Análisis Numérico para Ingeniería

Análisis Numérico para Ingeniería

Clase Nro. 1

Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 2

Integrantes de la Cátedra

Francisco A. Lizarralde - Profesor Adjunto

Carla Mana - J.T.P.

Francisco Alvarez - J.T.P.

Ezequiel Ayarzábal - Ayte. Graduado

Lucas Sánchez Fellay - Ayte. Graduado

Belén Posadas - Ayte. Alumno

Ignacio Hegoburu - Ayte. Alumno


Evaluación y Régimen de Promoción

Se tomarán 2 (dos) exámenes parciales.

Los exámenes parciales serán teórico-prácticos.

En la parte práctica se evaluará la habilidad para

resolver problemas concretos en computadora.

Se deberá presentar un Trabajo Final Integrador por

grupo de 3 integrantes.

El trabajo final, al igual que los parciales, sólo serán

válidos durante la correspondiente cursada.


Por qué utilizar Software Libre ?

Nuestra cátedra se encuentra fuertemente comprometida con el proceso de utilización, difusión y distribución de Software Libre, sobre todo en lo referente a las herramientas necesarias para la resolución de problemas en sus clases prácticas.

Entre otras razones, porque tanto la copia como la distribución de Software Libre es totalmente legal.

Los productos del Software Libre, no pertenecen a una empresa en particular, sino a toda una comunidad de desarrolladores y usuarios, en la que todos podemos participar.


Qué significa Software Libre ?

NOT

FREE AS IN

Un Software es Libre,si respeta las 4 Libertades


Sistemas Operativos Libres

Existe una amplia variedad de Sistemas Operativos Libres

GNU/Linux. (Se denominan Distribuciones)

Si desean una instalación completa y sencilla, Ubuntu es una

excelente opción,

Si su computadora no es muy potente pueden optar por una

distribución más liviana como Ubuntu MATE.

Una vez instalado, le pueden cargar los programas que

usamos en la asignatura, Geany, GFortran, GnuPlot, etc.

Si no desean instalar nada, pueden usar la distribución SLAX.


Sistema Operativo SLAX

SLAX es un Sistema Operativo Libre, derivado de Slackware.

Existen dos versiones, una Live-CD y otra USB, por lo que no requiere instalación.

Tenemos una versión adaptada con todos los programas necesarios para el estudio de nuestra asignatura.


Software para la asignatura

GEANY * Entorno Integrado de Desarrollo

GFORTRAN * Lenguaje FORTRAN (95/08)

BLAS * y LAPACK * Librerías Especializadas

GNUPLOT * Gráficos y Visualización de Datos

(*) Software Libre.


GEANY Integrated Development Environment


GFORTRAN Compilador y Bibliotecas

BLASBasic Linear Algebra Subprograms

LAPACKLinear Algebra Package

GFORTRAN

GNU FORTRAN

Compilador FORTRAN

Bibliotecas de Funciones Especializadas


GNUPLOT Visualización de Resultados


Otras fuentes de información

En la página de la asignatura http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis

encontrarán enlaces con información sobre algunos temas,

bibliografía y novedades sobre fechas y horarios de consultas,

exámenes, etc.

Existe una lista de correo electrónico a la que pueden

suscribirse en http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/lista/lista.htm

Todas las consultas sobre temas de la asignatura se realizarán

en esta lista, por lo que no se responderán por otro medio.

Existe una página de FAQs. (Preguntas muy frecuentes)

http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis

http://www3.fi.mdp.edu.ar/analisis/lista/lista.htm


Temas a tratar

Introducción al Análisis Numérico.

Errores Numéricos.

Representación de Números en Punto Flotante.

Errores en las Operaciones.

Introducción a FORTRAN.

Estructuras de Decisión y Repetición.


Cuál es el objetivo del Análisis Numérico ?

El principal objeto de estudio del Análisis Numérico, consiste en el análisis del funcionamiento interno de los métodos numéricos, con el objetivo de saber elegir el más adecuado para resolver cada problema en particular, y así lograr una solución con la exactitud requerida.

