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ANALYSE : SUITES ET SERIES

D. SchaubDepartement de Mathematiques

Universite d’Angers2, bd Lavoisier

49045 Angers Cedex, France.

Chapitre 1

Suites

1.1 Introduction

Etant donne un ensemble E, on peut considerer une partie finie de E ; par exemple, on peutprendre un ensemble de 55 elements de E ; on les designera alors par le premier, le deuxieme,etc, jusqu’au 55ieme (meme si l’ordre choisi peut etre arbitraire) et si on note par x un elementquelconque de E, on voudra les designer par x1, x2, . . . , x54, x55 ; on peut voir cela comme l’ap-plication f : {1, 2, 3, . . . , 54, 55} → E definie par, pour tout i = 1, . . . , 55, f(i) = xi.

Si maintenant on a envie de prendre une infinite d’elements de E, mais qu’on veuillequand meme pouvoir les numeroter, cad. qu’on aura un premier element, un deuxieme,. . . , undixieme, . . . , un centieme, etc., qu’on ecrira, par exemple, x1, x2, . . . , xn, . . ., cela definit uneapplication u : N → E par u(i) = xi pour tout i ∈ N. On parlera alors de la suite u ou de lasuite (x1, x2, . . . , xn, . . .), qu’on ecrira plus succinctement (xn)n∈N.

Definition 1.1.1 Etant donne un ensemble E, on appelle suite de E une application u : N → E.

Nous nous interesserons essentiellement cette annee au cas ou E = R (ou encore, exceptionnel-lement, C).

Notations On remarquera que nous avons note (xn)n∈N la suite ci-dessus, mais, plus com-modement, on designera par la meme lettre que l’application elle-meme, autrement dit, onnotera (un)n∈N.

Mais, cela se fait au prix d’une confusion possible qu’il faut eviter : il ne faut pas confondrel’ensemble des valeurs de la suite : {un; n ∈ N} avec la suite (cad. l’application !) (un)n∈N.

Exemple : soit la suite de reels (un) definie par un = (−1)n pour tout n ∈ N. Alors l’ensembledes valeurs est {−1, 1}, alors que la suite s’ecrira ((−1)n)n∈N.

Premiers exemples :i. Suite constante : soit a ∈ R, (on abandonne tout de suite le cas general d’un ensemble

E, meme si, en l’occurence, nous n’aurions aucun probleme a definir une suite constante dansce cas general). La suite constante de valeur a est la suite definie par : un = a, ∀n ∈ N. Un casparticulier est celui de la suite nulle (qu’on notera 0 ! ! attention aux confusions) lorsque a = 0.

ii. Suite arithmetique : soit r ∈ R un nombre reel. La suite arithmetique de premier termeu0 et de raison r est definie par ∀n ∈ N, un+1 = un + r. On a alors, un = u0 + nr et la somme∑

0≤p≤n up = n+12 (u0 + un).

Par exemple, on peut prendre r = 1 et u0 = 0, on constate alors que Sn = 1+2+· · ·+n = n(n+1)2 .

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4 CHAPITRE 1. SUITES

iii. Suites geometriques. La suite (un)n∈N definie par un+1 = aun et de premier terme u0

est dite suite geometrique de raison a. Le terme general de cette suite est alors un = anu0. La

somme Sn = u0 + u1 + · · ·+ un = u0(1 + a + a2 + · · ·+ an) = u01− an+1

1− a( pourquoi ?).

iv. Suites arithmetico-geometriques. Une combinaison des deux cas precedents donne unesuite arithmetico-geometrique ; c’est donc une suite definie par un+1 = aun + b, a, b etant deuxnombres reels (ou complexes) fixes.

Dans ce cas, par un rapide calcul, on constate que un = anu0 + b1− an

1− a. Mais on peut

aussi se ramener au cas des suites geometriques en posant vn = un + c et en cherchant c tel que

vn+1 = avn. On trouve immediatement que c doit etreb

1− a.

De l’une ou l’autre facon, on peut alors exprimer un : un = anu0 + b1− an

1− a. A partir de

la, on peut aussi calculer Sn en fonction de n, u0, a, b (exercice).

v. Une suite qui apparaıt dans la nature, est la suite de Fibonacci, dont les premiers termessont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Elle est define par une formule de recurrence a deux termes,un+2 = un+1 + un avec u0 = 0, u1 = 1.

En fait, cette suite decrit la croissance d’une population de lapins par exemple. On enfermeun couple de lapins dans un enclos. Le premier mois de leur vie, il n’ont pas d’enfants. Tous lesmois suivants, ils enfantent un couple de lapins. Chaque couple ne agit alors de la meme facon :le mois suivant sa naissance, il ne donne pas d’enfants, mais chaque mois, ensuite, il enfante uncouple. Et ainsi de suite. Le probleme, pose par le mathematicien italien Fibonacci, est de savoirquel est le nombre de couples de lapins le n-ieme mois ? Ce nombre est donne par un.

Cette suite se rencontre dans nombre de phenomenes naturels ; elle est aussi liee au nombred’or.

Remarque : on peut tout de suite noter qu’on peut generaliser la notion a celle de suite double(ou triple,...).

Au lieu de considerer u : N → E, E un ensemble, on pourrait aussi considerer les applica-tions u : N× N → E. Une telle application associe alors a un couple (p, q) ∈ N× N un elementup,q de E.

On notera aussi que, comme une suite reelle peut etre “vue” comme une extension de lanotion de vecteur (u1, . . . , un) ∈ Rn au cas d’un n infini, la notion de suite double etend, enquelque sorte, les matrices finies en des matrices a un nombre infini de lignes et de colonnes.

Dans tous ces exemples, une question naturelle est de savoir “a quoi ressemble” un lorsque n est“tres grand” ? Une autre facon de dire est : quel est le comportement de la suite (un) lorsque ntend vers l’infini ?

1.2 Notion de convergence

La notion de limite (centrale dans toute l’analyse) est une notion tres intuitive, au pointque, pendant plusieurs siecles, les mathematiciens n’ont pas cru devoir la definir de maniereprecise. C’est au XXieme siecle que, a la suite de travaux sur des fonctions continues nulle partderivables, que Weierstrass a donne une definition correcte.

Lorsqu’on etudie une suite, une question importante est de savoir quel est son comportementlorsque n devient tres grand. Par exemple, prenons la suite un = 1/n. Clairement, plus n devient

1.2. NOTION DE CONVERGENCE 5

grand, plus un devient petit, autrement dit un approche de 0, sans jamais etre 0. Autre exemple,vn = (−1)n. Cette suite prend alternativement les valeurs 1 et -1 sans jamais se stabiliser surl’une ou l’autre. On dira que (un) admet 0 pour limite, mais que (vn) n’admet pas de limite.

Definition 1.2.1 On dit qu’une suite (un) converge et admet la limite ` ou encore que un tendvers ` lorsque n tend vers l’infini, s’il existe un nombre ` ∈ R tel que tous les termes un dela suite sont aussi proches que l’on veut de ` pourvu que n soit suffisamment grand. Ce qu’onpreferera ecrire, de maniere plus condensee, mais aussi plus “lisible”,

∀ε > 0, ∃N tel que ∀n > N, on a |un − `| < ε.

Note : il est capital de comprendre que la notion, d’apparence intuitive, de la definition estexactement la meme que sa formulation mathematique qu’on peut d’ailleurs reecrire sous laforme

∀ε > 0, ∃N tel que n > N ⇒ |un − `| < ε.

Notation : si (un) converge vers `, on ecrira limn→+∞

un = ` ou un → `.

Exemples : on remarquera que concernant les 2 exemples precedents, la premiere converge vers0, la deuxieme ne converge vers aucun nombre (pourquoi ?)

Definition 1.2.2 Une suite qui ne converge pas est dite divergente.

On peut revenir sur les premiers exemples : Pour une suite arithmetique de raison r > 0, la suite(un), dont le terme general un = u0 + nr diverge. Mais elle ne fait pas n’importe quoi, puisque,selon que r > 0 ou r < 0, elle ne cesse de croıtre ou de decroıtre. Dans un tel cas, on dira queun tend vers l’infini (+ ou -) et on ecrit lim

n→+∞un = +∞ (ou −∞). La suite vn = (−1)n etait

aussi divergente, mais elle ne tendait pas vers un infini.

On peut rapidement encore dire ce qui se passe dans les autres cas :Pour la suite geometrique un = an, lorsque n → +∞, on constate que, si a > 1, un → +∞

(et donc aussi Sn), si a < 1, un → 0 et la suite des Sn tend vers u01

1−a , si a = 1, la suiteest constante egale a u0 et Sn → +∞. On a des resultats analogues dans le cas des suitesarithmetico-geometriques.

