Analisis y modelado para´ roturas de interconexion en ...el número de metales y el número de...

Analisis y modelado pararoturas de interconexion en

tecnologıas avanzadas

por

Israel Lopez Ortega

Tesis sometida como requisito parcial para obtener elgrado de

MAESTRO EN CIENCIAS EN LA ESPECIALIDADDE ELECTR ONICA

en el

Instituto Nacional de Astrofısica,Optica yElectronica

Diciembre 2010Tonantzintla, Puebla

Director de tesis:

Dr. V ıctor Hugo Champac VilelaINAOE

c©INAOE 2010El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias

en su totalidad o en partes de esta tesis

Resumen

Con la llegada de los sistemas complejos-on-Chip (SoC), muchos módulos son

integrados en un solo chip, los cuales forman la red de comunicaciones del mismo

chip. Esto requiere técnicas que hagan más rápida una interconexión para mejorar

el ancho de banda y el retardo de las interconexiones globales, que resolverían los

cuellos de botella en interconexiones. Cuando las características de dimensiones

de una interconexión disminuyen, la resistencia de los conductores de cobre se

incrementa y por lo tanto ocasiona problemas de rendimiento y confiabilidad en

las tecnologías modernas VLSI.

Los nanotubos de carbono han sido propuestos para aliviar este tipo de pro-

blemas debido a su excelente capacidad de transporte de carga, estabilidad y

conductividad térmica. Los nanotubos de carbono constan de una sola hoja de

grafeno enrollada en un tubo cilíndrico con un diámetro en el rango nanométri-

co. Dependiendo de la dirección en la que son enrollados (quiralidad), los CNT’s

pueden comportarse como semiconductores o como conductores. Los nanotubos

de carbono conductores (o metálicos) posen extraordinarias propiedades que los

convierten en los candidatos prometidos para las interconexiones. Debido a sus

estructura de enlace covalente, estos son altamente resistentes a electromigración

y otras fuentes físicas de ruptura. Pueden soportar altas densidades de corrientes

sin alguna degradación apreciable.

i

ii

Debido a que en tecnologías futuras; la densidad de dispositivos, así como

el número de metales y el número de vías serán incrementados, se tendrá una

probabilidad elevada de fallas del tipo de abertura o resistivas. Las fallas clásicas

en interconexiones como las resistivas o de abertura han sido tradicionalmente

reconocidas como de difícil detección en tecnologías.

El presente trabajo se enfoca principalmente en el estudio de tecnología no-

vedosa, como lo son los nanotubos de carbono, para sustituir al cobre en las

interconexiones y las posibles fallas que puedan originarse a partir de defectos en

estos. Se trata de comprender el mecanismo de trasporte de corriente eléctrica a

través de sistemas unidimensionales como este y así entender porque este material

resulta tan atractivo para los sistemas electrónicos.

El análisis de las fallas en interconexiones con nanotubos de carbono será mo-

delado tomando en cuenta todos los aspectos posibles para tratar de aproximar,

lo mejor posible, los modelos eléctricos con la realidad de esta novedosa tecnología.

Los efectos de una falla en las interconexiones de este tipo serán observadas

mediante del retardo que sea generado por el defecto en la conexión. Se propone

usar un esquema de detección de Skew positivo para detectar la falla. El esquema

de detección Skew es adecuado para este tipo de fallas ya que el retardo se presenta

con una anterioridad mayor a la observada con cobre. Este esquema ya ha sido

propuesto con anterioridad en otros trabajos.

Agradecimientos

Agradezco infinitamente a Dios por darme salud y fuerzas para seguir

adelante, ya que sin él la vida no tiene ningún sentido.

A la familia que tengo y que siempre esta conmigo, tanto en mis alegrías

como en mis tristezas.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT)

Por el apoyo económico otorgado a través de la beca para estudios de maestría

(No. de Registro: 207069)

Al Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica (INAOE)

Por abrirme las puertas para realizar los estudios de posgrado.

A mi asesor: Dr. Víctor Hugo Champac Vilela. Por haberme aceptado como

su alumno, por haberme permitido aprender de él y por sus valiosos consejos

muchas gracias.

A los Doctores:

Dr. Arturo Sarmiento Reyes.

Dr. Alejandro Díaz Mendez.

Dr. Luis Hernández Martínez.

Por haberme apoyado con la revisión de esta tesis y darme sus puntos de vista.

iii

iv

A los trabajadores del INAOE:

Por brindar soporte y ayuda a nosotros los estudiantes. Un agradecimiento

especial para: Marina García, Verónica Tecpanecatl, Rocío Ventura, Martita

olmos, Ceci, Lupita y Faby.

A los amigos y compañeros: Por habernos apoyado mutuamente a lo largo

de estos dos años, Arturo C.(Zircuncitlanpopocal), Luis Antonio (Toñiño),

Misael (Chavito), Arturo H.(Dr. Sze), Elyoenai (Elfo), Oscar (Razavi), Julio C

V.(Dr. Julai), Caro (la Caro) Juan C.(el Violante), a los compañeros de Astro y

demás que no menciono, pero que siempre nos apoyamos...

Danke Gott;

denn nicht du mir alles was ich will, sondern was ich brauche

Es gibt keinen anderen Teufel, als den wir in unserem eigenen Herzen haben. (Hans Christian

Andersen)

Reich wird man nicht durch das, was man verdient, sondern durch das, was man nicht

ausgibt. (Henry Ford)

Als ich jung war, glaubte ich, Geld sei das Wichtigste im Leben. Jetzt wo ich alt bin, weiß ich,

dass es das Wichtigste ist. (Oscar Wilde)

Das ganze Meer verändert sich, wenn ein Stein hineingeworfen wird. (Blaise Pascal)

Dedicatorias

A mis padres:

Francisco y Micaela

Quienes me han apoyado, amado y enseñado todos los valores y principios que

me han forjado, ellos que son parte de éste y todos mis logros.

A la memoria de mi hermanos José Carlos† , a quien siempre tendré en mis

pensamientos.

A mis hermanas Caro y Mary , quienes siempre están apoyándome cuando las

necesito, a todos ellos que son mi maravillosa familia, y que en familia hemos

aprendido a sortear los malos ratos.

A mis familiares que aunque no lo parece son una parte muy importante para

mi, y quienes siempre me han apoyado con sus consejos.

A todos... Gracias.

v

Índice general

Resumen i

Agradecimientos iii

Dedicatorias v

Acrónimos xi

1. Introducción 1

1.1. Estado del arte de las interconexiones . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Cobre, una mejor opción que el Aluminio en interconexiones 2

1.1.2. Grabado de metales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3. Problemas del cobre para su continuidad en interconexiones

nanométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Requerimientos actuales en interconexiones para las nuevas tecno-

logías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Posibles soluciones a los problemas de escalamiento en interco-

nexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Nanotubos de Carbono (CNT) como una posible solución . . . . . 12

1.5. El problema del escalamiento tecnológico en dispositivos . . . . . 13

1.5.1. El problema del escalamiento tecnológico en las interco-

nexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2. Fallas de manufactura: aberturas en interconexiones . . . . 18

vii

viii ÍNDICE GENERAL

1.6. Justificación del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7. Organización de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Nanotubos de carbono 25

2.1. Hibridación en Carbono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Estructura electrónica de bandas del grafeno . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Estructura de los nanotubos de carbono . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1. El vector quiral Ch y de translación T (cuántico) . . . . . 36

2.3.2. Densidad de estados (DOS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4. Transporte balístico en sistemas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5. Crecimiento y fabricación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. Modelado de las características de SWCNT como interconexio-

nes 49

3.1. Modelado y análisis eléctrico de interconexiones con nanotubos de

carbono (SWCNT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. Resistencia en SWCNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1. Resistencia de contacto RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.2. Resistencia cuántica RQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.3. Resistencia de scatter RS (ohmica) . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.4. Resistencia dependiente del voltaje RV . . . . . . . . . . . 54

3.2.5. Resistencia total para un CNT aislado . . . . . . . . . . . 56

3.3. Capacitancia en SWCNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1. Capacitancia electrostática CE . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.2. Capacitancia cuántica CQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4. Inductancia en SWCNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.1. Inductancia Magnética Lm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.2. Inductancia Cinética Lk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

ÍNDICE GENERAL ix

3.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Modelado de las características de bundles-CNT en interconexio-

nes y sus defectos 63

4.1. Bundles de SWCNT para interconexiones . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2. Resistencia de una interconexión bundle-SWCNT . . . . . . . . . 66

4.2.1. Resistencia en los contactos del bundle . . . . . . . . . . . 66

4.2.2. Resistencia por unidad de longitud en bundle (p.u.l.) . . . 66

4.3. Capacitancia de una interconexión SWCNT-bundle . . . . . . . . 67

4.3.1. Capacitancia electrostática en bundles . . . . . . . . . . . 67

4.3.2. Capacitancia cuántica en bundle . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4. Inductancia de una interconexión bundle-SWCNT . . . . . . . . . 74

4.5. Modelo para Crosstalk en bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6. Modelo de defectos para SWCNT-bundle . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6.1. Modelo Resistivo para un defecto en SWCNT-bundle . . . 78

4.6.2. Modelo Capacitivo para un defecto en SWCNT-bundle . . 81

4.6.3. Modelado Crosstalk con defecto en SWCNT-bundle . . . 86

4.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5. Análisis de los efectos de un defecto en interconexiones con

bundle-SWCNT 93

5.1. Comparación resistiva de interconexiones . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2. Análisis de los efectos de una falla en el retardo . . . . . . . . . . 97

5.3. Comportamiento transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3.1. Comportamiento transitorio resistivo . . . . . . . . . . . . 98

5.3.2. Comportamiento transitorio capacitivo . . . . . . . . . . . 99

5.3.3. Comportamiento transitorio del retardo CNT-CU . . . . . 102

5.4. Expresión para el retardo en bundles-CNT . . . . . . . . . . . . . 103

5.5. Crosstalk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

x ÍNDICE GENERAL

5.6. Esquema de Test para detectar un defecto en interconexiones-CNT 109

5.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6. Conclusiones 113

Índice de figuras 117

Indice de tablas 123

Bibliografía 125

Prefacio

Nuevas formas de materiales con novedosas propiedades se están presentando

recientemente como la principal fuerza para el desarrollo de la tecnología actual.

Las propiedades de los materiales no son solamente gobernadas por la composición

atómica y por los enlaces químicos, ahora también por las dimensiones de los

materiales.

Desde su descubrimiento en 1991, los nanotubos de carbono han recibido un

gran interés para su investigación debido a sus propiedades mecánicas, eléctricas,

térmicas y químicas que son únicas. Un nanotubo de carbono de pared simple

(SWCNT por sus siglas en ingles) es una hoja de grafeno enrollada que forma

un cilindro con un diámetro que va de 0.5 hasta unos cuantos nanómetros de-

pendiendo de su quiralidad este puede ser metálico o semiconductor. Por otro

lado un nanotubo de carbono multicapa (MWCNT por sus siglas en ingles) es un

tubo concéntrico que forma un cilindro, donde su diámetro puede ser desde unos

cuantos nanómetros hasta algunos cientos de nanómetros. El fuerte enlace plano

sp2 en el grafeno es incluso más fuerte que el enlace sp3 en el diamante, y por

ello los nanotubos de carbono poseen una fuerza mecánica alta.

Un nanotubo de carbono de pared simple SWNT es sistema ideal de electro-

nes muy cercano a un sistema unidimensional, lo que ocasiona un que aparezcan

muchas propiedades únicas tanto eléctricas como térmicas. Debido a que los elec-

trones pueden moverse en una única dimensión, la fase en el espacio para la

dispersión dentro de un nanotubo de carbono es muy limitada. En nanotubos

xi

xii ÍNDICE GENERAL

de carbono de alta calidad el camino promedio libre (MFP, mean free path) se

encuentra en el rango de los micrómetros. Esto contrasta con un sistema tridi-

mensional como en los metales en los cuales los electrones pueden ser dispersados

en diferentes ángulos y el camino promedio libre MFP está en el rango de unas

pocas decenas de nanómetros. Además, los nanotubos de carbono tienen el po-

tencial para ser utilizados como transistores o como interconexiones debido a que

pueden ser metálicos o semiconductores dependiendo de su quiralidad.

Las interconexiones estan consideradas dentro de los mayores retos que enfren-

ta la integración a giga escala debido al retardo que estos agregan a los caminos

críticos (critical paths), la potencia disipada, el ruido y efectos de jitter que se

induce en otras conexiones y la vulnerabilidad a fenómenos como electromigra-

ción. Los nanotubos de carbono pueden sortear potencialmente estos retos si son

utilizados óptimamente. Por otro lado debido a que en tecnologías futuras se pre-

vé que la densidad de los dispositivos, el número de metales así como el número

de vías serán incrementados, entonces habrá una probabilidad elevada de tener

fallas.

El presente trabajo se enfoca al estudio y análisis de las posibles fallas que

puedan afectar a interconexiones formadas por fajos de nanotubos de carbono

como novedoso material en las interconexiones.

Acrónimos

1D, 2D, 3D Una, dos, tres dimensiones

Al Aluminio

Ar Argón

BTBT Band To Band Tunneling

bundle Manojo o Fajo

C2 Dióxido de carbono

Cl Cloro

CMP Chemical Mechanical Polishing

CNT Carbon Nanotube

Cu Cobre

CVD Chemical Vapor Deposition

DD Double Damacene

DIBL Drain Induced Barrier Lowering

DOS Density of States

EM Electromigración

FinFET Fin Field Effect Transistor

Ge Germanio

GIDL Gate Induced Drain Leakage

H2 Hidrogeno

IC Integrated Circuit

xiii

xiv

IMD Inter-Metal Dielectric

ITRS International Technology Roadmap for Semiconductors

MFP Mean-Free-path

MOSFET Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor

MWCNT Multi-Walled Carbon Nanotube

PVD Physical vapor deposition

RC Resistencia-Capacitor

RLC Resistencia-Inductor-Capacitor

SCE Short Channel Effects

SD Single Damacene

SEM Scanning Electron Microscope

Si Silicio

SiC Carbonuro de Silicio

SiO2 Óxido de Silicio

SiOC Carbonuro Óxisilicio

SOG Spin-On-Glass

SOI Silicon On Insulator

SWCNT Single-Walled Carbon Nanotube

Ta, Ti Tantalio, Titanio

TaN Nitruro de Tantalio

TEOS-SiO2 tetra - etil - orto - silicato

TiN Nitruro de Titanio

Capítulo 1

Introducción

1.1. Estado del arte de las interconexiones

El primer circuito integrado desarrollado por Jack Kilby en Texas Instruments

y Robert Noyce en Farchild semiconductor en 1958 disparo el crecimiento de la

industria de semiconductores que llevo a la popularidad el uso de dispositivos

miniatura para uso cotidiano. Este progreso ha sido alcanzado por tres estrategias:

1. Escalamiento hacia las dimensiones mínimas.

2. Incremento del tamaño del dado.

3. Mejora en la eficiencia de empaquetamiento (por ejemplo, incremento en el

número de transistores integrados dentro de un chip).

La producción en masa de circuitos integrados, su confiabilidad, su bajo costo,

y su facilidad de integración, motivaron el uso de circuitos integrados estandari-

zados. Esto dio como resultado el dominio de los circuitos integrados dentro de

un rango muy diverso de aplicaciones que van desde computadoras pasando por

teléfonos celulares hasta hornos de microondas.

1

2 1.1. Estado del arte de las interconexiones

Figura 1.1: El primer circuito integrado-invento de Kilby (izq.), invento de Noyce (der.).

(Imagen tomada de [2])

Robert Noyce fue ingenioso al considerar depositar líneas de metal mediante

evaporación directa en vacio del aluminio [1] para unir dos componentes claves en

una sola oblea de silicio y así nacieron las interconexiones figura 1.1. La función

de una interconexión es distribuir el reloj y otras señales y suministrar las líneas

de Vdd y Gnd para varios circuitos o sistemas en un chip. La característica

fundamental de una interconexión es satisfacer una transmisión de alta velocidad

necesaria para los chips en proporción a los tamaños de acuerdo al escalamiento

tecnológico.

1.1.1. Cobre, una mejor opción que el Aluminio en inter-

conexiones

Cuando se reducen las dimensiones también las interconexiones sufren pro-

porcionalmente estos efectos. Al reducir las dimensiones de cualquier conductor

metálico éste aumenta su resistencia. La causa anterior fue el principal motivo

por el cual el aluminio empezaría a tener problemas para ser integrado con tec-

nologías cada vez menores a pesar de ser un material de menor costo. Algunas de

las razones por las que se remplazaría al aluminio por cobre son [4] [5]:

⋄ El cobre presenta menor resistividad que el aluminio, aproximadamente 40 %

menor para el mismo volumen, con lo cual implicaría menor densidad de líneas

1. Introducción 3

de interconexión.

⋄ Se estima que se podría alcanzar una reducción de casi el 40 % del retardo

usando cobre en lugar de aluminio, es decir el circuito seria más rápido con

conexiones de cobre que con las de aluminio.

⋄ La conductividad térmica del cobre es mayor que la de aluminio con lo cual

dentro de un empaquetado se disiparía mejor el calor con interconexiones de cobre

que con las de aluminio.

⋄ Debido a su menor resistividad y mayor conductividad térmica, el cobre es

más tolerante a efectos de electromigración y auto-calentamiento que el aluminio.

⋄ Mejores propiedades termo-mecánicas del cobre sobre el aluminio. Tabla 1.1.

Propiedades Termo-Mecánicas Cobre Aluminio

Modulo de Young (GPa) 128 71.1

Limite elástico (MPa) 69 10.30

Resistencia a la tensión (MPa) 220 40.90

Coeficiente de expansión térmica (ppm/C) 17 24

Tabla 1.1: Propiedades termo-mecánicas de las interconexiones de cobre y aluminio. (Datos

obtenidos de [6])

1.1.2. Grabado de metales

El grabado de los metales para el proceso de interconexiones también tiene

un papel importante, debido a que algunos metales son más adecuados que otros

para los nuevos procesos de grabado en los cuales también resulta como una mejor

opción el cobre sobre el alumino.

Existen el método de grabado convencional y el nuevo proceso Damaceno para

el grabado en metales. La forma convencional de fabricar el grabado de pistas

conductoras de un IC es llamado proceso substractivo [15]. En este proceso Una

capa de metal es depositada sobre el aislante que cubre la superficie de la oblea,


después, esta película de metal es grabada para crear las líneas de interconexión.

Finalmente, una película dieléctrica es depositada sobre este último. Las vías son

entonces grabadas sobre la película dieléctrica permitiendo la conexión con el

siguiente nivel de metal que es depositado sobre el dieléctrico que cubre el metal

anterior [12].

Para tecnologías más menores que 0.5µm es deseable remplazar el aluminio

por cobre como material conductor. Sin embargo, este es más difícil de grabar, por

lo tanto una metodología que no requiera este grabado seria preferente. Además,

los espacios entre las líneas de metal cada vez son más pequeños, y llega a ser

progresivamente difícil de llenar los boquetes con el aislante. Nuevamente, una

ventaja significante seria sí fuera posible usar un proceso que no requiriera llenar

el boquete cuando el aislante es depositado.

Una alternativa para el método substractivo es el método Damasceno figura

1.2 . Para formar interconexiones en un IC usando el proceso Damasceno, una

trinchera es hecha en la capa dieléctrica y entonces llenada con metal. El proceso

Damasceno fue creado por IBM, y empezó aplicarse con productos comerciales

de IC en 0.25µm [14].

Este método provee dos principales ventajas sobre el método substractivo.

El grabado de metal no es requerido. El proceso de grabado de metal del

método substractivo es remplazado por el proceso CMP del metal. La necesidad

de llenar los boquetes por el dieléctrico es eliminada por el CMP.

Existe solo una interface en la parte inferior para el cobre. Esto ayuda a

reducir la resistencia total de la vía.

Las interconexiones Damasceno pueden ser formados por el proceso Damas-

ceno Sencillo (SD) o Damasceno Dual (DD). El proceso DD ofrece la ventaja de

reducir el número de pasos de proceso.

1. Introducción 5

Figura 1.2: Comparación de los grabados metálicos convencional (izq.) y Damaceno (der.)

1.1.3. Problemas del cobre para su continuidad en interco-

nexiones nanométricas

La resistividad de interconexiones de cobre con secciones de corte en el ran-

go del su trayectoria libre promedio, (40nm en cobre a temperatura ambiente)

para las tecnologías más modernas, es incrementada rápidamente. El incremento

abrupto en la resistencia parasita de las interconexiones de cobre no solo incre-

menta el retado a nivel global sino también a nivel local [15]. Al mismo tiempo,

en combinación con una disminución en la conductividad térmica de los dieléc-

tricos low − k y el incremento en la demanda de corriente para interconexiones

de pequeñas dimensiones, la resistividad también trae consigo una preocupación

debido al significante incremento de la temperatura inducido por el calentamiento

Joule [6]. El enorme incremento de la temperatura degrada exponencialmente el

tiempo de vida por electromigración (EM) de una interconexión. Por lo anterior


es necesario mejorar aun más en el campo de las interconexiones y una de las

opciones es utilizar otro tipo de materiales como los nanotubos de carbono o la

fibra óptica.

Por otro lado el cobre empieza a tener problemas indeseables como el in-

cremento en su resistividad, la cual es de interés en en tema de confiabilidad

ya que este aumento de la resistividad incrementa la temperatura en metal por

calentamiento Joule y empezará a tener problemas de electromigración.

Figura 1.3: Niveles de metal en un grabado metálico (Imagen tomada de [3])

Actualmente en la industria, el cobre (Cu) está siendo usado como material

de interconexión en la manufactura de circuitos integrados. La figura 1.3 mues-

tra una vista de una sección de corte de un típico CI donde el color gris tenue

indica las conexiones metálicas. Las capas que se encuentran en la parte más

profunda consisten de transistores de unión p-n. Las subsecuentes capas arriba

mantienen las diferentes líneas de alimentación locales, intermedias y globales, así

como las señales de reloj, conectando un dispositivo de otro. Cada línea de metal

está rodeada por un dieléctrico (usualmente SiO2), previniendo cortos circuitos

y minimizando la interferencia entre las señales tanto como sea posible. Las vías

1. Introducción 7

están incluidas en las conexiones metálicas entre dos diferentes capas [6].

