4⇒n∑

k=0

2ka2k konvergiert.

”⇐“∞∑

k=0

2ka2k konvergiert 12.4⇒( ∞∑

k=0

2ka2k

)

ist beschrankt.

(4)⇒(

n∑

k=0

ck

)

n≥0

ist beschrankt.

Def.⇒(

n∑

k=0

ak

)

n≥0

beschrankt (Beachte ak ≥ 0!!)

12.4⇒∞∑

n=0an konvergiert 2

12.20 Bemerkung

Sei r ∈ Q, r > 0. Dann gilt:∞∑

n=1

1nr konvergiert⇔ r > 1 (spater auch fur r ∈ R)

Beweis: an = 1nr in 12.19

⇒ 2na2n = 2n · 12nr =

(1

2r−1

)n= qn mit q = 1

2r−1

Also∞∑

n=1an konvergiert nach 12.19 ⇔

∞∑

n=1qn konvergiert ⇔ q < 1 (geometr.

Reihe)⇔ r > 1.Fur r = 1 steckt hierin die Divergenz der harmonischen Reihe.

Es sei σ : N→ N eine Bijektion. Dann heißt∞∑

n=1aσ(n) Umordnung von

∞∑

n=1an.

12.21 Satz

Satz von Bernhard Riemann (1826-1866)

a) Sei an ∈ C und∞∑

n=1an absolut konvergent. Dann konvergiert auch jede

Umordnung∞∑

n=1aσ(n) absolut und es gilt:

∞∑

n=1an =

∞∑

n=1aσ(n)

65

b) Ist an ∈ R und∞∑

n=1an konvergent, aber nicht absolut konvergent, so gibt es

divergente Umordnungen von∞∑

n=1an und es gibt auch zu jedem x ∈ R eine

konvergente Umordnung∞∑

n=1aσ(n), so dass

∞∑

n=1aσ(n) = x.

Beweis:

a) Sei K > 0 so gewahlt, dassn∑

k=1

|ak| ≤ K ∀n ∈ N. Sei n ∈ N und σ eine

Permutation von N.Betrachte

n∑

k=1

∣∣aσ(k)

∣∣: N := max(σ(1), . . . , σ(n))

⇒n∑

k=1

∣∣aσ(k)

∣∣ ≤

N∑

j=1|aj | ≤ K nach Wahl von K.

⇒ ∀n ∈ Nn∑

k=1

∣∣aσ(k)

∣∣ ≤ K

⇒∞∑

k=1

∣∣aσ(k)

∣∣ konvergiert, d.h.

∞∑

k=1

aσ(k) konvergiert absolut.

Sei s :=∞∑

n=1an.

Wir zeigen:∞∑

k=1

aσ(k) = s

Begrundung: Sei ε > 0

Cauchy⇒ ∃N ∈ N ∀p ≥ 0N+p∑

k=N+1

|ak| < ε2 und

∣∣∣∣

N∑

k=1

ak − s∣∣∣∣< ε

2

Sei σ : N → N Bijektion, n0 := max{σ−1(1), σ−1(2), . . . , σ−1(N)

}. Fur

n ≥ n0 gilt dann:{σ(1), σ(2), . . . , σ(n)} ⊃ {1, 2, . . . , N}

⇒ ∀n ≥ n0

∣∣∣∣

n∑

k=1

aσ(k) − s∣∣∣∣≤∣∣∣∣∣

N∑

k=1

ak − s∣∣∣∣∣

︸︷︷︸

< ε2

+∑

1 ≤ k ≤ nσ(k) > N

∣∣aσ(k)

∣∣

︸︷︷︸

< ε2

< ε,

d. h.∞∑

n=1aσ(n) = s

b) Da∞∑

n=1an konvergiert, aber nicht absolut konvergiert, kommen in

∞∑

n=1an un-

endlich viele positive und unendlich viele negative Terme vor (folgt aus demCauchy-Kriterium).Es seien 1 ≤ m1 < m2 < . . . genau alle Indizes n mit an > 0 und

1 ≤ n1 < n2 < . . . genau alle Indizes n mit an < 0.

66

⇒ {mj ; j ≥ 1} ∪ {nj ; j ≥ 1} = N, {mj ; j ≥ 1} ∩ {nj ; j ≥ 1} = ∅Dann divergieren die Reihen

∞∑

j=1amj

und∞∑

j=1anj

, denn waren beide konver-

gent, so auch absolut konvergent (selbes Vorzeichen)

⇒∞∑

n=1an absolut konvergent E

Ware nur eine der beiden Reihen konvergent, die andere aber divergent, sohatte erstere eine beschrankte Folge von Teilsummen, letztere aber nicht, al-

so ware∞∑

n=1an divergent E

⇒ Beide Reihen divergieren.

Sei x ∈ R vorgegeben. Setze σ(1) := m1,addiere zu aσ(1) = am1 so viele Terme am2 , am3 , . . ., bis erstmals die Teil-summe großer wird als xp1∑

j=1amj

> x, σ(1) = m1, σ(2) = m2, . . . , σ(p1) = mp1

Anschließend addiere man so lange negative Terme an1 , an2 , . . ., bis erst-mals die Summe wieder kleiner als x wird.p1∑

j=1amj

+q1∑

j=1anj

σ(p1 +1) = n1, σ(p1 +2) = n2, . . . , σ(p1 + q1) = nq1

Dann werden wieder positive Terme addiert, beginnend mit amp1+1, bis erst-mals die Summe wieder großer als x wird. . .

Da∞∑

j=1amj

und∞∑

j=1anj

beide divergieren, bricht das Verfahren nicht ab und

liefert eine Umordnung σ : N→ N mit∞∑

n=1aσ(n) = x. Beachte: an bilden

eine Nullfolge!!Ahnlich zeigt man die Existenz divergenter Umordnungen 2

12.22 Beispiel∞∑

n=1

(−1)n−1

n (Leibniz) konvergiert, aber nicht absolut (harmonische Reihe).

s :=∞∑

n=1

(−1)n−1

n

12.3 c)=

∞∑

n=1

(1

2n−1 − 12n

)

Umordnung: Auf jeden positiven Term der Reihe lasse man 2 aufeinanderfolgendenegative folgen. Schema: 1− 1

2 − 14 + 1

3 − 16 − 1

8 + . . .+ 12n−1 − 1

4n−2 − 14n

12n−1 − 1

4n−2 − 14n = 1

4n−2 − 14n = 1

2

(1

2n−1 − 12n

)

⇒ Die umgeordnete Reihe konvergiert gegen∞∑

n=1

(1

2n−1 − 14n−2 − 1

4n

)

= 12

∞∑

n=1

(1

2n−1 − 12n

)

= 12

Durch Umordnung hat sich also der Reihenwert halbiert.

67

13 Dezimalbruche und b-adische Entwicklungen

Dezimalbruchentwicklungen: 2, 718281 . . . = 2 · 100 + 7 · 10−1 + 10−2 . . . mitBasis 10n.Sei b ∈ N, b > 1. b dient im folgenden als Basis fur ”b-adische“ Entwicklungen.

Typischeweise haben diese die Gestaltn∑

j=k

xjbj , k ∈ Z, xj ∈ {0, . . . , b− 1}.

Beispiel: 13

?= 0, 3 =

∞∑

n=13 ·10−n = 3 ·

∞∑

n=110−n = 3 ·

( ∞∑

n=010−n − 1

)

= 39 = 1

3 .

Ebenso 0, 9 = 1.

13.1 Lemma

Sei b ∈ N, b > 1, xj ∈ Z, 0 < xj < b, j > −k, k ≥ 0, k ∈ Z. Dann konvergiert

der ”b-adische Bruch“∞∑

j=−kxjb

−j =: x−kx−k+1 . . . x0, x1x2x3 . . .

Beweis: Majorantenkriterium mit aj = xj · b−j , bj := (b − 1)b−j . Dann liefertdie geometrische Reihe eine konvergente Majorante.

13.2 Satz

Sei b ∈ N, b > 1, x ∈ R.

a) Dann existiert (xj)j≥−k ∈ Z, 0 ≤ xj ≤ b − 1, so dass x = ±∞∑

j=−kxjb

−j .

Dieser Ausdruck heißt dann die b-adische Entwicklung von x.

b) Hat x > 0 zwei verschiedene b-adische Entwicklungen x =∞∑

j=−kxjb

−j

und x =∞∑

j=−lyjb

−j mit ganzen xj , yj , 0 ≤ xj , yj ≤ b − 1 und ist ohne

Einschrankung k = l und m := min {j;xj 6= yj} , xm < ym, so gilt:

1.) xj = yj ∀j < m

2.) ym = xm + 1

3.) xj = b− 1, yj = 0 ∀j > m

c) Eine reelle Zahl x 6= 0 hat zwei verschiedene b-adische Entwicklungen ge-nau dann, wenn gilt: x = ± a

bn mit a ∈ N, n ∈ Z, z. B. 14 = 0, 25 = 0, 249

d) Jede reelle Zahl x 6= 0 hat genau eine b-adische Entwicklung mit unendlichvielen von 0 verschiedenen xj und hochstens eine weitere (siehe c).

68

Beweis:

a) OBdA4: x > 0, b > 16.4⇒ ∃k ∈ Z, so dass bk+1 > x. (Man kann z. B. k

minimal wahlen). Zerlegung von[0; bk+1

]in b gleich lange Teilintervalle:

0 = 0bk < 1bk < 2bk < . . . < (b− 1)bk < bk+1

[0; bk+1

[=

b−1⋃

m=0

[mbk; (m+ 1)bk

[3 x⇒ ∃x−k ∈ Z, 0 ≤ x−k ≤ b − 1,

x−kbk ≤ x < (x−k + 1) bk

Die weiteren xj , j > −k werden induktiv bestimmt: Seien xj ∈ Z schon so

gewahlt, dass 0 ≤ xj ≤ b − 1, −k ≤ j ≤ n, 0 ≤ x −n∑

j=−kaxb

−j < b−n.

(Fur n = −k ist diese Situation vorhanden).Zerlegung: 0 = 0b−n−1 < 1b−n−1 < . . . <)b− 1(b−n−1 < bb−n−1 = b−n

[0; b−n[ =b−1⋃

m=0

[mb−n−1; (m+ 1)b−n−1

[In einem Teilintervall liegt x −

n∑

j=−kxjb

−j , d. h. wir wahlen xn+1 ∈ Z so, dass 0 ≤ xn+1 ≤ b − 1,

xn+1b−(n+1) ≤ x−

n∑

j=−kxjb

−j < (xn+1 + 1) b−(n+1)

Damit sind xj ∀j ≥ −k gewahlt und nach Konstruktion gilt fur sn :=n∑

j=−kxjb

−j :

0 ≤ x− sn < (xn+1 + 1)︸︷︷︸

≤b

b−(n+1) ≤ b · b−(n+1) = b−n

b−nn→∞−−−→ 0⇒ lim

n→∞sn = x⇒a) 2

b) Sei gleich b = l, m wie im Satz und OBdA gleich xm < ym⇒b1.) klar.

⇒∞∑

j=mxjb

j =∞∑

j=myjb

j

⇒ ym · b−m ≤∞∑

j=myjb

−j =∞∑

j=mxjb

−j = xmb−m +

∞∑

j=m+1xjb

−j

≤ xmb−m + (b− 1)∞∑

j=m+1b−j = xmb

−m + (b− 1)b−(m+1) 1

1 + 1b

︸︷︷︸

=b−m

(geo-

metr. Reihe) = (xm + 1) b−m ≤ ymb−m⇒ In dieser Abschatzung steht an jeder Stelle ”=“ und nirgends ”<“.⇒ xm + 1 = ym ⇒ b2)xj = b− 1 ∀j > m, yj = 0 ∀j > m, d. h. b3)⇒b) 2

c) impliziert.

d) impliziert.

4d.h. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit

69

Die b-adische Entwicklung von x ∈ R ist genau dann von einer Stelle ab peri-odisch, wenn x rational ist.

70

Teil III

Stetige Funktionen und Potenzreihen14 Topologie von R und C

14.1 Definition: offen↔abgeschlossen, TopologieC

Sei M ⊂ R (M ⊂ C). Dann heißt M offen in R (C):⇔ ∀a ∈ M ∃U(a) ⊂ M .(⇔ ∀a ∈M ∃ε > 0 {x; |x− a| < ε} ⊂M , x ∈ R (C))(⇔ ∀a ∈M , M ist Umgebung von a)M heißt abgeschlossen:⇔ R\M ist offen (C\M offen).T := {M ∈ R (bzw. C);M offen} heißt Topologie von R (bzw. C).

14.2 Beispiele

a) Jedes Intervall ]a; b[ ist offen in R (nicht in C) und fur r > 0 ist Kr(a) offenin C.Die ”rechte Halbebene“ {z ∈ C; Re z > 0} ist offen in C.

b) [a : b] (a, b ∈ R, a < b) ist abgeschlossen in R,denn R\[a; b] =]−∞; a[∪]b;∞[ ist offen.{z ∈ C; |z − a| ≤ r} ist abgeschlossen in C, denn C\ {z ∈ C; |z − a| ≤ r}ist offen in R.∅ und R sind zugleich offen und abgeschlossen in R.R ist abgeschlossen in C, ∅ und C sind zugleich offen und abgeschlossenin C⇒ ∅ und C heißen zusammenhangend in C

c) Sei (an)n∈N eine konvergente Folge in R (bzw. C), a := limn→∞

an,

M := {a} ∪ {an;n ∈ N}⇒M ist abgeschlossen in R (bzw. C) (folgt z. B. aus 14.5)

d) [0; 1[ ist weder offen noch abgeschlossen.

14.3 SatzC

Der Durchschnitt je endlich vieler und die Vereinigung beliebig vieler offener Men-gen sind offen in R (bzw. C) und allen anderen topologischen Raumen.

Beweis:

a) Seien M1, . . . ,Mn ⊂ R (bzw. C) alle offen, M :=n⋂

j=1Mj

Sei x ∈M . Dann ist zu zeigen: ∃U ∈ U(x) mit U ⊂Mx ∈M ⇒ ∀j = 1, . . . , n x ∈Mj

71

⇒ ∀j = 1, . . . , n ∃ εj > 0 ]x− εj ;x+ εj [⊂Mj (bzw. Kεj(x) ⊂Mj)

ε := min {ε1, . . . , εn} > 0 ⇒ ∀j = 1, . . . , n ]x − ε;x + ε[⊂ Mj (bzw.Kε(x) ⊂ Kεj

(x) ⊂Mj)

⇒]x− ε;x+ ε[⊂n⋂

j=1Mj = M (bzw. Kε(x) ⊂

n⋂

j=1Mj = M )

⇒M ist offen 2

b) Sei I irgendeine Indexmenge, Mi ⊂ R (bzw. C) offen ∀i ∈ I x ∈ M =⋂

i∈IMi. Dann ist zu zeigen: ∃U ∈ U(x), U ⊂M

x ∈M ⇒ ∃j ∈ I , x ∈Mj

⇒ ∃U(x), x ∈ U(x) ⊂Mj ⊂M⇒M ist offen 2

14.4 Satz

Die Vereinigung je endlich vieler und der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlos-sener Mengen sind abgeschlossen in R (bzw. C).

Beweis:

a) Seien A1, . . . , An ⊂ R abgeschlossen in R

⇒ R\n⋃

j=1Aj =

n⋂

j=1R\Aj ist offen in R nach 14.3 2

b) Seien Ai (i ∈ I) abgeschlossen in R⇒ R\ ⋂

i∈IAi =

⋃

i∈IR\Ai ist offen

⇒ Behauptung 2

Fur C analog.

14.5 SatzC

Fur M ⊂ R (bzw. C) gilt:M ist abgeschlossen⇔ Fur jede konvergente Folge (xn)n∈N von Elementen xn ∈M ∀n ∈ N liegt auch der Limes dieser Folge in M .

Beweis:

”⇒“ Sei M abgeschlossen, xn ∈M (n ∈ N), limn→∞

xn =: x ∈ R (bzw. C)

Annahme: x /∈M⇒ R\M ist offen lt. Voraussetzungx ∈ R\M ⇒ U := R\M ∈ U(x)Wegen xn

n→∞−−−→ x ∃N ∈ N mit xn ∈ U forall n ≥ N E⇒ x ∈M

72

“⇐“ Annahme: M ist nicht abgeschlossen⇒ R\M (bzw. C\M ) nicht offen.∃ a ∈ R\M (bzw. C\M ) mit ∀ ε > 0 ∃x ∈M |x− a| < εWahle ε = 1

n und dazu xn ∈M⇒ ∀n ∃xn ∈M |xn − a| < 1

n⇒ (xn) konvergiert gegen a ∈ R\M (bzw. C\M ) und xn ∈M (n ∈ N) E

⇒ Behauptung 2

14.6 Definition: BeruhrungspunktC

Sei M ⊂ R, b ∈ R (bzw. M ⊂ C, b ∈ C). Dann heißt b Beruhrungspunkt von Mgenau dann, wenn gilt: ∀U ∈ U(b) U ∩M 6= ∅M :=Menge der Beruhrungspunkte von M .

14.7 Beispiele

a) x ∈M ⇒ x ∈M , d. h. M ⊂M (”=“ wenn M abgeschlossen)

b) Sei (an) Folge, b Haufungswert von (an) ⇒ b ist Beruhrungspunkt vonM := {an;n ∈ N}

c) Jedes x ∈ R ist Beruhrungspunkt von Q und von R\Q, d. h. R = Q = R\Q

d) Die Menge der Beruhrungspunkte von {z ∈ C,Re z > 0} ist gleich{z ∈ C; Re z ≥ 0}

14.8 SatzC

Sei M ⊂ R (bzw. C). Dann gilt: b ist Beruhrungspunkt von M genau dann, wenngilt: ∃ (xn)n∈N als Folge von Elementen aus M mit lim

n→∞xn = b

Beweis:

”⇐“ klar nach Definition

”⇒“ Nach Voraussetzung gilt: ∀n ∈ N ∃xn ∈M |xn − b| < 1n .

Man nehme U =]b− ε; b+ ε[ (bzw. U = Kε(b))⇒ b = lim

n→∞xn, denn xn = b+ (xn − b) n→∞−−−→ b 2

14.9 KorollarC

M als Menge der Beruhrungspunkte von M ⊂ R (bzw. C) ist stets abgeschlossen.M heißt die abgeschlossene Hulle von M . Es gilt:

M ist abgeschlossen⇔M = M

73

Beweis: Die erste Aussage wird mit 14.3 bewiesen. Dazu sei (bn)n∈N eine kon-vergente Folge von Elementen aus M . bn

n→∞−−−→ b ∈ R (bzw. C). Dann ist zuzeigen: b ∈M .Begrundung: Zu jedem n existiert ein xn ∈ M mit |bn − xn| < 1

n ⇒ xn =

bn + (xn − bn) n→∞−−−→ b (xn ∈M ).14.8⇒ b ∈M . Das beweist die erste Aussage.

”⇐“ klar, denn M ist stets abgeschlossen.

”⇒“ Sei M abgeschlossen, b ∈M14.8⇒ ∃ (xn) ∈M mit xn

n→∞−−−→ b14.5⇒ b ∈M , da M abgeschlossen⇒M = M 2

14.10 Definition: Haufungspunkt↔isolierter PunktC

Sei M ⊂ R (bzw. C), a ∈ R (bzw. C). a heißt Haufungspunkt von M genau dann,wenn gilt: ∀U ∈ U(a) U ∩M 6= ∅,sogar U\{a} ∩M 6= ∅. (a nicht notwendig ∈M )⇔ ∀U ∈ U(a) ∃x ∈M , x 6= a, x ∈ Ua heißt isolierter Punkt von M genau dann, wenn gilt: a ∈ M und a ist keinHaufungspunkt von M⇔ ∃U ∈ U(a) U ∩M = {a}⇔ ∃ ε > 0 ∀ {x; |x− a| < ε} ∩M = {a}

Beispiel: M ={

1n ;n ∈ N

}0 ist Haufungspunkt von M , ∀n ∈ N ist 1

n iso-lierter Punkt von M .

14.11 Folgerung

x ∈M ⇔ x ist entweder Haufungspunkt vonM oder x ist isolierter Punkt vonM .

14.12 SatzC

Sei (an) eine Folge in R (bzw. C), b ∈ R (bzw. C), M := {an;n ∈ N}. Dann gilt:

b ist Haufungspunkt von M ⇔ ∃ Teilfolge ank

k→∞−−−→ b︸︷︷︸

Haufungswertbedingung von (an)

∧∀ k ∈ N ank6= b

Beweis:

”⇒“ Wahle nk streng monoton wachsend, so dass ank6= b (k ∈ N), außerdem

|ank− b| < 1

k

⇒ ank

k→∞−−−→ b.

74

”⇐“ klar nach Definition 2

14.13 Beispiel

an := (−1)n (n ∈ N)⇒ (an) hat die Haufungswerte±1, aberM := {an;n ∈ N} ={1;−1} hat zwei isolierte Punkte aber keinen Haufungspunkt.

14.14 FolgerungC

Ist (an) eine Folge in R (bzw. C) und ist am 6= an fur m 6= n (m,n ∈ N), so gilt:Die Menge der Haufungspunkte von {an;n ∈ N} ist gleich der Menge der Haufungs-werte von (an)n∈N

14.15 Satz von Bolzano/Weierstraß fur MengenC

Jede beschrankte, unendliche Teilmenge⊂ R (bzw. C) hat mindestens einen Haufungs-punkt.

Beweis: Sei M unendlich⇒ Es existiert eine Folge (xn)n∈N mit xn ∈M , xn 6=xm (m,n ∈ N, n 6= m).

M beschrankt⇒ (xn)n∈N beschrankt 11.9⇒ (xn)n∈N hat eine konvergente Teilfolgeund somit mindestens einen Haufungswert.14.14⇒ Behauptung 2

75

15 Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

15.1 Beispiele

a) Polynomfunktion f : R → R, f(x) =n∑

k=0

akxk (a0, . . . , an ∈ R fest,

n ∈ N fest)

b) f : R→ R, f(x) = |x− a| (a ∈ R fest, x ∈ R)

c) Seien f, g : R→ R, g 6≡ 0D := {x ∈ R; g(x) 6= 0}, h : D → R, h(x) =f(x)g(x) (x ∈ D) rationale Funktion

d) f : R→ R, f(x) = [x]

e) f : R→ R, f(x) =

{0 x rational1 x irrational

f) f : R→ R, f(x) :=

{ 1q fur x = p

q mit p, q ∈ Z teilerfremd, q > 0

0 fur x ∈ R\Q

g) f : [0;∞[→ R, f(x) :=√x (x ≥ 0)

15.2 Definition

Sei D ⊂ R, f, g : D → R, λ ∈ R. Dann wird definiert:

• f + g : D → R, (f + g)(x) := f(x) + g(x), (x ∈ D)

• λf : D → R, (λf)(x) := λ · f(x) (x ∈ D)

• f · g : D → R, (f · g)(x) := f(x) · g(x) (x ∈ D)

• fg : D → R,

(fg

)

(x) := f(x)g(x) (x ∈ D), falls g nullstellenfrei auf D ist.

Folgerung: Damit wird die Menge der Funktionen f : D → R ein R-Vektor-raum; sie ist sogar ein Ring.Beachte f 6≡ 0⇔ ∃x ∈ D, f(x) 6= 0 f = 0⇔ f(x) = 0∀x ∈ Df ”nullstellenfrei“⇔ ∀x ∈ D, f(x) 6= 0

15.3 Definition

Seien f : D → R, g : E → R und f(D) := {f(x), x ∈ D} ⊂ E. Dann ist:g ◦ f : D → R, x 7→ g (f(x))⇔ (g ◦ f)(x) = g (f(x)) (x ∈ D)

76

15.4 Beispiel

f : R→ R, f(x) = x2 ∀x ∈ R, g : [0,∞[→ R g(x) =√x (x ≥ 0)

⇒ g ◦ f ist erklart und es gilt: g ◦ f : R→ R, (g ◦ f)(c) =√x2 = |x|

Auch f ◦ g ist sinnvoll: f ◦ g : [0;∞[→ R, (f ◦ g)(x) = (√x)

2= x (x ≥ 0)

15.5 DefinitionC

Sei D ⊂ R (bzw. C), f : D → R (bzw. C), x0 ∈ D, α ∈ R (bzw. C). Dann gilt:limx→x0

f(x)(existiert und ist)= α genau dann, wenn gilt:

∀ ε > 0 ∃U ∈ U(x0) ∀x ∈ U ∩D |f(x)− α| < ε

⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D, |x− x0| < δ |f(x)− α| < ε (5)

Beachte: Die Terminologie ist hier nicht ganz einheitlich: Manche Autoren verlan-gen die Ungleichung (5) nur fur x 6= x0. Dafur schreiben wir: lim

x→x0x6=x0

f(x). Siehe

dazu auch Definition 15.12.

15.6 Folgerung

a) α = limx→x0

f(x)⇔ ∀V ∈ U(α) ∃U ∈ U (x0) f(D ∩ U) ∈ V

b) Ist x0 ∈ D und existiert limx→x0

f(x) = α, so ist α = f(x0), denn x0 ∈ U

∀U ∈ U(α)

c) Ist x0 ∈ D isolierter Punkt von D, so existiert limx→x0

(und ist)= f (x0)

d) Hat f fur x→ x0 einen Grenzwert, so ist dieser eindeutig bestimmt.Beweis wie bei Folgen oder siehe bei 15.9.

15.7 Definition: Stetigkeit

Sei f : D → R, x0 ∈ Da) f ist stetig in x0 :⇔ lim

x→x0

f(x) = f (x0) (implizit: Limes existiert.)

b) f ist stetig auf D :⇔ limx→x0

f(x) existiert ∀x0 ∈ D

Folgerung: Nach 15.6 c) ist f stetig in jedem isolierten Punkt von D.

15.8 Folgerung

Sei f : D → R, x0 ∈ D. Dann gilt:f stetig in x0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D, |x− x0| < δ |f(x)− f (x0)| < εDies ist die sog. ε-δ-Definition der Stetigkeit.

77

Beweis: Siehe 15.5.

15.9 Satz

Seien f,D, x0 ∈ D,α wie in 15.5. Dann gilt:limx→x0

f(x) = α ⇔ Fur jede Folge (xn)n∈N mit xn ∈ D (n ∈ N) xnn→∞−−−→ x0 ist

limn→∞

f (xn) = α (Grenzwert der Bildfolge)Fur x0 ∈ D ist das ein Stetigkeitskriterium:f ist stetig in x0 ⇔ Fur jede Folge (xn), xn ∈ D (n ∈ N), xn

n→∞−−−→ x0 gilt:limn→∞

f (xn)(existiert und ist)= f (x0)

Beachte: Wegen x0 ∈ D gibt es stets solche Folgen (xn) nach 14.4.

Beweis:

”⇒“ Sei xn ∈ D (n ∈ N), limn→∞

xn = x0, ε > 0

⇒ ∃U ∈ U (x0) ∀x ∈ D ∩ U |f(x)− α| < εxn

n→∞−−−→ x0 ⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 xn ∈ U⇒ ∀n ≥ n0 |f (xn)− α| < ε⇒ lim

n→∞f (xn) = α

”⇐“ Annahme: Es gilt nicht limx→x0

f(x) = α. (Entweder existiert kein Limes oder

limx→x0

f(x) 6= α)

⇒ ∃ ε0 > 0 ∀ δ > 0 ∃x ∈ D: |x− x0| < δ |f(x)− α| ≥ ε0Setze δ := 1

n⇒ ∃ ε0 > 0 ∀n ∈ N ∃xn ∈ D |xn − x0| < 1

n |f (xn)− x0| ≥ ε0⇒ xn ∈ D ∀n ∈ N xn

n→∞−−−→ x0, aber: limn→∞

f (xn) = α gilt nicht E

⇒ Behauptung 2

15.10 Beispiel

a) f : R→ R, f(x) = c ∀x ∈ R⇒ ∀x0 ∈ R limx→x0

f(x) = c = f (x0),

d. h. f stetig.

b) f : R→ R, f(x) = x (x ∈ R)⇒ limx→x0

f(x) = x0 = f (x0), d. h. f stetig.

c) f : R → R, f(x) =

{1 fur x ≥ 00 fur x < 0

⇒ limx→x0

f(x) existiert nicht, denn

die Folge(

(−1)n

n

)

konvergiert gegen 0, aber f (xn) 6= f (x0)

Aber: f ist stetig fur x0 6= 0

d) f : [0;∞[→ R, f(x) =√x (x ≥ 0) Behauptung: f ist stetig

Begrundung: Sei x0 ≥ 0 und xn ≥ 0 und limn→∞

xn = x0. Dann ist zu zeigen:

limn→∞

√xn =

√x0

78

1.) Ist x0 = 0, also limn→∞

xn = 0, so gilt:

∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 0 ≤ xn < ε2

Mit diesem n0 gilt:∀n ≥ n0 0 ≤ √xn < ε⇒Behauptung 2

2.) Ist x0 > 0, so gilt:∣∣√xn −

√x=

∣∣ = |xn−x0|√

xn+√x0≤ 1√

x0|xn − x0|

Wegen xnn→∞−−−→ x0 gilt:

∀ ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − x0| < ε · √x0

Mit diesem n0 gilt:∀n ≥ n0

∣∣√xn −

√x0

∣∣ < ε

⇒Behauptung 2

Bemerkung: Ebenso zeigt man: [0;∞[3 x 7→ k√x ist stetig.

zum Beweis: k√xn − k

√x0 = xn−x0

( k√xn)k−1+( k

√xn)k−2+ k

√x0+...+( k

√x0)k−1

15.11 Satz

Sei D ⊂ R, f, g : D → R, x0 ∈ D und λ, µ ∈ R (bzw. C).Es gelte lim

x→x0

f(x) = a, limx→x0

g(x) = b. Dann gilt:

a) limx→x0

(λf + µg) (x) = λa+ µb

b) limx→x0

(f · g)(x) = a · b

c) Ist g nullstellenfrei und limx→x0

g(x) 6= 0, so gilt limx→x0

f(x)g(x) = a

b

Speziell sind hierin enthalten die Rechenregeln fur die Stetigkeit.

Beweis: 15.9 und 10.13 (= alle Rechenregeln fur Folgen) 2

Alternativer Beweis mit ε-δ-Kriterium zur Ubung.

15.12 Beispiele

a) Jede Polynomfunktion ist stetig (auf R bzw. C).

Beweis: 15.10 a) und b) sowie 15.11.

b) Jede rationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich stetig.

79

Beweis: a) und 15.11 c)

Restringierte Grenzwerte: Sei D ⊂ R (bzw. C), f : D → R,E ⊂ D, g : E → R, g(x) := f(x) fur x ∈ E.Dann heißt g Einschrankung oder Restriktion von f auf E =: f |E.Ist x0 ∈ E, so kann lim

x→x0

g(x) =: limx→x0x∈E

f(x) existieren, diese Zahl

nennt man den restringierten Grenzwert.

15.13 DefinitionC

Sei f : D → R , x0 ∈ R.

a) Ist x0 ∈ D\ {x0} (d. h. Haufungspunkt von D), so schreibt manlimx→x0x6=x0

f(x) = limx→x0

x∈D\{x0}f(x), falls der Limes auf der rechten Seite existiert.

b) Ist x0 ∈ D∩ ]−∞;x0[ (d. h. linksseitiger Haufungspunkt), so schreibt manRlim

x→x0−f(x) := lim

x→x0−0f(x) := lim

x↑x0

f(x) := limx→x0

x∈D∩]−∞;x0[

f(x), falls der

”rechte“ Limes existiert.Bezeichnung: linksseitiger Limes von f bei x0.Ist hier zusatzlich x0 ∈ D ∧ lim

x→x0−f(x) = f (x0), so heißt f linksseitig

stetig in x0.f linksseitig stetig:⇔ f linksseitig stetig in allen x0 ∈ D, die linksseitigeHaufungspunkte von D sind.

c) Analog rechtsseitiger Limes, rechtsseitig stetig.

15.14 Folgerungen

a) 15.9 (Folgenkriterium) und 15.11 (Rechenregeln) gelten sinngemaß fur dieLimites (restring.) aus 15.13.

b) Sei x0 ∈ D: f stetig in x0 ⇔ limx→x0x6=x0

f(x) = f (x0) (x0 Haufungspunkt von

D).

c) f linksseitig stetig in x0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D, x0 − δ < x− x0:|f(x)− f (x0)| < εdito fur rechtsseitig stetig.

15.15 Beispiel

f : R→ R, f(x) := [x] (x ∈ R) Dann gilt:

a) f ist stetig in R\Z

80

b) ∀x0 ∈ Z limx→x0+0

f(x) = x0 = f (x0), d. h. f ist auf R rechtsseitig stetig.

c) ∀x0 ∈ Z limx→x0−0

f(x) = x0 − 1 = f (x0) − 1 6= f (x0), d. h. f ist in

keinem x0 ∈ Z linksseitig stetig.

15.16 DefinitionR

Sei D ⊂ R f : D → R, α ∈ R

a) Ist D nicht nach oben beschrankt, so schreibt man:limx→∞x∈D

f(x) = α :⇔ ∀ ε > 0 ∃K > 0 ∀x ∈ D,x > K |f(x)− α| < ε

b) Ist D nicht nach unten beschrankt, so schreibt man:lim

x→−∞x∈D

f(x) = α :⇔ ∀ ε > 0 ∃K > 0 ∀x ∈ D,x < −K

|f(x)− α| < ε

15.17 Folgerung

Das Folgenkriterium und die Rechenregeln gelten wie gehabt.

15.18 Definition

Sei f : D → R, x0 Haufungspunkt von D. Dann heißt:limx→x0x6=x0

f(x) =∞

:⇔ ∀K > 0 ∃U ∈ U (x0) ∀x ∈ D ∩ (U\ {x0}) f(x) > K(⇔ ∀K > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D, 0 < |x− x0| < δ f(x) > K)Analog: lim

x→x0x6=x0

f(x) = −∞,

limx→x0+0

f(x) = ±∞, limx→x0−0

f(x) = ±∞,

limx→±∞

f(x) = ±∞Auch hier: Folgenkriterium und sinngemaß ein Teil der Rechenregeln gelten.

15.19 Beispiele

a) Es seien f, g : R→ R Polynomfunktionen, f(x) =m∑

k=0

akxk,

g(x) =n∑

l=0

blxl, am 6= 0 6= bl. Dann gilt:

limx→∞

f(x)g(x) =

0 fur n > mam

bnfur m = n

∞ fur m > n ∧ (am, bn > 0 ∨ am, bn < 0)−∞ fur m > n ∧ ((am < 0 ∧ bn > 0) ∨ (am > 0 ∧ bn < 0))

81

b) limx→0+0

1x =∞, lim

x→0−0

1x = −∞

82

16 Eigenschaften stetiger Funktionen

16.1 SatzC

Seien f : D → R, g : E → R, f stetig in x0 ∈ D, g stetig in f (x0), f(D) ⊂ E⇒ g ◦ f : D → R, x 7→ g(f(x)) stetig in x0

Beweis: Sei ε > 0 gegeben.g stetig in x0⇒ ∃ δ > 0 ∀ y ∈ E, |y − f (x0)| < δ : |g(y)− g (f (x0))| < εf stetig in x0⇒ Zu diesem δ ∃ η > 0 ∀x ∈ D, |x− x0| < η |f(x)− f (x0)| < δ⇒ ∀x ∈ D, |x− x0| < η |g(f(x))− g (f (x0))| < ε⇒ g ◦ f ist stetig in x0 2

16.2 Konsequenz

Seien f : D → R, g : E → R beide stetig, f(D) ⊂ E⇒ g ◦ f ist stetig.

16.3 Zwischenwertsatz

von Bernhard Bolzano, 1817Es sei f : [a; b] → R stetig und f(a) < 0, f(b) > 0. Dann existiert ξ ∈ [a; b] mitf(ξ) = 0.

Beweis: M := {x ∈ [a; b]; f(x) ≤ 0} ⇒ M ist nach oben beschrankte Menge⊂ R, M 6= ∅, da a ∈ M . Setze dann ξ := supM(∈ [a; b]). Dann ist zu zeigen:f(ξ) = 0. Dazu:

a) Es gilt nicht: f(ξ) < 0: Sonst ware mit f(ξ) < 0⇒ ξ < b, f stetig⇒ Zu ε := 1

2 |f(ξ)| gibt es δ > 0, so dass |f(x) − f(ξ)| < 12 |f(ξ)| = ε

∀x ∈ [a; b] ∩ [ξ − δ; ξ + δ]OBdA sei gleich δ > 0 so klein, dass ξ + δ < b⇒ ∀x ∈ [ξ; ξ+ δ[ f(x) = f(ξ) + f(x)− f(ξ) ≤ f(ξ) + |f(x)− f(ξ)| ≤f(ξ)− 1

2 |f(ξ)| = 12f(ξ) < 0 E, denn ξ ist obere Schranke von M .

b) Es gilt nicht f(ξ) > 0, denn ware f(ξ) > 0, so folgte mit ξ > a, f stetig inξ⇒ ∃ δ > 0 ∀x ∈ [a; b] ∩ [ξ − δ; ξ + δ] |f(x)− f(ξ)| < 1

2f(ξ) =: εSei OBdA gleich δ > 0 so klein, dass a < ξ − δ⇒ ∀x ∈]ξ−δ; ξ] : f(x) = f(ξ)+f(x)−f(ξ) ≥ f(ξ)−|f(x)−f(ξ)| ≥12f(ξ) > 0⇒ ξ ist nicht kleinste obere Schranke von M E

⇒ f(ξ) = 0 2

83

16.4 Bemerkung

ξ = supM ist die großte Nulltstelle von f .Ebenso ist sup {x ∈ [a; b] : ∀ t ∈ [a;x] f(t) < 0} kleinste Nullstelle von f .

16.5 Beispiel

Sei α > 0, f : [0;∞[→ R, f(k) = xk − α (x ≥ 0)⇒ f stetigf(0) = −α < 0, f(α+ 1) => 0⇒ g := f |[0;α+ 1] ist stetig und hat in 0 einennegativen, in α+ 1 einen positiven Wert.16.3⇒ ∃ ξ; 0 < ξ < α+ 1: ξk = αf streng monoton⇒ ξ ist eindeutig bestimmt.Der Zwischenwertsatz liefert erneut die Existenz einer nicht-negativen k-ten Wur-zel aus jeder reellen Zahl.Dies ist auch ein neuer Beweis fur 7.1.

16.6 Satz

Jede Polynomfunktion f : R→ R ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstel-le.

Beweis: Sei gleich f : R→ R Polynomfunktion, gradf := 2n+ 1 (n ≥ 0,

n ∈ Z), OBdA sei gleich f(x) =2n∑

k=0

akxk + x2n+1 ∀x ∈ R

(Beispiel 15.19 mit g := 1 ⇒ limx→∞

f(x) = ∞, Ersetzung f(−x) 7→ f(x) liefert

limx→∞

f(−x) = −∞)

⇒ ∃ a, b ∈ R, a < b, f(a) < 0, f(b) > 0⇒ g := f |[a; b] hat nach 16.3 eine Nullstelle a < ξ < bInsbesondere hat somit f eine Nullstelle 2

16.7 Korollar

Jede Polynomfunktion ungeraden Grades ist surjektiv als f : R→ R.

Beweis: Sei c ∈ R. Man wende an: 16.6 auf f−c anstelle von f . . . (vgl. Ubungs-aufgabe 52) 2

16.8 Definition: Beschranktheit bei FunktionenC

Sei X eine Menge, f : X → R (bzw. C). f heißt beschrankt:⇔ f(X) ⊂ R bzw.C beschrankt⇔ ∃K > 0 ∀x ∈ X |f(x)| < Kanalog: f nach oben / unten beschrankt.

84

16.9 SatzC

Jede auf einem abgeschlossenen Intervall erklarte stetige Funktion f : [a; b] → R(bzw. C) ist beschrankt.

Beweis: indirekt. Annahme: f unbeschrankt⇒ ∀n ∈ N ∃xn ∈ [a; b] |f (xn)| ≥ nxn ∈ [a; b]

11.9⇒ es gibt eine konvergente Teilfolge (xnk)k≥1

k→∞−−−→ c ∈ R[a; b] abgeschlossen⇒ c ∈ [a; b]f stetig⇒ lim

k→∞f (xnk

) = f(c)

10.11⇒ (f (xnk))k≥1 ist beschrankt. E, denn |f (xnk

)| ≥ nk ≥ k ∀ k ≥ 1⇒ Behauptung 2

16.10 Definition: Absolute ExtremaR

Sei M eine Menge, f : M → R, a ∈Mf hat in a ein absolutes Maximum:⇔ ∀x ∈M f(x) ≤ f(a)Analog: absolutes Minimum.

Schreibweise: f(a) = max f(M) bzw. f(a) = min f(M)

16.11 SatzR

Jede auf einem abgeschlossenen Intervall [a; b] erklarte stetige Funktion f : [a; b]→R hat Maximum und Minimum.

Beweis: 16.9⇒ f beschrankt⇒ imf beschrankt⇒ ∃ η := sup f([a; b])⇒ ∃xn ∈ [a; b] f (xn) > η − 1

n (n ∈ N)11.9⇒ ∃ eine konvergente Teilfolge (xnk

)k≥1, so dass limk→∞

xnk= ξ ∈ [a; b]

f stetig in [a; b]15.9⇒ f(ξ) = lim

k→∞f (xnk

) = η

⇒ η ist Maximum von f in ξ (Minimum uber Infimum analog) 2

16.12 Zwischenwertsatz in 2. FassungR

Jede stetige Funktion f : [a; b]→ R hat in [a; b] ein Maximum β := max(f([a; b]))und ein Minimum α := min(f([a; b])) und nimmt jeden Wert zwischen α und βan, d. h. ∀ η ∈ R;α ≤ η ≤ β ∃ ξ ∈ [a; b] f(ξ) = η.

85

Beweis: 16.11 liefert: ∃u, v ∈ [a; b] f(u) = α, f(v) = βIst u = v ⇒ α = β ⇒ fkonstant V

Ebenso ist die Behauptung klar fur η = α ∧ η = β V

Sei α < η < β, u < v, g : [u; v]→ R, g(x) = f(x)− η (x ∈ [u; v])⇒ g stetig, g(u) = α− η < 0, g(v) = β − η > 016.3⇒ ∃ ξ ∈ [u; v] g(ξ) = 0⇒ f(ξ) = ηAnalog fur v < u mit g : [v;u]→ R, g(x) = η − f(x) 2

16.13 Zwischenwertsatz in 3. Fassung

Ist f : [a; b]→ R stetig, so existieren α, β ∈ R: f([a; b]) = {y;α ≤ y ≤ β}

Beweis: Umformulierung von 16.12

16.14 Definition: Monotonie bei Funktionen

Sei D ⊂ R, f : D → R. Dann heißt f (monoton) wachsend genau dann, wenngilt: ∀x, x′ ∈ D,x < x′ f(x) ≤ f (x′)Analog (monoton) fallend, streng (monoton) wachsend / fallend.

16.15 Satz

Es seien I ⊂ R ein Intervall, f : I → R wachsend.⇒ f hat in jedem Punkt x0 ∈ I einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Grenz-wert (falls x0 wirklich rechtsseitiger / linksseitiger Haufungspunkt von I).Es gilt – soweit sinnvoll:

limx→x0−0

f(x) = sup{f(x); x ∈ I; x < x0} ≤ f (x0)

≤ inf{f(x); x ∈ I; x > x0} = limx→x0+0

f(x)

Beweis: Sei x0 linksseitiger HP5 von I , M := {f(x);x ∈ I;x < x0} 6= ∅⇒M hat obere Schranke f (x0)⇔ α := supM existiert und ist ≤ f (x0)Behauptung: α = l − lim

x→x0

f(x)

Begrundung: Sei ε > 0⇒ ∃x′ ∈ I, x′ < x0 f (x′) > α− ε⇒ ∀x : x′ < x < x0 α− ε < f (x′) < f(x) < αδ := x0 − x′ ⇒ ε-δ-Kriterium erfullt⇒ lim

x→x0−f(x) = α

Rechtsseitiger Limes analog 2

5Haufungspunkt

86

Zusatz: In 16.15 gilt: f stetig⇔ f(I) einelementig oder ein zusammenhangen-des Intervall.

Beweis:

”⇒“ Wahle an, bn ∈ I; an < bn, an fallend, bn wachsend mit I =∞⋃

n=1[an; bn]

⇒ f(I) =∞⋃

n=1f ([an; bn]) einelementig oder Intervall nach 16.13. 2

”⇐“ Sei f in x0 ∈ I unstetig. Dann existieren drei Moglichkeiten:

a) x0 ist links- und rechtsseitiger HP von I16.15⇒ sup {f(x);x ∈ I;x < x0} < inf {f(x);x ∈ I;x > x0}Wegen f monoton folgt: f(I) ist nicht einelementig und kein zusam-menhangendes Intervall.

b) x0 ist linker Eckpunkt von I16.15⇒ f (x0) < inf {f(x);x ∈ I;x > x0} Es. o.

c) x0 ist rechter Eckpunkt von I16.15⇒ f (x0) > sup {f(x);x ∈ I;x < x0} E

⇒ Behauptung 2

16.16 Satz

Seien I ⊂ R Intervall, f : I → R stetig. Dann gilt: Die Abbildung I → f(I), x 7→f(x) ist bijektiv genau dann, wenn f streng monoton ist.

Beweis:

a) f streng monoton ⇒ f injektiv⇒ die Abbildung ist bijektiv, da sie nachDefinition surjektiv ist.

b) Sei f : I → f(I) bijektiv und a, b ∈ I , a < b⇒ f(a) 6= f(b) OBdA sei gleich f(a) < f(b)Sei a < x < b. Wir zeigen: f(a) < f(x) < f(b)Begrundung: Annahme: f(x) /∈]f(a); f(b)[f bijektiv⇒ f(x) < f(a) ∨ f(x) > f(b)Sei etwa f(x) < f(a). Wende den Zwischenwertsatz (16.3) an auf f |[x; b]⇒ ∃ ξ f(ξ) = f(a) E, da f bijektiv.Analog f(x) > f(b)

⇒ ∀ a, b ∈ I mit a < b ist f |[a; b] streng monoton 2

87

16.17 Satz

Sei I ⊂ R Intervall, f : I → R stetig und streng monoton wachsend bzw. fallend.⇒ J := f(I) ist ein Intervall und die Abbildung f : I → J ist bijektiv.f−1 : J → I, f−1(y) = x, falls y ∈ J, y = f(x) fur x ∈ I ist stetig und strengmonoton wachsend bzw. fallend wie f .

Beweis: Zusatz zu 16.15⇒ f streng monoton und stetig⇒ J ist Intervall, f : I → J bijektiv⇒ g := f−1 ist sinnvoll und bijektiv.Sei gleich f streng monoton wachsend.Behauptung: Dann ist auch g streng monoton wachsend.Begrundung: Seien y, y′ ∈ J, y < y′, Dann existieren eindeutig bestimmte x, x′ ∈I mit f(x) = y, f(x′) = y′

Wegen f streng wachsend gilt: x < x′ ⇒ y < y′ ⇒ g(y) < g(y′)Nun ist aber g(J) = I (Intervall)⇒ g stetig nach Zusatz zu 16.15. 2

16.18 Beispiel

Sei n ∈ N, f : [0;∞[→ R, f(x) = xn (x ≥ 0). Dann ist f streng monotonwachsend und stetig.

f([0;∞[) = [0;∞[16.17⇒ f−1 : [0;∞[→ R, f−1(x) = n

√x (x ≥ 0) ist ebenfalls

streng monoton wachsend und stetig.

16.19 Beispiel

Fur jedes r ∈ Q, r > 0 ist h : [0;∞[→ R, h(x) = xr (x ≥ 0) streng monotonwachsend und stetig.

Beweis: Sei r = mn (m,n ∈ N). Dann ist mit g : [0;∞[→ R, g(x) = r

√x =

n√xm

h = gm, d. h. [0;∞[g stetig→ [0;∞[

n-te Potenz stetig→ [0;∞[x 7→ n

√x 7→ ( n

√x)m ist Verkettung stetiger

Funnktionen und somit stetig (monoton sowieso) 2

88

17 Potenzreihen

∞∑

n=0anx

n: Potenzreihe∞∑

n=0xn = 1

1−x (|x| < 1) exp(x) =∞∑

n=0

xn

n! (x ∈ R)

17.1 Abelsches Lemma

benannt nach Nils-Hendrik Abel (1802-1829)

Gegeben sei die Potenzreihe∞∑

n=0anz

n (an ∈ C fest) und k ∈ Z, k ≥ 0. Ferner sei

0 6= w ∈ C so beschaffen, dass die Folge (anwn)n≥0 beschrankt ist; sei 0 < r <

|w|. Dann konvergiert die Reihe∞∑

n=0nkanz

n fur alle z ∈ C mit |z| ≤ r absolut und

fur alle z ∈ C mit |z| ≤ r ist die Reihe∞∑

n=0nk |an| rn eine konvergente Majorante

von∞∑

n=0nkanz

n

Spezialfall:∞∑

n=0zn, an = 1 ∀n w = 1

Erlauterungen: Uber R darf in 17.1 frei verfugt werden, es muss nur 0 < r <|w| sein. Ist nun z ∈ C, |z| < |w|, so wahle man r := |z| (oder r := 1

2(|z|+ |w|)).

Beweis: Wahle ρ > 0 mit 0 < ρ < |w|, z. B. ρ = 12(r + |w|). Sei |z| ≤ r. Dann

zeige:∞∑

n=0nk |an| rn ist konvergente Majorante zu

∞∑

n=0nkanz

n.

Begrundung: Setze q := rρ ∈]0; 1[⇒

∣∣nkanz

n∣∣ ≤ nk |an| rn

= |anwn|︸︷︷︸

≤:K

nk(ρ|w|

)n (rρ

)n

n

√

nk(ρ|w|

)n=(

n√n)k

︸︷︷︸n→∞−−−→1

ρ

|w|︸︷︷︸

<1

n→∞−−−→ ρ|w| < 1

⇒ ∃n0 ∀n > n0n

√

nk(ρ|w|

)n< 1

⇒ ∃L > 0 ∀n ≥ 0 nk(ρ|w|

)n≤ L

Ergebnis: ∀n ≥ 0∣∣nkanz

n∣∣ ≤ nk |an| rn < K · L · qn

⇒ Die geometr. Reihe∞∑

n=0qn ist konvergente Majorante von

∞∑

n=0nk |an| rn 2

89

17.2 Korollar

Ist (anwn)n≥0 fur ein von 0 verschiedenesw ∈ C beschrankt und z ∈ C, |z| < |w|,so konvergiert nach 17.1 die Reihe

∞∑

n=0anz

n absolut.

Die Beschranktheitsvoraussetzung bezuglich w ist speziell dann erfullt, wenn∞∑

n=0anw

n konvergiert.

Beweis: k = 0 in 17.1 2

17.3 Beispiele

a) Die geometr. Reihe∞∑

n=0zn mit w = 1 liefert eine beschrankte Folge an

︸︷︷︸

=1

wn

⇒ Reihe konvergiert fur |z| < 1.

b)∞∑

n=0z(n

2), d. h. an2 = 1 ∀n ≥ 0, ak = 0, falls k ∈ N\{n2;n ∈ Z;n ≥ 0

}

hat fur |z| < 1 die geometr. Reihe als konvergente Majorante, sie konvergiertalso fur |z| < 1.Fur |z| ≥ 1 ist

(

zn2)

n≥0keine Nullfolge, die Reihe also divergent.

c) Sei k ∈ Z⇒∞∑

n=1nkzn konvergiert fur |z| < 1, denn

n√

nk |zn| = ( n√n)k · |z| n→∞−−−→ |z|

⇒ ∃n0 ∀n ≥ n0n√

nk|z|n ≤ q (0 < q < 1), z. B. q := 12(1 + |z|)

⇒ Konvergenz fur |z| < 1Fur |z| > 1 gilt: n

√

nk |zn| n→∞−−−→ |z| > 1⇒ ∃n0 ∀n ≥ n0

n√

nk |zn| > 1⇒ Divergenz fur |z| > 1Fur |z| = 1 (auf dem Konvergenzkreis) hangt die Konvergenz von Koeffizi-enten ab, d. h. von k:k ≥ 0⇒ Divergenz ∀ z mit |z| = 1, aber keine absolute Konvergenzk = −1 ⇒ Divergenz fur z = 1, Konvergenz fur z = −1, Konvergenz fur|z| > 1, z 6= 1k ≤ 2⇒ Absolute Konvergenz fur |z| = 1

17.4 Satz

Zu jeder Potenzreihe∞∑

n=0an (z − z0)n (z0 ∈ C fest, an ∈ C fest, z ∈ C) gibt

es einen eindeutig bestimmten Konvergenzradius R ∈ [0;∞[∪{∞}, so dass gilt:∞∑

n=0an (z − z0)n konvergiert absolut ∀ z, |z − z0| < R (d. h. absolute Konvergenz

90

in C fur R = ∞) und divergiert ∀ z, |z − z0| > R (leere Aussage fur R = ∞).Keine Konvergenzaussage fur |z − z0| = R.Es gilt: R =”sup“

{

ρ > 0; (anρn)n≥0 beschrankt

}

, wobei diese Gleichung wiefolgt zu verstehen ist:Ist die Menge nach oben beschrankt, so ist R = sup {ρ > 0; (anρ

n) beschrankt}.Ist dagegen die Menge nicht nach oben beschrankt, so setze R :=∞ (formal).

Beweis: Ist die Folge (anρn)n≥0 beschrankte Folge fur jedes ρ > 0, so ist die

Behauptung klar nach 17.2.Sei nun M :=

{

ρ ≥ 0; ρ ∈ R; (anρn)n≥0 beschrankt

}

eine nach oben beschrank-te Teilmenge⊂ R, R := supM (M 6= ∅, da stets 0 ∈M ).Behauptung: R hat die geforderten Eigenschaften.Begrundung:

a) Sei z ∈ C, |z − z0| < R⇒ ∃ ρ ∈M mit |z − z0| < ρ < R17.2⇒

∞∑

n=0an (z − z0)n konvergiert absolut.

b) Sei z ∈ C, |z − z0| > R⇒ (an (z − z0)n)n≥0 unbeschrankt

⇒∞∑

n=0an (z − z0)n divergiert 2

Der Kreis KR (z0) := {z ∈ C; |z − z0| < R} heißt Konvergenzkreis von∞∑

n=0an (z − z0).

17.5 Beispiele:

a)∞∑

n=0nnzn: R = 0, d. h. Reihe konvergiert fur z = 0

b)∞∑

n=0zn: R = 1

c)∞∑

n=0c−nzn (c ∈ C, c 6= 0): R = |c|

d)∞∑

n=0n−nzn: R = ∞, denn fur n > 2|z| ist |n−nzn| < 1

2n . Das Majoranten-

kriterium liefert dann die Konvergenz.

17.6 Cauchy-Hadamardsche Formel

Die Potenzreihe∞∑

n=0an (z − z0)n hat den Konvergenzradius R = 1

limn→∞

n√

|an|, wo-

bei folgende Konventionen getroffen sind:

91

limn→∞

cn := ∞, falls (cn)n≥0 nicht nach oben beschrankt ist ⇒ R = 0 =: 1∞ .

Formal hier 10 :=∞

Beweis: Sei 0 < limn→∞

n√

|an| <∞

a) Sei 0 < ρ < 1

limn→∞

n√

|an|⇒ 1

ρ > limn→∞

n√

|an|

11.11 a)⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n01ρ <

n√

|an|⇒ (anρ

n)n≥0 beschrankt⇒ ρ ≤ R, d. h. 1

limn→∞

n√

|an|≤ R

b) Sei ρ > 0; ρ > 1

limn→∞

n√

|an|⇒ lim

n→∞n√

|an| > 1ρ

⇒ ∀N ∈ N ∃n ∈ N, n ≥ N n√

|an| > 1ρ

⇒ (anρn)n≥0 keine Nullfolge

⇒ ρ ≥ R, d. h. 1

limn→∞

n√

|an|≥ R

Zusammen: R = 1

limn→∞

n√

|an|

Die Falle limn→∞

n√

|an| = 0 bzw. limn→∞

n√

|an| =∞ analog 2

Multiplikation unendlicher Reihen: Gegeben seien∞∑

n=0an und

∞∑

n=0bn

Die formale Multiplikation liefert folgende Summanden:a0b0 a0b1 a0b2 . . .a1b0 a1b1 a1b2 . . .a2b0 a2b1 a2b2 . . ....

......

. . .

Eine Form der Anordnung bietet sich an fur Potenzreihen∞∑

n=0anz

n ·∞∑

n=0bnz

n:

a0b0z0 + (a0b1 + a1b0) z

1 + (a0b2 + a1b1 + a2b0) z2 + . . .

=∞∑

n=0(a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0) z

n

17.7 Definition: Cauchyprodukt∞∑

n=0cn mit cn :=

n∑

k=0

akbn−k heißt das Cauchy-Produkt von∞∑

n=0an und

∞∑

n=0bn.

17.8 Satz

Sind∞∑

n=0an und

∞∑

n=0bn zwei absolut konvergente Reihen, so konvergiert auch ihr

Cauchy-Produkt absolut, und es gilt:

92

∞∑

n=0an ·

∞∑

n=0bn =

∞∑

n=0cn mit cn wie oben.

Beweis: Setze sn :=n∑

k=0

ak, tn :=n∑

k=0

bk, un :=n∑

k=0

ck.

Zeige:

|sn · tn − un| =

∣∣∣∣∣∣

n∑

k=0

ak ·n∑

l=0

bl −n∑

m=0

m∑

k=0

akbm− k︸︷︷︸

=l

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∑

0≤k≤n0≤l≤n

akbl −∑

0≤k,l≤nk+l≤n

akbl

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∑

0≤k,l≤nk+l>n

akbl

∣∣∣∣∣∣∣∣

= |a1bn + a2 (bn−1 + bn) + a3 (bn−2 + bn−1 + bn) + . . .+ an (b1 + . . .+ bn)|

≤(

|a1|+ |a2|+ . . .+∣∣∣a[n

2 ]

∣∣∣

) (

|bn|+ |bn−1|+ . . .+∣∣∣b[n

2 ]+1

∣∣∣

)

+(∣∣∣a[n

2 ]+1

∣∣∣+ . . .+ |an|

)(

|b1|+ . . .+∣∣∣b[n

2 ]

∣∣∣

)

≤( ∞∑

k=1

|ak|)

︸︷︷︸

feste Konstante

∞∑

l=[n2 ]+1

|bl|

+

( ∞∑

l=1

|bl|)

︸︷︷︸

feste Konstante

∞∑

k=[n2 ]+1

|ak|

< ε

Beachte: Absolute Konvergenz ∀n ≥ n0(ε) wg. Cauchy-Kriterium.

⇒∞∑

n=0cn konvergiert gegen

∞∑

n=0an ·

∞∑

n=0bn.

Ersetzung von an durch |an| und bn durch |bn| ist zulassig.

⇒ |cn| ≤n∑

k=0

|ak| |bn−k|, d. h.:∞∑

n=0cn hat das Cauchy-Produkt als konvergente

Majorante, ist also absolut konvergent.

17.9 Multiplikationssatz fur Potenzreihen

Es seien f(z) :=∞∑

n=0an (z − z0)n fur |z − z0| < Rf (Konvergenz-Radius),

g(z) :=∞∑

n=0bn (z − z0)n fur |z − z0| < Rg zwei Potenzreihen mit Konvergenz-

Radien Rf , Rg > 0 und sei cn :=n∑

k=0

akbn−k fur n ≥ 0.

Dann hat h(z) :=∞∑

n=0cn (z − z0)n fur |z − z0| < Rh einen Konvergenzradius

Rh ≥ min (Rf ;Rg) und fur |z − z0| < min (Rf ;Rg) gilt: h(z) = f(z) · g(z).

93

Beweis: Fur |z − z0| < min (Rf ;Rg) konvergieren f(z) und g(z) absolut nach17.4. Ferner ist h(z) das Cauchy-Produkt der Reihen.17.5⇒ h(z) konvergiert fur |z − z0| < min (Rf ;Rg) und h(z) = f(z) · g(z) fur|z − z0| < min (Rf ;Rg)17.4⇒ h(z) hat Konvergenzradius Rh ≥ min (Rf ;Rg) . 2

17.10 Beispiele

a) f(z) =∞∑

n=0anz

n, mit an := 1 ∀n g(z) = b0 = 1 − z ⇒ Rf =

1, Rg =∞c0 = 1, cn =

n∑

k=0

ak︸︷︷︸

alle1

bn−k︸︷︷︸

fast alle 0

= 0 ∀n ≥ 1

⇒ h(z) = 1 Rh =∞( ∞∑

n=0zn)

(1− z) = 1 fur |z| < 1: Das ist die bekannte Summenformel fur

die geometrische Reihe.

b) f(z) = g(z) =∞∑

n=0zn (|z| < 1)

⇒ an = bn = 1 (n ≥ 0)⇒ cn = n+ 1

⇒(

11−z

)2=

( ∞∑

n=0zn)2

=∞∑

n=0(n+ 1)zn

17.11 Satz

Sei∞∑

n=0an (z − z0)n eine konvergente Potenzreihe mir Konvergenzradius R > 0.

Dann ist f : KR (z0) → C, f(z) =∞∑

n=0an (z − z0)n (|z − z0| < R) eine

stetige Funktion.

