Analisis y Diseno de Experimentos

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Anlisis y diseo de experimentos

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Segunda edicin

Humberto Gutirrez PulidoCentro Universitario de Ciencias Exactas e IngenieraUniversidad de Guadalajara

Romn de la Vara SalazarCentro de Investigacin de MatemticasGuanajuato, Mxico

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO

AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHISAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

Revisin tcnica:

Adolfo Cano CarrascoDepartamento de Ingeniera IndustrialInstituto Tecnolgico de Sonora

Mucio Osorio SnchezDepartamento de MatemticasInstituto Tecnolgico de Sonora

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Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque AlaynEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezEditora de desarrollo: Lorena Campa RojasSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Diseo de portada: Jorge Matas-Garnica / Brenda Rodrguez

ANLISIS Y DISEO DE EXPERIMENTOSSegunda edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2008, respecto a la segunda edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe

Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN-10: 970-10-6526-3ISBN-13: 978-970-10-6526-6(ISBN: 970-10-4017-1 edicin anterior)

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Impreso en Mxico Printed in Mexico

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Dedicatoria

A Irma, Arnoldo y NoelH.G.P.

A Rosalinda y ArmidaR.V.S.

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Contenido

Acerca de los autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIAgradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIIIPrefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV

CAPTULO 1 Introduccin al diseo de experimentos . . . . . . . . . . . . 2 El diseo de experimentos hoy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Definiciones bsicas en el diseo de experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Etapas en el diseo de experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Consideraciones prcticas sobre el uso de mtodos estadsticos . . . . . . 12 Principios bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Clasificacin y seleccin de los diseos experimentales . . . . . . . . . . . . 14

CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Poblacin y muestra, parmetros y estadsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Distribuciones de probabilidad e inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Estimacin puntual y por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Conceptos bsicos de prueba de hiptesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Planteamiento de una hiptesis estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Prueba para la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Prueba para la varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tres criterios de rechazo o aceptacin equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Hiptesis para dos medias: comparacin de dos tratamientos . . . . . . . . 39 Prueba para la igualdad de varianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Poblaciones pareadas (comparacin de dos medias con muestras dependientes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Resumen de frmulas para procedimientos de prueba de hiptesis . . . . 49 Uso de un software estadstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

CAPTULO 3 Experimentos con un solo factor (anlisis de varianza) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Diseo completamente al azar y ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Comparaciones o pruebas de rango mltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Verificacin de los supuestos del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Eleccin del tamao de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Uso de software computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

CAPTULO 4 Diseos de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Diseo de bloques completos al azar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Diseo en cuadro latino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

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VIII Contenido

Diseo en cuadro grecolatino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Uso de software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

CAPTULO 5 Diseos factoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Conceptos bsicos en diseos factoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Experimentacin factorial vs. mover un factor a la vez . . . . . . . . . . . . . 132 Diseos factoriales con dos factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Diseos factoriales con tres factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Transformaciones para estabilizar varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Diseo factorial general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Modelos de efectos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Cmo hacerlo con software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

CAPTULO 6 Diseos factoriales 2k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Diseo factorial 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Experimento 22: ejemplo integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Diseo factorial 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Experimento 23: ejemplo integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Diseo factorial general 2k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Diseo factorial 2k no replicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Experimento 25 no replicado: ejemplo integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Cuando la significancia de los efectos es menos clara: un ejemplo . . . . 208 Factoriales 2k con punto al centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Factoriales 2k en bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Uso de software estadstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

CAPTULO 7 Diseos factoriales 3k y factoriales mixtos . . . . . . . . . . . 236 Diseos factoriales 3k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Factoriales mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Uso de software estadstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

CAPTULO 8 Diseos factoriales fraccionados 2kp . . . . . . . . . . . . . . . 258 Diseo factorial fraccionado 2kl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 El concepto de resolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Construccin de fracciones 2k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Experimento 251: ejemplo integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Diseos factoriales fraccionados 2k2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Diseo factorial fraccionado 2kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Experimento 274: ejemplo integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Tpicos adicionales sobre factoriales fraccionados . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Uso de software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

CAPTULO 9 Introduccin al diseo robusto (Taguchi) . . . . . . . . . . . 294 Filosofa Taguchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 El concepto de robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Factores de control, de ruido y de seal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Arreglos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Gutierrez-00Preliminares.indd VIIIGutierrez-00Preliminares.indd VIII 15/10/07 14:43:3215/10/07 14:43:32

IXContenido

Diseo con arreglo interno y externo (diseo de parmetros) . . . . . . . . 307 Razn seal/ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Uso de software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

CAPTULO 10 Planeacin de un experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Experimentacin: una estrategia para probar conjeturas y generar aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 El diseo de experimentos y el ciclo de Deming . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Etapas y actividades de la planeacin y anlisis de un experimento . . . 323 Control de factores de bloque y de ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Qu sigue despus del primer experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Qu hacer cuando ningn efecto es significativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

CAPTULO 11 Anlisis de regresin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Regresin lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Pruebas de hiptesis en la regresin lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Calidad del ajuste en regresin lineal simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 Estimacin y prediccin por intervalo en regresin simple . . . . . . . . . . 357 Regresin lineal mltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Pruebas de hiptesis en regresin lineal mltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Intervalos de confianza y prediccin en regresin mltiple . . . . . . . . . . 371 Uso de un software estadstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

CAPTULO 12 Optimizacin de procesos con metodologa de superficie de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Introduccin a la metodologa de superficie de respuesta . . . . . . . . . . . 386 Tcnicas de optimizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Diseos de superficie de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 Uso de software estadstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

CAPTULO 13 Optimizacin simultnea de varias respuestas . . . . . . 432 Optimizacin simultnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Mtodo grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 Mtodo de la funcin de deseabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 Trabajo con un software estadstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

CAPTULO 14 Diseos anidados y diseos en parcelas divididas . . . 452 Diseos anidados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Modelo y anlisis estadstico del diseo anidado . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 Diseos en parcelas divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 Modelo y anlisis estadstico de los diseos en parcelas divididas . . . . 465 Cmo hacer los clculos usando software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

CAPTULO 15 Diseo de experimentos con mezclas . . . . . . . . . . . . . 480 El problema del diseo de experimentos con mezclas . . . . . . . . . . . . . . 482 Algunos diseos de mezclas y sus modelos estadsticos . . . . . . . . . . . . 486

Gutierrez-00Preliminares.indd IXGutierrez-00Preliminares.indd IX 15/10/07 14:43:3215/10/07 14:43:32

X Contenido

Ajuste del modelo y caracterizacin de la superficie de respuesta . . . . 490 Restricciones en los componentes de una mezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 Uso de software estadstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

APNDICE A Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

APNDICE B Uso de sistemas computacionales . . . . . . . . . . . . . . . . 521 Etapas al planear y analizar un experimento en un paquete estadstico 522 Sistema Statgraphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 Sistema Minitab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 Sistema JMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 Diseo de experimentos usando SPSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

NDICE ANALTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

Gutierrez-00Preliminares.indd XGutierrez-00Preliminares.indd X 15/10/07 14:43:3215/10/07 14:43:32

Acerca de los autoresHumberto Gutirrez Pulido es miembro del Sistema Nacional de Investigadores y profesor investigador en el Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras de la Universidad de Guadalajara. Obtuvo el doctorado en estadstica por el Cen-tro de Investigacin en Matemticas (CIMAT) de Guanajuato, Mxico.

Entre las empresas en las que ha impartido capacitacin y/o asesora en calidad total, control estadstico y diseo de experimentos, destacan las siguientes: Cervece-ra Modelo, Tequila Herradura, Kodak, Hitachi, Jabil, Coca-Cola, Sanmina-SCI y Colcaf.

A lo largo de su trayectoria profesional ha escrito siete libros, cinco de ellos publicados por McGraw-Hill, y 50 artculos de investigacin. Asimismo, ha sido conferenciante a nivel nacional e internacional.

Romn de la Vara Salazar es investigador en el Centro de Investigacin en Ma-temticas (CIMAT) de Guanajuato, Mxico.

Es doctor en estadstica por el CIMAT.Entre las empresas en las que ha impartido capacitacin y/o asesora en inge-

niera para la calidad y estadstica, destacan las siguientes: Pemex, INEGI, Motorola, Comisin Federal de Electricidad, CENAM, Mabe, General Motors y Kodak.

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AgradecimientosAgradecer a todas las personas que directa o indirectamente contribuyeron en un libro como ste no es fcil, ya que a lo largo de los aos se acumulan ideas, comen-tarios, dudas, ejemplos, datos, respuestas, discusiones y experiencia de las personas con las que se ha tenido contacto en el terreno profesional. Al final, las respuestas a esas dudas, las experiencias y las diferentes aportaciones se han vertido en los 15 captulos del libro, alrededor de 50 ejemplos y ms de 300 preguntas y ejercicios reales. De cualquier manera, y disculpndonos de antemano por las omisiones, qui-siramos dejar testimonio de nuestro agradecimiento a las siguientes personas: Julio Yuen (Flextronics); Leopoldo Torres y Gustavo Pacheco (Hitachi); Miguel Cedeo (Tequila Herradura); Ignacio Gallo, Jorge Quirarte (Kodak); Martn Marn (Sanmina SCI); Oscar Famoso y Pedro Ponce (Panasonic); Alberto Godnez, Felipe Camacho y Daniel Romo (Lucent Technology); Armando Miramontes (Innopack); Gustavo Basurto (Coca-Cola); Enrique Villa, Jorge Domnguez y Gustavo Torres (CIMAT); Porfirio Gutirrez, Osvaldo Camacho, Lizbeth Daz, Agustn Rodrguez, Mara de Jess Guzmn, Cecilia Garibay (Universidad de Guadalajara); Vctor Aguirre (ITAM); Javier Quezada (Tec. de Monterrey); Jorge Villa (Universidad de Sonora); Cuauhtmoc Reyes (Universidad Autnoma de Sinaloa); Edmundo Dvila y Rubn Crdenas (Jabil Circuits); Joaqun valos (Cervecera Modelo); Joel Crdenas (Pemex); Jos Toro (Mabe Sanyo); Valentn Gutirrez (Emerson), y ngela Atilano (Colcaf).