Pour ce qui est de la suite de Fibonacci, on peut deja remarquer qu’elle est strictement croissantecar un+2 − un+1 = un > 0 (pour n ≥ 1), autrement dit, elle croıt indefiniment. On peut doncpenser qu’elle diverge et tend vers +∞ (ce que nous montrerons plus loin), mais la preuve n’enest pas aussi imediate :

Exemple : prenons la suite obtenue de la maniere suivante : u1 = 1/2, u2 = u1 + 1/4, u3 =u2 + 1/23, . . . , un+1 = un + 1/2n. Cette suite est evidemment strictement croissante, mais onvoit( !) immediatement qu’elle admet 1 pour limite. Comment ? On prend un carre de surface1, alors u1 represente la moitie de la surface, u2 represente cette moitie a laquelle on a ajoutela moitie de ce qui restait, u3 c’est u2 + la moitie du reste, etc...Si on hachure toute la surfacequ’on a ainsi couverte, on s’apercoit qu’en continuant indefiniment, on aura hachure tout lecarre, autrement dit un → 1. C’est la un paradoxe apparent de ces questions de limite, on ajouteune infinite de termes positifs... et on ne depasse, malgre tout, pas une quantite donnee.


Remarques immediates :1) Il est tres interessant, pour pouvoir montrer la convergence d’une suite, d’avoir une idee

precise de la limite qu’on attend (eventuellement, on peut avoir plusieurs, mais un nombre fini,petit, de candidats limites).

A contrario, on comprend qu’il soit beaucoup plus difficile de montrer la divergence d’unesuite (en tout cas, dans un cas ou elle ne tend pas vers l’infini), puisqu’il faut montrer qu’aucunnombre ne peut etre limite !

2) Il est equivalent de montrer que un → `n→∞

et que un − ` → 0n→∞

.

3) Unicite : Si une limite existe, elle est unique.En effet, supposons qu’il existe deux nombres ` et `′ tels que lim un = ` et lim un = `′.

Alors, utilisant la definition, on peut ecrire ∀ε > ∃N1 tq. ∀n > N1, |un − `| < ε et ∀ε >∃N2 tq. ∀n > N2, |un − `′| < ε.

Or, 0 ≤ |`−`′| = |`−un+un−`′| ≤ |un−`|+|un−`′| qui des lors que n > max{N1, N2} estinferieur a 2ε. On se retrouve donc avec deux nombres fixes dont la difference peut etre rendueaussi petite que l’on veut, donc necessairement ` = `′.

1.3 Suites monotones, suites bornees, premiers theoremes

1.3.1 Generalites

Definition 1.3.1 Une suite (un) est strictement croissante (resp. decroissante) si, pour toutp ∈ N, up+1 > up (resp. up+1 < up).

Elle croissante (resp. decroissante) au sens large si, pour tout p ∈ N, up+1 ≥ up (resp.up+1 ≤ up).

Toute suite de ce type est dite monotone.

Remarque : toute suite N’est PAS monotone (exemple : (−1)n n’est ni croissante, ni decroissante).

Definition 1.3.2 Une suite (un) est dite majoree (resp. minoree) si l’ensemble des valeurs dela suite, {un, n ∈ N}, admet un majorant (resp. un minorant).

On en deduit qu’une suite majoree admet une borne superieure (pourquoi ?), une suite minoreeadmet une borne inferieure. Une suite qui est, a la fois, majoree et minoree est dite bornee.

Theoreme 1.3.1 Toute suite convergente est bornee.

Preuve : Supposons que un → `. Alors, il existe N tel que ∀n ≥ N, |un− `| < 1, ce qui implique|un| < ` + 1 D’ou, si M = max{|u0|, |u1|, . . . , |uN−1|, N}, alors, pour tout n, |un| < M .

Theoreme 1.3.2 Toute suite croissante (resp. decroissante) majoree (resp. minoree) est conver-gente.

Preuve : La premiere chose a faire est de “deviner” un candidat-limite. Bien sur, il y en a un toutdesigne : la borne superieure a de l’ensemble des valeurs (on peut faire un dessin). Par definitionde “borne superieure”, on a : ∀n, un ≤ a, mais, de plus, ∀ε > 0, ∃N tq. a− ε < uN ≤ a.

Mais la suite est croissante, donc ∀n > N, a− ε < uN ≤ un ≤ a, autrement dit, pour toutn > N , |un − a| < ε. Donc lim un = a.

1.3. SUITES MONOTONES, SUITES BORNEES, PREMIERS THEOREMES 7

Exemple : la suite (1/n)n est decroissante et minoree par 0, donc convergente. La suite (n)n estcroissante, mais pas majoree, elle diverge (en fait, elle tend vers l’infini). La suite ((−1)n)n estbornee, mais elle n’est pas monotone.

Ce qui nous amene a une autre notion : dans l’exemple precedent, il y a une infinite devaleurs de la suite “proches” de −1 et une infinite de valeurs “proches” de 1. D’ou les definitions :

Definition 1.3.3 Un nombre reel x est appele point d’accumulation d’une suite (un)n si pourtout ε > 0, il existe une infinite de n ∈ N tels que |un − x| < ε.

Quelle est la difference entre les dire que ”x est point d’accumulation de la suite (un)” et ”x estlimite de la suite (un) ?

Exemples : Ainsi -1 et 1 sont des points d’accumulation de la suite precedente. Mais la suite(un) definie par un = (−1)n + 1/n admet aussi -1 et 1 pour (seuls !) points d’accumulation.

Definition 1.3.4 Etant donnee une suite (un)n∈N, on appelle suite extraite de la suite (un)toute suite dont le terme general vn est de la forme vn = uφ(n) ou φ : N → N est une applicationstrictement croissante.

Un cas tres frequent est le cas ou vn = u2n ou wn = u2n+1. La premiere est obtenue en prenanttous les termes d’indice pair de la suite un, la seconde en prenant tous les termes d’indice impairde (un). Exemple : un = (−1)n, alors la suite des termes pairs est la suite constante de termegeneral 1, la suite des termes impairs, est la suite constante de terme general -1.

Proposition 1.3.1 Si (un) est une suite convergente, de limite `, toute suite extraite est conver-gente de limite `.

Preuve : Soit vn = uφ(n) ou φ est une application strictement croissante de N dans lui-meme.Alors, pour tout ε > 0, il existe N tel que n ≥ N ⇒ |un− `| < ε. Mais vn = uφ(n) avec φ(n) ≥ n(a cause de la croissance), donc ≥ N , donc |vn − ε| < ε, donc vn → `.

On remarque que cette proposition est tres utile pour montrer qu’une suite est divergente.Par exemple, si un = (−1)n + 1/n, la suite u2n = 1 + 1/2n tend vers 1, alors que la suiteu2n+1 = −1 + 1/2n + 1 tend vers -1. On en decuit que un ne peut etre convergente. Il y ad’ailleurs une reciproque a cette proposition dont on ne parlera pas pour l’instant.

Notons encore un resultat utile pour montrer la convergence d’une suite :

Proposition 1.3.2 Si pour une suite (un), la suite des termes pairs vk = u2k et la suite destermes impairs wk = u2k+1 convergent vers une meme limite `, alors (un) est convergente delimite `.

La preuve est laissee en exercice.

1.3.2 Criteres de comparaison

Theoreme 1.3.3 Si deux suites un et vn admettent les limites respectives `, `′, et si ` < `′,alors, pour tout n suffisamment grand, un < vn.Inversement, si a partir d’un certain rang un < vn et si un → ` et vn → `′, alors ` ≤ `′.


Preuve : soit d = `′ − `, et posons ε = d/3. Alors pour n suffisamment grand, |un − `| < ε et|vn − `′| < ε. Autrement dit, un < ` + ε < `′ − ε < vn.

Dans l’autre sens, supposons ` > `′. D’apres la partie directe, on en deduit que, pour toutn a partir d’un certain rang, un > vn, ce qui contredit l’hypothese.

Theoreme 1.3.4 (dit theoreme des gendarmes) Si, a partir d’un certain rang, un < vn < wn

et si un et wn ont la meme limite `, alors vn est convergente et a pour limite `.

Preuve : Pour tout ε > 0, il existe N1 et N2 tels que n > N1 ⇒ ` − ε < un < ` + ε etn > N2 ⇒ ` − ε < wn < ` + ε. Donc si n > max{N1, N2}, toutes les inegalites sont verifiees enmeme temps, d’ou `− ε < un < vn < wn < ` + ε, cad. |vn − `| < ε.