Beweis: Sei a ∈ KR (z0). Wir zeigen: f ist stetig in a.Wahle r > 0 mit |a− z0| < r < R. Sei jetzt z ∈ Kr (z0). Dann gilt:

|f(z)− f(a)| =∣∣∣∣

∞∑

n=0an ((z − z0)n − (a− z0)n)

∣∣∣∣

Setze jetzt z′ := z − z0, a′ := a− z0. Dann istz′n − a′n = (z′ − a′)

(z′n−1 + z′n−2a′ + . . .+ a′n−1

)

1.7= |z − a|

∣∣∣∣∣∣∣

∞∑

n=1an(z′n−1 + z′n−2a′ + . . .+ z′a′n−2 + a′n−1

)

︸︷︷︸

|...|≤n·rn−1

∣∣∣∣∣∣∣

94

≤( ∞∑

n=1

n |an| rn−1

)

︸︷︷︸

konv. nach 17.1feste Konstante

(|z − a|) fur alle z ∈ Kr (z0)

≤M |z − a|Sei ε > 0, δ > 0 so klein, dass δ < ε

M ; δ < r − |a− z0|.Dann gilt mit f stetig in a: ∀ z ∈ Kδ(a): |f(z)− f(a)| < ε 2

95

18 Die Exponentialfunktion

18.1 Satz

Die Exponentialreihe (John Isaac Newton, 1676)∞∑

n=0

zn

n! konvergiert ∀ z ∈ C ab-

solut und definiert die Exponentialfunktion exp : C→ C; exp(z) =∞∑

n=0

zn

n!

Die Exponentialfunktion ist stetig auf C nach 17.11 und genugt der Funktional-gleichung:exp(z + w) = exp(z) · exp(w) (z, w ∈ C)!!

Beweis: Quotientenkriterium. Sei t 6= 0. Fur alle n ≥ λ|z| gilt:∣∣∣zn+1

(n+1)! · n!zn

∣∣∣ =

∣∣∣z

n+1

∣∣∣ < 1

2

Nach dem Quotientenkriterium (12.18) folgt: Die Reihe konvergiert fur alle z ∈ C,fur den Konvergenzradius R gilt also: R =∞.Die Stetigkeit der Funktion ist klar nach 17.11.

Funktionalgleichung: an := zn

n! , bn := wn

n! , cn :=n∑

k=0

akbn−k (Cauchy-Produkt).

⇒ cn =

(n∑

k=0

zkn!wn−k

k!(n−k)!

)

1n! = (z+w)n

n! , i.e. der n-te Term der Reihe fur exp(z+w)

17.8⇒ exp(z) · exp(w) =∞∑

n=0an ·

∞∑

n=0bn =

∞∑

n=0cn = exp(z + w) 2

18.2 Satz

Es gilt:

a) exp(0) = 1, exp(1) =∞∑

n=0

1n! = e

b) exp(z) 6= 0 ∀ z ∈ C

c) exp(−z) = 1exp(z) ∀ z ∈ C

d) exp(z) = exp(z) ∀ z ∈ C

Beweis:

a) exp(0) = 00

0! = 11 = 1; exp(1) =

∞∑

k=0

1n! = e nach 12.5

b) exp(z) · exp(−z) = exp(0) = 1

c) siehe b)

96

d) klar, denn fur jede konvergente Reihe∞∑

n=0an (an ∈ C) konvergiert auch

∞∑

n=0an gegen

∞∑

n=0an, da die Konjugation: C→ C; z 7→ z stetig ist. 2

18.3 Satz

Die reelle Exponentialfuntion exp : R → R; x 7→ exp(x) (x ∈ R) erfullt dieFunktionalgleichung exp(x+ y) = exp(x) · exp(y) (x, y ∈ R).speziell: exp(−x) = 1

exp(x) (x ∈ R) und es gilt:

a) exp(x) > 0 ∀x ∈ Rexp(x) > 1 ∀x > 0exp(x) < 1 ∀x < 0

b) exp : R→ R ist streng monoton wachsend.

c) limx→∞

exp(x) =∞lim

x→−∞exp(x) = 0

d) exp(R) =]0;∞[

Beweis: Fur x ∈ R ist auch exp(x) =∞∑

n=0

xn

n! ∈ R, also exp : R→ R sinnvoll.

a) Fur x > 0 ist exp(x) ≥ 1 + x > 1,fur x < 0 daher exp(x) = 1

exp(−x) > 0 und < 1 wegen exp(−x) > 1.

b) Seien x, x′ ∈ R, x < x′

⇒ exp(x′) = exp(x+ (x′ − x)) = exp(x)︸︷︷︸

>0

· exp(x′ − x︸︷︷︸

>0

)

︸︷︷︸

>1

> exp(x)

c) Fur x > 0 ist exp(x) > 1 + x, also limx→∞

exp(x) =∞.

Wegen exp(x) = 1exp(−x) (x ∈ R) folgt: lim

x→−∞exp(x) = 0

d) klar nach c) und Zwischenwertsatz (16.3) 2

18.4 Satz

Fur alle x > 0, n ≥ 0 gilt:

a) exp(x) >n∑

k=0

xk

k! .

b) speziell gilt fur jede Polynomfunktion f : R→ R:limx→∞

f(x)exp(x) existiert und ist < 1.

D. h. die Exponentialfunktion wachst schneller als jedes Polynom.

97

Beweis:

a) klar nach Definition der Potenzreihe.

b) Fur f = 0 klar.Sei f 6= 0. Wahle in a) n := gradf + 1

⇒∣∣∣f(x)

exp(x)

∣∣∣ ≤ |f(x)|

n∑

k=0

xk

k!

(∀x > 0)x→∞−−−→ 0 nach 15.17 2

18.5 Satz

∀x ∈ R gilt: exp(x) ≥ 1 + x , wobei ”=“ nur fur x = 0 gilt, d. h. exp(x) istkonvex.

Beweis:

a) x > 018.4⇒ mit n := 1 Behauptung.

b) x = 0⇒ Behauptung

c) −1 < x < 0

⇒ exp(x) =∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x+

∞∑

k=1

x2k

(2k)!+

x2k+1

(2k + 1)!︸︷︷︸

>0 wg. −1<x<0

> 1 + x

d) x ≤ −1⇒ exp(x) > 0 ≥ 1 + x 2

18.6 Satz

Fur alle r ∈ Q ist exp(r) = er.

Beweis:

a) exp(n) = en ∀n ∈ Z;n ≥ 0Begrundung: Induktion uber n:n = 0 : exp(0) = 1 = e0

n → n + 1 : Sei Beh. fur n richtig. exp(n + 1) = exp(n) · exp(1) =en · e = en+1

2

b) exp(n) = en ∀n ∈ ZBegrundung: n ≥ 0: siehe oben.

Sei n < 0⇒ exp(n)18.3= 1

exp(−n)

a)= 1

e−n = en 2

98

c) exp(r) = er ∀ r ∈ QBegrundung: Sei r = m

n m,n ∈ Z, n > 0

⇒ (exp(r))n =(

exp(m

n

))n= exp

(m

n

)

· . . . · exp(m

n

)

= exp(

n · mn

)

= exp(m)b)= em = (er)n

⇒ exp(r) = er wegen exp(x) positiv 2

18.7 Korollar

Die Definition ez := exp(z) (z ∈ C) ist sinnvoll, denn sie stimmt fur z ∈ Q

nach 18.6 mit der Definition aus 7.6 uberein, und es gilt:

a) ez+w = ez · ew ∀ z, w ∈ C, speziell fur ex+y = ex · ey ∀x, y ∈ R

b) ez 6= 0 ∀ z ∈ C, e−z = 1ez ∀ z ∈ C

c) ez = ez ∀ z ∈ C

d) ex > 0 ∀x ∈ R, die Abbildung R → R, x 7→ ex ∈]0;∞[ bildet R stetigund streng monoton wachsend auf ]0;∞[ ab.

e) limn→∞

xn

ex = 0 ∀n ∈ N

f) ex ≥ 1 + x ∀x ∈ R, ex = 1 + x nur fur x = 0

Beweis: Zusammenfassung von 18.1 bis 18.6.

99

19 Logarithmus und allgemeine Potenz

19.1 Satz

Die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion R 3 x 7→ ex ∈]0;∞[ (bijek-tiv) ist stetig und streng monoton wachsend und heißt (naturlicher) Logarithmuslog :]0;∞[→ R; t 7→ log t (andere Bezeichnung: ln t). Es gilt:elog t = t (t > 0)log (ex) = x (x ∈ R)log(x · y) = log x+ log y (x, y > 0)Warnung: Das geht so nur uber R, da auf C exp(x) periodisch ist.

Beweis: 16.17 liefert strenge Monotonie und Stetigkeit der Umkehrfunktion.Seien x, y > 0⇒ ∃ eindeutig bestimmte u, v ∈ R mit x = eu, y = ev

⇒ log(x · y) = log (eu · ev) = log (eu+v) = u+ v = log x+ log y 2

19.2 Eigenschaften des Logarithmus

a) log 1 = 0, log e = 1

b) limx→∞

log x =∞, limx→0

log x = −∞

c) log 1x = − log x (x > 0)

d) 1− 1x ≤ log x ≤ x− 1 (x > 0) ”=“ nur fur x = 1

Beweis:

a) klar nach oben.

b) klar nach oben.

c) klar nach oben.

d) ∀ t ∈ R gilt nach 18.5: et ≥ 1 + t.Setze hier: t := log x (x > 0)⇒ elog x ≥ 1 + log x⇔ x− 1 ≥ log x ”=“ nach 18.6 nur fur x = 1.Ersetze hier x durch 1

x⇒ − log x ≤ 1

x − 1⇔ log x ≥ 1− 1x

Auch hier gilt nach 18.6 ”=“ nur fur x = 1 2.

19.3 Satz

Sei a > 0. Dann gilt: log ar = r · log a (r ∈ Q)

100

Beweis:

a) Behauptung fur alle ganzen r ≥ 1 laut Funktionalgleichung mittels Indukti-on.

b) Fur n ∈ Z, n < 0 : log an = − log 1a−n = − log a−n

a)= n · log a

c) Sei r ∈ Q, r = mn ;m,n ∈ Z, n > 0

⇒ n · log ar = log (ar)n = log am = m · log a⇒ log ar = m

n log a = r · log a 2

19.4 Satz

Sei a ∈ R, a > 0. Dann gilt fur alle r ∈ Q (nach 19.3): ar = er·log a (Hier ist ar

definiert wie in 7.6). Daher ist fur x ∈ R die Definition ax = ex·log a (allgemeinePotenz) sinnvoll und es gilt:

a) Die Funktion R 3 x 7→ ax ∈]0;∞[ ist stetig und streng monoton wachsendfur a ≥ 1, konstant = 1 fur a = 1 bzw. streng monoton fallend fur 0 < a <1.Es gilt: log ax = x · log a (x ∈ R)

b) ax+y = ax · ay (x, y ∈ R), speziell a−x = 1ax =

(1a

)x

c) (ax)y = ax·y (x, y ∈ R)

d) (a · b)x = ax · bx (a, b > 0;x ∈ R)

Beweis:

a) klar.

b) Im Wesentlichen klar, a−x = e−x·log a = ex·log1a = elog(

1a)

x

=(

1a

)x

c) (ax)y = ey·log ax

= ey·x log a = axy

d) (a · b)x = ex·log abex·(log a+log b) = ax · bx 2

19.5 Satz

Sei a > 0, a 6= 1. Die Umkehrfunktion der Funktion: R 3 x 7→ ax ∈]0;∞[ iststetig und fur a > 0 streng monoton wachsend, fur a < 1 streng monoton fallendund heißt Logarithmus zur Basis a: loga :]0;∞[→ R; t 7→ loga t bijektiv. Esgilt:

a) aloga t = t (t > 0) loga ax = x (x ∈ R)

b) loga 1 = 0 loga a = 1

101

c) loga(x · y) = loga x+ loga y (x, y > 0)

d) loga (xα) = α · loga x (x > 0, α ∈ R)

e) Ist ferner b > 0, b 6= 1, so gilt:∀x > 0 logb x = (logb a) (loga x), speziell: logb a = 1

loga b

Beweis:

a) klar.

b) klar.

c) folgt aus e) mit b = e und 19.1

d) folgt aus e) mit b = e und 19.4

e) c)⇒ b(logb a)(loga x) =(blogb a

)loga x = aloga x = x = blogb x 2

19.6 Satz

Fur jedes α ∈ R ist die Funktion fα :]0;∞[→ R, fα(x) = xα stetig und strengmonoton wachsend fur α > 0, konstant = 1 fur α = 0 und streng monoton fallendfur α < 0. Fur α 6= 0 ist f 1

αdie Umkehrfunktion.

Beweis: fα(x) = eα·log x ⇒ Behauptung 2

19.7 Satz

a) Der Logarithmus wachst fur x→∞ schwacher als jede Potenz xα (α > 0),d. h. lim

x→∞log xxα = 0 (α > 0)

b) Der Logarithmus wachst fur x→ 0 schwacher als jede Potenz x−α (α > 0),d. h. lim

x→0xα · log x = 0 (α > 0)

Beweis:

a) Sei α > 0, n ∈ N mit 1n < α, ε > 0. Nach 18.4∃K > 0, y

n

ey < ε (y > K).Setze y := log x⇒ (log x)n

x < εn (x > eK)⇒ log x

xα ≤ log x

x1n< ε (x > eK)

⇒ Behauptung

b) folgt aus a) bei Ersetzung x 7→ 1x 2

102

19.8 Beispiele

a) log n√n = 1

n log nn→∞−−−→ 0 nach 19.7 wegen ex stetig

⇒ n√n

n→∞−−−→ 1 (vgl. 10.9 f))Sei c > 0 : c

1n = e

1n

log c n→∞−−−→ 1 (vgl. 10.14 c))

b) xx = ex·log xx→+0−−−−→ 1 (nach 19.7 b)), d. h. lim

x→0+xx = 1

19.9 Satz

Fur alle x ∈ R gilt: limn→∞

(1 + x

n

)n= ex

Beweis: 19.2 d)⇒ t−1t ≤ log t ≤ t− 1 ∀ t > 0

t 7→ t+ 1⇒ tt+1 ≤ log(1 + t) ≤ t ∀ t > −1

Sei x ∈ R, n ≥ n0 := [x] + 1⇒∣∣∣xn0

∣∣∣ < 1 und fur alle n ≥ n0 gilt mit t = x

n :

xn

x+nn

≤ log(

1 +x

n

)

≤ x

n

⇒ nx

x+ n≤ log

((

1 +x

n

)n)

≤ x

⇒ enx

x+n︸︷︷︸

n→∞−−−→ex

≤(

1 +x

n

)n≤ ex. 2

19.10 Satz

∀x > 0 gilt: limn→∞

n · ( n√x− 1) = log x

Beweis: 19.2 d)⇒ x−1x ≤ log x ≤ x− 1 (x > 0)

x 7→ n√x⇒ n

√x−1n√x≤ log x ≤ n ( n

√x− 1)

⇒ log x ≤ n ( n√x− 1) ≤ n

√x log x ∀x > 0 2

103

20 Winkelfunktionen

20.1 Satz

∀x ∈ R :∣∣eix∣∣ = 1

Beweis:∣∣eix∣∣2 = eix · eix = eix · eix x∈R

= eix · e−ix = e0 = 1.Geometrische Deutung: ∀x ∈ R liegt eix

x

{

{ {cos x

sin x

eix

Abbildung 1: Geometr. Deutung

auf der Einheitskreislinie. Dabei ist x die orien-tierte Bogenlange des Kreisbogens von 1 nacheix, d. h. orientierte Lange des Bogens{ {

eit : 0 ≤ t ≤ x}

fur x ≥ 0{eit : 0 ≥ t ≥ x

}fur x ≤ 0

,

(siehe dazu auch Abb. 1)Im Detail beweisen wir das in Analysis II.

20.2 Definition: Sinus, Cosinus

Fur x ∈ R sei cosx := Re eix sinx := Im eix, siehe Abb. 1.

20.3 Eulersche Formeln

Fur alle x ∈ R gilt:

cosx =1

2

(eix + e−ix

), sinx =

1

2i

(eix − e−ix

)

eix = cosx+ i sinx e−ix = cosx− i sinx

Beweis: eix = Re eix + iIm eix = cosx+ i sinxe−ix = Re e−ix + iIm e−ix = Re

(

eix)

+ iIm(

eix)

= Re eix − iIm eix =

cosx− i sinx⇒ cosx = 1

2

(eix + e−ix

)sinx = 1

2i

(eix − e−ix

)2

20.4 Satz

cos : R→ R ist gerade Funktion, d. h. cos(−x) = cos(x)sin : R→ R ist ungerade Funktion, d. h. sin(−x) = − sin(x)sin2 x+ cos2 x = 1 (x ∈ R)

Beweis: cosx = 12

(eix + e−ix

)⇒ cos(−x) = 1

2

(e−ix + eix

)= cosx

sinx = 12i

(eix − e−ix

)⇒ sin(−x) = − 1

2i

(e−ix − eix

)= − sinx

cos2 x+ sin2 x =∣∣eix∣∣2 = 1 nach 20.1 2

104

20.5 Satz

Cosinus und Sinus sind stetig.

Beweis: Klar nach 20.3, da die Exponentialfunktion stetig ist.

20.6 Additionstheoreme

Fur alle x, y ∈ R gilt:cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin ysin(x+ y) = sinx cos y + cosx sin y

Beweis: cos(x+ y) + i sin(x+ y) = ei(x+y) = eix · eiy= (cosx+ i sinx)(cos y + i sin y)= cosx cos y − sinx sin y + i(cosx sin y + sinx cos y) 2

Folgerung: 20.6 mit 20.4⇒ cos(x− y) = cosx cos y + sinx sin y,sin(x− y) = sinx cos y − cosx sin y

20.7 Korollar

sin(2x) = 2 sinx cosxcos(2x) = cos2 x− sin2 x = 1− 2 sin2 x = 2 cos2 x− 1 2

20.8 Korollar

∀x, y ∈ R ist sinx− sin y = 2 cos(x+y

2

)sin(x−y

2

)

cosx− cos y = −2 sin(x+y

2

)sin(x−y

2

)

Beweis: sinx− sin y = sin(x+y

2 + x−y2

)− sin

(x+y2 −

x−y2

)

= 2 cos(x+y

2

)sin(x−y

2

)

cosx− cos y dito. 2

20.9 SatzC

Fur alle x ∈ R gilt:

cosx =∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!= 1− x2

2+x4

24. . .

sinx =∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!= x− x3

6+

x5

120. . .

105

Beweis:

eix =∞∑

n=0

(ix)n

n!=

∞∑

n=0

(ix)2n

(2n)!+

∞∑

n=0

(ix)2n+1

(2n+ 1)!

Diese Umordnung ist moglich, da die Reihe absolut konvergent ist.

=

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!+ i

∞∑

n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!= cosx+ i sinx 2

20.10 Korollar

limx→0x6=0

sinx

x= 1

Beweis: Fur x 6= 0 ist sinxx =

∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n+ 1)!︸︷︷︸

Pot.-Reihe kvgt. fur x∈R

stetig auf R nach 17.11⇒ limx→0x6=0

sinxx = 1 (Wert der Reihe in 0) 2

Motivation: π ist Ludolphsche Zahl – benannt nach Ludolph von Ceulen (1540-1610) – π

2 ist kleinste positive Nullstelle des Cosinus, zur Einfuhrung von π beimanalytischen Zugang:

20.11 Satz

Es gibt genau eine reelle Zahl π > 0 (die ludolphsche Zahl π = 3, 141592653 . . .)mit folgenden Eigenschaften:

a) cos π2 = 0, 0 < π2 < 2

b) cosx > 0, 0 ≤ x < π2

Beweis:

i) cos 0 = 1 ist klar.

ii) cos 2 < 0, denn ∀n ≥ 1 : 2 2n(2n)! > 2 2n+2

(2(n+1))!

(2n+ 1)(2n+ 2) > 4

⇒ cos 2 =∞∑

n=0(−1)n 22n

(2n)! = 1− 42 +

∞∑

n=2

22n

(2n)!︸︷︷︸

mon. Nullfolge︸︷︷︸

≤1. Term d. Reihe: s. 12.15 Zus.

≤ 1− 2 + 24

4! = −13

106

⇒M := {x > 0; cosx = 0} 6= ∅Definiere: π := 2 · infM > 0 wg. Stetigkeit des Cosinus und cos 0 = 1.⇒ cos > 0 fur 0 ≤ x < π

2 2

20.12 Lemma

Fur 0 < x ≤ 2 ist sinx > 0

Beweis: Sei 0 < x ≤ 2

⇒ sinxx = 1− x2

3! +∞∑

n=1

x4n

(4n+1)!

(

1− x2

(4n+ 2)(4n+ 3)

)

︸︷︷︸

>0 wg. 0<x≤2

> 1− 43! = 1

3 2

20.13 Korollar

Es gilt folgende Wertetabelle:

x 0 π2 π 3π

2 2πcosx 1 0 −1 0 1sinx 0 1 0 −1 0eix 1 i −1 −i 1

Beweis: sin2(π2

)= 1− cos2 π

2 = 1Wegen 20.12⇒ sin π

2 = 1

⇒ eiπ2 = i

⇒ eπi =(

eπi2

)2= −1 = i2

⇒ sinπ > 0e

3πi2 = eπi · eπi

2 = −i⇒ sin 3πi

2 = −1e2πi = eπi · eπ = (−1) · (−1) = 1 2

20.14 Korollar

∀x ∈ R gilt:

a) cos(x+ π) = − cosx, sin(x+ π) = − sinx, ei(x+π) = −eix

b) cos(x+ 2π) = cosx sin(x+ 2π) = sinx ei(x+2π) = eix

c) cos(π2 − x

)= sinx sin

(π2 − x

)= cosx

d) cos(x+ π

2

)= − sinx sin

(x+ π

2

)= − cosx

107

Beweis:

a) ei(x+π) = eix · eπi︸︷︷︸

=−1

= −eix ⇒a)

b) ei(x+2π) = eix · e2πi︸︷︷︸

=1

= eix ⇒b)

c) cos(π2 − x

)+ i sin

(π2 − x

)= ei(

π2−x) = e

πi2 · e−ix

= ie−ix = sinx+ i cosx

d) klar nach a) und c) 2

Resultat: Kennt man eine der Funktionen Sinus oder Cosinus auf[0; π2

], so

kennt man beide auf R.

20.15 Korollar

sinx > 0 fur 0 < x < π sinx < 0 fur π < x < 2πcosx > 0 fur −π

2 < x < π2 cosx < 0 fur π2 < x < 3π

2

Beweis: Fur 0 < x < π ist −π2 <

π2 − x < π

2⇒ sinx = cos

(π2 − x

)> 0

sin(π + x) = − sinx⇒ Beh. 2

20.16 Korollar

a) {x ∈ R; sinx = 0} = {k · π; k ∈ Z}

b) {x ∈ R; cosx = 0} ={(

12 + k

)π; k ∈ Z

}

Beweis: 20.14 und 20.15 liefern die Behauptung 2

20.17 Satz: Arcusfunktionen

a) Die Restriktion des Sinus: sin :[−π

2 ; π2]→ [−1; 1] ist stetig, streng mono-

ton wachsend und surjektiv, hat also eine stetige, streng monoton wachsendeund surjektive Umkehrfunktion arcsin : [−1; 1]→

[−π

2 ; π2]

b) Die Restriktion des Cosinus: cos : [0;π] → [−1; 1] ist stetig, streng mono-ton fallend und surjektiv, hat also eine stetige, streng monoton fallende undsurjektive Umkehrfunktion arccos : [−1; 1]→ [0;π]arccosx = π

2 − arcsinx (−1 ≤ x ≤ 1)

108

Beweis:

a) Nur strenge Monotonie ist noch zu prufen. Sei x′ < x ∈[−π

2 ; π2]

⇒ sinx− sinx′20.8= 2 cos

x+ x′

2︸︷︷︸

>0

· sin x− x′

2︸︷︷︸

>0

> 0⇒ Beh.

b) Monotonie folgt aus a) und 20.14 d)cos(π2 − arcsinx

)= sin(arcsinx) = x und π

2 − arcsinx ∈ [0;π]⇒ π

2 − arcsinx = arccosx 2

20.18 Satz

a) ∀ z ∈ C, z = x+ iy (x, y ∈ R) gilt:ez = ex(cos y + i sin y), speziell gilt: ez+2πik = ez (k ∈ Z),d. h. exp(x) hat die Periode 2πi

b) Fur z, w ∈ C gilt:ez = 1⇔ ∃ k ∈ Z z = w + 2πik

Beweis:

a) ez = ex+iy = ex · eiy = ex(cos y + i sin y)

b) ”⇒“ Sei z ∈ C, ez = 1 z = x+ iy (x, y ∈ R)⇒ |ez| = |ex|

︸︷︷︸

>0

·∣∣eiy∣∣

︸︷︷︸

=1

= |ex| = 1⇒ x = 0

⇒ ez = eiy = 1⇒ sin

(y2

)= 1

2i

(

eiy2 − e−i y

2

)

= 12ie

−i y2

(eiy − 1

)= 0

20.16⇒ ∃ k ∈ Z y2 = k · π

⇔ ∃ k ∈ Z y = 2πk ⇒ z = 2πik

”⇐“ klar nach a)

ez = ew ⇒ ez−w = 1⇒ ∃ k ∈ Z z − w = 2πik 2

20.19 Polarkoordinaten

Jedes z ∈ C lasst sich schreiben in der Form z = r · eiϕ mit r = |z| ∈ [0;∞[ undϕ ∈ R. Fur z 6= 0 ist ϕ bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π eindeutig bestimmtund heißt das Argument von z. ϕ: Winkel, r: Radius.

Beweis: Fur z ≤ 0 ist die Behauptung klar.Sei also z 6= 0, r := |z| ⇒ z

r = ξ + iη (ξ, η ∈ R)

⇒∣∣ zr

∣∣2 = 1 = ξ2 + η2, speziell |ξ| ≤ 1

⇒ α := arccos ξ ∈ [0;π] ist sinnvoll, cosα = ξ

109

⇒ sin2 α = 1− cos2 α = 1− ξ2 = η2

⇒ sinα = ±ηϕ :=

{α falls sinα = η−α falls sinα = −η ⇒ cosϕ = cosα = ξ, sinϕ = η

⇒ eiϕ = cosϕ+ i sinϕ = ξ + iη = zr ⇒ Existenz

Eindeutigkeit: Sei z := r · eiϕ = r · eiψ mit ϕ,ψ ∈ R, r = |z|⇒ ei(ϕ−ψ) = 1

20.18⇒ ϕ− ψ = 2πk mit geeignetem k ∈ Z 2

Anwendung: Sei z1 := r1 · eiϕ1 , z2 = r2eiϕ2

⇒ z1 ·z2 = r1 ·r2 ·ei(ϕ1+ϕ2), d. h. bei der Multiplikation komplexer Zahlen werdendie Betrage multipliziert und die Argumente addiert.

20.20 Korollar

Zu jedem Paar (x, y) ∈ R2 mit x2 + y2 = 1 gibt es genau ein t ∈ [0; 2π[ mitx = cos t, y = sin t (Parametrisierung des Einheitskreises).

Beweis: 20.19 mit z = x+ iy 2

20.21 Satz

Fur jedes n ∈ N hat die Gleichung zn = 1 (z ∈ C) genau n verschiedene Losun-gen in C, die sog. n-ten Einheitswurzeln zk = e

2πikn (k = 0, 1, . . . , n − 1), die

Eckpunkte des dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmaßigen n-Ecks mit Ecke1.

Beweis: Offenbar sind z0, z1, . . . , zn−1 n verschiedene Losungen der Gleichungzn = 1. Andererseits hat aber die Polynomfunktion f(z) = zn − 1 hochstens nNullstellen.⇒ Behauptung 2

20.22 Definition: Tangens, Cotangens

a) Fur x ∈ R\{(k + 1

2

)· π; k ∈ Z

}sei tanx := sinx

cosx

b) Fur x ∈ R\{k · π; k ∈ Z} sei cotx := cosxsinx

Beide haben die Periode π.

20.23 Satz

Tangens und Cotangens sind ungerade Funktionen mit Periode π und es gilt:tan(x+ y) = tanx+tan y

1−tanx tan y , falls x, y, x+ y ∈ R\{(k + 1

2

)π; k ∈ Z

}

cot(x+ y) = cotx cot y−1cotx+cot y , falls x, y, x+ y ∈ R\{kπ; k ∈ Z} 2

110

20.24 Satz

a) Die Funktion tan :]−π

2 ; π2[→ R ist streng monoton wachsend, stetig und

surjektiv, hat also eine streng monoton wachsende, stetige und surjektiveUmkehrfunktion arctan : R→

]−π

2 ; π2[.

b) Die Funktion cot :]0;π[→ R ist streng monoton fallend, stetig und surjektiv,hat also eine streng monoton fallende, stetige und surjektive Umkehrfunktionarccot : R→]0;π[.arccotx = π

2 − arctanx

Beweis:

a) Sie 0 ≤ x < x′ < π2 ⇒ sin ≤ sinx < sinx′, cosx > cosx′ > 0

⇒ 0 ≤ tanx < tanx′

Tangens ungerade ⇒ tan :]−π

2 ; π2[→ R ist stetig und streng monoton

wachsend.sinx

x→π2−0−−−−−→ 1 cosx

x→π2−0−−−−−→ 0 (↓ 0)

⇒ limx→π

2−0

tanx =∞, limx→π

2+0

tanx = −∞ wg. Tangens ungerade.

⇒ Behauptung.

b) cotx = tan(π2 − x

)⇒ Behauptung 2

111

Teil IV

Differentialrechnung21 Differenzierbare Funktionen

21.1 Definition: Differenzierbarkeit, Ableitung

a) Sei I ⊂ R ein Intervall, x0 ∈ I , f : I → R.

f heißt in x0 differenzierbar6, falls f ′ (x0) = limx→x0x6=x0

f(x)− f (x0)

x− x0︸︷︷︸

Differentenquotient=tanϕ

=:

dfdx (x0) =: df

dx

∣∣∣x=x0

in R existiert; f ′ (x0) heißt dann die Ableitung von f inx0.Ist f diffbar in x0, so heißt ϕ(x) := f (x0) + (x− x0) f

′ (x0) die Tangentean f in x0.

b) f heißt diffbar, falls f diffbar ist in jedem Punkt aus I;dann heißt f ′ : I → R; x 7→ f ′(x) die Ableitung von f .

Bemerkung: Ist hier x0 Eckpunkt von I , so handelt es sich um die sog.rechts- bzw. linksseitige Ableitung von f in x0.

”Differentialquotient“ = Steigung der Tangente am Graphen von f in(x0|f (x0)) = f ′ (x0).

21.2 Beispiele

a) ddxx

n = n · xn−1 (n ∈ N0;x ∈ R), rechte Seite 0 fur n = 0

b) ddxe

x = ex (x ∈ R) ddx log x = 1

x (x > 0)

c) ddx sinx = cosx d

dx cosx = − sinx (x ∈ R)

Beweis:

a) Fur n = 0 ist die Behauptung klar.Sei n ≥ 1, n ∈ Z, x, x0 ∈ R, x 6= x0

xn−xn0

x−x0

1.7=

n∑

k=1

xn−kxk−10

x→x0x6=x0−−−→ n · xn−1

0

b) ex−ex0

x−x0= ex0 e

x−x0−1x−x0

= ex0 ·∞∑

n=1

(x−x0)n−1

n!

x→x0x6=x0−−−→ ex0 · 1 = ex0

log x−log x0

x−x0: 1 − 1

t ≤ log t ≤ t − 1 Setze t := xx0

, x0 > 0, x > 0,

6kurz: diffbar

112

x 6= x0x−x0x ≤ log x− log x0 ≤ x−x0

x0

⇒ 1x ≤

log x−log x0

x−x0≤ 1

x0, falls x > x0

⇒ limx→x0x6=x0

log x−log x0

x−x0= 1

x0

c) sinx−sinx0x−x0

20.8=

cosx+x0

2sin

x−x02

x−x02

= cos x+x02

sinx−x0

2x−x0

2

→ cosx0

cosx−cosx0x−x0

=sin(x+ π

2 )−sin(x0+π2 )

(x+ π2 )−(x0+π

2 )s. o.−−→ cos

(x0 + π

2

)= − sinx0 2

21.3 Satz

Ist f : I → R diffbar in x0 ∈ I , so auch stetig. Umkehrung falsch

Beweis: Sei x ∈ I , x 6= x0 f(x) − f (x0) = (x− x0)︸︷︷︸

→0

f(x)− f (x0)

x− x0︸︷︷︸

→f ′(x0)

x→x0x6=x0−−−→

0⇒ f stetig 2

Fur die Nichtgultigkeit der Umkehrung folgendes

21.4 Beispiel

f : R → R, f(x) = |x|. Dann ist f offensichtlich stetig, nicht aber diffbar in 0,dennx > 0⇒ f(x)−f(0)

x−0 = |x|x = 1

x→0+0−−−−→ 1 und

x < 0⇒ f(x)−f(0)x−0 = |x|

x = −1x→0−0−−−−→ −1

⇒ f ist nicht diffbar.Bemerkung: Es gibt stetige Funktionen f : R → R, die in keinem Punkt diffbarsind.

21.5 Satz

Seien f, g : I → R in x0 ∈ I diffbar, α ∈ R. Dann gilt:

a) (αf) ist diffbar in x0 mit (αf)′ (x0) = α · f ′ (x0)

b) (f + g) ist diffbar in x0 mit (f + g)′ (x0) = f ′ (x0) + g′ (x0)

c) (f · g) ist diffbar in x0 mit (f · g)′ (x0) = f ′ (x0) g (x0) + f (x0) g′ (x0) Produktregel

d) Ist g (x0) 6= 0, so ist 1g in einer Umgebung von {x0}∩I erklart, in x0 diffbar

mit(

1g

)′(x0) = −g′(x0)

g2(x0)

113

e) Ist g (x0) 6= 0, so ist fg (x0) in einer Umgebung von {x0} ∩ I erklart und in Quotientenregel

x0 diffbar mit(fg

)′(x0) = f ′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)

g2(x0)

Beweis:

a) (αf)(x)−(αf)(x0)x−x0

= α f(x)−f(x0)x−x0

x→x0x6=x0−−−→ α · f ′ (x0)

b) (f+g)(x)−(f+g)(x0)x−x0

= f(x)−f(x0)x−x0

+ g(x)−g(x0)x−x0

x→x0x6=x0−−−→ f ′ (x0) + g′ (x0)

c) (f ·g)(x)−(f ·g)(x0)x−x0

= f(x)−f(x0)x−x0

g (x0)︸︷︷︸

→g(x0)

+f (x0)g(x)−g(x0)x−x0

x→x0x6=x0−−−→ f ′ (x0) g (x0) + f (x0) g

′ (x0)

d) Sei g (x0) 6= 0⇒ ∃U ∈ U (x0) mit g(x) 6= 0 ∀x ∈ U ∩ I⇒ 1

g ist auf U ∩ I sinnvoll und ∀x ∈ U ∩ I, x 6= x0 gilt:(

1g

)

(x)−(

1g

)

(x0)

x−x0= − g(x)−g(x0)

x−x0· 1g(x)g(x0)

x→x0x6=x0−−−→ − g′(x0)

g2(x0), da g stetig in x0

e) klar nach c) und d) 2

21.6 Beispiel

Sei n ∈ Z, n < 0, f : R\{0} → R, f(x) = xn

⇒ f ist diffbar auf R\{0} mit f ′(x) = n · xn−1

Beweis: 21.2 a) und 21.5 d)⇒ f diffbar und es gilt:f ′(x) = d

dx1

x−n = − (−n)x−n−1

(x−n)2= n · xn−1 ∀x ∈ R\{0} 2

21.7 Beispiel

tan : R\{π2 + kπ, k ∈ Z

}→ R, cot : R\ {kπ, k ∈ Z} → R sind diffbar mit

ddx tanx = 1

cos2 x= 1 + tan2 x d

dx cotx = − 1sin2 x

= −(1 + cot2 x

)

Beweis: Quotientenregel 21.5 e) liefert:ddx tanx = d

dxsinxcosx = cos2 x+sin2 x

cos2 x= 1

cos2 x= 1 + tan2 x

ddx cotx = d

dxcosxsinx = − sin2 x−cos2 x

sin2 x= −

(1 + cot2 x

)= − 1

sin2 x2

21.8 Kettenregel

Seien I, J ⊂ R Intervalle, f : I → R, g : J → I , x0 ∈ J , g diffbar in x0, f diffbarin y0 := g (x0)Behauptung: f ◦ g : I → R ist in x0 diffbar mit (f ◦ g)′ (x0) = f ′ (g (x0)) · g′ (x0)

114

Plausibilitatsbetrachtung: Sei x ∈ J , x 6= x0, y := g(x), y0 := g (x0). Dann istf(g(x))−f(g(x0))

x−x0= f(y)−f(y0)

y−y0f(x)−g(x0)

x−x0, falls y 6= y0

Fur x→ x0 gilt: g(x)−g(x0)x−x0

x→x0x6=x0−−−→ g′ (x0) und

f(y)−f(y0)y−y0

x→x0x6=x0−−−→ f ′ (y0) = f ′ (g (x0)), falls y 6= y0

Beweis: Setze h : I → R, h(t) :=

{f(t)−f(y0)

t−y0 fur alle t 6= y0

f ′ (y0) fur alle t = y0

f diffbar in y0⇒ h ist stetig in y0

⇒ limt→y0

h(t) = f ′ (y0)

Fur alle t ∈ I: f(t)− f (y0) = (t− y0) (h(t)) mit t = g(x)

⇒ ∀x 6= x0, x ∈ J ist f(g(x))−f(g(x0))x−x0

= h(g(x)) g(x)−g(x0)x−x0

x→x0x6=x0−−−→ f ′ (y0) · g′ (x0) 2

21.9 Beispiele

a) Sei a > 0. Dann gilt: ddxa

x = ax · log a (x > 0)

Beweis: ddxa

x = ddxe

x·log a (diffbar nach Kettenregel) = ex·log a · log a =ax · log a 2

b) Sei a > 0, a 6= 1⇒ ddx loga x = 1

x·log a

Beweis: loga x = log xlog a

19.5 e)⇒ ddx

log xlog a = 1

x·log a 2

c) ddxx

α = α · xα−1 (x > 0, α ∈ R), speziell: ddx

√x = 1

2√x

(x > 0)

Beweis: ddxx

α(ex. nach Kettenregel)= ddxe

α·log x = eα·log x · α · 1x

= α · xα−12

d) sinhx := 12 (ex − e−x) , coshx := 1

2 (ex + e−x) heißen Sinus hyper-bolicus bzw. Cosinus hyperbolicus. Es gilt:cosh2 x− sinh2 x = 1cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y)sinh(x+ y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)ddx coshx = sinhx d

dx sinhx = coshx (x ∈ R)Umkehrfunktionen:arsinh : R→ R, arsinhx := log

(

x+√

1 + x2)

(x ∈ R)

115

arcosh : R→ R; arcoshx := log(

x+√x2 − 1

)

(x ∈ R)ddxarsinhx = 1√

1+x2(x ∈ R) d

dxarcoshx = 1√x2−1

(x > 1)

cosh : [0;∞[→ [1;∞[ ist streng monoton wachsend und bijektiv.

21.10 Ableitung der Umkehrfunktion

Sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → I , f(I) ⊂ R stetig, streng monoton, bijektiv undg : I → I Umkehrfunktion von f . Ferner sei f in x0 ∈ I diffbar mit f ′ (x0) 6= 0.Dann ist g in y0 := f (x0) diffbar mit g′ (y0) = 1

f ′(x0) .

Beweis: Sei y ∈ J , y 6= y0, x := g(y), (6= x0)

⇒ g(y)−g(y0)y−y0 = 1

f(x)−f(x0)x−x0

y→y0y 6=y0−−−→ 1

f ′(x0)wg. Stetigkeit 2

21.11 Beispiele

a) ddx arcsinx = 1√

1−x2fur −1 < x < 1,

ddx arccosx = − 1√

1−x2fur −1 < x < 1

Beweis: 21.10 mit J =[−π

2 ; π2], f(x) = sinx

⇒ f ′(x) = cosx = 0 fur x = ±π2

⇒ Fur −1 < y < 1 ist y 7→ arcsin y diffbar mitddy arcsin y = 1

cosx = 1√1−sin2x

mit y = sinx. Beachte: cosx > 0!arccosx = π

2 − arcsinx⇒ Beh. II 2

b) ddx arctanx = 1

1+x2 (x ∈ R) ddxarccotx = − 1

1+x2 (x ∈ R)

Beweis: I :=]−π

2 ; π2[, f(x) = tanx (x ∈ I),

ddx tanx = 1 + tan2 x 6= 0 (x ∈ I), y := tanx

⇒ ddx arctan y = 1

1+tan2 x= 1

1+y2

arccot y = π2 − arctan y (y ∈ R)⇒ Beh. II 2

116

22 Lokale Extrema, Satz von Rolle, Mittelwertsatz

22.1 Definition: lokales Extremum

Sei f : I → R eine Funktion, x0 ∈ I . Dann hat f in x0 ein lokales Maximum(bzw. Minimum) genau dann, wenn gilt:∃ δ > 0 ∀x ∈ ]x0 − δ;x0 + δ[ ∩ I f (x0) > f(x) (bzw. f (x0) < f(x)).Gilt ”=“ nur fur x = x0, so heißt x0 ein isoliertes lokales Extremum.

22.2 Satz

Sei f : I → R in x0 diffbar und habe in x0 ein lokales Extremum. Ferner sei x0

ein innerer Punkt von I , d. h. es gebe δ > 0 mit ]x0 − δ;x0 + δ[ ⊂ I . Dann istf ′ (x0) = 0D. h.: Notwendig aber nicht hinreichend fur das Vorliegen eines lokalen Extre-mums ist das Verschwinden der ersten Ableitung.

Beweis: OBdA habe f in x0 ein lokales Maximum (sonst f 7→ −f ).Sei x0 < x < x0 + δ ⇒ f(x)−f(x0)

x−x0≤ 0

⇒ limx→x0+0

f(x)−f(x0)x−x0

= f ′ (x0) ≤ 0.

Sei nun x0 − δ < x < x0 ⇒ f(x)−f(x0)x−x0

≥ 0

⇒ limx→x0−0

f(x)−f(x0)x−x0

= f ′ (x0) ≥ 0

⇒ f ′ (x0) = 0 2

Beispiel: f : R→ R, f(x) = x3 (x ∈ R) ist streng monoton wachsend aberf ′(0) = 0

22.3 Satz von Rolle

benannt nach Michel Rolle, 1652-1719Sei f : [a; b]→ R stetig, diffbar in ]a; b[ und f(a) = f(b)⇒ ∃ ξ ∈]a; b[ mit f ′(ξ) = 0.

Beweis:

a) Sei f konstant⇒ ∀ ξ ∈]a; b[: f ′(ξ) = 0

b) Sei f nicht konstant: OBdA ∃x′ ∈]a; b[ mit f (x′) > f(a) (sonst f 7→ −f )16.11⇒ f hat in [a; b] ein absolutes Maximum.Wegen f(a) = f(b) < f (x′) gilt: f(ξ) > f(a) ⇒ ξ ∈]a; b[, wobei ξMaximum ist.⇒ f ′(ξ) = 0 2

117

22.4 Verallg. Mittelwertsatz: Cauchy

Seien f, g : [a; b]→ R stetig und diffbar in ]a; b[.Dann ∃ ξ ∈]a; b[ mit (f(b)− f(a)) · g′(ξ) = (g(b)− g(a)) · f ′(ξ).

Beweis: Betrachte h : [a; b]→ R,h(x) := (f(b)− f(a))g(x)− (g(b)− g(a))f(x) (x ∈ [a; b])⇒ h ist stetig auf [a; b] und diffbar auf ]a; b[.h(a) = f(b)g(a)− g(b)f(a) = h(b)22.3⇒ ∃ ξ ∈]a; b[ h′(ξ) = 0⇒ Behauptung 2

22.5 Mittelwertsatz: LaGrange

benannt nach Joseph Louis LaGrange, 1736-

a

b

x

Abbildung 2: LaGrange

1813Sei f : [a; b]→ R stetig und diffbar in ]a; b[.⇒ ∃ ξ ∈]a; b[: f(b)−f(a)

b−a = f ′(ξ)Geometrische Interpretation: Steigung der Se-kante durch (a|f(a)) und (b|f(b)) = Steigungder Tangente in (ξ|f(ξ)). (siehe Abb. 2)

Beweis:

1. Beweis: Setze g(x) := x in 22.4 2

2. Beweis: Setze ϕ(x) := f(a) + f(b)−f(a)b−a (x− a) = Sekante,

h := f − ϕ⇒ h stetig und diffbar in ]a; b[.h(a) = 0 = h(b)⇒ ∃ ξ ∈]a; b[: h′(ξ) = 0 = f ′ − ϕ′

⇒ Behauptung 2

22.6 Korollar

Sei f : [a; b]→ R stetig, diffbar in ]a; b[ und f ′(x) = 0 ∀x ∈]a; b[⇒ f ist konstant.

Beweis: Sei a < c ≤ b: Wende den Mittelwertsatz (22.4) an auf f |[a; c]⇒ ∃ξ ∈]a; c[: f(c)−f(a)

c−a = f ′(ξ) = 0 nach Voraussetzung.⇒ f(c)− f(a) = 0 ∀ c ∈]a; b[⇒ f konstant auf [a; b] 2

22.7 Definition: Stammfunktion

Seien f, F : I → R Funktionen. Dann heißt F eine Stammfunktion von f genaudann, wenn gilt: F ist diffbar mit F ′ = f .

118

Beispiele:I R R ]0;∞[ R R R [−1; 1]f xn, n ∈ N0 ex 1

x cosx sinx 11+x2

1√1−x2

F 1n+1x

n+1 ex log x sinx − cosx arctanx arcsinx

22.8 Korollar

Sind F,G Stammfunktionen von f : I → R, so existiert c ∈ R mit F (x) =G(x) + c ∀x ∈ i.

Beweis: h := F −G⇒ h diffbar mit h′ = f − f = 0⇒ Fur jedes Teilintervall [a; b] ⊂ I ist h|[a; b] konstant.⇒ h konstant 2

22.9 Charakterisierung der Exponentialfunktion durch ihre Differen-tialgleichung

Es sei f : R→ R diffbare Funktion mit f ′ = αf (α ∈ R fest)⇒ f(x) = f(0)eαx ∀x ∈ R

Beweis: Sei g(x) := e−αx · f(x) (x ∈ R)⇒ g ist diffbar mit g′(x) = −αe−αxf(x) + e−αxf ′(x)= e−αx (f ′(x)− αf(x)) = 0 ⇒ g ist konstant auf jedem Teilintervall ⇒ g istkonstant auf R.⇒ g(x) = g(0) ∀x ∈ R⇒ e0f(0) = g(0) = f(0)⇒ ∀x ∈ R : f(x) = f(0)eαx 2

22.10 Satz

Sei f : [a; b]→ R stetig diffbar in ]a; b[. Dann gilt:

a) f monoton wachsend⇔ ∀x ∈]a; b[ f ′(x) ≥ 0

b) f monoton fallend⇔ ∀x ∈]a; b[ f ′(x) ≤ 0

c) f streng monoton wachsend⇐ ∀x ∈]a; b[ f ′(x) > 0

d) f streng monoton fallend⇐ ∀x ∈]a; b[ f ′(x) < 0

Dies hat Bedeutung fur Extremwertaufgaben.

Beweis:

a) ”⇒“ Seien x, x0 ∈]a; b[, x 6= x0

⇒ f(x)−f(x0)x−x0

≥ 0, da f wachsend.⇒ ∀x ∈]a; b[: f ′(x) > 0

119

”⇐“ Seien x, y ∈ [a; b], x < y22.4⇒ f(y)− f(x) = (y − x)

︸︷︷︸

≥0

f ′(ξ)︸︷︷︸

≥0

fur geeignetes ξ ∈]x; y[

⇒ f wachsend 2

b) klar nach a) mit f 7→ −f

c) ”⇐“ klar nach a)

”;“ Beispiel: f(x) = x3 in (0|0)

d) klar nach c)

22.11 Beispiel

Sei α ∈ R, 0 6= α 6= 1. Dann gilt ∀x ∈ R, x > −1, x 6= 0:(1 + x)α > 1 + αx, falls α < 0 oder α > 1(1 + x)α < 1 + αx, falls 0 < α < 1i. e. Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung.

Beweis: f : [−1;∞[→ R, f(x) := (1 + x)α − (1 + αx) (x > −1)⇒ f ′(x) = α(1 + x)α−1 − α

1. Fall Sei α < 0 oder α > 1⇒ f ′ streng wachsend, f ′(0) = 0

f ′(x)

< 0 fur −1 < x < 0= 0 fur x = 0> 0 fur x > 0

22.10⇒ f streng{

fallend auf ]− 1; 0]wachsend auf [0;∞[

⇒ f hat Minimum in 0⇒ ∀x > −1, x 6= 0 : f(x) > f(0) = 0⇒ Behauptung

2. Fall 0 < α < 1 analog 2

22.12 Satz

Seien f : I → R diffbar, x0 innerer Punkt von I , in x0 sei f zweimal diffbar undes gelte:f ′ (x0) = 0 und f ′′ (x0) < 0 (bzw. > 0). Dann hat f in x0 ein isoliertes Maximum(bzw. Minimum).

120

Beweis: Sei f ′′ (x0) :< 0. Wegen f ′′ (x0) = limx→x0

f ′(x)−f ′(x0)x−x0

< 0

⇒ ∃ δ > 0 : ]x0 − δ;x0 + δ[ ⊂ I und f ′(x)−f ′(x0)x−x0

< 0 fur 0 < |x− x0| < δWegen f ′ (x0) = 0 folgt: f ′(x) > 0 fur x0 − δ < x < x0 und f ′(x) > 0 furx0 < x < x0 + δ⇒ f | ]x0 − δ;x0[ ist streng wachsend und f | ]x0;x0 + δ[ ist streng fallend.⇒ f hat in x0 ein isoliertes lokales MaximumMinimum analog 2

121

23 Die Regel von de l’Hospital

Problem: Was ist zu tun fur limx→∞

f(x)g(x) , falls lim

x→∞f(x) = lim

x→∞g(x) = 0?

Idee: Seien f, g in a diffbar und f(a) = g(a) = 0. Dann gilt:

f(x)

g(x)=

f(x)−f(a)x−a

g(x)−g(a)x−a

x→ax6=a−−−→ f ′(a)

g′(a), falls g′(a) 6= 0

23.1 Die Regel von de l’Hospital

benannt nach Marquis de l’Hospital (1661-1704), einem Schuler von Johann Ber-noulli (1667-1748)Es seien −∞ ≤ a < b ≤ ∞, f, g :]a; b[→ R diffbar und g′(x) 6= 0 ∀x ∈]a; b[.Ferner gelte:

I Entweder limx→a+0

f(x) = limx→a+0

g(x) = 0

II oder limx→a+0

g(x) = ±∞, keine weitere Voraussetzung fur f .

Zusatzlich existiere limx→a+0

f ′(x)g′(x) =: α ∈ R ∪ {±∞}

Dann ist g streng monoton auf ]a; b[ und limx→a+0

f(x)g(x) = α.

Der Satz gilt sinngemaß auch fur x → b − 0 und fur x → x0, x 6= x0 stattx→ a+ 0, a < x0 < b.

Beweis: Behauptung: g streng monoton.Begrundung: Annahme: g ist nicht streng monoton, OBdA ∃x, y, z a < x <y < z < b, so dass g(x) < g(y) > g(z)16.3⇒ ∃ c, d : a < c < d < b : g(c) = g(d)22.3⇒ ∃ ξ ∈]c; d[ g′(ξ) = 0 E Widerspruch zu g′(x) 6= 0 ∀x ∈]a; b[⇒ g streng monoton.

Unterscheidung der Falle I und II:Voraussetzung I⇒ g(x) 6= 0 fur a < x < bVoraussetzung II⇒ ∃ c ∈]a; b[ mit g(x) > 0 fur a < x < c (bzw. negativ)In beiden Fallen ex. c ∈]a; b[: g(x) > 0 fur a < x < c (OBdA)Prufe, ob lim

x→a+0

f(x)g(x) existiert.

Idee: Fall I mit a ∈ R: Setze f(a) := g(a) := 0⇒ f, g : [a; c]→ R stetig⇒ f, g diffbar in ]a; c[ Sei a < x < c

⇒ f(x)−f(a)g(x)−g(a)

22.4= f ′(ξ)

g′(ξ) mit geeignetem ξ ∈]a;x[.

122

Lasse x eine Folge (xn) durchlaufen mit xnn→∞−−−→ a+ 0. Dazu gehort eine Folge

(ξn) von ξ-Werten und fur diese gilt dann: ξnn→∞−−−→ a

Voraussetzung liefert: limn→∞

f ′(ξn)g′(ξn) existiert und ist = α

⇒ limx→a+0

f(x)g(x) existiert und ist = α

Allgemein lasst sich der Beweis wie folgt zu Ende fuhren:Sei a ∈ R (a = −∞ zulassig), c wie oben, ε > 0

⇒ ∃ d ∈]a; c[:∣∣∣∣

f ′(t)g′(t)

− α∣∣∣∣< ε fur a < t < d (6)

Sei a < x < y < d22.4⇒ ∃x < ξ < y :

f(y)− f(x)

g(y)− g(x) =f ′(ξ)g′(ξ)

(7)

(6)⇒∣∣∣∣

f(y)− f(x)

g(y)− g(x) − α∣∣∣∣< ε fur a < x < y < d (8)

Fall I limx→a+0

f(x) = limx→a+0

g(x) = 0. Lasse in (8) x→ a gehen.

⇒∣∣∣f(y)g(y) − α

∣∣∣ < ε fur a < y < d⇒ Behauptung.

Fall II limx→a+0

g(x) = ∞ ⇒ g ist streng monoton fallend, und in obiger Situation

ist g(x) = g(y) > 0

⇒ Fur a < x < y < d besagt (8): α− ε < f(x)−f(y)g(x)−g(y) < α+ ε

⇒ (α− ε) g(x)−g(y)g(x) + f(y)g(x) <

f(x)g(x) < (α+ ε) g(x)−g(y)g(x) + f(y)

g(x)fur a < x < y < dHalte y fest. Fur x→ a+ 0 gilt: g(x)→∞⇒ ∃ d′ ∈]a; d], so dass α− 2ε < f(x)

g(x) < α+ 2ε fur alle x ∈]a; d′]⇒ Behauptung fur α ∈ RAnalog fur α = ±∞ 2

23.2 Beispiele

a) sinxex−1

x→0x6=0−−−→ 1. f(x) = sinx, g(x) = ex − 1

⇒ f ′(x) = cosx, g′(x) = ex

b) α > 0 xα log xx→0x6=0−−−→ 0 f(x) = log x, g(x) = x−α

⇒ f ′(x) = 1x , g′(x) = −αx−α−1 (x > 0)

⇒ f ′(x)g′(x) = − 1

αxα = 0

⇒ f(x)g(x)

x→0x6=0−−−→ 0

Zur Ubung: log xx2

x→0x6=0−−−→ 0

123

c) 1sinx − 1

x

x→0x6=0−−−→?

124

24 Konvexe Funktionen

Sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → R

24.1 Definition: Konvexitat

f heißt konvex :⇔∀x, y ∈ I 0 < λ < 1 f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y)streng konvex dto mit ”<“ statt ”≤“konkav dto mit ”≥“ statt ”≤“streng konkav dto mit ”>“ statt ”≤“

24.2 Satz

Fur x, y ∈ I , x < y sei ϕx,y : R→ R, ϕx,y(t) = f(x)+ f(y)−f(x)y−x (t−x) (t ∈ R)

die Sekante durch (x|f(x)), (y|f(y)) ∈ R2. Dann ist aquivalent:

a) f ist konvex

b) ∀x, y, t ∈ I x < t < y : f(t) ≤ ϕx,y(t)

c) ∀x, y, t ∈ I x < t < y : f(t)−f(x)t−x ≤ f(y)−f(x)

y−x

d) ∀x, y, t ∈ I x < t < y : f(y)−f(x)y−x ≤ f(y)−f(x)

y−t

e) ∀x, y, t ∈ I x < t < y : f(t)−f(x)t−x ≤ f(y)−f(t)

y−t

Analoges gilt fur streng konvex mit ”<“ statt ”≤“, fur konkav mit ”≥“ statt ”≤“sowie fur streng konkav mit ”>“ statt ”≤“.

Beweis: Die t ∈]x; y[ sind genau die Zahlen der Form t = x+ (1−λ)(y−x) =

λx+ (1− λ)y mit 0 < λ < 1. Dann ist ϕx,y(t) = f(x) + f(y)−f(x)y−x (t− x).

Hieraus folgt: ”a)⇔b)“: ist klar.

”b)⇔c)“: ϕx,y(t) = f(x) + f(y)−f(x)y−x (t− x)

⇒ Fur x < t < y gilt: f(t) ≤ ϕx,y(t)⇔ f(t)−f(x)t−x ≤ f(y)−f(x)

y−x

”b)⇔d)“: ϕx,y(t) = f(x) + f(y)−f(x)y−x (t− x) = f(y)− f(y)−f(x)

y−x (y − t)⇒ Fur x < t < y: f(t) ≤ ϕx,y(t)⇔ f(y)−f(x)

y−x ≤ f(y)−f(t)y−t

”b)⇔e)“: f(t) ≤ ϕx,y(t) = f(x) + f(y)−f(x)y−x (t− x)

⇔ (y − t+ t− x)f(t) ≤ (t− x)f(y) + (y − t)f(x)

⇔ f(t)−f(x)t−x ≤ f(y)−f(t)

y−t 2

Analog fur streng konvex, konkav und streng konkav.

125

24.3 Korollar

(Jensen, 1906)Ist f : I → R konvex, so ist f auf

◦I7 stetig.

Beweis: Sei x0 ∈◦I , s < x0 < t. Fur x0 < x < t gilt dann nach 24.2:

f(s)−f(x0)s−x0

≤ f(x)−f(x0)x−x0

≤ f(t)−f(x0)t−x0

,

also f(s)−f(x0)s−x0

(x− x0) ≤ f(x)− f (x0) ≤ f(t)−f(x0)t−x0

(x− x0)⇒ Fur x→ x0 + 0 folgt: lim

x→x0+0f(x) = f (x0) 2

Dto mit Limes von links.

Beispiel: Eine konvexe Funktion muss in den Endpunkten des Definitions-Intervallsnicht stetig sein.

24.4 Satz

Sei f : I → R diffbar. Dann gilt:

a) f konvex⇔ f ′ monoton wachsend,f konkav⇔ f ′ monoton fallend.

b) f streng konvex⇔ f ′ streng monoton wachsend,f streng konkav⇔ f ′ streng monoton fallend.

Beweis:

”⇐“ Seien x < t < y ∈ I⇒ ∃ξ ∈]x; t[ f(t)−f(x)

t−x = f ′(ξ)

⇒ ∃η ∈]t; y[ f(y)−f(t)y−t = f ′(η)

Wegen ξ < η ist f ′(ξ) < f ′(η) (bzw. ”≤“), d. h. f (streng) konvex nach24.2 c).

”⇒“ Sei f konvex und diffbar und x < t < y ∈ I . Dann gilt:

f ′(x) = limu→x+0

f(u)−f(x)u−x

24.2 c)

≤ f(t)−f(x)t−x (bzw. ”<“)

24.2 e)

≤ f(y)−f(t)y−t ≤ lim

v→y−0

f(y)−f(v)y−v

24.2 d)= f ′(y) 2

24.5 Satz

Sei f : I → R zweimal diffbar. Dann gilt:

7Menge aller inneren Punkte von I

126

a) f konvex⇔ ∀x ∈◦I f ′′(x) ≥ 0,

f konkav⇔ ∀x ∈◦I f ′′(x) ≤ 0

b) ∀x ∈◦I f ′′(x) > 0⇒ f streng konvex,

∀x ∈◦I f ′′(x) < 0⇒ f streng konkav

Beweis:a) folgt aus 24.4 a) und 22.10 a) und b).

b) folgt aus 24.4 b) und 22.10 c) und d).

Beispiel fur ”:“ in a):f : R→ R f(x) = x4 ist streng konvex, f ′′(0) = 0Zu zeigen: x4 streng konvex ⇒ f ′(x) = 4x3 streng monoton wachsend, odert4−x4

t−x = t3 + t2x+ tx2 + tx3(!)< y3 + y2x+ yx2 + x3 = y4−x4

y+x .Betrachte ϕ : R→ R ϕ(n) = n3 + n2x+ nx2 + x3

mit ϕ′(n) = 3n2 + 2xn+ x2 = 2n2 + (n+ x)2, alsoϕ′(n) = 0⇔ n = 0 und n+ x = 0⇔ x = 0 = nFur t > x ist ϕ′(t) > 0⇒ ϕ|]x;∞[ streng wachsend E 2

24.6 Beispiele

a) Sei a > 0, a 6= 1, f : R→ R, f(x) = ax.Dann ist f ′′(x) = ax · (log a)2 > 0⇒ f streng konvex, insbesondere ist ex

streng konvex

b) Sei a > 0, a 6= 1, f :]0;∞[→ R, f(x) = loga x, dann ist f ′′(x) = −1x2 log a

⇒{< 0 fur a > 1 also f streng konkav> 0 fur a < 1 also f streng konvex

c) f :]0;∞[→ R, f(x) = xα fur α /∈ {0; 1}⇒ f ′(x) = α · xα−1 ist

{streng wachsend fur α > 1 ∨ α < 0streng fallend fur 0 < α < 1

⇒{f streng konvexf streng konkav

d) f :]0;∞[→ R, f(x) = xx

⇒ f ′(x) = xx(log x+ 1), also

f ′(x)

> 0 fur x > 1e

= 0 fur x = 1e

< 0 fur x < 1e

f hat also in 1e ein isoliertes absolutes Minimum.

limx→0

xx = 1, limx→0

f ′(x) = −∞, ferner f ′′(x) = xx(log x+ 1) + xx 1x

⇒ f ist streng konvex. (siehe Abb. 3)

127

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Abbildung 3: f(x) = xx

24.7 Definition: Wendepunkt

Sei f : I → R, x0 ∈◦I , x0 heißt Wendepunkt von f genau dann, wenn gilt:

∃α, β ∈ I α < x0 < β, so dass

(i) f | ]α;x0[ ist konkav,f | ]x0;β[ ist konvex oder

(ii) f | ]α;x0[ ist konvex,f | ]x0;β[ ist konkav.

