Analiza Cursul 3
-
Upload
beatrice-barbiis -
Category
Documents
-
view
220 -
download
3
description
Transcript of Analiza Cursul 3
1
Cursul 3
Definiţie: Numim serie de puteri o serie de funcţii 0
nn
f
, unde :nf R R prin
nn nf x a x pentru 1n şi 0 0f x a .
Deci seria are forma 20 1 2
nna a x a x a x ,
unde numărul na este numit coeficientul termenului de rang n, iar xR.
Convenind 00=1 (doar aici) putem scrie prescurtat
0
n
nn
a x
. Aceasta este forma standard a
seriei de puteri.
Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri 0
n
nn
a x
există un număr 0 0R (care se numeşte
raza de convergenţă a seriei) astfel încât:
i) seria este absolut convergentă pe intervalul 0 0,R R ;
ii) seria este divergentă pe mulţimea 0 0, ,R R ;
iii) pentru orice 00,r R seria este uniform convergentă pe ,r r .
Demonstraţie: Dacă seria de puteri este convergentă numai în punctul 0x , atunci 00 R şi
teorema este demonstrată.
Presupunem că seria este convergentă şi în punctul 00 x , deci seria numerică
0
0
n
n
n xa este
convergentă. Rezultă că 0lim 0
n
nn
xa , prin urmare şirul n
n
n xa 0 este mărginit, deci există 0M
astfel încât Mxa n
n 0 pentru orice Nn . Fie x un punct oarecare astfel încât 0xx , atunci avem
n
nn
n
n
n
n Mx
xM
x
xxaxa
00
0 , unde 1,00
x
x . Cum seria geometrică
0n
n
este convergentă, seria
0n
nM este convergentă şi conform primului criteriu de comparaţie rezultă că
seria
0n
n
n xa este convergentă, deci seria
0n
n
n xa este absolut convergentă. Cum inegalitatea
0xx este echivalentă cu 00 xxx rezultă că intervalul 00 , xx este inclus în mulţimea
de convergenţă a seriei, mulţime pe care o notăm cu B. Dacă seria de puteri este divergentă în punctul 1x ,
atunci în orice punct x cu 1xx seria este divergentă, altfel există 0x cu 10 xx în care seria este
convergentă şi prin urmare conform celor de mai sus rezultă că seria este convergentă în 1x , deci
contradicţie cu ipoteza. Deoarece B0 , mulţimea B este nevidă şi prin urmare admite margine
superioară, pe care o notăm cu 0R , deci BR sup0 . Vom arăta că 0R este raza de convergenţă a seriei
de puteri:
2
i) Fie 00 , RRx , atunci avem 0Rx şi din definiţia marginii superioare rezultă că există
Bx 0 astfel încât 00 Rxx . Cum 0x este punct de convergenţă (seria
0
0
n
n
n xa este
convergentă), rezultă că seria
0n
n
n xa este absolut convergentă.
ii) Dacă 0R atunci mulţimea de divergenţă este vidă (deci punctul ii nu se mai pune). Dacă
0R , fie x un punct astfel încât 0Rx (adică ,, 00 RRx ). Rezultă că seria
0n
n
n xa este divergentă, altfel pentru orice 1x cu xxR 10 avem 1x punct de convergenţă, deci
Bx 1 ceea ce contrazice ipoteza BR sup0 . Aşadar, seria
0n
n
n xa este divergentă pentru orice x cu
0Rx .
iii) Evident acest punct se pune numai în cazul 00 R . Fie 0,0 Rr , deci seria numerică
0n
n
n ra este absolut convergentă. Cum pentru orice rrx , avem rx şi
n
n
n
n
n
n raraxa , folosind criteriul lui Weierstrass pentru convergenţa uniformă a seriilor
de funcţii, rezultă că seria
0n
n
n xa este uniform convergentă pe rr, . Astfel teorema este
demonstrată.
Numărul 0R se numeşte raza de convergenţă a seriei de puteri, iar 0 0,R R se numeşte intervalul
de convergenţă al seriei.
Observaţii. În punctele 0x R şi 0x R teorema lui Abel nu arată comportamentul seriei de
puteri. În aceste puncte seria se va studia separat aplicând criterii de la seriile numerice. Teorema lui Abel
afirmă existenţa razei de convergenţă pentru orice serie de puteri, dar nu dă un procedeu de calcul al
acesteia.
Calculul razei de convergenţă:
Fie 0
n
nn
a x
o serie de puteri şi R0 raza ei de convergenţă.
1). Teorema Cauchy-Hadamard: Dacă lim nn
na L
, atunci raza de convergenţă este
0
1; când 0
; când 0
LR L
L
.
3
2). (Plecând de la criteriul lui d’Alembert) Dacă 1
limn
nn
aL
a
, atunci raza de convergenţă este
0
1; 0
; 0
LR L
L
.
Serii Taylor. Dezvoltări în serie Taylor
Considerăm o serie de puteri de forma 00
n
nn
a x x
, notând 0xxy obţinem forma
standard a unei serii de puteri
0n
n
n ya , serie cu raza de convergenţă 0R , deci seria dată este
convergentă pe intervalul 0 0 0 0,x R x R . În baza teoremei de derivare termen cu termen,
suma acestei serii este o funcţie infinit derivabilă. Fie :f I R suma seriei de puteri pe
intervalul 0 0 0 0,I x R x R R . Din 00
n
nn
f x a x x
obţinem: 0 0f x a ,
1' '
0 0 11
n
nn
f x a n x x f x a
,
2'' '' ''
0 0 2 2 02
11 2 1
2!
n
nn
f x a n n x x f x a a f x
0 01 1 !n kk k
n kn k
f x a n n n k x x f x a k
deci 0
1
!
k
ka f xk
.
