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UNIVERSIDAD NACIONAL DECAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
INTEGRAL MULTIPLE
CURSO : ANÁLISIS MATEMÁTICO III
DOCENTE : ING. HORACIO URTEAGA BECERRA
ESTUDIANTES:
CHUQUIRUNA CHÁVEZ MARVICK ALAIN RAMIREZ CHÁVEZ ANTONY
SOLANO VARGAS DIEGO RENATO
CAJAMARCA, SEPTIEMBRE DEL 2015
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INTEGRAL MULTIPLE
INTRODUCCION
En este capítulo se introduce el concepto de integrales dobles sobreregiones en el plano.
Se puede aproxiar el !oluen de una regi"n s"lida encontrando lasua de los !ol#enes de prisas rectangulares representati!os.$oo auenta el n#ero de prisas rectangulares% la aproxiaci"ntiende a ser &s ' &s exacta. En el in(ore se aprender& a usarintegrales #ltiples para encontrar el !oluen de una regi"n s"lida.
OBJETIVOS
Resol!er los e)ercicios en clase% utili*ando los distintosso(t+ares aprendidos coo son el ,eri!e% Mat-cad% Auto$A,.
Utili*ar los prograas para representar las gr&cas de lassupercies ' solidos de una anera &s entendible.
AN/LISIS MATEM/TI$0 III 1
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INTEGRAL MULTIPLE
PROBLEMA 1: Resol!er2
∫−1
0
∫0
1
( x3 y3+3 x y2)dydx
S0LU$I3N
14 II,5 ∫−1
0
∫0
1
( x3 y3+3 x y2)dydx
64 Regi"n de integraci"n2
74 II,5
∫−1
0
∫0
1
( x3 y3+3 x y2)dydx=−9/16
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INTEGRAL MULTIPLE
PROBLEMA 2: Resol!er
∫0
1
∫0
1 xy
√ x2+ y2+1dydx
S0LU$I0N
14 II, 5 ∫0
1
∫0
1
xy
√ x2+ y2+1dydx
64 Regi"n de integraci"n2
74 II, 5 ∫0
1
∫0
1 xy
√ x2+ y2+1dydx
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INTEGRAL MULTIPLE
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INTEGRAL MULTIPLE
PROBLEMA : Resol!er
∫0
1
∫−√ 1− x2
√ 1− x2
3 y dydx
S0LU$I3N
14 II, 5 ∫0
1
∫−√ 1− x
2
√ 1− x2
3 y dydx
64 Regi"n de integraci"n2
74 II, 5 ∫0
1
∫−√ 1− x
2
√ 1− x2
3 y dydx
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INTEGRAL MULTIPLE
PROBLEMA !:
A: Resolver
∬ R
❑1/ x dA
S0LU$I3N
14 II,5 ∬ R
1/ x dA
64 Regi"n de integraci"n2 R={( x , y )/ y2≤ x ≤ y4∧1< y<℮ }
74 II,5 ∬ R
❑
1/ x dA , dA=dxdy
AN/LISIS MATEM/TI$0 III :
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INTEGRAL MULTIPLE
B: Resolver
∬ R
❑
x2 y √ 1− x3− y3dA
S0LU$I3N
14 II,5 ∬ R
❑
x2 y √ 1− x3− y3dA
64 Regi"n de integraci"n2 R={( x , y )/ x ≥0, y ≥0∧ x3+ y3≤1 }
74 II,5
∬ R
❑
x2 y √ 1− x3− y3dA ,dA=dxdy
II D=∫0
1
∫0
3
√ 1− y3
x2 y √ 1− x3− y3dxdy
AN/LISIS MATEM/TI$0 III ;
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INTEGRAL MULTIPLE
PROBLEMA ". <allar el !oluen del solido =ue esta deba)o de la supercie
f ( x , y )= x2+ y2
' sobre el rectangulo R5>?6%6@ x >?7%7@
S0LU$I0N
14 Gr&co del S"lido2
S2 f ( x , y )= x2+ y2
Sea z= f ( x , y )→ z= x2+ y2
⇒ Paraboloide de re!oluci"n o
circular
Si2 x=0→ z= y2
Si2 y=0→ z= x2
Si2 z=0→x=0∧ y=0
Si2 z=k → x2+ y2=k
64 oluen2
dV = z dydx →dV =∬ R
❑
z dydx
R= {( x , y ) /−2≤ x ≤2∧−3≤ y ≤3}
AN/LISIS MATEM/TI$0 III B
