ANÁLISE DINÂMICA DE UMA TORRE METÁLICA DE … · O cálculo do carregamento vento sobre...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

CLAUDIA SLONGO

ANÁLISE DINÂMICA DE UMA TORRE METÁLICA DE TELECOMUNICAÇÕES

UTILIZANDO O MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO

CURITIBA

2016

CLAUDIA SLONGO

ANÁLISE DINÂMICA DE UMA TORRE METÁLICA DE TELECOMUNICAÇÕES

UTILIZANDO O MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO

Trabalho Final de Curso apresentado como

requisito parcial à obtenção de graduação no Curso

de Engenharia Civil, Setor de Tecnologia da

Universidade Federal do Paraná.

Orientador: Prof. Dr. Marcos Arndt

CURITIBA

2016

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Marcos Arndt, por sua disponibilidade, interesse e atenção na orientação.

Em especial, por sua paciência por sempre esclarecer minhas dúvidas e pela disposição do

modelo, tornando possível a realização deste trabalho.

Ao Professor Marco André Argenta, por seu auxílio e por me introduzir ao Método

dos Elementos Finitos desde o começo de minha graduação.

Aos meus antigos colegas da Linde Engineering Dresden GmbH, os quais me

cativaram em investigar sobre o carregamento de vento e seus efeitos em estruturas metálicas

esbeltas.

Aos meus amigos Alessandra Costa Gosch e Guilherme Augusto Netto, pela

motivação e incansável apoio.

A Willian Lepinksi, pelo companheirismo e carinho que sempre me fizeram tão bem.

A todos, muito obrigada!

Sopra o vento, sopra o vento,

Sopra alto o vento lá fora;

Mas também meu pensamento

Tem um vento que o devora.

Fernando Pessoa

RESUMO

Dentre os desafios encontrados na engenharia de estruturas destaca-se a dificuldade de

determinação de carregamentos variantes no tempo, na direção e no sentido, como por

exemplo, o carregamento do vento. O cálculo do carregamento vento sobre estruturas pode ser

feito por vários procedimentos. Além na NBR 6123/1988, há métodos não normativos para a

determinação do carregamento do vento, como o Método do Vento Sintético, desenvolvido

por Franco (1993) e utilizado neste trabalho. O Método do Vento Sintético se diferencia do

método normativo por considerar o carregamento do vento como dinâmico, ou seja, variando

sua intensidade ao longo do tempo. Neste trabalho, uma torre metálica de telecomunicações

foi estudada e uma comparação dos deslocamentos no topo da torre, das reações de apoio e

dos esforços máximos nas barras foi feita entre os resultados obtidos neste trabalho - pelo

Método do Vento Sintético - e os resultados realizados por Bortolan Neto (2002), que fez

análise estática sugerida pela norma NBR 6123/1988 na mesma torre. Averiguou-se que, para

a estrutura de estudo, os resultados (deslocamentos máximos, reação de apoio e esforços

máximos nas barras) obtidos pelo Método do Vento Sintético foram inferiores aos obtidos por

Bortolan Neto (2002), pois o objeto de estudo possui períodos de vibrações naturais inferiores

a um segundo. Logo, a análise estática pode ser utilizada para dimensionar a estrutura em

estudo, de forma a simplificar o procedimento da determinação dos carregamentos.

Palavras-chave: Método do Vento Sintético. Análise dinâmica. Carregamento de vento. Torre

de telecomunicação.

ABSTRACT

Among the structural engineering challenges, the difficulty to determinate time-variant

loadings stands out, such as the wind loading. There are many ways to calculate the wind

loadings on structures. In addition to the Brazilian standard NBR 6123/1988, there are others

non-standard methods to determinate the wind loading on structures. One of them is the

Synthetic Wind Method developed by Franco (1993), which is applied in this work. The

Synthetic Wind Method is different from methods suggested by the Brazilian standard,

because it considerate the wind loading as a dynamic one, i.e. a time-variant loading. In this

work, a metallic telecommunication tower was studied and a comparison of its displacement

values, as well as its axial internal forces and support reactions, was made between the results

obtained by the Synthetic Wind Method and the results obtained by Bortolan Neto (2002),

who made a static wind analysis according to the Brazilian standard in the same tower. The

results (displacement, axial internal forces and support reactions) obtained by the Synthetic

Wind Method were fewer than the results of Bortolan Neto (2002), because the tower has a

natural period of frequency less than one second. Therefore the static analysis suggested by

the NBR 6123/1988 can be used to design this tower, in order to simplify the wind loading

determination.

Keywords: Synthetic Wind Method. Dynamic analysis. Wind loading. Telecommunication

tower

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – GUSTAV EIFFEL E SEU COLEGA NA FRENTE DO TÚNEL DE VENTO

DE CHAMPS-DE-MARS ........................................................................................................ 19

FIGURA 2 - MAPA DAS ISOPLETAS .................................................................................. 27

FIGURA 3 – PARÂMETROS b, p E Fr .................................................................................. 30

FIGURA 4 - COEFICIENTE DE ARRASTO PARA TORRES RETICULADAS DE SEÇÃO

TRIANGULAR EQUILÁTERA FORMADAS POR BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR –

VENTO EM QUALQUER DIREÇÃO .................................................................................... 32


QUADRADA FORMADAS POR BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR – VENTO INCIDIDO

PERPENDICULARMENTE ÀS DUAS FACES PARALELAS ............................................ 33


QUADRADA FORMADAS POR BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR – VENTO

INCIDINDO SEGUNDO UMA DIAGONAL......................................................................... 33


QUADRADA E TRIANGULAR EQUILÁTERA, FORMADAS POR BARRAS

PRISMÁTICAS DE CANTOS VIVOS OU LEVEMENTE ARRENDONDADOS .............. 34

FIGURA 8 - FATOR DE PROTEÇÃO PARA DOIS OU MAIS RETICULADOS PLANOS

PARALELOS IGUALMENTE AFASTADOS ....................................................................... 35

FIGURA 9 – MODELO DISCRETO ....................................................................................... 39

FIGURA 10 - FOTOGRAFIA DO CENU: CENTRO EMPRESARIAL DAS NAÇÕES

UNIDAS EM SÃO PAULO ..................................................................................................... 44

FIGURA 11 - CURVAS UNIVERSAIS DO ESPECTRO DE POTÊNCIA LONGITUDINAL

DE DAVENPORT, HARRIS, VON KÁRMÁN, KAIMAL E OUTROS ............................... 48

FIGURA 12 - RAJADAS EQUIVALENTES .......................................................................... 52

FIGURA 13 - FLUXOGRAMA DO MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO ........................... 55

FIGURA 14 – PERFIL DA TORRE ........................................................................................ 59

FIGURA 15 - DIVISÃO DOS MÓDULOS DA TORRE EM QUESTÃO CONFORME

BORTOLAN NETO (2002) ..................................................................................................... 61

FIGURA 16 - LOCALIZAÇÃO DOS NÓS 40, 46 E 47 ......................................................... 67

FIGURA 17 - DIREÇÃO DO VENTO CONSIDERADA ...................................................... 70

FIGURA 18 - VÉRTICES DA TORRE ................................................................................... 71

FIGURA 19 - APLICAÇÃO DAS CARGAS ESTÁTICAS NO MODELO .......................... 73

FIGURA 20 - DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES DE VENTO E CENTRO DE RAJADA . 80

FIGURA 21 - VARIAÇÃO DO DESLOCAMENTO DO NÓ 47 NA COMBINAÇÃO 5 ..... 81

FIGURA 22 - VARIAÇÃO DO DESLOCAMENTO DO NÓ 47 NA COMBINAÇÃO 17 ... 82

FIGURA 23 - VARIAÇÃO DA REAÇÃO DE APOIO NA PARCELA DINÂMICA EM Y

NO NÓ 1 ................................................................................................................................... 83

FIGURA 24 – VARIAÇÃO DA REAÇÃO DE APOIO NA PARCELA DINÂMICA EM Y

NO NÓ 90 ................................................................................................................................. 83

FIGURA 25 - TORRE DEFORMADA DEVIDO À CARGA DA PARCELA ESTÁTICA DO

VENTO ..................................................................................................................................... 85

FIGURA 26 - ELEMENTOS 1 E 197 ...................................................................................... 88

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 – FATOR S2 ......................................................................................................... 29

TABELA 2 – FATOR ESTATÍSTICCO S3 ............................................................................ 30

TABELA 3 - COMPONENTES DE FORÇA DE ARRASTO EM FACES DE TORRES

RETICULADAS ...................................................................................................................... 35

TABELA 4 – FATORES PARA ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA ......................... 38

TABELA 5 – FATORES p E b PARA ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA ................ 38

TABELA 6 - DIMENSÕES DOS TUBOS CILÍNDRICOS CÔNICOS ................................. 60

TABELA 7 - DIMENSÕES DAS CANTONEIRAS ............................................................... 62

TABELA 8 - PESO DOS TUBOS CILÍNDRICOS CÔNICOS .............................................. 62

TABELA 9 - PESO DAS CANTONEIRAS ............................................................................ 62

TABELA 10 - PESO PRÓPRIO DA ESTRUTURA ............................................................... 63

TABELA 11 - DISTRIBUIÇÃO DO PESO PRÓPRIO NOS NÓS ........................................ 63

TABELA 12 - PARÂMETROS DE PROJETO ....................................................................... 64

TABELA 13 - FATOR S2 PARA CADA MÓDULO DA TORRE ........................................ 64

TABELA 14 - VELOCIDADE CARACTERÍSTICA ............................................................. 65

TABELA 15 - ÍNDICE DE ÁREA EXPOSTA E NÚMERO DE REYNOLDS ..................... 65

TABELA 16 - COEFICIENTE DE ARRASTO DA ESTRUTURA PARA CADA MÓDULO

.................................................................................................................................................. 66

TABELA 17 - RESUMO GERAL DO TRABALHO DE BORTOLAN NETO (2002) ......... 67

TABELA 18 - OUTROS DADOS OBTIDOS POR BORTOLAN NETO (2002)

NECESSÁRIOS PARA ESTE TRABALHO .......................................................................... 68

TABELA 19 - PRESSÃO E FORÇA ESTÁTICA .................................................................. 70

TABELA 20 - FORÇAS RESULTANTES EM CADA FACE DA TORRE .......................... 71

TABELA 21 - FORÇA DO VENTO EM CADA NÓ DA ESTRUTURA .............................. 72

TABELA 22 - CONSTRUÇÃO DOS HARMÔNICOS .......................................................... 74

TABELA 23 - PARÂMETROS CALCULADOS PARA DECOMPOSIÇÃO DAS

PRESSÕES FLUTUANTES .................................................................................................... 77

TABELA 24 - COMPRIMENTOS DE RAJADA PARA CADA UM DOS 11

HARMÔNICOS ....................................................................................................................... 77

TABELA 25 - ÂNGULOS DE FASE ALEATÓRIOS ............................................................ 78

TABELA 26 - CORRELAÇÃO ESPACIAL DE VELOCIDADE .......................................... 79

TABELA 27 - VALORES DE Cr ............................................................................................ 79

TABELA 28 - DESLOCAMENTOS DA PARCELA ESTÁTICA (EM M) ........................... 85

TABELA 29 - DESLOCAMENTOS DA PARCELA FLUTUANTE DO VENTO (EM M) . 86

TABELA 30 - COMPARAÇÃO MÉTODO ESTÁTICO E MÉTODO DO VENTO

SINTÉTICO ............................................................................................................................. 87

TABELA 31 - REAÇÕES DE APOIO .................................................................................... 87

TABELA 32 - COMPARAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO .............................................. 88

TABELA 33 - ESFORÇOS MÁXIMOS NAS BARRAS ....................................................... 89

TABELA 34 - COMPARAÇÃO DOS ESFORÇOS MÁXIMOS ........................................... 89

LISTA DE SIGLAS

ASCE – American Society of Civil Engineering

INMET – Instituto Nacional de Meteorologia

ISO – International Organization for Standardization

LAC – Laboratório de Aerodinâmica das Construções

MEF – Método dos Elementos Finitos

NBR – Norma Brasileira Registrada

UFPR – Universidade Federal do Paraná

UFRGS – Universidade Federal do Rio Grande do Sul

LISTA DE SÍMBOLOS

Romanas maiúsculas

– Área externa da base do tubo

– Área interna da base do tubo

– Área útil da base do tubo

– Área frontal da superfície limitada pelo contorno do reticulado

– Área frontal efetiva do reticulado

– Área frontal efetiva das cantoneiras

– Área frontal efetiva dos montantes

– Área de influência correspondente à coordenada i

– Área externa do topo do tubo

– Área interna da base do tubo

– Área útil do topo do tubo

Ca – Coeficiente de arrasto

– Coeficiente de arrasto das cantoneiras

– Coeficiente de arrasto dos montantes

– Fator encontrado pela integração do espectro de potência nos intervalos de

frequência dos harmônicos m

Cr – Coeficientes de redução das pressões flutuantes

– Força de arrasto

– Força flutuante

– Força estática

Fr – Fator de rajada

– Centro de rajada

Re – Número de Reynolds

S1 – Fator topográfico

S2 – Fator relativo à rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura sobre

o terreno

S3 – Fator estatístico

S(f) – Espectro de potência do vento

Sp(f) – Espectro reduzido de potência do vento

– Período fundamental da estrutura

V – Velocidade média

V0 – Velocidade básica do vento

Vk – Velocidade característica

– Velocidade de projeto

Romanas minúsculas

– Amplitude máxima da aceleração

b – Parâmetro meteorológico

ce – Coeficiente de pressão externa

ci – Coeficiente de pressão interna

– Fator corrigido

cp – Coeficiente de pressão

d – Diâmetro

e/h – Afastamento relativo

f – Frequência das rajadas

– Frequência natural

h – Altura de uma edificação acima do terreno, medida até o topo da platibanda

ou nível do beiral

k – Harmônico em questão

m – Número de harmônicos

– Massa discreta correspondente à coordenada i

n – Força perpendicular à face

p – Parâmetro meteorológico

p’ – Fator para a determinação da pressão flutuante

p’’ – Fator para a determinação da pressão flutuante corrigido

q – Pressão do vento

– Pressão dinâmica

– Pressão estática

– Pressão flutuante

r – Harmônico ressonante

– Relação entre os harmônicos k e R

t – Força paralela à face

– Deslocamento devido à parcela flutuante do vento.

