ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE UMA CASA LOTÉRICA...

ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE

UMA CASA LOTÉRICA ATRAVÉS DA

SIMULAÇÃO E TEORIA DAS FILAS

Matheus Barbosa Silva (UEPA )

[email protected]

REIDSON DUARTE SANTOS (UEPA )

[email protected]

Victor Rodrigues Matos (UEPA )

[email protected]

Alex Fagundes Brito (UEPA )

[email protected]

Este artigo consiste em fazer uma análise do sistema de filas de uma

casa lotérica, através de duas ferramentas da Pesquisa Operacional:

simulação e teoria das filas, também com o intuito de fazer um

comparativo entre ambas. A estratégia dee pesquisa adotada foi a de

visita in loco para coleta de dados e em seguida o tratamento dos

mesmos, com o auxílio de softwares. O estudo mostrou qual ferramenta

é a mais eficaz para análise de um sistema de filas. Concluiu-se que a

simulação é a melhor escolha para se obter uma análise mais

minuciosa, e conseguir melhorias no atendimento.

Palavras-chave: Pesquisa Operacional, simulação, teoria das filas

XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil

João Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016.


João_Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016. .

2

1. Introdução

Há milhares de anos, os índios tinham como estratégia de guerra a formação de filas em suas

caminhadas pela floresta, onde cada um pisava na pegada daquele que estava a sua frente para

que o último apagasse seus próprios passos e os de todo grupo, dessa forma não deixavam

vestígios para o inimigo. Tal hábito deu origem à expressão “fila indiana”.

Atualmente as filas são muito utilizadas para prestação de serviços, formando assim um

sistema que busca melhorar o atendimento. De acordo com Prado (1999), o estudo das filas se

iniciou em 1908 com uma abordagem matemática. A partir do advento do computador na

década de 50, a modelagem de fila pôde ser analisada através da simulação, que consiste em

processo que permite a obtenção de conclusões sobre o desempenho de um sistema, com a

tentativa de imitar o funcionamento do sistema real por meio de um modelo.

Segundo Andrade (2000), outro método utilizado para tratar de problemas de

congestionamento de sistemas, onde clientes solicitam serviços, é o da teoria das filas. A

teoria das filas tem como objetivo encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e

que ao mesmo tempo seja viável economicamente para o provedor do serviço.

O presente artigo tem como finalidade analisar o sistema de filas de uma agência lotérica,

utilizando as ferramentas citadas anteriormente, e comparar seus resultados. A agência

escolhida para análise se localiza no Pará, no município de Marabá, Bairro Nova Marabá, está

no mercado há 4 anos, possui 3 guichês de atendimento e 4 funcionários.

2. Referencial teórico

2.1 Teoria das filas

Segundo Taha (2008) o estudo de filas trata-se do processo de quantificação do tempo de

espera em uma fila de um determinado sistema, sendo o seu principal objetivo reduzir os

tempos de espera e custos inerentes ao mesmo. Prado (1999) diz que, além disso, a teoria das

filas permite com que seja feito o estudo para que se encontre o melhor arranjo do layout do

sistema de atendimento.

Taha (2008) afirma: “Os principais protagonistas de uma situação de fila são o cliente e o

servidor”. Tal afirmação deve-se em função de que o cliente é gerado por uma fonte



3

(população) e ao sair dela é direcionado a alguma instalação de serviço (servidor), que poderá

ser atendido no momento de sua chegada se não houver uma fila na instalação, ou caso

contrário não.

Ao utilizar a teoria de filas, podem-se tomar decisões sobre a fila de espera, levando a uma

melhor produtividade (MARSUDI; SHAFEEK, 2014).

Prado (1999) diz que o intervalo médio de chegada de clientes ao sistema é: ·,onde IC

é intervalo de chegada dos clientes à fila, o λ é o ritmo com que os mesmos chegam. O tempo

médio de atendimento (TA) é descrito por em que µ é o ritmo de atendimento do

serviço prestado.

