Análise Granulométrica
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULODEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA
TERRACAMPUS DIADEMA
LABORATÓRIO DE OPERAÇÕES UNITÁRIAS
ANÁLISE GRANULOMÉTRICA
UC: Operações Unitárias I
Professores: Patrícia Fazzio Martins
José Ermírio
Luciana Yumi
Equipe:
André V. Livrieri
Caroline T. Lourenço
Dora Novaes
Simone Perin
Sergio Domenico
Vinicius Maeda
Diadema - SP
Abril / 20121
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TERMO DE HONESTIDADE E AUTENTICIDADE
Os autores deste relatório atestam que não houve plágio, fraude e/ou falta de
honestidade na confecção deste documento. Os autores confirmam que o
conteúdo deste relatório (incluindo texto, dados, figuras, tabelas e entre outros) foi
resultado de observações do próprio grupo de autores, excluídas as citações
devidamente referenciadas. Os autores também atestam que não foram utilizados
relatórios de outros grupos como referência na preparação deste relatório.
ENSAIO: _____________________________________
DATA: ____/____/_______
AUTORES:
(assinatura)
___________________________________
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Sumário
1. Introdução............................................................................................................................1
2. Objetivo...............................................................................................................................2
3. Metodologia.........................................................................................................................2
3.1. Materiais.......................................................................................................................2
3.2. Métodos........................................................................................................................4
4. Resultados e discussão.........................................................................................................4
5. Conclusão..........................................................................................................................13
6. Bibliografia........................................................................................................................13
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Lista de Figuras
Figura 1: Agitador eletromagnético............................................................................................3
Figura 2: Peneiras redondas para análise granulométrica...........................................................3
Figura 3: Histograma da análise granulométrica........................................................................6
Figura 4: Fração mássica acumulada em relação ao diâmetro médio das peneiras....................7
Figura 5: Modelo de distribuição de Gates-Gaudin-Schumann (GGS)......................................8
Figura 6: Modelo de distribuição de Rosin-Rammler-Bennet (RRB)......................................10
Figura 7: Modelo de distribuição Log-Normal.........................................................................11
Figura 8: Modelo de distribuição (RRB) pelo software Rt-Plot...............................................12
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Lista de Tabelas
Tabela 1: Abertura das peneiras segundo as normas ABNT/ASTM/TYLER/MESH................4
Tabela 2: Jogo de Peneiras e Diâmetro médio de abertura.........................................................5
Tabela 3: Massa de areia retida...................................................................................................5
Tabela 4: Frações mássicas e Frações mássicas acumuladas......................................................6
Tabela 5: Planilha de cálculo dos parâmetros m e K pelo modelo GGS....................................8
Tabela 6: Cálculo dos parâmetros n e D’ pelo modelo RRB......................................................9
Tabela 7: Cálculo dos parâmetros σ e D50 pelo modelo Log-Normal.......................................10
Tabela 8: Parâmetros calculados...............................................................................................11
Tabela 9: Parâmetro n e D’ calculado pelo software Rt-Plot....................................................12
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Resumo
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1. Introdução
O ensaio de granulometria é utilizado para determinar a distribuição granulométrica de
um pó, ou em outras palavras, a porcentagem em peso que cada faixa especificada de tamanho
de grãos representa na massa seca total utilizada para o ensaio.
O método mais comum de exprimir as dimensões das partículas é o das peneiras
padronizadas. As peneiras são empilhadas de modo que cada peneira tenha aberturas menores
que aquela acima. Sob a última peneira há uma bandeja cega. As peneiras padronizadas da
série Tyler são as mais utilizadas. (Foust et al., 2008).
A amostra é colocada sobre a primeira peneira, que é tampada, e o conjunto é
grampeado numa máquina vibratória. A agitação das peneiras deve ser reprodutível, uma vez
que influencia na eficiência do método. Ao sacudir as peneiras, as partículas passam através
delas até atingir uma que tenha aberturas pequenas para as partículas passarem. Portanto, o
tamanho das partículas retidas em determinada peneira corresponde à média do comprimento
das aberturas da peneira em que estão retidas e da precedente (Foust et al., 2008).
Para analisar os resultados é comum utilizar-se do gráfico da função acumulativa, que
plota a quantidade de partículas versus o diâmetro das mesmas. Também é comum fazer-se
uso de um histograma da analise granulométrica, ele indica a distribuição de frequência de
partículas com diâmetros determinados.
As analises granulométricas de sólidos podem ser ajustadas a modelos de distribuição
como o GGS (Gates-Gaudin-Schumann), RRB (Rosin-Rammler-Bennet) e Log-Normal (LN)
com dois parâmetros e a distribuição de Weibull com três parâmetros.
