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Enunciado � IBGE/2010 � CESGRANRIO

52. Considere um processo Zt estacionário. A função de autocovariância γkde�nida por γk = cov{Zt, Zt+k}, t e k ∈ R satisfaz as seguintes propriedades:

(A) γ0 > 0; γk = −γk; |γk| ≥ γ0

(B) γ0 > 0; γ−k = γk; |γk| ≤ γ0

(C) γ0 = 0; γ−k = γk; |γk| ≤ γ0

(D) γ0 > γk; γ−k < γk; |γk| ≤ γ0

(E) γ0 > γk; γ−k = −γk; γk ≤ γ0

RESOLUÇÃOI Veja que

γk = Cov {Zt, Zt+k}γk = E [(Zt − µ)(Zt+k − µ)]⇒ γk = E(ZtZt+k)

Temos que µ = 0. Para k = 0, segue-se que

γ0 = Cov{Zt, Zt} = E(Z2t ) = V ar(Zt) = σ2 > 0

γ0 > 0

Colocando a origem dos tempos em t+ k, podemos escrever:

γk = Cov{Zt+k, Zt} = Cov {Zt, Zt+k}γk = Cov{Zt+k, Zt+k+(−k)} = γ−k

γk = γ−k

RESOLUÇÃO

I Note que essas informações já apontam para o item (B) como gabarito. Vamos

demonstrar a teceira propriedade do item (B).

E[(Xt+k ±Xt)2] = E[(X2

t+k ± 2Xt+kXt +X2t ] ≥ 0

= E[X2t+k]± E[2Xt+kXt] + E[X2

t ] ≥ 0

Podemos reescrever a desiguadade acima:

σ2 ± 2γk + σ2 ≥ 0⇒ 2σ2 ± 2γk ≥ 0

Logo

±γk ≥ −σ2 ⇒

{γk ≥ σ2

−γk ≥ −σ2⇒ −σ2 ≤ γk ≤ σ2

|γk| ≤ γ0

GABARITO � IBGE/2010 � CESGRANRIO

52. Considere um processo Zt estacionário. A função de autocovariância γkde�nida por γk = cov{Zt, Zt+k}, t e k ∈ R satisfaz as seguintes propriedades:

(A) γ0 > 0; γk = −γk; |γk| ≥ γ0

(B) γ0 > 0; γ−k = γk; |γk| ≤ γ0

(C) γ0 = 0; γ−k = γk; |γk| ≤ γ0

(D) γ0 > γk; γ−k < γk; |γk| ≤ γ0

(E) γ0 > γk; γ−k = −γk; γk ≤ γ0