Instituto Politécnico NacionalEscuela Superior de Ingeniería

Mecánica y EléctricaUnidad Zacatenco

ANALOGIAS ELECTROMECANOACÚSTICAS

ASIGNATURA:SEÑALES Y VIBRACIONES

GRUPO: 6CM4

PROFESOR:Franco Pérez Ricardo Andrés

EQUIPO 1

ALUMNOS: Arroyo Vázquez Diana Alejandra Colín Pineda Trini Monserrat Jiménez Romero Luis Román Juárez Hernández Lizbeth Morales Hernández Laura Itzel

Fecha de entrega: 05/Octubre/2015

ANALOGIAS ELECTROMECANOACÚSTICAS

El tema de la electromecanoacústica (a veces llamado analogías dinámicas) consiste en la aplicación de la teoría de los circuitos eléctricos para la resolución de los problemas mecánicos y acústicos. Las analogías electro mecánico acústicas son utilizadas para describir, caracterizar y analizar el comportamiento de los diferentes sistemas de sonido recurriendo a la modelación mecánica y eléctrica de los fenómenos acústicos, para así facilitar su comprensión sin necesidad de resolver las complicadas ecuaciones diferenciales que generalmente se usan para describir el comportamiento de las ondas de sonido, los fenómenos acústicos y los dispositivos de audio. La transmisión de energía y la transformación de la misma es el eje central sobre el cual se crean las representaciones mecánicas, eléctricas y acústicas.

Para crear una representación esquemática de los fenómenos sonoros utilizando componentes mecánicos y eléctricos se deben cumplir cuatro condiciones básicas.

El fenómeno debe permitir la creación de una representación esquemática por inspección del mismo.

Debe permitir la manipulación de los diferentes componentes y variables inherentes al fenómeno para poder realizar una agrupación de elementos mecánicos y eléctricos que representen en un solo modelo el evento analizado.

Debe conservar la identidad de cada elemento del circuito con el fin de generar una representación exacta del fenómeno reconociendo las fuerzas, inductancias, voltajes y cargas asociadas al mismo.

Se debe utilizar y representar con los símbolos y convenciones propias de la representación de los circuitos eléctricos.

Los diagramas esquemáticos para la representación de circuitos están compuestos generalmente por dos tipos de generadores y cuatro clases de elementos eléctricos: las resistencias, las capacitancias, las inductancias y los transformadores

SIGNIFICADOS FÍSICO Y MATEMÁTICO DE LOS ELEMENTOS, DE CIRCUITO.

Los elementos de circuito que hemos de utilizar para formar los diagramas esquemáticos son los de la teoría de los circuitos eléctricos. Estos elementos y sus significados matemáticos están tabulados en la tabla 3.1. Hay tres cantidades genéricas, (a) la caída a través de un elemento de circuito; (b) el flujo a través de, un elemento de circuito; (e) la magnitud del elemento de circuito. Debe prestarse atención al 'hecho de que la cantidad a no está restringida a la tensión eléctrica e, ni b a la corriente eléctrica i. En algunos

problemas a representará una 'fuerza f, una velocidad u, una presión p, O una velocidad de volumen U. En estos casos b representará, respectivamente, velocidad 1t, fuerza f, velocidad de volumen U, o presión p. De modo similar, la cantidad c podría ser cualquier cantidad conveniente, tal como la masa, la compliancia, la inductancia, la resistencia, etc.

El significado físico de los elementos de circuito c depende de la manera como se eligen las cantidades a y b, con la restricción de que el producto ab tiene en todos los casos la dimensión de una potencia.

Figura 1. Significado físico y matemático de los símbolos eléctricos.

La construcción de los circuitos acústicos representa un mayor grado de dificultad como consecuencia de las complicaciones que se tiene para identificar los elementos que representan cada una de las variables y aspectos que intervienen en un fenómeno acústico. Por lo general los sistemas acústicos son representados por analogías tipo impedancia.

 

La siguiente tabla relaciona las equivalencias entre las variables de los sistemas eléctricos, mecánicos y acústicos. Cuando se habla de admitancia se hace referencia a la analogía tipo movilidad de los circuitos.