Deseamos agradecer la valiosa participacin de los siguientes profesores en la pre-sente edicin:

Jos Humberto Lora Arcila, Universidad Autnoma de YucatnSonia Avils Ortiz, Instituto Tecnolgico de SonoraElzabeth Gonzlez Valenzuela, Instituto Tecnolgico de SonoraRoco Jurez, Instituto Tecnolgico de SonoraMara Elena Anaya Prez, Universidad de SonoraDagoberto Rosas Pandura, Instituto Tecnolgico de HermosilloEsteban Burguete Hernndez, Universidad de las Amricas Puebla

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PrefacioEste libro es resultado de ms de 15 aos de enseanza, capacitacin y asesora sobre diseo y anlisis de experimentos. Adems de la contribucin de los autores, esta obra ha sido posible gracias a las ideas, comentarios, dudas, ejemplos, datos, res-puestas, discusiones y experiencia de las personas con las que se ha tenido contacto en el terreno profesional; desde estudiantes universitarios, estudiantes de posgrado, investigadores, as como personal tcnico y directivo de empresas. Las respuestas a esas dudas, las experiencias y los diferentes aportes se virtieron en los 15 captulos de este libro, alrededor de 50 ejemplos y ms de 300 preguntas y ejercicios reales.

Esperamos que esta obra resulte una contribucin para enfrentar de mejor ma-nera los tiempos actuales, ya que la globalizacin y la alta competencia son una realidad tan contundente que deja poco lugar a dudas acerca de la necesidad de que las organizaciones enfrenten de manera rpida y eficaz esta competencia. Es posible afirmar que la globalizacin ha dejado atrs muchas discusiones en nuestros pases sobre la forma de enfrentar los nuevos tiempos. En la actualidad se sabe, en casi to-das las empresas y organizaciones, que ya no hay clientes cautivos y que en cualquier momento los clientes pueden encontrar una mejor alternativa. En este contexto, en la investigacin y en los procesos de produccin es necesario mejorar la calidad de los productos, reducir costos, reducir tiempos de ciclo, disear, redisear o hacer cam-bios en los procesos, sustituir materiales, modificar mtodos, disear productos y procesos robustos, etc. Una de las metodologas clave para que todo esto se haga eficazmente es el diseo y anlisis estadstico de experimentos.

El papel crucial que en la actualidad juega el diseo de experimentos en los centros de investigacin y en los procesos productivos se fue consolidando a lo largo de la segunda mitad del siglo XX, y particularmente en los aos ochenta recibi un impulso decisivo debido a la influencia del control de calidad en Japn, en donde se dieron cuenta de que ms que detectar la mala calidad es mejor enfocar esfuerzos de prevencin. En los ltimos 20 aos el diseo de experimentos se fue consolidando hasta convertirse, hoy en da, en una herramienta fundamental en las tareas del per-sonal tcnico de prcticamente todo tipo y tamao de industria. Esto lo ha reconoci-do la mayora de los centros educativos que tienen como tarea la formacin de ingenieros, bilogos, qumicos, agrnomos, etc.; asimismo, han incorporado el dise-o de experimentos como parte de su formacin bsica. En muchas industrias este tipo de profesionistas reciben un entrenamiento adicional en diseo de experimentos, a fin de fortalecer sus conocimientos y habilidades en este campo para que estn en posibilidades de generar ms y mejores acciones de perfeccionamiento e innovacin.

En este libro se describen los aspectos ms importantes del diseo y anlisis de experimentos, y aunque se ven los aspectos matemticos, se hace nfasis en los con-ceptos, as como en cundo aplicar cada tipo de diseo, cmo aplicarlo y cmo hacer el anlisis e interpretacin de los datos obtenidos mediante el experimento. Nos he-mos apoyado en muchos ejemplos para resaltar los aspectos finos de la aplicacin del diseo y anlisis de experimentos; de esta forma hacemos evidente la gran utilidad que tienen como herramienta de mejora e innovacin.

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A lo largo de ms de 15 aos en que hemos enseado y asesorado la aplicacin del diseo de experimentos, hemos visto que la gente con formacin tcnica capta rpidamente su utilidad y, cuando los aplica, pronto se familiariza y los incorpora a su caja de herramientas de uso relativamente cotidiano. La gente que est ligada a la investigacin, la operacin y la mejora de los procesos est acostumbrada a reali-zar pruebas (experimentos) de diferente ndole, por lo que en este caso el reto es que estas pruebas se hagan en forma planeada y ptima (diseo estadstico de las prue-bas), en lugar de la tradicional prueba y error. En cada captulo se describe la for-ma en que se puede utilizar un software estadstico para facilitar tanto el diseo como el anlisis de cada tipo de esquema experimental. Al final de cada captulo se plan-tean preguntas y ejercicios como material complementario para ayudar al profesor y al alumno, y en general al usuario, a lograr un mejor aprendizaje de la tcnica.

El libro cubre prcticamente todo el material de cualquier curso de diseo de experimentos a nivel licenciatura y posgrado. Tambin incluye tpicos adicionales que en ocasiones no se alcanzan a cubrir en un solo curso, pero que es necesario conocer para lograr una mejor panormica de las posibilidades de aplicacin del di-seo de experimentos. Tal es el caso de los contenidos de los ltimos seis captulos.

Sobre la segunda edicinEn esta nueva edicin se realiz una revisin detallada con el propsito de hacer ms fcil y clara la lectura de la obra, ampliar algunos temas, agregar ejercicios, eliminar redundancias y mejorar la definicin de conceptos clave. Los mayores cambios re-sultaron en los captulos: 1, Introduccin al diseo; 2, Elementos de inferencia esta-dstica; 3, Anlisis de varianza; 4, Diseos en bloques, y el 12, Superficie de respuesta. Adems, para que el libro cubra mejor las situaciones experimentales que se presentan en un contexto de investigacin y en los problemas industriales, se agrega-ron tres nuevos captulos que incluyen tpicos del diseo y anlisis de experimentos que cada da tienen mayor aplicacin, tales como la optimizacin multirrespuesta, los diseos anidados y en parcelas divididas y el diseo de experimentos con mezclas.

Al final de cada captulo se incluyeron breves explicaciones de cmo utilizar algunos sistemas computacionales para hacer el diseo y anlisis de los experimen-tos. En este sentido se hizo especial nfasis en los programas Statgraphics y Mini-tab. Adems, en algunos captulos se agreg informacin acerca de Excel y Design Expert.

Esperamos que con estas mejoras y nuevos materiales el libro siga siendo bien recibido por la comunidad Iberoamericana.

XVI Prefacio

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Captulo 1Introduccin al diseo de experimentos

Sumario El diseo de experimentos hoy

Definiciones bsicas en el diseo de experimentos

Etapas en el diseo de experimentos

Consideraciones prcticas sobre el uso de mtodos estadsticos

Principios bsicos

Clasificacin y seleccin de los diseos experimentales

Objetivos de aprendizaje

Conocer el papel fundamental que juega el diseo de experimentos en el mejoramiento de procesos y en la investigacin.

Identificar los principios bsicos y la terminologa adecuada en el diseo de experimentos.

Describir las etapas ms importantes en la investigacin experimental.


Diseo de experimentos

Mapa conceptual

Investigacin

Industria

Historia

Definicionesbsicas

Etapas

Mtodos estadsticos

Principios

Clasificaciny seleccin


4 CAPTULO 1 Introduccin al diseo de experimentos

El diseo de experimentos hoyEn el campo de la industria es frecuente hacer experimentos o pruebas con la inten-cin de resolver un problema o comprobar una idea (conjetura, hiptesis); por ejem-plo, hacer algunos cambios en los materiales, mtodos o condiciones de operacin de un proceso, probar varias temperaturas en una mquina hasta encontrar la que da el mejor resultado o crear un nuevo material con la intencin de lograr mejoras o eliminar algn problema.

Sin embargo, es comn que estas pruebas o experimentos se hagan sobre la marcha, con base en el ensayo y error, apelando a la experiencia y a la intuicin, en lugar de seguir un plan experimental adecuado que garantice una buena respuesta a las interrogantes planteadas. Algo similar ocurre con el anlisis de los datos experimen-tales, donde ms que hacer un anlisis riguroso de toda la informacin obtenida y to-mar en cuenta la variacin, se realiza un anlisis informal, intuitivo. Es tal el poder de la experimentacin que, en ocasiones, se logran mejoras a pesar de que el experi-mento se hizo con base en el ensayo y error. Sin embargo, en situaciones de cierta complejidad no es suficiente aplicar este tipo de experimentacin, por lo que es mejor proceder siempre en una forma eficaz que garantice la obtencin de las respuestas a las interrogantes planteadas en un lapso corto de tiempo y utilizando pocos recursos.

