An Introduction to Hybrid Dynamical Systems

8/22/2019 An Introduction to Hybrid Dynamical Systems

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A n I n t r o d u c t i o n t o

H y b r i d D y n a m i c a l S y s t e m s

A r j a n v a n d e r S c h a f t

D e p a r t m e n t o f S y s t e m s , S i g n a l s a n d C o n t r o l

F a c u l t y o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s

U n i v e r s i t y o f T w e n t e

H a n s S c h u m a c h e r

C W I ( C e n t r e f o r M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e )

A m s t e r d a m

a n d

D e p a r t m e n t o f E c o n o m e t r i c s a n d

C e n t e r f o r E c o n o m i c R e s e a r c h , T i l b u r g U n i v e r s i t y



P r e f a c e

T h e t e r m \ h y b r i d s y s t e m " h a s m a n y m e a n i n g s , o n e o f w h i c h i s : a d y n a m i c a l

s y s t e m w h o s e e v o l u t i o n d e p e n d s o n a c o u p l i n g b e t w e e n v a r i a b l e s t h a t t a k e

v a l u e s i n a c o n t i n u u m a n d v a r i a b l e s t h a t t a k e v a l u e s i n a n i t e o r c o u n t a b l e s e t .

F o r a t y p i c a l e x a m p l e o f a h y b r i d s y s t e m i n t h i s s e n s e , c o n s i d e r a t e m p e r a t u r e

c o n t r o l s y s t e m c o n s i s t i n g o f a h e a t e r a n d a t h e r m o s t a t . V a r i a b l e s t h a t w o u l d i n

a l l l i k e l i h o o d b e i n c l u d e d i n a m o d e l o f s u c h a s y s t e m a r e t h e r o o m t e m p e r a t u r e

a n d t h e o p e r a t i n g m o d e o f t h e h e a t e r ( o n o r o f f ) . I t i s n a t u r a l t o m o d e l t h e

r s t v a r i a b l e a s r e a l - v a l u e d a n d t h e s e c o n d a s B o o l e a n . O b v i o u s l y , f o r t h e

t e m p e r a t u r e c o n t r o l s y s t e m t o b e e e c t i v e t h e r e n e e d s t o b e a c o u p l i n g b e t w e e n

t h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e v a r i a b l e s , s o t h a t f o r i n s t a n c e t h e o p e r a t i n g m o d e

w i l l b e s w i t c h e d t o o n i f t h e r o o m t e m p e r a t u r e d e c r e a s e s b e l o w a c e r t a i n v a l u e .

A c t u a l l y m o s t o f t h e d y n a m i c a l s y s t e m s t h a t w e h a v e a r o u n d u s m a y r e a -

s o n a b l y b e d e s c r i b e d i n h y b r i d t e r m s : c a r s , c o m p u t e r s , a i r p l a n e s , w a s h i n g

m a c h i n e s | t h e r e i s n o l a c k o f e x a m p l e s . N e v e r t h e l e s s , m o s t o f t h e l i t e r a t u r e

o n d y n a m i c m o d e l i n g i s c o n c e r n e d w i t h s y s t e m s t h a t a r e e i t h e r c o m p l e t e l y

c o n t i n u o u s o r c o m p l e t e l y d i s c r e t e . T h e r e a r e g o o d r e a s o n s f o r c h o o s i n g a

d e s c r i p t i o n i n e i t h e r t h e c o n t i n u o u s o r t h e d i s c r e t e d o m a i n . I n d e e d , i t i s a

p l a t i t u d e t h a t i t i s n o t n e c e s s a r y o r e v e n a d v i s a b l e t o i n c l u d e a l l a s p e c t s o f a

g i v e n p h y s i c a l s y s t e m i n t o a m o d e l t h a t i s i n t e n d e d t o a n s w e r c e r t a i n t y p e s

o f q u e s t i o n s . T h e e n g i n e e r i n g s o l u t i o n t o a h y b r i d s y s t e m p r o b l e m t h e r e f o r e

h a s o f t e n b e e n t o l o o k f o r a f o r m u l a t i o n t h a t i s p r i m a r i l y c o n t i n u o u s o r d i s -

c r e t e , a n d t o d e a l w i t h a s p e c t s f r o m t h e o t h e r d o m a i n , i f n e c e s s a r y , i n a n a d

h o c m a n n e r . A s a c o n s e q u e n c e , t h e e l d o f h y b r i d s y s t e m m o d e l i n g h a s b e e n

d o m i n a t e d b y p a t c h e s a n d w o r k a r o u n d s .

