Analise Algebrica Da Demanda (2)

8/17/2019 Analise Algebrica Da Demanda (2)

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Tratamento algébrico

Prof. Renilson R. Silva

TEORIA DA DEMANDA

MICROECONOMIA I - PROF. DR. RENILSON R SILVA


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A FUNÇÃO DE DEMANDA

1. Maximizar a utilidade

I. Função de utilidade do tipo Cobb-Douglas

Bem comportada

Monotônica convexa

A fórmula que a descreve é a fórmula algébrica maissimples que gera preferências bem comportadas

(Varian, p.66)



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A FUNÇÃO DE DEMANDA

Uma função de demanda refere-se à demanda de um bem aqualquer nível de preço (uma curva)

Quantidade demandada refere-se à demanda de um bem a

um determinado nível de preços (ponto na curva)

1. Demanda Marshaliana

O consumidor maximiza sua função de utilidade supondo

que sua renda real permaneça constante.Tem como propriedade ser homogênea de grau zero



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, ≡ ,

Veja que é uma identidade. Assim,

ela é válida para qualquer valor de p

e R . Em palavras o que ele diz é que,se o consumidor escolhe a cesta x

(p, R), quando os preços são p e a

renda é R , e se multiplicam todos os

preços e renda por um fator, α > 0, o

consumidor irá escolher a mesma

cesta depois da multiplicação. Como

antes, , ≡ , .

Uma função é homogênea se:

, = ,

é o grau da função

Exemplo: , = 2 + 2

= ()2+()2

= 2 2+ 2 2

= 2

(

2

+

2

)

, = 2 (, )

FUNÇÕES HOMOGÊNEAS

Função homogênea Função homogênea de grau zero (economia)



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O TEOREMA DO ENVELOPE E IDENTIDADE DE ROY Qual o significado da função objetivo indireta?

Em qualquer problema de otimização, a função objetivo ou é

maximizada ou minimizada para um dado conjunto de parâmetros

(Chiang, p.406)

A função objetivo indireta rastreia todos os valores de máximo da

função objetivo à medida que esses parâmetros variam. Portanto, a função objetivo indireta é um envelope do conjunto de

funções objetivos otimizadas geradas pelas variações dos

parâmetros. Ou seja, trata-se de uma curva envoltória.

Assim, podemos dizer que o teorema do envelope envolve ou

envelopa todas as demandas marshallianas nos seus pontos de

máximo.



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O TEOREMA DO ENVELOPE E IDENTIDADE DE ROY = 1, 2

= 1 1 + 22

Sujeito a:

Demanda ordinária ou marshalliana

1 = 1 1, 2,

2 = 2 1, 2,

Substituindo na função objetivo, tem-se:

= 1

, 2

= 1, 2,

Função de utilidade indireta



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O TEOREMA DO ENVELOPE E IDENTIDADE DE ROY

Pelo teorema do envelope temos que:

1, 2,

1=

1= −1

...e que:

1, 2,

=

=

Em que lambda é a utilidade marginal da renda

= 1

, 2

= 1, 2,

Função de utilidade indireta

Tomando a razão entre essas duas derivadasparciais, vemos que:

1, 2,

1 1, 2,

=−

1

= −1



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O TEOREMA DO ENVELOPE E IDENTIDADE DE ROY

1 = 1, 2, = −

1, 2, 1

1, 2,

= −1

Temos então que :

Identidade de Roy

A identidade de Roy mostra que a demanda marshalliana é a negativa da razão entre duasderivadas parciais da função de valor máximo V em relação aos preços e à renda. (Chiang,p.416)

Com isso, se aplicarmos a identidade de Roy em uma função de utilidade indireta V, obtemosa demanda Marshalliana.



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O TEOREMA DO ENVELOPE E O LEMA DE SHEPARD

= 11 + 22

1, 2 = ∗

Sujeito a:

Demanda compensada ou hicksiana

1 = 1

1, 2, ∗

2 = 2

1, 2, ∗

Substituindo na função de lagrange, tem-se:

1, 2, ∗ = 11

+ 22 + ∗ − 1

, 2

Função despesa ou função gasto = valor mínimonecessário para obter o nível de utilidade U*.



