Universidade Estadual do Oeste do ParanUNIOESTE/Campus de Foz do IguauCentro de Engenharias e Cincias Exatas - CECEIntroduo ao Mtododos Elementos FinitosNotas de AulasProf. Dr. Samuel da SilvaFoz do Iguau, 2009.PrefcioEste texto apresenta as notas de aulas da disciplina optativa Introduo aoMtodo dos Elementos Finitos (FEM) do curso de graduao em EngenhariaMecnica do Centro de Engenharias e Cincias Exatas da Universidade Es-tadual do Oeste do Paran, Campus de Foz do Iguau. Inmeros excelenteslivros textos so disponveis sobre FEM (como por exemplo [1], [2] ou [6]),porm a biblioteca da UNIOESTE muito pobre no tema, no contendo pra-ticamente nenhuma referncia sobre o assunto. Sendo assim, eu espero queesta apostila diminua esta deficincia, porm, sem a pretenso de substituirum livro texto. Tudo que os alunos vo encontrar nesta apostila se refere atemas e assuntos clssicos imensamente divulgados e disponveis. Tentei aomximo transcrever o tema de maneira natural com rigor matemtico, masno de forma exaustiva e focando sempre aplicaes prticas. Neste sentido,ao longo do texto inmeros exemplos so resolvidos de forma computacionalpara ilustrao e fixao dos conceitos bsicos de FEM. Por fim, o objetivoservircomoumarefernciabsicaparaguiaroestudodeFEMemumnvel introdutrio e acessvel aos alunos da graduao e com boa qualidadegrfica1. Espero contar com o apoio dos alunos e demais colaboradores paramelhorar este texto constantemente, visto que ele foi feito de forma rpidae nesta primeira verso pode estar sujeito a falhas, sendo assim, sugestes,correes e comentrios so muito bem vindos. Boa leitura e estudo!Prof. Dr. Samuel da Silvafevereiro de 2009.1O texto foi redigido com o LATEX2.2SumrioLista de Figuras 6Lista de Tabelas 91 Introduo 101.1 Exemplos de aplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Etapas na soluo de um problema via FEM. . . . . . . . . . 131.3 Discretizao por elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . 132 Fundamentos Matemticos Bsicos de FEM 172.1 Anlise vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.1 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.4 Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.5 Rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.6 Teorema da divergncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.7 Teorema de Green-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Anlise matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Equaes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Tensores cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Elementos Finitos Unidimensionais 263.1 Soluo exata de problemas de deformao axial em barra uni-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Aproximao via mtodo de Galerkin. . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 AplicaodomtododeGalerkinnasoluodopro-blema da barra axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Soluo linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3 Soluo quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3333.3 Forma de elementos finitos de solues assumidas . . . . . . . 343.3.1 Funes de interpolao linearpara problemas de se-gunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2 FunesdeponderaodeGalerkinnaformadeele-mentos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.3 Funes de interpolao Hermitianas para umele-mento com dois ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Soluo de elementos finitos de problemas de deformao axial 393.4.1 Soluo linear assumida . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2 Equaes de elementos usando o mtodo de Galerkin . 403.5 Exemplos de problemas unidimensionais em engenharia . . . . 443.5.1 Transferncia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.2 Fluxo de potncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.3 Transferncia de massa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.4 Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Funo no Matlab para resolver um PVC unidimensional . . . 483.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 Elementos de Trelia, Viga e Frame 554.1 Trelias planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.1 Exemplo de implementao prtica . . . . . . . . . . . 604.2 Deformao transversal em vigas . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2.1 Equao diferencial para deflexo em vigas. . . . . . . 724.2.2 Condies de contorno em vigas . . . . . . . . . . . . . 764.2.3 Exemplo de soluo exata em vigas . . . . . . . . . . . 784.2.4 Diagramasdecortanteemomentousandoomtododas sees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.5 Elemento de viga com dois ns . . . . . . . . . . . . . 824.2.6 Soluo cbica assumida . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.7 Matriz de rigidez local em vigas . . . . . . . . . . . . . 844.2.8 Exemplo de aplicao com carregamento concentrado . 874.2.9 Exemplo de aplicao com carregamento distribudo . . 984.2.10 Viga com carregamento trapezoidal . . . . . . . . . . .1054.3 Frames. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1084.3.1 Exemplo de aplicao com carregamento concentrado .1134.3.2 Exemplo de aplicao com carregamento distribudo . .1224.4 Consideraes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1294.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13145 Anlise Dinmica de Estruturas via FEM 1425.1 Matriz de massa para elementos estruturais . . . . . . . . . .1425.2 Matriz de massa para barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1445.3 Matriz de massa para elemento de trelia plana . . . . . . . .1455.4 Matriz de massa para elemento de viga . . . . . . . . . . . . .1465.5 Matriz de massa para elemento de frame . . . . . . . . . . . .1475.6 Anlise modal analtica - resposta livre . . . . . . . . . . . . .1475.7 Algoritmo de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1515.8 Exemplo de aplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1566 Elementos Finitos Bidimensionais 1636.1 Integrao por partes em duas dimenses - Teorema de Green-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1656.1.1 Teorema da divergncia de Gauss . . . . . . . . . . . .1656.1.2 Teorema de Green-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . .1666.2 Equaes de elementos finitos usando o mtodo de Galerkin .1676.3 Elementos finitos retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . .1726.4 Exemplo: equao de Laplace em um domnio quadrado . . .1786.5 Elementos finitos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . .1797 Introduo Mecnica dos Slidos Computacional 1847.1 Reviso bsica de elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . .1857.1.1 O conceito de tenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1857.1.2 Tenso principal e direo principal . . . . . . . . . . .1877.1.3 Critrios de falhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1887.1.4 Relaes constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . .1907.2 Equao de elementos finitos em slidos elsticos . . . . . . .1927.2.1 Problema no estado plano de tenses . . . . . . . . . .1957.2.2 Elemento triangular com trs ns . . . . . . . . . . . .195Referncias Bibliogrficas 1965Lista de Figuras1.1 Modelo FEM de um bloco de motor [4]. . . . . . . . . . . . . . 141.2 Tipos e formas de elementos [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Diferena entre o contorno fsico e a geometria do contorno domodelo de elementos finitos [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Malhas vlida e invlida para elementos com 4 ns [2]. . . . . 163.1 Barra uniforme carregada axialmente [2]. . . . . . . . . . . . . 283.2 Elemento simples com dois ns para um problema de segundaordem [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Elemento simples com dois ns para um problema de quartaordem [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Elemento linear de barra para o problema de deformao axial[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5 Barra biengastada discretizada com trs elementos [3]. . . . . 443.6 Barra no-uniforme carregada axialmente [2]. . . . . . . . . . . 493.7 Barra uniforme carregada axialmente [2]. . . . . . . . . . . . . 503.8 Coluna de um prdio modelada com quatro elementos lineares[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.9 Placa com fonte de calor [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.10Transferncia de calor atravs de uma aleta [2]. . . . . . . . . 533.11Perfil de velocidades de um fludo viscoso escoando entre duasplacas [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1 Coordenadas global e local para uma barra axial orientada noplano [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Trelia plana a ser analisada [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Visualizao da malha implementada com o Matlab R . . . . . 634.4 Flexo em vigas [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5 Foras e momentos agindo em um elemento diferencial da viga[2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6 Condies de contorno comuns em vigas [2]. . . . . . . . . . . 764.7 Viga pinada e apoiada em uma mola. . . . . . . . . . . . . . . 7864.8 Solues exatas para a viga com vrias constantes. . . . . . . . 804.9 Exemplo de viga com carregamento. . . . . . . . . . . . . . . . 814.10Elemento de viga com flexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.11Carregamento distribudo concentrado nos ns. . . . . . . . . . 854.12Viga com carregamento concentrado aplicado. . . . . . . . . . 884.13Deslocamentotransversaldaviga solucionadovia FEM comfunes de interpolao Hermitiana.. . . . . . . . . . . . . . . 964.14Momento fletorM(x) calculado usando FEM. . . . . . . . . . 974.15CortanteV (x) calculada usando FEM. . . . . . . . . . . . . . 974.16Tenso normal(x) devido a flexo calculada usando FEM. . 984.17Viga no-uniforme com carregamento distribuido. . . . . . . . 994.18Deslocamentotransversal davigacomcarregamentodistri-budo solucionado via FEM com funes de interpolao Her-mitiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1054.19Momento fletorM(x) na viga com carregamento distribudocalculado usando FEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1064.20CortanteV (x)navigacomcarregamentodistribudocalcu-lada usando FEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1064.21Carregamento equivalente devido a uma carga distribuda deforma trapezoidal em um elemento. . . . . . . . . . . . . . . .1074.22Elemento de frame no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1094.23Frame no plano com carregamento concentrado. . . . . . . . .1134.24Malha do frame. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1144.25Frame no plano com carregamento distribudo.. . . . . . . . .1234.26Trelia 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1314.27Trelia 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1324.28Trelia 3. Considered = 2.0 m eL = 1000 N. . . . . . . . . .1324.29Trelia 4. Considerea = 3.0 m . . . . . . . . . . . . . . . . . .1324.30Trelia 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1334.31Trelia 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1344.32Trelia 7. = 30oeP= 500 N. . . . . . . . . . . . . . . . . .1344.33Trelia 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1354.34Viga1comw0=10kN/m, L=5m, a=2m, b=4meM= 20 kNm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1354.35Viga 2 comL = 4 m ew0= 10 kN/m. . . . . . . . . . . . . .1354.36Viga 3 coma = 1 m,L = 4 m ew0= 10 kN/m. . . . . . . . .1364.37Viga 4 com a = 2 m, b = 3 m, L = 4 m, P= 10 kN e w0= 10kN/m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1364.38Viga 5 coma = 1 m ew0= 10 kN/m. . . . . . . . . . . . . . .1374.39Viga 6.