UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANCENTRO DE ENGENHARIAS E CINCIAS EXATASDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICACURSO DE ENGENHARIA QUMICA

ANLISE DIMENSIONAL

TOLEDO PARAN2014

Bruna Cristina GonalvesIsabella Cristina Dall Oglio

ANLISE DIMENSIONAL

Trabalho apresentado disciplina de Fenmenos de Transporte I. Universidade Estadual do Oeste do Paran - Campus de Toledo.

Professor: Dr. Fabiano Bisinella Scheufele

TOLEDO PARAN2014SUMRIO

1.INTRODUO42.REVISO BIBLIOGRFICA62.1.Anlise dimensional62.2.Dimenses72.3.Anlise dimensional de equaes diferenciais82.4.Vantagens da utilizao dos nmeros adimensionais na pesquisa de uma lei fsica.............................................................................................................92.5.Alguns nmeros adimensionais tpicos112.5.1.Nmero de Reynolds (Re)112.5.2.Nmero de Euler122.5.3.Nmero de Froude (Fr)132.5.4.Nmero de Mach (M)132.5.5.Nmero de Weber (We)142.6.Teorema Pi de Buckingham142.6.1.Exemplo 1152.6.2.Exemplo 2163.CONCLUSO204.REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS21

1. INTRODUOHistoricamente, a primeira pessoa a escrever extensivamente sobre unidades e raciocnios dimensionais nas relaes fsicas foi Euler, em 1765. As ideias de Euler estavam frente do seu tempo, assim como as ideias de Joseph Fourier, cujo livro Teoria Analtica do Calor, de 1822, delineou o que hoje o chamado princpio da homogeneidade dimensional e, j ento, desenvolveu algumas regras de semelhana para o fluxo de calor. No houve avanos significativos at o livro de Lord Rayleigh, em 1877, Teoria do Som, que props um mtodo de dimenses e forneceu diversos exemplos de anlise dimensional. O passo final, que estabeleceu o mtodo como hoje o conhecemos, geralmente creditado a Edgar Buckingham em 1914, cujo artigo introduziu aquilo que hoje chamado de Teorema Pi de Buckingham, para a descrio de parmetros adimensionais. Todavia, sabe-se que um francs, Aim Vaschy, em 1892, e um russo, D. Riabouchinsky, em 1911, independentemente, publicaram artigos relatando resultados equivalentes ao Teorema Pi. Aps o artigo de Buckingham, P.W. Bridgman publicou um livro clssico em 1922, esboando a teoria geral da anlise dimensional (WHITE, F. M., 2007).A resoluo de problemas por mtodos puramente analticos na maioria das vezes difcil e trabalhosa, devido ao grande nmero de variveis envolvidas. Desta forma, desenvolveram-se mtodos experimentais que permitem produzir modelos matemticos condizentes com a realidade. A anlise dimensional uma teoria matemtica que permite tirar maiores proveitos dos resultados experimentais (BRUNETTI, F., 2008).Basicamente, a anlise dimensional um mtodo para reduzir o nmero e a complexidade das variveis experimentais que afetam um dado fenmeno fsico, pela aplicao de um tipo de tcnica de compactao. Porm, a anlise dimensional tem vrios benefcios adicionais (WHITE, F. M., 2007).O primeiro deles uma grande economia de tempo e dinheiro. Outro benefcio adicional da anlise dimensional que ela ajuda no raciocnio e planejamento para um experimento ou uma teoria. Ela sugere maneiras adimensionais de escrever equaes antes de ser gasto dinheiro em anlises numricas para encontrar solues e sugere tambm variveis que podem ser descartadas; s vezes a anlise dimensional rejeitar imediatamente certas variveis, ou ir agrup-las em separado, de modo que alguns testes simples mostraro que elas no so importantes. Por fim, a anlise dimensional ir fornecer-nos com frequncia uma excelente viso da forma da relao fsica que quer ser estudada (WHITE, F. M., 2007).Um terceiro benefcio que a anlise dimensional fornece as leis de escala que permitem converter dados de um modelo pequeno e barato para obter as informaes para um prottipo maior e caro (WHITE, F. M., 2007).