Sobre los años los circuitos integrados han migrado consistentemente hacia

dimensiones cada vez más pequeñas, permitiendo que más circuitería pueda ser

empaquetada en un chip. Como las características de las dimensiones se reducen,

los beneficios se multiplican [5]; el costo por unidad y consumo de potencia se ven

reducidos y las velocidades aumentan. Mientras el escalamiento de interconexiones

sirve para reducir los costos, este incrementa los retardos en valor absoluto y

disipación de energía en relación con la de los transistores. Este incremento es

debido relativamente al promedio de las largas longitudes de las interconexiones

y mayores dimensiones en los dados para sucesivas generaciones Figura 1.4. Aun

más los circuitos integrados con dispositivos en tecnologías nanométricas tienen

problemas entre los cuales están las corrientes de fuga y sobre todo el fenómeno

de electromigración [24].

Figura 1.4: Tendencia de la densidad de corriente respecto al nodo de tecnología. (Imagen

tomada de [54])

81.2. Requerimientos actuales en interconexiones para las nuevas

tecnologías

1.2. Requerimientos actuales en interconexiones

para las nuevas tecnologías

Como la resistividad en el cobre se incrementa rápidamente con la reduc-

ción de ancho, la confiabilidad en las interconexiones llega a ser un verdadero

problema. Cuanto más y más transistores son empaquetados dentro de un chip

de circuito integrado, la estrecha interconexión de cobre es exigida que soporte

enormes densidades de corriente sobre grandes distancias para que todos los tran-

sistores trabajen en su nivel optimo. Esto origina un mayor retardo RC debido

tanto a la resistencia de la línea como a la capacitancia de la carga.

Año estimado de producción 2005 2010 2020

Nodo tecnológico 80 45 14

Longitud total de interconexiones para 6 capas de

metal (m/cm2)

1019 2222 7143

Densidad de corriente máxima a 105C (A/cm2) 8.9 e+5 5.15 e+6 2.7 e+7

Retardo de interconexiones RC para 1mm de Cu (ps) 307 966 6207

Tabla 1.2: Requerimientos de la tecnología para interconexiones - Términos por año. (Datos

obtenidos de [3])

Para el uso de generaciones sub-50 nanómetros, los factores limitantes de los

sistemas basados en esquemas de interconexiones de cobre conlleva a la necesidad

de idear nuevas soluciones de interconexión. De acuerdo con la ITRS (Interna-

tional Technology Roadmap for Semiconductors), con el continuo escalamiento

de las características de los semiconductores en los chips se espera alcanzar para

2020 los 14 nm [3]. La tabla 1.2 a continuación muestra la tendencia predicha por

la ITRS para ciertos nodos de tecnología [3]. Con frecuencias de reloj que van en

el rango de los gigahertz (GHz), la resistencia parasita, la capacitancia e induc-

tancia asociada a esas líneas llevará a desarrollar cuellos de botella relacionado a

1. Introducción 9

propiedades de materiales actualmente usados.

Las vías son las fuetes más comunes de fallas debido a la presencia de altas

densidades de corriente y una no homogénea distribución de la corriente induce a

un transporte de material-electrones (electromigración). Además, dificultades en

los procesos en términos de un grabado ideal para el perfil de las paredes de la

vía y huecos libres que no puedan ser llenados por el cobre, serán agravadas por

la reducción del ancho de la conexión.

Los retos y las limitaciones de interconexiones en un chip a escala nanométri-

ca han llevado a investigaciones para buscar diseños modernos y de innovación,

técnicas de optimización de circuitos o interconexiones y otros materiales como

solución. Soluciones tales como interconexiones en tres dimensiones (3D) [16] [20]

e interconexiones ópticas [17] [19] [21] han sido propuestas para dar alternativa

al sistema metal/dieléctrico y tratar de resolver los problemas retardo/consumo

de potencia. La tabla 1.3 y las figuras 1.5 y 1.6 muestran algunas de las posibles

soluciones propuestas para los problemas en interconexiones.

Figura 1.5: Interconexiones para sistemas 3D. (Imagen tomada de [16])

Ninguna de esas soluciones se espera que se usen de manera universal so-

bre todos los tipos de productos en los circuitos integrados, como es el caso del

Al/SiO2 o el Cu/low −K. Esto es debido a que no todas esas alternativas son

apropiadas para la producción en masa. Y aunque algunas de ellas podrían ser

técnicamente realizables, no podrían ser utilizadas por razones operacionales y

económicas. Estas limitaciones técnicas y económicas alientan la exploración de

101.2. Requerimientos actuales en interconexiones para las nuevas

tecnologías

Solución Interconexiones de

geometría 3D

Interconexiones

ópticas

interconexiones

CNT

Método Esquema 3D con altura

al plano multicapa con-

vencional de IC, crean-

do rutas cortas vertica-

les para interconectar

Usando la luz como el

principal medio en lugar

de electrones, uso de fi-

bra óptica, moduladores

y detectores

Usar CNT como cone-

xiones en lugar de ma-

terial metálico, conduc-

tores balísticos

Ventajas Reduce el número y el

promedio de longitud de

las conexiones globales

Velocidad de propaga-

ción alta, mayor ancho

de banda, Facilitar la co-

municación chip-chip así

como intra-chip

Una gran capacidad de

conducir altas densida-

des de corriente, con-

ductividad térmica alta,

la menor perturbación

de las opciones.

Desventajas Mal manejo térmico de

las capas internas colo-

cadas. Requiere desarro-

llo de nuevos esquemas

de arquitectura

Componentes especiali-

zado extras son necesa-

rios, como transmisores

y receptores

Métodos de escalamien-

to en masa, desconocido

el crecimientos de CNT

con baja resistencia de

contacto.

Tabla 1.3: Comparación de diferentes soluciones para interconexiones. (Datos obtenidos de

[19] [20] [21])

Fuente Láser

Modulador Óptico

Ent

rada

señ

alel

éctri

ca

Canal Óptico

Foto-detector Etapas de ganancia

Salida señaleléctrica

Al s

iste

ma

Interconexión Óptica

Figura 1.6: Interconexiones para sistemas ópticos.

1. Introducción 11

otros tipos de materiales como los nanotubos de carbono para interconexiones.

1.3. Posibles soluciones a los problemas de esca-

lamiento en interconexiones

Desde hace algunos años se ha empezado a dar mucho interés a los nanotu-

bos de carbono como el material más cercano posible a remplazar al cobre, con

una posible integración en los procesos actuales de semiconductores y así po-

der aliviar los problemas que se tiene con el cobre, dando también una resistencia

substancialmente alta al fenómeno de electromigración y por ello menos fallas [8].

Los nanotubo de carbono son atractivos como si estos fueran ladrillos nano-

métricos para construir dispositivos con una fabricación de abajo hacia arriaba.

Estos ofrecen propiedades eléctricas únicas como la capacidad de llevar grandes

densidades de corriente excediendo los 109A/cm2, una altísima conductividad

térmica tan alta o más que la del diamante y conducción balística a lo largo del

tubo [9]. Por eso los nanotubos de carbono han sido propuestos como uno de los

candidatos más cercanos a sustituir al cobre en las futuras conexiones. Las figura

1.7 muestra las posibilidades de usar nanotubos como interconexiones.

Figura 1.7: Nanotubos de carbono como intercoenxiones. Se muestran las fases (a-d) del

crecimiento de una interconexión con CNT. (Imagen tomada de [19])

12 1.4. Nanotubos de Carbono (CNT) como una posible solución

1.4. Nanotubos de Carbono (CNT) como una po-

sible solución

Los nanotubos de carbono de pared simple (Single Walled Carbon Nanotube

- SWCNT) presentan una mejor adecuación para el desempeño de dispositivos en

la escala nanométrica, pero además son atractivos en dispositivos debido a sus

propiedades electrónicas. La tabla 1.4 muestra la comparación de algunas de las

propiedades de los SWCNT.

Propiedad Nanotubo SWCNT Comparación

Densidad 1.33 a 1.40 g/cm3 Aluminio 2.7 g/cm3

Resistencia a la tracción 45 GPaAleaciones de acero de alta re-

sistencia 2 GPa

Elasticidad

Se dobla a grandes ángulos y

regresan a su estado original

sin daño

Metales y fibras de carbono se

fracturan ante similares esfuer-

zos

Transporte de corriente Estimada 1 GA/cm2 Cobre 1 MA/cm2

Transmisión de calor Se predice ∼ 6000 W/mK Diamante puro 3320 W/mk

Estabilidad Térmica Vacio 2900 C, aire 850 C Metales en chip 600-1000C

Tabla 1.4: Comparación de propiedades de los nanotubos de pared simple (SWCNT). (Datos

obtenidos de [10])

Las propiedades interesantes de los nanotubos de carbono, como su alta re-

sistencia mecánica y capilaridad, además de presentar una estructura electrónica

única, los dirige a diversas aplicaciones en el futuro. De hecho, muchas de las

aplicaciones potenciales para los nanotubos de carbono han sido propuestas, in-

cluyendo la obtención de conductores compuestos, de alta resistencia mecánica,

dispositivos para almacenamiento y conversión de energía, sensores, dispositivos

1. Introducción 13

semiconductores a escala nanométrica, entre otras muchas.

1.5. El problema del escalamiento tecnológico en

dispositivos

En 1965 Gordon Moore hizo una reflexión importante, en relación a la progreso

en la densidad de transistores que componían los cada vez más complejos Circuitos

Integrados (CIs). Él predijo que el número de transistores por chip sería duplicado

cada tres años. Esta predicción es conocida en nuestros días como la ley de Moore

[3], la cual ha sido notablemente seguida por la industria semiconductora en las

últimas décadas. La figura 1.8 muestra la ley de Moore reflejada en la cantidad

de transistores empleados en la producción de los microprocesadores.

Figura 1.8: Ley de Moore trata de predecir la cantidad de transistores empleados en micro-

procesadores por años. (Imagen tomada de [23])

Para continuar con la tendencia del escalamiento, las dimensiones de los tran-

sistores también deben ser escaladas en un factor cada tres años. Usualmente, el

MOSFET ha sido el dispositivo utilizado por la industria de los semiconductores

para seguir con el permanente escalamiento tecnológico.

14 1.5. El problema del escalamiento tecnológico en dispositivos

Cuando se escala un transistor se reducen tanto las dimensiones físicas del

transistor así como los voltajes de operación del dispositivo en un mismo factor

β, para mantener los campos eléctricos en el dispositivo sin cambio en compara-

ción con los campos eléctricos presentes en el dispositivo original a ser escalado.

Este método, de escalamiento de campos constantes es el método más efectivo

para el escalamiento de los transistores [26]. La figura 1.9, ilustra el concepto del

escalamiento del MOSFET de campos eléctricos constantes.

Figura 1.9: Escalamiento del MOSFET a campos eléctricos constantes.

El escalamiento tecnológico de los parámetros en los dispositivos a empezado

a tener dificultades a dimensiones cada vez más cercanas al régimen nanométrico

(menor a 90 nm). Empiezan a aparecer efectos no deseables llamados efectos de

canal corto (SCE - Short Channel Effects). Por ello se incrementan las concentra-

ciones de dopado del cuerpo para minimizar los (SCE), por otro lado se reduce el

espesor del óxido de compuerta para mantener un fuerte acoplamiento capacitivo

entre la compuerta y la capa de inversión de portadores en el canal [26]. La figura

1.10 muestra un SCE como el DIBL (Drain Induced Barrier Lowering).

Debido al delgado espesor de oxido de compuerta tox se corre el riego de per-

der las propiedades ideales de aislante, esto ayuda el incremento de las corrientes

de fuga en la compuerta, las que se originan de mecanismos de tuneleo direc-

to de portadores en el dieléctrico de compuerta, manifestándose en un mayor

incremento en el consumo de potencia [26].

1. Introducción 15

Figura 1.10: El efecto de reducción de la barrera de potencial DIBL (Drain Induced Barrier

Lowering.

El incremento en el dopado del cuerpo (Bulk) favorece a una disminución en

la movilidad de los portadores debido mayor campo eléctrico vertical, manifes-

tándose en una falta de control en el manejo de corriente del transistor. Un mayor

campo eléctrico en las uniones de bulk-fuente y bulk-drenador debido a las altas

concentraciones en el dopado, igualmente conduce a un mayor incremento en las

corrientes de fuga (BTBT - Band To Band Tunneling) y (GIDL - Gate Induced

Drain Leakage) [26]. Además el dopado alto aumenta el valor de las capacitancias

de unión reduciendo la velocidad de conmutación del dispositivo.

1.5.1. El problema del escalamiento tecnológico en las in-

terconexiones

Puesto que la densidad de dispositivos en un típico circuito integrado con-

tinua creciendo debido a los intentos de manifactura por empaquetar cada vez

más funcionalidades dentro de una cierta área, las interconexión deben de enla-

zar dispositivos unos con otros y con el mundo exterior y siguiendo con la misma

tendencia. El incremento de la complejidad en las estructuras de interconexión

significa que la longitud efectiva de un conductor dentro del sistema de interco-

nexiones también tiene que crecer y porque las dimensiones del dado de un circuito

integrado limitan la cantidad de área disponible, el ancho efectivo del conductor

y el espacio (pitch) deberán disminuir. Para estructuras de interconexiones fabri-


cadas con cobre, el material usado para interconexiones, la resistividad del cobre

para un ancho de línea menor de 100nm empieza a incrementarse dramáticamente

a partir del valor del bulk 1.7 µΩ-cm debido a la dispersión de electrones en el

metal y a las interfaces, Figura 1.11.

Figura 1.11: Resistividad del cobre por ancho de línea. (Imagen tomada de [3])

El incremento en la resistividad y el correspondiente incremento en la resis-

tencia de la línea es problemático por varias razones. Primero, alta resistencia

significa perdidas altas de potencia. De a acuerdo con la ITRS, en los siguientes

tres años más del 80 % de la energía usada por un microprocesador será disipa-

da por las estructuras de las interconexiones [11]. Además, una resistencia alta

contribuye a un retardo RC significativamente alto y también cuando esto se une

a un mejoramiento deficiente en el retardo del transistor, el resultado es que el

retardo de la interconexión empieza a dominar el desempeño del sistema.

Otro reto que enfrentan las conexiones convencionales de cobre es la densi-

dad de la corriente que se transporta. Cuando la sección transversal decrece, la

cantidad de corriente que debe ser capaz de tolerar no decrece necesariamente.

Por eso, la densidad de corriente, o la corriente por área de sección de corte,

1. Introducción 17

tenderá a incrementarse. Altas densidades de corriente llevará a generar el fe-

nómeno de electromigración, electrones que inducen el movimiento de átomos.

Electromigración puede llevar a una ruptura en la línea de interconexión o cortos

circuitos entre las líneas adyacentes. De acuerdo a la ITRS una densidad de co-

rriente máxima de al rededor de 4,47× 106A/cm2 tendrán que soportar las líneas

de interconexión a nivel intermedio para el 2022 [11], y la máxima densidad de

corriente a través del cobre es al rededor de 106A/cm2. Por eso, la tecnología

de cobre que se usa actualmente será claramente insuficiente para aplicaciones

futuras de interconexiones. Los datos de la figura-tabla 1.12 muestra los requeri-

mientos de la tecnología a futuro.

Año de Producción 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020

Nodo tecnológico 28 25 22 20 18 16 14

MPU Longitud física de lacompuerta (nm)

11 10 9 8 7 6 6

Numero de niveles de metal 13 13 13 14 14 14 14

Longitud total de interconexiones

(m/cm2) – Metal 1 y 5 niveles

intermedios de metal

3571 4000 4545 5000 5555 6250 7143

Jmax (A/cm2)-conexión intermedia

(105 oC)10.6e+6 11.4e+6 14.7e+6 15.4e+6 18e+6 22.3e+6 27.4e+6

Metal 1 nodo de conexión (nm) 56 50 44 40 36 32 28

Resistividad efectiva del conductor(µ? -cm) conexión intermedia Cu

incluyendo efecto de dependencia

ancho-dispersión

5.2 5.58 6.01 6.33 6.7 7.34 8.19

Figura 1.12: Una perspectiva de los requerimientos a futuro de la tecnología (ITRS 2007).

(Datos tomados de [11])

Los nanotubos de carbono pueden dar una solución potencial a estos proble-

mas. El diámetro de la mayoría de los nanotubos de carbono (Carbon Nanotubes -

CNT) esta en el regimen nanométrico, lo que significa que éstos son esencialmente

sistemas unidimensionales capaces de transportar balísticamente a los electrones.

Sin embargo, en el actual ambiente de los circuitos integrados, la propagación de

los electrones dentro de estructuras de nanotubos de carbono es diferente debido

a que eventos de dispersión son casi inexistentes. Asimismo, transporte balístico


total será difícil de alcanzar en el sentido práctico, y la resistencia en interco-

nexiones de nanotubos de carbono será dependiente de la longitud. A pesar de

esto, el recorrido promedio libre de los electrones (MFP - mean free path) en

una estructura de CNT puede llegar a ser significativamente más grande que

para su equivalente MFP-electrón en estructuras metálicas. De hecho, trabajos

de modelado se han realizado por varios grupos que han examinado el potencial

desempeño de las estructuras de interconexión basadas en nanotubos de carbono.

Naeemi y colaboradores reportan que los bundles-CNT (Bundles (manojos) de

CNT) y monocapas pueden facilitar mejoras substanciales en la conductividad

sobre interconexiones basadas en cobre bajo diferentes condiciones; otros investi-

gadores en Stanford han comparado el desempeño de las interconexiones basadas

en CNT con las interconexiones ópticas [17]. Por otro lado, la configuración del

enlace del carbono sp2 hace de los CNT‘s extremadamente fuertes y esto mismo

es lo que los hace particularmente resistentes a fenómeno de electromigración.

Otro grupo de investigadores han demostrado experimetalmente que la densidad

máxima corriente es alrededor de 109A/cm2, se hizo pasar este flujo de corriente

a través de nanotubos de carbono de una sola capa (SWCNT - Single Walled

Carbon Nanotube) por más de dos semanas [18], la cual es hasta tres órdenes de

magnitud mayor que en el cobre.

1.5.2. Fallas de manufactura: aberturas en interconexiones

Los avances tecnológicos han hecho posible tener transistores cada vez más pe-

queños debido a que los procesos de fabricación y la litografía han sido mejorados.

Como consecuencia la complejidad de los circuitos y la densidad de integración

han estado aumentando a la par. Sin embargo diferentes tipos de alteración apa-

recen debido a las variaciones en los procesos de fabricación [24].

Los defectos de aberturas afectan la funcionabilidad de los CI de manera

permanente, intermitente o con fallas transitorias. Fallas permanentes pueden ser

1. Introducción 19

resultado de cortos circuitos, defectos de apertura o corto circuito en el oxido

de compuerta. Fallas intermitentes son las provocadas por la probabilidad que

no aparezca ningún cero. Fallas transitorias son debidas a eventos aleatorios de

partículas o fenómenos de ruido como crosstalk [25].

Una abertura total es cuando no existe influencia de la señal de entrada en

la interconexión y queda una línea de flotando. Una abertura resistiva se da

cuando el material conductivo no está completamente roto (abierto) figura 1.13.

La resistencia en esta conexión se ve incrementada como consecuencia. Los lugares

más propicios para generar aberturas son los contactos y las conexiones verticales

(vías) [26].

Figura 1.13: Tipos de abertura en interconexiones.

En las tecnologías actuales los niveles de capas metálicas que se usan son

mayores que en otrs tecnologías, lo que ocasiona que el número de vías e in-

terconexiones se incremente, donde el número tanto de vías como de contactos

para acceder a los diferentes niveles de metales, será mayor que el número de

transistores dentro de un CI.

Debido a que escalamiento de la tecnología es cada vez mayor, para conectar

los diferentes niveles de metal es requerido el uso de un gran número de vías,

además si las dimensiones físicas de las interconexiones deben reducirse acorde al

continuo escalamiento se tendrá una probabilidad elevada de que ocurran defectos

en las interconexiones en el proceso de fabricación [26], figura 1.14, lo cual puede

afectar el funcionamiento de los CIs de manera significativa.

Otras fuentes de apertura en las interconexiones que podemos mencionar [25]:


Figura 1.14: Tipos de defectos en la manufactura de interconexiones.

⋄ Efecto de desalineamiento de las vías conectando aéreas causando incremen-

to en la resistencia .

⋄ Insuficiente llenado de la vía incrementando su resistencia.

⋄ Electromigración para capas metálicas delgadas.

⋄ Errores en el proceso fotolitográfico causado por partículas indeseable.

Puesto que nuevos materiales están a la vista como candidatos potenciales

para sustituir a los metales como aluminio y cobre que se han venido utilizando

hasta ahora en las interconexiones, es tema de importancia estudiar, comprender

y comparar las posibles fallas que puedan afectar las nuevas tecnologías con el fin

de conocer y encontrar posibles soluciones a estas nuevas y diferentes tecnologías.

En la figura 1.15 se muestra una simulación del porcentaje de variación del

retardo provocado por una abertura parcial en una interconexión metálica. La

gráfica muestra en el eje de las abscisas el porcentaje normalizado a 0 para una

interconexion sin defecto y 1 para un defecto que cubre el total de la seccion

transversal de la interconxión (abertura total). Se puede ver que no existe un

retardo apreciable hasta apenas antes de que el defecto cubra el 0.9 (90 %) del

ancho de la conexión donde después de éste el retardo se proyecta e incrementa

de manera importante.

