ApuntesdeAnlisis Matemtico IMara D. AcostaCamilo AparicioAntonio MorenoArmando R. VillenaIIndice generalI Continuidad 31. Introduccin al Anlisis de una variable. 51.1. Resultados fundamentales en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Numerabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. Resumen de resultados del Tema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Ejercicios del Tema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7. Soluciones a los ejercicios del Tema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212. Campos escalares y vectoriales continuos. Lmite funcional. 232.1. Normas y distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Topologa de un espacio mtrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. Compactos, convexos y conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4. Funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5. Lmite funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.6. Apndice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6.1. A) Teorema de Heine-Borel-Lebesque. . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6.2. B) Desigualdad entre la media geomtrica y aritmtica. . . . . . . . 592.6.3. C) Demostracin de la caracterizacin de la continuidad global. . . . 602.6.4. D) Otra demostracin del Teorema de Heine. . . . . . . . . . . . . . 612.6.5. E) Frmula para el argumento de un nmero complejo. . . . . . . . 622.7. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.8. Resumen de resultados del Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.9. Ejercicios del Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.10. Soluciones a los ejercicios del Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.11. Breve biografa de los matemticos mencionados en los temas 1 y 2 . . . . . 89II Derivacin 933. Campos escalares y vectoriales derivables. Reglas de derivacin. 953.1. El espacio de Banach L(RN, RM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2. Concepto de derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3. Campos escalares derivables. Vector gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.4. Campos vectoriales derivables. Matriz jacobiana. . . . . . . . . . . . . . . . 114IIIIV NDICE GENERAL3.5. Reglas de derivacin.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.6. Interpretacin geomtrica del concepto de derivada. Hiperplano tangente. . . 1243.7. Apndice A) Desigualdad de Cauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.8. Apndice B) Normas duales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.9. Apndice C) Hiperplanos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.10. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.11. Resumen del resultados del Tema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.12. Ejercicios del Tema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.13. Soluciones a los ejercicios del Tema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434. Teorema del valor medio. Teoremas del punto jo de Banach y de Schauder.Teorema de Picard-Lindelf. 1574.1. Teorema del valor medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.2. Teoremas del puntojodeBanach y de Schauder. . . . . . . . . . . . . . 1654.3. Teorema de Picard-Lindelf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.4. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.5. Resumen del resultados del Tema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.6. Ejercicios del Tema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.7. Soluciones a los ejercicios del Tema 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795. Derivada segunda. Matriz hessiana. 1855.1. Aplicaciones bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.2. Derivada segunda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.3. Reglas de derivacin.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.4. Teorema de Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.5. Frmula de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.6. Campos escalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.7. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.8. Resumen del resultados del Tema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.9. Ejercicios del Tema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.10. Soluciones a los ejercicios del Tema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116. Derivadas sucesivas. 2216.1. Reglas de derivacin.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.2. Derivadas de orden superior de campos escalares. . . . . . . . . . . . . . . . 2286.3. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.4. Resumen del resultados del Tema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.5. Ejercicios del Tema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.6. Soluciones a los ejercicios del Tema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417. Extremos relativos. 2457.1. Condiciones necesarias y sucientes de extremo relativo . . . . . . . . . . . 2457.2. Apndice: Clasicacin de formas cuadrticas de N variables . . . . . . . . 2537.3. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.4. Resumen de resultados del Tema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.5. Ejercicios del Tema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265NDICE GENERAL V7.6. Soluciones a los ejercicios del Tema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678. Teoremas de la funcin inversa y de la funcin implcita. 2798.1. Teorema de la funcin inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2808.2. Teorema de la funcin implcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2868.3. Apndice: El Teorema de la funcin inversa se deduce del Teorema de lafuncin implcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2928.4. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2948.5. Resumen de resultados del Tema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.6. Ejercicios del Tema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2978.7. Soluciones a los ejercicios del Tema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3019. Variedades. Extremos condicionados. 3099.1. Variedades diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3109.2. Espacios tangente y normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3189.3. Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3219.4. Clculo prctico de puntos crticos condicionados. Funcin de Lagrange, sis-tema de Lagrange y multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . 3239.5. Aplicacin del Teorema de Lagrange al clculo de extremos absolutos. . . . 3249.6. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3359.7. Resumen de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3369.8. Ejercicios del Tema 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.9. Soluciones de los ejercicios del Tema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341III Integracin 35710. Medida de Lebesgue en RN. 35910.1. -lgebras y medidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.2. Construccin de la medida de Lebesgue en RN. . . . . . . . . . . . . . . . . 36410.3. Existencia y unicidad de la medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 36910.4. Caracterizacin de la medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37810.5. Comportamiento de la medida de Lebesgue frente a aplicaciones . . . . . . . 37910.6. Apndice A: Orden, topologa y aritmtica en [0, ]. . . . . . . . . . . . . . 38610.7. Apndice B: Subaditividad del volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38810.8. Apndice C: Descomposicin de un isomorsmo lineal. . . . . . . . . . . 39010.9. Apndice D: Conjuntos ternarios de Cantor y funcin singular de Lebesgue39210.10.Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39510.11.Resumen del resultados del Tema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39610.12.Ejercicios del Tema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39910.13.Soluciones a los ejercicios del Tema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40311. Integral asociada a una medida 41311.1. Funcin medible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41411.2. Propiedades de las funciones medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41711.3. Funciones simples. Teorema de aproximacin de Lebesgue. . . . . . . . . . 420VI NDICE GENERAL11.4. Integral de funciones simples positivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42211.5. Integral de una funcin medible positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42411.6. Funcin integrable e integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42811.7. Densidad de las funciones simples en L(). . . . . . . . . . . . . . . . . . 43511.8. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43511.9. Resumen del resultados del Tema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43611.10.Ejercicios del Tema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43911.11.Soluciones a los ejercicios del Tema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44312. Teoremas de convergencia 44912.1. Teorema de la convergencia montona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45012.2. Teorema de la convergencia dominada y Lema de Fatou . . . . . . . . . . . 45512.3. Teorema de la convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45712.4. Teorema de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45812.5. Subespacios densos en L(RN). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46212.6. Resumen del resultados del Tema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46412.7. Ejercicios del Tema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46712.8. Soluciones a los ejercicios del Tema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47113. Tcnicas de integracin en una variable. 47913.1. Notacin y aditividad de la integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47913.2. Teorema fundamental del clculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48113.3. Integracin por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48813.4. Cambio de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48913.5. Criterio de comparacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49013.6. Funciones denidas por integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49313.7. Continuidad absoluta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49713.8. Resumen de resultados del Tema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49913.9. Ejercicios del Tema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50313.10.Soluciones a los ejercicios del Tema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50914. Tcnicas de integracin en varias variables. 