– Velocidade de fricção ou a velocidade de cisalhamento no escoamento do

vento

– Velocidade de pico para o período de 3 s

– Velocidade para o período de 600 s

x(f) – Frequência adimensional

– Deslocamento correspondente à coordenada i

z – Altura sobre o terreno

– Ponto mais alto da estrutura

– Altura do elemento i sobre o nível do terreno

– Altura de referência

– Altura sobre o terreno

Gregas

– Peso específico do aço

– Forma modal

– Comprimento da rajada de vento

– Ângulos de fase aleatórios

ξ – Coeficiente da amplificação dinâmica

– Diâmetro do topo do tubo

– Diâmetro da base do tubo

φ – Índice de área exposta

– Relação entre a massa na coordenada i e a massa de referência

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 18

1.1. JUSTIFICATIVA .......................................................................................................... 21

1.2. OBJETIVO .................................................................................................................... 22

1.2.1. GERAIS .................................................................................................................. 22

1.2.2. ESPECÍFICOS ........................................................................................................ 22

1.3. ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................. 22

2. REVISÃO DA LITERATURA ............................................................................................ 24

3. ANÁLISE DO VENTO CONFORME A NBR 6123/1988 ................................................. 27

3.1. CARGAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES DA NORMA BRASILEIRA .................. 27

3.2. ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA SEGUNDO A NBR 6123/1988 ................. 36

3.3. MODELO DINÂMICO DISCRETO DA NOMA BRASILEIRA ................................ 39

4. MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO .................................................................................. 43

4.1. SISTEMATIZAÇÃO DO MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO PARA DEFINIÇÃO

DO CARREGAMENTO DO VENTO APLICADO À ESTRUTURA ............................... 46

4.2. DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DE PROJETO ............................................. 47

4.3. ESPECTRO DE POTÊNCIA DO VENTO ................................................................... 47

4.4. DECOMPOSIÇÃO DO ESPECTRO DE POTÊNCIA ................................................. 48

4.5. CORRELAÇÃO ESPACIAL DE VELOCIDADES ..................................................... 50

4.6. PRESSÕES FLUTUANTES E PRESSÕES MÉDIAS ................................................. 53

5. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ........................................................................... 56

6. METODOLOGIA ................................................................................................................. 58

6.1. DESCRIÇÃO DA TORRE DE TELECOMUNICAÇÃO PARA SISTEMAS MÓVEL

DE CELULAR ...................................................................................................................... 58

6.2. CÁLCULO DO PESO PRÓPRIO DA ESTRUTURA .................................................. 60

6.3. CÁLCULO DO COEFICIENTE DE ARRASTO ......................................................... 63

7. APLICAÇÃO ....................................................................................................................... 67

7.1. SIMPLIFICAÇÕES ADOTADAS ................................................................................ 68

7.2. CÁLCULO DA PARCELA ESTÁTICA CONFORME O MÉTODO DO VENTO

SINTÉTICO .......................................................................................................................... 69

7.3. CÁLCULO DA PARCELA DINÂMICA CONFORME O MÉTODO DO VENTO

SINTÉTICO .......................................................................................................................... 73

8. ANÁLISE E RESULTADOS ............................................................................................... 85

9. CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS ...................................................................... 90

9.1. CONCLUSÕES ............................................................................................................. 90

9.2. SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS ........................................................ 90

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 92

APÊNDICE ............................................................................................................................. 94

18

1. INTRODUÇÃO

Na natureza todos os fenômenos são intrinsecamente dinâmicos, ou seja, alteram-se

em função do tempo (LAZANHA, 2003). Um dos maiores desafios na engenharia de

estruturas é justamente simular tais fenômenos complexos, que se caracterizam por

solicitações dinâmicas, as quais são variantes no tempo, na direção e sentido. Entre essas

solicitações, pode-se destacar o vento.

Compreende-se por vento o movimento de massas de ar devido às variações de

aquecimento das mesmas pelo o sol (BRASIL E SILVA, 2013). Por ser um fenômeno natural

e instável com o tempo, o vento apresenta flutuações aleatórias em cerca de um valor médio

de velocidades denominadas de rajadas ou turbulências (CHÁVEZ, 2006). O vento solicita a

estrutura na forma de um carregamento dinâmico que, para certas estruturas, principalmente

para estruturas leves, altas ou em que a relação entre a altura e a maior dimensão em planta é

grande (esbeltas), desencadeia instabilidade e pode ser a solicitação principal determinante

para o dimensionamento de tais estruturas. A análise do vento é determinante, tanto para

torres de telecomunicações, quanto para membranas e cabos (OBATA, 2009).

As cargas de vento provocam nas estruturas efeitos de tensões, deformações,

deslocamentos e vibrações que são associadas ao conforto, bem estar ou a sensibilidade dos

instrumentos e máquinas (SILVA, 2009).

Um dos primeiros engenheiros a estudar o efeito do vento em estruturas foi o francês

Gustav Eiffel. Em 1909, Eiffel construiu seu primeiro túnel de vento (Figura 1) e passou a

dedicar-se a essa área de estudos. Através de suas experiências no laboratório Champs-de-

Mars, Eiffel realizou os primeiros estudos abrangentes sobre a distribuição de pressão em

corpos submetidos a fluxos de ar em relação à razão de aspecto e ângulo de ataque. As

pesquisas e descobertas de Eiffel foram de extrema relevância na área da Aerodinâmica

(Damljanović, 2012).

19

FIGURA 1 – GUSTAV EIFFEL E SEU COLEGA NA FRENTE DO TÚNEL DE VENTO DE CHAMPS-DE-

MARS

FONTE: Adaptado de Damljanović (2012)

No Brasil, há apenas três túneis de vento, sendo que o que mais atende a construção

civil está localizado na Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), dentro do

Laboratório de Aerodinâmica das Construções (LAC). Construído pela iniciativa do

engenheiro civil Joaquim Blessmann, em 1972. O equipamento é atualmente o túnel de vento

mais completo da América Latina e já ajudou a viabilizar mais de 300 projetos (LOREDO-

SOUZA ET AL., 2012).

Em estruturas como torres metálicas, por exemplo, pelo fato do vento ser o principal

carregamento, sobressai a importância de uma análise coerente do seu efeito sobre essas

estruturas. Efeitos dinâmicos desprezados podem levar à perda de utilização e até ao colapso

da estrutura. Além disso, as torres de telecomunicação devem operar dentro de uma faixa

limite de rotação e deflexão a fim de evitar a perda de sinal e, consequentemente, sua

funcionalidade (ARNDT, 1999).

O vento possui energia cinética devido à massa de ar posta em movimento. Caso um

corpo ou uma estrutura esteja localizado em seu trâmite, parte dessa energia cinética é

20

transformada em pressão sobre a superfície de tal objeto. A intensidade da pressão em um

ponto dessa superfície é função da forma do obstáculo, do ângulo de incidência e da

velocidade do vento. Por isso, a pressão varia - assim como a energia cinética - conforme o

quadrado da velocidade do vento. Logo, a pressão não é proporcional à velocidade do vento:

ela cresce muito mais rapidamente que ela (BRASIL E SILVA, 2013).

Para a análise do carregamento de vento na maioria das estruturas, o efeito dinâmico é

considerado apenas pela majoração do efeito estático por coeficientes apropriados. Nos casos

em que é necessária uma análise dinâmica, ou seja, quando o período de vibração ressonante

da estrutura é maior do que 1 s, as normas de projeto indicam a utilização de cargas estáticas

equivalentes à ação dinâmica do vento. Um exemplo é a própria NBR 6123/1988 - Forças

devidas ao vento em edificações (LEITE, 2015). Tal norma estabelece três procedimentos

para obtenção de carregamentos de vento para análise de estruturas: o método das cargas

estaticamente equivalentes, o método simplificado e o método discreto.

Os métodos discreto e simplificado da NBR 6123/1988 têm caráter dinâmico, porém

não se tratam de métodos de análise em que são geradas cargas aplicadas na torre ao longo do

tempo, devido à transformação de ações dinâmicas do vento em ações estáticas, bastando-se

determinar a frequência fundamental e o período de vibração do modelo da torre (LEITE,

2015).

Um método utilizado e conhecido na literatura para fazer uma análise dinâmica da

solicitação do vento é o desenvolvido por Franco (1993), também conhecido como “Método

do Vento Sintético”, o qual será aplicado neste trabalho. Esse procedimento fundamenta-se na

soma de harmônicos de diversas frequências, com fases aleatoriamente escolhidas, a fim de

definir a parcela flutuante da velocidade do vento.

Neste trabalho, o Método do Vento Sintético foi utilizado para analisar

dinamicamente, sob o carregamento de vento variando em função do tempo, o

comportamento de uma torre metálica de 30 m utilizada em telecomunicações e localizada no

oeste catarinense. Essa mesma torre foi analisada, considerando o carregamento estático de

vento de acordo com a NBR 6123/1988, por Bortolan Neto (2002).

21

1.1. JUSTIFICATIVA

A norma NBR 6123/1988 estabelece três procedimentos para a obtenção de

carregamentos de vento, sendo esses: o método das cargas estaticamente equivalentes, método

simplificado e método discreto. O método simplificado e o discreto levam em consideração

algumas características dinâmicas da análise: como os períodos de vibração e a frequência

ressonante. Entretanto, tais métodos não são ferramentas de análise em que são geradas cargas

ao longo do tempo, ou seja, é considerada a transformação de ações dinâmicas do vento em

ações estáticas (LEITE, 2015).

Os métodos carregamentos propostos pela norma atingem normalmente o estado de

limite último das torres de telecomunicação. Entretanto, a literatura indica que as

simplificações feitas pelos métodos da norma desconsideram alguns efeitos dinâmicos que

podem afetar o estado limite de serviço da torre de telecomunicações. Por exemplo,

deformações excessivas que podem não ser previstas pela análise de acordo com a norma

podem afetar na transmissão do sinal de antenas e de outros equipamentos, trazendo prejuízos

econômicos e sociais para a empresa e seus clientes (BORTOLAN NETO, 2002).

De acordo com Arndt (1999), o projeto de estruturas de telecomunicações abrange os

aspectos de resistência (estado limite último) e utilização (estado limite de serviço). Para

torres de telecomunicações, o limite de utilização é definido por limites de rotação e deflexão

das antenas que evitem a perda de sinal.

Segundo Rios (2015), geralmente, as estruturas são projetadas de forma a suportar

satisfatoriamente as cargas laterais. Porém, algumas estruturas ainda sofrem com o elevado

nível de vibrações, provocando desconforto aos usuários e problemas de utilização de certos

equipamentos como, por exemplo, cabos de fibra óptica e antenas de telecomunicação.

A fim de estudar eventuais ocorrências das rajadas de vento em estruturas muito

esbeltas e susceptíveis a elevados níveis de vibrações, é interessante que a análise seja feita de

forma a considerar dados sobre as características dinâmicas, também chamadas de flutuantes,

do vento. Proposto por Franco (1993), o Método do Vento Sintético, por levar em

22

consideração as características aleatórias do vento, torna-se uma ferramenta adequada para tal

análise.

Ademais, o Método do Vento Sintético permite uma análise de caráter dinâmico,

devido à criação de carregamentos dinâmicos do vento a partir de seu espectro de potência e

do uso de ângulos de fases gerados de maneira aleatória. Ou seja, pelo Método do Vento

Sintético, a aplicação do carregamento leva-se de fato de maneira dinâmica, ou seja, variando

conforme o tempo, diferentemente dos procedimentos da norma NBR 6123/1988 que

transforma as ações dinâmicas do vento em ações estáticas.

1.2. OBJETIVO

1.2.1. GERAIS

O objetivo deste trabalho é fazer uma análise comparativa entre as respostas

estruturais de uma torre metálica de telecomunicações de 30 m de altura sob a ação de

carregamentos de vento obtidos através do Método do Vento Sintético e através do método

das cargas estaticamente equivalentes da NBR 6123/1988.

1.2.2. ESPECÍFICOS

Avaliar a diferença de deslocamento máximo no topo da torre, reações de apoio e

esforços axiais máximos na estrutura reticulada para os carregamentos dinâmicos gerados

pelo Método do Vento Sintético e carregamentos estáticos de cargas equivalentes obtidos pela

NBR 6123/1988.

Averiguar qual abordagem apresenta resultados mais conservadores para a estrutura

em estudo.

1.3. ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho está organizado em 9 capítulos, sendo que o capítulo 2 aborda uma

revisão da literatura, em que trabalhos similares são apresentados. O capítulo 3 descreve os

23

principais conceitos da norma NBR 6123/1988 e os métodos propostos pela norma brasileira:

como o método estático, o dinâmico simplificado e o modelo dinâmico discreto.

No capítulo 4, o Método do Vento Sintético é explicado e sistematizado. O capítulo 5

aborda brevemente alguns conceitos básicos do Método dos Elementos Finitos requeridos

para a análise.

No capítulo 6, a torre de telecomunicações em estudo é apresentada e seus parâmetros,

como coeficiente de arrasto e área frontal efetiva, são calculados. No capítulo 7, aplica-se

Método do Vento Sintético na torre e o capítulo 8 descreve os deslocamentos, reações de

apoio e máximos esforços nas barras obtidos com o Método do Vento Sintético e compara-os

com os resultados de Bortolan Neto (2002).

A conclusão é apresentada no capítulo 9. O apêndice no final deste trabalho trata do

carregamento (em função do tempo) da parcela flutuante da força no Método do Vento

Sintético, aplicada em cada vértice de topo de módulo da torre.

24

2. REVISÃO DA LITERATURA

No trabalho “Direct Along-Wind Dynamic Analysis of Tall Structures”, Franco (1993)

apresentou um método para a determinação da pressão do vento e do seu carregamento

aleatório com o auxílio da teoria probabilística de Davenport e da técnica numérica de Monte

Carlo. Tal procedimento denomina-se Método do Vento Sintético e consiste na soma de

harmônicos de diversas frequências, com fases aleatórias, a fim de definir a parcela flutuante

da velocidade do vento e também de simular a variação da carga do vento em relação ao

tempo.

Em 1997, Franco empregou o Método do Vento Sintético para analisar a atuação do

vento na Torre Norte do Centro Empresarial Nações Unidas, em São Paulo (edifício de 158 m

de altura em concreto armado). Os resultados pelo método de Franco (1993) foram

comparados com os obtidos com a norma brasileira e com o sistema computacional TQS,

mostrando boa aproximação de resultados entre os métodos.

Em sua tese de doutorado, Júnior (2000) modelou uma torre treliçada metálica de 100

metros de altura e avaliou o comportamento dinâmico da estrutura sob ação do vento, através

do método de Davenport, da NBR 6123/1988 e do Vento Sintético. Experimentos com túnel

de vento foram feitos para analisar os coeficientes de força em uma seção de torre. O autor

concluiu que os resultados obtidos com o Método do Vento Sintético apresentam diferenças

relativamente grandes em relação aos gerados pelo procedimento dinâmico da norma

brasileira e pelo método de Davenport.

Em Brasil et al. (2003), o efeito do vento sobre uma torre para telecomunicações em

concreto pré moldado foi estudado. Primeiramente, de acordo com o método estático da NBR

6123/1988, depois conforme o método dinâmico previsto pela norma e finalmente com o

procedimento do Vento Sintético. Os autores concluíram que o carregamento previsto pela

análise estática gera esforços solicitantes maiores do que pelas cargas “pseudo-estáticas”

provenientes do modelo discreto da análise dinâmica da NBR 6123/1988. Além disso, foi

destacado que o Método do Vento Sintético permite um enfoque estocástico coerente com a

aleatoriedade dos efeitos do vento.

25

Chavéz (2006) estudou o comportamento dinâmico de um prédio em concreto armado

de 102 metros de altura. A estrutura foi analisada segundo o método do vento sintético, o

método dinâmico simplificado da NBR 6123/1988 e o método estático. Para os três métodos,

os deslocamentos no topo da estrutura foram semelhantes. Entretanto, a autora salientou os

valores muito conservadores e elevados das acelerações obtidas via método dinâmico

simplificado da norma brasileira em relação aos valores gerados pelo Método do Vento

Sintético. Em conclusão, Chavéz (2006) destaca que o método proposto por Franco (1993),

apesar de maior dificuldade computacional, sobressai como o mais viável ao considerar o

aspecto de conforto dos usuários e economia da construção, pelo fato de que peças mais

esbeltas poderiam ser utilizadas.