Magnitud eléctrica

Magnitud mecánica Magnitud acústica

Tipo impedancia Tipo admitancia Tipo impedancia Tipo admitancia

fem Fuerza F Velocidad lineal v

Presión acústica Flujo de velocidad U

Carga q Desplazamiento x

Capacitancia CM Variación de volumen

Capacitancia C A

Inductancia

L

Masa M Conductancia C A

Inertancia

M A

Conductancia GA

Capacitancia C Capacitancia CM Admitancia Y M Resistencia RA Admitancia Y A

Impedancia Z Impedancia ZA Impedancia ZA

Corriente I Velocidad lineal V

Flujo de velocidad U

El resonador de helmholtz es uno de los ejemplos más comunes para representar este tipo de analogías.

En cada sistema, un elemento puede corresponder a uno o dos tipos de elementos eléctricos, según el tipo de analogía. El cuadro siguiente muestra esta correspondencia, haciendo la salvedad de que para el sistema mecánico solo estamos considerando el movimiento lineal, sin incluir el torsional.

Figura 2. Valores de C en elementos pasivos.

En donde:

RM=Resistencia mecanica

rm=Responsibidadmecanica

RA=Resistencia acdstica

r A=Responsibidad acustica

CM=Compliancia mecanica

C A=Compliancia acdstica

M M=Masamecanica

M A=Masaacdstica

ZM=Impedancia mecanicaenohms mecanicos MKS( Nwsegm )

Analogías mecánicas.

Los elementos de los circuitos mecánicos no necesitan ser representados siempre por medio de símbolos eléctricos, estableceremos por lo tanto un conjunto de elementos "mecánicos" para su uso como introducción a los elementos.Figura 3. Conversión de la analogía tipo movilidad a la analogía tipo impedancia y viceversa.

La impedancia mecánica es la relación compleja de la fuerza y la velocidad en un punto de un conjunto mecánico. Usaremos para ella el símbolo ZM y las unidades en ohms mecánicos MKS o Newton-segundo/metro.

Masa MM:

La masa es la cantidad física que accionada por una fuerza resulta acelerada en proporción directa con la fuerza. La unidad es el kilogramo.

Figura 4. Símbolo mecánico para la masa.

El símbolo correspondiente a la masa en la analogía tipo impedancia es la inductancia. La operación invariante para el estado estacionario es a= jωcb o f = jω M M u. En los circuitos eléctricos, la integral respecto del tiempo de la tensión aplicada a través de una inductancia da el flujo concatenado. La cantidad análoga es la cantidad de movimiento.

Figura 5. Símbolo para la masa en la analogía tipo impedancia.

COMPLIANCIA MECÁNICA CM:

Dícese que una estructura física es una compliancia mecánica CM cuando accionada por una sufre un desplazamiento en proporción directa con la fuerza. La unidad es el metro/newton. Los elementos de la compliancia tienen por lo general dos terminales aparentes.

Figura 6. El símbolo mecánico para compliancia mecánica es el resorte.

El símbolo correspondiente a la compliancia mecánica en la analogía tipo impedancia es

una capacitancia. Operación invariante para el estado estacionario es a= bjωc

o f =u

jω CM,

en los circuitos eléctricos, la integral respecto del tiempo de la corriente que fluye por un

capacitor es la carga. La cantidad análoga en este caso es el desplazamiento.Figura 7. Símbolo para la complacía mecánica para la analogía tipo impedancia.

RESISTENCIA MECÁNICA RM, Y RESPONSIBILIDAD MECÁNICA RM

Dícese que una estructura mecánica constituye una resistencia mecánica RM cuando accionada por una fuerza, se mueve con una velocidad directamente proporcional a la fuerza. La unidad es el ohm mecánico MKS.

La representación anterior para la resistencia mecánica está limitada por lo general a la resistencia viscosa. Excluyese la resistencia friccional a causa de que en ella la relación de fuerza a velocidad no es constante. Los dos terminales de un elemento resistivo pueden localizarse por lo general por simple inspección. El elemento mecánico utilizado para representar la resistencia viscosa es el amortiguador hidráulico.