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INTEGRAL MULTIPLE
V =∫−3
3
∫−2
2
x2+ y2 dxdyV =∫−3
3
23
3+2 y2+ 2
3
3+2 y2dy
x3
3+ y2∗ x
¿¿
¿−22dy¿
V =∫−3
3
¿
V =¿
16
3 y+
4 y3
3¿¿¿
V =104unid 3
PROBLEMA #. $alcular el !oluen deliitado por las supercies2
z=1− x2∧ $ilindro parabolico
y= z∧ Plano
x=0∧ Plano CD
z=0∧ Plano C
y=5 Plano paralelo a D
S0LU$I0N
14 GRAFI$0 ,EL S3LI,02
AN/LISIS MATEM/TI$0 III
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INTEGRAL MULTIPLE
dV = (5− y ) dzdx
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INTEGRAL MULTIPLE
64 oluen del s"lido2
dV = (5− y ) dzdx→V =
∬ R
❑
(5− y ) dzdx
V =∫0
1
∫0
1− x2
(5− z ) dzdx
V =∫0
1
[5 z− z2
2 ]0 z
dx
V =5 [ x− x3
3 ]01
−1
2∫0
1
(1+ x4−2 x2 ) dx
V =5( 23 )−1
2 [1+ 1
5−
2
3 ]V =
46
15unid3
PROBLEMA $: <allar el &rea de la regi"n plana liitada por la recta y= x−1 ' la par&bola y
2=2 x+6 .
S0LU$I3N
14 Gr&ca de la regi"n R
L: y= x−1
C : y2=2 x−6
x=1
2 y2−3 Par&bola de e)e -ori*ontal ' !Jrtice v=(−3,0) 4
L∩C : y+1= y 2
2−3
y=−2∧ y=4
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INTEGRAL MULTIPLE
R={( x , y )/ y2
2−3≤ x ≤ y+1∧−2≤ y ≤4 }
64 /rea de la regi"n R.
A ( R)=∬ R
❑
dA=∫−2
4
∫ y
2
2
−3
y+1
dx .dy
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INTEGRAL MULTIPLE
74
∬ R
dA=18un d2
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INTEGRAL MULTIPLE
PROBLEMA %: <allar el &rea de la regi"n plana liitada por las gr&cas de
las (unciones y= x3−2 x y=6 x− x3
S0LU$I3N
14 Gr&ca de la regi"n R.
C 1 : y= x3−2 x= x ( x2−2 )= x ( x−√ 2)( x+√ 2)
y' =3 x2−2=0
3( x2−
2
3)=0
3( x−√2
3)( x+√2
3)=0
K K
−√2
3
√2
3
Existe &xio4 Existe ínio4
C 2: y=6 x− x3=− x ( x2−6 )=− x ( x−√6)( x+√ 6)
y' =6−3 x2=0
? 3( x2−2)=0
−3 ( x−√2)( x+√2)=0
K
−√ 2 √ 2
Existe &xio4 Existe ínio4
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INTEGRAL MULTIPLE
C 1∩C 2: x3−2 x=6 x− x3
2 x3−8 x=0
x=−2,0,2
R={( x , y )/≤ x ≤2∧ x3−2 x ≤ y ≤6 x− x3 }
64 /rea de la regi"n R2 AR4
A ( R)=2.∬ R
❑
dA=2.∫−2
4
∫ x
3
−2 x
6 x− x3
dy.dx
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INTEGRAL MULTIPLE
74
2.∬ R
❑
dA=16un d2
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INTEGRAL MULTIPLE
PROBLEMA &: E!aluar la integral ∬ xydA en la regi"n R descrita a
continuaci"n.
S0LU$I3N
14
IID=∬ R1
❑ xydA+∬
R2
❑ xydA+∬
R3
❑ xydA
IID=∫−1
0
∫−1
1+ x2
xydydx+∫0
1
∫√ x
1+ x2
xydydx+∫−1
0
∫0
y2
xydxdy
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INTEGRAL MULTIPLE
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INTEGRAL MULTIPLE
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INTEGRAL MULTIPLE
64
∬ R1
xydA+∬ R2
xydA+∬ R3
xydA=0
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INTEGRAL MULTIPLE
CONCLUSIONES
Se resol!ieron los e)ercicios utili*ando los di(erentes so(t+ares deapo'o de Mate&tica
Se gracaron las supercies de las (unciones en Auto$A, ' Mat-cad Se gracaron las supercies planas en ,eri!e ' se deterin" la
regi"n sobre&ndola con di(erentes colores.
AN/LISIS MATEM/TI$0 III61