Theoreme 1.3.5 Si une suite un converge vers une limite `, alors la suite des valeurs absoluesconverge vers |`|.

La preuve est laisee en exercice (elle repose sur l’identite ||un| − |`|| ≤ |un − `|). La reciproqueest-elle vraie ?

1.4 Operations sur les suites et les limites

Sur l’ensemble S constitue de toutes les suites u : N → R, on peut mettre, de manierenaturelle, une structure d’espace vectoriel reel. Pour cela, on definit la somme de 2 suites (un)n

et (vn)n comme la suite dont le terme general est wn = un +vn ; on ecrira (wn)n = (un)n +(vn)n.De meme, si a ∈ R est un nombre reel quelconque, et (un)n une suite reelle, la suite dont leterme general est tn = aun est la suite obtenue en multipliant la suite (un)n par a (on notera(aun)n). On verifie immediatement que S muni de ces deux operations a une structure d’espacevectoriel reel.

Remarque : Comme dit precedemment, on prefere se limiter aux suites reelles dans un premiertemps, mais on peut des a present dire que l’ensemble des suites a valeurs dans C est muninaturellement d’une structure d’espace vectoriel complexe de maniere analogue.

On peut aussi definir le produit de 2 suites (un) et (vn) comme la suite dont le terme general est(unvn) (et, bien sur, on a peut ainsi aussi definir difference et quotient de 2 suites). Le produita aussi de ”‘bonnes” proprietes : il est associatif, commutatif, la suite constante (1)n est unelement neutre, MAIS toute suite n’admet pas necessairement un inverse. De toute maniere, onne peut definir 1/un que pour les n tels que un 6= 0. On ne fera donc le quotient un/vn de deuxsuites que en dehors des m tq. vm = 0.

1.4.1 Suites convergentes

Theoreme 1.4.1 Soient (un), (vn) deux suites, a ∈ R un reel et supposons que un → `, vn → `′.Alors les suites un +vn, un−vn, aun convergent et leurs limites respectives sont un +vn → `+`′,un − vn → `− `′, aun → a`.

Preuves : Commencons par montrer que un + vn → ` + `′. Traduisons que un → ` : cela signifieque, pour tout ε > 0, il existe N tel que n > N ⇒ |un − `| < ε, de meme, il existe M telque n > M ⇒ |vn − `′| < ε. Supposons alors n > max{N,M}, on a alors |un + vn − ` − `′| ≤|un − `| + |vn − `′| < 2ε. Autrement dit, la difference entre un + vn et ` + `′ peut etre rendue

1.4. OPERATIONS SUR LES SUITES ET LES LIMITES 9

aussi petite que l’on veut, il suffit de prendre n suffisamment grand (on peut aussi, comme ondit, “couper ε en 2”).

On montre aussi imediatement que n > N ⇒ |aun − a`| = |a||un − `| < |a|ε, donc, a 6= 0 etantfixe, encore une fois, on peut rendre la difference |aun − a`| aussi petite que l’on veut. Si a = 0,le resultat est encore plus immediat.

Il resulte de ce qui precede que, pour a, b ∈ R, aun+bvn → a`+b`′, avec comme consequencele resultat sur la difference un − vn.

Theoreme 1.4.2 Soient (un), (vn) deux suites et supposons que un → `, vn → `′. Alors la suiteproduit est convergente de limite ``′.

Preuve : On veut montrer que |unvn− ``′| peut etre rendue arbitrairement petite. Placons-nous,comme ci-dessus, dans le cas n > max{N,M} et ecrivons |unvn−``′| = |un(vn−`′)+`′(un−`)| ≤|un(vn − `′)|+ |`′(un − `)|. Nous allons conclure en utilisant un lemme interessant par ailleurs :

Lemme 1.4.1 Si la suite (un) est majoree et si vn → 0, alors le produit unvn → 0.

Preuve du lemme : si |un| < K pour tout n, alors 0 ≤ |unvn| < K|vn|, ce dernier terme tendantvers 0, d’ou le resultat.

Fin de la preuve : il suffit alors de remarquer que, dans l’expression precedente, le premier termeest produit d’une suite un, majoree parce que convergente, et d’une suite vn− `′ qui tend vers 0.Le deuxieme terme tend vers 0 en application du resultat sur le produit d’un reel par une suiteconvergente (ici vers 0).

Theoreme 1.4.3 Soient (un), (vn) deux suites et supposons que un → `, vn → `′, `′ 6= 0. Alors

la suite quotientun

vnest convergente de limite

`

`′.

Montrons d’abord le lemme :

Lemme 1.4.2 Si |vn| est minoree a partir d’un certain rang par un nombre strictement positifet si un → 0, alors

un

vn→ 0.

Preuve du lemme : pour n > p, |vn| > K > 0, d’ou|un||vn|

<|un|K

qui tend vers 0 lorsque n → +∞.

Preuve du theoreme : Si `′ 6= 0, alorsun

vn− `

`′=

`′un − `vn

|`′vn|. Le numerateur tend vers 0 et le

denominateur tend vers `′2 6= 0. Or, si vn → `′ 6= 0, cela signifie que, pour n suffisamment grand,|vn| > `′/2 > 0. On est donc dans les hypotheses du lemme precedent, le quotient tend doncvers 0 et le theoreme est demontre.Il suffit souvent de comparer les termes de 2 suites “a l’infini”, ainsi

Proposition 1.4.1 Si deux suites (un) et (vn) sont equivalents au voisinage de l’infini (ie.lim

n→∞

un

vn= 1 ou encore un = vn(1 + ε(n)) avec ε(n) → 0 lorsque n →∞), alors elles convergent

ou divergent simultanement.

Preuve : Si un = vn(1+ ε(n)), alors si vn → `, comme 1+ ε(n) → 1, on en deduit par le theoremesur les produits de suites, que un = vn(1 + ε(n)) → `× 1 = `. Mais, dans l’equivalence, un et vn

jouent le meme role, donc (un) convergente implique (vn) convergente.


1.4.2 Suites a terme general tendant vers l’infini

On ne peut rien dire de general pour des operations concernant des suites divergentes quel-conques, il faut faire une etude particuliere dans chaque cas. Par contre, lorsque la divergenceprovient du fait que le terme general tend vers l’infini, on peut etre un peu plus precis.

Lemme 1.4.3 i. Si un → +∞ (resp. −∞) et si (vn) est bornee, alors un + vn → +∞ (resp.−∞).

ii. Si un et vn tendent toutes deux vers +∞ (resp. −∞), alors un +vn → +∞ (resp. −∞).

Preuve : i. c’est presque evident : si |vn| ≤ K, alors un + vn ≥ un − K. Or (ecrivons queun → +∞), ∀A > 0,∃N tel que n > N ⇒ un > A, donc un + vn ≥ un −K > A−K > A et demaniere analogue en −∞.

ii. Les hypotheses signifient que, quel que soit A > 0, il existe N,M tels que n > N ⇒un > A et n > M ⇒ vn > B, donc si n > max{N,M} (mais on pourrait meme se contenter de> min{M,N} !), on a un + vn > 2A > A.

Remarque Si l’une tend vers +∞ et l’autre vers −∞, on ne peut rien dire a priori ; on se trouveen presence d’une forme indeterminee ∞−∞.

Lemme 1.4.4 Si un tend vers l’infini et |vn| > K > 0, a partir d’un certain rang, alors leproduit |unvn| tend vers l’infini.

Preuve : en effet, |unvn| > |un|K a partir d’un certain rang p. Or si un tend vers l’infini, pourtout A > 0, il existe N tel que n > N ⇒ un > A/K, d’ou |unvn| > A.

Remarque Si un → +∞ et vn → 0, on ne peut rien dire a priori ; on se trouve en presenced’une forme indeterminee 0×∞.

Lemme 1.4.5 i. Si |un| → +∞ et vn est bornee, alors |un||vn| → +∞.

ii. Si un est bornee et si |vn| → +∞, unvn→ 0.

Preuve : i. Si vn est bornee, |vn| < M , d’ou (on suppose vn 6= 0), la suite 1/vn > 1/M et on estramene au cas du lemme precedent.

ii. En remarquant que |vn| → +∞ equivaut a 1|vn| → 0 (en effet, ∀ε > 0,∃N tel que

|vn| > 1/ε ⇒ 1|vn| < ε), on se ramene a un lemme du paragraphe precedent.

Remarque Dans deux cas, on ne peut rien dire a priori : si un et vn tendent tous deux versl’infini, on se trouve en presence d’une forme indeterminee ∞

∞ ; si un et vn tendent tous deuxvers 0, on a une forme indeterminee 0

0 .

