Analiza e thjeshte e regresionit

Ligjërata e 10

Regresioni linear i thjeshtë II

Analiza Statistikore

Qëllimet e mësimit

Në këtë ligjëratë ju do të mësoni:

Si të përdorni analizën e regresioninit për të parashikuar vlerën e e variablës së varur bazuar në variablën e pavarur.

Kuptimin e koefiecentëve të regresionit b0 dhe b1

Të konkludoni rreth koeficientit të pjerrësisë dhe koeficientit të korrelacionit

Se si t’i lexoni dhe interpretoni rezultatet e nxjerra përmes Excel-it.

Korrelacioni dhe Regresioni

• Skater diagrami mund të përdoret për të përshkruar raportet në mes të dy variablave

• Analiza e regresionit përdoret për të përshkruar raportet në mes të dy variablave

• Analiza e korrelacionit përdoret për të matur fortësinë e lidhjeve në mes të dy variablave. – Korrelacioni ka të bëjë vetëm me fortësinë e lidhjeve

në mes të dy variablave

– Nuk tregon shkaqet e lidhjes në mes të variablave

– Skater diagrami është mësuar në vitin e parë

– Korrelacioni gjithashtu është mësuar në vitin e parë.

Hyrje në analizën e regresionit

• Analiza e regresionit përdoret për të :

– Parashikuar vlerën e variablës së varur të bazuar në vlerën e së paku një variable të pavarur.

– Shpjegon efektet e ndryshimit të variablës së pavarur në variablën e varur.

Variabla e varur (Y) : variabla që dëshirojmë ta vlerësojmë ose ta shpjegojmë.

Variabla e pavarur (X): variabla e përdorur për të shpjeguar variablën e varur.

Modeli i regresionit të thjeshtë linear

Vetëm një variabël e pavarur X

Marëdhëniet në mes të X dhe Y përshkruhen përmes funksionit linear.

Ndryshimet në Y supozohet se shkaktohen nga ndryshimet në X

Llojet e raporteve

Y

X

Y

X

Y

Y

X

X

Raporte lineare Raporte jolineare

Llojet e raporteve

Y

X

Y

X

Y

Y

X

X

Lidhje të forta Lidhje të dobëta

(vazhdim

Llojet e raporteve

Y

X

Y

X

Nuk ka lidhje fare

(vazhdim)

Modeli i regresionit të thjeshtë linear ( në populacion)

ii10i εXββY

Komponenta lineare

Ndërprerja në

boshtin Y, në

populacion

Koeficienti i

pjerrësisë së

populacionit

Gabimi i

rastësishëm Variabla e

varur

Variabla e

pavarur

Komponenta e

gabimit të rastësishëm

Modeli i regresioni të thjeshtë linear (vazhdim)

Gabimi i

rastësishëm për

këtë vlerë të Xi

Y

X

Vlerat e

vrojtuara të Y

për Xi

Vlerat e

projektuara të Y

për Xi

ii10i εXββY

Xi

Pjerrësia = β1

Ndërprerja = β0

εi

Ekuacioni i Regresionit të thjesht linear (Vija e parashikuar-vlerësuar)

i10i XbbY

Ekuacioni i regresionit të thjeshtë linear siguron

vlerësimin e vijës së regresionit të popullimit

Vlerësimi i

prerjes së

regresionit

Vlerësimi i

pjerrësisë së

regresionit

Vlera e

vlerësuar (ose

e parashikuar )

e Y për

vrojtimin i Vlera e X për

vrojtimin i

Gabimi i rastësishëm individual ei ka mesatare zero

Metoda e katrorëve më të vegjël

• b0 dhe b1 sigurohen përmes së gjetjeve të vlerave

b0 dhe b1 që minimizojnë shumën e devijimeve të

ngritura në katrorë në mes të Y dhe

2

i10i

2

ii ))Xb(b(Ymin)Y(Ymin

Y

Gjetja e parametrave përmes ekuacionit të katrorëve më të vegjël.

• Koeficientët b0 dhe b1 , dhe rezultatet e tjera të regresionit në këtë ligjëratë do të gjinden përmes përdorimit të Excel-it

Formulat janë të prezantuara në ligjeratën e

regresionit në vitin e parë të studimeve dhe mund

të gjinden edhe në libër të Statistikës (Viti i Parë).

