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273 Analisi di affidabilità di un componente meccanico F. Ambrogi 1 , C. Braccesi 2 , F. Cianetti 2 1 Mechanical Dynamics Srl, Via Palladio 98 – 33010 Tavagnacco (UD) 2 Dipartimento di Ingegneria Industriale – Università degli Studi di Perugia Via G. Duranti 1 – 06100 Perugia e-mail: [email protected] Keywords: fatigue, durability, finite element, multibody simulation Sommario Nell’ambito dell’analisi della “vita” a fatica di componenti appartenenti a sistemi meccanici sottoposti a sollecitazioni variabili nel tempo, la valutazione del danneggiamento mediante l’utilizzo della simulazione numerica si sta affiancando con sempre maggiore importanza ai tradizionali approcci che utilizzano prove sperimentali realizzate in laboratorio o sul “campo”. In questo lavoro, nell’ambito di una attività di ricerca sviluppata in collaborazione con una industria leader nella produzione di riduttori (Bonfiglioli Riduttori S.p.A.), viene illustrato un esempio di applicazione di tali metodologie all’analisi di affidabilità di un componente meccanico soggetto a rottura a fatica. Applicando una procedura di valutazione del danneggiamento sviluppata dagli autori in un codice di calcolo numerico ed utilizzando una modellazione CAD/FEM del componente si sono modellate le condizioni di funzionamento ottenendo risultati in pieno accordo con i rilievi sperimentali. Abstract In analysing the fatigue life of components belonging to mechanical systems subjected to variable loads in time, the evaluation of damage by means of numerical simulation is increasingly accompanying the traditional means which use experimental tests in laboratory or on field. In this paper an example of virtual damage evaluation of a mechanical component is shown. This research activity is developed in cooperation with a well-known company, leader in gear trains production (Bonfiglioli Riduttori S.p.A.). Using a numerical damage evaluation procedure implemented by authors and a CAD/FEM modelling, component behaviour at exercise has been simulated with a good agreement with experimental results. 1. INTRODUZIONE Dal punto di vista industriale, al fine di diminuire sostanzialmente i costi fissi del prodotto e, quindi, aumentare la competitività sul mercato delle aziende, attualmente, si è estremizzata l’esigenza di progettare e sviluppare i prodotti in tempi molto brevi minimizzando l’utilizzo di prototipi. A seguito di questa pressione di tipo commerciale, la valutazione del danneggiamento a fatica mediante l’utilizzo della simulazione numerica si sta affiancando con sempre maggiore importanza ai tradizionali approcci che utilizzano prove sperimentali realizzate in laboratorio o sul “campo”. È evidente come l’utilizzo di strumenti ormai di comune diffusione come modellatori 3D combinati con meshatori e solutori FEA, in certi casi integrati direttamente nei codici CAD, così come avviene anche per alcuni simulatori di tipo dinamico (MBS), permette, mediante integrazione con codici dedicati alla valutazione a fatica in ambiente di simulazione (FC), di valutare velocemente la bontà di più soluzioni progettuali senza ricorrere a fasi intermedie di prototipazione. Nell’ambito di un contesto industriale, rivolto cioè alle esigenze delle aziende nella fase di progettazione e verifica dell’affidabilità, con lo sviluppo di queste nuove tecniche è possibile modificare tutto il processo di ingegnerizzazione dei prodotti; nello schema in fig. (1) sono illustrate le fasi tipiche di un lavoro di progettazione di una struttura meccanica tramite l’ausilio di queste nuove tecniche di simulazione numerica; in particolare si può evidenziare il nuovo ruolo assunto dalle verifiche sperimentali. La prova di laboratorio viene effettuata praticamente solo ad uno stadio finale dello sviluppo, in una fase in cui la simulazione ha dato indicazioni positive sulla affidabilità del pezzo. Lo schema mostra anche quali sono i principali cambiamenti che possono essere effettuati e valutati in fase di progettazione del prodotto per modificarne il comportamento in caso di verifica virtuale di un eventuale

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Analisi di affidabilità di un componente meccanico

F. Ambrogi 1, C. Braccesi 2, F. Cianetti 2

1 Mechanical Dynamics Srl, Via Palladio 98 – 33010 Tavagnacco (UD) 2 Dipartimento di Ingegneria Industriale – Università degli Studi di Perugia

Via G. Duranti 1 – 06100 Perugia e-mail: [email protected]

Keywords: fatigue, durability, finite element, multibody simulation

Sommario Nell’ambito dell’analisi della “vita” a fatica di componenti appartenenti a sistemi meccanici sottoposti a sollecitazioni variabili nel tempo, la valutazione del danneggiamento mediante l’utilizzo della simulazione numerica si sta affiancando con sempre maggiore importanza ai tradizionali approcci che utilizzano prove sperimentali realizzate in laboratorio o sul “campo”.

In questo lavoro, nell’ambito di una attività di ricerca sviluppata in collaborazione con una industria leader nella produzione di riduttori (Bonfiglioli Riduttori S.p.A.), viene illustrato un esempio di applicazione di tali metodologie all’analisi di affidabilità di un componente meccanico soggetto a rottura a fatica.

Applicando una procedura di valutazione del danneggiamento sviluppata dagli autori in un codice di calcolo numerico ed utilizzando una modellazione CAD/FEM del componente si sono modellate le condizioni di funzionamento ottenendo risultati in pieno accordo con i rilievi sperimentali.

