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COGNOME: NOME: CANALE:

ANALISI MATEMATICA 1Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica

Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. ZoccanteVicenza, 13 gennaio 2020

Scrivere su questo foglio A4, fronte e retro: lo si consegna come parte A.È vietato tenere libri, appunti, telefoni.

TEMA 1, Turno 1

(1) Dopo aver definito le derivate direzionali di una funzione di due variabili inun punto (x0, y0), calcolarle nel punto (2, 1) per la funzione

F (x, y) = x2y.

(2) Enunciare e dimostrare la condizione necessaria per la convergenza delle serie.Stabilire se tale condizione è anche sufficiente, esibendo eventualmente uncontroesempio.

Tempo per la parte A: 20 minuti.

1


Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. ZoccanteVicenza, 13 gennaio 2020Seconda prova in itinere

Nella prima pagina del foglio di bella, sotto lo spazio riservato alla Com-missione, ogni studente deve riassumere i risultati ottenuti.La brutta copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna.È vietato avere con sé telefoni o calcolatrici, né accesi né spenti né riposti.È vietato usare appunti di ogni tipo e parlare durante il compito.

TEMA 1

Esercizio 1. (11 punti)Si consideri la funzione

f(x) =(arctanx

) [sinh

(x+ x3

)− sin

(x+ x3

)].

(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin)del quarto ordine di f .

(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata terza e delladerivata quarta di f in x = 0.

(c) Determinare per quali α ∈ R la serie+∞∑n=1

nα+7(arctan

(1

n

))[sinh

(1

n+

1

n3

)− sin

(1

n+

1

n3

)]converge.

Esercizio 2. (11 punti)Sia

f(x) =ex

e2x + ex − 2.

(a) Dopo avere verificato che f è positiva sull’intervallo (1, 2), si calcoli l’area dellaregione del piano definita da

A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [1, 2], 0 ≤ y ≤ f(x)}(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati∫ 1

0

f(x) dx e∫ 10

√x f(x) dx.

Tempo: 1h e 30 minuti, complessive di Parte A—20 minuti—e B—70 minuti. Formulario sul retro.

Formulario per gli appelli ufficialiAnalisi Matematica 1 a.a. 2019-2020 — V. Casarino, F. Rossi, S. ZoccanteIngegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Innovazione del Prodotto—Vicenza

Formule trigonometriche e iperboliche

sin(x± y) = sin(x) cos(y)± cos(x) sin(y) cos(x± y) = cos(x) cos(y)∓ sin(x) sin(y)

sin(x2

)= ±

√1− cos(x)

2cos(x2

)= ±

√1 + cos(x)

2

SettTanh(x) =1

2log

(1 + x

1− x

)tan(2x) =

2 tan(x)

1− tan2(x)

SettSh(x) = log(x+√x2 + 1

)SettCh(x) = log

(x+√x2 − 1

)Formule parametriche per funzioni trigonometriche: sia x 6= π+2kπ e t = tan

(x2

), si

ha:

sin(x) =2t

1 + t2, cos(x) =

1− t2

1 + t2, tan(x) =

2t

1− t2(x 6= π

2+ kπ

)Sviluppi di McLaurin: per x→ 0 valgono le seguenti relazioni

ex = 1 + x+x2

2+ · · ·+ x

n

n!+ o(xn)

ax = 1 + x(log a) +x2(log a)2

2+ · · ·+ x

n(log a)n

n!+ o(xn) per a > 0

sin(x) = x− x3

6+x5

5!− x

7

7!+x9

9!+ · · ·+ (−1)n x

2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)

cos(x) = 1− x2

2+x4

4!− x

6

6!+x8

8!+ · · ·+ (−1)n x

2n

(2n)!+ o(x2n+1)

tan(x) = x+x3

3+

2

15x5 +

17

315x7 + o(x8)

sinh(x) = x+x3

6+x5

5!+ · · ·+ x

2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)

cosh(x) = 1 +x2

2+x4

4!+ · · ·+ x

2n

(2n)!+ o(x2n+1)

tanh(x) = x− x3

3+

2

15x5 − 17

315x7 + o(x8)

log(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ · · ·+ (−1)n+1x

n

n+ o(xn)

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2x2 +

α(α− 1)(α− 2)3!

x3 + · · ·+(α

n

)xn + o(xn)

esempio:√1 + x = 1 +

x

2− x

2

8+x3

16+ · · ·+

(1/2

n

)xn + o(xn)

arcsin(x) = x+x3

6+

3

40x5 +

5

112x7 + · · ·+

(−1

2

n

)(−1)n

2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)

arccos(x) =π

2− x− x

3

6− 3

40x5 − 5

112x7 − · · · −

(−1

2

n

)(−1)n

2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)

arctan(x) = x− x3

3+x5

5+ · · ·+ (−1)

n

(2n+ 1)x2n+1 + o(x2n+2)

Si è usata la notazione(αn

):= α(α−1)...(α−n+1)

n!per α ∈ R e n ∈ N.




