Analisis Clasico

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Leccin Estadstica Introduccin al Anlisis Clsico de Series de Tiempo Citar como: Arellano, M. (2001): "Introduccin al Anlisis Clsico de Series de Tiempo", [en lnea] 5campus.com, Estadstica [y aadir fecha consulta] 1. Conceptos Basicos De Series De Tiempo 1.1 Introduccin 1.2 Definicin De Serie De Tiempo 1.3 Primer Paso Al Analizar Cualquier Serie De Tiempo 2. Modelos Clasicos De Series De Tiempo 2.1 Modelos De Descomposicin 2.2 Estimacin De La Tendencia 2.3 Estimacin De La Estacionalidad 3. Predicciones 3.1 Ejemplo Ilustrativo 1. CONCEPTOS BASICOS DE SERIES DE TI EMPO 1.1 I NTRODUCCI N Toda institucin, ya sea la familia, la empresa o el gobierno, tiene que hacer planes para elfuturosihadesobreviviryprogresar.Hoyendadiversasinstitucionesrequieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenmenos con el fin de planificar, prever o prevenir. La planificacin racional exige prever los sucesos del futuro que probablemente vayan a ocurrir.Laprevisin,asuvez,sesuelebasarenloquehaocurridoenelpasado.Se tienepuesunnuevotipodeinferenciaestadsticaquesehaceacercadelfuturode alguna variable o compuesto de variables basndose en sucesos pasados. La tcnica ms importante para hacer inferencias sobreelfuturocon base en lo ocurridoen el pasado, es el anlisis de series de tiempo. Soninnumerableslasaplicacionesquesepuedencitar,endistintasreasdel conocimiento,talescomo,eneconoma,fsica,geofsica,qumica,electricidad,en demografa, en marketing, en telecomunicaciones, en transporte, etc. Series De TiempoEjemplos 1. Series econmicas: - Precios de un artculo - Tasas de desempleo - Tasa de inflacin - ndice de precios, etc. 2. Series Fsicas: - Meteorologa - Cantidad de agua cada - Temperatura mxima diaria - Velocidad del viento (energa elica) - Energa solar, etc. 3. Geofsica: - Series sismologas 4. Series demogrficas: - Tasas de crecimiento de la poblacin - Tasa de natalidad, mortalidad - Resultados de censos poblacionales 5. Series de marketing: - Series de demanda, gastos, ofertas 6. Series de telecomunicacin: - Anlisis de seales 7. Series de transporte: - Series de trfico Uno de los problemas que intenta resolver las series de tiempo es el de prediccin. Esto esdadounaserie{x(t1),...,x(tn)}nuestrosobjetivosdeinterssondescribirel comportamientodelaserie,investigarelmecanismogeneradordelaserietemporal, buscarposiblespatronestemporalesquepermitansobrepasarlaincertidumbredel futuro. En adelante se estudiarcomo construir un modelo para explicar la estructuray prever laevolucindeunavariablequeobservamosalolargodeltiempo.Lavariablesde interspuedesermacroeconmica(ndicedepreciosalconsumo,demandade electricidad, series de exportaciones o importaciones, etc.), microeconmica (ventas de unaempresa,existenciasenunalmacn,gastosenpublicidaddeunsector),fsica (velocidad del viento en una central elica, temperatura en un proceso, caudal de un ro, concentracinenlaatmsferadeunagentecontaminante),osocial(nmerode nacimientos, matrimonios, defunciones, o votos a un partido poltico). 1.2 DEFI NI CI N DE SERI E DE TI EMPO Enmuchasreasdelconocimientolasobservacionesdeinterssonobtenidasen instantessucesivosdeltiempo,porejemplo,acadahora,durante24horas,mensuales, trimestrales, semestrales o bien registradas por algn equipo en forma continua. LlamamosSeriedeTiempoaunconjuntodemedicionesdeciertofenmenoo experimentoregistradassecuencialmenteeneltiempo.Estasobservacionessern denotadas por {x(t1), x(t2), ..., x(tn)} = {x(t) : t e T _ R} con x(ti) el valor de la variable x en el instante ti. Si T = Z se dece que la serie de tiempo es discreta y si T = R se dice que la serie de tiempo es continua. Cuando ti+1 - ti = k para todo i = 1,...,n-1, se dice que la serie es equiespaciada, en caso contrario ser no equiespaciada. Enadelantesetrabajarconseriesdetiempodiscreta,equiespaciadasencuyocaso asumiremosysinperdidadegeneralidadque:{x(t1),x(t2),...,x(tn)}={x(1),x(2),..., x(n)}. 