Análise Combinatória (Complementos).pdf
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Raciocnio Quantitativo Preparatrio ANPAD
Combinaes Completas 1 Anlise Combinatria
ANLISE COMBINATRIA
COMBINAES COMPLETAS
Consideremos a seguinte situao: de quantos modos possvel comprar 4 sorvetes em uma loja
que os oferece em 7 sabores?
A resposta no 47 35C .
4
7C seria o nmero de maneiras de escolher 4 sabores diferentes entre os
7 sabores oferecidos, isto , 47C seria o nmero de modos de comprar 4 sorvetes diferentes em uma
loja que os oferece em 7 sabores.
A resposta desse problema representada por 47CR , nmero de combinaes completas de classe 4
de 7 objetos. Portanto, 47CR o nmero de modos de escolher 4 objetos entre 7 objetos distintos,
valendo escolher o mesmo objeto mais de uma vez.
De modo geral, pnC o nmero de modos de escolher p objetos distintos entre n objetos distintos
dados, e pnCR o nmero de modos de escolher p objetos distintos ou no entre n objetos distintos
dados.
Assim, por exemplo, as combinaes completas de classe 3 dos objetos a, b, c e d tomados 3 a 3
so:
aaa aab bba cca dda Abc
bbb aac bbc ccb ddb abd
ccc aad bbd ccd ddc acd
ddd Bcd
e 34 20CR .
Podemos tambm interpretar pnCR de outro modo. Voltemos compra dos 4 sorvetes na loja que os
oferece em 7 sabores. Para realizar essa compra devemos escolher valores adequados para as
vaiveis x1, x2, ... , x7, onde x1 a quantidade que vamos comprar de sorvetes do 1 sabor, x2 a
quantidade que vamos comprar de sorvetes do 2 sabor ..., e x7 a quantidade que vamos comprar
de sorvetes do 7 sabor. claro que x1, x2, ... , x7 devem ser inteiros, no negativos (isto , maiores
ou iguais a zero) tais que:
x1 + x2 + ... + x7 = 4
Comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores tomar uma soluo em inteiros no
negativos da equao:
x1 + x2 + ... + x7 = 4
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Raciocnio Quantitativo Preparatrio ANPAD
Combinaes Completas 2 Anlise Combinatria
Podemos, portanto, interpretar pnCR de dois modos:
a) pnCR o nmero de modos de selecionar p objetos, distintos ou no, entre n objetos distintos
dados;
b) pnCR o nmero de solues da equao x1 + x2 + ... + x7 = 4 em inteiros no negativos.
Vamos agora resolver o problema da compra dos sorvetes, isto , vamos calcular 47CR .
Ora, 47CR o nmero de solues em inteiros no negativos da equao
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 4
O quadro da figura abaixo mostra algumas solues da equao bem como sua representao no
esquema bola-trao (cada bola representa uma unidade no valor da incgnita; cada trao usado
para separar duas incgnitas)
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
1 1 1 0 0 0 1
| | | | | |
0 2 0 1 0 1 0
| | | | | |
Para formar uma representao devemos arrumar em fila 4 bolas (pois em cada soluo o total de
unidades nas incgnitas 4 (j que x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 4) e 6 traos (para separar 7
incgnitas usamos 6 traos). Mas, o nmero de modos de fazer isso
4,6 4
4 6 10
10!
4!6!P C
Logo, 4 47 10 210CR C .
Generalizando, para calcular pnCR , isto , para determinar o nmero de solues inteiras e no
negativas de x1 + x2 + ... + xn = p, teramos p bolas e n 1 traos. Logo,
, 1
1 1
1 !
! 1 !
p p n p
n p n n p
n pCR P C
p n
.
Logo, 1p p
n n pCR C .
Fonte: Anlise Combinatria e Probabilidade da SBM. Autores: Paulo Cezar Pinto Carvalho, Augusto Cezar
de Oliveira Morgado, Pedro Fernandez e Joo Bosco Pitombeira.