Figura 8. Símbolo mecánico para la resistencia mecánica.

El símbolo correspondiente a la analogía tipo impedancia para la resistencia mecánica es el siguiente:

Figura 9.Símbolo para la resistencia mecánica en la analogía tipo impedancia

GENERADORES MECÁNICOS. Los generadores mecánicos que hemos de considerar son de dos tipos, de velocidad constante y de fuerza constante. El generador de velocidad constante se representa como un motor muy poderoso asociado con un mecanismo de manivela. Los extremos opuestos del generador tienen las velocidades u1y u2· Una de estas velocidades u1 o u2 está determinada por factores externos al generador. La diferencia entre las dos velocidades u, en cambio es una velocidad independiente de la carga conectada al generador.El generador de fuerza constante se representa aquí como un traductor mecánico (por ejemplo un altavoz de bobina móvil) en cuyo primario se mantiene una corriente eléctrica de amplitud constante.

Figura 10. Símbolo mecánico para el generador de fuerza constante.

Los símbolos utilizados en nuestras dos analogías para reemplazar al símbolo mecánico del generador de fuerza constante se dan en la siguiente figura:

Figura 11. Símbolos para el generador de velocidad constante de las analogías a) tipo movilidad, b) tipo impedancia.

Figura 12. Símbolos para el generador de fuerza constante de las analogías a) tipo movilidad, b) tipo impedancia.

Las operaciones matemáticas invariantes asociadas con estos símbolos se exponen en la figura 1. Las flechas apuntan en el sentido del flujo positivo. En este caso, la línea cortada indica una movilidad infinita y el doble círculo, una impedancia nula.

PLACAS.Palanca simple: Es evidente que una palanca es un dispositivo estrechamente análogo al transformador. La palanca, en su forma más simple, consiste en una barra sin peso que descansa sobre un punto de apoyo inmóvil, dispuesto de tal manera que al aplicar una fuerza hacia abajo en un extremo, aparece en el otro una fuerza dirigida hacia arriba.

Figura 13. Placa simple.

Figura 14. Símbolos correspondientes a la palanca simple en las analogías a) tipo movilidad, b) tipo impedancia.

Palanca flotante:

Como ejemplo de palanca flotante simple, consideremos una barra sin peso que descansa sobre un punto de apoyo que cede a la fuerza. La barra es dispuesta de tal modo que una fuerza dirigida hacia abajo aplicada a un extremo tiende a producir una fuerza dirigida hacia arriba en el otro.

Figura 15. Placa flotante.

CIRCUITOS ACÚSTICOS.

ELEMENTOS ACÚSTICOS.Los circuitos acústicos son a menudo más difíciles de dibujar que los mecánicos, a causa de que no es tan fácil identificar sus elementos, en los dispositivos acústicos, la cantidad que podemos medir más fácilmente sin modificación del dispositivo es la presión sonora. Esta medición se hace insertando un pequeño tubo sonda, hueco, en el campo sonoro, en el punto deseado. La sonda termina en una cara del diafragma de un micrófono. La otra cara del diafragma queda expuesta a la presión atmosférica. Cuando hay una diferencia de presión sobre las caras del diafragma, éste se mueve. La diferencia entre la presión atmosférica y la que existe en el campo sonoro es la presión sonora ρ.

Cavidad cerrada conectada al aire exterior por medio de un tubo de área transversalS. El empalme entre el tubo y la cavidad se produce en A.

En primer término, la presión sonora justo dentro del tubo en el punto A es la misma que hay en la cavidad justo afuera de A. Es decir, hay continuidad de presión sonora. En segundo lugar, la cantidad de aire que sale por el extremo interior del tubo en un intervalo dad de tiempo es la cantidad que entra en la cavidad en el mismo intervalo.

La masa de aire, en otras palabras, que sale del tubo en la unidad de tiempo es igual a la masa de gas por segundo que entra en la cavidad. Debido a que la presión es la misma en los dos lugares, la densidad del gas tiene que ser también la misma, por lo que se deduce

que hay continuidad de la velocidad de volumen (metro3 /segundo) en el empalme.