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1374.40Viga 7.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13874.41Viga 8.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1384.42Frame 1, q= 10 kN/m, L = 2 m, E= 210 GPa, A = 4 102m2eI= 4 104m4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1394.43Frame 2, q= 10 kN/m, L = 2 m, E= 210 GPa, A = 4 102m2eI= 4 104m4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1394.44Frame3, P =12kN, q =3kN/m, E=200GPa, A=4.95 103m2eI= 125.3 106m4. . . . . . . . . . . . . .1394.45Frame 4 com barras quadradas de 200 mm 200 mm, E= 10GPa eP= 20 kN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1404.46Frame 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1404.47Frame 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1414.48Frame 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1414.49Barragem de concreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1415.1 Esquema de acelerao mdia constante de Newmark. . . . . .1535.2 Resposta para o sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1605.3 Resposta para o sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1615.4 1.oe 2.oModo de vibrar da viga calculado analiticamente. . .1625.5 3.oe 4.oModo de vibrar da viga calculado analiticamente. . .1626.1 Domnio de soluo de um problema 2D. . . . . . . . . . . . .1656.2 Elemento finito retangular com quatro ns. . . . . . . . . . . .1736.3 Elemento triangular com trs ns. . . . . . . . . . . . . . . . .1797.1 Simulao em realidade virtual de ingesto de gua nos moto-res de um avio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1857.2 Teste em vo em condio real. . . . . . . . . . . . . . . . . .1868Lista de Tabelas3.1 Graus de liberdade (DOF) necessrio nos ns. . . . . . . . . . 353.2 Viscosidade do fludo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1 Deslocamentos nodais (mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2 Foras externas aplicadas nos ns (kgf). . . . . . . . . . . . . . 704.3 Deformaes, tenses e foras internas axiaisFnas barras. 71774.5 Deslocamentos transversais e rotaes na viga. . . . . . . . . . 964.6 Esforos atuantes nos ns do frame. . . . . . . . . . . . . . . .1224.7 Esforos atuantes nos ns do frame com carregamento distri-budo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1295.1 Algumas frequencias naturais e fatores de amortecimento naviga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1619Captulo 1IntroduoO mtodo dos elementos finitos (FEM)1 uma ferramenta numrica po-derosa para resolver equaes diferencias parciais. Muitos problemas fsicos ede engenharia em meios contnuos so descritos por equaes diferenciais par-ciais. A soluo destes problemas na sua forma analtica (fechada) de formaexata s possvel para sistemas muito simples. Assim, para sistemas maiscomplexos envolvendo geometrias e condies de contorno mais sofisticadasno possvel se obter uma soluo exata. Nestes casos deve-se optar porprocedimentosdeaproximaocomprecisoaceitvel paraaaplicaodeengenharia em questo.Inmerosmtodosdeprecisoparasoluodestesproblemassousa-dosemengenhariaentreelespode-sedestacar: mtododoselementosdecontorno, mtododasdiferenasfinitas, mtododosvolumesfinitos, m-todo de Galerkin, mtodo de Rayleigh-Ritz e o mtodo dos elementos finitos.Deve ficar claro ao estudante que nenhum destes mtodos pode ser conside-rado superior ao outro. Isto depende do tipo de aplicao, soluo desejada,capacidadecomputacional, etc. queumengenheirotememmosnomo-mento de resolver um problema de engenharia. O FEM acabou se tornandoo mais popular de todos, sobretudo pelo aparecimento de diferentes pacotesde software comercias sobre o assunto, como por exemplo o ANSYS, NAS-TRAN/PATRAN, ADAMS, ABAQUS, etc.A ideia bsica do FEM realizar uma diviso do domnio de integrao deuma estrutura ou sistema de interesse em um conjunto de pequenas regies,chamadasdeelementosfinitos transformandoodomniodecontnuoparadiscreto. Esta diviso do domnio conhecida como malha ou grid, que nadamais do que o conjunto de elementos finitos resultante da discretizao. Amalha formada de elementos compostos de facese ns, que so pontos de1Finite Element Methods que vem do ingls.10interseco e ligao entre os elementos. A grande "sacada"do FEM nobuscarumafunoadmissvelquesatisfaaascondiesdecontornoparatodoodomnio, oquepodeserpraticamenteimpossvel emumproblemacomplexo, esimbuscar estas solues emcadaelementoseparadamente.Suponha que o funcional para um elemento seja i, sua soma sobre a malhacomn elementos corresponde ao funcional de todo o domnio: =n

i=1i(1.1)Para cada um dos elementos i existe uma funo de interpolao (aproxi-madora) u de ordem m descrita em funo dos ns dos elementos (parmetrosnodaisj) e por funes de forma (). A funo de interpolao descritacomo:u =m

j=1jj(1.2)O funcional da eq. (1.1) fica sendo descrito por:(j) =n

i=1(j)i(1.3)Aplicando as condies de estacionariedade geral leva um sistema de equa-es algbricas lineares. A soluo do sistema de equaes fornece os valoresdos parmetros nodaisj. Os parmetros nodais podem estar associados adeslocamentos, foras internas, tenses, temperaturas, presso, etc. e dep-dendedaformulaodoelementousado. Todosestespontosseromelhordiscutidos no decorrer deste curso. Porm de antemo o que se espera que oaluno compreenda que o FEM uma busca por uma soluo local que possaser generalizada para todo o domnio. Vrias abordagens do mtodo FEMso usadas.1.1 Exemplos de aplicaoOFEMtminmeras aplicaes nos diferentes ramos dacincia, emespecial em aplicaes estruturais. Historicamente, as primeiras utilizaesdeFEMemengenhariaforamemaplicaesaeronuticasedeestruturascivis, da ograndeavanotecnolgicodeFEMnasempresasdestesetor.Seria impossvel o Brasil atingir um alto nvel de competncia em projetosdeaeronaves semousoconsistentedeferramentas envolvendoelementosfinitos.11Entre as reas que usam FEM em projeto e anlise se destacam:Estruturas ocenicas e navios.Veculos rodovirios e ferrovirios.Hidrogeradores.Estruturas aeroespaciais e avies.Mecnica estrutural.Mecnica dos fludos computacional.Conduo de calor.Eletromagnetismo.A lista acima imensa e serve apenas para mostrar as aplicaes bsicas.Uma vez que FEM envolve ferramentas matemticas das mais simples (en-volvendo algebra vetorial) at as mais avanadas (como teoremas integrais)o uso de pacotes comercias, como o NASTRAN, para anlise muito corri-queiro. Em virtude do conhecimento que estes programas contm por trs deseu cdigo fonte, o seu preo alto, o que faz com que apenas empresas degrande porte tenham condies de ter as licenas comerciais destes softwa-res. Contudo, deve ficar claro que um engenheiro que no sabe modelar umproblema via FEM sem o computador no saber como proceder tendo umamquina e os mais avanados dos programas. As facilidades grficas de fer-ramentas CAD, CAE, CAM traz a sensao que para ser um engenheiro deprojetos basta "decorar"meia dzia de comandos para se dizer especialistaemFEM.Porm, istoumconceitoerrado. Oautordolivro[4]citaumexemplo interessante: Imagine que voc est muito doente e procura um m-dicoquenoumgrandeespecialistanasuaenfermidade. Omdicodizparanosepreocupar, poiseletemumprogramaonde"basta"digitarnaentrada os sintomas que ele fornece na sada os diagnsticos com a profilaxiaadequada. Sevocnotemalgumproblemapsiquitricograve, provavel-mente voc no ir confiar neste mdico. Agora j imaginou entrar em umaaeronave projetada por um engenheiro com est viso! Sendo assim, o ideal o estudante ter uma base slida em FEM conhecendo os princpios bsicosdo mtodo. Isto permite que ele use pacotes comerciais com maior rigor deanlise e que saiba interpretar as solues e grficos e, por que no, ser ca-paz de programar seus elementos em rotinas prprias. Quem usa softwarese nunca estudou FEM de forma convencional no se pode dizer que saiba oque o mtodo.12Apenas para ilustrar uma aplicao prtica, a fig. (1.1) mostra a anliseda regio de um bloco de motor [4].O bloco modelado com elementos sli-dos usando elementos tetradricos parablicos em virtude de sua geometriacomplexa. Ametafoicalcularopanoramade tenses, que mostradonamesmafig. naestruturavisandoanalisarsuaresistnciamecnicaetole-rnciaafalha. Assim, oFEMumaferramentatil eimprescindvel emprojetos modernos de engenharia.1.2 Etapas na soluo de umproblema viaFEMO FEM um procedimento bem metdico dividido em vrias etapas:1. Desenvolvimento das equaes do elemento.2. Discretizao do domnio de soluo dentro de uma malha de elementosfinitos.3. Montagem das equaes do elemento.4. Introduo das condies de contorno (restries fsicas e geomtricas).5. Soluo para os ns desconhecidos.6. Clculo da soluo e das quantidades (grandezas) em cada elemento.Muitasvezesestasetapassomisturadasoutrabalhadasdeformasi-multnea. Durante este curso cada uma destas etapas sero estudadas comcalma. O foco de problemas abordados ser direcionado a aplicaes de en-genharia mecnica envolvendo problemas estruturais e, eventualmente, tr-micos.1.3 Discretizao por elementos finitosO primeiro passo de um mtodo FEM escolher qual elemento utilizar.Estes elementos podem ser do tipo unidimensional (1D), como os elementosde barra e viga, bidimensional (2D), como os elementos de placa, e tridimen-sionais (3D) como os elementos slidos. A g. (1.2) mostra alguns exemplosdestes elementos. Os programas comerciais de FEM possuem bibliotecas comcentenas de elementos finitos que podem ser empregados em simulaes.Ape-sar do senso comum acreditar que elementos 3D so sempre superiores aos13Fig. 1.1: Modelo FEM de um bloco de motor [4].elementosunidimensionais, istonoverdade. Aescolhadeumelementodevesercondicionadaaotipodegeometriaedeaproximaodesoluo14que se deseja obter. Formulaes de alguns elementos podem ter resultadosuperiores a de outros elementos no processo de aproximao. Neste cursopretende-se estudar alguns elementos bsicos e clssicos como os elementosde barra, viga de Euler-Bernoulli e de placa de Kircho.Fig. 1.2: Tipos e formas de elementos [2].Comojressaltadoanteriormente, noFEMumasoluoaproximadaassumidaemcadanatravsdeumafunodeinterpolao, queenvolvefunes de forma e parmetros nodais. Cada n tem seus graus de liberdadeque podem ser deslocamento, temperatura, presso, voltagem, etc. que nor-malmente so incgnitas. O processo resultante da montagem dos elementosfinitos no domnio global conduz em um sistema de equaes algbricas degrande dimenso. Do ponto de vista matemtico, FEM uma forma espe-cial dos mtodos de aproximao de Galerkin e Rayleigh-Ritz utilizados paraencontrar solues de equaes diferenciais.Aqualidade (acurcia) daaproximao diretamente proporcional aquantidadedeelementosusados. Ocustocomputacionaltambmligadoao nmero de elementos, uma vez que o sistema de equaes se torna maior.Em um problema FEM uma estrutura pode ter uma malha com