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CONTROLLI AUTOMATICI Prof. Bruno SICILIANO

ANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO ATEMPO CONTINUO

Schema generale di controllo in retroazione

Requisiti di un sistema di controllo

Stabilita in condizioni nominali

Margine di guadagno e margine di fase

Analisi della funzione di sensitivitacomplementare

Analisi della funzione di sensitivita

Analisi della funzione di sensitivita del controllo

Sensitivita rispetto a incertezze parametriche

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1


SCHEMA GENERALE DI CONTROLLO INRETROAZIONE

� Schema di controllo in retroazione

? G(s): funzione di trasferimento del sistema sotto controllo(strettamente proprio)

? R(s): funzione di trasferimento del regolatore (anche nonstrettamente proprio)



REQUISITI DI UN SISTEMA DI CONTROLLO

Stabilita

� Stabilita in condizioni nominali

? asintotica stabilita

� Stabilita in condizioni perturbate

? G(s) modello approssimato, variazioni parametriche

? stabilita robusta



Prestazioni

� Prestazioni statiche in condizioni nominali

? segnali canonici dotati di trasformata di LaplaceA=si (sca-lino, rampa)

? segnali sinusoidali con componenti armoniche

� Prestazioni dinamiche in condizioni nominali

? segnale di riferimento e disturbo: scalini

? famiglia di risposte desiderate (Ta�, Ts, S%)

? moderazione della variabile di controllo (costo dell’azionedi controllo)



Funzioni di sensitivita e limiti alle prestazioni

� Funzione di sensitivita

S(s) =1

1 +R(s)G(s)

� Funzione di sensitivita complementare

F (s) =R(s)G(s)

1 +R(s)G(s)

� Funzione di sensitivita del controllo

Q(s) =R(s)

1 +R(s)G(s)= F (s)G�1(s) = R(s)S(s)

+

24Y (s)U(s)E(s)

35 =

24F (s) S(s) �F (s)Q(s) �Q(s) �Q(s)S(s) �S(s) F (s)

3524W (s)D(s)N(s)

35



� Idealmente

F (s) = 1 =) y = w

S(s) = 0 =) effetto nullo did suy

+

? mancanza di attenuazione dell’effetto din suy ee

? Q(s) = G�1(s)) jQ(j!)j crescente con! ) amplifica-zione componenti alta frequenza diu (in contrasto con ilrequisito di moderazione!)

? G(s) strettamente propria,R(s) al piu propria) L(s) =R(s)G(s) strettamente propria:F (s) strettamente propria,S(s) propria (lims!1 F (s) = 0, lims!1 S(s) = 1!)

� Azione combinata diF (s) eS(s) mediante scelta opportuna diR(s)

F (s) + S(s) = 1

? specifiche tradotte in termini diL(s)



STABILITA IN CONDIZIONI NOMINALI

� Sistema retroazionato ai fini dell’analisi di stabilita (stabilitaindipendente dagli ingressi)

? condizione necessaria:L(s) non ha autovalori a parte realepositiva o nulla

� Asintotica stabilita: tutte le radici dell’equazione caratteristica

1 + L(s) = 0

hanno parte reale minore di zero

? possibile applicazione del criterio di Routh (di scarsa utilitanella sintesi di un regolatore)

? criterio di Nyquist



Diagramma di Nyquist

� Percorso di Nyquist

� Diagramma di Nyquist = diagramma polare



� Esempio

L(s) =�

1 + Ts

? diagrammi di Nyquist



Criterio di Nyquist

� Ipotesi

? P: numero di poli diL(s) aRe > 0

? N: numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist diL(s) attorno al punto�1 (positivi se in senso antiorario,negativi se in senso orario)

� Condizione necessaria e sufficiente perche il sistema retroazio-nato sia asintoticamente stabilee cheN sia ben definito e risultiN = P

� Dimostrazione

? L(s) = NL(s)=DL(s) senza radici in comune

K(s) = 1 + L(s) =NL(s) +DL(s)

DL(s)

zeri diK(s) = poli del sistema in anello chiuso

poli di K(s) = poli di L(s) (P aRe > 0)

? s = �j!: diagramma di Nyquist passa per l’origine delpiano complesso) K(s) ha uno o piu zeri in�j! (dia-gramma diL(s) passa per il punto�1: sistema in anellochiuso non asintoticamente stabile!)