El diseo estadstico de experimentos es precisamente la forma ms eficaz de hacer pruebas. El diseo de experimentos consiste en determinar cules pruebas se deben realizar y de qu manera, para obtener datos que, al ser analizados estadstica-mente, proporcionen evidencias objetivas que permitan responder las interrogantes planteadas, y de esa manera clarificar los aspectos inciertos de un proceso, resolver un problema o lograr mejoras. Algunos problemas tpicos que pueden resolverse con el diseo y el anlisis de experimentos son los siguientes:

1. Comparar a dos o ms materiales con el fin de elegir al que mejor cumple los requerimientos.

2. Comparar varios instrumentos de medicin para verificar si trabajan con la misma precisin y exactitud.

3. Determinar los factores (las x vitales) de un proceso que tienen impacto sobre una o ms caractersticas del producto final.

4. Encontrar las condiciones de operacin (temperatura, velocidad, humedad, por ejemplo) donde se reduzcan los defectos o se logre un mejor desempeo del proceso.

5. Reducir el tiempo de ciclo del proceso. 6. Hacer el proceso insensible o robusto a oscilaciones de variables ambientales.7. Apoyar el diseo o rediseo de nuevos productos o procesos.8. Ayudar a conocer y caracterizar nuevos materiales.

En general, cuando se quiere mejorar un proceso existen dos maneras bsicas de obtener la informacin necesaria para ello: una es observar o monitorear va he-rramientas estadsticas, hasta obtener seales tiles que permitan mejorarlo; se dice que sta es una estrategia pasiva. La otra manera consiste en experimentar, es decir, hacer cambios estratgicos y deliberados al proceso para provocar dichas seales tiles. Al analizar los resultados del experimento se obtienen las pautas a seguir, que

Conceptos clave

Aleatorizacin Bloqueo Diseo de experimentos Error aleatorio Error experimental Experimento Factores controlables Factores estudiados Factores no controlables Matriz de diseo Niveles Planeacin Proceso de deduccin Proceso de induccin Tratamiento Repeticin Unidad experimental Variable de respuesta


5El diseo de experimentos hoy

muchas veces se concretan en mejoras sustanciales del proceso. En este sentido, experimentar es mejor que sentarse a esperar a que el proceso nos indique por s solo cmo mejorarlo. El diseo de experimentos (DDE) es un conjunto de tcnicas activas, en el sentido de que no esperan que el proceso mande las seales tiles, sino que ste se manipula para que proporcione la informacin que se requiere para su mejora.

El saber diseo de experimentos y otras tcnicas estadsticas, en combinacin con conocimientos del proceso, sitan al responsable del mismo como un observador per-ceptivo y proactivo que es capaz de proponer mejoras y de observar algo interesante (oportunidades de mejora) en el proceso y en los datos donde otra persona no ve nada.

Diseo de experimentos en la investigacinLo que se ha dicho hasta el momento tambin es vlido en el campo de la investiga-cin cientfica o aplicada, ya que a fin de cuentas, el objetivo es generar nuevas ideas y mejores respuestas a las interrogantes del investigador sobre el objeto de estudio.

El objetivo de los mtodos estadsticos es lograr que el proceso de generar co-nocimiento y aprendizaje sea lo ms eficiente posible. En este proceso, que ha de-mostrado ser secuencial, interactan dos polos (vase figura 1.1), por un lado estn la teora, los modelos, las hiptesis, las conjeturas y los supuestos; por el otro, es-tn la realidad, los hechos, los fenmenos, la evidencia y los datos. As, como se comenta en Box et al. (1978), una hiptesis inicial lleva a un proceso de deduccin en el que las consecuencias derivadas de la hiptesis pueden ser comparadas con los datos. Cuando las consecuencias y los datos no corresponden, entonces la discrepan-cia puede llevar a un proceso de induccin, en el cual se modifica la hiptesis origi-nal. De esta manera inicia un segundo ciclo de la interaccin de teora y datos, en el cual las consecuencias de la hiptesis modificada son comparadas con los datos (los viejos y los que se obtengan en este nuevo ciclo); esto puede llevar a futuras modifi-caciones y a la obtencin de conocimiento.

Este proceso interactivo de aprendizaje puede visualizarse como un ciclo de retroalimentacin (figura 1.2), en el cual las discrepancias entre los datos y las con-secuencias de la hiptesis H1, llevan a una hiptesis modificada H2, y de la verifica-cin de sta, adems de conocimiento, se produce una modificacin de la modificacin (hiptesis H3) y as sucesivamente.

Breve historia del diseo de experimentosEl diseo estadstico de experimentos, desde su introduccin por Ronald A. Fisher en la primera mitad del siglo XX en Inglaterra, se ha utilizado para conseguir un apren dizaje acelerado. El trabajo de Fisher a travs de su libro The Design of Experiments (1935),

Diseo de experimentosConsiste en planear y realizar un conjunto de pruebas con el objetivo de generar da-tos que, al ser analizados esta-dsticamente, proporcionen evidencias objetivas que permi-tan responder las interrogantes planteadas por el experimenta-dor sobre determinada situa-cin.

Proceso de deduccinEs cuando las consecuencias derivadas de la hiptesis pueden ser comparadas con los datos.

Proceso de induccinEs cuando las consecuencias de la hiptesis original y los da-tos no estn de acuerdo, por lo que se inicia este proceso para cambiar tal hiptesis.

Teora, modelos, hiptesis, supuestos

Realidad, hechos, fenmenos, datos

Figura 1.1 Proceso interactivo de la experimentacin.



influy de manera decisiva en la investigacin agrcola, ya que aport mtodos (ahora usados en todo el mundo) para evaluar los resultados de experimentos con muestras pequeas. La clave de las aportaciones de Fisher radica en que este investigador se dio cuenta de que las fallas en la forma de realizar experimentos obstaculizaba el anlisis de los resultados experimentales. Fisher tambin proporcion mtodos para disear experimentos destinados a investigar la influencia simultnea de varios factores.

Los desarrollos posteriores en diseos de experimentos fueron encabezados por George E. P. Box, quien trabaj como estadstico durante ocho aos en la indus-tria qumica en Inglaterra y desarroll la metodologa de superficie de respuestas (vase Box y Wilson, 1951), la cual incluye nuevas familias de diseos y una estra-tegia para la experimentacin secuencial. Es posible afirmar que entre 1950 y 1980, el diseo de experimentos se convirti en una herramienta de aplicacin frecuente, pero slo en las reas de investigacin y desarrollo. Hasta la dcada de 1970, la apli-cacin a nivel planta o procesos de manufactura no estaba generalizada, debido a la falta de recursos computacionales y a que los ingenieros y especialistas en manufac-tura carecan de formacin en el rea de estadstica.

En la dcada de 1980 se dio un gran impulso al conocimiento y la aplicacin del diseo de experimentos debido al xito en calidad de la industria japonesa. El movimiento por la calidad, encabezado por los gures Deming e Ishikawa, promovi el uso de la estadstica en calidad, donde el diseo de experimentos demostr su utilidad tanto para resolver problemas de fondo como para disear mejor los produc-tos y los procesos. En Japn destaca el trabajo de Genichi Taguchi, cuyos conceptos sobre diseo robusto tambin tuvieron un impacto significativo en la academia en el mundo occidental. Como respuesta al movimiento por la calidad y la mejora de pro-cesos, las industrias empezaron a entrenar a sus ingenieros en la aplicacin del dise-o de experimentos. Esto contina en la actualidad; incluso, en los ltimos veinte aos, las universidades han incorporado el diseo de experimentos como materia obligatoria u operativa en la mayora de las ingenieras.

Definiciones bsicas en eldiseo de experimentosEl diseo de experimentos es la aplicacin del mtodo cientfico para generar cono-cimiento acerca de un sistema o proceso, por medio de pruebas planeadas adecua-damente. Esta metodologa se ha ido consolidando como un conjunto de tcnicas

Hiptesis H1 Deduccin Consecuencias de H1

Datos

Induccin Hiptesis modificada H2

La hiptesis H2 reemplaza a H1

Figura 1.2 El proceso de generacin de aprendizaje y conocimiento como un ciclo de retroalimentacin.


ExperimentoEs un cambio en las condicio-nes de operacin de un siste-ma o proceso, que se hace con el objetivo de medir el efecto del cambio en una o varias propiedades del producto o re-sultado.

Unidad experimentalPieza(s) o muestra(s) que se utiliza para generar un valor que sea representativo del re-sultado de la prueba.

estadsticas y de ingeniera, que permiten entender mejor situaciones complejas de relacin causa-efecto.

ExperimentoUn experimento es un cambio en las condiciones de operacin de un sistema o pro-ceso, que se hace con el objetivo de medir el efecto del cambio sobre una o varias propiedades del producto o resultado. Asimismo, el experimento permite aumentar el conocimiento acerca del sistema. Por ejemplo, en un proceso qumico se pueden probar diferentes temperaturas y presiones, y medir el cambio observado en el rendi-miento (yield, ppm, defectivo) del proceso. Al analizar los efectos (datos) se obtiene conocimiento acerca del proceso qumico, lo cual permite mejorar su desempeo.