2. REVISO BIBLIOGRFICA2.1. Anlise dimensionalH muitos problemas de interesse no campo da mecnica dos fluidos, no mundo real dos projetos, que no podem ser resolvidos usando apenas as equaes diferenciais e integrais. Muitas vezes necessrio apelar aos mtodos experimentais para estabelecer relaes entre as variveis de interesse. Como estudos experimentais so geralmente muito caros, necessrio manter as experimentaes em um nvel mnimo. Isso feito usando uma tcnica chamada anlise dimensional, que baseada na noo de homogeneidade dimensional - na qual todos os termos em uma equao devem ter as mesmas dimenses no possvel somar mas com laranjas (DALEFFE, R. V., 2007).Muitas vezes se faz necessrio o uso de fatores de converso adequados para tornar a resposta correta numericamente e com as unidades adequadas. A ideia de uma consistncia dimensional pode ser usada de outra maneira, por um procedimento conhecido como anlise dimensional, para agrupar as variveis em uma determinada situao em parmetros dimensionais que sejam menos numerosos que as variveis originais. Tal procedimento de grande ajuda em trabalhos experimentais nos quais os muitos nmeros de variveis significativas apresenta uma tarefa complicada de correlao. Pela combinao de variveis em um numero reduzido de parmetros dimensionais, o trabalho de reduo de dados experimentais reduzido. Isso incluiria escoamentos sobre audes e represas; interaes de ondas com peres e quebra-mares; escoamentos ao redor de submarinos e navios; escoamentos subsnicos e supersnicos ao redor de aeronaves, escoamentos ao redor de estdios e edifcios; escoamentos atravs de grandes bombas e turbinas; e escoamentos ao redor de automveis e caminhes. Esses escoamentos so geralmente estudados em laboratrios, com modelos que so menores que o prottipo, o aparelho real. Isso reduz substancialmente os custos quando comparados aos estudos em escala plena e permite a anlise de vrias configuraes ou condies de escoamento (DALEFFE, R. V., 2007).Certos grupos adimensionais surgidos a partir da anlise sero familiares, e alguns outros sero conhecidos pela primeira vez. Certos aspectos de similaridade devem ser utilizados para prever o comportamento do escoamento de equipamentos com base em experimentos com modelos em escala (WELTY et al, 2008).

2.2. DimensesEm anlise dimensional, certas dimenses devem ser estabelecidas como fundamentais, com todas as outras expressas em termos dessa. Uma dessas dimenses fundamentais o comprimento, simbolizado por L. assim, rea e volume podem ser expressos dimensionalmente como L e L, respectivamente. Uma segunda grandeza dimensional fundamental o tempo, simbolizada por T. As quantidades cinemticas, velocidade e acelerao, podem ser expressas como L/T e L/T, respectivamente. Outra dimenso fundamental massa, simbolizada por M. Um exemplo de uma quantidade cuja a expresso dimensional envolvendo massa a densidade que ser expressa por M/L. A Segunda Lei de Newton do movimento nos d uma relao entre fora e massa e permite que fora seja expressa dimensionalmente como F = Ma = ML/T. As quantidades significativas em transferncia de momento podem todas ser expressas dimensionalmente em termos de M, L e T; assim esses compreendem as dimenses fundamentais que devem ser consideradas (WELTY et al, 2008). Algumas das principais variveis em transferncia de momento e suas representaes dimensionais em termos de M, L e T esto relacionadas na Tabela1.Tabela 1. Variveis importantes na transferncia de momento (WELTY et al, 2008).VarivelSmboloDimenso

