ANALISE MATEM¶ ATICA I¶ Engenharia Civil Exerc¶‡cios das...
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ANALISE MATEMATICA I
Engenharia Civil
Exercıcios das Aulas Praticas
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Ano lectivo 2007/2008 - 1º Semestre
Conteudo
1 Numeros Reais 3
2 Funcoes Reais de Variavel Real 14
3 Limites e Continuidade 22
4 Calculo Diferencial 24
5 Calculo Integral 32
2
Capıtulo 1
Numeros Reais
1. Apresente sob a forma de uma unica potencia :
(a) 23 × (−√8)3
; (b) ( 1√3)5 : ( 1√
3)5 : (−2)7;
(c)(√
10)23; (d) (5)3 × (− 15 )−3;
(e) 3−5 × 3−5 × (12 )5; (f) ( 2
3 )−7 : ( 32 )6 × (3
2 )−1;(g)
[( 12 )−1 + ( 1
2 )−2]− 52; (h) 3× 2−2 + ( 1
16 )5 : 2−18 − (−20)18;(i) (
√5)−6 × 26 : ( 1
2
√5)−8; (j)
√3 + (
√3)5 : ( 1√
3)−3.
2. Averigue o valor logico da proposicao:
0.00006× 106
0.02× 10−2+ 0.01×
(110
)−2
> 3.15× 105
.
3. Coloque os numeros seguintes por ordem crescente:
(a) − 25 ; (− 2
5 )−3; (− 25 )0; (− 2
5 )−2; (− 25 )4.
(b) (− 73 )3; (− 7
3 )−2; (− 73 )−6; (− 7
3 )5.
4. Calcule:
(a)√
5 + 3√−1; (b) 3
√−18
+
√14; (c)
3√−10 +
√4;
(d)√
18−√4; (e)√
2√
7− 3√
14; (f) 5√
4 5√
2 5√
4;
(g) 3√
5× 3√
25− ( 4√
25 + 1)( 4√
25− 1); (h) 7√
20 : 7√
5− 13
7√
4; (i)√
125 + 2√
5− (1−√5)2.
5. Calcule o valor numerico de
(a) 2x2 + xy para x =√
3, y =√
2;
(b) −4a + a2 para a = 2−√3.
6. Complete de forma a obter proposicoes verdadeiras:
(a) ( 3√
5)3 = . . .;
(b) (−√10)2 = . . .;
(c) ( 7√−28)7 = . . .;
(d) (−√3)4 = . . ..
3
7. Diga se e par o numero
(a) 25000× 10−2 − 1.36× 102;
(b) 1250× 10−1 + 0.05× 104.
8. Determine os valores inteiros p tais que:
(a)75 × 72p = 7−3; (b)73 × 49−p = 173 ;
(c) 23 × 25−2p < 215 e p ∈ Z−; (d)( 12 )p > 1
32 e p ∈ N.
9. Transforme as seguintes quantidades em radicais de ındice 3:
(a) (2 3√
5)2;
(b) ( 3√
2× 9√
5)3;
(c) 2√
2 3√
2;
(d) 15√
2.
10. Escreva sob a forma de fraccao de denominador racional:
(a) 12−√7
; (b)√
22+√
7; (c)
√3
4−2√
5;
(d) 34+2
√5; (e) 1
3√2; (f) 7
5 3√2.
11. Mostre que (2−√7)(2 +√
7) e (4− 2√
5)(4 + 2√
5) sao numeros inteiros.
12. Simplifique as seguintes expressoes:
(a)√
32 −
√23 ; (b)
√12 +
√8; (c)
√√3− 8
√9;
(d) 8√√
8−√8; (e)√
8√
9 + 6√
36 : 8√
2; (f) 12√
7−√7;
(g) 4√
167; (h) 5√
0.00032; (i)√
7 +√
4;
(j)√
13 +√
7 +√
4; (k)
√21 +
√13 +
√7 +
√4; (l)
√2 8√2× 8√16
6√
5.
13. Reduza a um radical cada uma das expressoes:
(a) 2 8√
5; (b)12
8√
7; (c) 10√
2;
(d) 0.1√
15; (e) 3 4√
2; (f) 23
√32 ;
(g) 2 8√
2 8√
4 8√
8; (h) 5√
30 :√
5; (i) 5√
2√
2.
14. Simplifique as seguintes expressoes:
(a) a−5.a−5.(
12
)5; (b) 3y−2 3√
y; (c)√
x +(√
x)5 :
(1√x
)−3
;
(d) 3√
a√
b : 6√
a.b; (e) 3
√− 1
a3 +√
1a2 ; (f) xa.
(− 1
x
)−a
;
(g) x−7 :(
1x
)6 × (1x
)−1 ; (h) y3 ×(−
√y3
)3
; (i) z−2 ×(zk+2 :
(1z
)−k).
15. Simplifique as seguintes expressoes:
(a)(
1a
)n
×(
1a
)m
, (m,n ∈ N, a > 0);
(b) (−a)n + (−a)m : ap, (m,n ∈ N, a > 0);
(c) (−a)0 −(
1b
)n
:(
1b
)n
, (n ∈ N, a, b > 0);
(d) (−a)n : an +(ak
)0, (n, k ∈ N, a > 0);
4
(e)
(−ab
)n : an
(1b
)p , (n, p ∈ N, a, b > 0);
(f) −a0 −(
b
c
)−n
:(
d
c
)−n
, (n ∈ N, a, b, c, d > 0);
(g)((−a)−n
)−p
−((−a)0
)k
, (k, n, p ∈ N, a > 0);
(h)2−6 × a−3 × b4
4−2 × a−1 × b2, (a, b 6= 0).
16. Simplifique as seguintes expressoes:
(a)1a×
√a2 × 3
√a− 6
√a, (a > 0);
(b)m√
n√
bk
p√
b, (k, m, n, p ∈ N, b > 0);
(c)√
4√
a3, (a > 0);
(d)√
a(1−
√4a
), (a > 0);
(e) (a− b√
c)(a + b√
c), (a, b ∈ R, c > 0);
(f) a 3√
a3√
2a3√
3a, (a > 0);
(g)√
a√
b×√a, (a, b > 0);
(h) 3√
a×√
b4√
a, (a, b > 0);
(i) a× 3√
a2 − 2× 6√
a−√
3√
a, (a > 0);
(j)3√
a√
a× 4√
b√ab
, (a, b > 0);
(k)
√3√
a× 9√√
b3
3√
b, (a, b > 0).
17. Desenvolva e ordene, segundo as potencias decrescentes de x, os polinomios:
(a) (x− 1)2(x2 + x + 1)2;(b) (x2 + 1)3 − 2(x2 + x)(x− 1)− 3(x + 1)3.
18. Determine o termo de maior grau do polinomio
(x2 + x + 1)2 − 3(x2 − 7)(x + 2)2 + x4 + 2.
19. f e g sao funcoes definidas em R por:
f : x 7−→ (x− 2)2
g : x 7−→ 5(x− 2)(3x− 5)
(a) Determine, sob a forma de um polinomio, a expressao da funcao f(x) + g(x).(b) Considere k(x) = f(x)− g(x). Factorize k(x).
20. Encontre os zeros dos seguintes polinomios e factorize quando possıvel:(a) x3 + x2 − 10x + 8 = 0 sabendo que x = 1 e um zero;(b) 2x3 − 9x + 2 = 0 sabendo que x = 2 e um zero;(c) x4 + x3 − x2 − x = 0 sabendo que x = −1 e um zero;(d) x3 − 5x− 2 = 0 sabendo que x = −2 e um zero.
5
21. Utilizando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisao de:
(a) x3 + 2x2 − 1 por x + 3;
(b) 2x4 − 3x− x2 + 2 por 2x− 1;
(c) 2x3 − 3x4 + 1 por x− 1;
(d) −18x2 +
12x4 − 3x + 1 por x +
12;
(e) x− 10− 3x2 + 2x3 por 3x− 9;
(f) 2x5 + 30x2 − 40x + 100 por 2x + 6;
(g) x3 − 5x + 3 por 2− x.
22. Utilizando o algoritmo da divisao, determine o quociente e o resto da divisao de :
(a) 4x2 − 2x + 3 por x− 1;
(b) 4x− 2x4 + 6x2 por 2x2 + x− 1;
(c)12x2 − 3x3 + 2x por 3x− 2;
(d) 4x3 − 3x2 + 13x + x5 por 3− 2x + x2;
(e) 2− x6 + x5 por x3 − x + 1;
(f) 5x− 3 por x2 − 3x + 1.
23. (a) Indique a expressao geral dos polinomios do 3º grau que admitem as raızes 1, 2 e 3.
(b) Existe algum polinomio do 3º grau que admita 1, 2, 3 e 4 como raızes?
24. (a) Calcule a e b de modo que x4 + 1 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1), para todo o x real.
(b) Um polinomio factorizavel tem sempre raızes reais?
25. Determine uma relacao entre m e n de modo que a expressao (m−1)x4−2x3−3nx2 +x+1se transforme num polinomio em x divisıvel por x− 1.