1. Introducción 21

% Tamaño-defecto

Δ Td (%)

Figura 1.15: Efecto de una abertura parcial sobre el retardo en una interconexión (100µm).

1.6. Justificación del trabajo

Lo anteriormente expuesto da un panorama general de los problemas recientes

que están apareciendo con el escalamiento de la tecnología, lo que es necesario si

se quiere tener circuitos que respondan a las necesidades actuales, en relación a

rapidez y número de funciones. Los problemas no solo afectan a los dispositivos

(con problemas como DIBL, GIDL, BTBT, variación en Vt, corrientes de fuga

etc.), sino también las interconexiones sufren problemas y defectos propios de-

bido al escalamiento tecnológico. Por eso desde hace algún tiempo se ha estado

buscando otras alternativas para mitigar los problemas hasta ahora presentados.

Algunas de esas nuevas alternativas son por ejemplo las tecnologías en SOI, los

transistores de doble aleta (FinFET), y con respecto a las interconexiones tales

como interconexiones ópticas y los nanotubos de carbono.

Cuando la tecnología es escalada aparecen nuevos problemas que afectan la

confiabilidad y el rendimiento. En las tecnologías nanométricas, la probabilidad

de que algún defecto ’spot’ ocurra, como una apertura en las vías e interco-

nexiones, es mayor que para otras tecnologías, los efectos resistivos y capacitivos

22 1.7. Organización de la tesis

relacionados con un defecto para estas nuevas tecnologías pueden traer problemas

de retardo que afecten la interconexión y un análisis de esto es de importancia

para tratar de dar una solución a este problema con esta tecnología. El estudio

de esas nuevas tecnologías así como sus posibles complicaciones sería de mucha

ayuda e importancia para poder obtener el mayor provecho de la tecnología en

auge.

1.7. Organización de la tesis

El resto de este trabajo queda organizado de la siguiente manera:

En el capítulo II, se muestra que es un nanotubo de carbono, sus principales

propiedades atómicas que son las responsables de las características eléctricas, y

mecánicas, el trasporte en sistemas unidimensionales, así como su grabado.

En el capítulo III, se muestran las características eléctricas para el modelado

de los nanotubos de carbono como posibles interconexiones. Se comparan algunos

aspectos entre las conexiones metálicas y con bundles de nanotubos de carbono.

Se analiza y se los posibles efectos que ocasione alguna impureza en metales

y bundles de nanotubos de carbono. Se comenta la metodología usada para la

simulación de este tipo de interconexión.

En el capítulo IV, se presenta el modelado de bundles de nanotubos de car-

bono. Debido a que en la actualidad no hay herramientas de simulación para

nanotubos de carbono de pared simple (SWCNT) disponibles, se implementan

los modelos matemáticos y eléctricos encontrados en literatura con ayuda de la

herramienta Maple y las simulaciones en Hspice.

En el capítulo V, en el presente capítulo se analiza los efectos que pueda

ocasionar algún defecto con ayuda del software mencionadao. Los modelos son

los aparecen en la literatura para bundles de nanotubos de carbono.

En el capítulo VI, finalmente, se presentarán las conclusiones generales de este

trabajo.

Capítulo 2

Nanotubos de carbono

El término de nanotubos de carbono (CNT) ha llegado a ser un término

descriptivo y global para nanoestructuras tubulares compuestas de carbono en

forma de láminas de grafito. Sin embargo para entender las propiedades de estos

las cuales están ligadas íntimamente con la estructura, es necesario comprender

como son los enlaces de átomos de carbono, la naturaleza química de estos y

como los cristales formados por esas hojas de grafito se arreglan entre ellas para

formar otras topologías diferentes [27].

Los nanotubos de carbono poseen una alta razón de aspecto, cilindros huecos

con diámetros en el rango de aproximadamente uno a diez nanómetros y con

longitudes por arriaba de unos cuantos centímetros y entre las formas que estos

crean están el diamante, el mismo grafito y los buckyballs. Estas diferentes for-

mas se originan gracias a la habilidad del carbono de formar orbitales híbridos

y alcanzar estructuras relativamente estables con diferentes configuraciones de

enlaces atómicos [28]. Los nanotubos de carbono existen debido a la hibridación

de los enlaces sp2 en la misma estructura del orbital que tiene el grafito.

25

26 2.1. Hibridación en Carbono

2.1. Hibridación en Carbono

Los materiales basados en carbono, grupos y moléculas son únicos en muchos

aspectos. Uno de estos se refiere a las muchas posibles configuraciones de estados

electrónicos en el átomo de carbono, lo que es conocido como hibridación de los

orbitales electrónicos. Es decir cuando en un átomo se mezcla el orden de los

electrones entre orbitales creando una configuración electrónica nueva, un orbital

híbrido que describe la forma en como se disponen los electrones para producir

las propiedades que se observan en los enlaces atómicos.

El carbono es el sexto elemento dentro de la tabla periódica y se encuentra

como elemento principal dentro del grupo IV. Cada átomo de carbono tiene seis

electrones los cuales ocupan los orbitales atómicos 1s2, 2s2 y 2p2. Cada orbital

con dos electrones de acuerdo al principio de exclusión de pauli ??. El orbital 1s2

contiene sus dos electrones fuertemente enlazados y estos son llamados electrones

de núcleo. Cuatro electrones ocupando los orbitales 2s2 y 2p2 y estos electrones

mas débilmente enlazados son los llamados electrones de valencia. En la fase

cristalina los electrones de valencia dan origen a la aparición de los orbitales 2s,

2px, 2py y 2pz los cuales son importantes para la formación de enlaces covalentes

en materias formados por carbono ??.

2px 2py 2pz1s 2s

Figura 2.1: Orbitales del carbono

Debido a la diferencia de energía entre el nivel superior 2p y el nivel inferior

2s en el carbono es pequeña comparada con la energía de enlace de los enlaces

químicos, las funciones de onda para esos cuatro electrones pueden fácilmente

mezclarse con otras, por ello el intercambio de posiciones entre el orbital 2s y los

tres orbitales 2p ayuda a incrementar la energía de enlace del átomo de carbono


con sus átomos vecinos [31]. Esta mezcla de orbitales atómicos 2s y 2p es llamada

"hibridación", por otra parte la mezcla de un electrón simple 2s con electrones

n = 1, 2, 3...; 2p, es llamada hibridación spn [35].

2px 2py 2pz1s 2s

Figura 2.2: Hibridación orbital s

2px 2py 2pz1s 2s

Figura 2.3: El orbital pz (orbital s), fortalece la otras 3 uniones

Dentro del carbono pueden existir tres tipo de hibridación: sp, sp2, sp3; otros

elementos del grupo IV exhiben hibridación sp3 principalmente. El carbono di-

fiere del Si y Ge en que el carbón no tiene orbitales atómicos interiores excepto

para el orbital esférico 1s y la ausencia de orbitales internos cercanos facilita la

hibridación implicando solamente los orbitales de valencia s y p para el carbono

[31]. La falta de hibridación sp y sp2 en Si y Ge quizás esté relacionada con la

ausencia de materia orgánica formada por Si o Ge.

(a) Arreglo de los

orbitales sp3

(b) Arreglo de los

orbitales sp2

Figura 2.4: Los orbitales son los responsables de los diferentes enlaces en los materiales y de

su comportamiento.

28 2.2. Estructura electrónica de bandas del grafeno

Orbitales sp2

Orbital pz

Figura 2.5: El carbono tiene cuatro electrones de valencia. Tres de estos electrones están

unidos a los átomos vecinos más cercanos mediante el enlace de unión sp2, de una manera

similar al grafeno. El cuarto electrón es un orbital pz semi-hibrido perpendicular a la superficie

cilíndrica, importante para el transporte de carga en grafeno.

2.2. Estructura electrónica de bandas del grafeno

Los átomos de carbono aislados cuentan con cuatro electrones de valencia en

los orbitales 2s, 2px, 2py y 2pz. Cuando los átomos de carbono se unen para formar

el grafeno, tres orbitales atómicos 2s, 2px y 2py son híbridos dentro de tres orbi-

tales 2px en el mismo plano mientras que el orbital 2pz permanece perpendicular

a los otros orbitales [28]. Los orbitales híbridos son responsables por los enlaces σ

entre los átomos de carbono adyacentes y el orbital 2pz produce enlaces π fuera

del plano del grafeno. Generalmente, las propiedades del trasporte eléctrico son

determinadas por los electrones o huecos (electrones en este caso) cerca del nivel

de Fermi, debido a que solo esos electrones tienen fácil acceso a los estados no

ocupados [33]. En el grafeno, los orbitales π, los cuales están más cerca del nivel

de Fermi, son los responsables por las propiedades de transporte eléctrico por la

formación de estados deslocalizados [33].

La estructura de bandas del grafeno proviene de los orbitales π, que pueden

ser calculados mediante una aproximación de enlace [27]. El grafeno tiene una

celda unitaria con dos átomos de carbón no equivalentes, A y B (todos los otros

átomos pueden ser trasladados a otros dos mediante un ajuste de dos vectores

unitarios, a1 y a2, como se ve en la figura a continuación. La red reciproca del


grafeno con vectores b1 y b2, puntos de alta simetría de la figura 2.6 [33].

Figura 2.6: Celda unitaria del grafeno (a) y su reciproca (b).

Para encontrar la estructura de bandas de los orbitales π del grafeno, se ne-

cesita encontrar la solución a la ecuación de Schrödinger, ecuación 2.1.

Hψ = Eψ (2.1)

Donde H es el Hamiltoniano, ψ es función total de la onda, y E es la energía

de los electrones en el orbital π del grafeno. En un sistema periódico como en el

grafeno la función de onda total puede ser construida de una combinación lineal

de funciones de Bloch ui la cual tiene una periodicidad dentro de la red. Debido

a que solamente se consideran los orbitales π que se originan del orbital 2pz de

cada átomo, entonces, una función de Bloch ui puede ser construida para cada

átomo de los orbitales 2pz de los átomos A y B como lo muestra la ecuación 2.2

[33].

UA(B) =1√N

∑A(B)

eiK·rA(B)X(r − rA(B)) (2.2)

Donde X(r) es el orbital de la función de onda para 2pz de un átomo de

carbono aislado [33]. Entonces, puede ser escrito como sigue:

Ψ = CAUA + CBUB (2.3)


Sustituyendo la ecuación 2.3 dentro de la ecuación 2.2, la ecuación de Schrö-

dinguer puede ser resuelta en una matriz de la forma,

HAA HAB

HBA HBB

CA

CB

=

SAA SAB

SBA SBB

CA

CB

(2.4)

Donde.

Hij = ⟨Ui | H | Uj⟩, Sij = ⟨Ui | Uj⟩

Por simplicidad, el traslape entre la funciones de onda 2pz de diferentes átomos

son depreciados, así SAB = SBA = 0. También se puede ver que SAA = SBB = 1,

entonces la ecuación 2.4, se puede simplificar a,

HAA − E HAB

HBA HBB − E

CA

CB

=

0

0

(2.5)

Esta matriz de ecuaciones tiene una solución no trivial solo cuando,

∣∣∣∣∣∣ HAA − E HAB

HBA HBB − E

∣∣∣∣∣∣ = 0 (2.6)

Además, HAA = HBB por simetría de la red del grafeno (donde los átomos A

y B no son distinguibles) y HAB = HBA, entonces la matriz anterior lleva a la

solución,

E = HAA∓ | HAB | (2.7)


Para calcular HAA.

HAA =1

N

∑A

∑A∗

eiK·(rA−rA∗ )

∫X∗(r − rA)HX(r − rA∗)dτ (2.8)

Si solamente se consideran los efectos de los vecinos más cercanos se deberá

evaluar la ecuación anterior para cada átomo A(B) con tres átomos vecinos B(A)

[33].

HAA =

∫X∗(r − rA)HX(r − rA)dτ = E0 (2.9)

Mientras,

HAB =1

N

∑A

∑B

eiK·(rA−rB)

∫X∗ (r − rA)HX (r − rB) dτ

=1

N

∑i

eiK·ρi

∫X∗(r)HX(r − ρi)dτ (2.10)

Donde ρi es un vector de conexión del átomo A con los otros átomos vecinos

más cercanos B, refiriéndose a al sistema de coordenadas del grafeno [33].

HAB =(eiK·ρ1 + eiK·ρ2 + eiK·ρ3

) ∫X∗(r)HX(r − ρ1)dτ

= γ0

e0

@

−iKxa√3

1

A

+ 2e

0

@

iKxa

2√

3

1

A

cos

(kya

2

) (2.11)

Donde γ0 es a menudo llamado integral de enlace o integral de transferencia,

el cual mide la fuerza de interacción de intercambio entre los átomos vecinos más

cercanos. Entonces de las ecuaciones 2.9 y 2.11 la energía de dispersión puede ser

calculada como,


E = E0 ∓ γ0

(1 + 4 cos

(√3Kxa

2

)cos

(kya

2

)+ 4 cos2

(kya

2

))1/2

(2.12)

En la ecuación 2.12, el signo negativo denota la banda de valencia de grafeno

formado por orbitales π, mientras que el signo positivo representan las bandas de

conducción formadas por los orbitales anti-enlaces π. La relación de dispersión en

la ecuación 2.12 es mostrada en la figura 2.7 a lo largo de puntos de alta simetría

del espacio reciproco con E0 = 0. Las graficas de superficie y de contorno de la

dispersión de energía se muestran en Figura 2.8. La principal característica de la

energía de dispersión del grafeno son los seis puntos K en las esquinas de la zona

de Brillouin, en donde las bandas de valencia y conducción se encuentran con una

banda prohibida igual a cero en esos puntos.

Figura 2.7: Relación de la dispersión de energía en las zonas de Brillouin. (Imagenes tomadas

de [33])

También se hace notar que dos de los puntos K (k1 y k2) no son equivalentes

debido a su simetría (los cuales son originados de los dos átomos no equivalentes

en el espacio real de la celda unitaria) [33]. El perfil circular alrededor de cada

punto K indica de alguna manera la forma cónica de dispersión cerca de cada

punto K.

La densidad de estados en el grafeno puede ser derivada de la relación de la

energía de dispersión y se encuentra que es cero en el nivel de Fermi. La banda


Figura 2.8: Gráfico de contorno de la dispersión de energía en el grafeno dada por Eq. 2.12.

Existen seis puntos de K, donde la banda prohibida es cero. De los seis puntos K, sólo dos son

no equivalentes, denotado por K1 y K2. (Imagen tomada de [33])

prohibida cero, es precisamente porque el grafeno es un semiconductor con una

banda prohíba igual a cero. La pendiente que tiene la forma cónica de la dispersión

cerca de los puntos K es proporcional a la velocidad de Fermi de los electrones

en el grafeno, alrededor de νF = 8 × 105m/s.

dE

dk∥k =

√3

2aγ0 = ~νF (2.13)

2.3. Estructura de los nanotubos de carbono

Para entender la estructura atómica de los nanotubos de carbono, uno se

podría imaginar una hoja de grafito envuelto sobre si mismo, puede ser visto como

una tira de grafeno la cual es enrollada para formar un cilindro hueco y donde este

es llamado nanotubo de una capa (SWCNT - Single Walled Carbon Nanotube),

con estructura unidimecional, con simetría axial y exhibiendo en general cierta

conformación espiral que es llamada "quiralidad".

Un nanotubo de carbono de una sola capa es definido como un cilindro for-

34 2.3. Estructura de los nanotubos de carbono

Plano de grafeno Nanotubo de carbono

Figura 2.9: Formación de un nanotubo de pared simple a partir de una lamina de grafeno.

(Imagen tomada de [39])

mado por una hoja de grafeno con diámetro entre 0.7 - 10, aunque la mayoría

de los nanotubos observados tienen diámetros < 2nm. Si se enfoca en la enorme

razón de aspecto del cilindro (longitud/diámetro la cual puede ser tan grande

como 104 − 105), esos tubos son a bien considerados estructuras nanométricas.

Existen dos tipos principales de nanotubos de carbono: los nanotubos de pared

simple (SWCNTs) y los nanotubos de pared múltiple (MWCNTs) Figura 2.10.

En SWCNTs la estructura cilíndrica consta de una sola capa de grafeno, mientras

que en MWCNTs consisten en varios cilindros concéntricos, como si se asemejara

a un rollo de pergamino, y son metálicos por naturaleza.

Figura 2.10: Estructura de una sola capa de grafito (grafeno) (izquierda), nanotubo de carbono

de pared simple (SWCNT) como una hoja de grafeno enrolladas (centro) y un nanotubo de

pared múltiple con tres capas concéntricas (derecha). (Imagen tomada de [68])

Un hecho interesante y esencial sobre la estructura de los nanotubos de car-

bono es la orientación del anillo del carbono de seis lados (el hexágono) en la red


del panal relativo al eje de nanotubo. Tres ejemplos de nanotubos de carbono

de una sola capa se muestran en la figura 2.11. Se pude ver que la dirección del

hexágono en la red del panal puede ser tomada casi arbitrariamente sin alguna

distorsión de los hexágonos excepto por la distorsión propia debido a la curvatura

de nanotubo. Esto proporciona muchas posibles estructuras para los nanotubos,

aunque la forma básica de las paredes de un nanotubo es un cilindro. En la tabla

2.1 se da una clasificación sencilla de los nanotubos.

Tipo θ Ch Sección de corte

Armchair 30 (n,n) sillón

Zigzag 0 (n,0) zig-zag

Quiral 0 < | θ | < 30 (n,m) Mescla de los dos anteriores

Tabla 2.1: Clasificación de los nanotubos de carbono

Figura 2.11: Clasificación de los nanoubos armchair, zigzag y quiral. (Imagen tomada de [32])

La clasificación del la simetría primaria de un nanotubo de carbono es o bien

quiral o bien no-quiral. Un nanotubo de carbono no-quiral es definido como un

nanotubo cuya imagen tiene una estructura idéntica a la original. Existen dos

casos de nanotubos no-quirales; nanotubos tipo armchair (sillón) y zigzag. Los

nombre de armchair y zigzag provienen de la forma del anillo de la sección de


corte. Por otro lado los nanotubos quirales exhiben una simetría espiral cuya

imagen no puede ser superpuesta al original; tales arreglos se muestran en las

figuras 2.12. Se le llama a esto un nanotubo quiral, debido a que tales estructuras

son llamadas axialmente quirales en la nomenclatura química. Se habla de quira-

lidad axial es normalmente en conexiones con actividad óptica. Así se tiene una

variedad de geometría en los nanotubos de carbono los cuales pueden cambiar de

diámetro, quiralidad y estructura terminal.

Figura 2.12: Clasificación de los nanoubos y el origen de sus nombres. (Imagen tomada de

[30])

2.3.1. El vector quiral Ch y de translación T (cuántico)

La estructura de un nanotubo de carbono de una sola capa se puede especifi-

car por un vector OA en la figura 2.13 y 2.14 la cual corresponde a una sección de

nanotubo perpendicular al eje del nanotubo (y esta sección es llamada ecuador

del nanotubo). En la red del panal del nanotubo, en la cual OB (k ∥) es la di-

rección del eje del nanotubo, y la dirección de OA (k ⊥) corresponde al ecuador.

Considerando cristalográficamente las ubicaciones O, A, B y B’, y enrollando la

hoja del panal para que los puntos O y A coincidan (así como B y B’ respectiva-

mente) de modo que pueda ser construido un modelo de papel de un nanotubo

de carbono. Los vectores k ⊥ y k ∥ definen el vector quiral (Ch) y el vector de


translación (T ) del nanotubo de carbono, respectivamente. El vector quiral Ch

puede ser expresado por el espacio real de los vectores unitarios a1 y a2 de la red

hexagonal [31].

Ch = na1 +ma2 (donde n y m son enteros, 0 ≤| m |≤ n) (2.14)

Como se muestra en la tabla un nanotubo de forma armchair corresponde al

caso donde n = m, esto es un vector quiral Ch = (n, n) y un nanotubo de la forma

zigzag corresponderá al caso de m = 0, ó Ch = (n, 0). Todos los demás casos

(n,m) corresponden a nanotubos quirales [27]. Debido a la simetría hexagonal

de la red del panal se deberá considerar solo 0≤ | m | ≤n en Ch = (n,m) para

que un nanotubo sea quiral.

Figura 2.13: Vectores en el nanotubo de carbono.

Por otro lado, el vector de traslación o cuántico, es un vector paralelo al eje

del tubo pero también es un vector conceptual el cual tiene la importancia de ser

el que marcará el camino a seguir de los portadores de carga su la conducción,

si este vector sufre algún alteración en su trayectoria recta, se vería seriamente

comprometida el paso de los portadores por las zonas de Brillouin y los puntos

de Dirac. De la misma manera el vector de translación T puede ser expresado por

el espacio real de los vectores unitarios a1 y a2.


Vectores yCh T Vectores yCh T

Figura 2.14: Vectores Ch y T en el nanotubo de carbono.

T = t1a1 + t2a2 (donde t1 y t2 son enteros,) (2.15)

Un SWCNT es construido enrollando una hoja de grafeno de tal manera que

los dos extremos de del vector Ch son superimpuestos. El tubo se describe como

(n,m), con un diámetro dado por,

D =| C |π

=a ·

√n2 + nm+m2

π(2.16)

Figura 2.15: Variacion del Vector quiral para obtener diferentes tipos de nanotubos. (Imagen

tomada de [37])


Donde a =| a1 |=| a2 | es la constate de red en el grafeno. El ángulo quiral θ

está definido entre el vector Ch y el vector de dirección zigzag (o armchair) a1,

θ = tan−1[m√

3/(m+ 2n)] (2.17)

La constante de red y el espacio dentro del tubo es necesario para generar

SWCNT, SWCNT bundles y MWNT. Estos dos parámetros varían con el diáme-

tro del tubo o en dirección radial. La mayoría de las mediciones experimentales

y cálculos teóricos están de acuerdo con el promedio de la longitud del enlace

C − C, dcc = 0,142nm o a =| a1 |=| a2 |= 0,246nm y el espacio dentro del

tubo dtt = 0,34nm, así las ecuaciones de 2.15 a 2.17 pueden ser bien usadas pa-

ra modelar varias estructuras de tubos e interpretar observaciones experimentales.