Mendis et al. (2007) apresentam uma síntese das técnicas avançadas de estudo das

cargas induzidas pelo vento. Benefícios de tais procedimentos são comparados em relação às

vantagens dos modelos simplificados, os quais aproximam o carregamento dinâmico do vento

por uma carga estática equivalente. Os autores enfatizam que, mundialmente, na maioria das

estruturas de baixa e média altura, as cargas de vento são consideradas como estáticas. Porém,

para edifícios altos, tal modelo aproximado pode levar a resultados errôneos. Além disso, em

modelos que aproximam o carregamento dinâmico por cargas estáticas, não é possível

analisar as respostas dinâmicas da estrutura considerando amortecimento e ressonância.

Obata (2009) explica o Método do Vento Sintético e o Método de Monte Carlo, além

de propor uma sistematização do procedimento desenvolvido por Franco (1993).

No livro “Introdução à Dinâmica das Estruturas para Engenharia Civil“, Brasil e Silva

(2013) copilam os diversos métodos - Método Dinâmico conforme a NBR 6123/1988 e

Método do Vento Sintético (1993) - para a análise de uma estrutura sob o efeito dinâmico do

vento, além de exemplifica-los com problemas resolvidos.

Leite (2015) estuda uma torre de transmissão de energia elétrica tipo delta sob

carregamentos dinâmicos do vento, calculados através do Método do Vento Sintético. Tal

análise foi comparada com o mesmo modelo sob as cargas estáticas da NBR 6123/1988. Em

conclusão, o autor alegou que os resultados obtidos (reações de apoio, esforços normais e

deslocamento máximo no topo da torre) pela norma brasileira são mais conservadores do que

os valores gerados a partir do Método do Vento Sintético. Alguns resultados gerados pelo

26

procedimento da NBR 6123/1988 tiveram grandezas que excederam em até 132% os valores

obtidos pelo procedimento proposto por Franco (1993).

Rios (2015) abordou a utilização de amortecedores fluidos como uma alternativa para

reduzir a resposta dinâmica de estruturas submetidas a cargas de vento. A autora adotou o

Método do Vento Sintético para definir o carregamento aleatório do vento aplicado à

estrutura. Segundo o estudo, Rios (2015) destaca que a aproximação da ação do vento como

uma carga estática equivalente, que simula a velocidade de pico do vento, geralmente

apresenta resultados adequados quando aplicados a estruturas rígidas, ou/e com baixa altura.

Entretanto, para edifícios altos, mais flexíveis e com baixas frequências, recomenda-se uma

análise dinâmica mais apropriada como a obtida pela simulação do vento através do Método

do Vento Sintético.

27

3. ANÁLISE DO VENTO CONFORME A NBR 6123/1988

3.1. CARGAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES DA NORMA BRASILEIRA

O método de cargas estáticas equivalentes da NBR 6123/1988 pode ser dividido em

duas partes: a primeira refere-se aos parâmetros meteorológicos como velocidade do vento,

rugosidade do terreno e topografia, e a segunda referente à determinação dos coeficientes de

pressão (BRASIL E SILVA, 2013).

A norma brasileira NBR 6123/1988 apresenta um mapa de isopletas (Figura 2), que

indica as velocidades básicas do vento - V0. Velocidade básica é a velocidade média sobre 3 s

para um período de recorrência de 50 anos, a uma altura de 10 metros do solo, sobre terreno

aberto e plano. Como regra geral, admite-se que o vento básico possa soprar de qualquer

direção horizontal.

FIGURA 2 - MAPA DAS ISOPLETAS

FONTE: NBR 6123/1988

28

Não será discutida neste trabalho a coerência dos coeficientes e isopletas da norma

NBR 6123/1988 em relação à situação climática atual do Brasil. Entretanto, Brasil e Silva

(2013) ressaltam a importância de aprimorar os dados existentes com a atualização dos

valores das velocidades médias, por exemplo.

Uma vez determinada a velocidade básica V0 através da Figura 2, obtém-se a

velocidade característica dada por:

(3.1)

sendo S1 o fator topográfico; S2 relativo à rugosidade do terreno, dimensões da edificação e

altura sobre o terreno; e S3 o fator estatístico.

O fator S1 leva em consideração as características topográficas do terreno. Tal

coeficiente vale 1,0 para terreno plano ou fracamente acidentado, 0,9 para vales profundos,

protegidos pelo vento, e sofre uma variação para construções à beira de taludes e morros.

O fator S2 leva em consideração a variação da velocidade do vento na atmosfera de

acordo com a rugosidade do terreno, altura e dimensões da construção. A norma brasileira

separa a rugosidade do terreno em cinco categorias: Categoria I: Superfícies lisas de grandes

dimensões (exemplo: mares e lagos); Categoria II: Superfícies planas ou levemente

inclinadas, com poucos obstáculos (exemplo: fazendas sem muros e zonas costeiras planas);

Categoria III: Superfícies planas ou onduladas, com obstáculos, tais como sebes e muros,

além de edificações baixas e esparsas (exemplo: subúrbios com distância considerável do

centro com poucas casas); Categoria IV: Terrenos cobertos com muitos obstáculos e pouco

espaçados (exemplo: subúrbios densos de grandes cidades); e Categoria V: Terrenos com

muitos obstáculos, pouco espaçados e altos (exemplo: centros de grandes cidades).

Além disso, o coeficiente S2 também concebe a duração da rajada para que o vento

englobe toda a edificação. Logo, a norma brasileira categoriza as edificações em três classes:

Classe A: maior dimensão da edificação, horizontal ou vertical, menor que 20 m, ou unidades

de vedações (duração da rajada de três segundos); Classe B: maior dimensão da edificação,

vertical ou horizontal, entre 20 e 50 m (duração da rajada de cinco segundos); e Classe C:

29

maior dimensão da edificação, vertical ou horizontal, maior que 50 m (duração da rajada de

dez segundos).

Após determinar a categoria do terreno e a classe da edificação, os valores de S2

podem ser obtidos através da Tabela 1 a seguir ou da expressão:

(3.2)

na qual b e p são referentes aos parâmetros meteorológicos e Fr é o fator de rajada referente à

Categoria II de terreno de acordo com a Figura 3 a seguir.

TABELA 1 – FATOR S2

Z

Categoria

I II III IV V

Classe Classe Classe Classe Classe

A B C A B C A B C A B C A B C

=<

5 1,06 1,04 1,01 0,94 0,92 0,89 0,88 0,86 0,82 0,79 0,76 0,73 0,74 0,72 0,67

10 1,10 1,09 1,06 1,00 0,98 0,95 0,94 0,92 0,88 0,86 0,83 0,80 0,74 0,72 0,67

15 1,13 1,12 1,09 1,04 1,02 0,99 0,98 0,96 0,93 0,90 0,88 0,84 0,79 0,76 0,72

20 1,15 1,14 1,12 1,06 1,04 1,02 1,01 1,00 0,96 0,93 0,91 0,88 0,82 0,80 0,76

30 1,17 1,17 1,15 1,10 1,08 1,06 1,05 1,03 1,00 0,98 0,96 0,93 0,87 0,85 0,82

40 1,20 1,19 1,17 1,13 1,11 1,09 1,08 1,06 1,04 1,01 0,99 0,96 0,91 0,89 0,86

50 1,21 1,21 1,19 1,15 1,13 1,12 1,10 1,09 1,06 1,04 1,02 0,99 0,94 0,93 0,89

60 1,22 1,22 1,21 1,16 1,15 1,14 1,12 1,11 1,09 1,07 1,04 1,02 0,97 0,95 0,92


30

FIGURA 3 – PARÂMETROS b, p E Fr


O fator S3 é um valor estatístico que avalia a vida útil e o grau de segurança requerido

da edificação. O valor de S3 é determinado pela Tabela 2.

TABELA 2 – FATOR ESTATÍSTICCO S3

Grupo Descrição S3

1

Edificações cuja ruína total ou parcial pode afetar a segurança ou

possibilidade de socorro a pessoas após uma tempestade destrutiva

(hospitais, quartéis de bombeiros e de forças de segurança, centrais

de comunicação, etc.)

1,10

2 Edificações para hotéis e residências. Edificações para comércio e

indústria com alto fator de ocupação 1,00

3 Edificações e instalações industriais com baixo fator de ocupação

(depósitos, silos, construções rurais, etc.) 0,95

4 Vedações (telhas, vidros, painéis de vedação, etc.) 0,88

5 Edificações temporárias. Estruturas dos grupos 1 a 3 durante a

construção 0,83


Tendo os valores dos fatores V0, S1, S2, S3 e, consequentemente, a velocidade

característica Vk, é possível calcular a pressão dinâmica a partir da energia cinética conforme

a expressão (sendo q em N/m² e Vk em m/s):

(3.3)

A partir disso, calcula-se a força devido ao vento multiplicando a pressão dinâmica

pela área (A) em que ela atua e por um coeficiente de pressão (cp) (ou arrasto, ou força):

31

(3.4)

Segundo Brasil e Silva (2013), a NBR é falha em relação a coeficientes de pressão,

forma ou arrasto para estruturas mais complexas. Para edificações que não constam na NBR

6123, ou não podem ser extrapoladas a partir dos dados nela expressados, recomenda-se

executar ensaios de modelos em túneis de vento. Os coeficientes de pressão, arrasto e força

estão disponíveis nas Tabelas 4 a 17 e Anexos D, E e F da NBR 6123/1988.

Os coeficientes de pressão têm os seguintes axiomas:

O coeficiente de pressão efetiva que atua sobre uma superfície é a diferença

entre os coeficientes de pressão externa (ce) e interna (ci). Ou seja, cp = ce - ci.

Os valores positivos dos coeficientes de pressão externa (ce) ou interna (ci)

correspondem a sobrepressões, sendo que os valores negativos representam as

sucções.

Se a diferença entre os coeficientes de pressão externa e interna for positiva, a

pressão efetiva total terá o sentido da sobrepressão externa. Caso contrário, terá

o sentido de uma sucção externa.

Os coeficientes de arrasto representam a força global do vento sobre uma edificação

na direção do vento. No caso de torres reticuladas compostas por barras prismáticas, o

coeficiente de arrasto pode ser obtido pelos ábacos apresentados nas Figuras 4, 5, 6 e 7 a

seguir. Os gráficos são função do índice de área exposta (φ) e do número de Reynolds (Re).

Os fatores são calculados, respectivamente através das seguintes equações:

(3.5)

em que:

- Área frontal efetiva do reticulado;

- Área frontal da superfície limitada pelo contorno do reticulado.

32

(3.6)

sendo:

– velocidade característica do vento;

d – diâmetro das barras da treliça em metros.

FIGURA 4 - COEFICIENTE DE ARRASTO PARA TORRES RETICULADAS DE SEÇÃO TRIANGULAR

EQUILÁTERA FORMADAS POR BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR – VENTO EM QUALQUER

DIREÇÃO


33

FIGURA 5 - COEFICIENTE DE ARRASTO PARA TORRES RETICULADAS DE SEÇÃO QUADRADA

FORMADAS POR BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR – VENTO INCIDIDO PERPENDICULARMENTE ÀS

DUAS FACES PARALELAS


FIGURA 6 - COEFICIENTE DE ARRASTO PARA TORRES RETICULADAS DE SEÇÃO QUADRADA

FORMADAS POR BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR – VENTO INCIDINDO SEGUNDO UMA

DIAGONAL


34

FIGURA 7 - COEFICIENTE DE ARRASTO PARA TORRES RETICULADAS DE SEÇÃO QUADRADA E

TRIANGULAR EQUILÁTERA, FORMADAS POR BARRAS PRISMÁTICAS DE CANTOS VIVOS OU

LEVEMENTE ARRENDONDADOS


De acordo com a NBR 6123/1988, em torres reticuladas constituídas por barras

prismáticas de faces planas e/ou por barras de seção circular de um ou mais diâmetros

diferentes, os respectivos coeficientes são aplicados proporcionalmente às áreas frontais das

respectivas barras. O índice de área exposta refere-se sempre ao conjunto de todas as barras

de uma das faces da torre.

As componentes da força de arrasto , nas faces da torre são obtidas multiplicando

pelos valores da Tabela 3, na qual a componente n representa a força perpendicular à face e a

componente t representa a força paralela à face.

No caso de torres de seção retangular com o vento incidido perpendicularmente a uma

face, deve-se buscar o valor de proteção , que depende do índice de área exposta do

reticulado situado a barlavento (região onde sopra o vento, em relação à edificação), e do

respectivo afastamento relativo (e/h) (BORTOLAN NETO, 2002). Tal valor é obtido de

acordo com a Figura 8.

35

TABELA 3 - COMPONENTES DE FORÇA DE ARRASTO EM FACES DE TORRES RETICULADAS

Direção do

vento Componente Face I Face II Face III Face IV

n

0

0

t 0 0 0 0

n 0,20 0,20 0,15 0,15

t 0,20 0,20 0,15 0,15

n 0,57 0,11 0,11 -

t 0 0,19 0,19 -

n 0,50 0 0,37 -

t 0,29 0 0,21 -

n 0,14 0,14 0,43 -

t 0,25 0,25 0 -


FIGURA 8 - FATOR DE PROTEÇÃO PARA DOIS OU MAIS RETICULADOS PLANOS PARALELOS

IGUALMENTE AFASTADOS


36

3.2. ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA SEGUNDO A NBR 6123/1988

Segundo o Capítulo 9 da norma NBR 6123/88 - Forças devidas ao vento em

edificações:

“No vento natural, o módulo e a orientação da velocidade instantânea do ar apresentam

flutuações em torno da velocidade média V, designadas por rajadas. Admite-se que a

velocidade média mantém-se constante durante um intervalo de tempo de 10 min ou mais,

produzindo nas edificações efeitos puramente estáticos, designados a seguir como resposta

média. Já as flutuações da velocidade podem induzir em estruturas muito flexíveis,

especialmente em edificações altas e esbeltas, oscilações importantes na direção da velocidade

média, aqui designadas como resposta flutuante.”

A norma também esclarece que, em edificações com o período fundamental (ou seja, o

maior) inferior ou igual a 1 s, a influência da resposta flutuante é pequena, e seus efeitos já

estão sendo considerados na determinação do intervalo de tempo adotado para o fator S2.

Todavia, edificações com período fundamental superior a 1 s (frequência fundamental menor

que um Hertz), em particular aquelas pouco amortecidas, podem apresentar importante

resposta flutuante na direção do vento médio.

Através da norma NBR 6123/1988, é possível efetuar o cálculo da carga dinâmica

devido ao vento em edificações de duas maneiras. Com o modelo contínuo simplificado -

aplicável se a edificação tiver seção constante, uma distribuição de massa aproximadamente

uniforme e não ultrapassar uma altura de 150 m; e com o modelo discreto - caso a edificação

possuir propriedades variáveis com a altura. Mesmo que tais modelos tenham um caráter

dinâmico, neles o carregamento do vento é considerado como carga estática.

Para o modelo simplificado, é preciso obter somente o modo fundamental de vibração

para o cálculo da resposta flutuante. Neste caso a expressão utilizada pela NBR 6123/1988

engloba tanto a resposta média quanto a amplitude máxima da resposta flutuante do vento.

Logo, a pressão exercida pelo vento é uma função contínua da altura sobre o terreno, na qual

aparece o coeficiente de amplificação dinâmica, que é em função das dimensões da

edificação, da razão do amortecimento crítico, da frequência fundamental da edificação, da

altura de referência e da pressão na altura de referência. A norma brasileira oferece expressão

37

simplificada tanto para o período quanto a expressão que representa o primeiro modo de

vibração (WAHRHAFTIG, BRASIL E SILVA, 2010).