26. Determine os numeros reais a e b de modo que o polinomio
x4 − ax3 + bx2 + 3x + 1
seja divisıvel por (x− 1)(x + 1).
27. Determine os numeros reais a e b de modo que o polinomio
x4 + ax3 + 3bx2 + 2x + 1
seja um quadrado perfeito.
28. Quatro cubos tem, respectivamente, por arestas, medidas em centımetros, x, x + 1, x + 2 ex + 3, em que x e um numero natural.Determine o valor de x de modo que a capacidade dos tres cubos de arestas x, x + 1 e x + 2seja exactamente igual a capacidade do cubo de aresta x + 3.
29. Calcule m, n e p de modo que sejam equivalentes as seguintes expressoes em x:3x3 − (m + n)x2 + 3x− 1 e (p + 5)x3 − px2 + (n + p)x− 1.
6
30. Resolva em ,R, as seguintes equacoes:
(a) x− 7 = 0; (b) 8x + 16 = 0;(c) −3x + 4 = 0; (d) −5x− 2 = −3x;(e) 5x(x− 6) = 0; (f) x2 + x− 2 = 0;(g) 3x2 + 5x + 2 = 0; (h) 8x2 − 5x = 0;(i) (3x− 2)(2x + 3) = 0; (j) 3x2 + 4 = 0;(k) 2x3 − x2 + x− 2 = 0; (l) 25x2 − 4 = 0;(m) 9x2 − 30x + 25 = 0; (n) 12x2 + 12x + 3 = 0;(o) 16x2 − 12x = 12x− 9; (p) x(x + 5) = 3(x + 5);(q) 5x2 − x + 1 = 0; (r) x2 − 2x + 1 = 0;(s) (x2 − 9)(2x− 5) = 0; (t) x2 + 4x + 2 = 0;(u) x(2x + 4)(5− x) = 0; (v) (x2 − 3x)(3x− 6) = 0;(x) (4x3 − x)x = 0; (z) (7x− 2)(x + 1) = 5(x + 1);(aa)x2(4x− 3)(4x2 + 3) = 0; (ab) (x2 − 1)(x + 1)2 = 0;(ac)4x3 − 2x2 = 0; (ad) x3 = 2x;(ae)x3 − 2x2 + x− 2 = 0; (af) 5x3 − 4x + 1 = 0;(ag)x4 + x2 − 6 = 0; (ah) x6 − 2x3 + 1 = 0;(ai)
√3x + 1 = 2x; (aj)
√x2 − 6 =
√x.
31. Resolva em R as equacoes seguintes, aplicando a lei do anulamento do produto :
(a) (3x− 2)(2x + 3) = 0; (b) 5x(x− 6) = 0;(c) x(2x + 4)(5− x) = 0; (d) x2(4x− 3)(4x2 + 3) = 0;(e) 25x2 − 4 = 0; (f) 9x2 − 30x + 25 = 0;(g) 12x2 + 12x + 3 = 0; (h) (x2 − 1)(x + 1)2 = 0;(i) 0, 01x2 = 1; (j) 16x2 − 12x = 12x− 9;(k) x(x + 5) = 3(x + 5); (l) (7x− 2)(x + 1) = 5(x + 1);(m) (3 + x2)(x2 − 10x + 25)(x2 − 1) = 0; (n) x3 = 2x.
32. Resolva em R as seguintes equacoes:(a) (x2 − 1)(x− 3) + (3x + 3)(x− 3) = 0; (b)(x2 − 1)(x− 3) + (3x + 3)(x− 1) = 0;
(c) x3 − 5x2 + 6x = 0; (d) (54x2 − x− 3)2 = 0;
(e)1
x− 1+
1x + 1
=2x2
x2 − 1; (f)
1x2 − 4x + 3
=2
x− 3;
(g) (x2 + 1)(x4 + 2x2 + 1) = 1 .
33. Considere a equacao 4x(x + 6) = (x− 5)(x + 6).
(a) A equacao e equivalente a 4x = x− 5 ? Justifique.
(b) Determine o seu conjunto-solucao.
34. Determine dois numeros inteiros consecutivos, sabendo que o seu produto e igual ao quıntuplodo menor numero.
35. Determine a medida do comprimento do lado de um quadrado, sabendo que a area e operımetro sao expressos pelo mesmo valor (em cm e cm2, respectivamente).
36. Num rectangulo, o comprimento e triplo da largura. Determine as dimensoes do rectangulo,sabendo que tem 0, 75 cm2 de area.
37. O produto de dois numeros ımpares consecutivos excede o dobro do menor em nove unidades.Quais sao os numeros?
38. As idades de tres irmaos sao numeros pares consecutivos. O produto das idades que os doismais novos terao daqui a quatro anos e doze vezes a idade que o mais velho tera daqui adois anos. Determine a idade de cada um deles.
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39. Na figura estao representados um losango e um quadrado.
Determine a area da regiao sombreada, supondo que:
(a) O comprimento da diagonal maior excede o da menor em 4 cm e a area do losangoexcede a do quadrado em 5 cm2.
(b) A diagonal maior do losango e dupla da menor.
40. O quadrado da soma de dois numeros e igual a diferenca entre a soma dos seus quadrados e−5. Qual e o produto dos numeros?
41. Simplifique as seguintes fraccoes
(a)x− 1x2 − 1
; (b)(x + 1)2
x2 − 1; (c)
x2 − 4x2 + x− 6
;
(d)x3 + 3x2 − 4x
(x− 1)2; (e)
x
x2 − 1+
1x− 1
; (f)1
x2 − 4+
22− x
− 3x + 2
;
(g)4
x2 + 1+
4x2 − 1
.
42. Considere a funcao polinomial
f : x 7−→ 5x3 − 72x2 +
14
(a) Verifique que12
e raız de f .
(b) Para todo o x real, tem-se que f(x) = (x− 12)·g(x).
Encontre o polinomio g(x).
(c) Resolva a equacao f(x) = 0.
43. Considere o polinomio p(x) = x4 − 6x3 + 11x2 − 6x + 1.
(a) Determine o polinomio q(x) de tal modo que p(x) seja o quadrado de q(x).
(b) Resolva a equacao p(x) = 0.
44. Indique o conjunto solucao de:
(a) 2x5 − 3√
2 = 0; (b)0 = x6 + 3√
2;(c) 0 = x7 −√3x; (d)x6 − 3
√2 = 0.
45. Determine o conjunto solucao de:
(a) x3= −27; (b) x3= 5; (c) x291= −1;(d) x51= 0; (e) x8 + 1= 0; (f) 64x6 − 1= 0;(g) x4 − 81= 0; (h) x2 − 15= 0; (i) x3 + 15= 0;(j) x8 + 9x2= 0; (k) x5 = −32; (l) x3= 10.
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46. Transforme cada uma das inequacoes seguintes noutra equivalente em que o primeiro membroseja x:
(a) 3x < 6; (b) −3x < 6;(c) −3x < −6; (d) 3x < −6;
(e) x− 7 < 2; (f) −x +12≥ 3;
(g) 4x + 5 ≤ −2; (h)32− 5x ≤ −1;
(i) 3(x− 25) < 2x; (j) −(5x− 2) + 6x > 7;
(k)23x− 1 < x− 2; (l)
x− 72
− x >34x− 2;
(m)x− 3
2− x− 5
3> 3x− 1
6; (n)
3x− 54
− x > 1− 4− x
2;
(o) −(x− (3− x)) + 5x ≤ 4.
47. Resolva, em R, cada uma das seguintes inequacoes:
(a)(x + 3)(x− 2) < 0; (b) (2− 3x)(x + 3) < 0;(c) (x− 1)(5x + 4) > 0; (d) (2− x)(5x + 7) > 0;(e) 3x ≤ x2; (f) 3x2 < −8x;(g) (x2 + 6)(3x + 5) < 0; (h) (x2 − 9)(x2 + x) < 0;(i) (2x + 5)(3− x)(x + 2) ≥ 0; (j) (x− 1)(4− x2)(x2 − 3x) < 0;(k) (3x− 1)(x− 1)2(x− 3)3 > 0; (l) (x2 − 10x + 21)(−x2 + 6) ≥ 0;(m) −2x3 − 4x < −6x2; (n) −3x2 + 2x > 5;(o) x2(−x + 2)(x2 − x− 6) > 0.
48. Qual sera a medida do lado dos quadrados para o qual o valor do dobro da area e maior quea medida do lado subtraıda de uma unidade?
49. Considere o polinomio p(x) = 2x3 + 12x2 + qx− 84.
(a) Determine o numero real q de modo que -2 seja raiz do polinomio.
(b) Resolva a inequacao p(x) ≥ 0.
50. Considere a funcao polinomial
g : x 7−→ x4 + 2x3 − 16x2 − 2x + 15
(a) Prove que 1 e −1 sao raızes de g(x).
(b) Determine os valores de x que satisfazem a condicao g(x) = 0.
(c) Indique, recorrendo a intervalos de numeros reais, o conjunto-solucao da condicaog(3x) ≥ 0.