24.8 Satz

Sei f : I → R dreimal diffbar, x0 ∈◦I , f ′′ (x0) = 0. Dann gilt:

Ist{f ′′′ (x0) > 0f ′′′ (x0) < 0

, dann hat f in x0 einen Wendepunkt und es existiert δ > 0,

so dass f | ]x0 − δ;x0[ streng konkav (streng konvex) und f | ]x0;x0 + δ[ strengkonvex (streng konkav).

Beweis: Sei f ′′′ (x0) > 0.Wegen f ′′ (x0) = 0 und f ′′′ (x0) = lim

x→x0x6=x0

f ′′(x)−f ′′(x0)x−x0

> 0 folgt:

∃ δ > 0, so dass ]x0 − δ;x0 + δ[ ∈ I und f ′′(x) > 0 fur x0 < x < x0 + δ undf ′′(x) < 0 fur x0 − δ < x < x0

24.5 b)⇒ Behauptung 2

24.9 Beispiel

f(x) = e−x2

2 ⇒ f ′(x) = −xe−x2

2 und f ′′(x) = −(1− x2

)e−

x2

2 ,

siehe Abb. 4.

128

-1 1

1

Abbildung 4: f(x) = exp(

−x2

2

)

129

25 Taylorsche Formel

25.1 Definition

a) Sei f : I → R. Wir definieren induktiv: f (0) := f . Ist f (n) erklart und in a ∈I diffbar, so heißt f (n + 1)-mal diffbar in a und f (n+1)(a) :=

(f (n)

)′(a).

f heißt auf I (n + 1)-mal diffbar, falls f (n) diffbar auf I ist; dann heißtf (n+1) :=

(f (n)

)′die (n+ 1)-te Ableitung von f .

b) Ist f k-mal diffbar und f (k) stetig, so heißt f k-mal stetig diffbar auf I .C(I) := C0(I) := {f : I → R; f stetig}Cn(I) := {f : I → R; f n-mal stetig diffbar}C∞(I) :=

{f : I → R; ∀n ∈ N f (n) stetig diffbar

}=⋂

n≥0Cn(I)

25.2 Taylorsche Formel

Sei f ∈ Cn(I), n ≥ 0, und f |◦I sei (n + 1)-mal diffbar. Ferner seien x, x0 ∈ I ,

p ∈ Z, p < n+ 1.Dann gilt:

f(x) =

n∑

k=0

f (k) (x0)

k!(x− x0)

k +Rn+1

Dabei kann das ”Restglied“ Rn+1 (x0, x) geschrieben werden als

Rn+1 (x0, x) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1− p)n!(x− x0)

n+1−p · (x− ξ)p

mit einem ξ, das zwischen x0 und x liegt. ξ hangt von x, x0, n und p ab. Rn+1

hangt von x, x0 und n ab.

Beispiel: Fur n = p = 0 ist f(x) = f (x0)+(x− x0) f′ (ξ), d. h. Mittelwertsatz.

Beweis: Fur x = x0 ist Rn+1 = 0 wegen p < n+ 1 und nichts zu zeigen.Sei x > x0

Setze g : [x0;x]→ R durch g(t) := f(x)−n∑

k=0

f (k)(t)k! (x− t)k − c(x− t)n+1−p,

wobei c eine zunachst beliebige Konstante ist.Es gilt: g(x) = 0 und wahle c so, dass auch g (x0) = 0 gilt (moglich wegen(x− x0)

n−1+p 6= 0)Wir haben g : [x0;x]→ R mit g(x) = g (x0), g stetig und g| ]x0;x[ diffbar22.3⇒ ∃ ξ ∈ ]x0;x[ g′(ξ) = 0Fur x0 < t < x gilt:

g′(t) = −n∑

k=0

f (k+1)(t)k! · (x− t)k+

n∑

k=1

f (k)(t)(k−1)! · (x− t)k−1 +(n+1−p)c(x− t)n−p

130

= (n+ 1− p)c(x− t)n−p − f (n+1)(t)n! (x− t)n

⇒ 0 = g′(ξ)

⇒ c = f (n+1)(ξ)(n+1−p)n! (x− ξ)p

Wir setzen in der Definition von oben t = x0 und substituieren c:

f(x) =

n∑

k=0

f (k) (x0)

k!(x− x0)

n +f (n+1)(ξ)

(n+ 1− p)n!(x− x0)

n+1−p (x− ξ)p

und erhalten das sog. Schlomilsche Restglied. 2

25.3 Korollar

In 25.2 gilt:

a) Rn+1 = f (n+1)(ξ)(n+1)! (x− x0)

n+1 fur p = 0, das sog. Lagrange-Restglied.

b) Rn+1 = f (n+1)(ξ)n! (x− ξ)n (x− x0) fur p = n, das sog. Cauchy-Restglied.

25.4 Beispiel

Die Exponential-Reihe f(x) = ex (x ∈ R), x0 = 0⇒ f (k) (x0) = e0 = 1Lagrange⇒ ex =

n∑

k=0

xk

k! + eξxn+1

(n+1)! fur 0 < ξ < x

0 < eξ ≤ max {1; ex} ⇒ ex =∞∑

n=0

xn

n!

Die obige Formel ist fur numerische Berechnungen extrem nutzlich, da das Rest-glied explizit berechenbar ist.

∣∣∣∣∣ex −

n∑

k=0

xk

k!

∣∣∣∣∣≤ max {1; ex} |x|

n+1

(n+ 1)!

Bemerkung: Nach dem gleichen Muster lassen sich Sinus- und Cosinus-Formelnbehandeln (jeweils mit dem Lagrange-Restglied).

cosx =

n∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!+ (−1)n+1 cos ξ

x2n+2

(2n+ 2)!

sinx =n∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!+ (−1)n+1 sin ξ

x2n+3

(2n+ 3)!

131

25.5 Logarithmus-Reihe

f :]− 1;∞[→ R, f(x) = log(1 + x), x0 = 0

⇒ f (k)(x) = (−1)k−1 (k−1)!(1+x)k

Fur x0 = 0 ergibt sich: f (k) (x0) = (−1)k−1(k − 1)! (k ≥ 1)25.1⇒ log(1 + x) =

n∑

k=1

(−1)k−1 xk

k +Rn+1. Lasse n→∞ gehen mit Rn+1

Cauchy-RG⇒ (−1)n

(1+ξ)n+1 · (x− ξ)n · x = Rn+1

(i) x > 0⇒ 0 < ξ < x

⇒ |Rn+1| =∣∣∣

(−1)n

(1+ξ)n+1 · (x− ξ)n · x∣∣∣ ≤ |x|n+1 ≤ |x|n+1

|1−x|

(ii) −1 < x < 0⇒ 0 > ξ > x

⇒∣∣∣x−ξ1+ξ

∣∣∣ =

|x|−|ξ|1−|ξ| = |x| · 1−| ξx |

1−|ξ| < |x|

⇒ |Rn+1| =∣∣∣

(−1)n

(1+ξ)n+1 (x− ξ)n · x∣∣∣ ≤ |x|

1−|ξ| · |x|n ≤|x|n+1

1−|x|

⇒∣∣∣∣log(1 + x)−

n∑

k=1

(−1)k−1 xk

k

∣∣∣∣≤ |x|n+1

1−|x|

⇒ log(1 + x) =∞∑

n=1(−1)n−1 xn

n fur |x| < 1

25.6 Binomial-Reihe

α ∈ R, f :]− 1;∞[→ R, f(x) = (1 + x)α

⇒ ∀ k ≥ 0 f (k)(x) = α(α−1) · . . . · (α−k+1)(1+x)α−k = k!(αk

)(1−x)α−k

25.1⇒ (1 + x)α =n∑

k=0

(αk

)xk +Rn+1

Bemerkung: Falls α ∈ N0, . . . (1 + x)α =∞∑

k=0

(αk

)xk hat nur Sinn fur |x| < 1

(wg. Konvergenz-Radius).|Rn+1| =

∣∣∣f (n+1)(ξ)

n! (x− ξ)nx∣∣∣ =

∣∣∣α

(α−1)(α−2)·...·(α−n)1·2·...·n

∣∣∣ (1− ξ)α−1

∣∣∣x−ξ1+ξ

∣∣∣

n

︸︷︷︸

≤|x|n

|x|

≤ α(α−1n

)(1 + ξ)α−1|x|n+1 fur ξ zwischen 0 und x

⇒ |Rn+1| ≤ |α| ·M · |x| ·∣∣(α−1n

)· xn

∣∣ n→∞−−−→ 0

(1 + x)α−1 ≤{

2α−1 fur α ≥ 1(1− |x|)α−1 fur α < 1

}

= M fur |x| < 1

⇒ (1 + x)α =∞∑

k=0

(αk

)xk fur |x| < 1

Spezialfall: α = −1⇒(−1k

)= (−1)·(−2)·...·(−k)

1·2·...·k = (−1)k

⇒ (1 + x)−1 =∞∑

k=0

(−1)kxk geometr. Reihe.

132

Bemerkung: Mit dem Restglied von Lagrange zeigt man die Konvergenz derBinomialreihe fur x = −1 und x = 1 und α ≥ 0

Beispiel:√

2 =∞∑

k=0

( 12k

)

Fur −1 < α < 0 gilt: Die Binomialreihe konvergiert fur x = 1 und divergiert furx = −1Fur α < −1 gilt: Die Binomialreihe divergiert fur x = 1 und x = −1. (Naheressiehe in [For01a], S. 246)

25.7 Satz

f : I → R sei n-mal diffbar (stetig diffbar), n ≥ 2, x0 ∈◦I und es gelte:

f ′ (x0) = f ′′ (x0) = . . . = f (n−1) (x0) f (n) (x0) 6= 0. Dann gilt:

a) n gerade und ohne Einschrankung f (n) (x0) > 0, so hat f in x0 ein isolierteslokales Minimum und es existiert δ > 0 mit f | ]x0 − δ;x0[ streng monotonfallend und f | ]x0;x0 + δ[ streng monoton wachsend und f | ]x0 − δ;x0 + δ[streng konvex.

b) n ungerade, so hat f an x0 kein Extremum, sondern einen Wendepunkt undes gilt: ∃ δ > 0 mit f | ]x0 − δ;x0[ streng konkav und f | ]x0;x0 + δ[ strengkonvex.

133

Teil V

Integralrechnung26 Das Riemannsche Integral

Problem: Gegeben sei (z. B. stetige) Funktion f : [a; b] → R, f ≥ 0. Wie istdann die Flache unter dem Graphen zu berechnen?Voraussetzung: f : [a; b]→ R sei beschrankt, d. h. |f(x)| ≤M ∀x ∈ [a; b]Ansatz: Zerlegung Z : a = x0 < x1 < . . . < xn = b, d. h. Z := {x0; . . . ;xn}.Damit Approximation der gesuchten Flache von ”innen“ und ”außen“.

26.1 Definition: Obersumme, Untersumme, Zwischensumme

Fur eine Zerlegung Z wie oben heißt

O(f, Z) :=n∑

k=1

(sup f ([xk−1;xk])) · (xk − xk−1) die Obersumme von f zu Z,

U(f, Z) :=n∑

k=1

(inf f ([xk−1;xk])) · (xk − xk−1) die Untersumme von f zu Z.

Sind ξk ∈ [xk−1;xk] irgendwelche Zwischenpunkte, so heißt

S(

f, Z, (ξk)k=1,...,n

)

:=n∑

k=1

ξk (xk − xk−1) die Zwischensumme von f zuZ und

(ξk).

26.2 Folgerungen

a) f beschrankt⇒ U(f, Z) und O(f, Z) sind sinnvoll,(inf f([a; b]))(b− a) ≤ U(f, Z) ≤ S (f, Z, (ξk)) ≤ O(f, Z)≤ (sup f([a; b]))(b− a)

b) Fur Z ⊂ Z ′ gilt: U(f, Z) ≤ U(f, Z ′) ≤ O(f, Z ′) ≤ O(f, Z)

c) Fur beliebige Zerlegungen Z,Z ′ gilt: U(f, Z) ≤ O(f, Z ′)

Beweis:

a) klar

b) Beweis genugt fur den Fall, dass Z ′ − Z = {c} einelementig, sei etwaZ : a = x0 < x1 < . . . < xk−1 < xk < . . . < xn = b,Z ′ : a = x0 < x1 < . . . < xk−1 < c < xk < . . . < xn = b.

inf f ([xk−1;xk]) ≤{

inf f ([xk−1; c]) ≤ sup f ([xk−1; c])inf f ([c;xk]) ≤ sup f ([c;xk])

}

≤ sup f ([xk−1;xk])⇒ inf f ([xk−1;xk]) (xk − xk−1)≤ inf f ([xk−1; c]) (c− xk−1) + inf f ([c;xk]) (xk − c)

134

≤ sup f ([xk−1; c]) (c− xk−1) + sup f ([c;xn]) (xk − c)≤ sup f ([xk−1;xk]) (xk − xk−1)⇒ Behauptung 2

c) U(f, Z)b)

≤ U(f, Z ∪ Z ′) ≤ O(f, Z ∪ Z ′)b)

≤ O(f, Z ′) 2

26.3 Definition: Ober- und Unterintegral

Sei f : [a; b] → R beschrankt. Dann heißtb∫

af(x)dx := sup {U(f, Z)} (Z: Zerle-

gung von [a; b]) das Unterintegral von f uber [a; b] undb∫

af(x)dx := inf {O(f, Z)} das Oberintegral.

f heißt im Riemannschen Sinne integrierbar, wennb∫

af(x)dx =

b∫

af(x)dx =:

b∫

af(x)dx.

26.4 Folgerung

b∫

af(x)dx ≤

b∫

af(x)dx

Beweis: Sei Z Zerlegung von [a; b].26.2 c)⇒ ∀Z ′: Zerlegung von [a; b] U(f, Z) ≤ O(f, Z ′), d. h. U(f, Z) ist untereSchranke von {O(f, Z ′);Z ′ Zerlegung}

⇒ U(f, Z ′) ≤ inf {O(f, Z ′);Z ′ Zerlegung} =b∫

af(x)dx

Jetzt: ∀Z U(f, Z) ≤b∫

af(x)dx ist also obere Schranke

⇒b∫

af(x)dx ≤

b∫

af(x)dx 2

26.5 Beispiele

a) f : [a; b]→ R konstant mit f(x) = c ∀x ∈ [a; b]⇒ ∀Z U(f, Z) = c · (b− a) = O(f, Z)

⇒b∫

acdx = c · (b− a)

135

b) f : [0; 1] → R, f(x) =

{0 fur x ∈ Q ∩ [0; 1]1 fur x ∈ R\Q ∩ [0; 1]

, die sog. ”Dirichlet-

sche Funktion“.

⇒ ∀Z ist U(f, Z) = 0 =b∫

af(x)dx und O(f, Z) = 1 =

b∫

af(x)dx

⇒ f ist nicht Riemann-integrierbar.

26.6 Satz

Sei f : [a; b]→ R beschrankt. Dann gilt:f integrierbar⇔ ∀ ε > 0 ∃Z Zerlegung: O(f, Z)− U(f, Z) < ε

Beweis:

”⇐“ ist klar wegenb∫

af(x)dx−

b∫

af(x)dx ≤ O(f, Z)− U(f, Z) fur alle Z

”⇒“ Sei f integrierbar und ε > 0. Dann existieren Z1, Z2 mitb∫

af(x)dx− U (f, Z1) <

ε2 und

b∫

af(x)dx− = (f, Z2) <

ε2

⇒ O (f, Z1 ∪ Z2)− U (f, Z1 ∪ Z2)

≤ O (f, Z2)−b∫

af(x)dx+

b∫

af(x)dx− U (f, Z1) < ε

⇒ Z := Z1 ∪ Z2 leistet das Verlangte 2

26.7 Satz

Jede monotone Funktion f : [a; b]→ R ist integrierbar.

Beweis: Sei f wachsend. Dann ist f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) ∀x ∈ [a; b], d. h. fbeschrankt. Z : a = x0 < x1 < . . . < xn = b: inf f ([xk−1;xk]) = f (xk−1),sup f ([xk−1;xk]) = f (xk)

⇒ O(f, Z)− U(f, Z) =n∑

k=1

(f (xk)− f (xk−1))︸︷︷︸

≥0

· (xk − xk−1)

≤ max {xk − xk−1; k1, . . . , n} =:Feinheitsgrad µ(Z).Sei nun ε > 0, δ := ε

f(b)−f(a)+1

⇒ Fur jede Zerlegung Z mit µ(Z) < δ gilt:O(f, Z)− U(f, Z) ≤ (f(b)− f(a)) ε

f(b)−f(a)+1 ≤ ε26.6⇒ Behauptung 2

26.8 Satz

Sei f : [a; b]→ R beschrankt. Dann gilt:f integrierbar⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀Z Zerlegung, µ(Z) < δ :

136

O(f, Z)− U(f, Z) < ε

Beweis:

”⇐“ klar nach 26.6

”⇒“ Vorbemerkung: ”⇒“ wird fur monotone Funktionen bewiesen in 26.7 undfur stetige Funktionen in 26.14.Allgemein: Sei f integrierbar, Z0 Teilung von [a; b], Z= ⊂ Z1 ⊂ . . . ⊂ Zr,wobei Zk+1 aus Zk durch Einfugen genau eines weiteren Teilpunktes ent-steht. Sei |f | ≤M , M > 0. Dann gilt:0 ≤ O (f, Z0)−O (f, Zn) ≤ 2Mµ (Z0) nach 26.2 b),ebenso 0 ≤ O (f, Z1)−O (f, Z2) ≤ 2Mµ((Z1) ≤ 2Mµ (Z0) . . .0 ≤ O (f, Zr−1)−O (f, Zr) ≤ 2Mµ (Z0)⇒ 0 ≤ O (f, Z0)−O (f, Zr) ≤ 2Mµ (Z0) rebenso ist 0 ≤ U (f, Zr)− U (f, Z0) ≤ 2Mµ (Z0) r⇒ 0 ≤ O (f, Z0)− U (f, Z0) ≤ O (f, Zr)− U (f, Zr) + 4Mµ (Z0) rSei nun ε > 0, f integrierbar.⇒ ∃Z0 : O (f, Z0)− U (f, Z0) <

ε2 .

Sei n0 :=Anzahl der Teilpunkte von Z0, δ := ε8Mn0

, Sei Z irgendeine Zer-legung von [a; b] mit Feinheitsgrad µ(Z) < δ.⇒ O(f, Z)− U(f, Z) ≤ O (f, Z ∪ Z0)− U (f, Z ∪ Z0) + 4Mµ(Z)n0

26.2 b)

≤ O (f, Z0)− U (f, Z0)︸︷︷︸

< ε2

+ 4Mµ(Z)n0︸︷︷︸

< ε2

< ε 2

26.9 Korollar

Sei f : [a; b] → R integrierbar und sei(Z(j)

)

j≥1eine Folge von Teilmengen von

[a; b] mit µ(Z(j)

) j→∞−−−→ 0,(

ξ(j)k

)

k=1,...,nein System von Zwischenpunkten zu

Z(j) (j ≥ 1). Dann gilt:

limj→∞

O(f, Z(j)

)= lim

j→∞U(f, Z(j)

)= lim

j→∞S(f, Z(j)

)=

b∫

af(x)dx

Beweis: 26.2 und 26.8 2

26.10 Satz

Es seien f, g : [a; b]→ R integrierbar, α, β ∈ R.

⇒ αf+βg ist integrierbar undb∫

a(αf(x)+βg(x))dx = α

b∫

af(x)dx+β

b∫

ag(x)dx

137

Beweis:

(i) U(αf, Z) =

{α · U(f, Z) fur α ≥ 0α ·O(f, Z) fur α ≤ 0

O(αf, Z) =

{α · U(f, Z) fur α ≤ 0α ·O(f, Z) fur α ≥ 0

⇒ αf ist integrierbar mitb∫

aαf(x)dx = α

b∫

af(x)dx

(ii) Offenbar ist U(f, Z) + U(g, Z) ≤ U(f + g, Z),denn inf(f + g) ([xk−1;xk]) ≥ inf f ([xk−1;xk]) + inf g ([xk−1;xk])

≤ O(f + g, Z) ≤ O(f, Z) +O(g, Z).Sei ε > 0⇒ ∃Z Zerlegung: O(f, Z)− U(f, Z) < ε

2 , O(g, Z)− U(g, Z) < ε2 .

⇒ O(f + g, Z)− U(f + g, Z) < ε⇒ f + g integrierbar nach 26.6 und nach 26.9:b∫

a(f + g)(x)dx =

b∫

af(x)dx+

b∫

ag(x)dx 2

26.11 Korollar

Seien f, g : [a; b]→ R integrierbar und g ≤ f

⇒b∫

ag(x)dx ≤

b∫

af(x)dx.

Beweis: Sei Z: Zerlegung von [a; b]. Dann gilt:b∫

a(f(x)dx−

b∫

ag(x)dx =

b∫

a(f − g)(x)dx ≥ U(f − g, Z) ≥ 0 2

26.12 Satz

Sei f : [a; b] → R integrierbar, f+ : [a; b] → R, f+(x) := max {f(x); 0},f− : [a; b]→ R, f−(x) := max {−f(x); 0}⇒ f+, f− sind integrierbar.

Vorbemerkung: f = f+ − f−, |f | = f+ + f−

Beweis: Sei Z : a = x0 < x1 < . . . < xn = b Zerlegung. Ist f | [xk−1;xk] ≤ 0,so gilt:f+| [xk−1;xk] = 0, also inf f+| [xk−1;xk] = sup f+| [xk−1;xk] = 0.Gibt es dagegen x ∈ [xk−1;xk] mit f(x) ≥ 0, dann istinf f | [xk−1;xk] ≤ inf f+| [xk−1;xk] ≤ sup f+| [xk−1;xk] ≤ sup f | [xk−1;xk]⇒ O (f+, Z)− U (f+, Z) ≤ O(f, Z)− U(f, Z)⇒ f+ ist integrierbar.

138

26.10⇒ −f ist integrierbar⇒ f− ist integrierbar 2

26.13 Korollar

Sei f integrierbar⇒ |f | ist integrierbar und

∣∣∣∣∣

b∫

af(x)dx

∣∣∣∣∣=

b∫

a|f(x)| dx

Beweis: |f | = f+ + f− ist integrierbar nach 26.12 und 26.10

⇒∣∣∣∣∣

b∫

af(x)dx

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣

b∫

af+(x)dx−

b∫

af−(x)dx

∣∣∣∣∣≤

b∫

af+(x)dx +

b∫

af−(x)dx

26.10=

b∫

af+(x) + f−(x)dx =

b∫

a|f(x)| dx 2

26.14 Satz

Jede stetige Funktion f : [a; b]→ R ist integrierbar.

Beweis: Zunachst ist jede stetige Funktion f : [a; b]→ R beschrankt.Sei Z Zerlegung von [a; b], Z : a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

O(f, Z)−U(f, Z) =n∑

k=1

sup f ([xk−1;xk])︸︷︷︸

=max{f([xk−1;xk])}

− inf f ([xk−1;xk])︸︷︷︸

=min{f([xk−1;xk])}

(xk − xk−1)

=n∑

k=1

(max f ([xk−1;xk])−min f ([xk−1;xk])) (xk − xk−1)

≤ max {max f ([xk−1;xk])−min f ([xk−1;xk]) , k = 1, . . . , n}·n∑

k=1

(xk − xk−1)

︸︷︷︸

=b−a

f stetig in [a; b]26.17⇒ f gleichmaßig stetig in [a; b], d. h.

∀ ε > 0 ∃δ > 0 : |f(x)− f(x′)| < ε ∀x, x′ ∈ [a; b] |x− x′| < δ⇒ O(f, Z)− U(f, Z) < ε

b−a · (b− a) = ε⇒ f integrierbar 2

26.15 Definition: Gleichmaßige Stetigkeit

Sei D ⊂ R, f : D → R. f heißt gleichmaßig stetig auf D genau dann, wenn gilt:∀ ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ D, |x− x′| < δ : |f(x)− f(x′)| < εVergleich mit der ublichen Stetigkeit: f stetig auf D ⇔∀ ε > 0 ∀x0 ∈ D ∃ δ > 0 ∀x′ ∈ D, |x0 − x′| < δ : |f(x′)− f (x0)| < ε,d. h. δ hangt im allgemeinen ab von x0, hier aber nur von ε.

139

26.16 Beispiel

f :]0; 1[→ R, f(x) = 1x (0 < x < 1)

⇒ f stetig, aber nicht gleichmaßig stetig.

Beweis: Annahme: f ist gleichmaßig stetig, 0 < δ < 1 das delta der gleichmaßi-gen Stetigkeit zu ε > 0.⇒∣∣ 1x − 1

x′

∣∣ < ε ∀x, x′ ∈]0; 1] mit |x− x′| < δ. Setze x := δ

⇒∣∣ 1x′ − 1

δ

∣∣ < ε ∀x′ ∈]0; δ] E, denn t 7→ 1

t , t ∈]0; δ] ist unbeschrankt.⇒ f ist nicht gleichmaßig stetig.

Ubung: f :]0; 1] → R, f(x) = sin 1x (0 < x < 1) ist nicht gleichmaßig stetig,

d. h. es gibt auch beschrankte Funktionen auf ]0; 1], die nicht gleichmaßig stetigsind.

26.17 Satz

Jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion f : [a; b] → R istgleichmaßig stetig.

Beweis: indirekt. Annahme f stetig auf [a; b], aber nicht gleichmaßig stetig.⇒ ∃ ε0 > 0 ∀n ∈ N, δ = 1

n ∃xn, x′n ∈ [a; b] : |xn − x′n| < 1n :

|f (xn)− f (x′n)| ≥ ε0(xn) beschrankt 11.9⇒ ∃ konvergente Teilfolge (xnk

): xnk

k→∞−−−→ ξ ∈ [a; b]∣∣x′nk

− xnk

∣∣ < 1

nk(k ∈ N)⇒ xnk

k→∞−−−→ ξ

f stetig in ξ ⇒ f (xnk)− f

(x′nk

) k→∞−−−→ f(ξ)− f(ξ) = 0 E, da < ε 2

26.18 Satz

Sei f : [a; c]→ R, a < b < c. Dann gilt:f : [a; c] → R integrierbar ⇔ f : [a; b] → R integrierbar ∧f : [b; c] → Rintegrierbar

⇒c∫

af(x)dx =

b∫

af(x)dx+

c∫

b

f(x)dx

Beweis:

”⇐“ Seien f |[a; b] und f |[a; c] integrierbar, ε > 0⇒ ∃ Zerlegung Z1 von [a; b] und Z2 von [b, c], so dassO (f |[a; b], Z1)− U (f |[a; b], Z1) <

ε2 und

O (f |[b; c], Z2)− U (f |[b, c], Z2) <ε2 .

Setze Z := Z1 ∪ Z2

⇒ O(f, Z) = O (f |[a; b], Z1) +O (f |[b; c], Z2),

140

U(f, Z) = U (f |[a; b], Z1) + U (f |[b; c], Z2)⇒ O(f, Z)− U(f, Z) < ε

2 + ε2 = ε

⇒ f integrierbar uber [a, c]Weiter folgt: U(f, Z) = U (f |[a; b], Z1) + U (f |[b; c], Z2)

≤b∫

af(x)dx+

c∫

b

f(x)dx

≤ O (f |[a; b], Z1) +O (f |[b; c], Z2) = O(f, Z)

⇒∣∣∣∣∣

c∫

af(x)dx−

b∫

af(x)dx−

c∫

b

f(x)dx

∣∣∣∣∣< ε ∀ ε > 0

⇒c∫

af(x)dx =

b∫

af8x)dx+

c∫

b

f(x)dx

”⇒“ Sei f : [a; c]→ R integrierbar, ε > 0⇒ ∃ Zerlegung Z von [a; b] mit O(f, Z) − U(f, Z) < ε. OBdA kann hierZ um b erganzt werden.Z1 := Z ∩ [a; b] Z2 := Z ∩ [b; c]⇒ O (f |[a; b], Z1)− U (f |[a; b], Z1) ≤ O(f, Z)− U(f, Z) < εO (f |[b; c], Z2)− U (f |[b; c], Z2) ≤ O(f, Z)− U(f, Z) < ε⇒ f |[a; b], f |[b; c] integrierbar 2

26.19 Definition

Sei f : [a; b]→ R integrierbar, α, β ∈ [a; b]β∫

αf(x)dx := −

α∫

β

f(x)dx fur α > β,α∫

αf(x)dx = 0

26.20 Korollar

Seien f : [a; b]→ R integrierbar, α, β, γ ∈ [a; b]. Dann gilt:γ∫

αf(x)dx =

β∫

αf(x)dx+

γ∫

β

f(x)dx

Beweis: Nachprufen der verschiedenen Falle mit 26.19 und 26.18.Z. B. sei α < γ < β

⇒β∫

αf(x)dx+

γ∫

β

f(x)dx =β∫

αf(x)dx−

β∫

γf(x)dx =

γ∫

αf(x)dx . . . 2

141

27 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

27.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung

Seien f, ϕ : [a; b] → R stetig und ϕ ≥ 0. Dann gibt es ξ ∈ [a; b] mit∫ ba f(x) ·

ϕ(x)dx = f(ξ) ·∫ ba ϕ(x)dx, speziell existiert fur ϕ = 1 ξ ∈ [a; b], so dass

∫ ba f(x)dx = f(ξ)(b− a).

Zusatz: Nach 28.9 ist das Produkt Riemann-integrierbarer Funktionen integrier-bar. Darum gilt 27.1 wortlich fur ϕ : [a; b] → R nur integrierbar und ≥ 0, aber fstetig.Geometrische Bedeutung: Verwandlung der Flache zwischen Graph und Achse inein flachengleiches Rechteck.

Beweis: α := min f |[a; b], β := max f |[a; b], ϕ ≥ 0⇒ αϕ(x) ≤ f(x) · ϕ(x) ≤ βϕ(x) (x ∈ [a; b])

f(x) · ϕ(x) integrierbar⇒ α∫ ba ϕ(x)dx ≤

∫ ba f(x) · ϕ(x)dx ≤ β

∫ ba ϕ(x)dx

∫ ba ϕ(x)dx ≥ 0⇒

(i)∫ ba ϕ(x)dx = 0⇒

∫ ba f(x) · ϕ(x)dx = 0

⇒ Jedes ξ ∈ [a; b] leistet das Verlangte.

(ii)∫ ba ϕ(x)dx > 0⇒ α ≤

∫ ba f(x)ϕ(x)dx∫ ba ϕ(x)dx

︸︷︷︸

=:c

≤ β

16.11⇒ ∃ ξ ∈ [a; b] : f(ξ) = c 2

27.2 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

in der Fassung nach Isaac Barrow, (1630-1677), London 1670Sei I ⊂ R Intervall und f : I → R stetig.

a) Dann hat f auf I eine Stammfunktion, z. B. ist fur jedes feste a ∈ I dieFunktion F : I → R, F (x) :=

∫ xa f(t)dt ∀x ∈ I eine Stammfunktion

von f .

b) Sind F und G : I → R beide Stammfunktionen von f , so gibt es c ∈ R mitF = G+ c

c) Sind a, b ∈ I und istF irgendeine Stammfunktion von f , so gilt:∫ ba f(x)dx =

F (b)− F (a) = F |ba

142

Beweis:

a) Wir zeigen: F : I → R, F (x) :=∫ xa f(t)dt (x ∈ I) ist Stammfunktion

von f .Dazu seien x0, x ∈ I, x 6= x0 :F (x)−F (x0)

x−x0= 1

x−x0·(∫ xa f(t)dt−

∫ x0

a f(t)dt)

26.10= 1

x−x0

(∫ xx0f(t)dt

)

= [F ]ba

27.1= f(ξ) mit einem ξ, das zwischen x und x0 liegt. Lasse nun x eine Folge

(xn) durchlaufen xnn→∞−−−→ x0, xn 6= x0 ∀n. Dann durchlaufen die zu-

gehorigen ξ eine Folge (ξn), wobei ξn stets zwischen xn und x0 liegen.⇒ ξn

n→∞−−−→ x0

f stetig⇒ f (ξn)n→∞−−−→ f (x0)

⇒ F (xn)−F (x0)xn−x0

n→∞−−−→ f (x0) fur jede Folge (xn) aus I , xnn→∞−−−→ x0

⇒ limx→x0x6=x0

F (x)−F (x0)x−x0

existiert und ist = f (x0)

⇒ F ist differenzierbar mit F ′ = f .

b) klar nach 22.8.

c) Sei F irgendeine Stammfunktion von fa),b)⇒ ∃ c ∈ R ∀x ∈ I F (x) =

∫ xa f(t)dt+ c

⇒ F (b)− F (a) =∫ ba f(t)dt+ c−

(∫ aa f(t)dt+ c

)=∫ ba f(t)dt 2

27.3 Korollar

Seien f : I → R stetig differenzierbar (d. h. stetig mit differenzierbarer Ableitung),a, b ∈ I .⇒∫ ba f

′(t)dt = f(b)− f(a)

Beweis: Der Integrand f ′ ist stetig mit Stammfunktion f ⇒ Behauptung 2

27.4 Beispiele

a) f : R → R, f(x) = xn (n ∈ N0, x ∈ R) hat Stammfunktion F (x) =1

n+1xn+1 (x ∈ R)

∫ ba x

ndx = 1n+1

(bn+1 − an+1

), z. B.

∫ 10 x

ndx = 1n+1

(n > 0)

p(x) =n∑

k=0

akxk hat Stammfunktion P (x) =

n∑

k=0

ak

k+1xk+1

b)∫ ba e

x dx = eb − ea

c)∫ badxx = log b− log a = log b

a (0 < a < b), speziell:∫ x1dtt = log x

143

d) f : R → R, f(x) = sinx ⇒∫ ba sinx dx = [− cosx]ba = −(cos b − cos a),

speziell:∫ π

20 sinx dx = 1

e) Flacheninhalt des Kreises. f : [−R;R] → R, f(x) =√R2 − x2 (|x| ≤

R) stetig ⇒ hat Stammfunktion. Fur |x| ≤ R ist F (x) = x2

√R2 − x2 +

R2

2 arcsin xR stetig und fur |x| < R ist F ′(x) = f(x). F ist auch in x = R

differenzierbar, denn fur 0 < x < r gilt mit geeignetem x < ξ < R :F (x)−F (R)

x−R = F ′(ξ) = f(ξ) =√

R2 − ξ2 x→R−0−−−−−→ 0 = f(R), dto bei −Rstatt R⇒ F ist Stammfunktion von f auf [−R;R]⇒ Flacheninhalt des Halbkreises von Radius R ist F (R)− F (−R) = π

2R2

f) Flacheninhalt der Ellipse x2

a2 + y2

b2= 1 mit Halbachsen a, b > 0. Betrachte

f : [−a; a]→ R, f(x) = ba

√a2 − x2 (|x| < a).

⇒ F = 2 ·∫ a−a f(x)dx = 2 ba

∫ a−a√a2 − x2dx

e)= 2 ba

π2a

2 = πab

g) (i) limn→∞

(1

n+1 + 1n+2 + . . .+ 1

2n

)

existiert und ist = log 2

(ii)∞∑

n=1

(−1)n−1

n = log 2

Beweis:

(i) Betrachte∫ 21dxx = log 2.

Betrachte Zerlegung Z(n) : 1 = x0 < x1 < . . . < xn = 2, xk = 1+ kn

(k = 1, . . . , n)⇒ Z(n) ist aquidistante Zerlegung von [1; 2]

ξ(n)k := 1 + k

n , k = 1, . . . , n.

Dann konvergiert die Folge S(

f, Z(n), ξ(n)k

)n→∞−−−→ log 2

S(

f, Z(n), ξ(n)k

)

=n∑

k=1

1

1 + kn

︸︷︷︸

=f(

ξ(n)k

)

· 1

n︸︷︷︸

=xk−xk−1

=n∑

k=1

1n+k

= 1n+1 + . . .+ 1

2n⇒ Behauptung

(ii) Blatt 1, Aufgabe 5:n∑

k=1

(−1)k−1

k =n∑

k=1

1n+k weiter wie in gi) 2

27.5 Satz

Sei f : [a; b]→ R stetig, f ≥ 0 und∫ ba f(x)dx = 0⇒ f = 0

144

Beweis: F : [a; b]→ R, F (x) :=∫ xa f(t)dt ist Stammfunktion von f und wegen

f ≥ 0 gilt:0 ≤ F (x) ≤

∫ xa f(t)dt+

∫ bx f(t)dt = 0

⇒ f = 0⇒ f = F ′ = 0

Bemerkung: Ohne die Voraussetzung der Stetigkeit von f wird 27.5 falsch.

Beispiel: f(x) =

{1 fur x = 00 fur 0 < x ≤ 1

⇒ f ≥ 0 integrierbar (monoton) mit∫ 10 f(x)dx = 0

27.6 Partielle Integration

f, g : [a; b]→ R seien stetig diffbar. Dann gilt:∫ ba f

′(x)g(x)dx = [f(x)g(x)]ba −∫ ba f(x)g′(x)dx.

Beweis: f ′g + fg′ = (fg)′, d. h. f ′g + fg′ hat Stammfunktion fg.⇒ Behauptung 2

27.7 Beispiel∫ ba xe

x dx = [xex]ba −∫ ba e

x dx = [ex(x− 1)]ba.Iterativ kann man so

∫ ba x

nex losen fur alle n. Ebenso∫ ba x

n cosx und∫ ba x

n sinx

27.8 Beispiel

Fur a, b > 0 ist∫ ba log x dx =

∫ ba 1 · log x dx = [x · log x]ba−

∫ ba 1 = [x log x−1]ba.

Gleicher ”Trick“ bei∫ ba arctanx dx,

∫ ba arcsinx dx und

∫ ba arccosx dx

27.9 Wallissches Produkt

Sei In :=∫ π

20 sinn x dx fur n ∈ N0⇒ I0 = π

2 , I1 = 1 und fur n ≥ 2 ist

In =

∫ π2

0sinx · sinn−1 x dx

=[cosx · sinn−1 x

]π2

0︸︷︷︸

=0

+

∫ π2

0cosx · (n− 1) sinn−2 x · cosx dx

= (n− 1)

∫ π2

0cos2 x sinn−2 x dx

= (n− 1)

∫ π2

0

(1− sin2 x

)sinn−2 x dx = (n− 1)In−2 − (n− 1)In

145

⇒ In =n− 1

nIn−2 =

{ n−1n · n−3

n−2 · . . . · 34 · 1

2 · π2 falls n geraden−1n · n−3

n−2 · . . . · 45 · 2

3 · 1, falls n ungerade

⇒ sinn+1 x < sinn x fur 0 < x < π2

⇒ I2n+1 < I2n < I2n−1 ∀n ∈ N

⇒ 2

3· 45· . . . · 2n

2n+ 1<

1

2· 34· . . . · 2n− 1

2n· π2<

2

3· 45· . . . · 2n− 2

2n− 1(n ∈ N)

⇒ 2n

2n+ 1<

(3 · 5 · . . . · (2n− 1)

2 · 4 · . . . · (2n− 2)

)2 1

2n· π2< 1

Einschließungskriterium⇒Wallissches Produkt:

limn→∞

(2 · 4 · . . . · (2n− 2)

3 · 5 · . . . · (2n− 1)

)2

· 2n =π

2

Alternative Form:

limn→∞

(2 · 4 · . . . · 2n

3 · 5 · . . . · (2n− 1)

)2 1

2n+ 1=π

2,

limn→∞

n∏

k=1

2k

2k − 1

2k

2k + 1=π

2

oder

limn→∞

1√n·n∏

k=1

2k

2k − 1=√π

27.10 Substitutionsregel

Sei f : I → R stetig, g : J → I stetig diffbar, α, β ∈ J , so dass g(α) = a,g(β) = b. Dann gilt:∫ ba f(x)dx =

∫ βα f(g(t))g′(t)dt

Beweis: Sei F : I → R Stammfunktion von f (existiert nach 27.2)⇒ d

dtF (g(t)) = F ′(g(t))g′(t) = f(g(t))g′(t), d. h. t 7→ f(g(t))g′(t) ist stetig undhat Stammfunktion F ◦ g.27.2⇒

∫ βα f(g(t))g′(t)dt = [f(g(t))]βα = F (g(β)) − F (g(α)) = F (b) − F (a) =

∫ ba f(x)dx 2

146

27.11 Beispiele

a)∫ ba

dxx2+6x+10

=∫ ba

dx(x+3)2+1

=∫ b+3a+3

dtt2+1

= [arctan t]b+3a+3 = [arctan(x+ 3)]ba

b) Flacheninhalt des Halbkreises vom Radius R: F = 2 ·∫ ba

√R2 − x2dx

0 ≤ t ≤ π2 x = R · sin t = g(t)

= 2R2∫ R0

√

1− sin2 t cos tdt = 2R2∫ π

20 cos2 tdt

t = π2 − u

= 2R2∫ π

20 sin2 udu = 1

22R2∫ π

20 sin2 t+ cos2 tdt = π

2R2

27.12 Satz von Darboux

benannt nach Jean Gaston Darboux, 14.8.1842–23.2.1917, von 1875Sei f : [a; b] → R Riemann-integrierbar, und es gebe eine Stammfunktion F vonf . Dann gilt:∫ ba f(x)dx = F (b)− F (a)

Beweis:∫ ba f(x)dx =

∫ ba F

′(x)dx = Grenzwert Riemannscher Zerlegungssum-

men = limn→∞

n∑

j=1F ′ (ξj) (xj − xj−1)

(a = x0 < x1 < . . . < xn = b, ξj ∈ [xj−1;xj ]). Das gilt bei beliebiger Wahl derξj . Wahle nun ξj speziell so, dass F ′ (ξj) (xj − xj − 1) = F (xj) − F (xj−1)(j = 1, . . . , n). Das ist moglich nach 22.4.

Bei dieser Wahl der (ξj) istn∑

j=1F ′ (ξj) (xj − xj−1) =

n∑

j=1F (xj) − F (xj−1) =

F (b)− F (a)⇒ Behauptung 2

27.13 Satz

Erstmals postuliert von Johann Heinrich Lambert (26.8.1728 – 25.9.1777)π2 ist irrational, a fortiori ist π irrational.

Bemerkung: Carl Louis Ferdinand Lindemann hat bewiesen, dass π transzen-dent ist.

Beweis: nach Ivan Niven (1915–1999), 1947, vereinfacht von Prof. Dr. E. M.Schroder (Uni Hamburg), in ”Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft Ham-burg 13“, S. 249, 1993.Wir setzen fur n ∈ Z, n ≥ 0 fn : R → R, fn(x) := (x(π − x))n, In :=

147

1n!

∫ π0 fn(x)

︸︷︷︸

>0 auf ]0;π[

sinx dx

⇒ ddx (f ′n(x) sinx− fn(x) cosx) = f ′′n(x) · sinx+ fn(x) · sinx

⇒∫ π0 f ′′n(x) · sinx+ fn(x) · sinx dx = [fn(x) sinx− fn(x) cosx]π0 = 0

⇒ In = − 1n!

∫ π0 f ′′n(x) sinx dx

Wegen (f ′1(x))2 = (π − 2x)2 = π2 − 4

(πx− x2

)= π2 − 4f1

⇒ f ′′n+2 =d

dx

((n+ 2)fn+1f

′1

)

= (n+ 2)

(n+ 1)fn ·

(f ′1(x)

)2

︸︷︷︸

π2−4f1

+fn+1 f ′′1︸︷︷︸

=−2

= (n+ 2)(π2(n+ 1)fn − (4n+ 6)fn+1

)

⇒ In+2 = − 1

(n+ 2)!

∫ π

0f ′′n+2(x) sinx dx

= (4n+ 6)1

(n+ 1)!

∫ π

0fn+1(x) sinx dx

︸︷︷︸

In+1

−π2 1

n!

∫ π

0fn(x) sinx dx

︸︷︷︸

In

⇒ In+2 = (4n+ 6)In+1 − π2In

Annahme: π2 ist rational

⇒ ∃ p, q ∈ N π2 =p

qan := qn · In

⇒ an+2 = (4n+ 6)q · an+1 − pq · an ∀n ∈ N0

a0 = I0 =∫ π0 sinx dx = 2

a1 = − q1!

∫ π0 f ′′1 (x) sinx dx = 49

}

a0, a1 ∈ Z⇒ an ∈ Z (n ∈ N0)

Nach Definition ist 0 < x(π − x) = π2

4 −(π2 − x

)2< π2

4 fur 0 < x < π

⇒ 0 < In = 1n!

∫ π0 (x(π − x))n sinx dx < 1

n!π(π2

4

)n

⇒ 0 < an < π

(

q π2

4

)n

n! < 1 fur n hinreichend groß, da die Exponentialreihekonvergiert. E 2

148

28 Die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und demgeometrischen Mittel und die Ungleichung von Holderund Minkowski

Vorbemerkung: Fur α > 0 gilt: xα = exp(α log x)x→0+0−−−−→ 0. Setzt man also

0α = 0 fur α > 0, so ist f : [0;∞[→ R mit f(x) = xα fur (x > 0) und f(x) := 0

fur x = 0 stetig. Dagegen xx x→+0−−−−→ 1, 00 := 1 ist die gangigste Definition.

28.1 Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mit-tel

Seien a1, . . . , an ≥ 0, p1, . . . , pn ≥ 0, p1 + . . .+ pn = 1. Dann gilt:

n∏

k=1

apk

k ≤n∑

k=1

pkak.

Insbesondere gilt fur p1 = p2 = . . . = pn = 1n :

(n∏

k=1

ak

) 1n

︸︷︷︸

geom. Mittel

≤ 1

n

n∑

k=1

ak

︸︷︷︸

arithm. Mittel

Z. B. fur n = 2 :√ab ≤ 1

2(a+ b)

Beweis: (nach Horst Alzer, Uni Wurzburg, 1996)Aus Stetigkeitsgrunden genugt der Beweis fur den Fall a1, . . . , an > 0Aus Symmetriegrunden kann gleich angenommen werden: 0 < a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤an⇒ a1 ≤

∏nk=1 a

pk

k =: Gn ≤ an⇒ ∃ k ∈ {1; . . . ;n− 1} : ak ≤ Gn ≤ ak+1

Fur j = 1, . . . , k ist

pk ·∫ Gn

aj

(1

t− 1

Gn

)

︸︷︷︸

≥0

dt = log

(Gnaj

)pj

+pjajGn− pj

Beachte:∑n

j=1 log(Gn

aj

)pj

= 0 (!)

⇒n∑

j=1

pjajGn−

n∑

j=1

pj

︸︷︷︸

=1

≥ 0 ⇒ Gn ≤n∑

j=1

pjaj 2

149

Zusatz: Sind p1, . . . , pn > 0 und a1, . . . , an > 0 und gibt es j 6= k mit aj 6= ak,so gilt:

n∏

k=1

apk

k <n∑

k=1

akpk

Beweis siehe oben 2

28.2 Definition: p-Norm

Fur p ≥ 1, x =

x1...xn

∈ Rn sei ‖xp‖ :=

(∑n

j=1 |xj |p) 1

p die p-Norm von x.

28.3 Folgerungen

a) Fur p = 2 ist ‖x‖2 die elementargeometrische Lange von x (x ∈ Rn)

b) ‖x‖p ≥ 0 und ‖x‖p = 0⇔ x = 0

c) ‖λx‖p = |λ|‖x‖p

d) Dreiecksungleichung fur ‖x‖p siehe 28.6: Minkowskische Ungleichung

28.4 Holdersche Ungleichung

benannt nach Otto Holder (1859–1937)Seien p, q > 1, 1

p + 1q = 1. Dann gilt:

∑nj=1 |xjyj | ≤ ‖x‖p‖y‖q (x, y ∈ Rn)

Beweis: Fur x = 0 ∧ y = 0 ist die Behauptung klar.Sei also gleich ‖x‖p ≥ 0, ‖y‖p ≥ 0

28.1⇒ uv ≤ 1

pup +

1

qvq ∀u, v ≥ 0 (9)

Setze hier: u := |xk|‖x‖p

, v := |yk|‖g‖q

und summiere uber k = 1, . . . , n

⇒∑nk=1

|xkyk|‖x‖p‖y‖p

≤ 1p

∑nk=1

|xk|p‖x‖p

p︸︷︷︸

=1

+1q

∑nk=1

|gk|q‖y‖q

q︸︷︷︸

=1

= 1p + 1

q = 1

⇒ Behauptung 2

Zusatz: Elementarer Beweis von (9):Zu zeigen: xy ≤ 1

pxp + 1

qyq fur alle x, y > 0 Die Behauptung folgt daraus wegen

der Stetigkeit.Betrachte bei festem y: f : [0;∞[→ R, f(x) := 1

pxp + 1

qyq − xy

150

⇒ f ′(x) = xp−1 − y

> 0 fur x > y1

p−1

= 0 fur x = y1

p−1

< 0 fur x < y1

p−1

p− 1 = pq ⇒ f hat in y

qp ein isoliertes absolutes Minimum.

f(

yqp

)

= yq − yq = 0⇒ Behauptung 2

28.5 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

benannt nach Hermann Armandus Schwarz (1843–1921)

∀x, y ∈ Rn |〈x, y〉| ≤ ‖x‖2·‖y‖2, d. h.∣∣∣∑n

j=1 xjyj

∣∣∣

2≤(∑n

j=1 x2j

)(∑n

j=1 y2j

)

Beweis: 28.4 mit p = q = 2 2

28.6 Minkowskische Ungleichung

Fur p ≥ 1 gilt: ‖x+ y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p (x, y ∈ Rn)

Beweis: p = 1 trivial.

p > 1: Sei q =(

1− 1p

)−1⇒ q > 1, 1

p + 1q = 1

⇒n∑

j=1

|xj + yj |p ≤n∑

j=1

|xj + yj | |xj + yj |p−1

≤n∑

j=1

|xj | |xj + yj |p−1 + |yj | |xj + yj |p−1

28.4≤ (‖x‖p + ‖y‖p)

n∑

j=1

|xj + yj | (p− 1)q = p

1q

Ist nun∑n

j=1 |xj + yj |p = 0, so ist die Behauptung richtig.Ist∑n

j=1 |xj + yj |p > 0, so erhalt man nach Division der letzten Ungleichung

durch(∑n

j=1 |xj + yj |p) 1

q wegen 1− 1q = 1

p die Behauptung. 2

28.7 Dreiecksungleichung im Rn

Fur alle x, y ∈ Rn ist ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2

Beweis: p = 2 in 28.6 2

Analogon von ‖x‖p fur Integrale:(∫ b

a |f(x)|pdx) 1

p . Wir zeigen: Diese Definitionist sinnvoll:

151

28.8 Satz

Sei f : [a; b]→ R integrierbar, p ∈ [1;∞[, dann ist auch |f |p integrierbar.

Beweis: Sei |f | ≤ M auf [a; b]. Fur 0 ≤ v ≤ u ≤ M gilt nach 22.4: up − vp =(u− v)pξp−1 ≤ pMp−1(u− v) mit v ≤ ξ ≤ u⇒ O (|f |p, Z)− U (|f |p, Z) ≤ pMp−1 · (O(|f |, Z)− U(|f |, Z))Da f integrierbar ist, folgt die Behauptung nach 26.6 2

28.9 Korollar

f, g : [a; b]→ R seien integrierbar⇒ f · g integrierbar

Beweis: f · g = 12 (|f + g|)2 − |f |2 − |g|2 und 28.8 2

28.10 Holdersche Ungleichung fur Integrale

Seien f, g : [a; b]→ R integrierbar, p, q ∈ [1;∞[, 1p + 1

q = 1. Dann gilt:

‖f ·g‖1 =

∫ b

a|f(x)g(x)| dx ≤ ‖f‖p ·‖g‖q, wobei ‖f‖p :=

(∫ b

a|f(x)|p dx

) 1p

Beweis: Alle auftretenden Funktionen sind integrierbar nach 28.8, 28.9 und 26.13.Weiter gilt fur die Zwischensumme

S (|f · g|, Z, (ξk)) =n∑

k=1

|f (ξk) g (ξk)| · (xk − xk−1)

=n∑

k=1

(

|f (ξk)| (xk − xk−1)1p

)(

|g (ξk)| (xk − xk−1)1q

)

28.4≤(

n∑

k=1

|f (ξk)|p (xk − xk−1)

) 1p(

n∑

k=1

|g (ξk)|q (xk − xk−1)

) 1q

= S (|f |p, Z, (ξk))1p · S (|g|q, Z, (ξk))

1q .

Lasse Z eine Folge von Zerlegungen(Z(j)

)durchlaufen mit µ

(Z(j)

) j→∞−−−→ 0⇒ Behauptung 2

28.11 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung fur Integrale

f, g : [a; b]→ R seien integrierbar.

⇒∫ ba |f(x)g(x)| dx ≤

(∫ ba |f(x)|2 dx

) 12(∫ b

a |g(x)|2 dx

) 12

152

Beweis: p = q = 2 in 28.10 2

28.12 Minkowskische Ungleichung fur Integrale

f, g : [a; b]→ R seien integrierbar, p ≥ 1

⇒(∫ b

a |f(x) + g(x)|p dx) 1

p ≤(∫ b

a |f(x)|p dx) 1

p+(∫ b

a |g(x)|p dx

) 1p

Beweis:

1.) Behauptung gilt nach 28.6 fur Zwischensummen und folgt fur Integrale durchGrenzubergang (siehe bei 28.10) 2

2.) Die Schlussweise aus 28.6 lasst sich mit 28.10 ubertragen 2

28.13 Dreiecksungleichung fur Integrale

f, g : [a; b]→ R seien integrierbar⇒ ‖f + g‖2 ≤ ‖f‖2 + ‖g‖2

Beweis: 28.12 mit p = 2 2

153

a b

f(a)

f(b)

S

Abbildung 5: Sehnenregel

29 Naherungsweise Berechnung von Integralen

29.1 Sehnenregel

auch als Trapezregel bezeichnet. Es sei f : [a, b]→ R 2-mal stetig differenzierbar.Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b], so dass

∫ b

af(x)dx =

1

2(f(a) + f(b)) · (b− a)− 2

3

(b− a

2

)3

f ′′(ξ)

Beweis: Wir integrieren partiell:

∫ b

af(x)dx =

[(

x− a+ b

2

)

· f(x)

]b

a

−∫ b

a

(

x− a+ b

2

)

· f ′(x)dx

=b− a

2(f(a) + f(b))

︸︷︷︸

=:S

−∫ b

a

(

x− a+ b

2

)

f ′(x)dx

Dabei ist S der Flacheninhalt des einbeschriebenen Trapezes (siehe Abb. 5).

= S −[(

1

2

(

x− a+ b

2

)2

− 1

2

(b− a

2

)2)

f ′(x)

]b

a

+

∫ b

a

1

2

((

x− a+ b

2

)2

−(b− a

2

)2)

f ′′(x)dx

= S −∫ b

a

1

2

((b+ a

2

)2

−(

x− a+ b

2

)2)

f ′′(x)dx.

154

Hier sind ϕ, f ′′ : [a, b]→ R,

ϕ(x) :=1

2

((b− a

2

)2

−(

x− a+ b

2

))2

=1

2(x− a) · (b− x)

beide stetig und es ist ϕ ≥ 0 (auf [a, b]).

27.1⇒∫ b

aϕ(x)f ′′(x)dx = f ′′(ξ)

∫ b

aϕ(x)dx

mit geeignetem ξ ∈ [a, b]. Hier ist

∫ b

aϕ(x)dx =

1

2

[(b− a

2

)2

·(

x− a+ b

2

)

− 1

3

(

x− a+ b

2

)3]b

a

=1

2

(

2

3·(b− a

2

)3

+2

3

(b− a

2

)3)

=2

3

(b− a

2

)3

2

Bemerkung: Ist in 29.1 die Funktion f konvex, so ist S großer (≥) als derFlacheninhalt zwischen Kurve und x-Achse. Dann ist aber auch f ′′(ξ) > (≥)0,und der Fehler wird in der richtigen Weise korrigiert.

29.2 Korollar

Es seien f : [a, b]→ R zweimal stetig differenzierbar, n ∈ N. Dann ist∣∣∣∣∣

∫ b

af(x)dx−

(

1

2f(a) +

n−1∑

k=1

f

(

a+ kb− an

)

+1

2f(b)

)

· b− an

∣∣∣∣∣

≤ b− a12·(b− an

)2

·max{∣∣f ′′(x)

∣∣ : x ∈ [a, b]

}

Beachte: Der Fehler bei Anwendung der Trapezregel ist kleiner bzw. gleich demQuadrat der Schrittweite b−a

n .

Beweis: Nach 29.1 ist fur 0 ≤ k ≤ n− 1, h := b+an :

∣∣∣∣∣

∫ a+(k+1)·h

a+k·hf(x)dx− 1

2(f (a+ k · h) + f (a+ (k + 1)h)) · h

∣∣∣∣∣

≤ 1

n· b− a

12

(b− an

)2

·max{∣∣f ′′(x)

∣∣ : x ∈ [a, b]

}.

Die Behauptung folgt dann durch Addition dieser Ungleichung und der Dreiecks-ungleichung. 2

155

29.3 Tangentenregel

Es sei f : [a, b] → R zweimal stetig differenzierbar. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b],so dass

∫ b

af(x)dx = f

(a+ b

2

)

(b− a) +1

3

(b− a

2

)3

f ′′(ξ)︸︷︷︸

Naherungswert zu klein, wenn f konvex

Beweis:∫ b

af(x)dx =

∫ a+b2

af(x)dx+

∫ b

a+b2

f(x)dx

Partielle Integration liefert:

∫ a+b2

af(x)dx = [(x− a)f(x)]

a+b2

a −∫ a+b

2

a(x− a)f ′(x)dx

=b+ a

2f

(a+ b

2

)

−∫ a+b

2

a(x− a)f ′(x)dx

=b− a

2f

(a+ b

2

)

−[1

2(x− a)2f ′(x)

]a+b2

a

+

∫ a+b2

a

1

2(x− a)2f ′′(x)dx

=b− a

2f

(a+ b

2

)

− 1

2

(b− a

2

)2

f ′(a+ b

2

)

+

∫ a+b2

a

1

2(x− a)2f ′′(x)dx.

Ebenso findet man:∫ b

a+b2

f(x)dx =b− a

2f

(a+ b

2

)

+1

2

(b+ a

2

)2

f ′(a+ b

2

)

+

∫ b

a+b2

1

2(b−x)2f ′′(x)dx

denn:∫ b

a+b2

f(x)dx = [−(b− x)f(x)]ba+b2

+

∫ b

a+b2

(b− x)f ′(x)dx

=b− a

2f

(a+ b

2

)

+

[

−1

2(b− x)2f ′(x)

]b

a+b2

+

∫ b

a+b2

1

2(b− x)2f ′′(x)dx

=b− a

2f

(a+ b

2

)

+1

2

(b− a

2

)2

f ′(a+ b

2

)

+

∫ b

a+b2

1

2(b− x)2f ′′(x)dx

⇒∫ b

af(x)dx = f

(a+ b

2

)

(b− a) +

∫ b

aϕ(x)f ′′(x)dx

156

mit

ϕ(x) :=

{12 (x− a)2 f+r a ≤ x ≤ a+b

212 (b− x)2 f+r a+b

2 ≤ x ≤ b

Es ist ϕ ≥ 0 und stetig, ferner f ′′ stetig.

27.1⇒ ∃ ξ ∈ [a, b]

∫ b

aϕ(x)f ′′(x)dx = f ′′(ξ)

∫ b

aϕ(x)dx.

Hier ist∫ b

aϕ(x)dx =

∫ a+b2

a(x− a)2dx =

[1

3(x− a)3

]a+b2

a

=1

3

(b− a

2

)3

2

29.4 Korollar (Allgemeine Tangentenregel)

Sei f : [a, b]→ R zweimal stetig differenzierbar und n ∈ N. Dann gilt:∣∣∣∣∣

∫ b

af(x)dx− b− a

n

n−1∑

k=0

f

(

a+2k + 1

2n(b− a)

)∣∣∣∣∣

≤ b− a24

(b− an

)2

·max{∣∣f ′′(x)

∣∣ : x ∈ [a, b]

}.

Beweis: 29.3⇒ Fur 0 ≤ k ≤ n− 1 ist∣∣∣∣∣

∫ a+(2k+2)· b+a2n

a+2k· b+a2n

f(x)dx− f(

a+ (2k + 1)b− a2n

)

· b− an

∣∣∣∣∣

≤ 1

n

b− a24

(b− an

)2

·max{∣∣f ′′(x)

∣∣ : x ∈ [a, b]

}.

Addition dieser Ungleichungen liefert die Behauptung. 2

29.5 Keplersche Fassregel

nach Johannes Kepler (27.12.1571–15.11.1630) (”Nova stereometria doliorum vi-nariorum“, Linz 1615)8

Es sei f : [a, b]→ R viermal stetig differenzierbar. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b], sodass∫ b

af(x)dx =

(1

6f(a) +

2

3f

(a+ b

2

)

+1

6f(b)

)

(b−a)− (b− a)52880

f (iv)(ξ).

Diese Regel ist eine Art Mischung aus der Sehnenregel und der Tangentenregel.81613 war in Osterreich ein gutes Weinjahr, und Kepler bemerkte, dass die in Osterreich damals

ubliche Methode zur Eichung der Weinfasser sehr ungenau war.

