ANLISE COMBINATRIAProblemas que envolvem clculos do nmero de agrupamentos com os elementos de um ou mais conjuntos, submetidos a certas condies, so resolvidos por meio de assuntos que constituem a anlise combinatria.

1

PRINCPIO DA MULTIPLICAO OU PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEMy 1 Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre,

passando por So Paulo. Sabendo que h 5 roteiros diferentes para chegar a So Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de So Paulo, De quantas maneiras possveis essa pessoa poder viajar de Recife a Porto Alegre?

2

Resoluo1 2 3 4 5

ABCD Ou Recife

ABCD

ABCD

ABCD

ABCD

1 A 2 3 4 D 5

So Paulo

B C

Porto Alegre

3

Tabela de possibilidades1A 2A 3A 4A 5A 1B 2B 3B 4B 5B 1C 2C 3C 4C 5C 1D 2D 3D 4D 5D

Portanto, nas condies do problema, h 20 maneiras possveis de viajar de Recife Porto Alegre,passando por So Paulo4

y 2 Ao lanarmos uma moeda e um dado, temos as seguintes

possibilidades para o resultado:1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 12 CARA

C

COROA

C25

POSSIBILIDADES

y Se um evento composto por 2 etapas sucessivas e

independentes, de tal maneira que o nmero de possibilidades na primeira etapa m e para cada possibilidade da primeira etapa, o nmero de possibilidade n, ento o nmero total de possibilidades de um evento ocorrer dado pelo produto de m x n.

6

y 3 Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:

a) Quantos nmeros de 3 algarismos podemos formar? R H 7 possibilidades para a centena (0 no permitido) e 8 para as demais: 7 x 8 x 8 = 488 nmeros b) E de 3 algarismos distintos? R 7 para a primeira dezena, 7 para a segunda e 6 para as demais: 7 x 7 x 6 = 294

7

TESTANDO OS CONHECIMENTOSy 1 Existem 2 vias de locomoo de uma cidade A para uma

cidade B e 3 vias de locomoo da cidade B para a cidade C. De quantas maneiras se pode ir de A para C passando por B? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

8

y 2 De quantas maneiras diferentes se pode vestir uma pessoa

que tenha 5 camisas, 3 calas, 2 pares de meias e 2 pares de sapatos? a) 60 b) 12 c) 17 d) 20 e) 30

9

y 3 Numa lanchonete h 5 tipos de sanduches, 4 tipos de

refrigerante e 3 tipos de sorvete. De quantas maneiras podemos tomar composta de 1 sanduiche, 1 refrigerante e 1 sorvete? a) 63 b) 15 c) 60 d) 20 e) 15

10

y 5 Quantos nmeros de 2 algarismos podemos formar

sabendo que o algarismo das dezenas corresponde a um mltiplo de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades a um mltiplo de 3? a) 90 b) 6 c) 12 d) 20 e) 16

11

y 6 Usando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, podemos

formar: a) Quantos nmeros de 2 algarismos? b) Quantos nmeros pares de 2 algarismos? c) Quantos nmeros mpares de 2 algarismos? d) Quantos nmeros de 2 algarismos distintos? e) Quantos nmeros de 2 algarismos pares?

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Permutaes simples e fatorial de um nmeroy Permutar

sinnimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutao noo de misturar.

y Veremos quantos agrupamentos possvel formar quando

temos n elementos e todos so usados em cada agrupamento:

13

y 1 Quantos nmeros de 3 algarismos (sem repeti-los)

podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3?2 3 2 3 1 2 1 1 123 132 213 231 312 321 possibilidades

1

3 1

2

3 1

Pelo princpio fundamental da contagem temos 3x2x1 = 6 possibilidades

3314

2 2

y Do exemplo anterior observa-se que

a ordem dos algarismos muito importante, pois todos os nmeros se diferenciam entre si pela ordem de seus algarismos.

15

y 2 Quantos so os anagramas (diferentes posies das letras

de uma palavra) da palavra ANEL? R4 3 2 1_ H 4 possibilidades para a primeira posio, 3 possibilidades para a segunda, 2 possibilidades para a terceira e 1 possibilidade para a quarta posio: 4x3x2x1 = 24 possibilidades, ou seja, so 24 anagramas.

16

y Se temos n elementos distintos, quantas filas podemos

formar? Podemos escolher o primeiro elemento da fila de n maneiras. y De quantas maneiras podemos escolher o elemento da segunda fila? De n-1 maneiras. y O nmero de argumentos ordenados que podemos obter com todos esses n elementos dado por: n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1 y Indicamos por Pn o nmero de permutaes simples dos n elementos: Pn = n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1

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FATORIALy O valor obtido com Pn chamado de fatorial do nmero

natural n e indicado por n!. n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1 y Para n 1 Considera-se 0! = 1. y Exemplos: 1 P5 = 5.4.3.2.1 = 120 5! = 5.4.3.2.1 = 120 2 P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 3 P2 = 2! = 2.1 = 218