52114.1. Teorema de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52214.2. Teorema de Tonelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53014.3. Teorema del cambio de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53214.4. Coordenadas polares, cilndricas y esfricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53714.5. Resumen de resultados del Tema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54014.6. Ejercicios del Tema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54514.7. Soluciones a los ejercicios del Tema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551IV Referencias 57112Captulo IContinuidad3Tema 1Introduccin al Anlisis de una variable.1.1. Resultados fundamentales en R.Los nmeros reales constituyen la base sobre la cual se asienta el Anlisis Matemti-co. Consecuentemente, la primera premisa para avanzar provechosamente en este rea serestablecer las propiedades del conjunto R de los nmeros reales.Codicamos a continuacin las propiedades bsicas de R que de hecho lo caracterizan. Res un conjunto provisto de una suma y un producto respecto de los cuales es un cuerpo con-mutativo. Est dotado adems de una relacin de orden total compatible con las operacionesdel cuerpo, esto es, una relacin de orden que verica las siguientes propiedades:i) a, b R a bob a ,ii) [a, b, c R, a b] a+c b+c , yiii) [a, b, c R, a b, 0 c] ac bc.Ntese, sin embargo, que el cuerpo Q de los nmeros racionales tambin goza de lasanteriores propiedades por lo que lgicamente no son stas por s solas las que caracterizan aR. La propiedad fundamental de R (que ya lo distingue de Q) es el axioma del supremo.Axioma 1.1 (del supremo). Todo conjunto no vaco y mayorado de nmeros reales tienesupremo, es decir, el conjunto de sus mayorante tiene mnimo.Es claro que para que un conjunto de nmeros reales tenga supremo ha de ser no vaco ymayorado. El axioma anterior nos asegura que estas dos condiciones son tambin sucientes.El supremo de un conjunto A no vaco y mayorado de nmeros reales se notar en lo sucesivosupA.Es fcil comprobar a partir del axioma del supremo que todo conjunto A de nmeros realesno vaco y minorado tiene nmo, que en lo sucesivo se notar inf A. En efecto, si notamosA :=a : a A, se tiene quem es minorante de A m es mayorante de A56 1. Introduccin al Anlisis de una variable.De lo anterior se deduce que inf A =sup (A).Corolario 1.2. Todo conjunto de nmeros reales no vaco y acotado tiene supremo e nmo.Proposicin 1.3 (Caracterizacin de supremo y de nmo). Sea A un conjunto no vaco denmeros reales y sea x un nmero real. Entoncesi) x = supA _a x, a A > 0, a A : x < aii) x = inf A _x a, a A > 0, a A : a < x +Demostracin:i)Si x = supA, x es mayorante de A y dado > 0, x no puede ser mayorante deA, luego existe a A tal que x < a.Claramente x es mayorante de A. Sea y un mayorante cualquiera de A. Si fuesey < x, aplicando la hiptesis al positivo = x y, existira a A tal que y = x + (y x) =x < a, lo cual es absurdo pues y es un mayorante de A. As pues x y, lo que prueba quex es el mnimo de los mayorantes de A.ii) Anloga a i).Comenzamos ya a exponer las primeras consecuencias del axioma del supremo que cons-tituyen los pilares sobre los que se sustenta el Anlisis Matemtico.Teorema 1.4. Sea xn una sucesin montona de nmeros reales. Se verican las siguientesarmaciones:i) Si xn es creciente y mayorada, entonces xn supxn : n N.ii) Si xn es decreciente y minorada, entonces xn infxn : n N.Demostracin:i) Es claro que xn : n N es un conjunto no vaco y mayorado. SeaL = supxn : n N .Fijado > 0 existe m N tal que L < xm, de donde se deduce queL < xmxnL < L+, n m ,donde se ha utilizado que la sucesin xn es creciente.ii) Utilizando i) se obtiene quelimxn =lim(xn) =supxn : n N = infxn : n N.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 7Denicin 1.5. Sean xn, yn dos sucesiones de nmeros reales. Diremos que yn es unasubsucesin o sucesin parcial de xn si existe una aplicacin : N Nestrictamente creciente tal queyn = x(n), n N .Teorema 1.6 (de los intervalos encajados). Sea In una sucesin decreciente de intervaloscerrados no vacos tal que (In) 0 (donde(In) denota la longitud del intervalo In).Entonces existe un nmero real x tal que n=1In =x.Demostracin:n=1In puede tener a lo sumo un punto. En efecto, si x, y n=1In, [xy[ (In), n N,y en consecuencia x = y.Veamos que dicho conjunto no es vaco. Si para cada natural n notamos In = [an, bn],entonces an es creciente y mayorada. El teorema anterior nos asegura quean x := supan : n N .En consecuencia para cada natural m la sucesin am+hhN, parcial de an, tambin con-verge a x, de donde deducimos, al seramam+hbm, h N ,que x Im, para todo natural m, es decir,x n=1In .Denicin 1.7. Una sucesin xn de nmeros reales es de Cauchy si > 0, m N : p, q m [xpxq[ < .8 1. Introduccin al Anlisis de una variable.Teorema 1.8 (de complitud de R). En R, toda sucesin de Cauchy es convergente.Demostracin:Sea xn una sucesin de Cauchy de nmeros reales. Veamos que xn est acotada. Enefecto, por denicin,m N : n m 1 < xnxm < 1, o sea xm1 < xn < xm +1,de donde se deduce que xn est acotada.Para cada natural n denimosan := infxk : k n y bn := supxk : k n(los conjuntos que aparecen en las denicin son no vacos y acotados). Es inmediato que[an, bn] es una sucesin decreciente de intervalos cerrados y acotados. Fijado > 0 existem tal quep, q m [xpxq[ < .De la expresin xp < xq +, p, q m se deduce quebn := supxp : p n xq +, n, q m ,que podemos escribir en la forma bn xq, n, q m, de donde obtenemosbn infxq : q n := an .Hemos probado que n mbnan. El teorema anterior nos asegura que n=1[an, bn] =x, para algn x real. Se tiene ahora para n m que[xnx[ bnan,es decir la sucesin xn converge a x.El procedimiento usado en la demostracin del teorema de complitud de R, que asigna acada sucesin acotada xn dos sucesiones de nmeros reales an y bn dadas poran := infxk : k n y bn := supxk : k n ,es especialmente til. Cuando la sucesin xn no est acotada, al menos una de estas dossucesiones no est denida (en R). Esta dicultad desaparece considerando el siguiente con-junto:Denicin 1.9 (El conjunto [, +]). Sean , + dos objetos matemticos distintosque no son nmeros reales. En el conjunto [, +] = R, + se extiende el ordenusual de R deniendo < x < +, x R.A partir del Corolario 1.2 se obtiene el siguiente resultado:Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 9Corolario 1.10. Todo subconjunto no vaco de [, +] tiene supremo e nmo.Denicin 1.11 (de lmite en [, +]). Se dice que una sucesin xn de elementos de[, +] tiende hacia x [, +], lo que notaremos por xn x, si se verica algunade las siguientes tres armaciones claramente excluyentes:i) xn x R si >0, m N: n m x (n1) yL1n< x(n) < L+ 1n.Por denicin de Lmn+1 > (n) : L bmn+1 < L+1n+1.y por denicin de bmn+1 y la caracterizacin del supremo, razonando igual que antes, obte-nemos(n+1) mn+1 : L1n+1< x(n+1) < L+1n+1.Queda as denida x(n) que verica[Lx(n)[ 0, m N : n m K < n] ,sin ms que relacionar y K mediante la expresin K = 1.1.2 i)E(nx)nx 0m N : n m [x xn[ < .p, q m [xpxq[ [xpx[ +[x xq[ < 2.ii) [x xn[ [x x(n)[ +[x(n)xn[ < 2, pues n (n), n N.iii) Como toda sucesin xn de Cauchy es acotada, el teorema de B-W nos aseguraque existe x(n) x. El resultado se sigue de ii).1.4Seguir las indicaciones1.5 f1(y) =y1[y[, y R.La funcin inversa de una biyeccin estrictamente creciente entre nmeros reales estambin estrictamente creciente.1.6 a) (11) = (2, 4) , (13) = (4, 4) , (15) = (4, 2) .b) Si el natural k es un cuadrado perfecto, entonces (k) = (k, 1). En otro caso,existen dos naturales a, b tales que a2< k < (a+1)2y k = a2+b. Entonces(k) = (b, a+1) si b a+1, (k) = (a+1, 2ab+2) si a+1 b 2a.c) 1(4, 1) = 16 , 1(1, 4) = 10 .d)1(n, m) =___(m1)2+n si n m(n1)2+n+nm = n2m+1 si n m.Tema 2Campos escalares y vectoriales continuos.Lmite funcional.En este tema, por abstraccin de las propiedades de la norma y la distancia eucldea, sepresentan las nociones de espacio normado y espacio mtrico. La topologa usual de RNes lagenerada por la norma eucldea, esto es, los abiertos son uniones de bolas abiertas eucldeas.El Teorema de Hausdorff, resultado principal de este tema, arma que dicha topologa coin-cide con la topologa asociada a cualquier norma en RN. Probamos tambin las extensionesa RNde los Teoremas de complitud y de Bolzano-Weierstrass.Denimos los compactos de RNcomo los subconjuntos cerrados y acotados. Presentamosdos caracterizaciones de los compactos que son estupendas herramientas en las demostracio-nes por compacidad (aquellas cuyos enunciados estn ligados a la nocin de compacto). Laprimera arma que toda sucesin en un compacto se acumula (Teorema 2.28) y la segundaque todo compacto verica el axioma de Heine-Borel (Teorema 2.31). Introducimos tambinlas nociones de convexidad y conexin en RNque son las extensiones geomtrica y topol-gica, respectivamente, de la nocin de intervalo de R.Denimos la continuidad de funciones reales de varias variables reales y probamos quetales funciones conservan los compactos y los conexos. El Teorema de Dini da condicionessucientes para que una sucesin de funciones que, en principio, converge slo puntualmen-te converja uniformemente. El Teorema de Heine nos asegura que las funciones continuasdenidas en compactos son de hecho uniformemente continuas.Terminamos la leccin estudiando el concepto de lmite funcional (indispensable paradenir el concepto de funcin derivable) y la relacin que existe entre ste y la continuidad.En lo sucesivo, para cada natural N, RNdenota el espacio vectorial real de lasN-uplas de nmeros reales, es decir,RN:=x = (x1, ..., xN) : x1, ..., xN Rcon las deniciones usuales de suma y producto por escalaresx +y := (x1 +y1, ..., xN +yN), x := (x1, ..., xN).Alas componentes x1, ..., xN de la N-upla que dene el vector x se les denominan coordenadasdedichovector.Cuandohayalugaraconfusin,yenespecialcuandoseesttrabajando2324 2. Continuidad y lmite funcional.consucesionesen RN, denotaremosalascoordenadasdeunvectorx RNenlaformax = (x(1), ..., x(N)). As, por ejemplo, si xn es una sucesin de vectores en RNa la coorde-nada k-sima del trmino xn se le denotar xn(k).2.1. Normas y distancias.Recordemosquelanorma eucldeaen RN, esdecir, laaplicacin ||2 : RN R+0denida por|x|2 :_(x[x) =_x21 + +x2N(x RN)goza de las siguientes propiedades:i) |x|2 = 0 x = 0 .ii) |x|2 =[[ |x|2, R, x RN.iii) |x +y|2|x|2 +|y|2, x, y RN.A (RN, |.|2) se le llama el espacio eucldeo (de dimensin N).Ello nos invita a dar la siguiente denicin.Denicin 2.1. Si X es un espacio vectorial real, una norma en X es una funcin | | : X R+0vericandoi) |x| = 0 x = 0 .ii) |x| =[[ |x|, R, x X (homogeneidad).iii) |x +y| |x|+|y|, x, y X (desigualdad triangular) .El par ordenado (X, | |) se llama espacio normado .Observaciones 2.2.a) En i) basta exigir slo la condicin|x| = 0 x = 0,ya que de ii) se deduce que |0| = 0.b) De la denicin se sigue que tambin se puede prescindir en la denicin de que lanorma toma valores no negativos, ya que0 =|x x| |x|+|x| = 2|x| |x| 0.