MassaMM

ComprimentoLL

TempotT

VelocidadeL/T

Acelerao gravitacionalgL/T

ForaFML/T

PressoPM/LT

DensidadeM/L

ViscosidadeM/LT

Tenso superficialM/T

Velocidade snicaaL/T

2.3. Anlise dimensional de equaes diferenciaisAs equaes diferenciais que descrevem o comportamento do fluido como desenvolvido so ferramentas poderosas para analisar e prever o fenmeno fluido e seus efeitos. As equaes de Navier-Stokes tm sido resolvidas analiticamente para algumas situaes simples. Para aplicaes complexas, essas relaes provm base para numerosos cdigos numricos sofisticados e poderosos.As equaes diferenciais governantes esto a seguir.Continuidade: (01)Momento: (02)Estipulando os valores de referencia para comprimento e velocidade: Referncia de comprimento: L Referncia de velocidade: E de acordo, especificam-se termos adimensionais para as variveis nas Equaes (01) e (02) como os parmetros a seguir: O ultimo termo nessa lista , um operador gradiente adimensional. Como composto por primeiras derivaes em relao s coordenadas do espao, o produto deve ser adimensional. O passo seguinte adimensionalizar as equaes governantes introduzindo as variveis adimensionais especificadas. Esse processo envolve a regra da cadeia para diferenciao, por exemplo, os dois termos da Equao (01) so transformadas a seguir. (03) (04)Substituindo (03) e (04) na Equao (01), tem-se a Equao (05). (05)Onde possvel observar que a equao da continuidade tem a mesma forma em termo de variveis adimensionais que a original.Utilizando a regra da cadeia do modo anterior, a equao do movimento se torna a Equao (06). (06)Na Equao (06), nota-se que cada termo tem as unidades M/LT ou F/L. Tambm, deve ser observado que cada termo representa certo um tipo de fora, como relacionado a seguir. uma fora inercial; uma fora viscosa; uma fora gravitacional; uma fora de presso.Se dividirmos a Equao (06) pelo termo , nossa equao adimensional se torna a Equao (07). (07)Essa equao adimensional resultante tem as mesmas caractersticas gerais da original, exceto que, como o resultado a transformao na forma adimensional, cada um dos termos de fora originais (aqueles do lado direito) tem um coeficiente composto por uma combinao de variveis. Um exemplo desses coeficientes revela que cada um deles adimensional. Adicionalmente, por causa da maneira que cada um formado, os parmetros podem ser interpretados como uma relao de foras (WELTY et al, 2008).2.4. Vantagens da utilizao dos nmeros adimensionais na pesquisa de uma lei fsicaSuponhamos que se deseja determinar a fora F de resistncia ao avano de uma esfera lisa mergulhada em um fluido. Tal fora costuma ser chamada de fora de arraste.O pesquisador verificou em laboratrio que essa fora depende, qualitativamente, do dimetro (D) e da velocidade () da esfera, da massa especfica () do fluido e de sua viscosidade dinmica ().A pesquisa visa determinar a fora F = f(D, , , ).Inicialmente sero fixados e construindo F em funo de D utilizando a velocidade como parmetro. Posteriormente, devero ser verificadas as variaes da fora com a viscosidade e com a massa especfica. Essa determinao implica a construo de inmeros diagramas, desde que se queira uma ideia precisa dessa variao. Em cada caso, dever ser fixada uma massa especfica e ser variada a viscosidade, e vice-versa. O tempo gasto nessa construo seria enorme, alm dos problemas de ordem prtica provocados pela necessidade de obteno de fluidos de massa especfica fixa e viscosidade varivel, e vice-versa.Diante das dificuldades dessa operao, pode-se simplific-la em termos de tempo e recursos. Suponha a existncia dos seguintes nmeros adimensionais: (08) (09)Pode-se perceber que, em conjunto, os dois adimensionais, e , contm todas as variveis da funo em estudo. Seja uma nica esfera de dimetro D e um nico fluido de massa especfica e viscosidade . Varia-se v e medem-se as variaes de F num dinammetro. Obtida uma tabela de F em funo de , pode-se tabelar e , sendo que os dois adimensionais esto interligados pela existncia da velocidade em ambas as expresses. Logo, para cada existe um e ser possvel construir o diagrama .