51. Determine o domınio de cada uma das seguintes expressoes designatorias:
(a)2x√
x2 − 3; (b)
3√
x2 + x
1− x2; (c) 3
√1− x
3x− 1;
(d)√
2 +√
x + 1; (e) 3
√49− x2
(x− 1)2; (f)
√−(x + 1)2;
(g)
√x2 − x
x+ 3; (h)
√3− x
5x− 3; (i)
√x− 1
3√
x + 3;
(j)3√
x− 4x2 + 1√x(x− 3)2
.
9
52. Defina, com a forma de intervalos de numeros reais, o conjunto solucao das seguintescondicoes:
(a)3
2x + 3≥ 0; (b)
2x + 1
≥ x; (c)x− 12− 3x
≥ 0;
(d)1x
> x; (e)x2 + 52− 3x
< 0; (f)x2 − 25x2 + 25
≥ 0;
(g)√
x− 3x− 4
> 0; (h)x2 − 9x2 + 4x
≤ 0; (i)x2
(x− 3)(4 + x)≥ 0;
(j)1
3x + 1≥ 1
x; (k)
(x− 1)3
x2(x + 3)2≤ 0; (l)
(x + 1)5
3x2 − x4≥ 0;
(m)−(x− 3)4
x2 − 1≥ 0; (n) 1 >
1x− 3
; (o)x2 − 2x + 32x2 − 3x + 1
≤ 1;
(p)−x2 + 5x− 6x2 − 10x + 16
≥ 0; (q) 1 +5− x
x− 2>
x + 5x + 2
; (r)x + 5√x− 2
< 0;
(s) 3
√1− 2x2
3x2 + 1≥ 0.
53. Resolva as seguintes inequacoes:
(a)x− 31− x
≥ 0; (b)x2 − 4x2 − 5x
< 0;
(c)x2 − 5x + 6
x≥ 0; (d) 5 +
√x < 1;
(e) x4 − 3x3 + 2x2 ≤ 0; (f) −2x3 + 6x2 − 4x < 0.
54. Complete com = ou 6= de forma a obter proposicoes verdadeiras:
(a) | − 3| . . . 3;
(b) |3− π| . . . 3− π;
(c) |π −√5| . . . π −√5;
(d) | − 2√
10 +√
7| . . . 2√10−√7;
(e) | − 3−√8| . . . 3 +√
8.
55. Das afirmacoes seguintes, quais as verdadeiras e quais as falsas? Em cada caso expliqueporque.
(a) |x| = | − x|, para todo o x ∈ R.
(b) Qualquer que seja o x ∈ R, |x| ≥ 0.
(c) Existe pelo menos um x ∈ R, tal que |x| < 0.
(d) Existe pelo menos um x ∈ R, tal que |x| ≤ 0.
(e) |x1| > |x2| entao x1 > x2, para todo x1, x2 ∈ R.
56. Mostre que:
(a) x ≤ |x|, ∀x ∈ R;
(b) |x + y| ≤ |x|+ |y|, ∀x, y ∈ R.
57. Resolva, em R, as seguintes equacoes:(a) |2x + 3| = 9; (b) |3x− 5| = 7; (c) |6x− 9| = 0;(d) |4x− 5| = −9; (e) |2x + 3| = 4x− 1; (f) |3x− 2| = 5x + 4;(g) |x− 3| = x; (h) |2x− 1| = 2x + 1; (i) |x2 + 4x− 1| = 4;(j) |x2 + 2x− 9| = 6; (k) |x2 − 5x + 1| = 3; (l) |x− 2| = |3x− 1|;(m) |12x2 + 5x− 7| = 4; (n) | x− 1
3x + 4| = 2; (o)|x(x + 4)| = |1− 2x|.
10
58. Nas colunas seguintes cada condicao (ai) (i = 1, . . . , 10) e equivalente a uma e uma socondicao (bj) (j = 1, . . . , 10). Indique todos os pares equivalentes.
(a1) |x| < 4 (b1) 4 < x < 6;(a2) |x− 1| < 3 (b2) x > 3 ∨ x < −1;(a3) |3− 2x| < 1 (b3) −4 < x < 4;(a4) |1 + 2x| ≤ 1 (b4) x > 2;(a5) |x− 1| > 2 (b5) −2 < x < 4;(a6) |x + 2| ≥ 5 (b6) (−√3 ≤ x ≤ 1) ∨ (1 ≤ x ≤ √
3);
(a7) |5− 1x| < 1 (b7) 1 < x < 2;
(a8) |x− 5| < |x + 1| (b8) x ≤ −7 ∨ x ≥ 3;
(a9) |x2 − 2| ≤ 1 (b9)16
< x <14;
(a10) x < x2 − 12 < 4x (b10) −1 ≤ x ≤ 0.
59. Represente,com intervalos de numeros reais, o conjunto-solucao de cada uma das condicoes:(a) |2x− 3| ≥ 1; (b) |3x− 1| ≤ 5; (c) |5− 4x| ≥ 2;
(d)|1− 2x| ≤ 1; (e) |x2 − 2| > 1; (f) | 1x
+ 2| ≥ x;
(g) |3x + 1x + 1
| < 3; (h) |x2 − x + 2x− 4
| ≥ 2; (i)x− 1|x| − 3
≥ 0;
(j)|x + 1| − 3
x− 4≤ 0; (k)
|x|x2 − 1
≥ 0; (l)4− x2
|x|+ 3≥ 0;
(m)x2
|x− 3| − 5≤ 0; (n) |x4 − 4x2| ≤ 0; (o) |x− 6
x| > 5;
(p) |3− 6x2 + 12x2 − 4x + 1
| < 3.
60. Aplique as propriedades das funcoes exponencial e logaritmo e simplifique as expressoes:
(a) log 2 + log 5; (b) log 6− log 3 + elog 5; (c) elog 5+log |x|;(d) 32 log3 |x+1|; (e) 16log4 |x−1|; (f) 2log4(x−2)2 + log3 9(x−1);(g) log 1
2( 18 )(2−x); (h) (ex)log 2; (i) log e(x+2);
(j) 2(x− 3) log4 2; (k)log3 |x + 1|
log3 5; (l) log |x2 − 1| − log 3
√x− 1;
(m)log 2
3( 49 )(x−
√5)
x2 − 5; (n) 9(log3 |x+4|+2); (o) a(2−loga |x|)/3, a ∈ R+ \ {1}.
61. Mostre que: loga x = log xlog a , ∀x > 0, ∀a ∈]0, 1[∪]1,+∞[.
62. Simplifique as seguintes fraccoes
(a)e2x − 1ex + 1
; (b)e2x + ex − 2
ex − 1;
(c)log2 x− 3 log x
log x; (d)
log x + 2log2 x + 2 log x
;
(e)2e3x − e2x − 6ex
e2x − 4; (f)
e3x + 2e2x − ex − 2e2x − 1
;
(g)x2 − 1
elog x − 1.
63. Resolva em ordem a x as seguintes equacoes:
(a) y =x
2− x; (b) y = −3 + log2(
x2 ); (c) y = 1 +
e4x
4;
(d) e2x+3 = 5; (e) y = log(x + 1)32 ; (f) log(
1x− 1) = 2;
(g) (x2 − 4)5x+2 = 0; (h) e2x − 5ex + 6 = 0; (i) 7xx2 − 7x5x = 0.
11
64. Resolva em R:(a) loga(x
√2 +
√x) = − loga(x
√2−√x); (b)log3 x = 1
2 + log9(4x + 15);(c) ex + 4e−x = 5; (d)7xx2 − 7x5x = 0;(e) x10x + 10x5 > 0; (f) xex − 2ex < 0;
(g)ex − 1x2 + 1
> 0; (h) ex+2 log x− 2ex+2 > 0;
(i) 41−x > 16; (j) (2 + log x) log x ≤ 0;(k) log2 x− log x− 2 ≥ 0; (l) log(x2 − 4)− log(x− 1) ≥ 0;(m) (x− 3) log 1
2(x + 1) < 0; (n) (2− log x) log(x− 1) ≤ 0;
(o) log 13(1− x) < 2; (p) (x2 − 1) log2 x ≥ 0.
65. Calcule:
(a) arcsin( 12 ); (b) arcsin(−
√2
2 ); (c) 2 arcsin(−1); (d) cos(arcsin 12 );
(e) arccos(−√
32 ); (f) sin(arcsin( 1
2 )); (g) sin(arccos 35 ); (h) arcsin(sin(2π
3 ));(i) sin(π
3 − arcsin 45 ); (j) π
2 + arccos(√
22 ); (k) cos(2 arccos(− 5
13 )); (l) arctan(tan(π));(m) 2arccot(−1); (n) arcsin(sin(−
√5
4 π)); (o) sin(arctan 2); (p) cos(arccos(√
32 ));
(q) arccos(sin 5π4 ); (r) sin(arcsin 12
13 + arcsin 45 ); (s) cos(arccos 15
17 − arccos 725 ); (t) sin( 1
2 arccos 45 ).
66. Simplifique as seguintes fraccoes
(a)sinx + 1sin2 x− 1
; (b)cos x + 24− cos2 x
;
(c)sin x
sin2 x + sin x; (d)
sin2 x− 3 sinx
cos x(sinx− 3);
(e)sin4 x− 1
(sinx + 1)2; (f)
1− sin2 x
cos2 x + 2 cos x;
(g)sin2 x− 9sinx + 3
; (h)cos3 x− 2 cos2 x− 3 cos x
cos2 x + cos x.
