Analiza Cursul 2
-
Upload
beatrice-barbiis -
Category
Documents
-
view
215 -
download
2
description
Transcript of Analiza Cursul 2
![Page 1: Analiza Cursul 2](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022080223/55cf9064550346703ba57cf2/html5/thumbnails/1.jpg)
Cursul 2
Serii alternate
Definiţia 1. O serie numerică 1
nn
u
se numeşte alternată dacă produsul oricăror doi termeni consecutivi
este negativ, adică 1 0n nu u pentru orice n *N .
O asemenea serie se poate scrie 1
1
1n
nn
u
, cu 0, nu n *N .
Propoziţia 1 (Criteriul lui Leibniz). Fie seria alternată 1
1
1n
nn
u
, unde un 0. Dacă şirul
n nu
*N
este descrescător şi lim 0nn
u
atunci seria dată este convergentă.
Demonstraţie. Fie 2 1 2 2 1 2n n nS u u u u , atunci 2 2 2 2 1n n nS S u 2 2 2n nu S ,
deoarece 2 1 2 2n nu u . Deci 2n nS
N este şir crescător (1).
Din 2 1 2 3 2 2 2 1 2 1n n n nS u u u u u u u , rezultă că 2n nS
N este mărginit (2). Din
(1) şi (2) rezultă că 2n nS
N este şir convergent. Fie
2lim nn
S S
. Deoarece 2 1 2 2 1n n nS S u , avem:
2 1 2 2 1lim limn n nn n
S S u
2lim n
nS
2 1lim n
nu S
, termenul al doilea fiind nul conform ipotezei. În
concluzie, obţinem lim nn
S S
, adică seria 1
1
1n
nn
u
este convergentă.
Exemplu: Seria 1
1
11
n
n n
numită seria armonică alternată este convergentă deoarece satisface
ipotezele criteriului Leibniz. Mai putem spune că ea este numai semiconvergentă, deoarece seria
modulelor termenilor ei este 1
1
n n
, deci seria armonică, serie divergentă.
3. Şiruri şi serii de funcţii
Fie A o mulţime oarecare din R şi : , 1,2,nf A n R un şir de funcţii reale, notat
n nf N
. Fie a A . Valorile funcţiilor în punctul a formează un şir de numere
1 2, , , ,nf a f a f a
Definiţia 3.1. Spunem că un punct a A este punct de convergenţă al şirului n nf N
dacă
şirul de numere n nf a
N este convergent. Mulţimea punctelor de convergenţă ale şirului de
funcţii n nf N
se numeşte mulţimea de convergenţă a şirului şi o notăm cu C.
Pentru fiecare x C notăm cu f(x) limita şirului de numere n nf x
N, deci lim n
nf x f x
.
Stabilim astfel funcţia : , f C R lim nn
f x f x
, care se numeşte funcţia limită pe
mulţimea C a şirului n nf N
şi spunem că şirul n nf N
converge pe mulţimea C către funcţia f.
Pentru simplificare vom considera că şirul converge pe mulţimea A (deci C A ).
![Page 2: Analiza Cursul 2](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022080223/55cf9064550346703ba57cf2/html5/thumbnails/2.jpg)
Definiţia 3.2. Şirul n nf converge simplu pe A către f, dacă pentru orice şi 0x A
există un număr ,N x , astfel încât pentru orice ,n N x să avem nf x f x .
Definiţia 3.3. Şirul n nf este uniform convergent pe A către f dacă pentru orice 0 există
un număr N , astfel încât oricare ar fi x A şi n N să avem nf x f x .
Observaţie. Numărul ,N x depinde de şi de x la convergenţa simplă, în timp ce la cea
uniformă depinde doar de , nu şi de x. Observaţie. Orice şir uniform convergent e simplu convergent; reciproc nu este adevărat.
Criterii de convergenţă uniformă a şirurilor de funcţii
1. Criteriul I (criteriul general al lui Cauchy): Fie n nf un şir de funcţii definite pe mulţimea A. Şirul
n nf este uniform convergent către o funcţie f pe A dacă şi numai dacă pentru orice 0 există
N număr natural astfel încât pentru orice n N , orice număr natural p şi orice x A să avem
n n pf x f x .
