Analisis Diseno Losas Aligeradas Fundacion

5/13/2018 Analisis Diseno Losas Aligeradas Fundacion

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Primer Encuentro Nacional de Ingenieros de Suelas y EstructurasEscuela Colombian a de Ingenierla - Bagot~ - Septiembre de 1991

ANALISIS Y DISENO DE LOSAS ALIGERADAS DE FUNDACION

Por: Luis Enrique Garcra Reyes (1 JXlejandrO Plirez Silva 121

1.INTRODUCC/ONEI diseno de losas de clmentacion ha sido tradicionalmente uno de los aspectos del diseiioestructural que requieren mayor trabajo y criteria del ingeniero estructural. Entre los aspectos queincrementan esta dificultad se pueden mencionar:

0. EI modelaje rnatemanco del comportamiento de la losa misma.o EI modelaje matemc1tico del comportamiento del suelo.o Inc6gnitas sabre las cargas que [a superestructura aplica sabre la losa.o EI desconocimiento de Ia reaccion del suelo subyacente a la losa.0. EI modelaje de las propiedades reo16gicas del suelo.C La interacci6n sstatlca y dinarnica suelc-fundaclcn-estructura.Tradicionalmente el disefrc, tanto desde el punto de vista geot~cnjco como el estructural, se harealizado uti lizando aproximaciones Que van desde muy burdas hasta algunas muy sofisticadas.Con el fin de despejar algunas de [as incOgnitas mencionadas y cuantlficar [as grados de imprecisi6nen Que se incurre can algunas de las metodologlas tradicionales se han lIevado a cabo desde hacevarios anos una serie de investigaciones en la Universidad de los Andes (Ref.1B, 26, 30, 31, 32 v391 sabre el tema.E[ presente trabajo resume las investigaciones mencionadas y especialmente la investigaci6ndesarrollada en la Ref. 30. Presenta una metodologla para el an~tisis y diseno de losas decimentaci6n, tal como se utilizan en la ciudad de Bogot~ en la zona de suelos blandos. Estas losas,lIamadas tradicionalmente "Iosas flotantes" han sido utilizadas par algunas d6cadas en la ciudad yno ha existido concenso, dentro de la ingenierfa local, acerca de la metodologla mas adecuada paradescribir el comportamiento de este sistema de cimentaci6n y par ende poder fijar parametres dediseno, especialmente desde el punta de vista estructural.Por 1 0 tanto el obletlvo primordial fue el desarrollo de un procedlrnlento para e[ amilisis y diseiio delosas de fundacion para edificios de baja y mediana altura para la zona de suelos blandos de laciudad de Bogot~, tomando en cuenta la lnteracclon suelo-fundaci6n-estructura, tanto astatica comodinamica, e incluyendo, los efectos de deformaci6n debido a consotidacion de los estratoscompresibles. Asl mismo permite determinar los etectos de la deformabilidad del suela en larespuesta de la estructura ante deformaciones elastlcas, debidas a la eonsolidaei6n y el eteeto de [aflexibilidad del suelo y la clmentaclon en la respuesta sIsmica de la edificaciOn.

111Socia de la Firma Proyectas y Diserios Ltda. Protesar de la Universidad de los Andes12) Socia de la Firma Proyectos y Disefios Ltda.


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2. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN EL SUELO BAJO FUNDACIONES2. 1 INTRODuce/ONDesde sus inicios la Mec~nica de Suelos ha tenido que depender de la teorta de elasticidad para ladeterminaciOn.de los estados de esfuerzo dentro de una masa de suelo, ya sea debido al pesopropio del material de la masa de suelo 0 a la aplicaci6n de cargas 0 deformaciones al suelo. Lautfllzacien de soluclcnes- de la teorla de alasticidad al suelo tienen la enorme Iimitaci6n de lasuposicion de que los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones, 0 sea que el material eslinealmente elastico, 10cual no se cumple en el suelo en general. Aunque esta misma inconsistenciasa encuentra en otros campos de la inganierla, como as el caso del disefio de estructuras deconcreto reforzado par m~todos de resistencia ultima utilizando metodologlas de anallsls linealmenteal;lsticas; an el caso de mecanlca de suelos la gran mavorra de las soluciones trascendentalasaplicables provenientes de la teorla de elasticidad suponen que el suelo es linealmente elastico yadem;ls homog~neo e lsotreplco. Un suelo nunca cumple estas tres condiciones simulti1neamente.La aparici6n en los ailos recientes de matodologlas que permiten ancontrar soluciones paramateriales lnelasticos, anisotr6picos y no homoqeneos por media de tecnlcas nurnericascomputacionales ha side un avance importante. No obstante el usa indiscriminado de estas tscnlcasnos hace recordar la historia del ingeniero que haee el levantamiento topogrMico de una parcelautilizando brlljula y midiendo las distancias a pasos, I para ealcular posteriormente el area can unaprecisi6n de diaz drgitos utilizando un eomputador l, Las solueionesmuy sofisticadas al problema dedeterminaciOn de esfuerzos en la masa de suelo producen resultados tan buenos como lainformaei6n de que se disponga sabre las propiedades del suelo. Engeneral esta informaci6n sabrelas propiedades del rigidez de los diferentes estratos de suelo as tan escasa, e irnpracisa. que losresultados probablementa contienan al mismo grado de imprecision que las soluciones elasticas.homog~neas e isotr6picas de la teorfa de la elasticidad.A continuaci6n se hace un resumen sobre las metodologlas mas util izadas para determinar losestados de esfuerzo dentro del suelo V sa discuten las caracterrsttcas de deformabilidad de lossuelos necesarias para poder plantear un modele de interacci6n suelo estructura,

2.2 ESFUERZOS INDUC/DOS POR CARGAS APLICADAS EN LA SUPERFIC/E

2.2.7 Soluciones EMsticss Teorfa dfl 80usslnesqJ. V. Boussinesq (1842-1929) dedic6 gran parte de su vida al estudio del estado de esfuerzosdentro de sclidos elasticos. Dentro de los problemas por ~ f rasueltos IRef.61 esta la soluci6n para elestado da esfuerzos en un punta inducido por una carga concantrada aplicada en la superficie de unsolido semi-infinito elasticamente lsotroplco,De acuerdo con la geometrla presentada en la Figura 2-' el esfuerzo vertical producido par la cargapuntual es:

32qy '" --2cos5e2 ' 1 1 " z

(2-1)

Donde:Q '" carga puntual (kg)qy esfuerzo vertical en un solido (kgtcm2)r distancia horizontal entre la carga Val punta donde se evaluan los esfuerzos rem)z profundidad (em)e


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\\\\\ Z\

\\\\\ dq

ESFUERZO EN UN PUNTO A UNA PRQFUND1DAD zBAJO El CENTRO DE UNA CARGA CIRCULAR DE INTENSIDAD qFigura 2-'y utilizando Tane=r/z se puede definir un nuevo t~rmino co.5e = [-I (r2+z2)] 5. Con 10 cual laEcuaci6n 12-') se convierte en:

(2-2)Realizando la integral de esta ecuaci6n sobre un area, es posible determinar igualmente el estado deesfuerzos para un area cargada uniformemente .

TlHJrfa d. WedergaardCuando la masa de suelo consiste en una estratigraHa compuesta par capas de materiales fines ygruesos, 0 un suelo anisotr6pico, la ecuaci6n de Boussinesq no da resultados confiables. Para estetipo de estratigraffas Westergaard (Ref.41) presenta la siguiente ecuaci6n:

Q V (1-2~)/(2-2~)qv = ----~----------------------~~~2wz2 [ (1-2~)/(2-2~) + (r/z)2 ]3/2 (2-3)la cual utiliza la misma nomenclatura que la ecuaci6n de Bousslnesq. AI tamar el coeficiente dePoisson, /J, como cera, se obtiene:

(2-4)

Al igual que la scuaclon de Boussinesq, esta ultima es integrable para acueuos casos en los cualesse tiene un "rea cargada.

- M~todo Unificadolas dos rnetodoloctas anteriores (Boussinesq y Westergaard), las cuales son v!tlidas para un mediaespacio de s61ido homog~neo e lsotropico, no son rigwrosamente aplicables a dep6sitos de suelosnaturales los cuales presentan caractertsttcas de anlsotropta. En general en los sue los debido a esta


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anisatrapla (Ver Ref.45 y 46) los esfuerzos en el suela no se disipan tan marcadamente como 1 0indican las relaciones obtenidas para materiales isatrOpicos.Frohlich IRef.16) investigO la distribuciOn de esfuerzos radiales para casos anisotrOpicos y propusouna formula para calcular el esfuerzo vertical inducido per una carga concentrada en la superficie deun SOlido anlsotreplco semi-infinito. Utilizando la misma nomenclatura de los casos anteriores:

" Q (2-5)

Donde:" '" coeficiente de distribucion de esfuerzosEn la Ref.45 se proponen los siguientes valores para 17;" '" 1.5 - Aproximadamente la solucion de Westergaard para un suelo fuertemente estratificado,reforzado par estratas horizontales multiples e indeformables, con MOdulo de PoissonP"'~ ." '" 2.0 - Suelo estratificado, con estratos de diferentes deformabilidades.17"" 3,0 - Solucion de Bousslnesq, suelo ncrnccenec e isotrOpico." "" 4.0 - Suela homoasnec en que la compresibilidad se reduce con la profundidad, como en elcaso de arenas,

- Grlif icos de NewmarkUtilizanda teorla de elasticidad, Newmark (Ref.2SI desarrollo unos grMicos por medio de los cualeses posible determinar el estado de esfuerzos a cualquier profundidad producido por un area cargada.Por medio de un procedimiemo grafico muy simple es posible determinar la variaclcn en esfuerzo.