67. Simplifique as seguintes expressoes:
(a) 1 +sin2 x
cos2 x; (b)
1− cos2 x
sin x;
(c) sin(x + π) + sin(x− 3π); (d)18− 1
8cos(2x + 2);
(e) − sin(x + 3π2 ) + cos( 27π
2 − x) + sin(x + 3π)− cos(7π − x); (f) cos(x + 2π)− cos(π − x);
(g)2 sin(5π − x) + 2 tan(3π − x) + 2 sin(x− 3π) + 3 tan(x− 7π) ; (h)14
+14
cos(2x) ;
(i) tan(x + π) + tan(x− π); (j) 1− 11− sin2 x
;
(k)x
sin x+
2cos x
; (l)1
sin2 x+
11− sin2 x
;
(m)1
1 + sin2 x− 1
1− sin4 x; (n)
cosh2 x− sinh2 x
1− tanh2 x;
(o) 1 +1
1 + sinh2 x; (p)
cosh x sinhx− sinh x
cosh2 x− 1;
(q)1
cosh x− 1
cosh x− cosh3 x; (r)
1 + sinh2 x
1 + cosh(2x).
12
68. Verifique as seguintes igualdades:(a) sin(x + π
4 ) sin(x− π4 ) = sin2 x− 1
2 , ∀x ∈ R;(b) sin(3x) = 3 sin x− 4 sin3 x, ∀x ∈ R;(c) cos(x) + cos(x + 2π
3 ) + cos(x− 2π3 ) = 0, ∀x ∈ R;
(d) cos(3x) = 4 cos3 x− 3 cos x, ∀x ∈ R;(e) [cos(x) + cos(2x)]2 + [sin(x) + sin(2x)]2 = 2 + 2 cos(x), ∀x ∈ R;(f) 1 + cos
(x2
)= 2 cos2
(x4
), ∀x ∈ R;
(g)tan(2x) =1
1− tan(x)− 1
1 + tan(x);
(h)arctanx = arcsin(
x√1 + x2
);
(i) sinh(3x) = 3 sinh x + 4 sinh3 x;(j)cosh(3x) = 4 cosh3 x− 3 cosh x;(k) 1 + cosh
(x2
)= 2 cosh2
(x4
);
(l) tanh(
x2
)= sinh x
1+cosh x .
69. Mostre que:(a) sinh(−x) = − sinhx; (b) cosh(−x) = cosh x;(c) cosh2 x− sinh2 x = 1; (d) sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y coshx;(e)cosh2 x = 1
2 [1 + cosh(2x)]; (f)cosh x cosh y = 12 [cosh(x + y) + cosh(x− y)];
(g) sinh2 x = 12 [cosh(2x)− 1]; (h) (coshx + sinh x)n = cosh(nx) + sinh(nx), n ∈ N;
(i) arg tanh = 12 log
(1+x1−x
), x ∈]− 1, 1[; (j) arg sinh x = log(x +
√x2 + 1);
(k) arg cosh x = log(x +√
x2 − 1), x ≥ 1.
70. Resolva as seguintes equacoes:
(a) 2 sin x = −√
3; (b) sin(2x) + sin π4 = 0;
(c) 1− tan(
x3
)= 2; (d) cos x = sin2 x− cos2 x;
(e) 3(1− cos x) = sin2 x; (f) cos x + sin(2x) = 0;(g) sin x = cos x; (h) 2 sin2 x− sin(2x) = 0;(i) 3 cos2 x− 1 = −2 sin2 x + 2 cos x; (j) cos x cos(4x) = cos(2x) cos(3x);(k) 2 cos x + 3 = 4 cos x
2 ; (l) 3sin x+sin x tan x = 1;(m) log 1
2( 12 sin(3x− 2)) = 1; (n) log2(sinx + 1)− 1 = 0 ;
(o) cos x− tanx = 1cos x ; (p) 2 cos2 x + 3 = 3 sin2 x + 4 cos x;
(q)sin x
1 + cos x− cos x
sinx= 1; (r)log2(arctanx) + 3 log(arctan x) + 2 = 0;
(s) | arcsin(x + 1)| = π4 ; (t) sinh x = 5;
(u) cosh x + sinh x = 3; (v) 1 + sinh2 x = 3 cosh x;(w) e2 tanh x+tanh x cosh x = 1; (x) sinh2 x− 2 sinh x + 1 = 0.
71. Resolva as seguintes inequacoes:
(a) log(1− x) arctan(x + 2) ≤ 0; (b)(log x + 1)(2x − 3)
arctanx− π4
≥ 0 ;
(c)(x2 + x− 2)(ex − 2)
arcsin x≤ 0 ; (d) (log x− 1)(arcsinx + π
4 ) ≥ 0;
(e)arctanx + π
6
log(x + 2)− 3≥ 0 ; (f) | log(x− 1)
2 log(x− 1) + 1| ≤ 1;
(g)earcsin x(x2 − 5x + 4)
arccosx< 0 ; (h)
e2x − 4ex + 3(x2 − 1)(arccos x− π
2 )≤ 0 ;
(i)log x + 1arcsin x
> 0; (j)x2 − 1
arg cosh(x + 3)< 0;
(k) log(cosh x) ≥ 0; (l)earg sinh x(x− 1)
coshx + 2≥ 0;
(m) | sinh x− 3| < 2.
13
Capıtulo 2
Funcoes Reais de Variavel Real
1. Dadas as funcoes reais de variavel real, m e p, definidas por
m(x) =2
x + 2e p(x) = 1− 2x
(a) Calcule o domınio e o contradomınio das funcoes.
(b) Calcule (m ◦ p)(1) e (p ◦m)(0).
(c) Caracterize as funcoes (m ◦ p) e (p ◦m).
2. Sendo f e g duas funcoes reais de variavel real definidas por
f(x) =√
x− 4 e g(x) = 3 + x2
(a) Calcule o domınio e o contradomınio das funcoes.
(b) Caracterize as funcoes (f ◦ g) e (g ◦ f).
(c) Mostre que (f ◦ g) tem dois zeros e que (g ◦ f) nao tem zeros.
3. Sendo f e g funcoes reais de variavel real definidas por f(x) =√
x e g(x) = x2 − 2.Determine expressoes para as funcoes compostas (f ◦ f), (g ◦ f), (f ◦ g), (g ◦ g) e indique odomınio de cada uma dessas funcoes.
4. Sendo f , g e h funcoes reais de variavel real definidas por
f(x) = x + 1, g(x) = x2 e h(x) =√
x− 1,
caracterize as funcoes (f ◦ g), (f ◦ f), (g ◦ h), (h ◦ g).
5. Considere a funcao f , real de variavel real, definida por f(x) = x2 − 4
(a) Indique o domınio e o contradomınio de f .
(b) A funcao f e injectiva? Justifique.
(c) Caracterize uma restricao g de f , injectiva e cujo domınio seja R+0 .
6. Dadas as funcoes f e g, reais de variavel real, definidas por
f(x) =x + 1x− 3
e g(x) = x2 − 3x
(a) Calcule o domınio de f e g.
14
(b) Indique, justificando , o valor logico de cada uma das seguintes proposicoes:i. ∀ y ∈ R\{1}, ∃ x ∈ Df : f(x) = y;ii. ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R : g(x) = y.
(c) As funcoes f e g sao sobrejectivas? Justifique.
7. Dadas as funcoes reais de variavel real definidas por:(i) f(x) = 3− x2; (ii) h(x) = 2−√1− x;
(iii) s(x) = 3x+3 ; (iv) g(x) =
{2− 1
2 ln(x) se x > 1√5− x se x ≤ 1 .
(a) Calcule o domınio, o contradomınio e os zeros de cada uma das funcoes.(b) Classifique-as quanto a injectividade e sobrejectividade.
8. Considere as correspondencias definidas por:(i) f : R\N −→ R\Q (ii) f : R\N −→ R (iii) f : R\]0, 2] −→ R\]1, 10]
x −→ −√27−3x x −→ 1
3−x com f(x) ={ −x se x ≤ 0−5x se x > 0
Para cada alınea verifique se:(i) f e uma funcao; (ii) f e injectiva; (iii) f e sobrejectiva.
9. Das seguintes afirmacoes indique, justificando, as verdadeiras e as falsas:
(a) Seja f : R→ R tal que f(2) = f(3); entao f e injectiva;(b) Seja f : R→ R tal que f(2) = f(2); entao f nao e injectiva;(c) Seja f : R→ R tal que f(2) nao existe; entao f nao e injectiva;(d) Seja f : R→ R tal que f(2) 6= f(3); entao f e injectiva;
(e) Seja f : R→ R tal que f(x) = |x|x ; entao f e injectiva;
(f) Seja f : R→ R tal que f(2) ≥ f(3); entao f e injectiva;(g) Seja f : R→ R tal que f(R) = R; entao f e sobrejectiva;(h) Seja f : R→ R tal que f(R) = ∅; entao f e sobrejectiva.