Debido a que SWCNT es una hoja de grafeno enrollada, la estructura de

bandas puede ser construida a partir del grafeno por medio de una condición de

frontera apropiada alrededor del SWCNT. De acuerdo a esto el vector quiral Ch

el cual esta a lo largo de la circunferencia de un SWCNT, debe de satisfacer una

condición de frontera periódica (es decir, la repetición de de la función de onda

cuando se rota 2π alrededor del SWCNT).

K ⊥ ·C = πdK ⊥= 2πm (2.18)

Donde d es el diámetro de un SWCNT y m es número entero cualquiera. Estas

condiciones de frontera llevan a cuantizar los valores permitidos del vector OA

(k ⊥) para SWCNT. Pues la estructura de bandas 1D de un SWCNT puede ser

obtenida de una sección de corte de la dispersión de energía del grafeno 2D con

estados permitidos del vector OA (k ⊥). Esta zona es llamada zona de esquema

de desdoblamiento de la estructura de bandas obtenida para los SWCNT‘s. Cada

corte da origen a una sub-banda 1D. Así la estructura de bandas 1D de los


SWCNT‘s es determinada por el espacio entre los diferentes estados permitidos

del vector OA (k ⊥) y sus ángulos con respecto a la zona de Brillouin del grafeno,

la cual es establecida por el diámetro y la quiralidad del SWCNT, es decir por

los índices de ajuste. Especialmente, la estructura de bandas cerca del nivel de

Fermi, que es más relevante para las propiedades de transporte, esta dado por los

estados permitidos que se encuentran cerca de los puntos K.

Cuando los estado permitidos OA (k ⊥) pasan directamente a través de los

puntos K figura 2.16, la dispersión de energía muestra dos bandas lineales cru-

zando en el nivel de Fermi sin existir alguna banda prohibida. La estructura de

bandas del grafeno es única en el sentido que la relación E-K es lineal para las

energías cerca de las seis esquinas de la zona hexagonal de Brilloiun, llevando

a una masa efectiva de los electrones [33]. Debido a esta relación de ’dispersión

lineal’ , los electrones que están cerca de los seis puntos se comportan como par-

tículas relativistas que son descritas por la teoría de Dirac para partículas de 12

spin. Por eso, los electrones son llamados Fermiones de Dirac [34].

Por otro lado, si los estados permitidos OA (k ⊥) no cruzaran por los puntos

K figura 2.16a entonces habría dos bandas parabólicas 1D con la existencia de

una banda prohibida. Por ello, podemos clasificar dos tipos de SWCNT depen-

diendo de los índices de ajuste, en metálicos sin banda prohibida figura 2.16b y

semiconductores con una banda prohibida figura 2.16c.

Las condiciones de frontera cuantizan el vector de onda en dos dimeciones 2D,

K = (kx, ky) a lo largo de la dirección de Ch, donde el par de índices (n,m) lleva la

información tanto de la helícida como del tamaño del nanotubo [31]. Lo anterior

lleva a una condición para que un SWCNT presente características metálicas.

| n−m |= 3I ó | n−m | /3 = I (2.19)

Donde I será un número entero cualesquiera.

Vale la pena mencionar que debido a que los nanotubos armchair poseen


Figura 2.16: Dispersión de energía contra el vector K (momentum) y la obtención de la

estructura de bandas. (Imagen tomada de [33])

los índices n = m, siempre satisfacen la condición de la ecuación 2.19 y por eso

siempre serán metálicos [28].

En la presente producción tecnológica, el arreglo helicoidal de los átomos de

carbono en SWCNT‘s se optiene de manera aleatoria durante el proceso de creci-

miento. Como resultado, estadísticamente 2/3 partes de los SWCNT producidos

al azar son semiconductores y solo 1/3 parte son metálicos [36]. La banda prohi-

bida para los nanotubos semiconductores está dada por,

Eg = 2dccγ/D (2.20)

Donde dcc = 0,142nm es la longitud del enlace par el grafeno C-C, γ =

2,5 − 3,2eV es el parámetro de ajuste para el átomo vecino más cercano, y D es

el diámetro del SWCNT [37].

Algo que también es interesante es la predicción de la transición de metal-

aislante. El tubo tipo armchair resulta intrínsecamente metálico pero que debajo

de una tensión de torsión se abrirá una banda prohibida. En el Zigzag (3I, 0),

que es metálico, aparecerá una banda prohibida bajo tensión de estiramiento y no


bajo la tensión de torsión. En el tubo quiral metálico, ejemplo el (9,3), aparecerá

una banda prohíba para ambos casos de tensión [38].

2.3.2. Densidad de estados (DOS)

Dado la relación de dispersión, se podría calcular la densidad de estados de

un nanotubo de carbono. La densidad de estados electrónica para materiales 1D

dimensionales será dada por, [39].

n(E) =1

π~ν(E)ν(E) =

1

~dE

dk(2.21)

Figura 2.17: Dispersión de energía y densidad de estados para Armchair y zigzag. (Imagen

tomada de [39])

Donde ~ es la constante de Planck-normalizada y ν(E) es la velocidad para


el movimiento de los electrones en la dirección +X. La densidad de estados DOS

n(E) para cada curva de dispersión se muestra en la figura 2.17. Se puede ver que

el nanotubo metálico (10, 10) tiene densidad de estados finitos en la energía del

nivel de Fermi EF = 0, y el nanotubo (10, 0) no tiene ningún estado energético

en EF .

2.4. Transporte balístico en sistemas 1D

La descripción de un conductor cuántico ideal, se ha desarrollado con un

modelo de Landauer-Büttiker de conductancia balística. Este modelo es aceptado

para cables 1D donde la longitud es menor que la trayectoria promedio libre.

La trayectoria libre promedio (Mean Free Path - λcnt) se refiere a la distancia

que una partícula es capaz de recorrer antes de sufrir una colisión. Este modelo

para conductores 1D estará unido a dos aéreas que contienen electrones de cada

extremo. En la práctica, estas aéreas de electrones son electrodos metálicos usados

para hacer contactos con el nanotubo. Cada área de electrones tiene asociada un

potencial químico, µ, figura 2.18. Cuando existe una diferencia de voltajes a través

de los electrodos, también existe una diferencia de potencial químico, ecuación

2.26.

Figura 2.18: Modelo de un conductor cuántico mediante la teoría de Landauer-Büttiker.

µ1 − µ2 = e∆V (2.22)

44 2.4. Transporte balístico en sistemas 1D

Y debido a que el canal es menor que el camino libre (MFP), los electrones no

sufren dispersión en el canal y no hay caída de voltaje a través del canal. Por ello

la caída de voltaje deberá ser dividida en las interfaces de las aéreas de electrones.

Donde la corriente que circula a través del canal puede ser definida como,

j = (µ1 − µ2)eνfdn

dµ(2.23)

Donde νf es la velocidad de Fermi y dn/du es la densidad de estados. Para

cristales 1D, la densidad de estados es,

dn

dµ=

1

π~νf

(2.24)

donde aquí ~ es la constate de planck reducida (h/2π). Sustituyendo esto y

dividiéndolo por la caída de voltaje a través de los electrodos se podrá obtener la

conductancia en el canal [40].

G0 =j

∆V=

e2

π~=

2e2

h= 77,5µS (2.25)

Esta es la conductancia máxima para cada canal en un cable cuántico 1D.

Invirtiendo para obtener la resistencia, 1/G (12,9kΩ) es la frontera más baja de

la resistencia de un cable cuántico con un solo canal de conducción.

Sin embargo, existen dos canales de conducción en un nanotubo metálico, en

K y K’, entonces la resistencia mínima es,

R0 =1

2G0

=h

4e2= 6,45kΩ (2.26)


2.5. Crecimiento y fabricación

A diferencia de los materiales típicos usados en la manufactura de los semi-

conductores, los nanotubos de carbono se producen en unidades discretas mesos-

copicamente. Por esto, la incorporación de CNT’s dentro de circuitos integrados

no es solo trabajo de depositar una película con un cierto espesor. Además los

nanotubos de carbono son materiales altamente anisotrópico, y por ello muchas

de sus propiedades útiles como la conductancia eléctrica y electrónica son tam-

bién anisotrópicas, la colocación y el alineamiento de los CNT’s son factores muy

importantes. Actualmente los procesos de manufactura de semiconductores no

son particularmente adecuados para la manipulación de dimensiones nanométri-

cas de elementos discretos como los CNT’s, lo cual obliga a que nuevas técnicas

de procesamiento sean desarrolladas [43].

Figura 2.19: Imagen SEM que muestra el crecimiento de CNT’s. (Imagen tomada de [42])

Actualmente la literatura muestra dos métodos para el crecimiento y la inte-

gración de los nanotubos dentro de circuitos integrados, los cuales todavía deben

de ser mejorados para lograr mejores resultados.

En [27] y [33] se propone un crecimiento ”bottom − up”. El nanotubo de

carbono es crecido en una capa metálica antes del depósito del dieléctrico inter-

46 2.5. Crecimiento y fabricación

metal (IMD).

Deposito de Metal

Deposito de capa metálica superior

CMP

TEOS-CVDPECVD

Patrón del catalizador

Figura 2.20: Crecimiento de CNT mediante el método ’buttom-up’.

Litográficamente se definen granos de nikel que actúan como partículas cata-

lizadoras, de las cuales las fibras de carbono son crecidas mediante crecimiento de

plasma por depósito de vapor químico (PECVD) a temperaturas por debajo de

los 700C. Durante el crecimiento, las fibras de carbono necesitan lo mas derechas

como sea posible para asegurar una buena conducción balística. Después, se de-

posita SiO2 y se planariza la oblea usando el proceso de pulido químico-mecánico

(CMP). El último paso es abrir el extremo del nanotubo para hacer contacto con

la segunda capa metálica, figura 2.20 [42].

Otro método propuesto es el de ”catalizador− enterrado” usando tecnología

damaceno figura 2.21. El sustrato que se fabrica se compone de una interconexión

de cobre y una capas dieléctricas de SiOC y SiC (a). Las trincheras que se hacen

son con fotolitografia convencional y subsecuentemente grabado en seco. Se puede

ocupar alternativamente TEOS-SiO2 (tetra − etil − orto − silicato) como una

capa dieléctrica y grabado no-seco para hacer trincheras de grandes diámetros con


Figura 2.21: Crecimiento de CNT usando ’catalizador enterrado-Damaceno’. (Imagen tomada

de [42])

CNT’s. Es colocada una capa de barrera de TaN con contactos de TiN depositado

usando un deposito físico anisotrópico de vapor (PVD), se depositan partículas

de Co de un tamaño controlado, con un sistema catalizador de nano-partículas,

para proporcionar el diámetro deseado (b). Entonces se crecen los nanotubos de

carbono, para esto se utiliza el sistema térmico CVD con una mezcla de C2 H2 y

Ar a 1 Kpa que es usado como gas (c). La muestra es cubierta con SOG (spin-

on-glass) para evitar daños a los nanotubos en el proceso de pulido CMP (d).

Las capas de TiN y TaN son pulidas usando CMP convencional (e). Finalmente

se colocan una capa de contacto de Ti y la barrera de Ta, entonces se coloca la

conexión de Cu mediante PVD sin alguna re-cocción subsecuente (f), [42].

Este método es mayormente atractivo debido a que podría ser implementado

con los métodos actuales de grabado (damaceno), los cuales son más adecuados

para una integración a nivel industrial.

48 2.6. Conclusiones

2.6. Conclusiones

En esta sección II se presenta una teoría básica para tratar de entender las

propiedades eléctricas y otras no menos importantes a cerca de este tipo de sis-

temas unidimensionales. La naturaleza atómica de los nanotubos de carbono es

esencialmente importante debido a que de su estructura atómica es posible tener

algunas de las respuestas a las propiedades impresionantes que presentan, como

conducción balística, inmunidad a problemas de electromigración y demás.

La hibridación de los orbitales electrónicos es la responsable de la fuerza y a

su vez de la elasticidad de los nanotubos de carbono. La estructura de bandas

en el grafeno es debida a un forma de transporte de carga diferente con respecto

a los metales, y muestra implícitamente comportamientos cuánticos-relativistas.

El transporte balístico también es una coincidencia del arreglo atómico que posee

el grafeno. El grabado o crecimiento de nanotubos de carbono es otro tema de

importancia si se desea implementar esta tecnología de manera industrial.

Capítulo 3

Modelado de las características de

SWCNT como interconexiones

3.1. Modelado y análisis eléctrico de interconexio-

nes con nanotubos de carbono (SWCNT)

El estudio de las propiedades de los CNT’s ha recibido una gran interés en los

últimos años. Se han desarrollado modelos circuitales para varias alternativa de

interconexiones con CNT’s comparando su desempeño con las interconexiones de

cobre. Modelos eléctricos RLC han sido desarrollados para SWCNT y bundles de

SWCNT [44] [45] [46] [47] [48] [49].

Algunos trabajos han presentado la posibilidad de remplazar las conexiones

de cobre por CNT’s [50]. Muchos de esos trabajos han mostrado que las in-

terconexiones de CNT’s pueden ser una alternativa viable para sustituir a las

interconexiones de cobre en futuras tecnologías.

El modelo eléctrico para una interconexión de nanotubos de carbono es es-

tudiado con base a los conocimientos que se tienen de las conexiones que en la

49

50 3.2. Resistencia en SWCNT

actualidad se utilizan. El esquema resistivo en SWCNT está formado por más de

una resistencia que viene dada por alguna característica del nanotubo de carbono.

Basándose en parámetros de resistencia, capacitancia e inductancia; diferentes

autores han propuesto un modelo eléctrico para nanotubos de carbono. El modelo

se muestra en la figura 3.1 [48] [45] .

R /2C

R /2Q

dx R /2C

R /2Q

R ·dxS

R ·dxV

L ·dxM L ·dxK

C ·dxQ

C ·dxE

Figura 3.1: Modelo eléctrico para un nanotubo de carbono.

El modelo corresponde a una intercoenxión-SWCNT, de la cual se parte para

analizar las características eléctricas del nanotubo de carbono usado como una

conexión.

3.2. Resistencia en SWCNT

En el capítulo 2 se comento el modelo para conductores unidimensionales me-

diante el modelo de Landauer-Büttiker para conductores cuánticos que presenten

un comportamiento balístico o cuasi balístico debido a la nula o poca dispersión

que se tiene con las paredes del la red que forman el conductor.

En el régimen balístico, idealmente, cada canal de conducción contribuye a

una conductancia cuántica, si no hay dispersión en los contactos o a lo largo de

3. Modelado de las características de SWCNT como interconexiones51

la longitud de la capa de grafeno. La dispersión en los contactos da origen a la

resistencia de contacto, la cual podría estar en el rango de los cientos de kilo-ohms

si los contactos son malos. Sin embargo, muchos reportes han indicado resistencia

de contacto en el orden de los kilo-ohms e incluso de cientos de ohms y se sigue

buscando la manera de que este parámetro sea reducido a su mínimo posible, lo

cual muestra que no debería ser una limitación fundamental el reducir el valor de

la resistencia de contacto al grado que esta pueda ser ignorada en comparacion

con la resistencia cuántica intrínseca del grafeno [51].

3.2.1. Resistencia de contacto RC

Existe una resistencia de contacto proveniente de una transmisión no-ideal a

través del contacto entre las interfaces metal y el nanotubo.

La resistencia RC modela un incremento de la resistencia concentrada debido

a la imperfección de los contactos metálicos [51]. A medida que la fabricación de

los nanotubos de carbono y las técnicas de unión ha sido mejoradas, la resistencia

adicional originada por los contactos metálicos imperfectos ha llegado a ser redu-

cida significativamente incluso en varios casos experimentales se ha aproximado

a 0 (donde : RQ +RC ≈ RQ) [52].

En nuestro estudio se ha tomado el valor de RC = 1k, el cual es el valor

utilizado normalmente en muchas publicaciones.

3.2.2. Resistencia cuántica RQ

La conductancia cuántica máxima de cada canal de conducción para sistemas

unidimensionales esta dada por [40] [33],

GQ =j

∆V=

e2

π~=

2e2

h= 77,5µS (3.1)


Donde entonces la resistencia cuántica mínima para cada canal en un SWCNT

estará dada por,

RQ =1

G0

= 12,9kΩ (3.2)

La resistencia cuántica es la frontera resistiva más baja de un conductor que

cuente con solo un canal de conducción.

Sin embargo, existen dos canales de conducción en un nanotubo metálico, para

K y K’, luego entonces la resistencia cuántica mínima dentro de un SWCNT

para longitudes menores que la trayectoria de libre promedio de las partículas

(L < λcnt), será [40].

RQ =1

2G0

=h

4e2= 6,45kΩ (3.3)

Donde h es la constante de planck y e es la carga de un simple electrón.

3.2.3. Resistencia de scatter RS (ohmica)

Las partículas también sufren dispersión por defectos una vez que la longitud

del camino que recorren (longitud del nanotubo) es comparable o superior a la

trayectoria promedio libre que está asociada con esas dispersiones (L ≥ λcnt) [51].

Como se menciono en el capitulo anterior la trayectoria promedio libre (Mean

Free Path - λcnt) se refiere a la distancia que la partícula es capaz de recorrer

antes de sufrir una colisión. Esas dispersiones son especialmente importantes en

aplicaciones como las interconexiones con CNT’s ya que longitudes relativamente

grandes son requeridas para dichas aplicaciones y por lo tanto en muchas ocasio-


nes la longitud del conductor será muchas veces mayor que su MFP.

En un circuito con nanotubos, la longitud del nanotubo es a menudo compa-

rable con el camino libre promedio (MFP), lo cual lleva a modificar la expresión

de la resistencia cuántica y tomar en cuenta esto (L ≥ λcnt), [54].

Entonces para L > λcnt habrá una resistencia cuántica, la cual aparecerá una

vez cada Mean-Free-path (unidad de longitud). Por lo tanto, para L > λcnt, la

resistencia del nanotubo es una resistencia de dispersión distribuida por unidad

de longitud (udl), lo que dará origen a una resistencia de dispersion (scatter) que

esta dada por la ecuación 3.4.

RS = RQ · L0 =

(h

4e2

)L

λcnt

(3.4)

Donde L0 es el efecto producido por la longitud del tubo, L es la longitud

del tubo y λcnt se refiere a la trayectoria promedio que recorre la partícula libre

de dispersión [40]. La dispersión, que es la responsable del valor de la longitud

del MFP, se origina de las interacciones entre un electrón y fonones, defectos y

adsorbatos. La trayectoria promedio libre puede, por ello, ser expresada como la

suma reciproca de las trayectoria promedio libre de cada una de esas fuentes de

dispersión [55].

1

λ=

1

λph,ac

+1

λph,op

+1

λd

+1

λa

(3.5)

Donde λph,ac y λph,op son los MFP para dispersiones por fonones acústicos y

ópticos, λd es el MFP para dispersión por defectos, y λa es el MPF por adsorbatos.

El valor total para MFP en este caso de estudio para un SWCNT es dominado

por λph,ac ya que los otros tres aportan solo una pequeña porción al valor total


de este. λph,op tendría una mayor influencia a temperaturas elevadas (> 1000k),

el λd es el mínimo ya que siempre se buscara crear nanotubos casi perfectos a

menos que fueran para algún otro fin y de igual manera sucede con λa [51] [40].

La modificación al modelo principal nos genera una expresión donde se incluye

el efecto de la dispersión por longitud, donde el parámetro a comparar es el MFP.

Diámetro del nanotubo ( )nm

Tra

ye

cto

ria

Lib

reP

rom

ed

io

()

µm

Figura 3.2: Variación del MFP con la variación del diametro. (Imagen tomada de [52])

Datos experimentales revelan en la figura 3.2 que el MFP varia de manera casi

lineal con el diámetro del nanotubo [52], de donde se toma como referencia para

el MFP un valor aproximadamente igual al diámetro del nanotubo con el cual se

estará trabajando. Los datos obtenidos para el MFP en este trabajo (1.18µm) son

un solo un poco mayores al que corresponderían de acuerdo al diámetro que se

está utilizando (1nm). Por ello, se decidió tomar el valor usado en publicaciones

de 1µm para el diámetro utilizado de 1nm.

3.2.4. Resistencia dependiente del voltaje RV

La resistencia de un SWCNT es dependiente del voltaje que se le aplica. Se

ha encontrado dos variaciones principales de operación, en polarización baja y

polarización alta. Para una baja polarización (V b ≈≤ 100mV ) es la suma de las


resistencias RQ, RS y RC , siguiendo las condiciones siguientes para la longitud

[52].

Rp−baja = RQ +RC si L ≤ λcnt

Rp−baja = RS +RC si L > λcnt (3.6)

Donde es de valor hacerse notar que en este trabajo se utilizará siempre lon-

gitudes mayores que el MFP y que la Rs es la resistencia cuántica dependiente

de la longitud, para tomar en cuenta el efecto de la longitud del tubo.

Para alta polarización (Vb ≈≥ 100mV ) la resistencia tiene un factor que

depende del voltaje que se está aplicando, el cual se suma a la resistencia para

baja polarización.

RV =dV(X)

I0(3.7)

Entonces si se cumplen las condiciones para la coexistencia de estas resisten-

cia por unidad de longitud, la resistencia total estará dada por la suma de la

resistencia de polarización baja y el factor de polarización alta.

Rp−alta = Rp−baja +dV(X)

I0(3.8)

Donde Io es la corriente máxima que puede fluir a través de un SWCNT, la

cual es aproximadamente 25µA [56]. En este trabajo siempre se trabaja con alta

polarización (es decir V b ≥ 100mV ) debido a que al utilizar buffers en la entrada

y la salida estos difícilmente responderían favorablemente con una polarización

menor a 100mV. Esta resistencia se suma e incrementa de manera desfavorable,

56 3.3. Capacitancia en SWCNT

lo cual afectaría el desempeño de una conexión con un solo nanotubo de carbono.

