LONADOLINA, NARAVNIPARAMETERs=o.( x2+ y2+ z2) dt=o r2dtza y=f ( x) : s=o.( 1+y'2+z'2)dtVektorski produkt ab=ijka1a2a3b1b2b3Meani produkt( a,b,c)=a1a2a3b1b2b3c1c2c3PREMICAvektorski zapisr=r0+tp, t+parametrini zapis x=x0+at , y=y0+bt, z=z0+ctkanonski zapis xx0a=yy0b=zz0cEnotski vektor natangentiT(t)= r( t) r( t)Enotski vektor naglavni normaliN(t )= T(t)T(t)BinormalaB(t)=T( t)N(t)T= rr,B= r r r r,N=BTt= r ,b= rr, n=btFleksijska ukrivljenostvrtenjetangentek(t )=T s(t ), s( t)>0k( t)=r( t) r( t) r(t)3Torzijska ukrivljenostvrtenjebinormalet(t )=(r,r,r)rr FrenetoveformuleT(t)=k(t ) s( t)N(t )N( t)=k(t) s(t)T(t)B(t )=t(t) s(t)N( t)eenaukrivljenost+2=k2t2Jakobijevamatrika J=[ f1u1 f1 u2f1umf2u1 f2 u2f2um fnu1fn u2fnum]Linearizacijafunkcijef vokolici tokeu0f (u,v, w)f (u0, v0, w0)+J(u0,v0,w0)[uu0vv0ww0]Normalni vektor na ploskevN=!rurvrurv=! gradFgradF z=f ( x, y) :p=zx , q= z yN=!(p.1+p2+q2,q.1+p2+q2,1.1+p2+q2)gradF=!(F x ,F y ,Fz )PrvaosnovnaformaE=ruru=ru2,F=rurv,G=rvrv=rv2ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2Diferencial povrinedP=.EGF2dudv=.1+p2+q2dxdyP=A.EGF2dudv=D.1+p2+q2dxdyKrogelne(sferne) koordinatex=rcoscos , y=rcossin, z=rsinds2=(r cosd)2+(rd)2+dr2dV=r2cos drddKrivortne koordinatevravninidp=det Jdudv=( x, y)( u, v)Polarnekoordinater=(rcos , rsin)ds2=dr2+r2d2terdp=rdrdIntegral sparametromF(y)=abf ( x, y)dxLeibnizovopraviloF' (y)= ddyabf ( x, y) dx=ab f y dx1(y)=u( y)v( y)f ( x, y) dx1'( y)=f (v(y), y) v'(y)f ( u( y) , y) u'( y)+u(y)v(y)f ydxDvakratni integralcddyabf ( x, y)dx=abdxcdf ( x, y)dyVolumentelesa nadDDf (x, y)dpUvedbanovihspremenljivknovi spremenljivki u, v:x=x( u, v) , y=y( u, v)det J=( x, y) (u, v)= x u x v y u yu0dp=(x, y)( u, v)=det JdudvPloinaravninskihlikovp( D)=DdxdyProstorninateles z=f (x, y)V=Df ( x, y) dxdyMasaploeDm=Dj( x, y) dxdyStatini moment ploeDgledenapremicoMp=Dd(x, y) j( x, y)dxdyRazdaljadopremiceax+by+c=0d( x, y)=ax+by+c.a2+b2Statinamomentagledena koordinatni osiMx=Dyj(x, y) dxdy , My=Dxj( x, y) dxdyVztrajnostni moment ploeDgledenapremicoIp=Dd2( x, y)j(x, y) dxdyVztrajnostni moment gledenaosi x,yIx=Dy2p(x, y) dxdy , Iy=Dx2j(x, y) dxdyPolarni vztrajnostnimoment okoli izhodiaI0=D( x2+y2)j( x, y) dxdyTeie(masnosredie) ploe T(x, y)x=Mym =Dxj(x, y) dxdyDj( x, y)dxdyy=Mxm =Dyj( x, y) dxdyDj( x, y) dxdyTrikratni integral funkcijeI=abdx g1( x)g2( x)dy h1(x, y)h2(x, y)f ( x, y, z) dzTrojni integral funkcijeGf ( x, y, z)dxdydzTransformacijatrojnegaintegralax=x(u, v, w), y=y(u, v, w) , z=z(u, v, w)dV=det Jdudvdw=(x, y, z)(u, v, w)dudvdwUporabatrojnegaintegralaProstorninatelesaGV=GdxdydzMasatelesa Gm=Gj(x, y, z)dxdydzTeie(masnosredie) telesaGjetoka T( x, y, z)x= 1mGj( x,y, z) xdxdydzy=1mGj( x,y, z) ydxdydzz= 1mGj( x,y, z) zdxdydzVztrajnostni momentiglede nakoordinatneosiIz=G(x2+y2) j( x, y, z) dxdydzIy=G(z2+x2) j( x, y, z) dxdydzIx=G(y2+z2) j( x, y, z) dxdydzSteinerjev izrekIp=Ip+mD2Gradient skalarnegapolja u( x, y, z) jevektorsko poljegrad ugradu=( ux, u y, uz )=uxi+ u yj+ uz kDivergenca vektorskega poljaUjeskalarnopolje divUdivU= X x, Y y , ZzRotor vektorskegapoljaUjevektorsko polje rotUrotU=( Zy Yz ,Xz Z x , Yx Xy)Hamiltonovdiferencialni operator nabla:u=( x, y , z)u=( u x, u y, uz)=gradUU=( x, y, z) (X, Y,Z)= X x+ Y y+ Z z= divUU=ijk