2.1.1 Características de uma fila

Algumas características são essenciais e determinantes para o bom funcionamento de uma

fila. Os componentes são:

a) Processo de chegada: é um processo estocástico que se desenvolve no tempo e no

espaço, de acordo com a lei da probabilidade. Assim, é preciso conhecer qual a

distribuição de probabilidade que descreve o tempo entre as chegadas. As mais

utilizadas são a de Poisson, Erlang, hiperexponencial, e arbitrária;

b) Distribuição do tempo de serviço: assim como no processo de chegada, também

necessita de uma distribuição de probabilidade do tempo de serviço. De acordo com

Andrade (2000) o tempo de atendimento pode ser: regular, onde a duração de todos os

atendimentos é a mesma, ou aleatória, na qual cada cliente necessita de um tempo

próprio de atendimento, sendo esta situação mais comum.

c) Disciplina da fila: descreve a maneira que os clientes deixam a fila para serem

atendidos. A disciplina mais como é o FIFO (First In, First Out), onde o primeiro a

entrar é o primeiro a sair. Também é utilizado o LCFS (Last Come, First Served), em

que o último a chegar é o primeiro a ser atendido, além de disciplinas que contam com

prioridade no atendimento.

d) Número de servidores: aponta a quantidade de pontos de atendimento do sistema que

podem servir os clientes paralelamente. Se o sistema possuir mais de um servidor, são

duas as situações possíveis: um sistema de fila única para todos os servidores



4

(exemplo: serviços bancários) ou um de múltiplas filas, no qual cada fila é destinada a

um servidor (exemplo: caixas de supermercado).

e) População: número de clientes que podem chegar ao sistema de filas. Teixeira (2004)

diz que o tamanho da população pode ser finita ou infinita.

f) Capacidade do sistema: indica o número máximo de clientes que o sistema pode

atender, sendo finita ou infinta. Caso seja finita, quando o sistema estiver lotado

nenhum cliente pode entrar até que algum outro saia.

2.1.2 Notação de Kendall

Segundo Ferreira Filho (2007), em 1953, D. G. Kendall criou uma notação para sistemas de

filas que é hoje amplamente utilizada. Essa notação consiste na forma A/S/m/B/K/SD, onde:

A (Arrival Process): descreve a distribuição do tempo entre chegadas

S(Service Time Distribution): a distribuição do tempo de serviço;

m: o número de servidores;

B (Buffer): a capacidade total de usuários no sistema;

SD (Service Discipline): a disciplina de atendimento.

2.1.3 Modelos de filas

Utilizando a notação de Kendall é possível determinar diversos modelos de fila, sendo que

para cada uma das características existem vários valores. Segue a representações mais comuns

para as distribuições:

M: distribuição Markoviana, Exponencial ou Poisson;

Ek: distribuição de Erlang com parâmetro K;

Hk: distribuição Hiperexponencial com parâmetro K;

D: distribuição Determinística;

G: distribuição Genérica.

Como exemplos de modelo, pode-se citar o M/M/1, onde se caracteriza sistema constituído

por fila única sendo atendida por um servidor e M/M/c, o qual tem mais de um servidor

também atendido por fila única.



5

2.2 Simulação de Monte Carlo

De acordo com Chwif (2015) a palavra simulação possui diversos significados em que a

maioria exprime que “simulação é o ato de representar algo”, que pode ser classificada em

computacional (necessita de um computador ou software para ser realizada) ou não

computacional (a representação não é realizada por um computador). Em pesquisa

operacional utiliza-se, geralmente, a simulação computacional onde são realizados vários

testes em busca da otimização de determinado sistema.

A simulação computacional classifica-se em diversos tipos, sendo uma delas é a Simulação de

Monte Carlo (SMC). Segundo Gujarati (2002) a técnica baseia-se eno uso de números

aleatórios e probabilidades para a solução de problemas. O nome Monte Carlo surgiu de um

Cassino localizado em Mónaco, o método foi criado por Von Neumann para solucionar

problemas de física nuclear em 1944, e foi utilizado no projeto Manhattan na criação da

bomba atômica.

Para Lustosa et al. (2004), a simulação de Monte Carlo trata-se de um método que “utiliza a

geração de números aleatórios para atribuir valores às variáveis do sistema que se deseja

investigar”. Os números são obtidos por meio de artifícios aleatórios (ex: tabelas, roletas,

sorteios) ou diretamente de softwares, através de funções específicas.

A cada iteração, o resultado é armazenado e, ao final de todas as iterações, a sequência de

resultados gerados é transformada em uma distribuição de frequência que possibilita calcular

estatísticas descritivas, como média, valor mínimo, valor máximo e desvio-padrão, cabendo

ainda ao executor das simulações a prerrogativa de projetar cenários futuros de operação do

sistema em análise.

