ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN …repository.unair.ac.id/29277/1/HALAMAN DEPAN.pdf · Spread...
Transcript of ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN …repository.unair.ac.id/29277/1/HALAMAN DEPAN.pdf · Spread...
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT
DEMAM BERDARAH DENGUE ORDE-FRAKSIONAL
SKRIPSI
ARTHA MERIKA INDAH PUSPITA SARI
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
SURABAYA
2016
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
i
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT
DEMAM BERDARAH DENGUE ORDE-FRAKSIONAL
SKRIPSI
ARTHA MERIKA INDAH PUSPITA SARI
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
2016
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKITDEMAM BERDARAIJ DENGUE ORDE-T'RAKSIONAL
SKRIPSI
Sebagai Salah Sahr Syarat Unfuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Bidang Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
Disetujui Oleh:
NIP. 19640103 I988I0 I 001
Pembimbing II
NIP. 1973070,4 1998022 0$t
ii
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
Judul
Penyusun
ITIPI
Pembimbing IPembimbing II'[anggal Seminar
Pembimbing I,
NIF. 19730704 i9e802 2 00i
S{engetahui,
Ketua Departemen Slatematika
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
LEtrIBAR PIIN GESAHAN I{ASILA,H SKRIFS I
Analisis &Iodel Matematika Penyebaran PenvakitDemam Berdarah Dengue Orde-Fraksional
Artha l{erika Indah Puspita Sari
tl812r r23rilt2
f)r. Fatmawati, M.Si
Dr. l\,Ioh Imam iltovo. lt"Si
27 Januari 2016
Disetujui oleh:
Pembimbing fio
&fengetahui,
Koordinator Program Stucli
S*1 $Iatematika
Fakultas Sains d*n Teknolcgi
Universitas Airlangga
rtl
NrP. i9640103 i988ifi 1 ixii
I{IP. i978iii26 20CI604 i 00i NrP. 19640i03 19881{i i ii01
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
iv
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam
lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi
kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan
sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen ini merupakan hak milik
Universitas Airlangga.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
StiRA T PERN } ATA{I'i T E ]\TA}i C OR ISINA t, TT'AS
Yang bertandatalgan dibawa} ini. sa1.a:
Nama : Ar"tha Merika Indah P*spita Sari
0812 1 1231012
: S I Maternatika
Sains darr Teknologi
: Sa{ana {Sl )
liI\t
Pragrarn Studi
Fakultas
Jer{ang
N{*a,vatakan hahx,a "qaya tidak reelakul:an kegiataa plagiat rialam pelulisan slssi
saya yang berjudul:
"Analisis Motlel Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah
D en g * * Orde-Fruksio*al"
Apahiia sllatu saat nanti terbukti melakulian tindalian plagiat rnaka saya akan
rneneritia sanksi yang telah ditetapkan.
Demikian surai pernyataan ini sa3,'* buat derrgan seber:ar--henara1,a.
Su'ahay'a, 2l Jansa:ri 2Al 6
}.IIfuI. O8I21l?33rc12
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
iii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada
Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya, skripsi yang berjudul
“Analisis Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue
Orde-Fraksional” ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam
bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar
Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi
kehidupan umat manusia.
Ucapan terima kasih disampaikan kepada :
1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis
untuk menuntut ilmu.
2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan
Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi
Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM).
3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.
4. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan
masukan inspirasi dalam perkuliahan.
5. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa penuh
kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu,
arahan, waktu, serta semangat.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
iv
6. Dr. M. Imam Utoyo, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa penuh
kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu,
arahan, waktu, serta semangat.
7. Yang Tercinta Kedua orang tuaku Sri Purwanti dan Karneni serta adik tercinta
Artha Agung Alank Sigit Permadi Putra yang selalu memberikan dukungan,
semangat, doa dan kasih sayangnya.
8. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika, Sistem Informasi,
Statistika angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini.
Penulis berharap semoga proposal ini dapat bermanfaat sebagai bahan
pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas
Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan proposal ini, kemungkinan
masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat
diharapkan untuk penulisan berikutnya.
Surabaya, Januari 2016
Penyusun,
Artha Merika Indah Puspita Sari
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
vii
Artha Merika Indah Puspita Sari, 2016, Analisis Model Matematika
Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue Orde-Fraksional. Skripsi ini
dibimbing oleh Dr. Fatmawati, M.Si dan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si,
Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga,
Surabaya.
ABSTRAK
Demam Berdarah Dengue (DBD) merupakan salah satu penyakit menular
yang disebabkan oleh virus dengue. Penelitian mengenai penyakit DBD telah
banyak dilakukan dalam berbagai bidang keilmuan, termasuk bidang matematika
yaitu dengan menggunakan model matematika. Dengan model matematika,
dinamika penyebaran penyakit DBD dapat diketahui dan dapat digunakan untuk
memprediksi penyebarannya yaitu melalui simulasi numerik model matematika
penyebaran penyakit DBD.
Pada skripsi ini, dibahas analisis model matematika penyebaran DBD orde
fraksional yang berbentuk model host (manusia) – vector (nyamuk). Model
tersebut merupakan modifikasi model Sistem Persamaan Differensial Biasa
(SPDB) nonlinear yang ditulis oleh Pandey, dkk (2013) menjadi model Sistem
Persamaan Differensial Fraksional (SPDF). Pada umumnya solusi dari SPDB
nonlinier sulit dicari secara analitik. Terdapat pemodelan matematika yang
solusinya dapat diselesaikan secara analitik yaitu Sistem Persamaan Differensial
Fraksional (SPDF).