? K(s) non ha zeri ins = �j!

contributo di fase diZ zeri (�2� = un giro in senso orario)eP poli (2� = un giro in senso antiorario) diK(s) internial percorso

? numero di giri in senso antiorario attorno all’origineP �Z = N numero di rotazioni diL(s) intorno al punto�1) Z = 0 per l’asintotica stabilita (altrimentiP �N poli aRe > 0)



� Esempio

L(s) =�

1 + Ts

? sistema in anello chiuso:s = �(1 + �)=T

? � > 0, T > 0: P = 0, N = 0) asintotica stabilita

? � > 0, T < 0: P = 1, N = 0) instabilita

? � < 0,T > 0:P = 0,N =

( 0 � > �1) as. stab.non definito � = �1�1 � < �1) instab.

? � < 0,T < 0:P = 1,N =

( 0 � > �1) instab.non definito � = �11 � < �1) as. stab.



� Esempio

L(s) =�

s� > 0

? diagramma di Nyquist

? P = N = 0) asintotica stabilita (s = ��)



� EsempioL(s) = �=s

2� > 0


? N non definito:s = �p�



� Esempio

L(s) =�

(1 + s)3� > 0


? P = 0,N =

(0 xA > �1) asintotica stabilitanon definito xA = �1�2 xA < �1) instabilita

? valutazione dixA (!�: pulsazione di attraversamento)

argL(j!�) = �180�

!� =p3; jL(j!�)j = �=8 =) xA = ��=8

? � < 8: asintotica stabilita,� � 8: instabile



Estensioni del criterio di Nyquist

� Guadagno d’anello variabile

1 + �~L(s) = 0

? come sopra, sostituendo al punto�1 il punto �1=� e aK(s)

~K(s) =1

�+ ~L(s)



� Sistemi con retroazione positiva

? equazione caratteristica

1� ~L(s) = 0

? come sopra sostituendo al punto�1 il punto+1



� Sistemi in anello aperto asintoticamente stabili

? P = 0) asintotica stabilita iff N = 0

? sistema con retroazione (negativa o positiva) conL(s) asin-toticamente stabile (diagramma di Bode del modulo sottol’asse a0 dB: jL(j!)j < 1, 8!) asintotica stabilita)

nel caso diR(s) = �: j�~L(j!)j < 1, 8! ) asintoticastabilita

come sopra:jargL(j!)j < 180�, 8!) asintotica stabilita



� Esempio

L(s) =�

1 + 2�s=!n + s2=!2n

� > 0; !n > 0; 0 < � < 1

? sistema retroazionato asintoticamente stabile (al diminuiredi � diagramma si avvicina sempre piu al punto�1)

? come sopra nel caso di� � 1 (poli reali negativi)



� Sistemi a stabilita condizionata

? sistema retroazionato, asintoticamente stabile per un de-terminato valore di�, diventa instabile al diminuire dellostesso



� Esempio

L(s) =�(1 + s)2

s3� > 0

? P = 0,N =

(0 xA < �1) asintotica stabilitanon definito xA = �1�2 xA > �1) instabilita

? valutazione dixA

argL(j!�) = �180� =) !� = 1) xA = �2�

? � > 0:5: asintotica stabilita,� < 0:5: instabile



� Sistemi con ritardo di tempo

L(s) = e��s

L0(s)

? sfasamento negativo tanto maggiore quanto piu e elevato ilvalore del ritardo� ) probabile instabilita del sistema inretroazione



� Esempio

L(s) = e��s�

s� > 0

? diagramma polare

? P = 0, xA > �1: asintotica stabilita

argL(j!k) = �90� � !k�180=� = �180� � k360�

!k = (4k + 1)�=2� jL(j!k)j = 2��=(4k + 1)�

xA = �2��=�

? � < �=�: asintotica stabilita, altrimenti instabile



MARGINE DI GUADAGNO E MARGINE DIFASE

� Stabilita robusta = distanza nel piano complesso del diagrammapolare diL(s) dal punto�1

? esigenza di indicatori sintetici del grado di robustezza (sem-plici da calcolare dai diagrammi di Bode): margini di stabi-lit a