Scrivere su questo foglio A4, fronte e retro: lo si consegna come Parte A.È vietato tenere libri, appunti, telefoni.

TEMA 2

(a) Scrivere la definizione di funzione differenziabile per una funzione di duevariabili, in modo esplicito nel caso della funzione

F (x, y) = x2 + y2

nel punto (0, 0). Enunciare poi il legame fra differenziabilità e continuità.(b) Scrivere la definizione di primitiva. Dimostrare che due primitive di una stessa

funzione f definite su un intervallo I differiscono al più per una costante.

Tempo per la Parte A: 20 minuti.




TEMA 2


f(x) =(log(1 + x3)

) [cosh

(2x+ x3

)− cos

(2x+ x3

)].

(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin)del quinto ordine di f .

(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata quarta e delladerivata quinta di f in x = 0.

(c) Determinare per quali β ∈ R la serie+∞∑n=1

nβ−2(log

(1 +

1

n3

))[cosh

(2

n+

1

n3

)− cos

(2

n+

1

n3

)]converge.


f(x) =2ex

e2x + 6ex − 7.


A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [2, 3], 0 ≤ y ≤ f(x)}(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati∫ +∞

1

f(x)dx e∫ +∞1

ex/2 f(x) dx.

Tempo: 1h e 30 minuti, complessive di Parte A—20 minuti—e B—70 minuti.




sin(x2

)= ±

√1− cos(x)

2cos(x2

)= ±

√1 + cos(x)

2

SettTanh(x) =1

2log

(1 + x

1− x

)tan(2x) =

2 tan(x)

1− tan2(x)


)SettCh(x) = log

(x+√x2 − 1


(x2

), si

ha:

sin(x) =2t

1 + t2, cos(x) =

1− t2

1 + t2, tan(x) =

2t

1− t2(x 6= π

2+ kπ


ex = 1 + x+x2

2+ · · ·+ x

n

n!+ o(xn)


2+ · · ·+ x

n(log a)n

n!+ o(xn) per a > 0

sin(x) = x− x3

6+x5

5!− x

7

7!+x9

9!+ · · ·+ (−1)n x

2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)

cos(x) = 1− x2

2+x4

4!− x

6

6!+x8

8!+ · · ·+ (−1)n x

2n

(2n)!+ o(x2n+1)

tan(x) = x+x3

3+

2

15x5 +

17

315x7 + o(x8)

sinh(x) = x+x3

6+x5

5!+ · · ·+ x

2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)

cosh(x) = 1 +x2

2+x4

4!+ · · ·+ x

2n

(2n)!+ o(x2n+1)

tanh(x) = x− x3

3+

2

15x5 − 17

315x7 + o(x8)

log(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ · · ·+ (−1)n+1x

n

n+ o(xn)

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2x2 +

α(α− 1)(α− 2)3!

x3 + · · ·+(α

n

)xn + o(xn)


x

2− x

2

8+x3

16+ · · ·+

(1/2

n

)xn + o(xn)

arcsin(x) = x+x3

6+

3

40x5 +

5

112x7 + · · ·+

(−1

2

n

)(−1)n

2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)

arccos(x) =π

2− x− x

3

6− 3

40x5 − 5

112x7 − · · · −

(−1

2

n

)(−1)n

2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)

arctan(x) = x− x3

3+x5

5+ · · ·+ (−1)

n

(2n+ 1)x2n+1 + o(x2n+2)


):= α(α−1)...(α−n+1)






TEMA 3

(a) Data una funzione f : R2 → R, scrivere la definizione di funzione derivabilein un punto (x, y). Scrivere poi la definizione di gradiente di f in un punto(x, y) in cui f è derivabile.

(b) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. Posto poif(x) = |x|,

determinare la media integrale di f nell’intervallo [−1, 2].





TEMA 3


f(x) =(arctan(x2)

) [sinh

(3x+ x3

)− sin

(3x+ x3

)].

(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin)del quinto ordine di f .

(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata quarta e delladerivata quinta di f in x = 0.

