Analiza i Sinteza Podataka

7/12/2019 Analiza i Sinteza Podataka

http://slidepdf.com/reader/full/analiza-i-sinteza-podataka 1/87

ANALIZA I SINTEZA PODATAKA



ANALIZA I SINTEZA PODATAKA 39

• 2.1. FREKVENCIJE I KUMULATIVNE FREKVENCIJE 39

• 2.1.1. Definicije 39

• 2.1.2. Formalizacija definicija 40

• 2.2. KLASIFIKACIJA STATISTIČKIH VARIJABLI 44

• 2.2.1. Kvalitativne varijable 44

• 2.2.1.1. Kvalitativna nominalna varijabla 44

• 2.2.1.2. Kvalitativna ordinalna varijabla 45• 2.2.2. Kvantitativne varijable 45

• 2.2.2.1. Kvantitativna prekidna varijabla 45

• 2.2.2.2. Kvantitativna neprekidna varijabla 45• 2.3. GRAFIČKI PRIKAZI PREKIDNE I NEPREKIDNE VARIJABLE 45



• Pročitajte sljedeći tekst:

• “Prosječan statističar je oženjen sa 1,75 žena koje čine sve što jemoguće da ga udalje od kuće 2,25 noći u sedmici sa samo 50%uspjeha.

• Nagib njegovog čela je 2%, on posjeduje 5/8 jednog računa u bancii ima 3,06 djece koji ga napola izluđuju; 1,65 od njegove djece sudječaci.

• Subotom uveče on angažuje 1/3 baby-sitter da čuva njegovo 3,06djece, u slučaju da 5/8 njegove punice koja živi sa njima u kući ne

pristane da čuva djecu za polovinu cijene.”

• T.H.Wonnacott, R.J.Wonnacott: Statistique, Economica, 3eme

edition, Paris, str.28.



Diskusija o tekstu

• Na koji način je prezentovana informacija?

• Da li biste vi koristili ovakav način

prezentacije?

• Kako biste vi komentarisali ovaj tekst?



N

f p i

i =

2.1. Frekvencije i kumulativne

frekvencije• Definicije

• Absolutna frekvencija je broj (učestalost)pojavljivanja jednog modaliteta i njen simbol je fi

• Relativna frekvencija je jednaka absolutnojfrekvenciji modaliteta podijeljenoj sa ukupnom

frekvencijom:



• Absolutna kumulativna frekvencija Sj(može biti rastuća: ≤ i opadajuća: > )

• Relativna kumulativna frekvencija Fj(može biti rastuća: ≤ i opadajuća: > )



• Kumulativna rastuća absolutna frekvencija

jednog modaliteta je jednaka zbirufrekvencija modaliteta za koje varijabla

ima vrijednost manju ili jednaku od togmodaliteta.

• Kumulativna opadajuća absolutnafrekvencija jednog modaliteta je jednaka

zbiru frekvencija modaliteta za kojevarijabla ima vrijednost striktno veću od

tog modaliteta.



• Kumulativna rastuća relativna frekvencija

jednog modaliteta je jednaka proporcijielemenata za koje varijabla ima vrijednost

manju ili jednaku od tog modaliteta.

• Kumulativna opadajuća relativnafrekvencija jednog modaliteta je jednaka

proporciji modaliteta za koje varijabla imavrijednost striktno veću od tog modaliteta.



• Prema definiciji zbir kumulativne rastućerelativne frekvencije jednog modaliteta ikumulativne opadajuće relativnefrekvencije istog modaliteta je jednak jedinici (ili 100%).



N f f f f x X S

f f f x X S

f f x X S

f x X S

k jk

j j

=++++=≤

+++=≤

+=≤

==

......)(

................

...)(................