10. Dadas as funcoes reais de variavel real,
f(x) =x
2− 4; g(x) =
8x + 2
; h(x) =√
2− x2; j(x) =1
1−√x2 + 2.
(a) Determine os seus domınios.(b) Indique os contradomınios das funcoes g(x) e h(x).(c) Indique as funcoes que sao injectivas.(d) Indique as funcoes que sao bijectivas.(e) Caracterize, explicitando o domınio e a expressao analıtica, a aplicacao inversa de g(x).(f) Caracterize a aplicacao (h ◦ g)(x).
11. Indique, justificando, se as seguintes funcoes tem inversa:
(a)
x
y
(b)
x
y
15
(c)
x
y
(d)
x
y
12. Diga, justificando, quais das seguintes funcoes sao limitadas.
(i) f(x) = x, x ∈ R; (ii) f(x) = x, x ∈ R+;
(iii) f(x) = x, x ∈ [0, 126]; (iv) f(x) =2
cos(x)− 7, x ∈ R.
13. Estude as funcoes seguintes quanto a paridade.
(i) f(x) = x11 + 3x3 − x, x ∈ R; (ii) f(x) = x100 − 5x50 + 1, x ∈ R;
(iii) f(x) =x− 1x + 1
, x ∈ R\{−1}; (iv) f(x) = |x + 1|, x ∈ R;
(v) f(x) =x3 − x
x + 1, x ∈ R\{−1}; (vi) f(x) =
√|1− x2|, x ∈ R.
14. Diga quais das seguintes funcoes sao periodicas e indique o perıodo:
(i) f(x) = sin(2x + 5), x ∈ R; (ii) g(x) =2
x + 6, x ∈ R\{−6}; (iii) h(x) = sin
(x
π
), x ∈ R.
15. A figura mostra a parte situada a direita do eixo dos yy do grafico de uma funcao f(x).
x
y
(a) Complete o grafico se f(x) e uma funcao par.
(b) Complete o grafico se f(x) e uma funcao ımpar.
16
16. A figura representa o grafico de uma funcao f(x).
x
y
(a) Esboce o grafico da funcao g(x) definida por g(x) = |f(x)|.(b) Esboce o grafico de −f(x).
(c) Esboce o grafico da funcao h(x) = f(−x).
(d) Esboce o grafico da funcao i(x) = −f(−x).
17. Considere a funcao real de variavel real f definida por f(x) =√
x + 1 + 3
(a) Indique o domınio e o contradomınio de f .
(b) Averıgue se f e injectiva.
(c) Caso seja possıvel, determine a funcao inversa f .
(d) Esboce, no mesmo referencial, os graficos de f e f (−1).
18. Determine, caso seja possıvel, a funcao inversa, domınio, contradomınio e expressao analıticada funcao definida por:
(i) f(x) = 3− 2x; (ii) f(x) = x2 − 1; (iii) f(x) = x2−x ; (iv) f(x) = 1 + e4x
4 ;
(v) f(x) =1− 2x
1 + x; (vi) f(x) = −3 + ln
(x32
); (vii) f(x) =
12 + log2(3− x)
; (viii) f(x) = 1 +2x
5;
19. Considere a funcao g, real de variavel real definida por g(x) = 2− log5(x− 3).
(a) Determine o domınio e o contradomınio de g.
(b) Calcule, se existirem, os zeros da funcao.
(c) Caracterize a funcao inversa de g.
20. Seja t a funcao real de variavel real definida por t(x) = log2(9− x2).
(a) Indique o domınio e o contradomınio de t.
(b) Justifique que a funcao nao tem inversa.
21. Considere a funcao f , real de variavel real, definida por f(x) = ln(
2+x2−x
).
(a) Indique o domınio de f .
(b) Prove que f e ımpar.
(c) Caracterize a funcao inversa de f , caso exista.
17
22. G1, G2, G3 e G4 sao graficos (mas nao necessariamente por esta ordem) das funcoes reaisde variavel real, definidas como se segue:
x
y
G2 G3
G1
G4
f(x) = |x|+ αg(x) = |x− β|h(x) = |x + β|i(x) = | − x− β|j(x) = | − x|+ αl(x) = | − x + β|m(x) = |αx|com α e β pertencentes a R+. Faca corresponder a cada funcao o respectivo grafico.
23. Represente geometricamente a funcao inversa das seguintes funcoes:
(a)
x
y
(b)
x
y
18
(c)
x
y
(d)
x
y
24. Considere a funcao f , real de variavel real, definida por f(x) =
x + 3 se x > 2|x|+ 1 se −2 ≤ x ≤ 2−x + 3 se x < −2
.
(a) Represente graficamente uma restricao de f ao intervalo [−4, 4].
(b) Verifique graficamente e prove analiticamente que f e uma funcao par.
(c) Sendo g a funcao definida por g(x) ={ −1 se x ∈ R\[−2, 2]
1 se x ∈ [−2, 2] caracterize analitica-
mente (f + g) e esboce o seu grafico.
25. Represente graficamente cada uma das funcoes reais de variavel real definidas por:
(a) f(x) = x2 − 6x + 10;
(b) g(x) = 2x2 + 12x + 16;
(c) h(x) = |x + 1|;
(d) i(x) =
2x− 1 se x ≤ 0
−x
2se 0 < x ≤ 5
22x− 5 se x ≥ 3
;
(e) j(x) ={
2 se x < 0x2 se x ≥ 0 ;
(f) l(x) ={ |2− x| se x ≤ 3
(x− 4)2 se x > 3 .
19
26. Dadas as funcoes f e g, reais de variavel real, definidas por f(x) = 1−√x + 1 e g(x) =x− 1x + 1
.
(a) Calcule o domınio de f e g.
(b) Determine os zeros de (f ◦ g).
(c) Caracterize as funcoes (f + g), (f − g), (f × g) e fg .
27. Determine o domınio e o contradomınio das funcoes definidas por:
(a) f(x) = −3 + arcsin(3x); (b) f(x) = −2 + arcsin( 1x+1 ); (c) f(x) = arcsin(x2−1
2 );(d) f(x) = 2
3 arccos(x2 − 3); (e) f(x) = π + arccos( 1−x2
2 ); (f) f(x) = arctan( 1x+5 ).
28. Caracterize a funcao inversa de cada uma das funcoes definidas por:
(a) f(x) = 2 sin(3x); (b) f(x) = 3 arcsin(2x− 1); (c) f(x) =−1 + arccos(3x)
2;
(d) f(x) = 5− 3 arccos(x−13 ); (e) f(x) = 2 cot(x + π
3 ); (f) f(x) = tan(π4 )− arctan(x
3 ).
29. Considere a funcao real de variavel real f definida por f(x) = 12 arcsin(3x− 2).
(a) Determine o domınio de f .
(b) Calcule f(1) + 2f(13)− f(
4 +√
26
).
(c) Determine os zeros de f .
(d) Caracterize a funcao inversa de f .
30. Considere a funcao real de variavel real definida por g(x) = π2 − 3 arccos(x + 1).
(a) Calcule g(−1)− g(−32).
(b) Determine o domınio e o contradomınio da funcao.
(c) Calcule os zeros de g, se existirem.
(d) Caracterize a funcao inversa de g.
31. Considere a funcao real de variavel real definida por h(x) = −π4 + arctan(2x− x2).
(a) Calcule h(0) + h(1).
(b) Determine o domınio e o contradomınio de h.
(c) Analise a existencia de zeros para a funcao.
32. Seja f a funcao real de variavel real definida por f(x) = 1 + arccot( 1x+1 ).
(a) Calcule f(0) + f(−2).
(b) Determine o domınio, o contradomınio e, se existirem, os zeros de f .
(c) Caracterize a funcao inversa de f .
33. Seja g a funcao real de variavel real definida por g(x) =1
sin(2x− π2 )
(Considere a restricao
principal).
(a) Caracterize a funcao inversa de g.
(b) Calcule g(arcsin( 25 )).
34. Determine x sabendo que x = sin(arccos( 1161 )).
20
35. Seja g a funcao real de variavel real definida por g(x) =1
1− tan(x2 )
.
(a) Determine o domınio de g.
(b) Calcule g(π3 ).
(c) Averigue qual o valor logico da proposicao: ∀ x ∈ Dg, g(x + 2π) = g(x).
(d) Sabendo que g(a) =23
e que3π
2< a < 2π, calcule cos(
a
2).
36. Considere a funcao real de variavel real definida por f(x) = arccos(3√
22
− 2x).
(a) Determine o domınio e o contradomınio de f .
(b) Caracterize a funcao inversa de f .
(c) Resolva a equacao f(x) =π
4.
21
Capıtulo 3
Limites e Continuidade
1. Considere a funcao:
f(x) ={ |x− a| se x 6= a
2 se x = a.
Mostre que limx→a
f(x) = 0.
2. Considere as funcoes:
f(x) = x +1
(x− 3)2e g(x) =
7(x2 − 9)(x− 3)
.
Determine limx→3
(f(x)− g(x)).
3. Considere as funcoes:
u(x) =√
x + 5 e v(x) =√
x− 1 .
Calcule limx→+∞
(u(x)− v(x)).