mltiplostamanhosdediscretizaoemregiesondesenecessitademaioracurcia(malha mais refinada). J regies onde no se tem muito interesse podemusarmalhasmaisgrosseiras. Oscontornoscurvilneossoexemplosondemalhas finas devem ser usadas, conforme a fig. 1.3.A escolha de um elemento, numero de elementos, etc.deve ser pautada notipo de soluo e capacidade computacional disponvel. Uma boa alternativa comear com malhas grosseiras para se ter noo do tipo de soluo obtidoedepoisrefinaramalharconformedesejo, obtendoassimumaeconomiacomputacional e de tempo que pode resultar em maior produtividade.15Fig. 1.3: Diferenaentreocontornofsicoeageometriadocontornodomodelo de elementos finitos [2].Um erro comum que usurio inexperientes em FEM cometem se refere aconectividade dos ns. Uma malha deve ser formada por elementos que seconectam atravs de ns. A interface dos ns portanto deve ser tal que per-mita que a malha seja devidamente "fechada"entre elementos adjacentes. Afig. (1.4) apresenta um exemplo de malha vlida e invlida para um elementocom quatro ns. A malha ca invlida quando usando uma congurao comtrs elementos, uma vez que o n 4 dos elementos (2) e (3) no est conectadocom nenhum n do elemento (1).Fig. 1.4: Malhas vlida e invlida para elementos com 4 ns [2].Outra forma de economizar tempo seria analisando as simetrias entre con-dies de contorno e domnio de soluo. Se a malha for construda de formasimtrica o resultado tambm o seria. Um exemplo de estrutura simtrica formado por esquadria metlicas de galpes formados por conjuntos idnticosdetrelias. Pormdeve-setercuidado, poisseaestruturaforsimtricaaalguma linha de centro, a escolha de um elemento no adequado pode fazercom que este procedimento no seja correto.16Captulo 2Fundamentos MatemticosBsicos de FEMParaseaplicar FEMnecessriaumabaseslidaemprocedimentosmatemticos que vo dos mais simples, como manipulao de matrizes, at osmais avanados, envolvendo por exemplo teoremas de clculo vetorial. Estecaptulo tem como meta revisar alguns destes conceitos que sero utilizadosno decorrer do curso. No ser dado nenhum rigor matemtico, muito menosprovas dos teoremas mostrados. O aluno interessadopode consultarlivrosbsicos de clculo para reforar alguns conceitos.2.1 Anlise vetorialParadescreverumagrandezavetorial, comoumafora, deslocamento,fluxo, etc. necessrio se definir trs componentes: mdulo, direo e sen-tido. Um vetora pode ser descrito em coordenadas cartesianas em funode vetores unitrios (i,j,k):a = axi + ayj + azk (2.1)Os conceitos de clculo vetorial so muito usados em FEM. A ideia b-sica do clculo vetorial considerar cada ponto no espao como uma funovetorial, o que forma um campo vetorial. Um campo vetorial pode ser umdeslocamento, fluxo de um fludo, fora gravitacional ou eletromagntica, etc.J um campo escalar significa associar cada ponto no espao com um funci-onal escalar. Um exemplo de campo escalar um campo de temperatura emum ponto no espao, campo de presso, etc.O operador diferencial (del) muito usado para definir operaes mate-mticas fundamentais em campos escalares e vetoriais.O operador diferencial17 dado por: xi +yj +zk (2.2)e representa um operador diferencial de 1.oordem. Um operador de 2.oordem conhecido como Laplaciano e dado por:222xi +22yj +22zk (2.3)Ooperador usadoparadefinirtrsoperaesbsicasenvolvendocampos escalares e vetoriais:GradienteDivergenteRotacionalEstasoperaessousadasnadefiniodeteoremasfundamentaisdeintegraisdevetorestaiscomooTeoremadaDivergnciaeoTeoremadeGreen-Gauss. Estes dois teoremas so a base matemtica para compreenderomtododeGalerkin, queporsuavezumadasbasesfundamentaisdeFEM. Antes de aprofundar nestas questes interessante revisar operaesbsicas envolvendo vetores, que so mostradas a seguir.2.1.1 Produto escalarO produto escalar entre dois vetoresa eb definido por:a b = |a| (|b|cos()) = b a = |b| (|a|cos()) (2.4)sendo | | omdulodovetoreonguloentreeles. Oresultadodaoperao de produto escalar um escalar. Note quei i = 1 e quei j = 0 eassim por diante, uma vez que os vetores unitrios definem uma base e soortonormais ( = 90o).2.1.2 Produto vetorialO produto vetorial entre dois vetoresa eb definido por:a b =i j kaxayazbxbybz(2.5)18O resultado da operao de produtor vetorial um vetor perpendicularaoplanoondeestocontidososvetoresaeb. Notequei i =0equei j = k. Importante observar quei j = j i.2.1.3 GradienteO gradiente de uma funo escalar(x, y, z)1 dado por: =_xi +yj +zk_ =_xi +yj +zk_(2.6)Note que o resultado do gradiente um vetor. Esta operao representauma diferena entre nveis de um campo escalar, representando a variao deuma grandeza escalar por unidade de espao. O significado fsico pode serinterpretado como a diferena de temperatura nas faces de um bloco, paraeste tipo de aplicao.2.1.4 DivergenteO divergente j uma operao envolvendo um campo vetorial dado poruma funo vetorial do tipoa(x, y, z)2e calculado por: a =_xi +yj +zk_ (axi + ayj + azk) (2.7)o que leva a seguinte expresso: a =axx+ayy+azz(2.8)note que a = a uma vez que o operador deve agir sobrea.O divergente pode ser interpretado como um escalar que mostra se umcampovetorial estseexpandindo("fonte")oucomprimindo("ralo"). uma medida de magnitude da disperso de um campo vetorial.2.1.5 RotacionalO rotacional representa um vetor resultante entre o produto vetorial en-volvendoooperadordiferencial eumcampovetorial a(x, y, z). Seure-1Esta funo pode representar fisicamente um campo de presso, temperatura, etc. noespao.2Quepoderepresentarsicamenteumcampodedeslocamento, fluxodeumfludo,fora, etc.19sultado pode ser escrito na forma de um tensor cartesiano. Esta operao calculada como:a =i j kxyzaxayaz(2.9)Orotacional temestenomepoisestaoperaorepresentaumatrans-formaolineardecoordenadas(rotao)docampovetorial a(x, y, z)quevisa observar suas caractersticas nestas novas coordenadas. A representaoacima s vale para representaes em coordenadas retangulares.2.1.6 Teorema da divergnciaO Teorema da divergncia definido como:_V( a) dV=_S(a n) dS (2.10)sendoVum volume, uma superfcie de reaSen um vetor ortonormal esta superfcieS3. O teorema da divergncia relaciona o divergente totaldeumcampovetorial aemumvolumeV comofluxototal destecampovetorial atravessando uma superfcieS.2.1.7 Teorema de Green-GaussMuitos problemas de engenharia podem ser escritos em uma forma unidi-mensional4e considerando as derivadas de funes escalares e com umvalork constante. Assim:ddx_kddx_= kd2dx2 + kddxddx(2.11)Aplicando integral de ambos os lados dea atb temos:k_baddx_ddx_dx = k_bad2dx2 dx + k_baddxddxdx (2.12)Notanto que o lado esquerdo da eq. (2.12) forma uma integral perfeitatem-se que:3a n pode representar um fluxo.4O prximo captulo ir revisar alguns destes problemas.20k_bad_ddx_= kddxba(2.13)Substituindo a eq. (2.13) em (2.12) e rearranjando tem-se:k_bad2dx2 dx = kddxbak_baddxddxdx (2.14)Considerando quea = b o teorema da divergncia, eq. (2.10), pode serreescrito como:_V( b) dV=_S(b n) dS (2.15)Uma vez que b = b + b tem-se que:_V( b) dV=_S(b n) dS _V( b) dV (2.16)Aeq. (2.16)umresultadoclssicodoteoremadeGreen-Gauss. EmFEMaeq. (2.14) umaextensodaeq. (2.16) sendoque e somatrizes representando funes de interpolao (funes aproximadores) doselementosempregadosemumadiscretizao. Emummomentooportunonos prximos captulos este ponto ser revisto com mais detalhes.2.2 Anlise matricialOFEMempregabastanteemsuaformulaoousoeamanipulaodematrizes. Muitosdestasmanipulaessotriviais, comoporexemplo,clculodedeterminante, mnimodeumamatriz, cofatores, adjuntos, etc.Outrossomaisavanados, comoporexemplo, tcnicasparainversodematrizes visando solucionar sistemas lineares de grande dimenso.Uma operao usada em FEM se refere a eliminao de linhas e colunasde uma matriz, que corresponde na prtica a aplicao de uma condio decontorno ou restrio no sistema em estudo. Suponha uma matrizA dadapor:A =__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__(2.17)Se uma restrio for imposta de tal forma que a segunda linha e colunasejam eliminadas temos uma matrizM22 dada por:21M22=_a11a13a31a32_(2.18)Este conceito tambm usado para clculo do cofatorCij:Cij= (1)i+j|Mij| (2.19)J o adjunto de uma matriz Aij= CTij.UmaaplicaocomumemFEMterqueresolversistemaslinearesdotipo:Ax = f (2.20)Onde o vetor x representa as incgnitas do problemas que so os graus deliberdade em cada n de um elemento (por exemplo, deslocamento), a matrizA os parmetros conhecidos representando uma matriz de rigidez e o vetor frepresentando as fontes ou foras atuantes. A soluo deste problema feitaa partir da inverso da matriz de rigidez:A1Ax = Ix = x = A1f (2.21)Porm este mtodo ineficiente para solucionar sistemas de grandes equa-es. Uma maneira mais efetiva e elegante propor uma decomposio damatriz de rigidezA, como por exemplo, o mtodo de eliminao de Gauss.Exemplo 2.1Use o mtodo de eliminao de Gauss para resolver o sistemasimultneo de equaes:4x1 + 2x22x38x4= 4x1 + 2x2 + x3= 20.5x1x2 + 4x3 + 4x4= 104x12x2x4= 0Este sistema de equaes pode ser descrito na forma matricial como:__4 2 2 81 2 1 00.5 1 4 44 2 0 1_____x1x2x3x4___=___42100___(2.22)Primeiro dividido a 1.olinha por 4 e subtraindo esta nova linha pela 2.olinha. Na sequncia a nova linha 1 dividida por 0.5 e subtrada da linha 3.Por m, a linha 1 dividida por -4 e subtrada da linha 4. O resultado :22__1 0.5 0.5 20 1.5 1.5 20 1.25 4.25 50 0 2 7_____x1x2x3x4___=___119.54___(2.23)Agora neste novo sistema a linha 2 dividida por 1.5,a nova linha 2 multiplicada por -1.25 e subtrada da linha 3. Como um zero j apareceu nalinha 4 nenhuma modificao exigida. Este resultado :__1 0.5 0.5 20 1 1 1.33330 0 5.5 6.66670 0 2 7_____x1x2x3x4___=___10.666710.33334___(2.24)Por fim, a linha 3 dividida por 5.5. Multiplicando esta nova linha por3 por -2 subtraindo da linha 4:__1 0.5 0.5 20 1 1 1.33330 0 1 1.21220 0 0 4.578_____x1x2x3x4___=___10.66671.87887.7576___(2.25)Agoraasoluodosistematrivial edadapor: x1=0.0794, x2=1.0066,x3= 3.9338 ex4= 1.6954.2.3 Equaes diferenciaisComojdiscutidonocaptulo1destetextooFEMumaformulaopara solucionar de forma numrica e com aproximaes uma equao diferen-cial. Sendo assim, primordial que o engenheiro saiba modelar fisicamenteo seu problema com o conhecimento necessrio para construir este sistemade equaes diferenciais.Apesar desta vertente de utilizao de FEM, as aplicaes clssicas nor-malmente envolvem estruturas civis e aeroespaciais baseadas em elementossimples, como barra, viga e placa. Estes problemas podem ser descritos porequaes diferenciais parciais (problema de valor de contorno). Nestes exem-plos, o FEM pode ser formulado a partir de mtodos de energia envolvendofunesdevariao(mtododeLagrange)semnecessariamenteconsiderarequaesdiferenciais. EstarepresentaumadasformasdeabordagemdeFEM. Porm, nestetextoinicialmenteserdadaumaabordagemdafor-mulaodeFEMdiretamentenasequaesdiferenciaisjuntamentecomametodologia se empregando mtodos de energia.23Neste captulo vale apenas lembrar que a maioria dos problemas de enge-nharia podem ser escritos atravs da equao (para o caso unidimensional5):ddx(x)A(x)d(x)dx+ C(x)A(x) = 0 (2.26)Sendo (x) um parmetro do material,C(x) uma fonte externa e A(x) area da seco transversal. Se estes parmetros forem variantes significa queo sistema varia de elemento a elemento. A forma bsica assumir homoge-neidade, assim a eq. (2.26) torna-se:d2dx2+ C= 0 (2.27)Inmeros mtodos analticos podem ser usados para solucionar este tipode problema, como separao de variveis, coeficientes desconhecidos, trans-formada de Laplace, etc. O captulo 3 comea com uma reviso rpida dosprincipais problemas de engenharia com suas respectivas equaes.2.4 Tensores cartesianosQuando se trabalha com FEM envolvendo sistemas complexos,normal-mente so encontradas equaes de grande dimenso. Nestes casos a notaode subscritos6pode ser til. Em primeiro lugar preciso lembrar a definiode tensor. Tensor uma grandeza que precisa de nove elementos para poderser completamente conhecida. Em alguns casos com 6 elementos possveldescrever um tensor,como por exemplo,no caso de um estado de tenses,ondeastensescisalhantesnomesmoplanosoiguais. Anotaotenso-rial pode ser usada como forma de propor uma notao compacta para umanotao vetorial. Um vetor descrito nesta notao um tensor de primeiraordem.Imagine um vetor f escrito em funo do sistema de coordenadas (x, y, z):f= fxi + fyj + fzk (2.28)Agora em vez do sistema de coordenadas (x, y, z) imagine um equivalente(x1, x2, x3). Neste novo sistema de coordenadas este vetor descrito como:f= f1i + f2j + f3k (2.29)5Estasequaestambmpodemserescritasdeformaparcialquandoenvolvemmaisde duas variveis6Tambm conhecida como notao de Einstein ou notao tensorial.24Em uma notao tensorial este vetor pode ser dado por:f= fi, i = 1, 2, 3 (2.30)2.5 ExercciosEx. 