1.4.3 Image par une application continue

Theoreme 1.4.4 Soit f : R → R une application continue en un point x0 ∈ R, alors pour toutesuite (un) qui converge vers x0, la suite (f(un)) converge vers f(x0).

Preuve : il s’agit de montrer que ∀ε > 0, il existe N tel que n > N ⇒ |f(un)− f(x0)| < ε.Or, par continuite de f en x, nous savons qu’il existe η > 0 tel que |x − x0| < η ⇒

|f(x)− f(x0| < ε.Soit alors N tel que ∀n > N, |un − x0| < η. Par consequent, |f(un)− f(x0)| < ε.

Exercice (difficile) : montrer qu’une application f : R → R est continue en un point x0 si etseulement si, pour TOUTE suite (un) telle que un → x0, on a f(un) → f(x0).

1.5. SUITES ADJACENTES 11

1.5 Suites adjacentes

Definition 1.5.1 Deux suites (un) et (vn), l’une croissante, l’autre decroissante, sont ditesadjacentes si vn − un converge vers la limite 0.

Theoreme 1.5.1 Deux suites adjacentes sont toutes deux convergentes et ont la meme limite.

Preuve : supposons (un) croissante et (vn) decroissante. Si lim(|un − vn|) = 0, cela signifie qu’ilexiste N tel que n > N ⇒ |un − vn| < 1, autrement dit vn − 1 < un < vn + 1 < v0 + 1 (puisque(vn) est decroissante) pour tout n > N , donc (un) est croissante et majoree par v0 (au moins apartir d’un certain rang N). Mais, on a aussi u0− 1 < un− 1 < vn, pour tout n > N , donc (vn)est minoree. On en deduit donc que (un) et (vn) sont convergentes.

Appelons ` et `′ les limites et soit ε > 0 un nombre reel arbitrairement petit. Alors,0 ≤ |`−`′| = |`−un+un−vn+vn−`′| ≤ |`−un|+ |un−vn|+ |vn−`′| et si N = max{N1, N2, N3}choisis tels que

n > N1 ⇒ |un − `| < ε/3n > N2 ⇒ |un − vn| < ε/3n > N3 ⇒ |vn − `′| < ε/3,alors n > N ⇒ |` − `′| < 3ε/3 = ε. Or, |` − `′| est un nombre positif ou nul fixe, s’il est

arbitrairement petit, il est necessairement 0, c’est-a-dire ` = `′.

L’exemple premier de telles suites est donne par les suites qui definissent le nombre e : onconsidere la suite un =

∑nk=1

1k! et la suite vn = un + 1

n! . Ces dexu suites sont adjacentes et leurlimite commune est le nombre e. (voir TD.)

Theoreme 1.5.2 Soit une suite de segments I1, I2, . . . , In, . . . tels quei. In+1 est un sous-ensemble de In ;ii. la longueur de In tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini ;Alors, il existe un nombre reel a et un seul commun a tous les segments In.

Preuve : Appelant un et vn les bornes inferieure et superieure de In, on montre que les deuxsuites (un) et (vn) sont adjacentes. En effet, un ≤ un+1 et vn+1 ≤ vn pour tout n. D’autre part,la longueur de In est egale a vn − un, qui, par hypothese tend vers 0. Consequence, les deuxsuites tendent vers une limite commune a et ∀n; un ≤ a ≤ vn, donc ∀n, a ∈ In.

Definition 1.5.2 Une suite (un) est appelee ”de Cauchy” si, pour tout ε > 0, il existe un entierN tel que p, q > N ⇒ |up − uq| < ε.

Nous sommes a present en mesure de demontrer l’un des theoremes les plus interessantsconcernant R :

Theoreme 1.5.3 Critere de Cauchy Dans R, une suite est convergente si et seulement sielle est ”de Cauchy”.

Preuve : La partie directe est immediate : Si (un) est convergente de limite `, alors, pour toutε > 0, il existe N tel que n > N ⇒ |un − `| < ε/2 ; d’ou p, q > n ⇒ |up − uq| = |u−` + `− uq| ≤|up − `|+ |uq − `| < 2ε/2 = ε.

Reciproquement, supposons que, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que p, q > N ⇒|up − uq| < ε/3. Considerons, pour tout n, l’ensemble An = {uk|k ≥ n}. Cet ensemble est borne


puisque constitue de l’ensemble fini {un, un+1, . . . , uN} d’une part, de l’ensemble {uk| k > N}d’autre part. Le premier, etant fini, est borne ; tout element du deuxieme verifie |uk − uN+1| <ε/3, ou encore uN+1 − ε/3 < uk < uN+1 + ε/3, donc est aussi borne.

Par ailleurs, An etant un sous-ensemble borne de R admet une borne superieure bn et uneborne inferieure an. Il est clair aussi que an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn, pour tout n. On se trouvedonc avec une suite de segments emboıtes In = [an, bn].

Mais, n > N etant fixe, il existe p ≥ n tel que up ≤ an + ε/3 (puisque an est borneinferieure) et il existe q ≥ n tel que bb − ε/3 ≤ uq. Par consequent, pour tout ε > 0, il existe Ntel que n > N ⇒ |bn− an| ≤ |bn−uq|+ |uq −up|+ |up− an| < ε ; autrement dit, la longueur dessegments [an, bn] tend vers zero.

En consequence, il existe un unique a appartenant a tous les An, limite des deux suitesadjacentes (an) et (bn) et comme an ≤ un ≤ bn, on en deduit un → a.

Remarque : une consequence de ce resultat est que R contient toutes les limites de toutes lessuites de Cauchy de R. C’est aussi une facon de construire R.

Un exemple : le developpement decimal d’un nombre reelSoit a un nombre reel. Soit a0 la partie entiere de a, on note a0 = E(a). Alors b0 =

a − a0 ∈ [0, 1[. Soit alors a1 = E(0b0), et posons b1 = 10b0 − a1 ∈ [0, 1[, puis a2 = E(10b1),b2 = 10b1 − a2 ∈ [0, 1[, et ainsi de suite, an = E(10bn−1) et bn = 10bn−1 − an ∈ [0, 1[.

On trouve ainsi une suite (an) (n ≥ 1) de nombres entiers compris entre 0 (inclus) et 9.Soit alors les suites (un) et (vn) definies par un = a0, a1a2 · · · an et vn = a0, a1a2 · · · (an + 1)si an ≤ 8 et vn = a0, a1a2 · · · (an−1 + 1) si an−1 ≤ 8, et etc sinon. Ainsi, un ≤ a < vn. Il estimmediat de constater que la suite (un) est croissante et la suite (vn) decroissante. De plus,vn − un < 9/10n → 0, les deux suites sont donc adjacentes et tendent vers a.

On en deduit que tout nombre reel peur s’ecrire sous la forme a0, a1a1 · · · an · · · . Cetteexpression s’appelle developpement decimal de a.

Remarques : 1) il n’y a pas unicite de ce developpement puisque 1 = 0, 9999 · · · .2) Un nombre est dit decimal si son developpement est fini. Si le developpement est fini,

on voit immediatement que a ∈ Q. Cependant, comme le prouve 1/3 = 0, 3333 · · · , il y a desrationnels dont le developpement decimal n’est pas fini. En fait, on peut montrer (exercice) : unnombre reel a est rationnel ssi il admet un developpement decimal fini ou periodique.

1.6 Suite definies par une relation de recurrence

Il s’agit de suites definies par une relation exprimant un+1 en fonction d’un ou plusieurstermes precedents, une fois donnes le(s) premier(s) terme(s).

1.6.1 Cas d’une relation a un terme donnee par un+1 = f(un)

On se donne u0 et on suppose que un+1 = f(un),∀n > 0, f designant une application deR dans R. On veut etudier la convergence d’une telle suite.

Commencons par remarquer que :

Proposition 1.6.1 Si la suite (un), definie par u0 et la relation un+1 = f(un), f : R → Retant une fonction continue en `, converge vers une limite `, alors ` est solution de l’equationf(x) = x.

1.6. SUITE DEFINIES PAR UNE RELATION DE RECURRENCE 13

Preuve : On a un+1 = f(un). Lorsque n → +∞, un → `, d’ou, par continuite de f , f(un) → f(`).Mais un+1 aussi tend vers `. Par unicite de la limite, on en deduit f(`) = `.

Nous n’allons pas ici faire de theorie generale, mais nous limiter a l’etude de quelques exemples.

