Analisi Numerica - II modulo · 2016. 1. 22. · Analisi Numerica - II modulo D. Lera LEZIONE 6...

AnalisiNumerica - II

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D. Lera

LEZIONE 6

Analisi Numerica - II modulo

Daniela Lera

Università degli Studi di CagliariDipartimento di Matematica e Informatica

A.A. 2014-2015


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Problemi non lineari

Iterazioni di punto fisso

I metodi fin qui trattati possono essere considerati comecasi particolari di un procedimento iterativo generale per laricerca di un punto fisso di una trasformazione


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Si consideri le funzioni f , g : R→ R Se

f (x) = x− g(x)

allora

f (α) = 0 ⇔ α = g(α)

α é uno zero di f (x) sse α é punto fisso di g(x).


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Punto fisso di una funzione


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Ogni equazione può generare diversi processi iterativi:

f (x) = 0 ⇒ x− g(x) = 0 ⇒ x = g(x)

Metodo delle iterate successive

xn+1 = g(xn)

g(x) è detta funzione di iterazione, ed è definita a partiredalla funzione f .


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Esempio

f (x) = x2 − x− 2 = 0

x = x2 − 2 ⇒ xn+1 = x2n − 2

x =√

x + 2 ⇒ xn+1 =√

xn + 2

x = 1 + 2/x ⇒ xn+1 = 1 + 2/xn


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Esempi

Il metodo di Newton e il metodo delle corde possono essereconsiderati casi particolari di iterazioni di punto fisso.

g(x) = x− 1m

f (x) CORDE

g(x) = x− 1f ′(x)

f (x) NEWTON


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Nel caso più generale:

xn+1 = g(xn, xn−1, ..., xn−r+1)

r = 1 ⇒ Corde, Newton

r = 2 ⇒ Secanti

g(x, y) = x− f (x)x− y

f (x)− f (y)


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Domande

1. La successione {xn} é nell’insieme didefinizione della funzione g(x)?

2. {xn} converge?3. {xn} converge ad α, punto fisso di g(x)?


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Esempio

g(x) = −√

x

Se x0 > 0 ⇒ x1 = g(x0) < 0

La condizione 1 non é verificata.

Occorre che la g(x) trasformi l’insieme didefinizione in se stesso.


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Teoremi di punto fisso

Analizziamo il problema da un punto di vista generale.

Dato un operatore T, definito in uno spazio qualunque M, sicercano le condizioni per cui l’equazione non lineare:

x = Tx, x ∈ M

può essere risolta mediante il metodo delle iteratesuccessive definito dalla relazione:

xk+1 = Txk, x0 ∈ M, k = 0, 1, 2, ...


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Richiami

Spazio completo

Uno spazio metrico (X, d) si dice completo se tutte lesuccessioni di Cauchy convergono a punti x dello spaziostesso.

Successione di Cauchy

Una successione {xk} è detta di Cauchy se ∀ε > 0, esisteun N = N(ε) tale che:

d(xn, xm) < ε n,m > N


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Richiami

Insieme convessoIn uno spazio vettoriale V su R un insieme A si diceconvesso se per ogni coppia di punti in A il segmento che licongiunge è interamente contenuto in A.

Spazio compattoUno spazio si dice compatto se da ogni ricoprimentocostituito da una famiglia di insiemi aperti si può estrarre unsottoricoprimento finito.Intuitivamente uno spazio compatto è piccolo, nel sensoche i suoi punti non possono allontanarsi arbitrariamentel’uno dall’altro.


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Teorema di Banach

Sia X uno spazio metrico completo rispetto alla distanza d,M un sottospazio non vuoto e chiuso di X e T un operatoretale che:

T : M → M

Se T é L-contrattivo, cioé esiste una costante L, 0 ≤ L < 1tale che :

d(Tx,Ty) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ M

allora si ha:


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Teorema di Banach

1. Esistenza e unicità: l’equazione x = Tx ha una ed unasola soluzione, cioé T ha un unico punto fisso α ∈ M.

2. Convergenza: la successione {xk} converge ad α,∀x0 ∈ M.

3. Stima dell’errore: per k = 0, 1, 2, ... si hanno leseguenti stime dell’errore:


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Teorema di Banach

A priori:

d(xk, α) ≤ Lk(1− L)−1d(x0, x1)

A posteriori:

d(xk+1, α) ≤ L(1− L)−1d(xk, xk+1)

4. Velocità di convergenza: per k = 0, 1, 2, ... si ha:

d(xk+1, α) ≤ Ld(xk, α)


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Per stima a priori si intende una stima che può esserecalcolata prima di effettuare il calcolo.

La stima a posteriori invece fornisce una indicazionedell’errore mentre il calcolo procede.


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Le ipotesi del teorema di Banach sono essenziali.

Esempio.T : M → M

M = (0, 1), Tx =x2

M non é chiuso.L’assenza di tale ipotesi fa mancare l’esistenza del puntofisso, infatti il punto fisso x = 0 non appartiene a M.


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Il teorema di Banach contiene elementi fondamentali per iltrattamento sia teorico che numerico delle equazionimatematiche.