xy zX Y Z=(Z y Yz , Xz Z x , Y x X y )=rotUgradu=u,divU=U, rotU=UUpotencialnoali konzervativno:u,U=gradu, uskalarni potencialUUsolenoidalnoali vrtinno: divU=0Unimaizvorovter ponorov , jesolenoidalno,kadar V,U=rotV;Vvektorski potencial poljaUHarmoninoali Laplacovopolje: divU=0rotU=0 ;Laplaceovadiferencialnaenaba Au=0A== 2 x2+ 2 y2+ 2z2, Au=2ux2+2u y2+2u z2Smerniodvod: u v=vgradu=projv( gradu)Nivojskaploskev :u( x, y, z)=C. Nivojnica: u( x, y)=CKrivuljniintegral prve vrstepoljauvzdolkrivuljeCC u(r)ds=ou( r( t) )r (t )dtCu( x, y, z)ds=ou( x( t), y(t ), z(t)). x( t)2+ y( t)2+ z( t)2dtKrivuljni integraldruge vrstepoljaUCudr=oU(r(t))r (t )dtProjekcijak. integralaUna koordinatneosiIx=CX( x, y, z)dx=oX (x( t), y(t ), z( t)) x(t) dtGreenova formula:krivulja Cenostavna,gladka , sklenjena, ravninskaC+ X(x, y) dx+Y( x,y)dy=D( Yx Xy )dxdyKompleksnatevilaz=x+iy ; x=Rez , y=ImzInverznielementz1=ai ba2+b2Lastnostia=z+z2=Re(z)b=zz2i =Im(z)zz=(a+ib)(aib)=a2+b21z= zzz=aiba2+b2z=.z z=.x2+y2Polarnizapis kompleksnegatevilar=.x2+y2, tan=yx , x0z=r(cos+i sin)r=z=mod(z), =arg(z )Moivreovi formulizn=rn( cosn+i sinn)n.z=n.r[cos(n+k 2nn )+i sin(n+k 2nn )]k=0,1,2, ..., n1Eulerjevi formuliei=cos+isinei =cos i sinEksponentna vrstaez=1+ z1!+z22!+z33!+...KompleksnefunkcijeLinearnafunkcijao=az+ba, bkompleksni konstantia=a1+i a2=j(cos+i sin)b=b1+i b2raztegsfaktorjemj,zasuk zakot Analitinefunkcijef '(z)=ux+ivxf '(z)=vyivxCauchyRiemannovi parcialni diferencialni enabiux=vy ,uy=vxRe z inIm zanalitinefunkcije , staharmonini funkcijiAu=2ux2+2uy2=0 , Av=2vx2+2vy2=0Polarni zapisCauchyRiemannovihparcialnihdif. enabrur=v , u=rvrPolarnizapisLaplaceovedif. enabe2ur2+1r2 2u2+1r ur=0Eksponentnafunkcijaexpz=ez=ex+iy=ex(cos y+i siny)az=ezlna, a>0Kotne in hiperbolinefunkcijecos=ei +ei 2, sin=eiei2icosz=cos( x+iy)=cos xcoshyi sinxsinhysinz=sin(x+iy)=sinxcosh y+i cos xsinh ysinhz=ezez2coshz=ez+ez2LogaritemskafunkcijaLnz=lnz+i, 02nCiklometrinefunkcijeo=arcsin z=i ln(iz+.1z2)Integraliof ( t)dt=ou(t)dt+iov( t)dtKonturni integraliC f (z)dz=0 zaanalitinefunkcijeC f ( z)dzzz0=0 , z0zunaj obmojaC2nf (z0) , znotrajobmojaCC+ f (z)(zz0)n=2ni(n1)!f(n1), zD, C=DFunkcijske vrsteexpz=ez=1+z1!+z22!+z33!+..., zCcos z=1z22!+z44!z66!+...,zCsinz=zz33!+z55!z77!+..., zCcoshz=1+z22!+z44!+z66!+..., zCsinhz=z+z33 !+z55!+z77!+..., zC( 1+z)m=1+(m1 )z+(m2 )z2+(m3 )z3Ln(1+z)=z z22 +z33 z44+...,z1(1+x)12=1+12 x112cdot4 x2+113246 x311352468 x4(1+x)12=112 x+1324 x2135246 x311+x2=1x2+x4x6+...arctanx=xx23+x55x77+...Osnovni integralixrdx= xr+1r+1 , rr1x1dx=dxx =lnx+Cexdx=ex+Cax=axlna+Ccosxdx=sinx+csinxdx=cosx+Cdxcos2x=tanx+C(1+tan2x)dx=tan x+Cdxsin2x=cot x+C(1+cot2x)dx=cot x+Ccoshxdx=sinh x+Csinhxdx=coshx+Cdxcosh2x=tanhx+Cdxsinh2x=cothx+Cdx1+x2 dx=arctanx+C=arccot x+Cdx.1x2dx=arcsinx+C=arccos x+Cdx.x2+a dx=lnx+.x2+a+C.x21dx=12 x.x2112 ln(x+.x21)+CFormuli OstrogradskegaP(x)( xx1)o( xx2)...( xxn)j dx=R(x)(xx1)o1...( xxn)(j1 )+S( x)(xx1)( xx2)...(xxn)dxR, Sneznana polinomaenostopnjonijakot ustreznapolinomavimenovalcuP( x).ax2+bx+c dx=Q( x).ax2+bx+c+C.ax2+bx+c dxQneznani polinom, enostopnjomanjiod P, CneznanakonstantaKOTNEFUNKCIJEsin(x!y)=sinxcos y!cosxsinycos(x!y)=cos xcosysinxsinycos2x=1+cos2x2sin2x=1cos2x2sin4x=3812 cos2x+18 cos4xcos4x=38+12 cos2x+18 cos4x