I n d i c a t i o n s a r e , h o w e v e r , t h a t t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n d i s c r e t e a n d c o n -

t i n u o u s s y s t e m s i n t o d a y ' s t e c h n o l o g i c a l p r o b l e m s h a s b e c o m e s o i m p o r t a n t

t h a t m o r e s y s t e m a t i c w a y s o f d e a l i n g w i t h h y b r i d s y s t e m s a r e c a l l e d f o r . F o r

a d r a m a t i c e x a m p l e , c o n s i d e r t h e l o s s o f t h e A r i a n e 5 l a u n c h e r t h a t w e n t i n t o

s e l f - d e s t r u c t i o n m o d e 3 7 s e c o n d s a f t e r l i f t o o n J u n e 4 , 1 9 9 6 . I n v e s t i g a t o r s

h a v e p u t t h e b l a m e f o r t h e c o s t l y f a i l u r e o n a s o f t w a r e e r r o r . N e v e r t h e l e s s ,

t h e p r o g r a m t h a t w e n t a s t r a y w a s t h e s a m e a s t h e o n e t h a t h a d w o r k e d p e r -

f e c t l y i n A r i a n e 4 ; i n f a c t , i t w a s c o p i e d f r o m A r i a n e 4 t o A r i a n e 5 f o r e x a c t l y

t h a t r e a s o n . W h a t h a d c h a n g e d w a s t h e c o n t i n u o u s d y n a m i c a l s y s t e m a r o u n d

t h e s o f t w a r e , e m b o d i e d i n t h e p h y s i c a l s t r u c t u r e o f t h e n e w l a u n c h e r w h i c h

v



v i P r e f a c e

h a d b e e n s i z e d u p c o n s i d e r a b l y c o m p a r e d t o i t s p r e d e c e s s o r . W i t h i n t h e n e w

p h y s i c a l e n v i r o n m e n t , t h e t r u s t e d c o d e q u i c k l y l e d i n t o a c a t a s t r o p h e .

A l t h o u g h t h e i n c r e a s i n g r o l e o f t h e c o m p u t e r i n t h e c o n t r o l o f p h y s i c a l

p r o c e s s e s m a y b e c i t e d a s o n e o f t h e r e a s o n s f o r t h e i n c r e a s e d i n t e r e s t i n h y b r i d

s y s t e m s , t h e r e a r e a l s o o t h e r s o u r c e s o f i n s p i r a t i o n . I n f a c t a n u m b e r o f r e c e n t

d e v e l o p m e n t s a l l r e v o l v e i n s o m e w a y a r o u n d t h e c o m b i n a t i o n o f c o n t i n u o u s

a n d d i s c r e t e a s p e c t s . T h e f o l l o w i n g i s a s a m p l e o f t h e s e d e v e l o p m e n t s , w h i c h

a r e c o n n e c t e d i n w a y s t h a t a r e s t i l l l a r g e l y u n e x p l o r e d :

- c o m p u t e r s c i e n c e : v e r i c a t i o n o f c o r r e c t n e s s o f p r o g r a m s i n t e r a c t i n g w i t h

c o n t i n u o u s e n v i r o n m e n t s ( e m b e d d e d s y s t e m s ) ;

- c o n t r o l t h e o r y : h i e r a r c h i c a l c o n t r o l , i n t e r a c t i o n o f d a t a s t r e a m s a n d

p h y s i c a l p r o c e s s e s , s t a b i l i z a t i o n o f n o n l i n e a r s y s t e m s b y s w i t c h i n g c o n -

t r o l ;

- d y n a m i c a l s y s t e m s : d i s c o n t i n u o u s s y s t e m s s h o w n e w t y p e s o f b i f u r c a -

t i o n s a n d p r o v i d e r e l a t i v e l y t r a c t a b l e e x a m p l e s o f c h a o s ;

- m a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g : o p t i m i z a t i o n a n d e q u i l i b r i u m p r o b l e m s

w i t h i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s c a n f r u i t f u l l y b e p l a c e d w i t h i n a r e g i m e -

s w i t c h i n g d y n a m i c f r a m e w o r k ;

- s i m u l a t i o n l a n g u a g e s : e l e m e n t l i b r a r i e s c o n t a i n b o t h c o n t i n u o u s a n d d i s -

c r e t e e l e m e n t s , s o t h a t t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n r o u t i n e s b e h i n d t h e

l a n g u a g e s m u s t t a k e b o t h a s p e c t s i n t o a c c o u n t .

I t i s a m a j o r c h a l l e n g e t o a d v a n c e a n d s y s t e m a t i z e t h e k n o w l e d g e a b o u t h y b r i d

s y s t e m s t h a t c o m e s f r o m s u c h a l a r g e v a r i e t y o f e l d s , w h i c h n e v e r t h e l e s s f r o m

a h i s t o r i c a l p o i n t o f v i e w h a v e m a n y c o n c e p t s i n c o m m o n .

E v e n t h o u g h t h e o v e r a l l a r e a o f h y b r i d s y s t e m s h a s n o t y e t c r y s t a l l i z e d ,

w e b e l i e v e t h a t i t i s m e a n i n g f u l a t t h i s t i m e t o t a k e s t o c k o f a n u m b e r o f

r e l a t e d d e v e l o p m e n t s i n a n i n t r o d u c t o r y t e x t , a n d t o d e s c r i b e t h e s e f r o m a

m o r e u n i e d p o i n t o f v i e w . W e h a v e n o t t r i e d t o b e e n c y c l o p a e d i c , a n d i n

a n y c a s e w e c o n s i d e r t h e p r e s e n t t e x t a s a n i n t e r m e d i a t e p r o d u c t . O u r o w n

b a c k g r o u n d i s c l e a r l y r e e c t e d i n t h e c h o i c e o f t h e d e v e l o p m e n t s c o v e r e d , a n d

w i t h o u t d o u b t t h e r e a d e r w i l l r e c o g n i z e a d e n i t e e m p h a s i s o n a s p e c t s t h a t a r e

o f i n t e r e s t f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f c o n t i n u o u s d y n a m i c s a n d m a t h e m a t i c a l

s y s t e m s t h e o r y . T h e t i t l e t h a t w e h a v e c h o s e n i s i n t e n d e d t o r e e c t t h i s c h o i c e .