Exemples : 1) f = Id, la suite est alors constante, de valeur u0. Si f(x) = ax, alors u1 =au0, u2 = au1 = a2u0, . . . , un = anu0, . . .. Cette suite est donc u0 fois une suite geometrique.Bien sur, la seule solution de ax = x, lorsque a 6= 1, est 0, seule limite possible. Si |a| < 1, la suiteconverge vers 0, si a = 1, elle est constante egale a u0, si a = −1, c’est une suite alternee, elleest divergente (2 points d’accumulation distincts : −u0 et u0), si a > 1, elle tend vers l’infini, sia < −1, sa valeur absolue tend vers l’infini et la suite oscille entre valeurs positives et negatives.

2) f(x) = (1/2)(x + 1x2 . On peut alors tracer la courbe de f et la premiere bissectrice, il

y a une seule racine reelle de f(x) = x ⇔ x3 = 1, c’est 1. On peut tracer les valeurs successivesu1 = f(u0), u2 = f(u1), . . . en s’aidant de la bissectrice et regarder ce qui se passe.

3) Un exemple qui donne une bonne idee de tous les cas qu’on peut rencontrer est celui dela suite logistique : on prend g(x) = 4cx(1 − x) et on va considerer les fonctions fc(x) = cg(x)pour differentes valeurs de c. On peut alors regarder ce que cela donne.

Bien sur, une etude graphique ne prouve rien et on est oblige de faire un raisonnement danschaque cas pour conclure a la convergence ou non. Ainsi, lorsque dans l’exemple 3, c se trouvea gauche de 3/4, on peut s’appuyer sur les dessins pour montrer que la suite est, par exemple,monotone et bornee, ou trouver deux suites adjacentes, on chercher des suites extraites (u2k,u2k+1) lorsque l’on se trouve a droite de 3/4 par exemple.

1.6.2 Recurrences lineaires

− > Le cas le plus simple est un+1 = aun. Il est immediat puisque cela donne alors un = anu0.− > Plus generalement, si un+1 = aun + b, on se ramene au cas precedent en cherchant uneconstante c telle que, si vn = un + c, alors vn+1 = avn. Pour cela, on exprime vn+1 de deuxmanieres : vn+1 = un+1 + c = aun + b+ c et vn+1 = avn = a(un + c) = aun +ac. En rapprochantles deux expressions, on trouve b + c = ac ⇒ c = b

a−1 .− > Plus generalement encore. L’ensemble S2 des suites dont le terme general verifie la relationun+2 = aun+1+bun, a, b ∈ R fixes, forme un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites reelles.

Or, on peut trouver des suites (geometriques) de la forme un = rn, r 6= 0, qui verifient unetelle recurrence. En effet, s’il en existe, r doit verifier rn+2 = arn+1 + brn ⇒ rn(r2− ar− b) = 0,d’ou si r 6= 0, r doit etre solution de r2 − ar − b = 0.

Il faudra distinguer les cas ou il existe deux racines distinctes (∆ > 0) r1 e r2, le cas ∆ = 0et le cas ∆ < 0. Dans le premier cas, on dispose donc de 2 suites (rn

1 )n et (rn2 )n de S2 ; on verifie

qu’elles sont lineairement independantes et qu’elles engendrent S2 (exercice), par consequenttoute suite un de S2 s’ecrit un = arn

1 + brn2 . Dans le 2ieme cas, on prend les suite (rn

0 )n et (nrn0 )n

dont on verifie qu’elles forment une base de S2. Pour ce qui est du 3ieme cas, les racines sontcomplexes et il faudra prendre les parties reelles des suites obtenues.− > On peut aller plus loin et considerer des relations du type rn+k = a0rn + a1rn+1 +· · · ak−1rn+k−1. On procede de maniere analogue a ci-dessus, mais il s’agira, en general, deresoudre des equations de degre ≥ 3 !

Chapitre 2

Series numeriques

2.1 Introduction

2.1.1 Definitions

Etant donnee une suite reelle (ou complexe) (un)n∈N, etudier la serie (un) ou∑

un, c’est cherchersi la suite des sommes partielles Sn = u0 + u1 + · · ·+ un converge lorsque n tend vers +∞. Leterme un est appele terme general de la serie

∑un.

Definition 2.1.1 On dit que la serie de terme general un est convergente si la suite (Sn) l’est.

On dit alors que la limite S est la somme de la serie∑

un et on ecrit S =∞∑

n=1

un.

On dit que la serie est divergente, si la suite Sn n’admet pas de limite lorsque n → +∞.

Il y a deux sortes de divergence selon que Sn tend vers l’infini, ou que Sn, restant fini, ne tendvers aucune limite.

Exemples : Pour la serie de terme general un = a, la somme partielle jusqu’a n est Sn = naqui → +∞ lorsque n → ∞. Mais la serie de terme general vn = (−1)na, a pour somme Sn =a− a + a− a + · · · qui est egale a 0 ou a suivant les valeurs de n.

On peut aussi considerer les series de terme general un = vn + iwn, a valeurs dans C.Comme, pour tout n,

∑nk=1 un =

∑nk=1 vn+i

∑nk=1 wn, la convergence de la serie (un) se ramene

a la convergence simultanee des series vn et wn. On ramene donc l’etude des series complexes acelle des series reelles.

Remarque : la convergence d’une serie ne depend pas des premiers termes. En effet, consideronsles series de termes generaux un et vn = un+`, alors notons SN =

∑Nk=1 uk = u1 + · · · + u` +∑N−`

k=1 vk. On remarque ainsi que la suite des sommes partielles SN converge ssi la suite dessommes partielles S′N−` =

∑N−`k=1 vk converge.

Lorsque la serie un est convergente, et si S designe sa somme, on note Rn = S − Sn =u`+1 + u`+1 + · · · qui s’appelle reste d’ordre n de la serie. On note que la somme S de un estegale a S′ − S` ou S′ est la somme de la serie vn.

2.1.2 Un premier critere

Theoreme 2.1.1 Une serie∑

un est convergente ssi, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel quen > N ⇒ |un+1 + · · ·+ un+p| < ε, ∀p ∈ N∗.

15

16 CHAPITRE 2. SERIES NUMERIQUES

Preuve : C’est une consequence immediate du critere de Cauchy applique a la suite Sn. En effet,|un+1 + · · ·+ un+p| = |Sn+p − Sn|. Or Sn est convergente SSI c’est une suite de Cauchy.

Corollaire 2.1.1 Si la serie∑

un converge, alors son terme general un tend vers 0.

Il suffit de prendre p = 1 dans le theoreme ci-dessus.

Exemple : Soit a ∈ R. On appelle serie geometrique la serie de terme general un = an. Si |a| ≥ 1,an ne tend pas vers 0, donc

∑un est divergente. Si |a| < 1, le terme general tend bien vers 0

(MAIS cela ne suffit pas a assurer la convergence ! ! !). Or nous avons vu que Sn =∑n

k=0 ak =1−an+1

1−a , pour tout n ; on voit ainsi que Sn → 11−a .

En resume : la serie geometrique∑

an est :− > divergente si |a| ≥ 1− > convergente, de somme 1/1− a si |a| < 1.

Exemple : la serie harmonique est la serie de terme general un = 1/n. Le terme d’harmoniqueprovient de ce que

2un

=1

un−1+

1un+1

⇔ 2n = (n− 1) + (n + 1),

(ie. un est la moyenne harmonique des 2 terme qui l’encadrent).Calculons

S2n − Sn =1

n + 1+

1n + 2

+ · · ·+ 12n

>n

2n=

12

(car 1n+k > 1

2n). D’ou, par le critere ci-dessus, la serie est divergente.

2.1.3 Operations sur les series

Soit a ∈ R, a 6= 0, alors les series∑

un et∑

aun sont de meme nature. Si∑

un estconvergente de somme S, alors

∑aun est convergente de somme aS.

Soit deux series∑

un et∑

vn. On definit leur somme comme∑

wn ou wn = un + vn.Si les 2 series sont convergentes de somme U et V , alors la serie

∑wn est convergente de

somme W = U + V .Si l’une est convergente, l’autre divergente, alors la serie

∑wn est divergente.

Si elles sont divergentes toutes les deux, on ne peut rien dire de general.

En conclusion, l’ensemble des series convergentes forme un espace vectoriel sur R.

2.1.4 Suites et series

Theoreme 2.1.2 La suite (an) est convergente si et seulement si la serie de terme generalun = an − an−1 est convergente.

Preuve : La n-ieme somme partielle Sn de un est donnee par Sn = (a1 − a2) + (a2 − a3) + · · ·+(an − an+1) = a1 − an+1. Par consequent, Sn admet une limite ssi an+1 admet une limite. S’il ya convergence et si A = lim(an), alors S = a1 −A.