- Elementos FinitosUtilizando metodotoqras de elementos finitos es posible encontrar el estado de esfuerzos aun paracasas complejos de perfiles estratificados yean propiedades diversas. Inclusive es posible enalgunos programas utilizar propiedades no lineales del suela.

2.2.2 Evalugcidn de Esfugrzos Bajo Los,,! de Fundacl6nPara el caso de losas de fundaciOn es de gran importancia determinar los esfuerzos en el suela baiola losa pues la formulaciOn de la interacci6n suelo-estructura se realiza en funcion de lasdeformaciones en la rnasa de suelo producidas por los esfuerzos que introduce la los a de tundaci6na la masa de suelo. Adernas la determinacion de las deformacionss debidas a la consolidaci6n delsuelo depende directamente del incremento de esfuerzos sobre el estrato compresible.EI procedimienta consiste en determinar los incrementos de esfuerzo en lugares preseleccionadosbajo la Iosa a diferentes profundidades. Inicialmente esta evaluaciOn 58 puede realizar para unesfuerzo de contacto uniforme, 1 0 cual solo es valido cuando la losa es muy rfgida y garantiza estauniformidad. Una vez se determinan en todos los lugares de la losa los esfuerzos de contactolocales, utillzando el mlsrno procedimiento, se pueden determinar los valores de los incrementos deesfuerzos para la distribuci6n real de esfuerzos de contacto.Se procede de la siguiente rnanera:


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la) Se determinan las coordenadas en planta (xo, Yo) de los lugares de intens donde se quierenevaluar los incrementos de esfuerzo. En general es sutlclenta realizarlo en los lugares donde la losarecibe las caraas de la superestructura. a sea donde las columnas a muros de I; estructura seapovan sabre la losa.IbJ Dependiendo del tipo de suelo y su estratigrafla S8 fija el valor de II a util izar en la EcuaciOn(2-5).Ie) Se define la profundidad maxima de influencia de los incrementos de asfuerzo. La profundidadmaxima debe ser aquella a 101ual no hay variacion apreciable del incremento de esfuerzos. En laRaf.2 se recomienda utilizar una profundidad de 3B a.5B. donde B as el ancho (0 menor dimensiOnen planta) de la losa de cimentaciOn, can un valor preferencial de 4B.Idl La losa se divide en n pequeftos sectores rsctanqulares can dimensiones en planta -1 y bi yeancoordenadas de su centroids (xi> yi'O) localizado en el plano de contacto losa-suelo.Ie) Se define un esfuerzo de contacto promedio q y se calcula 81incremento en esfuerzo causadopor cada uno de los pequenos sectores en los puntas de tnteras par medio de la Ecuaci6n (2-51,suponiendo que hay una carga concentrada can valor Q.2 qaibi en el centr6ide del pequefiosector,EIincremento de esfuerzo en cualQuier lugar de tnteras localizado en las coordenadas (x9, Yo' z)causado por 81sector i. donda :II es la profundldad donde sa Quiera evaluar al estuerzo, sedatermina par media de Is siguiente ecuaci6n:

(2-6)

y

(2-7)Donde:

alto de! sector rectangular i {em)ancho del sector rectangular i (em)esfuerzo en el plano de contacto losa-suelo {kg/em')incremento en esfuerzo en las coordenadas (XOI Yo' z) debido at sector i (kg/em')fI Secalcula el incremento total de esfuerzo en el lugar de Interes par medio de:

(2-8)

Donde:A'll' '" incremento total de esfuerzo en las coordenadas (xo' yo,2) (kg/em')De esta manera es posible encontrar el estado de esfuerzos en al suelo bajo la losa debido a lascargas de la losa.Cuando se conocen los esfuerzos de contacto de la losa sobre el suelo es posible determinar unamejor distribuci6n del incremento de esfuerzos, simplemente introduciendo el valor real de q en laEcuaciOn(2-6). Debido a la flexibilidad de la losa y a las condiciones de frontera, es imposible teneruna distribuci6n uniforme de esfuerzos en el plano de contacto bajo la losa. Por esta raz6n esnecesario corregir, cor media de un procedimiento iterativo los valores del esfuerzo de contacto y deesta manera obtener una mejor evaluacion del incremento de esfuerzos en el suelo.


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2.3 DEFORMACIONES INDUCIDAS POR CARGAS APLICADAS EN LA SUPERFICIE

2.3. 1 De(orm,cionsl ElAstiCilIen /8 Sl.IIwficie5i se conoce el modulo de elasticidad del material. para el rango apropiado de esfuerzos, en todaslas zonas de la masa de suelo, es posible determinar la deformaciOn vertical de la superficie decontacto del suelo con la losa par media de la siguiente ecuaci6n:

Zn= S 4CJr(z)/E.(z) dzo (2-9)Donde0 5 0 (a)Aqr(z)E.(z)Zn

DeformaciOn vertical en la superficie causada par el incremento de esfuerzo (em).DeformaciOn unitaria a la profundidad z.'" Incremento de esfuerzo a la profundidad Z debida a la earga en la suparficie (kg/em').

'" MOdulo de elasticidad del suelo a la profundidad a (kg/em').Profundidad de influeneia de la carsa en superfieie (em].

Altarnativamente euando sa dispone del modulo de subrasante k. en toda la profundidad deinflueneia, es posible utilizar la siguiente ecuaci6n para determinar la deformaei6n Co en lasuperfieie, dado un estado de esfuerzos en suelo como el mostrado en la Figura 22:

n-1Co = (l/zn> 1: [4CJr(zi) (zi+1-zi) / k.(zi) Ii=l (2-10)

12z=o

q

z"cB -------z=38 _

z"'4B _z

VARIACION VERTICAL DEL E5TADO DE ESFUERZOS BAJO UNA CARGAFigura 22

Donde:k.(a)4CJr(z)zian0 50

k. de acuerdo con la profundidad z (kg/em3)4Q'l' de aeuerdo con la profundidad z.profundidad del punta i (crnl

'" profundidad maxima de evaluacion de esfuerzos terrildeflexi6n en la superficie (ern)


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Cuando el valor dek.es constante can la profundidad la EcuadOn 12-101se convierte en:60.. AqTm. / k.Donde:

(2-11)

.. esfuerzo promedio en el suelo (kg/em')'o sea:

n-14q~ = (l/an) E [qT(ai) (zi+1-ai)i-1 (2-12)

2.3.2 OfltflfminBci6n dtl Mddulo deSubrasantfl

EI modulo de subrasante, x. ' es ta relaciOn entre la presion sabre el suelo y 18deflexi6n que seabtiene en el suelo. En la Figura (2-3) se muestran los resultados de un ensavo de placa sabre elsuela.Por definiciOn el valor de x. se obtiene de la siguiente relaci6n:

(2-l3)

Donde:q6 esfuerzo sabre el suela (kg/cm

2)deflexiOn (em)Iq If

II '"'"'"'";- ' "I '"/" '"-I I '"I '" Ks q/d'" =/" '"'"" '"'"/" '"/"'" d? - ' "

DETERMINACION DEL MODULO DE SUBRASANTE A PARTIR DE LACURVA ESFUERZQ-DEFLEXION DE UN ENSAYQ DE PLACAFigura 2-3

Es evidente que Ie valor de x. depende de los valores de q y de 6, pues como puede verse en laFigura (2-3) la relacion es no-lineal, por 10 tanto el valor del mOdulo va a depender del rango deesfuerzos y de 51se tama como el m6dulo secante 0 como el modulo tancente.La realizaei6n de un ensaya de placa no es una labor fadl, excecto para placas muy pequefias,debido a la carga de reacciOn que se necesita para el ensayo. Aun para placas rnuv pequefias de 45a 75 em de diarnetro el valor de c 5 es diffcl l de medir pues la placa se deforma par no ser totalmente


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rrgida y distorsiona los valores de k.que se obtienen. AI encarrar varias placas (ver Figura 2-4) seobtiene una rigidez mejor de la placa (Ref. 71. pero de todas maneras el valor graficado correspondea la earga del ensayo dividida por et area de la placa Iesfuerzo promedio) y la deftexi6n promediomedida.

Plo.Co.sS v p l ! ' r p u t ' 5 t o . $

p

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - r ~ ~- r - r - l - l r - r - r - f - j - l r l -

qENSAYO CON PLACAS SUPERPUESTASFigura 2-4

Terzaghi en la Ref.34 propuso que el valor de k. para zapatas de tarnafios normates puedeobtenerse de los valores de ensayos de plaea utilizando las siguientes relaciones:- Para zapatas sabre arciJla:

(2-13)

Para zapatas sobre arena, ineluyenda los efeetos de tamario:

(2-14)

Donde:kl '" valor de k. obtenido del ensayo de una placa de un pre cuadrado (1'x1') en (kg(cm3)B '" ancha de la zapata (em)EI valor de k, estli ralacionado con el modulo de etasticidad E. del suelo. Vesle en la Ref.40propane que el modulo de subrasante se evatue por medio de la siguiente exprsslon:

k. = 0.65/B [(EsB4)/Eflf}1/12 [E./(1_~)2]Dande:

(2-15)

E. modulo de elasticidad del suslo (kg/em2)Ef modulo de elasticidad de la fundacion (kg/em2)B ancho de la fundaci6n (ern).If z : : : Momenta de.inercia de la fundaci6n con respecto a un eje horizontal Icm4)iJ . modulo de PoissonLa ventaja del rnetodo de Vesie esta en que el valor de k.se puede determinar en el laborator io.A continua cion se presentan tres Tablas de valores de kll provenientes de tres fuentes diferentes,las cuales dan valores aproximados del modulo da subrasante.