3.2.5. Resistencia total para un CNT aislado

La expresión 3.9 es el resultado de la resistencia total para un solo CNT. Por

ello es necesario encontrar otros caminos de aprovechar las inmejorables propieda-

des de los nanotubo de carbono sorteando inconvenientes como la alta resistencia.

Esta relación de resistencias y sus factores están dados por unidad de longitud.

Raislado = RC +RQ + (RS +RV )dx (3.9)

Como se puede observar la resistencia en los nanotubos de carbono es sin

duda un problema complicado con el que se debe lidiar para trabajar con este

nuevo material, por otro lado si se lograra minimizar los efectos de la resistencia

se tendría un exelente material conductor.

3.3. Capacitancia en SWCNT

La capacitancia para un SWCNT es originada de dos fuentes: una capacitancia

denominada electrostática y otra denominada cuántica.

3.3.1. Capacitancia electrostática CE

La capacitancia electrostática es calculada usando una técnica estándar de

igualar la energía electrostática que se almacena en los canales de conducción

dentro del nanotubo y una energía capacitiva, donde se usa la relación entre E y

Q en la geometría de interés [51]. El modelo para obtener la capacitancia electros-

tática en un SWCNT es calculada tratando un CNT como un único conductor

con diámetro ”d” colocado a una distancia ”y” de un plano de tierra, esta sería

la capacitancia intrínseca para un SWCNT aislado [54].


Figura 3.3: Conductor aislado, con diámetro ’d’ sobre un plano a tierra a una distancia ’y’.

El término ’electrostática’ resulta de la aproximación de la capacitancia usan-

do la relación entre la carga estática y el campo eléctrico estático [40].

∮ −→E · d

−→A = E(2πrL) =

Q

ε0

entonces, E =Q

2πε0rL(3.10)

V = −∫ a

b

−→E · d

−→l = −

∫ a

b

Edr =

∫ b

a

Q

2πε0rLdr =

Q

2πε0Lln

(b

a

)

C ≡ Q

V=

2πε0L

ln

(b

a

) (3.11)

Así tenemos la expresión para la capacitancia electrostática, y que en la lite-

ratura aparece como una capacitancia por unidad de longitud para homogenizar

con la resistencia que también es por unidad de longitud, ecuación 4.7.

CE =2πε

ln(yd

) (3.12)

Para una situación típica, el SWCNT se encontrara encima de un sustrato

aislante (típicamente óxido). El espesor del aislante es de 1µm y para el diámetro

del nanotubo será de 1nm; de este modo el valor para la capacitancia electrostática

por unida de longitud es CE ≈ 30aF/um.

58 3.3. Capacitancia en SWCNT

3.3.2. Capacitancia cuántica CQ

En un gas de electrones clásico (en un recipiente en una, dos o tres dimen-

siones), es posible agregar un electrón extra sin costo de energía. En un gas de

electrones cuántico (en un recipiente en una, dos o tres dimensiones), debido a

que el principio de exclusión de Pauli dicta que no es posible agregar un electrón

con una energía menor que la energía del nivel de Fermi EF [40]. Es decir se de-

berá agregar un electrón a un estado cuántico disponible por encima del nivel de

Fermi EF . En un sistema 1D de longitud L, el espacio entre los estados cuánticos

esta dado por,

δE =dE

dkδk = ~vF

2π

L(3.13)

Donde L es la longitud del sistema. Al igualar el costo de la energía con una

capacitancia cuántica efectiva de energía dada por la realción,

e2

CQ

= δE (3.14)

Y se llega a la expresión para la capacitancia cuántica por unidad de longitud

[40][54].

CQ =2e2

hvF

(3.15)

De la cual e es la carga de un simple electrón, h es la constante de planck y νF

es la velocidad de Fermi (νF ≈ 8× 105m/s). De la expresión 3.15 numéricamente

resulta una capacitancia cuántica por unida de longitud CQ ≈ 100aF/µm.

Debido a que un nanotubo tiene cuatro canales de conducción, la capacitancia

cuántica efectiva será obtenida de la suma de cuatro capacitancias cuanticas en


paralelo, y estará dada por 4CQ.

Para un mejor entendimiento del comportamiento capacitivo de elementos en

circuitos nano-electrónicos, las capacitancias cuántica y electrostática deberán ser

tomadas en cuenta.

3.4. Inductancia en SWCNT

La Inductancia ha sido definida convencionalmente como la resistencia al cam-

bio de la corriente debido a la ley de Faraday, y representa la energía almacenada

en el campo magnético generado por la corriente [51]. El total de la energía aso-

ciada con la corriente eléctrica es la suma de la energía almacenada en el campo

magnético y la energía cinética de los electrones.

3.4.1. Inductancia Magnética Lm

La inductancia magnética asociada con un SWCNT aislado puede calcularse

a partir del campo magnético de un alambre aislado de transporte de corriente

a cierta distancia de un plano de tierra como en el caso de la capacitancia [51].

La inductancia magnética es calculada usando una técnica estándar igualando la

energía magnética almacenada con la energía inductiva y usando la relación entre

I y B en la geometría de interés, para este caso al igual que la capacitancia un

conductor sobre un plano de tierra [40][56].

∮ −→B · d

−→l = B

∮d−→l = B(2πr) = µ0I luego, B(r) =

µ0I

2πrϕ

entonces tendremos,

Lm =µ

2πcosh−1

(h

d

)(3.16)

60 3.4. Inductancia en SWCNT

Y se llega a la expresión para la inductancia magnética por unidad de longitud.

Lm =µ

2πln(yd

)(3.17)

Se utiliza el mismo esquema que en la capacitancia figura 3.3, el SWCNT por

encima de un sustrato aislante (típicamente óxido). El espesor del aislante será

de 1µm para un diámetro del nanotubo de 1nm; de este modo el valor para la

inductancia magnética por unidad de longitud es Lm ≈ 1,4pH/µm.

3.4.2. Inductancia Cinética Lk

La contraparte mecánica para la inductancia es la masa, ya que se opone a

la velocidad de cambio y origina una energía cinética (1/2mv2) [51]. La corriente

eléctrica es el flujo de portadores que tienen masa distinta de cero y por lo tanto

energía cinética distinta de cero.

Una descripción más exacta de la inductancia cinética viene de la teoría de la

mecánica cuántica [51][40].

k

E

EF-L

EF-RE

EF

kF

L2π

δk=

k

Figura 3.4: Energía del electrón v/s el vector de onda en un conductor cuántico.

Los estados de energía disponibles en un conductor cuántico ideal se ven


en la figura 3.4. Estos estados pueden ser calculados resolviendo la ecuación de

Schrödinger para una dimensión y aplicando las condiciones de frontera. Así,

debido a la aproximación degenerativa, se puede asumir que todos los estados de

energía por debajo del nivel de Fermi están ocupados y los que se encuentran por

encima del nivel de Fermi están vacantes. Para corriente igual a cero el número

de electrones moviéndose de izquierda a derecha es el mismo que el número que se

mueve en dirección opuesto, cancelando así el impacto de ambos [51]. Para generar

una corriente, algunos de los electrones que se mueven a la izquierda deberán

de convertirse en electrones de la derecha o vice versa. Debido al principio de

exclusión de Pauli, los electrones que se mueven tienen que ir a niveles de energía

más altos. Por eso, cuando una corriente se incrementa, el total de la energía

cinética de los electrones también se incrementa. La inductancia cinética por

unidad de longitud de un conductor cuántico puede ser calculada por [54],

Lk =h

2e2νF

(3.18)

Donde h es la constante de planck, e es la carga del electrón y νF es la ve-

locidad de Fermi (νF ≈ 8×105m/s). Lo que numéricamente será Lk ≈ 16nH/µm.

Los cuatro canales de conducción en paralelo en un nanotubo generan cuatro

inductancias en paralelo y dan origen a una inductancia cinética efectiva dividida;

como Lk/4.

3.5. Conclusiones

En este capítulo se estudia las características del modelo eléctrico con nano-

tubos de carbono de una sola capa, la obtención de sus características, las más

importantes tales como resistencia, capacitancia e inductancia. Se estudia las di-


ferencias entre sus características y la importancia que tienen en el transporte de

la corriente.

La comprensión de las características eléctricas de un nanotubo de carbono

simple es de suma importancia ya que partiendo del entendimiento de éstas es

posible comprender cómo podrían funcionar sistemas más complejos como los

bundles de nanotubos de carbono, los cuales ofrecen mejores ventajas que un solo

SWCNT usado como intercoenxión.

Capítulo 4

Modelado de las características de

bundles-CNT en interconexiones y

sus defectos

4.1. Bundles de SWCNT para interconexiones

Los CNT metálicos han despertado un gran interés como interconexiones VLSI

del futuro [44] [54] [58] [59] [50] [60] [61], debido a sus extraordinarias propiedades

eléctricas y térmicas. Los CNT’s han demostrado una capacidad de transporte de

corriente de más de 1010A/cm2 sin alguna señal de daño, incluso a una tempera-

tura elevada de 250C [62] [63], eliminando así los problemas de confiabilidad por

electromigración (EM) que afectan hoy a las interconexiones de cobre en la escala

nanométrica.

Aunque la capacidad de conducción de corriente de un CNT aislado es mucho

mayor que la del cobre, tiene una alta resistencia (mínimo teórico de 6, 45ΩK [33]

[40] [64]). En la práctica, la resistencia observada de un CNT individual pueden

ser mucho más alta [65] [66], debido a la presencia de contactos imperfectos metal-

63

64 4.1. Bundles de SWCNT para interconexiones

nanotubo. La alta resistencia que tiene un simple CNT es sumamente alta como

para utilizarse como interconexión, con lo cual una salida viable a esto es el uso

de un "bundle"(paquete-fajo) de CNT’s que transporte la corriente en paralelo

para formar una interconexión de baja resistencia [44] [58] [59].

d=1nm

Distancia interna-CNT

x=d+δ

δBundle-CNT

n =4w

n =5h

δmin≈0.32nm

a) b)

Figura 4.1: a) El bundle-CNT incrementa el número de nanotubos en una conexión para

reducir la resistencia efectiva de esta. b) Empaquetamiento densidad-triangular con separación

mínima δmin (Van der waal)

El espacio mínimo inter-tubo observado en bundles de SWCNT es 0,32nm,

característico del enlace inter-tubo de Van der Waal. Además en la realidad prac-

tica no todos los CNT’s dentro de un bundle resultan ser metálicos en los procesos

actuales. Como se mencionó en el capitulo anterior, en la actualidad la probabi-

lidad de obtener nanotubos metálicos es de 1/3. Por otra parte, otras técnicas de

fabricación no ofrecen un empaquetado denso en los bundles de CNT’s.

Se supone que los nanotubos metálicos que forman un bundle transportan la

corriente independiente el uno del otro (existe una gran resistencia de tuneleo

∼MΩ entre CNT’s adyacentes) [67].

Los Bundles pobremente densos y la presencia de CNT no metálicos (que

no contribuyen a la conducción de la corriente) se toman en cuenta mediante la

4. Modelado de las características de bundles-CNT eninterconexiones y sus defectos 65

adopción de una distancia mayor que la distancia de centro-a-centro entre nano-

tubos adyacentes (X > Xmin).

Las expresiones para calcular el número de CNT’s en un bundle se muestran

en las ecuaciones 4.1 y 4.2 donde nH es el número de líneas en el bundle de

interconexión, nW se refiere al número de columnas y nCNT es el número total de

CNT’s dentro del bundle [45].

nW =

[w − d

x

]nH =

[h− d

x(√

3/2)

]+ 1 (4.1)

nCNT = nWnH − nH

2si nH es par (4.2)

= nWnH − nH − 1

2si nH es impar

Las propiedades eléctricas y los parámetros de un circuito equivalente para

los bundles, debe de ser cuidadosamente estudiadas con el fin de determinar la

aplicabilidad de los CNT’s como interconexiones en VLSI del futuro [68].

Figura 4.2: Modelo esquemático de una conexión bundle de nanotubos de carbono con sus

principales características eléctricas.

Lo anterior requiere un modelado detallado de la resistencia, capacitancia e

inductancia del bundle, mientras se incorporan características físicas que descri-

ban mejor a los conductores de baja dimensión. La figura 4.2 muestra el modelo

eléctrico de un bundle-CNT para su estudio [45][54][68][69][70].

66 4.2. Resistencia de una interconexión bundle-SWCNT

4.2. Resistencia de una interconexión bundle-SWCNT

Para el calculo de la resistencia efectiva de un bundle-CNT, se trabaja so-

lamente con los nanotubos metálicos, que participan en el transporte de carga

(aproximadamente 1/3 del total). De hecho, en general, es complicado controlar

las propiedades de conductivas de todos los nanotubos de carbono dentro del

bundle lo que explica la baja densidad de empaquetamiento.

4.2.1. Resistencia en los contactos del bundle

La resistencia en los contactos para un bundle de SWCNT’s por unidad de

longitud, es prácticamente la misma que para un nanotubo simple, con la excep-

ción de que la resistencia en el bundle, la suma de las resistencias cuántica y de

contacto, es dividida entre el número de nanotubos que forman el bundle, además

dividida entre dos debido a los dos contactos de los extremos en la interconexión.

RCbundle=

(RC +RQ)

2nCNT

(4.3)

4.2.2. Resistencia por unidad de longitud en bundle (p.u.l.)

La resistencia por unidad de longitud para un bundle de SWCNT’s es dada

por la suma de dos resistencia, las cuales se repiten cada MFP y esta dada por

la ecuación 4.4, donde Rs es la resistencia cuántica de un solo nanotubo, Rv es

la resistencia dependiente del voltaje y nCNT es el número total de CNT’s que

transportan corriente y que forman el bundle.

RSbundle−pul=

(RS +RV )

nCNT

(4.4)


Así, la resistencia para un bundle-CNT’s estará dada de acuerdo al modelo

eléctrico por cuatro componentes, la resistencia cuántica, la resistencia de con-

tacto, la resistencia de dispersión u óhmica y la resistencia de polarización (pola-

rización alta en este caso), las cuales son las mismas que aparecen en el modelo

eléctrico para un simple nanotubo de carbono. Debido a que dentro un bundle

los CNT’s se encuentran paralelos entres si, será como tener un arreglo de con-

ductores altamente resistivos y del mismo valor en paralelo, lo cual producirá que

la resistencia se vea dividida entre el número total de conductores que participan

en el trasporte de la corriente. Por esa razón, los cuatro elementos resistivos en el

modelo verán su resistencia dividida entre el número de nanotubos que participan

en la conducción de corriente.

Rbundle =RC +RQ + (RS +RV )

nCNT

(4.5)

Luego entonces la expresión total para la resistencia de un bundle será el

resultado de sumar las resistencias individuales, donde RC , RQ, RS y RV , son la

resistencia de contacto, cuántica, dispersión y de la polarización respectivamente,

y nCNT el número de nanotubos de carbono que participan en la conducción de

la corriente, ecuación 4.5.

4.3. Capacitancia de una interconexión SWCNT-

bundle

4.3.1. Capacitancia electrostática en bundles

Para un análisis electrostático del bundle-CNT’s, donde cada SWCNT es tra-

tado como un metal clásico con un potencial uniforme a través del tubo. La ex-

presión que muestra la capacitancia electrostática intrínseca (CE) para un CNT

68 4.3. Capacitancia de una interconexión SWCNT-bundle

aislado, se muestra en la ecuación 4.7. Las líneas de campo procedentes de un

CNT aislado para este caso se muestran de manera esquemática en la figura 4.3.

Figura 4.3: Esquema que muestra la terminación de las líneas de campo eléctrico para (a)

un conductor aislado sobre un plano de tierra, y (b) un conductor en el borde inferior de un

paquete rodeado por otros cuatro conductores.

Además, también se muestra la situación para un CNT en una sección trans-

versal en el fondo de la cara de una interconexión bundle el cual está rodeado por

otros cuatro nanotubos.

Se podría esperar que la mayoría de las líneas de campo terminaran en los

CNT’s que están al rededor, y que el acoplamiento capacitivo para ese nanotubo

será muy alto debido a la corta distancia de separación entre ellos. Sin embargo

la capacitancia mutua entre los CNT’s de la misma conexión bundle no es de

consecuencias, puesto que no suma ninguna carga adicional sobre la intercone-

xión. Esto es porque, cuando el CNT transporta corriente, se supone que cada

CNT se mantiene al mismo potencial que los demás [45] [69]. Así, la capacitan-

cia electrostática del bundle que aparecerá como carga para la interconexión es

esperada que se origine principalmente del sustrato y de los laterales de las caras

de la conexión bundle (vecinos a la derecha e izquierda). El acoplamiento con las

interconexiones adyacentes se esperaría que sea mayor que aquel con el sustrato

y sin interconexiones vecinas, debido a la proximidad de estas.


Debido a la escasa información sobre capacitancia electrostática de un bundle-

CNT, esta se basada en la caracterización de una geometría familiar, donde para

ello es usado el solucionador de campo FastCap de donde se extrajeron expre-

siones para la capacitancia electrostática del bundle tomando en cuenta tanto la

geometría de la conexión como la posición y el número de tubos que intervendrían

para esta capacitancia [71].

El estudio se hace de acuerdo a lo señalado en las publicaciones [45] con

dos planos adyacentes que pueden ser dos conexiones vecinas, las cuales siempre

estarán aterrizadas y donde la única conducción de corriente será por la conexión

central, figura 4.4. El motivo para elegir este modelo es porque es el único que

incluye el efecto numérico y de posición de los nanotubos en las caras de la

interconexión, se hace notar que no es un estudio Crosstalk, ya que los planos

laterales siempre están aterrizados.

Figura 4.4: Esquema de la geometría de la sección transversal en la interconexión de estudio

para trabajar con bundles-CNT.

Por otro lado, para tratar de evitar un efecto mayor de estos planos para

nuestro estudio se alejan éstos una distancia mucho mayor a la establecida en las


publicaciones [45].

El total de capacitancia electrostática para cada nanotubo respecto a sus

vecinos de la derecha e izquierda y el sustrato también son evaluados en las pu-

blicaciones usando el solucionador de campos FastCap, figura 4.4. Se observa que

el total de la capacitancia de acoplamiento para esos CNT’s puede ser en gene-

ral relacionada con el valor la capacitancia a algún plano, (CE) de un conductor

aislado con respecto a los planos vecinos o del sustrato, ecuaciones 4.7.

CEn =2πε

ln

(S

d

) CEf=

2πε

ln

(S +W

d

) (4.6)

Donde las ecuaciones CEn y CEf son las capacitancias intrínsecas a algún

plano, ε es la permitividad de medio, ’S’ es la distancia entre extremos de co-

nexiones vecinas (para el caso de los laterales) y ’d’ es el diámetro de un nanotubo.

Lateralmente, estas capacitancias son calculadas para un SWCNT aislado so-

bre un plano adyacente. CEn es calculada suponiendo que el plano lateral, esta

a una distancia igual a la distancia de la separación del plano más ”cercano”

(distancia ’S’, para 1,4,5 y 6). CEf se calcula suponiendo que el plano adyacente

esta a una distancia igual a la distancia de la separación del plano más ”lejano”

(distancia ’S+W’, para 1,4,5 y 6, figura 4.5).

Para el cálculo de la capacitancia con la cara a sustrato se utilizan las mismas

ecuaciones pero para ello se cambia la distancia ’S’ por la distancia ’h’ que es

la distancia desde el sustrato hasta la base de la interconexión. En este caso lo

que se cambia es la cara de referencia (superior o inferior) para un mismo plano

(sustrato), CEn es calculada suponiendo que el plano a sustrato, esta a una dis-


Figura 4.5: Esquema de la geometría de la sección transversal en la interconexión con infuecia

de planos laterales. (No es crosstalk)

tancia igual a la distancia de la separación de la cara inferior "la más cercana"

(distancia ’h’ para 1 y 2). CEf se calcula suponiendo que el plano a sustrato esta

a una distancia igual a la distancia de la separación de la cara superior "la más

lejana" (distancia ′h+ h′bundle para 7 y 9, figura 4.6).

Figura 4.6: Esquema de la geometría de la sección transversal en la interconexión con infuecia

del plano a sustrato.


CEn =2πε

ln

(h

d

) CEf=

2πε

ln

(h+ hbundle

d

) (4.7)

Como se comento en párrafos anteriores, la capacitancia electrostática de aco-

plo a tierra es muy pequeña para CNT’s completamente rodeados por otros nano-

tubos comparado con aquellos que se encuentran a lo largo del borde del bundle

(ejemplo #8, de 3 a 4 órdenes de magnitud menor). Los nanotubos casi completa-

mente rodeados tienen capacitancia a sustrato alrededor de un orden de magnitud

menor (ejemplo #3), que aquellos que se encuentran a lo largo de los bordes del

bundle [45]. Sus contribuciones a la capacitancia electrostática total son apenas

apreciables y se podrían por ello despreciar el efecto de aquellos nanotubos total-

mente rodeados. Las contribuciones de esos CNT’s es obtenida también mediante

el solucionador de campo FastCap, algunas de estas expresiones 4.8.

CCNT1 =CEn

2, CCNT2 =

CEn

4

(1 +

1

5

)CCNT4 =

CEf

4, CCNT6 =

CEf

6(4.8)

Con lo cual una primera relación de la capacitancia electrostática sobre alguno

de los planos sería, la suma de las contribuciones de cada uno de los nanotubos

de carbono que componen el bundle.

CbundleEplano

= 2CEn +nW − 2

2CEf +

3(nH − 2)

5CEn (4.9)

Así, la capacitancia electrostática total aportada por cada lado del bundle y

el sustrato (capacitancia a tierra), basándose en los valores correspondientes para

CE por unidad de longitud, estaría dada por la suma de las capacitancias elec-

trostáticas que se generarían de la interacción con algún plano vecino aterrizado

y con al plano a sustrato, como lo muestra la relación 4.10 [45][54].