157

Beweis: Man nimmt 23 mal den Naherungswert der Tangentenregel und addiert

12 des Naherungswertes der Sehnenregel. 29.1, 29.3⇒ Das gibt den exakten Inte-gralwert, wenn f ′′ konstant ist. 29.5⇒ Dann wird der Fehler mit der 5. Potenz derIntervalllange klein, und die 2880 im Nenner wirken zusatzlich verkleinernd, wenndie 4. Ableitung nicht zu groß wird.Interessant ist auch folgendes: Die Sehnenregel und die Tangentenregel liefern ex-akte Werte fur das Integral, wenn f ′′ = 0 ist, d. h. wenn f ein lineares Polynom ist.Die Keplersche Fassregel liefert den exakten Wert des Integrals, wenn f (iv) = 0ist, d. h. wenn f ein Polynom vom Grade ≤ 3 ist, und selbst fur Polynome vomGrade 4 erhalt man unter Berucksichtigung des Rests eine strenge Formel.Wir sahen im Beweis der Sehnenregel, dass

∫ b

af (x) dx =

1

2(f (a) + f (b)) (b− a)−

∫ b

a

1

2

((b− a

2

)2

−(

x− a+ b

2

)2)

f ′′ (x) dx

und im Beweis der Tangentenregel, dass

∫ b

af (x) dx = f

(a+ b

2

)

(b− a) +

∫ b

aϕ (x) f ′′ (x) dx

= f

(a+ b

2

)

(b− a) +1

3

(b− a

2

)3

f ′′ (ξT )

mit

ϕ (x) =

{12 (x− a)2 fur a ≤ x ≤ a+b

2 ,12 (b− x)2 fur a+b

2 ≤ x ≤ b.

Beachte: ϕ(a+b2 + x

)= ϕ

(a+n

2 − x).

13 · Erste Gleichung + 2

3 · Zweite Gleichung⇒∫ b

af (x) dx =

(1

6f (a) +

2

3f

(a+ b

2

)

+1

6f (b)

)

(b− a)︸︷︷︸

=:K=Keplerscher Naherungswert

+

∫ b

aϕ2 (x) f ′′(x)dx,

wobei fur a ≤ x ≤ b gilt:

ϕ2 (x) =2

3ϕ (x)− 1

6

((b− a

2

)2

−(

x− a+ b

2

)2)

.

Offenbar ist ϕ2

(a+b2 + x

)= ϕ

(a+b2 − x

) (0 ≤ x ≤ b−a

2

). Wir brauchen also

ϕ2 nur fur a ≤ x ≤ a+ h mit h = b−a2 auszurechnen; dann ist

ϕ2 (x) =1

3(x− a)2 +

1

6

(

x− a+ b

2

)2

− 1

6h2

158

0

x

Abbildung 6: ϕ2(x)

=1

3

(

x− a+ b

2+ h

)2

+1

6

(

x− a+ b

2

)2

− 1

6h2

=1

2

(

x− a+ b

2

)2

+2

3

(

x− a+ b

2

)

h+1

6h2

fur a ≤ x ≤ a+ h. Insgesamt folgt:

ϕ2 (x) =

{12

(x− a+b

2

)2+ 2

3

(x− a+b

2

)h+ 1

6h2 fur a ≤ x ≤ a+ h,

12

(x− a+b

2

)2 − 23

(x− a+b

2

)h+ 1

6h2 fur a+ h ≤ x ≤ b

ϕ2 ist stetig, aber nicht durchweg ≥ 0, denn der Graph sieht aus wie in Abb. 6.Beachte: ϕ′

2(a) = −13h < 0. Deshalb integrieren wir weiter partiell:

ϕ3 (x) :=

∫ x

a+b2

ϕ (t) dt

=

{16

(x− a+b

2

)3+ 1

3

(x− a+b

2

)2h+ 1

6h2(x− a+b

2

)fur a ≤ x ≤ a+ h,

16

(x− a+b

2

)3+ 1

3

(x− a+b

2

)2h+ 1

6h2(x− a+b

2

)fur a+ h ≤ x ≤ b

Dabei ist ϕ3 differenzierbar nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrech-nung.

⇒∫ b

aϕ2 (x) f ′′ (x) dx =

[ϕ3 (x) f ′′ (x)

]b

a−∫ b

aϕ3 (x) f ′′′ (x) dx = −

∫ b

aϕ3 (x) f ′′′ (x) dx,

da ϕ3(a) = ϕ3(b) = 0. Der Graph von ϕ3 ist in Abb. 7 zu sehen. Da ϕ3 dasVorzeichen wechselt, konnen wir immer noch nicht den Mittelwertsatz der Integral-Rechnung anwenden. Deshalb integrieren wir noch einmal partiell:

ϕ4 (x) :=

∫ x

a+b2

ϕ3 (t) dt− 1

72h4

159

0

x

Abbildung 7: Der Graph von ϕ3

=

{124

(x− a+b

2

)4+ 1

9

(x− a+b

2

)3h+ 1

12

(x− a+b

2

)2h2 − 1

72h4 fur a ≤ x ≤ a+ h

124

(x− a+b

2

)4 − 19

(x− a+b

2

)3h+ 1

12

(x− a+b

2

)2h2 − 1

72h4 fur a+ h ≤ x ≤ b

Wegen

∫ b

a+b2

ϕ3 (x) dx =1

24h4 − 1

9h4 +

1

12h4 =

(1

8− 1

9

)

h4 =1

72h4

ist ϕ4(a) = ϕ4(b) = 0, also ϕ4 ≤ 0 und daher unser Fehlerterm

∫ b

aϕ2 (x) f ′′ (x) dx = −

∫ b

aϕ3 (x) f ′′′ (x) dx =

∫ b

aϕ4 (x) f (iv) (x) dx

= f (iv) (ξ)

∫ b

aϕ4 (x) dx,

denn f ist 4-mal stetig differenzierbar und ϕ4 stetig und ≤ 0. Nun rechnet manaus:

∫ b

aϕ4 (x) dx

= 2

∫ b

a+b2

(

1

24

(

x− b+ a

2

)4

− 1

9

(

x− b+ a

2

)3

h+1

12

(

x− b+ a

2

)2

h2 − 1

72h4

)

dx

= 2

1

5 · 24 −1

4 · 9 +1

3 · 12︸︷︷︸

=0

− 1

72

h5 =

(1

5 · 12 −1

3 · 12

)

h5

= − 2

15 · 12h5 = − 1

90h5 = − 1

2880(b− a)5 2

160

29.6 Simpsonsche Regel

Es sei f : [a, b]→ R 4-mal stetig differenzierbar und n ∈ N. Dann gilt:∣∣∣∣∣

∫ b

af (x) dx− b− a

n

(

1

6f (a) +

1

3

n−1∑

k=1

f

(

a+ k · b− an

)

+2

3

n∑

k=1

f

(

a+ (2k − 1)b− a2n

)

+1

6f (b)

)∣∣∣∣∣

≤ (b− a)52880

· 1

n4·max

{∣∣∣f (iv) (x)

∣∣∣ : x ∈ [a, b]

}

.

Beweis: Nach 29.5 ist mit h = b−an , k = 0, . . . , n− 1:

∣∣∣∣∣

∫ a+(k+1)h

a+khf (x) dx−

(1

6f (a+ kh) +

2

3f

(

a+ (2k + 1)h

2

)

+1

6f (a+ (k + 1)h)

)

h

∣∣∣∣∣

≤ (b− a)52880

· 1

n5·max

{∣∣∣f (iv) (x)

∣∣∣ : x ∈ [a, b]

}

.

Addition dieser Ungleichungen liefert die Behauptung. 2

Bemerkung: Manchmal ist es nicht optimal, den Fehler durch∣∣f (iv)

∣∣ abzuschat-

zen. Wenn z. B. in [a, b] die Funktion f (iv) stets einerlei Vorzeichen hat, gibt 29.5uber das Vorzeichen des Fehlers Auskunft.

161

30 Uneigentliche Integrale

30.1 Definition: Uneigentliche Integrierbarkeit

Sei −∞ ≤ a < b ≤ ∞ und f : ]a; b[→ R. Dann heißt f uneigentlich integrierbar,wenn gilt:

a) Fur jedes abgeschlossene Intervall [a′; b′] ⊂ ]a; b[ ist f uber [a′; b′] eigent-lich, d. h. im bisherigen Sinne, integrierbar.

b) Fur ein (und dann auch fur alle) c ∈ ]a; b[ existieren die Grenzwertelim

y→a+o

∫ cy f(x)dx und lim

z→b−0

∫ zc f(x)dx

Ist f uneigentlich integrierbar, so heißt∫ b

af(x)dx := lim

y→a+0

∫ c

yf(x)dx+ lim

z→b−0

∫ z

cf(x)dx

das uneigentliche Integral von f .

Bemerkungen:

a) Ist z. B. f : [a; b[→ R erklart und f |[a; y] integrierbar fur jedes y ∈ [a; b[, sowahle man oben c = a, ebenso fur die untere Grenze.

b) Ist f : [a; b] → R integrierbar, so ist f auch uneigentlich integrierbar unddie Integralwerte gemaß alter und neuer Definition sind gleich, da x 7→∫ xc f(t)dt stetig und abhangig von x ist.

c) Im Unterschied zum eigentlichen Riemann-Integral braucht der Integrand fbeim uneigentlichen Integral nicht beschrankt zu sein, und das Integral musskeine endliche Lange haben.

30.2 Beispiele

a)∫∞1

dxxα existiert⇔ α > 1. (Parallel:

∞∑

n=1

1nα konvergiert⇔ α > 1).

Beweis: Sei y > 1 :∫ y1dxxα =

{ [1

1−αx1−α]y

1fur α 6= 1

log y fur α = 1

=

{1

1−αy1−α − 1

1−α fur α 6= 1

log y fur α = 1⇒ Die rechte Seite hat fur y → ∞ genau dann einen Grenzwert, wennα > 1. Dann ist der Grenzwert − 1

1−α . Also∫ ∞

1

dx

xα

{= 1

α−1 fur α > 1

divergiert fur α ≤ 1

b)∫ 10dxxα konvergiert⇔ α < 1.

162

Beweis: Sei 0 < ε < 1 :∫ 1

ε

dx

xα=

{ − log ε fur α = 11

1−α(1− ε1−α

)fur α 6= 1

⇒ Es existiert ein Limes fur ε→ 0 + 0⇔ α < 1 und∫ 1

0

dx

xα

{= 1

1−α fur α < 1

divergiert fur α ≥ 1

c)∫ 0−∞ ex dx = 1 oder

∫∞0 e−xdx = 1.

Beweis:∫ 0y e

x dx = [ex]0yy→−∞−−−−→ 1

Analog:∫ 10 log x dx = −1

d)∫∞0 xne−x dx = n! ∀, n ≥ 0.

Beweis: F (x) := −n!e−x∑n

k=0xk

k! ist Stammfunktion des Integrandenmit F (y)

y→∞−−−→ 0, da die Exponentialfunktion schneller wachst als jedesPolynom. F (0) = −n!⇒ Behauptung.

e)∫∞−∞

dx1+x2 = π.

Beweis:∫ y0

dx1+x2 = arctan y

y→∞−−−→ π2 , ebenso

∫ 0−y

dx1+x2 = − arctan(−y) y→∞−−−→

π2 ⇒ Behauptung.

30.3 Satz: Cauchy-Kriterium

Sei −∞ ≤ a 0 ∃ b0 ∈]a, b[ ∀ b0 < b′ < b′′ < b∣∣∣

∫ b′′

b′ f(x)dx∣∣∣ < ε

∀ ε > 0 ∃ a0 ∈]a, b[ ∀ a < a′ < a′′ < a0

∣∣∣

∫ a′′

a′ f(x)dx∣∣∣ < ε

Beweis: Das ist nur das Cauchy-Kriterium fur die Existenz der Limites in 30.1.2

30.4 Korollar

Sei f : [a,∞[→ R uber jedes Intervall [a, b] (b > a) integrierbar und es gebe einx0 > max(a, 0) und ein M > 0 und ein α > 1, so dass |f(x)| ≤ M

xα fur allex ≥ x0. Dann konvergiert

∫∞a f(x)dx.

163

Beweis: Fur x0 ≤ b0 < b′ < b′′ ist∣∣∣∣∣

∫ b′′

b′f(x)dx

∣∣∣∣∣≤M

∫ b′′

b′

dx

xα= M

[1

1− αx1−α]b′′

b′

=M

α− 1

((b′)1−α −

(b′′)1−α

)

<M

α− 1b1−α0 < ε,

fur alle ε > 0, falls b0 hinreichend groß gewahlt wird. Das Cauchy-Kriteriumliefert dann die Behauptung. 2

Beispiel:∫∞1

sinxxα dx konvergiert fur α > 1. (spater: Dieses Integral konvergiert

sogar fur α > 0).

30.5 Korollar

Sei a ∈ R und f :]a, b] → R uber jedes Intervall [c, b] ⊂ ]a, b] integrierbar undes gebe ein a0 ∈ ]a, b], ein M > 0 und ein α < 1, so dass |f(x)| ≤ M

(x−a)α

fur a < x ≤ a0. Dann konvergiert das Integral∫ ba f(x)dx. Sinngemaß ebenso bei

Konvergenz des uneigentlichen Integrals an der oberen Grenze b, falls |f(x)| ≤M

(x−b)α fur b0 ≤ x < b.

Beweis: mit Cauchy-Kriterium wie in 30.4. 2

30.6 Beispiel

Wir wissen:∫∞1

dxx divergiert,

∫∞1

dxxα konvergiert fur α > 1,

∫∞1

sinxxα dx konver-

giert fur α > 1.

Behauptung:∫∞0

sinxx dx konvergiert.

Begrundung: limx→0sinxx = 1 existiert, also ist das Integral nur an der oberen

Grenze uneigentlich, da der Integrand in 0 stetig erklarbar ist. Sei ε > 0, b0 :=2ε + 1, b0 < b′ < b′′.

⇒∣∣∣∣∣

∫ b′′

b′

sinx

xdx

∣∣∣∣∣

part. Int.=

∣∣∣∣∣

[

−cosx

x

]b′′

b′−∫ b′′

b′

cosx

x2dx

∣∣∣∣∣≤ 1

b′+

1

b′′+

∫ b′′

b′

dx

x2

=1

b′+

1

b′′−[

1

x

]b′′

b′=

2

b′<

2

b0< ε

Daraus folgt die Behauptung mit dem Cauchy-Kriterium (30.3) 2

164

Analogie zur Situation bei den unendlichen Reihen:

∞∑

n=1

1

ndivergiert ↔

∫ ∞

1

dx

xdivergiert.

∞∑

n=1

(−1)n

nkonvergiert ↔

∫ ∞

1

sinx

xdx konvergiert.

Analog zeigt man:∫∞1

sinxxα dx konvergiert fur α > 0 und divergiert fur α ≤ 0.

30.7 Integralvergleichskriterium

Sei f : [1,∞[→ R, f ≥ 0, f monoton fallend. Dann gilt:

∫ ∞

1f(x)dx konvergiert ⇔

∞∑

n=1

f(n) konvergiert.

Beweis: f monoton⇒ f ist uber jedes Intervall [a, b] (b > 1) integrierbar. Weitergilt:

f(k + 1)︸︷︷︸

Untersumme

≤∫ k+1

kf(x)dx ≤ f(k)

︸︷︷︸

Obersumme

∀ k ∈ N

Summation liefert:

n∑

k=2

f(k) ≤∫ n

1f(x)dx ≤

n−1∑

k=1

f(k) ∀n ∈ N

”⇒“ Falls∫∞1 f(x)dx konvergiert, so hat

∑∞n=1 f(n) beschrankte Teilsummen,

also konvergiert∑∞

n=1 f(n), denn die Terme sind alle positiv.

”⇐“ Sei ε > 0. Fur 1 1 wegen

∫∞1

dxxα konvergiert⇔ α > 1 nach

30.2 a).

165

b)∑∞

n=21

n·logn divergiert.Beweis mit dem Verdichtungskriterium oder:

∫ y

2

dx

x · log x = [log (log x)]y2y→∞−−−→∞

⇒ Das Integral∫∞2

dxx·log x divergiert.

c)∑∞

n=21

n(logn)α konvergiert⇔ α > 1.

Beweis:

α = 1: siehe b)

α 6= 1:∫ y2

dxx(log x)α =

[1

1−α (log x)1−α]y

2hat fur y → ∞ einen Grenzwert

⇔ α > 1. 2

30.9 Definition: Absolute Konvergenz

Sei −∞ ≤ a < b ≤ ∞, f : ]a, b[→ R. Dann heißt∫ ba f(x)dx absolut konvergent,

wenn gilt:

a) Fur jedes Intervall [a′, b′] ⊂ ]a, b[ ist f uber [a′, b′] integrierbar.

b) Fur ein und damit fur jedes c ∈ ]a, b[ existieren die Grenzwerte

limy→a+0

∫ c

y|f(x)| dx und lim

z→b−0

∫ z

c|f(x)| dx.

30.10 Satz

Jedes absolut konvergente Integral konvergiert.

Beweis: Integral absolut konvergentCauchy⇔

∀ ε > 0 ∃ b0 ∈]a, b[ ∀ b0 < b′ < b′′ 0 ∃ a0 ∈]a, b[ ∀ a < a′ < a′′ < a0

∫ a′′

a′|f(x)| dx < ε

Wegen∣∣∣

∫ b′′

b′ f(x)dx∣∣∣ ≤

∫ b′′

b′ |f(x)| dx und∣∣∣

∫ a′′

a′ f(x)dx∣∣∣ ≤

∫ a′′

a′ |f(x)| dx sind dieBedingungen von 30.3 erfullt. Das Cauchy-Kriterium liefert dann die Behauptung.2

166

30.11 Beispiel∫∞1

sinxx dx konvergiert, ist aber nicht absolut konvergent. Allgemeiner:∫ ∞

1

sinx

xαkonvergiert ⇔ α > 0, konvergiert absolut ⇔ α > 1

30.12 Zusatz zu 30.4, 30.5

Unter den Voraussetzungen von 30.4 und 30.5 ist das Integral∫ ba f(x)dx absolut

konvergent.

Beweis: Wortlich wie in 30.4 und 30.5 mit dem Cauchy-Kriterium. 2

167

31 Die Gamma-Funktion

31.1 Satz und Definition

Fur s > 0 konvergiert das Integral∫∞0 ts−1e−tdt, definiert also eine Funktion

Γ : ]0,∞[→ R, Γ(s) :=

∫ ∞

0ts−1e−tdt (s > 0),

die sog. Gamma-Funktion (Leonhard Euler). Fur s ≤ 0 divergiert das Integral.

Beweis:

a) Fur 0 < t ≤ 1 ist∣∣ts−1e−t

∣∣ ≤ ts−1 30.5⇒

∫ 10 t

s−1e−tdt konvergiert fur s > 0.

b) Sei s ∈ R beliebig.⇒ ∃M > 0, so dass ts−1e−t ≤ Mt2

fur t ≥ 1.30.4⇒

∫∞1 ts−1e−tdt konvergiert fur alle s ∈ R.

a) und b)⇒∫∞0 ts−1e−tdt konvergiert fur alle s > 0.

c) Sei s ≤ 0, 0 < t ≤ 1 ⇒ e−tts−1 ≥ 1e t

−1, also∫ 1ε e

−tts−1dt ≥ 1e

∫ 1εdtt =

1e log 1

εε→0−−−→∞

⇒∫ 10 t

s−1e−1dt divergiert fur s ≤ 0. 2

31.2 Satz

a) Fur alle n ∈ N gilt: Γ(n) = (n− 1)!

b) Fur alle s > 0 ist Γ(s+ 1) = sΓ(s).

Die Gamma-Funktion interpoliert also auf naturliche Weise die Fakultat.

Beweis:

a) 30.2 d)

b) Sei 0 < ε < 1. Partielle Integration liefert:

∫ 1ε

εtse−tdt

︸︷︷︸

ε→0−−−→Γ(s+1)

=[−e−tts

] 1ε

ε+ s

∫ 1ε

εts−1e−tdt

︸︷︷︸

ε→0−−−→s·Γ(s)

2

31.3 Definition: logarithmisch konvex

F : I → ]0,∞[ heißt logarithmisch konvex, falls logF konvex ist, d. h.

∀x, y ∈ I ∀ 0 < λ < 1 F (λx+ (1− λ) y) ≤ F (x)λ · F (y)1−λ

168

31.4 Satz

Die Gamma-Funktion ist logarithmisch konvex.

Beweis: Seien 0 < x < y und 0 < λ < 1. Setze p := 1λ , q := 1

1−λ , also1p + 1

q = 1, p, q > 1. f(t) := tx−1

p · e−tp , g(t) := t

y−1q · e−

tq fur t > 0 und

0 < ε < 1. Damit gilt:

∫ 1ε

εtλx+(1−λ)y−1e−tdt =

∫ 1ε

εf(t)g(t)dt

28.4≤(∫ 1

ε

εf(t)pdt

) 1p(∫ 1

ε

εg(t)qdt

) 1q

=

(∫ 1

ε

εtx−1e−tdt

)λ

·(∫ 1

ε

εty−1e−tdt

)1−λ

Grenzubergang fur ε→ 0 ergibt:

Γ (λx+ (1− λ) y) ≤ (Γ(x))λ + (Γ(y))1−λ

⇒ Γ ist logarithmisch konvex. 2

31.5 Eindeutigkeitssatz

Hier in der Version von Harald Bohr (1887–1951) und Johannes Mollerup in [BM22].Es sei F : ]0,∞[→ ]0,∞[ eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:

a) F (1) = 1

b) F (x+ 1) = x · F (x) ∀x > 0

c) F ist logarithmisch konvex.

Dann ist F = Γ, also F (x) =∫∞0 tx−1e−tdt (x > 0).

Beweis: Γ hat die Eigenschaften a)-c). Sei also F irgendeine Funktion mit denEigenschaften a)-c).

b)⇒ ∀x > 0, n ∈ N F (x+ n) = (x+ n− 1)F (x+ n− 1)

= . . . = x(x+ 1) · . . . · (x+ n− 1)F (x)

x = 1 und a)⇒ F (n) = (n− 1)! ∀n ∈ NSei 0 < x < 1⇒ n+ x = (1− x)

︸︷︷︸

∈]0,1[

n+ x︸︷︷︸

∈]0,1[

(n+ 1)

c)⇒ F (n+ x) ≤ (F (n))1−x · (F (n+ 1))xb)= (F (n))1−x · nx(F (n))x

= (F (n))nx = (n− 1)!nx

169

Analog: n+ 1 = x︸︷︷︸

∈]0,1[

(n+ x) + (1− x)︸︷︷︸

∈]0,1[

(n+ 1 + x) konvexe Linearkombination.

c)⇒ n! = F (n+1) ≤ (F (n+x))x · (F (n+1+x))1−xb)= (n+x)1−xF (n+x)

Zusammen: Fur 0 < x < 1 gilt:

n!(n+ x)x−1 ≤ F (n+ x) ≤ (n− 1)!nx

F (n+ x) = x(x+ 1) · . . . · (x+ n− 1)F (x)

}

⇒

0 < an(x) :=n!(n+ x)x−1

x(x+ 1) · . . . · (x+ n− 1)F (x)≤ F (x)

≤ (n− 1)!nx

x(x+ 1) · . . . · (x+ n− 1)F (x)=: bn(x)

bn(x)

an(x)=

(n− 1)!nx

n!(n+ x)x−1=

nx−1

(n+ x)x−1=(

1 +x

n

)1−x n→∞−−−→ 1

Daraus folgt: limn→∞ an(x) = limn→∞ bn(x) = F (x), denn es gilt folgendes

Lemma: Seien an, bn, c > 0 und es gelte 0 < an ≤ c ≤ bn, bnan

n→∞−−−→ 1Dann gilt: limn→∞ an = limn→∞ bn = c.

Beweis: 0 ≤ c− an ≤ bn − an = an

(bnan− 1)

≤ c(bnan− 1)

n→∞−−−→ 0

⇒ limn→∞

an = c, bn =bnan︸︷︷︸

→1

· an︸︷︷︸

→c

n→∞−−−→ c 2

Ergebnis: Fur 0 < x < 1 ist

F (x) = limn→∞

(n− 1)!nx

x(x+ 1) · . . . · (x+ n− 1)= lim

n→∞n! · nx

x(x+ 1) · . . . · (x+ n),

denn nn+x

n→∞−−−→ 1.

Behauptung: Fur alle x > 0 gilt: F (x) = limn→∞ n!·nx

x(x+1)·...·(x+n)

Begrundung: Fur 0 < x < 1 ist die Behauptung bewiesen. Auch fur x = 1ist die Behauptung richtig. Bleibt also noch zu zeigen: Gilt die Behauptung fur einx > 0, so gilt sie auch fur y := x+ 1. Dazu:

F (y) = F (x+ 1)b)= x · F (x) = x · lim

n→∞n! · nx

x(x+ 1) · . . . · (x+ n)

= limn→∞

n! · nx(x+ 1)(x+ 2) · . . . · (x+ n)

· n

x+ n+ 1

= limn→∞

n!ny

y(y + 1) · . . . · (y + n)2

170

31.6 Satz

nach Carl Friedrich Gauß.Fur x > 0 ist Γ(x) = limn→∞ n!·nx

x(x+1)·...·(x+n)

Beweis: siehe oben 2

31.7 Korollar

nach Leonhard Euler in [Eul36].

Γ

(1

2

)

=√π

Beweis: x = 12 in 31.6:

Γ

(1

2

)

= limn→∞

n! · √n12 · . . . · 2n+1

2

= limn→∞

1√n· 2 · 4 · . . . · 2n1 · 3 · . . . · (2n− 1)

︸︷︷︸n→∞−−−→√

π nach 27.9

· 2n

2n+ 1︸︷︷︸

n→∞−−−→1

=√π 2

31.8 Korollar

∫ ∞

0e−x

2dx =

1

2

√π

Beweis: Nach 31.7 ist

limε→0+

∫ 1ε

εt−

12 e−tdt =

√π

Substitution t = x2 liefert:

limε→0+

2

∫ 1√ε

√εe−x

2dx =

√π

⇒∫ ∞

0e−x

2dx =

1

2

√π

⇒∫ ∞

−∞e−x

2dx =

√π 2

Substitution liefert:1√2πσ

∫ ∞

−∞e−

(x−µ)2

2σ2 dx = 1,

die sog. Gauß’sche Normalverteilung.

171

31.9 Satz

Fur x, y > 0 konvergiert B(x, y) :=∫ 10 t

x−1(1 − t)y−1dt, die sog. EulerscheBetafunktion, und es gilt:

B(x, y) = B(y, x), B(x+ 1, y) =x

x+ yB(x, y) ∀x, y > 0

Beweis: Fur 0 < t ≤ 12 , x, y > 0 gilt: 0 ≤ tx−1(1− t)y−1 ≤M1t

x−1 = M1tα mit

α := 1− x < 1 und passendem M1 > 0,und fur 1

2 ≤ t < 1: 0 ≤ tx−1(1 − t)y−1 ≤ M2(1 − t)y−1 = M2

(1−t)β mit β :=

1− y < 1 und passendem M2 > 0.30.5⇒ Das Integral konvergiert fur x > 0, y > 0.

∫ 1−ε

εtx−1(1− t)y−1dt

︸︷︷︸

ε→0−−−→B(x,y)

=

∫ 1−ε

εuy−1(1− u)x−1du

︸︷︷︸

ε→0−−−→B(y,x)

Sei 0 < ε < 12 :

∫ 1−ε

εtx(1− t)y−1dt =

∫ 1−ε

ε(1− t)x+y−1

(t

1− t

)x

dt

part. Int.=

[

− 1

x+ y(1− t)x+y

(t

1− t

)x]1−ε

ε

+

∫ 1−ε

ε

x

x+ y(1−t)x+y

(t

1− t

)x−1 dt

(1− t)2

ε→ 0⇒ B(x+ 1, y) = limε→0

∫ 1−ε

εtx(1− t)y−1dt

= limε→0

− 1

x+ y[(1− t)ytx]1−εε︸︷︷︸

→0

+x

x+ y

∫ 1−ε

εtx−1(1− t)y−1dt

=x

x+ yB(x, y) 2

31.10 Satz

Fur alle x, y > 0 gilt: B(x, y) = Γ(x)·Γ(y)Γ(x+y) .

Beweis: Fur festes y > 0 sei f(x) := 1Γ(y) · B(x, y) · Γ(x + y) (x > 0)

Gleiche Schlussweise wie in 31.4 (siehe auch Aufgabe 14) liefert: x 7→ Γ(x + y)ist logarithmisch konvex, ebenso x 7→ B(x, y).⇒ f ist logarithmisch konvex.

f(1) =1

Γ(y)B(1, y)·Γ(y+1) = y ·

∫ 1

0(1−t)y−1dt = lim

R→1−0[−(1− t)y]R0 = 1

172

f(x+ 1) =1

Γ(y)· Γ(x+ y + 1)B(x+ 1, y)

31.9=

(x+ y) · Γ(x+ y)

Γ(y)

x

x+ yB(x, y) = x · f(x)

31.5⇒ f(x) = Γ(x) ∀x > 0⇒ Behauptung 2

Zweiter Beweis fur Γ(

12

)=√π: Durch doppelte Substitution erhalt man:

B

(1

2,1

2

)

= limε→+0

∫ 1−ε

εt−

12 (1− t)− 1

2 dt

t7→u2

= limε→+0

∫ √1−ε

√ε

2(1− u2

)− 12 du

u7→sinϕ= lim

ε→+0

∫ arcsin√

1−ε

arcsin√ε

2 · cosϕ(1− sin2 ϕ

)− 12 dϕ = 2 ·

∫ π2

0dϕ = π

31.10⇒(

Γ

(1

2

))2

· 1

Γ(1)= π

Γ(1) = 1⇒ Γ

(1

2

)

=√π 2

siehe dazu auch [Art31].

173

32 Stirlingsche Formel

32.1 Stirlingsche Formel

benannt nach James Stirling (Mai 1692–5.12.1770), schottischer Mathematiker.Fur alle n ∈ N, n > 1 gilt:

exp

(

1

12n+ 14

)

<n!√

2πn(ne

)n < exp

(1

12n

)

Insbesondere gilt:

limn→∞

n!√2πn

(ne

)n = 1

Beweis: nach Ernesto Cesaro (12.3.1859–12.9.1906).Fur |x| < 1 gilt:

log (1 + x) =∞∑

k=1

(−1)k−1 xk

k,

also fur |x| < 1:

log

(1 + x

1− x

)

= log (1 + x)−log (1− x) =∞∑

k=1

(−1)k−1 xk

k+

∞∑

k=1

xk

k= 2

∞∑

k=0

x2k+1

2k + 1

(

n+1

2

)

log

(

1 +1

n

)

−1 =2n+ 1

2log

(

1 + 12n+1

1− 12n+1

)

−1 =∞∑

k=1

1

(2k + 1) (2n+ 1)2k

fur |x| < 1.

Obere Abschatzung:

(

n+1

2

)

log

(

1 +1

n

)

− 1 <1

3

∞∑

k=1

1

(2n+ 1)2k=

1

3

1(2n+1)2

1− 1(2n+1)2

=1

3

1

(2n+ 1)2 − 1=

1

12

1

n (n+ 1)=

1

12n− 1

12 (n+ 1)

Untere Abschatzung: Sei n ≥ 2.

(

n+1

2

)

log

(

1 +1

n

)

− 1 =∞∑

k=1

1

(2k + 1) (2n+ 1)2k

174

=1

3 (2n+ 1)2

∞∑

k=1

3

(2k + 1) (2n+ 1)2k−2

Hier gilt: 32k+1 ≥

(35

)k−1 fur k ≥ 1 (Induktion).

≥ 1

3 (2n+ 1)2

∞∑

k=1

(3

5· 1

(2n+ 1)2

)k−1

=1

3 (2n+ 1)2· 1

1− 35 · 1

(2n+1)2

=1

3 (2n+ 1)2 − 95

=1

12n2 + 12n+ 65

=12

144n2 + 144n+ 725

>12

144n2 + 150n+ 4916

,

denn fur n ≥ 2 ist 6n+ 4916 > 15 > 72

5 .

=12

(12n+ 1

4

) (12 (n+ 2) + 1

4

) =1

12n+ 14

− 1

12 (n+ 1) + 14

Ergebnis: Fur n ≥ 2 ist

1

12n+ 14

− 1

12 (n+ 1) + 14

<

(

n+1

2

)

log

(

1 +1

n

)

−1 <1

12n− 1

12 (n+ 1)

Sei nun an := exp(

− 112n+ 1

4

)

, an wachsend, bn := exp(− 1

12n

), bn wachsend,

xn := n!√n(n

e )n = n!en

nn+12

. Dann folgt: Fur alle n ≥ 2 ist nach obigem Ergebnis

1 <an+1

an<

1

e

(

1 +1

n

)n+ 12

=

(n!en

nn+ 12

)(

(n+ 1)n+1+ 12

(n+ 1)!en+1

)

=xnxn+1

<bn+1

bn

(10)

⇒ xn+1 < xn fur alle n ≥ 2, also (xn)n≥2 fallend, xn > 0.⇒ limn→∞ xn =: x existiert (in R).

(10)⇒{

(anxn)n≥2 ist streng fallend, ann→∞−−−→ 1

(bnxn)n≥2 ist streng wachsend, bnn→∞−−−→ 1

⇒ bnxn < x < anxn ∀n ≥ 2 (11)

(11)⇒ x > 0

⇒ x√2

= limn→∞

x2n

x2n

√2

= limn→∞

x2n

x2n· 22nn2n+1e−2n

(2n)2n+ 12 e−2n

√n

︸︷︷︸

= 1√2

= limn→∞

22n (n!)2

(2n)!√n

175

nach Definition der xn.

= limn→∞

1√n

n∏

k=1

2k

2k − 1=√π nach 27.9

⇒ x =√

2π⇒ bnxn < x =

√2π < anxn. Das aber ist gerade die Behauptung. 2

32.2 Beispiel

exp

(

1

n(12n+ 1

4

)

)

︸︷︷︸

→1

(2πn)12n

︸︷︷︸

→1

n

e︸︷︷︸

→∞

<n√n!

n→∞−−−→∞

Cauchy-Hadamard (17.6) ⇒ R = 1

limn→∞

n√

|an|hat fur die Exponentialreihe den

Wert∞.

176

Teil VI

Funktionenfolgen33 Gleichmaßige Konvergenz, Vertauschungssatze

33.1 Definition: Punktweise Konvergenz

Sei X eine Menge, fn, f : X → C.

a) (fn)n≥1 konvergiert (”punktweise“) gegen f :⇔

fnn→∞−−−→ f :⇔ lim

n→∞fn = f :⇔

∀x ∈ X limn→∞

fn(x) = f(x)⇔

∀x ∈ X ∀ ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |fn(x)− f(x)| < ε

b)∞∑

n=1

fn = f :⇔ ∀x ∈ X∞∑

n=1

fn(x) = f(x).

Problem: Vorgelegt seien fn, f : I → R mit fnn→∞−−−→ f .

1. Frage Seien alle fn stetig in x0 ∈ I , d. h. limx→x0 fn(x) = fn (x0) fur alle n.Ist dann auch f stetig in x0, d. h. gilt dann auch limx→x0 f(x) = f (x0),bzw. gilt dann auch

limx→x0

(

limn→∞

fn(x))

= limn→∞

(

limx→x0

fn(x)

)

?

2. Frage Seien alle fn differenzierbar. Ist dann auch f differenzierbar und gilt:limn→∞ f ′n = f ′, d. h.

limn→∞

d

dxfn(x) =

d

dx

(

limn→∞

fn(x))

?

3. Frage Seien alle fn : [a, b] → R integrierbar. Ist dann auch f : [a, b] → R

integrierbar und gilt:∫ ba fn(x)dx

n→∞−−−→=∫ ba f(x)dx, d. h.

limn→∞

∫ b

afn(x)dx =

∫ b

alimn→∞

fn(x)dx?

177

33.2 Beispiele

a) fn : [0, 1]→ R, fn(x) := xn (0 ≤ x ≤ 1, n ∈ N)

⇒ limn→∞

fn(x) =

{1 fur x = 10 fur 0 ≤ x < 1

}

=: f(x)

⇒ fnn→∞−−−→ f , fn alle stetig, f unstetig.

b) fn : [0, 1]→ R, fn(x) :=

{1− nx fur 0 ≤ x ≤ 1

n0 fur 1

n ≤ x < 1

}

= max {1− nx, 0}

⇒ limn→∞

fn(x) =

{1 fur x = 00 fur 0 < x ≤ 1

}

=: f(x)

⇒ fn alle stetig, fn unstetig.

c) fn : R → R, fn(x) =x2n

1 + x2n

n→∞−−−→

0 fur |x| < 112 fur |x| = 11 fur |x| > 1

=: f(x)

⇒ fn alle stetig, f unstetig.

f ′n(x) = 2nx2n−1

(1 + x2n)2n→∞−−−→

{0 fur |x| 6= 1∞ fur |x| = 1

d) fn : [0, 2]→ R, fn(x) :=

n2x fur 0 ≤ x ≤ 1n

n(2− nx) fur 1n ≤ x ≤ 2

n0 fur 2

n ≤ x ≤ 2

n→∞−−−→ 0 =:

f(x),⇒ fn, f alle stetig.∫ 2

0fn(x)dx = 1 9 0 =

∫ 2

0f(x)dx

e) Sei (rn)n≥1 eine Abzahlung von [0, 1] ∩Q und

fn(x) :=

{1 fur x ∈ {r1, . . . , rn}0 fur x ∈ [0, 1] \ {r1, . . . , rn}

}

n→∞−−−→{

1 fur x ∈ [0, 1] ∩Q0 fur x ∈ [0, 1] \Q

}

=: f(x)

⇒ fn alle integrierbar, f nicht integrierbar.

f)∞∑

n=1

sin(n3x

)

n2(x ∈ R) konvergiert fur alle x ∈ R; aber: die termweise

differenzierte Reihe∞∑

n=1

n cos(n3x

)hat fur x > 0 eine Gliederfolge, die

gegen∞ geht.

178

33.3 Definition: Gleichmaßige Konvergenz

nach Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (31.10.1815–19.2.1897)Seien fn, f : X → C.

a) (fn)n≥1 konvergiert gleichmaßig auf X gegen f :⇔

∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀x ∈ X ∀n ∈ N, n ≥ n0 |fn(x)− f(x)| < ε

Das n0 hangt dabei hier nur von ε und nicht von x ab! Schreibe dafur auchfn

n→∞−−−→glm.

f .

b)∑∞

n=1 fn konvergiert gleichmaßig gegen f :⇔ (∑n

k=1 fk)n≥1 konvergiertgleichmaßig gegen f .

33.4 Folgerungen und Bemerkung

a) fnn→∞−−−→glm.

f ⇒ fnn→∞−−−→ f punktweise :, siehe dazu 33.2 d).

b) Vergleich mit der punktweisen Konvergenz:

fnn→∞−−−→ f ⇔ ∀x ∈ X ∀ ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |fn(x)− f(x)| < ε,

wobei das n0 von ε und x abhangt.

fnn→∞−−−→

glmf ⇔ ∀ ε > 0 ∃n0 ∀x ∈ X ∀n ≥ n0 |fn(x)− f(x)| < ε,

wobei das n0 nur von ε abhangt.

c) fnn→∞−−−→

glmf ⇔ ∀ ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 ‖fn − f‖∞ < ε, wobei

‖g‖∞ := sup {|g(x)| : x ∈ X} ∈ R ∪ {∞}.Fur n ≥ n0 liegen die Graphen aller fn in einem ε-Streifen um den Graphenvon f .

33.5 Beispiel

fn : [0, 1] → R, fn(x) := xn (0 ≤ x ≤ 1, n ∈ N). Fur jedes r ∈ [0, 1[konvergiert fn

∣∣[0,r] gleichmaßig gegen 0, denn fur 0 < ε < 1 gilt:

|fn(x)| = xn ≤ rn < ε ∀n ≥ n0

mit einem n0 unter folgender Bedingung:

rn < ε⇔ n · log r < log ε⇔ n · |log r| > |log ε| ⇔ n >

∣∣∣∣

log ε

log r

∣∣∣∣

n0 :=[∣∣∣log εlog r

∣∣∣

]

+ 1 leistet das Verlangte.⇒ |fn(x)| < ε fur alle n ≥ n0(ε) und alle x ∈ [0, r]. Die Folge konvergiert nichtgleichmaßig auf [0, 1]!

179

33.6 Cauchy-Kriterium fur gleichmaßige Konvergenz

Seien fn : X → C (n ∈ N). Dann gilt:

a) (fn)n≥1 konvergiert gleichmaßig⇔

∀ ε > 0 ∃n1 ∈ N ∀m,n ≥ n1 ∀x ∈ X |fm(x)− fn(x)| < ε

b)∑∞

n=1 fn konvergiert gleichmaßig⇔

∀ ε > 0 ∃n2 ∈ N ∀m,n ≥ n2 ∀x ∈ X∣∣∣∣∣

n∑

k=m

fk(x)

∣∣∣∣∣< ε

Beweis:

a) ”⇒“ Setze n1 := n0ε2 mit n0 aus 33.3.

⇒ ∀m,n ≥ n1 ∀x ∈ X |fm(x)− fn(x)|

≤ |fm(x)− f(x)|︸︷︷︸

≤ ε2

+ |f(x)− fn(x)|︸︷︷︸

≤ ε2

< ε

”⇐“ ∀x ∈ X ist (fn(x))n≥1 Cauchy-Folge, hat also einen Grenzwert f(x) :=limn→∞ fn(x). Sei ε > 0. Nach Voraussetzung folgt: ∀m,n ≥ n1 ∀x ∈X |fm(x)− fn(x)| < ε

m→∞⇒ ∀n ≥ n1 ∀x ∈ X |f(x)− fn(x)| < ε⇒ Beh.

b) klar nach a). 2

33.7 Weierstraß’scher Majorantentest

Sei fn : X → C, es gebe an ≥ 0, so dass |fn(x)| ≤ an ∀x ∈ X und∑∞

n=1 ankonvergiere. Dann konvergiert

∑∞n=1 fn gleichmaßig absolut auf X , d. h. sogar

∑∞n=1 |fn(x)| konvergiert gleichmaßig auf X .

Beweis: Mit dem Cauchy-Kriterium (33.6): Sei ε > 0, n2 so gewahlt, dass∑n

k=m ak < ε ∀n ≥ m ≥ n2.

⇒ ∀x ∈ X ∀n ≥ m ≥ n2

n∑

k=m

|fk(x)| ≤n∑

k=m

ak < ε

33.6⇒ Behauptung 2

180

33.8 Beispiel

Sei fn : ]1,∞[→ R, fn(x) := 1nx (x > 1, n ∈ N).

∑∞n=1 fn(x) konvergiert fur

alle x > 1.

1. Behauptung Sei α > 1 ⇒ ∑∞n=1 fn konvergiert gleichmaßig auf [α,∞[, denn

fur alle x ≥ α ist

0 ≤ fn(x) =1

nx≤ 1

nα=: an

und∑∞

n=1 an konvergiert. 33.7⇒ ∑∞n=1 fn konvergiert gleichmaßig

auf [α,∞[.

2. Behauptung∑∞

k=1 fn konvergiert auf ]1,∞[ nicht gleichmaßig, denn:Sei N ∈ N. Da

∑∞n=1

1n divergiert, existiert ein n > N , so dass

∑nk=N

1k > 2.

Stetigkeit von fn ⇒ ∃x ∈ ]1,∞[, so dass∑n

k=N1kx > 1

⇒Das Cauchy-Kriterium fur die gleichmaßige Konvergenz ist ver-letzt. Daraus folgt die Behauptung. 2

33.9 Satz

Sei D ⊂ R, fn : D → C, x0 ∈ D, und limx→x0x∈D

fn(x)(∈ C) existiere fur alle C

n ∈ N (Fur x0 ∈ D bedeutet das laut Definition genau die Stetigkeit von fn in x0).Dann gilt:

a) Konvergiert (fn)n≥1 gleichmaßig gegen f : D → C, so gilt: limx→x0x∈D

f(x)

existiert und ist gleich limn→∞(

limx→x0x∈D

fn(x))

, d. h.

limx→x0x∈D

(

limn→∞

fn(x))

= limn→∞

(

limx→x0x∈D

fn(x)

)

b) Konvergiert∑∞

n=1 fn gleichmaßig, so gilt:

limx→x0x∈D

∞∑

n=1

fn(x) =∞∑

n=1

(

limx→x0x∈D

fn(x)

)

Bemerkungen:

(i) Ist x0 ∈ D, so sind laut Voraussetzung alle fn stetig in x0, und der Satzbesagt: f stetig in x0.

(ii) Der Satz gilt sinngemaß z. B. fur x→∞ und dergleichen.

181

Beweis:

a) Sei yn := limx→x0x∈D

fn(x), (fn)n≥1 konvergiert gleichmaßig

33.6⇒ ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ m ≥ n0 ∀x ∈ D |fm(x)− fn(x)| < ε

x→ x0 liefert:

∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ m ≥ n0 |ym − yn| ≤ ε

⇒ (yn)n≥1 ist Cauchy-Folge und somit konvergent. Fur x0 ∈ D ist hiernichts Neues herausgekommen, fur x0 ∈ D\D aber doch. Zu zeigen bleibt:limx→x0

x∈Df(x) = limn→∞ yn. Dazu sei x ∈ D, k ∈ N.

∣∣∣f(x)− lim

n→∞yn

∣∣∣ ≤ |f(x)− fk(x)|

︸︷︷︸

(I)

+ |fk(x)− yk|︸︷︷︸

(II)

+∣∣∣yk − lim

n→∞yn

∣∣∣

︸︷︷︸

(III)

(12)

Sei ε > 0.

1.) Cauchy-Kriterium (33.6) liefert:

∃n0 ∈ N ∀x ∈ D ∀ k, n ≥ n0 |fn(x)− fk(x)| <ε

3

n→∞⇒ ∀x ∈ D ∀ k ≥ n0 |f(x)− fk(x)| <ε

3;

lasse im Cauchy-Kriterium x→ x0 gehen, dann n→∞

⇒ ∀ k ≥ n0

∣∣∣yk − lim

n→∞yn

∣∣∣ <

ε

3

2.) Zu vorgegebenem ε wahle k := n0. ⇒ Die Terme (I) und (II) sindbeide ≤ ε

3 und zwar fur alle x ∈ D. Jetzt wahle zu k := n0 ein δ > 0so klein, dass |fk(x)− yk| < ε

3 ∀x ∈ D, |x− x0| < δ.

⇒ ∀x ∈ D, |x− x0| < δ∣∣∣f(x)− lim

n→∞yn

∣∣∣ < ε⇒ Behauptung

b) klar nach a). 2

33.10 Satz

Sei D ⊂ R , fn : D → C, x0 ∈ D, alle fn stetig in x0. Dann gilt:C

a) Konvergiert (fn)n≥1 gleichmaßig gegen f : D → C, so ist auch f stetig inx0.


n=1 fn gleichmaßig auf D, so ist auch∑∞

n=1 fn stetig in x0.

182

Beweis: Klar nach 33.9. 2

33.11 Beispiel

Sei fn : ]1,∞[, fn(x) := n−x (x > 1),∑∞

n=1 fn konvergiert auf ]1,∞[,

ζ(x) :=∑∞

n=1 n−x (x > 1), die sog. Riemannsche Zeta-Funktion. 33.8⇒ ∀α > 1

konvergiert die Reihe auf [α,∞[ gleichmaßig. 33.10⇒ ζ∣∣[α,∞[ stetig fur alle α > 1.

Dabei ist α > 1 beliebig.⇒ ζ ist in jedem x0 > 1 stetig, d. h. auf ]1,∞[. Anwen-dung auf Potenzreihen: siehe Kapitel 34.

Vorbemerkung zu 33.12: Gleichmaßige Konvergenz der Folge bzw. Reihe istnicht hinreichend fur Limesvertauschung bei Differentiation. Beispiel:

∞∑

n=1

sin(n3x

)

n2,

die Reihe konvergiert gleichmaßig auf R nach dem Weierstraß’schen Majoranten-test (33.7). Aber die termweise differenzierte Reihe divergiert z. B. fur x = 0 nach33.2 f).

33.12 Satz

Sei I ⊂ R ein Intervall, fn : I → R alle differenzierbar.

a) Die Folge (fn)n≥1 konvergiere in einem Punkt x0 ∈ I und die Folge (f ′n)n≥1

konvergiere gleichmaßig auf I . Dann konvergiert (fn)n≥1 gegen f : I →R und zwar gleichmaßig auf jedem beschrankten Teilintervall von I , f istdifferenzierbar und es gilt: f ′ = limn→∞ f ′n, d. h.

d

dx

(

limn→∞

fn

)

= limn→∞

(d

dxfn

)

b)∑∞

n=1 fn (x0) konvergiere in einem Punkt x0 ∈ I und∑∞

n=1 f′n konvergiere

gleichmaßig auf I . Dann konvergiert∑∞

n=1 fn auf I und zwar gleichmaßigauf jedem beschrankten Teilintervall von I ,

∑∞n=1 fn ist differenzierbar und

es gilt:

d

dx

( ∞∑

n=1

fn

)

=∞∑

n=1

(d

dxfn

)

.

Beweis:

183

a) Nach Voraussetzung konvergiert (f ′n)n≥1 gleichmaßig auf I . Das Cauchy-Kriterium (33.6) liefert dann:

∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0 ∀x ∈ I∣∣f ′m(x)− f ′n(x)

∣∣ < ε

Sei x0 ∈ I . Auf diese Situation wenden wir den Mittelwertsatz (22.5) an underhalten:

∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0 ∀x ∈ I

|fm(x)− fm (x0)− (fn(x)− fn (x0))|= |x− x0| ·

∣∣f ′m(ξ)− f ′n(ξ)

∣∣ ≤ ε · |x− x0|

mit einem ξ zwischen x und x0. Mit dem Cauchy-Kriterium (33.6) folgtdann: (fn(·)− fn (x0))n≥1 konvergiert gleichmaßig auf jedem beschrank-ten Teilintervall von I . Nach Voraussetzung folgt dann: (fn (x0))n≥1 konver-giert.⇒ (fn)n≥1 konvergiert auf I gegen f : I → R und zwar gleichmaßigauf jedem beschrankten Teilintervall von I .Sei a ∈ I . Wir zeigen: f ist differenzierbar in a und f ′

n(a)n→∞−−−→ f ′(a).

Dazu setze

gn : I → R, gn(x) :=

{fn(x)−fn(a)

x−a fur x ∈ I, x 6= a,

f ′n(a) fur x = a

⇒ gn sind alle stetig in a und (gn)n≥1 konvergiert gleichmaßig auf I , denn:Ist ε > 0, n0 wie oben, so gilt:

∀x ∈ I, x 6= a,m, n ≥ n0 |gm(x)− gn(x)| 22.5=∣∣f ′m(ξ)− f ′n(ξ)

∣∣ < ε

mit einem geeigneten ξ zwischen x und a; und fur x = a ist ebenfalls mitm,n ≥ n0:

|gm(a)− gn(a)| =∣∣f ′m(a)− f ′n(a)

∣∣ < ε.

Sei g := limn→∞ gn33.10⇒ g ist stetig in a, d. h.

limx→a

g(x) = g(a) (13)

Fur x 6= a ist aber g(x) = f(x)−f(a)x−a und es ist g(a) = limn→∞ f ′n(a), d. h.

(13)⇒ limx→ax6=a

f(x)− f(a)

x− a = limn→∞

f ′n(a)

b) Anwendung von a) auf die Folge der Teilsummen (∑n

k=1 fk)n≥1 . 2

184

33.13 Beispiel

ζ(x) =∑∞

n=11nx (x > 1) konvergiert fur jedes α > 1 auf [α,∞[ gleichmaßig

und auch die termweise differenzierte Reihe∑∞

n=1− lognnx konvergiert fur jedes

α > 1 auf [α,∞[ gleichmaßig nach dem Weierstraß’schen Majorantentest (33.7).⇒ ζ ist auf [α,∞[ differenzierbar mit ζ ′(x) = −∑∞

n=1lognnx (x ≥ α), wegen

α > 1 beliebig auch fur x > 1. Fortsetzung der Schlussweise liefert:

ζ(k)(x) = (−1)k ·∞∑

n=1

(log n)k

nx(x > 1)

33.14 Satz

fn : [a, b]→ R sei integrierbar. Dann gilt:

a) Konvergiert (fn)n≥1 gleichmaßig auf [a, b] gegen f : [a, b] → R, so ist fintegrierbar, und es gilt:

limn→∞

∫ b

afn(x)dx =

∫ b

a

(

limn→∞

fn(x))

dx =

∫ b

af(x)dx.


n=1 fn gleichmaßig auf [a, b], so ist∑∞

n=1 fn integrierbar,und es gilt:

∫ b

a

( ∞∑

n=1

fn(x)

)

dx =

∞∑

n=1

(∫ b

afn(x)

)

.

Beweis:

a) Sei ε > 0, n0 ∈ N so groß, dass

∀x ∈ [a, b] ∀n ≥ n0 |f(x)− fn(x)| < ε

Sei Z eine Zerlegung von [a, b]. Dann folgt:

U (fn0 , Z)−ε ·(b−a) ≤ U (f, Z) ≤ O(f, Z) ≤ O (fn0 , Z)+ε ·(b−a).Wahle nun Z so fein, dassO (fn0 , Z)−U (fn0 , Z) < ε. Fur diese ZerlegungZ ist dann

O(f, Z)− U(f, Z) < ε+ 2ε · (b− a)26.6⇒ f ist integrierbar.Sei ε > 0, n ≥ n0 wie oben. Dann folgt:

∣∣∣∣

∫ b

af(x)dx−

∫ b

afn(x)dx

∣∣∣∣≤∫ b

a|f(x)− fn(x)|︸︷︷︸

<ε

dx ≤ ε · (b− a)

⇒ Behauptung.

b) klar nach a). 2

185

Warnung: 33.14 gilt nicht sinngemaß fur uneigentliche Integrale!

fn(x) :=

{1n fur 0 ≤ x ≤ n0 fur x > n

⇒∫∞0 fn(x)dx = 1, fn

n→∞−−−−−→glm. auf R

0 =: f , aber∫∞0 f(x)dx = 0!

Weitere Beispiele finden sich bei den Potenzreihen in Kapitel 34.

186

34 Potenzreihen und Taylorreihen

Abelsches Lemma

Gegeben sei∑∞

n=0 anzn (an ∈ C), k ∈ Z, k ≥ 0, und es gebe ein 0 6= w ∈ C,

so dass (anwn)n≥0 beschrankt ist. (Das ist z. B. dann der Fall, wenn

∑∞n=0 anw

n

konvergiert.) Ferner sei 0 < r < |w|. Dann konvergiert∑∞

n=1 nk |an| rn. Fur

|z| < |r| konvergiert∑∞

n=1 anzn gleichmaßig und auch

∑∞n=1 n

kanzn konvergiert

hier gleichmaßig.∑∞

n=1 nkanz

n konvergiert fur alle z mit |z| ≤ r absolut unddie zugehorige Betragsreihe konvergiert fur |z| ≤ r gleichmaßig nach 17.1 mitMajorantentest (33.7).

34.1 Satz

Seien∑∞

n=0 an (z − z0)n eine konvergente Potenzreihe mit KonvergenzradiusR >0 (ggf. R = ∞) und 0 < r < R. Dann konvergiert

∑∞n=0 an (z − z0)n und so-

gar∑∞

n=0 nkan (z − z0)n fur jedes k ≥ 0 auf Kr (z0) := {z ∈ C : |z − z0| ≤ r}

gleichmaßig. Die Konvergenz ist sogar gleichmaßig absolut.

Beweis: Abelsches Lemma, R = sup {ρ ≥ 0 : (anρn) beschrankt}, Majoran-

tentest (33.7). 2

Warnung: Die Konvergenz braucht nicht gleichmaßig zu sein auf ganzKR (z0)!z. B. konvergiert

∑∞n=0 z

n nicht gleichmaßig auf K1(0).

34.2 Korollar

Sei∑∞

n=0 an (z − z0)n fur |z − z0| < R konvergent. Dann ist

f : KR (z0)→ C, f(z) :=∞∑

n=0

an (z − z0)n

fur z ∈ KR (z0) stetig.

Beweis: Dies ist 17.11. Jetzt neuer Beweis:34.1 und 33.10⇒ ∀ r < R f

∣∣∣Kr(z0)

stetig.⇒ Behauptung. 2

34.3 Korollar

Sei f(x) :=∑∞

n=0 an (x− x0)n (an ∈ R) fur |x− x0| < R konvergent. Dann

ist f differenzierbar und es gilt:

f ′(x) =∞∑

n=1

n · an · (x− x0)n−1 (|x− x0| < R)

187

Beweis: Fur 0 < r < R konvergiert∑∞

n=1 n · an · (x− x0)n−1 nach dem Abel-

schen Lemma gleichmaßig fur x0 − r ≤ x ≤ x0 + r. 33.12⇒ Behauptung. 2

34.4 Beispiele

a) Seien

f, g : ]−1, 1[→ R, f(x) := log(1 +x), g(x) :=∞∑

n=1

(−1)n−1 · xn

n

fur |x| < 1.

f ′(x) =1

1 + x=

∞∑

n=0

(−1)nxn, g′(x)34.3=

∞∑

n=1

(−1)n−1xn−1 = f ′(x)

fur |x| < 1.

22.6⇒ ∃ c ∈ R f −g = c. f(0) = log 1 = 0 = g(0)⇒ c = 0.⇒ f = g

b) exp(x) =∑∞

n=0xn

n! (x ∈ R). 34.3⇒ exp(x) ist differenzierbar und

exp′(x) =∞∑

n=1

n

n!xn−1 =

∞∑

n=0

xn

n!= exp(x)

Ebenso ermittelt man die Ableitungen von sin, cos, sinh und cosh.

c) Fur |x| < 1 ist 11−x =

∑∞n=0 x

n. k-fache Differentiation mit 34.3 liefert:

k!

(1− x)k+1=

∞∑

n=k

n(n− 1) . . . (n− k + 1)xn−k (|x| < 1)

⇒ 1

(1− x)k+1=

∞∑

n=k

(n

k

)

xn−k =

∞∑

n=0

(n+ k

k

)

xn (|x| < 1, k ≥ 0)

34.5 Korollar

Sei f(x) =∑∞

n=0 an (x− x0)n (an ∈ R fest) fur |x− x0| < R konvergent.

Dann ist f beliebig oft differenzierbar und f (k)(x) = k!∑∞

n=k

(nk

)an (x− x0)

n−k

fur |x− x0| < R; speziell ist fur alle n ≥ 0 an = f (n)(x0)n! .

Beweis: 34.3 mehrfach anwenden. 2

188

34.6 Korollar

Sei f(x) =∑∞

n=0 an (x− x0)n (an ∈ R fest) fur |x− x0| < R konvergent.

Dann gilt fur alle x1, x2 ∈ ]x0 −R, x0 +R[:

∫ x2

x1

f(x)dx =∞∑

n=0

an1

n+ 1

(

(x2 − x0)n+1 − (x1 − x0)

n+1)

.

Beweis: Die Reihe konvergiert im Intervall von x1 bis x2 gleichmaßig. Die Be-hauptung folgt dann nach 33.14. 2

34.7 Beispiel

Fur |t| < 1 konvergiert∑∞

n=0(−1)nt2n = 11+t2

. Termweise Integration von 0 bisx (|x| < 1) ist nach 34.6 zulassig und liefert:

∫ x

0

1

1 + t2dt = arctanx =

∞∑

n=0

(−1)n

2n+ 1x2n+1 fur |x| < 1

34.8 Beispiel

Fur |t| < 1 ist

1√1− t2

=(1− t2

)− 12 =

∞∑

n=0

(−1)n(−1

2

n

)

t2n =1

22n

(2n

n

)

t2n

(−1)

(−12

n

)

= (−1)n(−1

2

) (−3

2

). . .(−1

2 − n+ 1)

n!

=1 · 3 · . . . · (2n− 1)

2n · n!=

(2n)!

22n(n!)2=

1

22n

(2n

n

)

34.6⇒ arcsinx =∞∑

n=0

1

22n

(2n

n

)x2n+1

2n+ 1fur |x| < 1

Sei nun 0 ≤ x < 1. Dann ist fur jedes N ∈ N

N∑

n=0

1

22n

(2n

n

)x2n+1

2n+ 1≤ arcsinx < arcsin 1 =

π

2

Dies gilt fur alle x ∈ [0, 1[. Fur alle N ∈ N ist

N∑

n=0

1

22n

(2n

n

)1

2n+ 1≤ π

2.

189

⇒ Die Reihe∑∞

n=01

22n

(2nn

)1

2n+1 hat eine beschrankte Folge von Teilsummen undTerme ≥ 0, konvergiert also und ist somit konvergente Majorante von f(x) :=∑∞

n=01

22n

(2nn

)x2n+1

2n+1 fur −1 ≤ x ≤ 1. Majoranten-Test (33.7) liefert: Die Reihekonvergiert gleichmaßig auf [−1, 1], d. h. f ist stetig auf [−1, 1]. Aber fur −1 <x < 1 ist f(x) = arcsinx. Beide Seiten sind stetig auf [−1, 1]

⇒ arcsinx =∞∑

n=0

1

22n

(2n

n

)x2n+1

2n+ 1fur x ∈ [0, 1] ,

und die Reihe konvergiert gleichmaßig im ganzen Intervall [−1, 1].

Spezialfalle:

x = 1:∑∞

n=01

22n

(2nn

)1

2n+1 = π2 , d. h.

1 +1

2· 13

+1 · 32 · 4 ·

1

5+

1 · 3 · 52 · 4 · 6 ·

1

7+ . . . =

π

2

x = 12 :∑∞

n=01

24n+1

(2nn

)1

2n+1 = π6

x = 12

√2: 1√

2

∑∞n=0

122n

(2nn

)1

2n+1 = π4

Wir setzen in der arcsin-Reihe x = sin t, wobei −π2 ≤ t ≤ π

2

⇒ t =∞∑

n=0

1

22n

(2n

n

)sin2n+1 t

2n+ 1fur − π

2≤ t ≤ π

2,

und die Reihe konvergiert gleichmaßig auf[−π

2 ,π2

].