W e t r u s t t h a t o t h e r s w h o a r e m o r e q u a l i e d t o d o s o w i l l w r i t e b o o k s o n h y b r i d

s y s t e m s e m p h a s i z i n g d i e r e n t a s p e c t s .

T h i s t e x t i s a n e x p a n d e d a n d r e v i s e d v e r s i o n o f c o u r s e n o t e s t h a t w e h a v e

w r i t t e n f o r t h e c o u r s e i n H y b r i d S y s t e m s t h a t w e t a u g h t i n t h e s p r i n g o f 1 9 9 8

a s p a r t o f t h e n a t i o n a l g r a d u a t e c o u r s e p r o g r a m o f t h e D u t c h I n s t i t u t e o f S y s -

t e m s a n d C o n t r o l . W e w o u l d l i k e t o t h a n k t h e b o a r d o f D I S C f o r g i v i n g u s

t h e o p p o r t u n i t y t o p r e s e n t t h i s c o u r s e , a n d w e a r e g r a t e f u l t o t h e c o u r s e p a r -

t i c i p a n t s f o r t h e i r c o m m e n t s . I n s o m e p a r t s o f t h e b o o k w e h a v e r e l i e d h e a v i l y

o n w o r k t h a t w e h a v e d o n e j o i n t l y w i t h K a n a t C a m l b e l , G e r a r d o E s c o b a r ,



P r e f a c e v i i

M a u r i c e H e e m e l s , J u n - I c h i I m u r a , Y v o n n e L o o t s m a , R o m e o O r t e g a , a n d S i e p

W e i l a n d ; i t i s a p l e a s u r e t o a c k n o w l e d g e t h e i r c o n t r i b u t i o n s . T h e s e c o n d a u -

t h o r w o u l d i n p a r t i c u l a r l i k e t o t h a n k G j e r r i t M e i n s m a f o r h i s p a t i e n t g u i d a n c e

o n t h e i n t r i c a c i e s o f L

A

T

E

X . F i n a l l y , f o r t h e i r c o m m e n t s o n p r e l i m i n a r y v e r -

s i o n s o f t h i s t e x t a n d h e l p f u l r e m a r k s , w e w o u l d l i k e t o t h a n k R e n e B o e l , P e t e r

B r e e d v e l d , E d B r i n k s m a , B e r n a r d B r o g l i a t o , D o m i n e L e e n a e r t s , J o h n L y g e r o s ,

O d e d M a l e r , S v e n - E r i k M a t t s o n , G j e r r i t M e i n s m a , M a n u e l M o n t e i r o M a r q u e s ,

A n d r e w P a i c e , S h a n k a r S a s t r y , D a v i d S t e w a r t , a n d J a n W i l l e m s . O f c o u r s e ,

a l l r e m a i n i n g f a u l t s a n d f a l l a c i e s a r e e n t i r e l y o u r o w n .

E n s c h e d e / A m s t e r d a m , S e p t e m b e r 1 9 9 9

A r j a n v a n d e r S c h a f t

H a n s S c h u m a c h e r



v i i i P r e f a c e



C o n t e n t s

L i s t o f F i g u r e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x i i i

1 M o d e l i n g o f h y b r i d s y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

1 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 2 T o w a r d s a d e n i t i o n o f h y b r i d s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 2 . 1 C o n t i n u o u s a n d s y m b o l i c d y n a m i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 2 . 2 H y b r i d a u t o m a t o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 2 . 3 F e a t u r e s o f h y b r i d d y n a m i c s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 2 . 4 G e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 2 . 5 H y b r i d t i m e e v o l u t i o n s a n d h y b r i d b e h a v i o r . . . . . . . . . . 1 4

1 . 2 . 6 E v e n t - o w f o r m u l a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

1 . 2 . 7 S i m u l a t i o n o f h y b r i d s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

1 . 2 . 8 R e p r e s e n t a t i o n s o f h y b r i d s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

1 . 3 N o t e s a n d R e f e r e n c e s f o r C h a p t e r 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4

2 E x a m p l e s o f h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5

2 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

2 . 2 E x a m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

2 . 2 . 1 H y s t e r e s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

2 . 2 . 2 M a n u a l t r a n s m i s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

2 . 2 . 3 B o u n c i n g b a l l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

2 . 2 . 4 T e m p e r a t u r e c o n t r o l s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

2 . 2 . 5 W a t e r - l e v e l m o n i t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

2 . 2 . 6 M u l t i p l e c o l l i s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

2 . 2 . 7 V a r i a b l e - s t r u c t u r e s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4

2 . 2 . 8 S u p e r v i s o r m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

2 . 2 . 9 T w o c a r t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

2 . 2 . 1 0 C o u l o m b f r i c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