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/'La Tabla 2-1 (Aef.43~ puede utilizarse como gu(a para determinar un rango de valores para lea'cuando se conoce la ctasificaclon del suelo.

Tabla 2-1MODULO DE SUBRASANTE DE ACUERDO CON LA COMPOSICION DEL SUELO

Tipo de Suelo Ie. (kg/cm3)densidad natural densidad compactada--- .. . - ...----_ . . . . .- - - _ .. . _ - - _ .._ - - - - - - - - - - - - - - - - .-

GW 14.0 15.0GM 12.0 15.0GP 11.0 14.0GU 9.5 13.0GC 8.0 12.0SW 8.0 12.0SM 8.0 12.0$P 7 . 0 9.5SU 5.5 8.0SC 5.5 8.0Cl 3.3 7.0 2.0 3.3ML 3.3 7.0 2.0 3.3OL 3.0 5.0 0.7 2.8MH 3.0 5.0 1.4 2 . BCH 2.0 3.3 0.7 1.8OH 2.0 3.3 0.7 1.B

Convenciones:G = Grava S = Arena M = limo C '" Areilla a = Organico

W = Bien Gradado P '" Mal Gradado U = Gradacion UniformeL = Compresibilidad media a baja H = Alta Compresibilidad

Bowles IRsf.7) da la siguiente tabla de rangos de valores para k.

TABLA 2-2RANGO DE VALORES DEL MODULO DE SUBRASANTE llesl

Suelo Ie.(kg/em3)0.5 - 1.61.0 - B .O6.4 - 12.83.2 - 8.02.4 - 4.81.2 - 2.42.4 4.8> 4.8

Arena SueltaArena Medianamente DensaArena DensaArena Arci llosa Medianamente DensaArena Umosa Medianamente DensaSuelos Arcillosos: qu s2 kg/eml2 < qu s4 kg/em'qu > 8 kg/em'


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Para los suelos areillosos de Bogot;!. sa tienen los siguientes valores tlpicns IRef, 12)

Su E. k.Ikg/em') Ikg/em") [kg/cm3), ,50 225,0 2.751.00 150.0 2.500.75 112.5 1.880,50 75,0 1,250.25 37.5 0.630.15 22.5 0.38

TABLA 2-3VALORES TIPICOS DEk.PARA LOS SUELOS ARCILLOSOS DE BOGOTA

Su '" Resisteneia al corte medida por medio de veleta.B... MOdulo de Elastieidad del Suelok.'"Modulo de Subrasante

Debido a la incertidumbre que existe can respecto al valor dek.Que se debe utilizar, es convenienteinsistir en que es una practica aconsejable el utilizar un range de valores, en 10 posible un valor alto,uno bajo y uno intermedio, en el disefio de elementos sabre suslos para los euales no se hadeterminado el valor de k. en el laboratorio 0 en el terreno.2.3.3 DofocmBciooes DO C CoosQljdaci6n del Sue/oLa deforrnacion 0 asentamiento que se obtiene en la superficie eausada por la consolidacidn de unsuelo cohesivo debido a un aumento en el esfuerzo efectivo en el estrato eompresible. se obtiene(Ref.29) por media de la siguiente ecuaclcn:

s =Po ... Ap

(2-16)PoDonde:Cc coeficiente de consolidacicn.0 rslaclon de vaelos antes de apllcar la cargaB Espesor del estrato eompresible (cm).Po esfuerzo efeetivo en el suelo [kg/cm2)Ap eambio en el esfuerzo efectivo (kg/em2)s asentamiento deb ida a la consolldaclon [em)

En el caso de un suelo cohesivo loealizado debajo de una losa de fundaclon, de acuerdo con losresultados de estuerzos en el suelo obtenidos en la Saccion 2.2.2 es posible determinar el valor delincremento de esfuerzo I1p en el suelo. Conociendo los otros valores, suministrados par el estudiode suelos, es posible determinar el valor de S 0 sea el asentamiento en cada uno de los puntas bajola losa.Vale la pena anotar que para la utilizaciOn de est a metodologla es neeesaria una granintercomunicaei6n entre el ingeniero sstructural y el ingeniero geoteen(sta pues hay Que tener encuenta una serie de aspectos provenientes de la pane geou!enica como son:


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[a) definicion de si el suela esta en la zona de censolidacton normal. con el fin de utilizar elcoeficiente de ccnsolldaclon Cc adecuado.[bl definiciOn de la estratigratra con el fin de aplicar los valores de los parametres del suelaadecuados cada estrato.[c) confirmaciOn de que el suelo cohesivo est~ drenado en la parte superior e inferior con en fin degarantizar que se sstan utilizando los valoras adecuados de B.(d) definicion del tiempo en el cual debe ocurrir el asentamiento con el fin de poder hacer unacombinaciOn realista de los efectos a corto y largo plaza. 10 cual influye en la seteccion de loscoeficientes de mayoraci6n de las cargas para etectos del diseno de los elementos de la losa decimentaci6n.[e) evsluaclcn cuidadosa de las cargas permanentes Que generariln el aumento del esfuerza efectivoy por ende I. consolidaciOn del estrato.[f) interpretacion de otros fenOmenos colaterates Que pueden contribuir al asentamiento como son ladesscaclcn debida al proceso de urbanlzaclon, camblcs. en ill astado de esfuerzos en el suelo debidoa la reallzaclon de construcciones advacentss, etc.

3. INTERACCION SUElO ESTRUCTURA EN LOSAS DE FUNDACION .

3. 1 INTRODUCelON

EI termino "lnteraccion suelo-estructura" ha variado en su connotation a traves del tiempa: en losalbores de la mscanlca estructural su aplicaci6n estuvo centrada a t problema del disefio de risles deferrocarril. posteriormente se aplic6 a la solucton de problemas relacionados con la descriccicn delcomnortamlento de cimentaciones donde se ernuezaron a aplicar principias de deformabilidad delsuelo, lIegando hasta las metodologfas del diselio de bases para rnaqulnas. Posteriormente se aplie6al tipo de problemas que se cubre dentro del presente trabajo, a sea el diseiio de cimentacionesdonde el orden de magnitud de la rigidez de los elementos de la cimentaci6n es similar a la delsuelo. Posteriormente can al major entendimienta del fen6meno sIsmica fUB adquiriendo poco apoco la connotaci6n de un aspecto muy importante del comportamiento sfsmico de las estructurasQue es la tnteraccten dinlimica entre la estructura y el suelo localizado en las cercanfas de la base dela edificaci6n. Par ultima el termino "interacciOn sueloestructura" se ha utilizado err6neamente paradescribir los fen6menos de amplificaci6n de la anda srsmica al vlajar desde la roca hasta la superficiea traves de estratos de suelos blandos 0 poco densos. Esta acepci6n es errada pues la estruetura noparticipa directamente en el fen6mena y por 10tanto no se puede hablar da una "tnteraccion",Para efeetos de la presente trabajo la "intaraeci6n sueloestructura" se retiere a la evaluaclon ycuantificaci6n de los fen6menos Que se presentan en el plano de contacto sueloestructura, a sea enel plano de contacto entre la estructura y el suelo que Ie sirve de apoyo.No sobra haeer un breve recuento del desarrollo hist6rico del tema del tratamiento del suelo decimentaci6n como un medio elastico, lineal 0 no-lineal:La suposici6n de que los estuerzos de contacto entre la cimentaci6n y el suela son proporclonalesen cualquier punta a la deflexi6n de la cimantacicn en ese punto tue postulada por E.WinklerIRef.421 en 1867 y constituy6 la base del trabajo claslco de H.Zimmermann !Ref.471 sabre elanallsls de carrileras de ferrocarril publicado en 1888.Sabre este enfoque se siguiO avanzando durante los finales del sigla XIX y comienzos del XX y en1943 M.Hetenyi {Ref.191 public6 el libra clasico sobre el tratamiento completo del tema, trabajo Quesigue siendo vigente en la actualidad.En la introduccion de su trabajo Hetenyi indica:


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las propiedades frsieas de los suelos son obviamente de una naturaleza muehomas eompleja de la Que puede ser representada par una relaciOn maternatica tansimple como la supuesta par Winkler ....A partir de este momenta puede decirse Que los esfuerzos acadl!micos al respecto se enfocaron endos aspectos totalmenta diferentes: uno hacia la determinaciOn de un mejor modelaje de la parteestruetural de la interacciOn y otro hacis 10 que ocurre dentro de la masa de suela propiamentedicha, gestada prlncipatrnente par los avances en la mecsolca de suelos ocurrida a partir de los anoscuarenta.Como ejemplos del primer aspecto puede decirse que los trabajos presentados en la referencias 8,9, 14, 22 y 44 son representativos y trabalos mas recientes como los presentados en lasreferencias 4 y 33 siguen dentro de esa Irnea.Dentro del segundo aspecto puede decirse que la tendencia ha gravitado par una lado can lostrabajos de J.E.Bowles (Ref.7~y par otro lado con los trabajos de L.Zeevaert (AefAS y 461Aeeientemente fue publieado por el lnstituto Americana del Concreto IACIl una gula para el diseFiode zapatas y losas de cimerrtaclon (Aef.2) en la cual S8 presentan recomendaciones para el manejodel problema del anallsis y dlsefio de este tlpo de cimentaciones.