En esta parte, hemos de discutir los aspectos más generales de los circuitos acústicos.

MASA ACÚSTICA M A: La masa acústica es una cantidad proporcional a la masa pero que tiene las dimensiones del kilogramo/metro4. Está asociada con la masa de aire acelerada por una fuerza neta que atenúa el modo de desplazar el gas sin comprimirlo apreciablemente. El elemento acústico que se utiliza para representar la masa acústica es un tubo lleno del gas.

Tubo de longitudly sección trasversal S.

La ley física que gobierna el movimiento de una masa sobre la que actúa una fuerza es el segundo principio de Newton, esta ley puede ser expresada en términos acústicos.

f (t )S

=M M

Sd [u (t ) S ]

dtS=p (t )=

M M

S2

dU (t )dt

p (t )=M A

dU (t )dt

Dónde:p(t ): Diferencia instantánea entre las presiones en newton /m2

M A= M M /S2 = masa acústica en Kg /m4 del gas que se acelera.

U (t ): Velocidad de volumen instantánea del gas en m3/sa través de cualquier sección transversal del tubo.En el estado estacionario, con una velocidad angular ω, tenemos.

p= jω M A U

Donde p y U son cantidades eficaces complejas.

Símbolos para la masa acústica según la analogía (a) del tipo de impedancia, (b) del tipo de movilidad.

Para cualquiera de los dos símbolos correspondientes a la analogía del tipo de impedancia para la masa. Las flechas apuntan en el sentido del flujo positivo o de la caída positiva.

COMPLIANCIA ACÚSTICA C A:

La compliancia acústica es una cantidad constante que tiene la dimensión de m5/newton, la compresión sin aceleración es lo que identifica la compliancia acústica. El elemento acústico que se usa para representar la compliancia acústica es un volumen de aire.

Volumen de aire cerrado V con abertura para la entrada de variaciones de presión.

La ley física que gobierna la compresión de un volumen de aire cuando sobre él actúa una

fuerza neta se dio en la forma f (t )=( 1CM

)∫u (t)dt . Pasando a términos acústicos

f ( t )S

= 1CM

∫u (t) SS

dt Ó p ( t )= 1

CM S2∫U (t)dt

p (t )= 1C A

∫U (t)dt

Dónde:p(t ): Presión instantánea en newton /m2 que actúa en el sentido de comprimir el volumen V de aire.C A=CM S2: compliancia acústica en m5/newton del volumen de aire que es comprimido.

U (t ): Velocidad instantánea de volumen en m3/s del aire que entra al volumen que es

comprimido. La velocidad de volumen U (t ) es igual a la velocidad lineal u(t ) multiplicada por el área transversal S.En el estado estacionario con una frecuencia angular ω, tenemos:

p= UjωC A

Donde p yU se toman como cantidades eficaces complejas.

Símbolos para la compliancia acústica en las analogías (a) del tipo de impedancia, (b) del tipo

de movilidad.

En el estado estacionario satisface la ecuación anterior para los dos casos.

RESISTENCIA ACÚSTICA RA, Y RESPONSIBILIDAD ACÚSTICA r A:

La resistencia acústica RA está asociada con las pérdidas disipativas que ocurren cuando hay movimiento viscoso de cierta cantidad de gas a través de una malla fina o por un tubo capilar es una cantidad constante que tiene la dimensión del newton−segundo/m5. La unidad es el ohm acústico MKS. El elemento acústico utilizado para representar la resistencia acústica es una pantalla de malla fina.

Pantalla de malla fina que sirve como símbolo acústico para la resistencia acústica

La recíproca de la resistencia acústica es la responsabilidad acústica r A. La unidad es el

mohm acústico MKS y tiene la dimensión del m5/(newton−segundo) . La ley física que

gobierna los efectos disipativos en un sistema mecánico se dio en la forma f ( t )=RM u(t), o,

en términos de cantidades acústicas.

p (t )=RA U ( t )= 1r A

U ( t )

Dónde:p(t ): diferencia entre las presiones instantáneas en newton /m2 a través del elemento disipativo.