4. Considere as funcoes:
u(x) =1x2
e v(x) = x3 − 2x2 .
Calcule limx→0
u(x).v(x).
5. Investigue a existencia de limite, ou limites laterais, no ponto indicado, para cada uma dasfuncoes definidas pelas expressoes analıticas seguintes:
(a)1x5
, x = −1; (b)3x2 − x + 4
x5 − 7, x = 2;
(c) −|x + 2|, x = −2; (d){ |x− 1| se x ≤ 2
x2 se x > 2 , x = 2;
(e)1 +1
x + 2, x = −2 (f)
1 + x2 − x3
1 + x4, x = +∞;
(g)√
2x + 3− 3x− 3
, x = 3; (h)1x
, x = 0.
22
6. Estude a continuidade das funcoes e classifique as descontinuidades, se existirem.
(a) f(x) =
x2 − 4x + 3x− 3
se x 6= 3
2 se x = 3; (b) f(x) =
{ex se x < 2
x2 + 1 se x ≥ 2 ;
(c)f(x) =
{ 1x− 1
se x < 1
ex se x ≥ 1; (d) f(x) =
{ 1x
se x < 0
ln(1 + x) se x ≥ 0.
7. Considere a funcao:
f(x) =
{2x2 − k se x < 3
x +1x
se x ≥ 3.
Determine k de forma que a funcao seja contınua em x = 3.
8. Considere a funcao:
f(x) =
x sin(
1x
)se x 6= 0
5 se x = 0.
(a) Mostre que f(x) nao e contınua em x = 0.
(b) O que seria necessario alterar para que a funcao passasse a ser contınua em x = 0.
9. Discuta a continuidade de f(x) =√
x2 − 9x− 3
.
23
Capıtulo 4
Calculo Diferencial
1. Calcule as seguintes derivadas, por definicao:
(a) f(x) =2x
, no ponto x = 1;
(b) f(x) =x− 12− x
, no ponto x = 0;
(c) f(x) = ln x, no ponto x = 2.
2. Determine, usando a definicao, f ′(x0) nos seguintes casos:
(a) f(x) =1x
, x0 ∈ R\{0};
(b) f(x) =√
x, x0 ∈ R+;
(c) f(x) = ln x, x0 ∈ R+.
3. Calcule, se existirem, as derivadas laterais de cada uma das seguintes funcoes:
(a) f(x) =
x2
2+ 1 se x < 2
2x− 1 se x ≥ 2, no ponto x = 2;
(b) f(x) ={
(x− 3)2 + 1 se 0 ≤ x < 32x− 5 se 3 ≤ x ≤ 5 , no ponto x = 3;
(c) f(x) =
{ x
1 + e1x
se x 6= 0
0 se x = 0, no ponto x = 0 .
24
4. Calcule a funcao derivada das seguintes funcoes reais:
(1) f(x) = 3x(2x + 1)(2− 3x); (2) f(x) =1
(x + 1)2+
x
x + 2;
(3)f(x) = 4(3− x) ; (4)f(x) = (3x2 + 5x)3;
(5)f(x) = (x2 + 1)3(3− x)2 ; (6)f(x) =2x + 13− x
;
(7)f(x) =
√x + 12− x
; (8)f(x) = 4√
x3 + 2x;
(9)f(x) = e3x ; (10)f(x) = 21x ;
(11)f(x) = 3√
x ; (12)f(x) = ex+1x−1 ;
(13)f(x) = xx ; (14)f(x) =ln (x) + 1ln x− 1
;
(15)f(x) = sin3(2x) ; (16)f(x) = ln (ln (√
x));(17)f(x) = ln (arctan (3x)) ; (18)f(x) = 7
√(x3 + x2)6;
(19)f(x) = sin (x) tan (x2) + cos ( 3√
x) ; (20)f(x) = ln
(√1 + sin x
1− sin x
);
(21)f(x) = (sin x)ln(tan x) ; (22)f(x) = 5x
x−1 ;
(23)f(x) = ln(sin2 x) + sin(ln(x)) ; (24)f(x) = arctan(
ex − e−x
2
);
(25)f(x) = (xx)x ; (26)f(x) = 31
ln x ;
(27)f(x) =ex−1
1 + ex; (28)f(x) = ex − (1− x2);
(29)f(x) =ln(lnx)arccosx
; (30)f(x) = sinh x;
(31)f(x) = cosh x ; (32)f(x) = tanh x;
(33)f(x) = tan(
12x
)− cosh(
√x + 1) ; (34)f(x) = sinh(ln x);
(35)f(x) = ex cos x ; (36)f(x) = ln(tan (x5));
(37)f(x) = ln(
2x
1 + 3x2
); (38)f(x) = cosh(x2) ln(sinhx) .
5. Mostre que se y = c1e2x + c2xe2x + ex, c1 e c2 constantes, entao y′′ − 4y′ + 4y = ex
6. Calcule a derivada de ordem n das seguintes funcoes.
(a) f(x) = xm; (b) f(x) = sin x; (c) f(x) =1x
.
7. Mostre que a derivada de ordem n da funcao f(x) = xe−x e dada por f (n)(x) = (−1)n(x− n)e−x.
8. Mostre que, a derivada de ordem n da funcao f(x) = ln(ax + b), e dada por
f (n)(x) = (−1)n−1(n− 1) !an
(ax + b)n, para todo o n natural.
9. Em cada uma das alıneas, calcule a derivada da funcao h(x) = (fog)(x) utilizando o Teorema daDerivada da Funcao Composta:
(a) f(x) = 3x2 + 1 e g(x) = x2 −√x;
(b) f(x) = 3√
x e g(x) = cos x;
(c) f(x) = 3x2 − 2 e g(x) = cos x;
25
(d) f(x) = x3 − 3x2 e g(x) =√
x− 1.
10. Determine as equacoes da recta tangente e da recta normal as seguintes curvas, nos pontosindicados.
(a) f(x) = x3 − 3x + 2, x0 = 2;
(b) f(x) = 2x3 − 4, x0 = 2;
(c) f(x) = ln x, x0 = 5;
(d) f(x) = x2, x0 = 0;
(e) f(x) =√
4− x2, x0 = 0;
(f) f(x) = x2 − ln(2x− 5), x0 = 3.
11. Escreva a equacao da recta tangente a x2 − xy + y2 = 1 no ponto (−1, 0).
12. Seja y = f(x) definida implicitamente por√
x +√
y = 2. Escreva a equacao da recta normalao grafico de f no ponto de ordenada y = 1.
13. Considere a funcao y = f(x), definida implicitamente por arcsin(x− y) = tan(y − 1).
(a) Calcule a derivada, de 1ª ordem, da funcao y = f(x).
(b) Escreva a equacao da recta tangente ao grafico da funcao no ponto de ordenada y = 1.
14. Considere a funcao y = f(x), definida implicitamente por y3x2+1 + arctan (x2y) = ln(e + y − 1).
(a) Calcule a derivada, de 1ª ordem, da funcao y = f(x).
(b) Escreva a equacao da recta tangente a curva no ponto de ordenada y = 1.
15. Seja y = f(x), definida implicitamente por ey2−1 + arctan(x2y) = ln(e + y − 1). Escreva aequacao da recta normal ao grafico de f no ponto de ordenada y = 1.
16. Seja y = f(x) definida implicitamente por arctan(xy) +√
y = 1. Escreva a equacao da rectanormal ao grafico de f no ponto de ordenada y = 1.
17. Seja y = f(x) definida implicitamente por arcsin y +√
x + y = 1. Escreva a equacao da rectanormal ao grafico de f no ponto de ordenada y = 0.
18. Seja y = f(x) a funcao definida implicitamente pela equacao xy = y2.
(a) Determine a equacao da recta normal ao grafico da funcao no ponto de ordenada −1.
(b) Calcule (Fof)′(1) sabendo que F ′(−1) =1e
19. Seja y = f(x) definida parametricamente por x = arg sinh(3t + t3) e y = tanh t, (t ∈ R).Calcule f ′(0).
26
20. Calcule f ′(0) e escreva uma equacao da recta tangente ao grafico da funcao y = f(x), no
ponto x = 0, sendo f definida parametricamente por
x =e3t − e−3t
e3t + e−3t
y =2
e3t + e−3t
, (t ∈ R).
21. Um objecto rola num plano inclinado de tal modo que a distancia s(t) (em metros) que elepercorre, em t segundos, e dada por s(t) = 5t2 + 2.
(a) Qual a sua velocidade apos um segundo?
(b) Quando e que a sua velocidade sera de 28m/s?
22. A funcao posicao s(t), de um ponto em movimento rectilıneo, e dada por
s(t) = 2t3 − 15t2 + 48t− 10,
com t medido em segundos e s em metros.
(a) Determine a aceleracao quando a velocidade e de 12m/s.
(b) Determine a velocidade quando a aceleracao e de 10m/s2.
23. Prove que f(x) = x3 − 8x − 5 verifica a hipotese do Teorema do Valor Medio em [1, 4] edetermine c ∈]1, 4[ que satisfaz a conclusao do referido Teorema.