Pode-se calcular os diâmetros das partículas de três maneiras:
- quando o volume é igual ao volume médio de todas as partículas;
- quando a área superficial é iguala media das áreas superficiais de todas as partículas;
- quando a relação superfície/volume é a mesma para todas as partículas;
O método mais comum é pelo diâmetro médio de Sauter, pois ele é uns dos métodos
em que obtém-se resultados melhores para sistemas particulados, cinética e catalise.
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2. Objetivo
O procedimento e a análise experimental descrito nesse relatório têm como fim estudar e
discutir a distribuição do tamanho de amostras sólidas, no caso a areia, através do
peneiramento (método direto), além disso, testar os modelos de distribuição granulométricas
existentes tais como, GGS, RRB e log normal e calcular o diâmetro médio de Sauter.
3. Metodologia
Os equipamentos e procedimentos experimentais são apresentados a seguir, nos subitens.
3.1. Materiais
Os materiais e equipamentos utilizados no experimento foram:
Areia;
Agitador eletromagnético (Figura 1);
Peneiras granulométricas (Figura 2).
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Figura 1: Agitador eletromagnético.
Fonte: (http://www.bertel.com.br/agitador.html)
Figura 2: Peneiras redondas para análise granulométrica.
Fonte: (http://www.fluidizacao.com.br/pt/home)
As peneiras utilizadas para a análise granulométrica possuem abertura das malhas segundo
a Tabela 1.
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Tabela 1: Abertura das peneiras segundo as normas ABNT/ASTM/TYLER/MESH.
Abertura (μm) ABNT/ASTM TYLER/MESH
Peneira 1 2000 10 0
Peneira 2 1000 18 16
Peneira 3 500 35 32
Peneira 4 250 60 60
Peneira 5 125 120 115
Peneira 6 63 230 250
3.2. Métodos
Primeiramente, a areia que se utilizou no experimento foi pesada e sua massa respectivamente anotada. Logo na seqüência, pesaram-se as cinco peneiras utilizadas e o fundo falso e registraram-se as massas.
Prosseguindo-se, as peneiras foram empilhadas em ordem decrescente de abertura dos orifícios, sendo o fundo posicionado na base, e colocadas no vibrador, onde foram corretamente fixadas e posicionadas.
Posteriormente, a amostra de areia foi transferida para a peneira superior. E o vibrador foi ligado com o tempo desejado de quinze minutos.
Com a finalização desse tempo, o equipamento foi desligado automaticamente e o conjunto foi retirado para pesagem.
4. Resultados e Discussões
O jogo de peneiras utilizados na realização do experimento está apresentado na Tabela 2.
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Tabela 2: Jogo de Peneiras e Diâmetro médio de abertura.
Intervalo de Diâmetros (Tyler)
Abertura (mm)Diâmetro médio
(Di) (mm)< 9 2 ---16 1 1,532 0,5 0,7560 0,25 0,375115 0,125 0,1875250 0,063 0,094
Fundo - 0,0315
O valor do diâmetro médio foi obtido pela média entre o diâmetro da peneira anterior
e da peneira a qual ficou retida partículas de areia.
A massa retida no experimento em cada peneira após a agitação está representada na
Tabela 3.
Tabela 3: Massa de areia retida.
Intervalo de
Diâmetros (Tyler)
Massa Areia
(g)
< 9 5,716 22,132 74,660 125,7115 74,1250 9
Fundo 0,1
Os valores da fração mássica e fração mássica acumulada se encontram na Tabela 4.
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Tabela 4: Frações mássicas e Frações mássicas acumuladas.
Intervalo de
Diâmetros
(Tyler)
Di (mm)
Frações
mássicas
(x)
x
Acumulada
Retida
x
Acumulada
Passam
< 9 <2 0,01831 0,0183 0,9817
16 1,5 0,07099 0,0893 0,9107
32 0,75 0,23964 0,3289 0,6711
60 0,375 0,40379 0,7327 0,2673
115 0,1875 0,23803 0,9708 0,0292
250 0,094 0,02891 0,9997 0,0003
Fundo 0,0315 0,00032 1,0000 0,0000
Com esses valores foi possível determinar o diâmetro médio de Sauter para as
partículas, utilizando a Equação X, obtendo-se D = 0,330 mm.
A representa o histograma da análise granulométrica que relaciona a fração mássica
com os diâmetros médios das peneiras, de acordo com a Tabela 4.
0.0000
0.0500
0.1000
0.1500
0.2000
0.2500
0.3000
0.3500
0.4000
0.4500Histograma
Diâmetro médio (Di), mm
Fra
ção
Más
sica
(x)
Figura 3: Histograma da análise granulométrica.