Unidad experimentalLa unidad experimental es la pieza(s) o muestra(s) que se utiliza para generar un valor que sea representativo del resultado del experimento o prueba. En cada diseo de experimentos es importante definir de manera cuidadosa la unidad experimental, ya que sta puede ser una pieza o muestra de una sustancia o un conjunto de piezas producidas, dependiendo del proceso que se estudia. Por ejemplo, si se quiere inves-tigar alternativas para reducir el porcentaje de piezas defectuosas, en un proceso que produce muchas piezas en un lapso corto de tiempo, es claro que no sera muy con-fiable que la unidad experimental fuera una sola pieza, en la cual se vea si en una condicin experimental estaba defectuosa o no. Aqu, la unidad experimental ser cierta cantidad de piezas que se producen en las mismas condiciones experimentales, y al final se analizar cuntas de ellas estn defectuosas y cuntas no.

Variables, factores y nivelesEn todo proceso intervienen distintos tipos de variables o factores como los que se muestran en la figura 1.3, donde tambin se aprecian algunas interrogantes al planear un experimento.

Variable(s) de respuesta. A travs de esta(s) variable(s) se conoce el efecto o los resul tados de cada prueba experimental (vase figura 1.3), por lo que pueden ser caractersticas de la calidad de un producto y/o variables que miden el desempeo de

Figura 1.3 Variables de un proceso y preguntas a responder al disear un experimento.

Proceso

Cules caractersticas de calidad se van a medir?Cules factores controlables deben incluirse en el experimento?Qu niveles debe utilizar cada factor?Cul diseo experimental es el adecuado?

EntradaFactores controlablesFactores no controlablesCausas

SalidaCaractersticas de calidad o variables de respuestaEfectos

Variable de respuestaA travs de esta(s) variable(s) se conoce el efecto o los resul-tados de cada prueba experi-mental.

7Definiciones bsicas en el diseo de experimentos



un proceso. El objetivo de muchos estudios experimentales es encontrar la forma de mejorar la(s) variable(s) de respuesta. Por lo general, estas variables se denotan con la letra y.

Factores controlables. Son variables de proceso o caractersticas de los materiales experimentales que se pueden fijar en un nivel dado. Algunos de stos son los que usualmente se controlan durante la operacin normal del proceso (vase figura 1.3), y se distinguen porque, para cada uno de ellos, existe la manera o el mecanismo para cambiar o manipular su nivel de operacin. Esto ltimo es lo que hace posible que se pueda experimentar con ellos. Por ejemplo, si en el proceso se usa agua a 60C en-tonces debe existir un mecanismo que permita fijar la temperatura del agua dentro de un rango de operacin. Algunos factores o caractersticas que generalmente se con-trolan son: temperatura, tiempo de residencia, cantidad de cierto reactivo, tipo de reactivo, mtodo de operacin, velocidad, presin, etc. A los factores controlables tambin se les llama variables de entrada, condiciones de proceso, variables de di-seo, parmetros del proceso, las x de un proceso o simplemente factores.

Factores no controlables o de ruido. Son variables o caractersticas de materiales y mtodos que no se pueden controlar durante el experimento o la operacin normal del proceso. Por ejemplo, algunos factores que suelen ser no controlables son las variables ambientales (luz, humedad, temperatura, partculas, ruido, etc.), el nimo de los operadores, la calidad del material que se recibe del proveedor (interno o ex-terno). Un factor que ahora es no controlable puede convertirse en controlable cuan-do se cuenta con el mecanismo o la tecnologa para ello.

Factores estudiados. Son las variables que se investigan en el experimento, res-pecto de cmo influyen o afectan a la(s) variable(s) de respuesta. Los factores estu-diados pueden ser controlables o no controlables, a estos ltimos quiz fue posible y de inters controlarlos durante el experimento. Para que un factor pueda ser estudia-do es necesario que durante el experimento se haya probado en, al menos, dos nive-les o condiciones.

En principio, cualquier factor, sea controlable o no, puede tener alguna influen-cia en la variable de respuesta que se refleja en su media o en su variabilidad. Para fines de un diseo de experimentos deben seleccionarse los factores que se conside-ra, por conocimiento del objeto de estudio, que pueden tener efecto sobre la respues-ta de inters. Obviamente, si se decide o interesa estudiar el efecto de un factor no controlable, parte de la problemtica a superar durante el diseo es ver la manera en que se controlar durante el experimento tal factor.

Niveles y tratamientos. Los diferentes valores que se asignan a cada factor estu-diado en un diseo experimental se llaman niveles. Una combinacin de niveles de todos los factores estudiados se llama tratamiento o punto de diseo. Por ejemplo, si en un experimento se estudia la influencia de la velocidad y la temperatura, y se de-cide probar cada una en dos niveles, entonces cada combinacin de niveles (veloci-dad, temperatura) es un tratamiento. En este caso habra cuatro tratamientos, como se muestra en la tabla 1.1. Es necesario probar cada tratamiento y obtener el corres-pondiente valor de y.

Factores controlablesSon variables de proceso y/o caractersticas de los materiales y los mtodos experimentales que se pueden fijar en un nivel dado.

Factores no controlablesSon variables que no se pue-den controlar durante el experi-mento o la operacin normal del proceso.

Factores estudiadosSon las variables que se investi-gan en el experimento para ob-servar cmo afectan o influyen en la variable de respuesta.


De acuerdo con estas definiciones, en el caso de experimentar con un solo fac-tor, cada nivel es un tratamiento.

Error aleatorio y error experimental. Siempre que se realiza un estudio experi-mental, parte de la variabilidad observada en la respuesta no se podr explicar por los factores estudiados. Esto es, siempre habr un remanente de variabilidad que se debe a causas comunes o aleatorias, que generan la variabilidad natural del proceso. Esta variabilidad constituye el llamado error aleatorio. Por ejemplo, ser parte de este error aleatorio el pequeo efecto que tienen los factores que no se estudiaron, siem-pre y cuando se mantenga pequeo o despreciable, as como la variabilidad de las mediciones hechas bajo las mismas condiciones. Sin embargo, el error aleatorio tambin absorber todos los errores que el experimentador comete durante los expe-rimentos, y si stos son graves, ms que error aleatorio hablaremos de error experi-mental. De predominar ste, la deteccin de cules de los factores estudiados tienen un efecto real sobre la respuesta ser difcil, si no es que imposible.

Cuando se corre un diseo experimental es importante que la variabilidad ob-servada de la respuesta se deba principalmente a los factores estudiados y en menor medida al error aleatorio, y adems que este error sea efectivamente aleatorio. Cuan-do la mayor parte de la variabilidad observada se debe a factores no estudiados o a un error no aleatorio, no se podr distinguir cul es el verdadero efecto que tienen los

Tabla 1.1 Puntos de diseo o tratamientos.

Nivel de velocidad

Nivel de temperatura

Tratamiento y

1 1 1

?2 1 21 2 32 2 4

Error experimentalComponente del error aleatorio que refleja los errores del expe-rimentador en la planeacin y ejecucin del experimento.

Figura 1.4 Factores y variables en la fabricacin de un envase de plstico.

Proceso

Factores de ruido (difciles de controlar): Parmetros de calidad del proveedor Qumica del plstico Otras variables del proceso Variables ambientales

Materia primaCaractersticas de calidad: encogimiento, dureza, color,costo, textura

Z1 Z2 Zk

Factores de diseo (fciles de controlar):Tiempo de ciclo, presin del molde, velocidad de tornillo, temperatura, tiempo de curado, contenido de humedad

X1 X2 Xk

Y1 Y2 Yk

9Definiciones bsicas en el diseo de experimentos

Error aleatorioEs la variabilidad observada que no se puede explicar por los factores estudiados; resulta del pequeo efecto de los fac-tores no estudiados y del error experimental.



factores estudiados, con lo que el experimento no alcanzara su objetivo principal. De aqu la importancia de no dejar variar libremente a ningn factor que pueda in-fluir de manera significativa sobre el comportamiento de la respuesta (principio de bloqueo).

Ejemplo 1.1En la figura 1.4 se muestran algunas de las variables que intervienen en el proceso de fabricacin de un envase de plstico. El problema general es encontrar las con-diciones de operacin de los factores controlables, que dan por resultado valores ptimos de las caractersticas de calidad ah listadas. Tambin podra ser de inters investigar el efecto de factores no controlables, buscando lograr un proceso insen-sible (robusto) a su posible efecto. Supongamos que slo interesa la dureza de la pieza de plstico resultante. Algunas preguntas que se pueden responder con un diseo experimental son: cules factores afectan la dureza del plstico?, cmo es que la afectan?, o bien, qu relacin hay entre los factores controlables y la dureza?; existen otras condiciones de operacin, distintas a las actuales que me-joran la dureza? Estas preguntas se responden probando diferentes combinaciones en los niveles de los factores controlables, seleccionadas de manera adecuada. Esto ltimo significa escoger el diseo experimental ms adecuado al problema, que en este caso parece ser un diseo factorial completo o fraccionado (captulos 5, 6 y 8).

Etapas en el diseo de experimentosUn aspecto fundamental del diseo de experimentos es decidir cules pruebas o tra-tamientos se van a realizar y cuntas repeticiones de cada uno se requieren, de ma-nera que se obtenga la mxima informacin al mnimo costo posible. El arreglo formado por los diferentes tratamientos que sern corridos, incluyendo las repeticio-nes, recibe el nombre de matriz de diseo o slo diseo.