2.1Considereumcampovetorial dadopora=(y, xy, z). Calculeodivergente e o rotacional deste campo vetorial.Ex. 2.2Sendo e dois campos escalares mostre que ()= +Ex. 2.3Resolvaoseguintesistemalinearusandoomtododeeliminaode Gauss.__2 1 2 32 2 1 41 0 2 34 4 4 1_____x1x2x3x4___=___0546___(2.31)Ex. 2.4Reescreva a soluo do exerccio 2 usando notao de tensores car-tesianos.Ex. 2.5Dadaumafunoescalar J(u) =k(Bu)2, onde k, Be usodefinidoscomo: kumamatrizn n, Bumamatrizn meuumamatrizmp. EscrevaJ(u) usando uma equao matricial.Ex. 2.6CalculeJ(u)/u para a equao matricial do problema anterior.25Captulo 3Elementos FinitosUnidimensionaisFEMrepresentaumasoluoaproximadadeumproblemadevalordecontorno(PVC)descritoporumaequaodiferencial. Equaesquego-vernamfenmenosdeinteresseemengenhariasogeralmenteobtidasporequaes de balano e equaes constitutivas. Neste captulo todas as basesmatemticas para FEM visando resolver este tipo de problema so apresen-tadas usando casos unidimensionais. O caso a ser estudado em detalhes nestecaptulo o problema de elasticidade em barras sujeitas a cargas axiais. Ocaptulo comea apresentando a soluo exata deste problema. Na sequnciao mtodo de aproximao de Galerkin mostrado em detalhes preparandopara a sua aplicao no mtodo de elementos finitos visando o seu uso em pro-blemas unidimensionais. Por fim, outros problemas clssicos de engenhariaso apresentados, como o problema de transferncia de calor e massa, fluxode potncia e eletricidade. Extenses para estes problemas podem ser pro-postas a partir dos conceitos exemplificados ao longo deste captulo. Sendoassim, no final do captulo exerccios so propostos ao estudante envolvendodiferentes aplicaes de FEM em problemas unidimensionais de interesse emengenharia.3.1 Soluo exata de problemas de deformaoaxial em barra uniforme possvel integrar uma equao diferencial para obter a sua soluo exataumavezconhecidasascondiesdecontorno. Nestaseoformuladooproblema bsico que ser usado como exemplo benchmarkno decorrer destecaptulo.26Um problema unidimensional em elasticidade, que provavelmente j deveter sido estudado por todos em um curso bsico de resistncia dos materi-ais, descritopelobalanodeforas emumabarraelsticasujeitaaumadeformao linear em termos de reaA, tenso normal e fora axialf. Obalano de foras dado por:d[(x)A(x)]dx+ f(x)A(x) = 0 (3.1)J a equao constitutivas representa relaes do material, neste caso aLei de Hooke envolvendo a deformao(x) e o mdulo de YoungE(x), e dada por:(x) = E(x)(x) (3.2)sendo a deformao(x) relacionada ao deslocamentou(x) da barra:(x) =du(x)dx(3.3)Assim com a Lei de Hooke, a eq. (3.2) escrita como:(x) = E(x)du(x)dx(3.4)Considere agora o exemplo descrito pela barra engastada-livre, fig. (3.1).Esta barra uniforme sujeita a uma carga esttica na extremidade livre. Asua carga linearmente variante q(x) = cx, sendo c uma constante. Esta es-trutura descrita pelo seguinte problema de valor de contorno (PVC) usandoas eqs. (3.1) e (3.4)1:EAd2udx2+ cx = 0; 0 < x < L (3.5)u(0) = 0; EAdu(L)dx= PAs condies decontornoemu(x) soessenciais ougeomtricas eascondies de contorno em so naturais.A soluo exata para este problema pode ser facilmente obtida integrandoaeq. (3.5)duasvezeseusandoascondiesdecontornoparaavaliarasconstantes de integrao. Integrando ambos os lados da equao uma vez,obtm-se:1Assumindo que o mdulo de Young e a rea so constantes em todo o domnio.27Fig. 3.1: Barra uniforme carregada axialmente [2].EAdudx+cx22= C1(3.6)sendoC1 uma constante de integrao. Integrando mais uma vez:EAu(x) +cx36= C1x + C2(3.7)sendo que C2 outra constante de integrao. Rearranjando estes termos:u(x) =1EA_C1x + C2cx36_(3.8)Usando as condies de contorno e a eq. (3.8):u(0) = 0 C2= 0 (3.9)eEAdu(L)dx= P 16(3cL2+ 6C1) = P (3.10)que conduz a:C1=12(2P+ cL2) (3.11)Assim a soluo exata para este problema :u(x) =x(6P+ 3cL2cx2)6EA(3.12)Umaveztendoestasoluopode-seusaraeq. (3.4)paracalcularadistribuiodetensoaolongodabarra. Paraesteproblemaasoluo28exata calculada facilmente. Infelizmente, nem todos os problemas reais deengenharia podem ser descritos de forma to simples assim. Com o propsitode propor uma soluo aproximada a prxima seo apresenta o mtodo deGalerkin.3.2 Aproximao via mtodo de GalerkinNo mtodo de Galerkin assume-se uma forma geral de soluo para umPVC. Esta soluo aproximada, denotada por u(x), deve ser tal que o erroentreasoluoexataeaaproximadasejaomenorpossvel. Estasoluopodeterqualquerforma. Nogeral, somaisusadassoluesaproximadasem formas polinomiais do tipo: u(x) = a0 + a1x + a2x2+ + anxn(3.13)sendo a0, a1,. . .,anparmetros desconhecidos. importanteobservarque uma vez que u(x) uma aproximao, esta soluo no ir satisfazer aequao diferencial para todos os valores dex. Substituindo est soluo noPVC da deformao axial da barra obtm-se um erroe(x):e(x) =ddx_AEd udx_+ q(x) = 0 (3.14)O erro total, chamado de resduo, para o domnio inteiro da soluo podeserobtidointegrandooerroe(x)sobretodoodomnio. Entretanto, umavezqueerrospositivosenegativospodesercanceladosnestaintegraointeressanteousodefunesdeponderaowi(x)paraosi =0, 1, . . . , n,sendon o nmero de parmetros desconhecidos. Assim o resduo pode serdado por:_xlx0e(x)wi(x)dx = 0; i = 0, 1, . . . , n (3.15)O desejo que este resduo seja nulo. Est forma conhecida como formafraca. A equao diferencial a forma forte pois exige que o erroe(x) sejanulo em todo o domnio0 < x < L.O mtodo mais popular nas aplicaes de elementos finitos o mtodo deGalerkin. Neste mtodo a funes de ponderaeswi(x) da funo erroe(x)so definidas como derivadas parciais das solues assumidas em relao aosparmentros desconhecidosai2:2No caso descrito a seguir ir ser considerado a derivada parcial, uma vez que em umcaso mais geralu pode ser funo de vrias variveis.29wi(x) =uai; i = 0, 1, . . . , n (3.16)Assim o mtodo de Galerkin define o seguinte resduo para as n equaespara soluo dos parmetros desconhecidos:_xlx0e(x)uaidx = 0; i = 0, 1, . . . , n (3.17)Para a maioria das aplicaes de engenharia o mtodo de Galerkin for-neceamesmasoluoqueoutromtodopopulardeaproximao, mtododeRayleigh-Ritz. Considerandonossoproblemabenchmark envolvendoadeformaoaxialdabarra, podemoscalcularoresduoparaestasituao,substituindo a eq. (3.14) na eq. (3.15):_xlx0e(x)wi(x)dx =_xlx0_ddx_AEd udx_+ q(x)_wi(x)dx = 0; (3.18)i = 0, 1, . . . , nVamos assumir queA eEpossam ser funes. Escrevendo as integraisseparadas:_xlx0ddx_AEd udx_wi(x)dx +_xlx0q(x)wi(x)dx = 0 (3.19)i = 0, 1, . . . , nA primeira integral da eq. (3.19) contm derivao de termos de segundaordem em u, sendo assim deve-se aplicar integrao por partes. Lembrandoque se tivermos duas funesf(x) eg(x), a integrao por partes definidacomo:_xlx0_ddx (f(x))_g(x)dx = f(xl)g(xl) f(x0)g(x0) _xlx0_ddx (g(x))_f(x)dx(3.20)Aplicando integrao por partes na eq. (3.19) fornece:A(xl)E(xl)d u(xl)dxwi(xl) A(x0)E(x0)d u(x0)dxwi(x0) (3.21)_xlx0AEd udxdwidxdx +_xlx0q(x)wi(x)dx30Os primeiros dois termos desta integral incorporam fora ou condies decontorno derivativas dentro da forma fraca. Se uma foraPx0 aplicada emx0 tem-se que:A(xl)E(xl)d u(xl)dxwi(xl) = Px0wi(x0) (3.22)e se uma foraPxl aplicada na extremidadel tem-se:A(x0)E(x0)d u(x0)dxwi(x0) = Pxlwi(x0) (3.23)Aplicandoaseqs. (3.22)e(3.23)naeq. (3.21)aformafracapodeserescrita por:_xlx0Ed udxdwidxAdx =_xlx0q(x)wi(x)dx + Pxlwi(xl) + Px0wi(x0) (3.24)Paraproblemasestruturaisaeq. (3.24)podeserinterpretadacomoobemconhecidoprincpiodotrabalhovirtual3. Seafunodeponderaowi(x) for vista como um deslocamento virtual, ento o lado esquerdo da eq.(3.24)otrabalhointernovirtual total, desdequeEde udx=xatensoaxial na barra edwidx a deformao axial virtual na barra. Assim, a formafraca no mtodo de Galerkin implica que quando dado um deslocamentovirtual na barra, o trabalho externo virtual igual ao trabalho interno virtual.Este princpio altamente usado em mecnica estrutural, seja em aplicaesestticas ou dinmica. Sua ampla aplicao uma das principais razes quefazem com que o mtodo de Galerkin seja o mais popular no desenvolvimentodas equaes de elementos finitos.3.2.1 AplicaodomtododeGalerkinnasoluodoproblema da barra axialApsapresentadoospassosbsicosdomtododeGalerkin, estseoapresenta sua aplicao para a soluo do PVC descrito pela eq.(3.5).Vriassolues aproximadas podem ser propostas. Uma vez que consideramos queEA constante, q(x)=cx, domnio0FR=kk*xc-->Problemadireto:%----------------------------------------------------------------------------%FR=kk*xc;%--------------------------------------------------------------------------%Reaesdeapoionaviga:%--------------------------------------------------------------------------RA=FR(1);RB=FR(7);%VerifiquequeFR(2)=0eFR(8)=0-momentosnosvnculosnulo!%--------------------------------------------------------------------------%CalculodoMomentoFletorM(x)=EId^2v/dv=dB/dsxc%CalculodaCortanteV(x)=EId^2v/dv=dB/dsxc%--------------------------------------------------------------------------%pontosparainterpolaremcadaelementos=[0:.1:2;2:.1:4;4:.05:5];92x1=[024];%primeiracoordenadadoprimeiornemcadaelemento.