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 25c) De ii) y iii) se deduce fcilmente que[ |x||y| [ |x y|, x, y X.d) Por ltimo, de iii) se deduce fcilmente por induccin que|x1 +x2 + +xn| |x1|+|x2|+ +|xn|, x1,, xn X.Ejemplos 2.3.1. (R, [[) es un espacio normado. De hecho, en Rtodas las normas son producto del valorabsoluto por una constante positiva.2. Algunas normas en RN.Adems de la norma eucldea, en RNconsideraremos entre otras la norma de la sumay la norma del mximo, dadas, respectivamente, por|x|1 :=[x1[ + +[xN[,|x| := max[x1[,, [xN[(x RN)No es difcil comprobar (hgase como ejercicio) que ambas son normas y que se veri-ca la desigualdad (vase el Ejemplo 2.13)|x||x|2|x|1N|x|(x RN).Es conveniente dibujar la esfera unidad (elementos que tienen norma 1) en dimensin2 para tener una idea de cmo se comporta la norma. Si consideramos la bola unidadcerrada asociada a una norma, esto es,B :=x R2: |x| 1,ocurre que a bolas menores corresponden mayores normas.3. En el espacio vectorial C[a, b] de las funciones reales continuas denidas en el intervalocerrado y acotado [a, b], se puede denir, por la propiedad de compacidad, la normadada por| f | = max [ f (x)[ : x [a, b] ( f C[a, b]).Comprubese que de hecho es una norma.Recordemos ahora que la distancia eucldea en RN, es decir, la aplicacind2 : RNRNR+0denida pord2(x, y) =|x y|2(x, y RN),verica las siguientes propiedades:26 2. Continuidad y lmite funcional.1. d2(x, y) = 0 x = y .2. d2(x, y) = d2(y, x), x, y RN.3. d2(x, z) d2(x, y) +d2(y, z), x, y, z RN.Ello nos invita a dar la siguiente denicin.Denicin 2.4. Una distancia(o mtrica)denida en un conjunto no vaco E es una funcind : E E R+0que verica:1. d(x, y) = 0 x = y.2. d(x, y) = d(y, x), x, y E(propiedad simtrica).3. d(x, z) d(x, y) +d(y, z), x, y, z E(desigualdad triangular).Al par ordenado (E, d) se le denomina espacio mtrico .Observaciones 2.5.a) Una aplicacin d : E E R que verique 1), 2) y 3) no toma valores negativos, yaque0 = d(x, x) d(x, y) +d(y, x) = 2d(x, y).b) [d(x, y) d(y, z)[ d(x, z), x, y, z E.En efecto, usando 2) y 3) se tiened(x, y) d(x, z) +d(z, y) = d(x, z) +d(y, z) d(x, y) d(y, z) d(x, z),Intercambiando x por z y usando 2) se obtiened(y, z) d(x, y) d(x, z),por tanto,[d(x, y) d(y, z)[ d(x, z), x, y, z E.c) De 3) se deduce por induccin la desigualdadd(x1, xn) d(x1, x2) + +d(xn1, xn), x1,, xn E.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 27Ejemplos 2.6.1. Subespacio mtrico.Es claro que todo subconjunto A no vaco de un espacio mtrico (E, d) tambin es unespacio mtrico, sin ms que considerar en A la restriccin de la distancia de E. Elconjunto A, dotado de esta mtrica, es un subespacio mtrico de (E, d).2. Distancia asociada a una norma.Si (X, ||) es un espacio normado, la distancia en X asociada a la norma viene dadapord(x, y) :=|x y| (x, y X).Comprubese que efectivamente es una distancia. En particular, la distancia usual enun subconjunto A de R viene dada pord(x, y) =[x y[, x, y A.3. Espacio mtrico producto.Dados n espacios mtricos (E1, d1),(E2, d2),...,(En, dn), podemos denir una distanciaen el producto E1E2... En pord((x1, ..., xn), (y1, ..., yn)) := max d1(x1, y1), ..., dn(xn, yn).2.2. Topologa de un espacio mtrico.Denicin 2.7. Sea (E, d) un espacio mtrico. Dados a E, r 0, la bola abierta (resp.cerrada) de centro a y radio r son los conjuntos dados porB(a, r) :=x E : d(x, a) < r,B(a, r) :=x E : d(x, a) r.La esfera de centro a y radio r es, por denicin, el conjuntoS(a, r) :=x E : d(x, a) = r.Un subconjunto O de un espacio mtrico (E, d) se dice abierto si verica la siguiente condi-cin:a O, r > 0 : B(a, r) O .Es fcil ver que una bola abierta es un conjunto abierto, que los conjuntos abiertos sonaquellos que se pueden expresar como unin de bolas abiertas y, si notamos por a la familiade todos los conjuntos abiertos, se verica:28 2. Continuidad y lmite funcional.i) / 0, E .ii) A

OA O .iii) O1, O2 O1O2 .Por tanto, es una topologa en E.Dado que todo espacio normado (X, |.|) es un espacio mtrico con la distancia denidapor d(x, y) :=|yx| (x, y X), la topologa de un espacio normado es la topologa asociadaa la mtrica descrita.Denicin 2.8. Sea (E, d) un espacio mtrico y sea la familia de sus conjuntos abiertos.Un subconjunto F de E es cerrado si su complementario es abierto, esto es, si EF . Sinotamos Fa la familia de los conjuntos cerrados, es fcil comprobar que se verica:i) / 0, E F.ii) BF

FBF F.iii) F1, F2 F F1F2 F.Es fcil probar que las bolas cerradas y las esferas son conjuntos cerrados.Sea A un subconjunto de E, un elemento x E se dice que es adherente a A si para cadapositivo r se vericaB(x, r) A ,= / 0.Se llamaadherencia ocierre deA al conjunto de todos los valores adherentes deA, quenotaremos por A . Es inmediato que A A.Un elemento x E se dice que es interior de A si se verica quer > 0 : B(x, r) A.Notaremos porA al conjunto de todos los puntos interiores de A, conjunto que claramenteverica AA.Por ltimo, llamaremos frontera de A al conjunto Fr(A) := AA.Ejemplo 2.9. Prubese que si A R est mayorado (resp. minorado) y no es vaco entoncessupA A (resp. inf A A). Hallar Q, RQ, 1n : n N.El siguiente resultado, cuya demostracin se deja como ejercicio (tambin!), resume lasprimeras propiedades que relacionan los conceptos anteriores.Proposicin 2.10. Sea (E, d) un espacio mtrico y notemos por a la familia de sus abiertosy por Fa la de sus cerrados. Cada subconjunto A de E verica:Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 29i) (O , O A) O A.ii)A .iii)A es el mayor abierto incluido en A, en consecuencia, A es la unin de todos los abier-tos incluidos en A.iv) A A =A.v) (F F, A F) A F.vi) A F.vii) A es el menor cerrado que contiene a A y coincide con la interseccin de todos loscerrados que contienen a A.viii) A F A = A.ix)(E A)= E A, equivalentemente A= E E A.x) EA= E A, equivalentemente A = E (E A).De la igualdad EA= EA, se deduce que Fr(A) = A(EA).A continuacin extendemos el concepto de convergencia en R a espacios mtricos.Denicin 2.11 (Convergencia en espacios mtricos). Se dice que una sucesin xn deelementos de un espacio mtrico (E, d) es convergente si existe un elemento x E tal que > 0, m N : n m d(xn, x) < ,equivalentemente, si d(xn, x) 0. Si se verica la condicin anterior, diremos que xnconverge a x y en tal caso escribiremos xn x.Es fcil comprobar (ejercicio) que el elemento x que verica la condicin de convergencia esnico y se llama lmite de la sucesin xn, y entonces escribiremos x = lim xn.El concepto de sucesin de Cauchy en un espacio mtrico es tambin copia literal deldado para R.Denicin 2.12 (sucesin de Cauchy). Una sucesin xn de elementos de un espacio m-trico (E, d) es de Cauchy si se verica > 0, m N : p, q m d(xp, xq) ,equivalentemente, > 0, m N : [n m, h N] d(xn+h, xn) .30 2. Continuidad y lmite funcional.Es inmediato comprobar que en un espacio mtrico toda sucesin convergente es de Cau-chy. (Q, [.[) es un ejemplo de que el recproco de esta armacin no es cierto. Aquellos espa-cios mtricos que verican que toda sucesin de Cauchy es convergente se llaman completos.Un espacio normado y completo para la mtrica asociada a la norma es un espacio de Banach.El espacio normado (C[0, 2], |.|1), es decir, el espacio vectorial de las funciones reales con-tinuas denidas en [0, 2] con la norma integral dada por| f |1 :=_20[ f (x)[dx,no es completo1(vase Ejercicio 2.3).Un subconjunto A de un espacio mtrico (E, d) se dice completo si el espacio mtrico(A, d) es completo, es decir, si toda sucesin en A que sea de Cauchy converge a un elementode A.Ejemplo 2.13 (Convergencia en (RN, ||2). Si xn es una sucesin en RNdenotaremospor xn(k) a la coordenada k-sima del trmino xn. Probaremos que la convergencia en RNsereduce a la convergencia coordenada a coordenada, esto es:xn||2 x xn(k) x(k), k = 1, 2,, Ndonde x = (x(1), ..., x(N)).Demostracin:Probemos primeramente que para todo vector x RNse verica|x||x|2N|x|(1)Denotando por x(k) a las componentes del vector x, se prueba fcilmente la primera des-igualdad, ya que|x|2 := max [x(k)[ : k = 1, ..., N2=max x(k)2: k = 1, ..., N Nk=1x(k)2=|x|22.Y por otro lado|x|2 :=_Nk=1x(k)2_|x|2+N... +|x|2 =N|x|N|x|.De la primera desigualdad de (1) se sigue que si una sucesin xn en RNtiene lmite x,entonces xn(k) x(k) para todo k = 1, ..., N. Supongamos ahora quexn(k) x(k), k = 1, ..., N.1La no complitud del espacio (C[0, 2], |.|1) no es consecuencia de la norma elegida, sino de que es necesarioampliar sensiblemente el conjunto de funciones integrables para conseguir la complitud y que en consecuencialas cosas marchen bien. Algo anlogo ocurre con Q y su completacin a RAcosta, Aparicio, Moreno y Villena 31Entonces, dado > 0, para cada k = 1,, N existe un natural mk tal que si n mk entonces[xn(k) x(k)[ 0, m N : n m [ fn(x) f (x)[ , x [a, b]).La convergencia en (C[a, b], |.|) es la convergencia uniforme , que implica la convergenciapuntual pero el recproco no es cierto (vanse los Ejercicios 2.2 y 2.4).Proposicin 2.15 (Caract. secuencial de la adherencia en esp. mtricos). Sea A un sub-conjunto de un espacio mtrico E y x E. Equivalen:i) x es un punto adherente a A.ii) Existe una sucesin en A que converge a x.En consecuencia, como A F A A, un subconjunto A de un espacio mtrico es cerradosi, y slo si, A contiene los lmites de todas las sucesiones en A convergentes.Demostracin:i) ii) Supongamos que x es un punto adherente a A, por tantoB_x, 1n_A ,= / 0, n N.Enconsecuencia, paracadanatural n, podemoselegirunelementoan Aqueveriqued(an, x) 0, existe un natural m tal quen m an B(x, ),32 2. Continuidad y lmite funcional.y en consecuencia, B(x, ) A ,= / 0, para todo > 0.El siguiente resultado es til para justicar que ciertos espacios mtricos son completos.Su demostracin hace uso de la anterior caracterizacin secuencial de la adherencia.Proposicin 2.16.i) Todo subconjunto completo de un espacio mtrico es cerrado.ii) Todo subconjunto cerrado de un espacio mtrico completo es completo.Demostracin:i) Supongamos que A es un subconjunto completo de un espacio mtrico E. Sea x A, portanto, en vista de la Proposicin 2.15, existe una sucesin an de elementos de A convergentea x. La sucesin an es de Cauchy y, por ser A completo, ha de converger a un elemento deA, por tanto, x A. Hemos probado que A A, y, por tanto, A es cerrado.ii) Sea A un subconjunto cerrado de un espacio mtrico completo E. Fijamos una sucesinan de Cauchy en A. Por ser Ecompleto, existe un elemento x Eque es el lmite de lasucesin an, por tanto, usando de nuevo la Proposicin 2.15, x es adherente a A, y por serA cerrado, concluimos que x A, luego A es completo.Observacin 2.17. Ntese que, como consecuencia de la caracterizacin secuencial de laadherencia (Proposicin 2.15), en un espacio mtrico es suciente conocer las sucesionesconvergentes y sus lmites para conocer los conjuntos cerrados, y, por tanto, la topologa.Nota 2.18. El concepto de convergencia de una sucesin es topolgico, esto es, depende dela topologa del espacio mtrico, pero no de la distancia concreta que se utilice. Esto signicasimplemente que si dos distancias d y d generan la misma topologa, entonces las sucesionesconvergentes coinciden para ambas distancias. En efecto, supongamos que xn converge a xen la distancia d. Dado > 0, puesto que Bd(x, ) es un abierto que contiene a x y d generala misma topologa que d, ha de existir r > 0 tal que Bd(x, r) Bd(x, ). Como estamossuponiendo que xn converge en la distancia d, ha de existir un natural m vericando quen m d(xn, x) < r.En vista de la eleccin de r se tiene tambin que d(xn, x) < para n m, y, por tanto xnconverge tambin a x en la distancia d.Probaremos que dos normas cualesquiera en RNgeneran la misma topologa. Para pre-parar la prueba de este importantsimo resultado introducimos el siguiente concepto.