Los métodos numéricos nos permiten abordar aquellos problemas que son extremadamente complicados, cuando no imposibles de resolver en forma analítica.


Que se estudia en Análisis Numérico ?

En el Análisis Numérico es muy importante el estudio de los errores, ya sean estos, de modelado, de representación, ó inherentes a los métodos aplicados.

La elección del algoritmo y del modelo matemático tienen gran influencia en el proceso de cálculo y el modo en que debemos interpretar los resultados obtenidos.


Qué es un Error de Modelado ?

Modelado de Elementos Finitos de los tanques de flotación

Plataforma petrolífera Sleipner A


Qué es un Error de Modelado ?El 23 de agosto de 1991, la plataforma petrolífera Sleipner A propiedad de la empresa noruega Statoil, que se encontraba situada en el mar del Norte a 82 metros de profundidad, se hundió. La causa del error fue un modelado numérico de elementos finitos incorrecto de la plataforma. Esto produjo una fuga de agua en una de las paredes de uno de los 24 tanques de aire de 12 metros de diámetro que permitía la flotación de la plataforma de 57000 toneladas de peso, que además, soportaba a más de 200 personas y el equipamiento de extracción con un peso adicional de unas 40000 toneladas. Las bombas de extracción de agua no fueron capaces de evacuar toda el agua. La falla representó un costo total de 700 millones de euros.Para el modelado de los tanques de la plataforma se utilizó el programa de elementos finitos NASTRAN y una aproximación mediante un modelo elástico lineal. Esta aproximación no era correcta, lo que produjo una subestimación de un 47% de los esfuerzos que debían soportar las paredes de los tanques. Por esta razón, ciertas paredes fueron diseñadas con un grosor insuficiente. Un análisis posterior al accidente, utilizando un modelado numérico correcto, demostró que el diseño de la plataforma provocaría fugas en algunos de los tanques cuando ésta estuviese sobre agua, a 62 metros de profundidad.La fuga real se produjo cuando la plataforma estaba sobre agua, a 65 metros de profundidad, lo cual explica perfectamente la causa de la falla.


Aplicación del Modelado NuméricoEl 12 de junio de 2000 se cerró el paso de personas por el famoso puente Millenium Bridge) en Londres, sólo dos días después de su inauguración. El Millenium Bridge es un puente de acero de 325 m. construido para permitir el paso de peatones sobre el río Támesis. La causa de la clausura: Una vibración lateral mucho mayor que la esperado debido a un fenómeno denominado excitación lateral síncrona.

Luego de realizar un modelado numérico y experimentar con diversos escenarios, se ensayaron diferentes soluciones hasta determinar la más adecuada para corregir el problema.


Diferencia entre Precisión y Exactitud

PrecisiónUn valor es preciso cuando su dispersión con respecto a otros valores similares que representan dicho valor es baja.

ExactitudUn valor es exacto cuando su diferencia con el valor teórico es prácticamente nula.


Diferencia entre Precisión y Exactitud

Preciso y Exacto Preciso pero no Exacto

Exacto pero no Preciso Ni Preciso ni Exacto


Tipos de Error

Error de representación numérica.

Error de redondeo o truncamiento.

Error de formulación del Modelo Matemático.

Error inherente al algoritmo.

Error de las operaciones.


Error Absoluto

Dado un número exacto x y un número aproximado X, el cual difiere ligeramente de x, llamamos error absoluto Δ(X) a:

X =∣x−X∣≤ X

Cota de Error AbsolutoCota de Error Absoluto


Error Relativo

El error relativo de un número aproximado X, es la relación entre el error absoluto Δ(X) del número y el valor absoluto del número “exacto” x , para x ≠ 0.El error relativo permite independizar el error, de la magnitud de los valores.