Interpretimi i pjerrësisë dhe ndërprerjes(……

• b0 është vlera mesatare e vlerësuar e Y kur vlera e X është zero

• b1 është ndryshimi mesatar i vlerësuar i vlerës së Y si rezultat i ndryshimit të një njësie të X-it ( është koeficienti i pjerrësisë së vijës së regresionit, mund të jetë pozitiv dhe negativ)

i10i XbbY

Shembull i regresionit të thjeshtë linear

• Një kompani që merret me shitjen e patundshmërive dëshiron të vlerësojë raportet në mes të çmimit të shitjes së shtëpive dhe madhësisë së tyre ( të shprehura në meter katror)

• Një mostër e rastësishme prej 10 shtëpive është marrë:

– Variabla e varur (Y) = Çmimi i shtëpive në $1000

– Variabla e pavarur (X) = madhësia e shtëpive ( shprehur në meter katror - m 2 )

Të dhënat e mostrës për modelin e çmimeve të shtëpive

Çmimi i shtëpive në

$1000

(Y)

Sipërfaqja ne m2

(X)

245 1400

312 1600

279 1700

308 1875

199 1100

219 1550

405 2350

324 2450

319 1425

255 1700

Prezantimi grafik-

• Modeli i çmimeve të shtëpive : diagrami shpërndarës

Regresioni - Përdorimi i Excel-it

• Data/ Data Analysis / Regression

Rezultati i Excel-it

Regression Statistics

Multiple R 0.76211

R Square 0.58082

Adjusted R Square 0.52842

Standard Error 41.33032

Observations 10

ANOVA df SS MS F Significance F

Regression 1 18934.9348 18934.9348 11.0848 0.01039

Residual 8 13665.5652 1708.1957

Total 9 32600.5000

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Intercept b0 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386

Meter katror b1 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580

Ekuacioni i regresionit është:

Çmimi i shtepive 98.24833 0.10977 (meter katror)

i10i XbbY

Prezantimi grafik • Modeli i çmimit të shtëpive: diagrami

shpërndarës dhe vija e regresionit


Pjerrësia

= 0.10977

Prerja

= 98.248

Interpretimi i prerjes, koeficientit b0

• b0 është vlera mesatare e vlerësuar e Y kur X

është zero (Nëse X = 0 është në vargun e

vlerave të vrojtuara të X )

– Këtu nuk ka shtëpi me 0 meter katror, kështu që

b0 = 98.24833 ,tregon se shtëpitë në vargun e

vrojtuar të madhësive, $98,248.33 është pjesa

e çmimit të shtëpive që nuk mund të spjegohen

me sipërfaqen në meter katror.


Interpretimi i koeficientit të pjerrësisë, b1

• b1 mat ndryshimin e vlerësuar në mesatare

të Y si rezultat i ndryshimit të një njësie të X

– Këtu b1 = 0.10977 na tregon se në mesatare

çmimi i shtëpive rritet për 0.10977($1000) =

$109.77, për çdo meter shtesë të madhësisë së

shtëpisë.


Parashikimi përmes analizës së regresionit

2Çmimi i shtepive 98.25 0.1098 (m )

98.25 0.1098(2000)

317.85

Parashikoni çmimin e shtëpisë me

2000 metra katror.

Çmimi i parashikuar për shtëpinë me 2000

m2 është 317.85 ($1,000) = $317,850

Interpolimi kundrejt ekstrapolimit

• Kur përdoret modeli i regresionit për parashikim, parashikoni vetëm në kuadër të vargut të vlerave të vrojtuara

Vargu relevant per

interpolim

Mos provoni të

parashikoni përtej

vargut të vlerave

të vrojtuara të X

Masat e variacionit

• Variacioni total përbëhet nga dy pjesë:

SSE SSR SST Shuma totale e

katroreve

Shuma e katrorëve

të regresionit

Shuma e katrorëve të

gabimit

2

i )YY(SST 2

ii )YY(SSE 2

i )YY(SSR

Ku:

= Vlera mesatare e variablës së varur

Yi = Vlerat e vrojtuara të variablës së varur

i = Vlera e parashikuar e Y për vlerën e dhënë të Xi Y

Y

Masat e variacionit

• SST = Shuma totale e katrorëve

– Masë e variacioneve të vlerës së Yi rreth vlerës mesatare të tyre

• SSR = Shuma e katrorëve të regresionit

– Variacionet e spjegueshme të lidhura me raportet në mes të X dhe Y

• SSE = Shuma e katrorëve të gabimit

• Variacionet e lidhura më shumë me faktorë të tjerë se sa me raportet në mes të X dhe Y (Variacionet e pashpjegueshme)

(vazhdim)

Masat e variacionit (vazhdim)

Xi

Y

X

Yi

SST = (Yi - Y)2

SSE = (Yi - Yi )2

SSR = (Yi - Y)2

_

_

_

Y

Y

Y _ Y

Koefiecienti i determinacionit, r2

• Koeficienti i determinacionit është pjesa e variacioneve totale në variablën e varur e cila spjegohet me variacionet në variablën e pavarur

• Koeficienti i determinacionit gjithashtu quhet r në katror dhe shënohet si r2

1r0 2 Vereni :

2 SSR Shumaekatroreveteregresionitr

SST Shumatotaleekatroreve



Multiple R 0.76211

R Square 0.58082



Observations 10


Regression 1 18934.9348 18934.9348 11.0848 0.01039

Residual 8 13665.5652 1708.1957

Total 9 32600.5000


Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386

Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580

58.08% e variacioneve në

çmimin e shtëpive spjegohet

përmes variacioneve në

sipërafqen me meter katror.

0.5808232600.5000

18934.9348

SST

SSRr2

Gabimi standard i vlerësimit (Devijimi standard i vlerësimit)

• Devijimi standard i variacioneve të vrojtimeve rreth vijës së regresionit vlerësohet përmes formulës vijuese:

2n

)YY(

2n

SSES

n

1i

2

ii

YX

Ku:

SSE = shuma e katrorëve të gabimit të rastësishëm

n = madhësia e mostrës



Multiple R 0.76211

R Square 0.58082



Observations 10


Regression 1 18934.9348 18934.9348 11.0848 0.01039

Residual 8 13665.5652 1708.1957

Total 9 32600.5000


Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386

Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580

41.33032SYX

Konkluzioni rreth koeficientit të pjerrësisë së popullimit

• Gabimi standard i koeficientit të pjerrësisë (b1) vlerësohet me formulën vijuese

2

i

YXYXb

)X(X

S

SSX

SS

1

ku:

= Vlerësimi i gabimit standard të koeficientit të pjerrësisë

= Gabimi standard i vlerësimit

1bS

2n

SSESYX



Multiple R 0.76211

R Square 0.58082



Observations 10


Regression 1 18934.9348 18934.9348 11.0848 0.01039

Residual 8 13665.5652 1708.1957

Total 9 32600.5000


Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386

Meter katror 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580

0.03297S1b

Konkluzioni rreth pjerrësisë: Testi t

• Testi t për pjerrësinë e populacionit – A ekziston lidhje lineare në mes të X dhe Y në

populacion me nivel të signifikancës α= 0,05? • Hipoteza zero dhe alternative

H0: β1 = 0 (Nuk ka lidhje lineare) H1: β1 0 (Lidhja lineare egziston)

• Testi statistikor

1b

11

S

βbt

sh.l. n 2

ku:

b1 = koeficienti i pjerrësisë së

regresionit

β1 = Pjerrësia e supozuar

Sb = Gabimi standard i

pjerrësisë 1

Konkluzioni rreth pjerrësisë: Testi t

Çmimi i

shtëpive

$1000

(y)

Siperfaqja

(meter katror)

(x)

245 1400

312 1600

279 1700

308 1875

199 1100

219 1550

405 2350

324 2450

319 1425

255 1700


Ekuacioni I regresionit të thjeshtë linear:

Pjerrësia e këtij modeli është

0.1098

A thua sipërfaqja në meter katror

ka ndikim në çmimin e shitjes?