Figura 1. Diagrama de versus .Percebe-se que, sendo e nmeros adimensionais, as coordenadas de cada ponto da curva independem dos valores individuais de , , D, e F e sim da combinao de todos esses valores. Assim, o fato de se utilizar uma nica esfera e um nico fluido no influir na generalidade da pesquisa. Dessa forma, por exemplo, o ponto indicado na figura cujas coordenadas so e pode corresponder a qualquer conjunto de valores , , D e , desde que , e a qualquer combinao de F, , , D, desde que .Cada ponto da curva envolve as infinitas combinaes de valores das variveis do fenmeno. O problema da determinao da fora de arraste sobre a esfera fica assim resolvido (BRUNETTI, F., 2008)..2.5. Alguns nmeros adimensionais tpicos Dentre as grandezas mais utilizadas, tem-se a massa especfica (), velocidade caracterstica (), comprimento caracterstico (L), viscosidade dinmica (), variao de presso (p), acelerao da gravidade (g) e velocidade do som (c). A combinao dessas grandezas, ao se adotar , v, L como base, d origem a cinco adimensionais, onde cada um representa uma relao entre foras de origens diferentes que agem no escoamento de um fluido.2.5.1. Nmero de Reynolds (Re)O nmero de Reynolds, de uma forma mais geral, escrito: (10)Chamando de as foras de inrcia do escoamento e de as foras viscosas, obtemos o seguinte resultado da relao entre essas foras: (11)Com e , tem-se: (12)Logo, o nmero de Reynolds proporcional ao quociente das foras de inrcia e viscosas do escoamento.Quando Re < 2.000 o movimento em tubos caracteriza-se como laminar, e quando Re > 2.400 o movimento turbulento. Isso implica que as turbulncias denotam um predomnio das foras de inrcia sobre as viscosas, enquanto no laminar a predominncia das foras viscosas no permite agitaes e consequentemente aceleraes das partculas.Portanto, quanto maior for o Re, menor ser o efeito das foras viscosas no conjunto de foras que agem no fluido, onde valores elevados de Reynolds representam um efeito desprezvel da viscosidade no fenmeno de estudo. utilizado para o clculo do regime de escoamento de determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma superfcie, sua importncia a possibilidade de se avaliar a estabilidade do fluxo podendo obter uma indicao se o escoamento flui de forma laminar ou turbulenta. O nmero de Reynolds constitui a base do comportamento de sistemas reais, pelo uso de modelos reduzidos. Exemplos comuns a aplicao em tneis aerodinmicos onde se medem foras desta natureza em modelos de asas de avies e ainda, em projetos de tubulaes industriais.2.5.2. Nmero de EulerO nmero de Euler dado por: (12)O nmero de Euler ou coeficiente de presso indica a relao entre as foras de presso (Fp) e as foras de inrcia no escoamento de um fluido. O nmero de Euler aparece nos estudos de escoamento em torno de perfis, tubos, mquinas hidrulicas, em casos aerodinmicos e em situaes que envolvem presso ou diferenas de presso.Quando se estuda escoamento em torno de objetos imersos, costuma-se usar o adimensional: (14)Sendo proporcional ao nmero de Euler j que L2 representa uma rea. Esse nmero adimensional chamado coeficiente de arrasto e Fa ser a fora de arrasto de uma superfcie slida que se desloca num fluido.2.5.3. Nmero de Froude (Fr) (15)Representa a relao entre foras de inrcia e gravitacionais, importante principalmente sobre escoamentos sobre superfcies livres onde h a possibilidade de formao de ondas. Aplicaes em ondas flutuantes, escoamento em canais, vertedouros e em orifcios.Utilizado na hidrulica de dutos abertos, separa os tipos de regime de escoamento em trs tipos de acordo com sua relao com o nvel crtico da gua no canal: Escoamento torrencial: Fr > 1 Escoamento crtico: Fr = 1 Escoamento fluvial: Fr < 12.5.4. Nmero de Mach (M)M (16)Onde c a velocidade do som no fluido em escoamento. A anlise do nmero de Mach importante quando os efeitos de compressibilidade do fluido so considerveis. Permite a classificao de escoamento como incompressvel (M < 0,2), subsnico (0,2 < M < 1), snico (M = 1) e supersnico (M > 1).Se um fluido fosse incompressvel, M deveria ser zero, pois a velocidade da luz neste meio seria infinita, porm como nenhuma substncia perfeitamente incompressvel quando sujeita a uma perturbao de presso, valores de M < 0,2 j podem ser considerados incompressveis.2.5.5. Nmero de Weber (We) (17)Onde, a tenso superficial.Empregado para analisar fluidos em fluxo, onde houver interface entre diferentes fluidificaes, especialmente em escoamentos multifsicos com fortes mudanas de direo. Sua quantificao importante quando se deseja analisar as possibilidades de formao de borbulhas e gotculas na camada laminar do fluxo junto a superfcies curvas convexas. Tambm pode ser pensado como a relao entre foras de inrcia e foras de tenso superficial.Uma aplicao do nmero de Weber no estudo de tubos de calor. Quando o fluxo de calor no ncleo de vapor da tubulao alto, h uma possibilidade de que a tenso de cisalhamento exercida sobre o lquido pode ser grande o suficiente para arrastar as gotas para o fluxo de vapor (BRUNETTI, F., 2008).