Margine di guadagno

� P = 0perL(s) con diagramma polare con una sola intersezionedel semiasse reale negativo

? margine di guadagno

km =1

jL(j!�)jargL(j!�) = �180�



? calcolo dai diagrammi di Bode



� Sistema retroazionato con guadagno d’anello modificato

? asintotica stabilita perk < km (grado di robustezza a frontedi possibili incertezze sul guadagno d’anello)

� Esempio

L(s) =4

(1 + s)3

? km = 2



Margine di fase

� P = 0 perL(s) con guadagno positivo e diagramma polarecon una sola intersezione del semiasse reale negativo

? margine di fase (!c: pulsazione critica)

'm = 180�� j'cj 'c = argL(j!c) jL(j!c)j = 1



? calcolo dai diagrammi di Bode



� Sistema retroazionato con ritardo

? asintotica stabilita per� < ('m=!c)�=180 (grado di robu-stezza a fronte di possibili incertezze sulla fase della fun-zione d’anello)

� Esempio

L(s) =4

(1 + s)3

jL(j!c)j = 1

!c ' 1:23 'c = argL(j!c) ' �153� =) 'm ' 27�



� Sistema del secondo ordine, privo di zeri, con guadagno unitario

? coppia di poli complessi coniugati, dominanti (nettamentepiu vicini all’asse immaginario rispetto agli altri poli)

jF (j!c)j =jL(j!c)j

j1 + L(j!c)j=

1

j1 + ej'c j

=1q

(1 + cos'c)2 + sin 2'c

=1p

2(1 + cos'c)

=1p

2(1� cos'm)=

1

2sin ('m=2)

jF (j!c)j =1

2�

+

� = sin ('m=2)

? in maniera approssimata

� ='m

2

�

180' 'm

100



ANALISI DELLA FUNZIONE DI SENSITIVITACOMPLEMENTARE

� Prestazioni statiche e dinamiche del sistema (asintoticamentestabile)

� Funzione di sensitivita complementare

F (s) =L(s)

1 + L(s)

? funzione di trasferimento tra il riferimentow e l’uscitay

? funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il di-sturbon e l’uscitay

? funzione di trasferimento tra il disturbon e l’erroree



Analisi statica

� Funzione di trasferimento d’anello

L(s) =�Q

i(1 + �is)Q

i(1 + 2�is=�ni + s2=�2ni)

sgQ

i(1 + Tis)Q

i(1 + 2�is=!ni + s2=!2ni)

lims!0

F (s) = lims!0

�

sg + �=

8><>:

�

1 + �g = 0

1 g > 00 g < 0

? w(t) = Asca(t)

y1

= lims!0

sF (s)A

s= A lim

s!0F (s)

+

� Prestazioni statiche

? migliori quandoL possiede almeno un polo nell’origineg > 0

? if g = 0 then conviene aumentare�

� = �1: F (s) instabile

? if g < 0,F (s) contiene almeno un’azione derivativa (y = 0in corrispondenza di qualunqueA)



Poli e zeri

� Comportamento dinamico

F (s) =NL(s)

DL(s) +NL(s)

? zeri diF (s) = zeri diL(s)

? poli diF (s) = radici del polinomio caratteristico del sistemaretroazionato (luogo delle radici)



Risposta in frequenza

� P = 0 perL(s), diagramma di Bode dijL(j!)j attraversa unasola volta l’asse a0 dB

jF (j!)j = jL(j!)jj1 + L(j!)j '

�1 ! � !c

jL(j!)j ! > !c

� Comportamento da filtro passa-basso con guadagno unitario ebanda passante' pulsazione critica

? tutte le componenti diwa pulsazione minore di!c riprodottefedelmente iny (anche per le componenti din!)

+

? progetto del sistema di controllo: conveniente aumentare!c per poter inseguire variazioni veloci diw (attenzionecomponenti din in alta frequenza!)