%Lembrandoques=x-x1![el,order]=size(s);disp=[]; %deslocamentotrasnversalnavigaMf=[]; %momentofletornaviga;Cort=[]; %cortantenaviga;foriel=1:nel%extraindoosgrausdeliberdadeassociadosaoelementoindex=feeldof1(iel,nnel,ndof);d(iel,:)=xc(index); %dofsnoelementofori=1:order;%calculodasfunesdeformaedesuasderivadas[N,H,D]=funforma(Lb(iel),s(iel,i)-x1(iel));%deslocamentotransversalnoelementov(iel,i)=N*d(iel,:);%Momentofletor;M(iel,i)=E*I*H*d(iel,:);%CortanteV(iel,i)=E*I*D*d(iel,:);enddisp=[dispv(iel,:)];Mf=[MfM(iel,:)];Cort=[CortV(iel,:)];end%DistribuiodeTensoNormalnavigadevidoaflexo:Sigma=Mf*(h/2)/I;93comp=[s(1,:)s(2,:)s(3,:)];%comprimentodaviga(cominterpolao);figure(1)plot(comp,1e3*disp,o-,linewidth,1);gridylabel(Deslocamentotransversaldavigav(x)[mm],fontsize,12,fontweight,bold);xlabel(Comprimento[m],fontsize,12,fontweight,bold);set(gca,fontsize,12,fontweight,bold);saveas(1,dispb1.eps,psc2)%salvarfiguraparaarquivoeps%MomentoobtidoviamtododasseesMsc=[7*s(1,:)-3*s(2,:)+20 -8*s(3,:)+40];figure(2)plot(comp,1e-3*Mf,o-,linewidth,1);grid;holdonplot(comp,Msc,r)ylabel(MomentoFletorM(x)[kN.m],fontsize,12,fontweight,bold);xlabel(Comprimento[m],fontsize,12,fontweight,bold);legend(FEM,MtododasSees);set(gca,fontsize,12,fontweight,bold);saveas(2,momentob1.eps,psc2)%salvarfiguraparaarquivoepsfigure(3)plot(comp,1e-3*Cort,o-,linewidth,1);gridylabel(ForaCortanteV(x)[kN],fontsize,12,fontweight,bold);xlabel(Comprimento[m],fontsize,12,fontweight,bold);set(gca,fontsize,12,fontweight,bold);saveas(3,cortanteb1.eps,psc2)%salvarfiguraparaarquivoepsfigure(4)plot(comp,1e-6*Sigma,o-,linewidth,1);gridylabel(TensoNormal\sigma[MPa],fontsize,12,fontweight,bold);xlabel(Comprimento[m],fontsize,12,fontweight,bold);set(gca,fontsize,12,fontweight,bold);saveas(4,Tensaob1.eps,psc2)%salvarfiguraparaarquivoeps%--------------------------------------------------------------------------Arotinamodelobeamtambmusaarotinafunformaparaclculodasfunes de forma e de suas derivadas que so usadas ao longo do programa16.16Para clculo do momento fletor, tenso e cortante.94A funo funforma transcrita a seguir.function[N,H,D]=funforma(L,s);%-------------------------------------------------------------------% Objetivo:% CalculodasfunesdeformaHermitianaedesuasderivadasno% elemento%% Comando% [N,H,D]=funforma(s,L);%% Variveis% N-vetordefunesdeformaHermitiana% H-vetordaderivadasegundadovetordefunodeformaN% D-vetordaderivadaterceiradovetordefunodeforma% s=x-x1sendox1acoordenadadon1doelementoemquesto% L-comprimentodoelemento%-------------------------------------------------------------------%FunesdeformaHermitianasNi(s)noelementoielN1=1-(3*s^2)/L^2+2*s^3/L^3;N2=s-2*(s^2)/L+s^3/L^2;N3=3*s^2/L^2-(2*s^3)/L^3;N4=-(s^2)/L+s^3/L^2;N=[N1N2N3N4];%d^2Ni(s)/ds^2H1=-6/L^2+12*s/L^3;H2=-4/L+6*s/L^2;H3=6/L^2-12*s/L^3;H4=-2/L+6*s/L^2;H=[H1H2H3H4];%d^3Ni(s)/ds^3D1=12/L^3;D2=6/L^2;D3=-12/L^3;D4=6/L^2;95D=[D1D2D3D4];%-------------------------------------------------------------------As reaes de apoio calculadas via FEM foramRA= 7kNeRB= 8kN.J os deslocamentos e rotaes no ns da viga so mostrados na tabela (4.5).Tab. 4.5: Deslocamentos transversais e rotaes na viga.N v(mm) (rad/s)1 0 -0.12492 -0.1916 -0.03753 -0.1166 0.1004 0.0 0.1249Afig. (4.13)apresentaodeslocamentotransversal v(x)calculadocomFEMassumindoainterpolaousandoafunoHermitianaeos valoresconhecidos nos 4 ns da viga. Com o uso das derivadas da funo de forma(comando funforma fornecido) e do conhecimento do mdulo de elasticidadeEedomomentodeinrciadereaI, omomentofletorM(x), acortanteV (x) e as tenses normais so calculadas usando o deslocamentov(x). Asgs. (4.14), (4.15) e (4.16) mostram os resultados grcos desta anlise.0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.20.180.160.140.120.10.080.060.040.020Deslocamento transversal da viga v(x) [mm]Comprimento [m]Fig. 4.13: Deslocamento transversal da viga solucionado via FEM com fun-es de interpolao Hermitiana.Apenas para ilustrao a seguir se apresentam os resultados da cortantee momento usando o mtodo das sees para o trecho0 < x < 2:960 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5202468101214Momento Fletor M(x) [kN.m]Comprimento [m]FEMMtodo das SeesFig. 4.14: Momento fletorM(x) calculado usando FEM.0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5864202468Fora Cortante V(x) [kN]Comprimento [m]Fig. 4.15: CortanteV (x) calculada usando FEM.V (x) = 7 kN (4.94)M(x) = 7x kN.m (4.95)J para o trecho2 < x < 4 tem-se:970 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.500.511.522.533.54Tenso Normal [MPa]Comprimento [m]Fig. 4.16: Tenso normal(x) devido a flexo calculada usando FEM.V (x) = 3 kN (4.96)M(x) = 3x + 20 kN.m (4.97)(4.98)Por fim o trecho4 < x < 5 tem:V (x) = 8 kN (4.99)M(x) = 8x + 40 kN.m (4.100)DaanlisedesteresultadoseobservaqueasoluoviaFEMigualasoluo exata deste problema, no sendo necessrio nenhum refinamento namalha.4.2.9 Exemplodeaplicaocomcarregamentodistri-budoA fig. (4.17) mostra uma viga no-uniforme com um carregamento dis-tribudo em um trecho. Neste exemploL = 2 m,F= 18 kN,q= 10 kN/m,E= 210 GPa eI= 4 104m4.Aideiasubstituir ocarregamentodistribudopor umcarregamentoconcentradonosnsdoelemento3, conformesugeridonafig. (4.11). A98Fig. 4.17: Viga no-uniforme com carregamento distribuido.rotina modelbeam2transcrita a seguir realiza e gera os grficos desta anlise,alm do clculo das reaes de apoio na viga.%-------------------------------------------------------------------------%%% MODELOFEM-VIGA% Esteprogramarealizaumaanliseestruturaldeumaviga% deEuler-Bernoulli%% Variveisdeentrada:% nel=nmerodeelementos% E=modulodeelasticidade% rho=densidade% b=lrguradaviga% h=espessuradaviga% L=comprimentototaldaviga%%Descriodavariaveisinternasdafuno% k=matrizderigidezdoelemento% m=matrizdemassadoelemento% K=matrizderigidezdosistema% M=matrizdemassadosistema% D=matrizdeamortecimentodosistema(proporcional)99% index=vetorcontendoosgrausdeliberdadeassociadoaoelemento% bcdof=vetorcontendograusdeliberdadeassociadosasrestrioes% bcval=vetorcontendoascondioesderestrio(valores)%%-------------------------------------------------------------------------%%Rotinapreparadopor:SAMUEL- MARODE2009%-------------------------------------------------------------------------%clc;clear;%-------------------------------------------------------------------------%%DadosFEMparaaviga %%-------------------------------------------------------------------------%ndof=2; %numerodegrausdeliberdadepornonnel=2; %numerodenosporelementonel=3; %numerodeelementosusadosparadiscretizaravigannode=(nnel-1)*nel+1; %numerototaldenosnosistemasdof=nnode*ndof; %totaldegrausdeliberdadenosistema%----------------------------------------------------------------------------%%Propriedadesgeometricasdaviga%----------------------------------------------------------------------------%q=-10e3; %carregamento(N/m)I=4e-4; %momentodeinerciadaseotransversalE=210e9; %Mdulodeelasticidadedaviga%comprimentodosnelelementos(vigano-uniforme)Lb(1)=2;Lb(2)=2; Lb(3)=2;E(1:2)=2*210e9;E(3)=210e9;%rhoeareadaseaotransversal(SeriaUsadaseoobjetivofosse%obteramatrizdeMassa-Interessenestecasoseriaarealizaodeuma%anlisedinmica.area=1;rho=1;%----------------------------------------------------------------------------%100kk=zeros(sdof,sdof); %inicializaodamatrizderigidezdavigamm=zeros(sdof,sdof); %inicializaodamatrizdemassadavigaindex=zeros(nel*ndof,1); %inicializaodovetordeindices%----------------------------------------------------------------------------%%Montagemdasmatrizesdemassaerigidezdaviga %%----------------------------------------------------------------------------%foriel=1:nel%loopparanumerototaldeelementosindex=feeldof1(iel,nnel,ndof);%extraindoosgrausdeliberdadeassociadosaoelemento[k,m]=febeam1(E(iel),I,Lb(iel),area,rho,1);%calculodasmatrizesdemassaerigidezdoelementokk=feasmbl1(kk,k,index);%montandoamatrizderigidezdosistemaglobalend%----------------------------------------------------------------------------%%AplicandoascondiesdecontornonaViga %%----------------------------------------------------------------------------%%Restringedofx1,x2ex7(eliminelinhas1,2e7ecolunas1,2e7)K=kk([34568],[34568]);%Forasexternasatuantesnascoordenadas:%Com33lementosF=[-18e30q*Lb(3)/2q*Lb(3)^2/12-q*Lb(3)^2/12];%----------------------------------------------------------------------------%%CalculodoProblemainversoF=Kx-->x=F\K %%----------------------------------------------------------------------------%%deslocamentoerotaesnaviga:x=K\F;%vetordedeslocamentoerotaocompletonavigaxc=[00x(1)x(2)x(3)x(4)0x(5)];101%--------------------------------------------------------------------------%Calculodasreaesdeapoio-->FR=kk*xc-->Problemadireto:%----------------------------------------------------------------------------%FR=kk*xc;%--------------------------------------------------------------------------%Reaesdeapoionaviga:%--------------------------------------------------------------------------RA=FR(1);MA=FR(2);RB=FR(7);%--------------------------------------------------------------------------%CalculodoMomentoFletorM(x)=EId^2v/dv3=dB/dsxc%CalculodaCortanteV(x)=EId^3v/dv3=d^2B/ds^2xc%--------------------------------------------------------------------------%pontosparainterpolaremcadaelementos=[0:.1:2;2:.1:4;4:.1:6];x1=[024];%primeiracoordenadadoprimeironemcadaelemento.%Lembrandoques=x-x1![el,order]=size(s);disp=[]; %deslocamentotrasnversalnavigaMf=[]; %momentofletornaviga;Cort=[]; %cortantenaviga;foriel=1:nel%extraindoosgrausdeliberdadeassociadosaoelementoindex=feeldof1(iel,nnel,ndof);d(iel,:)=xc(index); %dofsnoelementofori=1:order;102%calculodasfunesesdeformaedesuasderivadas[N,H,D]=funforma(Lb(iel),s(iel,i)-x1(iel));aux=0;ifiel==3%correocomoprincipiodasuperposio!%deslocamentotransversalnoelementoaux=s(iel,i)-x1(iel);vf(iel,i)=(q/(24*E(iel)*I))*(Lb(iel)-aux)^2*aux^2;v(iel,i)=N*d(iel,:)+vf(iel,i);%Momentofletor;d2vfds2=(2*Lb(iel)^2-12*aux*Lb(iel)+12*aux^2)*q/(24*E(iel)*I);M(iel,i)=E(iel)*I*H*d(iel,:)+E(iel)*I*d2vfds2;%Cortanted3vfds3=(-12*Lb(iel)+24*aux)*q/(24*E(iel)*I);V(iel,i)=E(iel)*I*D*d(iel,:)+E(iel)*I*d3vfds3;elsev(iel,i)=N*d(iel,:);%Momentofletor;M(iel,i)=E(iel)*I*H*d(iel,:);%CortanteV(iel,i)=E(iel)*I*D*d(iel,:);endenddisp=[dispv(iel,:)];Mf=[MfM(iel,:)];Cort=[CortV(iel,:)];endcomp=[s(1,:)s(2,:)s(3,:)];%comprimentodaviga(cominterpolao);figure(1)103plot(comp,1e3*disp,ro-,linewidth,2);gridon;holdonylabel(Deslocamentotransversaldavigav(x)[mm],fontsize,12,fontweight,bold);xlabel(Comprimento[m],fontsize,12,fontweight,bold);set(gca,fontsize,12,fontweight,bold);saveas(1,dispb1.eps,psc2)%salvarfiguraparaarquivoepsfigure(2)plot(comp,1e-3*Mf,ro-,linewidth,2);gridon;holdonylabel(MomentoFletorM(x)[kN.m],fontsize,12,fontweight,bold);xlabel(Comprimento[m],fontsize,12,fontweight,bold);%legend(3elementos,7elementos);set(gca,fontsize,12,fontweight,bold);saveas(2,momentob2.eps,psc2)%salvarfiguraparaarquivoepsfigure(3)plot(comp,1e-3*Cort,ro-,linewidth,2);gridon;holdonylabel(ForaCortanteV(x)[kN],fontsize,12,fontweight,bold);xlabel(Comprimento[m],fontsize,12,fontweight,bold);set(gca,fontsize,12,fontweight,bold);saveas(3,cortanteb2.eps,psc2)%salvarfiguraparaarquivoeps%--------------------------------------------------------------------------As figs. (4.18), (4.19) e(4.20) mostramos grficos dodeslocamentov(x), do momentoM(x) e da cortanteV (x) ao longo da viga. Porm, umavez que o carregamento distribudo no 3.oelemento foi aproximado por umcarregamentoconcentradonosnsdesteelemento, humerronotrecho4 < x < 6. Uma forma de contornar este erro aproximar um nmero maiorde elementos neste trecho, por exemplo 5 elementos neste trecho.Porm, umaforma melhor usando um fator de correovf(s). As figs. (4.18), (4.19) e(4.20) tambm apresentam a estimativa assumindo que o trecho 4 < x < 6 corrigido pelo fator de carga uniforme17:vf(s) =q(L s)2s224EI(4.101)Assim no trecho do elemento o deslocamento transversal ser interpoladopor:17No ser dada a prova aqui desta expresso, mas ela vlida para qualquer carrega-mento contnuo constante ao longo de uma viga e obtida pela princpio da superposio.104v(s) = NTd + vf(s) (4.102)J o momento fletor neste trecho ser dado por:M(s) = EI_HTd +d2vfds2_(4.103)e a cortante por:V (s) = EI_DTd +d3vfds3_(4.104)Na transcrio do programa fornecido apresentada tambmestmodificao feita na rotina modelbeam2para encontrar a soluo exata.0 1 2 3 4 5 60.350.30.250.20.150.10.050Deslocamento transversal da viga v(x) [mm]Comprimento [m] 3 elementos3 elementos com correoFig.4.18: Deslocamentotransversaldavigacomcarregamentodistribudosolucionado via FEM com funes de interpolao Hermitiana.4.2.10 Viga com carregamento trapezoidalQualquer carregamento pode ser tratado de forma exata da mesma ma-neira feita nos exemplos anteriores. Esta seo exemplifica como realizar esteprocedimento e como encontrar o fator de correo usando a superposio docarregamento no elemento.1050 1 2 3 4 5 64030201001020Momento Fletor M(x) [kN.m]Comprimento [m] 3 elementos3 elementos com correoFig. 