A Simulação de Monte Carlo tem aplicações em problemas de tomada de decisão que envolve

risco e incerteza, ou seja, situações nas quais o comportamento das variáveis envolvidas com

o problema não é de natureza determinística. Para executar a SMC e necessário seguir os

seguintes passos:

Definir as variáveis envolvidas no sistema em análise com base em dados passados ou

em estimativas subjetivas dos administradores;

Construir as distribuições de frequência (absoluta, relativa e acumulada) para cada

uma das variáveis definidas;



6

Definir, para cada variável considerada, os intervalos de classe (de incidência dos

números aleatórios) com base nas distribuições de frequência acumulada projetadas;

Gerar números aleatórios;

Incidir números aleatórios gerados nos intervalos de classe de cada variável;

Simular os experimentos.

Para se obter uma correta execução da SMS, Lustosa et al. (2004) apontam que a simulação

deve ser repetida mais de cem vezes para que se tenha uma amostra significativa. Porém, não

há determinação quanto ao número máximo de simulações que devem ser feitas.

2.2.1 Teste Qui-quadrado

Conti (2009) afirma que Qui-quadrado é um teste de hipóteses que busca encontrar um valor de

dispersão para duas variáveis nominais, associado a variáveis qualitativas, que não depende de

parâmetros populacionais, como variância e média.

O principio deste método é comparar proporções, ou seja, possíveis discrepâncias entre as

frequências observadas e aguardadas em um determinado evento. O teste tem como finalidade

testar a adequabilidade de um modelo probabilístico a um conjunto de dados observados.

Esse recurso busca avaliar erros aleatórios, partindo de uma hipótese de nulidade (H0), que é o

que ocorre na população, por uma de não nulidade (H1) que é formulada por um estudo,

definido a partir do nível de significância (α) e da quantidade de graus livres.

Supondo que se observou um conjunto de eventos possíveis (E1, E2,..., En) que ocorreram em

determinadas frequências (fo1, fo2,..., fon), chamadas de frequências observadas, e que podem

ser comparadas às frequências esperadas ou teóricas (fe1, fe2..., fen) procedentes de modelos de

probabilidade. Assim para resolver tal questão é utilizado o teste qui-quadrado, que indicará o

quanto a frequência observada se aproxima da esperada.

De acordo com Spiegel (1981), a medida de discrepância entre as frequências observadas e as

esperadas pode ser atribuída pela estatística (qui-quadrado), que é obtida pela seguinte

equação:



7

Se = 0, as frequências observadas e esperadas são iguais.

Se > 0, quanto maior o valor, maior será a discrepância.

3. Metodologia

A pesquisa está classificada em quantitativa e qualitativa, segundo Prodanov e Freitas (2013)

uma pesquisa quantitativa é aquela que tudo pode ser quantizado buscando a relação causa-

efeito do fenômeno analisado, quanto que a pesquisa qualitativa não necessita de uso de dados

quantizados, mas apenas da análise da relação do mundo real com o sujeito, sendo os dados

analisados de forma indutiva pelo pesquisador.

Para o desenvolvimento deste estudo utilizou-se conhecimentos de pesquisa operacional sobre

teoria das filas. As informações contidas neste trabalho foram coletadas por meio de um

levantamento de campo realizado numa agência lotérica.

Realizou-se a análise do tempo de atendimento dos caixas e o intervalo de chegada de cliente

novos na fila, com o intuito de conhecer o potencial de um operador de caixa e do fluxo de

pessoas naquele local para que somente assim seja possível auxiliar no processo de

gerenciamento do controle e propor melhorias no atendimento.

O processo se concentrou na cronometragem do tempo de atendimento em que um cliente

passava em atendimento no caixa da lotérica, essa análise do tempo para se obter um cálculo

cada vez mais preciso só e possível mediante a coleta de no mínimo 50 amostras de tempos,

sendo assim, neste trabalho foram coletadas 65 amostragens para estudo.

Simultaneamente foram coletadas 65 amostragens de tempo em que chegavam novos clientes

na fila da agência. Essa análise consistiu em saber o intervalo de tempo da última pessoa na

fila até a chegada de um novo cliente na fila, para que fosse possível efetuar o tratamento dos

dados para o trabalho.

Todas essas analises de tempo, somente foram possíveis e seguras mediante ao uso de um

cronometro de mão, o que possibilita o mínimo possível de erros na coleta de cada

amostragem de tempo.



8

Em seguida, foi feito o tratamento de dados para execução do teste qui-quadrado e simulação.

O tratamento foi realizado com o auxílio dos programas R, RStudio, e Excel.