Entende-se por Velocidade de Projeto a velocidade média sobre dez minutos a 10

m de altura sobre terreno da Categoria II. Expressa em m/s ela pode ser obtida por:

(3.7)

A pressão dinâmica (N/m²) correspondente é calculada por:

(3.8)

A variação da pressão conforme a altura é descrita por:

ξ (3.9)

sendo:

p – Parâmetro dependente da categoria de rugosidade do terreno (Tabela 5);

b – Parâmetro dependente da categoria de rugosidade do terreno (Tabela 5);

z – Altura sobre o terreno;

– Altura de referência (10 m);

h – Altura de uma edificação acima do terreno, medida até o topo da platibanda ou nível do

beiral;

ξ - Coeficiente de amplificação dinâmica;

– Forma modal (Tabela 4).

A partir da equação acima, nota-se que a primeira parcela dentro do colchete

corresponde à resposta média, enquanto que a segunda parcela corresponde à amplitude

máxima da resposta flutuante. O coeficiente de amplificação dinâmica (ξ) é função do tipo de

material e da geometria da estrutura e é determinado por ábacos disponíveis na NBR

6123/1988 para as cinco categorias de terreno (CHAVÉZ, 2006).

38

O parâmetro b e o expoente p são fatores dependentes da rugosidade do terreno. Os

termos para a determinação dos efeitos dinâmicos estão a seguir representados nas Tabelas 4 e

5.

TABELA 4 – FATORES PARA ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA

Tipo de Edificação ζ T1 = 1/f1

Edifícios com estrutura

aporticada de concreto

sem cortinas

1,2 0,002 0,05h + 0,015h (h em

metros)


aporticada de concreto

com cortinas para

absorção de forças

horizontais

1,6 0,015 0,05h + 0,012h

Torres e chaminés de

concreto, seção variável 2,7 0,015 0,02h

Torres, mastros e

chaminés de concreto,

seção uniforme

1,7 0,010 0,015h


de aço soldada 1,2 0,010 0,29 - 0,4

Torres e chaminés de

aço, seção uniforme 1,7 0,008 --

Estruturas de madeira -- 0,008 --

FONTE: NBR 6123 (1988)

Os autores Brasil e Silva (2013), ressaltam em seu trabalho a seguinte observação:

“É válido (…) que o uso das informações sobre e T1 dadas na Tabela 19 (da NBR

6123/1988) não se justifica mais, sendo que os mesmos podem ser facilmente calculados com

programas de cálculos estrutural dinâmico.”

TABELA 5 – FATORES p E b PARA ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA

Categoria de

rugosidade I II III IV V

p 0,095 0,15 0,185 0,23 0,31

b 1,23 1,00 0,66 0,71 0,5

FONTE: NBR 6123 (1988)

As forças estáticas equivalentes devidas à pressão do vento (q) são determinadas por:

(3.10)

onde Ca corresponde ao coeficiente de arrasto, que depende da intensidade de turbulência e da

geometria da estrutura em estudo, e A é a área de referência.

39

A expressão abaixo possibilita calcular a amplitude máxima da aceleração ( ):

(3.11)

sendo é o deslocamento devido à parcela flutuante do vento e fj a frequência natural.

Segundo a norma brasileira, é recomendável que a máxima amplitude da aceleração

não ultrapasse 0,1 m/s².

3.3. MODELO DINÂMICO DISCRETO DA NOMA BRASILEIRA

Caso a edificação possua propriedades variáveis ao longo de sua altura, ela deve ser

representada por um modelo discreto, como na Figura 9.

FIGURA 9 – MODELO DISCRETO

FONTE: NBR 6123 (1988)

Na Figura 9 as variáveis têm os seguintes significados:

- deslocamento correspondente à coordenada i;

- área de influência correspondente à coordenada i;

- massa discreta correspondente à coordenada i;

- coeficiente de arrasto correspondente à coordenada i;

40

- altura do elemento i sobre o nível do terreno;

- altura de referência (10 m);

n - número de graus de liberdade preservados no modelo simplificado

O modelo discreto apresentado pela norma brasileira é baseado no método de vibração

aleatória proposto por Davenport. Entretanto, difere-se dele na obtenção dos parâmetros que

definem tal ação, além de destacar que a vibração da estrutura em seus modos naturais é tida

em torno da posição deformada estabelecido pelas pressões causadas pela componente

estática do vento, ou seja, pela velocidade média (BLESSMANN, 2005).

Esse método prescreve que o cálculo da resposta dinâmica total deve ser considerado

como a superposição das respostas média e flutuante. A resposta flutuante inclui a resposta

não ressonante e a resposta ressonante da estrutura (JÚNIOR, 2000).

Geralmente, um modelo cujo número de graus de liberdade n = 10 é suficiente para

uma precisão adequada nos resultados. Um número maior de elementos será somente

necessário caso a edificação apresentar variações importantes de características ao longo da

altura (NBR 6123/1988).

Silva et al. (2013) apud. Brasil e Silva (2013) apontam que a retenção de um único

modo (r = 1) corresponde a mais de 90% da resposta dinâmica e é suficiente, confirmando a

indicação da norma. Entretanto, a própria NBR 6123/1988 ressalta que, para edificações

muito esbeltas ou com rigidez bastante variável, valores maiores de r são necessários e devem

ser computadas sucessivamente as contribuições dos modos 1, 2, etc., até que as forças

equivalentes associadas ao último modo incluído (j = r) sejam desprezíveis.

A estrutura é então discretizada em n partes e, na resposta estrutural, somente é

considerada a influência da componente na direção da velocidade média do vento (JÚNIOR,

2000).

O carregamento do vento em um determinado instante na coordenada i é dado por uma

parcela média ( ) e outra flutuante ( ), dada por:

(3.12)

41

A força média é dada por:

(3.13)

sendo os coeficientes p e b estão indicados na Tabela 5, e corresponde ao coeficiente de

arrasto da coordenada i, é a área efetiva de uma face da estrutura na coordenada i e é a

altitude de referência (na qual se considera a velocidade média do vento na camada limite

atmosférica), corresponde à pressão dinâmica do vento.

A componente flutuante é dada por:

(3.14)

sendo:

(3.15)

ξ (3.16)

(3.17)

Nas equações acima, representa uma área arbitrária de referência, é a relação

entre a massa na coordenada i e a massa de referência ( , e o fator é o expoente da

forma modal. ξ é o coeficiente da amplificação dinâmica apresentado nas figuras 14 a 18 da

NBR 6123/1988 para as cinco categorias de terreno consideradas.

Quando mais de um modo for retido na solução (r > 1), o efeito combinado deve ser

calculado pelo critério da raiz quadrada da soma dos quadrados (WAHRHAFTIG, BRASIL E

SILVA, 2010), desde que as frequências naturais sejam razoavelmente espaçadas (BRASIL E

SILVA, 2013):

42

(3.18)

Depois da obtenção da resposta para cada modo j, todas as variáveis de interesse

associadas a cada modo (força, momento fletor, tensão, deslocamento, etc.) devem ser

determinadas (BRASIL E SILVA, 2013).

As flutuações da orientação da velocidade do vento são responsáveis por vibrações

longitudinais e na direção perpendicular à direção do escoamento médio (WAHRHAFTIG,

BRASIL E SILVA, 2010).

Wahrhaftig, Brasil e Silva (2010) salientam que:

“Nos termos em que foi descrita, a resposta final da estrutura às ações do vento, por meio do

Modelo Dinâmico Discreto, deve obedecer às regras do cálculo vetorial.”

43

4. MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO

Devido à natureza aleatória (em função do desenvolvimento da meteorologia,

hidrologia e sismologia) e a incertezas e falta de dados climáticos e geofísicos (quando se faz

uma análise dinâmica), excitações decorrentes de ventos, sismos, ondas do mar e etc. não são

possíveis de ser descritas de forma determinística, mas sim somente no sentido estatístico, ou

seja, através de valores médios, seus desvios e distribuições de probabilidade (BRASIL E

SILVA, 2013).

Além disso, Brasil e Silva (2013) reforçam que:

“As ‘ondas de projeto’, com certos períodos de recorrência, podem não dar as respostas

máximas da estrutura, pois essas dependem também de efeitos de amplificação dinâmica. de

forma que ondas de menor intensidade, mas de frequência mais próximas de condições de

ressonância, podem ser mais significativas (a análise espectral levará em conta todas as

frequências).”

Em estruturas com modo de vibração de frequências fundamentais abaixo de 1 Hz,

geralmente estruturas altas, os esforços dinâmicos do vento tornam-se importantes e a

consideração de tais esforços como estáticos é uma aproximação muito grosseira, gerando a

necessidade de um tratamento estocástico, o qual leve em consideração as flutuações

aleatórias desse fenômeno e sua probabilidade de ocorrência (BRASIL E SILVA, 2013).

Nesse quesito, o Método do Vento Sintético proposto pelo Eng. Dr. Mário Franco (1993),

pode ter uma adequada aplicação para a análise e carregamentos aleatórios e instáveis dos

ventos nas estruturas (OBATA, 2009).

Considerado similar aos métodos do tipo Monte Carlo, o Método do Vento Sintético

gera um número razoavelmente grande de séries de carregamento compostos pela

superposição de componentes harmônicos de fases aleatoriamente escolhidas (BRASIL E

SILVA, 2013).

Através do espectro de potência do vento, são gerados os carregamentos dinâmicos. A

característica dinâmica do carregamento é conferida pelo uso de ângulos de fase gerados

aleatoriamente no método (LEITE, 2015).

44

Segundo Obata (2009) e Leite (2015), são conferidos ao Método do Vento Sintético

conceitos estatísticos que geralmente são aplicados em estudos de carregamentos da natureza.

A própria aplicação do Método do Vento Sintético foi realizada no projeto da Torre

Norte do Centro Empresarial Nações Unidas (Figura 10), localizado na cidade de São Paulo

(OBATA, 2009).

FIGURA 10 - FOTOGRAFIA DO CENU: CENTRO EMPRESARIAL DAS NAÇÕES UNIDAS EM SÃO

PAULO

FONTE: Desconhecida

O Método Monte Carlo foi criado em 1949 pelos matemáticos americanos Neyman e

Ulan para solucionar problemas estatísticos. Atualmente, sua aplicação também é valida para

encontrar soluções aproximadas de problemas físicos e matemáticos pela simulação de

valores aleatórios (BRASIL E SILVA, 2013). Uma série de dados aleatórios é utilizada para a

simulação de Monte Carlo no Método do Vento Sintético (OBATA, 2009).

No método, são necessárias transformadas apropriadas (como as de Fourier) para as

pressões flutuantes, a fim de produzir amostras representativas com as propriedades

estatísticas do vento. Tal procedimento tem como “pré-requisito” uma análise do espectro de

potência, no qual pode ser aplicado o de Davenport cuja sequência estabelece-se um espectro

reduzido e a divisão entre a pressão média e flutuante (OBATA, 2009). O espectro de

potência da velocidade do vento proposto por Davenport é também adotado pela Norma

Canadense (CHAVÉZ, 2006). A expressão sugerida pelo Prof. A. Davenport, da University of

45

Western Ontario - Canadá, para a Densidade Espectral de Potência, em função da velocidade

média horária do vento V0 a 10 metros de altura sobre o terreno, será descrita no capítulo 7

deste trabalho.

De tal forma, é determinada uma expressão para a parcela flutuante da pressão do

vento, a qual permite a obtenção da solução para cada instante no histórico da resposta

(CHAVÉZ, 2006).

O método de Franco (1993) propõe que a parcela média da pressão seja aplicada

estaticamente à estrutura. A parcela flutuante da pressão, por sua vez, possui ângulos de fase

variando aleatoriamente e é decomposta em um número finito de funções harmônicas que são

proporcionais à frequência ressonante da estrutura. O número de harmônicos deve ser maior

que 11, sendo que, quanto maior for o número de funções, mais preciso é o método.

A amplitude de cada harmônico pode ser obtida através do espectro de potência do

vento. Além disso, uma das onze funções harmônicas deve conter a frequência ressonante

(BRASIL E SILVA, 2013).

O procedimento é finalizado quando a estrutura é excitada novamente por uma função

composta da soma sucessiva dos harmônicos combinados aleatoriamente, gerando assim um

número determinado de amostras para determinar a resposta característica (CHAVÉZ, 2006).

O esforço do vento é aplicado em cada uma das parcelas de pressões flutuantes, como

se elas fossem transformadas em rajadas equivalentes, ou seja, tal aplicação é realizada ao

decorrer do tempo de duração da rajada e num ponto desfavorável da estrutura. Pelas funções

de correlação vertical e horizontal, outros pontos da estrutura são obtidos. Dessa maneira,

simula-se a não incidência do vento em um determinado instante em vários pontos com

amplitudes máximas (OBATA, 2009).

Originalmente, o processo propunha que a parcela flutuante correspondia a 52% do

carregamento total. Entretanto, Brasil e Silva (2013) destacam a possibilidade de adotar uma

correção para que a porcentagem flutuante total varie de acordo com a altura.

46

Assim, o espectro de resposta no qual se determinam os valores de esforços ou

deslocamentos máximos de cada aplicação é obtido, sendo o valor característico da resposta

determinado estatisticamente através do Teorema de Gumbel (OBATA, 2009).

Portanto, um dos destaques da utilização do Método do Vento Sintético é a

possibilidade de aplicação das cargas no modelo de maneira randômica e dinâmica (LEITE,

2015).

4.1. SISTEMATIZAÇÃO DO MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO PARA DEFINIÇÃO DO

CARREGAMENTO DO VENTO APLICADO À ESTRUTURA

Leite (2015) descreve em forma de tópicos uma série de etapas para a aplicação da

metodologia do Vento Sintético:

i. Determinação da velocidade do projeto;

ii. Determinação do espectro de potência a ser utilizado;

iii. Cálculo da frequência fundamental de vibração “r”, a qual é obtida na análise

de vibração livre do modelo (com o auxílio de um programa computacional);

iv. Determinação das alturas em relação ao solo , área de influência e

coeficiente de arrasto , para os nós da estrutura, as quais serão utilizadas

para os cálculos das forças em cada nó;

v. Determinação de vinte conjuntos com doze ângulos de fase randômicos cada,

variando de 0 a 2π.

Para cada conjunto de ângulos de fase aleatórios:

vi. Decomposição das pressões flutuantes;

vii. Determinação da correlação espacial das velocidades a serem utilizadas;

viii. Determinação das pressões flutuantes e pressões médias;

ix. Determinação dos harmônicos de força em cada nó - séries de carregamento;

x. Aplicação de vinte series de carregamento no modelo em estudo;

xi. Simulação computacional da estrutura sujeita às vinte séries de

carregamentos;

xii. Determinação da resposta característica entre as vinte séries de carregamentos

simulados no modelo.

47

4.2. DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DE PROJETO

Conforme já citado, a velocidade média de projeto é obtida através da expressão (NBR

6123/1988):

(4.1)

4.3. ESPECTRO DE POTÊNCIA DO VENTO

O espectro de potência avaliado neste trabalho é o de Davenport, o mesmo utilizado

no trabalho de Franco (1993), conforme as equações:

(4.2)

(4.3)

onde:

f - a frequência das rajadas;

- a velocidade de projeto;

- a velocidade de fricção ou a velocidade de cisalhamento no escoamento do vento;

S(f) - o espectro de potência do vento;

x(f) - a frequência adimensional.