Salah satu metode untuk menyelesaikan SPDF adalah menggunakan Metode
Perturbasi Homotopi (HPM) yaitu mengubah SPDF ke dalam Sistem Persamaan
Differensial Homotopi dengan mengalikan setiap persamaan pada SPDF tersebut
dengan parameter embedding (p). Hasil penyelesaiannya berbentuk deret tak
hingga yang selanjutnya diselesaikan secara numerik. Semakin besar nilai dari
orde turunan fraksional yang diberikan maka semakin cepat perubahan grafik
pada populasi manusia yang rentan terinfeksi DBD, populasi manusia yang
terinfeksi DBD, populasi manusia yang sembuh DBD, populasi nyamuk yang
rentan DBD dan populasi nyamuk yang terinfeksi DBD.
Kata kunci: Model Matematika, Demam Berdarah Dengue, Orde Fraksional,
Metode Pertubasi Homotopi.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
viii
Artha Merika Indah Puspita Sari, 2016, Analysis of Mathematical Model In The
Spread of Dengue Haemorrhagic Fever (DHF) Fractional Order. This final
project is under advised by Dr. Fatmawati, M.Si and Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si,
Mathematics Departement, Science and Technology Faculty, Airlangga
University, Surabaya.
ABSTRACT
Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) is an infection caused by the dengue
virus. Research on dengue disease has been widely applied in many scientific
fields, including mathematics by using a mathematical model. With a
mathematical model, the dynamics of the spread of dengue disease is known and
can be used to predict the spread from numerical simulation of mathematical
model of the spread of dengue disease.
In this paper, we discuss a fractional-order of mathematical model in the
spread of DHF that are the host-vector model aproach. The model a modification
of Pandey,dkk model (2013). Here we modified an Ordinary Differential
Equations System (ODES) nonlinear model from Pandey,dkk (2013) into a
Fractional Differential Equation System (FDES). In general, the solution of ODES
nonlinear is difficult in analytic. There are mathematical modeling that the
solution can be solved in analytic is FDES.
One of methods to solve the FDES is using Homotopy Pertubation Method
(HPM), it changes the FDES into Homotopy Differential Equations System by
multiplying each equation in the FDES with embedding parameter (p). The result
is infinite series, further resolved numerically. The greater the value of the
fractional-order derivative given the faster change of state variables will be.
Keywords: Mathematical model, Dengue Hemorrhagic Fever, Fractional
Order, Homotopy Perturbation method.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
ix
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ............................................................................ i
LEMBAR PERSETUJUAN..................................................................
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI.................................
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI...............................................
ii
iii
iv
KATA PENGANTAR ...........................................................................
ABSTRAK..............................................................................................
ABSTRACT............................................................................................
v
vii
viii
DAFTAR ISI ..........................................................................................
DAFTAR TABEL...................................................................................
DAFTAR GAMBAR .............................................................................
ix
xi
xii
DAFTAR LAMPIRAN...........................................................................
BAB I PENDAHULUAN ......................................................................
xiii
1
1.1 Latar Belakang ....................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah .................................................................. 3
1.3 Tujuan Penelitian .................................................................... 3
1.4 Manfaat Penelitian .................................................................. 4
1.5 Batasan Masalah ..................................................................... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA .......................................................... 6
2.1 Demam Berdarah Dengue (DBD) ......................................... 6
2.2 Model Matematika Penyebaran Penyakit DBD .................... 7
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
x
2.3 Sistem Persamaan Differensial Fraksional Penyebaran
Penyakit DBD …………………………………
12
2.4 Metode Pertubasi Homotopi (HPM) ..................................... 14
BAB III METODELOGI PENELITIAN .............................................
BAB IV PEMBAHASAN .....................................................................
4.1 Sistem Persamaan Differensial Fraksional pada Model
Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue
(DBD)..........................................................................
4.2 Metode Pertubasi Homotopi (HPM) pada Model
Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah Dengue
(DBD).......................................................................................
4.3 Simulasi Numerik dari Sistem Persamaan Differensial
Fraksional pada Model Matematika Penyebaran Penyakit
Demam Berdarah Dengue (DBD).............................
BAB V PENUTUP.................................................................................
5.1 Kesimpulan..............................................................................
5.2 Saran .......................................................................................
16
18
18
20
29
39
39
41
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................ 42
LAMPIRAN
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
xi
DAFTAR TABEL
Tabel Judul Halaman
Tabel 2.1
Tabel 4.1
Notasi dan deskripsi parameter Model Penyebaran
Penyakit DBD
Nilai Parameter dan Nilai Awal dari Model Penyebaran
Penyakit DBD
9
30
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar Judul Halaman
Gambar 2.1 Diagram Transmisi Penyebaran Penyakit DBD 10
Gambar 4.1 Perbandingan Simulasi Numerik SPDB Nonlinear
dengan SPDF dengan 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 𝛼4 = 𝛼5 = 1 32
Gambar 4.2 Pengaruh 𝛼1 Terhadap Dinamika Populasi Manusia
dan Nyamuk 33
Gambar 4.3 Pengaruh 𝛼2 Terhadap Dinamika Populasi Manusia
dan Nyamuk 34
Gambar 4.4 Pengaruh 𝛼3 Terhadap Dinamika Populasi Manusia
dan Nyamuk 35
Gambar 4.5 Pengaruh 𝛼4 Terhadap Dinamika Populasi Manusia
dan Nyamuk 36
Gambar 4.6 Pengaruh 𝛼5 Terhadap Dinamika Populasi Manusia
dan Nyamuk 37
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Judul Lampiran
1 Persamaan Differensial Fraksional Langkah c
2 Perhitungan nilai dari dan dengan
3 Kode Program Perbandingan Simulasi Numerik SPDB Nonlinear
dengan SPDF dengan
4 Kode Program Pengaruh Terhadap
Dinamika Populasi Manusia dan Nyamuk
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... ARTHA MERIKA I.P.S