34.6⇒∫ π

2

0t dt =

1

2t2∣∣∣∣

π2

0

=π2

8=

∞∑

n=0

1

22n+1

(2n

n

)1

2n+ 1

∫ π2

0sin2n+1 t dt

=∞∑

n=0

1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)

2 · 4 · . . . · 2n · 1

2n+ 1· 2 · 4 · . . . · 2n1 · 3 · . . . · (2n+ 1)

=∞∑

n=0

1

(2n+ 1)2=π2

8

nach Leonhard Euler. Nun ist∞∑

n=1

1

n2=

∞∑

n=1

(1

2n

)2

+∞∑

n=0

(1

2n+ 1

)2

=1

4·

∞∑

n=1

1

n2+

∞∑

n=0

(1

2n+ 1

)2

=4

3·

∞∑

n=0

1

(2n+ 1)2=π2

6

nach Leonhard Euler.

190

Ubungsaufgabe: Gelten die Gleichungen

log(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n−1

nxn, arctanx =

∞∑

n=0

(−1)n

2n+ 1x2n+1

auch fur x = 1? (Losung siehe unter 34.10)

34.9 Abelscher Grenzwertsatz

Die Potenzreihe f(x) =∑∞

n=0 an (x− x0)n (an ∈ R fest) habe den Konvergenz-

Radius R ∈ ]0,∞[, und die Reihe∑∞

n=0 anRn sei konvergent. Dann konvergiert

∑∞n=0 an (x− x0)

n gleichmaßig auf [x0, x0 +R]. Insbesondere gilt:

limx→x0+R−0

f(x) =∞∑

n=0

anRn.

Beweis: OBdA sei x0 := 0. Der Beweis stutzt sich auf die sog. Abelsche partielleSummation. rk :=

∑∞j=k ajR

j k→∞−−−→ 0 nach Voraussetzung. Fur x ∈ [0, R] gilt:

n∑

k=m

akxk =

n∑

k=m

(rk − rk+1)( x

R

)k,

y := xR ∈ [0, 1].

⇒n∑

k=m

(rk − rk+1) yk =

n∑

k=m

rk

(

yk − yk−1)

+ rmym−1 − rn+1y

n,

die sog. Abelsche partielle Summation. Sei ε > 0. Dann liefert das Cauchy-Kriterium:

∃n0 ∈ N ∀ k ≥ n0 |rk| <ε

3

⇒ ∀, n > m ≥ n0 ∀x ∈ [0, R]

∣∣∣∣∣

n∑

k=m

akxk

∣∣∣∣∣

≤n∑

k=m

|rk|︸︷︷︸

< ε3

·∣∣∣yk−1 − yk

∣∣∣+ |rm|︸︷︷︸

< ε3

+ |rn+1|︸︷︷︸

< ε3

<ε

3·

n∑

k=m

(

yk−1 − yk)

︸︷︷︸

≤1

+ε

3+ε

3≤ ε

Das Cauchy-Kriterium fur die gleichmaßige Konvergenz (33.6) liefert damit dieBehauptung. 2

191

34.10 Beispiele

a) Fur |x| < 1 ist log(1+x) =∑∞

n=1(−1)n−1

n xn, und die Reihe auf der rechten

Seite konvergiert auch noch fur x = 1. 34.9⇒ ∑∞n=1

(−1)n−1

n = log 2.

b) Fur |x| < 1 gilt: arctanx =∑∞

n=0(−1)n

2n+1 x2n+1, und die Reihe auf der

rechten Seite konvergiert auch noch fur x = 1. 34.9⇒ ∑∞n=0

(−1)n

2n+1 = π4 , die

sog. Leibnizsche Reihe.

Warnung: Der Abelsche Grenzwertsatz (34.9)lasst sich nicht ohne Nebenbedin-gungen umkehren, d. h. aus der Existenz von limx→R−0

∑∞n=0 anx

n folgt nicht dieKonvergenz von

∑∞n=0 anR

n! Beispiel:∑∞

n=0(−1)nxn = 11+x hat fur x→ 1− 0

den Grenzwert 12 , aber die Reihe konvergiert nicht in 1.

34.11 Definition: Reelle Analytizitat

Sei f : I → R, I ⊂ R ein offenes Intervall. Dann heißt f auf I reell analytisch,wenn f um jeden Punkt x0 ∈ I in eine konvergente Potenzreihe entwickelt werdenkann, d. h.

∀x0 ∈ I ∃ δ > 0, cn ∈ R, n ≥ 0 ∀x ∈ I, |x− x0| < δ f(x) =∞∑

n=0

cn (x− x0)n

34.12 Definition: Taylor-Reihe

Sei f ∈ C∞(I), x0 ∈ I , I ⊂ R ein offenes Intervall. Dann heißt die formale Reihe∑∞

n=0 f(n) (x0) · 1

n! (x− x0)n die Taylor-Reihe von f .

34.13 Satz

Ist f : I → R reell analytisch, so ist f ∈ C∞(I) und zu jedem x0 ∈ I gibt esδ > 0, so dass fur cn ∈ R aus 34.11 gilt: cn = f (n)(x0)

n! (n ≥ 0), d. h.

f(x) =∞∑

n=0

f (n) (x0)

n!(x− x0)

n (x ∈ I, |x− x0| < δ)

Beweis: 34.5. 2

34.14 Satz

f ∈ C∞(I) ; f reell analytisch.

192

Beweis: 2 Beispiele, die folgendes belegen:

a) Es kann vorkommen, dass fur f ∈ C∞(I) die Taylor-Reihe zwar konver-giert, aber nicht gegen f(x) fur irgendein x 6= x0. (siehe 34.15)

b) Es kann vorkommen, dass fur f ∈ C∞(I) die Taylor-Reihe fur alle x 6= x0

divergiert. (siehe 34.16)

34.15 Beispiel

f(x) :=

{exp

(− 1x2

)fur x 6= 0

0 fur x = 0Fur alle x 6= 0 ist f differenzierbar mit der

Ableitung f ′(x) =2

x3exp

(

− 1

x2

)

fur x 6= 0 und weiter

f(x)− f(0)

x− 0=

1

x· e− 1

xx→0−−−→ 0 fur x 6= 0,

denn mit t := 1|x| gilt ±t · e−t2 t→∞−−−→ 0. Mit Induktion zeigt man: Es gibt ein

Polynom pn, so dass

f (n)(x) =

{

pn(

1x

)e−

1x fur x 6= 0

0 fur x = 0

⇒ f ∈ C∞(R), f (n)(0) = 0 (n ≥ 0).⇒ Alle Terme der Taylor-Reihe von f zux0 = 0 sind = 0, die Taylor-Reihe konvergiert auf R, aber sie konvergiert fur keinx 6= 0 gegen f(x)(> 0).

34.16 Beispiel

f(x) :=∑∞

n=112n cos

(n2x

)(x ∈ R). Die k-fach termweise differenzierte Rei-

he hat die konvergente Majorante∑∞

n=1n2k

2n und diese konvergiert.⇒ f ∈ C∞(R)und alle Ableitungen konnen durch termweise Differentiation erhalten werden:

f (2k)(x) = (−1)k∞∑

n=2

n2k

2ncos(n2x

)(x ∈ R)

f (2k+1)(x) = (−1)k∞∑

n=1

n4k+2

2nsin(n2x

)(x ∈ R)

f (2k+1)(0) = 0 ∀ k ≥ 0⇒Die Taylor-Reihe zu f in 0 hat die Form∑∞

n=0f (2k)(0)

(2k)! x2k

∣∣∣f (2k)(0)

∣∣∣ =

∞∑

n=1

n4k

2n>

(2k)4k

22k(Term fur n = 2k) =

(2k2)2k

⇒∣∣∣∣∣

f (2k)(0)

(2k)!x2k

∣∣∣∣∣≥(2k2x

)2k

(2k)!≥ (2k)2k(kx)2k

(2k)2k= (kx)2k

k→∞−−−→∞ ∀x 6= 0

⇒ Die Taylor-Reihe zu f divergiert fur alle x 6= 0. 2

193

34.17 Satz von Emile Borel

benannt nach Felix Edouard Justin Emile Borel, (7.1.1871–3.2.1956)Zu jeder Folge (an)n≥1 reeller Zahlen gibt es ein f ∈ C∞(R) mit an = f (n)(0)fur alle n ∈ N0.

Beweis: z. B. bei [Com82] oder [Nar73], S. 30.

34.18 Analytizitatskriterium

Seien I ⊂ R ein offenes Intervall, f ∈ C∞(I). Dann gilt: f ist reell-analytisch⇔

∀x0 ∈ I ∃ ρ > 0 ∃A,M > 0 ]x0 − ρ, x0 + ρ[ ⊂ I∧∣∣∣f (n)(x)

∣∣∣ ≤MAnn!

(n ∈ N0, ∀x ∈ ]x0 − ρ, x0 + ρ[)

Beweis:

”⇒“ Sei x0 ∈ I und f(x) =∑∞

n=0 an (x− x0)n fur |x− x0| < r, wobei r > 0

so klein gewahlt sei, dass [x0 − r, x0 + r] ⊂ I und β :=∑∞

n=0 |an| rnkonvergiert. Sei 0 < ρ < r ⇒ ∀n ≥ 0 |an| ≤ β

rn .⇒ Fur |x− x0| < ρ gilt:

∣∣∣f (k)(x)

∣∣∣ ≤

∞∑

n=k

|an| k!(n

k

)

|x− x0|n−k

≤∞∑

n=k

β

rnk!

(n

k

)

|x− x0|n−k︸︷︷︸

=( ddt)

ktn, t:=|x−x0|

=

(d

dt

)k ∞∑

n=k

β

rntn

∣∣∣∣∣t=|x−x0|

=

((d

dt

)k β

1− tr

)∣∣∣∣∣t=|x−x0|

=βrk!

(r − t)k+1

∣∣∣∣∣t=|x−x0|

<βrk!

(r − ρ) < k + 1= MAkk!

mit M = βrr−ρ und A = 1

r−ρ .

”⇐“ x0, ρ wie in der Voraussetzung:∣∣∣∣∣f(x)−

n∑

k=0

f (k) (x0)

k!(x− x0)

k

∣∣∣∣∣

25.2=

∣∣∣∣∣

f (n+1)(ξ) (x− x0)n+1

(n+ 1)!

∣∣∣∣∣

|x−x0|<ρ≤ M (A |x− x0|)n+1 n→∞−−−→ 0,

falls |x− x0| < min{ρ, 1

A

}. 2

194

34.19 Korollar

Die Potenzreihe∑∞

n=0 an (x− x0)n sei fur |x− x0| < R konvergent. Dann ist

f : ]x0 −R, x0 +R[→ R, f(x) :=∞∑

n=0

an (x− x0)n

reell analytisch.

Beweis: 34.18 mit I := ]x0 −R, x0 +R[ und 0 < r < R Richtung ”⇒“. Dannfolgt:

∀ 0 < ρ < r ∃A,M > 0 ∀x ∈ ]x0 − ρ, x0 + ρ[ , k ≥ 0∣∣∣f (k)(x)

∣∣∣ ≤MAkk!

Damit ist die Voraussetzung aus 34.18 ”⇐“ erfullt fur alle x1 ∈ ]x0 −R, x0 +R[(anstelle des dortigen x0). 34.18 liefert dann die Behauptung. 2

Ergebnis: Ist f : ]x0 −R, x0 +R[ durch eine fur |x− x0| < R konvergentePotenzreihe des Typs f(x) =

∑∞n=0 an (x− x0)

n definiert, so ist f auch um jedesx1 mit |x1 − x0| < R in eine Potenzreihe entwickelbar und zwar in

f(x) =∞∑

n=0

f (n) (x1)

n!(x− x1)

n (|x− x1| < ρ, ρ > 0 hinreichend klein)

34.20 Satz von Bernstein

Seien I ⊂ R ein offenes Intervall, f ∈ C∞(I) und es gelte f (n) ≥ 0 ∀n ∈ N0.Dann ist f bereits reell-analytisch. Beispiel: f = exp.

Beweis: Sei x0 ∈ I , ρ > 0 so klein, dass [x0 − ρ, x0 + 2ρ] ⊂ I . Sei x ∈[x0 − ρ, x0 + ρ].

⇒ f(x+ ρ) =n∑

k=0

f (k)(x)

k!ρk +

f (n+1)(x)ρn+1

(n+ 1)!

nach 25.2 mit x0 := x und x := x+ ρ. Hier sind auf der rechten Seite alle Terme≥ 0.

⇒ ∀ |x− x0| ≤ ρ ∀n ∈ N0 0 ≤ ρn

n!f (n)(x) ≤ f (x+ ρ)

︸︷︷︸

=x0+2ρ

≤ f (x0 + 2ρ) ,

wg, f ′ ≥ 0 ist f monoton wachsend.⇒ Die Bedingung aus 34.18 ist erfullt.⇒ Behauptung. 2

195

34.21 Korollar

Sei f ∈ C∞(I) und es gelte (−1)nf (n) ≥ 0 fur alle n ∈ N0. Dann ist f reell-analytisch.

Beweis: g(x) := f(−x) ist nach 34.20 reell-analytisch in {−x, x ∈ I}.⇒ Behauptung. 2

34.22 Korollar

Sei f ∈ C∞(I) und es gebe ein c ∈ R mit f (n) ≥ c fur alle n ∈ N0. Dann ist freell-analytisch.

Beweis: Fur α ∈ R erfullt g(x) := f(x) + |c|ex−α fur x ∈ I ∩ ]α,∞[ dieVoraussetzung von 34.20.⇒ Behauptung. 2

196

35 Fourier-Reihen

Vorbemerkung: Ausdehnung der Riemannschen Integrationstheorie auf kom-plexwertige Integranden.f : [a, b] → C heißt (Riemann-)integrierbar :⇔ Re f und Im f : [a, b] → Rintegrierbar, und dann setzt man

∫ b

af(x)dx =

∫ b

aRe f(x)dx+ i

∫ b

aIm f(x)dx.

Rechenregeln bleiben sinngemaß gultig, z. B.

∫ b

af(x) + g(x)dx =

∫ b

af(x)dx+

∫ b

ag(x)dx,

∫ b

aαf(x)dx = α

∫ b

af(x)dx (α ∈ C),

denn das gilt fur α ∈ R und fur α = i, also allgemein (s.o.). Der Hauptsatz derDifferential- und Integralrechnung gilt sinngemaß fur komplexwertige Funktionen,ferner die ublichen Folgerungen aus dem Hauptsatz: partielle Integration, Substi-tutionsregeln. Ebenso gilt:

f : [a, b] integrierbar⇒∣∣∣∣

∫ b

af(x)dx

∣∣∣∣≤∫ b

a|f(x)| dx.

Beweis dazu: Wir schreiben∫ ba f(x)dx = ei·ϕ·

∣∣∣

∫ ba f(x)dx

∣∣∣mit geeignetemϕ ∈ R.

⇒∣∣∣∣

∫ b

af(x)dx

∣∣∣∣= e−i·ϕ

∫ b

af(x)dx =

∫ b

ae−i·ϕf(x)dx

=

∫ b

aRe(e−i·ϕf(x)

)dx+ i

∫ b

aIm(e−i·ϕf(x)

)dx

︸︷︷︸

=0, da linke Seite reell

=

∫ b

aRe(e−i·ϕf(x)

)dx ≤

∫ b

a|f(x)| dx 2

35.1 Definition: Trigonometrische Reihe

Eine Reihe der Form a02 +

∑∞n=1 an cosnx+ bn sinnx (x ∈ R) mit an, bn ∈ C

heißt trigonometrische Reihe. Konvergiert die trigonometrische Reihe, so ist diezugehorige Funktion f : R→ C 2π-periodisch, d. h. f(x+2π) = f(x) (x ∈ R).

197

Problem: Sei f : R→ C 2π-periodisch. Gibt es dann am, bm ∈ C, so dass

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

an cosnx+ bn sinnx?

Komplexe Form der trigonometrischen Reihen:

cos kx =1

2

(

eikx + e−ikx)

, sin kx =1

2i

(

eikx − e−ikx)

⇒ a0

2+

n∑

k=1

ak cos kx+ bk sin kx =

n∑

k=−ncke

ikx mit

ck :=

12 (ak − i · bk) fur k > 0,12a0 fur k = 0,12 (a−k + i · b−k) fur k < 0

35.2 Folgerung

Sei x ∈ R.⇒Die Reihe a02 +

∑∞k=1 ak cos kx+bk sin kx konvergiert⇔ die Folge

(∑nk=−n cke

ikx)

n≥0konvergiert⇔: die Reihe

∑∞k=−∞ cke

ikx konvergiert.

Warnung: In der Theorie der Fourier-Reihen ist dieser Konvergenz-Begriff furdie unendliche Reihe angemessen. In der Funktionentheorie hat man einen anderenKonvergenz-Begriff.

35.3 Satz

Die Reihe f(x) := a02 +

∑∞n=1 an cosnx + bn sinnx =

∑∞k=−∞ cke

ikx konver-giere gleichmaßig auf [0, 2π] (wegen Periodizitat also gleichmaßig auf ganz R).Dann gilt:

ck =1

2π

∫ 2π

0f(x)e−ikxdx (k ∈ Z)

bn =1

2π

∫ 2π

0f(x) sinnx dx (n ≥ 1)

an =1

2π

∫ 2π

0f(x) cosnx dx (n ≥ 1)

198

Beweis:

1

2π

∫ 2π

0f(x)e−inxdx =

1

2π

∫ 2π

0limn→∞

n∑

k=−ncke

i(k−n)xdx

wegen der gleichmaßigen Konvergenz.

= limn→∞

n∑

k=−nck

1

2π

∫ 2π

0ei(k−n)x

︸︷︷︸

=δn,k

dx = cn

⇒ Fur k ≥ 0 ist

ak = ck + c−k =1

2π

∫ 2π

0f(x)

(

eikx + e−ikx)

dx

=1

π

∫ 2π

0f(x) cos kx dx (k ≥ 0),

und fur k ≥ 1 ist

bk = i (ck − c−k) =i

2π

∫ 2π

0f(x)

(

e−ikx − e−ikx)

dx

=1

π

∫ 2π

0f(x) sin kx dx (k ≥ 1) 2

35.4 Korollar

∫ 2π

0cosnx · cos kx dx =

0 fur k 6= n,π fur k = n 6= 0,2π fur k = n = 0

∫ 2π

0sinnx · sin kx dx =

0 fur n 6= k,0 fur n = k = 0,π fur n = k 6= 0

∫ 2π

0cos(nx) sin(kx)dx = 0 ∀ k, n ∈ Z

Beweis: 35.3 mit f(x) = cosnx bzw. f(x) = sinnx 2

199

35.5 Definition: Fourier-Koeffizienten

Sei f : R→ C 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar. Dann heißen

cn :=1

2π

∫ 2π

0f(x)e−inxdx (n ∈ Z),

ak :=1

π

∫ 2π

0f(x) cos kx dx (k ≥ 0),

bk :=1

π

∫ 2π

0f(x) sin kx dx (k ≥ 1)

die Fourier-Koeffizienten von f , und

a0

2+

∞∑

k=1

ak cos kx+ bk sin kx bzw.∞∑

n=−∞cne

inx

heißt die Fourier-Reihe von f .

Bemerkung: 35.3⇒ Wenn eine trigonometrische Reihe gleichmaßig konvergiert,so ist sie die Fourier-Reihe der Grenzfunktion.

Frage: Welche Beziehungen bestehen zwischen f und der Fourier-Reihe von f?

35.6 Satz von Riemann-Lebesgue

Sei f : [a, b]→ C integrierbar. Dann gilt:∫ b

af(x)e−itxdx

|t|→∞−−−−→ 0.

Insbesondere konvergiert die Folge der Fourier-Koeffizienten einer 2π-periodischen,uber [0, 2π] integrierbaren Funktion gegen 0.

Beweis: Sei ε > 0. Nach Definition des Integrals folgt: Es gibt eine Treppen-funktion g : [a, b] → C mit

∫ ba |f(x)− g(x)| dx < ε

2 . g hat folgende Gestalt:Mit einer Zerlegung a = x0 < x1 < . . . < xn = b gilt g(x) = αj furx ∈ ]xj−1, xj [ (j = 1, . . . , n), g (xj) = 0 (j = 1, . . . , n).

g =

n∑

j=1

gj , gj : [a, b]→ C, gj(x) =

{αj fur xj−1 < x < xj0 sonst

Dann gilt fur t 6= 0:∫ b

agj(x)e

−itxdx = αj

∫ xj

xj−1

e−itxdx = αj

[

− 1

ite−itx

]xj

xj−1

|t|→∞−−−−→ 0

200

⇒ ∃T > 0 ∀ t, |t| ≥ T∣∣∣∣

∫ b

ag(x)e−itxdx

∣∣∣∣<ε

2

⇒ ∀ |t| ≥ T∣∣∣∣

∫ b

af(x)e−itxdx

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

∫ b

a(f(x)− g(x)) e−itxdx

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

∫ b

ag(x)e−itxdx

∣∣∣∣

≤∫ b

a|f(x)− g(x)| dx+

ε

2< ε 2

35.7 Beispiel

Fur x ∈ 2πZ gilt:

n∑

k=−neikx = e−inx

2n∑

k=0

eikx = e−inxei(2n+1)x − 1

eix − 1

=ei(n+ 1

2)x − e−(i(n+ 12))x

eix2 − e−ix

2

=sin(n+ 1

2

)x

sin x2

⇒n∑

k=1

cos kx =1

2

(

Ren∑

k=−neikx − 1

)

=sin(n+ 1

2

)x

2 sin x2

− 1

2(x /∈ 2πZ)

Sei x ∈ ]0, 2π[. Dann gilt:

n∑

k=1

∫ x

πcos kt dt =

n∑

k=1

sin kx

k

=

∫ x

π

sin(n+ 1

2

)t

2 sin t2

dt+π − x

2

n→∞−−−→ π − x2

⇒∞∑

k=1

sin kπ

2=

{π−x

2 fur 0 < x < 2π0 fur x = 0 ∨ x = 2π

x 7→ −x+ π ⇒∞∑

k=1

(−1)k−1 sin kx

k=

{x2 fur −π < x < π0 fur x = ±π

x :=π

2⇒ sin k

π

2=

{0 fur k gerade(−1)m fur k = 2m+ 1,m ∈ Z

⇒∞∑

m=0

(−1)m

2m+ 1=π

4(Leibnizsche Reihe)

201

sin(n+ 12)t

2 sin t2

ist auch fur t = 0 stetig erklarbar.⇒Oben darf auch uber [0, π] integriertwerden.

⇒∫ π

0

(

1

t− 1

2 sin(t2

)

)

︸︷︷︸

st. erklarbar in 0

sin

(

n+1

2

)

t dt+π

2

n→∞−−−→35.6

π

2

⇒ limn→∞

∫ π

0

sin(n+ 1

2

)t

tdt =

π

2

Subst.⇒∫ (n+ 1

2)π

0

sinx

xdx =

π

2

30.6⇒ limR→∞

∫ R

0

sinx

xdx ex. und ist

=

∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2

∞∑

k=1

sin kx

k=π − x

2fur 0 < x < 2π

x 7→ 2x mit 0 < x < π ⇒∞∑

k=1

sin 2kx

2k=π − 2x

4(0 < x < π)

Subtraktion⇒∞∑

k=0

sin(2k + 1)x

2k + 1=π

4fur 0 < x < π

⇒ 4

π

∞∑

k=0

sin(2k + 1)x

2k + 1=

1 fur 0 < x < π−1 fur −π < x < 00 fur x = 0, x = ±π

2π-periodisch auf R

35.8 Satz

Sei f : R→ C 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar. Dann gilt:

Sn[f ] :=∑

|k|≤ncke

ikx =1

2π

∫ 2π

0f(t)Dn(x− t)dt

heißt Faltung mit dem sog. Dirichlet-Kern9 Dn(x) :=∑

|k|≤n eikx, wobei Sn[f ]

die n-te Teilsumme der Fourierreihe zu f bezeichnet. Es gilt:

(i) Dn ist stetig, gerade und 2π-periodisch,

9benannt nach Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 13.2.1805–5.5.1859, Mathmatiker ausDuren. Die Familie lebte zur Zeit seines Großvaters in Richelet in Belgien. Das erklart auch dieHerkunft seines Namens aus ”Le jeune de Richelet“ (d. h. der kleine aus Richelet). Mehr dazu in[BJH82]

202

(ii) Dn(x) =sin(n+ 1

2)xsin(x

2 )fur x /∈ 2πZ, Dn(0) = 2n+ 1,

(iii) 12π

∫ 2π0 Dn(x)dx = 1.

Beweis: ck = 12π

∫ 2π0 f(t)e−iktdt

⇒ Sn[f ](x) =∑

|k|≤ncke

ikx =1

2π

∫ 2π

0f(t)

∑

|k|≤neik(x−t)

︸︷︷︸

=Dn(x−t)

dt

Der Rest ist dann klar nach 35.7. 2

35.9 Satz: Cesaro-Mittel, Fejer-Kern

Sei f : R→ C 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar. Dann gilt: σn[f ](x) :=

1

n

n−1∑

k=0

Sk[f ](x) =: Cesaro’sches Mittel10 der Folge (Sn[f ])n≥0 hat folgende Dar-

stellung:

σn[f ](x) =1

2π

∫ 2π

0f(t)Kn(x− t)dt =

∑

|k|≤n−1

(

1− |k|n

)

ckeikx (x ∈ R)

mit dem Fejer-Kern11

Kn(x) :=1

n

n−1∑

k=0

Dk(x) =1

n

n−1∑

k=0

∑

|j|≤keijx

=∑

|j|≤n−1

(

1− |j|n

)

eijx

=1

n

(sinnx2sin x

2

)2

Es gilt:

(i) Kn ist stetig, 2π-periodisch und gerade mit Kn ≥ 0, Kn(0) = n,

(ii) 12π

∫ 2π0 Kn(t)dt = 1,

(iii) Fur 0 < δ < π konvergiert Kn|[δ,2π−δ] gleichmaßig gegen 0, speziell gilt:

∫ 2π−δ

δKn(x)dx

n→∞−−−→ 0.

10benannt nach Ernesto Cesaro, 12.3.1859–12.9.1906, italienischer Mathematiker11benannt nach Lipot Fejer, 9.2.1880–15.10.1959. Er wurde in Pecs, Ungarn geboren als Leopold

Weiß und anderte seinen Namen erst um 1900, um ihn ungarischer klingen zu lassen. Dies veranlassteseinen Lehrer Hermann Amandus Schwarz (25.1.1843–30.11.1921), bei dem er in Berlin studierte,kein Wort mehr mit ihm zu wechseln.

203

Beweis:

Kn(x) =1

n

n−1∑

k=0

Dn(x)35.8x/∈2πZ

=1

n

n−1∑

k=0

sin(k + 1

2

)x

sin x2

=1

n · sin x2

Im

(n−1∑

k=0

ei(k+12)x

)

=1

n · sin x2

Im

(einx − 1

eix − 1· eix

2

)

=1

n · sin x2

Im

(

ein2xei n

2 x−e−i n2 x

2i

ei x2 −e−i x

2

2i

)

=1

n

(sin n

2x

sin x2

)2

(≥ 0!) 2

35.10 Satz von Fejer

Sei f : R→ C 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar und fur x0 ∈ R existiere

limh→0h6=0

(f (x0 + h) + f (x0 − h)) .

Dann gilt:

limn→∞

σn[f ]((x0) =1

2limh→0h6=0

(f (x0 + h) + f (x0 − h)) .

Ist insbesondere f stetig in jedem Punkt des Intervalls [a, b] ⊂ R, so gilt:

σn[f ](x)n→∞−−−→glm.

f(x) fur x ∈ [a, b] .

Beweis:

σn[f ] (x0)− limh→0h6=0

1

2(f (x0 + h) + f (x0 − h))

35.9=

1

2π

∫ π

−πKn(t)f (x0 − t) dt− lim

h→0h6=0

1

2(f (x0 + h) + f (x0 − h))

︸︷︷︸

konstant abh. von t

und wegen Kn gerade nach 35.9 (i)

=1

2π

∫ π

0

Kn(t) (f (x0 + t) + f (x0 − t))− limh→0h6=0

(f (x0 + h) + f (x0 − h))

dt

=1

2π

∫ δ

0

Kn(t) (f (x0 + t) + f (x0 − t))− limh→0h6=0

(f (x0 + h) + f (x0 − h))

dt

204

+1

2π

∫ π

δ

Kn(t) (f (x0 + t) + f (x0 − t))− limh→0h6=0

(f (x0 + h) + f (x0 − h))

dt

fur jedes 0 < δ < π. Sei ε > 0.⇒ ∃ δ ∈ ]0, π[ ∀ 0 < |t| ≤ δ∣∣∣∣∣∣

f (x0 + t) + f (x0 − t)− limh→0h6=0

(f (x0 + h) + f (x0 − h))

∣∣∣∣∣∣

< ε (14)

Zu ε sei ein solches δ > 0 fest gewahlt.

35.9 (iii)⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 ∀ t ∈ [δ, 2π − δ] 0 ≤ Kn(t) < ε

⇒ ∀n ≥ n0

∣∣∣∣∣∣

σn[f ] (x0)− limh→0h6=0

(f (x0 + h) + f (x0 − h))

∣∣∣∣∣∣

≤ 1

2π

∫ δ

0Kn(t)ε dt

+1

2π

∫ π

δε

∣∣∣∣∣∣

f (x0 + t) + f (x0 − t)− limh→0h6=0

(f (x0 + h) + f (x0 − h))

∣∣∣∣∣∣

dt

δ 7→π≤ ε

2+

ε

2π

∫ π

0

∣∣∣∣∣∣

f (x0 + t) + f (x0 − t)− limh→0h6=0

(f (x0 + h) + f (x0 − h))

∣∣∣∣∣∣

︸︷︷︸

konstant =:M

dt

=

(1

2+M

2π

)

ε

⇒ limn→∞

σn[f ] (x0) =1

2limh→0h6=0

(f (x0 + h) + f (x0 − h)) .

Speziell fur f stetig in x0:

limn→∞

σn[f ] (x0) = f (x0) .

Sei f stetig in jedem Punkt von [a, b] ⊂ R. Nach dem Beweis von 26.17 folgt dann:Es gibt ein δ > 0, so dass (14) gilt fur alle x0 ∈ [a, b]. Mit diesem δ besagt unsereUngleichung:

∀n ≥ n0 ∀x0 ∈ [a, b] |σn[f ] (x0)− f (x0)|

≤ ε

2+ ε

1

2π

∫ 2π

0|f(t)| dt+ max {|f(y)| : y ∈ [a, b]}

︸︷︷︸

=:M

⇒ σn[f ](x)n→∞−−−→glm.

f(x) bzgl. x ∈ [a, b] . 2

205

35.11 Korollar

Sei f : R→ C 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar. Ferner sei f in x0 stetigund (Sn[f ] (x0))n≥0 konvergiere. Dann gilt:

limn→∞

Sn[f ] (x0) = f (x0) .

Beweis:

f (x0)35.10

= limn→∞

σn[f ] (x0) = limn→∞

Sn[f ] (x0) ,

da der Limes existiert. (siehe Aufg. 32) 2

35.12 Korollar

Ist f : R → C 2π-periodisch und stetig, und konvergiert die Fourier-Reihe von f ,so gilt: limn→∞ Sn[f ] = f .

Beweis: 35.11 2

Warnung: Die Voraussetzung der Konvergenz der Fourier-Reihe von f ist in35.12 unabdingbar! Es gibt stetige Funktionen, deren Fourier-Reihe in einzelnenPunkten divergiert, z. B. gibt es stetige Funktionen, deren Fourier-Reihe in allenPunkten ∈ Q divergiert.

35.13 Definition: Trigonometrische Polynome

Eine Funktion der Form

a0

2+

n∑

k=1

(αk cos kx+ βk sin kx) bzw.∑

|k|≤nγke

ikx (αk, βk, γk ∈ C)

heißt trigonometrisches Polynom.

35.14 Korollar: Weierstraßscher Approximationssatz fur trigonome-trische Polynome

Sei f : R → C 2π-periodisch und stetig. Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein trigo-nometrisches Polynom T mit |f(x)− T (x)| < ε ∀x ∈ R. Fur f : R → R kannauch T reellwertig gewahlt werden.

Beweis: 35.10⇒ (σn[f ])n≥1 konvergiert auf [0, 2π] (und damit auf ganz R)gleichmaßig gegen f . Fur f : R→ R ist σn[f ] reellwertig. 2

206

35.15 Weierstraßscher Approximationssatz

Ist f : [a, b] → R stetig, so gibt es zu jedem ε > 0 eine Polynom-Funktionp : [a, b]→ R, so dass |f(x)− p(x)| < ε fur alle x ∈ [a, b].

Beweis: OBdA sei gleich [a, b] = [0, 1]. Setze

g : R→ R, g(x) :=

f(x) fur 0 ≤ x ≤ 1,

f(1)− f(0)−f(1)2π−1 (x− 1) fur 1 ≤ x ≤ 2π,

2π-periodisch sonst.

⇒ g : R→ R ist stetig und 2π-periodisch. Sei ε > 0.

35.14⇒ ∃ trigon. Polynom T : R→ R |g(x)− T (x)| < ε

2∀x ∈ R

Sei T (x) = a02 +

∑nk=1 (αk cos kx+ βk sin kx) (x ∈ R). Wir entwickeln Cosi-

nus und Sinus in Potenzreihen um 0 und brechen nach N Termen ab:

pN (x) :=a0

2+

N∑

j=0

n∑

k=1

(

αk(−1)j

(2j)!(kx)2j + βk

(−1)j

(2j + 1)!(kx)2j+1

)

34.1⇒ pN (x)N→∞−−−−→

glm.T (x) auf [a, b] = [0, 1].

⇒ ∃N ∈ N ∀x ∈ [0, 1] |pN (x)− T (x)| < ε

2.

Mit diesem N gilt:

∀x ∈ [a, b] = [0, 1] |f(x)− pN (x)| < ε. 2

35.16 Vollstandigkeit des trigonometrischen Systems

Sei f : R→ C stetig, 2π-periodisch und gelte

∀n ∈ Z

∫ 2π

0f(x)e−inxdx = 0

oder aquivalent dazu

∫ 2π

0f(x) cosnx dx = 0 ∀n ≥ 0 ∧

∫ 2π

0f(x) sinnx dx = 0 ∀n ≥ 1

Dann ist f = 0.

Beweis: σn[f ] = 0 ∀n ≥ 135.10⇒ f = 0 2

207

35.17 Beispiel

Sei f : R→ R definiert durch

f(x) :=

{ (π−x

2

)2 fur 0 ≤ x ≤ 2π,2π-periodisch sonst

⇒ f gerade

⇒ 1

π

∫ 2π

0f(x) sin kx dx = 0 ∀ k ∈ N

a0 =1

π

∫ 2π

0

(π − x

2

)2

dx =π2

6,

und fur n ≥ 1 ist

an =1

π

∫ 2π

0

(π − x

2

)2

cosnx dx =1

n2(n ≥ 1).

⇒ Fourier-Reihe von f = π2

12 +∑∞

n=1cosnxn2 konvergiert sogar gleichmaßig auf

ganz R. f stetig

35.12⇒(π − x

2

)2

=π2

12+

∞∑

n=1

cosnx

n2(0 ≤ x ≤ 2π)

x := 0⇒∞∑

n=1

1

n2=π2

6(L. Euler)

Reihe konvergiert gleichmaßig⇒ Termweise Integration ist zulassig uber [0, x] fur0 ≤ x ≤ 2π und liefert:

∫ x

0

(π − t

2

)2

dt− π2

12x =

∞∑

n=1

∫ x

0

cosnt

n2dt (0 ≤ x ≤ 2π), d. h.

1

12(x− π)3 − π2

12x+

π3

12=

∞∑

n=1

sinnx

n3(0 ≤ x ≤ 2π)

x :=π

2⇒

∞∑

n=0

(−1)k

(2k + 1)3=π3

32(L. Euler)

Dieses Verfahren lasst sich beliebig oft iterieren und liefert die Werte aller Reihendes Typs

∞∑

n=1

1

n2k,

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)2k+1(k ≥ 1)

z. B.∞∑

n=1

1

n4=π4

90,

∞∑

n=1

1

n6=

π6

945,

∞∑

n=1

1

n10=

π10

93555.

208

35.18 Beispiel: Partialbruchzerlegung des Cotangens und des rezi-proken Sinus

Sei α ∈ R\Z,

fα : R→ R, fα(x) :=

{cosαx fur |x| ≤ π,2π-periodisch sonst.

⇒ fα ist stetig und gerade,

also bn = 0 ∀n ≥ 1,

an =1

π

∫ π

−πcosαx cosnx dx =

2

π

∫ π

0cosαx cosnx dx

=1

π

∫ π

0cos(α+ n)x+ cos(α− n)x dx

=1

π

[sin(α+ n)x

α+ n+

sin(α− n)x

α− n

]π

0

= (−1)nsinπα

π

(1

α+ n+

1

α− n

)

= (−1)nsinπα

π· 2α

α2 − n2∀n ≥ 0

fα stetig und die Fourier-Reihe konvergiert (sogar gleichmaßig) auf R

35.12⇒ cosαx =sinπα

π

(

1

α+

∞∑

n=1

(−1)n2α

α2 − n2cosnx

)

(15)

fur alle |x| ≤ π, α ∈ R\Z. x = π

⇒ π · cotπα =1

α+

∞∑

n=1

2α

α2 − n2=

1

α+

∞∑

n=1

(1

α+ n+

1

α− n

)

fur alle α ∈ R\Z. cotx = cosxsinx .

(cotx− 1

x

) x→0−−−→ 0, nun auch π · cotπx −1x

x→0−−−→ 0. α 7→ x liefert die Partialbruchzerlegung des Cotangens nach L. Euler:

π ·cotπx =1

x+

∞∑

n=1

(1

x+ n+

1

x− n

)

=1

x+ limn→∞

∑

|k|≤n

1

x+ k∀x ∈ R\Z

Gliedweise Differentiation liefert:

− 1

x2−

∞∑

n=1

(1

(x+ n)2+

1

(x− n)2

)

konvergiert gleichmaßig auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von R\Z. Spezi-alfall:

x =1

2⇒

∞∑

n=0

1

(2n+ 1)2=π2

8

x = 0 in (15) und α 7→ x liefert folgende Partialbruchentwicklung:

π

sinπx=

1

x+

∞∑

n=1

(−1)n2x

x2 − n2∀x ∈ R\Z

209

35.19 Sinusprodukt

Die Reihe auf der rechten Seite der Gleichung

π · cotπt− 1

t=

∞∑

n=1

(1

t+ n+

1

t− n

)

konvergiert gleichmaßig auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von ]−1, 1[. Dielinke Seite ist stetig erklarbar in 0. Sei x ∈ ]−1, 1[⇒ Fur x 6= 0 ist

∫ x

0

(

π · cotπt− 1

t

)

dt = limn→0

∫ x

nx

(

π · cotπt− 1

t

)

dt

= limn→+0

[

logsinπt

πt

]x

nx

= logsinπx

πx

Dies gilt auch noch fur x = 0, falls man auf der rechten Seite den Quotienten sinπxπx

durch seinen Grenzwert 1 ersetzt.⇒ Fur |x| < 1 gilt:

logsinπx

πx=

∞∑

n=1

∫ x

0

(1

t+ n− 1

n− t

)

dt

=

∞∑

n=1

((log(x+ n)− log n) + (log(n− x)− log n))

=∞∑

n=1

(

log(

1 +x

n

)

+ log(

1− x

n

))

=∞∑

n=1

log

(

1− x2

n2

)

Wende darauf nun wieder die Exponentialfunktion an:

⇒ sinπx

πx= exp

( ∞∑

n=1

log

(

1− x2

n2

))

= limN→∞

(

exp

(N∑

n=1

log

(

1− x2

n2

)))

= limN→∞

N∏

n=1

(

1− x2

n2

)

=

∞∏

n=1

(

1− x2

n2

)

⇒ sinπx = πx ·∞∏

n=1

(

1− x2

n2

)

,

das sog. Sinusprodukt (bisher fur |x| < 1). Jetzt allgemein: Sei x ∈ R. Wahlea ∈ N mit |x| < a:

π · cotπt =∑

|k|<a

1

t− k︸︷︷︸

stetig erklarbar in ]−a,a[

=∞∑

n=a

(1

t+ n+

1

t− n

)

︸︷︷︸

stetig

210

Die rechte Seite ist stetig, da die Reihe gleichmaßig auf abgeschlossenen Teilinter-vallen von ]−a, a[ konvergiert.

⇒∫ x

0

π · cotπt−∑

|k|<a

1

t− k

dt = logsinπx

πx ·∏n−1k=1

(

1− x2

k2

)

Dabei muss der Quotient in Z stetig durch seinen Grenzwert erklart werden.

=

∞∑

n=a

∫ x

0

(1

t+ n+

1

t− n

)

dt =

∞∑

n=a

log

(

1− x2

n2

)

Wende darauf wiederum die Exponentialfunktion an und erhalte das sog. Sinus-produkt von Leonhard Euler:

⇒ sinπx = πx ·∞∏

n=1

(

1− x2

n2

)

∀x ∈ R 2

Sn[f ](x) =1

2π

∫ π

−πf(x− t)Dn(t)dt

=1

2π

(∫ π

0f(x− t)Dn(t) +

∫ π

0f(x+ t)Dn(t)dt

)

Dn gerade=

1

2π

∫ π

0(f(x+ t) + f(x− t))Dn(t)dt

35.20 Konvergenzsatz

Die Funktion f : R → C sei 2π-periodisch und integrierbar uber [0, 2π]. Fernerseien in x0 ∈ R die Grenzwerte

f (x0+) := limh→0+

f (x0 + h) und f (x0−) := limh→0+

f (x0 − h)

vorhanden, und es gebe ein M > 0 und δ > 0, so dass

|f (x0 + t)− f (x0+)| ≤Mt und |f (x0 − t)− f (x0−)| ≤Mt fur 0 < t ≤ δ.

(Lipschitz-Bedingung). Dann gilt:

limn→∞

Sn[f ] (x0) =1

2(f (x0+) + f (x0−)) .

Ist speziell f in x0 differenzierbar, so gilt: limn→∞ Sn[f ] (x0) = f (x0).

211

Beweis: Umformung von oben liefert:

Sn[f ] (x0)−1

2(f (x0+) + f (x0−))

=1

2π

∫ π

0(f (x0 + t) + f (x0 − t))− (f (x0+) + f (x0−))Dn(t)dt

=1

2π

∫ π

0

f (x0 + t)− f (x0+)

t︸︷︷︸

integrierbar

+f (x0 − t)− f (x0−)

t︸︷︷︸

integrierbar

t

sin t2

︸︷︷︸

st. erklb.

sin

(

n+1

2

)

tdt

n→∞−−−→ 0 nach dem Satz von Riemann und Lebesgue (35.6). 2

35.21 Beispiel

35.20 angewandt auf

f(x) :=

π−x2 fur 0 < x < 2π,

0 fur x = 0, x = 2π,2π-periodisch sonst.

liefert:∞∑

k=1

sin kx

k= f(x) (x ∈ R).

Ebenso mit 35.17.

35.22 Konvergenzsatz fur stetige und stuckweise stetig differenzier-bare Funktionen

Sei f : R→ C stetig und stuckweise stetig differenzierbar,

cn :=1

2π

∫ 2π

0f(t)e−intdt (n ∈ Z).

Dann konvergiert∑∞

n=−∞ |cn|; insbesondere konvergiert die Fourier-Reihe von fabsolut gleichmaßig auf ganz R (und zwar gegen f ).

Definition: f ∈ C [a, b] heißt stuckweise stetig differenzierbar, wenn es eineZerlegung a = x0 < x1 < . . . < xn = b (n ≥ 1) gibt, so dass f |[xj−1,xj ]

stetigdifferenzierbar ist fur j = 1, . . . , n.

Folgerung: f, g : [a, b] → R seien stetig und stuckweise stetig differenzierbar.⇒ Bei beliebiger Definition von f ′, g′ in den Knickpunkten gilt:

∫ b

af ′(t)g(t)dt = [fg]ba −

∫ b

af(t)g′(t)dt.

212

Beweis: Man nehme oBdA x0, . . . , xn wie in der Definition so, dass f und gauf [xj−1, xj ] stetig differenzierbar sind fur j = 1, . . . , n. Dann partiell integrierenuber [xj−1, xj ] und summieren.⇒ Behauptung. 2

Beweis: Fur n 6= 0 ist

an =1

2π

∫ π

0

d

dt

e−int

−in f(t)dts.o.=

1

2π

[e−int

−in f(t)

]2π

0︸︷︷︸

=0

+1

in

1

2π

∫ 2π

0f ′(t)e−intdt

︸︷︷︸

=:dn

,

wobei dn den n-ten Fourier-Koeffizienten von f ′ bezeichnet. Fur n 6= 0 ist dann

cn =1

indn ⇒ |cn| =

1

n|dn| ≤

1

2

∣∣n−2 + dn

∣∣2

Besselsche Ungleichung (35.28)⇒∑

n∈Z |dn|2 <∞.⇒ Behauptung. 2

Ziel: Vollstandigkeitsrelation:

1

2π

∫ 2π

0|f(x)|2 dx =

∞∑

n=−∞|cn|2

35.23 Definition: Skalarprodukt von Funktionen

Sei V := {f : R→ C : f 2π-periodisch und uber [0, 2π] integrierbar }. Fur f, g ∈V sei

〈f, g〉 :=1

2π

∫ 2π

0f(t)g(t)dt

das sog. Skalarprodukt von f und g.

35.24 Folgerung

〈·, ·〉 ist eine positiv semidefinite, hermitesche Sesquilinearform auf V , d. h.:

a) 〈f, f〉 ≥ 0 (und fur f stetig ist 〈f, f〉 = 0⇔ f = 0)

b) 〈f, g〉 = 〈g, f〉

c) 〈λ1f1 + λ2f2, g〉 = λ1 〈f1, g〉+ λ2 〈f2, g〉 und〈f, µ1g1 + µ2g2〉 = µ1 〈f, g1〉+ µ2 〈f, g2〉

213

35.25 Definition: Norm, orthogonal, Orthonormalsystem

a) Fur f ∈ V heißt

‖f‖ :=√

〈f, f〉 =

√

1

2π

∫ 2π

0|f(t)|2 dt

die Norm oder Lange von f .

b) f, g orthogonal :⇔ 〈f, g〉 = 0

c) Sei fn ∈ V , (fn)n∈N bilden ein Orthonormalsystem⇔ ∀m,n ∈ N 〈fm, fn〉 = δm,n

35.26 Folgerungen

a) Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |〈f, g〉| ≤ ‖f‖ · ‖g‖ (f, g ∈ V )

b) Dreiecks-Ungleichung ‖f + g‖ ≤ ‖f‖+ ‖g‖ (f, g ∈ V )

c) Fur en ∈ V , en(t) := eint (t ∈ R, n ∈ Z) gilt: (en)n∈Z ist ein Orthonor-malsystem.

d) Fur f ∈ V ist

ck =1

2π

∫ 2π

0f(t)e−iktdt = 〈f, ek〉 (k ∈ Z)

Approximationsproblem: Sei f ∈ V , n ∈ N. Fur welche λk ∈ C (|k| ≤ n)

ist∥∥∥f −

∑

|k|≤n λkek∥∥∥ sinnvoll?

35.27 Approximationssatz

Zu jedem f ∈ V , n ∈ N0 gibt es genau ein g ∈⊕|k|≤n Cek mit

‖f − g‖ = inf

‖f − h‖ , h ∈

⊕

|k|≤nCek

,

und zwar ist dieses g = Sn[f ] =∑

|k|≤n ckek. Dabei gilt:

‖f − g‖2 = ‖f‖2 −∑

|k|≤n|ck|2

214

Beweis: Fur λk ∈ C (|k| ≤ n) gilt:∥∥∥∥∥∥

f −∑

|k|≤nλkek

∥∥∥∥∥∥

2

= ‖f‖2 − 2Re∑

|k|≤nλk 〈f, ek〉︸︷︷︸

=ck

+

∥∥∥∥∥∥

∑

|k|≤nλkek

∥∥∥∥∥∥

2

= ‖f‖2 − 2Re∑

|k|≤nλkck +

∑

|k|≤n|λk|2

= ‖f‖2 −∑

|k|≤n|ck|2 +

∑

|k|≤n|ck − λk|2

und das ist minimal fur λk = ck (|k| ≤ n). 2

35.28 Besselsche Ungleichung

benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, 22.7.1784–17.3.1846, deutscher Mathe-matiker und Astronom.Fur jedes f ∈ V konvergiert

∑

k∈Z |ck|2 und es gilt:∑

k∈Z

|ck|2 ≤ ‖f‖2

Beweis: 35.27⇒ ∀n ∈ N∑

|k|≤n |ck|2 ≤ ‖f‖2 2

Frage: Gilt hier notwendig ”=“? Antwort: Ja, siehe 35.30.

35.29 Satz

Sei f ∈ V . Dann gilt:

limn→∞

‖f − Sn[f ]‖ = 0,

d. h. limn→∞

∫ 2π

0

∣∣∣∣∣∣

f(x)−∑

|k|≤ncke

ikx

∣∣∣∣∣∣

2

dx = 0

(Sn[f ])n≥0 konvergiert im quadratischen Mittel gegen f .

Beweis: Sei f ∈ V , ε > 0 ⇒ es gibt ein stetiges g ∈ V mit ‖f − g‖ < ε2 .

Zu g existiert nach 35.14 ein trigonometrisches Polynom T mit |g(x)− T (x)| <ε2 (x ∈ R).

⇒ ‖g − T‖ =

√√√√√

1

2π

∫ 2π

0|g(x)− T (x)|2︸︷︷︸

<( ε2)

2

<ε

2

215

⇒ ‖f − T‖ ≤ ‖f − g‖+ ‖g − T‖ < ε

Sei nun T (x) =∑

|k|≤N λkeikx (x ∈ R)

35.27⇒ Fur alle n ≥ N ist

‖f − Sn[f ]‖ ≤ ‖f − SN [f ]‖ ≤ ‖f − T‖ < ε

⇒ Behauptung. 2

35.30 Vollstandigkeitsrelation

Sei f ∈ V ⇒ ‖f‖2 =∑

k∈Z |ck|2

Beweis: 35.27 und 35.29. 2

35.31 Parsevalsche Gleichung

Seien f, g ∈ V , ck := 〈f, ek〉, dk := 〈g, ek〉. Dann konvergiert∑

k∈Z ck · dkabsolut. Es gilt:

〈f, g〉 =∑

k∈Z

ckdk.

Beweis:∣∣ckdk

∣∣ ≤ 1

2

(

|ck|2 + |dk|2) 35.28⇒ ∑

k∈Z ckdk konvergiert.

〈f, g〉 =1

4

(

‖f + g‖2 − ‖f − g‖2 + i ‖f + ig‖2 − i ‖f − ig‖2)

Anwendung der Vollstandigkeitsrelation auf die rechte Seite liefert nach Umrech-nung der Summen von Betragsquadraten der Fourier-Koeffizienten von f±g, f±iggerade den Wert

∑

k∈Z ckdk auf der rechten Seite. 2

35.32 Beispiel

f : R→ R, f(x) :=

{ (π−x

2

)2 fur 0 ≤ x ≤ 2π,2π-periodisch sonst

35.17⇒ c0 =π2

12, cn =

1

2n2(n 6= 0)

35.30⇒ ‖f‖2 =1

2π

∫ 2π

0

(π − x

2

)4

dx =π4

80

35.30=

∑

n∈Z

|cn|2

=π4

144+ 2

∞∑

n=1

1

(2n2)2=

π4

144+

1

2

∞∑

n=1

1

n4

⇒∞∑

n=1

1

n4=π4

90(Leonhard Euler)

216

Teil VII

Metrische Raume, Topologie des Rn

36 Metrische Raume, normierte Raume, Topologie des Rn

36.1 Definition: Metrik

Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X ×X → R heißt eine Metrik auf X , fallsgilt:

(M1) ∀x, y ∈ X d(x, y) ≥ 0 und

d(x, y) = 0⇔ x = y (16)

(M2) Symmetrie: ∀x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x)

(M3) Dreiecksungleichung: ∀x, y, z ∈ X d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

d(x, y) heißt Abstand von x, y ∈ X . (X, d) oder kurz X heißt dann ein metrischerRaum. Gilt in (16) nur ”⇐“, so heißt d eine Halbmetrik, (X, d) ein halbmetrischerRaum.

36.2 Beispiele

a) X = R oder C, d(x, y) := |x− y| (x, y) ∈ X

b) Sei X irgendeine Menge, setze d(x, y) := 0 fur x = y und d(x, y) := 1 furx 6= y. Dann ist d eine Metrik auf X .

c) X = Rn, p ∈ R, p ≥ 1: dp(x, y) := ‖x− y‖p mit

‖x‖p :=

n∑

j=1

|xj |p

1p

x =

x1...xn

∈ Rn

⇒ (Rn, dp) ist ein metrischer Raum. Die Dreiecksungleichung folgt aus derMinkowskischen Ungleichung fur Summen (28.6, 28.7). Spezialfall: p = 2:Dann ist d2 der ”elementargeometrische Abstand“.

d) Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊂ X , dA := d|A×A. Dann ist auch(A, dA) ein metrischer Raum.

217

36.3 Definition: Norm

Sei V ein K-Vektorraum mit K = R oder C. Eine Norm auf V ist eine Abbildung‖ · ‖ : V → R mit folgenden Eigenschaften:

(N1) ∀x ∈ V ‖x‖ ≥ 0 und

‖x‖ = 0⇔ x = 0 (17)

(N2) ∀x,∈ V, λ ∈ K ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ (Homogenitat)

(N3) ∀x, y ∈ V ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Dreiecksungleichung)

(V, ‖ · ‖) heiß normierter Vektorraum. Gilt in (17) nur ”⇐“, so heißt ‖ · ‖ eineHalbnorm, (V, ‖ · ‖) ein halbnormierter Vektorraum.

36.4 Beispiele

a) Ist 〈·, ·〉 : V × V → K mit K = R oder C ein Skalarprodukt auf V , so ist‖x‖ :=

√

〈x, x〉 (x ∈ V ) eine Norm auf V . Wichtige Spezialfalle:

V = Rn, K = R 〈x, y〉 :=n∑

j=1

xjyj

ist das Standard-Skalarprodukt auf Rn, die zugehorige Norm die elementar-geometrische Lange:

‖x‖ =

√√√√

n∑

j=1

x2j (x ∈ V )

V = Cn, 〈x, y〉 :=n∑

j=1

xjyj (x, y ∈ Cn)

ist das Standard-Skalarprodukt auf Cn, die zugehorige Norm

‖x‖ =

√√√√

n∑

j=1

|xj |2

b) V = Kn (K = R oder C):

‖x‖p :=

n∑

j=1

|xj |p

1p

ist eine Norm auf V . Die Dreiecksungleichung folgt aus der Minkowski-schen Ungleichung (28.6).

218

c) V = Kn, ‖x‖∞ := max {|x1| , . . . , |xn|} ⇒ ‖x‖∞ : V → R ist eineNorm auf V . Fur 1 ≤ p <∞ gilt: ‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ n

1p ‖x‖∞

d) V = CK [a, b] ist K-Vektorraum und fur 1 ≤ p <∞ ist

‖f‖p :=

(∫ b

a|f(t)|p dt

) 1p

(f ∈ V )

Dann ist ‖ · ‖p eine Norm auf V . Auch hier folgt die Dreiecksungleichungnach der Minkowskischen Ungleichung (28.6).

e) V = CK [a, b] tragt die sog. Maximums-Norm

‖f‖∞ := max {|f(t)| : a ≤ t ≤ b}

36.5 Satz

Ist (V, ‖ · ‖) ein normierter Vektorraum, so ist (V, d) mit d(x, y) := ‖x − y‖(x, y ∈ V ) ein metrischer Raum.

Beweis: trivial. 2

36.6 Definition: Kugel

Sei (X, d) ein metrischer Raum, a ∈ X, r > 0. Dann heißt

Kr(a) := {x ∈ X : d(x, a) < r}

die offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r.

Beispiel: X = R,R2,R3 mit d2 aus 36.2 c). Wie sehen die Kugeln aus im R2 furd zu ‖ · ‖p bzw. ‖ · ‖∞?

36.7 Definition: Umgebung im metrischen Raum

Seien (X, d) ein metrischer Raum, a ∈ X , U ⊂ X . U heißt Umgebung von a :⇔

∃ r > 0 Kr(a) ⊂ U U (a) := {V ⊂ X,V Umgebung von a}

36.8 Satz: Hausdorffsches Trennungsaxiom

In jedem metrischen Raum (X, d) gilt das Hausdorffsche Trennungsaxiom, be-nannt nach Felix Hausdorff, 8.11.1868–26.1.1942, deutscher Mathematiker:

∀x, y ∈ X,x 6= y ∃U ∈ U (x), V ∈ U (y) U ∩ V = ∅

219

Beweis: x 6= y, ε := 12d(x, y) > 0, U := Kε(x) ∈ U (x), V := Kε(y) ∈ U (y).

Annahme: z ∈ U ∩ V ⇒ 2ε = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < ε+ ε = 2ε E 2

36.9 Definition: Offenheit

Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊂ X , A offen :⇔∀x ∈ A ∃U ∈ U (x) U ⊂ A⇔ ∀x ∈ A A ∈ U (x)⇔ ∀x ∈ A ∃ ε > 0 Kε ⊂ AT := {A ⊂ X,A offen}

heißt die Topologie von X .

36.10 Beispiel

Seien a ∈ X , r > 0, (X, d) ein metrischer Raum. Dann ist Kr(a) offen.

Beweis: Sei x ∈ Kr(a) ⇒ ε := r − d(x, a) > 0. Dann gilt Kε(x) ⊂ Kr(a),denn: Sei y ∈ Kε(x).

⇒ d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + ε = r

⇒ y ∈ Kε(a) 2

36.11 Satz

Alle Metriken

dp(x, y) :=

∑

j=1

n |xj − yj |p

1p

(p ≥ 1), d∞(x, y) := max1≤j≤n

|xj − yj |

definieren dieselbe Topologie auf dem Rn. Diese heißt die naturliche Topologiedes Rn.

Beweis: 36.4 c)⇒ d∞ ≤ dp ≤ n1pd∞

⇒ ∀ a ∈ Rn, r > 0 Kr (a, d∞) ⊃ Kr (a, dp) ⊃ Kn− 1

p r(a, d∞)

⇒ Offenheit bzgl. dp (p ≥ 1) und Offenheit bzgl. d∞ sind aquivalent. 2

36.12 Satz

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann gilt:

(T1) ∅ und X sind offen,

(T2) A,B offen⇒ A ∩B offen,

(T3) Aι ⊂ X offen (ι ∈ I)⇒ ⋃

ι∈I Aι ist offen.

220

Beweis: Analog zum Beweis von 14.3. 2

36.13 Definition: Topologie

Sei X eine Menge, T ⊂ P (X). T heißt Topologie auf X , falls gilt:

(T1) X, ∅ ∈ T ,

(T2) A,B ∈ T ⇒ A ∩B ∈ T

(T3) Aι ∈ T (ι ∈ I)⇒ ⋃

ι∈I Aι ∈ T

(X,T ) heißt dann ein topologischer Raum, die Mengen aus T heißen offene Teil-mengen von X .

Bemerkung: Fur Y ⊂ X ist T |Y := {A ∩ Y,A ∈ T } eine Topologie auf Y ,die sog. Spurtopologie der Relativtopologie von T auf Y .

36.14 Definition: Abgeschlossenheit

Sei (X,T ) ein topologischer Raum, A ⊂ X . Dann heißt A abgeschlossen :⇔Ac := X\A offen, d. h. Ac ∈ T .

36.15 Satz

Sei (X,T ) ein topologischer Raum. Dann gilt:

(11) X, ∅ sind abgeschlossen,

(22) A,B abgeschlossen⇒ A ∪B abgeschlossen,

(33) Aι abgeschlossen⇒ ⋂

ι∈I Aι abgeschlossen (ι ∈ I).

Beweis: Dualisierung von 36.12. vgl. 14.4 2

36.16 Definition: Umgebung im topologischen Raum

a) Sei (X,T ) ein topologischer Raum, a ∈ X,U ⊂ X . U heißt Umgebungvon a :⇔

∃V ∈ T a ∈ V ⊂ U

U braucht nicht selbst offen zu sein! U (a) := {V ⊂ X : V Umgebung von a}

b) (X,T ) heißt Hausdorff-Raum :⇔

∀x, y ∈ X,x 6= y ∃U ∈ U (x), V ∈ U (y) U ∩ V = ∅

⇒ Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.

221

Folgerung: Fur metrische Raume ist dieser Umgebungsbegriff aquivalent mitdem fruheren.

36.17 Definition: Beruhrungspunkt

Sei (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X , b ∈ X . b heißt Beruhrungspunktvon M :⇔

∀U ∈ U (b) U ∩M 6= ∅

M := Menge der Beruhrungspunkte von M . Offensichtlich gilt: M ⊂M .

Beispiel: Im Rn mit ‖·‖ = elementargeometrische Lange (oder ‖·‖p (p ≥ 1)).⇒ Kr(a) := {x ∈ Rn, ‖x− a‖ ≤ r} heißt die abgeschlossene Kugel um a mitRadius r.

36.18 Satz

Sei (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X . Dann gilt:

a) M =⋂

A⊂XA abgeschlossen

A⊃M

A =: abgeschlossene Hulle von M

b) M abgeschlossen⇔M = M

Beweis: siehe Aufgabe 34. 2

36.19 Definition: Innerer Punkt

Seien (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X , a ∈ X . a heißt innerer Punkt von

M :⇔M ∈ U (a).◦M := Menge der inneren Punkte von M .

36.20 Satz

Sei (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X . Dann gilt:

a)◦M =

⋃

A⊂MA∈T

A =: offener Kern von M ,

b) M offen⇔M =◦M .

Beweis: Aufgabe 34. 2

222

36.21 Definition: Rand

Sei (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X .

RdM := M ∩ (X\M)(stets abgeschlossen) =: ∂M =: Rand von M

= Rand von M c

36.22 Beispiele

a) X = Rn mit ‖ · ‖ = ‖ · ‖2 = elementargeometrische Lange, dazu d = d2

und die naturliche Topologie.