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 33Denicin 2.19. Dos normas | | y [[[[[[ en un mismo espacio vectorial X se dicen equivalentessi existen constantes m, M > 0 vericandom|x| [[[ x[[[ M|x|, x X.Es inmediato probar que la relacin binaria que hemos denido entre normas es de equi-valencia.Proposicin 2.20. Sean ||y [[[[[[dosnormasenelespaciovectorialX.Equivalenlassiguientes condiciones:i) Las normas | | y [[[[[[ son equivalentes.ii) Ambas normas generan la misma topologa.Demostracin:i) ii) Sea O un abierto para la topologa asociada a ||. Dado a O, existe r > 0 talqueB||(a, r) O,pero, por ser, ambas normas equivalentes, existe una constante m > 0 tal quem|x| [[[ x[[[ , x X.Por tanto, se tieneB[[[[[[(a, mr) B||(a, r) O,y O es abierto para la topologa asociada a la norma [[[ . [[[. La inclusin contraria es conse-cuencia de la otra desigualdad ente las normas.ii) i) Por ser las bolas abiertas conjuntos abiertos, existe una constante s > 0 tal queB[[[[[[(0, s) B||(0, 1).Sea x X un elemento no nulo, entonces, es claro que se vericasx2[[[ x[[[< s ____sx2[[[ x[[[____< 1 s2|x| [[[ x[[[En vista de la hiptesis, ambas normas estn en las mismas condiciones, luego tambin sepuede probar que existe una constante M tal que [[[ x[[[ M|x|, x X.Para probar el Teorema de Hausdorff, en primer lugar, generalizaremos al espacio eucl-deo el Teorema de Bolzano-Weierstrass.Denicin 2.21 (conjunto acotado). Un subconjunto A de un espacio mtrico (E, d) se diceacotado si existen M> 0 y x0 Etales que A B(x0, M). As, un subconjunto A de unespacio normado (X, | |), es acotado si existe M > 0 tal que|a| < M, a A .34 2. Continuidad y lmite funcional.Prubese que toda sucesin convergente es acotada. De hecho, toda sucesin de Cauchyen un espacio mtrico es tambin acotada.Teorema 2.22 (Bolzano-Weierstrass en (RN, ||)2)). (RN, ||2) verica la propiedad deBolzano-Weierstrass, es decir, toda sucesin acotada en (RN, | |2) admite una parcial con-vergente.Demostracin:Haremos la prueba por induccin sobre la dimensin del espacio. Para N = 1, se trata delTeorema de Bolzano-Weierstrass, que es conocido en R. Supongamos que se verica paraRN. En RN+1se tiene que|(x, y)|2 =_x(1)2+ +x(N)2+y2, (x, y) RNR. ()Fijamos una sucesin acotada en RN+1, que podemos suponer de la forma (xn, yn), dondexn RN, yn R, para cada natural n. En vista de (), las sucesiones xn e yn son acota-das. Por hiptesis de induccin, la primera admite una parcial convergente, que escribiremosx(n), ahora bien, por ser y(n) acotada (parcial de una acotada), el Teorema de Bolzano-Weierstrass nos asegura que admite una parcial convergente que escribiremos y((n))2.Finalmente, la sucesin en RN+1dada por (x((n)), y((n))) es una parcial convergente de(xn, yn).Teorema 2.23 (Hausdorff). Todas las normas en RNson equivalentes.Demostracin:Probaremos que si || es una norma cualquiera en RN, entonces equivale a la normaeucldea. Notamos por e1, e2,, eN a la base cannica de RN. Dado cualquier vector x RNque se escriba de la forma x = x(1)e1 + +x(N)eN, se tiene|x| =|x(1)e1 + +x(N)eN| (por ladesigualdad triangular)[x(1)[ |e1|+ +[x(N)[ |eN| (|e1|+ +|eN|)|x|(|e1|+ +|eN|)|x|2,luego, tomando M =|e1|+ +|eN| se tiene que|x| M|x|2, x RN.Ahora denimosm := inf|x| : |x|2 = 1.2Obsrvese que si notamos yn =x(n), entonces y(n) =x((n))Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 35Probaremos que m es un mnimo3. Sabemos que por ser m el nmo del conjunto anterior,existe una sucesin xn de elementos de RNvericando|xn|2 = 1, |xn| m(vanse el Ejemplo 2.9 y la Proposicin 2.15).Como (RN, ||2) verica la propiedad de Bolzano-Weierstrass (Teorema 2.22), ha deexistir un elemento x0 RNy una sucesin parcial x(n) de xn tal quex(n)||2 x0,con lo que se tiene|x0|2 = lim |x(n)|2 = 1,en particular x0,= 0. Por la desigualdad ya probada entre las normas se tiene[ |x(n)||x0| [ |x(n)x0| M|x(n)x0|2, n N,y en virtud de la convergencia en la norma eucldea de x(n) a x0, concluimos que |x(n)|converge a |x0|, por tanto m =|x0| > 0.Queremos probar ahora quem|x|2|x|, x RN,desigualdad que es cierta si x = 0. Si x ,= 0, se tiene____x|x|2____2= 1 m ____x|x|2____m|x|2|x|.Dado que no existe ms espacio vectorial real de dimensin N que RN, podemos decirque en cualquier espacio vectorial real nito-dimensional todas las normas son equivalentes(vase problema 2.8). En realidad, tal propiedad caracteriza la nito-dimensionalidad de unespacio vectorial.Como corolario del teorema anterior y de la Proposicin 2.20 se obtiene:Corolario 2.24. Existe una nica topologa en RNque proceda de una norma a la que lla-maremos la topologa de la norma .En todo lo que sigue, se supondr que RNest dotado de la topologa de la norma, cuyosabiertos no son ms que uniones de bolas abiertas para alguna norma. En el caso de R, losabiertos son uniones de intervalos abiertos.La segunda consecuencia del Teorema de Hausdorff es que el concepto de sucesin deCauchy en RNes independiente de la norma. Este hecho, junto con el Teorema de complitudde R y el Ejemplo 2.13 nos prueban el siguiente resultado.3De haber pospuesto la demostracin de este teorema a la obtencin de la propiedad de compacidad (Propo-sicin 2.51), esto habra sido inmediato. En efecto, dado que la funcin norma || es continua en (RN, ||2)(ntese que [ |x| |y| [ |x y| M|x y|2) y que la esfera unidad para la norma eucldea S||2(0, 1) escompacta, por la propiedad de compacidad, el conjunto |x| : |x|2 = 1 tiene mnimo.36 2. Continuidad y lmite funcional.Teorema 2.25 (complitud). En RN, toda sucesin de Cauchy es convergente, esto es, RNesun espacio de Banach con cualquier norma.La tercera consecuencia del Teorema de Hausdorff es que el concepto de acotacin en RNes independiente de la norma.El Teorema 2.22 admite ahora el siguiente enunciado.Teorema 2.26 (Bolzano-Weierstrass).RNverica la propiedad de Bolzano-Weierstrass, esdecir, toda sucesin acotada admite una parcial convergente.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 372.3. Compactos, convexos y conexos.Dedicamos esta seccin a presentar tres tipos distinguidos de subconjuntos de RN: loscompactos, los convexos y los conexos.En la demostracin del Teorema de Hausdorff slo se ha tenido en cuenta que S|.|2(0, 1)es un conjunto acotado y cerrado. 4Ello nos motiva a destacar estos subconjuntos de RN.Denicin 2.27. Un subconjunto K de RNes compacto si es cerrado y acotado.Decir cules de los siguientes conjuntos son compactos: N, 1n: n N, a, B(a, r),B(a, r), S(a, r), [a, b] [c, d], (x, y) R2: x > 0.Obsrvese que el punto crucial de la demostracin del tan citado Teorema de Hausdorffconsiste en probar que toda sucesin en la esfera S|.|2(0, 1) se acumula, es decir, admite unaparcial convergente a un punto de dicha esfera. Esto nos motiva la siguiente caracterizacinde los compactos de RNque ser una herramienta bsica en futuras demostraciones y que asu vez nos permite extender dicho concepto a espacios mtricos cualesquiera.Teorema 2.28 (Caracterizacin de los compactos de RN). Sea K un subconjunto de RN.Equivalen:i) K es compacto (cerrado y acotado de RN).ii) Toda sucesin de puntos de K admite una sucesin parcial que converge a un punto deK.Demostracin:i) ii) Sea xn una sucesin en K. Por hiptesis, xn es acotada y, por el Teorema deBolzano-Weierstrass, tiene una subsucesin x(n) convergente a un vector x que necesaria-mente ha de pertenecer a K, por ser K un conjunto cerrado.ii) i) K es cerrado: Sea x K y xn una sucesin en K convergente a x. Por hiptesis,existe x(n) y K. Puesto que tambin x(n) x, deducimos de la unicidad del lmiteque x K. Hemos probado que K K y por tanto K es cerrado.K es acotado: Supongamos que K no es acotado. Se tiene entonces queKB(0, n) ,= / 0, n N, luego podemos elegir para cada natural n, un elemento xnKB(0, n).La sucesin xn as elegida no puede tener ninguna parcial convergente ya que |xn| n,n N, y, por tanto, todas sus parciales son no acotadas. Hemos probado que si Kes noacotado, entonces no se verica ii).4Del Teorema de Bolzano-Weierstrass se sigue que toda sucesin en un conjunto acotado admite una parcialconvergente; si adems el conjunto es cerrado, la caracterizacin secuencial de la adherencia (Proposicin 2.15)nos asegura que el lmite se queda en el conjunto.38 2. Continuidad y lmite funcional.Denicin 2.29. Un subconjunto K de un espacio mtrico es compacto si toda sucesin depuntos de K admite una sucesin parcial que converge a un punto de K.Recordamos que en un espacio mtrico (E, d) todo subconjunto A Ees tambin unespacio mtrico con la distancia inducida. Como todo espacio mtrico tiene una topologaque procede de la distancia, a la topologa asociada a la restriccin de dal subconjunto Ase le llama topologa inducida en A. En cualquier espacio mtrico, los abiertos son unionesdebolasabiertas.Ahorabien,unabolaabiertaenAnoesmsqueunconjuntodeltipox A : d(x, a) < r, donde a A y r 0, pero este conjunto no es otra cosa que B(a, r) A.Por tanto, si G es un abierto de A, existe un abierto O de Etal que G = OA, esto es, losabiertos de A o abiertos relativos en A no son otra cosa que las intersecciones con A de losabiertos de E. Recprocamente, es muy fcil probar que los conjuntos que se escriben comointerseccin de un abierto de E con A son, de hecho, abiertos de A.Los cerrados de A son los complementos en A de los abiertos de A. Por razones similares,tambin los cerrados de A se obtienen intersecando A con los cerrados de E.Porejemplo, ]12, 1]esabiertode]0, 1]ynoesabierto. Cualessonlosabiertosyloscerrados de Z?Nota 2.30. Es interesante observar que en espacios mtricos coinciden los subconjuntos com-pactos (anterior denicin) y los subespacios compactos (con la topologa inducida).Es fcil probar que todo subconjunto compacto de un espacio mtrico es cerrado y acota-do5, pero el recproco no es cierto (vase el ejercicio 2.5).El siguiente teorema caracteriza la compacidad en los espacios mtricos en trminos desu topologa y permite denir dicho concepto en espacios topolgicos generales.Teorema 2.31 (Heine-Borel-Lebesgue). Sea K un subconjunto de un espacio mtrico (E, d).Equivalen:i) K es compacto.ii) KvericaelaxiomadeHeine-Borel:todorecubrimientoporabiertosdeKadmiteun subrecubrimiento nito, esto es, siUes una familia de abiertos de Etales queK

UU U, entonces existen n N y U1,,Un Utal que K

