ANÁLISIS GEOMÉTRICO EN ARQUITECTURA

Mª Francisca Blanco Martín

Universidad de Valladolid, Departamento de Matemática Aplicada, España fblanco@maf.uva.es

RESUMEN

El objetivo de esta comunicación es presentar una propuesta didáctica para

relacionar la Geometría con la Arquitectura. Se realiza una introducción teórica de

elementos geométricos con propiedades internas de autosemejanza, como son el

corte sagrado de un cuadrado, los rectángulos de oro y diagonales y

posteriormente los estudiantes realizan un estudio y análisis sobre la presencia de

tales elementos en algunas obras notables de arquitectura del siglo XX, como la

biblioteca de Exeter de Kahn, la casa Schöder de Gerrit Rietveld, la casa

Tugendhat de Mies Van der Rohe. En el estudio y análisis de las obras

presentadas se ha utilizado el programa de diseño AutoCad.

Palabras-clave: :Proporción, ritmo, orden, germen morfológico.

ABSTRACT

The aim of this communication is to present a didactic propose to relate Geometry

and Architecture. We give a theoretical introduction of simple geometrical elements

with internal properties of auto similarity, such as the sacred cut of a square, the

diagonal rectangles, the golden rectangles and then the students realize a study

and analysis on the presence of such elements in some building of architecture of

the XXth century, as Exeter’s library due to Kahn, the Schöder house’s work of

Gerrit Rietveld, the Tugendhat house’s of Mies Van der Rohe. In the study and

analysis of the presented works there has been in use the program of design

AutoCad.

Key-words: Proportion, rhythm, order, genesis morphological.

1 Introducción

Recordamos las construcciones geométricas de los rectángulos diagonales y de oro así como

la construcción del corte sagrado de un cuadrado [1]. Aplicamos los conceptos anteriores para

analizar tres edificios correspondientes a arquitectos del siglo XX, Biblioteca Exeter de Louis

Kahn, casa Tugendhat de Mies van de Rohe y casa Schöder de Gerrit Rietveld.

1.1 Rectángulo 2

Dado el cuadrado, que notamos por ABCD, de lado 1, su diagonal AC mide 2 . Con centro en

el vértice A del cuadrado y radio la diagonal AC, se traza un arco de circunferencia hasta cortar

a la prolongación del lado AB, en el punto E. Por E se traza la perpendicular a AE hasta la

intersección con la prolongación del lado CD.

El rectángulo AEFD tiene proporción 2 , sus lados miden 1 y 2 (Figura1).

Figura 1: Rectángulo 2 .

1.2 Rectángulo áureo.

Dado un cuadrado ABCD de lado 1, se traza el arco de centro M, punto medio del lado CD, y

de radio MA = MB, hasta el punto P (o R), intersección con la prolongación del lado CD.

Figura 2: Rectángulos de oro.

Se traza la perpendicular a la recta DC por el punto P, (o por el punto R), hasta la prolongación

del lado AB, se cortan en el punto Q, (o en el punto S). Los lados del rectángulo CPQB (y

ASRD) miden 1 y 2

51+=ϕ , número de oro, rectángulo de proporción ϕ, que llamamos

rectángulo áureo. Si realizamos dos veces la construcción anterior a ambos lados del cuadrado

obtenemos dos rectángulos áureos que poseen en común el cuadrado inicial. Además el

rectángulo total obtenido con esta construcción tiene proporción 5 (Figura 2).

El rectángulo áureo CPQB se ha construido añadiendo al cuadrado original ABCD un

rectángulo BQPC, de lados ϕ -1 = ϕ − 1, y 1, que también es áureo. O bien, si al rectángulo

áureo CPQB, le restamos un cuadrado obtenemos otro rectángulo áureo.

1.3 Corte sagrado de un cuadrado

Construiremos una sucesión de cuadrados, de tal manera que dos términos consecutivos

tienen sus lados en proporción el número de plata ϑ = 21+ .

En un cuadrado ABCD de lado 1, se trazan los cuatro arcos de circunferencia, con centro

en cada vértice del cuadrado y radio la mitad de la longitud de la diagonal, es decir 2/2 .

Estos arcos determinan en los lados del cuadrado los puntos A’, A’’,B’, B’’, C’, C’’, D’, D’’. Las

rectas A’’B’, D’C’’, y las rectas C’B’’, D’’A’, se cortan en los puntos a, b, c, y d, que determinan

el cuadrado corte sagrado del cuadrado original. El proceso puede continuarse haciendo el

corte Sagrado del cuadrado abcd de lado ϑ −1= 2 1− , obteniendo el cuadrado corte sagrado

asociado cuyo lado será ϑ −2, etc. Es decir, tomando como semilla un cuadrado de lado 1,

realizando la iteración de su corte sagrado, obtenemos otro cuadrado de menor lado, tal que

cada dos términos consecutivos de la iteración están en proporción el número de plata ϑ

(Figura 3). De manera análoga puede efectuarse la construcción de una sucesión creciente y

externa de cuadrados a partir de uno dado con las mismas propiedades.

Figura 3: Corte sagrado de un cuadrado.