Ce theoreme peut permettre de ramener l’etude d’une serie a celle d’une suite, mais aussi l’in-verse.Exemples : a) an = 1/n, alors un = 1/n(n + 1), donc la serie (un) est convergente de somme 1.

b) Si an = Arctg(1/n), un = Arctg(1/n) − Arctg(1/(n + 1)) = Arctg(1/(n2 + n + 1).Comme lim an = 0, la serie

∑un est convergente de somme Arctg(1) = π/4.

2.2. SERIES A TERMES POSITIFS 17

2.2 Series a termes positifs

Ce sont des series dont le terme general un est > 0. Bien entendu, si un ≥ 0 et si seuls unnombre fini de termes sont 0, on se ramene au cas d’une serie a termes positifs en n’etudiant laserie qu’a partir d’un certain rang.

Theoreme 2.2.1 Une serie a termes positifs est convergente si et seulement si la suite de sessommes partielles est majoree.

Preuve : Les termes un de la serie etant tous ≥ 0, la suite des Sn est croissante (en effet :Sn+1 − Sn = un ≥ 0. Celle-ci est donc convergente ssi elle est majoree.

2.2.1 Comparaison serie-integrale

Soit f :]0,+∞[→ R une fonction continue, positive et decroissante et soit un = f(n) etetudions la serie

∑un = f(1) + f(2) + · · ·+ f(n) + · · · . (faire un dessin)

Comme f est decroissante, pour n− 1 < x < n, f(n− 1) > f(x) > f(n). Donc∫ n

n−1f(n− 1)dt >

∫ n

n−1f(t)dt >

∫ f

n−1(n)dt

ce qui s’ecrit en integrant les deux extemites,

f(n− 1) >

∫ n

n−1f(t)dt > f(n).

D’ouf(1) >

∫ 21 f(t)dt > f(2)

f(2) >∫ 32 f(t)dt > f(3)· · ·

f(n− 1) >∫ nn−1 f(t)dt > f(n)

et, en sommant,

Sn−1 >

∫ n

1f(t)dt > Sn − S1.

a) Supposons que l’integrale I =∫ +∞1 f(t)dt existe (rappelons que cette integrale existe,

par definition, si limA→+∞

(∫ A

1f(t)dt) existe), alors Sn < I + f(1), donc Sn est croissante majoree,

donc convergente. La somme S de la serie est alors < I + f(1).b) Supposons au contraire que la serie

∑un est convergente de somme S, alors F (X) =∫ X

1 f(t)dt est majoree, lorsque X → +∞, par S, donc la fonction F (X) est croissante et majoree,donc admet une limite < S.

Nous avons donc prouve le

Theoreme 2.2.2 Si f :]0,+∞[→ R est une fonction definie, continue, positive, decroissante,alors la serie

∑f(n) et l’integrale

∫ +∞1 f(t)dt sont de meme nature.

Remarque : ce theoreme continue a s’appliquer si la fonction n’a ces proprietes qu’a partir d’unnombre positif a ; il suffit de negliger les premiers termes de la serie.


2.2.2 Serie de Riemann

Definition 2.2.1 On appelle serie de Riemann la serie dont le terme general est1nα

ou α ∈ R+

est un nombre positif donne.

La fonction f(x) =1xα

est continue, positive, decroissante sur ]0 +∞[, par consequent, on peutappliquer le theoreme precedent pour conclure que la serie de Riemann est de meme nature quel’integrale

∫ +∞1 f(t)dt.

Or, si α 6= 1, ∫ x

1f(t)dt =

1α− 1

[1

1α−1− 1

xα−1

](une primitive de 1/xα etant

−1(α− 1)xα−1

).

Par consequent : si α > 1,1

xα−1→ 0, l’integrale est convergente et si α < 1, l’integrale est

divergente. Si α = 1, une primitive est en ln, ie. F (x) =∫ n1 (1/t)dt = ln(x) → +∞ quand

x → +∞, l’integrale est donc divergente.Ainsi nous obtenons le

Theoreme 2.2.3 La serie∑ 1

nαest convergente si α > 1, divergente si 0 < α ≤ 1.

2.2.3 Reste d’une serie comparee a une integrale

Dans la comparaison avec l’integrale (cf. ci-dessus), on remarque que, dans le cas ou laserie est convergente, le reste Rn = f(n+1)+f(n+2)+ · · · est encadre par

∫ +∞n+1 f(t)dt < Rn <∫ +∞

n f(t)dt (les inegalites restant strictes). Cela se verifie aisement graphiquement.Cet encadrement est tres utile lorsque l’on veut calculer la somme d’une serie convergente

de facon approchee.

2.2.4 Comparaison des series a termes positifs

Theoreme 2.2.4 Etant donnees deux series a termes positifs∑

un et∑

vn, alors, si, pour toutn, un ≤ vn,

i. si∑

vn est convergente, alors∑

un l’est ;ii. si

∑un est divergente, alors

∑un l’est.

Preuve : C’est presque immediat. En effet, si un ≤ vn, pour tout n, les sommes partielles desdeux series verifient UN ≤ VN , pour tout N , donc ces suites etant croissantes, UN ≤ Vn ≤ V ouV designe la somme de la serie

∑vn. Comme la suite des sommes partielles UN est croissante

majoree, elle est convergente. De plus, bien sur, sa somme U est ≤ V .De meme, si la serie

∑un est divergente, cela signifie que la suite des sommes partielles

UN tend vers l’infini. Or, UN ≤ VN , donc VN aussi tend vers l’infini.

Le resultat reste vrai si les inegalites ne sont realisees qu’a partir d’un certain rang.

Exemples : 1) Soit un =an

n. On a

an

n≤ an, pour tout n ≥ 1, donc si 0 ≤ a < 1, un ≤ an, terme

general d’une serie geometrique (positive) de raison < 1, donc convergente, d’ou la serie∑

un

est convergente. Inversement, si a ≥ 1, alors un ≥ 1n , terme general de la serie harmonique, donc

divergente.

2) Une autre preuve de la divergence de1nα

lorsque α < 1. En effet, α < 1 ⇒ 1nα

>1n

.

2.3. ETUDE PRATIQUE DES SERIES A TERMES POSITIFS 19

Theoreme 2.2.5 Soient deux series a termes positifs,∑

un et∑

vn. S’il existe a, b ∈ R telsque, ∀n (ou a partir d’un certain rang), a ≤ un

vn≤ b, alors les deux series sont de meme nature.

Preuve : Des inegalites, on deduit que un ≤ bvn, pour tout n, d’ou, si la serie∑

vn converge, laserie

∑bvn aussi et donc

∑un et si

∑un diverge,

∑vn aussi. Inversement, comme pour tout

n, avn ≤ un, on en deduit que si la serie un converge, alors la serie vn aussi et si vn diverge, un

aussi.

Corollaire 2.2.1 i. Si pour deux series a termes positifs∑

un et∑

vn, le rapportun

vn→ k,

k 6= 0, lorsque n → +∞, alors les deux series sont de meme nature.ii. Si les termes generaux de deux series a termes positifs sont des infiniment petits

equivalents, pour n infini, les deux series sont de meme nature.

Preuve : i. Si un/vn → k, on en deduit que, pour n suffisamment grand, k/2 ≤ un/vn ≤ 3k/2,d’ou le resultat par application du theoreme.

ii. Dire que un et vn sont des infiniments petits equivalents signifie que lim(un/vn) = 1.

2.3 Etude pratique des series a termes positifs

Pour etudier la nature d’une serie a termes positifs, on peut la comparer a une serie connue(geometrique, Riemann, etc...) et conclure a l’aide d’un des resultats ci-dessus ou alors utiliserun des criteres suivants.

Notes : 1) si un ∼k

nα, alors

∑un est de meme nature que la serie de t.g.

k

nα.

2) si on ne peut trouver d’equivalent de ce type pour un, on peut comparer un ak

nαet

pour cela considerer le rapportun1

nα

= nαun. Alors,

soit nαun tend vers une limite ` 6= 0 et alors un ∼ `/nα, d’ou on est ramene a 1) ;soit nαun → 0, donc nαun < ε pour n >> 0 (ecriture pour dire n suffisamment grand) ;

on peut conclure si α > 1 ;soit nαun → +∞, alors un > A/nα pour n >> 0 et on conclut si α ≤ 1.

Exemples : a) un = 1− cos(1/n), alors un ∼ 1/2n2, donc la serie converge.

b) un =(lnn)k

nppour p > 0 et k ∈ Z.

Autres exemples : 1) an = 1+1/2+· · ·+1/n−ln(n). En etudiant la serie∑

un ou un = an−an+1 ;

2) Etudier la suite un =1

n2−cos( 1n

); 3) Etude des series de terme general un =

ln(n)k

np, p > 0, k

quelconque.