Para que un estudio experimental sea exitoso es necesario realizar, por etapas, diferentes actividades. En este sentido, la etapa ms importante y a la que se le debe dedicar mayor tiempo es la planeacin (vase captulo 10). A continuacin se descri-ben de manera breve las etapas del diseo de experimentos con objeto de dar una visin global de lo que implica su correcta aplicacin. Varios conceptos que se men-cionan en estas etapas se definen con detalle en los siguientes captulos.

Planeacin y realizacin1. Entender y delimitar el problema u objeto de estudio. En la etapa de

planeacin se deben hacer investigaciones preliminares que conduzcan a entender y delimitar el problema u objeto de estudio, de tal forma que quede claro qu se va a estudiar, por qu es importante y, si es un problema, cul es la magnitud del mismo.

2. Elegir la(s) variable(s) de respuesta que ser medida en cada punto del diseo y verificar que se mide de manera confiable. La eleccin de esta(s) va riable(es) es vital, ya que en ella se refleja el resultado de las pruebas. Por ello, se deben elegir aquellas que mejor reflejen el problema o que caractericen al objeto de estudio. Adems, se debe tener confianza en

Matriz de diseoEs el arreglo formado por los tratamientos que sern corridos, incluyendo las repeticiones.

PlaneacinSon actividades encaminadas a entender, delimitar el problema u objeto de estudio y seleccio-nar variables de respuesta y factores. Concluye con la espe-cificacin de los tratamientos a realizar y con la organizacin del trabajo experimental.


que las mediciones que se obtengan sobre esas variables sean confiables. En otras palabras, se debe garantizar que los instrumentos y/o mtodos de me-dicin son capaces de repetir y reproducir una medicin, que tienen la pre-cisin (error) y exactitud (calibracin) necesaria. Recordemos que los siste-mas de medicin son la forma en la que percibimos la realidad, por lo que si stos son deficientes, las decisiones que se tomen con base en ellos pueden ser inadecuadas.

3. Determinar cules factores deben estudiarse o investigarse, de acuer-do a la supuesta influencia que tienen sobre la respuesta. No se trata de que el experimentador tenga que saber a priori cules factores influyen, puesto que precisamente para eso es el experimento, pero s de que utilice toda la informacin disponible para incluir aquellos que se considera que tienen un mayor efecto.

4. Seleccionar los niveles de cada factor, as como el diseo experimen-tal adecuado a los factores que se tienen y al objetivo del experi-mento. Este paso tambin implica determinar cuntas repeticiones se ha-rn para cada tratamiento, tomando en cuenta el tiempo, el costo y la precisin deseada.

5. Planear y organizar el trabajo experimental. Con base en el diseo seleccionado, organizar y planear con detalle el trabajo experimental, por ejemplo, las personas que van a intervenir, la forma operativa en que se ha-rn las cosas, etc. (vase captulo 10).

6. Realizar el experimento. Seguir al pie de la letra el plan previsto en la etapa anterior, y en caso de algn imprevisto, determinar a qu persona se le reportara y lo que se hara.

AnlisisEn esta etapa no se debe perder de vista que los resultados experimentales son obser-vaciones muestrales, no poblacionales. Por ello, se debe recurrir a mtodos estads-ticos inferenciales para ver si las diferencias o efectos muestrales (experimentales) son lo suficientemente grandes para que garanticen diferencias poblacionales (o a nivel proceso). La tcnica estadstica central en el anlisis de los experimentos es el llamado anlisis de varianza ANOVA (acrnimo en ingls).

InterpretacinAqu, con el respaldo del anlisis estadstico formal, se debe analizar con detalle lo que ha pasado en el experimento, desde contrastar las conjeturas iniciales con los resultados del experimento, hasta observar los nuevos aprendizajes que sobre el pro-ceso se lograron, verificar supuestos y elegir el tratamiento ganador, siempre con apoyo de las pruebas estadsticas.

Control y conclusiones finalesPara concluir el estudio experimental se recomienda decidir qu medidas implemen-tar para generalizar el resultado del estudio y para garantizar que las mejoras se mantengan. Adems, es preciso organizar una presentacin para difundir los logros.

11Etapas en el diseo de experimentos



Consideraciones prcticas sobreel uso de mtodos estadsticosEn adicin a lo dicho en la seccin anterior, es importante tomar en cuenta que aun-que el uso de metodologas estadsticas por lo general ayuda a hacer ms eficiente el proceso de investigacin y de solucin de problemas, es necesario reconocer que las metodologas estadsticas por s solas no garantizan investigaciones exitosas, por ello es importante considerar los siguientes puntos:

El conocimiento no estadstico es vital. Para utilizar los mtodos estadsticos en general y los diseos de experimentos en particular, en primer lugar se requiere que el experimentador tenga un buen nivel de conocimiento tcnico y prctico sobre el fenmeno o proceso que estudia, de tal forma que pueda vislumbrar con cierta faci-lidad cules son los aspectos clave del fenmeno y sea capaz de plantear conjeturas precisas, vislumbrar el tipo de relaciones entre las variables de respuesta y los posi-bles factores a estudiar. Todo esto ayudar a seleccionar mejor los factores y sus ni-veles, as como el diseo que es mejor aplicar. Adems, ese conocimiento permitir sacarle un provecho real al anlisis estadstico de los resultados y obtener conclusio-nes que generen aprendizaje y soluciones.Reconocer la diferencia entre significancia estadstica e importancia prc-tica. En ocasiones, un experimentador puede concluir que dos tratamientos son di-ferentes estadsticamente, pero que tales diferencias, aunque sean significativas, no necesariamente representan una diferencia que en la prctica sea importante.

Apostarle ms a la experimentacin secuencial que a un experimento nico y definitivo. En ocasiones, los experimentadores novatos pretenden en una sola fase de experimentacin contestar todas sus interrogantes sobre un proceso o fen-meno en particular. Sin embargo, esto puede llevar a experimentos muy extensos que consuman demasiados recursos y que retarden la generacin de resultados. Por ello es importante considerar como alternativas a diferentes fases de experimentacin en forma secuencial, en las cuales se alcance paulatinamente una mayor precisin en los conocimientos y soluciones.

Es importante no confundir la experimentacin secuencial con la experimenta-cin a prueba y error (vase seccin Experimentacin factorial frente a mover un factor a la vez del captulo 5). La experimentacin secuencial en cada fase sigue una estrategia bien definida y pensada; por lo tanto, en cada fase se obtienen resultados y conclusiones importantes que permiten generar soluciones y conocimiento ms refi-nado para plantear de mejor manera la siguiente fase de experimentacin.

Principios bsicosEl diseo de experimentos trata de fenmenos que son observables y repetibles. Por lo tanto, sin el pensamiento estadstico, los conceptos de observabilidad y repetibili-dad son inherentemente contradictorios. Cualquier cosa observada se aprecia con variabilidad; nada ocurre exactamente de la misma forma dos veces, incluso las me-


diciones del mismo evento varan. Entonces, qu se quiere decir cuando la ciencia demanda que una observacin sea repetible?, qu repeticin es realmente una repe-ticin?, cuando un resultado es el mismo o difiere, es confirmacin o contradiccin? Estas preguntas no pueden ser contestadas de manera coherente sin el pensamiento estadstico; por ejemplo, alguien da una nueva receta de chocolate, dice que no falla, pero se prueba y no sale, mientras que el segundo y tercer intento s funcionan. La receta est comprobada completamente? (Los chocolates tienen ms de 800 ingre-dientes individuales que pueden ser separados.)

De acuerdo con lo anterior, se debe ser muy cuidadoso en la planeacin y el anlisis de un experimento. El punto de partida para una correcta planeacin es apli-car los principios bsicos del diseo de experimentos: aleatorizacin, repeticin y bloqueo, los cuales tienen que ver directamente con que los datos obtenidos sean tiles para responder a las preguntas planteadas, es decir, la validez del anlisis de los datos se apoya en estos principios.

Aleatorizacin. Consiste en hacer las corridas experimentales en orden aleatorio (al azar) y con material tambin seleccionado aleatoriamente. Este principio aumen-ta la probabilidad de que el supuesto de independencia de los errores se cumpla, lo cual es un requisito para la validez de las pruebas de estadsticas que se realizan. Tambin es una manera de asegurar que las pequeas diferencias provocadas por materiales, equipo y todos los factores no controlados, se repartan de manera homo-gnea en todos los tratamientos. Por ejemplo, una evidencia de incumplimiento o violacin de este principio se manifiesta cuando el resultado obtenido en una prueba est muy influenciado por la prueba inmediata anterior.

Repeticin. Es correr ms de una vez un tratamiento o una combinacin de facto res. Es preciso no confundir este principio con medir varias veces el mismo resultado expe-rimental. Repetir es volver a realizar un tratamiento, pero no inmediatamente despus de haber corrido el mismo tratamiento, sino cuando corresponda de acuerdo con la alea-torizacin. Las repeticiones permiten distinguir mejor qu parte de la variabilidad total de los datos se debe al error aleatorio y cul a los factores. Cuando no se hacen repeti-ciones no hay manera de estimar la variabilidad natural o el error aleatorio, y esto difi-culta la construccin de estadsticas realistas en el anlisis de los datos.