2 Biblioteca Exeter de Louis Kahn

Según Louis Kanh la misión del arquitecto es reflejar la naturaleza del edificio, qué quiere ser y

su función, en este caso, la relación del libro con la persona. Para lo cual se hace las

preguntas: el “qué” y el “cómo”. La forma es el “qué” y el diseño el “cómo”.

El “qué”, es la forma. La forma entendida desde el punto de vista del mundo de las ideas

platónicas. La idea más importante es el orden, el último responsable de la forma, y por

supuesto, el orden viene dictado por la geometría. Es el momento en el que comienza la

arquitectura. El “cómo” se refiere al diseño, al proyecto.

2.1 Sección

En el estudio de la sección de la Biblioteca para la Universidad de Exeter, descubrimos en su

composición el corte sagrado de un cuadrado (Figura 4).

Figura 4: Coronación de la cubierta de la Biblioteca para la Universidad de Exeter

Partiendo del cuadrado central construimos el corte sagrado y vemos como la línea

superior coincide con la coronación de la cubierta. Del mismo modo, la línea inferior se

corresponde con el forjado de la primera planta o planta noble. A partir de ella empieza a crecer

el edificio. Respecto a las líneas laterales, prácticamente coinciden con la zona de almacenaje

de los libros. Prolongando las líneas del cuadrado obtenemos los límites del lucernario

superior.

Figura 5: Corte sagrado

En resumen, las franjas menores del corte sagrado corresponden, en horizontal la de abajo,

a las dos primeras plantas, y la de arriba a la planta de cubierta y el lucernario; en vertical

corresponden a la zona de almacenaje de los libros (Figura 5).

2.2 Plantas

Se trata de una planta cuadra cuyas esquinas aparecen en chaflán. Al igual que en la sección,

la planta se divide en tres zonas concéntricas. La externa, zona de lectura, iluminada por la luz

que recibe directamente del exterior, la zona intermedia de almacenaje de libros y finalmente la

zona central, cuadrado vacío central (Figura 6).

Figura 6: Planta quadra.

El espacio central (cuadrado azul) se corresponde con el corte sagrado del cuadrado (rojo),

que marca los límites de la planta. En planta baja podemos interpretar el lucernario como un

corte sagrado del cuadrado que engloba a las zonas de almacenaje de libros. Podemos

inscribir en la planta un octógono regular, observando cómo los cuatros núcleos de servicios

apoyan uno de sus vértices en el punto medio de cuatro lados de dicho polígono (Figura 7).

Figura 7: Planta quadra e corte sagrado.

Dividiendo la planta en tres franjas iguales, horizontales y/o verticales, se observa como

cada una de ellas está formada por dos rectángulos áureos. Cada una de las zonas cuya

finalidad es almacenar los libros, está compuesta de dos rectángulos raíz de dos (Figura 8).

Figura 8: Rectángulos áureos y rectángulos raíz de dos.

3 Casa Tugendhat de Mies Van der Rohe

La arquitectura de Mies, uno de los maestros más importantes de la arquitectura moderna, se

caracteriza por la maestría en el uso de las proporciones y en la elegancia exquisita de los

materiales utilizados.

En la construcción de la casa Tugendhat, tiene en cuenta la pronunciada pendiente del

terreno, de tal modo que cuando se accede a la casa sólo se percibe una de las tres plantas,

que ofrece una vista panorámica de toda la ciudad.

En el nivel inferior se ubicó la cocina, el comedor, delimitado por una pared curva de

madera, y la sala de estar dividida en dos por una partición de ónice.

3.1 Alzado principal al jardín

El contorno total está formado por dos rectángulos áureos. El cuadrado que forma el rectángulo

de la izquierda marca el inicio del módulo de las habitaciones de la planta superior (Figura 9).

El volumen de la escalera está construido a partir de dos rectángulos áureos, coincidiendo uno

con la terraza de la parte inferior y el otro con la bajada de la escalera (Figura.10).

Figura 9: Módulo de las habitaciones Figura 10: Volumen de la escalera

Figura 11: Las ventanas Figura 12: Rectángulos ¥�

En cuanto a las ventanas observamos que las fijas se corresponden con rectángulos

áureos (Figura 11) y las ventanas móviles con rectángulos ¥��� /D� GLYLVLyQ� GH� HVWDV� ~OWLPDV�siguen la construcción de dicho rectángulo a partir del cuadrado correspondiente (Figura 12).

3.2 Planta de acceso

El contorno de la planta podemos interpretarlo como un rectángulo diagonal o ¥���)LJXUD������La zona edificada está formada por un cuadrado (rojo) y un rectángulo áureo (azul) (Figura 14).

Figura 13: Rectángulo diagonal o ¥�� Figura 14: Cuadrado y rectángulo áureo.

Si realizamos la división interior del rectángulo áureo, hasta el orden cinco, en sucesivos

rectángulos áureos comprobamos que la escalera queda enmarcada en el cuadrado del menor.

(Figura 15).

A la planta se le añade un módulo en la parte izquierda que se corresponde con un

rectángulo áureo (azul) y un cuadrado (rojo) (Figura 16).