2.3.1 Critere de Cauchy

Theoreme 2.3.1 Soit la serie a termes positifs∑

un. Alorsa. si, a partir d’un certain rang, n

√un ≤ k < 1, k fixe, la serie est convergente.

b. si, a partir d’un certain rang, n√

un ≥ 1, la serie est divergente.


Preuve : n√

un ≤ k < 1 ⇒ un ≤ kn. Or, kn est le terme general d’une serie geometrique, a termespositifs, qui est convergente. Donc, aussi la serie de t.g. un.

Par contre, n√

un ≥ 1 ⇒ un ≥ 1, donc le terme general ne tend pas vers 0, donc la serieest divergente.

En fait, on appliquera ce theoreme plutot en regardant ce qui se passe lorsque n tend versl’infini :

Corollaire 2.3.1 Regle de cauchy Supposons que pour la serie a termes positifs∑

un, on aitn√

un → `. Alors :i. si ` < 1, la serie est convergente ;ii. si ` > 1, la serie est divergente.

Preuve : n√

un → ` signifie que ∀ε > 0, ∃N tel que n ≥ N ⇒ `− ε < n√

un < ` + ε.Si ` < 1 et ε assez petit pour que n

√un < ` + ε < 1, la serie converge.

Si ` > 1, soit ε assez petit pour que 1 < `− ε < n√

un, d’ou la serie un diverge.

Remarque : il reste un cas douteux : si n√

un → 1. Dans ce cas, on ne peut rien conclure sauf(exercice) si n

√un → 1 par valeurs superieures, alors la serie est divergente.

Exemple : un =(

2n− 1n + 1

)2n

· xn, x > 0. Alors n√

un =(

2n− 1n + 1

)2

x, donc n√

un → 4x et, en

appliquant la regle de Cauchy, on constate que si x > 1/4, la serie diverge, si x < 1/4, la serieconverge.

Si x = 1/4, on ne peut rien conclure. On doit faire une etude particuliere : on remarqueque ln(un) → −3, d’ou un → e−3, donc la serie diverge puisque son terme general ne tend pasvers zero.

2.3.2 Critere de d’Alembert

Theoreme 2.3.2 Soit la serie a termes positifs∑

un. Alorsa. si, a partir d’un certain rang,

un+1

un≤ k < 1, k fixe, la serie est convergente.

b. si, a partir d’un certain rang,un+1

un≥ 1, la serie est divergente.

Preuve : Si, pour n ≥ p, on aun+1

un≤ k < 1, alors si vn = kn, on a

vn+1

vn= k. On a donc

∀n ≥ p,un+1

un≤ k =

vn+1

vn. D’ou

un+1

vn+1≤ un

vn≤ · · · ≤ up

vp= a. D’ou un ≤ avn. La serie vn etant

convergente, on en deduit alors la convergence de la serie un.Au contraire, si a partir de p, on a

un+1

un≥ 1, alors un+1 ≥ un ≥ · · · ≥ up, donc un ne

peut tendre vers 0, la serie est donc divergente.

Corollaire 2.3.2 Regle de d’Alembert Supposons que pour la serie a termes positifs∑

un,on ait

un+1

un→ `. Alors :

i. si ` < 1, la serie est convergente ;ii. si ` > 1, la serie est divergente.

Preuve : Si un+1/un → ` < 1, alors pour n assez grand, un+1/un ≤ k < 1, ce qui conduit a laconvergence. Si, au contraire, ` > 1, alors un+1/un → ` > 1, d’ou des que n est suffisammentgrand, un+1/un ≥ 1.

2.4. SERIES ABSOLUMENT CONVERGENTES 21

Remarque : il reste un cas douteux : siun+1

un→ 1. Dans ce cas, on ne peut rien conclure sauf

(exercice) siun+1

un→ 1 par valeurs superieures, alors la serie est divergente.

Remarque : La serie de Riemann un =1nα

, α > 0 amene toujours au cas douteux des regles deCauchy et d’Alembert.

Exemples : a) La serie de terme general un = n!xn. Si x ≥ 1, le terme general ne tend pas vers0, elle est donc divergente. Si x < 1,

un+1

un= nx →∞, donc la serie est encore divergente.

b) Pour la serie de terme general vn =xn

n!, le rapport

un+1

un=

x

n + 1→ 0. Cette serie est

donc convergente quel que soit x (sa somme est d’ailleurs ex).

2.3.3 Comparaison des deux methodes

Remarque : il faut noter qu’on peut completer les resultats precedents et aboutir a des affirma-tions un peu plus fortes ou remarquer (ce qui est bien le moins) que si n

√un → ` et un+1

un→ `′, `

et `′ non nuls, alors on a ` = `′. Mais nous ne retiendrons que les regles ci-dessus.Sans preciser davantage, on peut encore noter que la regle de Cauchy est un peu plus

puissante que celle de d’Alembert. Si aucune ne s’applique, on peut encore essayer nαun.

2.4 Series absolument convergentes

Definition 2.4.1 Une serie∑

un est absolument convergente si la serie de ses valeurs absolues(ou modules si un ∈ C)

∑|un| est convergente.

Il y a dans une serie quelconque des termes positifs et des termes negatifs, pour n aussigrand qu’on veut (sinon, on peut oublier les premiers termes et on se retrouve avec une serie atermes de signes constants - il faut d’ailleurs en profiter pour remarquer qu’une serie a termesnegatifs satisfaits aux memes criteres qu’une serie a termes positifs, ou plus simplement, si

∑un

est telle que un ≤ 0, pour tout n, la serie∑

vn ou vn = −un est a termes positifs et les sommespartielles verifient Un = −Vn. Conclusion : les deux series sont de meme nature.-)

La somme partielle Sn peut s’ecrire Sn = Pn−Qn ou Pn est la somme des termes positifsPn et Qn la somme des valeurs absolues des termes negatifs. Si la serie converge absolument,cela signifie que la suite des sommes partielles Σn = |u1|+ |u2|+ · · ·+ |un| = Pn + Qn convergevers une limite Σ et Σn < Σ. Ce qui signifie que Pn et Qn sont des suites croissantes majoreespar Σ, donc convergentes, de sommes P,Q. Et, par les theoremes sur la somme de suites, lalimite de Sn = Pn −Qn tend vers S = P −Q. Autrement dit, la serie

∑un est convergente.

Proposition 2.4.1 Si pour une serie∑

un, il existe une serie convergente∑

vn, telle que|un| ≤ vn, pour tout n, la serie

∑un est absolument convergente.

C’est une consequence immediate du theoreme de comparaison pour les series a termes positifs.

2.4.1 Regles de Cauchy et d’Alembert

Si une serie n’est pas absolument convergente, on ne peut, en general, en conclure que laserie elle-meme est divergente. Mais il y a des cas ou il est possible de conclure :


Theoreme 2.4.1 Regle de Cauchy Soit∑

unune serie a termes reels telle que n√|un| admet

une limite ` lorsque n →∞. Alors ,si ` < 1, la serie

∑un est absolument convergente ;

si ` > 1, la serie∑

un est divergente.

Preuve : Si ` < 1, la regle de Cauchy pour les series a termes positifs entraıne la convergencede la serie des valeurs absolues, donc l’absolue convergence de

∑un. Si, par contre, ` > 1, cela

signifie qu’il existe N tel que n > N ⇒ n√|un| > 1, donc |un| > 1, donc un ne peut pas tendre

vers 0.

Theoreme 2.4.2 Regle de d’Alembert Soit∑

unune serie a termes reels telle que|un+1||un|

admet une limite ` lorsque n →∞. Alors ,si ` < 1, la serie

∑un est absolument convergente ;

si ` > 1, la serie∑

un est divergente.

Preuve : De meme que ci-dessus, si ` < 1, la serie des valeurs absolues est convergente. Si ` > 1,

alors , pour n suffisamment grand,|un+1||un|

> 1, d’ou |un+1| > |un|, donc un ne peut tendre vers

0.

Exemples 1) Soit un = xn/n!, x ∈ R. Alors la serie de terme general |x|n/n! est convergente quel

que soit x, donc la serie∑ xn

n!converge, pour tout x. Sa somme est notee ex.

2) Soit un =(

2n− 1n + 1

)2n

xn, x ∈ R. Alors n√|un| =

(2n− 1n + 1

)2

|x| → 4|x|. D’ou, si

|x| < 1/4, la serie∑

un est absolument convergente ; si |x| > 1/4, la serie∑

un diverge. Et, si|x| = 1/4, |un| → e−3, donc ne tend pas vers 0, la serie est donc divergente.

