Análise Discriminante
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Análise Discriminante
Carlos A. A. Varella
ANÁLISE MULTIVARIADA APLICADA AS CIÊNCIAS AGRÁRIASPÓS-GRADUAÇÃO EM AGRONOMIA CIÊNCIA DO SOLO: CPGA-CS
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Análise Discriminante Segundo KHATTREE & NAIK (2000) é uma
técnica da estatística multivariada que estuda a separação de objetos de uma população em duas ou mais classes.
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A discriminação ou separação é a primeira etapa, sendo a parte exploratória da análise e consiste em se procurar características capazes de serem utilizadas para alocar objetos em diferentes grupos previamente definidos.
Discriminação
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A classificação ou alocação pode ser definida como um conjunto de regras que serão usadas para alocar novos objetos (JOHNSON & WICHERN, 1999).
Classificação
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A função que separa objetos pode também servir para alocar, e, o inverso, regras que alocam objetos podem ser usadas para separar.
Normalmente, discriminação e classificação se sobrepõem na análise, e a distinção entre separação e alocação é confusa.
Confusão
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Segundo REGAZZI (2000), o problema da discriminação entre dois ou mais grupos, visando posterior classificação, foi inicialmente abordado por Fisher (1936).
Funções matemáticas capazes de classificar um indivíduo X em uma de várias populações i;
Com base em medidas de um número p de características, buscando minimizar a probabilidade de má classificação, isto é, minimizar a probabilidade de classificar erroneamente um indivíduo em uma população i, quando realmente pertence a população j.
Fisher, 1936
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Regiões de alocação são conjunto de valores separados por uma fronteira definida por uma função discriminante qualquer.
Regiões de alocação
Função Linear Função Quadrática
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Funções discriminantes podem ser modelos estatísticos, de redes neurais ou lógica fuzzy.
Os parâmetros são ajustados a partir de amostras de treinamento.
O modelo de Fisher é estatístico.
Funções discriminantes
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Uma boa regra de classificação deve resultar em pequenos erros;
Deve haver pouca probabilidade de má classificação;
Segundo JOHNSON & WICHERN (1999) para que isso ocorra a regra de classificação deve considerar as probabilidades a priori e os custos de má classificação.
Regras de classificação
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As regras de classificação devem considerar se as variâncias das populações são iguais ou não;
Quando as variâncias são iguais as funções discriminantes são lineares;
Quando são diferentes as funções discriminantes são quadráticas;
Redes neurais e lógica fuzzy geram planos não-lineares de separação.
Regras de classificação
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É uma combinação linear de características originais que se caracteriza por produzir separação máxima entre duas populações
Função discriminante linear de Fisher
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Demonstra-se que a função linear do vetor aleatório X que produz separação máxima entre duas populações é dada por:
Função discriminante linear de Fisher
XXLXD 121
''
L = vetor discriminante; X = vetor aleatório de características das populações; = vetor de médias p-variado; = matriz comum de covariâncias das populações 1 e 2;
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O valor da função discriminante de Fisher para uma dada observação é:
Função discriminante linear de Fisher
oo xxD 121
'
O ponto médio entre as duas médias populacionais univariadas µ1 e µ1 é:
211
21'
21 m
2121 DDm
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A regra de classificação baseada na função discriminante de Fisher é:
Função discriminante linear de Fisher
Alocar ox em 1 se mxxD oo ³ 121
'
Alocar ox em 2 se mxxD oo < 121
'
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Assumimos que as populações 1 e 2 têm a mesma matriz de covariâncias .
Matriz comum de covariâncias Sc
221
21
21
1
111
111 S
nnnS
nnnSc
cS1n2n1S2S
cS = estimativa da matriz comum de covariâncias ;
1n = número de observações da população 1;
2n = número de observações da população 2;
1S = estimativa matriz de covariâncias da população 1;
2S = estimativa matriz de covariâncias da população 2;
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É obtida substituindo-se os parâmetros µ1, µ2 e pelas respectivas quantidades amostrais:
A função discriminante linear amostral de Fisher
1x 2x cS xSxxxLxD c 1
21'ˆ '
xD = função discriminante linear amostral de Fisher;
'L̂ = estimativa do vetor disriminante;
1x = média amostral da população 1;
2x = média amostral da população 2.