2. Criteriul II: Fie n nf şi n n
g două şiruri de funcţii definite pe mulţimea A şi f o funcţie definită pe
A. Dacă 0u
ng (şirul n ng converge uniform la funcţia zero) şi n nf x f x g x pentru
orice n şi orice x A , atunci u
nf f (şirul n nf converge uniform la f).
Demonstraţie. Fie 0 , din convergenţa uniformă a şirului n ng rezultă că există un rang N
astfel încât pentru orice n N şi orice x A avem 0 ng x . Cum din ipoteză avem
n nf x f x g x , iar n ng x g x se obţine că pentru orice n N şi orice x A
avem nf x f x , deci u
nf f .
Corolar: Fie n nf un şir de funcţii definite pe mulţimea A şi f o funcţie definită pe A. Dacă există un şir
de numere n na astfel încât 0na şi n nf x f x a pentru orice n şi orice x A , atunci
unf f (şirul n n
f converge uniform la funcţia f).
Exemplu 1: Fie şirul de funcţii n nf , unde : 0,nf R , n
xf x
x n
, 0x . Avem
lim lim 0, 0nn n
xf x x
x n
, deci lim 0, 0,n
nf x f x x
. Şirul n n
f nu
converge uniform la f pe 0, pentru că luând 1
3 şi x n N avem
1 1
02 3
n
nf x f x
n n
.
![Page 3: Analiza Cursul 2](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022080223/55cf9064550346703ba57cf2/html5/thumbnails/3.jpg)
Exemplu 2: Fie şirul de funcţii 1n n
f
, unde :nf R R , cos
n
xf x
n , x R . Avem
cos
lim lim 0,nn n
xf x f x x
n R . Şirul
1n nf
converge uniform la f pe R. Într-adevăr,
trebuie ca pentru orice 0 să existe N număr natural astfel încât pentru n N şi
x R să avem nf x f x . Cum coscos 1
0n
xxf x f x
n n n pentru
11n
şi x R . Luând 1
1N
se verifică definiţia.
Convergenţa uniformă păstrează proprietăţile de continuitate, derivabilitate şi integrabilitate pe care le au
toate funcţiile unui şir n nf şi pentru funcţia limită f a şirului.
Teorema 3.1. Fie n nf un şir de funcţii uniform convergent pe mulţimea deschisă A către funcţia f.
Dacă toate funcţiile nf sunt continue în punctul a A , atunci şi funcţia limită f este continuă în punctul
a.
Teorema 3.2. Fie n nf un şir de funcţii derivabile pe intervalul I. Dacă:
i) şirul n nf este uniform convergent pe I către o funcţie f şi
ii) şirul derivatelor 'nn
f este uniform convergent pe I către o funcţie g,
atunci f este derivabilă pe I şi 'f g .
Teorema 3.3. Fie n nf un şir de funcţii integrabile pe intervalul ,a b . Dacă n n
f converge uniform
pe ,a b către funcţia f, atunci funcţia f este integrabilă pe ,a b şi şirul integralelor b
nan
f x dx
este convergent la b
af x dx , adică lim lim
b b b
n na a an nf x dx f x dx f x dx
.
Serii de funcţii: Şirului de funcţii n nf
N i se asociază şirul sumelor parţiale n n
S , unde
1
n
n kk
S f
este definită pe A prin 1
,n
n kk
S x f x x A
( n nS este tot un şir de funcţii
reale definite pe A).
Definiţia 3.4. Perechea formată de şirul n nf şi de şirul sumelor parţiale n n
S defineşte
seria de funcţii notată 1
nn
f
sau 1 2 nf f f .
Pentru fiecare a A se poate considera seria numerică 1
nn
f a
, formată cu valorile
funcţiilor din şirul n nf în punctul a. Rezultă că o serie de funcţii este echivalentă cu o familie
de serii numerice şi anume pentru fiecare punct din A câte o serie de numere.
![Page 4: Analiza Cursul 2](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022080223/55cf9064550346703ba57cf2/html5/thumbnails/4.jpg)
Definiţia 3.5. Spunem că seria de funcţii 1
nn
f
este convergentă într-un punct a A dacă
şirul sumelor parţiale n nS este un şir de funcţii convergent în punctul a, punct care se numeşte
punct de convergenţă al seriei.