)(

)(

21

21

212

11

• Kumulativnu distribuciju absolutnih

frekvencija na osnovu vrijednosti diskretnevarijable formiramo na slijedeći način:



)()(S k,1,2,..., j ,)(1

j j

j

i

i j x X f x f xS ≤===

∑=

• j-ti član kumulativne distribucije možemo

napisati u obliku:



j

max j

max jmin

min j

x ),()(

x,

xx ,)(0

x, 0

)(

<≤

>

≤≤≤≤

<

=

i ji

j j

x xS xS

x N

x N xS

x

xS

• Osobine kumulativne distribucije s

absolutnim frekvencijama su:



)()(F k,1,2,..., j ,)(1

j j

j

i

i j x X p x p x F ≤===

∑=

• j-ti član kumulativne distribucije relativnih

frekvencija možemo napisati u obliku:



j

max j

max jmin

min j

x ),()(

x , 1

xx ,1)(0

x, 0

)(

<≤

>

≤≤≤≤

<

=

i ji

j j

x x F x F

x

x x F

x

x F

• Osobine rastuće kumulativne distribucije

sa relativnim frekvencijama su:



• Objašnjenje vrijednosti kumulativne

distribucije frekvencija proizilazi iz načinanjenog formiranja.

• S(x j) predstavlja broj observacijaposmatranog skupa čija je vrijednostvarijable jednaka ili manja od x j.

• F(x j) pokazuje koja je proporcija elemenataposmatranog skupa čija je vrijednost

varijable jednaka ili manja od x j.



• Ako je data distribucija frekvencija saintervalima

S(xj) ili (Sj) predstavlja broji

F(xj) ili Fj proporciju

elemenata sa vrijednošću varijable koja je jednaka ili manja od gornje granice j-togintervala.



Ocjena x j Frekvencije f j

6 47 8

8 7

9 6

10 9

Ukupno 34

Statistička distribucija frekvencija



Ocjena

xj

Frekvenci

je fj S j+ S j- pj Fj+ Fj -

6 4 4 30 0,118 0,118 0,882

7 8 12 22 0,235 0,353 0,647

8 7 19 15 0,206 0,559 0,441

9 6 25 9 0,176 0,735 0,264

10 9 34 0 0,265 1 0,000

Ukupno34 1,000



Kumulativne rastuće i opadajuće apsolutne

frekvencije

0

5

10

15

20

2530

35

6 7 8 9 10

Ocjene

A p s o l u t n e

f r e k v e n c i j e

Sj+ Sj-



Kumulativne rastuće i opadajuće relativne

frekvencije

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

6 7 8 9 10

Ocjene

R e

l a t i v n e f r e k v e n c i j

e

Fj+ Fj -

Grafički prikaz prekidne statističke



D i a g ra m s a s t u p c im a

x

f i l i p

Grafički prikaz prekidne statističkevarijable



F(x)

Kumulativna kriva prekidne varijable

x

Grafički prikaz neprekidne statističke



Histogram

x

f / a i l i p / a

Grafički prikaz neprekidne statističkevarijable

• s u a u ser e n erva no grup san



s u a u ser e n erva no grup sanpodataka sa jednakom amplitudom visina

pravougaonika koji čine histogram jeproporcionalna frekvenciji svakogintervala.

• Za seriju intervalno grupisanih podatakasa različitom amplitudom svakog intervalapotrebno je izračunati frekvenciju po

jedinici amplitude i u tom slučaju površinasvakog pravougaonika je proporcionalna

frekvenciji intervala.



Kumulativna kriva

x

F

u %



Pitanja

1. Definišite absolutnu frekvenciju.

2. Definišite relativnu frekvenciju.

3. Definišite rastuću kumulativnu frekvenciju.4. Formalizirajte distribuciju rastuće kumulativne

frekvencije.

5. Zbog čega koristimo sintetizirane podatke?

6. Šta predstavlja izraz F(x j)?

7. Objasnite izraz

N

f p i

i =



Zadatak

• Odaberite primjer iz vašeg okruženja iprezentujte ga:

– na nerazumljiv način – na način koji omogućava razumijevanje informacije

koju prezentirate

• Možete raditi u grupama i svaki putkomentarisati prezentaciju druge grupe.

• Za pripremu primjera imate 3 minute.• Za prezentaciju svaka grupa ima 2 minute.

• Zajednički komentar i diskusije 3 minute.