Abstract In analysing the fatigue life of components belonging to mechanical systems subjected to variable loads in time, the evaluation of damage by means of numerical simulation is increasingly accompanying the traditional means which use experimental tests in laboratory or on field.

In this paper an example of virtual damage evaluation of a mechanical component is shown. This research activity is developed in cooperation with a well-known company, leader in gear trains production (Bonfiglioli Riduttori S.p.A.).

Using a numerical damage evaluation procedure implemented by authors and a CAD/FEM modelling, component behaviour at exercise has been simulated with a good agreement with experimental results.

1. INTRODUZIONE Dal punto di vista industriale, al fine di diminuire sostanzialmente i costi fissi del prodotto e, quindi, aumentare la competitività sul mercato delle aziende, attualmente, si è estremizzata l’esigenza di progettare e sviluppare i prodotti in tempi molto brevi minimizzando l’utilizzo di prototipi. A seguito di questa pressione di tipo commerciale, la valutazione del danneggiamento a fatica mediante l’utilizzo della simulazione numerica si sta affiancando con sempre maggiore importanza ai tradizionali approcci che utilizzano prove sperimentali realizzate in laboratorio o sul “campo”.

È evidente come l’utilizzo di strumenti ormai di comune diffusione come modellatori 3D combinati con meshatori e solutori FEA, in certi casi integrati direttamente nei codici CAD, così come avviene anche per alcuni simulatori di tipo dinamico (MBS), permette, mediante integrazione con codici dedicati alla valutazione a fatica in ambiente di simulazione (FC), di valutare velocemente la bontà di più soluzioni progettuali senza ricorrere a fasi intermedie di prototipazione.

Nell’ambito di un contesto industriale, rivolto cioè alle esigenze delle aziende nella fase di progettazione e verifica dell’affidabilità, con lo sviluppo di queste nuove tecniche è possibile modificare tutto il processo di ingegnerizzazione dei prodotti; nello schema in fig. (1) sono illustrate le fasi tipiche di un lavoro di progettazione di una struttura meccanica tramite l’ausilio di queste nuove tecniche di simulazione numerica; in particolare si può evidenziare il nuovo ruolo assunto dalle verifiche sperimentali. La prova di laboratorio viene effettuata praticamente solo ad uno stadio finale dello sviluppo, in una fase in cui la simulazione ha dato indicazioni positive sulla affidabilità del pezzo.

Lo schema mostra anche quali sono i principali cambiamenti che possono essere effettuati e valutati in fase di progettazione del prodotto per modificarne il comportamento in caso di verifica virtuale di un eventuale

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danneggiamento:� modifiche� strutturali� del� componente� mirate� alla� geometria� delle� zone� maggiormente�danneggiate�(CAD/FEM),�modifiche�funzionali�del�prototipo�al�fine�di�minimizzare�lo�stato�di�sollecitazione�nei�punti�critici�(MBS)�e�modifiche�relative�al�materiale�utilizzato�oppure�ai�processi�di�lavorazione�delle�superfici�del�pezzo�(FC).�

L’ attività�di�ricerca,�all’ interno�della�quale�si�colloca�questa�memoria,�è�sviluppata�in�collaborazione�con�la�Bonfiglioli�Riduttori�S.p.A.,�azienda�leader�nella�produzione�di�riduttori�ed�ha�come�principale�finalità�quella�di�valutare�la�possibilità�di� introdurre�questi�nuovi�strumenti�di�valutazione�nello�sviluppo�dei�suoi�prodotti.�In�questo�lavoro�in�particolare�si�è�voluto�verificare�la�possibilità�di�poter�prevedere�già�in�fase�di�progetto�la�durata�di�un�componente�meccanico�mediante�l’ utilizzo�di�un�approccio�completamente�virtuale�considerando�il�caso�di�un�riduttore�a�vite�senza�fine�ed�in�particolare�della�sua�cassa.�

2.� VALUTAZIONE�VIRTUALE�DELL’AFFIDABILITÀ�Nel� presente� capitolo� viene� descritto� il� processo� che� in� generale� viene� utilizzato� nella� valutazione�dell’ affidabilità�di�un�componente�mediante�approccio�virtuale.�Verrà�parallelamente�analizzato�il�caso�test�del�riduttore� suddetto� al� fine� di� analizzare� più� in� dettaglio� le� problematiche� che� si� incontrano� in� questo� tipo� di�valutazione.�

Le� fasi� che�devono� essere� sviluppate� in�un�generico� caso�di� valutazione�virtuale�dell’ affidabilità� di� un�componente�meccanico�sono�sinteticamente�descritte�in�fig.�(2).�

In� primo� luogo� è� prevista� la� definizione� delle� condizioni� di� prova� con� le� quali� certificare� la� bontà�del�componente.�

Successivamente� è� richiesta� un’ attenta� analisi� dei� carichi� che� consente� di� individuare� le� time� histories�delle�sollecitazioni�agenti�sul�componente�relativamente�al�ciclo�di�funzionamento�in�oggetto.�Questa�analisi�può�essere�condotta�mediante�un�approccio�classico�di� tipo�analitico/numerico�ma�è�evidente�che�nell’ ottica�di�una�completa� integrazione�degli�strumenti�di�simulazione�l’ approccio�maggiormente�flessibile�ed�automatizzabile�è�quello�che�prevede�l’ utilizzo�di�un�modello�dinamico�multicorpo�del�sistema.�

Si� procede,� quindi,� alla� modellazione� del� componente� mediante� disegno� CAD� e� successiva�discretizzazione�agli�elementi� finiti� (raffinata�al�punto�da�poter�valutare� lo�stato� tensionale�ed� in�particolare� le�condizioni�di�concentrazione�di�tensione).�

La� ricostruzione� dello� stato� tensionale� può� essere� condotta� mediante� due� approcci� principali� statico� o�modale� a� partire� dai� risultati� delle� simulazioni� MBS� del� sistema� e� di� analisi� dedicate� FEA� sul� componente�ottenendo�lo�stato�tensionale�e�deformativo�in�ogni�punto�della�struttura�per�ogni�istante�di�funzionamento.�

Nell’ ottica,�poi,�di�valutare�il�danneggiamento�le�time�histories�del�tensore�dello�stato�tensionale�di�ogni�punto� del� componente� vengono� dapprima� processate� in� funzione� del� criterio� di� rottura� ipotizzato� e,�successivamente,� le�storie�di� tensione�così�ottenute�vengono�analizzate�mediante�algoritmi�di�conteggio�di� tipo�Rainflow�fornendo�informazioni�in�termini�matriciali�sui�cicli�isteretici�chiusi�e�su�quelli�residui�aperti.�

Altra� fase� fondamentale� è� la� modellazione� del� comportamento� a� fatica� del� materiale� che� può� essere�condotta,�o� realizzando�una�campagna�di�prove� sperimentali�o�a�partire�da�dati�noti� ed� inseriti� in�un�database�

Analisi�dei�carichi�

Modifiche�funzionali�

Materiale�e�lavorazioni�

Ottimizzazione�del�prodotto�

MODELLO�CAD�

confronto�

Si�

No�

Durability OK ?�

Si�

AVVIO�DELLA�LINEA�DI�

PRODUZIONE�

MODELLO�FEM�

Test�Sperimentali�

Acquisizione�dei�dati�

No�

Durability OK ?�

REALIZZAZIONE�DEL�PROTOTIPO�

Previsione del danno

Fig.�1�Processo�di�verifica�dell’ affidabilità�del�prodotto�

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dedicato,�mediante�curve�di�Wöhler,�modificabili�mediante� le�correzioni�di�Miner�modificato,�Haibach�o�Liu-Zenner.� Interagendo� direttamente� con� il� disegno� 3D� del� componente� si� possono� automaticamente� definire�coefficienti� correttivi� per� tener� conto� della� finitura� superficiale� nonché� degli� altri� principali� fattori� che�influenzano�il�comportamento�a�fatica�sia�di�natura�deterministica�che�stocastica.�Le�matrici�Rainflow�vengono�così�ad�essere�ricondotte�mediante�criteri�di�ponderazione�(Gerber,�Goodman)�a�spettri�di�carico�mediante�i�quali�valutare�il�danneggiamento�per�esempio�con�la�legge�di�cumulazione�del�danno�di�Miner.�

E’ � importante� sottolineare� come� la� metodologia� esposta� sia� direttamente� applicabile� allo� studio� della�fatica�ad�alto�numero�di�cicli�fornendo�esclusivamente�lo�stato�di�tensione�in�campo�elastico.�E’ �evidente�che�per�quanto� riguarda� la� fatica� oligociclica� si� deve� trasformare� il� tensore� elastico� di� pseudo� tensione� in� un� tensore�elasto-plastico;� dal� punto� di� vista� procedurale� questo� potrebbe� essere� ottenuto,� per� esempio,� attraverso� la�trasformazione� di� Jiang� o� in� alternativa� attraverso� approcci� più� approssimati� come� l’ utilizzo� della� legge� di�Neuber�e�la�formula�di�Ramberg-Osgood�ma�ciò�non�è�stato�oggetto�di�questo�lavoro�di�ricerca.�

Nella�fase�di�analisi�della�metodologia�sono�stati�messi�a�punto�dagli�autori� in�un�linguaggio�di�calcolo�numerico� (Matlab)� degli� algoritmi� per� l’ analisi� delle� storie� di� carico� e/o� tensione� provenienti� da� simulazioni�numeriche� e/o� acquisizioni� sperimentali� e� di� algoritmi�per� la� valutazione�del� danneggiamento�dei� componenti�meccanici� sia� in� presenza� di� stato� di� sollecitazione� monoassiale� che� pluriassiale� nell'ipotesi� di� fatica� ad� alto�numero�di�cicli.�

Le�analisi�descritte�successivamente�sono�state�realizzate�mediante�tali�algoritmi.�Attraverso� questi,� a� partire� dalle� time� histories� del� tensore� dello� stato� tensionale� e/o� deformativo� in�

assegnati�punti�della�struttura,�ricavate�con�i�citati�metodi�di�ricostruzione,�e�dalla�conoscenza�o�definizione�delle�caratteristiche� del� materiale� si� valuta� il� tensore� principale� delle� tensioni� e/o� deformazioni� istante� per� istante,�vengono�forniti�diversi�criteri�per�la�valutazione�delle�storie�dello�stato�tensionale�e/o�deformativo�monoassiale�(Tresca,�Von�Mises,�Critical�Plane)�con�le�quali�valutare�il�danneggiamento�del�componente�nonché�indicazioni�sulla�scelta�da�seguire;�attraverso�queste,�mediante�riduzione�ai�turning�points�e�successivo�filtro�e�conteggio�di�tipo�RainFlow,�viene�valutato�lo�spettro�di�carico,�poi�opportunamente�ponderato�scegliendo�determinati�criteri�di� correzione� (Goodman,� Gerber).� Mediante� criteri� di� danneggiamento� compatibili� con� il� conteggio� Rainflow�(Miner,�Manson)�viene�valutato�il�danneggiamento�e�la�vita�a�fatica.�E'�possibile,� inoltre,� introdurre�correzioni�

N�

t�System�(Loads)�

σ,ε�

t�Component�(Stress/Strain)�

σ,ε�

t�RainFlow

σ,ε�

n�Load Spectrum

FEM

System Component

σ,ε�

10�3� 10�5� 10�7� 10�9�

Material

�=i i

i

Nn

D

Damage/Life

CAD

MBS

Fig.�2�Valutazione�virtuale�dell’ affidabilità�del�prodotto�

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sulla� curva� di� Wöhler� del� materiale� in� relazione� a� tutti� i� principali� parametri� di� correzione� sia� di� tipo�deterministico�che�stocastico.�

Parallelamente�ad�una�analisi�a�fatica�condotta�mediante�gli�algoritmi�di�calcolo�sviluppati�dagli�autori�si�è�poi�affiancata�una�elaborazione�dei�dati�realizzata�con�un�codice�commerciale�interfacciabile�direttamente�con�l’ ambiente�di�simulazione�numerica�FEA/MBS�consentendo�una�più�facile�gestione�del�calcolo�e�dei�risultati.�

2.1� Analisi�del�sistema�e�definizione�delle�condizioni�di�prova�In�questo�lavoro�la�metodologia�precedentemente�esposta�è�stata�applicata�alla�valutazione�dell’ affidabilità�di�un�riduttore�a�vite�senza�fine�di�cui�non�viene�riportata�la�denominazione�e�le�caratteristiche�tecniche�per�motivi�di�riservatezza� ed� in� particolare� della� sua� cassa� (fig.� 3).� Il� riduttore� permette� la� trasmissione� del� moto� tra� assi�ortogonali.�La�cassa�è� realizzata�attraverso�processo�di�pressofusione�con�una�particolare� lega�di�alluminio,� la�cui�denominazione�nelle�vecchie�norme�UNI�è�GDAlSi12CuFe.�

Si� è� proceduto� inizialmente� alla� definizione� di� una� prova� di� certificazione� che� avesse� appunto� come�finalità� quella� di� verificare� la� funzionalità� e� l’ affidabilità� del� prodotto� prima� della� sua� entrata� in� commercio�(fig.4).�

Il� riduttore�viene� alimentato�da�un�motore� elettrico� con�4�poli�da�1.86�Kw�capace�di� funzionare�a�una�velocità� di� regime� di� circa� 1500� giri� al� minuto.� Il� rapporto� di� riduzione� definito� per� la� prova� è� pari� a� 30.� Il�riduttore�viene�pensato�fissato�ad�un�banco�attraverso�un�collegamento�bullonato�dei�piedi�superiori.��

Si�applica,� inoltre,�al�mozzo�dell’ albero�lento�un�braccio�di�500�mm�di�lunghezza�con�all’ estremità�una�massa� di� 42� Kg� al� fine� di� ottenere� una� coppia� di� andamento� sinusoidale� il� cui� valore� massimo� sia� pari� a�235_N⋅m.�Il�ciclo�di�prova�definisce�10�secondi�di�funzionamento�in�un�determinato�verso�di�rotazione�seguiti�da�10�secondi�di�arresto�e�da�altri�10�secondi�di�funzionamento�nel�verso�di�rotazione�inverso.�Dopo�altri�10�secondi�di�arresto�il�ciclo�riprende�con�le�stesse�modalità.�

Fig.�4�Modalità�di�esecuzione�della�prova�Fig.�3�Riduttore�analizzato�

D�

B�

C�

A�

Fig.�5�Modello�MBS�del�riduttore� Fig.�6�Schema�semplificato�del�riduttore�

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2.2� Analisi�dei�carichi�L’ analisi�delle�sollecitazioni�agenti�sulla�cassa�del�riduttore�è�stata�condotta�mediante�simulazione�dinamica�del�sistema.�

Si� è� analizzato� il� sistema� di� trasmissione� e� riduzione� del� riduttore� implementando� in� ambiente� di�simulazione�multibody�un�classico�modello�di�contatto�e�trasmissione�delle�forze�tra�ruota�e�vite�senza�fine�[2,�3].�Il�modello�del�riduttore�(fig.�5)�ipotizza�la�cassa�infinitamente�rigida�non�considerando�il�gioco�tra�i�cuscinetti�di�supporto�e�le�relative�sedi.�Modellando�il�motore�mediante�la�caratteristica�di�coppia,�fornita�in�funzione�del�numero�di�giri,�si�è�condotta�la�simulazione�di�un�ciclo�di�prova.�

Si�possono�così�individuare�13�componenti�di�sollecitazioni�agenti�sulla�cassa;�dodici�agiscono�sulle�sedi�dei� cuscinetti� ed� in�particolare� tre� per� i� cuscinetti�A� e�B�dell’ albero� lento,�due�per� il� cuscinetto�C�dell’ albero�veloce�e�quattro�sul�cuscinetto�D;�in�aggiunta�a�queste�c’ e�da�considerare�la�presenza�del�momento�di�reazione�del�motore�montato�direttamente�sulla�cassa�mediante�un�collegamento�bullonato�sulla�flangia�laterale�uguale�ed�opposto�alla�coppia�entrante�all’ albero�veloce�(fig.�7�e�fig.�8).�

2.3� Modellazione�CAD/FEM�del�componente�La�modellazione�FEM�del�componente�viene�condotta�a�partire�dal�modello�CAD�3D�(fig.�9).�

0 5 10 15 20 25-4000

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

tempo�(s)

For

za�(

N)

Reazione�verticale�nella�sede�del�cuscinetto�A

0 5 10 15 20 25-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x�10

4

tempo�(s)

Mom

ento

�(Nm

)

Momento�torcente�agente�tra�cassa�e�flangia�motore

Fig.�7�–�Esempio�di�risultato�ottenuto�dalla�simulazione�dinamica� del� sistema� –� Time� history� della�componente� verticale� della� sollecitazione�agente�sulla�sede�del�cuscinetto�A�

Fig.�8�–�Esempio�di�risultato�ottenuto�dalla�simulazione�dinamica� del� sistema� –� Time� history� del�momento� torcente� agente� tra� cassa� e� flangia�motore�

Fig�9�Modello�CAD�3D�della�cassa� Fig�10�Modello�FEM�della�cassa�

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Si� è� deciso� di� modellare� solamente� la� carcassa� del� riduttore� (fig.� 10),� escludendo� il� tappo� frontale� su� cui� è�posizionato�uno�dei�due�cuscinetti�portanti�dell’ albero�lento,�al�fine�di�ridurre�la�quantità�di�dati�da�analizzare.�Si�è� effettuato� il� processo� di�meshatura�del�modello� cercando�di� trovare�un�giusto� compromesso� tra� accuratezza�della� discretizzazione� e� dimensioni� del� modello� in� termini� di� numero� di� nodi� ed� elementi.� Si� è� utilizzato� un�elemento� solido� tetraedrico� a� 4� nodi� con� sei� gradi� di� libertà� per� nodo� particolarmente� indicato� per� effettuare�meshature� di� modelli� complessi� quali� sono� quelli� derivanti� da� modellazioni� CAD.� La� meshatura,� raffinata� al�punto� da� poter� valutare� lo� stato� tensionale� ed� in� particolare� le� condizioni� di� concentrazione� di� tensione,� ha�condotto�ala�generazione�di�circa�40000�nodi.�

2.4� Ricostruzione�dello�stato�deformativo/tensionale�Nell’ ipotesi� che� il� comportamento� dinamico� del� componente� in� oggetto� sia� irrilevante� lo� stato� deformativo/�tensionale�può�essere�ricostruito�mediante�un�approccio�di�tipo�“ statico” �[1].�

Il� componente� introdotto� nel� modello� multibody� del� sistema� è� sollecitato� da� una� serie� di� carichi� al�contorno� L1,� L2,� …� LS� in� questo� caso� 13.� Le� time� histories� di� tali� sollecitazioni� L1� (t),� L2� (t),� …� LS� (t)� sono�disponibili�come�uscita�della�simulazione.�In�questo�caso,�supponendo�il�comportamento�del�materiale�elastico,�salvo�poi�applicare�le�dovute�correzioni�nel�caso�di�fatica�oligociclica,�vale�il�principio�di�sovrapposizione�degli�effetti,� per� cui� basta� risolvere� il� problema� elastico� per� ogni� carico� L1,� L2,� …� LS� applicato� separatamente� e�supposto�unitario.�In�ogni�punto�p�del�continuo�si�ottengono�dei�coefficienti�cij,k(p)�relativi�al�carico�k-esimo�che�correlano�la�sua�intensità�con�lo�stato�di� tensione�generato�nel�punto�p.�Dal�punto�di�vista�formale�in�un�punto�generico�del�continuo�lo�stato�tensionale�generato�dal�k-esimo�carico�vale:�

)p()p( ,, kijkij c=σ � (1)�

Sovrapponendo�gli�effetti,�lo�stato�di�pseudo-tensione�calcolato�elasticamente�vale:�

�=

=S

kkkijij Lc

1, )t()p()pt,(σ � (2)�

Ci� si� riconduce�a� risolvere,�quindi,�S�problemi�elastici�con�carico�unitario�e�ad�effettuare�una�semplice�combinazione�lineare�al�fine�di�ottenere�lo�stato�tensionale�e�deformativo�in�ogni�punto�della�struttura.�Quindi,�effettuate�le�13�analisi�statiche�a�carico�unitario�e�a�condizioni�di�vincolo�costanti�attraverso�un�banale�algoritmo�di� combinazione� si� è� valutato� nodo� per� nodo� e/o� elemento� per� elemento� la� storia� del� tensore� di� tensione� e/o�deformazione�associata�al�ciclo�di�funzionamento.�

Il�carico�radiale�sui�cuscinetti�è�un�carico�di�tipo�rotante�che�per�esigenze�di�semplicità�di�modellazione�e�calcolo� è� stato� applicato� sulle� sedi� nell’ ipotesi� che� queste� si� comportino� in� maniera� perfettamente� rigida�applicandolo,�quindi,�ad�un�solo�nodo�per�sede�(nodo�master�della�zona�rigida).�L’ implicita�non�accuratezza�dei�risultati�ottenibili�in�tali�zone�è�accettabile�se�si�considera�che�le�zone�critiche�ai�fini�della�rottura�a�fatica�sono�risultate�in�questo�caso�lontane�dalle�sedi�dei�cuscinetti.�

2.5� Caratterizzazione�del�materiale�Come� già� accennato� la� cassa� è� realizzata� attraverso� processo� di� pressofusione� con� una� particolare� lega� di�alluminio,� la� cui� denominazione� nelle� vecchie� norme� UNI� è� GDAlSi12CuFe.� A� partire� dalle� caratteristiche�fornite�dalla�norma�(tensione�di�snervamento�155�Mpa�e�rottura�265�Mpa)�si�è�definita�la�curva�di�Wöhler�del�materiale�seguendo�le�indicazioni�fornite�dalla�letteratura�classica�[2,�3,�4]�ed�individuando�una�tensione�limite�a�fatica�in�corrispondenza�di�5·108�cicli�pari�a�68.3�Mpa�in�accordo�con�le�informazioni�bibliografiche.�Al�fine�di�valutare�l’ affidabilità�del�componente�si�è�innanzitutto�ipotizzata�una�distribuzione�di�valori�di�tensione�costante�lungo�tutta�la�curva�del�materiale;�la�distribuzione�è�stata�assunta�uguale�a�quella�misurata�da�Gough�[5,�6]�per�il�rapporto�a�fatica�del�materiale�(fatigue�ratio);� tale� rapporto�è�definito�come�il�rapporto�tra�la�tensione�limite�a�fatica� e� la� tensione� di� rottura� del� materiale;� per� la� nostra� lega� si� è� assunta� una� distribuzione� di� probabilità�caratterizzata� da� un� valore� medio� φ� pari� a� 0.44� e� una� deviazione� standard� σ� pari� a� 0.1.� Parallelamente� alla�definizione� stocastica� della� curva�del�materiale� si� sono� introdotti� coefficienti� correttivi� della� curva� associati� a�varie� zone� del� componente� in� funzione� delle� lavorazioni� superficiali� [2–5];� queste� informazioni� in� fase� di�progetto�sono�direttamente�importabili�dalla�definizione�del�disegno�CAD�e�quindi�correlabili�con�il�database�del�materiale.�Si�è�resa�possibile�inoltre�la�loro�definizione�non�solo�in�termini�deterministici�ma�anche�stocastici�a�partire�dalla�conoscenza�delle�distribuzioni�di�probabilità�di�tali�coefficienti.�

2.6� Valutazione�del�danneggiamento�L’ ipotesi� fondamentale� che� si� è� seguita� nella� fase� di� valutazione� vera� e� propria� del� danneggiamento� è� stata�quella�che�la�rottura�si�possa�innescare�solo�sulla�superficie�della�cassa.�Questa�scelta�non�costituisce�affatto�una�

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limitazione� poiché� le� condizioni� più� critiche� per�l’ innesco� dei� fenomeni� di� fatica� del� materiale� si�presentano� proprio� sulle� superfici� dei� componenti.�Inoltre,� tale� scelta� si� rileva�vantaggiosa�dal�punto�di�vista� computazionale� sia� perché� si� riduce�radicalmente� il� numero�di� informazioni�da�elaborare�sia� perché� da� uno� stato� di� tensione� generalmente�triassiale� si� passa� ad� uno� stato� biassiale� per�definizione.� E’ � risultato� necessario� quindi� valutare�l’ esatto�stato� tensionale�sulla�superficie�del�modello;�l’ utilizzo� di� elementi� finiti� tridimensionali� quali�quelli� utilizzati� per� la� modellazione� della� cassa�fornisce� però� informazioni� sullo� stato� tensionale� in�una� parte� più� interna� rispetto� alla� superficie� del�componente.� Per� ovviare� a� questo� inconveniente� è�stato� quindi� necessario� effettuare� una� ulteriore�meshatura�della� superficie� del�modello�con�elementi�piani� di� spessore� molto� piccolo� caratterizzati� dallo�stesso� materiale� del� componente� in� modo� da� non�influenzare�le�caratteristiche�di�rigidezza�del�modello�e� resituire� l’ esatto� stato� tensionale.� Tutte� le�valutazioni�successive�sono�state�condotte�su�tale�sottoinsieme�di�elementi.�

Una� fase� molto� delicata� nella� valutazione� del� danneggiamento� è� la� scelta� del� criterio� di� riduzione� del�generico�stato�triassiale�di�tensione�ad�uno�stato�monoassiale�equivalente.�Nel�caso�più�semplice�le�componenti�del� tensore� dello� stato� tensionale� variano� proporzionalmente� cioè� le� direzioni� dei� piani� principali� rimangono�

Fig.�11�–�Curva�di�Wöhler�del�materiale�(a�aff.�50�%�non�corretta,�b�aff.�50�%�corretta,�c�aff.�95�%�corretta)�

100

102

104

106

108

1010

101

102

103

Curva�di�Wohler�del�materiale

Cicli�log(N)

Str

ess�

Am

plitu

de�lo

g(M

Pa)

a�

b�

c�

(a)� (b)�0 100 200 300 400 500 600 700

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Measurement�Points

Stre

ss�(M

Pa)

Biaxiality�Ratio�Time�History

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-40

-20

0

20

40

60

80

100

Biaxiality�Ratio

Max

�Prin

cipa

l�Stre

ss�(M

Pa)

Biaxiality�Ratio�vs�Max�Principal�Stress

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80-40

-20

0

20

40

60

80

100

Max

�Prin

cipa

l�Str

ess�

(MP

a)