(c) Determinare per quali α ∈ R la serie+∞∑n=1

n3−α(arctan

(1

n2

))[sinh

(3

n+

1

n3

)− sin

(3

n+

1

n3

)]converge.


f(x) =ex

e2x + 4ex − 5.


A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [1, 4], 0 ≤ y ≤ f(x)}(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati∫ 1

0

f(x) dx e∫ 10

x3/4 f(x) dx.





sin(x2

)= ±

√1− cos(x)

2cos(x2

)= ±

√1 + cos(x)

2

SettTanh(x) =1

2log

(1 + x

1− x

)tan(2x) =

2 tan(x)

1− tan2(x)


)SettCh(x) = log

(x+√x2 − 1


(x2

), si

ha:

sin(x) =2t

1 + t2, cos(x) =

1− t2

1 + t2, tan(x) =

2t

1− t2(x 6= π

2+ kπ


ex = 1 + x+x2

2+ · · ·+ x

n

n!+ o(xn)


2+ · · ·+ x

n(log a)n

n!+ o(xn) per a > 0

sin(x) = x− x3

6+x5

5!− x

7

7!+x9

9!+ · · ·+ (−1)n x

2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)

cos(x) = 1− x2

2+x4

4!− x

6

6!+x8

8!+ · · ·+ (−1)n x

2n

(2n)!+ o(x2n+1)

tan(x) = x+x3

3+

2

15x5 +

17

315x7 + o(x8)

sinh(x) = x+x3

6+x5

5!+ · · ·+ x

2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)

cosh(x) = 1 +x2

2+x4

4!+ · · ·+ x

2n

(2n)!+ o(x2n+1)

tanh(x) = x− x3

3+

2

15x5 − 17

315x7 + o(x8)

log(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ · · ·+ (−1)n+1x

n

n+ o(xn)

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2x2 +

α(α− 1)(α− 2)3!

x3 + · · ·+(α

n

)xn + o(xn)


x

2− x

2

8+x3

16+ · · ·+

(1/2

n

)xn + o(xn)

arcsin(x) = x+x3

6+

3

40x5 +

5

112x7 + · · ·+

(−1

2

n

)(−1)n

2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)

arccos(x) =π

2− x− x

3

6− 3

40x5 − 5

112x7 − · · · −

(−1

2

n

)(−1)n

2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)

arctan(x) = x− x3

3+x5

5+ · · ·+ (−1)

n

(2n+ 1)x2n+1 + o(x2n+2)


):= α(α−1)...(α−n+1)






TEMA 4

(a) Data f : R2 → R definita in un intorno di (3, 2), scrivere la definizione dilim

x→(3,2)f(x) = 4 .

(b) Enunciare e dimostrare il corollario del Teorema fondamentale del Calcolointegrale ("Se G è una qualsiasi primitiva di f su [a, b], risulta

∫ baf(x)dx =

...").





TEMA 4


f(x) =(log(1 +

1

3x2)) [

cosh(3x+ x3

)− cos

(3x+ x3

)].

(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin)del quarto ordine di f .

(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata terza e delladerivata quarta di f in x = 0.

(c) Determinare per quali β ∈ R la serie+∞∑n=1

n5−β(log

(1 +

1

3n2

))[cosh

(3

n+

1

n3

)− cos

(3

n+

1

n3

)]converge.


f(x) =4ex

e2x + 2ex − 3.


A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [2, 4], 0 ≤ y ≤ f(x)}(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati∫ +∞

2

f(x)dx e∫ +∞2

ex/4 f(x) dx.





sin(x2

)= ±

√1− cos(x)

2cos(x2

)= ±

√1 + cos(x)

2

SettTanh(x) =1

2log

(1 + x

1− x

)tan(2x) =

2 tan(x)

1− tan2(x)


)SettCh(x) = log

(x+√x2 − 1


(x2

), si

ha:

sin(x) =2t

1 + t2, cos(x) =

1− t2

1 + t2, tan(x) =

2t

1− t2(x 6= π

2+ kπ


ex = 1 + x+x2

2+ · · ·+ x

n

n!+ o(xn)


2+ · · ·+ x

n(log a)n

n!+ o(xn) per a > 0

sin(x) = x− x3

6+x5

5!− x

7

7!+x9

9!+ · · ·+ (−1)n x

2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)

cos(x) = 1− x2

2+x4

4!− x

6

6!+x8

8!+ · · ·+ (−1)n x

2n

(2n)!+ o(x2n+1)

tan(x) = x+x3

3+

2

15x5 +

17

315x7 + o(x8)

sinh(x) = x+x3

6+x5

5!+ · · ·+ x

2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)

cosh(x) = 1 +x2

2+x4

4!+ · · ·+ x

2n

(2n)!+ o(x2n+1)

tanh(x) = x− x3

3+

2

15x5 − 17

315x7 + o(x8)

log(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ · · ·+ (−1)n+1x

n

n+ o(xn)