δ(X )=∣x−X∣

∣x∣≤δX

Cota de Error RelativoCota de Error Relativo


Truncamiento

Truncar un número decimal x en el dígito correspondiente a 10(-d) de su representación decimal consiste en reemplazar todos los dígitos a la derecha de ese dígito, por ceros.

π=3,14159265358979323846...

T7=3,1415926

Valor truncado en el 7mo. decimal


Redondeo

Redondear un número x>0 en el dígito 10(-d) consiste en truncar el valor ( x + 0.5 10(-d) ).

Si x<0 al redondear quedará como -|x| redondeado.

=3,14159265358979323846...

R7=3,1415927

Valor redondeado en el 7mo. decimal


Cifras Significativas

El dígito más significativo de un número real x no nulo, es el dígito no nulo más a la izquierda de su expansión decimal.

Todos los dígitos, incluyendo los ceros a la derecha del dígito más significativo, son significativos y el último desplegado se llama dígito menos significativo.

Los ceros a la izquierda del dígito más significativo, no son significativos.


Ejemplo de Cifras Significativas

0,00724100

Cifras no significativas Cifras significativas

Dígito más significativo

Dígito menos significativo


Dígitos Significativos Exactos

Definición: Si X es un valor aproximado de un valor exacto x, se dice que X aproxima a x hasta el k-ésimo dígito significativo, si:

También se dice que X posee k dígitos significativos exactos.

∣X−x∣ < 5⋅10−k⋅∣x∣



La exactitud de los dígitos significativos puede expresarse en función de su error relativo.

δ(x) < 5⋅10−k

O escrito de otra forma:

∣X−x∣∣x∣

< 5⋅10−k



Ejemplo: ¿Cuántos dígitos significativos exactos tiene el nro. aproximado 2.7183 con respecto al valor exacto 2.71828182845904 ?

δ(x) = 6,7536⋅10−6 < 5⋅10−5

Por lo tanto, podemos ver que :

δ(x)=∣2,71828182845904−2,7183∣

2,71828182845904=6,7536⋅10−6


Error de Representación

No siempre es posible almacenar en una computadora los valores exactos.

La representación aproximada de los valores exactos se suele denominar números de máquina.

La diferencia entre el valor exacto y su representación se denomina error inherente a la representación, ó simplemente error de representación.



Representación de los Números Reales

0 +∞∞

0

Máximo Positivo

MáximoNegativo

MínimoPositivo

MínimoNegativo

Representación Numérica en Computadora

ValoresRepresentados



Una variable de tipo REAL de 4 bytes (32 bits), posee los siguientes rangos:

Máximo Positivo: 3.4028235E+38Máximo Negativo: -3.4028235E+38

Mínimo Positivo: 1.1754944E-38Mínimo Negativo: -1.1754944E-38


Representación Numérica

Los números reales se almacenan en la computadora en forma binaria, como números de punto flotante. ( Signo, Mantisa y Exponente )

Actualmente la mayoría de las computadoras representa los valores numéricos de acuerdo a la definición del IEEE-754 Floating Point Numbers Standard.

Un número real de simple precisión ocupa 32 bits, mientras que uno de doble precisión ocupa 64 bits de memoria.


Números en Punto Flotante

Un número de máquina consta de 3 partes:

SIGNO

EXPONENTE

MANTISA

SIGNO EXPONENTE MANTISA


Conversión de Decimal a Binario

Conversión de un número decimal con |x| > 1 al sistema binario. Ejemplo: x = 23

23 2 1 11 2 1 5 2 1 2 2 0 1

(10111)2 = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 =

= 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = (23)10



Conversión de un número decimal con |x| < 1 al sistema binario. Ejemplo: x = 0.125

(0.001)2 = 0x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 =

= 0 + 0 + 0.125 = (0.125)10

0.125 x 20.25 x 20.5 x 21.0


(0.1)10

= (0.000110011001100......)2

Número Binario Periódico


No siempre un nro. decimal exacto puede convertirse en un nro. binario exacto. Ejemplo: x = 0.1

0.1 x 20.2 x 20.4 x 20.8 X 21.6

0.6 x 21.2

0.2 x 20.4 x 20.8 x 21.6

Continúo con laparte fraccionaria

Continúo con laparte fraccionaria


Error de Representación NuméricaEl 25 de febrero de 1991, durante la guerra del Golfo, una batería de misiles Patriot norteamericanos en Dharan (Arabia Saudita) no logró interceptar un misil Scud iraquí. Como consecuencia murieron 28 soldados norteamericanos. La causa: La acumulación de errores numéricos relacionados con la representación numérica del tiempo transcurrido.