4 a) Quantos so os anagramas da palavra PERDO? R P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas b) PERDO que inicia com P e termina com O. R P __ __ __ __ O devemos permutar 4 letras no fixas, ou seja, calcular P4. P4 = 4.3.2.1 = 24 anagramas c) PERO em que as palavras A e O aparecem juntas e nessa ordem (O). R como se a expresso O fosse uma s letra; assim temos que calcular P5: P5 =5! = 5.4.3.2.1 = 120 anagramas19

d) PERDO em que P e O aparecem nos extremos: R P __ __ __ __ O O __ __ __ __ P 2P4 = 2.4! = 2.4.3.2.1 = 48 anagramas. 5 Vamos simplificar as expresses: a) b) c)

R a)

b)

c)

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS1 Calcule o valor ou simplifique: a) 6! d) g) b) c) e) f)

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2 Quantas palavras (com significado ou no) de 3 letras podemos formar com as letras A, L e I? Quais so essas palavras? 3 Quantos nmeros de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8? E de 4 algarismos distintos? 4 De quantas maneiras uma famlia de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares para tirar uma foto? 5 - De quantas maneiras uma famlia de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando duas delas (por exemplo, pai e me) sempre juntas, em qualquer ordem? 6 Quantos so os anagramas da palavra AMOR? 7 quantos nmeros naturais de algarismos distintos entre 5 000 e 10 000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 4 e 6?

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8 Sendo n 0, o(s) valor(es) de n tal que (so)? a) 7 b) 0 e 7 c) 0 e 10 d) 1 e) 0 e 2

= 7n

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ARRANJO SIMPLESy Arranjo simples de n elementos distintos p a p, todo

agrupamento ordenado formado por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

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ARRANJO SIMPLESy Consideremos as letras a, b, c e d. Quais e quantos

agrupamentos ordenados diferentes de 2 letras distintas possvel formar com elas? b a c b * c d25

d a c d a b d a b c 2 posio 3 possibilidades

1 posio 4 possibilidades

y Pelo princpio fundamental da contagem temos 12

possibilidades. y Esses agrupamentos so chamados de arranjo simples. y Arranjos de 4 elementos 2 a 2 e o nmero desses arranjos foi 12. y Observamos tambm que a ordem importa

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FRMULA DO ARRANJO SIMPLESy Arranjo simples de n elementos tomados p a p (pn) so

agrupamentos ordenados diferentes que se podem com p dos n elementos dados. y Indica-se por An,p o total desses agrupamentos, que calculamos assim:

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Exemplo1) a) b) c) d)

Calcule: A10,4 A8,2 A5,5 A7,4

28

OBSERVAOy Voc tanto pode usar o conceito de arranjo como o princpio

fundamental da contagem para resolver problemas como veremos nos prximos exemplos.

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EXEMPLOSQuantos nmeros de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Resp.: Observamos que a ordem importa, pois 1221.1)

2 maneira: sem usar frmula: Para o algarismo das dezenas: 9 possibilidades; para o algarismo das unidades: 8 possibilidades: 9x8 = 7230

2) De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 3 lugares? 3) Quantas palavras de 4 letras distintas podemos formar com a palavra CONTAGEM? 4) Quantas fraes diferentes (e no iguais a 1) podemos escrever usando os nmeros 2, 3, 5, 7, 11 e 13?

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COMBINAO SIMPLESy Quando a ordem no importa. y A cada combinao de n elementos formados p a p

correspondem a p! arranjos, que so obtidos permutando-se os elementos da combinao, ou seja:

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UMA PROPRIEDADE IMPORTANTEy Dado um conjunto de 5 elementos, para cada

subconjunto de 3 elementos sobra um de dois elementos. Cn,p = Cn, n-p

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EXEMPLOS1)

2) Vamos calcular o valor de: a) C6,3 b) C4, 2 c) C43,42

34

3) De quantas maneiras diferentes um tcnico pode escalar seu time de basquete, tendo sua disposio 12 atletas que jogam em qualquer posio? 4) Num jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas. (so excludas as cartas 8, 9 e 10). De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber as suas 3 cartas? 5) Quantas equipes de 3 astronautas podem ser formadas com 20 astronautas? 6) Quantas comisses de 5 elementos podemos formar com os 30 alunos de uma classe?35

PERMUTAES COM REPETIOy EXEMPLOs:1) Quantos so os anagramas da palavra

BATATA? Caso no houvessem letras repetidas, faramos P6 = 6! Como A se repete 3 vezes e T 2, temos que:

2) Quantos anagramas tem a palavra PAPA?

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GENERALIZANDOy A permutao de n elementos dos quis a so de um tipo, b

so de outro e c de outro, com a+b+c = n, dado por:

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EXEMPLOS1) 2) 3) 4) 5)

Quantos so os anagramas da palavra ARARA? Quantos so os anagramas da palavra DESESSETE? Quantos anagramas da palavra CAMARADA comeam pela letra C? Quantos anagramas de CAMARADA comeam por A? Quantos so os anagramas da palavra ARARAQUARA?

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PROBLEMAS ENVOLVENDO OS VRIOS TIPOS DE AGRUPAMENTOUsando algarismos 5, 6 e 8, quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar? (P3) 2) Usando os algarismos 1, 3, 4, 6 e 9, quantos nmeros de 3 algarismos distintos podemos formar? (A5,3) 3) Quantas comisses diferentes de 3 pessoas podemos formar para representar um grupo de 10 pessoas? (C10,3) 4) Quantos anagramas tem a palavra BANANA? ( )1)

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