(vazhdim)

Konkluzioni rreth pjerrësisë: Testi t- Shembull

H0: β1 = 0

H1: β1 0

Nga rezultatet e Excel-it:

Coefficients Standard Error t Stat P-value

Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892

Meter katror 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039

1bS

t

b1

32938.303297.0

010977.0

S

βbt

1b

11


H0: β1 = 0

H1: β1 0

Testi statistikor t = 3.329

Ka mjaft të dhëna se sipërfaqja

në meter katror ka ndikim në

çmimin e shitjes së shtëpive.

Nga rezultati i Excel-it:

Refuzo H0


Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892

Meter katror 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039

1bS t b1

Vendimi:

Konkluzion:

Refuzo H0 Refuzo H0

a/2=.025

-tα/2

Mos e prano H0

0

tα/2

a/2=.025

-2.3060 2.3060 3.329

sh.l. = 10-2 = 8

(vazhdim


H0: β1 = 0

H1: β1 0

Vlera e P = 0.01039

Ka mjaft të dhëna se sipërfaqja në

meter katror ka ndikim në çmimin

e shitjes së shtëpive.

Nga rezultati i Excel-it:

Refuzo H0


Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892

Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039

Vlera e P-

Vendimi: Vlera e P < α kështu që

:

Konkluzion:

(vazhdim)

Testi është dyanësor,

kështu që vlera e p është:

P(t > 3.329)+P(t < -3.329)

= 0.01039

(per 8 sh.l.)

Intervali i besimit për vlerësimin e koeficientit të Pjerrësisë

Intervali I besimit për vlerësimin e pjerrësisë:

Rezultatet e Excel-it për çmimin e shtëpive:

Ne nivel te besueshmerise 95%, intervali i

besueshmerisë për pjerrësinë është: (0.0337, 0.1858)

1b2n1 Stb


Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386

Meter katror 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580

sh.l. = n - 2

Intervali i besimit për vlerësimin e Pjerrësisë

Meqenëse vlera e shitjeve se shtëpive është e

shprehur në $1000, ne jemi 95% konfident se efekti

mesatar në cmimin e shitjes është në mes të

$33.70 dhe $185.80 për meter katror të shtuar për

një njësi.


Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386

Meter katror 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580

(vazhdim)

Testi t për Koeficientin e Korrelacionit

• Hipotezat:

H0: ρ = 0 (Nuk ka korrelacion në mes të X dhe Y)

HA: ρ ≠ 0 (Ka korrelacion në mes të X dhe Y)

• Testi Statistikor (me n – 2 shkallë të lirisë)

2

r-ρt

1 r

n 2

ρ korrelacioni ne populacion

2

1

2

1

nese b 0

nese b 0

ku

r r

r r

Shembull: Çmimet e shtëpive

A ka evidencë për raporte lineare në mes të

sipërfaqes së shtëpive dhe Çmimit të shitjes

së tyre në nivel të signifikancës 0.05?

H0: ρ = 0 (Nuk ka korrelacion)

H1: ρ ≠ 0 (Korrelacioni ekziston)

a =0.05 , sh.l. = 10 - 2 = 8

2 2

r ρ 0.762 0t 3.329

1 r 1 0.762

n 2 10 2

Shembull: Zgjedhja përmes testit

Konkluzion:

Ka evidencë se

ekziston lidhje

lineare në

nivelin 5% të

signifikancës.

Vendimi:

Refuzo H0

Refuzo H0 Refuzo H0

a/2=0.025

-tα/2

Mos e refuzo H0

0

tα/2

a/2=0.025

-2.3060 2.3060

3.329

Sh.l. = 10-2 = 8

3.329

210

.7621

0.762

2n

r1

ρrt

22

Përfundime

Hyrje në analizën e regresionit

Rishikim i supozimeve të analizës së regresionit

Ekuacioni i regresionit të thjeshtë linear

Përshkrimi i masave të variacionit

Prurja e konkluzioneve rreth pjerrësisë së koeficientit të regresionit

Analizimi i korrelacionit-matja e fortësisë së lidhjeve, etj

Analiza e thjeshte e regresionit

Documents

Transcript of Analiza e thjeshte e regresionit