2 . 2 . 1 1 S y s t e m s w i t h p i e c e w i s e l i n e a r e l e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . 5 0

2 . 2 . 1 2 R a i l r o a d c r o s s i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

2 . 2 . 1 3 P o w e r c o n v e r t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

2 . 2 . 1 4 C o n s t r a i n e d p e n d u l u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

2 . 2 . 1 5 D e g e n e r a t e V a n d e r P o l o s c i l l a t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

2 . 3 N o t e s a n d R e f e r e n c e s f o r C h a p t e r 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

i x



x C o n t e n t s

3 V a r i a b l e - s t r u c t u r e s y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7

3 . 1 D i s c o n t i n u o u s d y n a m i c a l s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

3 . 2 S o l u t i o n c o n c e p t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9

3 . 3 R e f o r m u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

3 . 4 S y s t e m s w i t h m a n y r e g i m e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3

3 . 5 T h e V i d a l e - W o l f e a d v e r t i z i n g m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5

3 . 6 N o t e s a n d r e f e r e n c e s f o r C h a p t e r 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7

4 C o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1

4 . 1 E x a m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

4 . 1 . 1 C i r c u i t s w i t h i d e a l d i o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

4 . 1 . 2 M e c h a n i c a l s y s t e m s w i t h u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s . . . . . . . . 7 4

4 . 1 . 3 O p t i m a l c o n t r o l w i t h s t a t e c o n s t r a i n t s . . . . . . . . . . . . . . . 7 5

4 . 1 . 4 V a r i a b l e - s t r u c t u r e s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

4 . 1 . 5 A c l a s s o f p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9

4 . 1 . 6 P r o j e c t e d d y n a m i c a l s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1

4 . 1 . 7 D i u s i o n w i t h a f r e e b o u n d a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4

4 . 1 . 8 M a x - p l u s s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9

4 . 2 E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0

4 . 3 T h e m o d e s e l e c t i o n p r o b l e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1

4 . 4 L i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6

4 . 4 . 1 S p e c i c a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6

4 . 4 . 2 A d i s t r i b u t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0

4 . 4 . 3 W e l l - p o s e d n e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2

4 . 5 M e c h a n i c a l c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4

4 . 6 R e l a y s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9

4 . 7 N o t e s a n d r e f e r e n c e s f o r C h a p t e r 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0

5 A n a l y s i s o f h y b r i d s y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 1

5 . 1 C o r r e c t n e s s a n d r e a c h a b i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1

5 . 1 . 1 F o r m a l v e r i c a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1

5 . 1 . 2 A n a u d i o p r o t o c o l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3

5 . 1 . 3 A l g o r i t h m s f o r v e r i c a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7

5 . 2 S t a b i l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8

5 . 2 . 1 L y a p u n o v f u n c t i o n s a n d P o i n c a r e m a p p i n g s . . . . . . . . . . . 1 1 8

5 . 2 . 2 T i m e - c o n t r o l l e d s w i t c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2

5 . 2 . 3 S t a t e - c o n t r o l l e d s w i t c h i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4

5 . 3 C h a o t i c p h e n o m e n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 9

5 . 4 N o t e s a n d r e f e r e n c e s f o r C h a p t e r 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2

6 H y b r i d c o n t r o l d e s i g n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3 3

6 . 1 S a f e t y a n d g u a r a n t e e p r o p e r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4

6 . 1 . 1 S a f e t y a n d c o n t r o l l e d i n v a r i a n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5

6 . 1 . 2 S a f e t y a n d d y n a m i c g a m e t h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 8

6 . 2 S w i t c h i n g c o n t r o l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0

6 . 2 . 1 S w i t c h i n g l o g i c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0



C o n t e n t s x i

6 . 2 . 2 P W M c o n t r o l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3

6 . 2 . 3 S l i d i n g m o d e c o n t r o l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4

6 . 2 . 4 Q u a d r a t i c s t a b i l i z a t i o n b y s w i t c h i n g c o n t r o l . . . . . . . . . . 1 4 6

6 . 3 H y b r i d f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7

6 . 3 . 1 E n e r g y d e c r e a s e b y h y b r i d f e e d b a c k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8

6 . 3 . 2 S t a b i l i z a t i o n o f n o n h o l o n o m i c s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1

6 . 3 . 3 S e t - p o i n t r e g u l a t i o n o f m e c h a n i c a l s y s t e m s b y e n e r g y

i n j e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 6

6 . 4 N o t e s a n d R e f e r e n c e s f o r C h a p t e r 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8

B i b l i o g r a p h y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5 9

I n d e x : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7 1



x i i C o n t e n t s



L i s t o f F i g u r e s

1 . 1 F i n i t e a u t o m a t o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . 2 H y b r i d a u t o m a t o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 3 T i m e e v o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

1 . 4 S o l u t i o n s o f F i l i p p o v ' s e x a m p l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

1 . 5 P a r t i t i o n i n g o f t h e p l a n e i n d u c e d b y i m p l i c i t s c h e m e . . . . . . . . . . . . . 3 1

2 . 1 H y s t e r e s i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

2 . 2 C o n t r o l s y s t e m w i t h h y s t e r e s i s a s a h y b r i d a u t o m a t o n . . . . . . . . . . . . 3 6