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Vamos considerar os dados de duas raças de insetos (Quadro 1), apresentados por HOEL (1966) e citado por REGAZZI (2000).
Exemplo de aplicação
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Raça A Raça B
X1 X2 X1 X2
6,36 5,24 6,00 4,88
5,92 5,12 5,60 4,64
5,92 5,36 5,64 4,96
6,44 5,64 5,76 4,80
6,40 5,16 5,96 5,08
6,56 5,56 5,72 5,04
6,64 5,36 5,64 4,96
6,68 4,96 5,44 4,88
6,72 5,48 5,04 4,44
6,76 5,60 4,56 4,04
6,72 5,08 5,48 4,20
5,76 4,80
Exemplo de aplicaçãoNúmero médio de cerdas primordiais (X1) e número médio decerdas distais (X2) em duas raças de insetos
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Raça A, características 1 e 2
Estimativa das médias das raças A e B
32364,546545,6
2
1
A
AA x
x
Raça B, características 1 e 2
72667,455000,5
2
1
B
BB x
x
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Raça A
Estimativa das variâncias das raças A e B
Raça B
052625,0011258,0011258,0091287,0
AS
111661,0107418,0107418,0160327,0
BS
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Assumindo-se que:
Matriz comum de covariâncias Sc
BA
221
1 11112
112111111 S
nnSSc
08354,006162,006162,012745,0
cS
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A matriz inversa é calculada com MATLAB Função: inv(sc)
A inversa de Sc
604583,18995464,8995964,81960015,121
cS
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O vetor discriminante é dado por:
Vetor discriminante
1''ˆ CBA SXXL
59697,091545,0
72667,455000,5
32364,546545,6
BA XX
59697,091545,0' BA XX
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Vetor discriminante
6004583,18995464,8995964.81960015,12
59697,091545,0
''ˆ 1CBA SXXL
604583,18995464,8995964,81960015,121
cS
871023,2794819,5''ˆ 1 CBA SXXL
871023,2794819,5'ˆ L
�̂�′=[ 5,794819 2,871023 ]
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Função discriminante
XLXD 'ˆ
𝐷 ( 𝑋 )= [5,794819 2,871023 ] ∙ [𝑋 1
𝑋 2]𝐷 ( 𝑋 )=5,794819 ∙ 𝑋 12,871023 ∙ 𝑋 2
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Ponto médio da Raça A
Classificação de novos indivíduos
BA xDxDm 21ˆ
32364,546545,6
871023,2794819,5ˆ 'AA xLxD
750405,52AxD
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Ponto médio da Raça B
Classificação de novos indivíduos
72667,455000,5
871023,2794819,5ˆ 'BB xLxD
731624,45BxD
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Ponto médio das populações
Classificação de novos indivíduos
241,49731624,45750405,5221ˆ m
241,49ˆ m
![Page 29: Análise Discriminante](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062814/5681674d550346895ddbfe5c/html5/thumbnails/29.jpg)
Tendo-se um novo indivíduo Xo. Alocar em Raça A se
Regra de classificação
241,49³oxD
Alocar em Raça B se
241,49<oxD
241,49ˆ m
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Opção pool=no|test|yesProcedimento PROC DISCRIMDetermina se será usada a matriz comum
ou não na análise discriminante. Se for pool=yes, o SAS usa a matriz comum para calcular as distâncias entre grupos e o resultado é uma função discriminante linear. Se pool=no, o SAS usa as matrizes de covariância de cada grupo individualmente para o cálculo das distâncias. Neste caso obtemos funções discriminantes quadráticas. O padrão do SAS é POOL=YES.
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Prática: resolver o exercício anterior usando o SAShttp://v8doc.sas.com/sashtml/