CbundleETotal

= CEsustrato + CElateral(4.10)

Donde CEn y CEf son las capacitancias cercana y lejana a las interconexiones

vecinas, nH y nW son el número de filas y columnas respectivamente en el bundle

(vistas en las ecuaciones 4.1).

4.3.2. Capacitancia cuántica en bundle

Puesto que la capacitancia cuántica de todos los nanotubos que forman un

bundle-CNT aparece en paralelo, la capacitancia cuántica efectiva sería la suma de

las capacitancias cuántica individuales. La expresión para la capacitancia cuántica

total en un bundle será dad por la ecuación 4.11,

CbundleQ = CCNT

Q · nCNT (4.11)

Donde CCNTQ se refiere a la capacitancia cuántica por unidad de longitud de

un CNT aislado y nCNT es el número total de nanotubos que participan en la

conducción de corriente en el bundle.

La capacitancia efectiva total para un bundle por unidad de longitud, según

el modelo eléctrico, será la combinación en serie de la capacitancia electrostática

y cuántica, como se muestra en la ecuación 4.12.

1

CbundleTotal

=1

CbundleQ

+1

CbundleE

(4.12)

74 4.4. Inductancia de una interconexión bundle-SWCNT

4.4. Inductancia de una interconexión bundle-SWCNT

Bajo el supuesto de que los nanotubos de un paquete están magnéticamente

aislado (sin efectos inductancia mutua), la inductancia efectiva puede ser trata-

da como la combinación en paralelo de la inductancia correspondiente a cada

SWCNT por unidad de longitud[68].

Lbundle =LCNT

k + LCNTm

nCNT

(4.13)

Donde Lk se refiere a la inductancia cinética por unidad de longitud de un

CNT aislado y Lm es la inductancia magnética por unidad de longitud de un

CNT aislado y nCNT es el número de nanotubos que participan en la conducción

de corriente.

Si L es mucho mayor que λCNT , la Lm es dominante sobre Lk, es decir Lk

tendrá efecto significativo cuando L < λCNT [54].

Así, las condiciones para los efectos de inductancia en un bundle serán dados

por la condiciones siguientes.

Lbundle =(Lm + LK/4)

nCNT

Sí L < λCNT

Lbundle =Lm

nCNT

Sí L >> λCNT (4.14)

La inductancia mutua entre los CNT’s dentro del Bundle se omite en este tra-

bajo, por la ausencia de estudios experimentales y teóricos especialmente. Para

este estudio se intento incluir el efecto de la inductancia mutua entre los CNT’s

en el bundle, pero los resultados afectaban de manera considerable en el retardo

de la interconexión lo, cual contrasta gravemente con las propiedades de este tipo

de interconexiones. Más aun, la mayoría de las publicaciones menciona que la


omisión de esta inductancia no tiene un mayor impacto en el desempeño de un

análisis como este [68]. Las publicaciones muestran que los efectos de la induc-

tancia tendrán un mayor impacto a frecuencias por arriba de algunas decenas de

Gigahertz [45][54].

4.5. Modelo para Crosstalk en bundles

Para analizar el efecto de crostalk se utiliza el modelo de capacitancia mutua

conocido (ver sección 4.3.1). El modelo para interconexiones con efecto capacitivo

mutuo, se percibe como dos conexiones que están colocadas en paralelo y entre

las cuales existirá una capacitancia de acoplo entre sus paredes. La capacitancia

mutua entre estas conexiones se encuentra situada en medio del arreglo de las

capacitancias cuántica y electrostática para cada unidad de longitud y conectará

a ese mismo nodo en la interconexión adyacente [72].

Para conexiones con dos líneas agresoras la capacitancia mutua se encuentra

colocada de la misma manera, la figura 4.7 muestra el esquema de conexión

crosstalk.

Figura 4.7: Modelos eléctricos para efectos de crosstalk con uno y dos agresores.

76 4.6. Modelo de defectos para SWCNT-bundle

Los diagramas de crosstalk corresponden para un agresor y dos agresores;

donde se muestra la celda unidad (debida por unidad de longitud), la cual se

repite tantas veces hasta alcanzar la longitud deseada. La capacitancia mutua

que existe entre conexiones se calcula de la expresión 4.9, de la cual como se vió

en secciones anteriores (4.3.1) se obtiene la capacitancia a planos o conexiones

vecinas.

4.6. Modelo de defectos para SWCNT-bundle

Los defectos que afectan a las interconexiones se han convertido en un tema

de importancia para las tecnologías actuales. Un defecto de apertura por ejem-

plo puede ocurrir durante diferentes procesos en la manufactura ocasionando una

discontinuidad en alguna línea física que conecte dos nodos de un circuito del

diseño original, lo cual ocasiona la perdida de la conexión eléctrica entre los no-

dos. Por otro lado, cuando el defecto no genera la pérdida total de la conexión

eléctrica entre dos nodos, el defecto sí ocasionará un cambio en las características

eléctricas de la conexión, variación en la resistencia o la capacitancia por ejemplo.

La presencia de defectos durante los procesos de manufactura, como por ejem-

plo pequeñas partículas (Spots), que puede causar fallas en una línea dentro de un

circuito provocando pérdida o acumulación de materia sobre las interconexiones

o vías. Si un defecto de ’spot’ provoca perdida de material, las conexiones sufren

una reducción de su área transversal sin llegar a ocasionar una apertura total de

la conexión.

Esta conexión defectuosa representa el riesgo de una posible falla dentro del

CI. En conexiones metálicas podemos hablar de diversos problemas entre ellos

uno de los más graves el de electromigración. En nanotubos de carbono debido

a que estos no sufren este problema (por soporta altas densidades de corriente)


la principal preocupación sería el incremento de su resistencia. Luego entonces,

los defectos físicos debido a la variación de los procesos de manufactura en tec-

nologías actuales y nuevas es de importancia para conocer su comportamiento

y obtener un mayor provecho de las características de esta tecnología, así como

prever e idear mecanismos de detección de fallas en estas tecnologías.

El modelo para una interconexión hecha a base de un bundle-CNT’s y que

comunica eléctricamente dos nodos es un poliedro cuadrado o rectangular, para

nuestro caso utilizamos una sección tranversal cuadrada de dimensiones 40nm x

40nm, figura 4.8.

Figura 4.8: Modelo de una interconexión hecha a base SWCNT, donde la densidad de empa-

quetamiento no es del cien por ciento.

A diferencia de una conexión de metal la conexión de nanotubos no es to-

talmente solida (existen huecos entre los cilindros adyacentes). La conexión con

CNT’s es formada por tubos apilados a lo largo de la conexión; un defecto puede

estar situado en cualquier parte a lo largo de interconexión de la misma manera

que en una conexión metálica. La figura 4.9 muestra una conexión afectada por

un defecto lo cual ocasiona una sección reducida (lugar donde se encuentra el

defecto).

En este trabajo se analizara de forma general el comportamiento de las carac-

terísticas de las conexiones bundles-CNT’s en presencia de un defecto. Tomado

en cuenta, el hecho, que en la literatura se muestra como el principal problema de

esta nueva tecnología la alta resistencia que poseen los CNT de manera intrínseca,


W

Wdefec

Figura 4.9: Interconexión defectuosa debido a un defecto de impureza. Existe una porción

más estrecha (Wdefec).

para ser usados como interconexión, es de interés comprender su comportamiento.

4.6.1. Modelo Resistivo para un defecto en SWCNT-bundle

Tomando en cuenta que por circunstancias de fabricación solo uno de cada

tres nanotubos será metálico y contribuirá a la conducción. La distribución de

los nanotubos tanto metálicos como no metálicos, se supone de manera aleatoria

y uniforme. El bundle de nanotubos será trabajado con la teoría de una conexión

metálica teniendo presente sus diferencias.

La conexión es modelada mediante un poliedro rectangular, con un tamaño

de defecto (X). Donde la distancia X (0 < X < 1) representa el incremento

fraccional en la conexión defectuosa con respecto a una conexión en buen estado

(X = 0). El modelo reducido de la conexión metálica tiene un diámetro 1 −X y

representa el diámetro efectivo de la conexión defectuosa. El valor de la resistencia

del bundle es dependiente del tamaño de la fracción defectuosa (W-X), de acuerdo

a la teoría del modelado de características eléctricas de los nanotubos de carbono.

Figura 4.10 muestra el modelo de una interconexión. W es el ancho de la cara

de la interconexión y el ancho defectuoso en función del tamaño X.


Figura 4.10: Modelo de una interconexión usada en el análisis. El diámetro de una interco-

nexión libre de defectos normalizado a 1.

Se muestra que la estimación de la resistencia y el valor para distancia trans-

versal libre de defectos será W = 1, luego entonces 1−X (W −X), es la porción

restante sin defecto de la cual se obtendrá la resistencia del bundle-CNT. La re-

sistencia para un bundle de nanotubos de carbono será dividida entre el número

de CNT’s que participan en la conducción de la corriente ya que estos están en

paralelo.

Rbundle =Rc +RQ + (Rs +Rv)L

nCNT

(4.15)

Para una conexión defectuosa, el área transversal disminuye cuando el tamaño

del defecto (X) aumenta. Esto reduce la cantidad de CNT’s que participan en la

conducción y evidentemente modifica el valor de la resistencia de la conexión. La

resistencia que es dependiente de un determinado valor de defecto X viene dada

por la sencilla expresión,

Rbundle =Rtotal

nCNT (1 −X)(4.16)

A diferencia de las interconexiones metálicas, las interconexiones con CNT’s,

tienen un comportamiento diferente en presencia de algún defecto. La diferencia

estriba en la forma en cómo transportan la corriente ambos materiales. Mientras


que en una conexión metálica se reducirá su sección transversal efectiva solo en

la parte en donde se encuentre el defecto, ocasionando una especie de cuello de

botella; la conexión de CNT’s vería afectada toda la longitud de la conexión,

aunque el defecto solo se presente en una pequeña sección transversal.

Se podría pensar en una conexión defectuosa como un arreglo de resistencias

en serie, que correspondan a una sección de longitud, en las cuales su valor depen-

derá del defecto y su sección transversal reducida. Para una conexión metálica se

supondrá tres secciones resistivas, una antes del defecto, una defectuosa y otra

después del defecto. Como se menciono antes, la única sección que sufriría un

cambio en el valor de su resistencia seria la sección donde se localiza el defecto,

con lo que tendríamos una conexión en serie de tres secciones resistivas diferentes.

Por otro lado, una conexión formada por CNT’s en un bundle tendría un

efecto diferente, ya que esta conexión se forma por otras conexiones individuales

entre sí y más pequeñas, donde sí por alguna razón una sección es dañada; ésta

no transportara corriente en toda la extensión del interconexión y se interrumpe

la conexión entre los dos extremos.

En otras palabras, en una interconexión metálica solo es afectada la sección

donde se localiza el defecto ocasionando una disparidad entre la resistencia de

todas las secciones y para una interconexión de CNT’s la sección dañada afecta a

toda la sección transversal en toda la longitud de la interconexión, lo cual ocasiona

una variación de la resistencia igual para todas las secciones en la interconexión,

figura 4.11.

Como se puede apreciar la diferencia de materiales origina un contraste en

su comportamiento ante la presencia de algún defecto. Debido a esto, se puede

predecir que en una interconexión con CNT’s el incremento de la resistencia


Figura 4.11: Modelos de interconexiones de metal y bundle-CNT y las consecuencias de un

defecto-impureza sobre estas.

será mayor que para su análoga en metal, así un menor número de CNT’s en

la conducción, debido a que tendremos menor sección transversal y por lo tanto

mayor resistencia (de acuerdo a la ecuación 4.16).

4.6.2. Modelo Capacitivo para un defecto en SWCNT-bundle

Tal vez el aspecto más importante cuando se trata de un defecto sea el ca-

pacitivo, ya que en presencia de un defecto las características geométricas de la

interconexión se ven alteradas. Si las características geométrica son cambiadas,

empiezan a aparecer en el modelo capacitancias que intervienen en el desempeño

del análisis y las cuales deberán de ser tomadas en cuenta.

Se sabe que resistivamente el impacto esta dado en la reducción del número

de CNT’s que intervienen en la conducción de la corriente y por ello el aumento

en la resistencia.

Figura 4.12: Simulación de la deformación de un SWCNT sin ruptura, lo cual es posible

debido a la flexibilidad de este material y a su alta resistencia a la tracción. (Imagen tomada

de [73])


Debido al tipo de material que son los nanotubos (altamente resistente a la

tración y flexibles), el defecto o impureza puede ocasionar solamente una capa-

citancia para alguno de los extremos y se modela con dos cuando la sección ya

no puede transportar corriente (pero eso no quiere decir que esté abierta), figura

4.12 y 4.13. Lo anterior es posible en este tipo de material debido a que los nano-

tubos de carbono son muy resistentes mecánicamente, los principales efectos por

un ’spot’ en ellos sería la obstrucción de un correcto crecimiento para alcanzar

alguno de los extremos y afectar la dirección del vector quiral que es el principal

responsable del trasporte de carga en los nanotubos de carbono. Cuando sucede

que se cambie la dirección del vector quiral porque alguna partícula lo origine

(presionando o doblando el bundle-CNT por ejemplo) y cambie esta dirección,

la sección afectada podrá modelarse como dos capacitancias donde ambas son

iguales y sumaran la capacitancia total de toda la sección completa.

Figura 4.13: a) Capacitancia a tierra de una conexión, b) Abertura en una conexión, c)

Origen de las capacitancias de las partes defectuosas, d) Modelo para capacitancias por defecto

en conexiones CNT.

Las capacidades de las secciones dañadas se calculan tomando en cuenta la

geometría de estas secciones; entonces, tendremos una o dos capacitancias extras

que aparecerán cuando un defecto también lo haga.

El modelo que resulta para el estudio capacitivo será el de la figura 4.14. No-

tar que los modelos en ningún caso son a escala, solamente se usan

como modelos para ilustrar mejor la concepción de una falla en inter-


conexiones con nanotubos de carbono.

Figura 4.14: Modelos de una conexión de bundle-CNT y la reducción de la sección transversal

provocada por un defecto. Los modelos tratan de explicar el efecto de un defecto en CNT’s.

De donde, se puede imaginar, que debido a un defecto en la interconexión

y al tipo de material (CNT), la interconexión se puede dividir en dos secciones

principales, la sección que sufre el daño (secciones A) y la que está libre de este

(sección B), el defecto está representado por una parte hueca en la sección defec-

tuosa. Ya que un bundle-CNT’s se forma por nanotubos individuales, es posible

concebir de esta manera el modelo de una interconexión defectuosa, es decir, dos

partes de la interconexión donde una no tendrá contacto eléctrico alguno con la

otra. La única coincidencia que tienen estas dos partes es en los contactos de los

extremos (en los buffers).

El modelo que representa la parte defectuosa de la interconexión contribuye

con su carga capacitiva. Esta parte defectuosa puede tener una o dos secciones

capacitivas, que se suma a la capacitancia electrostática de la parte conductiva

en buen estado, figura 4.15.

Las capacitancias que se originan debido al defecto, se adhieren al modelo

eléctrico como cargas en los extremos de la interconexión, figura 4.16.

Donde Cdef_1 y Cdef_2 son las capacitancias originadas por la presencia del de-

fecto y CT son las capacitancias propias de los transistores. Al encontrarse Cdef_1

y Cdef_2 en paralelo con las capacitancias de salida y entrada de los buffers pro-


Figura 4.15: Modelos de interconexiones con las capacitancias electrostática a tierra y las

capacitancias de carga debidas al defecto.

Figura 4.16: Modelo eléctrico del efecto de carga ocasionado por las capacitancias Cdef_1 y

Cdef_2.

vocarán un aumento en la capacitancia en esos extremos. Las secciones dañadas

a pesar de no presentar algún efecto resistivo, si suman una carga capacitiva

producidapor la suma Cdef + CT = C.

Figura 4.17: Modelo eléctrico del efecto de carga CT + Cdef .

Cdef_1 y Cdef_2 se obtienen de acuerdo a la apreciación de la figura 4.18

sobre la separación de las secciones producidas por el defecto. El valor de esta

capacitancia equivale solo al porcentaje correspondiente para el área defectuosa,

tomando en cuenta la geometría y longitud de la sección, y con plano hacia el

sustrato.


Figura 4.18: Esquemas de las partes de interconexiones con bundle-CNT afectadas por un

defecto y sus características geométricas necesarias para el cálculo de los parámetros eléctricos.

Hemos supuesto hasta ahora la aparición de un defecto pero no se ha dicho

nada sobre su posición. Para esto tenemos tres casos que se podrían presentar,

el defecto localizado en el extremo izquierdo, derecho o en medio de la conexión,

figura 4.19.

Las secciones con el defecto localizado en diferentes posiciones mostraran efec-

tos capacitivos diferentes y por ello deberían contribuir de manera diferente al

retardo en la interconexión. Como se ha mencionado debido a que las porciones

dañadas no conducen corriente, solo aportaran un efecto sobre la capacitancia y

esta dependerá de su geometría y tamaño.

Figura 4.19: Modelos de conexiones para defectos en diferentes localizasiones.


Luego entonces si analizamos que debido a la reducción de nCNT la resistencia

en el bundle se incrementa entonces de,

Ibundle =Vbundle

Rbundle

(4.17)

Ibundle se reduce lo cual ocasiona que la corriente en C1 aumente para mantener

la igualdad en (3)

Ibuffer = ICdef_1 + Ibundle (4.18)

Al incrementar la ICdef_1 el tiempo de carga para el nodo V1 se reduciría,

como lo muestra la ecuación 4

ICdef_1 = CdV1

dt(4.19)

Si Rbundle se incrementa entonces Ibundle deberá disminuir; ahora que si Ibundle

disminuye entonces ICdef_2 también disminuye y el tiempo para ese nodo V2 se

incrementa como se ve en la ecuación 5

ICdef_2 = CdV2

dt(4.20)

Por lo tanto tendremos un nodo más rápido que otro; C1 más rápido que C2.

Debido a lo anterior el efecto capacitivo del defecto será menor cuando este

se encuentre en el extremo izquierdo (C1) y el retardo ocasionado también será

el menor de los tres casos. Cuando el defecto se encuentre aproximadamente en

medio de la conexión, el retardo ocasionado será el mayor, y solo un poco mayor

que para el caso donde el defecto se encuentre en el extremo derecho (C2).

4.6.3. Modelado Crosstalk con defecto en SWCNT-bundle

Para el modelado de crosstalk en interconexiones con nanotubos de carbono se

utilizó parte de los modelos previamente estudiados. El defecto solo se presentará


en la victima y solo para una de sus caras como se ha venido esquematizando. El

esquema utilizado para crosstalk con algún defecto es el siguiente.

Figura 4.20: Esquema de capacitancias para el crosstalk en bundles-CNT con algún defecto.

La capacitancia mutua será calculada como se menciono en la parte del mo-

delado para dicha capacitancia, haciendo uso de la ecuación 4.9 (donde ′S ′ y

S + (W − X) seran las distancias utilizadas). Además en este caso se toma en

cuenta el efecto que se tiene sobre las partes afectadas por el daño y que causarían

algún efecto en el retardo.

El número de capacitancias relacionadas con crosstalk es mayor que para

un análisis simple de crosstalk debido a las capacitancias introducidas por el

defecto en el bundle, figura 4.21. Las ecuaciones para el cálculo de todas las

capacitancias se resume en el conjunto de ecuaciones a continuación, las cuales

ya se habían expuesto en la sección de ’4.3.1 - Capacitancia electrostática en

bundles’. A continuación se describen cada una de las capacitancias que para este

estudio se tomaron en cuenta.

nW =

[w − d

x

]nH =

[h− d

x(√

3/2)

]+ 1


nCNT = nWnH − nH

2si nH es par

= nWnH − nH − 1

2si nH es impar

CE =2πε

ln

(S

d

) CE =2πε

ln

(S +W

d

)

CbundleEsustrato

= 2CEn +nW − 2

2CEf +

3(nH − 2)

5CEn

⋄ CE se calcula de la misma manera que para una conexión simple usando el

conjunto de ecuaciones 4.7 y 4.9, de la sección de ’Capacitancia electrostática en

bundles’, tomando en cuenta el efecto del defecto sobre la geometría, el número

de tubos y haciendo referencia al plano hacia sustrato (por unidad de longitud),

figura 4.21.

Figura 4.21: Esquema para la obtención de capacitancia CE en crosstalk en bundles-CNT

con algún defecto.

⋄ Cdef_1 Se obtiene de acuerdo a la apreciación de la figura 4.22 sobre la se-

paración de las secciones producidas por el defecto. El valor de esta capacitancia

equivale solo al porcentaje correspondiente para el área defectuosa, tomando en


cuenta la geometría y longitud de la sección, y con plano hacia el sustrato.

⋄ Cdef_2 de igual manera que Cdef_1 se obtiene del valor de esta capacitan-

cia que equivale solo al porcentaje correspondiente para el área defectuosa 2 y

tomando en cuenta la geometría y longitud de la sección, y también con plano

hacia el sustrato, figura 4.22.

Figura 4.22: Esquema para la obtención de las capacitancias Cdef_1 y Cdef_2 en crosstalk

en bundles-CNT con algún defecto.

⋄ Cm3 es la capacitancia mutua lateral obtenida de las ecuaciones anteriores

4.7 y 4.9 con distancias hacia las interconexiones laterales y tomando en cuenta

la geometría y el número de tubos en la conexión (por unidad de longitud), figura

4.23.

Figura 4.23: Esquema para la obtención de la capacitancia Cm3 para crosstalk en bundles-

CNT con algún defecto.

⋄ Cm1 toma en cuenta solo el área cubierta por la parte defectuosa 1, de igual

manera tomando en cuenta la geometría de estas partes, así como la longitud y


con plano hacia la conexión lateral, figura 4.24.

