Analisis Del Lugar Geometrico de La Raices

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

INGENIERÍA DE CONTROL M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ

1

Análisis del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) o Método de Evans La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar geométrico de las raíces, y en él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia la cual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de transferencia en lazo abierto. Sea el siguiente sistema de control

La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son

( )( )4

KG s

s s=

+

( )( ) 2 4

C s K

R s s s K=

+ +

La ecuación característica de lazo cerrado

2 4 0s s K+ + =

Las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado son

1 2, 2 4s s K= − ± −



2

K 1s 2s

0 -4 0

1 -3.732 -0.267

2 -3.414 -0.585

3 -3 -1

4 -2 -2

5 -2-i -2+i

8 -2-2i -2+2i

13 -2-3i -2+3i

Lugar geométrico de las raíces

De la grafica: El sistema es estable si 0K > , dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo

del plano s .

Respuesta transitoria

1. Sobreamortiguada ( )1ζ > (Polos reales y diferentes)

0 4K< <

2. Críticamente amortiguada ( )1ζ = (Polos reales e iguales)

4K =

3. Subamortiguada ( )0 1ζ< < (Polos complejos conjugados)

4K >

4. Sin amortiguamiento ( )0ζ = (Polos imaginarios)

No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta.



3

Gráfica del lugar geométrico de las raíces Considere el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es

( )( )

( )( ) ( )1

C s G s

R s G s H s=

+

La ecuación característica de este sistema es

( ) ( )1 0G s H s+ =

o bien

( ) ( ) 1G s H s = −

El término ( ) ( )G s H s es un cociente de polinomios en s .

Como ( ) ( )G s H s es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ángulo

Condición de ángulo

( ) ( ) ( ) ( )180º 2 1 0,1, 2,G s H s k k∠ = ± + = K

Condición de magnitud

( ) ( ) 1G s H s =

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud. Magnitud y Ángulo en el plano s.

Por ejemplo Si ( ) ( )G s H s es

( ) ( )( )

( )( )( )( )1

1 2 3 4

K s zG s H s

s p s p s p s p

+=

+ + + +

en donde 2 3p y p− − son polos complejos conjugados, el ángulo de ( ) ( )G s H s es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 4G s H s s z s p s p s p s p∠ = ∠ + − ∠ + − ∠ + − ∠ + − ∠ +

( ) ( ) 1 1 2 3 4G s H s φ θ θ θ θ∠ = − − − −



4

La magnitud de ( ) ( )G s H s para este sistema es

( ) ( ) 1

1 2 3 4

K s zG s H s

s p s p s p s p

+=

+ + + +

( ) ( ) 1

1 2 3 4

K BG s H s

A A A A=



5

Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces. 1 Inicio y final de las trayectorias

Las trayectorias del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto

( ) ( )G s H s con 0K = y terminan en los ceros de ( ) ( )G s H s o en el infinito (ceros finitos o

ceros en infinitos) con K = ∞ . 2 Trayectorias sobre el eje real:

Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Existen trayectorias sobre el eje real si la cantidad total

de polos y ceros reales de ( ) ( )G s H s a la derecha de un punto de prueba es impar.

3 Ubicación de los ceros infinitos:

Cuando el lugar geométrico de las raíces tiende a infinito ( )s → ∞ lo hace en forma

asintótica (en línea recta).

a Número de asíntotas ( )As#

zp nnAs −=#

donde:

=pn Número de polos de ( ) ( )sHsG

=zn Número de ceros finitos de ( ) ( )sHsG

b Centroide de las asíntotas ( )oσ

zp

iio

nn

ZP

−

∑−∑=σ

donde:

=∑ iP Suma de valores de los polos

=∑ iZ Suma de valores de los ceros

c Angulo de las asíntotas ( )As∠

( ) ( )K

o

,2,1,012180

=−

+±=∠ k

nn

kAs

zp

4 Puntos de quiebre o de ruptura ( )qS

a Cuando existen trayectorias entre dos polos o dos ceros reales, existe puntos de ruptura en el cuál el lugar de las raíces deja el eje real.



6

Procedimientos para determinar los puntos de quiebre

i) De la ecuación característica, despejar K ii) Derivar una vez con respecto a s e igualar a cero la ecuación resultante.

iii) Obtener las raíces de la ecuación obtenidas en el inciso (ii) , seleccionar el o los puntos de quiebre del sistema.

Si ( ) ( ) ( )( )sB

sKAsHsG =

La ec. característica sería ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) 011 =+=+=+ sKAsBsB

sKAsHsG

Despejando K ( )( )sA

sBK −=

Los puntos de ruptura se determinan resolviendo la siguiente ecuación.

0=ds

dK

5. Ganancia de quiebre ( )qK

Es el valor de K en el punto de quiebre.