Por simplificação, calcula-se o espectro reduzido de potência do vento Sp(f):

(4.4)

Ou seja:

(4.5)

48

Lazanha (2003) ressalta que por mais que o espectro de potência de Davenport seja o

mais indicado em normas, como na norte-americana (ANSI A58.1) e na canadense (NBCC),

ele não consegue representar adequadamente os valores obtidos em baixas frequências, além

de não considerar a influência da cota z.

Morais (2014) apud. Rios (2015) sugere que o espectro de potência de Kaimal, o qual

não será estudado neste trabalho, é mais adequado para edifícios altos, pelo fato de considerar

o efeito da altura “z”. Assim como os espectros dos estudos empíricos de Kaimal e de

Davenport, outros espectros de velocidades do vento são utilizados para análise estrutural na

engenharia civil como o de Harris e Von Kármán, cujas curvas estão representadas na Figura

11 abaixo (CHAVÉZ, 2006).

FIGURA 11 - CURVAS UNIVERSAIS DO ESPECTRO DE POTÊNCIA LONGITUDINAL DE

DAVENPORT, HARRIS, VON KÁRMÁN, KAIMAL E OUTROS

FONTE: Adaptado de Rios (2015)

4.4. DECOMPOSIÇÃO DO ESPECTRO DE POTÊNCIA

Para a definição das cargas de vento aplicadas na análise dinâmica do edifício, segue a

metodologia apresentada em Leite (2015).

O parâmetro p’(t), que é dado pela expressão a seguir, é um fator utilizado para que

seja determinada a parcela flutuante do vento e é determinado conforme um determinado

49

número de funções harmônicas com períodos de 600 s a 0,5 s, de maneira que pelo menos o

primeiro modo de vibração da estrutura (harmônico ressonante) seja incluído neste intervalo.

π

(4.6)

em que:

m - número de harmônicos;

- período fundamental da estrutura;

- ângulo de fase gerado aleatoriamente;

- fator encontrado pela integração do espectro de potência nos intervalos de frequência dos

harmônicos m;

- relação entre os harmônicos k e R, em que:

R - harmônico ressonante;

k - harmônico em questão.

A integração do espectro de potência nos intervalos de frequência dos harmônicos m

para obter os valores de é dada por:

(4.7)

sendo os limites de integração fak e fpk obtidos por (LEITE, 2015):

(4.8)

(4.9)

em que r é a frequência fundamental da estrutura (primeiro modo de vibração) em Hz.

Como a amplitude máxima da pressão pode ser escrita como uma parcela da pressão

total, os valores de podem ser “corrigidos” dos coeficientes , obtidos por:

(4.10)

50

De acordo com Franco (1993), é necessária mais uma correção de para somente os

valores de k = r (ressonante) e seus adjacentes (k = r +1 e k = r - 1), sendo:

(4.11)

(4.12)

(4.13)

Com os coeficientes corrigidos, tem-se a equação dos harmônicos abaixo:

π

(4.14)

4.5. CORRELAÇÃO ESPACIAL DE VELOCIDADES

Chavéz (2006) descreve a correlação espacial de velocidades da seguinte forma:

“A correlação espacial fornece uma medida da intensidade em que pressões aplicadas em

pontos diferentes da mesma face de um edifício atuam coerentemente, permitindo o estudo da

não uniformidade da ação das rajadas ao longo da edificação, devendo ser estudada para cada

caso dependendo da forma e do comportamento dinâmico estrutural. Para projetos de edifícios

altos, torres de transmissão ou construções alteadas, interessam a correlação vertical das

componentes longitudinais e laterais das flutuações.”

Segundo Brasil e Silva (2013), para a medida de tal correlação, em função da

frequência da rajada (f) e da distância entre pontos (dist), é possível utilizar o coeficiente de

correlação cruzada de banda estreita, :

(4.15)

(4.16)

51

sendo z e y as coordenadas de dois pontos A ( , , ) e B ( , , ) da face da estrutura

exposta ao vento com mesmas coordenadas horizontais x.

Os coeficientes e são obtidos experimentalmente e, para aplicações práticas,

pode-se admitir 7 ≤ ≤ 10 e 12 ≤ ≤ 16 (BRASIL E SILVA, 2013). A favor da segurança,

adota-se = 7 e = 12, além disso, para estruturas predominantemente verticais -

chaminés, torres, edifícios esbeltos... - considerar somente a correlação vertical já é

suficiente (FRANCO, 1993). Logo, o coeficiente de correlação cruzada de banda

estreita, , fica da seguinte forma - agora descrita como :

(4.17)

É possível observar que o coeficiente de correlação varia de 1 para = 0 até 0

quando ∞. Esta função linear proporciona o conceito de tamanho de rajada, isto é, a

dimensão da uma rajada perfeitamente correlacionada que induz o mesmo efeito na estrutura,

dada pela expressão e conforme a Figura 12 abaixo (na qual indica a velocidade média

de projeto ):

(4.18)

(4.19)

52

FIGURA 12 - RAJADAS EQUIVALENTES

FONTE: Adaptado de Leite (2015)

Sendo o centro de rajada e o ponto mais alto da estrutura, tem-se:

(4.20)

onde o comprimento de rajada ( ) o valor obtido pela frequência ressonante. Leite (2015)

ressalva que a equação acima é de utilização facultativa, pois é possível adotar outro centro de

rajada cuja resposta seja mais significativa para a torre. Entretanto, para simplificação da

modelagem, o centro de rajada utilizado neste trabalho é o obtido via equação (4.20).

Adotado o centro de rajada , podem ser calculado os coeficientes de redução das

pressões flutuantes , o qual é em função da altura e do harmônico k. Segundo Leite

(2015) Cr é calculado conforme as expressões a seguir:

se (4.21)

ou,

se (4.22)

Caso o contrário, .

53

4.6. PRESSÕES FLUTUANTES E PRESSÕES MÉDIAS

A fim de definir a parcela flutuante (ou seja, a parcela dinâmica) da pressão total, a lei

de potência proposta pela NBR 6123/1988 é utilizada:

(4.23)

(4.24)

onde:

- velocidade para o período de 600 s na altura z;

- velocidade de pico para o período de 3 s na altura z;

- velocidade básica;

b; p - parâmetros meteorológicos definidos pela NBR 6123/1988 em função da classe do

terreno e do período.

Sendo a pressão de pico (t = 3 segundos) calculada como:

(4.25)

E a pressão média ou estática (t = 600 segundos) calculada como:

(4.26)

A razão entre a pressão média e a de pico é definida, de acordo com o Método do

Vento Sintético, como (FRANCO, 1993):

(4.27)

Logo, 48% da força total constituem o valor médio, também chamado de valor

estático, e 52% o valor flutuante dado pelas rajadas. Ou seja, a parcela da pressão média,

54

também referida de pressão estática ( ) não corresponde à pressão que a norma indica para

um carregamento estático como sugere a equação (3.3).

A pressão flutuante pode ser obtida como a diferença entre as pressões de pico e

estática:

(4.28)

Determinadas as pressões flutuantes, multiplica-se pelo parâmetro p’’ (4.14) e pelo

parâmetro Cr (4.21) e (4.22). Assim, têm-se as pressões flutuantes corrigidas que variam

conforme o tempo, a altura do nó j e o harmônico k, dadas por:

(4.29)

Para a conclusão do método, a estrutura é excitada com as séries temporais formadas

pelos m harmônicos com ângulos de fase aleatórios , os quais variam entre 0 a 2π. O

deslocamento é a resposta de interesse para a determinação da combinação característica.

Franco (1993) sugere as seguintes condições:

• m ≥ 11;

• os períodos das funções harmônicas devem ser múltiplos ou submúltiplos do período

fundamental por um fator 2;

• adoção de, no mínimo, vinte séries de carregamento.

Por fim, Leite (2015) elaborou o fluxograma da Figura 13 com o intuito de aclarar as

etapas do Método do Vento Sintético.

55

FIGURA 13 - FLUXOGRAMA DO MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO

FONTE: Adaptado de Leite (2015)

Início

Análise modal do modelo

para determinação da

frequência fundamental

Considerando as 20 séries de ângulos de fase

Decomposição dos

espectros de potência

Comparação das respostas das

simulações com diversos centros

de rajada (se aplicável)

Escolha do centro de rajada e

demais simulações

Determinação das pressões flutuantes

Determinação dos harmônicos de

força em cada nó (séries de

carregamento)

Aplicação das

vinte séries de

carregamento no

modelo em

estudo

Simulação

computacional da

estrutura sujeita às

vinte séries de

carregamentos

Determinação da resposta

característica entre as séries de

carregamentos simulados no modelo

Testar outro

centro de rajada

Determinação das alturas em relação

ao solo, área de influência e

coeficiente de arrasto

Determinação do espectro de

potência a ser utilizadoDeterminção da velocidade de projeto

Determinação de vinte conjuntos

com onze ângulos de fase

aleatórios cada, variando de 0 a 2π

Determinação da correlação espacial

das velocidades a ser utilizada

Escolha do centro de

rajada

Não

56

5. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Pode-se definir o Método dos Elementos Finitos (MEF), de acordo com Lotti et al

(2006), como um modelo matemático, em que um meio contínuo é dividido em vários

elementos, os quais conservam as propriedades do problema inicial que os originou. Esses

pequenos elementos são descritos por equações diferenciais e são solucionados em relação

aos outros elementos gerados. Esse método destaca-se por ter vantagens interessantes como

sua versatilidade, a aplicação de um sistema de forças em qualquer ponto ou direção, a

possibilidade de uma análise tanto quantitativa, quanto qualitativa do modelo e,

principalmente, pelas avaliações de tensões e deformações.

Segundo Assan (1990), denomina-se malha de elementos finitos a divisão do domínio

de integração. O tamanho dos elementos finitos é proporcional à malha, ou seja, quanto mais

refinada a malha for, maior será a quantidade de elementos nela. Além disso, denomina-se nó

cada ponto de interseção dessa malha.

De acordo com Azevedo (2003), o Método dos Elementos Finitos se baseia no

princípio dos trabalhos virtuais, em que, o trabalho interno deve ser igual ao externo. Logo,

quando um elemento finito se encontra sujeito a ações exteriores genéricas é necessário

proceder ao cálculo das forças nodais equivalentes (ou seja, as “forças internas”) à solicitação

exterior.

O conceito de força nodal equivalente formula a equação resolvente do Método dos

Elementos Finitos, cuja interpretação é símile à obtida para peças lineares: define o equilíbrio

nodal dos elementos da malha, combinando as forças nodais devidas aos deslocamentos

nodais e à resultante das forças nodais equivalentes às forças aplicadas (CASTRO, 1998).

Através da relação de tensões em função da matriz de elasticidade do elemento

(dependente módulo de Young e do coeficiente de Poisson), podem-se obter as deformações

e, consequentemente, os deslocamentos, para cada elemento. (AZEVEDO, 2003).

57

Junto com a rápida evolução dos sistemas computacionais nus últimos anos, o Método

dos Elementos Finitos passou a ser difundido e aplicado em diversas áreas (ASSAN, 1999).

Dentre os diversos programas computacionais que utilizam tal método para realizar análises

lineares e não-lineares, situa-se o software ANSYS, utilizado neste trabalho para realizar a

análise linear estática e dinâmica da torre reticulada em estudo. O trabalho de Bortolan Neto

(2002) também utilizou o software ANSYS para o estudo.

58

6. METODOLOGIA

Neste capítulo será feita a descrição do modelo computacional da torre analisada por

Bortolan Neto (2002), que também foi orientado pelo Prof. Dr. Marcos Arndt. Esta mesma

torre será utilizada neste trabalho.

Em seu trabalho, Bortolan Neto (2002) simulou através do Método dos Elementos

Finitos uma torre de telecomunicações para sistema móvel celular de 30 metros de altura com

seção transversal triangular equilátera. Nesse estudo, realizou-se uma análise estática do

carregamento de vento na torre conforme a NBR 6123/1988 e foi verificado também a não

necessidade de um estudo dinâmico (segundo a NBR 6123/1988), pois, a torre apresenta um

período fundamental menor que 1 s.

O objetivo deste trabalho é realizar uma análise dinâmica da torre objeto de estudo de

Bortolan Neto (2002) utilizando o Método do Vento Sintético e comparar as deformações e

outros resultados obtidos através da análise dinâmica com os obtidos pela análise estática

realizada por Bortolan Neto (2002).

6.1. DESCRIÇÃO DA TORRE DE TELECOMUNICAÇÃO PARA SISTEMAS MÓVEL

DE CELULAR

O objeto de análise é uma torre autoportante de 30 metros de altura com seção

transversal triangular equilátera. O perfil da torre é ilustrado conforme a Figura 14 a seguir:

59

FIGURA 14 – PERFIL DA TORRE

FONTE: Bortolan Neto (2002)

Os montantes até os seis metros iniciais de altura da torre são em tubos cônicos e os

demais montantes são em tubos cilíndricos. Todos os montantes são compostos por aço de

alta resistência mecânica, cujo limite de escoamento é de 373 MPa. As treliças da torre são

em perfis tipo cantoneira em aço ASTM A36, cujo escoamento limite equivale a 250 MPa.

De acordo com Bortolan Neto (2002), os carregamentos considerados para a torre

foram os seguintes:

- Peso de pessoal e equipamentos de montagem (situados na cota 30 m) = 430 kgf;

60

- Peso das antenas situadas na cota de 30 m (e área igual a 4,08 m²) = 300 kgf;

- Peso de cada uma das três plataformas (com área de 0,3 m² e situadas nas cotas 18 m,

25 m e 30 m) = 60 kgf;

- Peso de escadas, esteiras e cabos com área de 0,25 m²/m = 26 kgf/m

Ao longo de sua vida útil, a torre sofrerá dois tipos de carregamento: o causado pelo

vento e pelo peso próprio. Os carregamentos causados pelo pessoal e pelos equipamentos de

montagem podem ocorrer, mas não foram considerados no trabalho de Bortolan Neto (2002) e

tampouco serão considerados neste estudo, pois em termos de projetos as torres de

telecomunicações raramente são dimensionadas assim visto que é muito improvável que o

carregamento máximo de vento ocorra exatamente durante a instalação dos equipamentos ou

durante a manutenção.

6.2. CÁLCULO DO PESO PRÓPRIO DA ESTRUTURA

Bortolan Neto (2002) dividiu a estrutura em cinco módulos (Figura 15), devido à

mudança de dimensões dos tubos ao longo da torre. Cada módulo tem 6 metros de altura. As

dimensões dos tubos estão apresentadas na Tabela 6.

TABELA 6 - DIMENSÕES DOS TUBOS CILÍNDRICOS CÔNICOS

Módulo

e

(m)

1 0,101 0,101 0,00265 8,01E-03 7,60E-03 8,01E-03 7,60E-03 4,15E-04 4,15E-04

2 0,101 0,101 0,00265 8,01E-03 7,60E-03 8,01E-03 7,60E-03 4,15E-04 4,15E-04

3 0,114 0,114 0,00300 1,02E-02 9,68E-03 1,02E-02 9,68E-03 5,30E-04 5,30E-04

4 0,127 0,127 0,00300 1,27E-02 1,21E-02 1,27E-02 1,21E-02 5,91E-04 5,91E-04

5 0,135 0,150 0,00300 1,43E-02 1,37E-02 1,77E-02 1,70E-0,2 6,29E-04 7,00E-04

FONTE: Adaptado de Bortolan Neto (2002)

sendo:

– Diâmetro do topo do tubo;

– Diâmetro da base do tubo;

– Área externa do topo do tubo;

– Área interna da base do tubo;

– Área externa da base do tubo;

- Área interna da base do tubo;

61

- Área útil do topo do tubo;

- Área útil da base do tubo.