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2x2 +

α(α− 1)(α− 2)3!

x3 + · · ·+(α

n

)xn + o(xn)


x

2− x

2

8+x3

16+ · · ·+

(1/2

n

)xn + o(xn)

arcsin(x) = x+x3

6+

3

40x5 +

5

112x7 + · · ·+

(−1

2

n

)(−1)n

2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)

arccos(x) =π

2− x− x

3

6− 3

40x5 − 5

112x7 − · · · −

(−1

2

n

)(−1)n

2n+ 1x2n+1 + o(x2n+2)

arctan(x) = x− x3

3+x5

5+ · · ·+ (−1)

n

(2n+ 1)x2n+1 + o(x2n+2)


):= α(α−1)...(α−n+1)


Svolgimento

Esercizio 1, tema 1

(a) Dataf(x) =

(arctanx

) [sinh

(x+ x3

)− sin

(x+ x3

)],

si ha

f(x) =(arctanx

) [sinh

(x+ x3

)− sin

(x+ x3

)]=

(x− 1

3x3 + o(x4)

)[(x+ x3

)+

1

6

(x+ x3

)3 − (x+ x3)+ 16

(x+ x3

)3+ o(x4)

]=

(x− 1

3x3 + o(x4)

)[2

6

(x+ x3

)3+ o(x4)

]=

(x− 1

3x3 + o(x4)

)[1

3x3 + o(x4)

]=

(x− 1

3x3 + o(x4)

)[1

3x3 + o(x4)

]=

1

3x4 + o(x4).

Lo sviluppo richiesto è quindi

f(x) =1

3x4 + o(x4).

(b) Ricordiamo che il coefficiente k-imo dello sviluppo di Taylor con centro inx = 0 soddisfa la relazione

ak =f (k)(0)

k!.

Poiché a3 = 0 e a4 = 13 , si ha

f (3)(0) = 0

e

f (4)(0) = 4! · 13= 8.

(c) Scriviamo la serie+∞∑n=1

nα+7(arctan

(1

n+

1

n5

))[sinh

(1

n+

1

n3

)− sin

(1

n+

1

n3

)]come

+∞∑n=1

nα+7bn,

ove

bn =

(arctan

(1

n+

1

n5

))[sinh

(1

n+

1

n3

)− sin

(1

n+

1

n3

)]Sappiamo dal punto (a) che bn è positivo e che

bn ∼1

3n−4 + o(n−4)

per n→ +∞.Quindi il termine ennesimo della serie è asinotico a

1

3nα+3

e la serie converge se e solo se α < −4.

Esercizio 1, tema 2

(a) Lo sviluppo richiesto è

f(x) = 4x5 + o(x5).

(b) Si ha

f (4)(0) = 0

ef (5)(0) = 5! · 4 = 480.

(c) La serie converge se e solo se β < 6.

Esercizio 1, tema 3


f(x) = 9x5 + o(x5).

(b) Si ha

f (4)(0) = 0

ef (5)(0) = 5! · 9 = 1080.

(c) La serie converge se e solo se α > −1.Esercizio 1, tema 4


f(x) = 3x4 + o(x4).

(b) Si ha

f (3)(0) = 0

ef (4)(0) = 4! · 3 = 72.

(c) La serie converge se e solo se β > 2.

Esercizio 2, tema 1

(a) Osserviamo innanzitutto cheex

e2x + ex − 2=

ex

(ex − 1)(ex + 2)e che

ex

(ex − 1)(ex + 2)> 0 ⇐⇒ ex − 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.

La funzione è quindi positiva sull’intervallo (1, 2) e l’area richiesta è data da

A =

∫ 21

ex

e2x + ex − 2dx.

Calcoliamo prima l’integrale indefinito attraverso il cambio di variabile ex = dte il metodo dei fratti semplici:

I =

∫ex

e2x + ex − 2dx

=

∫1

t2 + t− 2dt

=

∫1

(t+ 2)(t− 1)dt

=1

3log(ex − 1)− 1

3log(ex + 2) + C.