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Com os mesmo dados da Tabela 4 foi possível traçar o gráfico que relaciona a fração
mássica acumulada com os diâmetros médios das peneiras ().
0 0.5 1 1.5 2 2.50.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000Distribuição Acumulativa
Fração Acumulada
Diâmetro médio (Di ), mm
Fra
ção
Más
sica
Acu
mul
ada
(x)
Figura 4: Fração mássica acumulada em relação ao diâmetro médio das peneiras.
A análise granulométrica realizada foi ajustada a modelos de distribuição. Foram
usados os modelos de dois parâmetros de Gates-Gaudin-Schumann (GGS), Rosin-Rammler-
Bennet (RRB) e Log-Normal (LN).
Utilizando a Equação (X) e o diâmetro médio das partículas experimentais calculou-se a
fração acumulada teórica pelo modelo GGS. Com cada fração determinada, foram calculados
os quadrados das diferenças entre estas frações e as de referência. Com o auxílio da
ferramenta Solver do Excel a função dos mínimos quadrados foi minimizada, encontrando-se
o valor de m e K.
Segue na Tabela 5 os valores referentes ao cálculo pelo modelo GGS.
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Tabela 5: Planilha de cálculo dos parâmetros m e K pelo modelo GGS.
Diâmetro
médio (mm)
Fração
acumulada (xExp)
Fração acumulada teórica
(xTeor) (GGS)(x Exp - x Teor)2
< 2 0,9817 1,07101 0,00798
1,5 0,9107 0,85422 0,00319
0,75 0,6711 0,49533 0,03088
0,375 0,2673 0,28723 0,00040
0,1875 0,0292 0,16656 0,01886
0,094 0,0003 0,09678 0,00930
0,0315 0,0000 0,04097 0,00168
Σ(x exp - xteórica)2: 0,072287
A representação gráfica da fração mássica acumulada e experimental em função do
diâmetro para o modelo GGS foi feito na .
0 0.5 1 1.5 2 2.50.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000Distribuição GGS
Experimental
GGS
Diâmetro médio (Di ), mm
Fra
ção
Más
sica
Acu
mul
ada
(x)
Figura 5: Modelo de distribuição de Gates-Gaudin-Schumann (GGS)
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Para o modelo (GGS) analisando a tabela (4), percebe-se uma diferença considerável da fração acumulada experimental (xExp) com a fração acumulada teórica (xteó), que é refletida na somatória dos mínimos quadrados. A essa diferença entre a analise real e a teórica é ocasionada pela presença de partículas grossas que passam pelo diâmetro de corte se incorporando as partículas, finas e outras partículas finas que ficam retidas nas grossas.A presença de partículas finas nos grossos pode ocorrer devido a vários fatores, como a aglomeração de varias partículas pequenas por força de coesão causando o entupimento de uma malha, a aderência das partículas finas nas partículas grossas e as imperfeições das malhas. Há também problemas relacionados a mecânica de operação de uma peneira, causadas por uma velocidade muita rápida de operação ou por fios de malhas muitos grossos. Nessas condições, as partículas finas podem movimentar-se paralelamente ao plano das aberturas, saltando de um fio para outro da malha, sem jamais alcançar a abertura.Já a presença de grossos nas partículas finas pode ser ocasionada por irregularidades das malhas, ao fato do diâmetro de corte não ser muito diferente do diâmetro menor das partículas grossas e a carga excessiva que pode forçá-las a passar pelas aberturas de malhas.Os dados da tabela(4) quando plotados na figura (3), refletem bem a discrepância dos valores encontrados experimentalmente em relação aos valores experimentais.
Utilizando a Equação (Y) e os diâmetros médios das partículas que passaram pela peneira
calculou-se a fração acumulada teórica pelo modelo RRB. Com o auxílio da ferramenta
Solver do Excel a função dos mínimos quadrados foi minimizada, encontrando-se o valor de
n e D’. Segue na Tabela 6 os valores referentes ao cálculo pelo modelo RRB.
Tabela 6: Cálculo dos parâmetros n e D’ pelo modelo RRB
Diâmetro
médio (mm)
Fração
acumulada (xExp)
Fração acumulada teórica
(xTeor) (RRB)(x Exp - x Teor)2
< 2 0,98170,9077 0,0055
1,5 0,91070,8325 0,0061
0,75 0,67110,5908 0,0064
0,375 0,26730,3603 0,0087
0,1875 0,02920,2002 0,0292
0,094 0,00030,1059 0,0112
0,0315 0,00000,0368 0,0014
Σ(x exp - xteórica)2
0,06842031
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A Figura 6 mostra a distribuição granulométrica pelo modelo RRB em confronto com
a distribuição experimental.