⋄ Cm2 toma en cuenta solo el área cubierta por la parte defectuosa 2, de igual

manera tomando en cuenta la geometría de estas partes, la longitud, y con plano

hacia la conexión lateral, figura 4.24.

Figura 4.24: Esquema para la obtención de las capacitancias Cm1 y Cm2 en crosstalk en

bundles-CNT con algún defecto.

Todas estas capacitancias laterales mutuas se suman en una, ya que se en-

cuentran en paralelo (y por unidad de longitud). Las capacitancias a Cdef_1 y

Cdef_2 son colocadas en los extremos de la interconexión y por lo tanto sumadas

a la capacitancia correspondiente de los buffers de entrada y de salida. La figura

4.25 muestra un esquemático del crosstalk en nanotubos.

Figura 4.25: Esquema de capacitancias para el estudio de crosstalk en bundles-CNT con algún

defecto.

CmTotal = Cm1 + Cm2


El papel que juega la capacitancia a diferencia de la resistencia podría ser de

sumo interés ya que, por ejemplo la capacitancia electrostática (capacitancia a

tierra) depende de la geometría y del número de nanotubos en las caras de la

conexión, donde podemos imaginar que al reducirse el área transversal efectiva

también las capacitancias asociadas deberían de reducirse. Por otro lado, a esta

reducción se debe sumar las capacitancias mutuas que aparecen debidas a las

interconexiones vecinas.

4.7. Conclusiones

En este capítulo se muestra a los bundles de nanotubos (fajos o paquetes)

como la opción más viable para el uso de este material en interconexiones debido

a que reduce la resistencia de la conexión al dividir su resistencia entre el número

de tubos que participan en la conducción de corriente.

Se presentan ideas de cómo sería afecta una interconexión de este tipo in-

cluyendo estudio de Crostalk. A diferencia de las conexiones metálicas se puede

sospechar que los principales problemas de este material como interconexiones se-

rán en el momento de controlar su proceso de fabricación, crecimiento y cocción,

ya que con los ritmos de trabajo actuales este tipo de interconexión no deberían

tener algún motivo por el cual sufrir fallas o desgaste una vez manufacturdo un

circuito integrado.

Capítulo 5

Análisis de los efectos de un defecto

en interconexiones con

bundle-SWCNT

Debido al escalamiento de la tecnología, las dimensiones en las interconexiones

cada vez se están reduciendo más, y con ello la resistencia del una interconexión

de Cu se incrementa aún más, lo cual genera nuevos problemas de desempeño y

confiabilidad para las tecnologías moderna en VLSI. Los nanotubos de carbono

son una propuesta para tratar de resolver los problemas que presentan los me-

tales; sin embargo todavía hay algunos retos que se deben sortear, como su alta

resistencia y la controlabilidad de su quirialidad.

En este trabajo se analiza y compara el comportamiento resistivo de una

conexión formada por nanotubos de carbono, debido a que ésta característica es

señalada por la literatura como uno de los mayores problemas para la utilización

de esta nueva tecnología.

93

94 5.1. Comparación resistiva de interconexiones

5.1. Comparación resistiva de interconexiones

Si se comparan interconexiones hechas con nanotubos de carbono con meta-

les, para tener una referencia, podemos notar qué el efecto que tiene un defecto

sobre ambos tipos de interconexiones es en esencia diferente lo cual, es debido

principalmente a como se conduce la corriente eléctrica y como está formada la

interconexión, Figura 5.1Conexión metálica Conexión bundle-CNT

Figura 5.1: Comparación entre conexiones metálicas y bundle-CNT

Lo anterior se refiere a que la conexión hecha por un bundle de nanotubos de

carbono a diferencia del metal no es una estructura conductora que se comporte

como una unidad sino que está formada por cientos o miles de nanotubos apilados

e individuales entre sí, esto ocasiona que en muchos de los casos las conexiones

de nanotubos de carbono no estén formadas por el 100 % de nanotubos metálicos

con lo cual la conexión presentará un comportamiento de mayor resistividad.

Una primera comparación de las ecuaciones para la resistencia en una inter-

conexión entre bundle-CNT‘s y una metálica es como sigue.

RMetal =ρ(L)

Atransv

RCNTbundle =RC +RQ + [RS +RV ] · L

nCNT

(5.1)

De acuerdo a la expresión para la resistencia en una sección metálica, se

puede percibir que si el defecto ocasiona una disminución en la sección transversal

entonces la resistencia aumentaría.

Como se comento en el capitulo anterior con respecto a la forma en cómo

es afectada resistivamente una sección metálica por un defecto de ’Spot’, éste

5. Análisis de los efectos de un defecto en interconexiones conbundle-SWCNT 95

afecta principalmente la porción donde se localiza el defecto lo que ocasionaría

una especie de cuello de botella en donde la resistencia de esa sección aumentaría

y las resistencias relacionadas con las otra dos parte (antes y después del defecto)

se mantendrían sin cambio aparente, figura 5.2.

Localización deldefecto e incremento

Cuello de botella

R1 + + R3 =R2

Figura 5.2: Esquema del resultado de un defecto ’spot’ en una conexión metálica.

El comportamiento para un defecto en una interconexión metálica es conocido

y estudiado. Se puede apreciar en la gráfica de la figura 5.3; el comportamiento

en la resistencia de la interconexión la cual es una función del tamaño del defecto

(void). La resistencia en la conexión se mantiene con apenas muy poco incremen-

to hasta que defecto-void ha alcanzado un tamaño de sección transversal en la

conexión de casi un 90 %, a partir de entonces el incremento en la resistencia se

vuelve significativo.

ΔR

esi

stencia

(%

)

% Tamaño-defecto

Figura 5.3: Grafica del retardo en función del tamaño del defecto para una conexión metálica

a 100µm.

96 5.1. Comparación resistiva de interconexiones

Lo comentado anteriormente tiene su importancia ya que, la gráfica indica

que podríamos estar trabajando con un circuito que contenga una falla en alguna

interconexión y que tal vez la detección de esta falla no sea a tiempo para tomar

las medidas necesarias.

Por otro lado, para el bundle de nanotubos de carbono el área transversal está

formada por nCNT que es el número de nanotubos de carbono (SWCNT). El nú-

mero de nanotubos en una conexión es dividida entre tres porque la probabilidad

de obtener nanotubos metálicos es solo de una tercera parte (por el momento).

Esto cambiaría de manera importante la resistencia para las conexiones bundles-

CNT, la cual quedaría expresada mejor por la expresión 5.2.

Rbundle =RC +RQ + [RS +RV ] · L

nCNT/3(5.2)

De la expresión 5.2 se puede notar que la suma de las resistencias al ser dividi-

da solo por la tercera parte del número de tubos que participan en la conducción

de la corriente, producirá un aumento en la resistencia del bundle, lo cual empieza

a ser una primera diferencia con respecto a la interconexión metálica.

Como también se comento en el capitulo anterior acerca de la forma en có-

mo es afectada resistivamente una conexión formada por nanotubos de carbono

simples (SWCNT) por un defecto de ’Spot’, éste aunque afecta a una porción

localizada, por la forma y el tipo de material de cómo está formada una conexión

bundle-CNT tendrá consecuencias diferentes en comparación con una conexión

de metal. Ya que la conexión está formada por tubos individuales entre sí y, en

teoría, no existe conexión entre un CNT y otro adyacente. Al presentarse una falla

de no conducción, el tubo completo (de extremo a extremo) dejaría de transpor-

tar carga, con lo cual toda la sección de la interconexión dejaría de transportar

corriente, figura 5.4.

El defecto en el bundle-CNT, afectaría las tres resistencias de las tres partes


Localización del defecto

R1 + R2 + R3 = R-totIncremento de la resistencia

Figura 5.4: Esquema del resultado de un defecto ’spot’ en una conexión bundle-CNT.

de la conexión (en el defecto, antes y después) de la misma manera, con lo cual

aumentaría la resistencia en las tres secciones por igual y por ende el aumento de

la resistencia en la interconexión bundle-CNT debería ser mayor en comparación

que una conexión metálica.

5.2. Análisis de los efectos de una falla en el re-

tardo

Las simulaciones eléctricas fueron hechas usando H-Spice con tecnología 90nm

IBM. Los buffers utilizados para manejar la interconexión bundle tienen una

relación Wp/Wn de 45µm/15µm con una longitud de canal mínimo permitido

por la tecnología. El ancho de cada lado de la interconexión es de 40nm, tomando

en cuenta que es una interconexión bundle cuadrada (40nm x 40nm).

Figura 5.5: Esquema distribuido de una interconexión bundle-CNT y sus principales caracte-

rísticas eléctricas.

El comportamiento para un defecto en una interconexión bundle-CNT se es-

tudia de acuerdo a los esquemas eléctricos mostrados en el capitulo anterior. Se

98 5.3. Comportamiento transitorio

puede apreciar en la gráfica de la figura 5.6 que el comportamiento en la resis-

tencia de la conexión bundle-CNT el cual también es una función del tamaño del

defecto (void). La resistencia empieza a incrementase mucho antes para este tipo

de interconexiones en comparación con la interconexión metálica.

5.3. Comportamiento transitorio

5.3.1. Comportamiento transitorio resistivo

Como se puede observar la diferencia en la variación del incremento de las re-

sistencias para conexiones bundle-CNT y metálicas tiene gran diferencia. Mientras

la resistencia de una conexión metálica se mantiene casi sin cambio para la mayo-

ría del porcentaje del defecto, la conexión de bundle-CNT es mucho más sensible

a un defecto presente ya que su resistencia comienza a incrementarse desde un

principio de la aparición de este. Se puede ver en la gráfica 5.6 que ya para un

30 % del tamaño del defecto la resistencia en el bundle se ha incrementado casi

un 50 % de su valor inicial.

% Tamaño-defecto

ΔR

esis

tenci

a (

)%

Figura 5.6: Variación de la resistencia de un bundle-CNT en función del tamaño del defecto

para una conexión bundle-CNT a 100µm.

Para diferentes longitudes de una interconexión la variación resistiva con res-

pecto al tamaño del defecto-X es muy similar como se puede ver en la gráfica


5.7a donde se muestran las curvas para la variación de la resistencia de interco-

nexiones con 100µm y 2mm de longitud, se muestra hasta el 80 % para mostrar

la aproximación de las curvas. También vemos en la gráfica 5.7b la variación

de la resistencia con respecto a la longitud de la interconexión para un tama-

ño de defecto-X determinado. La gráfica 5.7b presentan curvas para tamaños de

defecto-X de 10 %, 50 % y 90 % donde se ve que prácticamente no hay variación

de la resistencia con la longitud para estos tres tamaños de defecto-X.

ΔR

esis

ten

cia

(%)

Longitud Interconexión ( )µm

ΔR

esis

ten

cia

(%)

% Tamaño-defecto

100 µm

2000 µm

a) b)

defecto 50%

defecto 90%

defecto 10%

Figura 5.7: a) Gráficas de variación de la resistencia para 100 µm y 2mm, b) Gráficas de

variación de la resistencia con la longitud para tamaños de defecto de 10% 50 % y 90%.

5.3.2. Comportamiento transitorio capacitivo

Otra propiedad de importancia para en el retardo de las interconexiones es

la capacitancia asociada a la interconexión. Debido a que esta capacitancia (CQ

y CE) depende de la cantidad de tubos que forman la conexión y que partici-

pan en la conducción de corriente. Al disminuir esta cantidad en presencia de

algún defecto también debería disminuir la capacitancia. La gráfica 5.8 muestra

el comportamiento de la disminución de la capacitancia en función del defecto.

Como se puede observar en la gráfica la variación en la disminución de ca-

pacitancia disminuye en un porcentaje mucho menor si lo comparamos con la


% Tamaño-defecto

ΔR

esis

tenci

a(%

)

100 µm

2000 µm

Figura 5.8: Variación de la capacitancia en función del tamaño del defecto para una conexión

bundle-CNT a 100µm.

variación en el incremento de la resistencia. Debido a lo anterior se podría es-

perar que debido al mayor cambio que hay en la resistencia comparada con la

capacitancia, la primera dominará sobre la segunda.

Se podría llevar a concluir que la conexión tendría un menor acoplo capaci-

tivo, pero se deberá tomar en cuenta que la parte capacitiva que se pierde por

el defecto ocasiona un incremento en la capacitancia de los laterales (parte que

corresponde a las secciones defectuosas), que se modelan como aumento de carga

en los extremos de la conexión, luego entonces veremos por una parte dismi-

nuida la capacitancia del bundle-CNT pero por otra se estará incrementando la

capacitancia en los extremos debida a la parte dañada del bundle-CNT.

Las gráficas de la figura 5.9 muestran los resultados de la simulación eléctrica

de un sistema de conexión como el mostrado en la figura 5.5. Se muestra el

comportamiento de las señales de entrada y de salida. Se observa, que a pesar

del tamaño del defecto-X es del 70 %, el sistema de interconexión genera una

respuesta lógica propia Sin embargo, también se puede observar un retraso con

respecto al caso sin defectos. Para el sistema de interconexión simulado, surge un

error para un defecto-X del 80 %. Las simulaciones corresponden a longitudes de

100µm.


V (Salida)

V (Entrada)(V)

(a) Señales de salida, tamaño del fecto 70%

V (Salida)

V (Entrada)(V)

(b) Señales de salida, tamaño del fecto 80 %

Figura 5.9: Señales de salida. Se pude ver que cuando el tamaño del defecto es de 70 %

el retardo se ha incrementado considerablemente y para un defecto del 80 % la señal se ve

seriamente atenuada.

Una gráfica como de la figura 5.10 que muestra el retardo en función del

tamaño del defecto-X permitiría un análisis más detallado. Se puede observar

que el retardo sigue principalmente el comportamiento resistivo y comienza a

aumentar desde el inicio aun cuando el defecto representa solo el 10 % del ancho

de la conexión, a diferencia de su contraparte metálica (Cu). Además podríamos

considerar como retardos pequeños (small delays) los observados para defectos-X

menores al 40 %.

Los defectos que generan retardos pequeños son difíciles de detectar para los


enfoques basados en aproximaciones de pruebas de retardo [74]. Estos defectos

representan un riesgo en la confiabilidad del sistema, incluso defectos-X menores

a 40 % también podrían suponer un riesgo de confiabilidad del mismo.

% Tamaño-defecto

a) b)

Δ Td (%)

% Tamaño-defecto

Δ Td (%)

Figura 5.10: Comparación entre los comportamientos de las variaciones de retardos para

conexiones bundle-CNT y metálicas.

5.3.3. Comportamiento transitorio del retardo CNT-CU

Si se normaliza y se compara la variación del retardo de una conexión bundle-

CNT y una conexión metálica (Cu) se percibe mejor la diferencia que tiene un

defecto para estos dos tipos de interconexiones. Como ya se había mencionado

anteriormente el retardo en CNT’s es percibido con anterioridad, lo cual puede

tener diferentes vertientes. Las gráficas de las figuras 5.11 muestran la compara-

ción entre los retardos de conexiones bundle-CNT y metálica para longitudes de

100µm y 2mm.

La gráfica 5.12 muestra el porcentaje de variación del retardo para diferentes

longitudes. Como se puede observar en la gráfica existe un ligero desplazamiento

del retardo (a la izquierda) con el incremento de la longitud. El desplazamiento

que se puede observar es mayor para longitudes cortas y menor para longitudes

largas. De lo anterior podemos notar que a mayores longitudes el retardo tenderá


% Tamaño-defecto

a) b)

% Tamaño-defecto

Δ Td (%)Δ Td (%)

bundle-CNT 100um

Cu 100um

bundle-CNT 2mm

Cu 2mm

Figura 5.11: Comparación entre la variación de retardos de conexiones bundle-CNT y metálica

para longitudes de a) 100 µm y b) 2mm.

a incrementarse para un porcentaje de defecto determinado y en mayor medida

para longitudes cortas.

% Tamaño-defecto

Δ Td (%)

bundle-CNT 2000 mµ

bundle-CNT 100 mµ

bundle-CNT 1000 mµ

bundle-CNT 500 mµ

Figura 5.12: Comparación entre la variación de retardos para diferentes longitudes.

5.4. Expresión para el retardo en bundles-CNT

La expresión 5.5 es la expresión obtenida para el cálculo del retardo de una

interconexión bundle-CNT, donde los datos de las resistencias (RT y R) ya se

han calculado de acuerdo a las ecuaciones mencionadas en el capitulo anterior.

104 5.4. Expresión para el retardo en bundles-CNT

El modelo utilizado para obtener el retardo es el de la figura 5.13, mediante el

uso de la formula de retardo de Elmore, . El modelo que se usa para la obtención

del retardo es un modelo RC distribuido, donde se han omitido los inductores,

esto debido a que las publicaciones se menciona que este efecto es despreciable (el

principal componente es Lk, que aparece a frecuencias mayores a las decenas de

Gigahertz [54][51]) y que un modelo RC es adecuado para modelar una conexión

de este tipo.

Por otro lado, esquema de una interconexión con nanotubos tiene las consi-

deraciones necesarias para poder obtener el retardo mediante el la formula de

Elmore:

⋄ La red tiene un solo nodo de entrada única.

⋄ Todos los capacitores se encuentran entre un nodo y tierra.

⋄ La red no contiene lazos resistivos.

Las propiedades de la topología mencionadas hacen posible la existencia de

un único camino resistivo entre la fuente (entrada) y algún otro nodo i (salida),

así, el retado obtenido con la relación de Elmore será,

τDi=

N∑k=1

CkRik (5.3)

Se debe advertir que este retardo como resultado de la expresión 5.3 es solo una

aproximación del retardo entre la entrada y la salida. Sin embargo, en la mayoría

de los casos esta aproximación ha demostrado ser bastantemente razonable y

aceptable. Se hace notar que para el caso de conexiones con bundles-CNT los

valores de las resistencias y capacitancias son constantes en todo el largo de

la interconexión, incluso para conexiones con algún daño, ya que como se vió en

capítulos anteriores se perdería la sección completa de la conexión (de un extremo

a otro), asi, (R1 = R2 = R3 = RN , y C1 = C2 = C3 = CN), donde RT y CT son

las capacitancias y resistencias del buffer de entrada.


Figura 5.13: Esquema Elmore utilizado para obtener el retardo en una conexión con CNT’s.

Del esquema para una conexión con nanotubos de carbono como la mostrada

en la figura anterior y de la relación de Elmore se obtiene que,

TD ≈ (RT +R1 +R2 +R3 + ...RN)CN

+(RT +R1 +R2 +R3)C3

+(RT +R1 +R2)C2

+(RT +R1)C1

+RT · CT

Ya que todas las resistencias, así como las capacitancias son iguales entre si y

constantes, la expresión puede simplificarse aun más,

TD ≈ (RT +[R·N ])C+(RT +[R·3])C+(RT +[R·2])C+(RT +[R·1])C+(RT +CT )

TD ≈ C

[(RT ·N) +

N−1∑N−J

(R ·N)

]+RT + CT (5.5)

La expresión para el retardo de un bundle-CNT obtenida no es totalmente

exacta pero se aproxima de buena manera a la simulación, teniendo una desvío

alrededor del 20 %.

106 5.5. Crosstalk

Para el caso de una conexión con algún defecto, este se verá reflejado en el

valor de los parámetros de resistencia, capacitancia e inductancia y de la misma

manera para todos a lo largo de su longitud.

Td (ps)

% Tamaño-defecto

Modelo eléctrico

Ecuación retardo

(a) Curvas de retardo para 100µm

Td (ps)

% Tamaño-defecto

Modelo eléctrico

Ecuación retardo

(b) Curvas de retardo para 1mm

Figura 5.14: Comparación de las curvas de retardo haciendo uso del modelo eléctrico y me-

diante la ecuación de retardo. La aproximación es mejor para longitudes cortas y peor para

longitudes largas.

Las graficas de la figura 5.14 muestran las curvas de retardo obtenidas median-

te la simulación del modelo eléctrico y por otro lado con la ecuación de retardo

5.5, para longitudes de 100um y 1mm.

Se hicieron simulación incluyendo inductores a una frecuencia de trabajo de

hasta 10 Ghz pero no se observo cambio alguno en el retardo.

5.5. Crosstalk

Como sabemos el efecto de Crosstalk es un fenómeno por el cual una señal

transmitida en un circuito o canal de un sistema de transmisión crea un efecto


indeseable en otro circuito o canal. El fenómeno de crosstalk es usualmente cau-

sado por un indeseable acoplamiento capacitivo, inductivo o conductivo desde un

circuito, parte de un circuito o canal hacia otro.

Para el estudio del efecto con crosstalk en bundle-CNT’s se utilizó el esquema

visto en el capítulo anterior el cual se muestra nuevamente en la figura 5.15, la

longitud de la conexión será alcanzada colocando la cantidad de modelos distri-

buidos necesarios para modelar determinada longitud. Como se podría esperar

debido al modelo eléctrico utilizado para representar este tipo de interconexio-

nes, al mantener los valores de las resistencias y capacitancias constantes para

todos y cada uno de los modelos distribuidos, se podría esperar un efecto en el

incremento o decremento constante en todo el rango de la longitud, es decir la

longitud solo incrementará más capacitancia o resistencia de manera constante,

lo que incrementará los valores de retardo de manera lineal.

Se simulan un agresor a la vez y tomando en cuenta que el defecto solo afecta

a la conexión-victima, los esquemas para crosstalk son las siguientes.

Figura 5.15: Esquema eléctrico de simulación para el efecto de crosstalk, los efectos capacitivos

son sumados a los valores de capacitancias CE y Cm.

108 5.5. Crosstalk

De acuerdo a las gráficas mostradas en la figura 5.16 el retardo contra el ta-

maño del defecto-X, el efecto de crostalk tiene una consecuencia sobre el retardo

proporcional entre los tres casos para una longitud de 100 µm y permanece así en

todo el rango del tamaño del defecto. Por otro lado, la gráfica de la figura 5.17a

muestra la variación del retardo con respecto al tamaño del defecto-X, aquí se

muestran la variación de las tres curvas (dos agresores y la victima) las cuales se

superponen, lo que supone un comportamiento muy similar sobre todo el rango

del tamaño del defecto-X.