2.4. MJERE SREDNJE VRIJEDNOSTI ILI MJERE CENTRALNE



TENDENCIJE 472.4.1. Aritmetička sredina 48

2.4.1.1. Jednostavna aritmetička sredina 482.4.1.2. Ponderisana aritmetička sredina 492.4.1.3. Osobine aritmetičke sredine 502.4.2. Geometrijska sredina 532.4.3. Harmonijska sredina 542.4.4. Kvadratna i kubna sredina 552.4.5. Mod ili centar aktivnosti 562.4.6. Medijana ili centar pozicije 582.4.6.1. Određivanje medijane u uređenoj seriji 582.4.6.2. Određivanje medijane za statističku distribuciju frekvencija 592.4.6.3. Medijana i kumulativna frekvencija 602.4.6.4. Karakteristike medijane 622.4.7. Kvantili 62

2.4.7.1. Određivanje kvantila u uređenoj seriji 622.4.7.2. Određivanje kvantila u intervalno grupisanoj seriji 632.4.7.3. Kvartili 632.4.7.4. Decili 65

2.4.6.5. Centili 65

2 4 Mjere centralne tendencije ili



2.4. Mjere centralne tendencije ilisrednje vrijednosti

• Potpune : Aritmetička sredina,geometrijska sredina, harmonijskasredina, kvadratna sredina, kubna sredina.

• Pozicione: mod, medijana, kvantili (kvartili,decili, centili).



3

• Aritmetička sredina se naziva i centar gravitacije, centar koji predstavlja

prosječnu srednju vrijednost posmatraneserije.

Aritmetička sredina neuređene



3

)......(11

21

1

N

N

i

i x x x N x N x ++== ∑=

Aritmetička sredina neuređenestatističke serije

• Jednostavna – prosta aritmetička sredina

• {xi ; i=1,....,N} je jednaka

Aritmetička sredina uređene-rangirane



Aritmetička sredina uređene rangiranestatističke serije

• gdje (i) predstavlja rang observacije je jednaka:

{x(i) ; (i)=1,....,N}

)......(11 )()2()1(

1)(

)( N

N

i

i x x x N

x N

x ++== ∑=

• Aritmetička sredina statističke distribucije



J1,2,...., j ,; = j j f x

N x f x f x f

N

x f x J J

j j

J

j )......( 22111 ++=Σ

= =

• Aritmetička sredina statističke distribucijefrekvencija (grupisane statističke serije)Ponderisana aritmetička sredina

• Aritmetička sredina grupisane statističke



1 i

N

f

p jegdje

1

j

j1

∑

∑

=

=

=

== J

j

j

J

j j j

p

x p x

• Aritmetička sredina grupisane statističkeserije sa relativnim frekvencijama je jednaka:

Aritmetička sredina intervalno grupisane



• Aritmetička sredina intervalno grupisane

statističke serije

• gdje xc predstavlja centar intervala iizračunava se pomoću sljedećeg izraza:

N x f x f x f

N

x f

x cJ J cc

cj j

J

j )......( 22111 ++=

Σ

= =

2

1 iic

x x x += −



• Osobine aritmetičke ćete detaljno pročitatiu knjizi:R.Somun-Kapetanović (2008):Statistika u ekonomiji i menadžmentu,

Ekonomski fakultet Sarajevo, strane 49 i50.

Zbir odst panja i međ modaliteta i



3

( ) 01 =−∑=

N

ii x x ( ) 01 =−∑=

J

j j j x x f

ili

( ) 01

1

=−∑=

N

i

i x x

N

• Zbir odstupanja između modaliteta i

njihove aritmetičke sredine je jednaka nuli.

• Aritmetička sredina odstupanja izmeđumodaliteta i njihove aritmetičke sredine je

jednaka nuli.