FIGURA 15 - DIVISÃO DOS MÓDULOS DA TORRE EM QUESTÃO CONFORME BORTOLAN NETO

(2002)

FONTE: Bortolan Neto (2002)

As dimensões das cantoneiras que formam as diagonais de cada módulo são

apresentadas na Tabela 7.

62

TABELA 7 - DIMENSÕES DAS CANTONEIRAS

Módulo Dimensões (pol) B (m) e (m) A (m²)

1 L 1,1/2” X 3/16” 0,0381 0,00476 3,402E-04

2 L 1,1/2” X 3/16” 0,0381 0,00476 3,402E-04

3 L 2” X 3/16” 0,0508 0,00476 4,612E-04

4 L 2” X 3/16” 0,0508 0,00476 4,612E-04

5 L 2,1/2” X 3/16” 0,0635 0,00476 5,822E-04


Sendo o peso específico do aço ( igual a 78500 N/m³, Bortolan Neto (2002)

apresentou as Tabelas 8 e 9 para o peso dos tubos cilíndricos cônicos e para o peso das

cantoneiras, respectivamente.

TABELA 8 - PESO DOS TUBOS CILÍNDRICOS CÔNICOS

Módulo (N/m³) Volume do tubo (m³) Peso unitário (N) Quantidade Peso total (N)

1 78500 2,49E-03 195,42 3 586,27

2 78500 2,49E-03 195,42 3 586,27

3 78500 3,18E-03 249,70 3 749,09

4 78500 3,55E-03 278,55 3 835,66

5 78500 3,99E-03 312,95 3 938,86


TABELA 9 - PESO DAS CANTONEIRAS

Módulo (N/m³)

Comprimento

da Cantoneira

(m)

Volume da

Cantoneira

(m³)

Peso Unitário

(N) Quantidade

Peso Total

(N)

1 78500 2,048 6,968E-04 54,6967 24 1312,72

2 78500

2,048 6,968E-04 54,6967 24 1312,72

3,182 1,468E-03 115,1989 6 691,19

1,692 7,803E-04 61,2560 3 183,77

3 78500

3,376 1,557E-03 122,2224 6 733,33

1,986 9,159E-04 71,8998 3 215,70

3,576 1,649E-03 129,4930 6 776,78

2,3 1,052E-03 82,5435 3 247,63

4 78500

3,784 1,745E-03 136,9933 6 821,96

2,573 1,187E-03 93,1511 3 279,45

3,989 2,322E-03 182,2943 6 1093,77

2,877 1,675E-03 131,4768 3 394,43

5 78500 4,206 2,449E-03 192,2111 6 1153,27

3,168 1,844E-03 144,7752 3 434,44


O peso total da estrutura, com o peso das três plataformas (660 N cada), da

escada/esteira/cabos (260 N/m) e da antena (3000 N) além dos pesos das cantoneiras

(diagonais) e dos tubos cilíndricos (montantes), é calculado por módulo conforme a Tabela 10

a seguir:

63

TABELA 10 - PESO PRÓPRIO DA ESTRUTURA

Módulo Peso da estrutura -

cantoneira e tubos

(N)

Peso de

escada/esteira/cabos (N)

Peso das

plataformas

(N)

Peso da

antena

(N)

Peso total

(N)

1 1898,99 1560,00 600,00 3000,00 7058,99

2 1898,99 1560,00 120,00 - 4658,99

3 2573,09 1560,00 - - 4122,09

4 2961,48 1560,00 - - 4521,48

5 4014,65 1560,00 - - 5574,65

Total 25936,20


Nesse trabalho não são considerados o peso de pessoal e equipamentos de montagem

(4,30 kN) e nem um peso adicional devido à galvanização da estrutura.

Após o cálculo do peso próprio total da torre, Bortolan Neto (2002) dividiu o peso

entre os nós da estrutura conforme os módulos (Tabela 11).

TABELA 11 - DISTRIBUIÇÃO DO PESO PRÓPRIO NOS NÓS

Módulo Peso total (N) Quantidade

nós/face

Quantidade de

faces

Quantidade de

nós Peso (N)/nó

1 7058,99 4 3 12 588,349

2 4658,99 4 3 12 388,249

3 4133,09 2 3 6 688,848

4 4521,48 2 3 6 753,579

5 5574,65 2 3 6 929,109


6.3. CÁLCULO DO COEFICIENTE DE ARRASTO

A torre foi modelada no trabalho de Bortolan Neto (2002) para uma região hipotética

coberta por vários obstáculos pouco espaçados entre si numa zona urbanizada. O autor

admitiu que a ruína total ou parcial pudesse afetar a segurança ou a possibilidade de socorro a

pessoas depois de uma tempestade destrutiva. Logo, os parâmetros considerados por Bortolan

Neto (2002) estão listados na Tabela 12 a seguir.

64

TABELA 12 - PARÂMETROS DE PROJETO

Vento operacional 100 km/h

Velocidade básica do vento (V0) 45 m/s (região oeste de SC)

S1 1,10

S3 1,10

Rugosidade do terreno Categoria IV

Edificação Classe B


Para o cálculo do coeficiente de arrasto, é preciso, primeiramente, obter o valor da

velocidade característica do vento para cada módulo. Como a velocidade característica é

função do fator da rugosidade, o qual varia para cada altura do módulo, dos parâmetros b e p e

do fator de rajada. As Tabelas 13 e 14 abaixo apresentam o fator S2 e a velocidade

característica para cada módulo da torre.

TABELA 13 - FATOR S2 PARA CADA MÓDULO DA TORRE

Módulo Fr B P Z (m) S2

1 0,98 0,85 0,125 30,00 0,9556

2 0,98 0,85 0,125 24,00 0,9293

3 0,98 0,85 0,125 18,00 0,8965

4 0,98 0,85 0,125 12,00 0,8522

5 0,98 0,85 0,125 6,00 0,7815

Antena 0,98 0,85 0,125 30,00 0,9556

Plataforma 0,98 0,85 0,125 30,00 0,9556

Plataforma 0,98 0,85 0,125 25,00 0,9341

Plataforma 0,98 0,85 0,125 18,00 0,8965


65

TABELA 14 - VELOCIDADE CARACTERÍSTICA

Módulo V0 (m/s) S1 S2 S3 Vk

1 45,00 1,10 0,9556 1,10 52,03

2 45,00 1,10 0,9293 1,10 50,60

3 45,00 1,10 0,8965 1,10 48,81

4 45,00 1,10 0,8522 1,10 46,40

5 45,00 1,10 0,7815 1,10 42,55

Antena 45,00 1,10 0,9556 1,10 52,03

Plataforma 45,00 1,10 0,9556 1,10 52,03

Plataforma 45,00 1,10 0,9341 1,10 50,86

Plataforma 45,00 1,10 0,8965 1,10 48,81


Além da velocidade característica para cada módulo, são necessários também o índice

de área exposta (φ) e o n mero de Reynolds (Re), os quais são calculados conforme as

equações 3.5 e 3.6, respectivamente, e apresentados na Tabela 15.

TABELA 15 - ÍNDICE DE ÁREA EXPOSTA E NÚMERO DE REYNOLDS

Módulo (m²) (m²) Φ Re

1 10,84 3,94 0,364 3,67877E+05

2 10,84 9,42 0,364 3,57757E+05

3 12,70 4,40 0,347 3,89542E+05

4 16,37 4,78 0,292 4,12517E+05

5 20,06 5,49 0,273 4,24448E+05


Através da velocidade característica, do índice de área exposta e do número de

Reynolds, Bortolan Neto (2002) obteve os coeficientes de arrasto para as cantoneiras e

montantes a partir das Figuras 7 e 4 deste trabalho.

O cálculo do coeficiente de arrasto de cada módulo se dá através da seguinte relação

(BORTOLAN NETO, 2002):

(6.1)

onde:

- Coeficiente de arrasto das cantoneiras;

66

- Coeficiente de arrasto dos montantes;

– Área frontal efetiva das cantoneiras (m²);

- Área frontal efetiva dos montantes (m²).

Os coeficientes de arrasto obtidos para cada módulo são apresentados na Tabela 16.

TABELA 16 - COEFICIENTE DE ARRASTO DA ESTRUTURA PARA CADA MÓDULO

Módulo

1 0.93 2,11 1,818 2,12 3,94 1,565

2 0,93 2,11 1,818 2,12 3,94 1,565

3 0,94 2,16 2,050 2,35 4,40 1,592

4 0,94 2,32 2,283 2,49 4,78 1,663

5 0,95 2,38 2,562 2,92 5,49 1,712


Para a antena e plataformas, Bortolan Neto (2002) adotou o coeficiente de arrasto

igual a 1,6.

67

7. APLICAÇÃO

Neste trabalho, o carregamento estático (correspondente aproximadamente a 48% do

carregamento total) e o dinâmico (correspondente a 52% do carregamento total) foram feitas

separadamente, com o auxílio do programa ANSYS, somando apenas os deslocamentos

obtidos no topo da torre (nós 40, 46 e 47) (Figura 16) no final das duas análises.

FIGURA 16 - LOCALIZAÇÃO DOS NÓS 40, 46 E 47

FONTE: A autora

Por uma questão de conservadorismo, as cargas, tanto dinâmicas quanto estáticas,

foram calculadas considerando o topo de cada módulo da torre. Na modelagem, para

simplificar, as cargas foram aplicadas apenas nos vértices da seção transversal de cada topo de

módulo.

As Tabelas 17 e 18 resumem os dados obtidos do trabalho de Bortolan Neto (2002) e

que são necessários para a aplicação do Método do Vento Sintético:

TABELA 17 - RESUMO GERAL DO TRABALHO DE BORTOLAN NETO (2002)

V0 (m/s) S1 S3 Vp (m/s) Categoria Frequência fundamental (Hz) Período fundamental (s)

45 1,1 1,1 37,5705 IV 1,2549 0,7969

FONTE: A autora

68

TABELA 18 - OUTROS DADOS OBTIDOS POR BORTOLAN NETO (2002) NECESSÁRIOS PARA ESTE

TRABALHO

FONTE: A autora

7.1. SIMPLIFICAÇÕES ADOTADAS

Algumas simplificações são feitas no Método do Vento Sintético, como a

consideração de que o fluxo de vento é unidirecional, estacionário e homogêneo para a

geração dos históricos de carregamento. Logo, a direção do fluxo principal é constante no

tempo e espaço, e as características estatísticas do vento não se alteram durante o período em

que a simulação é realizada (BRASIL E SILVA, 2013).

Neste trabalho o Método do Vento Sintético não foi aplicado de forma iterativa em

relação ao seu centro de rajada mais desfavorável. Adotou-se uma cota para o centro de rajada

conforme a equação (4.20).

A aplicação de cargas realizada neste trabalho foi feita de maneira conservadora. Pois

as cargas foram locadas apenas nos vértices do topo dos módulos da torre, e não de maneira

distribuída em todos os vértices dos módulos como no trabalho de Bortolan Neto (2002).

Além disso, é relevante destacar o fato de que apenas uma direção do vento foi

considerada, a qual é a mesma direção de incidência de vento em que Bortolan Neto (2002)

obteve os maiores resultados de deslocamento.

Módulo Z (m) Área Efetiva Coeficiente de Arrasto Pressão dinâmica qf (N/m²)

1 30,00 3,94 1,565 701,236

2 24,00 3,94 1,565 687,094

3 18,00 4,40 1,592 666,763

4 12,00 4,78 1,663 635,164

5 6,00 5,49 1,712 576,623

Antena 30,00 4,08 1,6000 701,236

Plataforma 30,00 0,3 1,6000 701,236

Plataforma 25,00 0,3 1,6000 689,799

Plataforma 18,00 0,3 1,6000 666,763

69

O cálculo da força incidente do vento na antena foi feito de acordo com o trabalho de

Bortolan Neto (2002), ou seja, por mais que no modelo a antena esteja localizada na cota de

28 m, considerou-se, para efeitos de cálculo, como se ela estivesse na cota z = 30 m para estar

a favor da segurança. Além disso, destaca-se que, em projetos de torres de telecomunicações,

geralmente a antena é considerada no topo da torre, pois sua cota “exata” é desconhecida na

maioria das vezes pelos projetistas.

Carregamentos improváveis, como carga da equipe de manutenção e instalação de

equipamentos foram desconsiderados, assim como no trabalho de Bortolan Neto (2002). Pelo

fato de que a probabilidade da maior rajada de vento ocorrer quando a equipe técnica estiver

na torre é muito baixa.

Neste trabalho, considerou-se o espectro de potência de Davenport por ser o mais

utilizado em normas e na literatura.

Nas respostas (deslocamento, reação de apoio e esforços máximos) da parcela

flutuante (também chamada de dinâmica) do vento, os picos de impacto do período de

adaptação da estrutura não foram desconsiderados, a fim de se obter uma resposta ainda

maior.

7.2. CÁLCULO DA PARCELA ESTÁTICA CONFORME O MÉTODO DO VENTO

SINTÉTICO

Para o cálculo da força média , são primeiramente necessários os valores dos

parâmetros b3, p3, b600 e p600, obtidos pela Figura 3 deste trabalho.

A parcela da força média / estática , que corresponde a 48% do carregamento,

para o intervalo de medição de 600 s é dada pela equação (7.1).

(7.1)

sendo:

70

– coeficiente de arrasto do módulo;

– área frontal efetiva;

– pressão de uma rajada equivalente a 600 s.

Com a aplicação das equações (4.25), (4.26) e (4.31), a pressão de pico ( ), a pressão

média / estática ( ), e a força estática média ( ) são calculadas para cada módulo e

apresentadas na Tabela 19.

TABELA 19 - PRESSÃO E FORÇA ESTÁTICA

Mó

du

lo

Z (

m)

Áre

a E

feti

va

(m)

Co

efic

ien

te d

e

Arr

asto

Vo

(m

/s)

b3

p3

v3

(m

/s)

b6

00

p6

00

v6

00

(m

/s)

Pre

ssão

de

Pic

o

qj

(N/m

²)

Pre

ssão

méd

ia /

está

tica

qes

t

(N/m

²)

Fo

rça

est

áti

ca

/ m

édia

Fm

(N/m

²)

1 30,00 3,94 1,57 45,00 0,86 0,12 44,15 0,71 0,23 28,38 1195,06 493,83 3045,00

2 24,00 3,94 1,57 45,00 0,86 0,12 42,99 0,71 0,23 26,96 1132,75 445,65 2747,95

3 18,00 4,40 1,59 45,00 0,86 0,12 41,53 0,71 0,23 25,24 1057,18 390,41 2734,77

4 12,00 4,78 1,66 45,00 0,86 0,12 39,56 0,71 0,23 22,99 959,15 323,98 2575,40

5 6,00 5,49 1,71 45,00 0,86 0,12 36,40 0,71 0,23 19,60 812,15 235,53 2213,74

Antena 30,00 4,08 1,60 45,00 0,86 0,12 44,15 0,71 0,23 28,38 1195,06 493,83 3223,71

Plataforma 30,00 0,30 1,60 45,00 0,86 0,12 44,15 0,71 0,23 28,38 1195,06 493,83 237,04

Plataforma 25,00 0,30 1,60 45,00 0,86 0,12 43,20 0,71 0,23 27,22 1143,90 454,10 217,97

Plataforma 18,00 0,30 1,60 45,00 0,86 0,12 41,53 0,71 0,23 25,24 1057,18 390,41 187,40

FONTE: A autora

Conforme a Tabela 3 deste trabalho, a distribuição da força na estrutura não se dá

uniformemente entre as faces e, consequentemente, nos vértices. Em nível de comparação

com a consideração do carregamento do vento como carga estática. Este trabalho fará o

estudo de somente um caso de incidência do vento sobre a estrutura, o qual está representado

na Figura 17.