24. Se f(x) = |x|, mostre que f(1) = f(−1) ,mas f ′(c) 6= 0, ∀c ∈]− 1, 1[. Porque nao contradiztal facto o Teorema de Rolle?
25. Mostre que f(x) = 3x2 − 12x + 11 satisfaz a hipotese do Teorema de Rolle em [0, 4].
26. Verifique se a funcao f(x) =1
(x− 1)2satisfaz a hipotese do Teorema do Valor Medio em
[0, 2].
27. Prove que a funcao f(x) = 5sin(x) − 20 log3π(x + 1) tem pelo menos um zero no intervalo[0, 3π] e determine-o com duas casas decimais correctas.
28. Calcule os limites:
(a) limx→0
2−√4− x
x, (b) lim
x→−∞x + 1
x, (c) lim
x→0
x− cos(x)x + cos(x)
;
(d) limx→0
7 sin(x)− 2x− x2
sin(x)− 2x, (e) lim
x→+∞4x3 + 2x2 + 1
3x3 − 5, (f) lim
x→+∞x2 + x− 1
2x + 5;
(g) limx→0
√1 + x2 − 1
x, (h) lim
x→−∞
(x + 1
x
)x
, (i) limx→0
x sin(x)1− cos(x)
;
(j) limx→0
eαx − eβx
sin(αx)− sin(βx), (k) lim
x→0
sin(x)x
, (l) limx→+∞
xe−x;
(m) limx→π
2
(1− sin(x))cos2(x).
29. (a) Enuncie e faca a interpretacao geometrica do Teorema de Lagrange (Valor Medio).
(b) Dada a funcao f(x) = 1√x−1
, verifique se o teorema anterior garante a existencia de
c ∈]1, 2[,tal que f ′(c) = f(2)−f(1)2−1 .
27
30. Considere a funcao f , real de variavel real, definida por:
f(x) =
sin(π
2x)
, x ≤ 1
ln(2− x)2− 2x
, x > 1
.
(a) Indique o domınio da funcao.
(b) Estude a continuidade da funcao no seu domınio.
31. Calcule limx→0
ln(cos(x))x2
.
32. Estude as seguintes funcoes, reais de variavel real, quanto a monotonia e determine o seucontradomınio, calculando em seguida, se existir, a inversa.
(a) f(x) = x2, (b) f(x) =x
ln(x), (c) f(x) =
1 + x
1− x;
(d) f(x) =x + 1
x, (e) f(x) = |x + 1|, (f) f(x) = ln(x2).
33. Determine os maximos e mınimos locais das seguintes funcoes.
(a) f(x) =√
8 + x−√8− x, (b) f(x) =√
1− x2, (c) f(x) = xe−x;
(d) f(x) = |x + 1x− 3
|, (e) f(x) = x2 +1x
, (f) f(x) = sin(x) +x
2.
34. Estude as seguintes funcoes quanto ao sentido da concavidade e determine eventuais pontosde inflexao.
(a) f(x) = x3 − 3x2, (b) f(x) =x2 − 2x + 2
x− 1, (c) f(x) = xx;
(d) f(x) = sin(x) + cos(x), (e) f(x) =x√
x2 − 1, (f) f(x) = cos(3x).
35. Determine as assımptotas de curvas representativas, das seguintes funcoes reais de variavelreal.
(a) f(x) =2x
1− x2, (b) f(x) = e−x + x, (c) f(x) =
sin(x)x
;
(d) f(x) =x3
x4 + 1, (e) f(x) =
11− ex
, (f) f(x) = ln(x2).
28
36. Faca o estudo completo das seguintes funcoes reais de variavel real.
(a) f(x) = 2− x2; (b) f(x) =2
x− 5; (c) f(x) = x3 − 2x2;
(d) f(x) = ln(x + 1); (e) f(x) =x2 + |2x + 1|
x; (f) f(x) = sin(x) + cos(x);
(g) f(x) = e−x cos(x); (h) f(x) = | ln |x||; (i) f(x) = arctan(sin(x) + cos(x));
(j) f(x) =
√−x , x < 0
ln(x + 1) , x ≥ 0.
37. Considere a funcao
f(x) =
x2 − 4 se x < 2
ln(x− 1) se x ≥ 2.
Indique, justificando, o valor logico das seguintes proposicoes
(a) o domınio de f e ]1,+∞[.
(b) f e contınua em x = 2.
(c) f ′(2) = 1.
(d) f tem um mınimo local em x = 0.
(e) f tem concavidade voltada para baixo em [2,+∞[.
38. Na figura seguinte esta representado o grafico de uma funcao real de variavel real, parax ∈ [−4, 4].
-4 -2 2 4x
-2
-1
1
2
y
Faca um esboco grafico da respectiva derivada.
39. De entre dois numeros reais positivos, cuja soma e 40, determine aqueles cujo produto emaximo.
40. De entre os rectangulos de perımetro P, qual o de maior area?
41. Uma pista de atletismo, com perımetro de 400m, e formada por duas semicircunferenciasiguais e dois segmentos de recta iguais. Quais sao as dimensoes da pista (comprimento dossegmentos de recta e raio da circunferencia) que compreendem area maxima?
29
42. Mostre que se a soma de dois numeros e constante, a soma dos seus quadrados e mınimaquando estes dois numeros sao iguais.
43. As medidas sucessivas duma grandeza x (que varia em R) deram os seguintes resultados:
x1, x2, x3, · · · , xn−1, xn
Minimize a soma dos quadrados dos desvios
S(x) = (x− x1)2 + (x− x2)2 + · · ·+ (x− xn)2.
44. Calcule o diferencial das seguintes funcoes, nos pontos indicados, para os acrescimos referidos:(a) 5
√x, x = 1, dx = 0.1;
(b) y = ln(x) + x2, x = 1, dx = 0.01;
(c) y = ex2−1, x = 0, dx = 0.2;
(d) y = 4√
x, x = 16, dx = 0.1.
45. Calcule o valor aproximado de:(a) 4
√1.02, (b) 5
√0.98, (c)
√9.002.
46. Obtenha, por meio de diferenciais, o aumento aproximado novolume de um cubo, se o com-primento de cada aresta varia de 10 cm a 10.1 cm. Qual a variacao exacta do volume?
47. A medida que a areia escoa de um recipiente, vai formando uma pilha conica cuja altura esempre igual ao raio. Se em dado instante, o raio e de 10 cm, use diferenciais para aproximara variacao do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
48. Pretende-se construir uma caixa rectangular fechada com altura igual a largura e com 2 m3
de volume. Se os custos por metro quadrado de material, para os lados, o fundo e a tampasao, respectivamente, 2 euros, 3 euros e 1 euro, determine as dimensoes que minimizam ocusto total da caixa.
49. A soma dos lados AC e BC do triangulo da figura e dada por:
f(x) =√
(x + a)2 + h2 +√
(x− a)2 + h2.
xO
y
h
xBA
−a a
C(x,y)
De todos os triangulos com base e area fixa, procure o que tem menor perımetro.
30
50. O Sr. Manuel pretende alugar uma casa. Se ele viver a x quilometros do seu local detrabalho, o custo do seu transporte sera de cx euros por mes. Por outro lado, a sua renda
sera25c
x + 1euros. A que distancia do seu trabalho ele devera viver, de forma que as suas
despesas, de transporte e renda, sejam mınimas.
31
Capıtulo 5
Calculo Integral
1. Calcule:
(a)∫
3x dx; (b)∫−x2 − x4
3− 4 dx; (c)
∫x2
3− 2x3 + x5 + 2 dx;
(d)∫
x2 − x + 1− 1x + 1
dx; (e)∫
e3x − 2x + 3
dx; (f)∫
(ex7 − e−
x7 )2 dx;
(g)∫
ex cot(ex) dx; (h)∫
e4x
√3− e4x
dx; (i)∫
1x(1 + ln(x))2
dx;
(j)∫
earctan(x)
1 + x2dx; (k)
∫4xe−x2
dx; (l)∫
2 cos(x) sin(x)√1 + sin2(x)
dx;
(m)∫
sin(3x)√1− cos2(3x)
dx; (n)∫
tan(x)cos2(x)
dx; (o)∫
12(sin(5x) + sin(x)) dx;
(p)∫
32x dx; (q)∫
13(cos(6x) + cos(−2x)) dx; (r)
∫23x − 1
x− 5+√
1− x dx.
2. Calcule:
(a)∫
x3 + x2 − 3x + 4 dx; (b)∫
2a√x− b
x2− 3k
3√
x2 dx; (c)∫
tan2(x) sec2(x) dx;
(d)∫
x2
√a2 + x3
dx; (e)∫ −3x
x4 + 54dx; (f)
∫1
x2 + 2x + 5dx;
(g)∫
1(x− a)n
dx, n 6= 1; (h)∫
11 + cos(x)
dx; (i)∫
1x2 + a2
dx;
(j)∫
x− 1√a2 − x2
dx; (k)∫
1√1 + x− x2
dx; (l)∫
1√a2 − (x + b)2
dx;
(m)∫
arcsin(x)√1− x2
dx; (n)∫
sin(2x) cos(4x) dx; (o)∫
cos(6x) cos(5x) dx;
(p)∫
etan(x)
cos2(x)dx; (q)
∫ln(x)
xdx; (r)
∫tan(2x) cos(2x) sin(
32x) dx.