Como la batería llevaba más de 100 horas en actividad, este error acumulado produjo una diferencia de 0.34seg, en la determinación del tiempo, lo que a la velocidad de 6000 km/h que viaja el misil representa una diferencia de medio kilómetro con respecto a la posición del objetivo.


Representación Normalizada IEEE-754

Representación del valor 0.15625, según el IEEE-754 Floating Point Numbers Standard


(−1)SIGNO

∗(1.MANTISA)2∗2(EXPONENTE−127)

−10∗1.012∗2124−127

1∗1.2510∗2−3=

1.258

=0.15625



−1SIGNO

∗1.MANTISA 2∗2EXPONENTE−127

−11∗1.1101101012∗2133−127

−1∗1.85351562510∗26=1.853515625∗64=−118,625

Representación del valor -118.625, según el IEEE-754 Floating Point Numbers Standard

Representación Normalizada IEEE-754


Representación de ±∞ y NaN

Un valor ±∞ se representa con el máximo exponente y todos los bits de la mantisa iguales a cero.

Un valor NaN (Not a Number) se representa con el máximo exponente y al menos un bit de la mantisa distinto de cero.

Ciertas operaciones pueden producirresultados particulares:


NaN - Not a Number

Operaciones en las que al menos un operando es un NaN.

Indeterminaciones

Operaciones con números reales que dan como resultado un valor complejo.

Existen tres casos de operaciones que generan NaN:


NaN - Indeterminaciones

Las divisiones 0/0 y ±∞/±∞Las multiplicaciones 0×±∞ y ±∞×0Las sumas ∞ + (−∞), (−∞) + ∞ y las restas equivalentes.El standard, posee además funciones alternativas para el cálculo de potencias:La función pow standard y el exponente entero pown definen 00, 1∞, and ∞0 as 1.La función powr define a las tres formas indeterminadas anteriores como operaciones inválidas y por lo tanto retorna NaN.


NaN - Operaciones con Reales

La raíz cuadrada de un número negativo.

El logaritmo de un número negativo.

La inversa del seno ó coseno de un número que es menor que −1 ó mayor que +1.

Operaciones con Reales que dan como resultado un valor complejo:


Errores en Adiciones y Sustracciones

Para sumar (o restar) números en punto flotante, se igualan los exponentes, se suman (o restan) las mantisas, y finalmente, se normaliza el resultado (se representa nuevamente como número en punto flotante).

Si se suman dos números en punto flotante, cuyas magnitudes son muy diferentes, el menor de ellos, prácticamente no es tenido en cuenta.

Si se restan dos números en punto flotante, cuyas magnitudes son muy similares, la representación del resultado es prácticamente cero.


Error en la Adición

Ejemplo:Sumar los números 17396 y 0,473 y expresar el resultado en el mismo formato. Para simplificar, utilizaremos un formato decimal, en punto flotante normalizado con mantisa de 5 dígitos.

fl(x+ y) = fl(x)+fl ( y)=

= 0.17396x105+ 0,00000473 x105=

= 0.17396x105

Adición Insignificante


Error en la Sustracción

Ejemplo:Restar los números 32,17197 y 32,17110 y expresar el resultado en el mismo formato. Para simplificar, utilizaremos un formato decimal, en punto flotante normalizado con mantisa de 5 dígitos.

fl(x− y) = fl (x)−fl( y)=

= 0.32171x102− 0.32171x102= = 0.00000x102

= 0

Sustracción Catastrófica


Errores en la Multiplicación y el Cociente

Para multiplicar (o dividir) números en punto flotante, se multiplican (o dividen) las mantisas, se suman (o restan )los exponentes, y finalmente, se normaliza el resultado (se representa nuevamente como número en punto flotante).