ni=1Ui.La demostracin puede verse en el apndice (vase tambin el ejercicio 2.27).La propiedad arquimediana de R nos asegura que ]1n, 1[: n N (respectivamente ] n, n[: n N) es un recubrimiento por abiertos del conjunto ]0, 1[ (resp. R). Prubese que enninguno de los casos anteriores se puede extraer un subrecubrimiento nito de los recubri-mientos Contradice este hecho el teorema anterior?5La vericacin de este hecho es una simple adaptacin de ii) i) del Teorema 2.28, entendiendo como i)ser cerrado y acotado en un espacio mtricoAcosta, Aparicio, Moreno y Villena 39El axioma de Heine-Borel (armacin ii) del anterior teorema) se toma como denicinde compacidad en un espacio topolgico cualquiera y es una valiosa herramienta en muchasdemostraciones (vase por ejemplo el Teorema de Dini, Teorema 2.52).Nota 2.32. Obsrvese que en al axioma de Heine-Borel se pueden sustituir simultneamentelos abiertos por abiertos relativos y la inclusin por igualdad, es decir, la compacidad slodepende de la topologa del conjunto en cuestin. Con ms precisin, a nivel de espaciostopolgicos tambin coinciden los subconjuntos compactos y los subespacios compactos.Finalizamos esta seccin presentando dos extensiones de la nocin de intervalo de R asubconjuntos de RN, una de naturaleza geomtrica y otra de naturaleza topolgica.Recordemos la siguiente caracterizacin geomtrica de los intervalos de R, un subconjun-to I de Res un intervalo si, y slo si, para cualesquiera x, y I con x y, se tiene que [x, y] I(es de resaltar que para probar esta caracterizacin se requiere el axioma del supremo). Comoobviamente se tiene[x, y] =x +t(y x) : 0 t 1,entonces Ies un intervalo si, y slo si, para cualesquiera x, y Iy cualquier t [0, 1], severica x +t(y x) I. En efecto, basta considerar la desigualdadminx, y (1t)x +ty maxx, y, t [0, 1].Lapropiedadanteriorque, comoacabamosderecordar, caracterizaalosintervalostieneperfecto sentido en RNy, por tanto, nos invita a generalizar el concepto de intervalo de lasiguiente forma:Denicin 2.33. Un subconjunto A de RNes convexosi se vericaa, b A a+t(ba) A, t [0, 1],esdecir, paracualesquieradoselementosa, benA, elsegmentodeextremosaybestcontenido en A.Obviamente el anterior concepto tiene sentido en cualquier espacio vectorial. Es inme-diato comprobar que en RNlas bolas abiertas son conjuntos convexos, e igual ocurre conlasbolascerradas. Comocasoparticular, porsupuesto, seobtienequelosintervalossonconjuntos convexos. Al n y al cabo, intentamos abstraer una propiedad que tienen (y que dehecho caracteriza a) los intervalos.Para presentar la otra generalizacin de intervalo, la conexin, nos inspiraremos en estaotra caracterizacin topolgica de los intervalos:Proposicin 2.34. Sea C R. Equivalen:i) C es un intervalo.ii) No existen particiones no triviales de C en abiertos relativos, esto es, si O1, O2sonabiertos en C tales que O1O2 = / 0 y C = O1O2, entonces O1 = / 0 o bien O2 = / 0.40 2. Continuidad y lmite funcional.Demostracin:i) ii) Sea C un intervalo y, razonando por reduccin al absurdo, supongamos que Ces la unin disjunta de dos abiertos O1 y O2 de C no vacos. Sean entonces a O1, b O2.Podemos suponer sin perder de generalidad que a < b. Como C es un intervalo, se tiene que[a, b] C. Denamosc := sup([a, b] O1).Como [a, b] es cerrado, es claro que c [a, b] C. Si c O1, entonces c < b, y al ser [a, b] unintervalo y O1 un abierto de C, se tiene que existe > 0 tal que[c, c +[[a, b]]c , c +[ C O1____c, c +_[a, b] O1,lo que contradice la denicin de c.Unrazonamientoanlogo(hgase)muestraquec/ O2, loquellevaacontradiccin.Hemos probado que un intervalo no admite particiones no triviales en abiertos relativos.ii) i) Si C no fuese un intervalo, entonces existiran nmeros reales x, y C y un realz/ C tales que x < z < y. Entonces, la particinC = (] , z[ C) (]z, +[ C)contradice ii).Denicin 2.35. Un conjunto Cde un espacio mtrico es conexo si verica que la nicaparticin de C en dos abiertos relativos es la trivial.En la siguiente seccin probaremos que, en los espacios normados, todo conjunto convexoesconexo,enparticular,lossegmentosylasbolassonconexos.Claramenteunconjuntoformado por dos elementos no es conexo.Por supuesto, la denicin de conexin puede darse en espacios topolgicos.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 412.4. Funciones continuas.Recordemos que la topologa de RNes la topologa de la norma.Denicin 2.36 (campo escalar y vectorial). Sean M, N Ny ARN. Un campo escalar enA es una funcin de A en R. Una funcin f = ( f1, . . . , fM) : ARMse llama campo vectorialen A, y a los campos escalaresfi, para i = 1, . . . , M, se les denomina campos escalares defo funciones componentes def .Denicin 2.37 (campo vectorial continuo). Sean M, N N, A RN, a A yf : A RMun campo vectorial. Se dice quef es continuo en el punto a si para toda sucesin an en Aconvergente a a, se tiene que la sucesin f (an) converge af (a), es decir:_an en A, an a f (an) f (a)donde la convergencia de las sucesiones es relativa a las topologas de RNy RM.Se dice que la funcinf es continua en B A si lo es en todos los puntos de B. Se diceque la funcinfes continua si es continua en A.Como consecuencia inmediata del Ejemplo 2.13, el estudio de la continuidad de los cam-posvectorialessereducealdesuscamposescalarescomponentescomoserecogeenelsiguiente enunciado.Proposicin 2.38 (Reduccin a campos escalares). Sean M, N N, ARN, f = ( f1, . . . , fM) :A RMun campo vectorial en A y a un punto de A. Entoncesfes continuo en a fi es continuo en a, i = 1, . . . , M.El concepto de continuidad se extiende literalmente a funciones denidas entre espaciosmtricos:Denicin 2.39. Sean (E, d), (F, ) espacios mtricos, A E, f : A F y a A. Se dice quela funcinfes continua en el punto a si_an en A, anda f (an) f (a)Se dice que la funcinf es continua en B A si lo es en cada punto de B. Se dice quef escontinua si es continua en A.Como la convergencia de una sucesin es un concepto topolgico, el concepto de conti-nuidad tambin es topolgico, es decir, depende de las topologas de los espacios mtricospero no de las mtricas concretas que se utilicen.Los siguientes resultados se demuestran rutinariamente y se dejan como ejercicios.42 2. Continuidad y lmite funcional.Proposicin 2.40 (Regla de la cadena para la continuidad). SeanE1, E2, E3espaciosmtricos, A E1, f : A E2, B E2, g : B E3y supongamos que f (A) B. Si f escontinuaenunpuntoadeAygescontinuaen f (a), entonceslacomposicing f escontinua en a. Como consecuencia, sify g son continuas, entonces g fes continua.Pongamos ahora de maniesto la buena convivencia entre el lgebra y la topologa de unespacio normado (X, |.|). Esto es,1. La suma en (X, |.|) es continua, es decir, la aplicacin de X Xen Xdenida por(x, y) x +y. En efecto, si (xn, yn) (x, y), entonces|(x +y) (xn +yn)| |x xn|+|y yn| 2 max |x xn|, |y yn| 0.2. El producto por escalares en X es continuo, es decir la aplicacin de RX en X denidapor (, x) x. En efecto, si n , xn x, se tiene|x nxn| |( n)x +n(x xn)| [ n[ |x|+[n[ |x xn| (|x|+[n[) max [ n[, |x xn| 0,donde se ha tenido en cuenta que n es acotada.En particular, el producto en R es continuo.3. La norma |.| es continua, es decir la aplicacin de X en Rdenida por x |x|. Bastatener en cuenta la desigualdad[ |x||xn|[ |x xn|.Ahora es inmediata la demostracin del siguiente resultado:Corolario 2.41. Sean (E, d) un espacio mtrico, (X, |.|) un espacio normado ya A E.i) Sif , g : A X son continuas en a y R, entoncesf +g y fson continuas en a.ii) Sif : A R y g : A X son continuas en a, entoncesf g es continua en a.iii) Sif : A R es continua en a yf (x) ,= 0,x A, entonces1fes continua en a.iv) Sif , g : A R son continuas en a y g(x) ,= 0,x A, entoncesfges continua en a.Proposicin 2.42 (Continuidad de la restriccin). Sean E y F espacios mtricos, BAEyf : A F, y consideremos la aplicacin restriccin def a B, f[B : B Fdenida porf[B(x) := f (x), x B. Entonces f[B es continua en todo punto de B en el que f sea continua.En consecuencia, si la funcinfes continua, entonces su restriccin a B tambin lo es.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 43Es importante destacar que la continuidad no se transere a extensiones (las funcionesdenidas en un slo punto son continuas, luego si la continuidad se transriese a extensiones,concluiramosquetodaslasfuncionessoncontinuas). Sinembargo, setieneelsiguienteresultado parcial.Proposicin 2.43 (Carcter local de la continuidad). Sean E, F espacios mtricos, A E,f : A F y b B A. Si B es un entorno relativo de b (existe r >0 tal que B(b, r)A B)yf[B es continua en b, entoncesf es continua en b. En particular, si f : E F, B Eesabierto y sif[B es continua, entoncesfes continua en B.Demostracin:Sea r > 0 tal que B(b, r) A B. Si an es una sucesin en A convergente al punto b,entoncesm N : n m an B(b, r),con lo que para n m se tiene que an B. As am+nnN es una sucesin en B que convergealpuntob,yaqueesparcialdelasucesin an.Porser f[Bcontinuaenbsetieneque f (am+n)nN f (b) y, por tanto, tambin f (an) f (b).Ejemplos 2.44 (funciones continuas).1. Las proyecciones de RNen R son continuas, es decir las aplicaciones k : RNR(k = 1, . . . , N) denidas por k(x1, . . . , xN) = xk.2. Toda funcin polinmica de RNen R es continua.3. Toda funcin racional R =PQ en N variables es continua en su conjunto de denicin:(x1, . . . , xN) RN: Q(x1, . . . , xN) ,= 0.4. Las funciones elementales reales de variable real (exponencial, logaritmo, races, fun-ciones trigonomtricas) son continuas en su dominio de denicin.La siguiente caracterizacin proporcionar la manera satisfactoria de introducir en espa-cios topolgicos el concepto de continuidad en un punto.Proposicin 2.45 (--caracterizacin de la continuidad). Sean(E, d), (F, )espaciosmtricos, A E, f : A F y a A. Equivalen las siguientes armaciones:i) fes continua en a.ii) > 0, > 0 :_x Ad(x, a) < _( f (x), f (a)) < , equivalentemente > 0, > 0 : f (B(a, ) A) B( f (a), ).44 2. Continuidad y lmite funcional.Demostracin:i) ii) Supongamos que no se verica ii). Entonces existe un positivo 0 con la siguientepropiedad:> 0, a A :_d(a, a) < ( f (a), f (a)) 0,en particularn N, an A :_d(an, a) 0 y tomemos >0tal que[x A, d(x, a) < ] ( f (x), f (a)) < .Como an a, existe un natural m tal que si n m se verica que d(an, a) 0 jo pueda encontrarse un positivo comn, vlidopara todos los puntos de A, la funcin gozar de propiedades adicionales que la diferenciande las funciones que son nicamente continuas.Denicin 2.46 (continuidad uniforme). Sean (E, d) y (F, ) espacios mtricos, A Eyf : A F una funcin. Se dice quefes uniformemente continua si > 0, > 0 : [x, y A, d(x, y) < ] ( f (x), f (y)) < No es difcil comprobar que una funcinf : A F es uniformemente continua si, y slosi, se verica la condicinan, bn A, n N, d(an, bn) 0 ( f (an), f (bn)) 0.Es inmediato que si f es uniformemente continua, entoncesf es continua. El recprocono es cierto, de hecho existen funciones continuas muy sencillas que no son uniformementecontinuas:La funcinf: R+R denida por f (x) = 1xes continua y, sin embargo, no es unifor-memente continua ya que para cada natural n se tiene quef_ 12n_ f_1n_= n.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 45(Como consecuencia1fpuede no ser uniformemente continua aunque lo seaf ).La funcinf : RR denida porf (x) = x2es continua y, sin embargo, no es uniforme-mente continua ya que para cada natural n se tiene quef_n+ 1n_ f (n)> 2.(Como consecuencia el producto de funciones uniformemente continuas no tiene por quserlo).En general, el producto por escalares en un espacio normado (X, |.