FIGURA 17 - DIREÇÃO DO VENTO CONSIDERADA

FONTE: NBR 6123 (1988)

71

Para tal caso de incidência de vento, as Tabelas 20 e 21 a seguir mostram a resultante

do vento em cada face (I, II e III) e o valor para cada vértice (1, 2 e 3) da seção transversal do

topo do módulo.

Os vértices 1, 2 e 3 da Figura 18 e Tabela 20 representam, respectivamente, os de topo

de cada módulo da torre.

FIGURA 18 - VÉRTICES DA TORRE

FONTE: Adaptado de Bortolan (2002)

TABELA 20 - FORÇAS RESULTANTES EM CADA FACE DA TORRE

Módulo Força estática /

média Fm Face n t

Resultante

na face (N)

1 3045,00

I 1735,65 0,00 1735,65

II 334,95 578,55 668,51

III 334,95 578,55 668,51

2 2747,95

I 1566,33 0,00 1566,33

II 302,27 522,11 603,30

III 302,27 522,11 603,30

3 2734,77

I 1558,82 0,00 1558,82

II 300,83 519,61 600,41

III 300,83 519,61 600,41

4 2575,40

I 1467,98 0,00 1467,98

II 283,29 489,33 565,42

III 283,29 489,33 565,42

5 2213,74

I 1261,83 0,00 1261,83

II 243,51 420,61 486,01

III 243,51 420,61 486,01

FONTE: A autora

72

TABELA 21 - FORÇA DO VENTO EM CADA NÓ DA ESTRUTURA

Módulo Vértices Força nos vértices (N)

1 + Plataforma 30 m

1 1202,08

2 1202,08

3 668,51

2 + Plataforma 25 m

1 1084,81

2 1084,81

3 603,30

3 + Plataforma 18 m

1 1079,61

2 1079,61

3 600,41

4

1 1016,70

2 1016,70

3 565,42

5

1 873,92

2 873,92

3 486,01

Antena 1 1611,86

2 1611,86

FONTE: A autora

A aplicação das forças nos vértice do topo de cada módulo (Tabela 21) pode ser

observada na Figura 19 a seguir.

73

FIGURA 19 - APLICAÇÃO DAS CARGAS ESTÁTICAS NO MODELO

FONTE: A autora

7.3. CÁLCULO DA PARCELA DINÂMICA CONFORME O MÉTODO DO VENTO

SINTÉTICO

A partir do período fundamental da estrutura obtida pela análise modal de Bortolan

Neto (2002) - 0,7969 s – foi montado um espectro de 11 harmônicos múltiplos de dois do

período ressonante num intervalo variando entre 0 a 600 s, no qual a frequência fundamental

corresponde ao harmônico número 3 (R = 3) (Tabela 22). A escolha do harmônico ressonante

como o de ordem 3 foi escolhido de forma a ter uma distribuição de harmônicos em que o

ressonante fica mais próximo ao centro e o harmônico de primeira ordem (em que k = 1) não

fique com período de vibração tão pequeno.

74

TABELA 22 - CONSTRUÇÃO DOS HARMÔNICOS

k T (s) f (Hz)

1 0,199 5,020

2 0,398 2,510

3 0,797 1,255

4 1,594 0,627

5 3,188 0,314

6 6,375 0,157

7 12,750 0,078

8 25,500 0,039

9 51,000 0,020

10 102,000 0,010

11 204,000 0,005

FONTE: A autora

Conforme a formulação apresentada no capítulo 4, os resultados do espectro de

potência e do coeficiente ck para a decomposição das pressões flutuantes são mostrados na

Tabela 23. O detalhamento do cálculo feito para os coeficientes Ck foi feito através do

software MAPLE e está descrito abaixo.

77

TABELA 23 - PARÂMETROS CALCULADOS PARA DECOMPOSIÇÃO DAS PRESSÕES FLUTUANTES

k T (s) f (Hz) x fak fpk Sp = S(f)/u*² Ck ck ck final

1 0,199 5,020 162,998 7,099 3,549 0,027 0,433 0,042 0,04

2 0,398 2,510 81,499 3,549 1,775 0,085 0,545 0,053 0,07

3 0,797 1,255 40,749 1,775 0,887 0,269 0,687 0,066 0,03

4 1,594 0,627 20,375 0,887 0,444 0,852 0,864 0,083 0,10

5 3,188 0,314 10,187 0,444 0,222 2,679 1,083 0,104 0,10

6 6,375 0,157 5,094 0,222 0,111 8,190 1,336 0,129 0,13

7 12,750 0,078 2,547 0,111 0,055 22,588 1,559 0,150 0,15

8 25,500 0,039 1,273 0,055 0,028 45,757 1,560 0,150 0,15

9 51,000 0,020 0,637 0,028 0,014 52,535 1,199 0,116 0,12

10 102,000 0,010 0,318 0,014 0,007 36,357 0,721 0,070 0,07

11 204,000 0,005 0,159 0,007 0,003 19,997 0,382 0,037 0,04

Somatório: 10,37044 1,000 1,00

FONTE: A autora

Os comprimentos de rajada encontrados para cada harmônico são apresentados na

Tabela 24 a seguir:

TABELA 24 - COMPRIMENTOS DE RAJADA PARA CADA UM DOS 11 HARMÔNICOS

k f Δz (Comprimento da Rajada)

1 5,020 1,07

2 2,510 2,14

3 1,255 4,28

4 0,627 8,55

5 0,314 17,11

6 0,157 34,22

7 0,078 68,43

8 0,039 136,86

9 0,020 273,73

10 0,010 547,46

11 0,005 1094,91

FONTE: A autora

O centro de rajada encontrado pela aplicação do método referente à equação (4.20) (a

partir do comprimento de rajada do harmônico ressonante) é de 25,72 m. Entretanto, neste

trabalho foi considerado um centro de rajada igual a 24 m, coincidente com o topo do módulo

2 da torre. Esta decisão foi feita pelo fato de em 24 m haver uma plataforma e conter os

vértices que receberão todo o carregamento referente ao módulo 2.

78

Logo, será na cota 24 m, em que haverá o centro de rajada, em que os maiores valores

de pressão flutuantes serão observados.

Para a aplicação do Método do Vento Sintético é necessário gerar 20 conjuntos, a fim

de obter-se uma amostragem representativa, de 11 ângulos de aleatórios variando entre 0 a 2

π. A geração dos ângulos de fase deste trabalho foi feita a partir do Excel e é apresentada na

Tabela 25 a seguir.

TABELA 25 - ÂNGULOS DE FASE ALEATÓRIOS

Série Ângulos de fase ϴk

1 0,0071 1,7729 2,7389 2,7707 0,6041 2,3689 3,6975 2,7899 5,8393 1,9710 1,6355

2 2,5261 1,8058 2,0702 1,1278 5,9044 1,8936 2,3669 3,1580 1,8849 1,8089 5,3091

3 5,3944 4,4035 2,0914 4,9296 3,5238 5,9226 2,1451 3,9143 5,7081 0,4352 5,3720

4 4,6823 0,8762 4,0611 1,8670 2,1700 1,8889 2,4001 1,7391 0,1891 0,7996 3,7267

5 4,5558 4,0061 2,3057 1,6189 5,3886 3,1779 2,9239 2,9534 1,5640 0,7266 5,6552

6 2,2713 2,3651 1,3229 0,9921 2,7075 4,1665 3,8774 1,1489 0,3383 2,4823 0,2952

7 2,6469 2,0027 4,6371 0,7772 3,6612 4,5801 0,4593 4,8133 2,7579 0,5800 3,8000

8 2,4782 3,1707 1,1732 1,2549 3,6774 4,0878 5,1458 4,3506 2,2596 2,2263 1,6449

9 2,3143 0,6263 3,8909 0,2621 5,7751 0,2189 2,2446 3,1340 0,4358 3,3134 5,4868

10 4,5011 2,0323 1,1179 5,7460 0,2571 2,6039 3,4380 4,2498 0,2887 3,8394 5,1683

11 5,2536 3,2091 1,6648 4,7645 5,1103 4,2144 2,9274 1,6413 3,2253 1,4351 0,7965

12 0,5325 2,9233 5,2273 5,8729 1,1883 5,1160 1,6394 4,5806 0,5203 2,9176 0,1575

13 4,7552 0,9783 4,7206 5,9629 0,7269 3,5289 2,7986 1,3605 4,5095 3,8089 2,9776

14 3,6707 5,3491 4,3040 5,6619 4,0361 5,3905 0,5217 5,4328 3,7476 5,5578 0,7069

15 4,6125 3,3925 3,4480 4,2704 1,5506 0,9604 0,0090 4,8144 2,2400 4,1536 5,1695

16 0,0439 1,1739 3,5078 4,7945 2,3408 0,7603 4,6451 2,9016 3,9083 3,3427 3,1127

17 2,9114 4,8192 3,6782 0,6343 2,3585 1,2181 0,4174 2,8374 1,0113 0,2576 4,8706

18 2,6264 0,9097 1,9664 4,6320 4,8983 4,4175 4,3217 3,3798 0,0581 3,2189 1,2009

19 1,3052 5,9637 0,6768 5,2407 0,1221 1,4048 5,1811 5,5993 4,7966 2,0023 5,5415

20 3,4335 5,3935 0,8189 0,4600 5,7422 0,8852 1,0687 0,3273 4,5500 1,8410 0,8233

FONTE: A autora

Assim como o fator de pressão p’’ (equação (4.14)) e o ângulo de fase ϴk, o

coeficiente de redução da pressão flutuante Cr também depende do harmônico em questão. De

acordo com as equações (4.21) e (4.22) e considerando o centro de rajada igual a 24,00 m, o

Cr é calculado conforme as Tabelas 26 e 27, obtendo um carregamento similar ao da Figura

20.

79

TABELA 26 - CORRELAÇÃO ESPACIAL DE VELOCIDADE

k f Δz (Comprimento da Rajada) Gc (Centro da Rajada) Gc - Δz Gc Gc + Δz

1 5,02 1,07

Gc

= z

1 -

Δz (do ressonante)

22,93

25,07

2 2,51 2,14 21,86 26,14

3 1,25 4,28 19,72 24,00 28,28

4 0,63 8,55 15,45

32,55

5 0,31 17,11 6,89 41,11

6 0,16 34,22 -10,22 58,22

7 0,08 68,43 -44,43 92,43

8 0,04 136,86 -112,86 160,86

9 0,02 273,73 -249,73 297,73

10 0,01 547,46 -523,46 571,46

11 0,00 1094,91 -1070,91 1118,91

FONTE: A autora

TABELA 27 - VALORES DE Cr

k 1/Δz Para Z = 30 Para Z = 24 Para Z =18 Para Z =12 Para Z = 6

1 0,94 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000

2 0,47 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000

3 0,23 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000

4 0,12 0,299 1,000 0,299 0,000 0,000

5 0,06 0,649 1,000 0,649 0,299 0,000

6 0,03 0,825 1,000 0,825 0,649 0,474

7 0,01 0,912 1,000 0,912 0,825 0,737

8 0,01 0,956 1,000 0,956 0,912 0,868

9 0,00 0,978 1,000 0,978 0,956 0,934

10 0,00 0,989 1,000 0,989 0,978 0,967

11 0,00 0,995 1,000 0,995 0,989 0,984

FONTE: A autora

A partir do somatório dos Cr em função do k para cada altura, é possível observar a

distribuição das pressões de vento flutuante assim como seu centro de rajada na cota 24 m

(Figura 20).

80

FIGURA 20 - DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES DE VENTO E CENTRO DE RAJADA

FONTE: A autora

Na análise das cargas flutuantes, as cargas também foram aplicadas no topo de cada

módulo e nos nós da antena. Foi considerada também a correção da distribuição das forças

nos nós devido à seção triangular da torre (conforme já feito na análise da parcela estática do

vento e ilustrado na figura 19). A descrição da parcela flutuante da força em função do tempo

está disponível no apêndice.

Para obter uma amostra estatística relevante, foram feitas foram feitas 20 análises de

cargas transientes em função do tempo, variando de 0 a 600 s, através das equações (4.29) e

(4.30).

Para a determinação da parcela da força dinâmica / flutuante em cada nó da

estrutura , as pressões flutuantes corrigidas serão multiplicadas pelo

coeficiente de arrasto para cada nó e pela área de influência de cada nó , que também

pode ser obtida como a área da projeção ortogonal das barras de uma das faces da torre

reticulada sobre um plano paralelo a esta face:

(7.2)

81

Após a determinação das forças da parcela estática e da flutuante, simulação de cada

parcela foi analisada separadamente somando seu resultado – deslocamento, reação de apoio e

esforço máximo – no final. Já que a força total é obtida pela soma da parcela da força

flutuante (7.2) com a parcela força média (7.1) para cada nó e instante de tempo.

Os gráficos ilustrando o deslocamento do nó 47 ao longo do tempo (0 a 600 s) da

parcela flutuante da carga do vento nas combinações que deram os maiores deslocamentos –

combinação 5 e combinação 17 – são apresentados nas Figuras 21 e 22 a seguir.

FIGURA 21 - VARIAÇÃO DO DESLOCAMENTO DO NÓ 47 NA COMBINAÇÃO 5

FONTE: A autora

82

FIGURA 22 - VARIAÇÃO DO DESLOCAMENTO DO NÓ 47 NA COMBINAÇÃO 17

FONTE: A autora

Os gráficos ilustrando a variação da reação de apoio do nó 1 e 90 ao longo do tempo

(0 a 600 s) da parcela flutuante da carga do vento nas combinações que deram os maiores

deslocamentos – combinação 5 e combinação 17 – são apresentados nas Figuras 23 e 24 a

seguir.

83

FIGURA 23 - VARIAÇÃO DA REAÇÃO DE APOIO NA PARCELA DINÂMICA EM Y NO NÓ 1

FONTE: A autora

FIGURA 24 – VARIAÇÃO DA REAÇÃO DE APOIO NA PARCELA DINÂMICA EM Y NO NÓ 90

FONTE: A autora

84

As Figuras 21, 22, 23 e 24 acima ilustram que o pico dos resultados considerado

(quando t = 15,6 s) corresponde ao intervalo de “impacto” da variação inicial aplicada e não à

resposta aleatória, cujo intervalo começa aproximadamente quanto t = 80 s. Entretanto, de

forma a buscar respostas com valores mais altos, consideraram-se as respostas do pico do

intervalo do impacto para a comparação.

85

8. ANÁLISE E RESULTADOS

Na análise da parcela estática do vento, os seguintes deslocamentos no topo da torre

(nós 47, 46 e 40) apresentados na Tabela 28.