2 . 3 T e m p e r a t u r e - t h e r m o s t a t s y s t e m a s a h y b r i d a u t o m a t o n . . . . . . . . . . 3 9

2 . 4 W a t e r - l e v e l m o n i t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

2 . 5 C o l l i s i o n t o a n e l a s t i c w a l l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

2 . 6 S u p e r v i s o r m o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

2 . 7 T w o c a r t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

2 . 8 C o u l o m b f r i c t i o n c h a r a c t e r i s t i c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

2 . 9 B o o s t c i r c u i t w i t h c l a m p i n g d i o d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

2 . 1 0 I d e a l d i o d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

2 . 1 1 P e n d u l u m c o n s t r a i n e d b y a p i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

3 . 1 T r a j e c t o r i e s f o r V i d a l e - W o l f e e x a m p l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8

4 . 1 V a l u e s o f a n A m e r i c a n p u t o p t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9

4 . 2 T w o c a r t s w i t h s t o p a n d h o o k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7

4 . 3 T a n g e n t p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7

5 . 1 R e a c h a b l e s e t a n d a v o i d a n c e s e t f o r a u d i o p r o t o c o l . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6

5 . 2 T r a j e c t o r y o f a s w i t c h e d s y s t e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3

5 . 3 T r a j e c t o r i e s o f t w o l i n e a r s y s t e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7

6 . 1 S w i t c h i n g c o n t r o l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1

6 . 2 S w i t c h i n g c o n t r o l w i t h s h a r e d c o n t r o l l e r s t a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1

6 . 3 H y b r i d f e e d b a c k f o r t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9

6 . 4 A n a l t e r n a t i v e h y b r i d f e e d b a c k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9

6 . 5 A t y p i c a l p a r t i t i o n o f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5

x i i i



x i v L i s t o f F i g u r e s



C h a p t e r 1

M o d e l i n g o f h y b r i d s y s t e m s

1 . 1 I n t r o d u c t i o n

T h e a i m o f t h i s c h a p t e r i s t o m a k e m o r e p r e c i s e w h a t w e w a n t t o u n d e r s t a n d b y

a \ h y b r i d s y s t e m " . T h i s w i l l b e d o n e i n a s o m e w h a t t e n t a t i v e m a n n e r , w i t h o u t

a c t u a l l y e n d i n g u p w i t h a s i n g l e n a l d e n i t i o n o f a h y b r i d s y s t e m . P a r t l y , t h i s

i s d u e t o t h e f a c t t h a t t h e a r e a o f h y b r i d s y s t e m s i s s t i l l i n i t s i n f a n c y a n d t h a t

a g e n e r a l t h e o r y o f h y b r i d s y s t e m s s e e m s p r e m a t u r e . M o r e i n h e r e n t l y , h y b r i d

s y s t e m s i s s u c h a w i d e n o t i o n t h a t s t i c k i n g t o a s i n g l e d e n i t i o n s h a l l b e t o o

r e s t r i c t i v e ( a t l e a s t a t t h i s m o m e n t ) f o r o u r p u r p o s e s . M o r e o v e r , t h e c h o i c e o f

h y b r i d m o d e l s c r u c i a l l y d e p e n d s o n t h e i r p u r p o s e , e . g . f o r t h e o r e t i c a l p u r p o s e s

o r f o r s p e c i c a t i o n p u r p o s e s , o r a s a s i m u l a t i o n l a n g u a g e . N e v e r t h e l e s s , w e

h o p e t o m a k e r e a s o n a b l y c l e a r w h a t s h o u l d b e t h e m a i n i n g r e d i e n t s i n a n y

d e n i t i o n o f a h y b r i d s y s t e m , b y p r o p o s i n g a n d d i s c u s s i n g i n S e c t i o n 1 . 2 a

n u m b e r o f d e n i t i o n s o f h y b r i d s y s t e m s . S u b s e q u e n t l y , C h a p t e r 2 w i l l p r e s e n t

a s e r i e s o f e x a m p l e s o f h y b r i d s y s t e m s i l l u s t r a t i n g t h e m a i n i n g r e d i e n t s o f t h e s e

d e n i t i o n s i n m o r e d e t a i l .

G e n e r a l l y s p e a k i n g , h y b r i d s y s t e m s a r e m i x t u r e s o f r e a l - t i m e ( c o n t i n u o u s )

d y n a m i c s a n d d i s c r e t e e v e n t s . T h e s e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e d y n a m i c s n o t

o n l y c o e x i s t , b u t i n t e r a c t a n d c h a n g e s o c c u r b o t h i n r e s p o n s e t o d i s c r e t e ,

i n s t a n t a n e o u s , e v e n t s a n d i n r e s p o n s e t o d y n a m i c s a s d e s c r i b e d b y d i e r e n t i a l

o r d i e r e n c e e q u a t i o n s i n t i m e .