32
3. Calcule, utilizando o metodo de Primitivacao por Partes:
(a)∫
x ln(x) dx; (b)∫
ex cos(x) dx; (c)∫
sin(ln(x)) dx;
(d)∫
xe−x dx; (e)∫
x2ex dx; (f)∫
2x3ex dx;
(g)∫
x sin(x) dx; (h)∫
2x ln2(x) dx; (i)∫
3xex−1 dx;
(j)∫
x
cos2(x)dx; (k)
∫ln(x) dx; (l)
∫ln(2x) dx;
(m)∫
cos(ln(x)) dx; (n)∫
arctan(x) dx; (o)∫
sin(3x) cos(x) dx;
(p)∫
x cos(x) dx; (q)∫
arccos(x) dx; (r)∫
x√1− x2
arcsin(x) dx;
(s)∫
(x2 − 1) cos(x) dx; (t)∫
1sin2(x) cos2(x)
dx; (u)∫
(x + 1)10(2x + 1) dx;
(v)∫
x5x dx; (x)∫
ln2(x)x2
dx.
4. Calcule as seguintes primitivas de potencias de funcoes trigonometricas:
(a)∫
cos3(x) dx; (b)∫
sin5(x) dx; (c)∫
sin2(x) dx; (d)∫
cos2(x) dx;
e)∫
sin4(x) dx; (f)∫
cot3(x) dx; (g)∫
tan3(x) dx; (h)∫
tan2(x) dx;
(i)∫
cot4(x) dx.
5. Calcule as seguintes primitivas de funcoes racionais:
(a)∫
1(x− 2)(x− 3)
dx; (b)∫
x + 1x(x− 1)2
dx; (c)∫
1(x− 2)(x + 2)
dx;
(d)∫
2(x + 1)(x− 3)
dx; (e)∫
x + 1x(x− 1)
dx; (f)∫
2x + 44x2 + 2x
dx;
(g)∫
x4 + 3x3
x2 − 3x + 2dx; (h)
∫x + 2
(x− 1)2dx; (i)
∫x + 1
x(x− 2)3dx;
(j)∫
1(x− 1)2(x + 1)2
dx; (k)∫ −x3 − 5x + 9
(x− 1)3(x + 2)dx; (l)
∫1
(x2 + 1)(x− 1)dx;
(m)∫
x + 1(3x2 + 5)2(x− 1)
dx; (n)∫
x + 3x(x2 + 1)2
dx; (o)∫
(x + 1)2
x2(x2 + 1)dx.
33
6. Calcule as seguintes primitivas efectuando a mudanca de variavel adequada:
(a)∫
x3
x8 + 5dx; (b)
∫1
(1− x2)√
1− x2dx; (c)
∫1√
x(3− x)dx;
(d)∫
x3
√1− x2
dx; (e)∫
1(4 + x2)
√4 + x2
dx; (f)∫ √
x− 1√x
dx;
(g)∫
3x
32x − 3x − 2dx; (h)
∫ √4− 4x2 dx; (i)
∫ √4− x2 dx;
(j)∫
sin5(x)√cos(x)
dx; (k)∫ √
1− x
1 + xdx; (l)
∫1√
x2 − 9dx.
7. Calcule as seguintes primitivas:
(a)∫
ex − 4e2x − 1
dx; (b)∫
2ex
2 + ex + e−xdx; (c)
∫x5 dx;
(d)∫
x2
√x
dx; (e)∫
ln(x)x
dx; (f)∫
1x ln(x)
dx;
(g)∫
x ln(x) dx; (h)∫
x
(x + 3)(x + 1)(x + 5)dx; (i)
∫cos(a + bx) dx;
(j)∫
arcsin(x) dx; (k)∫
sin3(x) dx; (l)∫
x arctan(x) dx;
(m)∫
5x
53x + 5−xdx; (n)
∫ √e2x
ex + 1dx; (o)
∫sin(x)
cos(x) + cos2(x)dx.
(p)∫
x sin(x) cos(x) dx; (q)∫
1(2x− 1)
√1− 2x
dx; (r)∫
arccos(x); dx;
(s)∫
1√x + x1/3
dx; (t)∫
sin(x) cos(x)1 + sin4(x)
dx; (u)∫
x + 1√x
dx.
8. Seja h(x) = ex − 2x− 2
(a) Escreva a equacao da recta tangente ao grafico de h em x = 0.
(b) Prove que o grafico da funcao dada intersecta a recta de equacao y = −2x + 1 em pelomenos um ponto do intervalo ]0, 2[.
(c) Determine a funcao H, primitiva de h, tal que H(0) = 0.
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9. Calcule os seguintes integrais definidos:
(a)∫ 1
0
5x3 dx; (b)∫ 5
3
4x2 − 12x dx; (c)∫ −1
−2
3x dx;
(d)∫ 2
1
x3 dx; (e)∫ e
1
2x
dx; (f)∫ 2
π
1π
x−2 sin(1x
) dx;
(g)∫ 5
−2
|x− 3| dx; (h)∫ 1
−2
x(x2 − 1)9 dx; (i)∫ π
2
0
cos3(x) dx;
(j)∫ −1
2
(x + 1)(x3 + 2) dx; (k)∫ e
1
ln(x) dx; (l)∫ 2
4
x3 + 1x2 − 1
dx.
10. Calcule a medida da area da regiao plana limitada pelos graficos das equacoes:
(a) y = 0 e y = 4x− x2; (b) y = x2 − 7x + 6, y = 0, x = 2 e x = 6;
(c) x = 8 + 2y − y2, x = 0, y = 1 e y = 3; (d) y = x3 − 6x2 + 8x e y = 0;
(e) x = 4− y2 e x = 0; (f) y = 6x− x2 e y = x2 − 2x;
(g) y2 = 4x e y = 2x− 4; (h) y = ex, y =√
x, x = 0 e x = 1;
(i) y = e−x, xy = 1, x = 1 e x = 2; (j) y = 2x, x + y = 1 e x = 1;
(k) y = e2x, y =x
x2 + 1, x = 0 e x = 1; (l) y = sin(x), y = cos(x), x = −π
2e x =
π
6.
11. Calcule a medida da area da menor regiao limitada pelo cırculo x2 + y2 = 25 e pela rectax = 3.
12. Determine a medida da area de superfıcie comum aos cırculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 4x.
13. Calcule a area da regiao plana fechada, delimitada por y = x2 e y = |x|.14. Calcule a area da regiao plana fechada, compreendida entre as curvas y = x3, y + x = 2 e
y + 1 = 0.
15. A regiao plana limitada pelos graficos das equacoes y = x, y = 2x e y = x2 roda em tornodo eixo dos xx. Determine a medida do volume do solido gerado por essa rotacao.
16. A regiao plana limitada pelos graficos das equacoes y = x3 e y2 = x roda em torno do eixodos xx. Determine a medida do volume do solido gerado por essa rotacao.
17. Determine o volume do solido gerado pela revolucao em torno do eixo xx
(a) da elipse b2x2 + a2y2 = a2b2;
(b) da regiao sob o grafico da y = sin(x), x = 0 e x = π.
18. A regiao plana limitada pelos graficos das equacoes y = e−x2, y = 0, x = 0 e x = 1 roda em
torno do eixo dos yy. Determine a medida do volume do solido gerado por essa rotacao.
19. Determine o volume do corpo gerado pela rotacao da catenaria y =a
2(e
xa + e−
xa ) em torno
do eixo dos xx entre os planos x = 0 e x = a.
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20. Determine o volume do toro gerado pela rotacao do cırculo x2 + (y − b)2 = a2 em torno doeixo das abcissas (supoe-se que b ≥ a).
21. A figura delimitada pela curva y = xex e pelas rectas y = 0 e x = 1, roda em torno do eixodas abcissas. Determine o volume do solido de revolucao gerado.
22. Calcule o volume do solido de revolucao gerado pela rotacao, em torno do eixo dos yy, daregiao limitada pela circunferencia x2 + y2 − 2y = 0.
23. Determine a natureza dos seguintes integrais improprios:
(a)∫ 1
0
ln(x) dx; (b)∫ +∞
0
e−x dx; (c)∫ 2
1
x3 + 1x2 − 1
dx;
(d)∫ +∞
1
e−√
x
√x
dx; (e)∫ +∞
−∞sin(x) dx; (f)
∫ 0
−∞
1x + 1
dx;
(g)∫ 0
−1
1x
dx; (h)∫ +∞
−∞e2x dx; (i)
∫ +∞
0
1x− 2
dx;
(j)∫ +∞
1
x
1 + x2dx; (k)
∫ b
a
1(x− a)
32
dx; (l)∫ 4
−1
1x− 4
dx;
(m)∫ b
a
1√b− x
dx (a < b); (n)∫ 1
−1
1x2
dx; (o)∫ +∞
a
x7 dx (a > 0);
(p)∫ 1
−∞
1√1− x
dx; (q)∫ +∞
0
2x + 1x2 + 1
dx; (r)∫ 2
0
2√x
+1√
2− xdx.
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