2.4.2 Proprietes

Theoreme 2.4.3 La valeur absolue de la somme d’une serie absolument convergente est inferieureou egale a la somme de la serie des valeurs absolues.

Preuve : On a pour tout n, l’inegalite entre les sommes partielles Sn de∑

un et Σn de∑|un|,

|Sn| = |u1 +u2 + · · ·+un| ≤ |u1|+ |u2|+ · · ·+ |un| = Σn, d’ou le resultat par passage a la limite.

On dit que deux series∑

un et∑

vn ne different que par l’ordre des termes, si pour toutp ∈ N, il existe q ∈ N tel que up = vq. Autrement dit, les deux suites (un) et (vn) ont memeensemble de valeurs, ou encore les deux applications correspondantes u, v : N → R ont memeimage.

Theoreme 2.4.4 Si on change l’ordre des termes dans une serie a termes reels absolumentconvergente, la serie reste absolument convergente et la somme est la meme.

Preuve : Commencons par le montrer pour une serie a termes positifs. Soit donc∑

un une seriea termes positifs, et

∑vn une serie obtenue a partir de la premiere en changeant l’ordre des

termes. Soit alors Up = u1 + · · · + up et supposons que q = max{k| vk ∈ {u1, . . . , up}}, alorsVq = v1 + · · ·+ vq ≤ Up.

Inversement, soit r = max{`| u` ∈ {v1, . . . , vq}}, on a alors Ur ≤ Vq. Donc Ur ≤ Vq ≤ Up.Des lors, si la serie

∑un converge, alors Ur < U ⇒ Vq ≤ U , la serie

∑vn est donc

convergente et on a V ≤ U .

2.5. SERIES A TERMES DE SIGNE QUELCONQUE. SERIES ALTERNEES 23

Mais Up ≤ Vq ⇒ U ≤ V , d’ou finalement U = V .

Si la serie∑

un est divergente, alors si p →∞, Up →∞, d’ou Vq →∞, donc la serie∑

vn

diverge.

Si maintenant la serie∑

un est absolument convergente, la serie∑

vn l’est aussi puisqueles series

∑|un| et

∑|vn| ne different que par l’ordre des termes, et comme elles sont a termes

positifs, l’ordre n’importe pas. Par consequent, la serie∑

vn est convergente. De plus, la sommeS de la serie

∑un est S = P − Q ou P est la somme des termes positifs, Q la somme des

valeurs absolues des termes negatifs. Changer l’ordre des termes dans la serie∑

n, c’est changerl’ordre des termes dans les deux series precedentes, a termes positifs, dont les sommes P et Qne changent donc pas.

2.4.3 Multiplication de deux series absolument convergentes

Theoreme 2.4.5 Si deux series a termes reels (ou complexes)∑

un et∑

vn sont absolumentconvergentes et ont pour sommes respectives U et V , la serie

∑wn, ou wn = u0vn + u1vn−1 +

· · ·+ un−1v1 + unv0, est absolument convergente de somme UV .

Preuve : Supposons d’abord que les termes generaux des 2 series sont positifs. Notant Un, Vn,Wn

les sommes partielles a l’ordre n des 3 series, le produit UnVn = (∑n

i=0 un)(∑n

j=0 vn) et onconstate (on regarde le tableau et ses diagonales) que Wn ≤ UnVn ≤ W2n, d’ou on deduit laconvergence de

∑wn, ainsi que W = UV .

Supposons a present les 2 series absolument convergentes. Alors la serie produit des seriesde valeurs absolues est convergente et si Σ,Σ′, T designent les sommes des ces series, on aT = ΣΣ′. Mais, |wn| ≤ tn, pour tout n, ou tn designe le n-ieme terme du produit des series devaleurs absolues. Donc la serie

∑|wn| etant majoree par une serie convergente, la serie

∑wn

est absolument convergente.Il reste a voir que sa somme est le produit UV . Pour cela, soit δn = UnVn−Wn. D’une part,

δn → UV −W . D’autre part, |δn| ≤ ΣnΣ′n−Tn (avec des notations evidentes) comme on peut levoir en regardant les diagonales du tableau precedent. Or, lorsque n →∞, 0 ≤ ΣnΣ′n− Tn → 0,donc UV −W = 0, ce qui acheve la demonstration de ce theoreme.

Exemple : Considerons les series∑

xn/n! et∑

yn/n! de sommes E(x) et E(y). Alors le produita pour terme general (a verifier) (x + y)n/n!, d’ou on deduit que E(x)E(y) = E(x + y), ce quicaracterise la fonction exponentielle.

2.5 Series a termes de signe quelconque. Series alternees

Une serie∑

un qui n’est pas absolument convergente, peut malgre cela etre convergente.La raison de cette convergence ne tient plus alors a la rapidite avec laquelle le terme generaltend vers 0, mais les variations de signes. L’ordre des termes joue alors un role primordial ; onpeut d’ailleurs montrer qu’on peut ranger les termes d’une telle serie convergente de sorte quetout nombre reel fixe puisse en etre la somme !

Definition 2.5.1 On dit qu’une serie a termes reels est alternee si ses termes sont alternati-vement positifs et negatifs.

Theoreme 2.5.1 Si une serie alternee∑

un verifie :i. |un| ≥ |un+1| pour tout n


ii. un → 0 quand n →∞alors elle est convergente et le reste est du signe du premier terme neglige et lui est inferieur envaleur absolue.

Preuve : Supposons la serie de la forme u1 − u2 + u3 − · · · ou ui > 0.Etudions la suite des sommes partielles d’indices pairs : S2p = u1 − u2 + · · ·+ u2p−1 − u2p

et S2p+2 = S2p + u2p+1 − u2p+2 ≥ S2p puisque u2p+1 ≥ u2p+2. D’autre part, S2p = u1 − (u2 −u3)− (u4−u5)−· · ·− (u2p−2−u2p−1)−u2p ≤ u1. Conclusion : (S2p)p forme une suite croissantemajoree, donc converge vers une limite S.

Puis, faisons de meme pour la suite (S2p+1)p. S2p+1 = (u1−u2)+(u2−u3)+ · · ·+(u2p−1−u2p) + u2p+1. On a donc S2p+1 = S2p−1 − (u2p − u2p+1) ≤ S2p−1. La suite est donc decroissante,minoree par 0, donc convergente. De plus, S2p+1 = S2p + u2p+1, et, comme u2p+1 → 0, onS2p+1 → S. Par consequent, la suite (Sn)n, donc la serie

∑un, est convergente de limite S.

De plus, on a S2p < S < S2p+1, d’ou 0 < R2p = S−S2p < S2p+1−S2p = u2p+1. De meme,S2p+2 < S < S2p+1 montre que R2p+1 = S−S2p+1 < 0 et |R2p+1| = S2p+1−S < S2p+1−S2p+2 =u2p+2. D’ou le resultat.

Remarque : La condition un → 0 est, bien entendu necessaire, mais n’est pas suffisante. Enrevanche, la condition |un+1| ≤ |un| n’est pas necessaire (mais avec la precedente, elle est suffi-sante).

Exemple : La serie un =(−1)n

nαest absolument convergente si α > 1. Si 0 < α < 1, elle n’est

plus absolument convergente, mais elle est alternee et verifie 1nα → 0 en decroissant, donc elle

est convergente. En particulier, la serie harmonique alternee est convergente.

Remarque : il y a, bien entendu, des series qui, sans etre absolument convergente, ni alternee, sont

pourtant convergentes. Exemple : un =(−1)n

n + (−1)nn’est ni une serie absolument convergente,

ni une serie alternee, mais en ecrivant que un =(−1)n

n+ vn ou vn =

1n(n + (−1)n)

, on constate

que un est convergente.

Table des matieres

1 Suites 31.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Notion de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Suites monotones, suites bornees, premiers theoremes . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Criteres de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Operations sur les suites et les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Suites a terme general tendant vers l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3 Image par une application continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Suite definies par une relation de recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Cas d’une relation a un terme donnee par un+1 = f(un) . . . . . . . . . . 121.6.2 Recurrences lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Series numeriques 152.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Un premier critere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3 Operations sur les series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.4 Suites et series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Series a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Comparaison serie-integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Serie de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.3 Reste d’une serie comparee a une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.4 Comparaison des series a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Etude pratique des series a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.1 Critere de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Critere de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.3 Comparaison des deux methodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Series absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.1 Regles de Cauchy et d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.3 Multiplication de deux series absolument convergentes . . . . . . . . . . . 23

2.5 Series a termes de signe quelconque. Series alternees . . . . . . . . . . . . . . . . 23

25

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