O n e o f t h e m a i n d i c u l t i e s i n t h e d i s c u s s i o n o f h y b r i d s y s t e m s i s t h a t

t h e t e r m \ h y b r i d " i s n o t r e s t r i c t i v e | t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e t e r m c o u l d

b e s t r e t c h e d t o i n c l u d e v i r t u a l l y a n y d y n a m i c a l s y s t e m w e c a n t h i n k o f . A

r e a s o n a b l y g e n e r a l d e n i t i o n o f h y b r i d s y s t e m s c a n t h e r e f o r e o n l y s e r v e a s a

f r a m e w o r k , t o i n d i c a t e t h e m a i n i s s u e s a n d t o x t h e t e r m i n o l o g y . W i t h i n

s u c h a g e n e r a l f r a m e w o r k o n e n e c e s s a r i l y h a s t o r e s t r i c t t o s p e c i a l s u b c l a s s e s

o f h y b r i d s y s t e m s i n o r d e r t o d e r i v e u s e f u l g e n e r a l l y v a l i d p r o p o s i t i o n s .

A n o t h e r d i c u l t y i n d i s c u s s i n g h y b r i d s y s t e m s i s t h a t v a r i o u s s c i e n t i c

c o m m u n i t i e s w i t h t h e i r o w n a p p r o a c h e s h a v e c o n t r i b u t e d ( a n d a r e s t i l l c o n -

t r i b u t i n g ) t o t h e a r e a . A t l e a s t t h e f o l l o w i n g t h r e e c o m m u n i t i e s c a n b e d i s t i n -

g u i s h e d .

F i r s t t h e r e i s t h e c o m p u t e r s c i e n c e c o m m u n i t y t h a t l o o k s a t a h y b r i d s y s -

t e m p r i m a r i l y a s a d i s c r e t e ( c o m p u t e r ) p r o g r a m i n t e r a c t i n g w i t h a n a n a l o g

1



2 C h a p t e r 1 . M o d e l i n g o f h y b r i d s y s t e m s

e n v i r o n m e n t . ( I n t h i s c o n t e x t a l s o t h e t e r m i n o l o g y e m b e d d e d s y s t e m s i s b e i n g

u s e d . ) A l e a d i n g o b j e c t i v e i s t o e x t e n d s t a n d a r d p r o g r a m a n a l y s i s t e c h n i q u e s

t o s y s t e m s w h i c h i n c o r p o r a t e s o m e k i n d o f c o n t i n u o u s d y n a m i c s . T h e e m p h a -

s i s i s o f t e n o n t h e d i s c r e t e e v e n t d y n a m i c s , w h e r e a s t h e c o n t i n u o u s d y n a m i c s

i s f r e q u e n t l y o f a r e l a t i v e l y s i m p l e f o r m . O n e o f t h e k e y i s s u e s i s v e r i c a t i o n .

A n o t h e r c o m m u n i t y i n v o l v e d i n t h e s t u d y o f h y b r i d s y s t e m s i s t h e m o d e l -

i n g a n d s i m u l a t i o n c o m m u n i t y . P h y s i c a l s y s t e m s c a n o f t e n o p e r a t e i n d i e r e n t

m o d e s , a n d t h e t r a n s i t i o n f r o m o n e m o d e t o a n o t h e r s o m e t i m e s c a n b e i d e a l i z e d

a s a n i n s t a n t a n e o u s , d i s c r e t e , t r a n s i t i o n . E x a m p l e s i n c l u d e e l e c t r i c a l c i r c u i t s

w i t h s w i t c h i n g d e v i c e s s u c h a s ( i d e a l ) d i o d e s a n d t r a n s i s t o r s , a n d m e c h a n i c a l

s y s t e m s s u b j e c t t o i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s a s e n c o u n t e r e d e . g . i n r o b o t i c s . S i n c e

t h e t i m e s c a l e o f t h e t r a n s i t i o n f r o m o n e m o d e t o a n o t h e r i s o f t e n m u c h f a s t e r

t h a n t h e t i m e s c a l e o f t h e d y n a m i c s o f t h e i n d i v i d u a l m o d e s , i t m a y b e a d v a n -

t a g e o u s t o m o d e l t h e t r a n s i t i o n s a s b e i n g i n s t a n t a n e o u s . T h e t i m e i n s t a n t a t

w h i c h t h e t r a n s i t i o n t a k e s p l a c e i s c a l l e d a n e v e n t t i m e . B a s i c i s s u e s t h e n c o n -

c e r n t h e w e l l - p o s e d n e s s o f t h e r e s u l t i n g h y b r i d s y s t e m , e . g . t h e e x i s t e n c e a n d

u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s , a n d t h e a b i l i t y t o e c i e n t l y s i m u l a t e t h e m u l t i - m o d a l

p h y s i c a l s y s t e m .

Y e t a n o t h e r c o m m u n i t y c o n t r i b u t i n g t o t h e a r e a o f h y b r i d s y s t e m s i s t h e

s y s t e m s a n d c o n t r o l c o m m u n i t y . W i t h i n t h i s c o m m u n i t y a d d i t i o n a l m o t i v a -

t i o n f o r t h e s t u d y o f h y b r i d s y s t e m s i s a c t u a l l y p r o v i d e d f r o m d i e r e n t a n g l e s .