Figura 15: sucesivos rectángulos áureos Figura 16: rectángulo áureo y cuadrado

4 Casa Schröder de Gerrit Rietveld

El ejemplo más brillante de arquitectura neoplasticista es la casa Schröder del arquitecto Gerrit

Rietveld, que parte de la forma como belleza, de formas cuadradas y rectangulares

combinadas de manera aparentemente aleatoria, pero observamos en la composición de tales

formas la presencia de proporciones, como la proporción áurea.

Realizamos un análisis gráfico sobre los planos de la casa, centrándonos sobre todo en las

proporciones de los tres alzados y una planta, ya que el resto de plantas presentan escasas

variaciones sobre la estudiada.

4.1 Alzado delantero

El rectángulo áureo recoge la forma general de la fachada. La división áurea del rectángulo nos

marca el nivel del techo de la planta baja y el cierre de la carpintería inferior (Figura 17).

Figura 17: La fachada, el nivel del techo de la planta baja y el cierre de la carpintería.

4.2 Alzados laterales

La geometría de este alzado esta basada fundamentalmente en el cuadrado. Un cuadrado

circunscribe la totalidad de la fachada incluyendo el lucernario superior, si trazamos la diagonal

A-B de ese cuadrado y una perpendicular a esa diagonal por el punto 1 descubrimos que el

paramento ciego de la fachada es otro cuadrado (Figura 18).

Figura 18: El paramento ciego de la fachada

En este alzado se juega con dos sistemas de proporciones, por un lado, al igual que el

alzado anterior, su forma se inscribe en el cuadrado A-B-C-D, la diagonal B-C marca el

comienzo de las barandillas de la terraza (Figura 19).

El lienzo opaco de fachada se inscribe dentro de un rectángulo áureo.

Figura 19. Vista del alzado lateral a la calle

En resumen, los dos alzados laterales forman un cuadrado inicial que inscribe a ambos,

mientras que el alzado frontal forma un rectángulo áureo.

4.3 Análisis de la planta de la casa.

Al igual que en el alzado frontal, la composición de la planta de la casa Schröder, se enmarca

en un rectángulo áureo que contiene los muros de cerramiento exterior y la terraza de la parte

derecha de la planta (Figura 20).

Figura 20: La casa Schröder: planta 1

Si tomamos ahora el punto medio del cuadrado base del rectángulo áureo original y

construimos un cuadrado, A´B´D´C, (Figura 21) el cuadrado construido nos delimita el muro de

la sala de lectura de la casa.

Fig. 21: La casa Schröder: planta 2

Si tomamos ahora este cuadrado A’-B’-C-D’ como base de un rectángulo áureo, delimita la

partición transversal de la planta mediante la colocación de un muro interior y la escalera

(Figura 22).

Figura 22: Fig. 21: La casa Schröder: planta 3

5 Consideraciones Finales

La exposición presentada, forma parte de una experiencia didáctica realizada con los

estudiantes de Arquitectura, con el objetivo de interesarles en el estudio de la Geometría a

través de sus aplicaciones a la Arquitectura, objetivo que pienso hemos conseguido en gran

medida.

El estudio de cada uno de los edificios presentados ha sido realizado por estudiantes,

dirigido y tutelado por mi, como parte de los ejercicios correspondientes a la asignatura de

Geometría en el Arte

Referencias

[1] BLANCO, Mª F., NIETO, E. Rectángulos, cuadrados, orden y belleza. EGraFIA, Actas

del 4º Congreso Nacional y 1ro. Internacional. Rosario, Argentina. Octubre 2004.

[2] BLANCO MARTÍN, M.F.& NIETO, E. Matemática y Diseño: el rectángulo áureo.

[3] Actas del II Congreso Nacional de la Sociedad de Estudios Morfológicos de Argentina-

SEMA, Universidad Nacional de Mar del Plata, Argentina, Octubre 1999.

[4] BLANCO MARTÍN, M.F.& NIETO, E. Morphological Interpretations of the golden

rectangle. In: Proceedings of ISAMA. First Interdisciplinary Conference of the

International Society of The Arts, Mathematics and Architecture. pp 53-60, Universidad del

País Vasco, San Sebastián, Junio 1999.

[5] BLASER, Werner. Mies Van der Rohe. 6ª ed. ed. Basel: Bir Khäuser. 1997

[6] CLARK-M. PAUSA, R. Arquitectura: temas de composición.- Editorial G.G.

[7] CUITS, Aurora, Mies Van der Rohe. Ed. HK. Barcelona, España. 2002.

[8] CHING, F.: Forma espacio y orden. Editorial G.G., 1998.

[9] DREXLER, Arthur Ludwing Mies Van der Rohe ed. Bruguera. Barcelona. 1961

[10] ESTÉVEZ, Sofía, Mies Van der Rohe. Ed. Gustavo Gili, SA. Barcelona. 2002

[11] KUPER, Marijke, G. Th. Rietveld: 1888/1964. The complete works. Ed. Centraal Museum

Utrech. 1992.

[12] NEUMEYER, Fritz, The artless Word: Mies Van der Rohe on the building art. Cambrige,

Massachusets: MIT press 1991.