1.3 PRI MER PASO AL ANALI ZAR CUALQUIER SERI E DE TI EMPO El primer paso en el anlisis de series de tiempo, consiste en graficar la serie. Esto nos permite detectar las componentes esenciales de la serie. El grfico de la serie permitir: a) Detectar Outlier:serefiereapuntosdelaseriequeseescapandelonormal.Un outliersesunaobservacindelaseriequecorrespondeauncomportamientoanormal del fenmeno (sin incidencias futuras) o a un error de medicin. Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie. Porejemplo,enunestudiodelaproduccindiariaenunafabricasepresentla siguiente situacin ver figura 1.1: Figura 1.1 Losdospuntosenmarcadosenuncrculoparecencorresponderauncomportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondan a dos das deparo,loquenaturalmenteafectlaproduccinenesosdas.Elproblemafue solucionado eliminando las observaciones e interpolando. b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo (ver figura 1.2). Figura 1.2 c) Variacin estacional: la variacin estacional representa un movimiento peridico de la serie de tiempo. La duracin de la unidad del periodo es generalmente menor que un ao. Puede ser un trimestre, un mes o un da, etc (ver figura 1.3). Matemticamente,podemosdecirquelaserierepresentavariacinestacionalsiexiste un nmero s tal que x(t) = x(t + ks). Lasprincipalesfuerzasquecausanunavariacinestacionalsonlascondicionesdel tiempo, como por ejemplo: 1) en invierno las ventas de helado 2) en verano la venta de lana 3) exportacin de fruta en marzo. Todos estos fenmenos presentan un comportamiento estacional (anual, semanal, etc.) Figura 1.3 d)Variacionesirregulares(componentealeatoria):losmovimientosirregulares(al azar)representantodoslostiposdemovimientosdeunaseriedetiempoquenosea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cclicas. 2. MODELOS CLASI COS DE SERIES DE TI EMPO 2.1 MODELOS DE DESCOMPOSI CI N Unmodeloclsicoparaunaseriedetiempo,suponequeunaseriex(1),...,x(n)puede ser expresada como suma o producto de tres componentes:tendencia, estacionalidad y un trmino de error aleatorio. Existentresmodelosdeseriesdetiempos,quegeneralmenteseaceptancomobuenas aproximacionesalasverdaderasrelaciones,entreloscomponentesdelosdatos observados. Estos son: 1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t) 2. Multiplicativo: X(t) = T(t) E(t) A(t) 3. Mixto: X(t) = T(t) E(t) + A(t) Donde: X(t) serie observada en instante t T(t) componente de tendencia E(t) componente estacional A(t) componente aleatoria (accidental) UnasuposicinusualesqueA(t)seaunacomponentealeatoriaoruidoblancocon media cero y varianza constante. Unmodeloaditivo(1),esadecuado,porejemplo,cuandoE(t)nodependedeotras componentes, como T(t), s por elcontrario la estacionalidad varacon latendencia,el modelo ms adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede sertransformadoenaditivo,tomandologaritmos.Elproblemaquesepresenta,es modelar adecuadamente las componentes de la serie. Lafigura2.1ilustraposiblespatronesquepodranseguirseriesrepresentadasporlos modelos (1), (2) y (3). Figura 2.1 2.2 ESTI MACI N DE LA TENDENCI A Supondremos aqu que la componente estacional E(t) no est presentey que el modelo aditivo es adecuado, esto es: X(t) = T(t) + A(t), donde A(t) es ruido blanco. Hay varios mtodos para estimar T(t). Los ms utilizados consisten en: 1)1)Ajustarunafuncindeltiempo,comounpolinomio,unaexponencialuotra funcin suave de t. 2)2) Suavizar (o filtrar) los valores de la serie. 3)3) Utilizar diferencias. 2.2.1 AJ USTE DE UNA FUNCI N Los siguientes grficos ilustran algunas de las formas de estas curvas. 1.T(t) = a + bt(Lineal) 2.T(t) = a ebt (Exponencial) 3. T(t) = a + b ebt(Exponencial modificada) 4.T(t)=|0+|1t,...,+|mtm(Polinomial) 5.T(t) = exp(a + b(rt))(Gompertz 0 < r < 1) 6.T(t)= (Logstica) Nota:i.i.lacurvadetendenciadebecubrirunperiodorelativamentelargoparaseruna buena representacin de la tendencia a largo plazo. ii.ii. La tendencia rectilnea y exponencial son aplicable a corto plazo, puesto que una curva S a largo plazo puede parecer una recta en un perodo restringido de tiempo (por ejemplo). 1 0 ,) (1