La proprietà di convergenza 2. ci assicura che uncambiamento del punto iniziale x0 non influenza il valore dellimite della successione fintanto che x0 rimane in M. Si dice,in tal caso, che il punto fisso è un attrattore.

Per il calcolo numerico è importante perché i valori xk sonoin generale valori arrotondati.


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Trasformazione continua

Per quanto riguarda l’esistenza di un punto fisso di unatrasformazione continua il risultato di base è fornito dalseguente:

Teorema di BrowerSia M un sottoinsieme non vuoto, convesso, compatto di Rn,con n ≥ 1 e sia T : M → M una trasformazione continua.Allora T ha un punto fisso.


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Trasformazione continua

Esempio

T : [0, 1]→ [0, 1] continua⇒ T interseca la retta y = x.

I punti di intersezione sono i punti fissi di T.

Il punto fisso non é necessariamente unico e non é, ingenerale, limite delle iterate successive.


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Risultati locali di punto fisso

Dal teorema di Banach si ricavano interessanti risultati localidi punto fisso, cioè relativi ad una sfera contenente il puntofisso di raggio piccolo.

Consideriamo il caso di una funzione in R.La contrattività in un intervallo I si esprime con la relazione:

|g(x)− g(y)| ≤ L|x− y|

Una funzione contrattiva è anche continua. Se è anchederivabile, dal Teorema del valor medio di Lagrange siricava che

L = maxx∈I|g′(x)|


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La condizione di contrattività per una funzione derivabile siriassume quindi nel fatto che la derivata prima sia in modulominore di 1.

Per una funzione contrattiva la distanza tra le immagini didue punti è minore di quella tra i punti stessi, mentre peruna funzione non contrattiva questa distanza aumenta.

La contrattività esprime quindi la capacità di una funzione gdi avvicinare tra loro due punti e si capisce come essa siacollegata alla convergenza di una iterazione costruita su diessa.


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Funzioni contrattive e non contrattive


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TeoremaSia g(x) : R→ R, supponiamo che esista x∗ tale cheg(x∗) = x∗.Se |g′(x∗)| < 1 e se esiste un intorno di x∗ in cui g é definita

allora

1. esiste una sfera B(x∗, r) tale che per ogni x ∈ B

d(g(x), g(x∗)) ≤ Ld(x, x∗) L < 1

2. il metodo delle approssimazioni successive converge,cioé {xn} → x∗, x0 ∈ B;3. x∗ é l’unico punto fisso di g in B.


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OsservazioneIn dimensione n, considerando cioé un sistema di equazioninon lineari, la condizione

|g′(x∗)| < 1

diventa‖J(x∗)‖ < 1, ‖.‖ norma in Rn

dove

J =

(∂gi

∂xj

)matrice jacobiana di g = [g1, ..., gn]T


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CorollarioSia g(x) : R→ R tale che g(x∗) = x∗. Se g′(x∗) = 0, alloraesiste una sfera B(x∗, r) tale che per x0 ∈ B la successione{xk} → x∗.

Inoltre se g′(x) é continua in B̄ e se esiste limitata g”(x),allora:

|xk+1 − x∗| ≤ c|xk − x∗|2

cioé il metodo é del secondo ordine.


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Esempio: Metodo di Newton

f (x) = 0 ⇒ g(x) = x− f (x)

f ′(x)

Sia x∗ lo zero di f .

Se f ′(x∗) 6= 0 ed f (x) é derivabile 2 volte⇒ g′(x∗) = 0

⇒ dal corollario Newton ha convergenza quadratica.


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Esempio: Metodo di NewtonSe

f ′(x∗) = 0 ⇒ g′(x∗) = 1− 12

Hint: Si pone f (x) = (x− x∗)2h(x)con h(x∗) 6= 0

Generalizzando, se

f (m)(x∗) = 0 m = 0, 1, ..., r − 1

si hag′(x∗) = 1− 1

rQuindi per r > 1 il metodo di Newton è lineare.


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Esempio 1

Se |g′(x∗)| = 1 ci può essere sia convergenza chedivergenza.

g1(x) =

{ 12 x2 + 1

2 x ≤ 12√

x− 1 x ≥ 1

Convergenza ∀x0 ∈ R.

g2(x) =

{2√

x− 1 x ≤ 112 x2 + 1

2 x > 1

Divergenza ∀x0 ∈ R.


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Esempio 2: sistema non lineare{x1 + 2x2 = 32x2

1 + x22 = 5

Graficamente si individua una radice nel rettangolo:

R := {1 ≤ x1 ≤ 2, 0.5 ≤ x2 ≤ 1.5}

Si considera x = g(x), x = (x1, x2)T e

g(x) :

{x1 =

√5−x2

22

x2 = 12(3− x1)


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Esempio 2


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Esempio 2: sistema non lineare

J =

(0 −x2/(10− 2x2

2)1/2

−12 0

)

Si ha:supx∈R‖J‖1 =

3√22

< 1

Il metodo converge alla radice [1.488, 0.7560].

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