3.2 MODELO DE WINKLER

La aplicaciOn directa de la teorla de Winkler IRef,421 en el analisis de vigas sobre medios elastlcosssta dada directamente sobre la ecuaci6n de la linea elastica de la viga, la cual para una viga normales:eI'yEI = -P(x)elx' (3-1)

Donde:E .. modulo de elasticidad tkg/cm2)I '"'nereia Icm4)p(x) = cargas transversales Ikg/cm)x '" ordenada longitudinal de la viga Icm)y deformaci6n transversal rem)En el caso de la viga apoyada en toda su longitud sobre un media elastica las eargas transversalesp(x) se convierten en una fuerza transversal equivalente, proporcional a la deflexi6n, y. Estoimplies que el media de apoyo cumple la ley de Hooke. Su elasticidad puede par 10 tantocaraeterizarse por medio de una fuerza tal que distribuida sobre un area unitaria produce unadeflexi6n igual a la unidad. Esta constante de elasticidad del media de apovo, k., es el "mOdulo desubrasante" y tiene unidades de (kg/em31.AI suponer Que la viga bajo conslderacion tiene una secclon transversal uniforme Y Que su ancho, b,es constante, el cual constituye eJ plano de contacto con el media el


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y par 10 tanto la Ecuaci6n ~3-1) se convierte en:d 4 yEX --- . . -b k. Ydx4

(3-3)

y 6sta es la ecuacion diferencial de la elastica de una viga apoyada elastica mente en toda sulongitud.Para obtener la solucion de la ecuaci6n diferencial debemos substituir y .. .1IlX en (3-3) paraobtener la scuaclcn caracterrstica:

-' . . - (3-4)EIcuyas rarees son:

-1 - - -3 = 4 Y ~ ( ~ b ~ k - . ~ ' ~ 4 ~ E ~ I ~ ) (l+i) ~ S (l+i) (3-5)

(3-6)

y la sclucion general toma la forma:

y aA1 .a1x + A2 ._2x + A3.alx + A, ._'xdonde

(3-7)

1 3 = ' Y " . , ( , . . . b , . . . k - . '. . .. , - E " " ' I - ) (3-8)Hacienda la transformaci6n de las constantes imaginarias par media de las ecuaciones de Euler esposible convertir estos t6rminos en sumas de senos V cosenos Y a su vez reemplazar el termineuponencial par senos y cosenos hiperb6licos. Esto conduce (Re f .31 a la siguiente soluci6n generalde la lInea elastica:

Donde:" 1 ( Bx ) . . C O. h (B lI O)C o. ( 13 x)"2 (8x) = 1/2 [ Cosh (Bx ) S .D (8 x) + S eD h( 8x ) C D. (S X )"](8x) = 1/2 (S.Dh(Sx) 580(8x)]P,{Bx) . . 1/4 [Cosh(Sx) SeD(8 x) - Senh(8 x) Co. (Sx)}yYo deflexicn en x=Qeo giro en x",ON o momenta en x =0 Vo conante en x'" 0


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Can base en la Ecuaci6n (3-9~ yel principia de suparposicion, es posible obtener la soluci6n de unaviga de cualquiar longitud y sometida a cualquier sistema de cargas y de condiciones de frontera. Enla Ref.19 es posible encontrar soluciones para un slrmurnero de casas practices,En la respuesta de vlgas de longitud flnita la acci6n de las fuerzas colocadas en un extrema va aafeetar la deflexiones del otro extremo de acuerdo can la magnitud de et, donde B es la constantsdefinida en la Eeuaei6n ~3-8Jy t es la longitud de la viga. De acuerdo can el valor de Bt as posibledividir la discusi6n del eomportamiento de vigas sobre cimentaciones elll.sticas lRef.35) en tresgrupos: .(a) Vigas cortas, Bt < 0.60(b) Vigas de longitud intermedia, 0.6 < Bt < 5.0(e) Vigas largas, Bt > 5.0Para las vigas del grupo (al se puede despreciar totalmente la flexi6n y considerar las vigas comoinfinitamente rrgidas. debido a que la deformaci6n par flexi6n es despreciable en comparaci6n canlas de la cimentaci6n. Ver Figura 3-1.

OEFLEXIONES DEL CONJUNTOSUELO-ESTRUCTURA PARA at < 0.60Figura 3-1

Las vigas del grupo (b) se caracterizan par et hecho de que una fuerza actuando en un extremo de laviga tiene influencia apreciable en el otro extremo de la viga. por to tanto deben tratarse como vigasde longitud intermedia. Ver Figura 3-2_

p

1777771~ rrrrrrr:

DEFLEXIONES DEL CONJUNTOSUELO-ESTRUCTURA PARA 0.6 < 1 3 1 < 5.0Figura 3-2


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Para las vigls del grupo .Icl se puede utllizar la supesicion de que estando localizados en un extremode la viga, el otro extremo se encuentra en el infinito. Par 1 0 tanto la viga se puede considerar comoinfinitamente larga. Ver Figura 33.

p

DEFLEXIONES DEL CONJUNTOSUELO-ESTRUCTURA I3 t > 5.0Figura 3-3 .

En general puede decirse que esta metcdcloeta, con las limitaciones inherentes al hecho de que larigidez del suelo se considera lineal y que as constante an toda la longitud de la viga, ha side la basede los analisls te6rlcos de cimentaciones sobre zapatas corridas tomando an cuenta la rigidez delsueto. EI inconveniente mas grave que presenta esta metodoloqta al ser aplicada a casas reales,ocurre en las condiciones de frontera y esta ilustrado en la Figura (3-4). Consiste en el hecho de quese esta considerando Que el suelo desaparece en el extremo de la viga y por 10tanto no existeninguna influencia dal sualo adyacente a los extremes de la viga.z ,W

(0 )z ,W

(b )lNCONSISTENCIA DE LA DEFOAMACION DEL SUELOPRESENTADA PQR EL MODELO DE WINKLER EN LAS FRONTERAS

Figura 3-4EI otro inconveniente que sa la anota a esta metodologfa consiste en el hecho da que su usadesprevenido puade conducir a errores graves cuanda la viga se levanta sabre el suelo, pues lahip6tesis de rigidez del suelo tal como la plantea Winkler es vallda tanto para compresi6n coma paratensi6n sobre el media eliistico de soporte. Observando la Figura 13-5)puede notarse que cuando laviga sa levanta sobre sl suelo al modelo maternatlco supone que el suelo entra en tensi6n, 1 0 cual asfalso para todos los casas de cimentaciones reales. Esta aspscto debe tratarse con gran cuidadocuando sa utiliza esta metodologfa.


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ERROR AL TOMAR EN CUENTA ESFUERZOSDE TENSION EN EL SUELOFigura 3-5EI modelo de Winkler, dada su strnptlcldad, es aplicable a '.ligas, lcsas, e inclusive se puede implantaren elementos finitos de diferentes caracterrsticas En la Ref.1 a se discute ampliamente el tema deapliesr modelos de Winkler a elementos finitos. No obstante las limitaciones del modelo respecto alas condiciones de frontera siguen vigentes. Par esta raz6n la utilizaci6n de programas de elementosfinitos para Is interscci6n suelo-estruetura no es garantra de que sa esten utilizando condiciones defrontera adecuadas y par 10 tanto es responsabilidad del usuario determinar Sl el programasimplemente utiliza un modelo de Winkler 0 presenta un desarrollo teOrico Que subsane lasdeficiencias anotadas anteriormente.

3.3 MODELO DE ZEEVAERT

EI profesor Zeevaert de la Universidad Nacional Aut6noma de M~xico ha estudiado el problema de[as fundaciones en suelos compresib[es desde haee muehos anos. E[ hecho de que su practlcaprofesiona[ y acadernica la haya realizado en la eiudad de M~xieo, con suslos probablemente masdif(ciles que los de la ciudad de Bogota, cobra enorme importancia para los ingenieros que practicanaqur. Dentro de sus numerosas publicaciones existen dos !Ref.45 y 46) que tratan de manera ampliay profunda las losas de fundaci6n y la interacci6n suelo-fundaci6n-estructura.En Ia formulaciOn y soluci6n del problema Zeevaert da unos lineamientos que sa pueden resumlr dela manera que se presenta a continuacicn. Es importante anotar que Zeevaert plantea susprocedimientos utillzando rnetodolocras matriclales (algebra lineall,Como un primer paso establecs la deformaei6n de la superficie de eontacto suelo-fundacionutilizando un procedimiento similar al planteado en la SecciOn 2.3.1 del presente trabajo, por mediade una matriz que llama Ecuaci6n Matricial de Asentamientos lEMA).Luego establece condiciones de compatibilidad en vartos puntas de la cimentaei6n y por media deelias formula un sistema de ecuaciones simulto!neas, cuyas incOgnitas son las deformaciones delplano de contacto suelo-fundaei6n. En estos puntos se introduce la rigidez del suelo, lineal y con unvalor igual al area aferente por el module de subrasante. Este sistema de ecuaciones simulUneos 1 0l lama Ecuaci6n Matric ial de Interacci6n [EMI].A continuaciOn define un procedimiento iterative, por medio del cual determina los valores de lasdeformaciones al resolver el sistema de ecuaciones simultaneas planteado en lEMA). De los valoresde las deformaciones encuentra los esfuerzos de contacto y al aplicarlos a la ecuaciOn deasentamientos [EMI) encuentra unos nuevas valores de las deformaciones. Este procadimiento sesigue hasta que los valores de las deformaciones en los puntos donde se aplicaron las ecuaciones decompatibi lidad no cambian de una manera apreciable.