RA = Rm

S2 : resistencia acústica en ohm acústico, es decir, newton−segundo/m5

r A= r A S2: responsibilidad acústica en mohm acústico, es decir, m5/(newton−segundo) .

U (t ) = velocidad de volumen instantánea en m3/segundodel gas que pasa a través del área transversal de la resistencia.El símbolo correspondiente a la analogía del tipo de impedancia y el de la analogía del tipo movilidad son:

Símbolo para la responsabilidad acústica en las analogías (a) del tipo de impedancia, (b) del tipo de movilidad.

GENERADORES ACÚSTICOS: Los generadores acústicos pueden ser del tipo de velocidad de volumen constante o del tipo de presión constante. Los dos tipos de símbolos análogos para los generadores acústicos están respectivamente ilustrados en las figuras Las flechas apuntan en el sentido de la terminal positiva o del flujo positivo. Como antes, el doble círculo indica impedancia o movilidad cero y la línea cortada, impedancia o movilidad infinita.

Símbolos para el generador de presión constante en las analogías (a) del tipo de impedancia, (b) del tipo de movilidad.

SISTEMAS ROTACIONALES MECÁNICOS: Los sistemas rotacionales mecánicos se tratan del mismo modo que los sistemas mecánicos rectilíneos. Las siguientes cantidades son análogas en los dos sistemas:

TRANSDUCTORESUn transductor es un dispositivo para convertir energía de una forma a otra. En nuestro caso solo interesan los transductores electroacústicos, electromecánicos y mecanoacústicos. Cuentan con cuatro terminales, dos para cada sistema, por lo tanto es usual que se les domine cuadripolos.

TRANSDUCTOR ELECTROMECÁNICOEl transductor electromecánico es un tipo de transductor que transforma electricidad en energía mecánica, o viceversa.En los altavoces y micrófonos se emplean generalmente dos tipos de transductores electromecánicos, el electromagnético y el electrostático.

TRANSDUCTOR ELECTROMAGNÉTICO-MECÁNICO. Este tipo de transductor puede caracterizarse mediante cuatro terminales, de los cuales dos tienen tensión y corriente asociadas, mientras que los otros dos tienen velocidad y fuerza como magnitudes conmensurables. Son ejemplos familiares el altavoz y el micrófono de bobina móvil y el auricular o el micrófono de reluctancia variable.El tipo más simple de transductor de bobina móvil consiste en un conductor simple dispuesto en un campo magnético.Cuando el conductor se mueve hacia arriba con la velocidad u, aparece en él una diferencia de potencial e de tal modo que la terminal 2 es positivo (a).Si por el contrario, el alambre se halla fijo en el campo magnético y se hace pasar por el una corriente i que entra por la terminal 2 se producirá una fuerza que actúa sobre el alambre hacia arriba, en la misma dirección y sentido que los indicados previamente para la velocidad (b).

a) b)

Ecuaciones para un transductor de bobina móvil:

Dónde:

i = corriente eléctrica (Ampere)

f = fuerza de circuito abierto (Newton)

B = densidad de flujo magnético (Weber / m2 )

l = longitud efectiva en metros del conductor eléctrico.

u = velocidad (m/s)

e = tensión eléctrica de circuito abierto (Volt)

Símbolo del transductor electromagnético-mecánico

TRANSDUCTOR ELECTROSTÁTICO- MECÁNICO.Este tipo puede caracterizarse también mediante cuatro terminales, en dos de los cuales pueden medirse tensión y corriente, mientras que en los otros dos pueden medirse velocidad y fuerza.Es también muy empleado para micrófonos, aprovechando las propiedades de los materiales piezoeléctricos, tal como el cristal como en la siguiente figura:

Una fuerza aplicada uniformemente sobre la cara del cristal opuesta a la pared rígida a la que esta adherido produce un desplazamiento de dicha cara hacia la pared. Por las propiedades piezoeléctricas del cristal tal desplazamiento ocasiona una diferencia potencial entre las terminales eléctricas 1 y 2. Para pequeños desplazamientos, la diferencia de potencial es proporcional al desplazamiento. Cuando no se aplica fuerza exterior y se conecta un generador eléctrico a las terminales 1 y 2, al aplicar potencial positivo a la terminal 1, se desarrolla una fuerza interna que tiende a expandir el cristal. Para pequeños desplazamientos, la fuerza interna producida es proporcional a la carga que almacenada en el dieléctrico del cristal.