4.19: Momento fletorM(x) na viga com carregamento distribudo cal-culado usando FEM.0 1 2 3 4 5 620151050510152025Fora Cortante V(x) [kN]Comprimento [m] 3 elementos 3 elementos com correoFig. 4.20: CortanteV (x)navigacomcarregamentodistribudocalculadausando FEM.Considereumelementodevigacomcarregamentolinearmentevarivelde um valor q1 no primeiro n at um valor q2 no segundo n, como visto nafig. (4.21). Usando interpolao esta carga pode ser descrita pela funo:106q(s) =sq2L(s L)q1L(4.105)Fig. 4.21: Carregamento equivalente devido a uma carga distribuda de formatrapezoidal em um elemento.Usando a funo de interpolao para a viga e integrandoq(s) obtm-seo vetor de carregamento equivalenterq neste elemento:rq=_L0Nqds =_________L0q(s)_1 3s2L2+2s3L3_ds_L0q(s)_s 2s2L+s3L2_ds_L0q(s)_3s2L2 2s3L3_ds_L0q(s)_s2L+s3L2_ds________(4.106)que gera o resultado:rq=____120L(7q1 + 3q2)160L2(3q1 + 2q2)120L(3q1 + 7q2)160L2(2q1 + 3q2)____(4.107)Parausarasuperposio, asoluodecorreocomcargatrapezoidaldistribudaq(s)podeserobtidaresolvendoaseguinteequaodiferencialgovernante:EId4vds4 q(s) = 0, 0 < s < L (4.108)Com as seguintes condies de contorno:v(0) = 0;dv(0)dx= 0; v(L) = 0;dv(L)dx= 0 (4.109)107Integrando quatro vezes e introduzindo as constantes de integraoc1, , c4 temos:v(s) = c4s3+ c3s2+ c2s + c1(1/120)s5(q1q2) (1/24)Ls4q1EIL(4.110)Com as condies de contorno ns temos:c1= 0; c2= 0; (4.111)c4L3+ c3L2+ c2L + c1(1/120)L5(q1q2) (L4q1/6)EIL= 0 (4.112)3c4L2+ 2c3L + c2(1/24)(q1q2) (L4q1/6)EIL= 0 (4.113)Solucionando este sistema as constantes de integrao so dada por:c1= 0; (4.114)c2= 0; (4.115)c3= 3q1L22q2L2120EI(4.116)c4= L(7q1 + 3q2)120EI(4.117)Assim, asoluocorretoraparaocarregamentotrapezoidaldistribudona viga :vf(s) =(L s)2s2((3L s)q1 + (2L + s)q2)120EIL(4.118)4.3 FramesOs elementos de um frame (prtico) so projetados para resistir deforma-es axiais e flexo. O elemento de viga com dois ns estudado anteriormentepode ser combinado com o elemento de barra para formar um elemento bas-tanteversatil quepodeserutilizadoparaanalisarmontagensnoplanoouespao de frames. Este elemento pode ser til para modelar de forma sim-ples o comportamento dinmico e esttico de mecanismos, mquinas, robs,rotores, ps de turbinas, paletas e at mesmo de uma aeronave ou uma bar-ragemdeconcreto. assumidoapriori queosefeitosaxiaisedeflexoso desacoplados um do outro, o que uma condio razovel de se assumir108dentro de estruturas sofrendo deformaes pequenas. Neste captulo apenasa formulao para frames no plano ser apresentada, porm a expanso paraelementos no espao direta a partir da teoria apresentada a seguir.Como mostrado na fig. (4.22) um sistema local de coordenadas esta-belecido para cada elemento. Neste sistema de coordenadas locais o eixosest ao longo do elemento axial, com direo positiva do n 1 para o n 2. Oeixo localt est a 90ono sentido anti-horrio do eixos. Cada n tem ento3 graus de liberdade, duas translaes (em s e t) e uma rotao no plano. Omomento de inrcia de rea e carregamento distribudo transversalmente soconsiderados constantes em cada elemento. Alm disto, cargas concentradasso permitidas apenas em cima dos ns de um elemento. A carga distribudaqs est na direo axial eqt a carga na direo transversal. Estes carrega-mentos aplicados em um elemento so positivos se eles atuam nas direespositivas dos eixos locais.Fig. 4.22: Elemento de frame no plano.No sistema de coordenadas local,as equaes do elemento so simples-mente uma combinao do elemento de barra e de viga de Euler-Bernoulli.Com a ordem dos graus de liberdade como mostrado na fig. (4.22) as equa-es locais do elemento de frame so da ordem6 6. Assim:__EAL0 0 EAL0 0012EIL36EIL20 12EIL36EIL206EIL24EIL0 6EIL22EILEAL0 0EAL0 00 12EIL36EIL2012EIL36EIL206EIL22EIL0 6EIL24EIL_____d1d2d3d4d5d6___=___12qsL12qtL112qtL212qsL12qtL112qtL2___(4.119)A equao anterior pode ser escrita na forma matricial como:109kldl= rl(4.120)Assumindo um referncia comum global(x, y) para todos os elementos18no frame, os graus de liberdade nas direes globais so descritos por u1,v1,1,u2,v2 e2. Para desenvolver a transformao do sistema local(s, t) parao sistema global(x, y) deve-se observar que:u1= d1cos = d1ls(4.121)v1= d1cos(90 ) = d1sen = d1ms(4.122)sendo ls e ms os ngulos entre os sistemas de coordenadas. Estes ngulospodem ser mais facilmente programados em funo das coordenadas de cadaelemento, informaoestqueestcontidanamalhadaestrutura. Deno-tando as coordenadas dos ns de um elemento como(x1, y1) para o n 1 e(x2, y2) para o n 2 tem-se facilmente que:L =_(x2x1)2+ (y2y1)2(4.123)ls=x2x1L(4.124)ms=y2y1L(4.125)Isto exatamente a mesma transformao feita com o elemento de barranoplano(elementodetrelia). Deveserobservadoquearotaonoafetada pela transformao, assim:1= d3(4.126)2= d6(4.127)Assimatransformaodosgrausdeliberdadedoelementonosistema(x, t) para o sistema(s, t) pode ser feita por:___d1d2d3d4d5d6___=__lsms0 0 0 0msls0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 lsms00 0 0 msls00 0 0 0 0 1_____u1v11u2v22___(4.128)18Uma vez que os elementos de frame podem ser montados com geometria diversas.110ou na forma matricial:dl= Td (4.129)sendoT a matriz de transformao ed o vetor de graus de liberdade nosistema(x, y). Tambm possvel fazer uma transformao inversa de(s, t)para(x, y) a partir de:d = TTds(4.130)Usandoestas transformaes, as equaes doelementonosistemadecoordenadas locais pode ser relacionada com o sistema global como segue-se:kldl= rl klTd = rl(4.131)Multipliando ambos os lados porTTtem-se:TTklTd = TTrl(4.132)Note quer = TTrl, assim:kd = r (4.133)sendo:k = TTklT (4.134)r = TTrl(4.135) possvel realizar a multiplicao das matrizes de transformao e obtera matriz de rigidez no sistema (x, y) escrevendo a matriz explicitamente nestesistema. Porm isto pode ser feito numericamente no momento de implemen-tao em algum software. A montagem e a soluo feita na forma padrode FEM, solucionando primeiro o problema inverso (restringindo as coorde-nadas nas condies de contorno) e obtendo as solues nodais, resolvendoo problema direto e encontrando as reaes nos apoios, e por fim fazendo assolues em cada elemento.Uma vez conhecida a soluo nodal no sistema(x, y) obtm-se a soluono sistema(s, t) a partir da transformao da eq. (4.129). O deslocamentoaxial ser dado na coordenadas por:u(s) =_s LLsL__d1d4_, 0 s L (4.136)j o deslocamento transversal em funo des ser dado por:111v(s) = (N1(s) N2(s) N3(s) N4(s))___d2d3d5d6___+ vf(s) (4.137)sendoNi(s) a funo de forma para o elemento do tipo Hermitiano:N1(s) =2s3L3 3s2L2+ 1 (4.138)N2(s) =s3L2 2s2L+ s (4.139)N3(s) =3s2L2 2s3L3(4.140)N4(s) =s3L2 s2L(4.141)o termovf(s) um parmetro corretor do fato de assumir que um carre-gamento distribudo aplicado apenas nos ns do elemento. Para o caso docarregamento constante no elemento ele :vf(s) =qt(L s)2s224EI; 0 s L (4.142)Note que possvel este termo ser referente a um carregamento trapezoi-dal, eq. (4.118), ou mesmo um carregamento qualquer. Usando estes termoscorretores a soluo exata para um frame necessita apenas um elemento entrecada descontinuidade da estrutura toda. Por fim as foras axiais nas barrasF(s), omomentofletorM(s)easforascortantesV (s)socalculadasnodomnio0 s L por:F(s) = EABTda(4.143)M(s) = EI_HTdb +d2vfds2_(4.144)V (s) = EI_DTdb +d3vfds3_(4.145)sendo da os graus de liberdade axiais, B a derivada primeira da funo deforma da interpolao linear,db os graus de liberdade transversal e rotao,He Dasderivadassegundaeterceiradovetorfunodeformas Nda112interpolao Hermitiana. Note tambm que para o caso dos dofs transversaiss = x x1, sendox1 a coordenada do primeiro n do elemento em questo.Nas prximas sees so solucionados problemas simples usando oMatlab R parailustrar todooprocedimentodeanliseestrutural deumframe no plano.4.3.1 Exemplodeaplicaocomcarregamentoconcen-tradoO primeiro exemplo consiste em determinar os deslocamentos, momentosfletores e foras cortantes no frame mostrado na fig. (4.23). Os parmetrosquedefinemesteproblemaso: M=20kN.m, P =10kN, L=1m,E= 210 GPa,A = 4 102m2eI= 4 104m4.Fig. 4.23: Frame no plano com carregamento concentrado.A forma mais simples de resolver este problema usando trs elementoscom dois ns e com cada n contendo trs graus de liberdade. Aps montaruma malha, fig. (4.24), calculamos as matrizes de rigidez para cada elementoem coordenadas locais, transformamos para coordenadas globais e realizamosumamontagemdosistemacompletodeequaesaplicandoascargasnosrespectivos ns e dofs que estas atuam.Porfim, ajustandoascondiesdecontornoessenciaisconhecidas, ouseja, restringindo valores dos dofs conhecidos, obtemos a soluo nodal comos deslocamentos axiais, tranversais e rotaes.Os 12 dofs nodais neste problema so:1130.5 0 0.5 1 1.5 2 2.521.510.500.52D FrameWidth [m]Height [m]Fig. 4.24: Malha do frame.u1= 0 v1= 0 1= 0.0785 103(4.146)u2= 0 v2= 0.0686 1032= 0.0487 103(4.147)u3= 0.0189 103v3= 0.0703 103; 3= 0.0108 103(4.148)u4= 0.0189 103v4= 0 4= 0.1596 103(4.149)O clculo das reaes externas seria feito da mesma forma dos exemplosapresentados anteriormente.J a interpolao para estimativa de u(s), v(s) edos esforos F(s), M(s) e V (s) calculada elemento a elemento realizando asrespectivas transformaes dos dofs globais para locais e usando as funes deforma e suas derivadas em cada elemento. O programa a seguir em Matlab R mostra os passos necessrios para soluo computacional deste problema.