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Es importante anatar Qua Zeevaert introduce dentro del sistema de ecuaciones planteadas el etectode deformaciones causadas par flexion de la fundaci6n, por desplazamientos elasticos y reol6gicosdel suelo.Ademlls Zeevaert define h i manera como pueden determinarsa en el laboratorio las propiedades delsuelo, tanto ellbticas como reol6gicas.3.4 MODELO DE BOWLES

EI modelo de Bowles est:i presentado an la Ref.7 y as posible ver su evoluti6n a travas de las cuatroediciones Que se han publicado. En escencia es un modelo de Winkler, al cual Bowles Ie haintroducido una serie de modificaciones para corregir algunos de los problemas anotadosanteriarmente del modelo de Winkler.En principia la diferencia principal estriba en Que se utilizan elementos estructurales (elementosfihitosl de fundaci6n aislados del suelo los cuales estan soportados elastlcarnente por el suelo en losnudos de lnterconexlcn con 10otros elementos de Is fundaci6n. Sa utilizan tecnicas normales dean:ilisis metrlclal para definlr las matrices de figidez de los elementos y posteriormente ensamblasobre la diagonal de la matriz de rigidez de toda la fundaciOn las rigideces del suelo, las cuales sonlinealmente elasticas de acuerdo can el postulado deWinkler.

ILa rigidez del suelo Que se incorpora a la matriz de rigidez de la fundacion corresponde al :ireaaferente del nuda multiplicada par el m6dulo de subrasante, kf = Afk., donde kf tiene unidadesde kg/cm.Es importante anotar que este modelo tiene el problema de que no hay acople estatlco entre lasrigideces del suelo concentradas en los diferentes nudos. EI hecho de que la rigidez del suelo sesume Ilnicamente a la diagonal de ta matriz de (igidez de la fundaci6n hace imposible incluir esteaeople. Bowles sugiere que este problema se puede corregir de la siguiente manera:(s) Duplicar la rigidez del suelo en los nudes de borde, 6Ibl Zonifiear los valores de k. de tal manera que hay valores mayores en los extremes con unatransici6n gradual a la zona central can los valores mrnimos allr.En la misma Ref.7 Bowles presenta dos programas de computador, uno para el analisis de vigassoportadas etastlcarnente y otro para losas de fundaci6n, tambit1n sopartadas elAsticamente.

3.5 INCONVENIENTES DE LAS METODOLOGIAS PRESENTADAS

Los dos modelos de mteracclon suelo-fundaci6n-estructura presentados tienen algunas limitacionesImportantes, que aunque algunas de elias son advertidas por sus autores, no dejan de afeetar losresultados obtenidos al seguir la metodolog(a.

3.5.1 ConCfntr8ci6n d" la Rigid,z de'Suelo

EI modelo de Winkler consider a Que el suelo produce una reacei6n a todo 10largo del elementoestruetural de fundaei6n, haciendo la reacci6n proporeional a la deformaei6n del elementoestructural. En los otros dos modelos (Zeevaert y Bowlesl la rigidez del suelo se concentra en losnudos de intereonexi6n entre los elementos estrueturales de la fundaci6n. En la Figura 3-6(al puedev erse como concentra la rigidez del suela Zeevaert y en la 3-61bl Bowles. La rigidez del suelo esproporcional al area aterente.


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IIII J . (0) Modelo de Zeevoert

(b) Modelo de Bowles

CONCENTRACION DE LA RIGIDEZDEL SUELO EN LOS MODELOSFigura 3-6La manera como se ensambla la rigidez del suela en la matriz de rigidez del modale as aplicandala enla diagonal. 1 0 cual inhibe el aeaple entre los diferentes puntas a traves del suelo y se lograunicamente por media de la estructura. Zeevaert soluclona este problema por media de un procesoiterative y Bowles par media de una correccionas a la rigidez del suelo, tal como se indic6anteriormente.Otro inconveniente importante de la concentraci6n del suelo as las difarancias apreciables quapueden abtenerse en la elastica del elemento estructural par el hecho de que hay una reacci6n enpuntas intermedios. En t~rminas estructurales el error que se introduce es del mismo orden demagnitud que el que tsncra una estructura que soporta cargas verticales distribuidas en las vigas. lacual se disefia para unicamente para el efecto de estas carcas cencentradas en los nudas. EnreaUdad el modelo original de Winkler en este aspecto conduce a una solucion muy cercana alfen6meno real. mientras que los modelos de Zeevaert y Bowles unicamente dan los momentos ycortantes eausadas par las diferencias de deflexi6n en los nudes de interconexi6n. En la Figura 3-7se indica la variacion Que S8 tendrra en el diagrama de momentos de una viga par efecto de estainconsistencia.

P/2 P P P/2l l l lt----l 1----1----M

EFECTO EN EL DIAGRAMA DE MOMENTOS CAUSADO PORLA CONCENTRACION DE LA RIGIDEZ DEL SUELOFigura 3-7


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3.5.2 Rigid" del Sue/q fillIIlBordtt de I, Fundscidn

En los modelos de Winkler, Zeevsert y Bowles 58 trata el problema de la condieiOn de frontera deuna manara diferenta. En Winkler realmenta se considera al suelo un fluido que ejerce un praslonproporelonal a la deflexi6n del elemento estructural, por 10 t anto no hay ninoun efeeto causado parel suslo adyacente al borde, 10 cual es probablemente una de las limitaciones miis lmportantss deeste modelo.Zeevsert corrioe esta rigidez por medie de un procese iterative en tunciOn de la rioidez del suelo alcorregir la deformaci6n del suelo de acuerdo can los esfuerzos de contacto. Bowles 10 corrige deuna manera muv simplista consistente en duplicar la rigidaz del suelo en el borde.

3.5.3 Conlld",cidn Plan" d", EtmtJmeno

En los tres modelos realmante se consideran vigas sobre fundaciones ehisticas, par 10 tanto laaplicaci6n de las tres metodologras a losas de fundacion puede introducir errores graves en losresultados. Bowles presenta una soluei6n para losas macizas de fundaci6n, 1 0 cual no es realmenteaplicable a las losas de fundaciOn tal como se utllizan en al medio naeional, ademas en ess caso laconcentraeiOn de la rlgidez del suelo an los nudos de interconexi6n puede introdueir arrores graves.

4. FORMULAe/ON DEL MODELO MATEMATICO DE /NTERACC/ON

4. 1 INTRODuce/ON

En al presente Caprtule S8 presenta un modelo de interacci6n que parmite subsanar las deficienclasanotadas a los modelos axistentes de interaciOn suelo-fundaciOn-estruetura en al caso de losas defundaciOn aligeradas. Ests modele fue desarrollado en Is investigaciOn de la Ref .30. Los pasos deldesarrollo del modalo sorl los siguiantes:lal Se define un modelo maternatlco basado en la teorra de Elementos Finitos para ta losa misma, elcual toma en cuenta las propiedades mecanicas v estructuralas de la losa y cuvos elementos astansoportados de una tormacontlnua y stastica en el suele subyacente.Ib) Se propane una metedelogfa que permite tamar en cuenta las propiedades de continuidad delsuela subyacente, como un media espacio elastlco, a diferencia de la teorfa traditional de Winkler,donde la presi6n que ejerce la cimentaciOn sobre el suelo subyacente solo es proporeional a ladeflexi6n que ocurre en ese punto e indapandiente de los esfuerzos 0 deflexiones que oeurren enotros puntas de la cimentaciOn.(e) Los resultados de los dos puntas anterioras se combinan en un programa de computador, queutiliza el mstodo de los Elementos Finitos, al cual permite analizar y disenar la losa flotanta y a suvaz determinar el estado de esfuerzos en el suelo subyacente.(d) Se presenta una metodologfa para determinar las deformaciones a largo plazo causadas parconsolidaclon del suelo y sus efectos sabre la losa de fundaciOn.(e) Por Illtimo se presenta un procedimiento por medio dal cual utilizando un pre-proceso de laestructura de la fundacion, es posible determinar la influencia de la deformabilidad del suelo y de lalosa de fundaci6n en la superestructura. Esta influencia se evalua tanto para cargas estatlcas comodinamicas, verticales y horizontales, aplicadas a la superestructura y adarnas su efeeto sobre elsuelo mismo.