M := K1(0) = {x ∈ Rn : ‖x‖2 < 1} = Einheitskugel

⇒M = K1(0) = {x ∈ Rn, ‖x‖ ≤ 1} = abgeschlossene Einheitskugel

RdM = {x ∈ Rn, ‖x‖2 = 1} = Einheitssphare := Sn−1

b) X = R mit naturlicher Topologie, M = Q, M = R, denn (R\Q) = R, alsoRd Q = R.

36.23 Satz

Seien (X,T ) ein topologischer Raum, M ⊂ X . Dann gilt: M =◦M ∪RdM

(disjunkte Vereinigung) und RdM = M\◦M ,

◦M = M\RdM .

Beweis:

”⊃“ klar

”⊂“ Sei x ∈M\◦M . Dann gilt:

∀U ∈ U (x) (U ∩M 6= ∅) ∧ (U ∩X\M 6= ∅)

⇒ x ∈M ∩ (X\M) = RdM 2

223

37 Konvergenz und Vollstandigkeit

37.1 Definition: Konvergenz im Hausdorff-Raum

Sei (X,T ) ein Hausdorff-Raum, an ∈ X ∀n ∈ N, a ∈ X .

(an)n≥1n→∞−−−−−→

(konv. gg.)a :⇔ ∀U ∈ U (a) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ∈ U

37.2 Folgerung

(X,T ) Hausdorff-Raum⇒Der Limes jeder konvergenten Folge inX ist eindeutigbestimmt, speziell gilt das in jedem metrischen Raum. Dann schreibt man: a =limn→∞ an bzw. an

n→∞−−−→ a.

Beweis: Sei (X,T ) ein Hausdorff-Raum, (an)n≥1 konvergiere gegen a. Sei b ∈X , b 6= a.

⇒ ∃U ∈ U (a), V ∈ U (b) U ∩ V = ∅

Zu U existiert dann ein n0 ∈ N, so dass

∀n ≥ n0 an ∈ U ⇒ ∀n ≥ n0 an /∈ V

⇒ (an)n≥1 konvergiert nicht gegen b. 2

37.3 Satz

Sei (X,T ) ein metrischer Raum, an, a ∈ X (n ∈ N). Dann gilt:

ann→∞−−−→ a

︸︷︷︸

Konvergenz in X

⇔ d (an, a)n→∞−−−→ 0

︸︷︷︸

Konvergenz in R

Beweis: ann→∞−−−→ a⇔ ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ∈ Kε(a)

⇔ ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 d (an, a) < ε

⇔ d (an, a)n→∞−−−→ 0 2

37.4 SatzC

In Rn und Cn gilt:

akk→∞−−−→ a⇔ ∀ j = 1, . . . , n (ak)j

k→∞−−−→ aj ,

ak =

ak1...akn

d. h. Konvergenz im Rn bzw. Cn ist gleichbedeutend mit koordinatenweiser Kon-vergenz.

224

Beweis: Da d∞ die Topologie von Rn, bzw. Cn beschreibt, gilt:

akk→∞−−−→ a

37.3⇔ ‖ak − a‖∞k→∞−−−→ 0

⇔ maxj=1,...,n

∣∣akj− aj

∣∣ k→∞−−−→ 0

⇔ ∀ j = 1, . . . , n akj

k→∞−−−→ aj 2

37.5 KorollarC

Seien ak, bk, a, b ∈ Rn (bzw. Cn), λk, µk, λ, µ ∈ R (bzw. C). Dann gilt:

akk→∞−−−→ a, bk

k→∞−−−→ b, λkk→∞−−−→ λ, µk

k→∞−−−→ µ

⇒ λkak + µkbkk→∞−−−→ λa+ µb

Beweis: 37.4. 2

37.6 Konvergenz von ReihenC

Seien ak, a ∈ Rn (bzw. Cn) (k ∈ N).

∞∑

k=1

ak = a :⇔n∑

k=1

akn→∞−−−→ a

Rechenregeln sind klar nach 37.5.

37.7 Satz

Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊂ X , b ∈ X . Dann gilt:

a) b ∈ A⇔ ∃ Folge (an)n∈N mit an ∈ A, so dass ann→∞−−−→ b

b) A abgeschlossen ⇔ Fur jede konvergente Folge (an)n∈N von Elementen∈ A gilt: limn→∞ an ∈ A (vgl. 14.3)

Beweis:

a) ”⇒“ b ∈ A⇒ ∀n ∈ N ∃ an ∈ A d (an, b) <1n ⇒ limn→∞ an = b

”⇐“ Nach Voraussetzung gilt:

∀ ε > 0 Kε(b) ∩A 6= ∅ ⇒ b ∈ A

b) A abgeschlossen⇔ A = A⇔ A ⊂ A, (denn A ⊂ A ist trivial)⇔ Fur jedekonvergente Folge (an)n≥1 von Elementen ∈ A gilt: limn→∞ an ∈ A. 2

225

37.8 Definition: Cauchy-Folge

Sei (X, d) ein metrischer Raum, xn ∈ X (n ∈ N). (xn)n∈N heißt Cauchy-Folge:⇔ ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0 d (xm, xn) < ε

37.9 Folgerung

In der Situation von 37.8 gilt: (xn)n∈N konvergiert⇒ (xn)n∈N ist Cauchy-Folge.(:)

Beweis:

”⇒“ Es gelte: xnn→∞−−−→ x. Sei ε > 0.

⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 d (xn, x) <ε

2

⇒ ∀m,n ≥ n0 d (xm, xn) ≤ d (xm, x) + d (x, xn) <ε

2+ε

2= ε,

d. h. (xn)n∈N ist Cauchy-Folge.

”:“ Sei X = Q mit der ublichen Metrik: d(x, y) = |x− y|. 2

37.10 Definition: Vollstandigkeit, Banach- und Hilbertraum

Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollstandig, wenn jede Cauchy-Folge in X kon-vergiert. Ein vollstandiger normierter Vektorraum heißt Banach-Raum (benanntnach Stephan Banach), ein vollstandiger euklidischer oder unitarer Vektorraumheißt Hilbert-Raum (benannt nach David Hilbert).

37.11 Satz

Rn und Cn sind vollstandig, also Hilbert-Raume.

Beweis: OBdA Metrik d∞ (Beachte: d∞ ≤ dp ≤ n1pd∞ fur alle p ≥ 1)

(xk)k∈N Cauchy-Folge

⇔ ∀ j = 1, . . . , n(xkj

)

k≥1ist Cauchy-Folge in R bzw. C

11.10⇒ ∀ j = 1, . . . , n(xkj

)

k≥1konvergiert.

37.4⇒ (xk)k≥1 konvergiert in Rn bzw. Cn. 2

37.12 Satz

C [a, b] ist bzgl. der Maximumsnorm ‖f‖∞ := max {|f(t)| : a ≤ t ≤ b} ein Ba-Cnach-Raum.

226

Beweis: Sei (fn)n≥1 Cauchy-Folge bzgl. d∞(f, g) := ‖f − g‖∞

⇒ ∀ ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0 ∀x ∈ [a, b] |fm(x)− fn(x)| < ε

33.6⇒ (fm)m≥1 konvergiert gleichmaßig, also

∃f : [a, b] → R (bzw. C) mit fnn→∞−−−→glm.

f ⇒ f stetig, d. h. f ∈ C [a, b] und

d∞ (fn, f)n→∞−−−→ 0⇒ (fn)n≥1 konvergiert gegen f in der Metrik von C [a, b]. 2

37.13 Satz

Sei (X, d) ein vollstandiger metrischer Raum, A ⊂ X . Dann gilt: A ist vollstandigbzgl. d|A×A ⇔ A ist abgeschlossen (in X).

Beweis:

”⇒“ Sei b ∈ A37.7⇒ ∃ Folge (an)n≥1 mit an ∈ A (n ∈ N) und an

n→∞−−−→ b

37.9⇒ (an)n≥1 ist Cauchy-Folge in A.(A, d|A×A

)vollstandig ⇒ ∃ a ∈ A,

so dass ann→∞−−−→ a. Aber: an

n→∞−−−→ b⇒ b ∈ A und A abgeschlossen.

”⇐“ Sei (an)n≥1 Cauchy-Folge inA.⇒ (an) ist Cauchy-Folge inX .X vollstandig⇒ ∃ b ∈ X , so dass an

n→∞−−−→ b. an ∈ A (n ∈ N), A abgeschlossen37.7⇒ b ∈ A = A⇒ A ist vollstandig. 2

37.14 Definition: Durchmesser, Beschranktheit

Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊂ X

a) Der Durchmesser von A =:

diam (A) :=

{sup {d(x, y) : x, y ∈ A} falls A 6= ∅0 falls A = ∅

b) A beschrankt:⇔ diam (A) ∈ [0,∞[⇔ sup {d(a, x) : a ∈ A} < ∞ fur einund damit fur alle x ∈ X (A 6= ∅)

c) Sei an ∈ X (n ∈ N), (an)n≥1 beschrankt⇔ {an : n ∈ N} beschrankt.

Beispiel: X = Rn, A ⊂ Rn, A beschrankt.⇔ ∃R > 0 A ⊂ KR(0).

37.15 Folgerung

Sei ak ∈ X , (X, d) ein metrischer Raum. (ak)k∈N konvergiert ⇒ (ak)k∈N istbeschrankt (:).

227

Beweis: vgl. 10.11 2

37.16 Definition: Haufungswert

Sei (X, d) ein metrischer Raum, b, an ∈ X (n ∈ N). b heißt Haufungswert von(an)n≥1 :⇔ ∀ ε > 0 ∀N ∈ N ∃ k ≥ N d (ak, b) < ε.

37.17 Folgerung

Voraussetzungen wie in 37.16b Haufungswert von (an)n≥1 ⇔ ∃ Teilfolge (ank

)k≥1 ank

k→∞−−−→ b.

Beweis: vgl. 11.7 2

37.18 Definition: Haufungspunkt, Isolierter Punkt

Sei (X,T ) ein topologischer Raum,M ⊂ X, a ∈ X . a Haufungspunkt vonM :⇔∀U ∈ U (a) U\{a} ∩M 6= ∅ ⇔ ∀U ∈ U (a) ∃x ∈ U\{a} ∩M

a isolierter Punkt von M :⇔ a ∈ M , a kein Haufungspunkt von M ⇔ ∃U ∈U (a) U ∩M = {a}

37.19 Satz von Bolzano/WeierstraßC

a) Jede beschrankte Folge ∈ Rn (bzw. Cn) hat einen Haufungswert und somiteine konvergente Teilfolge.

b) Jede beschrankte unendliche MengeA ⊂ Rn (bzw. Cn) hat einen Haufungs-punkt.

Beweis: vgl. 11.8:

a) Sei (ak)k≥1 beschrankt in Rn (bzw. Cn), ak =

ak1...akn

⇒ (ak1)k≥1 ist

beschrankt in R, hat also eine konvergente Teilfolge(

akj(1)

)

j≥1, so dass

akj(1)

j→∞−−−→ a1.

Ebenso ist(

akj2

)

j≥1beschrankt in R, hat also eine konvergente Teilfolge

(

akj(2)

)

j≥1, so dass ak

j(2)

j→∞−−−→ a2 usw. Am Ende erhalt man eine Teil-

folge kj(n) =: kj , die Teilfolge aller vorangegangenen Folgen ist. Fur diesegilt:

akj(ν)

j→∞−−−→ aν (ν = 1, . . . , n)

228

a :=

a1...an

⇒ akj

j→∞−−−→ a in Rn bzw. Cn.

b) Wahle eine Folge (ak)k≥1 paarweise verschiedener Elemente ∈ A.

⇒ (ak)k≥1 ist beschrankt.a)⇒ ∃ konvergente Teilfolge

(akj

)

j≥1, so dass

akj

j→∞−−−→ a ∈ Rn (bzw. Cn). Alle akjsind paarweise verschieden⇒ a ist

Haufungspunkt von A. 2

37.20 Hauptsatz fur konvergente Folgen

Sei (ak)k≥1 eine Folge im Rn (bzw. Cn). Dann ist aquivalent: C

a) (ak)k≥1 konvergiert,

b) (ak)k≥1 ist Cauchy-Folge,

c) (ak)k≥1 ist beschrankt mit genau einem Haufungswert.

Beweis: wie in 11.10.

a)⇒b) 37.9.

b)⇒a) 37.12.

a)⇒c) 37.15 und 37.17.

c)⇒a) klar. 2

37.21 Schachtelungsprinzip von Georg Cantor

Seien X ein vollstandiger metrischer Raum, ∅ 6= An ⊂ X , An abgeschlossen(n ∈ N), An+1 ⊂ An, und es gelte limn→∞ diam (An) = 0. Dann gibt es genauein a ∈ X mit

⋂∞n=1An = {a}.

Beweis: Sei xn ∈ An (n ∈ N) (An 6= ∅!). Wir zeigen: (xn)n≥1 ist Cauchy-Folge. Dazu sei ε > 0. ⇒ ∃n0 ∈ N diam (An0) < ε. Seien n > m > n0 ⇒An ⊂ Am ⊂ An0 ⇒ d (xm, xn) < ε⇒ (xn)n≥1 ist Cauchy-Folge. X vollstandig⇒ ∃ a ∈ X mit xn

x→∞−−−→ a.Sei n ∈ N fest. An abgeschlossen und xk ∈ An fur alle k ≥ n.

37.7 b)⇒ a ∈ An (n ∈ N)⇒ a ∈∞⋂

n=1

An.

Sei b ⊂ X , b 6= a, δ := 12d(a, b) > 0.

⇒ ∃n0 ∈ N diam (An0) < δ

229

a ∈ An0 ⇒ An0 ⊂ Kδ(a)⇒ b /∈ An0 , b /∈∞⋂

n=1

An 2

230

38 Limites und Stetigkeit

38.1 Definition: Limes

Seien (X,S) , (Y,T ) Hausdorff-Raume, D ⊂ X , f : D → Y , a ∈ D, b ∈ Y .

limx→ax∈D

f(x) = b :⇔ ∀V ∈ U (b) ∃U ∈ U (a) f (D ∩ U) ⊂ V

vgl. 15.6

Folgerung: b ist eindeutig bestimmt, da X,Y Hausdorff-Raume.

38.2 ε-δ-Kriterium

Seien (X, d), (Y, d′) metrische Raume, D ⊂ X , f : D → Y , a ∈ D, b ∈ Y . Danngilt:

limx→ax∈D

f(x) = b⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ D, d(x, a) < δ d (f(x), b) < ε

Beweis:

limx→ax∈D

f(x) = b⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 f (D ∩Kδ(a)) ⊂ Kε(b)

⇔ Behauptung 2

38.3 Folgenkriterium

Voraussetzungen wie in 38.2. Dann gilt: limx→ax∈D

f(x) = b ⇔ Fur jede Folge

(an)n≥1 mit an ∈ D (n ∈ N), ann→∞−−−→ a gilt: f (an)n≥1

n→∞−−−→ b.

Beweis: Siehe 15.9 2

38.4 Definition: Stetigkeit

Seien X,Y topologische Raume, a ∈ X , f : X → Y . f heißt stetig in a :⇔

∀V ∈ U (f(a)) ∃U ∈ U (a) f(U) ⊂ V.

f stetig:⇔ f stetig in jedem Punkt von X .

231

38.5 Folgerungen

a) Sind X,Y Hausdorff-Raume, so gilt: f stetig in a⇔ limx→a f(x) = f(a).

b) Sind (X, d), (Y, d′) metrische Raume, so gilt: f stetig in a⇔

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ Kδ(a) d (f(x), f(a)) < ε

siehe 38.2.

c) Unter den Voraussetzungen von b) gilt: f stetig in a ⇔ Fur jede Folge(xn)n≥1 in X mit limn→∞ xn = a gilt: f (xn)

n→∞−−−→ f(a). (siehe 38.3)

38.6 Satz

Seien (X, d) ein metrischer Raum, f : X → Rn (bzw. Cn), f =

f1...fn

C

mit f1, . . . , fn : X → R (bzw. C), a ∈ X . Dann gilt: f stetig in a ⇔ ∀ j =1, . . . , n fj stetig in a.

Beweis: f stetig in a 38.5⇒ Fur jede Folge (xk)k≥1 in X mit limk→∞ xk = a gilt:

f (xk)k→∞−−−→ f(a)

37.4⇒ ∀ j = 1, . . . , n und fur jede Folge (xk)k≥1 in X mit limk→∞ xk = a gilt:

fj (xk)k→∞−−−→ fj(a)

38.5 c)⇔ ∀ j = 1, . . . , n fj stetig in a. 2

38.7 Satz

Die FunktionenC

f : Rn × Rn → Rn, (x, y)+7→ x+ y ∈ Rn,

f : R× Rn → Rn, (λ, x)·7→ λ · x ∈ Rn

mit x, y ∈ Rn, λ ∈ R sind stetig.

Beweis: Sei (a, b) ∈ Rn × Rn und gelte (xk, yk)k→∞−−−→ (a, b) konvergiere in

R2n.

37.4⇒ xk → a, yk → b37.5⇒ xk + yk → a+ b

⇒ Behauptung. 2

232

Warnung: Sei f : R2 → R so beschaffen, dass f (·, y) stetig fur jedes y ∈ Rund f (x, ·) stetig fur jedes x ∈ R. Dann heißt f stetig in jeder Variablen bzw.partiell stetig. Dann braucht f : R2 → R nicht stetig zu sein.

Beispiel: f(x, y) =

{ xyx2+y2

fur (x, y) 6= (0, 0),

0 fur (x, y) = (0, 0)⇒ f partiell stetig,

aber unstetig in (0, 0), da f(x, x) = 12 fur x 6= 0 und f(0, 0) = 0.

38.8 Satz

Seien X,Y, Z topologische Raume, a ∈ X , f : X → Y stetig in a, g : Y → Zstetig in f(a). Dann ist g ◦ f : X → Z stetig in a. Kurz: Die Komposition stetigerFunktionen ist stetig.

Beweis: Sei W ∈ U (g(f(a))), g stetig in f(a).

⇒ ∃V ∈ U (f(a)) g(V ) ⊂W

⇒ ∃U ∈ U (a) f(U) ⊂ V

⇒ g (f(U)) ⊂ g(V ) ⊂W 2

38.9 Satz

Seien X ein topologischer Raum, f, g : X → Rn, ϕ : X → R, a ∈ X

a) f, g stetig in a⇒ f + g stetig in a.

b) ϕ, f stetig in a⇒ ϕ · f stetig in a

Beweis:

a) f + g = ” + “ ◦ F , F : X → R2n = Rn × Rn, x 7→ (f(x), g(x)), F iststetig nach 38.6, ”+“ nach 38.7.⇒ f + g stetig nach 38.8.

b) analog. 2

38.10 Satz

Jede lineare Abbildung f : Rm → Rn ist stetig.

233

Beweis: Genugt nach 38.6 fur lineare Abbildungen f : Rm → R. Sei e1, . . . , emkanonische Basis von Rm, x =

∑mj=1 ξjej (ξj ∈ R)

⇒ |f(x)| =

∣∣∣∣∣∣

m∑

j=1

ξjf (ej)

∣∣∣∣∣∣

≤

m∑

j=1

|f (ej)|

︸︷︷︸

=:M

max {|ξj | : 1 ≤ j ≤ m}︸︷︷︸

‖x‖∞

= M · ‖x‖∞⇒ |f(x)− f(a)| = |f (x− a)| ≤M · ‖x− a‖∞

fur alle x, a ∈ Rm.⇒ f ist stetig in a, also f stetig auf Rm. 2

38.11 Satz

Seien X,Y topologische Raume, f : X → Y . Dann gilt: f stetig⇔ ∀V ⊂ Y , Voffen in Y : f−1(V ) ist offen in X .

Beweis:

”⇐“ Sei a ∈ X , V ∈ U (f(a)), OBdA V offen in Y . Voraussetzung⇒ f−1(V )offen in X und a ∈ f−1(V )

Warnung: Stetige Bilder offener Mengen brauchen nicht offen zu sein,Beispiel: f : R→ R konstant, also U := f−1(V ) ∈ U (a), f(U) ⊂ V ⇒ fstetig in a.

”⇒“ Sei V ⊂ Y offen in Y , a ∈ f−1(V ), f stetig ⇒ ∃U ∈ U (a) offen mitf(U) ⊂ V , d. h. es gibt eine offene Menge U ⊂ X mit a ∈ U ⊂ f−1(V )⇒f−1(V ) ist offen, denn jeder Punkt von f−1(V ) ist innerer Punkt. 2

38.12 Definition: Abstand

Sei (X, d) ein metrischer Raum, ∅ 6= A,B ⊂ X

d(x,A) := inf {d(x, y) : y ∈ A} =: Abstand des Punktes x von A

d(A,B) := inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} =: Abstand der Mengen A und B

38.13 Satz

Sei (X, d) ein metrischer Raum, ∅ 6= A ⊂ X , x, y ∈ X . Dann gilt:

a) d(x,A) = 0⇔ x ∈ A

b) |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y)

c) d (·, A) : X → R, x 7→ d(x,A) ist stetig,

234

Beweis:

a) d(x,A) = 0⇔ ∀n ∈ N ∃ an ∈ A d (x, an)1n

37.7⇒ x ∈ A

b) ∀ a ∈ A d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a)⇒ ∀ a ∈ A d(x,A) ≤ d(x, y) + d(y, a)⇒ d(x,A) ≤ d(x, y) + d(y,A)⇒ d(x,A)− d(y,A) ≤ d(x, y).Wegen der Symmetrie in x und y folgt daraus die Behauptung.

c) klar nach b) mit ε-δ-Kriterium (38.2). 2

235

39 Kompaktheit

39.1 Definition: Offene Uberdeckung

Sei X ein topologischer Raum, A ⊂ X , Uι ⊂ X (ι ∈ I). (Uι)ι∈I heißt offeneUberdeckung von A :⇔ Alle Uι sind offen mit A ⊂ ⋃ι∈I Uι.

Beispiel:

(i) (X) ist offene Uberdeckung von A.

(ii) Q = {rn, n ∈ N} sei eine Abzahlung von Q. (]rn − 2−n, rn + 2−n[)n∈N istoffene Uberdeckung von Q.

(iii) (]−n, n[)n∈N ist offene Uberdeckung von R.

39.2 Definition: Kompaktheit

Eine Teilmenge A des topologischen Raumes X heißt kompakt, wenn jede offeneUberdeckung vonA eine endliche Teiluberdeckung hat, d. h. wenn zu jeder offenenUberdeckung Uι (ι ∈ I) von A endliche viele Indizes ι1, . . . , ιn ∈ I existierenmit A ⊂ ⋃n

ν=1 Uιν .

Idee: Kompaktheit als Verallgemeinerung von Endlichkeit.

39.3 Beispiele

a) Q ist keine kompakte Teilmenge von R, siehe Beispiel 39.1 (ii), da die offeneUberdeckung keine endlichen Teiluberdeckungen hat.

b) R ist nicht kompakt (als Teilmenge von R) siehe Beispiel 39.1 (iii).

c) ]0, 1[ ist nicht kompakt, denn ]0, 1[ =⋃∞n=2

]0, 1− 1

n

[hat keine endliche

Teiluberdeckung.

d) Jede endliche Teilmenge von X ist kompakt.

39.4 Satz

Seien X ein Hausdorff-Raum, a, an ∈ X (n ∈ N), ann→∞−−−→ a. Dann ist A :=

{an, n ∈ N} ∪ {a} kompakt.

236

Beweis: Sei Uι (ι ∈ I) eine offene Uberdeckung von A.

⇒ ∃ ι0 ∈ I a ∈ Uι0

⇒ Uι0 ∈ U (a)

⇒ ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 an ∈ Uι0Zu jedem k = 1, . . . , n0− 1 wahle ein ιk ∈ I mit ak ∈ Uιk (k = 1, . . . , n0 − 1)⇒ A ⊂ ⋃n0

ν=0 Uιν .⇒ A kompakt, denn (Uιν )ν=0,...,n0−1 ist endliche Teiluberdec-kung. 2

39.5 Beispiel

In 39.4 ist wesentlich, dass a ∈ A, z. B. A :={

1n , n ∈ N

}ist nicht kompakt, denn

dieses A hat die offene Uberdeckung(]

1n , 2[)

n∈N. 2

Bezeichnung: Fur a =

a1...an

, b =

b1...bn

∈ Rn bedeute a < b :⇔

∀ k = 1, . . . , n ak < bk

dto fur ”≤“.

[a, b] := {x ∈ Rn, a ≤ x ≤ b} =n∏

k=1

[ak, bk] :

abgeschlossener Quader im Rn.

39.6 Satz

Fur a, b ∈ Rn mit a < b ist der Quader [a, b] kompakt.

Beweis: Sei (Uι)ι∈I offene Uberdeckung von [a, b] =: Q. Beweis indirekt:Annahme: @ endliche Teiluberdeckung von Q. Wir konstruieren induktiv eine Fol-ge (Qν)ν≥0 von abgeschlossenen Quadern mit

(i) Q = Q0 ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ . . .

(ii) diam (Qν) = 2−ν · diamQ (ν ≥ 0), wobei Rn mit ‖·‖∞ versehen sei.

(iii) Qν wird nicht durch endlich viele Uι (ι ∈ E,E ⊂ I, E endlich) uberdeckt(ν ≥ 0)

237

Konstruktion:

ν = 0: Q0 := Q

ν → ν + 1: Sei Qν = [c, d] mit c, d ∈ Rn, c < d. Wir setzen fur k = 1, . . . , n:

[ck, dk] :=

[

ck,ck + dk

2

]

︸︷︷︸

I(1)k

∪[ck + dk

2, dk

]

︸︷︷︸

I(2)k

⇒ Qν =n∏

k=1

[ck, dk]

=⋃

ε1,...,εn∈{1,2}I

(ε1)1 × . . .× I(εn)

n

Das sind 2n Teilquader mit Durchmesser = 12diamQν . Qν wird nicht durch

endlich viele Uι (ι ∈ E,E ⊂ I endlich) uberdeckt.⇒ Mindestens einer der Teilquader I (ε1)

1 , . . . , I(εn)n wird nicht von endlich

vielenUι (ι ∈ E,E ⊂ I endlich) uberdeckt, d. h. es existieren ε1, . . . , εn ∈{1, 2}, so dass Qν+1 := I

(ε1)1 × . . .× I(εn)

n nicht von endlich vielen Uι uber-deckt wird.Qν leistet das Verlangte. (Bedingungen (i),(ii),(iii)), damit ist dieKonstruktion abgeschlossen.

37.21⇒ Es gibt genau ein z ∈ Rn mit {z} =⋂∞ν=0Qν .⇒ z ∈ Q0 = Q.⇒ ∃ ι0 ∈ I ,

so dass z ∈ Qι0 . Uι0 offen

⇒ ∃ ε > 0 Kε(z) ⊂ Uι0

Dabei wurde Kε(z) zu ‖ · ‖∞ gebildet.

⇒ ∃N ∈ N 2−ndiam (Q) = diam (QN ) < ε

a ∈ QN ⇒ QN ⊂ Kε(a) ⊂ Uι0 E

Das ist ein Widerspruch zur Bedingung 39.6 (iii). 2

39.7 Satz

Sei X ein topologischer Raum, K ⊂ X kompakt, A ⊂ K abgeschlossen. ⇒ Akompakt.

238

Beweis: Sei (Uι)ι∈I offene Uberdeckung von A. Sei α irgendein Index, α /∈ I ,

Vι :=

Uι fur ι ∈ IX\A︸︷︷︸

offen

fur ι = α , J := I ∪ {α}.⇒ (Vι)ι∈J ist offene Uberdeckung

von K. K kompakt

⇒ ∃ ι1, . . . , ιn ∈ I K ⊂n⋃

ν=1

Uιν ∪ (X\A)

⇒ A ⊂n⋃

ν=1

Uιν ⇒ Behauptung. 2

39.8 Satz von Ernst Heine und Emile Borel

(erstmals ausgesprochen 1894) Eine Teilmenge A ⊂ Rn ist genau dann kompakt,wenn sie beschrankt und abgeschlossen ist.

Beweis:

”⇒“ Sei A kompakt.

a) A ⊂ ⋃∞m=1Km(0) (= Rn). A kompakt ⇒ ∃N ∈ N A ⊂ KN (0)

⇒ A ist beschrankt.

b) Annahme: A sei nicht abgeschlossen.⇒ ∃ b ∈ A\A

⇒ A ⊂∞⋃

k=1

{

x ∈ Rn, ‖x− b‖∞ >1

k

}

︸︷︷︸

offen

(= Rn\{b})

A kompakt.⇒ ∃ endliche Teiluberdeckung

⇒ ∃N ∈ N A ⊂{

x ∈ Rn, ‖x− b‖∞ >1

N

}

E

Dies aber ist ein Widerspruch, denn b ∈ A.

”⇐“ A beschrankt⇒ ∃Q Quader mit Q ⊃ A 37.6⇒ Q kompakt. A abgeschlossen34.7⇒ A kompakt. 2

Bemerkung: ”⇒“ gilt oben sinngemaß auch in beliebigen metrischen Raumen.

39.9 Korollar

Sei A ⊂ R kompakt, A 6= ∅. Dann gibt es a, b ∈ A mit a = inf A(= minA),b = supA(= maxA).

239

Beweis: A kompakt⇒ A beschrankt⇒ supA, inf A existieren in R

⇒ ∃ (xk)k∈N , xk ∈ A limk→∞

xk = inf A

A abgeschlossen ⇒ limk→∞ xk =: a ∈ A ⇒ Behauptung fur Infimum. Supre-mum analog. 2

39.10 Satz

Seien X,Y topologische Raume, f : X → Y stetig, A ⊂ X kompakt. ⇒ f(A)kompakt, d. h. stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt.

Beweis: Sei (Vι)ι∈I eine offene Uberdeckung von f(A). 38.11⇒(f−1 (Vι)

)

ι∈I istoffene(!) Uberdeckung von A. A kompakt

⇒ ∃ ι1, . . . , ιn ∈ I A ⊂n⋃

ν=1

f−1 (Vιν )

⇒ f(A) ⊂ f(

n⋃

ν=1

f−1 (Vιν )

)

=n⋃

ν=1

f(f−1 (Vιν )

)⊂

n⋃

ν=1

Vιν 2

39.11 Korollar

Jede auf einem kompakten topologischen Raum X 6= ∅ definierte stetige Funktionf : X → R nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an, d. h. es gibt a, b ∈ X , sodass f(a) = inf {f(x), x ∈ X} = min f(X) und f(b) = sup {f(x), x ∈ X} =max f(X).

Beweis: 39.10 und 39.9. 2

39.12 Korollar

Sei (X, d) ein metrischer Raum, ∅ 6= A,K ⊂ X , A abgeschlossen, K kompakt,A ∩K 6= ∅.⇒ d(A,K) > 0

Beweis: f : X → R, f(x) = d(x,A) (x ∈ X)38.13⇒ f stetig f(x) >

0 (x ∈ K), da A ∩K 6= ∅, A abgeschlossen.⇒ d(x,A) > 0 (x ∈ K). Wegeninf f(K) < d(K,A) folgt die Behauptung mit 39.11, denn nach 39.11 existiert einp ∈ K mit inf f(K) = f(p) > 0. 2

39.13 Beispiel

A = R × {0}, B ={(x, 1

x

): x > 0

}sind beide abgeschlossen in R2, beide

disjunkt, aber d(A,B) = 0.

240

39.14 Definition: Gleichmaßige Stetigkeit im metrischen Raum

Seien (X, d), (Y, d′) metrische Raume, f : X → Y . Dann heißt f gleichmaßigstetig:⇔

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x, x′ ∈ X, d(x, x′) < δ d′(f(x), f(x′)

)< ε

39.15 Satz

Jede stetige Abbildung f : X → Y eines kompakten metrischen Raums (X, d) ineinen metrischen Raum (Y, d′) ist automatisch gleichmaßig stetig.

Beweis: Sei ε > 0. Dann gilt:

∀ a ∈ X ∃ δa > 0 ∀x ∈ Kδa(a) d′ (f(x), f(a)) <ε

2(

K 12δa

(a))

a∈Xist offene Uberdeckung von X . X kompakt

⇒ ∃ a1, . . . , an ∈ X X ⊂n⋃

ν=1

K 12δaν

(aν)

Sei δ := min{

12δaν , ν = 1, . . . , n

}> 0. Seien x, y ∈ X , d(x, y) < δ. Zu x

existiert p ∈ {1, . . . , n} mit d (x, ap) <12δap

⇒ d (y, ap) ≤ d(y, x) + d (x, ap) < δ +1

2δap ≤ δap

⇒ d′ (f(x), f(y)) ≤ d′ (f(x), f (ap))︸︷︷︸

< ε2

+ d′ (f (ap) , f(y))︸︷︷︸

< ε2

< ε 2

39.16 Satz von Ulysses Dini

Es seien X ein kompakter topologischer Raum, fn : X → R stetig fur n ∈ N und(fn)n≥1 konvergiere monoton gegen die stetige Grenzfunktion f : X → R. Dannkonvergiert (fn)n≥1 gleichmaßig gegen f .

Beweis: fn 7→ fn − f ⇒ OBdA kann f = 0 angenommen werden, ggf. fn 7→−fn ⇒ OBdA fn ↓ 0, fn stetig (n ∈ N). Zu zeigen: fn

n→∞−−−→glm.

0

Begrundung: Sei ε > 0. Zu jedem x ∈ X existiert ein n0(x) ∈ N mit0 ≤ fn0(x)(x) <

ε2 . fn0(x)(x) stetig in x

⇒ ∃Ux ∈ U (x) ∀ y ∈ Ux fn0(x)(y) < ε

241

Ux offen, X kompakt

⇒ X =⋃

x∈XUx ⇒ ∃ j ∈ {1, . . . , p} y ∈ Uxj

n ≥ N ≥ n0 (xj) fur dieses j.

⇒ 0 ≤ fn(y)fn↓≤ fn0(xj)(y) < ε

nach Wahl von Uxjund n0 (xj). Das gilt fur alle n ≥ N und alle y ∈ X ⇒

fnn→∞−−−→glm.

0. 2

242

Teil VIII

Differentialrechnung im Rn

40 Partielle Differenzierbarkeit

40.1 Definition: Partielle Differenzierbarkeit

Sei U ∈ Rn offen, a =

a1...an

∈ U , f : U → Rp.

a) f heißt in a partiell differenzierbar bzgl. der k-ten Koordinate, falls

Dkf(a) := limx→akx6=ak

f (a1, . . . , ak−1, x, ak+1, . . . , an)− f(a)

x− ak

= limh→0h6=0

f (a+ h · ek)− f(a)

h=:

∂f

∂xk(a)

=:partielle Ableitung von f in a bzgl. der k-ten Variablen existiert. Ist Uoffen, a ∈ U , so existiert ein δ > 0, so dass

(a1, . . . , ak−1, ak + h, ak+1, . . . , an)t ∈ U

fur alle h ∈ R mit |h| ≤ δ. Daher ist obige Limesbedingung sinnvoll. DieBedingung ist auch noch sinnvoll, falls a + hν · ek ∈ U fur eine Nullfollge(hν)ν≥1, hν 6= 0. Die Partielle Ableitung ist die Ableitung der partiellenAbbildung

]ak − δ, ak + δ[ 3 x 7→ f (a1, . . . , ak−1, x, ak+1, . . . , an)

an der Stelle ak (falls vorhanden. Im R2 also die Tangentensteigung vonf (a1, ·) in a2.

b) f : U → R einmal partielle differenzierbar:⇔ Dkf(a) existiert fur allea ∈ U und alle k = 1, . . . , n. Das liefert eine Abbildung Dkf : U → Rp.

c) f : U → Rp stetig partielle differenzierbar:⇔ f partiell differenzierbar undDkf : U → Rp stetig fur k = 1, . . . , n.

Rechenregeln gelten wie gehabt.

Folgerung: f : U → Rp partiell differenzierbar⇔ ∂fj

∂xkexistiert ∀ j = 1, . . . , p,

k = 1, . . . , n.

243

40.2 Beispiele

a) r : Rn → R,

r(x) := ‖x‖2 =

√√√√

n∑

j=1

x2j

ist in Rn\{0} stetig partiell differenzierbar mit ∂r∂xk

= xk

r (x 6= 0).

Beweis: Fur x 6= 0 ist

∂

∂xk

√

x21 + . . . ,+x2

n =2xk

2√

x21 + . . .+ x2

n

=xkr

2

b) Ist f : ]0,∞[→ R differenzierbar, so ist f ◦ r auf Rn\{0} partiell differen-zierbar mit

∂f(r)

∂xk= f ′(r)

xkr

(x 6= 0)

Beweis: Klar nach Kettenregel. 2

c) Eine partiell differenzierbare Funktion braucht nicht stetig zu sein!

Beispiel: f : R2 → R,

f(x, y) :=

{x·y

(x2+y2)2fur (x, y) 6= (0, 0),

0 fur (x, y) = (0, 0)

⇒ ∀ t 6= 0 f(t, t) =t2

(2t2)2=

1

4t2

t→0t6=0−−→∞,

also ist f in 0 unstetig. Aber: f ist in allen Punkten 6= (0, 0) ersichtlichpartiell differenzierbar, und fur x 6= 0 ist

f(x, 0)− f(0, 0)

x= 0, also D1f(0, 0) = 0 = D2f(0, 0)

40.3 Definition: Gradient, Divergenz

Sei U ⊂ Rn offen, f : U → R partiell differenzierbar, v : U → Rn partielldifferenzierbar.

a) gradf : U → Rn, gradf :

D1f...

Dnf

heißt der Gradient von f .

b) div v : U → R, div v :=∑n

k=1Dkvk heißt die Divergenz von v.

244

40.4 Beispiele

a) f : ]0,∞[→ R sei differenzierbar.40.2 b)⇒ gradf(r) = f ′(r) · xr fur x 6= 0.

Spezialfall: f(r) = 1r : Das Coulomb-Feld und das Gravitationsfeld sind Gra-

dientenfelder.

b) Sei f : ]0,∞[→ R differenzierbar.

⇒ div (f(r) · x) = n · f(r) + r · f ′(r) (x 6= 0)

Beweis:

1.) 40.2 b)

2.)∂

∂xkf(r) · xk =

(∂f(r)

∂xk

)

· xk + f(r)40.2 b)

= f ′(r)x2k

r+ f(r), also

div (f(r) · x) = n · f(r) + r · f ′(r). 2

40.5 Rechenregeln

a) grad(fg) = g · gradf + f · gradg (Produktregel), falls auch g : U → Rpartiell differenzierbar ist.

b) div (f · v) = 〈gradf, v〉+ f · div v.

Beweis:

a) klar

b) Hier bezeichne (f · v)k die k-te Koordinate von f · v.

∂(f · v)k∂xk

=∂f

∂xk· vk + f · ∂vk

∂xk. 2

40.6 Definition: Mehrfach partielle Differenzierbarkeit

Seien U ⊂ Rn, f : U → Rp partiell differenzierbar.

a) f zweimal partiell differenzierbar:⇔ Alle Dkf : U → Rp (k = 1, . . . , n)sind partiell differenzierbar. Dann setzt man

DjDkf := Dj (Dkf) =:∂

∂xj

(∂

∂xkf

)

Entsprechend: ν-mal partiell differenzierbar:

DiνDiν−1 · . . . ·Di1f := Diν

(Diν−1 · . . . ·Di1

)f

=:∂

∂xiν

(∂

∂xiν−1

· . . . · ∂

∂xi1f

)

.

245

b) f ν-mal stetig partiell differenzierbar: ⇔ f ν-mal partiell differenzierbarund fur 1 ≤ µ ≤ ν sind alle partiellen Ableitungen µ-ter Ordnung von fstetig. Dann folgt die Stetigkeit von f selbst (siehe 41.6). Fur ν = 0 bedeute

”f ν-mal stetig partiell differenzierbar“ einfach: f stetig.

40.7 Satz

Seien U ⊂ Rn offen, f : U → Rp zweimal stetig partiell differenzierbar. Danngilt:

DjDkf = DkDjf (j, k = 1, . . . , n)

Beweis: OBdA sei p = 1, n = 2. Im Fall j = k ist nichts zu tun. Sei also j = 1,

k = 2. Sei α :=

(ab

)

∈ U ⊂ R2 und r > 0 so klein, dass

Kr(α) =

{(xy

)

∈ R2 : (x− a)2 + (y − b)2 < r2}

⊂ U

Sei(xy

)

∈ Kr(α), a < x, b < y.

⇒ f(x, y)− f(a, y)− f(x, b) + f(a, b)

Wende den Mittelwertsatz an auf x 7→ f(x, y)− f(x, b):

= (x− a) (D1f (ξ, y)−D1f (ξ, b))

und bei nochmaliger Anwendung des Mittelwertsatzes auf y 7→ f(x, y)− f(a, y):

= (x− a)(y − b)D2D1f (ξ, η)

mit einem ξ ∈ ]a, x[ und einem η ∈ ]b, y[.Ebenso erhalt man, indem man zuerst den Mittelwertsatz auf y 7→ f(x, y)−f(a, y)und anschließend auf das 1. Argument anwendet:

f(x, y)− f(a, y)− f(x, b) + f(a, b) = (x− a)(y − b)D1D2f(ξ′, η′

)

mit einem ξ′ ∈ ]a, x[ und einem η′ ∈ ]b, y[.

⇒ D1D2f(ξ′, η′

)= D2D1f (ξ, η) .

(x, y) 7→ (a, b)⇒ (ξ, η)→ (a, b),(ξ′, η′

)→ (a, b)

und Stetigkeit der Ableitungen D2D1f , D1D2f

30.5,34.6⇒ D1D2f(a, b) = D2D1f(a, b) 2

246

40.8 Korollar

Seien U ⊂ Rn offen, f : U → Rp ν-mal stetig partiell differenzierbar. Dann giltfur jede Permutation π ∈ P (ν) und alle i1, . . . , iν ∈ {1, . . . , n}:

Diν · . . . ·Di2Di1f = Diπ(ν)· . . . ·Diπ(2)

Diπ(1)f.

Beweis: π ist Produkt von Transpositionen benachbarter Ziffern. Mit 40.7 folgtdie Behauptung. 2

Schreibweise: Bei stetiger partieller Differenzierbarkeit braucht man also auf dieReihenfolge der Differentiation nicht zu achten, und man schreibt:

DjDkf =∂2f

∂xj∂xk,

Diν · . . . ·Di1f =∂νf

∂xiν · . . . · ∂xi1etc.

40.9 Definition: Laplace-Operator, harmonische Funktionen

Sei U ⊂ Rn offen, f : U → Rp zweimal stetig partiell differenzierbar.

∆f := div (gradf) =n∑

j=1

∂2f

∂x2j

∆ :=n∑

j=1

∂2

∂x2j

heißt Laplace-Operator.

f heißt harmonisch oder Potentialfunktion:⇔ f 2-mal stetig partiell differenzier-bar und ∆f = 0

︸︷︷︸

Potentialgleichung

.

40.10 Beispiel

Sei f : ]0,∞[→ R zweimal stetig differenzierbar. Dann ist

∆f(r) = f ′′(r) +n− 1

rf ′(r) (x 6= 0)

mit dem r aus 40.2 a). Speziell:

∆ log r = 0 fur n = 2,

∆1

rn−2= 0 fur n ≥ 3

n = 3: 1r = Coulomb-Potential oder Gravitationspotential nach Isaac Newton.

247

Beweis: Nach 40.4 a) gilt:

gradf(r) =f ′(r)r

x

40.4 b)⇒ div (gradf(r)) = nf ′(r)r

+ rd

dr

(f ′(r)r

)

= f ′′(r) +n− 1

rf ′(r). 2

248

41 Totale Differenzierbarkeit

Motivation: Sei I ⊂ R ein offenes Intervall, f : I → R differenzierbar in a ∈ I .

⇔ f ′(a) := limx→ax6=a

f(x)− f(a)

x− a

existiert. Wir setzen

ϕ(x) :=

{f(x)−f(a)

x−a − f ′(a) fur x 6= a,

0 fur x = a

Dann ist

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)︸︷︷︸

affine Funktion

+ (x− a)ϕ(x)︸︷︷︸

Fehlerterm

mit einer Funktion ϕ : I → R, die in a stetig ist, ϕ(a) = 0. Jede in a differen-zierbare Funktion lasst sich also durch eine affine Funktion (d. h. beschreibt eineGerade) in der Umgebung von a ”gut approximieren“.

41.1 Definition: Totale Differenzierbarkeit

Es seien U ⊂ Rn offen, f : U → Rp, a ∈ U . f heißt in a (total) differenzierbar:⇔∃ lineare Abbildung T : Rn → Rp und es gibt eine Funktion ϕ : U → Rp, so dass OBdA im folgenden

stets ‖ · ‖ = ‖ · ‖2f(x) = f(a) + T (x− a) + ‖x− a‖ϕ(x),

limx→a

ϕ(x) = 0.

f heißt (total) differenzierbar in U :⇔ f in jedem Punkt von U total differenzier-bar.

41.2 Folgerungen

a) n = p = 1: f total differenzierbar in a ⇔ f differenzierbar in a im Sinnevon Analysis I.

b) f total differenzierbar in a⇒ f stetig in a.

c) Zu jeder linearen Abbildung T : Rn → Rp existiert eine Matrix (αi,k)i=1,...,pk=1,...,n

,

so dass

T (x) =

α1,1 · · · α1,n...

...αp,1 · · · αp,n

x1...xn

︸︷︷︸

p×n

(∈ Rp)

249

Dabei ist Tek =∑n

j=1 αj,kej , d. h. in der k-ten Spalte der Matrix stehen dieKoordinaten von Tek. Mit

f =

f1...fp

, ϕ =

ϕ1...ϕp

ist dann die Gleichung

f(x) = f(a) + T (x− a) + ‖x− a‖ϕ(x)

gleichbedeutend mit

fi(x) = fi(a) +n∑

k=1

αi,k (xk − ak) + ‖x− a‖ϕi(x)

fur i = 1, . . . , p. D. h. f total differenzierbar in a ⇔ f1, . . . , fp total diffe-renzierbar in a. Im folgenden unterscheiden wir nicht zwischen der linearenAbbildung T und der zugehorigen Matrix und schreiben einfach

T = (αi,k)i=1,...,pk=1,...,n

Dabei legen wir stets die kanonische Basis zugrunde.

41.3 Definition: Funktionalmatrix

Sei U ⊂ Rn offen, f : U → Rp und f sei in a ∈ U partiell differenzierbar. Dannheißt

(Df)(a) :=

(∂fi∂xj

)

i=1,...,pj=1,...,n

= ((D1f) (a), . . . , (Dnf) (a))

die Funktionalmatrix oder Jacobische Matrix oder das Differential von f in a.Spezialfall: p = 1: (Df)(a) = ((gradf) (a))t

Ist f in U partiell differenzierbar, so sei

Df : U → Mat (p× n,R) , a 7→ (Df)(a).

41.4 Satz

Sei U ⊂ Rn offen, und f : U → Rp sei in a ∈ U total differenzierbar:

f(x) = f(a) + T (x− a) + ‖x− a‖ϕ(x)

mit einer linearen Abbildung T : Rn → Rp und mit einer in a stetigen Funktionϕ : U → Rp mit ϕ(a) = 0. Dann ist f in a partiell differenzierbar, T ist eindeutigbestimmt, und es gilt:

T = (Df)(a).

250

Beweis:

∀ i = 1, . . . , p fi(x) = fi(a) +n∑

k=1

αi,k (xk − ak) + ‖x− a‖ϕi(x),

T = (αi,k)i=1,...,pj=1,...,n

Sei 0 6= t, |t| < δ hinreichend klein.

⇒ fi (a+ t · ej)− fi(a)t

= αi,j +‖t · ej‖ϕi (a+ t · ej)

t

= αi,j + ‖ej‖|t|t

︸︷︷︸

beschrankt

ϕi (a+ t · ej)︸︷︷︸

t→0−−→0

t→0t6=0−−→ αi,j

⇒ ∂fi∂xj

(a) existiert und ist = αi,j . 2

Ergebnis: f total differenzierbar⇒ f partiell differenzierbar und stetig. f parti-ell differenzierbar ; f total differenzierbar, denn f braucht nicht stetig zu sein!

41.5 Beispiele

a) Sei A = (αi,j)i=1,...,pj=1,...,n

∈ Rp×n, f : Rn → Rp, f(x) := A · x (x ∈ Rn).

⇒ f total differenzierbar und Df = A.

Begrundung: f(x) = A ·a+A(x−a) = f(a)+A(x−a)+0‖x−a‖.2

b) Sei A = (αi,j)i=1,...,nj=1,...,n

∈ Rn×n, f : Rn → R, f(x) := 〈Ax, x〉, wobei 〈·, ·〉das kanonische Skalarprodukt sei.

⇒ f(x) = 〈Ax, a〉 = 〈A (a+ (x− a)) , a+ (x− a)〉

= 〈Aa, a〉+ 〈A(x− a), a〉+ 〈Aa, x− a〉+ 〈A(x− a), x− a〉x6=a= f(a) +

((A+At

)a)t

︸︷︷︸

=:T, Zeilenvektor

(x− a)︸︷︷︸

Spaltenvektor

+‖x− a‖ ‖x− a‖f(

x− a‖x− a‖

)

︸︷︷︸

=:ϕ(x)

⇒ f stetig, also auf der Einheitssphare (kompakt) beschrankt.

⇒ ϕ(x)x→a−−−→ 0 =: ϕ(a)

⇒ f ist in a differenzierbar mit

(Df)(a) =((A+At

)(a))t. 2

251

41.6 Satz

Sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rp partiell differenzierbar, und Df sei in a stetig.Dann ist f in a total differenzierbar. Insbesondere ist f in a stetig.

Ergebnis: f stetig partiell differenzierbar⇒ f total differenzierbar⇒ f stetig.

Bezeichnungen:

Ck(U) := {f : U → R, f k-mal stetig partiell differenzierbar} (k ≥ 1)

C0(U) := C(U) := {f : U → R, f stetig}

C∞(U) :=∞⋂

k=0

Ck(U)

Beweis: Nach 41.2 c) kann OBdA p = 1 angenommen werden. Seien a ∈ U ,δ > 0 so klein, dass

{x ∈ Rn, ‖x− a‖∞ < δ} ⊂ U

Sei nun ‖x− a‖∞ < δ.

f(x)− f(a) =n∑

k=1

x1...

xk−1

xkak+1

...an

︸︷︷︸

=f(x) fur k=n

−

x1...

xk−1

akak+1

...an

︸︷︷︸

=f(a) fur k=1

22.4=

n∑

k=1

(Dkf)

x1...

xk−1

ξkak+1

...an

· (xk − ak)

252

mit einem ξk zwischen xk und ak, d. h. |ξk − ak| < δ.

x6=a=

n∑

k=1

(Dkf) (a)·(xk − ak)+‖x−a‖·n∑

k=1

(Dkf)

x1...

xk−1

ξkak+1

...an

− (Dkf) (a)

· (xk − ak)‖x− a‖

︸︷︷︸

=:ϕ(x) fur x6=a

und hier gilt:

limx→a

ϕ(x) = 0 =: ϕ(a)

wegen der Stetigkeit von Df in a. 2

41.7 Definition: Stetige Differenzierbarkeit

Sei U ⊂ Rn offen, f : U → Rp, f heißt stetig differenzierbar:⇔ f (total) diffe-renzierbar und Df : U → Mat (p× n,R) stetig, d. h. koordinatenweise stetig.

41.8 Korollar

Sei U ⊂ Rn offen, f : U → Rp. Dann gilt:f stetig partiell differenzierbar⇔ f stetig differenzierbar.

Beweis:

”⇐“ 41.4

”⇒“ f differenzierbar nach 41.6, und nach Voraussetzung ist Df stetig. 2

41.9 Kettenregel

Seien U ⊂ Rm, V ⊂ Rn offen, f : U → V differenzierbar in a ∈ U , g : V → Rp

differenzierbar in b := f(a) ∈ V . Dann ist h := g ◦ f : U → Rp differenzierbar ina und es gilt:

(Dh)(a)︸︷︷︸

p×m

= (Dg) (f(a))︸︷︷︸

p×n

· (Df)(a)︸︷︷︸

n×m

,

∂hi∂xk

(a) =n∑

j=1

∂gi∂yj

(f(a)) · ∂fj∂xk

(a)

(i = 1, . . . , pk = 1, . . . ,m

)

253

Beweis: g differenzierbar in b := f(a) ∈ V .

⇒ g(y) = g(b) + ((Dg)(b)) · (y − b) + ‖y − b‖ · ψ(y) (y ∈ V )

mit ψ : V → Rp, limy→b ψ(y) = 0. Setze y := f(x).

⇒ ∀x ∈ U h(x) = g (f(x))

= g(f(a)︸︷︷︸

=b

) + ((Df)(a)) (x− a) + ‖x− a‖ · ϕ(x)︸︷︷︸

=y−b

= g(b) + ((Dg)(b)) ((Df)(a)) · (x− a) + ‖x− a‖ · ϕ(x)

+ ‖((Df)(a)) · (x− a) + ‖x− a‖ · ϕ(x)‖ · ψ (f(x))

x6=a= h(a) + ((Dg)(b)) ((Df)(a)) · (x− a)

+‖x−a‖·

((Dg)(b)ϕ(x))︸︷︷︸

x→a−−−→0

+

∥∥∥∥(Df)(a)

x− a‖x− a‖ + ϕ(x)

∥∥∥∥

︸︷︷︸

beschrankt fur x→a

· ψ (f(x))︸︷︷︸

x→a−−−→0, da f stetig in a

⇒ Behauptung. 2

41.10 Definition: Richtungsableitung

Sei U ⊂ Rn offen, v ∈ Rn, f : U → Rp, a ∈ u. Definiere die Richtungsableitungvon f in a in Richtung v als

(Dvf) (a) := limt→0t6=0

f(a+ tv)− f(a)

t,

falls dieser Limes existiert.

Beispiel: Dejf = Djf , falls existent.

41.11 Satz

Sei U ∈ Rn offen, a ∈ U , f : U → R in a differenzierbar, v ∈ Rn. Dann hat f ina eine Richtungsableitung und es gilt:

(Dvf) (a) = 〈v, gradf(a)〉

entsprechend bei f : U → Rp fur alle Koordinatenfunktionen.

254

Beweis: Wahle ε > 0 so klein, dass fur g : ]−ε, ε[ → Rn, g(t) := a + tv(|t| < ε) gilt:

g (]−ε, ε[) ⊂ U,

Setze h := f ◦ g : ]−ε, ε[→ R. 41.9⇒ h ist differenzierbar in 0 und es gilt:

(Dvf) (a) =∂h

∂t(0) =

n∑

j=1

∂f

∂xj(a) · ∂gj

∂t︸︷︷︸

vj

= 〈gradf(a), v〉 2

41.12 Korollar

In 41.11 gilt:

sup {|(Dvf) (a)| , v ∈ Rn mit ‖v‖2 = 1} = ‖gradf(a)‖2 ,

d. h. gradf(a) gibt die Richtung und Große des starksten Anstiegs oder Abfallsvon f an.

Beweis:

|〈v, gradf(a)〉|28.5≤ ‖v‖2 · ‖gradf(a)‖2

Dabei gilt ”=“ nur, wenn die Vektoren linear abhangig sind. 2

255

42 Mittelwertsatz und Taylorsche Formel

42.1 Mittelwertsatz

Seien U ⊂ Rn offen, f : U → Rp differenzierbar, a, b ∈ U , und es gelte:

Sa,b := {a+ (b− a)t : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ U.

Dann gibt es ein ξ ∈ ]0, 1[, so dass

‖f(b)− f(a)‖22 =

⟨

Df (a+ ξ(b− a))︸︷︷︸

p×n

(b− a)︸︷︷︸

n×1

, f(b)− f(a)︸︷︷︸

p×1

⟩

Insbesondere ist

‖f(b)− f(a)‖2 ≤ sup {‖(Df) (a+ t(b− a)) (b− a)‖2 , 0 ≤ t ≤ 1}

Zusatzbemerkung: Wir statten hier Rn und Rp jeweils mit der entsprechendenNorm ‖·‖2 aus. Fur T ∈ Hom (Rn,Rp) sei

‖T‖2 := sup

‖Tx‖2, x ∈ Rn, ‖x‖ ≤ 1︸︷︷︸

abg. Einh.-Kugel, kompakt

= max {‖Tx‖2 x ∈ Rn, ‖x‖2 ≤ 1}Dies definiert eine Norm auf Hom (Rn,Rp).

⇒ ∀x ∈ Rn, x 6= 0 ‖Tx‖2 = ‖x‖2 ·∥∥∥∥T

(x

‖x‖2

)∥∥∥∥

2

≤ ‖T‖2 · ‖x‖2

Diese Ungleichung gilt ohne den Mittelterm auch fur x = 0.

⇒ ∀x ∈ Rn ‖Tx‖2 ≤ ‖T‖2 · ‖x‖2 (18)

Ist z. B. bzgl. der Standardbasis T = (αi,j)i=1,...,pj=1,...,n

, so gilt:

‖T‖22 =

p∑

i=1

n∑

j=1

αi,jxj

2

28.5≤

p∑

i=1

n∑

j=1

α2i,j

n∑

j=1

x2j

︸︷︷︸

‖x‖2

≤

∑

1≤i≤p1≤j≤n

(αi,j)2

‖x‖2

256

⇒ ‖T‖2 ≤√√√√

∑

1≤i≤p1≤j≤n

(αi,j)2 (19)

Fur p = 1 gilt hier:

T = (α1, . . . , αn) (1× n-Matrix) ‖T‖2 = ‖α‖2 (20)

In 42.1 gilt also:

‖f(b)− f(a)‖ ≤ sup {‖(Df) (a+ t(b− a))‖2 , 0 ≤ t ≤ 1} · ‖b− a‖2 (21)

Beweis: g : [0, 1]→ R, g(t) := 〈f (a+ t(b− a)) , f(b)− f(a)〉 (0 ≤ t ≤ 1).g ist wohldefiniert. ⇒ g ist stetig und differenzierbar auf ]0, 1[ (lt. Kettenregel41.9), denn fur i = 1, . . . , p ist

]0, 1[→ U → R, t 7→ a+ t(b− a) 7→ fi (a+ t(b− a))

differenzierbar. Dann liefert der Mittelwertsatz aus Analysis I (22.4):

∃ ξ ∈ ]0, 1[ g(1)− g(0) = g′(ξ)

Hier ist

g(1)−g(0) = ‖f(b)− f(a)‖22 , g′(t) =

⟨d

dtf (a+ t(b− a)) , f(b)− f(a)

⟩

41.9=

⟨

(Df) (a+ t(b− a))︸︷︷︸

p×n

(b− a)︸︷︷︸

n×1︸︷︷︸

p×1, d. h. ∈ Rp

, f(b)− f(a)

⟩

22.4⇒ ‖f(b)− f(a)‖22 = 〈(Df) (a+ ξ(b− a)) (b− a), f(b)− f(a)〉28.5≤ ‖(Df) (a+ ξ(b− a)) (b− a)‖2 · ‖f(b)− f(a)‖2

(18)⇒ ‖f(b)− f(a)‖2 ≤ ‖(Df) (a+ ξ(b− a))‖2 · ‖b− a‖2 2

42.2 Korollar

Voraussetzungen wie in 42.1, p = 1 und f sei stetig differenzierbar.

⇒ |f(b)− f(a)| ≤ max {‖gradf(x)‖2 , x ∈ Sa,b} · ‖b− a‖2

Beweis: Ungleichungen (20) und (21). 2

257

42.3 Definition: (Polygon-)zusammenhangend

Sei U ⊂ Rn offen. U heißt (Polygon-)zusammenhangend:⇔

∀ a, b ∈ U ∃ Streckenzug von a nach b in U :⇔

∀ a, b ∈ U ∃ a = x0, . . . , xr = b ∈ U ∀ ν = 1, . . . , r Sxν−1,xν ⊂ U

42.4 Korollar

Seien U ⊂ Rn offen, f : U → Rp partiell differenzierbar, U zusammenhangend,Df = 0. Dann ist f konstant.

Warnung: Die Behauptung ist falsch, wenn U nicht zusammenhangend ist!

Beweis: Seien a, b ∈ U ⇒ ∃ a = x0, . . . , xr = b ∈ U wie in 42.3. Df = 0

42.1⇒ ‖f (xν) f (xν−1)‖ = 0 (ν = 1, . . . , r)

⇒ f(a) = f (x0) = f (x1) = . . . = f(b)

a, b ∈ U beliebig⇒ f konstant. 2

Bemerkung: Df = 0 ⇒ f ist automatisch stetig partiell differenzierbar, alsodifferenzierbar, also ist der Mittelwertsatz (42.1) anwendbar.

42.5 Definition: Multiindizes

Fur α =

α1...αn

∈ (N0)

n setze:

‖α‖ := α1 + . . .+ αn,

α! := α1! · . . . · αn!,

Dαf :=∂|α|f

∂α1x1 · . . . · ∂αnxn,

falls f |α|-mal stetig differenzierbar ist.

xα := xα11 · . . . · xαn

n fur x =

x1...xn

∈ Rn

258

42.6 Taylorsche Formel

Seien U ⊂ Rn offen, f ∈ Ck+1(U), a, x ∈ U ,

Sa,x := {a+ t(x− a), 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ U

Dann gilt die Taylorsche Formel:

f(x) =∑

|α|≤kα∈(N0)n

Dαf(a)

α!(x− a)α +Rk+1(x, a),

wobei sich das sog. Restglied Rk+1(x, a) schreiben lasst in der Form:

Rk+1(x, a) =∑

|α|=k+1α∈(N0)n

Dαf (a+ ξ(x− a))α!

(x− a)α

als sog. Restglied von Lagrange mit geeignetem ξ ∈ ]0, 1[.