0 0.5 1 1.5 2 2.50.0000
0.2000
0.4000
0.6000
0.8000
1.0000
1.2000Distribuição RRB
RRBExperimental
Diâmetro médio (Di ), mm
Fra
ção
Más
sica
A
cum
ulad
a (x
)
Figura 6: Modelo de distribuição de Rosin-Rammler-Bennet (RRB)
Com a Equação (Z) e os diâmetros médios das partículas que passaram pela peneira
calculou-se a fração acumulada teórica pelo modelo Log-Normal. Com a ferramenta Solver
do Excel a função dos mínimos quadrados foi minimizada, encontrando-se o valor de σ e D50.
Segue na Tabela 7 os valores referentes ao cálculo.
Tabela 7: Cálculo dos parâmetros σ e D50 pelo modelo Log-Normal.
Diâmetro
médio (mm)
Fração
acumulada (xExp)
Fração acumulada teórica
(xTeor) (Log-Normal)(x Exp - x Teor)2
< 2 0,9817 0,97267 8,14E-05
1,5 0,9107 0,93090 0,000408
0,75 0,6711 0,66447 4,34E-05
0,375 0,2673 0,26333 1,55E-05
0,1875 0,0292 0,04542 0,000262
0,094 0,0003 0,00303 7,33E-06
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0,0315 0,0000 0,00001 2,59E-11
Σ(x exp - xteórica)20,000818
A mostra a distribuição granulométrica pelo modelo Log-Normal em comparação
com a distribuição experimental.
0 0.5 1 1.5 2 2.50.00000
0.20000
0.40000
0.60000
0.80000
1.00000
1.20000Distribuição por Log-Normal
Log-normal
Experimental
Diametro das particulas (Di), mm
Fra
ção
mas
sica
acu
mul
ada
(x)
Figura 7: Modelo de distribuição Log-Normal.
Em relação ao modelo Log-Normal, os valores das frações acumuladas encontrados experimentalmente não diferem muito dos valores teóricos, o que pode ser verificado analisando a somatória dos mínimos quadrados da tabela (6) e visualizando-se a curva experimental e teórica das frações acumuladas em relação ao Di(mm), constata-se que a diferença das curvas é imperceptível.
Com o auxílio do Solver, foi possível calcular os valores dos parâmetros,
representados na Tabela 8:
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Tabela 8: Parâmetros calculados.
Modelo Parâmetros dos Modelos
GGSm = 0,7862
K = 1,8329 mm
RRBn = 1,0
D' = 0,8394 mm
Log-Normal
σ = 1,925
D50 = 0,568 mm
D15,9 = 0,295 mm
Com as informações do diâmetro médio das partículas foi feita uma regressão não
linear utilizando o software Rt-Plot, estimando assim os parâmetros do modelo RRB dado
pela Equação (Y), segundo a .
Figura 8: Modelo de distribuição (RRB) pelo software Rt-Plot.
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Na Tabela 9 estão representados os parâmetros estimados pelo software Rt-Plot.
Tabela 9: Parâmetro n e D’ calculado pelo software Rt-Plot.
RRBn = 1,477
D' = 0,757 mm
5. Conclusão
Com acima exposto se pede aferir que experimento foi plenamente satisfatório
havendo aproximações coerentes entre o teórico e o experimental para os três modelos
desenvolvidos GGS, RRB e principalmente para o parâmetro Log-Normal para o qual o
erro, estimado por mínimos quadrados em relação aos dados experimentais, foi inferior á
10-3, estando à curva do modelo praticamente coincidente com os pontos experimentais,
sendo este o melhor modelo para representar a distribuição granulométrica obtida no
ensaio.
Como sugestão pertinente para o aprimoramento do experimento fica aumento do
gama de modelos de distribuição granulométrica disponíveis para confrontar com os
dados experimentais podendo-se haver uma minimização ainda maior dos erros.
6. Bibliografia
[1] FOUST, A. S.; WENZEL, L. A.; CLUMP, C. W.; MAUS, L.; ANDERSEN, L. B.
Princípios das Operações Unitárias. Tradução: Horacio Macedo. Ed. LTC, 2008. Pg. 579-
580, 590-594.
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[2] Análise Granulométrica – Roteiro de Laboratório, Professora Patrícia Fazzio Martins
Unifesp, 2012.
[3] TAMOUS, K.; ROCHA, S. C. S. Referências bibliográficas de documentos eletrônicos.
Disponível em: <
http://www.ocw.unicamp.br/fileadmin/user_upload/cursos/EQ651/Capitulo_II.pdf>. Acesso
em: 02/04/2012.
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