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4.2 ELEMENTO FINITO PARA PARRILLAS SOPORTADAS ELASTICAMENTE

Los elementos que contormsn la losa aligerada de fundaci6n estan apoyadas sabra al suelo como unmedia alastico en toda su longitud, a diferencia de los modalos mancionados an al Cap(tule anterior,en los cuales solo hay apovo sobre el medic de soporte en los nudos de interconexi6n de loselementos de la fundaci6n.A continuaci6n se formula el modelo rnatematlco de una elemento que trabaja primordialmente aflexi6n V que est~ apayado e16sticamente en toda su longitud. can una rigidez del suela que varfalinealmente de un extremo del alemento al otro. Dado que estos elementos se intereonectaneanfarmando una parrilla, al alemento dena los grados de libertad claslcos para este tlpo deelementos.Supongamos que tenemas un elemento qua va desde un extrema inicial que lIamamas a hasta unextreme final b. can un momento de inercia I. m6dulo de elasticidad E y longitud L. como elmostrado en la Figura 4-1. EI elementa esU soportado etasncarnente sabre un media etasttco cuyavalor de rigidez varia desde ka' hasta kb

VIGA CON SOPORTE ELASTiCa CONTINUOFigura 4-1EI elemento estd sometido en SU extremo a a una deflexi6n c 1a V a un gira 9a y an~logamente en suextrema b a una deflexi6n 6b y a un giro ~. Para pader mantener esta sltuacten defarmada y a suvez estar en equttibrlo hay necesidad de someter al elemento en su extremo a a un momenta Ma yuna fuerza cortante va V en su extrema b a un momenta Mb V una fuerza cortante vb'Con el fin de poder determinar la matriz de rigldez de este tipo de elemento se procede de la maneraconvencional, Ref.1 7, consistente en imponer una deformaci6n unitaria en uno de los grados delibertad de los extremas del elemento a la vez que se mantienen deformaciones iguales a cera en losotros grados de libertad de los extremes. Esto permite, par media del principia de equilibria,encantrar los valares de las fuerzas en los extremos necesarias para mantener et equilibria.La matriz de rigidez que relaciona los cuatro desplazamientos de los extremos can las cuatro fuerzasen los extremos esta planteada a traves de la siguiente ecuaci6n de equilibria:

{f)ixl = [k) ix i {u )i xlDonde:


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AI expandir 18Ecuaci6n 14-11 obtenemos:

(4-2)

Donde:V. fuerza cortante en el extrema a del elementoN. .. momenta en e t extrema. del elementoVb fuerza cortante en el extrema b del elementeNb memente en et extrema b del elamentaIi. deflexi6n en el extrema. del elementae. giro en el extrema. del elementolib deflexi6n en el extremo b del elementa~ giro en el extrema b del elementaLa convenci6n de signos para las fuerzas y deformaciones en los extremes del elemento es lasiguiente: [a) Momentos " Giros: PositivDS en el sentido contrario a las manecillas del reloj. (b]Fuerzas Cortantes y Deformadones: Posit ivas hacla arriba.De acuerdo can los postulados de los alementos finitos, se impone una deforrnaclon al elemento yse determinan los efectos de esta deformaci6n en los extremes, 0 nudes, donde se quieren describirla s prapiedades de rigidez del elemento, inctuyenda el efecto del media elastica.Como un primer paso se determina la ecuaci6n de la elastica del elementa para cada uno de loscuatro casos representados por una deformaci6n unitaria de uno de los cuatro grados de libertad delos extremes, manteniand6 en cada caso la deformaci6n de [as tres grados de libartad restantesiguales a care. Esto se logra resolviendo ta Ecuaci6n (3-1) para p (x) = 0 y obteniendo y (x) paralas condiciones de frontera impuestas por las defarmaciones y giros an los dos extremes de la viga.La ecuaci6n de la elastica para las condiciones de frontera lniciales en et extrema. 1M., v 6. ya.l as la siguiante:y(xl 5. + aa x - M./2EI x2 + V./6EI x3 (4-3)los resultados obtenidas, son los siguientes:

- Para 6a '" 1 , Sa 2 lib "" 8t, = 0Jl(x) '" 1 - 3 (x/L)2 + 2 (X/L)3 (4-4)

- Para a... 1 , 6a = lib .. 8 J J = 0Y2(x) '"x - 2 x2/L + x3/L2 (4-5)

- Para lib :a 1 , 05a = e. = ~ = 013(X) = 3 {X/L)2 - 2 (x/L)3 (4-6)- Para ~ .. 1 , Ii. = e. = !b = 0

Y4(x) = - x2/L + x3/L2 (4-1)


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Actlcando el principio de superposiciOn, el cual es valido en aste caso debido a que se trata derelaciones linealmente elastlcas, es posible, para etectos de deducir la matriz de rigidez delelementa, dividir los efeetos an aquellos de la rigidez propia dal elemento y aquellos eausados por larigidez del media de soporta. Par 1 0 tanto podemos, de aeuerdo con 1 0 planteado en la Figura 4.2,obtener los efectos totales como la suma de los etsctos de la rigidez propia mas los efectos de larigidez del suelo.

ELEMENTOVoi ib___ ~db

SUELO

ESTRUCTURAL

TOTAL

SUPERPOSICION DE LA RIGIDEZ DE LA VIGAY LA DEL MEDia ELASTiCa DE SapORTEFigura 4-2

Por 1 0 tanto la EcuaciOn 14-11 se convierte en:{f} = {ff} + {fs} = [k1 {u} = ( [kfJ + (ksJ J {u}Donde:

(4-8)

{ff} ".tuerzas en los extremes del elemento causadas por la rigidez del elemento.{f.} - fuerzas en los extremos del elementa causadas por la rigidez del suela.(kf] '" matriz de rigidez delelernento causada por la rigidez del elemento.[k.l = matriz de rigidez del eJemento causada por la rigidez del suelo.La deducci6n de la matriz (kf) I que corresponde a la rnatriz convencional de un elemente sometidoa flexiOn, can dos grados de libertad en cada uno da sus extremes, se puede ancontrar annumerosos tsxtos de anatlsis matriciaJ (Ref.17. 20. 25 y 38),Por 1 0 tanto la parte correspondieme a la rigidez a flexiOn (kfl de la matriz (k1 es:


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12EI/L3 6EI/L2-12EI/L3 6EI/L2t

UI/L2 4EI/L -6EI/L2 2EI/L[kf1 -UEI/L3 -6EI/L2 12BI/L3 -6BI/L2 (4-9)

6BI/L2 2EI/L -6St/L2 UI/L

Para obtener la rnatriz correspondiente a los etectas del suela [k.1 se utiliza el principia de MOilerBreslau IRef.27) el cual dice:~las ordenadas de la linea de influencia de cualquier elemanta de fuerza (axial,eertante, mamenta a raacci6n) de cualquier estructura son proporeionales a la curvade la elastica qua sa obtiene al remover la restricci6n earrespandiente al elemento defuerza y reemplazarla par una defarmaci6n correspondiente en la estructura que seobtiene al remover la restricci6n"

Esto qui ere decir que Y 1 (X) es la Unea de influeneia de la fuerza v.' que Y2 (x) es la Unea deinfluene;a del momenta Mal que Y3 (x) as 1 3 Unea de influencia de la tuerza Vb V que Y 4 (X) es laI roea de influencia de Mb'Adernas tsnernos que la rigidez del suelo varra linaalmente a 1 0 largo del elemento, slendo ka en elextrema & y kb en el extrema b, por 1 0 tanto se puede expresar matematicarnente de la siguientemaners:k(x) zk. + (kl)- k.) x/LDonda:

(4-10)

k(x) funci6n que describe el valor de k"b a 10 largo del elementok. valor de k.b en el extrema. del eisrnentckl) valor de k.b en el extrema b del elemantoPara obtener al eteeto de la rigidez del suelo expresado en las fuerzas de los extremes del elemento,tomando un elementa diferencial de longitud del elemento, dx, e imponiendo una deformaci6narbitraria ala viga, equivalente a Yj (x), encontramos que sobre este elemento diferencial, la fuerzaque ejerce al suelo es:df = k(x) Yj(x) dx (4-11)ahora, el efecto de este difereneial de fuerza sabre un elemanto de fuerza i de uno de los extremosde la viga, de acuerdo con el principio de MOllerBreslau, corresponde a multipliear df por la linea deinfluencia del elemento de fuerza i que a su vez as la ecuaci6n de la elastica que se obtiene alirnpcner una deformaci6n unitaria an ellugar y direcci6n del elemento de fuerza ia sea Yi(X). Por10 tanto la contribuci6n de df en el elemento de fuerza i causado por la imposici6n de unadeformaei6n Yj (x) as:

(4-12)V para obtaner el efeeto completa da apllcar la deformaci6n Yj (X) en tada la longitud de la viga. anel elemento de fuerza i an el extreme as igual a:f =l.J

.Lf k(x) Yi(x:) Yj (x) dxo (4-13 )por 10tanto los tarmtnos kii de la matriz (k.J se obtienen da la Ecuaci6n (4-131 porqus kSij =fij' Realizando las cerrespol'ldientes integrales se obtiene:


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Lbll .. J k(x) (Y1(X2 elx .. (120k.L + 36k~) I 420

oL

kan .. J k(x) f1(x) Y2(x) dx = (15k.L2 + 7ktJL2) I 420oL

kall. f k(x) Yl(x) Yl(x) elx - (27k.L + 27k~) I 420aL

ksU ... J k(x) Yl(X) Y4(x) elx = (_7k.L2 - 6ki)L2) I 4020a

Lks22 .. J k(x) (f2(X2 dx = (2.5k.Ll + l.Sk~3) I 420o

Lksl2 = J k(x) f2(x) f3(x) dx = (6kaL2 + 7k1JL1) I 420o

Lks42 .. J k(x) Y2(x) y,(x) dx = (-l.Ska,L3 - L5k~3) I 420ok.ll = le.3lk.:Z3 .. kal2