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O TEOREMA DO ENVELOPE E O LEMA DE SHEPARD

1, 2, ∗ = 11

+ 22 + ∗ − 1

, 2

Função despesa ou função gasto

Pelo teorema do envelope temos que:

1, 2, ∗

1=

1= 1

1, 2, ∗

2=

2= 2

1, 2, ∗

∗ =

∗ =

Lema de Shepard

Com o lema de shepard é possível obter ademanda hickisiana/compensada a partir dafunção gasto.

1 1, 2,

∗ = 1, 2,

∗

1



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SÍNTESE DO USO DO TEOREMA DO ENVELOPE

Funçãoutilidade indireta

Identidadede Roy

Demanda ordinária/marshalliana

1 = 1, 2, =

1, 2,

1 1, 2,

1, 2,



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SÍNTESE DO USO DO TEOREMA DO ENVELOPE

Funçãogasto

Lemade shepard

Demanda Compensada/Hicskiana

1, 2, ∗

1 1, 2,

∗ = 1, 2, ∗

1



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A RELAÇÃO ENTRE OS PROBLEMAS PRIMAL E DUAL

A despesa mínima com a qual se alcança o máximo nível de utilidade

possível, dados os preços dos bens e um determinado nível de renda R, é justamente o nível de renda.

O inverso também é verdadeiro, isto é, o máximo nível de utilidade U quese pode alcançar gastando o mínimo possível, é justamente o nível deutilidade:

Ambos os problemas geram a mesma solução (a mesma cesta ótima) se

u = v (P 1, P 2 , R) e se e (P 1, P 2 ,u) = R.

Portanto, essas duas funções são uma o inverso da outra.

1, 2, 1, 2, =

1, 2, 1, 2, =



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Então, se inserirmos a FUI na função gasto:

O inverso também é verdadeiro, isto é, se inserirmos a função gasto na

F.U.I. temos:

1, 2, 1, 2, =

1, 2, 1, 2, =



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O

x2

R/p1 X1

u*=v(P, m)

O

x2

e/p1 X1

A

U o

x* = x(p, R) x* = h(p, u o )

Primal Dual



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FORMAS DE CALCULAR AS DEMANDAS

Forma de obter a demanda marshalliana a partir da hicksiana

1. Inverter a função gasto e(p1; p2 ; U) para obter a FUI = v(p1; p2 ; R ):Então, use a identidade de Roy para obter a demandamarshalliana.

1, 2, 1

1, 2,

= = , ,

∗ = , , ∗

∗ = , = , ∗

F.U.I. a partir de da Função gasto

i d e n t i d a d e d

e R o y

≡



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FORMAS DE CALCULAR AS DEMANDAS

Formas de obter hicksiana a partir da marshalliana

Inverter a FUI para obter a função gasto e depois usar Shepard.

1. Pode-se fazer o processo contrário

= , ,

∗ = , = , ∗

Função gasto a partir de da F.U.I

1, 2, ∗

1=

, , ∗

L e m a d e S

h e p a r d

≡ ∗



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Diferença entre as demandas

A função x (p, R) responde à questão: “qual

cesta de bens maximiza a utilidade quando os

preços são p e a renda é R ?”

A função h (p, u) responde à questão: “qual

cesta de bens minimiza o custo de alcançar a

utilidade u quando os preços são p?



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A EQUAÇÃO DE SLUTSKY

Equação do problema dual

ℎ ; ∗ = ;

ℎ ; ∗ ≡ ; ,

∗

Como a renda é igual à função gasto,

Temos

, , =

Diferenciando os dois lados da equação acima com respeito p, tem-se:

ℎ(,∗)

≡

;

+

;

,∗

em que K é a quantidade demanda do bem em questão

≡



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Equação do problema dual

ℎ , ∗ = ,∗

=

Por shepard, sabemos que a derivada da função gasto é igual à demanda hicksiana

Substituindo em (1), tem-se:

(1)

(2)

(3)

ℎ(,∗)

≡

;

+

;

,∗

ℎ(,∗)

≡ ;

+

;



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A equação de Slutsky

Reodernando (3), obtemos a equação de Slutsky

(4)

(3)

;

≡

(,∗)

−

;

ℎ(,∗)

≡

;

+

;

Efeito total Efeito Subst. Efeito renda


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