Analisi di un segnale. Segnale e fondo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 71 Segnale e...

Analisi di un segnale

Segnale e fondo

Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 3

Segnale e fondo

Il problema In funzione di una (o più) variabile(-i) si

ha un segnale che è somma Di un segnale casuale, o comunque non

interessante Fondo, background, noise

Di un segnale importante e significativo Come di fa a separarli? Come si fa a

calcolare gli errori?


Segnale e fondo

Una soluzione Conoscere in qualche modo il fondo

Teorie, ipotesi Misure prima e dopo il segnale

Simulare il fondo statisticamente Fare l’ipotesi che il fondo sia lo stesso

anche se il segnale è presente Indipendenza oltre che struttura


Segnale e fondo

Ottenere il segnale a fondo sottratto Calcolo della percentuale di fondo Normalizzazione

Tenere conto dell’additività delle varianze Nella sottrazione le cose peggiorano

Simulazioni statistiche



Chiamate anche MonteCarli Il termine (spregiativo) risale ad anni ’40 In fenomeni molto complessi si ricorse a

simulazioni casuali Oggi si usano di routine in fenomeni

complessi Idrodinamica Plasmi Scontri fra Galassie Sviluppi di popolazioni di organismi



Inizio con gli sciami elettromagnetici Un gamma materializza in una coppia

elettrone-positrone Le cariche passano vicino a dei nuclei e

fanno BS Vengono emessi dei gamma...



Si può studiare con equazioni differenziali...

Ma ne vale la pena? E come si fa a tener conto delle fluttuazioni?

...oppure simulando statisticamente il processo

Simulazioni: oggi molto usate per una varietà di problemi scientifici e tecnici



Alternative Forza bruta del calcolo

Simulazioni Calcolo agli elementi finiti

Uso sofisticato del calcolo differenziale Molto spesso troppo astratto Troppe ipotesi difficilmente controllabili Sistemi di PDE ed IE di difficile soluzione e

controllo Non linearità delle PDE



Vari modelli: PM: Particle-Mesh. Una particella si muove

in un campo predefinito ed immutabile Esempio: un satellite nel campo gravitazionale

terrestre

P3M: Particle-Particle-Particle-Mesh. Idem come sopra, però tenendo conto anche delle interazioni fra le particelle

Esempio: elettroni entro un semiconduttori sottoposti ad un campo esterno (il FET)



Vediamo alcuni vantaggi Facilità di modellizzazione

Parcellizzazione di un fenomeno complesso Possibilità di controllo del calcolo nelle sue varie fasi

Facilità di modifiche al modello Facilità di riprodurre sistemi non lineari Facilità di aumentare l’accuratezza

Svantaggi: tempi di calcolo...



Il confronto fra dati e previsioni ora ha due facce Errori sui dati Errori sulle previsioni Tipicamente quelli statistici



Su eventi le fluttuazioni statistiche sono attese dell’ordine di

Le fluttuazioni percentuali sono dunque

Domanda:

NN

1N

N N



Quanti eventi statistici dobbiamo produrre affinché gli errori

sperimentali non ne risentano

apprezzabilmente?



La risposta sta nell’additività delle varianze

Poniamo che l’errore relativo sia

Regola praticaPer un aumento del 10% dell’errore

relativo occorrono campioni dell’ordine di

x

2

5minN



Quindi se si ha una statistica di 1000 eventi l’errore sarà incrementato del 10% con una simulazione di 5000 eventi

...e se si vuole passare al 5% occorrono 20000 eventi

Ricordate ? ...e se si vuole passare all’1% occorrono

500000 eventi...

N



In genere si accettano statistiche

Nel dubbio è sempre meglio abbondare, se possibile...

2

5 10minN



Problema: Abbiamo un segnale di forma nota

Supporremo gaussiano Viene mescolato con un fondo

Supporremo parabolico

Come facciamo a isolare il segnale dal fondo?

Con quali limiti?



Nella pratica Segnale gaussiano molto frequente

L’onnipresenza della gaussiana... Nelle alte energie più comune la Breit-

Wigner

2 2m M



La massa di una particella che vive poco non è definita esattamente

Calcolate questa relazione con m in MeV e t in s

2

2

E t h

mc t

hm t

h

c



Potete dimostrare che la sua energia-massa è distribuita come quella di una risonanza

Dualismo onda-corpuscolo... Questa è una Breit-Wigner La massa della non è facile da

determinare...