Este transductor queda descrito por:

Donde

e = tensión eléctrica de circuito abierto producida por el desplazamiento

= desplazamiento de una dimensión del dispositivo piezoeléctrico.

q =carga eléctrica almacenada en el dieléctrico del dispositivo piezoeléctrico.

f = fuerza en circuito abierto producida por la carga eléctrica.

=coeficiente de acoplamiento.

Para el caso de variaciones armónicas de una sola frecuencia, podemos utilizar las relaciones

Y convertir las ecuaciones anteriores en:

Una forma de representación de este cuadripolo es el circuito análogo de la figura anterior, en el cual el lado mecánico corresponde necesariamente a la analogía de impedancia y las flechas apuntan en la dirección de potencial positivo y flujo positivo.

El elemento CE es la capacitancia eléctrica del cristal medida a bajas frecuencias con las terminales mecánicas en circuito abierto, es decir u=0.

Una velocidad u aplicada al secundario por un generador externo produce, de acuerdo con

la relación de transformación, una corriente en el capacitor CE igual a que a su vez desarrolla un voltaje en circuito abierto.

La aplicación de una corriente i en el primario con el secundario en circuito abierto

desarrolla en la capacitancia CE un voltaje que a su vez, produce, debido a la relación de transformación, una fuerza.

Puede notarse que estas ecuaciones son iguales a las anteriores, y el circuito análogo satisface por lo tanto las relaciones básicas de un material piezoeléctrico. El elemento CM

no interviene en las comprobaciones, pero influye notablemente en el comportamiento del transductor cuando se conecta a un circuito mecánico. Representa la compliancia mecánica del cuadripolo medida con las terminales eléctricas en corto circuito para evitar que se refleje la capacitancia CE al secundario.

TRANSDUCTOR MECANOACÚSTICO. Este tipo de transductor se presenta en el punto de empalme entre las partes mecánicas y acústicas de un circuito análogo. Como es poco usual el transductor electroacústico, los circuitos acústicos generalmente son alimentados por un elemento por un elemento mecánico, como el diafragma de un altavoz. Este transductor se caracteriza también con cuatro terminales. En dos terminales puede medirse fuerza y velocidad. En los otros dos, presión y velocidad de volumen.Las ecuaciones básicas aplicables a estos transductores son:

Dónde f = fuerza

p = velocidad en newton/m2

U = velocidad de volumen en m3/s

u = velocidad en m/s

S = área en m2

Y su circuito análogo en movilidad es el siguiente:

TRANSDUCTOR ELECTROACÚSTICO.

Existen transductores electroacústicos que se emplean para convertir la energía eléctrica directamente en sonido por ionización de las moléculas, pero son ´poco empleados.

ANALOGIAS ELECTROMECANOACÚSTICAS

CUESTIONARIO

1. ¿Qué son las analogías electromecánicas y para qué sirven?2. Menciona las 4 condiciones que deben de existir para poder representar un

fenómeno sonoro en una representación esquemática.3. Dibuje los símbolos matemáticos y

físicos con su respectivo nombre.4. M

enciona

un ejemplo en el cual se representa los tipos de analogías mencionados en el tema.

5. Dibuje el diagrama de la analogía directa e inversa de la masa mecánica y acústica.6. ¿Qué es la compliancia mecánica?7. ¿Qué tipos de generadores mecánicos se deben de considerar y en que consiste cada

uno?

8. ¿Por qué Los circuitos acústicos son a menudo más difíciles de dibujar que los mecánicos?

9. ¿La masa acústica está asociada con la masa de? Y ¿Cuál es su función?10. Has un cuadro comparativo de los circuitos mecánicos y acústicos dibujando cada

uno de los símbolos correspondientes11. ¿Qué es un transductor y cuantos tipos hay?12. Menciona tres ejemplos de transductores electromecánicos y electroacústicos.