Lkal3 .. S k(x) (13(X2 dx = pO.I. + 120k))L) I 420o

Lkau = S k(x) Y3(x) Y4(x) dx = (-7kaL2 - 15k~2) I 420oleS14 ,.. les41k.2' .. k.42kall .. kall

Llea", = S k(x) (14(X2 elx = (1.5k.L3 + 2.5k~l) I 420oPor 10 tanto la matriz [le.] tiene la siguiente forma:


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120ka+36kb15kaL+7kbL27ka+27kb-7k.L-6kbL

'.15kaL+7kbL2 22.5kaL +1.5kbL

27k.+27k.b6 kaL+7kJ)L36k.+120kb-7kaL-15kbL

-7k.L-6kbL-1.5k.L2_1.5kbL2

-7k.L-15kbL1.5kaL2+2.5kbL2

6kaL+7kbL.2 2-1.SkaL -1.5kbL

Si hacerncs ka := kb obtenemos la slguiente matriz:

156 22L 54 -13LkL 22L 4L2 13L _3L2

(k. 1 . . (4-15)420 54 13L 156 -22L-13L -3L2 -22L 4L2

Hasta este momento todas las matrices Que se han definido hacen referenda a una viga Que tienedos grados de Ilbertad en sus extremos, 0 sea un desplazamiento vertical y un giro. Dado Que laslosas de fundaclon son rettculas conformadas por vigas como las descritas a traves de las matricesya desarrolladas, estas retlculas tienen en sus nudos tres grados de libertad: un desplazamientovertical. v dos giros en direcciones horizontales ortogonalss. Esto Quiera decir Que ei elemantodesarrollado tiene ademas de los grados de libertad ya descritos (desplazamiento vertical y girosobre un eje horizontal perpendicular al aie del etarnentol, un posibilidad de giro sabre al ajelongitudinal del elamentn, [0 cual produce una torsion,Un elemento sornetido unlcarnente a torsion tiena la siguiente mamz de rigidez:

-JG/LJO/L ] [ : : ] (4-16)Conde:s rigidez torsional (cm4,o = MOd~lo de cortante (kg/cm2)'r. torsion en e[ extremo del elemento'rb torsion en el extrema bdel alementa~. giro an la direcclon del ej e del eternento. en su extreme a' I I I ) giro en la clreccicn del eje del elemento en su extreme DTanto la torsion como el giro descrito no tienen ninguna interferencia can los otros grados delibertad del elemento. cor 10tanto la matriz [kfl toma ahora la siguiente forma:


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0 1 0 /1 . 0 0 -JO/L 0 00 12EI1L3 6EI/L2 0 -12EI/L3 6EI/L20 68I/L2 4EI/L 0 -6EI/L2 2EI/L(k]- (4-17)

- J a I L 0 0 JO/L 0 00 -128:1/L3 -6EI/L1 0 12EI/LJ -6EI/L20 6EI/L2 2EI/L 0 _681/1.2 4EI/L

~ Y los vectores de desplazamientos y fuerzas son los siguientes:~. T.05. V.e. M.(u~ (f} = (4-18)c f l b 1 'biSb Vb9 t J Mb

En la matriz de rigidez del suelo [k.] Is torsi6n del elementa no tiene ninguna influancia par 10tantose convierte en la siguiente matriz al tener los tres grados de libertad en cada extreme:

0 0 0 0 0 00 kill ka12 0 ka13 k&140 k&21 kll22 0 b23 kS24[kfl= (4-19)0 0 0 0 0 a0 k&31 k&32 0 k&33 k'340 kll~1 ks42 0 kllU k&U

Hasta este momenta las matrices presentadas son validas para el sistema de coordenadas localesdel elemento. Debido a Que et ensamblaje se debe hacer para un sistema de coordenadas comunes 0sea 8 1 sistema global, hay necesidad de disponer de una matriz de transformaci6n de coordenadas.Si tenemos un elemento como el mostrado en la Figura 4-3, donde pueden verse el sistema de1 -: coordenadas local y el sistema de coordenadas global, y utilizando la convenci6n de latrasmmuscctas para coordenadas locales y letras rnavusculas para coordenadas globales y definiendo(x., J.) como las coordenadas en planta del extremo del elementa y (xb, Yb) como lascoordenadas en plsnta del extremo b, tenemos:


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yyb-

Me

;I Tb"Mb

SistemaClobol/

xz x b

ElEMENTO MOSTRADO EN COORDENADAS GLOBAlES Y ~EN COORDENADAS LOCALESFigura 4-3

(F) i:I [R] {f}Donde:[RJ os matriz de transformaciOn de sistema de coordenadas, de local a globaly por el principia de contragradiente podemos probar que:{u} [R]T {U}ahora, dado que tenemos la EcuaciOn (4-1), 0 sea:(f) = [k] {u}reemplazando la Ecuaci6n 1 4 - 1 J en la Ecuaci6n (4-201, abtenemos:{l"} = [R] pc) (u)y substituyendo la EcuaciOn(4-211 en la EcuaciOn (4-221:(l") = [RJ [k] [R]T {U}por 10 tanto la matriz de rigidez en coordenadas globales es:(Jt] = {RJ [k] [R]TLa matriz C R l es (Ref.301:

(4-20)

('-21)

< ' - I )(4-22)

(4-23)

(4-24)


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ex 0 C y 0 0C y 0 -c x 0 00 1 0 0 0

[R] . .0 0 0 ex 00 0 0 Cy 00 0 0 0 1

Donde de acuardo con la Figura 4-3:cx .. . (X}) - xa) I LCy. (r})- ra) I L

000 (4-25)cy-ex0

(4-26)(4-27)

4.3 DEFINICION DE LOS VALORES DE k3 APROPIADOS PARA TOMAR EN CUENTA LASCONDICIONESDE BORDE

EI modele matematlco para elementos da losas aligeradas de fundaci6n propuesto en la Sacci6nanterior tiene la posibilidad de tener variaciones lineales del m6dulo de subrasante k. a 10 l argo desu longitud. Esta particularidad se utiliza para tornar en cuenta los efectos de borde de lacimentaci6n, can 10 cual se corrige uno de los inconvenientes mayoras de las metodolograsexistentes.Dado que es posible determinar el sstado de esfuerzos en el suelo baio una los a de fundaci6ncuando se concce el esfuerzo en el plano de contactc (Secci6n 2.2.2) y ademas se puededeterminar la deformaci6n en el suela Que se produce al aplicar las cargas en el plana de contactcsuelo-fundaci6n (Secci6n 2.3.1), es poslble corregir el valor de m6dule de subrasante que habrfaque utilizar para obtener deflexiones reales de acuerdo can el estado de esfuerzos en el susiesubyacente.Dado que el valor de)c proviene en general de ensayos de placa, este valor es valido para losbordes de la losa a en eflugar, dentro de toda la losa, donde el valor de 60as menor. Par 10tantopara diferentes sitios de la losa el valor dek.debe corregirsa as(:

(4-28)Donde:k.c ... valor de )c. corregido por efectos de borde Ikg/cm3)En la EcuaciOn (4-281 el valor de ksc es valide para el sitio donde se evalu6 60EI valor de (6o)minas el mrnimo valor de 60obtenido para todos los puntos de h i losa.En aquellas casas en los cuales k. as constanta con la profundidad, de acuerdo con la Ecuaci6n 1211) (Ver Secci6n 2.3.1). la Ecuaci6n !4-281 se convierte en:

(4.-29)o sea la correcci6n se puede realizar en funci6n de los incrementos de esfuerzos promedio.Con los valores de k.c; se realiza el analisls utilizando el modela presentado en la Secci6n 4.2 y losresultados que sa obtienen correspond en a los que se obtienen al considerar las condiciones de


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frontera, como as el caso de utillzacion de un programa de elementos finitos en el cual sa analiza lalosa can un medio espacio de suelo, tambi~n modelado per medio de elementos finitos.

4.4 ECUACIONES DE EQUILI8IIIO GLOBAL Y SU SDLUCION

Utilizando los resultados de las SecciOn 4.2 y 4.3 podemos plantear las ecuaciones de equilibria deI.os a de cimentaciOn. EI procedimiento as sl siguiente:lal Para cada elamsntc i da la losa:- se evalua 13 matriz de rigidez del elemento correspondiente 3 los terrnmos de flexi6n [kf ) iutilizando la Ecuaci6n {4-171:- utilizando los valores del modulo de subrasante k. apropiados para cada extrema del elemento(Seccion 4.31 58 avalua la matriz de rigidez del miembro correspondiente a los t~tminos del suelo[k.1i utillzando la EcuaciOn (4-1 9) .- se encuentra la matriz total del elemento en coordenadas locales asf: [kJi (kfh + [k.Ji- se evalua la matriz de transtormaclon de sistema de coordenadas [R] i del elemerlto utilizando laEcuaci6n 14-25)- se determina la matri\- de rigidez del elemento en coordenadas globales PO t media de[~li [Rli [kli [Rli

(bl Se plantea la ecuacion de aquilibrio de toda la estructura as]:

(FL} (XL] (UL}Conde:

(4-30)

- vector de fuerzas aplicadas en los nudos de interconexi6n de elementos de la losa decimentaci6n= matriz de rigidez de toda la losa de cimentaciOnvector de desplazamientos de toda la estructura en los nudos de interconexidn de loselementos de la losa de cimentaci6n

Esta matriz [XJ,.] se ensambla par el procedimiento convencional de analisls matricial, sumando encada t~rmino de la matriz todas las contribuciones correspondientes de los elementos Que aportanrigidez al grado de libertad.