%--------------------------------------------------------------------------% Thisprogramcomputesthemassandstiffnessmatrix% fora frame%%Variabledescriptions%% xandy=globalxandycoordiatesofeachnode% m=elementmassmatrix% k=elementstiffnessmatrix114% M=systemmassmatrix% K=systemstiffnessmatrix% ff=systemforcevector% index=avectorcontainingsystemdofsassociatedwitheachelement% bcdof=avectorcontainingdofsassociatedwithboundaryconditions% bcval=avectorcontainingboundaryconditionvaluesassociatedwith% thedofsinbcdof%--------------------------------------------------------------------------clc;clear%--------------------------------------------------------------------------nel=3; %numberofelementsnnel=2; %numberofnodesperelementndof=3; %numberofdofspernodennode=(nnel-1)*nel+1; %totalnumberofnodesinsystemsdof=nnode*ndof; %totalsystemdofsel=1; %lengthofelement[m]%--------------------------------------------------------------------------% nodalcoordinates%--------------------------------------------------------------------------gcoord(1,1)=0;gcoord(1,2)=0; %x,ycoord.valuesofnode1intermsoftheglobalaxisgcoord(2,1)=el;gcoord(2,2)=0; %x,ycoord.valuesofnode2intermsoftheglobalaxisgcoord(3,1)=el;gcoord(3,2)=-el; %x,ycoord.valuesofnode3intermsoftheglobalaxisgcoord(4,1)=2*el;gcoord(4,2)=-el; %x,ycoord.valuesofnode4intermsoftheglobalaxis%--------------------------------------------------------------------------% nodalconnectivity%--------------------------------------------------------------------------nodes(1,1)=1; nodes(1,2)=2; %element(1)betweennodes1and2nodes(2,1)=2; nodes(2,2)=3; %element(2)betweennodes2and3nodes(3,1)=3; nodes(3,2)=4; %element(3)betweennodes3and4%--------------------------------------------------------------------------%Geometricalandphysicalproperties%--------------------------------------------------------------------------115Es=210e9; %elasticmodulus[N/m^2]area=4e-2; %cross-sectionalareaI=4e-4; %momentofinertiaofcross-section[m^4]rho=2700; %massdensitypervolume(dummyvalueforstaticanalysis)[kg/m^3]%--------------------------------------------------------------------------mm=zeros(sdof,sdof); %initializationofsystemmassmatrixkk=zeros(sdof,sdof); %initializationofsystemstiffnessmatrixindex=zeros(nel*ndof,1); %initializationofindexvector%--------------------------------------------------------------------------foriel=1:nel %loopforthetotalnumberofelementsnd(1)=nodes(iel,1); %1stconnectednodeforthe(iel)-thelementnd(2)=nodes(iel,2); %2ndconnectednodeforthe(iel)-thelementx1(iel)=gcoord(nd(1),1);y1(iel)=gcoord(nd(1),2); %coordinateof1stnodex2(iel)=gcoord(nd(2),1);y2(iel)=gcoord(nd(2),2); %coordinateof2ndnodeleng(iel)=sqrt((x2(iel)-x1(iel))^2+(y2(iel)-y1(iel))^2); %elementlengthif(x2(iel)-x1(iel))==0;beta=2*atan(1); %anglebetweenlocalandglobalaxeselsebeta=atan((y2(iel)-y1(iel))/(x2(iel)-x1(iel)));end% ls=(x2(iel)-x1(iel))/leng(iel);% beta=acos(ls);index=feeldof(nd,nnel,ndof); %extractsystemdofsfortheelement[k,m]=feframe2(Es,I,leng(iel),area,rho,beta,1);%computeelementstiffnessandmassmatrix%Ms=feasmbl1(Ms,m,index);%assembleeachelementmatrixintosystemmassmatrixkk=feasmbl1(kk,k,index);%assembleeachelementmatrixintosystemstiffnessmatrixend116%--------------------------------------------------------------------------%Plottheframefigure(1)plot(gcoord(:,1),gcoord(:,2),ro,linewidth,1);holdon;foriel=1:nelplot([x1(iel)x2(iel)],[y1(iel)y2(iel)],linewidth,2)endset(gca,fontsize,12,fontweight,bold);title(2-DFrame)xlabel(Width[m],fontsize,12,fontweight,bold);ylabel(Height[m],fontsize,12,fontweight,bold);axis([-0.52.5-20.5])saveas(1,2Dframe.eps,psc2);%--------------------------------------------------------------------------% appliedconstraints%--------------------------------------------------------------------------%1,2and11K=kk([34567891012],[34567891012]);%--------------------------------------------------------------------------%Esforosaplicados%dof5-P=10kN%dof12-M=-20kN.mP=-10e3;M=-20e3; %PORFAVOR,TOMEMCUIDADOCOMOSSINAIS!!F=[0 0 P 00000M]; %vetorcomesforosaplicados%--------------------------------------------------------------------------%RespostasNodaisxd=K\F;%vetordedeslocamentoscoordenadasglobaisd=[0;0;xd(1:8);0;xd(9)];117%calculodascargasexternasaplicadasFR=kk*d;%--------------------------------------------------------------------------%Calculodasforasaxiais,momentofletoreforacortantenoframe%--------------------------------------------------------------------------aux=[0:0.1:1;0:-.1:-1;1:.1:2]; %coordenadaauxxnode1=[011]disp=[]; %deslocamentotransversalnoframeMf=[]; %momentofletornoframe;Cort=[]; %cortantenoframe;foriel=1:nelnd(1)=nodes(iel,1); %1stconnectednodeforthe(iel)-thelementnd(2)=nodes(iel,2); %2ndconnectednodeforthe(iel)-thelementx1(iel)=gcoord(nd(1),1);y1(iel)=gcoord(nd(1),2); %coordinateof1stnodex2(iel)=gcoord(nd(2),1);y2(iel)=gcoord(nd(2),2); %coordinateof2ndnodeleng(iel)=sqrt((x2(iel)-x1(iel))^2+(y2(iel)-y1(iel))^2); %elementlengthif(x2(iel)-x1(iel))==0;beta=2*atan(1); %anglebetweenlocalandglobalaxeselsebeta=atan((y2(iel)-y1(iel))/(x2(iel)-x1(iel)));end%MatrizdeTransformaodecoordenadasT=[cos(beta) sin(beta) 0 0 0 0;...-sin(beta) cos(beta) 0 0 0 0;...0 0 1 0 0 0;...0 0 0 cos(beta) sin(beta)0;...0 0 0 -sin(beta) cos(beta)0;...1180 0 0 0 0 1];index=feeldof(nd,nnel,ndof); %extractsystemdofsfortheelement%Transformaodeglobalparalocaldl=T*d(index);L=leng(iel); %comprimentodoelementoforj=1:length(aux)%Foraaxial%reviseteoriadetrelia%Deslocamentoaxialu(iel,j)=[(L-aux(iel,j))/L aux(iel,j)/L]*dl([14]);%Eps=du/ds=[Bu]*dl;Eps(iel,j)=[-1/L 1/L]*dl([14]);; %deformaoaxialSigma(iel,j)=Es*Eps(iel,j); %TensoAxialFax(iel,j)=Sigma(iel,j)*area; %Foaaxialnabarra%Deslocamentotransversals=aux(iel,j)-xnode1(iel);%chamaosvetoresfunesdeformaesuasderivadas[N,H,D]=funforma(L,s);%deslocamentotransversalnoelementov(iel,j)=N*dl([2356]);%MomentofletorM(iel,j)=Es*I*H*dl([2356]);%CortanteV(iel,j)=Es*I*D*dl([2356]);end119disp=[dispv(iel,:)];Mf=[MfM(iel,:)];Cort=[CortV(iel,:)];end%--------------------------------------------------------------------------A funo que calcula a matriz de rigidez para o elemento chamada defeframe2.me apresentada a seguir.function[k,m]=feframe2(el,xi,leng,area,rho,beta,ipt)%--------------------------------------------------------------% Purpose:% Stiffnessandmassmatricesforthe2-dframeelement% nodaldof{u_1v_1theta_1u_2v_2theta_2}%% Synopsis:% [k,m]=feframe2(el,xi,leng,area,rho,beta,ipt)%% VariableDescription:% k-elementstiffnessmatrix(sizeof6x6)% m-elementmassmatrix(sizeof6x6)% el-elasticmodulus% xi-secondmomentofinertiaofcross-section% leng-elementlength% area-areaofbeamcross-section% rho-massdensity(massperunitvolume)% beta-anglebetweenthelocalandglobalaxes% ipt=1:consistentmassmatrix% ispositiveifthelocalaxisisintheccwdirectionfrom% theglobalaxis% ipt=1-consistentmassmatrix% =2-lumpedmassmatrix% =3-diagonalmassmatrix%--------------------------------------------------------------------------%stiffnessmatrixatthelocalaxis120a=el*area/leng;c=el*xi/(leng^3);kl=[a 0 0 -a 0 0;...0 12*c 6*leng*c 0 -12*c 6*leng*c;...0 6*leng*c 4*leng^2*c 0 -6*leng*c 2*leng^2*c;...-a 0 0 a 0 0;...0 -12*c -6*leng*c 0 12*c -6*leng*c;...0 6*leng*c 2*leng^2*c 0 -6*leng*c 4*leng^2*c];%rotationmatrixr=[cos(beta) sin(beta) 0 0 0 0;...-sin(beta) cos(beta) 0 0 0 0;...0 0 1 0 0 0;...0 0 0 cos(beta) sin(beta)0;...0 0 0 -sin(beta) cos(beta)0;...0 0 0 0 0 1];%stiffnessmatrixattheglobalaxisk=r*kl*r;%consistentmassmatrixifipt==1mm=rho*area*leng/420;ma=rho*area*leng/6;ml=[2*ma 0 0 ma 0 0;...0 156*mm 22*leng*mm 0 54*mm -13*leng*mm;...0 22*leng*mm 4*leng^2*mm 0 13*leng*mm -3*leng^2*mm;...ma 0 0 2*ma 0 0;...0 54*mm 13*leng*mm 0 156*mm -22*leng*mm;...0 -13*leng*mm-3*leng^2*mm 0 -22*leng*mm 4*leng^2*mm];%lumpedmassmatrixelseifipt==2ml=zeros(6,6);121mass=rho*area*leng;ml=mass*diag([0.5 0.5 0 0.5 0.5 0]);%diagonalmassmatrixelseml=zeros(6,6);mass=rho*area*leng;ml=mass*diag([0.5 0.5 leng^2/78 0.5 0.5 leng^2/78]);end%massintheglobalsystemm=r*ml*r;Os grcos de momento e cortante em cada trecho (elemento) poderiamser levantados. Porm, optou-se por mostrar os resultados com uma tabelailustrando os valores dos esforos nos ns de cada elemento, tabela (4.6).Tab. 4.6: Esforos atuantes nos ns do frame.Elemento x(m) y(m) F(kN) M(kN.m) V(kN)1 0 0 0 0 -51 1 0 0 -5 -52 1 0 15 -5 02 1 -1 15 -5 03 1 -1 0 -5 -153 2 -1 0 -20 -154.3.2 Exemplodeaplicaocomcarregamentodistri-budoOsegundoexemploconsideraumframecomcarregamentodistribudolinearmente ao longo de um elemento conforme ilustrado na fig. (4.25). Asunidades para este problema esto no sistema ingls: q=1 kip/ft, L=15ft,E= 30 303kip/in2,A = 100 in2eI= 1000 in2.122Fig. 4.25: Frame no plano com carregamento distribudo.Para este frame so necessrios apenas dois elementos, um para o membroinclinado e outro para o membro horizontal. Note que no primeiro elementodever ser somado ao deslocamento transversal o termovf(s) para obter asoluo exata com apenas um elemento neste trecho, assim como utilizar suasderivadas segunda e terceira para clculo exato do momento e da cortanteneste trecho.Asoluocomputacionalparaesteproblemafeitacomousodopro-grama seguinte.%--------------------------------------------------------------------------% Thisprogramcomputesthemassandstiffnessmatrix% fora frame%%Variabledescriptions%% xandy=globalxandycoordiatesofeachnode% m=elementmassmatrix% k=elementstiffnessmatrix% M=systemmassmatrix% K=systemstiffnessmatrix% ff=systemforcevector% index=avectorcontainingsystemdofsassociatedwitheachelement% bcdof=avectorcontainingdofsassociatedwithboundaryconditions% bcval=avectorcontainingboundaryconditionvaluesassociatedwith123% thedofsinbcdof%--------------------------------------------------------------------------clc;clear%--------------------------------------------------------------------------nel=2; %numberofelementsnnel=2; %numberofnodesperelementndof=3; %numberofdofspernodennode=(nnel-1)*nel+1; %totalnumberofnodesinsystemsdof=nnode*ndof; %totalsystemdofsel=15*12; %lengthofelement[in]%--------------------------------------------------------------------------% nodalcoordinates%--------------------------------------------------------------------------gcoord(1,1)=0;gcoord(1,2)=0; %x,ycoord.valuesofnode1intermsoftheglobalaxisgcoord(2,1)=el/sqrt(2);gcoord(2,2)=el/sqrt(2); %x,ycoord.valuesofnode2intermsoftheglobalaxisgcoord(3,1)=el+el/sqrt(2);gcoord(3,2)=el/sqrt(2); %x,ycoord.valuesofnode3intermsoftheglobalaxis%--------------------------------------------------------------------------% nodalconnectivity%--------------------------------------------------------------------------nodes(1,1)=1; nodes(1,2)=2; %element(1)betweennodes1and2nodes(2,1)=2; nodes(2,2)=3; %element(2)betweennodes2and3%--------------------------------------------------------------------------%Geometricalandphysicalproperties%--------------------------------------------------------------------------Es=30000; %elasticmodulus[N/m^2]area=100; %cross-sectionalareaI=1000; %momentofinertiaofcross-section[m^4]rho=2700; %massdensitypervolume(dummyvalueforstaticanalysis)[kg/m^3]q=-1/(12); %kip-in%--------------------------------------------------------------------------124mm=zeros(sdof,sdof); %initializationofsystemmassmatrixkk=zeros(sdof,sdof); %initializationofsystemstiffnessmatrixindex=zeros(nel*ndof,1); %initializationofindexvector%--------------------------------------------------------------------------foriel=1:nel %loopforthetotalnumberofelementsnd(1)=nodes(iel,1); %1stconnectednodeforthe(iel)-thelementnd(2)=nodes(iel,2); %2ndconnectednodeforthe(iel)-thelementx1(iel)=gcoord(nd(1),1);y1(iel)=gcoord(nd(1),2); %coordinateof1stnodex2(iel)=gcoord(nd(2),1);y2(iel)=gcoord(nd(2),2); %coordinateof2ndnodeleng(iel)=sqrt((x2(iel)-x1(iel))^2+(y2(iel)-y1(iel))^2); %elementlengthif(x2(iel)-x1(iel))==0;beta=2*atan(1); %anglebetweenlocalandglobalaxeselsebeta=atan((y2(iel)-y1(iel))/(x2(iel)-x1(iel)));end% ls=(x2(iel)-x1(iel))/leng(iel);% beta=acos(ls);index=feeldof(nd,nnel,ndof); %extractsystemdofsfortheelement[k,m]=feframe2(Es,I,leng(iel),area,rho,beta,1);%computeelementstiffnessandmassmatrix%Ms=feasmbl1(Ms,m,index);%assembleeachelementmatrixintosystemmassmatrixkk=feasmbl1(kk,k,index);%assembleeachelementmatrixintosystemstiffnessmatrixT=[cos(beta) sin(beta) 0 0 0 0;...