|) es continuo pero noes uniformemente continuo ya que para cada vector x no nulo y para cada natural n se tiened__1n, nx_,_ 12n, nx__=12ny____f_1n, nx_ f_ 12n, nx_____=112|x| = 12|x|.Es claro que toda restriccin de una funcin uniformemente continua tambin lo es.Proposicin 2.47 (Caracterizacin de la continuidad global). Sean (E, d), (F, ) espaciosmtricos, A E yf: A F. Denotemos por F(resp. A) la familia de los abiertos de F(resp. abiertos relativos de A) y por FF(resp. FA) la familia de los cerrados de F(resp.cerrados relativos de A). Equivalen las siguientes armaciones:i) fes continua, equivalentemente (Proposicin 2.45):a A, > 0, a > 0 :_x Ad(x, a) < a_( f (x), f (a)) < .ii) La imagen inversa porfde cualquier abierto de F es un abierto relativo de A:O F f1(O) A.iii) La imagen inversa porfde cualquier cerrado de F es un cerrado relativo de A:C FF f1(C) FA.iv) La funcinf aplica valores adherentes de cualquier subconjunto de A en valores ad-herentes de la imagen de dicho conjunto, esto es:f (BA) f (B), B A.Es importante destacar que en las sentencias ii) y iii) el calicativo relativo es obligado.Si no fuese as, entonces todos los conjuntos de un espacio mtrico seran cerrados (cadasubconjunto S se puede escribir de la forma S =f1(0) dondef : S R es la funcinconstantementecero, yportantoSeslaimageninversaporunafuncincontinuadeuncerrado), y en consecuencia tambin abiertos.Si la funcin toma valores reales y est denida en todo el espacio mtrico, se tiene elsiguiente resultado que permite reconocer subconjuntos abiertos y cerrados de un espaciomtrico de forma muy sencilla.46 2. Continuidad y lmite funcional.Corolario 2.48. Sean (E, d) un espacio mtrico yf : E R una aplicacin continua. Deno-temos por (resp. F) la familia de los abiertos (resp. cerrados) de E. Entonces para todoa R se tiene que:i) x E : f (x) < a .ii) x E : f (x) > a .iii) x E : f (x) a F.iv) x E : f (x) a F.v) x E : f (x) = a F.Ejemplo 2.49. Los conjuntosA =_(x, y) R2: 0 < x, y < 1x_yB =(x, y) R2: 0 < x2+y2sen (xy) < 2, yex> 2son abiertos de R2.En efecto, puesto que A = A1A2, dondeA1 =(x, y) R2: 0 < x y A2 =(x, y) R2: xy < 1el resultado se sigue de la continuidad de la aplicacin proyeccin primera 1 : R2R yde la aplicacin polinmica P : R2R denida por P(x, y) = xy, y del hecho de queA1 = 11(]0, +[) y A2 = P1(] , 1[).La prueba de que B es abierto es anloga a la anterior sin ms que considerar las funcionescontinuas de R2en Rf (x, y) = x2+y2sen (xy) , g(x, y) := yex,ya queB = f1(]0, 2[) g1(]2, +[).Probaremos ahora que la compacidad y la conexin se conservan por funciones continuas.Teorema 2.50 (Conservacin de la compacidad por continuidad).Sean E, F espacios m-tricos, K un subconjunto compacto de E yf : K F continua. Entoncesf (K) es compacto.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 47Demostracin:Sea yn una sucesin en f (K). Tomemos una sucesin xn en K tal quef (xn) = yn, n N. Al ser Kcompacto x(n) x K. La continuidad de f nos ase-gura que f (x(n)) f (x), es decir:y(n) f (x) f (K).Hemos probado quef (K) es compacto.Corolario 2.51 (Propiedad de compacidad). Sean E un espacio mtrico, K un subconjuntocompacto de Eyf : K R una funcin continua. Entonces f est acotada y alcanza sumximo y su mnimo absolutos.Demostracin:f (K) es un compacto de R, luego cerrado y acotado, de donde se deduce fcilmente queel conjuntof (K) tiene mximo y mnimo.El siguiente resultado da condiciones sucientes para que una sucesin de funciones que,en principio, converge slo puntualmente, converja de hecho uniformemente. La demostra-cin que damos a continuacin es un buen ejemplo de utilizacin del axioma de Heine-Borel.Teorema 2.52 (Dini). Sean K un subconjunto compacto de un espacio mtrico y fn unasucesin montona de funciones continuas de K en R que converge puntualmente en K a unafuncin continuaf . Entonces la convergencia es uniforme en K.Demostracin:Sea > 0. Para cada natural n denimosUn :=x K : [ fn(x) f (x)[ < .La continuidad de las funciones fnyf nos permite asegurar que Unes un abierto relativode K. La monotona de la sucesin fn nos dice que Un es una sucesin creciente deabiertos relativos. La convergencia puntual implica que dicha familia recubre K. Por ltimo,la compacidad de K (axioma de Heine-Borel y la Nota 2.32), nos permite armar que existem natural tal que K =Um, y por tanto:n m [ fn(x) f (x)[ < , x K.El siguiente resultado prueba que las funciones continuas denidas en compactos son dehecho uniformemente continuas.Teorema 2.53 (Heine). Sean Ey Fespacios mtricos, K Eun subconjunto compacto yf : K F una funcin continua. Entoncesfes uniformemente continua.48 2. Continuidad y lmite funcional.Demostracin:Notemos por d y las distancias de Ey F, respectivamente. Supongamos quef no esuniformemente continua. Entonces existe o > 0 tal que> 0, x, y K : d(x, y) 0.Denotaremos por A/ al conjunto de los puntos de acumulacin de A. Se dice que un puntoa A es un punto aislado de A si existe > 0 tal que B(a, ) A =a.Es inmediato que todo punto adherente a A o es de acumulacin de A o es aislado. Enconsecuencia los puntos de A o son de acumulacin o son aislados.Denicin 2.61. Sean (E, d) y (F, ) espacios mtricos, A E, f: A F, un punto deacumulacin de A y F. Se dice quef tiende acuando x tiende a , y se notaf (x) cuando x , si para toda sucesin de puntos de A distintos de y convergente a , severica que la sucesin imagen converge a , es decir:[ an en A , an,= , and ] f (an).Supuesta la existencia de un tal, de la unicidad del lmite secuencial se sigue que tal ele-mento es nico, se llama lmite de la funcinfen el punto y se notalimxf (x) = .Como consecuencia inmediata del Ejemplo 2.13, el estudio de la existencia del lmite delos campos vectoriales se reduce al de sus campos escalares componentes, tal como se recogeen el siguiente enunciado.Proposicin 2.62 (Reduccin a campos escalares). Sean M, N naturales,A RN, f = ( f1, ..., fM) : A RMun campo vectorial en A y un punto de acumulacin deA. Entoncesftiene lmite en fi tiene lmite en , i = 1, ..., M.En tal caso,limx f (x) = ( limx f1(x), ..., limx fM(x)).Proposicin 2.63 (lgebra de lmites). Sean A RN, un punto de acumulacin de A,f , g : A R y R. Se verica:52 2. Continuidad y lmite funcional.i) Sif , g tienen lmite en , entoncesf +g y ftienen lmite en ylimx( f +g)(x) = limx f (x) + limxg(x),limx( f )(x) = limx f (x).ii) Sif , g tienen lmite en , entoncesf g tiene lmite en ylimx( f g)(x) = limx f (x) limxg(x).iii) Si f , g tienen lmite en , g(x) ,= 0 x A, y limx g(x) ,= 0, entoncesfgtiene lmiteen ylimxfg(x) = limx f (x)limx g(x).Notas 2.64.a) Puesto que en los espacios mtricos la convergencia secuencial depende slo de la topo-loga, se tiene que, al igual que ocurra con la continuidad, tambin el concepto de lmitefuncional es de carcter topolgico: depende de las topologas de los espacios mtricos perono de las mtricas concretas que se utilicen.b) Puede ocurrir que el punto no pertenezca al conjunto A, pero que sea de acumulacin.En el caso en que pertenezca a A, el valor que tome la funcinf en no afecta para nadaa la existencia del lmite, ni al valor de ste.c) Ntese que, en la Denicin 2.61, basta exigir la condicin[ an en A , an,= , and ] f (an) es convergente.En efecto, si an y a/n son dos sucesiones que verican la hiptesis anterior, entoncesla sucesin mezcla a1, a/1, a2, a/2, . . . , an, a/n, . . . est en las mismas circunstancias, y portanto, la sucesin imagen f (a1), f (a/1), f (a2), f (a/2), . . . , f (an), f (a/n), . . .es convergente, lo que conlleva a quelimf (an) = limf (a/n).Larelacinentre lacontinuidaddeunafuncinen unpuntoylaexistencia delmitefuncional en dicho punto se recoge en el siguiente resultado:Proposicin 2.65. Sean E, F espacios mtricos, A E, f : A F y a un punto de A.i) Si a es un punto aislado de A, entoncesfes continua en a.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 53ii) Si aesunpuntodeacumulacindeA, entonces f escontinuaenasi, yslosi,limxaf (x) = f (a).La demostracin se deja como ejercicio.Elsiguienteresultadorecogeelutilsimoprocesodecambioacoordenadaspolaresala hora de estudiar lmites de funciones de dos variables reales. Claramente, va el uso detraslaciones, no es restrictivo el llevar a cabo el estudio del lmite en el punto (0, 0).Recordemos que la funcin paso a coordenadas polares es la funcin de R+0 R en R2denida por(, ) ( cos , sen ),que es una aplicacin sobreyectiva, aplica el eje 0 R en (0, 0), y que es peridica deperiodo 2en la variable . En consecuencia, esta aplicacin induce una biyeccin de lafranja R+] , ] sobre R2(0, 0). En efecto: dado (x, y) R2(0, 0) existe un nico(, ) R+] , ] tal quex = cos , y = sen .De hecho, y son el mdulo y el argumento principal de (x, y), y (, ) se puedenobtener a a partir de (x, y) mediante las expresiones =_x2+y2y =_ si x R, y = 02 arctany +xen otro caso.Al par (, ) se le llama coordenadas polares del punto (x, y).Proposicin 2.66 (coordenadas polares). Seanf : R2 (0, 0) R una funcin y unnmero real. Equivalen las siguientes armaciones:i) lim(x,y)(0,0) f (x, y) = .ii) > 0, > 0 : 0 0, > 0 : [0 < < , R ] [ f ( cos , sen ) [ < .iv) Para cualquier sucesin n de positivos convergente a cero y cualquier sucesin dereales n (si queremos [n[ ), se verica que f (n cos n, nsen n) .54 2. Continuidad y lmite funcional.Demostracin:i) ii) Se deja como ejercicio (vase la -caracterizacin de la continuidad).ii) iii). Sea > 0 jo. Por hiptesis> 0 : 0 0 jo, por hiptesis> 0 : (0 < < , R) [ f ( cos , sen ) [ < .Como n 0, entoncesm N: n m 0 < n < ,y por tanto, en vista de la hiptesisn m [ f (n cos n, nsen n) [ < .En consecuencia, f (n cos n, nsen n) .iv) i) Sea (xn, yn) una sucesin en R2 (0, 0) convergente a (0, 0). Para cada na-tural n tomemos n :=|(xn, yn)|2 y n R tal quexn = n cos n , yn = nsen n.De la continuidad de la norma se sigue que n 0, y por tanto por iv) f (xn, yn) = f (n cos n, nsen n) .Corolario 2.67 (Lmites direccionales). Sea f : R2(a, b) R. Si existe lim(x,y)(a,b) f (x, y) = entonces, para todo ] , ] existelim0 f (a+ cos , b+sen ) = .Los anteriores lmites se llaman lmites direccionales en la direccin .Enconsecuencia, deexistirlmitehandeexistirtodosloslmitesdireccionalesyseriguales al lmite.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 55En la prctica es usual para calcular los lmites direccionales def (x, y) en el punto (a, b),considerar las rectas y = b+m(xa) (de pendiente m y que pasa por (a, b)) y hallar el lmitelimxa f (x, b+m(x a)).Obsrvese que de no existir un lmite direccional o en el caso de que dos lmites direc-cionales sean distintos podemos armar que no hay lmite. Supuesto que todos los lmitesdireccionales existen y son iguales, ste es el candidato a lmite, aunque puede que no hayalmite (vase Ejercicio 2.27, g).56 2. Continuidad y lmite funcional.2.6. Apndice.2.6.1. A) Teorema de Heine-Borel-Lebesque.Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Sea K un subconjunto de un espacio mtrico. Equi-valen:i) Kescompacto,estoes,todasucesindepuntosdeKadmiteunasucesinparcialconvergente a un punto de K.ii) Kvericaelaxioma de Heine-Borel:todorecubrimientoporabiertosdeKadmiteunsubrecubrimiento nito,esto es,si Ues unafamilia deabiertos deEtales queK

UU U, entonces existen n N y U1,,Un Utal que K