La multiplicación de un número por otro de gran magnitud produce una amplificación del error existente en el primero.

El cociente de un número por otro muy pequeño también produce una amplificación del error. En ambos casos el error de representación aumenta considerablemente.


Consideraciones sobre las OperacionesCuando se realizan operaciones con números en punto flotante, es importante siempre tener en cuenta que:

fl(x) ≠ x fl(x+ y) ≠ x+ y fl (x− y) ≠ x− y fl(x∗y) ≠ x∗y fl(x / y) ≠ x / y


Error producido al calcular una Función

Se dice que el cálculo del valor de una función f(x) está bien condicionado (o es numéricamente estable), si la exactitud hallada en el valor calculado f(x) es aproximadamente igual a la de x.

En caso contrario, se dice que el cálculo del valor de una función está mal condicionado, o bien que f(x) está mal condicionada.


Nro. de Condición de una Función

∣δ f (X )∣≈C∗∣δ X∣

C=∣X∗f ' X ∣

∣f X ∣

Siendo el Número de Condición C:

El error relativo de una función es proporcional al error relativo de la variable:


Condicionamiento de una Función

¿Qué variación porcentual en f(x) = ex resultará de un cambio del 1% en x ?

Para x = 0,1; x = 10 y x = -10

0,01x %

0,1 1,1051709 0,001 1,1062766 0,0010005 0,10%

10 22026,466 0,1 24343,009 0,1051709 10,52%

-10 4,54E-005 -0,1 4,11E-005 0,0951626 9,52%

x ex ex+0,01x δ(eX)


Nro. de Condición de una Función

∣δ f (X )∣≈C⋅∣δ X∣=10⋅∣0.01∣=0.1≈10 %de X

C=∣X⋅f ' (X )∣

∣f (X )∣=

∣10⋅eX∣

∣eX∣

=10

Número de condición de ex (para x = 10):

Por lo tanto:


Lenguaje FORTRAN

FORTRAN es un lenguaje de programación de alto nivel de propósito general, procedural e imperativo, que está especialmente adaptado para el cálculo numérico y la computación científica. Su nombre hace referencia al Mathematical Formula Translating System, desarrollado originalmente por IBM en 1957 para el equipo IBM 704. Siendo ampliamente utilizado desde entonces, en aplicaciones científicas y de Ingeniería.


John Backus

John Backus (Filadelfia, 3 de diciembre de 1924 - Oregón, 17 de marzo de 2007) dirigió el proyecto de IBM que dió origen al Lenguaje FORTRAN.

En 1977 ganó el Turing Award por sus trabajos en sistemas de programación de alto nivel, en especial por su trabajo con FORTRAN.


Por qué usar FORTRAN ?

A diferencia de una aplicación como MATLAB™, MATHCAD™, MATHEMATICA™, etc., un lenguaje de programación como FORTRAN no depende de un solo fabricante, sino que existen muchas versiones disponibles.

Posee una sintaxis muy similar a otros lenguajes conocidos como PASCAL o C, pero está especialmente diseñado para realizar cálculos numéricos intensivos con gran precisión.

Existe una amplia variedad de bibliotecas de funciones que resuelven diversas problemáticas de Ingeniería.

Está disponible en diversas plataformas (Sistemas Operativos), y se puede usar tanto en computadoras de escritorio como en Mainframes con procesamiento paralelo.


Tipos de Datos en FORTRAN

INTEGER

REAL

COMPLEX

LOGICAL

CHARACTER


INTEGER

El tipo de datos INTEGER se utiliza para almacenar valores enteros.

Su rango de valores posibles está determinado por la cantidad de bytes establecida.