-sin(beta) cos(beta) 0 0 0 0;...0 0 1 0 0 0;...0 0 0 cos(beta) sin(beta)0;...0 0 0 -sin(beta) cos(beta)0;...0 0 0 0 0 1];ifiel==1125rl=[0q*leng(iel)/2 q*leng(iel)^2/12 0...q*leng(iel)/2 -q*leng(iel)^2/12]; %esforoslocaisF(:,iel)=T*rl; %esforoos nascoordenadasglobais-somenteno1.oelementoelseF(:,iel)=zeros(6,1);endendForca=[F(:,1)000];%--------------------------------------------------------------------------%Plottheframefigure(1)plot(gcoord(:,1),gcoord(:,2),ro,linewidth,1);holdon;foriel=1:nelplot([x1(iel)x2(iel)],[y1(iel)y2(iel)],linewidth,2)endset(gca,fontsize,12,fontweight,bold);title(2-DFrame)xlabel(Width[in],fontsize,12,fontweight,bold);ylabel(Height[in],fontsize,12,fontweight,bold);saveas(1,2Dframe1.eps,psc2);%--------------------------------------------------------------------------% appliedconstraints%--------------------------------------------------------------------------%1,2,3,7,8e9K=kk([456],[456]); %MatrizderigidezFap=F([456]); %Forasaplicadas%--------------------------------------------------------------------------126%--------------------------------------------------------------------------%RespostasNodaisxd=K\Fap;%vetordedeslocamentoscoordenadasglobaisd=[000xd(1:3)000];%--------------------------------------------------------------------------%Calculodasforasaxiais,momentofletoreforacortantenoframe%--------------------------------------------------------------------------aux=[0:(el/sqrt(2))/100:el/sqrt(2);el/sqrt(2):180/100:(el+el/sqrt(2))]; %coordenadaauxxnode1=[0el/sqrt(2)];disp=[]; %deslocamentotransversalnoframeMf=[]; %momentofletornoframe;Cort=[]; %cortantenoframe;foriel=1:nelnd(1)=nodes(iel,1); %1stconnectednodeforthe(iel)-thelementnd(2)=nodes(iel,2); %2ndconnectednodeforthe(iel)-thelementx1(iel)=gcoord(nd(1),1);y1(iel)=gcoord(nd(1),2); %coordinateof1stnodex2(iel)=gcoord(nd(2),1);y2(iel)=gcoord(nd(2),2); %coordinateof2ndnodeleng(iel)=sqrt((x2(iel)-x1(iel))^2+(y2(iel)-y1(iel))^2); %elementlengthif(x2(iel)-x1(iel))==0;beta=2*atan(1); %anglebetweenlocalandglobalaxeselsebeta=atan((y2(iel)-y1(iel))/(x2(iel)-x1(iel)));end%MatrizdeTransformaodecoordenadasT=[cos(beta) sin(beta) 0 0 0 0;...-sin(beta) cos(beta) 0 0 0 0;...1270 0 1 0 0 0;...0 0 0 cos(beta) sin(beta)0;...0 0 0 -sin(beta) cos(beta)0;...0 0 0 0 0 1];index=feeldof(nd,nnel,ndof); %extractsystemdofsfortheelement%Transformaodeglobalparalocaldl=T*d(index);L=leng(iel); %comprimentodoelementoforj=1:length(aux)%Foraaxial%Deslocamentoaxialu(iel,j)=[(L-aux(iel,j))/L aux(iel,j)/L]*dl([14]);%Eps=du/ds=[Bu]*dl;Eps(iel,j)=[-1/L 1/L]*dl([14]);; %deformaoaxialSigma(iel,j)=Es*Eps(iel,j); %TensoAxialFax(iel,j)=Sigma(iel,j)*area; %Foraaxialnabarra%Deslocamentotransversals=aux(iel,j)-xnode1(iel);s[N,H,D]=funforma(L,s);ifiel==1;%elemento1hcorreo(carregamento)%deslocamentotransversalnoelemento+corrigindocomvf(s)vf(iel,j)=q*((L-s)^2*s^2)/(24*Es*I);v(iel,j)=N*dl([2356])+vf(iel,j);%Momentofletord2vfds2=(2*L^2-12*s*L+12*s^2)*q/(24*Es*I);M(iel,j)=Es*I*H*dl([2356])+Es*I*d2vfds2;%Cortante128d3vfds3=(-12*L+24*s)*q/(24*Es*I);V(iel,j)=Es*I*D*dl([2356])+Es*I*d3vfds3;elsev(iel,j)=N*dl([2356]);M(iel,j)=Es*I*H*dl([2356]);V(iel,j)=Es*I*D*dl([2356]);endenddisp=[dispv(iel,:)];Mf=[MfM(iel,:)];Cort=[CortV(iel,:)];end%--------------------------------------------------------------------------Como no exemplo anterior,os grcos de momento e cortante em cadatrecho (elemento) poderiam ser levantados. Porm, optou-se por mostrar osresultados com uma tabela ilustrando os valores dos esforos nos ns de cadaelemento, tabela (4.7).Tab. 4.7: Esforos atuantes nos ns do frame com carregamento distribudo.Elemento x(in) y(in) F(kip) M(kip.in) V(kip)1 0 0 -7.69 -288.46 -8.511 127.279 127.279 -7.69 -120.89 -2.042 127.279 127.279 -10.0268 -105.4 0.8587072 307.279 127.279 -10.0268 49.1988 0.8587074.4 Consideraes finaisEste captulo apresentou trs elementos de extrema importncia em an-liseestrutural: elementodetrelia, vigaeframe. Deveficarclaroparaos129alunos que apesar de termos trabalhado nas aulas com sistemas mecnicossimples, com estes elementos possvel modelar inmeros problemas comple-xos de interesse em engenharia mecnica. Alguns exemplos:Otimizao de formas, geometria e material para atingir requisitos demenor peso, menor preo e melhor desempenho em um sistema de en-genharia.Possibilidade de modelar sistemas mecnicos complexos combaixocusto computacional usando elementos de barra, trelia, viga e frame,por exemplo eixos de rotores, turbinas, robs, estruturas metlicas, etc.Anlisedefalhaeproposiodemodificaoestrutural paraatingirnovo desempenho, suportar novas cargas, etc.Anlise de problemas dinmicos.Tambmesperassequeapsestecaptuloosalunostenhamadquiridomaior conhecimento em prticas de programao computacional,visto quetodas as solues apresentadas foram escritas em termos de rotinas em com-putador.Estes programas usam rotinas e funes que so usadas para realizartodo o tipo de trabalho repetitivo e de clculo. Um engenheiro faz apenaso trabalho de anlise e conferncia dos valores. Com isto estas rotinas sogerais. Alm disto, as estruturas dos algoritmos numricos usadas ao longodestecaptulopodemser bemadaptadas paraoutros tipos deelementosmaiscomplexos, porexemplo, elementosdevigadeTimoshenko, placadeKirchhoff, ou at mesmo elementos slidos. Uma extenso imediata se referea modelagem de trelias e frames 3D, onde a mudana feita na matriz detransformao.Porfim, assoluescomputacionaisapresentadasnestecaptuloforamfeitas usando o Matlab R ,porm a soluo do problema foi feita usando omtodo dos elementos finitos (FEM). Assim, no obtemos uma soluo Ma-tlab, como algum pode vir a pensar, e sim uma soluo via FEM, que seriaa mesma caso se implementasse estas rotinas em qualquer linguagem compu-tacional, como por exemplo, PASCAL, BASIC, SCILAB, C++, FORTRAN,DELPHI, etc. ou at mesmo no Excel, em uma calculadora HP ou ainda emumprogramadedicadoaFEM, comooANSYS! Umbomengenheiroquequeira trabalhar com projetos deve dominar bem ao menos uma linguagemde programao para utilizao como usurio.1304.5 ExercciosEx. 4.1Considerequeasbarrasdastreliasdasfigs. (4.30)a(4.33)sotodas feitas de ao com mdulo de elasticidade de 210 GPa e rea da seodas barras igual aA = 0.001 m2. Pede-se:1. Construa e plote para cada caso uma malha.2. Calcule as matrizes de rigidez para cada cada elemento de barra e monteas matrizes globais.3. Aplicando as restries para cada caso calcule os deslocamento nodais,forasexternasaplicadas(reaesdeapoio),deformaesaxiais,ten-ses normais e foras internas axiais nas barras.4. Implemente sua soluo usando as rotinas Matlab Rfornecidas.5. Repitaos itens anteriores, pormusandoalgumsoftware comercialcomooAnsys R . CompareediscutaatravsdetabelasosresultadosobtidoscomoMatlab R , Ansys R ecomosclculosfeitosdeformamanual usando, por exemplo, o mtodo dos ns estudado em mecnicageral.Fig. 4.26: Trelia 1.Ex. 4.2Considere as vigas mostradas das figs. (4.34) at (4.41). Todas asvigassodeaocommdulodeelasticidadedeE=210GPaemomentodeinrciaI =4 104m4. Paracadaumadestasvigascalculeodeslo-camento transversal, momento fletor e cortante usando FEM. Implemente asoluo usando as rotinas fornecidas pelo docente. Compare a soluo encon-trada com o mtodo das sees e com a soluo obtida com algum programacomercial como Ansys Rou Nastran R .131Fig. 4.27: Trelia 2.Fig. 4.28: Trelia 3. Considered = 2.0 m eL = 1000 N.Fig. 4.29: Trelia 4. Considerea = 3.0 mEx. 4.3Considereosframesdasfigurasde(4.42)at(4.48). Paracadaumadestasestruturascalculeosdeslocamentosaxiais, transversais, foras132Fig. 4.30: Trelia 5.axiais, momentos fletores e cortante. Faa os grcos para cada uma destasvariveisemfunodonmerodeelementosusados. CompareasoluoFEM obtida com o Matlab Re Ansys R .133Fig. 4.31: Trelia 6.Fig. 4.32: Trelia 7. = 30oeP= 500 N.Ex. 4.4Aseotransversal deumabarragemdeconcretomostradanafig. (4.49). Usando um modelo simples de frame no plano estime as tensesnormais devido a flexo, assim como o diagrama de momento fletor, cortante,134Fig. 4.33: Trelia 8.Fig. 4.34: Viga 1 comw0= 10 kN/m,L = 5 m,a = 2 m,b = 4 m eM= 20kNm.Fig. 4.35: Viga 2 comL = 4 m ew0= 10 kN/m.135Fig. 4.36: Viga 3 coma = 1 m,L = 4 m ew0= 10 kN/m.Fig. 4.37: Viga 4 coma=2 m, b=3 m, L=4 m, P=10 kN ew0=10kN/m.cargaaxial eosdeslocamentosaxiaisetransversaisnabarragemdevidoaopeso prprio da barragem e a presso dgua agindo na barragem19. Utilizeum nmero razovel de elementos e calcule as propriedades mdias em cadaelemento(reaemomentodeinrcia). Assumaquealarguradabarragem18 m. A densidade do concreto 2400 kg/m3e da gua 1000 kg/m3. Omdulo de elasticidade do concreto 30 GPa.19Consulte um livro de esttica sobre hidroesttica.136Fig. 4.38: Viga 5 coma = 1 m ew0= 10 kN/m.Fig. 4.39: Viga 6.137Fig. 4.40: Viga 7.Fig. 4.41: Viga 8.138Fig. 4.42: Frame 1,q= 10 kN/m,L = 2 m,E= 210 GPa,A = 4 102m2eI= 4 104m4.Fig. 4.43: Frame 2,q= 10 kN/m,L = 2 m,E= 210 GPa,A = 4 102m2eI= 4 104m4.Fig. 4.44: Frame 3, P= 12 kN, q= 3 kN/m, E= 200 GPa, A = 4.95 103m2eI= 125.3 106m4.139Fig.4.45: Frame 4combarras quadradas de200mm 200mm, E=10GPa eP= 20 kN.Fig. 4.46: Frame 5.140Fig. 4.47: Frame 6.Fig. 4.48: Frame 7.Fig. 4.49: Barragem de concreto.141Captulo 5Anlise Dinmica de Estruturasvia FEMUma grande variedade de problemas transientes so de interesse em enge-nharia, como por exemplo nas reas de mecnica dos fludos e transfernciade calor. Estes problemas so descritos por equaes diferenciais parciais eenvolvem variveis do tipou(x, y, z, t) no caso mais geral.FEM pode ser uma ferramenta bastante verstil para resolver este tipode problema. De maneira geral a ideia transformar um problema de valorde contorno e com condio inicial em um sistema de equaes diferenciaisordinriaslinearesquepodemserresolvidasnumericamenteusandovriosmtodos, porexemplo, algoritmosdafamliaRunge-Kuttaoumtodosdeintegrao implicta, como o Newmark.Nestecaptulo, emparticular, oenfoqueseremmecnicaestrutural,onde a meta formular as matrizes de massa para os elementos estudados nocaptulo anterior. No fim, do captulo uma pequena reviso de conceitos deanlise modal analtica feita tendo como base o conhecimento das matrizesestruturais de massa e rigidez.5.1 Matrizdemassaparaelementos estrutu-raisUmproblematransiente3Dgeral emmecnicapodeserdescritopelaseguinte equao diferencial parcial geral:x_kxux_+y_kyuy_+z_kzuz_+ pu + q= m2ut2(5.1)142sendokx, ky, kz, p, q em funes conhecidas de(x, y, z). A incgnita aserdescritadefinidacomousendodependentede(x, y, z)edotempot.Para solucionar este problema de forma exata necessrio conhecer as con-dies de contorno essenciais e naturais em toda a fronteira e as condiesiniciais. Destaca-se que apenas para problemas 3D simples possvel descre-ver uma soluo exata para a eq. (5.1). Para os problemas unidimensionais,normalmente a soluo exata facilmente obtida.O mtodo de Galerkin pode ser aplicado nesta equao a partir da propo-sio de uma funo para interpolaru em funo de valores conhecidos nosns. No prximo captulo isto ser detalhado para problemas tridimensionaisa forma geral considerando apenas a parte esttica. Podemos adiantar queaaplicaodomtododeaproximaodeGalerkinnaequaodiferencialparcial 3DirenvolveroresultadodoteoremadeGreen-Gauss, vistonocaptulo 2 deste texto.Aqui iremos omitir bastante passagens e concentraremos apenas no resul-tado nal. Para um problema