ni=1Ui.En la demostracin del teorema anterior usaremos los dos siguientes resultados auxiliares,de inters en s mismos:Proposicin 2.68.Sea xn una sucesin de un espacio mtrico E y x E. Son equivalentes:a) La sucesin xn admite una parcial convergente a x.b) Para cada positivo , el conjunto n N : xn B(x, ) es innito.Demostracin:Por denicin de convergencia es claro que a) b).b) a) Supongamos b) cierto y denamos : N N de la siguiente manera:(1) = min n N : xn B(x, 1).Supuesto denido (k), para k n, denimos(n+1) = min_m N : m > (n), xm B_x,1n+1__.As conseguimos una sucesin parcial x(n) que, por la forma de construirla, claramenteconverge a x.Lema 2.69 (del nmero de Lebesgue). Sea K un subconjunto compacto de un espacio m-trico. Entonces para todo recubrimiento por abiertos Ude K existe r > 0 tal quex K U U: B(x, r) U.En tal caso se dice que r es un nmero de Lebesgue asociado al recubrimiento U .Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 57Demostracin:Si no existiera un nmero de Lebesgue, entonces habra un recubrimiento por abiertos Ude K tal quen N _xn K : B_xn, 1n_U, U U_.Por hiptesis xn admite una parcial convergente a un elemento x de K. Por tanto, ha deexistir un conjunto U Utal que x U, y, por ser este conjunto abierto, para algn positivosevericaB(x, ) U. Ahora, elegimos1N Ntalqued(xn, x) 0, x A vericando_d(x, a) < ( f (x), f (a)) 0y por tanto B := x: > 0 es un subconjunto de A tal que a B yf (a)/ f (B), y enconsecuencia no se verica iv).Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 612.6.4. D) Otra demostracin del Teorema de Heine.Muchas veces la compacidad se usa para uniformizar una condicin que a priori no pa-rece ser uniforme. Como muestra de esta idea, daremos una nueva demostracin del Teoremade Heine, que es directa.Teorema de Heine. Sea F un espacio mtrico, K un espacio mtrico compacto yf : K F una funcin continua. Entoncesfes uniformemente continua.Demostracin. Notemos por d y las distancias de K y F, respectivamente. Por la --caracterizacin de continuidad, dado un positivo , para cada punto x de K existe un positivo(x) tal quey K, d(y, x) < (x) ( f (y), f (x)) < .Ahora, variando el punto x, recubrimos el compacto por una unin de abiertos, sin ms queconsiderarK

xKB_x, (x)2_.Por ser K compacto, se tiene que, en vista del Teorema de Heine-Borel-Lebesgue, pode-mos obtener un subrecubrimiento nito. Esto es, existen elementosx1, x2,, xn K tales que() K n_i=1B_xi,i2_,donde hemos notado por ia los positivos que verican la condicin de continuidad en elpunto xi.Tomamos = mini2: 1 i n y si x, y K verican que d(x, y) < , entonces, por(), se verica que, para algn i se tiene x B_xi, i2_, por tanto, como i obtenemos quex, y B(xi, i) y usando la continuidad defen xi se tiene que( f (x), f (xi)) < , ( f (y), f (xi)) < .Finalmente, usando la desigualdad triangular se deduce que( f (y), f (x)) < 2.62 2. Continuidad y lmite funcional.2.6.5. E) Frmula para el argumento de un nmero complejo.Proposicin. Para todo z = x +iy C, si denimos por_ = 2arctanyx +[z[si z CR = si z Rentonces es el nico nmero real en ] , ] que verica quez =[z[ (cos +i sen).Demostracin. Supuesto que existan dos elementos , 0 que veriquen lo anterior, entonces,se tendra quecos = cos0, sen = sen0,por tanto,cos( 0) = cos cos0 +sen sen0 = 1,de donde 0 2Z y como , 0] , ], entonces = 0.Comprobamos ahora la existencia y nicamente lo hacemos en el caso de quez CR. Tomamos = 2arctanyx +[z[,por tanto tan 2=yx+[z[, de dondecos = cos2 2 sen2 2= cos2 2 sen2 2cos2 2 +sen2 2= 1tan2 21+tan2 2== (x +[z[)2y2(x +[z[)2+y2 = x2+x2+y2+2[z[x y2x2+y2+[z[2+2x[z[=2x(x +[z[)2[z[([z[ +x) =x[z[.Anlogamente se tienesen = 2sen2 cos2=2sen 2 cos 2sen2 2 +cos2 2=2tan 21+tan2 2==2yx+[z[y2(x+[z[)2 +1=2y(x +[z[)y2+(x +[z[)2 =2y(x +[z[)y2+x2+x2+y2+2x[z[ =2y(x +[z[)2[z[([z[ +x) =y[z[.Dadoz Cse llamaargumento dez a todonmero real t que veriquela igualdadz =[z[(cost +i sent).Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 632.7. Referencias recomendadas.[Ber], [Bra], [Bri], [Cra], [Fe], [Jur], [MaHo], [SoSi] y [Stro].64 2. Continuidad y lmite funcional.2.8. Resumen de resultados del Tema 2.Espacio normado. Si Xes un espacio vectorial real, una norma en Xes una funcin| | : X R+0vericandoi) |x| = 0 x = 0 .ii) |x| =[[ |x|, R, x X (homogeneidad).iii) |x +y| |x|+|y|, x, y X (desigualdad triangular).El par ordenado (X, | |) se llama espacio normado.Espacio mtrico. Una distancia (o mtrica) denida en un conjunto no vaco Ees unafuncin d : E E R+0que verica:1. d(x, y) = 0 x = y.2. d(x, y) = d(y, x), x, y E(propiedad simtrica).3. d(x, z) d(x, y) +d(y, z), x, y, z E(desigualdad triangular).Al par ordenado (E, d) se le denomina espacio mtrico.Topologa de un espacio mtrico. Sea (E, d) un espacio mtrico.Dado a E, r 0, la bola abierta (resp. cerrada) de centro a y radio r son los conjuntosdados porB(a, r) :=x E : d(x, a) < r, B(a, r) :=x E : d(x, a) r.La esfera de centro a y radio r es el conjunto S(a, r) :=x E : d(x, a) = r.Un subconjunto O de un espacio mtrico (E, d) se dice abierto si verica:a O, r > 0 : B(a, r) O.As pues, un subconjunto es abierto si puede expresarse como unin de bolas abiertas.Todo espacio normado es un espacio topolgico con la topologa asociada a la distanciadenida por d(x, y) :=|x y|.Convergencia. Una sucesin xn de elementos de un espacio mtrico (E, d) es convergentea x si d(xn, x) 0. El concepto de convergencia es topolgico, esto es, si en un espacio Edos distancias d y d generan la misma topologa, entonces las sucesiones convergentes en(E, d) y en (E, d) son las mismas (y adems tienen los mismos lmites).La convergencia en el espacio normado (C[a, b], |.|) se llama convergencia uniforme,esto es, fn |.| f [ > 0, m N : n m [ fn(x) f (x)[ , x [a, b] ] .Una sucesin xn de elementos de un espacio mtrico (E, d) es de Cauchy si se verica > 0, m N : p, q m d(xp, xq) ,Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 65equivalentemente, > 0, m N : [n m, h N] d(xn+h, xn) .Toda sucesin convergente es de Cauchy, pero el recproco no es cierto. Aquellos espaciosmtricos que verican que toda sucesin de Cauchy es convergente se llaman completos. Unespacio normado y completo para la mtrica asociada a la norma es un espacio de Banach.Normas equivalentes. Dos normas | | y [[[[[[ en un mismo espacio vectorial X se dicenequivalentes si existen constantes m, M > 0 vericandom|x| [[[ x[[[ M|x|, x X,equivalentemente, (Proposicin 2.20) si ambas normas generan la misma topologa.Teorema de Hausdorff. Todas las normas en RNson equivalentes.Como consecuencia, existe una nica topologa en RNque proceda de una norma, a la quellamamos topologa de la norma en RN. Los abiertos en RNson las uniones de bolas abiertaspara cualquier norma.Teorema de complitud. En RN, toda sucesin de Cauchy es convergente, esto es, RNesun espacio de Banach con cualquier norma.Conjunto acotado. Un subconjunto A de un espacio mtrico (E, d) se dice acotado siA B(x0, M) para convenientes x0 E, M > 0.Toda sucesin de Cauchy es acotada.Teorema de Bolzano-Weierstrass. RNverica la propiedad de Bolzano-Weierstrass, esdecir, toda sucesin acotada en RNadmite una parcial convergente.Compactos. En RNlos subconjuntos cerrados y acotados se llaman compactos.Loscompactosde RNsecaracterizancomoaquellossubconjuntosKenlosquetodasucesin de puntos de K admite una sucesin parcial convergente a un punto de K (Teorema2.28). Esta caracterizacin es la que se toma como denicin de compacto en un espaciomtrico.En un espacio mtrico el Teorema de Heine-Borel-Lebesgue arma que un subconjuntoK es compacto si, y slo si, verica el axioma de Heine-Borel: todo recubrimiento por abier-tos de Kadmite un subrecubrimiento nito, esto es, si Ues una familia de abiertos de Etales que K

UU U, entonces existen n N y U1,,Un Utal que K

ni=1Ui. Estacaracterizacin es la que se toma como denicin de compacto en un espacio topolgico.Engeneral, si Aesunsubconjuntodeunespaciomtrico(E, d), losabiertos de Aoabiertos relativos son las intersecciones de los abiertos de Econ A. A dicha topologa enA se le llama la topologa inducida.Nota: La compacidad de un subconjunto Kde un espacio topolgico es una propiedadintrnseca del espacio topolgico (K, topologa inducida).Convexos. Un subconjunto A de RNes convexo si[a, b] :=a+t(ba) : t [0, 1] A, a, b A.66 2. Continuidad y lmite funcional.Conexos. Un subconjunto C de RNes conexo si verica que la nica particin de C endos abiertos relativos es la trivial. Todo convexo de RNes conexo.Funcin continua. Sean (E, d), (F, ) espacios mtricos, A E, f: A F y a A. Sedice que la funcinfes continua en el punto a si_an en A, anda f (an) f (a)El concepto de continuidad entre espacios mtricos es topolgico.El estudio de la continuidad de los campos vectoriales se reduce al de sus campos escala-res componentes: Si f = ( f1, . . . , fM) : A RNRMes un campo vectorial y a es un puntode A, entoncesfes continuo en a fi es continuo en a, i = 1, ..., M.Regla de la cadena para funciones continuas. Sean E1, E2, E3 espacios mtricos, A E1, f : A E2, B E2, g : B E3y supongamos quef (A) B. Si f es continua en unpunto a de A y g es continua enf (a), entonces la composicin g f es continua en a. Comoconsecuencia, sify g son continuas, entonces g fes continua.lgebra de las funciones continuas. Sean (E, d) un espacio mtrico, (X, |.|) un espacionormado y a A E.i) Si f , g : A X son continuas en a y R, entoncesf +g y fson continuas en a.ii) Si f : A R y g : A X son continuas en a, entoncesf g es continua en a.iii) Si f : A R es continua en a yf (x) ,= 0,x A, entonces1fes continua en a.iv) Si f , g : A R son continuas en a y g(x) ,= 0,x A, entoncesfges continua en a.Carcter local de la continuidad. Sean E, Fespacios mtricos, A E, f : A Fyb B A. Si B es un entorno relativo de b (existe r > 0 tal que B(b, r) A B) yf[B escontinua en b, entoncesfes continua en b. En particular, si f : E F, B E es abierto y sif[B es continua, entoncesfes continua en B. -caracterizacin de la continuidad. Sean (E, d), (F, ) espacios mtricos, A E,f : A F y a A. Equivalen las siguientes armaciones:i) fes continua en a.ii) > 0, > 0 :_x Ad(x, a) < _( f (x), f (a)) < , equivalentemente, > 0, > 0 : f (B(a, ) A) B( f (a), ).Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 67Como consecuencia de la caracterizacin de la continuidad global (Proposicin 2.47) setiene:Sean (E, d) un espacio mtrico yf: E R una aplicacin continua. Denotemos por (resp. F) la familia de los abiertos (resp. cerrados) de E. Entonces para todo a R se tieneque:i) x E : f (x) < a .ii) x E : f (x) > a .iii) x E : f (x) a F.iv) x E : f (x) a F.v) x E : f (x) = a F.Los compactos se conservan por funciones continuas (Teorema 2.50) y, como consecuen-cia las funciones continuas en un compacto valuadas en R alcanzan su mnimo y su mximoabsolutos (Propiedad de compacidad: Corolario 2.51). Asimismo, los conexos se conservanpor funciones continuas (Teorema 2.54).Teorema de Dini. Sean K un subconjunto compacto de un espacio mtrico y fn unasucesin montona de funciones continuas de K en R que converge puntualmente en K a unafuncin continuaf . Entonces la convergencia es uniforme en K.Continuidad uniforme. Sean (E, d) y (F, ) espacios mtricos, A E yf: A F unafuncin. Se dice quefes uniformemente continua si > 0, > 0 : [x, y A, d(x, y) < ] ( f (x), f (y)) < Teorema de Heine. Sean Ey Fespacios mtricos, K Ecompacto yf : K Funafuncin continua. Entoncesfes uniformemente continua.Lmite funcional. Sean (E, d) y (F, ) espacios mtricos, A E, f : A F, un puntode acumulacin de A y F. Se dice quees el lmite defen (o queftiende acuandox tiende a , y se notaf (x) cuando x ), si[ an en A, an,= , and ] f (an).El concepto de lmite funcional entre espacios mtricos es tambin topolgico.Reduccin a campos escalares. Sean M, N naturales, A RN,f = ( f1, ..., fM) : A RMun campo vectorial en A y un punto de acumulacin de A. Entoncesftiene lmite en fi tiene lmite en , i = 1, ..., M.En tal caso,limx f (x) = ( limx f1(x), ..., limx fM(x)).68 2. Continuidad y lmite funcional.lgebra de lmites. Sean ARN, un punto de acumulacin de A, f , g : A Ry R.Se verica:i) Si f , g tienen lmite en , entoncesf +g y ftienen lmite en ylimx( f +g)(x) = limx f (x) + limxg(x),limx( f )(x) = limx f (x).ii) Si f , g tienen lmite en , entoncesf g tiene lmite en ylimx( f g)(x) = limx f (x) limxg(x).iii) Si f , g tienen lmite en , g(x) ,= 0 x A, y limx g(x) ,= 0, entoncesfgtiene lmiteen ylimxfg(x) = limx f (x)limx g(x).Relacin entre lmite funcional y continuidad. Sean E, Fespacios mtricos, A E,f : A F y a un punto de A.i) Si a es un punto aislado de A, entoncesfes continua en a.ii) Si aesunpuntodeacumulacindeA, entonces f escontinuaenasi, yslosi,limxaf (x) = f (a).Coordenadas polares. Existe una biyeccin de R+] , ] sobre R2 (0, 0). Estoes, dado (x, y) R2(0, 0) existe un nico (, ) R+] , ] tal quex = cos , y = sen .Al par (, ) se le llama coordenadas polares del punto (x, y).Proposicin (coordenadas polares). Seanf: R2(0, 0) R una funcin yun n-mero real. Equivalen las siguientes armaciones:i) lim(x,y)(0,0) f (x, y) = .ii) > 0, > 0 : 0 0, > 0 : [ 0 < < , R ] [ f ( cos , sen ) [ < .Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 69iv) Para cualquier sucesin n de positivos convergente a cero y cualquier sucesin dereales n (si queremos [n[ ), se verica que f (n cos n, nsen n) .Lmites direccionales. Seaf : R2(a, b) R. Si existelim(x,y)(a,b)f (x, y) = ,entonces, para cada ] , ], existelim0 f (a+ cos , b+sen ) = .Los anteriores lmites se llaman lmites direccionales en la direccin .Enconsecuencia, deexistirlmitehandeexistirtodosloslmitesdireccionalesyseriguales al lmite.En la prctica es usual para calcular los lmites direccionales def (x, y) en el punto (a, b),considerar las rectas y = b+m(xa) (de pendiente m y que pasa por (a, b)) y hallar el lmitelimxa f (x, b+m(x a)).Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 712.9. Ejercicios del Tema 2.Los problemas en los que aparezca el smbolo * se suponen conocidos. En clase nosdedicaremos a los dems.Se recomienda (con las debidas precauciones) el uso de Mathematica (o programassimilares) para dibujar las funciones que aparezcan en los problemas, especialmente enlos que se pretende estudiar la convergencia puntual y uniforme, y en los problemas declculo de lmites.2.1Probar que en el espacio vectorial C[a, b] de las funciones reales continuas denidasen el intervalo [a, b] la aplicacin| f | := max [ f (x)[ : x [a, b]es una norma.2.2Probar que la sucesin de funciones fn denidas porfn(x) := xn, x [0, 1], n Nconverge puntualmente en [0, 1] pero no converge uniformemente en [0, 1[. Prubeseque, de hecho, fn no admite parciales convergentes en C[0, 1]. Sin embargo, fnconverge uniformemente en [0, ] con 0 < < 1.Indicacin: sese la monotona de fn para probar que no hay parciales convergentes.2.3Consideremos el espacio vectorial C[0, 2] de las funciones continuas denidas en [0, 2].Probar quei) (C[0, 2], |.|) es un espacio de Banach.ii) (C[0, 2], |.|1) es un espacio normado no completo, donde | f |1 :=_20 [ f (x)[dx.iii) Son equivalentes las anteriores normas?Indicacin:i) fn |.|-Cauchy fn(a)esdeCauchyparatodoa [0, 2]. ElTeoremadecomplitud nos sugiere la siguiente candidata a lmite:f (a) := limfn(a), (a [0, 2]).UtilizandolacondicindeCauchyatopeprubeseque f esacotadayque fnconverge uniformemente af . El Teorema de conservacin de la continuidad por con-vergencia uniforme asegura quefes continua.ii) Prubese que si g(a) ,= 0, entonces, usando la continuidad de g en a, existe > 0tal que_20 [g(x)[dx [g(a)[2.72 2. Continuidad y lmite funcional.Sea fn la sucesin decreciente de funciones continuas dada porfn(x) :=_xnsi x [0, 1]1 si x [1, 2]n N.Probar que fn es |.|1-Cauchy utilizando que_20[ fn+h fn[ _10fn =1n+1.Para demostrar que dicha sucesin no es convergente en (C[0, 2], |.|1), obsrvese quesiffuese la funcin lmite, entonces para cada 0 < a < 1 se tendra0 _a0[ f [ _a0[ fn[ +_a0[ fn f [ a fn(a) +| fn f |10,de donde se deduce quef (a) = 0 y por continuidadf (1) = 0.Por otra parte0 _21[1 f [ =_21[ fn f [ | fn f |10obliga a quef (1) = 1.iii) Para cada natural n basta considerar la funcinfn(x) :=_ nx +1 si x [0, 1n]0 si x [1n, 2]Tambin se puede usar que la norma | | es completa y | |1 no lo es.2.4Probar que la sucesin de funcionesfn(x) :=_1+ xn_n, x R, n Nygn(x) := n_nx 1_, x R+, n Nconvergen puntualmente en su dominio pero no uniformemente.Probar tambin que convergen uniformemente en todo intervalo compacto.Indicacin: sese la desigualdad entre la media geomtrica y aritmtica para probar lamonotona de la sucesin y aplquese el Teorema de Dini. En el segundo caso puedecalcularse |gn| (en acotados) derivando.2.5a) Constryase una sucesin fn de funciones en la esfera unidad de C[0, 1] tal que| fp fq| = 1,p ,= q.Indicacin: Tmese, por ejemplo,f1(x) :=___1 si x [0, 12]2(x 1) si x [12, 1], f2(x) :=___1 si x [0,122]22(x 12) si x [ 122, 12]0 si x [12, 1].Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 73b) Es compacta la bola unidad cerrada de C[0, 1]?2.6Sea A un subconjunto de un espacio de Banach. Probar que equivalen lassiguientes armaciones.i) A es completo.ii) A es cerrado.2.7Probar que el cierre de un subespacio de un espacio normado es un subespacio y quelos subespacios de RNson cerrados.Indicacin. Vase el Ejercicio 2.6.2.8Prubese que no existe ms espacio normado de dimensin N que RNcon una conve-niente norma. Es decir, si (X, |.|) es un espacio normado de dimensin N, entoncesexiste una norma [[[ . [[[ en RNy una biyeccin linealf : (X, |.|) (RN, [[[ . [[[)isomtrica (i.e., [[[ f (x)[[[ =|x| para todo x en X). Dedzcase que en todo espacio nito-dimensional hay una nica topologa que proceda de una norma.Indicacin: Seaf: X RNuna biyeccin lineal (descrbase!). Basta comprobar que[[[ f (x)[[[ :=|x| es una norma en RN.2.9Sea N un nmero natural y sean 0, 1, ..., N nmeros reales distintos. En el espaciovectorial X de todas las funciones polinmicas de grado menor o igual que N denimos:| f | :=Nk=0[ f (k)[, ( f X).Probar quei) | | es una norma en X.ii) La topologa que genera esta norma no depende de la eleccin de los reales k.iii) Una sucesin pn en X converge uniformemente en un intervalo [a, b] si, y slosi, existen N +1 nmeros reales distintos del intervalo [a, b], 0, 1, ..., N, talesque pn(k) converge para k = 0, 1, ..., N.Indicacin. sese que si N es un nmero natural, x0, ..., xN son nmeros reales distintosyy0, ..., yNsonnmerosrealescualesquiera, existeunnicopolinomiopdegradomenor o igual que N tal queyi := p(xi) para i = 0, 1, ..., N.74 2. Continuidad y lmite funcional.De hecho el polinomio p viene dado por la expresinp(x) =Ni=0yir,=i(x xr)r,=i(xixr).2.10Sean Mun subespacio vectorial de (RN, ||) y x0 RN. Probar que existem0 M que materializa la distancia de x0 a M, es decir,|x0m0| = dist (x0, M) := inf|x0m| : m M.(Se dice que los subespacios de RNson proximinales, por vericarse lo anterior).Indicacin: Justicar la existencia de una sucesin acotada mn en M tal que|x0mn| dist (x0, M).2.11Sea M un subespacio propio de RN. Probar que existe un vector x de la esfera unidadtal que dist(x, M) = 1.Indicacin: Sea x0RNM y sea m0M tal que |x0m0| =dist (x0, M). Considerarel vector normalizado de x0m0.2.12Probar que todo espacio normado X es homeomorfo a su bola abierta B(0, 1), es decir,existe una biyeccin bicontinua (continua con inversa continua) de X sobre B(0, 1).Indicacin: Vase el Ejercicio 1.5.2.13Sean E, F espacios mtricos, A E yf : A F una funcin. Probar que sifconservalas sucesiones convergentes, entoncesfes continua.2.14Sea (E, d) un espacio mtrico. Prubese quei) La distancia d : E E R es continua.ii) Si A E es un subconjunto no vaco, denimosdist(x, A) = infd(x, a) : A (x E).Prubese que la funcin x d(x, A) es continua en E. De hecho, la armacinanterior es consecuencia de la siguiente desigualdad:[dist(x, A) dist(y, A)[ d(x, y), x, y E.Acosta, Aparicio, Moreno y Villena 752.15Sea A un subconjunto no vaco de un espacio mtrico (E, d). Se dene el dimetro deA comodiam (A) = supd(x, y) : x, y A R+0 +.Prubese que:1. diam (A) =diam (A).2.A=x E : dist(x, E A) > 0 y A =x E : dist(x, A) = 0. Deducir queen un espacio mtrico todo conjunto abierto se puede expresar como una uninnumerable de conjuntos cerrados y que cada conjunto cerrado se puede expresarcomo una interseccin numerable de abiertos.3. Si x es un vector de un espacio normado y r > 0, entonces B(x, r) = B(x, r) ydiam (B(x, r)) =2r. Son ciertas las anteriores igualdades para un espacio mtri-co cualquiera?Indicacin: Usar el Corolario 2.48 y el Ejercicio 2.14.2.16Lema de Uryshon para espacios mtricos.SeanAyBsubconjuntosnovacos,cerradosydisjuntosdeunespaciomtricoE.Probar que existe una aplicacin continuaf : E R vericando:0 f 1 , f (A) =0 , f (B) =1.Deducir que existen subconjuntos abiertos U,Vde E tales que:A U, B V, U V = / 0.Indicacin: Considrese la funcinf (x) =dist(x, A)dist(x, A) +dist(x, B)(x E).Para probar la continuidad de esta funcin, sese el Ejercicio 2.14.2.17Decimosqueunafamiliadesubconjuntosdeunconjuntotienelapropiedad de lainterseccin nitasilainterseccindecualquiersubfamilianitatieneinterseccinno vaca. Probar que un espacio topolgico Kes compacto si, y slo si, toda familiaFiiI de cerrados de K tal que iI(Fi) = / 0 no verica la propiedad de la interseccinnita.2.18Prubesequeunafuncinreal f C1[a, b]esuniformementecontinua. Dehecho,existe una constante M 0 tal que[ f (y) f (x)[ M[y x[, x, y [a, b].Indicacin: Teorema del valor medio.76 2. Continuidad y lmite funcional.2.19SeaAunconjuntonocerradodeunespaciomtrico(E, d). Probarqueexisteunaaplicacin continuaf : A R que no es uniformemente continua.Indicacin: Fijado x0 AA, considerar la funcinf (a) :=1d(a, x0), (a A)y utilizar el Ejercicio 2.14.2.20Seaf : RRR la funcin denida por:f (x, y) = (x +y)senxseny.i) Estudiar la existencia de lmite de la funcinf en los puntos (0, 0), (0, 1) y (0, ).ii) Esfuniformemente continua?2.21Lmite a lo largo de una curva.Sean E, Fespacios mtricos, A un subconjunto de E, un punto de acumulacin deA yf: A F. Sea : [0, 1] E una aplicacin continua vericando que (]0, 1[) A y (0) =. Probar que si existe el lmite limx f (x), entonces existe el lmitelimt0 f ((t)) y ademslimx f (x) = limt0 f ((t)).2.22Lmites iterados.Sean I, J intervalos de R que tienen a 0 como punto de acumulacin,A = I J (0, 0) yf : A R. Consideremos las siguientes armaciones:a1) [x I 0 limy0 f (x, y) := f1(x)a2) [y J 0 limx0 f (