Un INTEGER de 4 bytes (32 bits) puede almacenar valores dentro del rango de:

–2147483648 a 2147483647


REAL

El tipo de datos REAL se utiliza para almacenar valores reales.

Un REAL de 4 bytes (32 bits) puede almacenar valores dentro del rango de:

1.1754944E–38 a 3.4028235E+38

-3.4028235E+38 a -1.1754944E–38

y de


LOGICAL

El tipo de datos LOGICAL se utiliza para

almacenar valores lógicos.

Sólo pueden almacenarse dos posibles

valores, .TRUE. y .FALSE.

FORTRAN está preparado para realizar

operaciones lógicas con este tipo de datos,

utilizando operadores lógicos, .AND. , .OR. ,

.NOT., etc.


COMPLEX

El tipo de datos COMPLEX se utiliza para

almacenar números complejos.

El mismo consiste en un par ordenado de

números reales.

FORTRAN está preparado para realizar

operaciones complejas con este tipo de

datos en forma totalmente transparente

para el programador.


CHARACTER

El tipo de datos CHARACTER se utiliza por lo

general para almacenar letras ó palabras.

Si no se especifica el tamaño asume que se

trata de un sólo caracter.

Para almacenar palabras ó frases es necesario

especificar la cantidad de caracteres, para

reservar el espacio de memoria necesario.


Los operadores intrínsecos se utilizan para operar sobre los tipos de datos intrínsecos.

ARITMETICOS:

RELACIONALES:

Operadores Intrínsecos

.EQ. .NE. .GT. .GE. .LT. .LE. == /= > >= < <=

SUMA RESTA PRODUCTO DIVISIÓN POTENCIA + - * / **


Estructura de un programa FORTRAN

[ PROGRAM nombre del programa ]

[ sección de especificación]

[ sección ejecutable]

[ sección de sub-programas internos]

END [ PROGRAM [ nombre de programa ] ]


IF

IF (a < b ) THEN aux = a a = b b = auxEND IF

Ejemplo:


IF ELSE

Ejemplo:

IF (leftCornerX < 0) THEN leftCornerX = 0ELSE aux = leftCornerX leftCornerX = rightCornerX rightCornerX = auxEND IF


IF ELSE IF

IF (kWatts < 50) THEN costo = 30ELSE IF (kWatts < 100) THEN costo = 20+ 0.5*kWattsELSE IF (kWatts < 150) THEN costo = 15+ 0.3*kWattsELSE IF (kWatts < 200) THEN costo = 5+ 0.2*kWattsELSE costo = 0.15*kWattsEND IF

Ejemplo:


SELECT CASE

Ejemplo:SELECT CASE (kWatts) CASE (:49) costo = 30 CASE (50:99) costo = 20 + 0.5*kWatts CASE (100:149) costo = 15 + 0.3*kWatts CASE (150:199) costo = 5 + 0.2*kWatts ELSE costo = 0.15*kWattsEND SELECT


DO

Ejemplo:DO fila=1, maxFilas, 2 DO col=1, maxCols, 3 matriz(fila, col) = fila+2*col END DOEND DO

Ejemplo:


DO WHILE

Ejemplo:

DO WHILE (sigue /= 'n') WRITE (*, 'Desea continuar ?') READ(*,''), sigueEND DO

Ejemplo:


CUESTIONES PARA INVESTIGAR...

¿Cuántos dígitos significativos exactos tiene el número aproximado 0.0027 con respecto al número exacto 0.00265 ?

¿ Cuál es el número más cercano a 1.0, que puede almacenarse en una variable REAL(8) ? ¿Por qué ?

¿ Qué significan estas sentencias en FORTRAN ? CEILING, CMPLX, CONJG, DBLE, DIGITS, EPSILON, FLOOR, HUGE, INT, PRECISION, REAL, SPACING, TINY.

¿ Por qué la representación de números en punto flotante normalizado es discreta ?


PREGUNTAS ...

Análisis Numérico para Ingeniería

Documents

Transcript of Análisis Numérico para Ingeniería