TABELA 28 - DESLOCAMENTOS DA PARCELA ESTÁTICA (EM M)

47: UY 46: UY 40: UY

0,22758 0,22758 0,22756

FONTE: A autora

FIGURA 25 - TORRE DEFORMADA DEVIDO À CARGA DA PARCELA ESTÁTICA DO VENTO

FONTE: A Autora

Os resultados dos deslocamentos para cada uma das combinações da parcela flutuante

do vento estão listados na Tabela 29, assim como a média, desvio padrão e o valor máximo

provável dos deslocamentos. O valor máximo provável do deslocamento foi calculado

considerando uma distribuição gaussiana dos deslocamentos, com probabilidade de 95% de

86

ocorrência, limitando em 5% a probabilidade de este valor ser superado. O cálculo do máximo

valor se dá por:

(7.1)

sendo:

u o máximo valor provável;

a média dos deslocamentos;

o desvio padrão.

TABELA 29 - DESLOCAMENTOS DA PARCELA FLUTUANTE DO VENTO (EM M)

Combinação 47: UY 46: UY 40: UY

1 0,335062 0,335062 0,335033

2 0,30522 0,30522 0,305194

3 0.28439 0.28439 0,284354

4 0,284754 0,284754 0,288472

5 0,380488 0,380488 0,380499

6 0,344011 0,344012 0,343973

7 0,343951 0,343952 0,343916

8 0,353117 0,353118 0,353078

9 0,348839 0,348839 0,348806

10 0,284316 0,284316 0,284295

11 0,319121 0,319122 0,319093

12 0,281023 0,281023 0,281008

13 0,281289 0,28148 0,281465

14 0,325273 0,325274 0,325248

15 0,312482 0,312482 0,312456

16 0,291467 0,291467 0,291441

17 0,386766 0,386766 0,386734

18 0,308845 0,308845 0,308823

19 0,261063 0,261064 0,261042

20 0,28635 0,28635 0,286326

Média 0,317549 0,31756 0,316063

Desvio Padrão 0,035504 0,035493 0,035169

Valor máximo

provável (Gauss) 0,372935 0,372929 0,370926

FONTE: A autora

Somando as parcelas estáticas e flutuantes, obtém-se a Tabela 30.

87

TABELA 30 - COMPARAÇÃO MÉTODO ESTÁTICO E MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO

DESLOCAMENTOS TOTAIS

Nós do topo da torre: 47 46 40

Método do Vento Sintético (m) 0,60 0,60 0,60

Bortolan Neto (2002) (m) 0,66 0,66 0,66

Diferença em cm 6,26 6,26 6,46

Diferença em % 9,5% 9,5% 9,8%

FONTE: A autora

Segundo Leite (2015), após determinar o deslocamento característico, escolhe-se

dentre as 20 combinações aquela que possui o deslocamento mais próximo desse para obter

outros parâmetros resultantes – como reação de apoio e esforços normais nas barras. No caso

deste trabalho, a combinação para obter tais parâmetros é a série 5.

Para a comparação da reação de apoio, somaram-se as reações da parcela estática do

vento com os picos (do período de impacto) das reações da parcela dinâmica, que são

encontrados no instante de tempo de 15,6 s. Os resultados se encontram na Tabela 31 abaixo:

TABELA 31 - REAÇÕES DE APOIO

Nó Parcela estática (kN) Parcela dinâmica (kN) Total (kN)

FX FY FZ FX FY FZ FX FY FZ

1 -3,64 -4,55 -68,14 -6,39 -11,33 -116,35 -10,03 -15,88 -184,49

90 0,00 -8,20 110,57 0,00 -17,87 207,95 0,00 -26,07 318,52

61 3,64 -4,55 -68,14 6,39 -11,33 -116,34 10,03 -15,89 -184,48

FONTE: A autora

Comparando-se o resultado obtido com o de Bortolan Neto (2002), percebe-se que, em

média, as reações de apoio adquiridas via Método do Vento Sintético foram, em FX, 25,5%

menores do que as obtidas pelo método estático da norma. Em FY, a diferença entre a reação

de apoio pelo Método do Vento Sintético nos nós 1 e 61 obtida chegou a ser 20% maior do

que pelo método estático da norma. Em FZ, a diferença da reação de apoio no nó 90 obtida

pelo Método do Vento Sintético chegou a ser 20% menor do que a obtida por Bortolan Neto

(2002). As comparações dos resultados se encontram na Tabela 32 a seguir.

88

TABELA 32 - COMPARAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO

Nó Método do Vento Sintético (kN) Bortolan (2002) (kN) Diferença (em kN)

FX FY FZ FX FY FZ FX FY FZ

1 -10,03 -15,88 -184,49 -13,48 -13,21 -186,00 -3,45 2,67 -1,50

90 0,00 -26,07 318,52 -0,01 -38,33 399,00 0,00 -12,26 80,47

61 10,03 -15,89 -184,48 13,49 -13,22 -186,00 3,45 2,67 -1,52

FONTE: A autora

Assim como o trabalho de Bortolan Neto (2002), os maiores esforços de tração e

compressão se deram nos montantes do módulo 5. Respectivamente nos elementos 1 e 197

(Figura 26).

FIGURA 26 - ELEMENTOS 1 E 197

FONTE: A autora

Na combinação 5, o pico dos esforços se dá no instante de tempo em que há a maior

deformação no topo, ou seja, em 15,6 s. Somando os esforços da parcela estática com a

flutuante (quando t = 15,6 s), têm-se resultados dos esforços globais das barras, os quais estão

resumidos na Tabela 33.

89

TABELA 33 - ESFORÇOS MÁXIMOS NAS BARRAS

Esforços Elemento Método do Vento Sintético

Parcela flutuante (kN) Parcela estática (kN) Total (kN)

Compressão 197 -202,41 -109,22 -311,63

Tração 1 111,5 66,433 177,933

FONTE: A autora

Comparando os esforços obtidos com o Método do Vento Sintético, com os obtidos

por Bortolan Neto (2002), observa-se uma diferença insignificante quanto ao maior esforço de

tração. Em relação ao maior esforço de compressão, o Método do Vento Sintético apresentou

uma diferença 18,6% menor do que o resultado apresentado por Bortolan Neto (2002) com o

método de carregamento estático da norma NBR 6123/1988 (Tabela 34).

TABELA 34 - COMPARAÇÃO DOS ESFORÇOS MÁXIMOS

Esforço Elemento

Método do

Vento

Sintético

(kN)

Bortolan

(2002) (kN)

Diferença

(kN) Diferença

Compressão 197 -311,63 -383,05 -71,42 18,65%

Tração 1 177,933 178,68 0,747 0,42%

FONTE: A autora

90

9. CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS

9.1. CONCLUSÕES

O resultado de deslocamento da torre com o Método Vento Sintético foi inferior ao

obtido com a análise estática da NBR 6123/1988. Pelo fato da torre ter períodos de vibrações

inferiores a 1 segundo. Logo, para esta torre em estudo, a análise dinâmica pode ser

descartada e um estudo estático do carregamento do vento já seria o suficiente (NBR

6123/1988).

Além disso, pode-se concluir que:

O deslocamento obtido pelo Método do Vento Sintético, neste trabalho, foi de

aproximadamente 10% inferior ao obtido pelo método das cargas estáticas equivalentes da

norma NBR 6123/1988.

Assim como os deslocamentos, a reação de apoio na direção z obtida pelo Método do

Vento Sintético também foi menor do que o resultado observado pelo método estático da

norma. Esta diferença chegou aproximadamente a 20%

Em relação aos esforços máximos na estrutura, o Método do Vento Sintético chagou a

um resultado de compressão máxima de 18,65% menor em comparação ao resultado obtido

pelo método estático da norma. A diferença quanto ao esforço de tração entre os dois métodos

foi praticamente nula.

Apesar da aplicação do Método do Vento Sintético neste estudo obter deslocamentos

menos conservadores, a aplicação do Método do Vento Sintético é muito importante para

investigações em que a consideração de uma análise dinâmica da força do vento é obrigatória,

ou seja, para análises de estruturas em que o período de vibração é superior a 1 s.

9.2. SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS

Em estudos futuros, recomenda-se:

91

- A aplicação do Método do Vento Sintético nesta torre de uma maneira mais

completa, ou seja, arbitrando o centro de rajada através de um método iterativo baseado na

resposta que proporciona o maior deslocamento;

- Realização de mais análises para torre deste estudo, considerando outros casos de

incidência do vento na torre;

- Investigação considerando outros espectros de potência e comparação com o obtido

com o espectro de Davenport;

- Análise de estruturas com períodos maiores que um segundo, comparando os

resultados obtidos com o método dinâmico simplificado da norma NBR 6123/1988 com o

Método do Vento Sintético;

- A utilização do Método do Vento Sintético em modelos de torres de transmissão de

energia considerando também os cabos de transmissão, além de fazer uma comparação com

os outros métodos dinâmicos de análise.

92

REFERÊNCIAS

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93

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94

APÊNDICE

Parcela flutuante da força em função do vento para combinações 1 e 2

COMBINAÇÃO #01

!MÓDULO 01

!!Vértice 1 e 2

=(((0.11*1.565*3.94*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

2.770682))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

0.604113))+(0.824644*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

1.635532))))^2+(0.19*1.565*3.94*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

2.770682))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

0.604113))+(0.824644*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

1.635532))))^2)^0.5+0.57*1.565*3.94*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

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!!Vértice 3

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!MÓDULO 02

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!!Vértice 3

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!MÓDULO 03

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!!Vértice 3

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2.789917))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

1.635532))))^2+(0.19*1.592*4.4*666.7629*((0.298575*0.099918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

2.770682))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

0.604113))+(0.824644*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

1.635532))))^2)^0.5+0.3*1.6*666.7629*((0.298575*0.099918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

2.770682))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

0.604113))+(0.824644*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-1.635532)))/3

!MÓDULO 04

!!Vértice 1 e 2

=(((0.11*1.663*4.78*635.1645*((0.298575*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

0.604113))+(0.649287*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

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3.697539))+(0.912322*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.956161*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.97808*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.98904*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

1.635532))))^2+(0.19*1.663*4.78*635.1645*((0.298575*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

0.604113))+(0.649287*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.824644*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.912322*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.956161*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.97808*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.98904*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

1.635532))))^2)^0.5+0.57*1.663*4.78*635.1645*((0.298575*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

0.604113))+(0.649287*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.824644*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.912322*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.956161*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.97808*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.98904*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-1.635532))))/2

!!Vértice 3

=((0.11*1.663*4.78*635.1645*((0.298575*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

0.604113))+(0.649287*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.824644*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.912322*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.956161*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.97808*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.98904*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

1.635532))))^2+(0.19*1.663*4.78*635.1645*((0.298575*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

0.604113))+(0.649287*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.824644*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.912322*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.956161*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.97808*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.98904*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-1.635532))))^2)^0.5

!MÓDULO 05

98

!!Vértice 1 e 2

=(((0.11*1.712*5.49*5576.6226*((0.473931*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.736966*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.868483*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.934241*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.967121*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.98346*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

1.635532))))^2+(0.19*1.712*5.49*5576.6226*((0.473931*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.736966*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.868483*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.934241*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.967121*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.98346*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

1.635532))))^2)^0.5+0.57*1.712*5.49*5576.6226*((0.473931*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.736966*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.868483*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.934241*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.967121*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.98346*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-1.635532))))/2

!!Vértice 3

=((0.11*1.712*5.49*5576.6226*((0.473931*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.736966*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.868483*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.934241*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.967121*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.98346*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

1.635532))))^2+(0.19*1.712*5.49*5576.6226*((0.473931*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

2.368872))+(0.736966*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.868483*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.934241*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.967121*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.98346*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-1.635532))))^2)^0.5

!ANTENA

=1.6*4.08*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

2.770682))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

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2.368872))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

3.697539))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

2.789917))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

5.839276))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.971018))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-1.635532)))/2

COMBINAÇÃO #02

!MÓDULO 01

!!Vértice 1 e 2

=(((0.11*1.565*3.94*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

1.1277519))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

5.9043868))+(0.824644*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

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3.1579614))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

5.3091134))))^2+(0.19*1.565*3.94*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

1.1277519))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

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1.893632))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

99

2.339012))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

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1.8848986))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

5.3091134))))^2)^0.5+0.57*1.565*3.94*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

1.1277519))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

5.9043868))+(0.824644*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.339012))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

5.3091134))))/2+0.3*1.6*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

1.1277519))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

5.9043868))+(0.824644*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.339012))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-5.3091134)))/3

!!Vértice 3

=((0.11*1.565*3.94*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

1.1277519))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

5.9043868))+(0.824644*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.339012))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

5.3091134))))^2+(0.19*1.565*3.94*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

1.1277519))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

5.9043868))+(0.824644*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.339012))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

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1.8089133))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

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!MÓDULO 02

!!Vértice 1 e 2

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!!Vértice 3

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!!MÓDULO 03

101

!!Vértice 1 e 2

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!!MÓDULO 04

!!Vértice 1 e 2

102

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1.893632))+(0.824644*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.3669012))+(0.912322*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.956161*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.97808*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.98904*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

5.3091134))))^2)^0.5+0.57*1.663*4.78*635.1645*((0.298575*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

5.9043868))+(0.649287*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.824644*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.3669012))+(0.912322*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.956161*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.97808*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.98904*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-5.3091134))))/2

!!Vértice 3

=((0.11*1.663*4.78*635.1645*((0.298575*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

5.9043868))+(0.649287*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.824644*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.3669012))+(0.912322*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.956161*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.97808*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.98904*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

5.3091134))))^2+(0.19*1.663*4.78*635.1645*((0.298575*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

5.9043868))+(0.649287*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.824644*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.3669012))+(0.912322*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.956161*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.97808*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.98904*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-5.3091134))))^2)^0.5

!!MÓDULO 05

!!Vértice 1 e 2

=(((0.11*1.712*5.49*576.6226*((0.473931*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.736966*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.3669012))+(0.868483*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.934241*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.967121*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.98346*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

5.3091134))))^2+(0.19*1.712*5.49*576.6226*((0.473931*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.736966*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.3669012))+(0.868483*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.934241*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.967121*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.98346*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

5.3091134))))^2)^0.5+0.57*1.712*5.49*576.6226*((0.473931*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.736966*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.3669012))+(0.868483*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.934241*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.967121*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.98346*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-5.3091134))))/2

!!Vértice 3

=((0.11*1.712*5.49*576.6226*((0.473931*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.736966*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.3669012))+(0.868483*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

103

3.1579614))+(0.934241*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.967121*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.98346*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-

5.3091134))))^2+(0.19*1.712*5.49*576.6226*((0.473931*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.736966*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.3669012))+(0.868483*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.934241*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.967121*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.98346*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-5.3091134))))^2)^0.5

!ANTENA

=4.08*1.6*701.2364*((0.298575*0.09918*COS(2*{PI}/(0.796876*2)*{TIME}-

1.1277519))+(0.649287*0.104452*COS(2*{PI}/(0.796876*4)*{TIME}-

5.9043868))+(0.824644*0.128844*COS(2*{PI}/(0.796876*8)*{TIME}-

1.893632))+(0.912322*0.150318*COS(2*{PI}/(0.796876*16)*{TIME}-

2.339012))+(0.956161*0.150407*COS(2*{PI}/(0.796876*32)*{TIME}-

3.1579614))+(0.97808*0.115664*COS(2*{PI}/(0.796876*64)*{TIME}-

1.8848986))+(0.98904*0.069529*COS(2*{PI}/(0.796876*128)*{TIME}-

1.8089133))+(0.99452*0.036827*COS(2*{PI}/(0.796876*256)*{TIME}-5.3091134)))/2

.... .... ... Analogamente para as outras 18 combinações...

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