Bloqueo. Consiste en nulificar o tomar en cuenta, en forma adecuada, todos los fac-tores que puedan afectar la respuesta observada. Al bloquear, se supone que el sub-conjunto de datos que se obtengan dentro de cada bloque (nivel particular del factor bloqueado), debe resultar ms homogneo que el conjunto total de datos. Por ejem-plo, si se quieren comparar cuatro mquinas, es importante tomar en cuenta al ope-rador de las mquinas, en especial si se cree que la habilidad y los conocimientos del operador pueden influir en el resultado. Una posible estrategia de bloqueo del fac-tor operador, sera que un mismo operador realizara todas las pruebas del experi-mento. Otra posible estrategia de bloqueo sera experimentar con cuatro operadores (cuatro bloques), donde cada uno de ellos prueba en orden aleatorio las cuatro m-quinas; en este segundo caso, la comparacin de las mquinas quizs es ms real. Cada operador es un bloque porque se espera que las mediciones del mismo ope-rador sean ms parecidas entre s que las mediciones de varios operadores.

AleatorizacinConsiste en hacer corridas ex-perimentales en orden aleato-rio (al azar); este principio aumenta la posibilidad de que el supuesto de independencia de los errores se cumpla.

RepeticinEs correr ms de una vez un tratamiento o combinacin de factores.

BloqueoEs nulificar o tomar en cuenta en forma adecuada todos los factores que pueden afectar la respuesta observada.

13Consideraciones prcticas sobre el uso de mtodos estadsticos



Los principios bsicos se entendern mejor en la medida en que se estudien los ejemplos de los captulos siguientes. En particular, en la seccin Poblaciones parea-das del captulo 2, se presentan los experimentos ms simples donde la aplicacin de estos principios es evidente.

Clasificacin y seleccin de los diseos experimentalesExisten muchos diseos experimentales para estudiar la gran diversidad de proble-mas o situaciones que ocurren en la prctica. Esta cantidad de diseos hace nece-sario saber cmo elegir el ms adecuado para una situacin dada y, por ende, es preciso conocer cmo es que se clasifican los diseos de acuerdo con su objetivo y su alcance.

Los cinco aspectos que ms influyen en la seleccin de un diseo experimen-tal, en el sentido de que cuando cambian por lo general nos llevan a cambiar de di-seo, son:

1. El objetivo del experimento.2. El nmero de factores a estudiar.3. El nmero de niveles que se prueban en cada factor.4. Los efectos que interesa investigar (relacin factores-respuesta). 5. El costo del experimento, tiempo y precisin deseada.

Estos cinco puntos no son independientes entre s, pero es importante sealar-los de manera separada, ya que al cambiar cualquiera de ellos generalmente cambia el diseo experimental a utilizar (vase captulo 10). Con base en algunos de estos cinco puntos es posible clasificar los diseos como lo hacemos a continuacin.

El objetivo del experimento se utiliza como un criterio general de clasificacin de los diseos experimentales, mientras que los otros cuatro puntos son tiles para subclasificarlos. En este sentido, de acuerdo con su objetivo y sin pretender ser ex-haustivos, los diseos se pueden clasificar como:

1. Diseos para comparar dos o ms tratamientos.2. Diseos para estudiar el efecto de varios factores sobre la(s) respuesta(s).3. Diseos para determinar el punto ptimo de operacin del proceso. 4. Diseos para la optimizacin de una mezcla. 5. Diseos para hacer el producto o proceso insensible a factores no contro-

lables.

En la figura 1.5 se muestra la clasificacin general de los diseos experimenta-les de acuerdo con su objetivo. Dentro de cada rama se pueden clasificar de acuerdo al nmero de factores, al tipo de efectos que se pretende estudiar y segn las restric-ciones existentes. En la misma figura se listan los diseos particulares ms represen-tativos de cada rama.

Ntese que los diseos factoriales completos y fraccionados ocupan ms de un lugar en la figura 1.5; la razn es que estos diseos son eficaces en diversas situacio-


nes prcticas. De hecho, varios de los otros diseos que se mencionan en esta figura son casos particulares o generalizaciones de los diseos factoriales. En los siguientes captulos se vern con detalle prcticamente todos estos diseos.

Preguntas y ejercicios

1. Explique las ventajas que tiene el diseo de experimentos sobre una estrategia de prue-ba y error.

2. Qu es un experimento y qu es disear un experimento?

3. En el contexto de un diseo de experimentos, qu es una variable de respuesta?, qu es un factor estudiado? y qu relacin se esperara que haya entre la variable y los factores?

4. En un experimento slo es posible estudiar los factores que actualmente se controlan en la operacin normal del proceso?

5. Es posible estudiar cmo influye un factor sobre la variable de respuesta, si el factor se mantiene fijo en todas las corridas o pruebas experimentales? Explique.

6. Se tiene un experimento en el que los factores a estudiar y sus niveles son los siguien-tes: temperatura (10, 20 y 30C); tiempo (60 y 90 minutos). Elabore una lista de todos los posibles tratamientos de este diseo.

7. Qu es el error aleatorio y qu es el error experimental?

8. Por qu es importante aleatorizar el orden en que se corren los diferentes tratamientos en un diseo de experimentos?

9. Seale las etapas en el diseo de un experimento, as como algunos aspectos clave de cada una de ellas.

Figura 1.5 Clasificacin de los diseos experimentales.

4. Diseos robustos Arreglos ortogonales (diseos factoriales)Diseo con arreglos interno y externo

5. Diseos de mezclas

Diseo simplex-reticularDiseo simplex con centroideDiseo con restriccionesDiseo axial

3. Diseos para la optimizacin de procesos

Diseos para el modelo de primer orden

Diseos factoriales 2k y 2k pDiseo de Plakett-BurmanDiseo simplex

Diseos para el modelo de segundo orden

Diseo de composicin centralDiseo de Box-BehnkenDiseos factoriales 3k y 3k p

2. Diseos para estudiar el efecto de varios factores sobre una o ms variables de respuesta

Diseos factoriales 2kDiseos factoriales 3kDiseos factoriales fraccionados 2k p

1. Diseos para comparar dos o ms tratamientos

Diseo completamente al azarDiseo de bloques completos al azarDiseo de cuadros latino y grecolatino

15Preguntas y ejercicios



10. Por qu se considera la planeacin del experimento como la etapa ms importante? Describa cinco actividades que se realizan en esta etapa.

11. Describa de manera breve los tres principios bsicos del diseo de experimentos.

12. Explique la diferencia entre significancia prctica y significancia estadstica. Proponga un ejemplo donde se tenga la segunda pero no la primera.

13. Describa cinco aspectos que son relevantes al momento de seleccionar el diseo expe-rimental.

14. Mencione dos problemas en su rea de trabajo que pudieran abordarse con el diseo de experimentos. Para cada problema enliste algunos factores de control y al menos una variable de respuesta.

15. Suponga que se quiere estudiar el desempeo de un automvil, y lo que se desea es encontrar los factores que ms influyen en su rendimiento. Cules podran ser las va-riables de respuesta?, cules los factores a estudiar?, cules los factores no controla-bles o de ruido?

16. Se quiere comparar el desgaste de dos marcas de llantas A y B, para lo cual se eligen al azar 10 conductores particulares de cierta ciudad. A cinco de ellos, seleccionados al azar, se les instalan gratis las llantas marca A y a los cinco restantes la marca B, con el com-promiso por escrito de permitir la verificacin del desgaste cada seis meses.a) Cree que este experimento permita una comparacin justa del desgaste de las dos

marcas de llantas?b) Qu consideraciones se debieron hacer para lograr una comparacin ms justa?c) Proponga al menos un cambio al experimento que usted considera que mejorara

la comparacin.

17. Una compaa farmacutica realiz un experimento para comprobar los tiempos pro-medio (en das), que son necesarios para que una persona se recupere de los efectos y las complicaciones que siguen a un resfriado comn. En este experimento se compa-raron a personas que tomaron distintas dosis diarias de vitamina C. Para hacer el expe-rimento se contact a un nmero determinado de personas, que en cuanto les daba el resfriado empezaban a recibir algn tipo de dosis. Si la edad de las personas es una posible fuente de variabilidad, explique con detalle cmo aplicara la idea de bloqueo para controlar tal fuente de variabilidad.

18. En el caso anterior, qu podra pasar si no se controla la posible fuente de variacin que es la edad?

19. Un grupo de investigadores trabaja para industrializar la mermelada de tuna; para ello, realizan mermeladas considerando los siguientes factores: a) variedad de tuna: tres tipos, b) con cscara o sin cscara, c) completa o la pura pulpa. Por lo tanto, se tienen 12 posibles formas (tratamientos) de producir mermelada.

La pregunta central que se plantean es si influyen en el sabor los factores consi-derados, y quisieran encontrar cul es la mejor combinacin de mermelada (tratamien-to ganador). Para responder hicieron las 12 combinaciones y pusieron cada una en un recipiente numerado. Enseguida se trasladaban a lugares concurridos donde acomoda-ban los recipientes ordenados del 1 al 12, y a personas del pblico les entregaban una hoja de registro y la invitaban a que en el orden dado probaran en pequeas porciones las mermeladas y anotaran qu tan buena les pareca la mermelada (en una calificacin entre 0 a 10). Al final se tuvo la respuesta de 420 personas, donde cada una daba 12 calificaciones (una para cada mermelada). Hay algo que desde su punto de vista inva-lide los resultados obtenidos? Utilice el sentido comn y argumente su respuesta.


Captulo 2Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamientos

Sumario

Objetivos de aprendizajeIdentificar los elementos de la inferencia estadstica y su importancia en los diseos experimentales.