4. Resultados

4.1 Gráficos de Dispersão

Depois de efetuada a coletada dos dados, foi utilizado o software Excel para tratar os mesmos

com a finalidade de verificar como estavam dispersos os tempos de atendimento da fila (TA)

quanto do intervalo de chegada de clientes (IC) ao sistema, para tal adotou-se como critério de

exclusão o percentil de 95%. Abaixo segue gráficos antes da exclusão dos pontos que estão

acima da linha limite de dispersão representada na cor laranja sendo que tal linha é o percentil

de 95 %, ela mostra que todos os elementos que estão abaixo da linha (reta) estão dentro da

média de dispersão e o que está acima deve ser excluído.

Gráfico 1 – Intervalo de chegada de clientes (IC)

Gráfico 2 – Tempo de atendimento (TA)



9

No gráfico 1 foram excluídos os 3 pontos acima da linha que possuem os seguintes valores:

3,82 minutos; 5,25 minutos; e 4,87 minutos. No gráfico 2 os três pontos acima da linha com

valores de 5,57 minutos; 5,78 minutos; e 6,18 minutos.

4.2 Tabelas de frequência e histograma

A partir da exclusão de tais pontos montou-se uma tabela de frequência relativa para o

intervalo de chegada (IC) e uma para o tempo de atendimento (TA), em que foi considerada

cinco classes de intervalo para ambas as tabelas.

Tabela 1 – Intervalo de chegada

Tabela 2 – Tempo de atendimento



10

Na tabela 1(intervalo de chegada) o tamanho do intervalo entre classes foi de 0,50 minutos,

onde o valor mínimo de todos os elementos analisados referentes ao intervalo de chegada foi

de 0,02 minutos e máximo de 2,50 minutos, sendo o intervalo que mais possui frequência é o

número 1 (0,02 – 0,52) com taxa de frequência de 44 %. Na tabela 2 (tempo de atendimento)

o tamanho do intervalo de classes foi de 0,75 minutos em que o menor valor de todos os

elementos analisados foi correspondente a 0,17 minutos e e o maior de 3,93 minutos. A classe

que mais se repetiu foi a de número 2, com taxa de frequência de 35%. Abaixo se encontra os

respectivos histogramas de IC e TA.

Gráfico 3 – Intervalo de chegada (IC)

Gráfico 4 – Tempo de atendimento (TA)



11

Através dos histogramas tanto para o intervalo de chegada de clientes como para o tempo de

atendimento é possível definir a possível distribuição que cada um possui. No caso do

histograma de IC (intervalo de chegada) percebe-se que a possível distribuição que deve ser

utilizada é exponencial e no histograma de TA (tempo de atendimento) a distribuição de

Poisson, no entanto faz-se necessário realizar o teste aderência.

4.3 Teste de aderência

Para se montar o teste de aderência, que tem como objetivo definir como os dados estão

distribuídos estatisticamente optou-se por usar a classificação do teste Qui – Quadrado, pois o

mesmo não depende de parâmetros populacionais como variância e média, onde se utilizou o

nível de significância de 5%, com base nisso foi calculado no Crystal Ball o teste de

aderência, em que se adotou duas hipóteses para o P- valor:

H0 (Hipótese de nulidade) – a frequência verificada não possui diferenças significativas em

relação as esperadas.

HA (Hipótese de não nulidade) – as frequências verificadas possuem diferenças em relação às

esperadas.

Após ter sido executado o teste foi gerado pelo Crystal Ball os gráficos abaixo para IC e TA

com seus respectivos valores para P-valor nas figuras 1 e 2.

Gráfico 5 – Intervalo de chegada



12

Figura 1 – Intervalo de chegada – P valor

Conforme pode ser verificado no gráfico 5 e na figura 1 referente aos dados de P- valor ,

sendo o mesmo 0.144, o intervalo de chegada assume a hipótese de H0, pois a frequência

verificada não possui diferença em relação as frequências esperadas, logo é válido adotar a

distribuição exponencial para IC, pois o valor da taxa da exponencial também é igual a 1,47

minutos em relação ao ritmo de chegada.



13

Gráfico 6 - Tempo de atendimento

Figura 2 – Tempo de atendimento – P valor

Quanto ao gráfico 6 e a figura 2 do P valor que igual a 0,003 referente ao tempo de

atendimento, assume a hipótese de HA na qual diz que os valores observados (verificados)

são diferentes dos esperados, em função disso a distribuição exponencial não é adequada para

o tempo de atendimento, pois o ritmo de atendimento esperado não é o mesmo., no entanto

para fins didáticos será adotado que a distribuição exponencial atende ao TA.