O n e c a n t h i n k o f h i e r a r c h i c a l s y s t e m s w i t h a d i s c r e t e d e c i s i o n l a y e r a n d a c o n -

t i n u o u s i m p l e m e n t a t i o n l a y e r ( e . g . s u p e r v i s o r y c o n t r o l o r m u l t i - a g e n t c o n t r o l ) .

A l s o s w i t c h i n g c o n t r o l s c h e m e s a n d r e l a y c o n t r o l i m m e d i a t e l y l e a d t o h y b r i d

s y s t e m s . F o r n o n l i n e a r c o n t r o l s y s t e m s i t i s k n o w n t h a t i n s o m e i m p o r t a n t

c a s e s t h e r e d o e s n o t e x i s t a c o n t i n u o u s s t a b i l i z i n g s t a t e f e e d b a c k , b u t t h a t n e v -

e r t h e l e s s t h e s y s t e m c a n b e s t a b i l i z e d b y a s w i t c h i n g c o n t r o l . F i n a l l y , d i s c r e t e

e v e n t s y s t e m s t h e o r y c a n b e s e e n a s a s p e c i a l c a s e o f h y b r i d s y s t e m s t h e o r y . I n

m a n y a r e a s o f c o n t r o l , e . g . i n p o w e r c o n v e r t e r s a n d i n m o t i o n c o n t r o l , c o n t r o l

s t r a t e g i e s a r e i n h e r e n t l y h y b r i d i n n a t u r e .

F r o m a g e n e r a l s y s t e m - t h e o r e t i c p o i n t o f v i e w o n e c a n l o o k a t h y b r i d s y s -

t e m s a s s y s t e m s h a v i n g t w o d i e r e n t t y p e s o f p o r t s t h r o u g h w h i c h t h e y i n t e r a c t

w i t h t h e i r e n v i r o n m e n t . O n e t y p e o f p o r t s c o n s i s t s o f t h e c o m m u n i c a t i o n p o r t s .

T h e v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h t h e s e p o r t s a r e s y m b o l i c i n n a t u r e , a n d r e p r e s e n t

\ d a t a o w " . T h e s t r i n g s o f s y m b o l s a t t h e s e c o m m u n i c a t i o n p o r t s i n g e n e r a l

a r e n o t d i r e c t l y r e l a t e d w i t h r e a l ( p h y s i c a l ) t i m e ; t h e r e i s o n l y a s e q u e n t i a l

o r d e r i n g . T h e s e c o n d t y p e o f p o r t s c o n s i s t s o f t h e p h y s i c a l p o r t s , w h e r e t h e

t e r m \ p h y s i c a l " i n t e r p r e t e d i n a b r o a d s e n s e ; p e r h a p s \ a n a l o g " w o u l d b e a

m o r e a p p r o p r i a t e t e r m i n o l o g y . T h e v a r i a b l e s a t t h e s e p o r t s a r e u s u a l l y c o n -

t i n u o u s v a r i a b l e s , a n d a r e r e l a t e d t o p h y s i c a l m e a s u r e m e n t . A l s o , t h e o w o f

t h e s e v a r i a b l e s i s d i r e c t l y r e l a t e d t o p h y s i c a l t i m e . I n p r i n c i p l e t h e s i g n a l s a t

t h e p h y s i c a l p o r t s m a y b e d i s c r e t e - t i m e s i g n a l s ( o r s a m p l e d - d a t a s i g n a l s ) , b u t

i n m o s t c a s e s t h e y w i l l u l t i m a t e l y b e c o n t i n u o u s - t i m e s i g n a l s .

T h u s a h y b r i d s y s t e m c a n b e r e g a r d e d a s a c o m b i n a t i o n o f d i s c r e t e o r s y m -

b o l i c d y n a m i c s a n d c o n t i n u o u s d y n a m i c s . T h e m a i n p r o b l e m i n t h e d e n i t i o n



1 . 2 . T o w a r d s a d e n i t i o n o f h y b r i d s y s t e m s 3

a n d r e p r e s e n t a t i o n o f a h y b r i d s y s t e m i s p r e c i s e l y t o s p e c i f y t h e i n t e r a c t i o n

b e t w e e n t h i s s y m b o l i c a n d c o n t i n u o u s d y n a m i c s .

A k e y i s s u e i n t h e f o r m u l a t i o n o f h y b r i d s y s t e m s i s t h e o f t e n r e q u i r e d m o d -

u l a r i t y o f t h e h y b r i d s y s t e m d e s c r i p t i o n . I n d e e d , b e c a u s e w e a r e i n h e r e n t l y

d e a l i n g w i t h t h e m o d e l i n g o f c o m p l e x s y s t e m s , i t i s v e r y i m p o r t a n t t o m o d e l a

c o m p l e x h y b r i d s y s t e m a s t h e i n t e r c o n n e c t i o n o f s i m p l e r ( h y b r i d ) s u b s y s t e m s .

T h i s i m p l i e s t h a t t h e h y b r i d m o d e l s t h a t w e a r e g o i n g t o d i s c u s s a r e p r e f e r -

a b l y o f a f o r m t h a t a d m i t s e a s y i n t e r c o n n e c t i o n a n d c o m p o s i t i o n . B e s i d e s

t h i s n o t i o n o f c o m p o s i t i o n a l i t y o t h e r i m p o r t a n t ( r e l a t e d ) n o t i o n s a r e t h o s e o f

\ r e u s a b i l i t y " a n d \ h i e r a r c h y " . T h e s e t e r m s a r i s e i n t h e c o n t e x t o f \ o b j e c t -

o r i e n t e d m o d e l i n g " .