Se obtiene utilizando la condición de magnitud en el punto qS

6. Ganancia Critica ( )cK

Es el valor de K que hace que el sistema se encuentre en el límite de estabilidad. Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación característica, se establece

el rango de valores de K para que el sistema sea estable. Los límites de ese rango

definirán los cK .

7. Frecuencia Critica ( )cω

El valor de los raíces (polos) cuando se cruza el eje imaginario; esto es cuando cKK =

Se obtiene sustituyendo cK en el polinomio auxiliar de la tabla de Routh.

8. Pertenencia de un punto a la trayectoria del L.G.R.

Para que un punto s pertenezca a la trayectoria del L.G.R. debe cumplir la condición de

ángulo:

( ) ( ) ( ) ( )K,2,1,012º180 =+±=∠ kksHsG

( ) ( )( )12180

)()()()(+±=

∑−

∑k

spuntoalsHsGdel

poloslosdeanguloslosde

spuntoalsHsGdefinitos

ceroslosdeanguloslosdeo

9. Cálculo de K para cualquier punto s del L.G.R.



7

Si un punto s pertenece al L.G.R. se puede obtener la ganancia K que permite tener ese

punto.

( )[ ]( )[ ])()(

)()(

SHsGdeceroslosyspuntoelentrelongitudeslasdeproducto

SHsGdepoloslosyspuntoelentrelongitudeslasdeproductoK =

10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un

polo complejo (un cero complejo) Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces cercanas a los polos y ceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Ángulo de salida desde un polo complejo = 180° - (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos) + (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros) Ángulo de llegada a un cero complejo = 180° - (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otros ceros) + (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos)

Ejemplo 1 Considere el sistema de la figura.

( ) ( )( )( )21 ++

=sss

KsHsG

Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de K tal que el factor de

amortiguamiento relativo ζ de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea

0.5. Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )K,1,012º1802121

=+±=+∠−+∠−−∠=++

∠=∠ kkssssss

KsHsG

La condición de magnitud es



8

( ) ( )( )( )

121

=++

=sss

KsHsG 21 ++= sssK

1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo

abierto ( )21,0 −− y con 0=K , y terminan en el infinito con ∞=K

2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre los

polos ( )10 −y y de ( )∞−− a2 .

3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden a

infinito son 3, ya que no existen ceros finitos.

303# =−=−= zp nnAs

( ) ( )1

3

02100 −=

−−−=

−

∑−∑=

zp

i

nn

ZiPσ

( ) ( ) ( ) °±°±=+°±=+°±

=−

+°±=∠ 180,601260

3

1218012180k

k

nn

kAs

zp

4. Puntos de quiebre o de ruptura ( )qS . Como existe lugar de las raíces entre dos polos (0 y

-1), entonces existe un punto de quiebre.

De la ecuación característica despejamos K

( )( )0

211 =

+++

sss

K

( )sssK 23 23 ++−=

derivando K respecto a s e igualando a ceros

( ) 0263 2 =++−= ssds

dK

0263 2 =++ ss

resolviendo

422.0−=s 577.1−=s

Como el punto de ruptura debe estar entre (0 y -1) entonces el punto sería

422.0−=qs

5. Ganancia de quiebre ( )qK Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de

quiebre con la condición de magnitud

( )( ) 385.0)578.1)(578.0)(422.0(21 ==++=qS

sssK



9

6. Ganancia Critica ( )cK : Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación

característica

La ecuación característica es 023 23 =+++ Ksss

La tabla de Routh es

P(s) Auxiliar Polinomio

Ks

Ks

Ks

s

←−

0

1

2

3

03

63

21

La ganancia crítica se obtiene de

03

6=

− cK 6=cK

7. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar

03 2 =+ cc Ks 063 2 =+cs jsc 414.1±=

Para determinar la ganancia K que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento

5.0=ζ

Primero se determina el punto s, que este sobre el L.G.R. y que este sobre la recta de relación de

amortiguamiento 5.0=ζ

Se determina la ecuación de la recta de 5.0=ζ

( ) º605.0coscos 11 === −− ζβ

( ) xxy 732.1º120tan −==



10

con esta ecuación de la recta se propone un valor en x y se determina el valor en y

el punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR

yjxs += ( )s∠− ( )1+∠− s ( )2+∠− s = -180°

-0.4+j0.693 -120º -49.11º -23.42º -192.53º

-0.3+j0.52 -120º -36.61º -17º -173.61º

-0.333+j0.577 -120° -40.86° -19.09° -179.95°

El punto que cumple con las dos condiciones es 577.0333.0 js +−=

Aplicando la condición de magnitud

( )( )( ) 036.1764.1882.0666.021577.0333.0

==++=+−= js

sssK

La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento 5.0=ζ es

036.1=K



11


( ) ( )( )( )21

)5(

++

+=

sss

sKsHsG

Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de K tal que el factor de

amortiguamiento relativo ζ de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea

0.6. Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en

( ) °±=+∠−+∠−∠−+∠=++

+∠=∠ 180)2()1()()5(

)2)(1(

)5()( ssss

sss

sKsHsG


( ) 1)2)(1(

)5()( =

++

+=

sss

sKsHsG

5

21

+

++=

s

sssK


abierto ( )21,0 −− y con 0=K , y terminan, una en ( )5− y dos en el infinito con ∞=K

2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre los

polos ( )10 −y y de ( )52 −− a .


infinito son 2, ya que solo existe un cero finito.