Observaţie. A spune că a A este punct de convergenţă al seriei 1
nn
f
înseamnă a spune că
şirul de numere n nS a este convergent.
Definiţia 3.6. Seria de funcţii 1
nn
f
este absolut convergentă în punctul a A dacă seria de
numere 1
nn
f a
este absolut convergentă.
Mulţimea formată din toate punctele de convergenţă ale seriei de funcţii 1
nn
f
se numeşte
mulţimea de convergenţă a seriei.
Definiţia 3.7. Fie 1
nn
f
o serie de funcţii definite pe A şi f o funcţie definită pe submulţimea
B A . Spunem că seria 1
nn
f
este simplu convergentă pe B către funcţia f dacă şirul sumelor
parţiale n nS este simplu convergent pe B către f, adică pentru x B şi 0 ,xN natural
astfel încât nS x f x pentru ,xn N , unde 1
n
n kk
S x f x
.
Definiţia 3.8. Seria 1
nn
f
este uniform convergentă pe B către f dacă şirul de funcţii n nS
este uniform convergent pe B către f adică 0 N *N astfel încât pentru x B şi
n N să avem nS x f x .
Funcţia f se numeşte suma seriei 1
nn
f
pe mulţimea B.
Pentru stabilirea convergenţei uniforme a seriilor de funcţii se folosesc următoarele două
criterii:
Criteriul I (Cauchy) O serie de funcţii 1
nn
f
definite pe A este uniform convergentă pe A
dacă şi numai dacă pentru orice 0 există un număr N , astfel încât oricare ar fi n N
, oricare Ax şi oricare ar fi p *N să avem 1 2n n n pf x f x f x .
Criteriul II (Weierstrass) Fie 1
nn
f
o serie de funcţii definite pe A şi 1
nn
a
o serie cu
termenii pozitivi convergentă. Dacă pentru orice *nN şi orice avem n nx A f x a ,
atunci seria 1
nn
f
este uniform convergentă pe A.
![Page 5: Analiza Cursul 2](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022080223/55cf9064550346703ba57cf2/html5/thumbnails/5.jpg)
Analog şirurilor de funcţii şi la seriile de funcţii, convergenţa uniformă păstrează proprietăţile de
continuitate, derivabilitate şi integrabilitate ale funcţiilor din serie şi pentru suma seriei.
Teorema 3.4. Fie 1
nn
f
o serie de funcţii uniform convergentă la funcţia f pe intervalul ,a b . Dacă
toate funcţiile nf sunt continue pe ,a b , atunci funcţia f este continuă pe ,a b .
Teorema 3.5. Fie 1
nn
f
o serie de funcţii derivabile pe un interval I. Dacă:
i) seria este uniform convergentă pe I către o funcţie f, şi
ii) seria derivatelor 1
nn
f
este uniform convergentă pe I către funcţia g,
atunci f este derivabilă pe I şi 1 1
, sau altfel scris n nn n
f g f f
(se zice că seria se
poate deriva termen cu termen).
Exemplu: Să se afle suma seriei 1
n
n
x
n
pe intervalul ,c c , unde 0 1c .
Soluţie: Fie : ,f c c R suma cerută. Seriile numerice 1
n
n
c
şi 1
1
n
n
c
sunt convergente
(sunt serii geometrice). Avem n
n
xf x
n , ' 1n
nf x x , n
n n
n
xf x x c
n şi
' 1nnf x c pentru orice ,x c c , deci conform criteriului lui Weierstrass seriile
1n
n
f
şi
1n
n
f
sunt uniform convergente. Rezultă din teorema de derivare termen cu termen că
' 1
1 1
1
1
n
nn n
f x f x xx
, ln 11
dxf x x C
x
. Cum 0 0f , rezultă
0C . Aşadar 1
ln 1n
n
xf x x
n
.
Teorema 3.6. Fie 1
nn
f
o serie de funcţii uniform convergentă la funcţia f pe intervalul ,a b .
Dacă toate funcţiile nf sunt integrabile pe ,a b , atunci funcţia f este integrabilă pe ,a b şi seria
numerică 1
b
nan
f x dx
este convergentă şi are suma b
af x dx , adică
1 1
b b b
n na a an n
f x dx f x dx f x dx
(se zice că seria se integrează termen cu termen).