Explicar el papel de las distribuciones de probabilidad en la inferencia estadstica, as como la estimacin puntual y por intervalo.

Describir las pruebas para la media y la varianza, as como los conceptos bsicos de prueba de hiptesis.

Identificar las pruebas para la igualdad de varianzas.

Distinguir las pruebas para comparar medias con muestras independientes y muestras pareadas.

Poblacin y muestra, parmetros y estadsticos Distribuciones de probabilidad e inferencia Estimacin puntual y por intervalo Conceptos bsicos de prueba de hiptesis Planteamiento de una hiptesis estadstica Prueba para la media Prueba para la varianza Tres criterios de rechazo o aceptacin equivalentes

Hiptesis para dos medias: comparacin de dos tratamientos

Prueba para la igualdad de varianzas Poblaciones pareadas (comparacin de dos

medias con muestras dependientes) Resumen de frmulas para procedimientos de

prueba de hiptesis

Uso de un software estadstico


Elementos de inferencia estadstica

Mapa conceptual

Parmetros y estadsticos

Distribuciones de probabilidad

Estimulacin puntual y por

intervalo

Prueba para la media y la varianza

Criterios de rechazo o aceptacin

Hiptesis para dos medias

Igualdad de varianzasPoblaciones

pareadas

Poblacin y muestra

Prueba de hiptesis


20 CAPTULO 2 Elementos de inferencia estadstica

Poblacin y muestra, parmetros y estadsticosUna poblacin o universo es una coleccin o totalidad de posibles individuos, es-pecmenes, objetos o medidas de inters sobre los que se hace un estudio. Las po-blaciones pueden ser finitas o infinitas. Si es finita y pequea se pueden medir todos los individuos para tener un conocimiento exacto de las caractersticas (parme-tros) de esa poblacin. Por ejemplo, un parmetro que podra ser de inters es la proporcin p de productos defectuosos, o la media, m, de alguna variable medida a los productos. Si la poblacin es infinita o grande es imposible e incosteable medir a todos los individuos, en este caso se tendr que sacar una muestra representativa de dicha poblacin, y con base en las caractersticas medidas en la muestra (esta-dsticos) se podrn hacer afirmaciones acerca de los parmetros de la poblacin (figura 2.1).

Con frecuencia, las poblaciones de inters son los materiales, los productos terminados, partes o componentes, o algunos de los procesos. En muchos casos estas poblaciones se pueden suponer infinitas o grandes. Por ejemplo, en empresas con produccin en masa no siempre es posible medir cada pieza de material que llega o las propiedades de cada producto terminado. Incluso, si la produccin no es masiva, conviene imaginar al proceso como una poblacin infinita o muy grande, debido a que el flujo del proceso no se detiene, es decir, no existe el ltimo ar tculo producido mientras la empresa siga operando. En estos casos los procesos (poblaciones) se es-tudian mediante muestras de artculos extradas en algn punto del proceso.

Un asunto importante ser lograr que las muestras sean representativas, en el sentido de que tengan los aspectos clave que se desean analizar en la poblacin. Una forma de lograr esa representatividad es disear de manera adecuada un muestreo aleatorio (azar), donde la seleccin no se haga con algn sesgo en una direccin que favorezca la inclusin de ciertos elementos en particular, sino que todos los elemen-tos de la poblacin tengan las mismas oportunidades de ser incluidos en la muestra. Existen varios mtodos de muestreo aleatorio, por ejemplo: el simple, el estratifica-do, el muestreo sistemtico y por conglomerados; cada uno de ellos logra muestras representativas en funcin de los objetivos del estudio y de ciertas circunstancias y caractersticas particulares de la poblacin (vase Gutirrez Pulido, 2005).

Inferencia estadstica El objetivo de la inferencia estadstica es hacer afirmaciones vlidas acerca de la poblacin o proceso con base en la informacin contenida en una muestra. Estas afirmaciones tienen por objetivo coadyuvar en la toma de decisiones. La inferencia estadstica por lo general se divide en estimacin y prueba de hiptesis, y se apoya en cantidades o datos estadsticos calculados a partir de las observaciones en la muestra. Un estadstico se define como cualquier funcin de los datos muestrales que no contiene parmetros desconocidos. Un ejemplo de estadstico es la media muestral X con la cual se tratan de hacer afirmaciones sobre la media, m, que es un parmetro poblacional.

Un aspecto clave en la interpretacin y utilizacin de cualquier estadstico es que se trata de una variable aleatoria, ya que su valor depende de los elementos que

Poblacin finitaEs aquella en la que se pueden medir todos los individuos para tener un conocimiento exacto de sus caractersticas.

ParmetrosCaractersticas que, mediante su valor numrico, describen a un conjunto de elementos o individuos.

Poblacin infinitaEs aquella en la que la pobla-cin es grande y es imposible e incosteable medir a todos los individuos.

Muestra representativaEs una parte de una poblacin, seleccionada adecuadamente, que conserva los aspectos cla-ve de la poblacin.

Inferencia estadsticaSon las afirmaciones vlidas acerca de la poblacin o proce-so basadas en la informacin contenida en la muestra.

Conceptos clave

Error tipo I Error tipo II Estadstico Estadstico de prueba Estimador puntual Grados de libertad Hiptesis estadstica Inferencia estadstica Intervalo de confianza Muestras pareadas Orden completamente al azar Potencia de la prueba Regin de aceptacin Regin de rechazo Significancia observada Significancia predefinida


son seleccionados en la muestra y, por lo tanto, vara de una muestra a otra. La forma de tomar en cuenta este hecho es conocer la distribucin de probabilidad de cada estadstico. Como se ver ms adelante, al conocer la distribucin de probabilidad del estadstico se podrn hacer estimaciones acerca de cul es el valor del parmetro poblacional, y tambin ser posible probar o verificar la validez de hiptesis o con-jeturas que se tengan sobre la poblacin o proceso. Por ejemplo, un proveedor puede afirmar que el porcentaje de su producto que no cumple con especificaciones es de 0.1%, por lo que interesara investigar, con base en una muestra, si esta afirmacin se puede tomar como verdadera.

Distribuciones de probabilidad e inferenciaLa distribucin de probabilidad o distribucin de una variable aleatoria X relaciona el conjunto de valores posibles de X (rango de X), con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores y los representa a travs de una tabla o por medio de una funcin planteada como una frmula. Por ejemplo, sea la variable aleatoria dada por el esta-dstico media muestral, X, entonces al conocer su distribucin de probabilidad podre-mos saber cules son los valores que puede tomar X y cules son ms probables.

En otras palabras, la distribucin de probabilidad de la media muestral X sea-la qu valores se espera que tome X, de acuerdo con los supuestos asumidos. De esta forma, la distribucin de probabilidad hace que lo aleatorio no sea un capricho, y modela (describe, acota) los posibles valores de un estadstico muestral, con lo que al observar una realizacin especfica de un estadstico se pueden corroborar o recha-zar supuestos (prueba de hiptesis), o bien, hacer estimaciones poblacionales.

Las distribuciones de probabilidad que ms se usan en intervalos de confianza y pruebas de hiptesis son las distribuciones: normal, T de Student, ji-cuadrada y F. En la figura 2.2 se representan las formas tpicas de estas cuatro distribuciones. La distribucin normal est completamente definida por sus parmetros, que son la media, m, y la desviacin estndar, s. Por ejemplo, en la figura 2.2 se muestra la

EstadsticoCualquier funcin de los datos muestrales que no contiene parmetros desconocidos.

Distribucin de probabilidad de XRelaciona el conjunto de valo-res de X con la probabilidad asociada con cada uno de es-tos valores.

Figura 2.1 Relacin entre poblacin y muestra, parmetros y estadsticos.

Poblacin (toda la produccin del mes) Muestra

(representativa de la produccin del mes)

PARMETROS (siempre desconocidos)

ESTADSTICOS (conocidos)

m = ? s = ?X S

Inferencia

Aleatoriamente

21Distribuciones de probabilidad en inferencia



distribucin normal con m = 0 y s = 1, que se simboliza con N(0, 1) y se conoce como la distribucin normal estndar.

En la figura 2.2 tambin se observa que, tanto la distribucin normal estndar como la T de Student son simtricas y centradas en cero, mientras que las distribucio-nes ji-cuadrada y F son sesgadas y slo toman valores positivos. Las cuatro distribu-ciones estn relacionadas entre s, ya que las distribuciones T de Student, ji-cuadrada y F se definen en trminos de la distribucin normal estndar. Los parmetros que definen por completo las distribuciones T de Student, ji-cuadrada y F, reciben el nombre de grados de libertad, que tienen que ver con los tamaos muestrales invo-lucrados. Por ejemplo, si se tiene una muestra de tamao 20, ser de inters una distribucin T de Student con 19 grados de libertad para hacer inferencia sobre la media poblacional; o una ji-cuadrada con 19 grados de libertad para hacer inferen-cias sobre la varianza poblacional.

La distribucin T de Student tiende a la distribucin normal estndar cuando el tamao de muestra crece, y prcticamente es la misma distribucin para n > 45. La diferencia bsica entre las dos distribuciones es que la T de Student es ms ancha (respecto del eje horizontal) en las colas (vase figura 2.2). La distribucin normal estndar es una curva nica, por ello existen tablas que proporcionan cualquier rea o probabilidad de inters bajo esta curva. No pasa lo mismo con las otras distribucio-

Figura 2.2 Muestra de las distribuciones de probabilidad de mayor uso en inferencia.