Risulta quindi

A =

(1

3log(ex − 1)− 1

3log(ex + 2)

) ∣∣∣21

=

(1

3log(e2 − 1)− 1

3log(e2 + 2)

)−(1

3log(e− 1)− 1

3log(e+ 2)

)=

1

3log(e+ 1)− 1

3log

e2 + 2

e+ 2.

(b) L’integrale generalizzato ∫ 10

f(x) dx

è divergente, perché l’integranda f(x) soddisfa la stima asintotica

f(x) ∼ 13x

per x→ 0

(abbiamo qui usato lo sviluppo di ex e il fatto che ex + 2 ∼ 3 per x→ 0).Al contrario, l’integrale generalizzato∫ 1

0

√x f(x) dx

è convergente, perché l’integranda g(x) =√x f(x) soddisfa la stima asintotica

g(x) ∼ x1/2

3x∼ 1

3x1/2per x→ 0.

Esercizio 2, tema 2

(a) Vale f(x) = 2exe2x+6ex−7 =

2ex

(ex−1)(ex+7) , da cui segue che

ex

(ex − 1)(ex + 7)> 0 ⇐⇒ ex − 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.


A =

∫ 32

2ex

e2x + 6ex − 7dx.

L’integrale indefinito è dato da

I =1

4log(ex − 1)− 1

4log(ex + 7) + C.

Risulta quindi

A =

(1

4log(ex − 1)− 1

4log(ex + 7)

) ∣∣∣32

=

(1

4log(e3 − 1)− 1

4log(e3 + 7)

)−(1

4log(e2 − 1)− 1

4log(e2 + 7)

)=

1

4log

(e3 − 1)(e2 + 7)(e2 − 1)(e3 + 7)

.

(b) L’integrale generalizzato ∫ +∞1

f(x) dx

è convergente, perché l’integranda f(x) soddisfa la stima asintotica

f(x) ∼ 2ex

per x→ +∞.L’integrale generalizzato∫ +∞

1

ex/2 f(x) dx

è anch’esso convergente, perché l’integranda g(x) = ex/2 f(x) soddisfa la stimaasintotica

g(x) ∼ 2ex/2

ex∼ 1

2ex/2per x→ +∞.

Esercizio 2, tema 3

(a) Valeex

e2x + 4ex − 5=

ex

(ex − 1)(ex + 5),

da cui segue cheex

(ex − 1)(ex + 2)> 0 ⇐⇒ ex − 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.


A =

∫ 41

ex

e2x + ex − 2dx.


I =1

6log(ex − 1)− 1

6log(ex + 5) + C.

Risulta quindi

A =

(1

6log(ex − 1)− 1

6log(ex + 5)

) ∣∣∣41

=

(1

6log(e4 − 1)− 1

6log(e4 + 5)

)−(1

6log(e− 1)− 1

6log(e+ 5)

)

=1

6log

(e4 − 1)(e+ 5)(e− 1)(e4 + 5)

.

(b) L’integrale generalizzato ∫ 10

f(x) dx

è divergente, perché l’integranda f(x) soddisfa la stima asintotica

f(x) ∼ 16x

per x → 0 (abbiamo qui usato lo sviluppo di ex per x → 0 e il fatto cheex + 5 ∼ 6 per x→ 0).

Al contrario, l’integrale generalizzato∫ 10

x3/4 f(x) dx

è convergente, perché l’integranda g(x) = x3/4 f(x) soddisfa la stima asintotica

g(x) ∼ x3/4

6x∼ 1

6x1/4

per x→ 0.Esercizio 2, tema 4

(a) Vale f(x) = 4exe2x+2ex−3 =

4ex

(ex−1)(ex+3) , da cui segue che

4ex

(ex − 1)(ex + 3)> 0 ⇐⇒ ex − 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.


A =

∫ 42

2ex

e2x + 2ex − 3dx.


I = log(ex − 1)− log(ex + 3) + C.Risulta quindi

A = (log(ex − 1)− log(ex + 3))∣∣∣42

=(log(e4 − 1)− log(e4 + 3)

)−(log(e2 − 1)− log(e2 + 3)

)= log

(e4 − 1)(e2 + 3)(e2 − 1)(e4 + 3)

.

(b) L’integrale generalizzato ∫ +∞2

f(x) dx

è convergente, perché l’integranda f(x) soddisfa la stima asintotica

f(x) ∼ 4ex

per x→ +∞.L’integrale generalizzato∫ +∞

2

ex/4 f(x) dx

è anch’esso convergente, perché l’integranda g(x) = ex/4 f(x) soddisfa la stimaasintotica

g(x) ∼ 4ex/4

ex∼ 4e−

34x per x→ +∞.

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