• !!!!! Provjerite za:

( ) 011

=−=−⋅=− ∑∑==

x N x N x N N N x x x

N

i

i

N

i

i

( ) 01

=−∑=

J

j

j j x x f

Osobina agregiranja aritmetičke



g g jsredine

3

21

2211

21

2211

f f

x f x f

N N

x N x N x

+

+=

+

+=

1 x2 x

N1,

N2,

N, x

Aritmetička sredina «zbira» statističkih



varijabli

• Ako je Z=X+Y,

aritmetička sredina varijable Z je jednaka:

y x z +=

• Aritmetička sredina linearne kombinacije



t et č a s ed a ea e o b ac jestatističkih varijabli

Y=aX+b

je jednaka:

3

b xa y +⋅=

Primjena



3

x2y

2

⋅=

⋅= X Y

5xy

5

+=

+= X Y

5x2y

52

+⋅=

+⋅= X Y

Primjena

2 4 2 Geometrijska sredina



2.4.2.Geometrijska sredina

• Geometrijska sredina za seriju

negrupisanih podataka je jednaka :

0 ,.... 121 >=⋅⋅⋅= ∏=

i

N

N

ii

N

N x x x x xG

• Logaritamski oblik ove funkcije je



• Logaritamski oblik ove funkcije je

praktičniji za primjenu:

• Logaritam geometrijske sredinevarijable X je jednak aritmetičkojsredini logaritama njenih vrijednosti.

∑==

N

i

i x N G1log

1log

• Geometrijska sredina za statističku



∑∑ ====

J

j

j j

J

j

j f x f N

G11

N ,log1log

∑∏ ==

==⋅⋅⋅=J

1 j j

121

f N ,....21 N

J

j

f

j

N f

J

f f j J x x x xG

jdistribuciju frekvencija je jednaka:

• Logaritamski oblik ponderisanegeometrijske sredine je:



• Geometrijska sredina se najčešće primjenjuje uslučajevima kada se pojave ponašaju po geometrijskojprogresiji i za izračunavanje prosječnih pokazatelja

porasta i razvoja u dinamičkoj analizi pojava.

• Geometrijska sredina je manja od aritmetičke sredine za

istu seriju. Ove dvije sredine su jednake samo u slučajukada su sve vrijednosti serije međusobno jednake.

• Za izračunavanje geometrijske sredine potrebno je dasvi podaci u seriji budu pozitivni.

2 4 3 Harmonijska sredina



2.4.3.Harmonijska sredina

• Harmonijska sredina se definiše kaorecipročna vrijednost aritmetičke sredinerecipročnih vrijednosti varijable.

• Harmonijska sredina za neuređenu seriju



je jednaka:

0x,11

...1

...11 i

121

≠=

+++++

=

∑=

N

i i N i x

N

x x x x

N H

Harmonijska sredina za statističkudi ib ij f k ij



J

J

i

i

J i

J

j j

j

J

j

j

x

f

x

f

x

f

x

f f f f f

x

f

f

H

+++++

+++++==

∑

∑

=

=

......

......

2

2

1

1

21

1

1

distribuciju frekvencija

• Ponderisana sredina



• Primjenjuje se u slučajevima kada su originalni

podaci izraženi u vidu recipročnih veličina.

• Recipročne veličine se kreću u obrnutom pravcuod kretanja pojave koju izražavaju.

• Produktivnost rada je tipičan primjer primjeneove sredine.

• Produktivnost rada: veća proizvodnja uz manjiutrošak rada.

2.4.4.Kvadratna i kubna sredina



2.4.4.Kvadratna i kubna sredina

Kvadratna sredina Kubna sredina

31

3

3 N

x

x

N

ii

∑==

N

x x

N

ii

∑== 1

2

2



ii

ii

i

x x x xG H x

x xG H x

x

maxmin

maxmin

0Za

32 <<<<<<

<<<<

>

Mod ili modus Mo



• Mod je modalitet varijable koji se najčešćepojavljuje u analiziranoj seriji.

• Mod je modalitet varijable koji ima najveću

frekvenciju u analiziranoj seriji.

Definicija i određivanje modalne klase uinter alno gr pisanoj distrib ciji



intervalno grupisanoj distribuciji

• To je klasa u kojoj je odnos :

frekvencija prema amplitudi najveći.

• Modalna klasa je klasa u kojoj je gustoćaposmatranja najveća.