ANALISI DELLA FUNZIONE DI SENSITIVITA

� Funzione di sensitivita

S(s) =1

1 + L(s)

? funzione di trasferimento tra il disturbod e l’uscitay

? funzione di trasferimento tra il riferimentow e l’erroree

? funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il disturbod e l’erroree



Analisi statica

� Funzione di trasferimento d’anello in forma fattorizzata

lims!0

S(s) = lims!0

sg

sg + �=

8><>:

1

1 + �g = 0

0 g > 01 g < 0

? w(t) = Asca(t)

e1

= lims!0

sS(s)A

s= A lim

s!0S(s)

+

� Prestazioni statiche

? migliori quandoL possiede almeno un polo nell’origineg > 0

? if g = 0 then conviene aumentare�

? if g < 0,F (s) contiene almeno un’azione derivativa (e = A

in corrispondenza di qualunqueA)



� Errore a regime con ingresso canonico al variare del tipo dellafunzione d’anello

e1

= lims!0

sS(s)A

si= A lim

s!0

sg�i+1

sg + �=

8>>><>>>:

1 g < i� 1

A

�g = i� 1

0 g > i� 1

Asca(t) Aram(t) Apar(t)

g = 0A

1 + �1 1

g = 1 0A

�1

g = 2 0 0A

�

g = 3 0 0 0



Poli e zeri


S(s) =DL(s)

DL(s) +NL(s)

? zeri diS(s) = poli di L(s)

? poli di S(s) = poli di F (s)





jS(j!)j = 1

j1 + L(j!)j '

8<:

1

jL(j!)j ! � !c

1 ! > !c

� Comportamento da filtro passa-alto

? tutte le componenti did a pulsazione minore di!c attenuatein y

+

? progetto del sistema di controllo: conveniente aumentare!c



ANALISI DELLA FUNZIONE DI SENSITIVITADEL CONTROLLO

� Funzione di sensitivita del controllo

Q(s) =R(s)

1 +R(s)G(s)= R(s)S(s) = F (s)G�1(s)

? funzione di trasferimento tra il riferimentow e la variabiledi controllou

? funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il disturbod e la variabile di controllou

? funzione di trasferimento, cambiata di segno, tra il disturbon e la variabile di controllou



Analisi statica

� Funzione di trasferimento d’anello in forma fattorizzata

lims!0

Q(s) = lims!0

�RS(s) =�R

1 + �= lim

s!0

F (s)

�G=

�

�G(1 + �)

? if � � 1 then �Q ' ��1

G : u1

inversamente proporzio-nale al guadagno del processo da controllare) buone pre-stazioni statiche solo con valori elevati della variabile dicontrollo



Poli e zeri


Q(s) =NR(s)DG(s)

DR(s)DG(s) +NR(s)NG(s)=

NR(s)DG(s)

DL(S) +NL(s)

? zeri diQ(s) = zeri diR(s) + poli di G(s)

? poli di Q(s) = poli di F (s)





jQ(j!)j = jR(j!)jj1 + L(j!)j '

8<:

1

jG(j!)j ! � !c

jR(j!)j ! > !c

+

? progetto del sistema di controllo: evitare l’impiego di rego-latori conjR(j!)j elevato ad alta frequenza (per limitare lesollecitazioni sulla variabile di controllo)



SENSITIVITA RISPETTO A INCERTEZZEPARAMETRICHE

� Sistema retroazionato affetto da incertezze parametriche

? per piccole variazioni del parametro�

�G(s; �; ��) = G(s; �)�G(s; ��) ' @G(s; �)

@�

��=��

��

EG(s; �; ��) =�G(s; �; ��)

G(s; ��)



? sistema in anello chiuso

F (s; �) =R(s)G(s; �)

1 +R(s)G(s; �)

@F (s; �)

@�=

R(s)

(1 +R(s)G(s; �))2

@G(s; �)

@�

EF (s; �; ��) =�F (s; �; ��)

F (s; ��)' 1

F (s; ��)

@F (s; �)

@�

��=��

��

=1

1 +R(s)G(s; ��)

�G(s; �; ��)

G(s; ��)

= S(s; ��)EG(s; �; ��)

+��EF (j!; �; ��)

�� = ��S(j!; ��)�� EG(j!; �; ��)��

� Nell’intervallo di pulsazioni in cui��S(j!; ��)�� 1, la presenza

della retroazione produce una notevole attenuazione dell’effettodell’incertezza



� Esempio: sistema retroazionato con guadagno d’anello incerto(~L(0) = 1)

? in anello aperto

EL(s; �; ��) =��

��

? in anello chiuso

EF (0; �; ��) =��F��f

=1

1 + ��F

��

��


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