Angle

Angle�vs�Max�Principal�Stress

0 100 200 300 400 500 600 700-20

-10

0

10

20

30

40

50

Measurement�Points

Ang

le

Angle�Time�History

Fig.�12�Rappresentazione�dei�parametri�ae�(elastic�biaxiality�ratio)�e�φp�(angolo�principale)�

(d)�(c)�

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costanti� nel� tempo� in� ogni� punto.� Nella� maggior� parte� dei� casi� non� variano� in� maniera� proporzionale� e� le�direzioni� delle� tensioni� principali� variano� in� funzione� del� tempo.� E’ � evidente� quindi� che� non� è� direttamente�individuabile� il� piano� candidato� per� l’ innesco� della� rottura.� Si� individuano� quindi� tre� situazioni:� stato�monoassiale� di� tensione,� stato� multiassiale� di� tensione� con� componenti� proporzionali� e� stato� multiassiale� di�tensione�con�componenti�non�proporzionali�che�si�affrontano�generalmente�utilizzando�rispettivamente�la�teoria�monoassiale,�la�teoria�dello�stato�equivalente�di�tensione/deformazione�(Tresca,�Von�Mises)�e�la�teoria�del�piano�critico�(critical�plane)� [7,�8].�La�scelta�dei�criteri�suddetti�non�è�semplice.�Al�fine�di�valutare�quale�dei�criteri�scegliere�è�utile�valutare� le� time�history�delle� tensioni�principali�e� le� relative�direzioni�per�ogni�elemento�che,�essendo�lo�stato�di�tensione�piano,�per�definizione�si�riducono�a�due.�Questo�è�stato�reso�possibile�mediante�un�semplice� algoritmo�agli� autovalori� e� la� definizione�di�un� sistema�di� riferimento� fissato�coincidente�con�quello�principale�valutato�all’ istante�iniziale.�Definendo�e�valutando,�poi,�due�parametri�quali�il�rapporto�tra�le�tensioni�principali�minima�e�massima�ae�(elastic�biaxiality�ratio�definito�tra�1�e�-1)�[9]�e�l’ angolo�caratteristico�dello�stato�tensionale�principale�φp�è�possibile�avere�indicazione�sul�criterio�più�opportuno�da�utilizzare�[6].�In�particolare,�in�presenza�di�φp�costante�e�ae�pari�a�0�è�utilizzabile�la�teoria�monoassiale�se�invece�ae�risulta�costante�e�diverso�da� 0� non� è� più� utilizzabile� tale� approccio� ma� si� deve� passare� ai� classici� criteri� di� valutazione� delle� tensioni�equivalenti�quali�Tresca�e�Von�Mises.�Nel�caso�in�cui�invece�varino�entrambi�è�applicabile�solo�l’ approccio�del�critical�plane.�

In� figura� (12)� viene� data� rappresentazione� dello� stato� tensionale� multiassiale� e� non� proporzionale�riscontrato�in�uno�degli�elementi�appartenenti�alla�zona�risultata�maggiormente�danneggiata�del�modello.�

Quindi�a�partire�dalla�storia�del�tensore�di�tensione�per�ogni�punto�si�sono�valutate�le�time�histories�delle�tensioni� principali� e� degli� angoli� caratteristici,� si� sono� valutati� i� due� parametri� suddetti� verificando� che� la�condizione�di�sollecitazione�rientra�in�quelle�valutabili�con�il�criterio�del�piano�critico.�

Secondo� tale� approccio� si� individua� un� sistema� di� riferimento� iniziale� tangente� al� piano� dell’ elemento�definito� per� esempio� dalla� direzione� φp� valutata� all’ istante� iniziale;� trasformando� il� tensore� della� tensione�espresso�nel� sistema�di� riferimento�assoluto�nel�nuovo� riferimento� si�valuta,�per� il�generico�piano�definito�dal�valore�dell’ angolo�φ,�la�tensione�normale�con�la�eq.�(3).�

φφτφσφσσ sensen xyyxn ⋅⋅++= cos2cos 22 � (3)�

Questa� procedura� si� esegue� per� un� numero� discreto� n� di� piani� (es.� ogni� 18� gradi)� ottenendo� n� time�histories� di� tensioni� monoassiali� per� ogni� punto.� Valutando� il� danneggiamento� per� ognuna� delle� direzioni�individuate�si�individua�il�piano�critico�cioè�quello�per�il�quale�si�è�ottenuto�il�danneggiamento�massimo.�

Il�danneggiamento�è�stato�valutato�mediante�riduzione�ai�turning�points�delle�time�histories�e�successivo�filtro�e�conteggio�di� tipo�RainFlow�[10]�ottenendo� il� relativo�spettro�di�carico� in� termini�di� tensione�media�ed�alterna�per�ogni�piano�e�per�ogni�punto;�questo�è�stato�poi�opportunamente�ponderato�scegliendo� il�criterio�di�correzione� di� Goodman� [2–4]� valutando� il� danneggiamento� mediante� la� legge� di� Miner� [11].� Tale� ultima�valutazione�è�stata�condotta�per�vari�valori�di�affidabilità.�

La�zona�che�è�risultata�la�più�danneggiabile�è�quella�superiore�della�cassa�in�prossimità�delle�quattro�zone�di�attacco�al�banco�ed�in�particolare�a�ridosso�delle�zone�di�raccordo�come�illustrato�in�fig.�(13).�

In� figura� (14)� sono� illustrati� i� risultati�ottenuti� relativamente�all’ elemento�risultato� il�più�danneggiato.� I�grafici�sono�relativi�alla�storia�di�tensione�valutata�al�piano�critico.�Viene�illustrata�la�riduzione�ai�turning�points�

Fig�13�Risultato�dell’ analisi�in�termini�di�elementi�maggiormente�danneggiati�

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(fig.�14�a),�la�matrice�rainflow�(fig.�14�b),�lo�spettro�di�carico�ponderato�mediante�il�criterio�di�Goodman�(fig.�14�c)�e�la�durata�ottenuta�a�vari�valori�di�affidabilità�(fig.�14�d).�

3.� VALUTAZIONE�SPERIMENTALE�DELL’AFFIDABILITÀ�Parallelamente�alla�simulazione�numerica�si�è�condotta� la�campagna�sperimentale�al�banco�seguendo�le�

condizioni�di�prova�stabilite.�Si�è�verificato�dopo�circa�15�giorni�di�funzionamento,�corrispondenti�a�circa�40000�ripetizioni�del�ciclo�base,�la�rottura�della�cassa�in�prossimità�della�zona�di�fissaggio�al�banco�come�mostrato�nella�fig.� (16)� confermando� sia� in� termini� qualitativi� (zona�danneggiata)� sia�quantitativi� (durata�del�componente)� le�indicazioni�date�dal�processo�di�valutazione�virtuale.�

Il�confronto�dei�risultati�sperimentali�con�quelli�numerici�evidenzia�come�l’ approccio�illustrato�in�questo�lavoro� sia� in� grado� con� una� buona� accuratezza� di� fornire� in� fase� di� progettazione� utili� informazioni� di� tipo�affidabilistico.� Questo� risulta� vero� sia� per� quanto� riguarda� l’ individuazione� delle� zone� “ critiche” � dal� punto�di�vista�del�danneggiamento�a�fatica�(fig.�15�e�fig.�16),�indicando�quindi�eventuali�modifiche�progettuali�in�termini�di�lavorazioni�superficiali�o�geometrie�realizzative�(es.�raggi�di�raccordo,�spessori,�etc.),�sia�dal�punto�di�vista�dei�valori� di� durata� stimati.� In� particolare,� analizzando� la� figura� (14� d)� e� dalla� analisi� comparata� dei� risultati�numerici� e� sperimentali� si� può� ricavare� l’ affidabilità� del� componente� che� risulta� pari� circa� al� 95� %,� valore�compatibile�con�il�processo�tecnologico�di�realizzazione�della�scatola�del�riduttore�realizzata�per�pressofusione.�

4.� CONCLUSIONI�Il�presente� lavoro�costituisce� il�primo�risultato�di� tipo�industriale�ottenuto�nello�sviluppo�dell’ attività�di�

ricerca� che� la� sezione� di� Costruzione� di� Macchine� del� Dipartimento� di� Ingegneria� Industriale� dell’ Università�

0 2 4 6 8 10 12 14 160

10

20

30

40

50

60

70

Spettro�di�Carico�Ponderato

Cicli�(N)

Sig

ma�

alte

rna�

equi

vale

nte�

(MP

a)

104

105

106

107

108

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Life

Aff

idab

ilità

�(%

)

Affidabilità�vs�Life

Fig�14�Risultati�dell’ analisi�relativamente�all’ elemento�più�danneggiato�

0 100 200 300 400 500 600 700-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80Time�history�di�tensione�analizzata

Measurement�points

Str

ess

(a)� (b)�

(d)�(c)�

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degli�Studi� di�Perugia� sta� conducendo�nell’ ambito�della� simulazione�del� danneggiamento� a� fatica�di� sistemi�e�componenti�meccanici.�Dall’ analisi�delle�metodologie�sviluppate�e�dei�risultati�ottenuti�risulta�evidente�come�gli�strumenti� di� progettazione� assistita� disponibili� oggigiorno� possano� essere� in� grado� di� fornire� al� progettista� in�maniera� accurata� utili� informazioni� di� tipo� affidabilistico� consentendo� di� ridurre� al� minimo� la� fase� di�prototipazione�e�sperimentazione.�Si�è�inoltre�verificata�la�completa�integrabilità�delle�informazioni�provenienti�da�sistemi�CAD,�FEA�e�MBS�nonché�da�codici�dedicati�alla�valutazione�del�danneggiamento�a�fatica�(FC).��

Ringraziamenti�Si�ringrazia�la�Bonfiglioli�Riduttori�S.p.A.�per�aver�concesso�la�pubblicazione�dei�primi�risultati�della�presente�attività� di� ricerca.� In� particolare,� si� vuole� testimoniare� un� sincero� ringraziamento� all’ Ing.� Cognigni� per� la�collaborazione�fornita�allo�sviluppo�della�stessa.�

Bibliografia�[1]� C.�Braccesi,�F.�Cianetti,�“ Valutazione�dello�stato�tensionale�di�elementi�strutturali�mediante�sintesi�modale” ,�Atti�del�XXIX�Convegno�

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[14]� C.C.�Chu,�“ Multiaxial�fatigue�life�prediction�method�in�the�round�vehicle�industry” ,�Int.�J.�Fatigue,�vol.�19,�supp.�no.�1,�pp.�S325-S330,�1997;�

[15]� N.W.M.�Bishop,�F.�Sherratt,�Finite�element�based�fatigue�calculations�,�NAFEMS�Ltd,�2000.�

Fig�16�-�Danneggiamento�subito�dalla�cassa�(prova�al�banco)�

Fig�15�-�Danneggiamento�subito�dalla�cassa�(simulazione)