• Tabela 11. Starosna struktura stanovništvaF d ij BiH 2007 di i



Federacije BiH u 2007 godini:Prave (precizne) granice intervala

Starosna struktura

u godinamau

Broj stanovnika

0-14,5 419 915

14,5-64,5 1 580 494

64,5 i više 327 950Ukupno 2 328 359

Primjer 5. Određivanje moda

• Tabela 14 Starosna struktura stanovništva Federacije



Starosna

struktura

Amplituda Broj

stanovnika

Gustoća

stanovnika

0-14,5 15 419 915 27994

14,5-64,5 50 1 580 494 31610

64,5 i više 26 327 950 12613

Ukupno - 2 328 359 -

• Tabela 14. Starosna struktura stanovništva Federacije

BiH u 2007 godini

Modalna klasa je klasa od 14, do 64,5

• U slučaju intervalno grupisanih distribucijalij d đi j d l kl d



( ) ( )3212

12

f f f f

f f a x M Mo Moo

−+−

−⋅+=

poslije određivanja modalne klase modmožemo izračunati linearnominterpolacijom korištenjem slijedeće

formule:



• Gdje je :

– xMo lijeva granica modalnog intervala, – aMo amplituda modalnog intervala

– f 1 frekvencija prethodnog intervala, – f 2 frekvencija modalnog intervala,

– f 3

frekvencija narednog intervala.

• Relativne frekvencije: formula je analogna



• Relativne frekvencije: formula je analogna

prethodnoj ali koristimo pj.

• Aproksimativna vrijednost moda se možeutvrditi korištenjem slijedećeg izraza:

Mo≈3Me-2

u unimodalnim i nesimetričnimdistribucijama.

Medijana: centar pozicije



• Poziciona srednja vrijednost

• Medijana je vrijednost obilježja koja u

seriji uređenoj po veličini (rastućem iliopadajućem redosljedu) zauzima

centralnu poziciju (rang) i dijeli serijuna dva jednaka dijela.

• Njena teorijska kumulativna frekvencija je50%



50%.

• Dakle teorijski 50% podataka imavrijednost manju ili jednaku medijani ipreostala polovina podataka vrijednosti

veće od medijane.

• Za izračunavanje medijane nisu bitnevrijednosti podataka nego njihov rang.

Formalizacija:



( ) N i x i ,.....,1)( ; =• U uređenoj seriji

medijana se računa na slijedeći način:



2

broj paran N jeako

brojneparan N jeako

122

2

1

+

+

+

=

=

N N

N

x x

Me

x Me

Određivanje medijane u uređenojstatističkoj seriji



statističkoj serijiBroj podataka neparan

• Uređena statistička serija od 11 podataka

24 28 30 31 34 38 39 43 44 48 50Podaci

x(i)

Rang (i) : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Medijana je 38

Broj podataka paran



• U uređenoj seriji veličine 10 :

Rang (i) : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Medijana je 36

24 28 30 31 34 38 39 43 44 48Podaci :

x(i)

2

383436

+=

• Za distribuciju frekvencija grupisanu uklase medijana se određuje linearnom



Me

Me

Me Me

f

S N

a xMe1

2−−

⋅+=

klase medijana se određuje linearnominterpolacijom korištenjem slijedećeformule:



• Gdje je: – x

Me

lijeva granica medijanskog intervala,

– aMe amplituda (širina) medijanskog intervala,

– f Me frekvencija medijanskog intervala,

– SMe-1 kumulativna frekvencijapredmedijanskog intervala,

– N zbir svih frekvencija.

• Formula u kojoj koristimo kumulativnerelativne frekvencije:



Me

Me Me Me

Me

Me Me Me

p

F a x

p

F Me F a x Me

1

1

50,0

)(

−

−

−⋅+=

−⋅+=

relativne frekvencije:



• Gdje je: – xMe lijeva granica medijanskog intervala,

– lMe širina medijanskog intervala – FMe teorijska kumulativna relativnafrekvencija medijane,

– FMe-1 kumulativna relativna frekvencijapremedijanskog intervala,

– pMe relativna frekvencija medijanskogintervala.