2.6. Teorema Pi de BuckinghamH vrios mtodos para reduzir um conjunto de variveis dimensionais a um conjunto menor de grupos adimensionais. O Teorema Pi de Buckingham proposto em 1914 por Buckingham um desses mtodos. O nome Pi vem da notao matemtica , para representar um produto de variveis. Os grupos adimensionais, determinados por meio do teorema, so produtos de potncias representados por 1,2, 3, etc. O mtodo permite que os grupos Pi sejam determinados em ordem sequencial sem recorrer a expoentes livres (BRUNETTI, F., 2008).Em um determinado problema fsico, a varivel dependente x1 pode ser expressa em termos de (n - 1) variveis independentes como: (18)Em que n representa o nmero total de variveis. O teorema Pi de Buckingham, afirma que (n - m) grupos adimensionais de variveis, chamados parmetros , em que m o numero de dimenses bsicas (ou primrias) includas nas variveis, podem ser relacionados pela Equao (19).

(19)Em que inclui a varivel dependente e os parmetros remanescentes incluem apenas variveis independentes.O procedimento usado na aplicao do teorema resumido como segue: a. Listar as n variveis (p, T, V, , ,...);b. Listar as dimenses m de cada varivel (deve-se incluir em problemas trmicos) (M, L, T,...);c. Determinar nmero mximo de dimenses m e valor de k = (n - m) a quantidade de nmeros adimensionais;d. Escolher m variveis incapazes de, por si, formar grupo ; vantajoso que a base contenha grandezas simples, pois aparecero em todos os grupos adimensionais: massa especfica, velocidade, dimetro; isto , uma varivel dinmica, uma cinemtica e uma geomtrica; e. Junte base cada uma das restantes variveis formando um produto de potncias adimensional; cada varivel + base dar origem a um grupo adimensional; f. Determine os expoentes para cada grupo adimensional. Faa as variveis dependentes aparecerem preferencialmente no numerador (DALEFFE, R. V., 2007).Percebe-se que, em todos os adimensionais de certo fenmeno, os primeiros m fatores so os mesmos, com exceo do expoente. Esse conjunto de m fatores ser denominado base das grandezas envolvidas no fenmeno. As grandezas da base devem ser independentes.Para sua escolha, escreve-se a equao dimensional de todas as grandezas e seleciona-se um nmero m delas, de forma que cada uma difira da anterior por pelo menos uma grandeza fundamental (BRUNETTI, F., 2008).2.6.1. Exemplo 1 (DALEFFE, R. V., 2007). A fora de arrasto F sobre um corpo submerso depende da viscosidade () e massa especfica do fluido (), da dimenso do corpo e da sua velocidade.

n = 5 e m = 2k = 2Base:

Obs: uma conveno.2.6.2. Exemplo 2 (WELTY et al, 2008). Determine os grupos adimensionais formados pelas variaveis envolvidas no escoamento externo de fluido em um corpo slido. As fora exercida no corpo funo de v, , e L (uma significante dimenso do corpo).O primeiro passo construir uma tabela de variaveis e suas dimenses. VarivelSmboloDimenses

ForaFML/T

Velocidade L/T

DensidadeM/L

ViscosidadeM/LT

ComprimentoLL

Antes de determinar o nmero de parmetros adimensionais serem formados, devemos determinar m. A matriz dimensional que se aplica formada pela seguinte catalogao.