213# =−=−= zp nnAs

( ) ( )1

2

52100 =

−−−−=

−

∑−∑=

zp

i

nn

ZiPσ

( ) ( )°±=

+°±=

−

+°±=∠ 90

2

1218012180 k

nn

kAs

zp

4. Puntos de quiebre o de ruptura (qS ). Como existe lugar de las raíces entre dos polos

( )10 −y , entonces existe un punto de quiebre.




12

( )( ))5(

21

+

++−=

s

sssK


( )( )

05

515922

23

=+

+++−=

s

sss

ds

dK

05159 23 =+++ sss

Resolviendo

447.0−=s 609.1−=s 943.6−=s

Como el punto de ruptura debe estar entre (0 y -1) entonces el punto sería

447.0−=qs

5. Ganancia de quiebre ( qK ) Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de


( )( )084.0

553.4

)553.1)(553.0)(447.0(

5

21

)5(

21

447.0

=+

++=

+

++=

−=sSs

sss

s

sssK

q

6. Ganancia Critica ( cK ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación

característica

La ecuación característica es 05)2(3 23 =++++ KsKss


P(s)Auxiliar Polinomio

5

03

2653

21

0

1

2

3

←−

+

Ks

Ks

Ks

Ks


03

26=

− cK 3=cK


053 2 =+ cc Ks 0153 2 =+cs jsc 236.2±=

Para determinar la ganancia K que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento

6.0=ζ



13

Primero se determina el punto s, que este sobre el L.G.R. y que este sobre la recta de relación de

amortiguamiento 6.0=ζ

Se determinan los puntos que estén sobre la recta de 6.0=ζ

( ) °=== −− 13.536.0coscos 11ζβ

( ) xxy 333.187.126tan −=°=

con esta ecuación de la recta se propone un valor en x y se determina el valor en y

el punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR

yjxs += ( )5+∠ s ( )s∠− ( )1+∠− s ( )2+∠− s = -180°

-0.4+0.533j 6.61º -126.89º -41.61º -18.42º = -180.31º

-0.398+0.532j 6.59º -126.8º -41.46º -18.37º = -180.04º

El punto que cumple con las dos condiciones es js 532.0398.0 +−=

Aplicando la condición de magnitud

( )( )( )( )

194.0632.4

688.1803.0664.0

5

21

532.0398.0

==+

++=

+−= jss

sssK

La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento 6.0=ζ es

194.0=K



14



15


( ) ( )( )842 ++

=sss

KsHsG

( ) ( )( )( )jsjss

KsHsG

2222 −+++=

Para el sistema determinado, la condición de ángulo es

( )( )( )

°±=−+∠−++∠−−∠=−+++

∠=∠ 180)22()22()(2222

)( jsjssjsjss

KsHsG


( )( )( )

12222

)( =−+++

=jsjss

KsHsG jsjssK 2222 −+++=


abierto ( )jyj 2222,0 +−−− con 0=K , y terminan, en el infinito con ∞=K . 2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre

∞−y0 .


infinito son 3, ya que no existen ceros finitos.

303# =−=−= zp nnAs

( )333.1

3

222200 −=

−−+−=

−

∑−∑=

jj

nn

ZiP

zp

iσ

( ) ( )º180,60

3

1218012180°±=

+°±=

−

+°±=∠

k

nn

kAs

zp

4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ): No existe punto de quiebre.

5. Ganancia de quiebre (qK ): No existe ganancia de quiebre

6. Ganancia Critica ( cK ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación

característica

La ecuación característica es 084 23 =+++ Ksss




16

P(s) Auxiliar Polinomio

Ks

Ks

Ks

s

←−

0

1

2

3

04

324

81


04

32=

− cK 32=cK


04 2 =+ cc Ks 0324 2 =+cs jsc 828.2±=

10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo

complejo (un cero complejo)

Se toma como polo complejo js 22+−=

Ángulo de salida = ( ) ( )( ) ( ) °−=°+°−°=++∠+∠−° 459013518022180 jss



17


( ) ( ) ( )( )134

42 ++

+=

ss

sKsHsG

( ) ( )( )

