Analisis III
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1
INTRODUCCION
El presente trabajo muestra el desarrollo de ejercicios de integrales dobles y triples en el
programa Matlab. Este programa es un avanzado software de trabajo matemtico, ideado con
la finalidad de mejorar las habilidades cientfico- tcnicas del estudiante. Es importante agregar
adems que Matlab es un potente lenguaje industrial, orientado a la resolucin de problemas
del mundo real, pertenecientes al entorno de la ingeniera y a la investigacin bsica.
En este sentido, usando el programa Matlab, se presentar la solucin de diez ejercicios
diversos sobre integrales dobles y triples, demostrando as la gran utilidad de dicho programa
para solucionar problemas del curso de Anlisis Matemtico III.
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2
OBJETIVOS
Afianzar los conocimientos sobre el tema de integrales dobles y triples.
Mostrar mtodos para calcular integrales dobles y triples en Matlab
Profundizar en el conocimiento y uso de Matlab
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3
EJERCICIOS DE INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES USANDO MATLAB
I. INTEGRALES DOBLES
1. Calcular la integral 18 + + 36
Donde R: 2 + 18 = 1 ; 362 + 2 = 1
Graficos
clear
clc
x= -4:0.1:4;
y=-5:0.1:5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f1= (X.^2)+(18*Y.^2)-1;
plot3(X,Y,f1);
surf (X,Y,f1);
hold on
x1= -4:0.1:4;
y1=-5:0.1:5;
[X1,Y1] = meshgrid(x1,y1);
f1= (36*X1.^2)+ (Y1.^2)-1;
plot3(X1,Y1,f1);
surf (X1,Y1,f1);
-
4
Solucion
clear
clc
syms x y;
-
5
f= input ('Digite funcin a integrar=');
F= inline (char(f)) ;
a = input ('desde (y):');
b = input ('hasta (y): ');
a1 = input ('desde (x): ');
b1 = input ('hasta (x):');
F = int (int(f,y,a,b),x,a1,b1)
2. Calcular la integral doble 3 + 3dydx
1
0
Grafica
clear
clc
x= -4:0.1:4;
y=-5:0.1:5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f1= (X.^3)+(Y.^3);
plot3(X,Y,f1);
hold on
-
6
Solucin
clear
clc
syms x y;
f= input ('Digite funcin a integrar=');
F= inline (char(f)) ;
a = input ('desde (y):');
b = input ('hasta (y): ');
a1 = input ('desde (x): ');
b1 = input ('hasta (x):');
F = int (int(f,y,a,b),x,a1,b1)
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3. Calcular el rea bajo la curva 2y= x ; x+y = 3, y=0
Grfico
x = -4:0.01:4;
f1=(x.^2)./2;
plot(x,f1)
hold on
f2=(3-x);
plot(x,f2)
f3=0;
plot(x,f3)
hold on
-
8
Solucion
clear
clc
syms x y;
f= input ('Digite funcin a integrar=');
F= inline (char(f)) ;
a = input ('desde (y):');
b = input ('hasta (y): ');
a1 = input ('desde (x): ');
b1 = input ('hasta (x):');
F = int (int(f,y,a,b),x,a1,b1)
-
9
Simplificando
F= 12.3468
4. Calcular el rea bajo la curva = + ; = ; =
Grfico
Clc
Clear
x = 0:0.1:4;
f1=x.^2+a;
plot(x,f1)
hold on
f2=8;
plot(x,f2)
x = 0:0.1:5;
f3=0;
plot(f3,x)
-
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Solucion
clear
clc
syms x y;
f= input ('Digite funcin a integrar=');
F= inline (char(f)) ;
a = input ('desde (y):');
b = input ('hasta (y): ');
a1 = input ('desde (x): ');
b1 = input ('hasta (x):');
F = int (int(f,y,a,b),x,a1,b1)
-
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5. Calcular la integral definida por 2 + 2 , sabiendo que
0
-
12
Solucion
clear
clc
syms x y z;
f= input ('Digite funcin a integrar=');
F= inline (char(f)) ;
a = input ('desde (y):');
b = input ('hasta (y): ');
a1 = input ('desde (x): ');
b1 = input ('hasta (x):');
a2= input ('desde (z):');
b2= input ('hasta (z):');
F = int(int (int(f,y,a,b),x,a1,b1),z,a2,b2)
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6. Calcular el volumen del solido por debajo del paraboloide: z= x+y
Encima del plano xy y debajo del cilindro x+y=2x
Grfico
[x,y]=meshgrid(0:.1:10,0:.1:10);
z1=sqrt(2.*34.*x-x.^2);
plot3(x,y,z1,'b')
hold on
z2=sqrt(x.^2+y.^2);
plot3(x,z2,y,'y')
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Solucin
Calculamos la integral del volumen generado por las superficies:
syms y z
I=int(int(sqrt(34.^2-y.^2)+34-sqrt(z.^2-y.^2),y,0,z),z,0,34)
ans =
I= (19652*pi)/3 + 19652/3
(19652*pi)/3 + 19652/3
ans =
2.7130e+004
2.7130e+004
ans =
27130
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7. Calcular
2+2+(2) donde D es el cilindro x+y 1 , -1 z 1.
Grfico
>> cylinder (1,40); axis square; colormap([.0 1.0 .0])
Solucion
Pasando a coordenadas cilndricas
X= rcos()
Y= rsen()
Z=z
J(r,,z) =r
D : { (r,,z)/ 0 r1 ; 0 2pi ; -1z1}
Calculando la integral usando Matlab
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Simplificando:
F= 3.675
8. Encontrar el momento de inercia respecto al eje Z del slido homogneo dentro del
paraboloide x+y= z, p es la densidad del volumen constante K slug/p
Iz = (2 + 2)
Transformando a coordenadas cilndricas
X= rcos()
Y= rsen()
Z=z
J(r,,z) =r
Iz =
Donde:
R
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Entonces
F= k
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9. Si D es la regin limitada por dos planos x=1 , x=2 y poe los cilindros y+z=4 , y+z=9
Calcular exp ()2 + dydz
Grfico
>> cylinder (2,40); axis square; colormap([.0 1.0 .0])
>> hold on
>> cylinder (3,40); axis square; colormap ([.0 .5 .0])
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Solucin
Pasando a coordenadas cilndricas
y= rcos()
z= rsen()
x=x
J(r,,z) =r
La integral nueva sera
exp () drd
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Conclusiones
Despus de resueltos los ejercicios, se puede observar la versatilidad del software Matlab ya que
los problemas aqu resueltos se han tratado tanto por ventanas de script ejecutables en funcin
como por funcin directamente (en general, para los grficos). Igualmente, se puede agregar
que se ha aprendido ms sobre cmo grficar funciones en 2D y 3D. Por ejemplo, se observa
que para graficar funciones en tres dimensiones se utiliza el comando plot3 y para graficar
funciones en 2D se emplea solamente plot.
Por otro lado, tambin se ha podido observar ciertas limitaciones de Matlab en el
comando int de integracin, ya que ciertas integrales no arrojaban un resultado cuando se
digitaban en el programa. Por este motivo, se recurri a la transformacin a coordenadas
cilndricas, afianzando as los conocimientos del curso Analisis Matemtico III.