Kvantili



• U uređenoj seriji {x(i)} kvantil reda p koji

označavamo sa xp je jednak vrijednostivarijable za koju postoji određena

proporcija p observacija koje su manje ili jednake xp i komplementarna proporcija (1-p) observacija koje su veće od x

p

*



10)1()( i )(

<< −>⋅≤ p

p N x F p N x F p p

10

)1()(S i )( *

<<

−>⋅≤

p

p N x p N xS p p

• Ili u apsolutnim kumulativnim frekvencijama

Određivanje kvantila u uređenoj seriji



a) Ako u uređenoj seriji postoji vrijednost xjza koju je

• uz pretpostavku da je S=0 ako je j=1.

j

j j

x

S p N S

=

<⋅<−

p

1

x jetada

,

b) Ako u uređenoj seriji postoji vrijednost x jtakva da Sj=Np tada je vrijednost kvantila



j p j j

reda p jednaka

2

1++=

j j

p

x x

x

• Određivanje kvantila u intervalnogrupisanoj seriji



q

q

qq p f

S Np

a x x1−−

⋅+=

g p j j

• Poslije određivanja kvantilne klase kvantileodređujemo korištenjem sljedeće relacije:



• Gdje je: – xq donja granica kvantilnog intervala

– aq amplituda kvantilnog intervala – Sq-1 kumulativna frekvencija predkvantilnog

intervala – f q frekvencija kvantilnog intervala

• Formula sa kumulativnim relativnimfrekvencijama:



q

q p

qq p p

F x F

a x x1)( −−

⋅+=

Kvartili



• Kvartili se označavaju sa Q1, Q2, Q3 i

predstavljaju kvantile reda p=1/4, p=1/2 ip=3/4 ili reda 25%, 50% et 75%.

• Kvartili su vrijednosti varijable koji

distribuciju uređenu po veličini dijele na 4 jednaka dijela.



• Tako je u uređenoj seriji prvi kvartil Q1 jednak vrijednosti varijable od koje 25%

podataka ima jednaku ili manju vrijednost,a 75% podataka ima veću vrijednost.

• Dakle 25% podataka (vrijednosti varijable)prethode Q1 i 75% podataka se nalazeposlije Q1.

• Određivanje kvartila u intervalnogrupisanoj distribuciji



1

1

11

1

1 4Q

Q

QQ

f

S N

a xQ−−

⋅+=



• Gdje je: – xQ1 donja granica kvartilnog intervala

– aQ1 širina kvartilnog intervala

– SQ1-1 kumulativna absolutna frekvencija

prekvartilnog intervala – f Q1 absolutna frekvencija kvartilnog intrevala

– N proj podataka u seriji



1

1

11

1

1

11

1

111

25,0

)(

Q

QQQ

Q

QQQ

p

F a x

p

F Q F a xQ

−

−

−⋅+=

−⋅+=



• Gdje je: – xQ1 donja granica kvartilnog intervala

– aQ1

širina kvartilnog intervala

– F(Q1) kumulativna relativna teorijskafrekvencija Q1

– FQ1-1 kumulativna relativna frekvencijapredkvartilnog intervala

– pQ1 relativna frekvencija kvartilnog intervala – N broj podataka u seriji

• Određivanje trećeg kvartila u intervalnogrupisanoj distribuciji



3

3

33

1

3 4

3

Q

Q

QQ

f

S N

a xQ−−

⋅+=

• Ili praktičnije koristeći relativnekumulativne frekvencije:



3

3

33

3

3

33

1

133

75,0

)(

Q

QQQ

Q

QQQ

p

F a x

p

F Q F a xQ

−

−

−⋅+=

−⋅+=

Decili



• Decili se označavaju sa D1, D2, ..D9 i

predstavljaju kvantile reda 10%, 20%,...,90%. Ima ih devet i dijele uređenu

statističku seriju na 10 jednakih dijelova.• Tako u uređenoj seriji, 20% observacija

prethodi D2 et 80% observacija se nalaziposlije D2.

Centili



• Centili se označavaju sa C1, C2, ..C95,

C99 i predstavljaju kvantile reda 1%,2%,..,95%,.. .,99%.

• Ima ih dakle 99 i dijele uređenu statističkuseriju na 100 jednakih dijelova.

• U uređenoj seriji, 1% podataka prethodiC1 i 99% podataka slijedi poslije C1



Zaključak

Analiza i Sinteza Podataka

Documents

Transcript of Analiza i Sinteza Podataka