(c) Sa resuelve el sistema de ecuaciones simultaneas expresado par la Ecuaci6n (4-301. teniendocomo incognitas los desplazamlentos de la losa {UL}. Es importante anotar que la mattiz rXLI noas singular pues las contribuciones de rigidez de la parte correspondiente al suelo de cada uno delos elementos suple ta necesidad de Que la estructura tenga apoyos.

(d) Utilizando los desplazamientos obtenidos de la solucion del paso anterior. los cuales astan encoordenadas globales, sa obtienen las fuerzas intern as en los elementos en coordenadas localesreemplazando la Ecuacion (4-21) en la Ecuacion (411:

{f} ,..(Ie] {u} = [k] (Rl'r {U} (4-31)


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4.5 RIGIDEZ PARA ANALISIS DE LA SUPERESTRUCTURA

Es evidente que existe. una interacci6n entre la losa de cimentaci6n V la superestructura que seencuentr. apoyada sobre la losa. E] ideal serfa realizar el am1lisis conjunto de superestructura maslos. de cimentaci6n, para 10 cual S8 modela la parte superior utilizando t~cnicas normales para eltipo de estructura y simplemente se ensambla la matriz [XL] en los grados de libertad de la base.Cuando el programa de computador Que se utiliza para el anallsls de la superestructura tiene laposibilidad de incorporarle rigideces an sus apoyos como es el case del programa COMBATIRef.11}. una posibilidad de obtener los valores de estas rigideces desacopladas, consiste encondensar la matriz de rigidez en cada uno de los grados de libertad que son comunes a las dosestructuras.Esta condensaciOn se real iza por el procedimiento tradicional IRef.171. Cuando los grados de l ibertadcomunes son todos los grados de libertad de la losa de cimentaci6n, 10\ valorss da la rigidez. desacoplada corresponden al inverso de los tlirminos de la diagonal de {ItL] - .

4.6 EXTENSION A CIMENTACIONES SOBRE ZAPATAS AI$LADAS

E I modalo matematlco propuesto es extensible a cimentaciones sobre zapatas aisladas. En suutilizadOn en este tipo de fundaciones hay que tener en cuenta los siguientes aspectos espaciales:- E I afecte del suelo sobre la rigidez rotacional de la zapata debe tomarse an cuenta:5i sa impona un momenta sobra un eje horizontal coincidence con uno de los eies principales de lazapata, obtenemos la siguienta ecuacion:

(4-32 )v

(4-33)adsrnas al aplicar una carga vertical en el centraide de la zapata abtenemas:

(4-34)

Donde:momento sabre un eje horizontal Que pasa por al cantroide de la zapata y es paralelo ala dimensi6n B de la zapatamomento SObf8 un eie horizontal que pasa por el centroide de la zapata y es paralelo ala dimensi6n B de la zapata .rigidez rotacional de la zapata can respecto a un eje paralelo a la dimension B de lazapatarigidez rotacional de la zapata can respecto a un eie paralelo a la dimensiOn B de lazapata

- rigidez vertical de la zapatadesplazamiento vertical de la zapatagiro de la zapata con respecto a un eie paralelo a la dimension B de la zapatagiro de la zapata can respecto a un eie paralelo a la dimension B de la zapataLos valoras de las rigideces se obtienen asr:

(4-35)


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Donde:A. '" area de la zapata I.. x H}Para obtBnBr las rigideces rotacionales. se impone un giro unitario a la zapata y se determina elmomento sobre el ele, este momenta corresponde a Is rigidez buscada.Para el momenta paralela a la dimensi6n B de la zapata tenemas que el esfuerza del suelo sobre lazapata en cualquier punto es igual a k. por la distancia del punto al eje sobre el cual ocurre el giro.Por 1 0 tanto en el extrema de la zapata sa tiene un esfuerzo:t:I .. k. a/2 B~.y en el otro extremat:I .. - k. a/2 B~.par 1 0 tanto las resultantes son:R .. k. 8/2 B ~z 8/4 .. 2k. B ~z B I 8y estdn a a/3 del eje. Dado que ~z = 1. tenemos que el momento con respecto al eje es:M - 2 k. B (82/8) (B/3) ~ k. B B3 / 12por 1 0 tanto:kh8 ..k. B 83 / 12 = k. lzhy anaioqarnente:

3kh8 = k. 8 B I 12 = k. lzhDonde:

(4-36)

(4-37)

lab '" Momenta de inercia de la zapata can respecto a un eie paralelo a la dimensi6n Blah Momenta de inercia de la zapata can respecto a un eje paralelo a la dimensi6n B

- La vigas de amarre de la cimentaci6n no deben tener la contribuci6n de rigidez aportada por elsue10, pues no se deben utillzar, en una cimentaci6n apropiadamenta disenada, para transtertresfuerzos al suelo. Par 10 tanto el valor del m6dulo de subrasante debe ser cera para estoselementos.- La profundidad de evaluaci6n de esfuerzos en el suelo, rnsncicnada en la Secci6n 2.2.2 (cl debedeterminarse con mucho criterio, pues la influencia depende de la dimensi6n de la zapata IB) y no dela dimensi6n de toda la fundaci6n, excepto cuando las zapatas estan colocadas muy carca y existeun efecto de grupo de las zapatas y por 10 tanto habrla Que trabaiar can una profundidad maximaQue sea funci6n del tamano total de la cimentaci6n en plants.- Cuando haya zapatas corridas pertenecientes a la zarpa del muro de contenci6n debe tenersecuidado de incluir la rigidez del mura. el cual actua an estos casos como una viga de gran altura.

4.7 EVALUACION DE LOS EFECTOS DE CONSOLIDACION DEL SUELO

La deformaci6n 0 asentamiento Que se obtiene en la superficie debido a la consoltdaclon de un suelocohesivo causada por un aumento en el esfuerzo efectivo en el suelo, se obtiene de acuerdo con 10presentado en la Secci6n 2.3.3. Segun la deformaci6n debida a la consoudaclcn, para cada punto deta losa, es posible corregir los valoras del m6dulo de subrasante cori el fin de introducir en el modelo,


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matemlltlco presentado el efecto de las deformaciones de consolidaci6n en las fuerzas internasdentro de los elemantos astructuralas de la fundaci6n y la superestructura.EI proceso de correcci6n para al m6dulo de subrasante serfa el sigulente:lal raalizar un amllisis de la losa utilizando al modalo presentado, corregido par efectos de bordeusando el procedimiento de la Secci6n 4.3. Asr se obtienen las deflexiones el~sticas del suelo 5i encada uno de los puntas de control.(b) calcular el asentamlento par consolidaci6n S~ en cada uno de los puntas donde se calcularon losesfuerzos util izando el pracedimiento de la seccton 2.3.3.Ie} Dado que el esfuerzo de contacto es el mismo tenemos, da acuerdo con la Ecuaci6n 2-13:

(4-38)yqi = k.ee (!i + Si)Donde:

(4-39)

'"' mOdul~ de subrasante corregido por efectos de borde y efectos de consolidaci6n(kg/em)... deflexi6n elastica en el nuda i tern).. asentamiento par consolidaci6n en el nuda i (em]entonees el valor dek.cc a utilizar en el anallsis con eonsolidaci6n en cada punta ies:

k.e 5i.ce a _ (4-40)Id) raalizar un nuevo analisis de la losa utilizando esta vez en cada zona el valor obtenido de xaee.los resultados de este anallsis incluyen el efecto en la cimentaci6n del asantamiento parconsolidaci6n. Adernas las deformaeiones que se obtengan corresponden a las deflexiones tinalesineluyendo el asentamiento par consolidaci6n.lei al proceso debe repetirse en su totalidad debido a que los asentamientos par consolidaei6ndependen de los esfuerZ9s de contacto y estos a su vez varran al utilizar los nuevas valores dek.!;c' Dependiendo de la magnitud de las variaeiones obtenidas entre un cicio y el siguiente sedefine an que momenta no justifiea realizar un nuevo analisis.

4.8 EJEMPLO DE RESULTADOS

Para efectos demostrativos, se proces6 una losa de 1.00 m de altura y de 19.00m par 26.50 m enplanta, ~ un edificio de cinco pisos cimentado sobre suelo blando con un m6dulo de subrasante de1 kgfcm . En la Figura 4-4 se muestran las deforrnaciones de la losa de fundaei6n causadas par lacarga muerta de la edificaci6n. En la Figura 4-5 se muestran las deformaclones en la losa causadaspor un sismo en la direcci6n X y en la Figura 4-5 can un sismo en la direcci6n Y. la escala verticalse ha ampliado 50 veees.


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DEFORMAC IONES SUELO B LAN DO CASO M AESTRO

FIGURA 44

Edifido EJEMPLO

MUERTA

DEFORMACIONES SUELO BLANDO CASO MAESTRO

FIGURA 45

EdifiCiO EJEMPLO

SISMO-X


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Edificio EJEMPLO

DEFORMACIONES - SUELO ; BLANDO CASO MAESTRO SISMO-Y

FIGURA 46

5. REFERENCIAS

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Analisis Diseno Losas Aligeradas Fundacion

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