Grados de libertadSon parmetros que definen las distribuciones T, ji-cuadrada y F, y se determinan a partir de los tamaos muestrales involu-crados.

0.10

0.0

0.20

0.30

0.40

0 1 2 3 41234

Normal estndar

x

0.10

0.0

0.20

0.30

0.40

0 2 424

T de Student, 5 g.l.

x

0.0

0.04

0.08

10 15 2050

Ji-cuadrada, 10 g.l.

x

F, (5, 10)

x

0.0

0.2

0.4

0.6

4 6520 1 3


nes a las que hemos hecho referencia, ya que para cada tamao muestral es una curva diferente. Por eso, las tablas de estas distribuciones slo reportan los valores que separan las reas de mayor uso en inferencia estadstica (ver apndice 2). En la actualidad es mejor utilizar un paquete estadstico para encontrar cualquier rea o percentil que se quiera de cada distribucin.

Como se muestra ms adelante, las distribuciones normal y T de Student sirven para hacer inferencias sobre las medias; mientras que la distribucin ji-cuadrada ser de utilidad para hacer inferencias sobre varianzas y la distribucin F se emplear para comparar varianzas. Es por esto que la distribucin F es la de mayor relevancia en diseo de experimentos, dado que el anlisis de la variabilidad que se observ en un experimento se hace comparando varianzas.

Uso de Excel Se puede utilizar la hoja de clculo de Excel (o algo equivalente) para calcular las probabilidades con la distribucin normal. Para ello se utiliza la siguiente funcin:

DISTR.NORM(x, media, desv_estndar, acum)

donde en la celda x se da el valor de referencia para el clculo de probabilidades (P(X x)), en media se da el valor de la media, m, de la distribucin normal con la que se quiere obtener probabilidades, y en desv_estndar se declara el valor de la desviacin estndar, s, de la distribucin normal. Por ltimo, acum es un valor lgico que determina la forma de la funcin, si el argumento acum es VERDADERO (se da un 1), la funcin DISTR.NORM devuelve la funcin de distribucin acumula-da (P(X x)); si es FALSO (se da un 0), devuelve la funcin de densidad de proba-bilidad, es decir, da f (x).

Estimacin puntual y por intervalo

Las distribuciones de probabilidad que tienen una variable que representa cierta ca-racterstica de una poblacin se definen completamente cuando se conocen sus par-metros, pero cuando stos no se conocen, ser necesario estimarlos con base en los datos muestrales para hacer inferencias sobre la poblacin. Por ejemplo, los parme-tros de una distribucin normal son la media, m, y la desviacin estndar, s, que en caso de desconocerse ser necesario estimarlos a partir de los datos en la muestra. Hay dos tipos de estimacin: puntual y por intervalo.

Estimacin puntual Un estimador puntual de un parmetro desconocido es un estadstico que genera un valor numrico simple, que se utiliza para hacer una estimacin del valor del par-metro desconocido; por ejemplo, tres parmetros sobre los que con frecuencia se desea hacer inferencia son:

Estimador puntualEstadstico que estima un valor especfico de un parmetro.

23Estimacin puntual y por intervalo



La media m del proceso (poblacin). La varianza s2 o la desviacin estndar s del proceso. La proporcin p de artculos defectuosos.

Los estimadores puntuales (estadsticos) ms recomendados para estimar estos parmetros son, respectivamente:

La media muestral m = X. La varianza muestral s2 = S 2. La proporcin de defectuosos en la muestra, p = x/n, donde x es el nmero

de artculos defectuosos en una muestra de tamao n.

Por ejemplo, para estimar el grosor promedio de los discos producidos por un proceso, durante una semana se toma una muestra de n = 125 discos, y se obtiene que la media muestral es X = 1.179. Este valor puede usarse como una estimacin pun-tual de m (la media del proceso).

Colocar un gorro (smbolo ) sobre un parmetro es una manera general de denotar un estimador puntual del correspondiente parmetro, puesto que los estima-dores no son nicos. Por ejemplo, la estimacin de la media, m, podra hacerse con el uso de la media muestral X, la mediana X, o la moda, dado que las tres son diferentes medidas de la tendencia central de unos datos.

Estimacin por intervalo La estimacin puntual de un parmetro se genera a travs de un estadstico, y como el valor de ste es aleatorio porque depende de los elementos que fueron selecciona-dos en la muestra, entonces la estimacin que se hace sobre el parmetro depender y variar de una muestra a otra. De esta forma, cuando se quiere tener mayor certi-dumbre sobre el verdadero valor del parmetro poblacional, ser necesario obtener la informacin sobre qu tan precisa es la estimacin puntual. As, la estimacin puntual dir poco sobre el parmetro cuando la variacin entre una estimacin y otra es muy grande. Una forma de saber qu tan variable es el estimador, consiste en cal-cular la desviacin estndar o error estndar del estadstico, visto como una variable aleatoria. Por ejemplo, consideremos la desviacin estndar S y la media X de una muestra de tamao n. Puesto que X es una variable aleatoria, sta tiene su propia desviacin o error estndar, que se puede estimar mediante X S n= / .

Una forma operativa de saber qu tan precisa es la estimacin consiste en calcu-lar un intervalo de confianza que indique un rango donde puede estar el parmetro con cierto nivel de seguridad o confianza. Construir un intervalo al 100(1 a)% de confianza para un parmetro desconocido q, consiste en estimar dos nmeros (estadsticos) L y U, de manera que la probabilidad de que q se encuentre entre ellos sea 1 a, es decir,

P(L q U) = 1 a (2.1)

donde L y U forman el intervalo de confianza buscado [L, U]. La correcta interpreta-cin de un intervalo de confianza es como sigue: si se obtuvieran 100 muestras inde-


pendientes de la misma poblacin o proceso, cada una de tamao n y para cada muestra se calcular el intervalo de confianza a 95% para el mismo parmetro, en-tonces se espera que 95 de los 100 intervalos contengan el verdadero valor de dicho parmetro. En la prctica se obtiene slo un intervalo y se dice que el intervalo [L, U] tiene una confianza de 100(1 a)%; esto tiene una interpretacin constante, en el sentido de que el parmetro estar en el intervalo 100(1 a)% de las veces que apli-quemos el procedimiento.

La longitud del intervalo de confianza es una medida de la precisin de la esti-macin. De aqu que es deseable que la longitud de los intervalos sea pequea y con alto nivel de confianza. El ancho de los intervalos es mayor a medida que sea mayor la varianza de la poblacin y el nivel de confianza exigido. El ancho del intervalo es menor si se incrementa el tamao de la muestra.

Intervalo de confianza para una media Por definicin de intervalo de confianza se trata de encontrar dos nmeros L y U, tales que el parmetro m se encuentre entre ellos con una probabilidad de 1 a. Esto es,

P(L m U) = 1 a

Sea Xl, X2, , Xn una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin, con una distribucin normal con media m y varianza s2, ambas desconocidas. El procedimien-to general para deducir el intervalo consiste en partir de un estadstico que involucra al parmetro de inters y que tiene una distribucin conocida. Tal estadstico es

tXS n

=

/

el cual sigue una distribucin T de Student con n 1 grados de libertad. Por lo tanto, en la tabla de esta distribucin o en su grfica se pueden ubicar dos valores crticos ta/2 y ta/2, tales que:

P tXS n

t

=

/ /2 2 1/

De aqu, despejando hasta dejar slo en medio de las desigualdades al parme-tro de inters, se llega a que

P X tSn

X t Sn

+ = / /2 2 1 (2.2)

En este sentido, L X t U X tSn

Sn

= = + / /2 2y son los nmeros buscados que

definen un intervalo al 100(1 a)% para la media desconocida m. En la tabla de la distribucin T de Student se observa que para una muestra mayor o igual a 30, el intervalo al 100(1 a)% para la media m es aproximadamente X S

n 2 , o sea, la

media ms menos 2 veces su error estndar.

Intervalo de confianzaRango donde se estima que est el valor de un parmetro poblacional.

25Estimacin puntual y por intervalo



Ejemplo 2.1En un proceso de inyeccin de plstico una caracterstica de calidad del producto (disco) es su grosor, el cual debe ser de 1.20 mm con una tolerancia de 0.10 mm. As, el grosor del disco debe estar dentro de la especificacin inferior, EI = 1.10, y la superior, ES = 1.30, para considerar que el proceso de inyeccin fue satisfactorio. Para evaluar esta caracterstica de calidad, durante una semana se hace un muestreo sistemtico en una lnea de produccin, y se obtienen 25 muestras de tamao 5 cada una. Por lo tanto, al final se tiene una muestra de n = 125 y se obtiene la media mues-tral, X = 1.179 mm y la varianza, S2 = 0.00071, por lo que la estimacin del error estndar de la media es

Sn

= =

0 026611 18

0 0024..

.

Cuando n 45, la distribucin T de Student es prcticamente igual a la distribucin normal estndar, por lo tanto, de la tabla de la distribucin normal se obtiene que ta/2 ~ za/2 = 1.96 para a = 0.05. De aqu que el intervalo al 100(1 a)% de confianza para la media m del grosor de los discos est dado por

X t Sn

= = / . ..

.

.2 1 179 1 960 026611 18

1 179 00 00466

Analisis y Diseno de Experimentos

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