Beweis: Sei I ⊃ [0, 1] ein offenes Intervall mit (a+ t(x− a)) ⊂ U fur allet ∈ I . Setze g : I → R, g(t) := f (a+ t(x− a)) (t ∈ I).⇒ g(0) = f(a) undnach der Kettenregel (41.9):

g′(t) =n∑

i1=1

Di1f (a+ t(x− a)) (xi1 − ai1)

=∑

|α|=1α∈(N0)

n

Dαf (a+ t(x− a)) (x− a)α

und ebenfalls nach Kettenregel (41.9)

g′′(t) =n∑

i2=1

n∑

i1=1

Di2Di1f (a+ t(x− a)) (xi1 − ai1) (xi2 − ai2)

=∑

|α|=2α∈(N0)

n

2!

α!Dαf (a+ t(x− a)) (x− a)α

Allgemein:

g(ν)(t) =n∑

iν=1

. . .n∑

i1=1

Diν ·. . .·Di1f (a+ t(x− a)) (xi1 − ai1)·. . .·(xiν − aiν )

=∑

|α|=να∈(N0)

n

ν!

α!Dαf (a+ t(x− a)) (x− a)α ,

259

denn unter i1, . . . , iν kommt die Zahl 1 α1-mal, die Zahl 2 α2-mal,. . . , die Zahl nαn-mal vor. Dann ist

Diν · . . . ·Di1f (a+ t(x− a)) (xi1 − ai1) · . . . · (xiν − aiν )

= Dαf (a+ t(x− a)) (x− a)α.Zu gegebenem α ∈ (N0)

n gibt es genau ν!α! solche ν-Tupel i1, . . . , iν . Nach 25.3

und 25.4 folgt damit:

f(x) = g(1) =k∑

ν=0

g(ν)(0)

ν!+g(k+1)(ξ)

(k + 1)!

mit ξ ∈ ]0, 1[

=∑

|α|≤kα∈(N0)n

Dαf(a)

α!(x− a)α +

∑

|α|=k+1α∈(N0)

n


(x− a)α 2

42.7 Korollar

Sei U ⊂ Rn offen, a ∈ U , Kδ(a) ⊂ U (δ > 0), f ∈ Ck(U) (k ∈ N). Danngilt fur alle x ∈ Kδ(a):

f(x) =∑

|α|≤k

Dαf(a)

α!(x− a)α + ‖x− a‖k2 ϕ(x)

mit einer Funktion ϕ : Kδ(a)→ R mit ϕ(x)x→a−−−→ 0.

Beweis: 42.6⇒ Fur alle x ∈ Kδ(a) gilt:

f(x) =∑

|α|≤k−1

Dαf(a)

α!(x− a)α +

∑

|α|=k


(x− a)α

x6=a⇒∑

|α|≤k

Dαf(a)

α!(x−a)α+‖x− a‖k2

∑

|α|=k

1

α!(Dαf (a+ ξ(x− a))−Dαf(a))

(x− a)α‖x− a‖k2

︸︷︷︸

=:ϕ(x) fur x6=a∣∣∣∣

(x− a)α‖x− a‖k2

∣∣∣∣≤ |x1 − a1|α1 · . . . · |xn − an|αn

(max {xj − aj , 1 ≤ j ≤ n})k≤ 1

fur α = k und wegen der Stetigkeit von Dαf fur alle α mit |α| = k.

⇒ limx→ax6=a

ϕ(x) = 0 =: ϕ(a) 2

42.7 dient in 43 zur Untersuchung von f auf Maxima und Minima fur k = 2.

260

43 Lokale Extrema

43.1 Definition: Lokale Extrema

Sei U ⊂ Rn offen, a ∈ U , f : U → R.

a) f hat in a ein lokales Maximum bzw. Minimum:⇔

∃V ∈ U (a), V ⊂ U ∀x ∈ V{f(x) ≤ f(a) bzw.f(x) ≥ f(a)

b) f hat in a ein isoliertes lokales Maximum bzw. Minimum:⇔

∃V ∈ U (a), V ⊂ U ∀x ∈ V{f(x) ≤ f(a) bzw.f(x) ≥ f(a)

,

wobei ”=“ nur fur x = a gilt.

c) f hat in a ein lokales Extremum:⇔ f hat in a ein lokales Maximum oderMinimum.

d) f hat in a ein isoliertes lokales Extremum:⇔ f hat in a ein isoliertes lokalesMaximum oder Minimum.

43.2 Satz

Sei U ⊂ Rn offen, f : U → R partiell differenzierbar und habe in a ∈ U einlokales Extremum.⇒ gradf(a) = 0.

Beweis: t 7→ f (a+ t · ej) hat in 0 ein lokales Extremum (t ∈ ]−ε, ε[, ε hinrei-chend klein), also

∂

∂tf (a+ t · ej) = Djf(a) = 0 (j = 1, . . . , n) 2

Bemerkung: Ebenso Dvf(a) = 0 fur alle v ∈ Rn, falls alle Richtungsableitun-gen von f in a existieren.

43.3 Satz

Sei U ⊂ Rn offen, f ∈ C2(U), a ∈ U , Kδ(a) ⊂ U (δ > 0). Dann gilt fur allex ∈ Kδ(a):

f(x) = f(a)+〈gradf(a), x− a〉+1

2〈(Hess f(a)) (x− a), x− a〉+‖x−a‖22ϕ(x)

mit der Hesseschen Matrix (symmetrische Matrix)

Hess f(a) := (DiDjf(a))1≤i≤n1≤j≤n

und mit einer Funktion ϕ : Kδ(a)→ R mit ϕ(x)x→a−−−→ 0.

261

Beweis: 42.7 liefert:

∑

|α|=1

Dαf(a)

α!(x− a)α =

n∑

j=1

(Djf(a)) (xj − aj) = 〈gradf(a), x− a〉 ,

∑

|α|=2

Dαf(a)

α!(x− a)α 42.6

=1

2

n∑

i,j=1

(DiDjf) (a) (xi − ai) (xj − aj)

=1

2〈Hess f(a)(x− a), x− a〉 2

43.4 Definition: Definitheit

Sei A = (αi,j)1≤i≤n1≤j≤n

eine symmetrische (d. h. A = At) Matrix.

a) A heißt positiv definit:⇔ ∀x ∈ Rn − {0} 〈Ax, x〉 > 0

b) A heißt positiv semidefinit:⇔ ∀x ∈ Rn 〈Ax, x〉 ≥ 0

c) A heißt negativ definit:⇔ ∀x ∈ Rn − {0} 〈Ax, x〉 < 0

d) A heißt negativ semidefinit:⇔ ∀x ∈ Rn 〈Ax, x〉 ≤ 0

e) A heißt indefinit:⇔ ∃x ∈ Rn 〈Ax, x〉 > 0 ∧ ∃ y ∈ Rn 〈Ay, y〉 < 0

43.5 Satz

Zu jeder symmetrischen Matrix A ∈ Mat (n,R) existiert eine Orthonormalbasisv1, . . . , vn ∈ Rn, und es existieren λ1, . . . , λn ∈ R, die sog. Eigenwerte von A, sodass Avj = λjvj ∀ j = 1, . . . , n.

Beweis: Siehe bei [Bos00], S. 162 oder [Koe87], S. 194, Satz B.

43.6 Satz

Seu A ∈ Mat (n,R) symmetrisch. Dann gilt in den Bezeichnungen von 43.5:

a) A positiv definit⇔ λ1, . . . , λn > 0

b) A positiv semidefinit⇔ λ1, . . . , λn ≥ 0

c) A negativ definit⇔ λ1, . . . , λn < 0

d) A negativ semidefinit⇔ λ1, . . . , λn ≤ 0

e) A indefinit⇔ ∃ i, j ∈ {1, . . . , n} λi > 0, λj < 0

Ausfuhrliche Charakterisierungen finden sich bei [Koe87], S. 195.

262

Beweis: Jedes x ∈ Rn lasst sich entwickeln nach den Vektoren einer Orthonor-malbasis v1, . . . , vn von Rn.

x =n∑

j=1

〈x, vj〉 vj

Wahle jetzt v1, . . . , vn als Orthonormalbasis von Eigenvektoren von A.

〈Ax, x〉 =⟨

n∑

j=1

λj 〈x, vj〉 vj ,n∑

k=1

〈x, vk〉 vk⟩

=

n∑

j=1

λj 〈x, vj〉2︸︷︷︸

≥0

(22)

Damit folgt die Behauptung. z. B. zu a):

”⇒“ x := vk ⇒ 〈Avk, vk〉 = λk (k = 1, . . . , n)

”⇐“ λ1, . . . , λn > 0⇒ 〈Ax, x〉 ≥ 0 und fur x 6= 0 gibt es ein k mit

〈x, vk〉 = 0⇒ 〈Ax, x〉 > 0

Der Rest verlauft analog. 2

43.7 Korollar

Sei A positiv definit. Dann gilt:

⇒ ∃µ > 0 ∀x ∈ Rn 〈Ax, x〉 ≥ µ ‖x‖22

Beweis: Setze µ := min {λ1, . . . , λn}.

(22)⇒ 〈Ax, x〉 ≥n∑

j=1

µ 〈x, vj〉2 = µ ‖x‖22 2

43.8 Satz

Sei A ∈ Mat (n,R) symmetrisch. Dann gilt:

A positiv definit⇔ det

a1,1 · · · a1,k...

. . ....

ak,1 · · · ak,k

> 0 ∀ k = 1, . . . , n

Diese Determinante heißt Hauptunterdeterminante.

Beweis: Siehe in [Bos00], S. 254, Satz 8 sowie S. 255 Korollar 9, oder bei[Koe87], S. 152, bzw. bei [Lor07], Teil II, S. 69.

263

Beispiel:(a bb c

)

positiv definit⇔ a > 0 ∧ ac− b2 > 0.

1. Beweis: 43.8

2. Beweis:

a

⟨(a bb c

)(xy

)

,

(xy

)⟩

= a(ax2 + 2bxy + cy2

)

= (ax+ by)2 +(ac− b2

)y2 ⇒ Behauptung 2

43.9 Satz

Sei U ⊂ Rn offen, f ∈ C2(U), a ∈ U , gradf(a) = 0. Dann gilt:

a) Hess f(a) positiv definit⇒ f hat ein isoliertes lokales Minimum in a,

b) Hess f(a) negativ definit⇒ f hat ein isoliertes lokales Maximum in a,

c) Hess f(a) indefinit⇒ f hat kein lokales Extremum in a sondern einen Sat-telpunkt.

Bemerkung: Der Fall einer semidefiniten Hesse-Matrix bleibt hier offen.

Beweis: A := Hess f(a) und sei Kδ(a) ⊂ U fur δ > 0 geeignet, λ1, . . . , λn dieEigenwerte von A, µ := min {λ1, . . . , λn}.

43.3⇒ ∀x ∈ Kδ(a) f(x)− f(a) =1

2〈A(x− a), x− a〉+ ‖x− a‖22ϕ(x),

wobei limx→a ϕ(x) = 0.

≥(µ

2+ ϕ(x)

)

‖x− a‖22 > 0,

falls x ∈ Kρ(a)− {a} mit hinreichend kleinem ρ > 0.⇒a)⇒b).Zu c): Sei v ∈ Rn

43.3⇒ f(a+ tv)− f(a) =1

2〈Av, v〉 t2 + ‖tv‖22ϕ(a+ tv)

= t2

1

2〈Av, v〉+ ‖v‖22 ϕ(a+ tv)

︸︷︷︸

t→0−−→0

{> 0 fur 〈Av, v〉 > 0< 0 fur 〈Av, v〉 < 0

und |t| 6= 0 hinreichend klein.⇔ f hat in a einen Sattelpunkt. 2

264

Zusatz: n = 2, U ⊂ R2, f : U → R, a ∈ U , f ∈ C2(U), gradf(a) = 0,

Hess f(a) =

(α ββ γ

)

. Dann gilt:

α > 0 und αγ − β2 > 0⇒ f hat in a ein isoliertes lokales Minimum.

α < 0 und αγ − β2 > 0⇒ f hat in a ein isoliertes lokales Maximum.

αγ − β2 < 0⇒ f hat in a einen Sattelpunkt.

43.10 Beispiel

f : R2 → R, f(x, y) := ax2 + by2 + c mit a 6= 0 6= b.⇒ gradf(x) =

(2ax2by

)

,

d. h. gradf(x) = 0⇔ x =

(00

)

,

Hess f(0) =

(2a 00 2b

)

ist

pos. def. fur a, b > 0 ⇒ isol. lok. Min.neg. def. fur a, b < 0 ⇒ isol. lok. Max.indef. fur a · b < 0 ⇒ Sattelpunkt

Fall a, b > 0: elliptisches Paraboloid (siehe Abb. 8),

Fall a, b < 0: dto. nach unten geformt,

Fall a > 0, b < 0: Sattelflache (siehe Abb. 9).

265

0

5

10

15

20

25

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,01,52,0

-2,0-1,5-1,0-0,50,00,51,01,5

z

x

y

Abbildung 8: f(x, y) = 2x2 + 3y2 + 2

266

-15

-10

-5

0

5

10

15

-2,0

-1,5

-1,0-0,5

0,00,5

1,01,5 -2,0

-1,5-1,0

-0,50,0

0,51,0

1,5

2,0

z

x

y

Abbildung 9: f(x, y) = 2x2 − 3y2 + 2

267

44 Differentiation unter dem Integralzeichen

44.1 Satz

Es seien I ⊂ R ein Intervall, [a, b] ⊂ R ein kompaktes Intervall, f : I× [a, b]→ R

stetig. Dann ist F : I → R, F (x) :=∫ ba f(x, t) dt stetig fur x ∈ I . Ist zusatzlich

D1f vorhanden und stetig auf I× [a, b], so ist f differenzierbar auf I und F ′(x) =∫ ba∂f∂x (x, t) dt.

Bemerkung: Ein besseres Kriterium folgt in Analysis III.

Beweis: Sei x0 ∈ I und η > 0 so klein, dass

J :=

[x0 − η, x0 + η] ⊂ I fur x0 ∈ I◦[x0, x0 + η] ⊂ I fur x0 linker Eckpunkt von I[x0 − η, x0] ⊂ I fur x0 rechter Eckpunkt von I

⇒ F |J×[a,b] ist stetig, J × [a, b] ist kompakt.⇒ F |J×[a,b] ist gleichmaßig stetig.

⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x, x′ ∈ J,∣∣x− x′

∣∣ < δ, t ∈ I

∣∣f(x, t)− f(x′, t)

∣∣ < ε

Dabei ist die Bedingung gleichbedeutend mit∥∥∥∥

(xt

)

−(x′

t

)∥∥∥∥

2

=∣∣x− x′

∣∣

⇒ |F (x)− F (x0)| < ε(b− a),

falls x ∈ J , |x− x0| < δ.⇒ F stetig.Sei auchD1f vorhanden und stetig auf ganz J×[a, b]. Sei ε > 0.D1f gleichmaßigstetig auf J × [a, b]

⇒ ∃ δ′ > 0 ∀ t ∈ [a, b] , x, x′ ∈ J,∣∣x− x′

∣∣ < δ′

∣∣D1f(x, t)−D1f(x′, t)

∣∣ < ε

⇒∣∣∣∣

F (x)− F (x0)

x− x0−∫ b

aD1f (x0, t) dt

∣∣∣∣

≤∫ b

a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f(x, t)− f (x0, t)

x− x0︸︷︷︸

=D1f(ξ,t)

−D1f (x0, t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

≤ ε(b− a),

falls |x− x0| < δ′, x ∈ J mit ξ zwischen x und x0 (ξ hangt auch von t ab). 2

268

44.2 Beispiel

∫ ∞

0e−x

2dx =

1

2

√π.

Beweis: Dritter Beweis nach Beta-Funktion (31.10) und Wallisschem Produkt(27.9).

f, g : R→ R, f(x) :=

(∫ x

0e−t

2dt

)2

, g(x) :=

∫ 1

0

e−x2(1+t2)

1 + t2dt (x ∈ R)

44.1⇒ g ist differenzierbar und

g′(x) =

∫ 1

0

∂

∂x

e−x2(1+t2)

1 + t2dt =

∫ 1

0e−x

2(1+t2)(−2x) dt

= −2xe−x2

∫ 1

0e−x

2t2 dt = −2e−x2

∫ x

0e−u

2du = −f ′(x)

nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (27.2).⇒ f ′ + g′ = 0⇒ f + g ist konstant

= f(0) + g(0) = 0 +

∫ 1

0

1

1 + t2dt =

π

4

⇒ ∀x ∈ R f(x) + g(x) =π

4

x→∞⇒ 0 ≤ g(x) =

∫ 1

0

e−x2(1+t2)

1 + t2dt ≤ e−x2 x→∞−−−→ 0

⇒

∫ ∞

0e−t

2dt

︸︷︷︸

>0

2

=π

4

⇒∫ ∞

0e−t

2dt =

1

2

√π 2

269

45 Kurven- und Bogenlangen

45.1 Definition: Kurve

Eine (stetige Parameter-)Kurve γ ist eine stetige Abbildung γ : I → Rn einesIntervalls I ⊂ R in den Rn. Ist I ein abgeschlossenes Intervall [a, b], so heißt γ(a)der Anfangspunkt und γ(b) der Endpunkt von γ.

Vorstellung: γ(t) = Ort eines beweglichen Punktes zur Zeit t ∈ I . Die Kurveγ heißt differenzierbar, wenn die Abbildung γ : I → Rn differenzierbar ist, d. h.wenn alle Koordinatenfunktionen γ1, . . . , γn differenzierbar sind. Ebenso k-maldifferenzierbar, k-mal stetig differenzierbar.Unterscheiden zwischen der Kurve γ und der Punktmenge ”Spur von γ“: Spur γ :={γ(t), t ∈ I}.

45.2 Beispiele

a) γ : [0, 2π]→ R2, γ(t) :=

(r · cos tr · sin t

)

(r > 0 fest, t ∈ [0, 2π])

⇒ γ ist ein Kreis mit Radius r. Anfangspunkt = γ(0) =

(r0

)

, Endpunkt

= γ(2π) =

(r0

)

.⇒Die Kurve ist geschlossen, da Anfangspunkt=Endpunkt.

γ1 : [0, 4π]→ R2, γ1(t)=


)

(r > 0 fest, t ∈ [0, 4π])

”doppelte Durchlaufung“

b) γ : [0, 2π]→ R2, γ(t) :=

(a · cos tb · sin t

)

(a, b > 0 fest, t ∈ [0, 2π])

ist eine Ellipse mit den Halbachsen a, b > 0.

c) γ : R→ Rn, γ(t) := a+ tv (a, v ∈ Rn fest, v 6= 0, t ∈ R)ist eine Gerade durch a in Richtung v.

d) γ : R→ R2, γ(t) :=(t, 1

2 t2)

e) γ : R→ R2, γ(t) :=

(

t, a · cosh t

a

)

(a > 0, t ∈ R)

ist die Kettenlinie.

45.3 Definition: Tangentenvektor

Ist γ : I → Rn differenzierbar, so heißt

γ′(t) := limh→0h6=0t+h∈I

1

h(γ(t+ h)− γ(t))

270

der Tangentenvektor von γ in t. Physikalische Interpretation: γ ′(t) = Geschwin-digkeitsvektor zur Zeit t.

∥∥γ′(t)

∥∥

2=√

γ′1(t)2 + . . .+ γ′n(t)2

ist der Betrag der Geschwindigkeit.

45.4 Definition: Rektifizierbarkeit

Sei γ : [a, b]→ Rn eine stetige Kurve, dann heißt γ rektifizierbar mit BogenlangeL = L(γ), falls

L(γ) := sup

k∑

j=1

‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2 : k ∈ N, a = t0 < . . . < tk = b <∞

endlich ist. Eine ”nur“ stetige Kurve braucht nicht rektifizierbar zu sein. Zum Bei-spiel ist

γ : [0, 1]→ R2, γ(0) :=

(00

)

, γ(t) :=

(t

t · sin 1t

)

(0 ≤ t ≤ 1)

nicht rektifizierbar.

45.5 Definition: Beschrankte Variation

Eine Funktion f : [a, b]→ R heißt von beschrankter Variation, falls Var (f, [a, b]) :=

sup

{n∑

ν=1

|f (xν)− f (xν−1)| : n ∈ N, a = x0 < . . . < xn = b

}

<∞

Var (f, [a, b]) heißt die Totalvariation von f auf [a, b].

45.6 Satz

Ist f : [a, b]→ R monoton, so ist f von beschrankter Variation mit

Var (f, [a, b]) = |f(b)− f(a)| .

Beweis: OBdA sei f wachsend. Dann ist

n∑

ν=1

|f (xν)− f (xν−1)| =n∑

ν=1

f (xν)− f (xν−1)

= f (xn)− f (x0) = f(b)− f(a) 2

271

45.7 Satz

Ist f : [a, b]→ R stetig differenzierbar, so ist f von beschrankter Variation und

Var (f, [a, b]) =

∫ b

a

∣∣f ′(x)

∣∣ dx

Beweis:

n∑

ν=1

∣∣∣∣∣∣∣

f (xν)− f (xν−1)︸︷︷︸

=f ′(ξν)·(xν−xν−1) nach 22.4

∣∣∣∣∣∣∣

=n∑

ν=1

∣∣f ′ (ξν)

∣∣

︸︷︷︸

≤M, da f st. db.

(xν − xν−1)

Dies sind Zwischensummen des Integrals∫ ba |f ′(x)| dx

≤Mn∑

ν=1

(xν − xν−1) = M(b− a)

⇒ f ist von beschrankter Variation. Wahle eine Zerlegungssumme Z(k) mit

µ(

Z(k))

→ 0,

so dass die Schwankungssummen fur k → ∞ gegen Var (f, [a, b]) konvergie-ren. Damit folgt die Konvergenz der Summe gegen das Integral und somit dieBehauptung. 2

45.8 Satz

Die stetige Kurve γ : [a, b] → Rn ist genau dann rektifizierbar, wenn γ1, . . . , γn :[a, b]→ R von endlicher Variation sind.

Beweis: Fur j = 1, . . . , n gilt:

|γj (tν)− γj (tν−1)| ≤ ‖γ (tν)− γ (tν−1)‖2

≤ √n max1≤l≤n

|γl (tν)− γl (tν−1)| ≤√n

n∑

l=1

|γl (tν)− γl (tn−1)|

dabei a = t0 < . . . < tn = b.⇒ Behauptung. 2

45.9 Satz

Seien a < b < c, γ : [a, c] → Rn stetig. Dann gilt: γ ist rektifizierbar ⇔ γ|[a,b]und γ|[b,c] rektifizierbar. Dann ist

L(γ) = L(

γ|[a,b])

+ L(

γ|[b,c])

272

Beweis:

”⇒“ Sei a = t0 < . . . < tk = b < tk+1 < . . . < tl = c

⇒l∑

j=1

‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2

≤k∑

j=1

‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2 + ‖γ(b)− γ (tk)‖2︸︷︷︸

≤L(γ|[a,b])

+ ‖γ (tk+1)− γ(b)‖2 +l∑

j=k+2

‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2︸︷︷︸

≤L(γ|[b,c])

⇒ γ ist rektifizierbar mit

L(γ) ≤ L(

γ|[a,b])

+ L(

γ|[b,c])

”⇐“ Sei a = t= < . . . < tk = b, b = tk < . . . < tl = c

⇒k∑

j=1

‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2 +l∑

j=k+1

‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2

≤ L(γ) nach Voraussetzung

⇒ γ|[a,b] und γ|[b,c] sind rektifizierbar und

L(

γ|[a,b])

+ L(

γ|[b,c])

≤ L(γ)

Zusammen folgt:

L(γ) = L(

γ|[a,b])

+ L(

γ|[b,c])

2

45.10 Definition: Stuckweise stetige Differenzierbarkeit

Eine stetige Kurve γ : [a, b] → Rn heißt stuckweise stetig differenzierbar, wenneine Zerlegung a = c0 < . . . < ck = b existiert, so dass γ|[cν−1,cν ] (1 ≤ ν ≤ k)stetig differenzierbar ist (einseitige Differenzierbarkeit in den Endpunkten).

Bemerkung: γ stuckweise stetig differenzierbar⇔ γ1, . . . , γn stuckweise stetigdifferenzierbar.

273

45.11 Satz

Ist γ : [a, b] → Rn stetig und stuckweise stetig differenzierbar, so ist γ rektifizier-bar mit

L(γ) =

∫ b

a

∥∥γ′(t)

∥∥

2dt.

Physikalische Interpretation: Weg=Geschwindigkeit · Zeit.

Bemerkung: Integrand z. B. = 0 in den Punkten, wo γ nicht differenzierbar ist(”Knickstellen“).

Beweis: 45.9⇒ Beweis genugt fur den Fall, dass γ in ganz [a, b] stetig differenzier-

bar ist. Sei also γ : [a, b]→ Rn stetig differenzierbar. 45.7 45.8⇒ γ ist rektifizierbar.Sei ε > 0. Wahle a = t0 < . . . < tk = b so fein, dass

(i) 0 ≤ L(γ)−k∑

j=1

‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2 <ε

3und

(ii) max1≤j≤k

(tj − tj−1) < δ := minj=1,...,n

δn (ν = 1, . . . , n), wobei δν das Delta

der gleichmaßigen Stetigkeit von γν und [a, b] zu ε3(b−a)√n sei,

(iii)

∣∣∣∣∣∣

k∑

j=1

∥∥γ′ (tj)

∥∥

2(tj − tj−1)−

∫ b

a

∥∥γ′(t)

∥∥

2dt

∣∣∣∣∣∣

<ε

3

Dann folgt:

∣∣∣∣L(γ)−

∫ b

a

∥∥γ′(t)

∥∥

2dt

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∣∣∣∣

L(γ)−k∑

j=1

‖γ (tj)− γ (tj−1)‖2︸︷︷︸

=√∑n

ν=1(γn(tj)−γν(tj))2

∣∣∣∣∣∣∣∣

︸︷︷︸

< ε3

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

k∑

j=1

n∑

j=1

(γ′ν(ξνj

))

2

· (tj − tj−1)−k∑

j=1

n∑

ν=1

(γ′ν (tj)

)2

︸︷︷︸

=‖γ′(tj)‖2

(tj − tj−1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

︸︷︷︸

< ε3

(23)

+

∣∣∣∣∣∣

k∑

j=1

∥∥γ′ (tj)

∥∥

2(tj − tj−1)−

∫ b

a

∥∥γ′(t)

∥∥

2dt

∣∣∣∣∣∣

︸︷︷︸

< ε3

< ε

274

mit tj−1 < ξνj < tj .

Begrundung zu (23): Es ist∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

√√√√

n∑

ν=1

(γ′ν(ξνj

))2

︸︷︷︸

=‖·‖

−n∑

ν=1

(γ′ν (tj)

)2

︸︷︷︸

=‖·‖

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

≤√√√√√

n∑

ν=1

(γ′ν(ξνj

)− γ′ν (tj)

)2

︸︷︷︸

< ε3(b−a)

√n

nach (ii)

<ε

3(b− a)

Summation uber j = 1, . . . , k liefert (23), da∑k

j=1 (tj − tj−1) = (b− a). 2

45.12 Beispiele

a) Kreis: γ : [0, 2π]→ R2, γ(t) =


)

(r > 0 fest, 0 ≤ t ≤ 2π)

γ′(t) = r

(− sin tcos t

)

,∥∥γ′(t)

∥∥

2= r ⇒ L(γ) =

∫ 2π

0rdt = 2πr

Ebenso: Sei 0 < α < 2π, γα : [0, α] → R2, γ′α(t) := r

(cos tsin t

)

(0 ≤t ≤ α)

⇒ L (γα) =

∫ α

0rdt = r · α

b) Bogenlange der Parabel:

γ : [a, b]→ R2, γ(t) :=

(t

12 t

2

)

⇒ L(γ) =

∫ b

a

√

1 + t2dt =1

2

[

log(

t+√

1 + t2)

+ t√

1 + t2]b

a

c) Bogenlange der Zykloide (Bahnkurve eines Punktes beim Abrollen):

γ : [0, 2π]→ R2, γ(t) :=

(t− sin t1− cos t

)

(0 ≤ t ≤ 2π)

⇒∥∥γ′(t)

∥∥2

2= (1− cos t)2 + sin2 t = 2− 2 cos t = 4 sin2 t

2

⇒ L(γ) =

∫ 2π

02

∣∣∣∣sin

t

2

∣∣∣∣dt = 4

∫ π

0sin t dt = 8

275

Teil IX

Umkehrsatz und Satz uber impliziteFunktionen46 Der Kontraktionssatz

46.1 Definition: Kontraktion

Seien (X, d) ein metrischer Raum und T : X → X .

a) T heißt kontrahierend (bzw. Kontraktion), wenn es ein 0 ≤ c ≤ 1 gibt, sodass d(Tx, Ty) ≤ c · d(x, y) (x, y ∈ X)

b) a ∈ X heißt Fixpunkt von T , falls Ta = a.

46.2 Beispiel

T : Rn → Rn linear:

‖T‖2 := max {‖Tx‖2 : ‖x‖ ≤ 1} . ⇒ ‖Tx‖2 ≤ ‖T‖2 · ‖x‖2 (x ∈ Rn)

Ist ‖T‖ < 1, so ist T eine Kontraktion, denn

‖Tx− Ty‖2 = ‖T (x− y)‖2 ≤ ‖T‖2 · ‖x− y‖2 < ‖x− y‖2.

0 ist einziger Fixpunkt von T , denn wegen ‖T‖2 < 1 hat T nicht den Eigenwert 1.

46.3 Kontraktionssatz

(Banachscher Fixpunktsatz). Jede Kontraktion T : X → X eines vollstandigenmetrischen Raumes X 6= ∅ hat genau einen Fixpunkt.

Beweis:

Eindeutigkeit: Seien a, b ∈ X Fixpunkte von T .

⇒ 0 ≤ d(Ta, Tb) = d(a, b) ≤ c · d(a, b)

c gemaß 46.1 a)⇒ d(a, b) = 0⇒ a = b.

Existenz: Sei x0 ∈ X beliebig. xn+1 := Txn (n ≥ 0).

⇒ d (xn+1, xn) = d (Txn, Txn−1) ≤ c·d (xn, xn−1) ≤ . . . ≤ cnd (x1, x0)

⇒ d (xn+k, xn) ≤k∑

j=1

d (xn+j , xn+j−1) ≤k∑

j=1

cn+j−1d (x1, x0)

276

=

k−1∑

j=0

cj

(cnd (x1, x0)) ≤d (x1, x0)

1− c cn (0 ≤ c ≤ 1)

⇒ (xn)n≥0 ist Cauchy-Folge in X .X vollstandig⇒ ∃ a ∈ X xn

n→∞−−−→ a. T kontrahierend⇒ T stetig

⇒ T (a) = T(

limn→∞

xn

)

= limn→∞

T (xn) = limn→∞

xn+1 = a

⇒ a ist Fixpunkt von T . 2

46.4 Zusatz

In 46.3 gilt: Ist x0 ∈ X beliebig, c wie in 46.1, so gilt mit xn+1 := Txn (n ≥ 0)die Fehlerabschatzung:

d (a, xn) ≤d (x1, x0)

1− c cn

Beweis: Lasse in 46.3 k →∞ gehen:

d (xn+k, xn) ≤d (x1, x0)

1− c cn 2

46.5 Beispiel

Sei f : Rn → Rn differenzierbar, ‖Df(x)‖2 ≤ c < 1 fur alle x ∈ Rn

42.1⇒ ‖f(x)− f(y)‖2 ≤ c ‖x− y‖2 (x, y ∈ Rn)

⇒ f ist kontrahierend.⇒ f hat genau einen Fixpunkt, d. h. die Gleichung f(ξ) =ξ hat genau eine Losung im Rn. (Spezialfall: n = 1)

277

47 Der Umkehrsatz

Frage:

1.) Sei U ⊂ Rn offen, f : U → Rn. Wann hat f eine Umkehrfunktion?

2.) Gilt: f stetig differenzierbar und Df invertierbar⇒ f hat eine Umkehrfunkti-on?

Antwort: Global nein (siehe 47.1), lokal ja (siehe 47.2).

47.1 Beispiel

f : ]0,∞[× R→ R2\{0}, f(r, ϕ) := r

(cosϕsinϕ

)

(r > 0, ϕ ∈ R).

Df(r, ϕ) =

(cosϕ −r · sinϕsinϕ r · cosϕ

)

⇒ det (Df(r, ϕ)) = r > 0,

aber f ist nicht global bijektiv. Allerdings ist f lokal bijektiv.

47.2 Umkehrsatz

SeiM ⊂ Rn offen, f : M → Rn stetig differenzierbar, a ∈M ,Df(a) invertierbar⇒ detDf(a) 6= 0. Dann gibt es eine offene Umgebung U ∈ U (a), so dass U ⊂M und V ∈ U (f(a) =: b), offen, V ⊂ f(M), so dass f |U : U → V bijektivist. Die Umkehrabbildung g := (f |U )−1 ist stetig differenzierbar mit Dg(y) =(Df (g(y)))−1 (y ∈ V ).

Bezeichnung: detDf heißt Funktionaldeterminante von f .

Beweis: Die Behauptung ist fur (f, a) genau dann richtig, wenn sie fur

g(x) := (Df(a))−1 (f(a+ x)− f(a))

an der Stelle 0 richtig ist. Beachte:

Dg(0) = (Df(a))−1 (Df(a)) = E, g(0) = 0

Also: OBdA sei a := 0, f(0) := 0 und Df(0) = E.

Idee: Wir wollen die Gleichung f(x) = y fur ”kleine“ ‖y‖ nach x auflosen.Wir schreiben die Gleichung in der Form:

y + x− f(x) = x.

Letztere Gleichung besagt:

gy : M → Rn, gy(x) := y + x− f(x)

hat einen Fixpunkt. Das wird mit dem Kontraktionssatz gezeigt.

278

Ausfuhrung:

⇒ Dgy = E −Df, Df(0) = E ⇒ Dgy(0) = 0, gy(0) = y

⇒ ∃ r > 0 Kr(0) ⊂M und ‖Dgy(x)‖2 ≤1

2∀x ∈ Kr(0), y ∈ Rn

42.1⇒ ∀ y ∈ Rn, x1, x2 ∈ Kr(0) ‖gy (x2)− gy (x1)‖2 ≤1

2‖x2 − x1‖2 (24)

1. Schritt: Fur alle y ∈ Rn mit ‖y‖2 ≤ r2 ist gy : Kr(0) → Kr(0) kontrahierend

mit

‖gy (x2)− gy (x1)‖2 ≤1

2‖x2 − x1‖2

(

x1, x2 ∈ Kr(0))

Begrundung: Sei ‖y‖2 ≤ r2 .

(24)⇒ ∀x ∈ Kr(0)

∥∥∥∥∥∥∥

gy(x)− gy(0)︸︷︷︸

=y

∥∥∥∥∥∥∥

2

≤ 1

2‖x‖2

⇒ ‖gy(x)‖2 ≤1

2‖x‖2 + ‖gy(0)‖2 ≤

r

2+ ‖y‖2 ≤ r

⇒ gy(x) ∈ Kr(0). Rest schon bewiesen in (24).

2. Schritt: 46.3⇒ Zu jedem y ∈ Kε(0) gibt es genau ein x ∈ Kr(0), so dassf(x) = y.Warnung: Es kann durchaus weitere x′ ∈M geben mit f(x′) = y. Vgl.47.1: Polarkoordinaten-Abbildung.Begrundung: Kr(0) ⊂ Rn ist abgeschlossen.⇒ Kr(0) ist vollstandig(37.13).46.3⇒ ∀ y ∈ K r

2(0) hat gy genau einen Fixpunkt in Kr(0).

gy(x) = x⇔ f(x) = y ⇒ 2. Schritt bewiesen. Setze

U :={

x ∈ Kr(0) : ‖f(x)‖2 <r

2

}

∈ U (0)

mit U ⊂M offen, V := f(U) ⊂ K r2(0) (s. o.).

3. Schritt: f |Kr(0)

ist injektiv, V offen, g := (f |U )−1 : V → U stetig.Begrundung: Fur x, x0 ∈ Kr(0) und y ∈ Rn ist

‖x− x0‖2 = ‖f(x)− gy(x)− f (x0)− gx (x0)‖2≤ ‖f(x)− f (x0)‖2 + ‖gy(x)− gy (x0)‖2(24)

≤ ‖f(x)− f (x0)‖2 +1

2‖x− x0‖2

279

⇒ ‖f(x)− f (x0)‖2 ≥1

2‖x− x0‖2 (25)

⇒ f |Kr(0)

ist injektiv. Sei y0 ∈ V , y0 = f (x0) mit x0 ∈ U . ⇒‖y0‖2 < r

2 . U offen

⇒ ∃ 0 < δ < 2(r

2− ‖y0‖2

)

Kδ (x0) ⊂ U.

Wir zeigen weiter: Mit diesem δ gilt: K δ2(y0) ⊂ V .

Begrundung: Sei y ∈ K δ2(y0)

⇒ ‖y‖2 < ‖y0‖2 +δ

2<r

2,

d. h. y ∈ K r2(0). 2. Schritt⇒ ∃ genau ein x ∈ Kr(0), so dass f(x) = y.

(25)⇒ ‖x− x0‖2 ≤ 2 ‖y − y0‖2 < δ,

d. h. x ∈ Kδ (x0) ⊂ U .⇒ ∀ y ∈ K δ

2(y0) existiert genau ein x ∈ U mit f(x) = y.

⇒ K δ2(y0) ⊂ V .⇒ V offen. Mit x = g(y), x0 = g (y0) fur y, y0 ∈ V

gilt nach (25):

‖g(y)− g (y0)‖2 ≤ 2 ‖y − y0‖2⇒ g stetig.⇒ 3. Schritt.

4. Schritt: g ist stetig differenzierbar.Begrundung: Seien y, y0 ∈ V , y = f(x), y0 = f (x0) (x, x0 ∈ U),f differenzierbar in x0.

⇒ f(x) = f (x0) + (Df (x0)) (x− x0) + ‖x− x0‖2 ϕ(x)

mit ϕ : U → Rn, ϕ(x)x→x0−−−→ 0. x0 ∈ U

⇒ ‖E − (Df) (x0)‖2 ≤1

2(26)

⇒ E −Df ist kontrahierend, hat also in 0 genau einen Fixpunkt.⇒ E − (Df) (x0) ist injektiv, also invertierbar.

⇒ g(y)− g (y0) = x− x0

= (Df (x0))−1 +

f(x)︸︷︷︸

=y

− f (x0)︸︷︷︸

=y0

−‖x− x0‖2 ϕ(x)

280

y 6=y0= (Df (x0))

−1 (y − y0)

+ ‖y − y0‖2

‖x− x0‖2‖y − y0‖2︸︷︷︸

(25)

≤ 2

(Df (x0))

−1

︸︷︷︸

stetig, da linear

(−ϕ (g(y)))

︸︷︷︸

=:ψ(y)y→y0−−−→0, da g, ϕ stetig in x0 mit ϕ (x0) = 0

⇒ g(y) = g (y0) + (Df (x0))−1 + ‖y − y0‖2 ψ(y)

⇒ g ist differenzierbar in y0 mit

Dg (y0) = (Df (x0))−1 = (Df (g (y0)))

−1

stetig in Abhangigkeit von y0 ∈ V , denn die Elemente einer inversenMatrix hangen stetig ab von den Matrixelementen. 2

Bemerkung: Wenn man weiß, dass g differenzierbar ist, so ist die FormelDg(y) =((Df) (g(y)))−1 klar nach Kettenregel, denn f ◦ g = id V .

41.9⇒ ∀ y ∈ V ((Df) (g(y))) ·Dg(y) = E

⇒ Behauptung. 2

47.3 Zusatz zum Umkehrsatz

Ist in 47.2 f sogar k-mal differenzierbar (k ≥ 1), so ist auch g := (f |U )−1 k-malstetig differenzierbar.

Beweis: (Dg)(y) = ((Df) (g(y)))−1 und Formel fur inverse Matrix und Induk-tion nach k. Erlauterung fur k = n = 2:

(a bc d

)

∈ Gl (2,R)

⇒(a bc d

)−1

=1

ad− bc

(d −b−c a

)

,

also

(Dg)(y) =1

(∂f1∂x1· ∂f2∂x2

− ∂f1∂x2· ∂f2∂x1

)

(g(y))

(∂f2∂x2

(g(y)) − ∂f1∂x2

(g(y))

− ∂f2∂x1

(g(y)) ∂f1∂x2

(g(y))

)

Ist nun f ∈ C2(M), so sind alle ∂fi

∂xjstetig differenzierbar, ferner g differenzierbar,

also laut Kettenregel (41.9) g zweimal stetig differenzierbar. 2

281

47.4 Korollar

Sei M ⊂ Rn offen, f : M → Rn stetig differenzierbar und detDf sei nullstellen-frei.⇒ Fur jede offene Menge A ⊂M ist f(A) offen im Rn (⇔: f ist offen).

Beweis: Zu jedem b := f(a) (a ∈ A) existiert nach 47.2 eine offene Umge-bung U von a und V von f(a), so dass f |U : U → V bijektiv ist. ⇒ V ⊂f(A)⇒ f(A) offen. 2

47.5 Beispiel

Sei f : R3 → R3, f (x1, x2, x3) :=

x1 + x2 + x3

x1x2 + x2x3 + x3x1

x1x2x3

(=elementarsym-

metrische Funktionen in 3 Variablen) Die elementarsymmetrischen Funktionen tre-ten auf bei Ausmultiplikation des Polynoms

(t− x1) (t− x2) (t− x3)

= t3 − (x1 + x2 + x3) t2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1) t− x1x2x3

detDf (x1, x2, x3) =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1x2 + x3 x3 + x1 x1 + x1

x2x3 x3x1 x1x2

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 0 0x2 + x3 x1 − x2 x1 − x3

x2x3 x3 (x1 − x2) x2 (x1 − x3)

∣∣∣∣∣∣

= (x1 − x2) (x1 − x3) (x2 − x3)

47.2⇒ Sei a :=

a1

a2

a3

∈ R3 ein ”Nullstellenvektor“, so dass

det(Df)(a) = (a1 − a2) (a1 − a3) (a2 − a3) 6= 0

ist, ferner sei

b :=

b1b2b3

:= f(a) =

a1 + a2 + a3

a1a2 + a2a3 + a3a1

a1a2a3

der ”zugehorige Koeffizienten-Vektor“. Dann existiert eine offene Umgebung Uvon a und V von b, so dass f |U : U → V bijektiv ist und (sogar beliebig oft) stetigdifferenzierbar mit Umkehrfunktion g : (f |U )−1 : V → U . D. h. fur alle y ∈ V hat

das Polynom t3 − y1t2 + y2t− y3 die drei verschiedenen Nullstellen

x1

x2

x3

=

g(y), und diese Nullstellen sind beliebig oft differenzierbare Funktionen von y ∈V . Analog fur Polynome in n Variablen. 2

282

48 Der Satz uber implizite Funktionen

Problem: Gegeben sei M ⊂ R2 offen, eine stetig differenzierbare Funktion f :

M → R,(ab

)

∈ M , f(ab

)

= 0, N :=

{(xy

)

∈M : f

(xy

)

= 0

}

.

Frage: Wie ”sieht N aus“?

Ziel: Ist ∂f∂y

(ab

)

6= 0, so gibt es eine offene Umgebung U von a, eine stetig

differenzierbare Funktion h : U → R mit(

xh(x)

)

∈ N (x ∈ U ) und eine of-

fene Umgebung W ⊂ R2 von(ab

)

, so dassN ∩W =

{(x

h(x)

)

, x ∈ U}

=

Graph von h.

Beispiel: f : R2 → R, f(xy

)

= x2 + y2 − 1.

⇒ N =

{(xy

)

: x2 + y2 = 1

}

= Einheitskreislinie.

∂f∂y = 2y = 0 ⇔ y = 0, d. h. genau in den Punkten

(10

)

und(−10

)

ist

∂f∂y

(ab

)

= 0, uberall sonst ist auf N das ∂f∂y

(ab

)

6= 0, und uberall sonst

existiert lokal das gesuchte h.

Bezeichnungen: Wir schreiben die Vektoren z ∈ Rn+p in der Form z = (x, y)t

mit x ∈ Rn, y ∈ Rp. FurM ⊂ Rn+p, f : M → Rp schreiben wir: f(z) = f(x, y),z = (x, y)t ∈M . Ist f zusatzlich stetig partiell differenzierbar, so setzen wir

∂f

∂x(x, y) :=

(∂fi∂zj

(x, y)

)

1≤i≤p1≤j≤n

= (D1f(x, y), . . . , Dnf(x, y))

∂f

∂y(x, y) :=

(∂fi∂zn+j

(x, y)

)

1≤i≤p1≤j≤p

= (Dn+1f(x, y), . . . , Dn+pf(x, y))

Df =(

∂f∂x

∂f∂y

)

48.1 Satz uber implizite Funktionen

Es seien M ⊂ Rn+p offen, f : M → Rp stetig differenzierbar, (a, b) ∈ M(a ∈ Rn, b ∈ Rp), f(a, b) = 0. Ferner sei ∂f

∂y (a, b) invertierbar, d. h. die Funktio-nalmatrix von f Df habe maximalen Rang p, und die letzten p Spalten seien linear

283

unabhangig. Dann gibt es eine offene Umgebung W ⊂ M ⊂ Rn+p von (a, b)und U ⊂ Rp von a und eine eindeutig bestimmte stetig differenzierbare Abbildungh : U → Rp, so dass gilt: (x, h(x))t ∈ W ⊂ M fur alle x ∈ U , h(a) = b,f (x, h(x)) = 0 fur alle x ∈ U , {(x, y) ∈M,f(x, y) = 0} ∩W = Graph von h,∂f∂y (x, h(x)) ist invertierbar fur alle x ∈ U ,

Dh(x)︸︷︷︸

p×n

=

(

−∂f∂y

(x, h(x))

)−1

︸︷︷︸

p×p

·(∂f

∂x(x, h(x))

)

︸︷︷︸

p×n

(x ∈ U)

Beweis: Wir betrachtenF : M → Rn+p,F (x, y) := ( x︸︷︷︸

n

, f(x, y)︸︷︷︸

p

)t fur (x, y) ∈

M .⇒ F ist stetig differenzierbar und

DF (x, y) =

En 0∂f

∂x(x, y)

︸︷︷︸

n

∂f∂y (x, y)

= Df(a, b),

denn detDf(x, y) = det(∂f∂y (x, y)

)

6= 0. F (a, b) = (a, 0). 47.2⇒ Es existiert eine

offene Umgebung W ⊂ M von (a, b) und Y ⊂ Rn+p von (a, 0), so dass F |W :W → Y bijektiv ist und eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion G : Y →What. F ◦G = id .⇒ ((DF ) ◦G) ·DG = E.

⇒ ∂f

∂y(x, y) ist invertierbar fur alle (x, y) ∈W (27)

OBdA sei gleich Y = U × V mit offener Umgebung U ⊂ Rn von a und V ⊂ Rp

von 0. Sei (u, v) ∈ Y = U × V , G(u, v) =: (x, y) ∈W

⇒ (u, v) = F (G(u, v)) = F (x, y) = (x, f(x, y)) = (x, f (G(x, y)))

⇒ u = x, v = f (G(u, v)).⇒ G hat die Gestalt: G(u, v) = (u, g(u, v)) mit einerFunktion g : U × V → Rp, (u, g(u, v)) ∈W , ((u, v) ∈ U × V = Y )

⇒ f (u, g(u, v)) = v ∀ (u, v) ∈ U × V = Y (28)

g ist stetig differenzierbar, da G stetig differenzierbar ist. Wir setzen h : U → Rp,h(x) := g(x, 0) (x ∈ U). ⇒ h ist sinnvoll, stetig differenzierbar. (x, h(x)) ∈W ⊂M (x ∈ U), h(a) = b, denn f (a, g(a, 0)) = 0.

(28)⇒ ∀x ∈ U f (x, h(x)) = f (x, g(x, 0)) = 0 (x ∈ U)

⇒ ∀x ∈ U (x, h(x)) ∈W, f(x, y) = 0

⇒ F (x, y) = (x, 0) ∈ Y = U × V ⇒ x ∈ U

284

und

(x, y) = G (x, 0) = (x, g(x, 0)) = (x, h(x)) ∈ Graph von h

Die Invertierbarkeit von ∂f∂y (x, h(x)) (x ∈ U) ist klar nach (27). Anwendung

der Kettenregel (41.9) auf f (x, h(x)) = 0 (x ∈ U) liefert:

∀x ∈ U ∂f

∂x(x, h(x))

︸︷︷︸

p×n

+∂f

∂y(x, h(x))

︸︷︷︸

p×p, invertierbar

Dh(x)︸︷︷︸

p×n

= 0

⇒ Dh(x) =

(

−∂f∂y

(x, h(x))

)−1

·(∂f

∂x(x, h(x))

)

. 2

48.2 Spezialfall

n = p = 1, Bezeichnungen wie in 48.1:

∂h

∂x=∂f

∂x(x, h(x)) · 1

∂f∂y (x, h(x))

= −D1f

D2f(x, h(x)) . 2

48.3 Beispiel

n = p = 1, f : R2 → R, f(x, y) = y2 − x2 − x3.

⇒ N ={(x, y) ∈ R2, y2 = x3 + x2

},

∂f∂y = 2y, also

{

(x, y) ∈ N, ∂f∂y

(x, y) = 0

}

= {(0, 0), (−1, 0)} =: N ∗

48.1⇒ In allen Punkten (a, b) ∈ N\N ∗ lasst sich N lokal als Graph einer Funktiondarstellen

i.e. h(x) := ±√

x3 + x2 siehe Abb. 10

In den Punkten (0, 0) und (−1, 0) ist eine solche Darstellung nicht moglich. Aber:∂f∂x = −3x2 − 2x, ∂f∂x (−1, 0) = −1 6= 0.⇒ In einer Umgebung von (−1, 0) lasstsich N lokal als Graph einer Funktion von y schreiben. In den Punkten (x, y) ∈N\N∗ ist

h′(x) =−∂f∂x∂f∂y

(x, h(x)) =3x2 + 2x

2y(x, h(x))

=2x+ 3x2

2h(x)=

2x+ 3x2

±2√x2 + x3

Gleiches Resultat erhalt man mit der Kettenregel.

285

-2 -1 0 1 2 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Abbildung 10: h(x) = ±√x3 + x2

286

48.4 Beispiel: ”Achterbahn“

n = p = 1, f : R2 → R2, f(x, y) = x4 + y4 − 4xy

⇒ N = {(x, y), f(x, y) = 0}N ist wegen f(x, y) = f(y, x) = f(−x,−y) = f(−y,−x) symmetrisch bzgl.(x, y) 7→ (−y,−x) (Spiegelung an 0), (x, y) 7→ (y, x) (Spiegelung an der Diago-nalen). f(x, y) > 0 fur x > 0 ∧ y < 0, f(x, 0) = x4, f(0, y) = y4.⇒ N liegt im1. und 3. Quadranten und

N ∩ {(x, y) : x = 0 ∨ y = 0} = {(0, 0)}|2xy| ≤ x2 + y2.

⇒ f(x, y) = x4+y4−4xy ≥ x4+y4−2x2−2y2 =(x2 − 1

)2+(y2 − 1

)2−2 > 0,

falls max {|x|, |y|} >√

3⇒ N beshrankt, also kompakt.

∂f

∂y= 4

(y3 − x

)

> 0 fur y2 > x,= 0 fur y2 = x,< 0 fur y2 < x

Betrachte y 7→ f(x, y) bei x > 0 fest. Diese ist minimal an der Stelle y = 3√x und

es ist

f(x, 3√x)

= x4 − 3x43

⇒ f(x, 3√x)

> 0 fur x > 338 ,

= 0 fur x = 338 ,

< 0 fur x < 338

Fur 0 < |x| < 338 hat die Parallele zur y-Achse an der Stelle x genau zwei Schnitt-

punkte mitN , fur x = ±338 genau einen. Fur alle (x, y) ∈ N\

{

(0, 0),±(

338 , 3

18

)}

ist der Satz uber implizite Funktionen (48.1) anwendbar. In den Punkten±(

338 , 3

18

)

lasst sichN lokal als Graph einer Funktion von y schreiben, denn ∂f∂x = 4

(x3 − y

)

verschwindet nicht in ±(

338 , 3

18

)

. In (x, y) ∈ N\{

(0, 0),±(

338 , 3

18

)}

gilt:

h′(x) = −∂f∂x∂f∂y

(x, h(x)) = −4(x3 − y

)

4 (y3 − x) (x, h(x)) = − x3 − h(x)(h(x))3 − x

Z. B. gilt: h′(√

2)

= −1,

h′(x) = 0⇔ y = x3 (x, y) ∈ N\{

(0, 0),±(

338 , 3

18

)}

⇔(xy

)

= ±(

338

318

)

287

0,00,20,40,60,8

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Abbildung 11:(x4 + y4 − 4xy

) (x4 + y4 + 4xy

)= 0

48.5 Beispiel: ”Vierblattriges Kleeblatt“

n = p = 1: f : R2 → R, f(x, y) =(x4 + y4 − 4xy

) (x4 + y4 + 4xy

), dazu

N = {(x, y), f(x, y) = 0}. Siehe Abb. 11

288

49 Extrema mit Nebenbedingungen

Definition: Extrema Sei S ⊂ Rn, f : S → R

a) f hat in a ∈ S ein lokales Minimum:⇔ ∃U ∈ U (a) ∀x ∈ U∩S f(x) ≥f(a).

b) f hat in a ∈ S ein lokales Maximum: ⇔ ∃U ∈ U (a) ∀x ∈ U ∩S f(x) ≤ f(a).

c) f hat in a ∈ S ein lokales Extremum:⇔ f hat in a ∈ S ein lokales Maxi-mum oder ein lokales Minimum.

Frage: Sei U ⊂ Rn offen, S ⊂ U (S nicht notwendig offen), f : U → R stetigdifferenzierbar. Wie findet man die lokalen Extrema von f |S?

Warnung: Ist a ∈ U ein lokales Extremum von f : U → R, und gilt a ∈ S,so ist a lokales Extremum von f |S . Aber: Ein lokales Extremum von f |S brauchtkein lokales Extremum von f : U → R zu sein. Ist z. B. gradg nullstellenfrei, sohat f : U → R keine lokalen Extrema, ist aber z. B. S kompakt, so hat f |S stetsein lokales Maximum und Minimum.

Voraussetzung: M ⊂ Rn+p offen, g : M → Rp stetig differenzierbar, N :={z ∈M, g(z) = 0} (Nebenbedingung). pBedingungs-Gleichungen gegeben durchy1, . . . , yp : M → R. Ferner sei vorgelegt f : M → R stetig differenzierbar.

Gesucht: Extrema von f |N . Bezeichnungen: z ∈ M ⊂ Rn+p, z = (x, y)t,x ∈ Rn, y ∈ Rp. Fur ϕ : M → Rq, q := n + p, stetig differenzierbar schreibenwir: ϕ(z) = ϕ(x, y)t.

∂ϕ

∂x:=

(∂ϕi∂zj

)

i=1,...,qj=1,...,n

= (D1ϕ, . . . ,Dnϕ)

∂ϕ

∂y:=

(∂ϕi∂zn+j

)

i=1,...,qj=1,...,p

= (Dn+1ϕ, . . . ,Dn+pϕ)

49.1 Satz: Notwendige Bedingung fur ein Extremum mit Nebenbe-dingung

SeiM ⊂ Rn+p offen, g : M → Rp stetig differenzierbar,N := {z ∈M : g(z) = 0}(”Nebenbedingung“), a ∈ N , rg Dg(a)

︸︷︷︸

p×(n+p)

= p (Rang maximal!), und die letz-

ten p Spalten von Dg(a) seien linear unabhangig, d. h. det ∂g∂y (a) 6= 0. Ferner sei

289

f : M → R stetig differenzierbar und f |N habe in a ein lokales Extremum. Danngilt:

∂f

∂x(a)

︸︷︷︸

1×n

− ∂f∂y

(a)

︸︷︷︸

1×p

(∂g

∂y(a)

)−1

︸︷︷︸

p×p

∂g

∂x(a)

︸︷︷︸

p×n

= 0

(Gradientenbedingung) Das sind n Gleichungen fur den Punkt a und mit g(a) = 0p Gleichungen fur a.

Kommentar: Das sind n + p Gleichungen fur die n + p Koordinaten von a ∈M ⊂ Rn+p. Auflosung dieser Gleichungen ergibt die moglichen Extrema. Ob diedurch Auflosen dieser Gleichungen gefundenen a-Werte wirklich Extrema sind,muss durch Zusatzuberlegungen entschieden werden. Dabei kommt man evtl. mitder Hesse-Matrix der Funktion U 3 x 7→ f (x, h(x)) zum Ziel (vgl. Beweis).

Beweis:

N = {z ∈M : g(z) = 0} = {(x, y) ∈M : g(x, y) = 0}

a =

(cd

)

∈ N ⊂ M ⊂ Rn+p, c ∈ Rn, d ∈ Rp, ∂g∂y

(cd

)

ist invertierbar. 48.1⇒Es gibt

• eine offene Umgebung U ⊂ Rn von c,

• eine offene Umgebung W ⊂ N ⊂ Rn+p von a =

(cd

)

,

• eine stetig differenzierbare Funktion h : U → Rp, so dass

N ∩W = Graph von h. ∂g∂y (x, y) ist invertierbar fur (x, y) ∈W , und es ist

Dh(x) =

(∂g

∂y(x, h(x))

)−1

· ∂g∂x

(x, h(x)) (x ∈ U), (29)

d. h. Auflosung der Bedingungs-Gleichung g(x, y) = 0 in einer Umgebung U vonc durch die Funktion h liefert eine Parametrisierung von N ∩W .⇒ U 3 x 7→ f (x, h(x)) hat in c ∈ U ein lokales Extremum und wegen U offen:

⇒ D (x 7→ f (x, h(x))) (c) = 0 (30)

Wir schreiben: Die Abbildung x 7→ f (x, h(x)) als f ◦ ϕ mit

ϕ : U →M, ϕ(x) :=

(x

h(x)

)

, ϕ(c) = a

290

(30)⇒ (D (f ◦ ϕ)) (c) = 0

41.9⇒ (Df) (ϕ(c)) · (Dϕ)(c) = 0 (31)

Df =(

∂f∂x

∂f∂y

)

, Dϕ =

(EnDh

)

︸︷︷︸

(n+p)×n

(31)⇒ ∂f

∂x(a) +

∂f

∂y(a)Dh(a) = 0

Einsetzen von Dh aus (29)

⇒ ∂f

∂x(a)− ∂f

∂y(a) ·

(∂g

∂y(a)

)−1 ∂g

∂x(a) = 0 2

49.2 Beispiel:

Bestimme die Extrema von f : R2 → R, f(x, y) = x · y auf der Einheitskreisli-nie. N =

{x, y : x2 + y2 − 1 = 0

}. Losung:

g(x, y) = x2 + y2 − 1; n = p = 2∂g

∂y= 2y

ist invertierbar fur y 6= 0.⇒ Die Extrema mit y 6= 0 genugen der Gleichung

∂f

∂x− ∂f

∂y

(∂g

∂y

)−1 ∂g

∂x= 0

⇔ y − 2x2

2y= 0, d. h. x2 = y2 (Gradientenbedingung)

Nebenbedingung: x2 + y2 = 1

⇒ x2 =1

2= y2 ⇔ x = ± 1√

2, y = ε

1√2

mit ε ∈ {−1, 1}

Das gibt 4 kritische Werte:(

1√2,

1√2

)

,

(1√2,− 1√

2

)

,

(

− 1√2,

1√2

)

,

(

− 1√2,− 1√

2

)

In den Punkten mit y = 0 ist aber aufN ∂g∂x = 2x 6= 0, und aus Symmetriegrunden

erhalt man die gleichen kritischen Werte.

f

(1√2,

1√2

)

=1

2= f

(

− 1√2,− 1√

2

)

,

291

f

(1√2,− 1√

2

)

= −1

2= f

(

− 1√2,

1√2

)

Da f |N (N kompakt) ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum hat,ergeben sich zwei absolute Maxima und zwei absolute Minima.Alternative: Auf N ist x = cos t, y = sin t (t ∈ R), f |N ist dann gleich cos t ·sin t = 1

2 sin 2t: maximal fur t = π4 + kπ, minimal fur t = 3π

4 + kπ (k ∈ Z).

49.3 Beispiel

R3: Bestimme den Punkt auf der Ebene z = x + y, der von (1, 0, 0) minimalenAbstand hat. Losung:

g(x, y, z) = x+ y − z, p = 1, n = 2,∂g

∂z= −1 6= 0

Dabei spielt das z die Rolle des y aus 49.1.

f(x, y, z) = (x− 1)2 + y2 + z2 (Gradientenbedingung)

Der fruhere Vektor x ∈ Rn ist jetzt (x, y)t ∈ R2.

(∂f∂x

∂f∂y

)

− ∂f

∂z

(∂g

∂z

)−1 (∂g∂x

∂g∂y

)

= 0, d. h.

(2(x− 1) 2y

)+ 2z

(1 1

)= 0, d. h.

2(x− 1) + 2z = 0, 2y + 2z = 0.

Nebenbedingung: x+ y− z = 0. Inhomogenes lineares Gleichungssystem mit ge-nau einer Losung:

(23 ,−1

3 ,13

)t. Da laut Problemstellung ein Minimum angenom-men wird (das Kompaktum

(1 0 0

)t hat von der Ebene ker g (=abgeschlos-sene Menge) einen positiven Abstand), ist die Losung der Punkt mit kleinstemAbstand.Alternative: Auf N ist z = x + y, also ist h(x, y) = x + y aus 48.1 hier explizitbekannt.

ϕ(x, y) = f(x, y, h′(x, y)

)= f(x, y, x+ y) = (x− 1)2 + y2 + (x+ y)2

fur (x, y) ∈ R2. Die Extrema von ϕ : R2 → R sind zu bestimmen.

gradϕ =

(2(x− 1) + 2(x+ y)

2y + 2(x+ y)

)

!= 0⇔ (x, y) =

(2

3,−1

3

)

⇒ Losung auf N : (x, y, z) =(

23 ,−1

3 ,13

).