F L

M10110

L11-3-11

T-2-10-10

Os nmeros representam os expoentes de M, L e T na expresso dimensional para cada varivel envolvida. Por exemplo, a expresso dimensional para F ML/T, como os expoentes 1,1 e -2 so catalogados versus M, L e T, respectivamente, os termos com que so associados. A matriz ento a representao de nmeros abaixo:

Logo, m o nmero de linhas (colunas) no maior determinante diferente de zero que pode ser formado a partir desta. Nesse caso m igual a 3. Assim, o nmero de parmetros adimensionais que devem ser formados pode ser encontrado pela relao k = (n - m). Nesse exemplo, k = (5 - 3) = 2.Os dois parmetros adimensionais ser simbolizados por e e podem ser formados de diversas maneiras. Inicialmente, um grupo de m variveis deve ser escolhido, o que deve ser constitudo pelas variveis que aparecem em cada grupo Pi e, junto a eles, contenha todas as dimenses fundamentais. Uma maneira de escolher um grupo excluir deste as variveis que se deseja isolar. Neste problema seria desejvel ter a fora de arrastro em apenas um grupo adimensional, portanto, no estar no grupo central. Arbitrariamente escolhe-se a viscosidade como a outra excluso do grupo. O grupo central agora consiste nas restantes variveis , e L, as quais, observamos, incluem M, L e T.Agora sabemos que e incluem , L e ; um deles inclui F e o outro; e que ambos so adimensionais. Para que ambos sejam adimensionais, as variveis devem ser elevadas a certos expoentes. Escrevendo: e Devem-se avaliar os expoentes. Considerando os grupos independentes, escrevemos:

E dimensionalmente

Equacionando expoentes de M, L e T em ambos os lados dessa expresso, temos, para M:

Para L:

Para T:

Ento:

Dando:

Similarmente para , temos, na forma dimensional:

E os expoentes, para M:

Para L:

Para T:

Ento:Assim, para o segundo grupo adimensional:

Anlise dimensional permite que relacionemos as cinco variveis originais em termos de somente dois parmetros adimensionais na forma:

A Tabela 2 lista diversos grupos adimensionais que pertencem para o escoamento de fluidos.Tabela 2. Grupos adimensionais comuns em transferncia de momento (WELTY, 2008).Nome/SmboloGrupo adimensionalConceito fsicorea de aplicao

Nmero de Reynolds, ReLargamente aplicado em escoamento de fluido

Nmero de Euler, EuLargamente aplicado em escoamento de fluido

Coeficiente de atrito, CfEscoamento envolvendo diferenas de presso devido a efeitos de frico

Nmero de Froude, FrEscoamentos envolvendo superfcies liquidas livres

Nmero de Weber, WeEscoamento com efeitos significativos de tenso superficial

Nmero de Mach, MEscoamentos com significativos efeitos de compressibilidade

3. CONCLUSOCom a realizao deste trabalho podemos concluir que a anlise dimensionalpossui grande utilidade na previso, verificao e resoluo de equaes que relacionam as grandezas fsicas garantindo sua integridade e homogeneidade.Verifica-se que a resoluo de problemas torna-se facilitada quando introduzimos mtodos para reduzir um conjunto de variveis dimensionais a um conjunto menor de grupos adimensionais. Como exemplo, o Teorema Pi de Buckingham que torna possvel determinar quais so os grupos adimensionais importantes para o problema e predizer a relao funcional entre eles.

4. REFERENCIAS BIBLIOGRFICASBRUNETTI, F. Mecnica dos Fluidos. 2 Edio. Editora Pearson Education. 2008.WHITE, F. M. Mecnica dos Fluidos. 6 Edio. Editora The McGraw-Hill Companies, Inc. New York, NY, 2007.

WELTY, J. R.; WICKS, C. E.; WILSON, R. E.; RORRER, G. L. Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer. 5 Edio. Editora John Wiley & Sons, Inc. 2008.DALEFFE, R. V. Anlise Dimensional. Fenmenos de Transporte 4. UFSCar, 2007.