Astfel funcţiei f care admite derivate de orice ordin în punctul 0x I i se asociază seria de puteri
( )
00
0
( )
!
nn
n
f xx x
n
care se numeşte seria Taylor a funcţiei f în punctul 0x . Mulţimea ei de
convergenţă conţine cel puţin punctul 0x .
În cazul 0 0x seria se numeşte seria MacLaurin asociată funcţiei f : ( )
0
(0)
!
nn
n
fx
n
.
Pentru o funcţie oarecare :f AR care admite derivate de orice ordin într-un punct
0x I A , se consideră seria ( )
00
0
( )
!
nn
n
f xx x
n
(seria Taylor a lui f în punctul 0x ).
Cazul interesant este atunci când raza de convergenţă 0R este strict pozitivă, situaţie în
care ne punem problema egalităţii dintre suma acestei serii şi valorile funcţiei f pe mulţimea
0 0 0 0,x R x R A . Dacă acest fapt se adevereşte, putem aproxima valoarea f(x) prin suma
parţială de ordinul n a seriei Taylor a lui f, notată:
4
( )
0 00 0 0 0
'( ) ( );
1! !
nn
n
f x f xT x x f x x x x x
n .
Suma parţială de ordin n a seriei Taylor se numeşte polinomul Taylor de ordinul n
asociat funcţiei f în punctul 0x . Se notează cu 0;nT x x . Deci
' '' ( )
20 0 00 0 0 0 0
( ) ( ) ( );
1! 2! !
nn
n
f x f x f xT x x f x x x x x x x
n .
0;nT x x se numeşte polinom Taylor de ordinul n asociat funcţiei f în punctul 0x şi are
sens dacă f admite derivate până la ordinul n cel puţin în punctul 0x .
Definiţie. Se numeşte restul Taylor de ordin n al funcţiei :f R R în punctul 0x funcţia
: , nR R R 0;n nR x f x T x x .
Formula 0;n nf x T x x R x se numeşte formula lui Taylor de ordin n.
Observaţie: Restul Taylor de ordin n, nR x , nu se confundă cu restul de ordin n al seriei Taylor
ataşată funcţiei f, acesta este notat cu n x , deci ( )
00
1
( )
!
kk
nk n
f xx x x
k
(evident, dacă
x este punct de convergenţă avem n nR x x ).
Dacă seria Taylor este convergentă în punctul x, avem ( )
00
0
( )
!
nn
n
f xf x x x
n
, egalitate
numită formula de dezvoltare a funcţiei f în serie Taylor în jurul punctului 0x .
Fie f o funcţie reală derivabilă de 1n ori pe un interval deschis I. Fie 0x I şi formula lui
Taylor de ordin n: 0;n nf x T x x R x . Vom considera că restul are forma
0
p
nR x k x x x , unde pN şi k x este fixată. Deci
' ( )
0 00 0 0 0
( ) ( )
1! !
nn pf x f x
f x f x x x x x k x x xn
Considerăm funcţia :g I R ,
' ( )( ) ( )
1! !
nn pf t f t
g t f t x t x t k x x tn
Avem g x f x şi 0g x f x , deci 0g x g x şi cum g este derivabilă pe I putem
aplica teorema lui Fermat pe intervalul 0,x x (sau 0 ,x x ). Aşadar, există 0,c x x (sau
0 ,c x x ) astfel încât ' 0g c . Cum
5
'' ''' ''
2' ' '( ) ( ) ( )2
1! 2! 2!
f t f t f tg t f t x t f t x t x t
( 1) ( )
1 1( ) ( )
! !
n nn n pf t f t
x t n x t p k x x tn n
( 1)
1( )
!
nn pf t
x t p k x x tn
. Din ' 0g c se obţine
1
1
!
nn pf c
k x x cn p
şi
1
1
0!
np n p
n
f cR x x x x c
n p
Pentru 1p n se obţine restul sub forma lui Lagrange:
11
01 !
nn
n
f cR x x x
n
11
0 0;1 !
nn
n
f cR x x x x
n
unde c este între 0x şi x (expresie ce se numeşte restul sub forma
lui Lagrange).
Pentru 1p se obţine restul sub forma lui Cauchy:
1
0!
nn
n
f cR x x c x x
n
Dacă A conţine punctul 0 0x şi f este derivabilă de cel puţin n ori în acest punct, formula lui
Taylor devine : 1
(0)0 ;0 ,
!
knk
nk
ff x f x R x x A
k
,
care se numeşte formula MacLaurin ataşată funcţiei f.
Propoziţie. Fie :f AR derivabilă de 1n ori pe un interval deschis I A , cu derivatele de ordinul
1n continue pe I. Atunci pentru orice 0x I avem 0
1
0
1;
!
x n n
n xf x T x x x y f y dy
n
,
unde x I .
Exemplu: Să se dezvolte în serie MacLaurin funcţia :f R R , xf x e şi să se determine
raza de convergenţă a seriei.
Avem ' ,xf x e '' ,xf x e … ,n xf x e deci
00 1n
f e şi seria MacLaurin
( ) 2
0 0 0
(0) 11
! ! ! 1! 2!
n nn n
n n n
f x x xx x
n n n
6
Cum 1
!na
n , raza de convergenţă este
1
lim lim 1n
n nn
aR n
a
, deci 0 !
nx
n
xe
n
pentru
orice xR .