Hessϕ =

(4 22 4

)

ist positiv definit. Es liegt also ein Minimum vor.

292

49.4 Beispiel

Unter allen dem Einheitskreis umbeschriebenen n-Ecken (n ≥ 3) hat das regulareden kleinsten Umfang und den kleinsten Flacheninhalt.

• Umfang:∑n

i=1 2 tanϕi

• Inhalt:∑n

i=1 tanϕi

Bedingung:∑n

i=1 ϕi = π.

M ={(ϕ1, . . . , ϕn)

t , 0 < ϕi < π, i = 1, . . . , n}

f (ϕ1, . . . , ϕn) =

n∑

i=1

tanϕi, g (ϕ1, . . . , ϕn) =

n∑

i=1

ϕi − π, p = 1

⇔ x↔

ϕ1...

ϕn−1

, y ↔ ϕn

Gradientenbedingung:

∂f

∂ϕj− ∂f

∂ϕn

(∂g

∂ϕn

)−1 ∂g

∂ϕj= 0 (j = 1, . . . , n− 1)

Damit ist gezeigt: Wenn es ein n-Eck kleinsten Umfangs bzw. Inhalts gibt, das demEinheits-Kreis umbeschrieben ist, so ist dieses regular (gleichseitig). Dass dieseswirklich minimalen Umfang hat, folgt aus der Jensenschen Ungleichung:

f

n∑

j=1

λjxj

≤n∑

j=1

λjf (xj) fur f konvex

Also: Umfang des regelmaßigen n-Ecks:

= 2n tanπ

n= 2n tan

ϕ1 + . . .+ ϕnn

≤ 2n ·n∑

k=1

1

ntanϕk (Tangens konvex)

= 2∑n

k=1 tanϕk = Umfang eines beliebigen n-Ecks. 2

49.5 Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren

SeiM ⊂ Rn+p offen, g : M → Rp stetig differenzierbar,N = {z ∈M, g(z) = 0},und seien a ∈ N , rg Dg(a)

︸︷︷︸

p×(n+p)

= p (=Maximalrang), keine Auszeichnung der letz-

ten p Koordinaten: vgl. 49.1. Ferner sei f : M → R stetig differenzierbar, f |N

293

habe in a ein lokales Extremum. Dann gibt es genau ein λ =

λ1...λp

∈ Rp

(Lagrangescher Multiplikator), so dass

Df(a)︸︷︷︸

1×(n+p)

= λt︸︷︷︸

1×p· Dg(a)︸︷︷︸

p×(n+p)

(Linearkombination der Zeilenvektoren vonDg(a), n+pBedingungen) und g(a) =0 (p Bedingungen).

Kommentar: Das ergibt n+ 2p Bedingungsgleichungen:

D1f(a) =∑p

j=1 λjD1gj(a)...Dn+pf(a) =

∑pj=1 λjDn+pgj(a)

g1(a) = 0,...gp(a) = 0

fur n + 2p Unbekannte a =

a1...

an+p

, λ =

λ1...λp

. Durch Auflosen dieses

Gleichungssystems erhalt man alle kritischen Werte a, die als mogliche lokale Ex-trema in Betracht kommen. Durch weitere Diskussion ist dann im Einzelfall zuprufen, welche dieser kritischen a-Werte wirklich Maxima, Minima oder gar keineExtrema sind.

Beweis: Zum Beweis kann OBdA angenommen werden, dass die letzten p Spal-ten von Dg(a) linear unabhangig sind (sonst Umnummerierung der Koordinaten).

49.1⇒ ∂f

∂x(a)

︸︷︷︸

1×n

=∂f

∂y(a)

︸︷︷︸

1×p

(∂g

∂y(a)

)−1

︸︷︷︸

p×p︸︷︷︸

=λt mit λ∈Rp

∂g

∂x(a)

︸︷︷︸

p×n

⇒ ∂f

∂x(a) = λt

∂g

∂x(a)

Die Definition von λ liefert:

∂f

∂y(a) ·

(∂g

∂y(a)

)−1

= λt ⇒ ∂f

∂y(a) = λt

∂g

∂y(a)

⇒(

∂f∂x (a) ∂f

∂y (a))

= λt(

∂g∂x(a) ∂g

∂y (a))

⇔ Df(a) = λtDg(a).

rgDg(a) = p⇒ λ ist eindeutig bestimmt. 2

294

49.6 Zusatz

Die Bedingung: ∃λ ∈ Rp mitDf(a) = λtDg(a) aus 49.5 ist aquivalent zu ∃λ ∈ R

mit gradf(a) = (Dg(a))t · λ, d. h. zu: gradf(a) ∈ Bild(

(Dg(a))−1)

49.7 Satz

Jede symmetrische Matrix A ∈ Mat (n,R) hat eine Orthonormalbasis von Eigen-vektoren (n ≥ 1).

Beweis: n = 1 ist klar.Sei n ≥ 2, f : Rn → R, f(x) := 〈Ax, x〉 (x ∈ Rn), g(x) := ‖x‖22 − 1, p = 1,N := {x ∈ Rn, g(x) = 0} =: Sn−1 Einheitssphare im Rn (kompakt).⇒ f |N hatein Maximum in einem Punkt v1 ∈ N .

49.5⇒ Df (v1) = λ1 ·Dg (v1) (32)

41.5 b)⇒ Df (v1) =

A+ At︸︷︷︸

=A

(v1)

t

= (2Av1)t

(32)⇒ Av1 = λ1v1, d. h. v1 ist Eigenvektor von A zum Eigenwert λ1.Fortsetzung des Verfahrens: Sei weiter n ≥ 2, f wie oben, aber:

g : Rn → R2, g(x) :=

(‖x‖22 − 1〈v1, x〉

)

, p = 2,

N ={x ∈ Rn, ‖x‖22 = 1, 〈v1, x〉 = 0

}kompakt 6= 0

wegen n ≥ 2.⇒ f |N hat ein Maximum in einem Punkt v2 ∈ N .

Df (v2) = (2Av2)t (s.o.) Dg(x) =

(2xt

vt1

)

︸︷︷︸

2×n

Dg (v2) =

(2vt2vt1

)

hat Rang 2, da ‖v1‖2 = ‖v2‖2 = 1, 〈v2, v2〉 = 0.

49.5⇒ ∃µ =

(µ1

µ2

)

∈ R2 (2Av2)t =

(µ1 µ2

)(

2vt2vt1

)

= 2µ1vt2+µ2v

t1,

d. h. Av2 = µ1v2 + 12µ2v1.

〈Av2, v2〉A symm.

= 〈v2, Av1〉 = 〈v2, λ1v1〉 = 0

wegen der Nebenbedingung. ⇒ µ2 = 0 ⇒ Av2 = µ1 · v2. ⇒ µ1 ist Eigenwertmit Eigenvektor v2. Damit ist ein zweiter normierter Eigenvektor senkrecht zu v1

gefunden.

Fortsetzung mit g(x) :=

‖x‖22 − 1〈x, v1〉〈x, v2〉

. 2

295

49.8 Beispiel

Sei g : R2 → R, g(x, y) := ax2 + 2bxy + cy2 − 1 (a > 0, ac − b2 > 0),f(x, y) = x2 + y2, S =

{(x, y) ∈ R2, g(x, y) = 0

}: Ellipse.

Frage: Bestimme die Punkte auf S mit maximalem bzw. minimalem Abstand von0. Losung mit Lagrange: n = p = 1,Df(z) = λ ·Dg(z), z = (x, y) ∈ R2, λ ∈ R,g(z) = 0. Das sind 3 Gleichungen fur 3 Unbekannte x, y, λ . . .

296

Teil X

Gewohnliche Differentialgleichungen50 Grundbegriffe, Existenz- und Eindeutigkeitssatz von

Picard und Lindelof

50.1 Definition: Gewohnliche Differentialgleichung

Seien I ⊂ R ein Intervall, G ⊂ Rn+2 (n ≥ 1), f : I → R n-mal differenzierbar,und fur x ∈ I sei

(x, f(x), f ′(x), . . . , f (n)(x)

)t ∈ G. f erfullt eine gewohnlicheDifferentialgleichung (Dgl.) n-ter Ordnung, wenn es eine Funktion H : G → R,H 6= 0 gibt, so dass

H(

x, f(x), . . . , f (n)(x))

= 0 (x ∈ I) (33)

Lasst sich (33) nach f (n)(x) auflosen in der Form

f (n)(x) = F(

x, f(x), . . . , f (n−1)(x))

(x ∈ I) mit passendem F, (34)

so heißt die Definition (34) ”explizit“, (33) heißt ”implizit“.

Abgekurzte Schreibweise: Die gesuchte Funktion (oben f ) heißt in der Theorieder gewohnlichen Differentialgleichungen ublicherweise y; man schreibt (33) und(34) in der Kurzform:

H(

x, y, y′, . . . , y(n))

(x ∈ I) (35)

y(n) = F(x, y, . . . , yn−1

)(x ∈ I) (36)

Anfangswertprobleme: Gegeben H (bzw. F ), x0 ∈ R, y0, . . . , yn−1 ∈ R mit(x0, y0, . . . , yn−1)

t ∈ G. Gesucht ist f : I → R (I passendes Intervall mit x0 ∈ I),so dass f die Differentialgleichung (33) lost mit der Anfangsbedingung (AB)

f (x0) = y0, f ′ (x0) = y1, . . . , f(n) (x0) = yn−1

Frage: Wann existiert eine Losung f , und ist diese ggf. eindeutig bestimmt?Ziel von 50: Hinreichende Bedingung fur positive Antwort auf diese Frage.

Technisch gunstiger fur die Behandlung obiger Frage ist es, Systeme von Differen-tialgleichungen 1. Ordnung zu betrachten.

297

50.2 Satz

Sei G ⊂ Rn+1, F : G→ R, und vorgelegt seien die Differentialgleichung

y(n) = F(

x, y, y′, . . . , y(n−1))

(37)

und x0, y0, . . . , yn−1 ∈ R, so dass (x0, y0, . . . , yn−1)t ∈ G. Ist y : I → R eine

n-mal differenzierbare Losung von (37), so ist z :=(y, y′, . . . , y(n−1)

)t: I → Rn

eine Losung des Systems von gewohnlichen Differentialgleichungen

z′ = f(x, z) (x ∈ I) mit (38)

f(x, z) := (z2, . . . , zn, F (x, z1, . . . , zn))t , z =

z1...zn

, f : G→ Rn

(39)

und umgekehrt: z 7→ y := z1. Dabei gilt: y ist Losung des Anfangswertproblems

y (x0) = y0, y′ (x0) = y1, . . . , y(n−1) (x0) = yn−1 (40)

genau dann, wenn z Losung des Anfangswertproblems mit Anfangswert

z (x0) = (y0, y1, . . . , yn−1)t =: z0 ∈ Rn (41)

ist.

Beweis: y 7→ z:

z′ =(

y′, y′′, . . . , y(n))t

= (z2, . . . , zn, F (x, z1, . . . , zn))t = f(x, z).

Genugt y der Bedingung (40), so gilt:

z (x0) =(y (x0) , y

′ (x0) , . . . , yn−1 (x0)

)t= (y0, . . . , yn−1)

t = z0

Umgekehrt z 7→ y: Sei z Losung von (38) und (39). ⇒ y := z1 ist n-mal dif-ferenzierbar mit y′ = z′1 = z2 (wg (38) und (39)), y′′ = z′′1 = z′2 = z3, . . . ,y(n−1) = z′n−1 = zn,

y(n) = z′n = F (x, z1, . . . , zn) = F(

x, y, . . . , y(n−1))

⇒ y ist Losung von (37). Genugt z zusatzlich der Anfangsbedingung (41), so ist

y (x0) = y0, y′ (x0) = y1, . . . , y(n−1) (x0) = yn−1 2

Also: Im folgenden betrachten wir Systeme des Typs (38) und nehmen dabei nichtnotwendig an, dass f von der speziellen Gestalt (39) ist.

298

50.3 Geometrische Deutung im Fall n = 1

Vorgelegt sei die Differentialgleichung y′ = f(x, y), f : G → R, G ⊂ R2 (z. B.offen), f z. B. stetig. Dann definiert f auf G ein Richtungsfeld: In jedem Punkt(x, y) ∈ G wird ein Vektor mit Lange 1 und Steigung f(x, y) gegen die x-Achseaufgetragen. Die Aufgabe, das Anfangswertproblem y ′ = f(x, y), y (x0) = y0

zu losen, bedeutet: Man bestimme eine differenzierbare Funktion y : I → R,y (x0) = y0, so dass die Tangente an den Graphen von y in jedem Punkt durch dasRichtungsfeld gegeben ist. Analog in beliebigen Dimensionen.

50.4 Existenzsatz von Peano

Sei G ⊂ Rn+p offen, f : G → Rn stetig, x0 ∈ Rp, y0 ∈ Rn und (x0, y0) ∈ G.

Dann existiert eine Losung y : I → Rn (x0 ∈◦I) des Anfangswertproblems

y′ = f(x, y), y (x0) = y0.

Beweis: siehe [CL55]

Warnung: Die Losung im Existenz-Satz von Peano 50.4 braucht nicht eindeutigbestimmt zu sein.

50.5 Beispiel

G = R2, f(x, y) :=√

|y| fur (x, y) ∈ R2. Differentialgleichung y′ =√

|y|.Triviale Losung y = 0. Weitere Losungen: y(x) := 1

4(x− c)2 fur x ≥ c,

yc(x) :=

{14(x− c)2 fur x ≥ c,−1

4(x− c)2 fur x ≤ c

fur a < β:

yα,β(x) :=

14(x− β)2 fur x ≥ β,0 fur α < x < β,−1

4(x− α)2 fur x ≤ α

⇒ Fur jedes (x0, y0) ∈ R2 hat das Anfangswertproblem unendlich viele Losungen.

50.6 Definition: Lipschitz-Bedingung

Sei G ⊂ Rn+1, f : G → Rm, wir schreiben die Punkte z ∈ Rn+1 in der Formz = (x, y)t, x ∈ R, y ∈ Rn.

a) f genugt in G lokal einer Lipschitz-Bedingung (bzgl. y), wenn zu jedemPunkt (a, b)t ∈ G, a ∈ R, b ∈ Rn eine Umgebung U und eine KonstanteC ≥ 0 existieren, so dass

‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 ≤ C ‖y1 − y2‖2

299

fur alle(

xy1

)

,(

xy2

)

∈ U ∩G.

b) f genugt auf G (”global“) einer Lipschitz-Bedingung, falls eine KonstanteC ≥ 0 existiert, so dass

‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 ≤ C ‖y1 − y2‖2

benannt nach Rudolf Otto Sigismund Lipschitz, 14.5.1832–7.10.1903, deutscherMathematiker.

50.7 Satz

Sei G ⊂ Rn+1 offen, f : G → Rm, (x, y)t 7→ f(x, y) sei bzgl. y differenzierbarund

∥∥∥∂f∂y

∥∥∥

2sei lokal beschrankt. Das ist z. B. dann der Fall, wenn f stetig partiell

differenzierbar ist (siehe Zusatzbemerkung zum Mittelwertsatz 42.1). Dann genugtf lokal einer Lipschitz-Bedingung.

Beweis: Genugt fur m = 1, denn aus |fµ (x, y1)− fµ (x, y2)| ≤ c ‖y1 − y2‖2

∀µ = 1, . . . ,m folgt fur f =

f1...fm

:

‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 =

m∑

µ=1

(fµ (x, y1)− fµ (x, y2))2

12

≤ √mC ‖y1 − y2‖2 . . .

Sei also m = 1, f : G → R, sei weiter(ab

)

∈ G, U := Kr

(ab

)

, wobei

r > 0 so klein sei, dass U ⊂ G und∥∥∥∥

∂f

∂y(x, y)

∥∥∥∥

2

≤M fur alle(xy

)

∈ U.

Seien(

xy1

)

,(

xy2

)

∈ U . U konvex

42.2⇒ |f (x, y1)− f (x, y2)|

≤ sup0≤t≤1

∥∥gradyf (x, y1 + t (y2 − y1))

∥∥

2· ‖y2 − y1‖2

≤M ‖y2 − y1‖2 2

300

50.8 Satz

Es seien G ⊂ Rn+1, K ⊂ G kompakt, f : G → Rm sei stetig und genuge lokaleiner Lipschitz-Bedingung (bzgl. y). Dann genugt f auf ganz K einer Lipschitz-Bedingung.

Beweis: Laut Voraussetzung existiert zu jedem p =

(ab

)

∈ G (a ∈ R, b ∈Rn) ein r(p) > 0 und ein Cp ≥ 0, so dass K2r(p)(p) ⊂ G und

‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 ≤ Cp ‖y1 − y2‖2 ∀(

xy1

)

,

(xy2

)

∈ K2r(p)(p)∩G

Die Kugeln Kr(p) (p ∈ K) bilden eine offene Uberdeckung von K, haben alsoeine endliche Teiluberdeckung Kr(p1) (p1) , . . . ,Kr(pm) (pm). Sei

C := max {Cp1 , . . . , Cpm} ,

δ := min {r (p1) , . . . , r (pm)} ,(

xy1

)

,

(xy2

)

∈ K.

(i) Ist ‖y1 − y2‖2 ≥ δ, so setzen wir

M := max

{

‖f(x, y)‖2 :

(xy

)

∈ K}

(<∞)

f ist stetig

⇒ ‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 ≤ 2M ≤ 2M

δ· ‖y1 − y2‖2

(ii) Sei ‖y1 − y2‖2 < δ. ⇒ ∃ ν ∈ {1, . . . ,m}, so dass(

xy1

)

∈ Kr(pν) (pν),

und wegen ‖y1 − y2‖2 < δ gilt:∥∥∥∥

(xy2

)

− pν∥∥∥∥

2

≤∥∥∥∥

(xy2

)

−(

xy1

)∥∥∥∥

2︸︷︷︸

=‖y2−y1‖2<δ≤r(pν)

+

∥∥∥∥

(xy1

)

− pν∥∥∥∥

2︸︷︷︸

<r(pν)

< 2r (pν) ,

und auf K2r(pν) (pν) gilt die Lipschitzbedingung:∥∥∥∥f

(xy1

)

− f(

xy2

)∥∥∥∥

2

≤ C ‖y1 − y2‖2

⇒ C ′ := max(C, 2M

δ

)leistet das Verlangte fur K. 2

301

50.9 Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard und Lindelof

benannt nach Emile Picard, 24.7.1856–11.12.1941, franzosischer Mathematikeraus Paris und Ernst Leonard Lindelof, 7.3.1870–4.6.1946, finnischer Mathematikeraus Helsinki.Es seien G ⊂ Rn+1 offen, f : G → Rn stetig und genuge lokal einer Lipschitz-

Bedingung bzgl. y. Ferner seien x0 ∈ R, y0 ∈ Rn, so dass(x0

y0

)

∈ G, α, β > 0

seien so gewahlt, dass

K :=

{(xy

)

∈ Rn+1, |x− x0| ≤ α, ‖y − y0‖2 ≤ β}

⊂ G

und es seien (siehe 50.8) C ≥ 0, so dass

‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 ≤ C ‖y1 − y2‖2 ∀(

xy1

)

,

(xy2

)

∈ K

M := max

{

‖f(x, y)‖2 ,(xy

)

∈ K}

,

0 < δ ≤{

min(

α, βM

)

, falls M > 0,

α falls M = 0

und δ so klein, dass C · δ < 1. Dann gibt es genau eine stetig differenzierbareLosung g : [x0 − δ, x0 + δ]→ Rn der Differentialgleichung

y′ = f(x, y), (42)

welche der Anfangsbedingung

g (x0) = y0 (43)

genugt.

Beweis: I := [x0 − δ, x0 + δ] und

X := {u : I → Rn stetig und ‖u(x)− y0‖2 ≤ β ∀x ∈ I} ,

d. h. Graph(u) ⊂ K, V := {u : I → Rn stetig} ist bzgl.

‖u‖∞ := max {‖u(x)‖2 : x ∈ I}

ein Banach-Raum (vgl. 37.12), also vollstandig und X ⊂ V ist abgeschlossen,denn: sei uk ∈ X , u ∈ V und gelte ‖uk − u‖2

k→∞−−−→ 0, so folgt uk(x)k→∞−−−→

u(x) (glm. auf I). Nach Voraussetzung folgt ‖uk(x)− y0‖2 ≤ β (x ∈ I) ⇒‖u(x)− y0‖2 ≤ β (x ∈ I). u stetig ⇒ u ∈ X . ⇒ X ist ein vollstandigermetrischer Raum bzgl. d(u, v) := ‖u− v‖∞.

302

Ansatz: Wenn wir eine differenzierbare Losung y von (42) und (43) haben,so ist y auch Losung der Integralgleichungen

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f (t, y(t)) dt (x ∈ I) (44)

Dabei ist das Integral komponentenweise zu lesen. Umgekehrt: Jede stetige Losungy von (44) ist auch differenzierbar (nach 27.2) und erfullt (42) und (43).(44) besagt: Die Abbildung T : X → X (im Moment ist noch unklar, dass dieWerte von T wirklich in X liegen)

(Tu)(x) := y0 +

∫ x

x0

f (t, u(t)) dt (x ∈ I) (45)

hat einen Fixpunkt. Die Existenz eines Fixpunktes liefert der Kontraktionssatz(46.3), wenn wir wissen, dass T (X) ⊂ X und T kontrahierend.

Ausfuhrung: Fur u ∈ X sei Tu : I → Rn definiert durch (45).

⇒ ∀x ∈ I ‖(Tu)(x)− y0‖2 =

∥∥∥∥

∫ x

x0

f (t, u(t)) dt

∥∥∥∥

2

≤

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∫ x

x0

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

f (t, u(t))︸︷︷︸

∈K︸︷︷︸

≤M

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

dt

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

≤M |x− x0| ≤Mδ ≤ β

nach Wahl von δ.⇒ T : X → X bildet X in X ab aufgrund folgender

Rechenregel: Fur g : [a, b]→ Rn stetig gilt:∥∥∥∥

∫ b

ag(x)dx

∥∥∥∥

2

≤∫ b

a‖g(x)‖2 dx

Begrundung: Fur∫ ba g(x)dx = 0 ist die Behauptung richtig. Sei

∫ ba g(x)dx 6= 0,

w :=1

∥∥∥

∫ ba g(x)dx

∥∥∥

2

·∫ b

ag(x)dx mit ‖w‖2 = 1

⇒∥∥∥∥

∫ b

ag(x)dx

∥∥∥∥

2

=

⟨

w,

∫ b

ag(x)dx

⟩

=

∫ b

a〈w, g(x)〉 dx

28.11≤

∫ b

a‖w‖2︸︷︷︸

=1

‖g(x)‖2 dx =

∫ b

a‖g(x)‖2 dx 2

303

K ⊂ G kompakt⇒ Es gibt ein C wie in 50.7, und dazu wahlen wir δ. Wir zeigen:T ist eine Kontraktion. Fur alle u, v ∈ X , x ∈ I gilt:

‖(Tu)(x)− (Tv)(x)‖2 =

∥∥∥∥

∫ x

x0

(f (t, u(t))− f (t, v(t))) dt

∥∥∥∥

2

≤

∣∣∣∣∣∣∣

∫ x

x0

‖(f (t, u(t))− f (t, v(t)))‖2︸︷︷︸

Lipschitz-Bedingung

dt

∣∣∣∣∣∣∣

≤

∣∣∣∣∣∣∣

∫ x

x0

C ‖u(t)− v(t)‖2︸︷︷︸

≤‖u−v‖∞

dt

∣∣∣∣∣∣∣

≤ C · δ︸︷︷︸

<1

‖u− v‖∞︸︷︷︸

=d(u,v) in X

⇒ T ist Kontraktion. 46.3⇒ T hat genau einen Fixpunkt y ∈ X , d. h. es gibt genauein y ∈ X mit Ty = y, d. h.

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f (t, y(t)) dt ∀x ∈ I

⇒ y lost das Anfangswertproblem (42) und (43), y ist inX die einzige Losung desAnfangswertproblems. 2

Zusatz: Der Fixpunktsatz sagt auch aus, wie man den Fixpunkt erhalt: Manwahle irgendein y0 ∈ X , z. B. y0(x) = y0 (vorgegebener Anfangswert) und startedie Iteration

yk+1(x) = y0 +

∫ x

x0

f (t, yk(t)) dt. (x ∈ I, k ≥ 0)

Dann konvergiert diese Folge im Sinne der Metrik von X gegen die Losung y :

I → Rn des Anfangswertproblems (42), (43), d. h. ykk→∞−−−→glm.

y. Methode der

sukzessiven Approximation.

Behauptung: Es gilt sogar Eindeutigkeit unter allen Losungen y : I → Rn mitGraph(y) ⊂ G, y′ = f(x, y), y (x0) = y0 nach folgendem

50.10 Eindeutigkeitssatz

Sei G ⊂ Rn+1 offen, f : G → Rn stetig und genuge lokal einer Lipschitz-Bedingung bzgl. y. Ferner seien J ⊂ R ein Intervall und u, v : J → Rn zweiLosungen der Differentialgleichung y′ = f(x, y) (x ∈ J), die der gleichen An-fangsbedingung u (x0) = v (x0) = y0 genugen. Dann ist u = v auf ganz J .

304

Beweis: Sei x0 ∈ J◦. Wegen Stetigkeit von u, v in x0 kann man δ > 0 so kleinwahlen, dass I := [x0 − δ, x0 + δ] ⊂ J und u|I , v|I ⊂ X mit X aus dem Beweisvon 50.9. Eindeutigkeit der Losung in X ⇒ u|I = v|I .

Behauptung: Sei x1 := sup{

x ∈ J, x > x0, u|[x0,x]= v|[x0,x]

}

. Ist x1 =

∞ oder (X = R und x1 rechtes Intervall-Ende von J), so ist die Behauptung klar,denn auch im Falle X = R, x1 ∈ J ist u (x1) = v (x1) wegen der Stetigkeit.

Annahme: x1 ∈◦I . ⇒ ∃ δ1 > 0, so dass I1 := [x1 − δ1, x1 + δ1] ⊂ J .

Wegen Stetigkeit von u, v in x1 ist

u (x1) = v (x1) =: y1 ∈ Rn

(x1

y1

)

∈ G

und zu(x1

y1

)

existiert K1 statt K (wie in 50.9). δ1 sei gleich so klein, dass

es den Bedingungen aus 50.9 genugt. Die schon bewiesene Eindeutigkeitsaussagelasst sich auf u|I1 und v|I1 anwenden und liefert u|I1 = v|I1 EWiderspruch zurMaximierung von x1.⇒ Behauptung.Gleicher Schluss klappt fur x ∈ J , x ≤ x0 und einseitig, falls x0 ein Endpunkt vonJ ist. Dazu in 50.9 das K passend wahlen. 2

Zusatz: In der Situation 50.9 kann man die Losung y : [x0 − δ, x0 + δ] → Rn

des Anfangswertproblems (42), (43) fortsetzen zu einer Losung y : J → R mit ma-ximalem Definitions-Intervall J ⊃ [x0 − δ, x0 + δ]. (Man nehme die Vereinigungaller moglichen Definitions-Intervalle, die x0 enthalten und nutze die Eindeutigkeitgemaß 50.10).Der Graph von y verlauft in G ”von Rand zu Rand“ im folgenden Sinne:

{(x

y(x)

)

, x ∈ J, x ≥ x0

}

und{(

xy(x)

)

, x ∈ J, x ≤ x0

}

sind keine kompakten Teilmengen von G. Siehe dazu auch [Kon97], S. 143.

50.11 Existenz- und Eindeutigkeitssatz fur explizite Differentialglei-chungen

Sei G ⊂ Rn+1 offen, F : G → R,(xy

)

7→ F

(xy

)

stetige Funktion, die

lokal einer Lipschitzbedingung bzgl. y genuge. Dann gibt es zu jedem Anfangswert(x0, y0, . . . , yn−1)

t ∈ G ein δ > 0 und eine n-mal differenzierbare Losung

y : [x0 − δ, x0 + δ]→ R

305

der Differentialgleichung

y(n) = F(

x, y, y′, . . . , y(n−1))

, (46)

die der Anfangsbedingung

y (x0) = y0, y′ (x0) = y1, . . . , y(n−1) (x0) = yn−1 (47)

genugt. Ist J ⊂ R ein Intervall und sind u, v : J → R zwei Losungen der Diffe-rentialgleichung (46), (47), so ist u = v auf J .

Beweis: (46) ist aquivalent zu dem System

z′ = f(x, z) =

z2...zn

F (x, z1, . . . , zn)

.

Hier ist

‖f(x, z)− f(x,w)‖22 = (z2 − w2)2+. . .+(zn − wn)2+(F (x, z)− F (x,w))2

︸︷︷︸

lokal ≤C‖z−w‖22

≤ ‖z − w‖22 + C ‖z − w‖22 = (C + 1) ‖z − w‖22⇒ f erfullt eine Lipschitzbedingung und ist stetig. Daraus folgt mit 50.9, 50.10und 50.2 die Behauptung. 2

50.12 Beispiel

y′′ + y = 0, G = R2, F (x, y) = −y, x0 = 0, y0, y1 ∈ R beliebig. Das An-fangswertproblem lautet: y′′ + y = 0, y(0) = y0, y′(0) = y1. Offenbar sind sinxund cosx Losungen der Differentialgleichung und y(x) = y0 · cosx + y1 · sinx(x ∈ R) lost das Anfangswertproblem. 50.11⇒ Dies ist die einzige Losung des An-fangswertproblems. Fur beliebige x0 ∈ R lost

y(x) := y0 cos (x− x0) + y1 sin (x− x0)

das Anfangswertproblem y′′ + y = 0, y (x0) = y0, y′ (x0) = y1.

306

51 Elementare Losungsmethoden

siehe [For01b], Kap. II, §11.Differentialgleichungen mit getrennten Variablen:

y′ = f(x) · g(y) (f : I → R, g : J → R, I, J ⊂ R Intervalle)

Lineare Differentialgleichungen:

y′ = a(x)y + b(x), a, b : I → R stetig

Zu beliebigem (x0, y0) ∈ I × R existiert genau eine Losung y : I → R desAnfangswertproblems, namlich

y(x) = exp

(∫ x

x0

a(t)dt

)(

y0 +

∫ x

x0

(

exp

(

−∫ t

x0

a(u)du

))

· b(t)dt)

Homogene Differentialgleichungen:

y′ = f(y

x

)

, y′′ = f(y′)

Literatur: [Heu91], [Wal00], [Kam77]

307

52 Lineare Differentialgleichungen

K = R oder C

52.1 Definition: Lineare Differentialgleichungssysteme

Sei I ⊂ R ein Intervall und A =

a1,1 · · · a1,n...

. . ....

an,1 · · · an,n

: I → Kn×n stetig, d. h.

Aj,k : I → K stetig. Dann heißt y′ = A(x) ein homogenes lineares Differential-gleichungssystem. Ist auch b : I → Kn stetig, so heißt y′ = A(x)y+b(x) (x ∈ I)ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem. Gesucht sind Losungeny : I → Kn.

52.2 Satz

Seien I, A, b wie in 52.1 (stetig). Dann gibt es zu jedem Anfangswert x0 ∈ I ,y0 ∈ Rn genau eine auf ganz I definierte Losung y : I → Kn der inhomogenenlinearen Differentialgleichung

y′ = A(x)y + b(x) (x ∈ I), die der Anfangsbedingung (48)

y (x0) = y0 (49)

genugt.

Beweis: OBdA sei K = R, denn ein System von n komplexen Differentialglei-chungen ist aquivalent zu einem System von 2n reellen Differentialgleichungenbei Trennung von Real- und Imaginarteil. Die Differentialgleichung hat die Form:y′ = f(x, y), f : I × Rn → Rn, f(x, y) = A(x)y + b(x) (x ∈ I, y ∈ Rn).Sei K ⊂ I kompaktes Teilintervall. ⇒ Es gibt C ≥ 0, so dass ‖A(x)‖2 ≤ C(x ∈ K), also

‖f (x, y1)− f (x, y2)‖2 = ‖A(x) (y1 − y2)‖2 ≤ C ‖y1 − y2‖2

fur alle(

xy1

)

,(

xy2

)

∈ K×Rn.⇒ f erfullt auch auf K×Rn eine Lipschitz-

bedingung.50.9, 50.10⇒ Das Anfangswertproblem ist lokal losbar, die Losung ist

eindeutig bestimmt auf dem maximalen Definitionsintervall J ⊂ I .

Behauptung: K ⊂ J (Dann folgt I = J)

308

Begrundung:

y0(x) = y0 (x ∈ I), yk+1(x) := y0 +

∫ x

x0

f (t, yk(t)) dt (x ∈ I)

⇒ ∀x ∈ K ‖yk+1(x)− yk(x)‖2

=

∥∥∥∥

∫ x

x0

(f (t, yk(t))− f (t, yk−1(t))) dt

∥∥∥∥

2

s.o.≤ C

∣∣∣∣

∫ x

x0

‖yk(t)− yk−1(t)‖2 dt∣∣∣∣

(50)

Wir zeigen:

‖yk+1(x)− yk(x)‖2 ≤MCk |x− x0|k1

k!(x ∈ K) (51)

mit M := max {‖y1(x)− y0(x)‖2 , x ∈ K}.

Begrundung: Induktion:

k = 0: (51) gilt nach Definition von M .

k − 1→ k: Gilt (51) fur k − 1 anstelle von k, so folgt aus (50), dass

‖yk+1(x)− yk(x)‖2 ≤ C∣∣∣∣M

∫ x

x0

Ck−1 |t− x0|k−1 1

k!dt

∣∣∣∣

= MCk |x− x0|k1

k!(x ∈ K)

⇒ (51) ist richtig.

(51)⇒Die Reihe y0+∑∞

k=0 (yk+1 − yk) konvergiert gleichmaßig aufK, denn dieExponential-Reihe ist konvergente Majorante. ⇒ Die Folge (yk)k≥0 konvergiertgleichmaßig auf K gegen eine stetige Funktion y mit

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f (t, y(t)) dt (x ∈ K)

⇒ y ist Losung des Anfangswertproblems auf K.⇒ K ⊂ J ⇒ J = I . 2

52.3 Satz

Sei A : I → Mat (n× n,K) stetig. Dann ist

L :={y : I → Kn, y differenzierbar mit y′ = A(x)y

}

ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Fur f1, . . . , fk ∈ L ist aquivalent:

309

(i) f1, . . . , fk linear unabhangig uber K

(ii) Es gibt ein x0 ∈ I , so dass f1 (x0) , . . . , fk (x0) ∈ Kn linear unabhangiguber K

(iii) Fur alle x0 ∈ I sind f1 (x0) , . . . , fk (x0) linear unabhangig uber K.

Zur Erinnerung: f1, . . . , fk linear abhangig uber K ⇔ ∃

λ1...λk

∈ Kn\

0...0

mit∑k

j=1 λkfk = 0

Beweis:

L K-Vektorraum: klar.

(iii)⇒(ii)⇒(i): klar.

(i)⇒(iii): Seien f1, . . . , fk linear unabhangig uber K, x0 ∈ I . Wir nehmen an,die Behauptung sei falsch, d. h. f1 (x0) , . . . , fn (x0) linear abhangig, d. h. esexistieren λ1, . . . , λn ∈ K, (λ1, . . . , λk) 6= (0, . . . , 0) mit

k∑

j=1

λjfj (x0) = 0 (∈ Kn)

⇒ f :=∑k

j=1 λjfj ∈ L ist Losung des Anfangswertproblems y′ = A(x)y,y (x0) = 0 (∈ Kn). Dieses Anfangswertproblem hat die eindeutig bestimmteLosung 0.⇒ f = 0.

⇒k∑

j=1

λjfj = 0 mit (λ1, . . . , λk) 6= (0, . . . , 0)

⇒ f1, . . . , fk sind linear abhangig. E ⇒ Behauptung (i)⇒(iii)

dimK L = n: Zu e1, . . . , en ∈ Kn und x0 ∈ I existieren nach 52.2 g1, . . . , gn ∈L mit gj (x0) = ej (j = 1, . . . , n). ⇒ g1 (x0) , . . . , gn (x0) sind linear

unabhangig.(ii)⇒(i)⇒ g1, . . . , gn linear unabhangig. ⇒ dimK L ≥ n. Aber:

Wegen (i)⇔(ii) ist dimK L ≤ n. Zusammen: dimK L = n. 2

52.4 Definition: Hauptsystem

In der Situation 52.3 nennt man eine Basis von L ein Hauptsystem oder Funda-mentalsystem der Differentialgleichung y′ = A(x)y.

310

52.5 Wronskische Determinante

von 1851, benannt nach Josef Hoene de Wronski, 23.8.1778–8.8.1853, polnischerMathematiker aus Wolsztyn.In der Situation 52.3 sei y1, . . . , yn : I → Kn ein Hauptsystem der Differential-gleichung y′ = A(x)y,

W (x) := det (y1(x), . . . , yn(x)) (x ∈ I).

Dann gilt: W ′(x) = (SpurA(x))W (x) (x ∈ I), also:

W (x) = W (x0) exp

(∫ x

x0

(SpurA(t)) dt

)

(x, x0 ∈ I)

Beweis: Sei

yk :=

y1,k...

yn,k

= k-te Spalte von W,

zj := (yj,1, . . . , yj,n) = j-te Zeile von W.

⇒W ′ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z′1z2...zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1z′2...zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ . . .+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1...

zn−1

z′n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Hier ist

z′j =(y′j,1, . . . , y

′j,n

)=(

(Ay1)j , . . . (Ayn)j

)

,

wobei (Ay1)j jeweils die j-te Koordinate von (Ay1) bezeichnet.

=

(n∑

k=1

aj,kyk,1, . . . ,

n∑

k=1

aj,kyk,n

)

=n∑

k=1

aj,k (yk,1, . . . , yk,n) =n∑

k=1

aj,kzk.

⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1...

zj−1

z′jzj+1

...zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= aj,j

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1...

zj−1

zjzj+1

...zn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= aj,jW

311

⇒ W ′ = (SpurA)W . W ist nullstellenfrei nach 52.3. Ist z. B. W > 0 auf I , sohaben wir

(logW )′ =W ′

W= SpurA,

also

logW (x)− logW (x0) =

∫ x

x0

SpurA(t)dt,

also

W (x) = W (x0) exp

(∫ x

x0

(SpurA(t)) dt

)

. (52)

Ist W (x) < 0 auf I , so ersetzt man y1 7→ −y1, wendet das soeben Bewiesene anauf (−y1, y2, . . . , yn) und macht am Schluss in (52) den Zeichenwechsel wiederruckgangig. 2

52.6 Satz

Seien A : I → Kn×n, b : I → Kn stetig,

L :={y : I → Kn, y differenzierbar mit y′ = A(x)y

},

Lb :={y : I → Kn differenzierbar mit y′(x) = A(x)y + b(x)

}.

Dann gilt fur jedes f ∈ Lb:

Lb = f + L,

d. h. zu jeder Losung g der inhomogenen Differentialgleichung existiert eine Lo-sung h der homogenen Differentialgleichung mit g = f + h; umgekehrt ist jedessolche f + h eine Losung der inhomogenen Differentialgleichung.

Beweis:

(i) g ∈ Lb ⇒ g − f ∈ L, d. h. g ∈ f + L.

(ii) f ∈ Lb, h ∈ L ⇒ f + h ∈ Lb 2

Ergebnis: Das Problem der Bestimmung aller Losungen von y′ = A(x)y+ b(x)(A, b wie oben) zerfallt in zwei Teile:

(A) Bestimmung einer partikularen (speziellen) Losung f der inhomogenen Dif-ferentialgleichung,

(B) Bestimmung eines Hauptsystems der homogenen Differentialgleichung y ′ =A(x)y.

312

Wenn (A) und (B) gelost sind, erfordert die Losung eines beliebigen Anfangswert-problems lediglich die Auflosung eines linearen Gleichungssystems von n Glei-chungen mit n Unbekannten, wobei man von vorneherein weiß, dass das lineareGleichungssystem genau eine Losung hat.

Zu (B): Es gibt kein allgemeines Patentrezept zur Bestimmung eines Hauptsy-stems. Aber:

(i) Ist A konstant, so kann man (B) explizit losen (siehe 52.8).

(ii) Ist A nicht konstant, so gilt: Sind schon linear unabhangige Losun-gen f1, . . . , fk von y′ = A(x)y bekannt, so kann man das ursprung-liche System reduzieren auf ein System z ′ = B(x)z mit B : I →Mat (n−k×n−k,K), und mit Hilfe eines Hauptsystems zk+1, . . . , zndes reduzierten Systems Losungen fk+1, . . . , fn des ursprunglichenSystems konstruieren, so dass f1, . . . , fk, fk+1, . . . , fn ein Hauptsy-stem von y′ = A(x)y bilden. (Reduktionsverfahren von d’Alembert12).

Fall n = 2, k = 1 ist nachzulesen bei [For01b], S. 133 oder bei [Wal00].

Zu (A): Ist (B) gelost, so kann man (A) explizit losen:

52.7 Satz

Seien A : I → Kn×n, b : I → Kn stetig, y1, . . . , yn : I → Kn ein Hauptsystemvon y′ = A(x)y, Y := (y1, . . . , yn) : I → Gl (n,K). Dann ist fur jedes x0 ∈ I ,y0 ∈ Kn die Funktion

f(x) := Y (x)

(∫ x

x0

(Y (t))−1 (b(t)) dt+ (Y (x0))−1 y0

)

die Losung der inhomogenen Differentialgleichung

y′ = A(x)y + b(x) mit y (x0) = y0

Beweis: Nachrechnen: Sei

u(x) :=

∫ x

x0

(Y (t))−1 b(t)dt+ (Y (x0))−1 y0, f = Y u.

⇒ u′ = (Y (x))−1 b(x)

⇒ f ′ = Y ′u+ Y u′Y ′=AY

= A Y u︸︷︷︸

f

+Y Y −1︸︷︷︸

E

b = Af + b

und f (x0) = y0. 2

1217.11.1717–29.10.1783, franzosischer Mathematiker, Zeitgenosse von Leonard Euler und Da-niel Bernoulli.

313

52.8 Systeme mit konstanten Koeffizienten

Sei A ∈ Kn×n, v ∈ Kn Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ∈ K. Dann isty(x) := eλxv (x ∈ R) eine Losung der homogenen linearen Differentialglei-chung y′ = Ay. Also: hat A n verschiedene Eigenwerte λ1, . . . , λn ∈ K mit zu-gehorigen Eigenvektoren v1, . . . , vn ∈ Kn, so ist yj(x) := eλjxvj (j = 1, . . . , n)ein Hauptsystem der Differentialgleichung y′ = Ay.

Beweis: klar.

Bemerkung: Auch fur beliebige A ∈ Kn×n (konstant) kann man ein Hauptsy-stem hinschreiben mit Hilfe der Jordanschen Normalform von A. siehe [Wal00],[Heu91]. . .

314

53 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

53.1 Definition: Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung

Sind I ⊂ R ein Intervall, a0, a1, . . . , an−1 : I → K stetig, so heißt

y(n) + an−1(x)y(n−1) + . . .+ a1(x)y

′ + a0y = 0 (x ∈ I) (53)

eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung (mit stetigen Koeffizi-enten). Ist auch b : I → R stetig, so heißt

y(n) + an−1(x)y(n−1) + . . .+ a1(x)y

′ + a0y = b(x) (x ∈ I) (54)

eine inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung.

53.2 Satz

Seien a0, . . . , an−1, b : I → R stetig.

a) L := {y : I → Kn : y n-mal differenzierbar mit (53)} ist ein n-dimensionalerK-Vektorraum. Eines Basis von L heißt Hauptsystem von (53).

b) Ist f Losung von (54) und

Lb := {y : I → Kn : y n-mal differenzierbar mit (54)} ,

so gilt: Lb = f + L

c) Fur y1, . . . , yk ∈ L ist aquivalent:

(i) y1, . . . , yk sind linear unabhangig uber K

(ii) Es gibt ein x0 ∈ I , so dass

y1 (x0)y′1 (x0)

...y

(n−1)1 (x0)

, . . . ,

yn (x0)y′n (x0)

...y

(n−1)n (x0)

(55)

linear unabhangig uber K.

(iii) Fur alle x0 ∈ I sind (55) uber K linear unabhangig.

d) Ist y1, . . . , yn ein Hauptsystem von (53), so gilt fur die Wronski’sche Deter-minante:

W (x) := det(

y(i)j (x)

)

i=0,...,n−1j=1,...,n

die Differentialgleichung W ′ = −an−1(x)W , also ist

W (x) = W (x0) exp

(

−∫ x

x0

an−1(t)dt

)

(x, x0 ∈ I)

315

Beweis: Reduktion auf Systeme 1. Ordnung.

z :=

yy′

...y(n−1)

, A :=

0 1 0 · · · 0...

. . . . . . . . . 00 0 0 1 00 0 0 0 1−a0 −a1 −a2 . . . −an−1

(53)⇔ z′ = A(x)z, (54)⇔ z′ = A(x)z + b(x)en. Die Zuordnung y 7→ z definierteine bijektive lineare Abbildung. Daher folgen a)-c) aus 52.3, 52.6 und d) aus 52.5,denn SpurA = −an−1. Die Probleme (A) und (B) bestehen sinngemaß, und mitHilfe eines Hauptsystems kann man immer eine partikulare Losung finden.Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten n-ter Ordnung: Sei-en a0, . . . , an−1 konstant, so gilt fur

χA = (−1)n(Xn + an−1X

n−1 + . . .+ a1X + a0

)= (−1)np(X)

p(X) heißt charakteristisches Polynom der Differentialgleichung (53) (siehe [Bos00],S. 224, Lemma 8).

53.3 Basissatz

Vorgelegt sei die Differentialgleichung

y(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a1y

′ + a0y = 0 (56)

mit a0, . . . , an−1 ∈ K, und das charakteristische Polynom

p(X) = Xn + an−1Xn−1 + . . .+ a1X + a0

zerfalle uber K in Linearfaktoren

p(X) =k∏

j=1

(X − λj)mj (λ1, . . . , λk ∈ K verschieden, m1, . . . ,mk ∈ N)

Dann bilden fur jedes x0 ∈ R die Funktionen

yjν (x) := (x− x0)ν eλj(x−x0) (j = 1, . . . , k, ν = 0, . . . ,mj − 1, x ∈ R)

ein Hauptsystem von (56).

Beweis: Die yjν sind n linear unabhangige Losungen. 2

316

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318

Abbildungsverzeichnis

1 Geometr. Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042 LaGrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183 f(x) = xx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284 f(x) = exp

(

−x2

2

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295 Sehnenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546 ϕ2(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597 Der Graph von ϕ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608 f(x, y) = 2x2 + 3y2 + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2669 f(x, y) = 2x2 − 3y2 + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26710 h(x) = ±

√x3 + x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

11(x4 + y4 − 4xy

) (x4 + y4 + 4xy

)= 0 . . . . . . . . . . . . . . 288

Inhaltsverzeichnis

I Die reellen Zahlen 3

1 Grundlagen 31.1 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.10 Binomischer Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.11 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Korperbegriff 92.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 (A) Axiome der Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 (M) Axiome der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Folgerungen aus (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Folgerungen aus (M) und (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

319

2.10 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.13 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.14 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Anordnung 173.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.8 Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.11 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Einbettung von Q in K 234.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Einbettung von Q in K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Unvollstandigkeit von Q, das Supremumsaxiom in R 255.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.5 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.7 Supremumsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.7.1 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.9 Aquivalente Charakterisierungen von R . . . . . . . . . . . . . 27

6 Erste Folgerungen aus dem Supremumsaxiom 286.1 Archimedisches Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.2 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Wurzeln 30

320

7.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.6 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8 Abzahlbarkeit von Q, Uberabzahlbarkeit von R 338.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.4 Prinzip von der Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . 348.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9 Polynomfunktionen, algebraische und transzendente Zahlen 369.1 Definition: Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.2 Definition: Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.6 Definition: Grad eines Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.8 Definition: Vielfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.9 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.10 Definition: Algebraische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.11 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

II Folgen und Reihen 40

10 Folgen 4010.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.3 Definition: Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.4 Definition: Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.5 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.6 Definition: Nullfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.7 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.10 Definition: Beschranktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

321

10.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.13 Rechenregeln fur konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . 4410.14 Beispiele fur die Anwendung der Rechenregeln . . . . . . . . . 4510.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.16 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.17 Einschließungskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.18 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.19 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.20 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.21 Das Wurzelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.22 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.23 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.24 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.25 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

11 Das Cauchy-Kriteriumund der Satz von Bolzano/Weierstraß 5011.1 Definition: Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.6 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.9 Satz von Bolzano/Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.10 Hauptsatz uber konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.11 Definition: Limes superior/inferior . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.12 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12 Unendliche Reihen 5612.1 Definition: Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.7 Cauchysches Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.8 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.9 Beispiel: Harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.10 Beispiel: Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6112.11 Vergleichskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

322

12.12 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.13 Definition: Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.15 Leibnizsches Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.16 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.17 Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.18 Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.19 Cauchysches Verdichtungskriterium . . . . . . . . . . . . . . . 6412.20 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.21 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.22 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

13 Dezimalbruche und b-adische Entwicklungen 6813.1 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6813.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

III Stetige Funktionen und Potenzreihen 71

14 Topologie von R und C 7114.1 Definition: offen↔abgeschlossen, Topologie . . . . . . . . . . . 7114.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7114.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7114.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7214.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7214.6 Definition: Beruhrungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.9 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.10 Definition: Haufungspunkt↔isolierter Punkt . . . . . . . . . . . 7414.11 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7414.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7414.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7514.14 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7514.15 Satz von Bolzano/Weierstraß fur Mengen . . . . . . . . . . . . 75

15 Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit 7615.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.6 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.7 Definition: Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

323

15.8 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7815.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7815.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915.12 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915.13 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8015.14 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8015.15 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8015.16 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.17 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.18 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.19 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

16 Eigenschaften stetiger Funktionen 8316.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8316.2 Konsequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8316.3 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8316.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8416.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8416.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8416.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8416.8 Definition: Beschranktheit bei Funktionen . . . . . . . . . . . . 8416.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.10 Definition: Absolute Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.12 Zwischenwertsatz in 2. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . 8516.13 Zwischenwertsatz in 3. Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . 8616.14 Definition: Monotonie bei Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 8616.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8616.16 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8716.17 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8816.18 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8816.19 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

17 Potenzreihen 8917.1 Abelsches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8917.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.5 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9117.6 Cauchy-Hadamardsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9117.7 Definition: Cauchyprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9217.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9217.9 Multiplikationssatz fur Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . 93

324

17.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9417.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

18 Die Exponentialfunktion 9618.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9618.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9618.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9718.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9818.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9818.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

19 Logarithmus und allgemeine Potenz 10019.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10019.2 Eigenschaften des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10019.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10019.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10119.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10119.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10219.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10219.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10319.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10319.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

20 Winkelfunktionen 10420.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420.2 Definition: Sinus, Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420.3 Eulersche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10420.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10520.6 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10520.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10520.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10520.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10520.10 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10620.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10620.12 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10720.13 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10720.14 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10720.15 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.16 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.17 Satz: Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10820.18 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10920.19 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

325

20.20 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.21 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.22 Definition: Tangens, Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11020.24 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

IV Differentialrechnung 112

21 Differenzierbare Funktionen 11221.1 Definition: Differenzierbarkeit, Ableitung . . . . . . . . . . . . 11221.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11221.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11321.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11421.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11421.8 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11421.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11521.10 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11621.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

22 Lokale Extrema, Satz von Rolle, Mittelwertsatz 11722.1 Definition: lokales Extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11722.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11722.3 Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11722.4 Verallg. Mittelwertsatz: Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.5 Mittelwertsatz: LaGrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.7 Definition: Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11822.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11922.9 Die Differentialgleichung von exp(x) . . . . . . . . . . . . . . 11922.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11922.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12022.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

23 Die Regel von de l’Hospital 12223.1 Die Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12223.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

24 Konvexe Funktionen 12524.1 Definition: Konvexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12524.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12524.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

326

24.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12624.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12624.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12724.7 Definition: Wendepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12824.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12824.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

25 Taylorsche Formel 13025.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13025.2 Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13025.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13125.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13125.5 Logarithmus-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13225.6 Binomial-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13225.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

V Integralrechnung 134

26 Das Riemannsche Integral 13426.1 Definition: Obersumme, Untersumme, Zwischensumme . . . . . 13426.2 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13426.3 Definition: Ober- und Unterintegral . . . . . . . . . . . . . . . . 13526.4 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13526.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13526.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13626.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13626.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13626.9 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13726.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13726.11 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13826.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13826.13 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13926.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13926.15 Definition: Gleichmaßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 13926.16 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14026.17 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14026.18 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14026.19 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14126.20 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

27 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 14227.1 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 14227.2 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung . . . . . . . . 142

327

27.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14327.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14327.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14427.6 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14527.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14527.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14527.9 Wallissches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14527.10 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14627.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14727.12 Satz von Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14727.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

28 Die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel und die Ungleichung von Holder und Minkowski14928.1 Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel 14928.2 Definition: p-Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15028.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15028.4 Holdersche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15028.5 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 15128.6 Minkowskische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15128.7 Dreiecksungleichung im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15128.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15228.9 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15228.10 Holdersche Ungleichung fur Integrale . . . . . . . . . . . . . . 15228.11 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung fur Integrale . . . . . . . . . 15228.12 Minkowskische Ungleichung fur Integrale . . . . . . . . . . . . 15328.13 Dreiecksungleichung fur Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 153

29 Naherungsweise Berechnung von Integralen 15429.1 Sehnenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15429.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15529.3 Tangentenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15629.4 Korollar (Allgemeine Tangentenregel) . . . . . . . . . . . . . . 15729.5 Keplersche Fassregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15729.6 Simpsonsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

30 Uneigentliche Integrale 16230.1 Definition: Uneigentliche Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . 16230.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16230.3 Satz: Cauchy-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16330.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16330.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16430.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16430.7 Integralvergleichskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16530.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

328

30.9 Definition: Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 16630.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16630.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16730.12 Zusatz zu 30.4, 30.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

31 Die Gamma-Funktion 16831.1 Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16831.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16831.3 Definition: logarithmisch konvex . . . . . . . . . . . . . . . . . 16831.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16931.5 Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16931.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17131.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17131.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17131.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17231.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

32 Stirlingsche Formel 17432.1 Stirlingsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17432.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

VI Funktionenfolgen 177

33 Gleichmaßige Konvergenz, Vertauschungssatze 17733.1 Definition: Punktweise Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . 17733.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17833.3 Definition: Gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . 17933.4 Folgerungen und Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17933.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17933.6 Cauchy-Kriterium fur gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . 18033.7 Weierstraß’scher Majorantentest . . . . . . . . . . . . . . . . . 18033.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18133.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18133.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18233.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18333.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18333.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18533.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

34 Potenzreihen und Taylorreihen 18734.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18734.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18734.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

329

34.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18834.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18834.6 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18934.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18934.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18934.9 Abelscher Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19134.10 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19234.11 Definition: Reelle Analytizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19234.12 Definition: Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19234.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19234.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19234.15 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19334.16 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19334.17 Satz von Emile Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19434.18 Analytizitatskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19434.19 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19534.20 Satz von Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19534.21 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19634.22 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

35 Fourier-Reihen 19735.1 Definition: Trigonometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . 19735.2 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19835.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19835.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19935.5 Definition: Fourier-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 20035.6 Satz von Riemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20035.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20135.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20235.9 Satz: Cesaro-Mittel, Fejer-Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20335.10 Satz von Fejer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20435.11 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20635.12 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20635.13 Definition: Trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . . . . 20635.14 Korollar: Weierstraßscher Approximationssatz fur trigonometrische Polynome20635.15 Weierstraßscher Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . 20735.16 Vollstandigkeit des trigonometrischen Systems . . . . . . . . . . 20735.17 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20835.18 Beispiel: Partialbruchzerlegung des Cotangens und des reziproken Sinus20935.19 Sinusprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21035.20 Konvergenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21135.21 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21235.22 Konvergenzsatz fur stetige und stuckweise stetig differenzierbare Funktionen21235.23 Definition: Skalarprodukt von Funktionen . . . . . . . . . . . . 213

330

35.24 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21335.25 Definition: Norm, orthogonal, Orthonormalsystem . . . . . . . . 21435.26 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21435.27 Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21435.28 Besselsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21535.29 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21535.30 Vollstandigkeitsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21635.31 Parsevalsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21635.32 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

VII Metrische Raume, Topologie des Rn 217

36 Metrische Raume, normierte Raume, Topologie des Rn 21736.1 Definition: Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21736.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21736.3 Definition: Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21836.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21836.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21936.6 Definition: Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21936.7 Definition: Umgebung im metrischen Raum . . . . . . . . . . . 21936.8 Satz: Hausdorffsches Trennungsaxiom . . . . . . . . . . . . . . 21936.9 Definition: Offenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22036.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22036.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22036.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22036.13 Definition: Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22136.14 Definition: Abgeschlossenheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22136.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22136.16 Definition: Umgebung im topologischen Raum . . . . . . . . . 22136.17 Definition: Beruhrungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22236.18 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22236.19 Definition: Innerer Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22236.20 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22236.21 Definition: Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22336.22 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22336.23 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

37 Konvergenz und Vollstandigkeit 22437.1 Definition: Konvergenz im Hausdorff-Raum . . . . . . . . . . . 22437.2 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22437.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22437.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22437.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

331

37.6 Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22537.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22537.8 Definition: Cauchy-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22637.9 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22637.10 Definition: Vollstandigkeit, Banach- und Hilbertraum . . . . . . 22637.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22637.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22637.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22737.14 Definition: Durchmesser, Beschranktheit . . . . . . . . . . . . . 22737.15 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22737.16 Definition: Haufungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22837.17 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22837.18 Definition: Haufungspunkt, Isolierter Punkt . . . . . . . . . . . 22837.19 Satz von Bolzano/Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22837.20 Hauptsatz fur konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . 22937.21 Schachtelungsprinzip von Georg Cantor . . . . . . . . . . . . . 229

38 Limites und Stetigkeit 23138.1 Definition: Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23138.2 ε-δ-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23138.3 Folgenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23138.4 Definition: Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23138.5 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23238.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23238.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23238.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23338.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23338.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23338.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23438.12 Definition: Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23438.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

39 Kompaktheit 23639.1 Definition: Offene Uberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . 23639.2 Definition: Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23639.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23639.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23639.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23739.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23739.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23839.8 Satz von Ernst Heine und Emile Borel . . . . . . . . . . . . . . 23939.9 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23939.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24039.11 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

332

39.12 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24039.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24039.14 Definition: Gleichmaßige Stetigkeit im metrischen Raum . . . . 24139.15 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24139.16 Satz von Ulysses Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

VIII Differentialrechnung im Rn 243

40 Partielle Differenzierbarkeit 24340.1 Definition: Partielle Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . 24340.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24440.3 Definition: Gradient, Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24440.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24540.5 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24540.6 Definition: Mehrfach partielle Differenzierbarkeit . . . . . . . . 24540.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24640.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24740.9 Definition: Laplace-Operator, harmonische Funktionen . . . . . 24740.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

41 Totale Differenzierbarkeit 24941.1 Definition: Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . 24941.2 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24941.3 Definition: Funktionalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25041.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25041.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25141.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25241.7 Definition: Stetige Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 25341.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25341.9 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25341.10 Definition: Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25441.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25441.12 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

42 Mittelwertsatz und Taylorsche Formel 25642.1 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25642.2 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25742.3 Definition: (Polygon-)zusammenhangend . . . . . . . . . . . . 25842.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25842.5 Definition: Multiindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25842.6 Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25942.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

333

43 Lokale Extrema 26143.1 Definition: Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26143.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26143.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26143.4 Definition: Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26243.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26243.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26243.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26343.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26343.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26443.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

44 Differentiation unter dem Integralzeichen 26844.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26844.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

45 Kurven- und Bogenlangen 27045.1 Definition: Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27045.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27045.3 Definition: Tangentenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27045.4 Definition: Rektifizierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27145.5 Definition: Beschrankte Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . 27145.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27145.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27245.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27245.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27245.10 Definition: Stuckweise stetige Differenzierbarkeit . . . . . . . . 27345.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27445.12 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

IX Umkehrsatz und Satz uber implizite Funktionen 276

46 Der Kontraktionssatz 27646.1 Definition: Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27646.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27646.3 Kontraktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27646.4 Zusatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27746.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

47 Der Umkehrsatz 27847.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27847.2 Umkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27847.3 Zusatz zum Umkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

334

47.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28247.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

48 Der Satz uber implizite Funktionen 28348.1 Satz uber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28348.2 Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28548.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28548.4 Beispiel: ”Achterbahn“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28748.5 Beispiel: ”Vierblattriges Kleeblatt“ . . . . . . . . . . . . . . . . 288

49 Extrema mit Nebenbedingungen 28949.1 Satz: Notwendige Bedingung fur ein Extremum mit Nebenbedingung28949.2 Beispiel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29149.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29249.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29349.5 Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren . . . . . . . . . . . 29349.6 Zusatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29549.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29549.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

X Gewohnliche Differentialgleichungen 297

50 Grundbegriffe, Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard und Lindelof29750.1 Definition: Gewohnliche Differentialgleichung . . . . . . . . . . 29750.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29850.3 Geometrische Deutung im Fall n = 1 . . . . . . . . . . . . . . 29950.4 Existenzsatz von Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29950.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29950.6 Definition: Lipschitz-Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 29950.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30050.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30150.9 Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard und Lindelof . . . . 30250.10 Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30450.11 Existenz- und Eindeutigkeitssatz fur explizite Differentialgleichungen30550.12 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

51 Elementare Losungsmethoden 307

52 Lineare Differentialgleichungen 30852.1 Definition: Lineare Differentialgleichungssysteme . . . . . . . . 30852.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30852.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30952.4 Definition: Hauptsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31052.5 Wronskische Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

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52.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31252.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31352.8 Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . 314

53 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 31553.1 Definition: Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung . . . . 31553.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31553.3 Basissatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

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Analysis - Münsterj-engel/Mathe/Infini.pdf2.2 Beispiele a) Q ist ein Korper¤ b) Q p 2 ist ein...

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