% Tamaño-defecto

Retardo (ps)

Simple

1 agresor

2 agresores

Figura 5.16: Comparación de retardo en crsosstalk para conexión simple, con un agresor y

dos agresores

La gráfica 5.17b muestra un pequeño incremento en el retardo el cual se hace

más notorio para la curva que representa la mayor longitud, lo que hace pensar

que la longitud afecta de manera indirecta en el retardo, es decir debido al incre-

mento en la resistencia y la capacitancia para este modelo de interconexión que

es constante, no es posible apreciar una diferencia entre las curvas debido a este

parámetro, pero por otra parte este incremento en la longitud a su vez genera

un aumento en la capacitancia de las secciones defectuosas las cuales suman de

manera indirecta para el retardo de la interconexión.


% Tamaño-defecto

ΔR

eta

rdo (

%)

ΔR

eta

rdo (

%)

% Tamaño-defecto

a) b)

Simple

2 agresores

1 agresor

Simple

2 agresores

1 agresor

Figura 5.17: a) Comparación de la variación del porcentaje de retardo para los tres casos

para una longitud de 100 µm, b) Comparación de la variación del porcentaje de retardo para

los tres casos para una longitud de 2mm

5.6. Esquema de Test para detectar un defecto en

interconexiones-CNT

La metodología de test mencionada en este trabajo no es algo nuevo de hecho

ya ha sido tratada con anterioridad en otros trabajos como en [24], solamente se

menciona como un complemento para este trabajo.

Para una interconexión bundle-CNT con algún defecto, el valor de la resis-

tencia crece gradualmente debido principalmente a la reducción del número de

tubos que participan en el transporte de carga, a diferencia de una conexión me-

tálica en la cual el incremento resistivo es principalmente por la carga de trabajo,

lo que causa el desgaste de la interconexión por medio de la electromigración y

auto-calentamiento hasta producir una apertura total.

La meta principal para este tipo de interconexiones será detectar el defecto

como principal fuente de retardo y degradación de la señal ya que este afecta

1105.6. Esquema de Test para detectar un defecto en

interconexiones-CNT

principalmente el funcionamiento del sistema. Por el momento el problema de

apertura de la interconexión debido a un defecto no es viable ya que debido a las

propiedades del los CNT’s estos pueden soportar hasta 25um por tubo antes de

sufrir alguna ruptura y con una conductividad térmica tan alta, lo cual los hace

sumamente robustos a fenómenos como electromigración y auto-calentamiento.

La detección se basa en el comportamiento de la señal transitoria antes y des-

pués del defecto de resistencia con un acoplamiento adecuado de interconexiones

vecinas. La estrategia presentada para la detección de algún defecto en interco-

nexiones bundles de nanotubos se muestra en la Figura 5.18.

Debido a que la aparición de un retardo es de manera temprana en este ti-

po de materiales en comparación con su contraparte metálica, la detección de

un defecto parecería menos complicada para algún método de detección como

el mencionado en [24]. La importancia de un defecto consistiría en el aumento

de la resistencia y la pronta degradación de la señal (error lógico), lo que en in-

terconexiones metálicas sucede mucho después incluso apenas hasta un 99 % del

tamaño de defecto sobre la interconexión.

Vin

Sensor deSkew Positivo

Señal dereferencia

Defecto

Vout

δ

Buffer Buffer

Figura 5.18: Esquema para la detección de algún defecto en interconexiones bundles de na-

notubos. (Imagen tomada de [24])

Nuevamente debido a la diferencia de comportamiento de los nanotubos en

presencia de alguna falla y como se mostro en las gráficas anteriores, el mayor

incremento en su resistencia viene a ocasionar que la señal que viaja a través

de la interconexión se retrase o se desfase al final de esta y en casos graves se


atenué con respecto a la señal de entrada. El retraso (Skew positivo) podrá ser

detectado con algún arreglo que sea capaz de identificar el Skew positivo que

se genera debido al incremento en la resistencia. Los retardos pequeños también

pueden ser generados por las variaciones del proceso, el sensor de skew positivo

también ayudaría a diferenciar los retardos pequeños ocasionados por defectos

pequeños debidos a las variaciones del proceso.

Otra consecuencia de este tipo de material y de su constitución atómica es que

al parecer no sufre degradación gradual alguna [75] como sucede en los metales,

donde el desgaste de las interconexiones depende de la carga de trabajo y el tiempo

de estrés. Por el contrario la ruptura de los nanotubos ocurre de manera abrupta

cuando se desgarrara la red de grafeno que forma las paredes del nanotubo, debido

a que se excede la cantidad de corriente que éste puede soportar.

5.7. Conclusiones

En esta sección se muestran comparaciones resistivas entre conexiones bundles-

CNT y metálicas, donde se pude ver la diferencia en los comportamientos transi-

torios de ambas conexiones, lo que nos indica un claro comportamiento prematuro

de latencia de la conexión bundle sobre la metálica y por lo tanto la degradación

de la señal de salida. La degradación de la señal se producirá principalmente al

final de cada extremo de la conexión bundle, y donde se encuentran los contactos,

ya que estos presentan la mayor resistencia del sistema de interconexión.

Se obtiene la expresión analítica del modelo eléctrico de una interconexión

bundle-CNT para el cálculo del retardo, la cual cabe mencionar que no es del

todo exacta pero figura como una buena aproximación tomando en cuenta que la

variación se mantiene en el mismo orden de magnitud.

Se propone un esquema para la detección de este tipo de fallas donde se

compara el Skew de las señales de entrada y salida, debido a que la presencia de

un retardo prematuro será relativamente más sencillo de detectar y tomar así las


medidas requeridas.

Como se pudo entender, este tipo de interconexión será una clase de conexión

muy robusta a los problemas que actualmente se tiene con las interconexiones

metálicas, ya que una vez creada la interconexión con todas las atenciones ne-

cesarias para que trabaje en óptimas condiciones, prácticamente no se tendrían

preocupaciones relacionadas con las interconexiones.

Capítulo 6

Conclusiones

La evolución de la tecnología en las últimas tres décadas ha seguido la tenden-

cia del escalamiento para obtener mayores densidades de integración y mayores

velocidades de operación.

Debido al escalamiento tecnológico que tiende a seguir la ley de Moore, las

nuevas tecnologías han tenido que librar cada vez más problemas como efectos

de canal corto (SCE, en ingles) y corrientes de fuga, los cuales son algunas de

las consecuencias negativas más importantes para los dispositivos en las nuevas

tecnologías dentro de los circuitos integrados.

Por otra parte en lo que concierne a otro aspecto no menos importante que

los dispositivos, son las interconexiones y vías. Problemas como el fenómeno de

electromigración es el principal mecanismo de deterioro en interconexiones y vías

en tecnología VLSI y más grave cuando la tecnología se escala debido a la re-

ducción de las dimensiones de la interconexión/vías, lo que da lugar a grandes

densidades de corriente, además, la introducción de los dieléctricos de baja-k in-

crementa el calor debido a su baja conductividad térmica. Las interconexiones y

vías estrechas que se originan por los defectos son más propensas a sufrir proble-

mas de electromigración y auto-calentamiento, lo que puede conducir a una falla

del CI. También el tiempo de vida promedio se vería afectado debido defectos

113

114

pequeños de aberturas resistivas. Los problemas mencionados hacen del estudio

de las interconexiones un tema de mucha importancia ya que la mayor parte del

retardo en un sistema es provocado por las interconexiones.

Puesto que todos los mecanismos de fallas mencionados dependen fuertemente

de la carga de trabajo y las condiciones de estrés de operación, se han propuesto

en otros trabajos la necesidad de un esquema de prueba periódico, para mejorar

la confiabilidad de estos sistemas.

Por todos los problemas que trae el escalamiento tecnológico necesario para

seguir alcanzando los objetivos de velocidad, funcionalidad y ahorro de energía, y

como se ve claramente que los materiales actuales no tardaran mucho en llegar al

límite de sus capacidades, se ha buscado soluciones a estos inconvenientes. Algu-

nas de esas soluciones es la propuesta de utilizar otro tipo de materiales novedosos

para alcanzar las metas. Algunas de las opciones como nuevos materiales a uti-

lizar serían las posibles soluciones, entre ellas, las interconexiones ópticas y los

nanotubos de carbono; donde la segunda opción parece ser la más viable. En este

trabajo se ha tratado de entender el funcionamiento de los nanotubos de carbono

como materiales conductores de corriente, su estructura atómica, sus propiedades

eléctricas y su fabricación, temas importantes para un mejor entendimiento de

los probables problemas que pueden tener éstos como interconexiones.

Se intenta hacer énfasis en la diferencia y por ello en la enorme ventaja que

tienen los nanotubos de carbono sobre los metales como materiales conductores,

en su desempeño y confiabilidad, lo que los hace sumamente atractivos para su

integración en CI. No obstante, hay que toma en cuenta las limitaciones, y la

realidad que el grafeno hoy en día no está totalmente entendido, caracterizado y

por ello los problemas en el control de su fabricación.

También se muestran las características eléctricas importantes para el modela-

do de los nanotubos como interconexiones, tomando en cuenta las consideraciones

que marca la teoría fundamental de éstos, como el trayecto promedio libre y la

6. Conclusiones 115

distancia de Van der Waal.

Se muestra el principal motivo de utilizar bundles de nanotubos sobre un

nanotubo individual. Se hace hincapié en la diferencia que hay al presentarse un

defecto con respecto a las actuales interconexiones, así como sus consecuencias

en el desempeño de la conexión y del sistema. La aparición de capacitancias

producidas por el defecto y en las cuales tendrán un efecto en el retardo, el

incremento de la resistencia por la disminución del número de tubos conductores.

Se proponen modelos para interconexiones de nanotubos de carbono que su-

fran alguna falla. Se pudo observar que las fallas o defectos en interconexiones con

nanotubos de carbono se producirían principalmente en la etapa de fabricación

del CI.

Las simulaciones de las características tanto resistivas como capacitivas, im-

portantes para en el retardo, dejan ver la aparición temprana de una falla en

este tipo de interconexiones en contraparte con las conexiones metálicas, la cual

difícilmente se detectará en las primeras etapas de su aparición.

También se pude observar que la longitud tiene un efecto multiplicativo sobre

el retardo, lo cual puede ser consecuencia del modelo eléctrico que se utiliza

para modelar estas interconexiones, el cual así se establece en la literatura. El

leve desplazamiento que tiene el retardo se produce principalmente por la carga

de la parte (defectuosa) no conductora adherida a los extremos de la conexión.

Se siguiere el uso de un esquema de detección de Skew positivo al final de la

interconexión, con el proposito de detectar el retardo.

Por último este trabajo se presenta como una séria aproximación para el

desarrollo de pruebas a esta nueva tecnología como son los nanotubos de carbono

en interconexión/vías. Sin embargo, es necesario un completo entendimiento de su

comportamiento y el desarrollo de herramientas más adecuadas a esta tecnología.

No obstante los resultados presentados son una buena aproximación basados en

la teoría existente tomando en cuenta la mayoría de los aspectos físicos posibles

116

y la comparación con resultados de las mediciones ya existentes sobre estudios

con nanotubos de carbono.

Índice de figuras

1.1. El primer circuito integrado-invento de Kilby (izq.), invento de Noyce (der.).

(Imagen tomada de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Comparación de los grabados metálicos convencional (izq.) y Damaceno (der.) 5

1.3. Niveles de metal en un grabado metálico (Imagen tomada de [3]) . . . . . . 6

1.4. Tendencia de la densidad de corriente respecto al nodo de tecnología. (Imagen

tomada de [54]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Interconexiones para sistemas 3D. (Imagen tomada de [16]) . . . . . . . . . 9

1.6. Interconexiones para sistemas ópticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Nanotubos de carbono como intercoenxiones. Se muestran las fases (a-d) del

crecimiento de una interconexión con CNT. (Imagen tomada de [19]) . . . . 11

1.8. Ley de Moore trata de predecir la cantidad de transistores empleados en mi-

croprocesadores por años. (Imagen tomada de [23]) . . . . . . . . . . . . . 13

1.9. Escalamiento del MOSFET a campos eléctricos constantes. . . . . . . . . . 14

1.10. El efecto de reducción de la barrera de potencial DIBL (Drain Induced Barrier

Lowering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.11. Resistividad del cobre por ancho de línea. (Imagen tomada de [3]) . . . . . 16

1.12. Una perspectiva de los requerimientos a futuro de la tecnología (ITRS 2007).

(Datos tomados de [11]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.13. Tipos de abertura en interconexiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.14. Tipos de defectos en la manufactura de interconexiones. . . . . . . . . . . 20

1.15. Efecto de una abertura parcial sobre el retardo en una interconexión (100µm). 21

117

118 ÍNDICE DE FIGURAS

2.1. Orbitales del carbono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Hibridación orbital s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. El orbital pz (orbital s), fortalece la otras 3 uniones . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Los orbitales son los responsables de los diferentes enlaces en los materiales y

de su comportamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5. El carbono tiene cuatro electrones de valencia. Tres de estos electrones están

unidos a los átomos vecinos más cercanos mediante el enlace de unión sp2, de

una manera similar al grafeno. El cuarto electrón es un orbital pz semi-hibrido

perpendicular a la superficie cilíndrica, importante para el transporte de carga

en grafeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6. Celda unitaria del grafeno (a) y su reciproca (b). . . . . . . . . . . . . . . 29

2.7. Relación de la dispersión de energía en las zonas de Brillouin. (Imagenes to-

madas de [33]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.8. Gráfico de contorno de la dispersión de energía en el grafeno dada por Eq. 2.12.

Existen seis puntos de K, donde la banda prohibida es cero. De los seis puntos

K, sólo dos son no equivalentes, denotado por K1 y K2. (Imagen tomada de

[33]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9. Formación de un nanotubo de pared simple a partir de una lamina de grafeno.

(Imagen tomada de [39]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.10. Estructura de una sola capa de grafito (grafeno) (izquierda), nanotubo de car-

bono de pared simple (SWCNT) como una hoja de grafeno enrolladas (centro)

y un nanotubo de pared múltiple con tres capas concéntricas (derecha). (Ima-

gen tomada de [68]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.11. Clasificación de los nanoubos armchair, zigzag y quiral. (Imagen tomada de [32]) 35

2.12. Clasificación de los nanoubos y el origen de sus nombres. (Imagen tomada de

[30]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.13. Vectores en el nanotubo de carbono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.14. Vectores Ch y T en el nanotubo de carbono. . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ÍNDICE DE FIGURAS 119

2.15. Variacion del Vector quiral para obtener diferentes tipos de nanotubos. (Ima-

gen tomada de [37]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.16. Dispersión de energía contra el vector K (momentum) y la obtención de la

estructura de bandas. (Imagen tomada de [33]) . . . . . . . . . . . . . . 41

2.17. Dispersión de energía y densidad de estados para Armchair y zigzag. (Imagen

tomada de [39]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.18. Modelo de un conductor cuántico mediante la teoría de Landauer-Büttiker. . 43

2.19. Imagen SEM que muestra el crecimiento de CNT’s. (Imagen tomada de [42]) 45

2.20. Crecimiento de CNT mediante el método ’buttom-up’. . . . . . . . . . . . 46

2.21. Crecimiento de CNT usando ’catalizador enterrado-Damaceno’. (Imagen to-

mada de [42]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1. Modelo eléctrico para un nanotubo de carbono. . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2. Variación del MFP con la variación del diametro. (Imagen tomada de [52]) . 54

3.3. Conductor aislado, con diámetro ’d’ sobre un plano a tierra a una distancia ’y’. 57

3.4. Energía del electrón v/s el vector de onda en un conductor cuántico. . . . . 60

4.1. a) El bundle-CNT incrementa el número de nanotubos en una conexión para

reducir la resistencia efectiva de esta. b) Empaquetamiento densidad-triangular

con separación mínima δmin (Van der waal) . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2. Modelo esquemático de una conexión bundle de nanotubos de carbono con sus

principales características eléctricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3. Esquema que muestra la terminación de las líneas de campo eléctrico para (a)

un conductor aislado sobre un plano de tierra, y (b) un conductor en el borde

inferior de un paquete rodeado por otros cuatro conductores. . . . . . . . . 68

4.4. Esquema de la geometría de la sección transversal en la interconexión de es-

tudio para trabajar con bundles-CNT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5. Esquema de la geometría de la sección transversal en la interconexión con

infuecia de planos laterales. (No es crosstalk) . . . . . . . . . . . . . . . 71


4.6. Esquema de la geometría de la sección transversal en la interconexión con

infuecia del plano a sustrato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.7. Modelos eléctricos para efectos de crosstalk con uno y dos agresores. . . . . 75

4.8. Modelo de una interconexión hecha a base SWCNT, donde la densidad de

empaquetamiento no es del cien por ciento. . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.9. Interconexión defectuosa debido a un defecto de impureza. Existe una porción

más estrecha (Wdefec). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.10. Modelo de una interconexión usada en el análisis. El diámetro de una interco-

nexión libre de defectos normalizado a 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.11. Modelos de interconexiones de metal y bundle-CNT y las consecuencias de un

defecto-impureza sobre estas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.12. Simulación de la deformación de un SWCNT sin ruptura, lo cual es posible

debido a la flexibilidad de este material y a su alta resistencia a la tracción.

(Imagen tomada de [73]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.13. a) Capacitancia a tierra de una conexión, b) Abertura en una conexión, c)

Origen de las capacitancias de las partes defectuosas, d) Modelo para capaci-

tancias por defecto en conexiones CNT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.14. Modelos de una conexión de bundle-CNT y la reducción de la sección trans-

versal provocada por un defecto. Los modelos tratan de explicar el efecto de

un defecto en CNT’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.15. Modelos de interconexiones con las capacitancias electrostática a tierra y las

capacitancias de carga debidas al defecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.16. Modelo eléctrico del efecto de carga ocasionado por las capacitancias Cdef_1

y Cdef_2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.17. Modelo eléctrico del efecto de carga CT + Cdef . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.18. Esquemas de las partes de interconexiones con bundle-CNT afectadas por

un defecto y sus características geométricas necesarias para el cálculo de los

parámetros eléctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

ÍNDICE DE FIGURAS 121

4.19. Modelos de conexiones para defectos en diferentes localizasiones. . . . . . . 85

4.20. Esquema de capacitancias para el crosstalk en bundles-CNT con algún defecto. 87

4.21. Esquema para la obtención de capacitancia CE en crosstalk en bundles-CNT

con algún defecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.22. Esquema para la obtención de las capacitancias Cdef_1 y Cdef_2 en crosstalk

en bundles-CNT con algún defecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.23. Esquema para la obtención de la capacitancia Cm3 para crosstalk en bundles-

CNT con algún defecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.24. Esquema para la obtención de las capacitancias Cm1 y Cm2 en crosstalk en

bundles-CNT con algún defecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.25. Esquema de capacitancias para el estudio de crosstalk en bundles-CNT con

algún defecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.1. Comparación entre conexiones metálicas y bundle-CNT . . . . . . . . . . 94

5.2. Esquema del resultado de un defecto ’spot’ en una conexión metálica. . . . . 95

5.3. Grafica del retardo en función del tamaño del defecto para una conexión me-

tálica a 100µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4. Esquema del resultado de un defecto ’spot’ en una conexión bundle-CNT. . . 97

5.5. Esquema distribuido de una interconexión bundle-CNT y sus principales ca-

racterísticas eléctricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.6. Variación de la resistencia de un bundle-CNT en función del tamaño del defecto

para una conexión bundle-CNT a 100µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.7. a) Gráficas de variación de la resistencia para 100 µm y 2mm, b) Gráficas de

variación de la resistencia con la longitud para tamaños de defecto de 10%

50% y 90 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.8. Variación de la capacitancia en función del tamaño del defecto para una co-

nexión bundle-CNT a 100µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


5.9. Señales de salida. Se pude ver que cuando el tamaño del defecto es de 70 % el

retardo se ha incrementado considerablemente y para un defecto del 80 % la

señal se ve seriamente atenuada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.10. Comparación entre los comportamientos de las variaciones de retardos para

conexiones bundle-CNT y metálicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.11. Comparación entre la variación de retardos de conexiones bundle-CNT y me-

tálica para longitudes de a) 100 µm y b) 2mm. . . . . . . . . . . . . . . 103

5.12. Comparación entre la variación de retardos para diferentes longitudes. . . . 103

5.13. Esquema Elmore utilizado para obtener el retardo en una conexión con CNT’s. 105

5.14. Comparación de las curvas de retardo haciendo uso del modelo eléctrico y

mediante la ecuación de retardo. La aproximación es mejor para longitudes

cortas y peor para longitudes largas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.15. Esquema eléctrico de simulación para el efecto de crosstalk, los efectos capa-

citivos son sumados a los valores de capacitancias CE y Cm. . . . . . . . . 107

5.16. Comparación de retardo en crsosstalk para conexión simple, con un agresor y

dos agresores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.17. a) Comparación de la variación del porcentaje de retardo para los tres casos

para una longitud de 100 µm, b) Comparación de la variación del porcentaje

de retardo para los tres casos para una longitud de 2mm . . . . . . . . . . 109

5.18. Esquema para la detección de algún defecto en interconexiones bundles de

nanotubos. (Imagen tomada de [24]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Indice de tablas

1.1. Propiedades termo-mecánicas de las interconexiones de cobre y aluminio. (Da-

tos obtenidos de [6]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Requerimientos de la tecnología para interconexiones - Términos por año.

(Datos obtenidos de [3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Comparación de diferentes soluciones para interconexiones. (Datos obtenidos

de [19] [20] [21]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Comparación de propiedades de los nanotubos de pared simple (SWCNT).

(Datos obtenidos de [10]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1. Clasificación de los nanotubos de carbono . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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