2 4 6 8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25



Sotto al segnale e nelle immediate vicinanze ogni fondo... O è lineare O al massimo è quadratico

Il resto è filosofia teoretica



Iniziamo con una simulazione di dati gaussiani

2000 casi segnale

Ecco i dati: segnale, fondo, segnale+fondo

0 1.5



Aggiungiamo un fondo di forma parabolica

Poi sommiamo il tutto 800 casi di fondo

...e vediamo l’istogramma finale Questo è ciò che ci apparirebbe in un

ipotetico esperimento

20.085 1.6 6.0x x


-4 -2 0 2 40

50

100

150

200

250

300


-4 -2 0 2 40

20

40

60

80

100

120


-4 -2 0 2 40

50

100

150

200

250

300

350



Se si sa la forma del fondo Se si sa la forma del segnale

2

2

( )2

( , , , , , )

1

2

x

F x

x x e



Ci sono 18 punti Quindi 12 gradi di libertà Ci attendiamo un 2 12



Ed adesso calcoliamo il

Questo deve venir minimizzato rispetto alle 8 lettere greche...

Chiaro che la regressione lineare...

2

2exp,22

( ), , , , ,

k

k

y F x



Se non si sa la forma del fondo

SI SIMULA IL FONDO Tipico caso dell’uso di un MonteCarlo Spesso si preferisce questo metodo

anche se si sa la forma del fondo



Si cerca di parametrizzare il fondo sotto il segnale Lineare o quadratico

Oppure si calcola il contributo del fondo bin per bin

Poi si procede come sopra



Ecco cosa succede con 800 casi di segnale e 2000 di fondo...


-4 -2 0 2 40

20

40

60

80

100


-4 -2 0 2 40

50

100

150

200


-4 -2 0 2 40

50

100

150

200

250



Ce ne vuole di buona volontà a vedere il segnale...

Ed ecco 8000 casi di segnale contro 20000 casi di fondo...

Statistica 10 volte superiore Errori che calano di circa un fattore 3

Ricordate Poisson?


-4 -2 0 2 40

200

400

600

800

1000


-4 -2 0 2 40

500

1000

1500

2000


-4 -2 0 2 40

500

1000

1500

2000

2500



Ecco cosa succede se sottraiamo il fondo. Plots in sequenza

Segnale Fondo Fondo + segnale Precedente meno il fondo calcolato con

simulazione 2000 casi di fondo e 800 di segnale

Notate l’aumento dell’errore nella sottrazione!


-4 -2 0 2 40

20

40

60

80

100

120


-4 -2 0 2 40

50

100

150

200

250


-4 -2 2 4-25

25

50

75

100

125

150



Ora una statistica 10 volte superiore


-4 -2 0 2 40

200

400

600

800

1000


-4 -2 0 2 40

500

1000

1500

2000


-4 -2 0 2 40

500

1000

1500

2000

2500


-4 -2 2 4

200

400

600

800

1000

A proposito di masse...

Ricordate:

La misura è una ricetta...


Massa di una particella

...che vive poco e scoppia in due

Misuriamo i momenti dei prodotti di decadimento

Il modulo: di solito da campo magnetico

, , , ,x y z x y zp p p p p p



Facile se è uniforme Se no il calcolo non è così semplice

Ed il campo non è mai uniforme... La direzione: dalle equazioni della

curva Un’elica nello spazio

I punti dell’elica sono misurati L’elica viene calcolata col

Ma va?

2



Poi dobbiamo sapere le masse delle particelle uscenti Facile, di solito: non ce ne sono molte fra

cui scegliere Quindi la massa come invariante

relativistico 2

22 2 2 2 2m p m p m p p



Brutte cose per energie alte

C’è una differenza in mezzo Il valore si calcola come differenza di

numeri grossi... E gli errori aumentano

È un mondo difficile...



Errori Da errori sul modulo sui momenti Da errori sugli angoli dei momenti

Quindi dal fit! ...e le correlazioni fra gli angoli?

Incertezza fisica: dalla Breit-Wigner

0.8

1.1

770.0

150.7

m MeV

MeV



Attenzione: Le misure possono essere diverse a

seconda dei tipi di decadimento! Cambia la vita media...

La Natura è complicata...



Supponiamo di avere un fondo parabolico

Ecco la situazione della distribuzione ...e la statistica con 30000 e con 2000

casi


4 6 8

5

10

15

20

25

30

35


2 4 6 8

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200


2 4 6 8

75

100

125

150

175

200

225

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