14

4.4 Simulação

Após definir o modelo de distribuição como também os ritmos: atendimento 1,96 clientes por

minuto e chegada de clientes como 1,47 clientes por minuto, foi gerado através do cristal ball

1000 números aleatórios, que foram inseridos no R para que fosse realizado a simulação de

Monte Carlo, que resultou nos dados abaixo em que se compara a teoria das filas com a

simulação de Monte Carlo.

Tabela 3 – Comparação entre teoria das filas e simulação

A partir da tabela acima, nota-se que nenhum dos dados entre a teoria das filas e os dados por

simulação são iguais, isso é devido à teoria das filas ser baseada em médias, que dessa forma

não oferece uma margem de desvio seguro, pois tende a superotimizar o problema. Quanto a

simulação ela baseia-se na geração de números aleatórios que no qual possuem uma margem

de segurança maior que o da teoria das filas que permite assim analisar o problema de forma

mais próxima do modelo real.

5. Conclusões

Com base nos dados deste trabalho, pode-se concluir que quando se busca apenas analisar

uma fila de um sistema qualquer, há necessidade de não apenas entender, mas também de

melhorar o próprio sistema, o uso da simulação é a melhor escolha para isso, pois através dela

é possível alterar o ritmo do sistema e projetar diversos cenários futuros para o mesmo.



15

Um problema que ocorre com a teoria das filas é que a mesma baseia-se em um calculo sobre

médias e isso faz com que a margem de erro possa ser alta, fazendo com que o sistema seja

superotimizado, refletindo assim um problema quando se tenta melhorar o mesmo, devido a

uma grande possibilidade de erro.

Sugere-se como tema para trabalhos futuros, a proporção em que um mal arranjo de layout

interfere no sistema de fila e como o tempo de atendimento de uma fila pode influenciar no

faturamento de uma empresa.

Referências

ANDRADE, E L. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. 2. Ed.

Rio de Janeiro: LTC, 2000.

CHWIF, L.; MEDINA, A. Modelagem e Simulação de Eventos Discretos: Teoria & Aplicações. São Paulo:

Editora dos Autores, 2006.

CONTI, FÁTIMA - Muitas Dicas. Disponível em <http://www.cultura.ufpa.br/dicas/> Acesso em: 29 de agosto

de 2015. Laboratório de Informática - ICB – UFPA

FERREIRA FILHO, JOSÉ MARTINS. Processos Estocásticos e Teoria das Filas. Disponível em:

<http://www.iceb.ufop.br/deest/p3f1l_d3p4rt4m3nt03st/arquivos/0.661335001390983227.pdf> Acesso em: 28

de agosto de 2015.

GUJARATI, D.N. Econometria básica. 3ª edição. São Paulo: Makron Books, 2002.

LUSTOSA, P. R. B.; PONTE, V. M. R.; DOMINAS, W. R. Simulação. In: CORRAR, L. J.; THEÒPHILO, C.

R. (Org.). Pesquisa Operacional para decisão em contabilidade e administração. São Paulo: Atlas, 2004.

MARSUDI, M.; SHAFEEK, H. The Application of Queuing Theory in Multi-Stage Production Line.

Proceedings of the 2014 International Conference on Industrial Engineering and Operations Management. Bali,

Indonesia, January, 2014.

PRADO, D. S. Teoria das Filas e da Simulação. Belo Horizonte, MG: Editora de Desenvolvimento Gerencial.

Série Pesquisa Operacional, Vol. 2, 1999.

PRODANOV, C. C.; FREITAS E.C. Metodologia do Trabalho Científico: métodos e técnicas da pesquisa e

do trabalho acadêmico [livro eletrônico]. 2. Ed. Novo Hamburgo, 2013.277p. Disponível em

<http://feevale.br/cultura/metodologia-do-trabalho-cientifico---2edicao>. Acesso em: 28 de Julho de 2015.

SPIEGEL, M.R. Estatística. São Paulo: Mc Graw Hill, 1981.

TAHA,HAMDY A. Pesquisa Operacional: uma visão geral – 8 . ed – São Paulo : Pearson Prentice Hall, 2008.



16

TEIXEIRA, M.M. Introdução à Teoria das Filas. Disponível em:

<http://www.ceset.unicamp.br/~marlih/ST565/intro-filas.pdf>. Acesso em: 29 de Agosto de 2015.

ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE UMA CASA LOTÉRICA...

Documents

Transcript of ANÁLISE DO SISTEMA DE FILAS DE UMA CASA LOTÉRICA...