( )( )4

2 3 2 3

K sG s H s

s j s j

+=

+ + + −

Para el sistema determinado, la condición de ángulo es

( ) ( )( )( )

( ) °±=−+∠−++∠−+∠=−+++

+∠=∠ 180)32()32(4

3232

4)( jsjss

jsjs

sKsHsG


( ) ( )( )( )

13232

4)( =

−+++

+=

jsjs

sKsHsG

4

3232

+

−+++=

s

jsjsK


abierto ( )jyj 3232 −−+− con 0=K , y terminan, una en el cero ( )4− y la otra en el

infinito con ∞=K 2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre

( )∞−− y4 .


infinito es 1, ya que solo existe un cero finito.

112# =−=−= zp nnAs

( )4

1

32320 −=

−−+−=

−

∑−∑=

jj

nn

ZiP

zp

iσ

( ) ( )°±=

+°±=

−

+°±=∠ 180

1

1218012180 k

nn

kAs

zp

4. Puntos de quiebre o de ruptura (qS ): Como existe lugar de las raíces entre un cero y el

infinito ( )∞−− y4 , entonces existe un punto de quiebre.




18

( )( ))4(

3232

+

−+++−=

s

jsjsK


( )0

)4(

382

2

=+

++−=

s

ss

ds

dK

0382 =++ ss

resolviendo

394.0−=s 605.7−=s

Como el punto de ruptura debe estar entre ( )∞−− y4 entonces el punto sería

605.7−=qs

5. Ganancia de quiebre ( qK ): Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de


( )( )211.11

605.3

)357.6)(357.6(

4

3232

)4(

3232

605.7

=+

−+++=

+

−+++=

−=sSs

jsjs

s

jsjsK

q

6. Ganancia Critica ( )cK : No existe ganancia crítica porque el LGR no cruza el eje imaginario

7. El punto crítico ( )cs : No existe punto crítico

10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo

complejo (un cero complejo)

Se toma como polo complejo js 32+−=

Ángulo de salida = ( ) ( ) °=°+°−°=+∠+++∠−° 31.14631.5690180432180 sjs



19



20


( ) ( ) ( )( )( )( )12

43

+−

++=

ss

ssKsHsG

Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en

( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) °±=+∠−−∠−+∠++∠=+−

++∠=∠ 180)1()2(43

12

43)( ssss

ss

ssKsHsG


( ) ( )( )( )( )

112

43)( =

+−

++=

ss

ssKsHsG

43

12

++

+−=

ss

ssK


abierto ( )12 −y con 0=K , y terminan, en los ceros ( )43 −− y con ∞=K .

2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre

( )12 −y ( )43 −− y .

3. Ubicación de los ceros infinitos: No existen trayectorias del L.G.R. que tiendan a infinito.

4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ): Como existe lugar de las raíces entre ( )12 −y y el

infinito ( )∞−− y4 , entonces existe un punto de quiebre.


( )( ))4)(3(

12

++

+−−=

ss

ssK

derivando K respecto a s e igualando a cero

( )( ) ( )0

)4()3(

2288

)4)(3(

1222

2

=++

++−=

++

+−−

ss

ss

ss

ss

ds

d

02288 2 =++ ss

resolviendo

073.0−=s 427.3−=s

Los dos puntos son puntos de ruptura ya que están entre ( )12 −y y ( )∞−− y4

073.01 −=qs 427.32 −=qs



21

5. Ganancia de quiebre ( qK ): Utilizando los puntos de quiebre 21 qq sys , calculamos las

ganancias de quiebre con la condición de magnitud

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

833.53573.0427.0

427.2427.5

43

12

)4)(3(

12

167.0927.3927.3

927.0073.2

43

12

)4)(3(

12

427.3

2

073.0

1

22

11

==++

+−=

++

+−=

==++

+−=

++

+−=

−=

−=

qq

qq

SS

q

SS

q

ss

ss

ss

ssK

ss

ss

ss

ssK

6. Ganancia Critica ( )cK : No existe ganancia crítica porque el LGR no cruza el eje imaginario

7. Punto crítico ( )cs : No existe punto crítico



22



23

3=K

4=K

8=K

13=K

20=K



24

( ) ( )( )( )21 ++

=sss

KsHsG

05.0=K

2.0=K

3849.0=K



25

5.2=K

5.5=K

6=K



26

9=K

K Mp Tp Ts

.05 151

.2 33.7

.3849 14.3

1.036 16 5.96 12.4

2.5 48 3.69 17.8

5.5 86 2.64 164

6

9



27

K=0.05

K=0.2

K=0.3849

K=1.036

K=2.5

K=5.5 K=6 K=9

( ) ( )( )( )21 ++

=sss

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Analisis Del Lugar Geometrico de La Raices

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