1 . 2 T o w a r d s a d e n i t i o n o f h y b r i d s y s t e m s

I n o u r o p i n i o n , f r o m a c o n c e p t u a l p o i n t o f v i e w t h e m o s t b a s i c d e n i t i o n o f

a h y b r i d s y s t e m i s t o i m m e d i a t e l y s p e c i f y i t s b e h a v i o r , t h a t i s , t h e s e t o f a l l

p o s s i b l e t r a j e c t o r i e s o f t h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h

t h e s y s t e m . O n t h e o t h e r h a n d , s u c h a b e h a v i o r a l d e n i t i o n t e n d s t o b e v e r y

g e n e r a l a n d f a r f r o m a n o p e r a t i o n a l s p e c i c a t i o n o f h y b r i d s y s t e m s . I n s t e a d w e

s h a l l s t a r t w i t h a r e a s o n a b l y g e n e r a l l y a c c e p t e d \ w o r k i n g d e n i t i o n " o f h y b r i d

s y s t e m s , w h i c h a l r e a d y h a s p r o v e d i t s u s e f u l n e s s . T h i s d e n i t i o n , c a l l e d t h e

h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l , w i l l a l r e a d y p r o v i d e t h e f r a m e w o r k a n d t e r m i n o l o g y

t o d i s c u s s a r a n g e o f t y p i c a l f e a t u r e s o f h y b r i d s y s t e m s . A t t h e e n d o f t h i s

c h a p t e r w e a r e t h e n p r e p a r e d t o r e t u r n t o t h e i s s u e s t h a t e n t e r i n t o a b e h a v i o r a l

d e n i t i o n o f h y b r i d s y s t e m s , a n d t o d i s c u s s a n a l t e r n a t i v e w a y o f m o d e l i n g

h y b r i d s y s t e m s b y m e a n s o f e q u a t i o n s .

1 . 2 . 1 C o n t i n u o u s a n d s y m b o l i c d y n a m i c s

I n o r d e r t o m o t i v a t e t h e h y b r i d a u t o m a t o n d e n i t i o n , w e r e c a l l t h e

\ p a r a d i g m s " o f c o n t i n u o u s a n d s y m b o l i c d y n a m i c s ; n a m e l y , s t a t e s p a c e m o d -

e l s d e s c r i b e d b y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r c o n t i n u o u s d y n a m i c s , a n d n i t e a u -

t o m a t a f o r s y m b o l i c d y n a m i c s . I n d e e d , t h e d e n i t i o n o f a h y b r i d a u t o m a t o n

b a s i c a l l y c o m b i n e s t h e s e t w o p a r a d i g m s . N o t e t h a t b o t h i n t h e c o n t i n u o u s

d o m a i n a n d i n t h e d i s c r e t e d o m a i n o n e c a n t h i n k o f m o r e g e n e r a l s e t t i n g s ;

f o r i n s t a n c e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d s t o c h a s t i c d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

o n t h e c o n t i n u o u s s i d e , p u s h d o w n a u t o m a t a a n d T u r i n g m a c h i n e s o n t h e d i s -

c r e t e s i d e . T h e f r a m e w o r k w e s h a l l d i s c u s s h o w e v e r i s a l r e a d y s u i t a b l e f o r t h e

m o d e l i n g o f m a n y a p p l i c a t i o n s , a s w i l l b e s h o w n i n t h e n e x t c h a p t e r .

D e n i t i o n 1 . 2 . 1 ( C o n t i n u o u s - t i m e s t a t e - s p a c e m o d e l s ) .

A c o n t i n u o u s - t i m e s t a t e - s p a c e s y s t e m i s d e s c r i b e d b y a s e t o f s t a t e v a r i a b l e s

x t a k i n g v a l u e s i n R

n

( o r , m o r e g e n e r a l l y , i n a n n - d i m e n s i o n a l s t a t e s p a c e

m a n i f o l d X ) , a n d a s e t o f e x t e r n a l v a r i a b l e s w t a k i n g v a l u e s i n R

q

, r e l a t e d b y




a m i x e d s e t o f d i e r e n t i a l a n d a l g e b r a i c e q u a t i o n s o f t h e f o r m

F ( x ; _x ; w ) = 0 : ( 1 . 1 )

H e r e _x d e n o t e s t h e d e r i v a t i v e o f x w i t h r e s p e c t t o t i m e . S o l u t i o n s o f ( 1 . 1 ) a r e

a l l ( s u c i e n t l y s m o o t h ) t i m e f u n c t i o n s x ( t ) a n d w ( t ) s a t i s f y i n g

F ( x ( t ) ; _x ( t ) ; w ( t ) ) = 0

f o r ( a l m o s t ) a l l t i m e s t 2 R ( t h e c o n t i n u o u s - t i m e a x i s ) .

O f c o u r s e , t h e a b o v e d e n i t i o n e n c o m p a s s e s t h e m o r e c o m m o n d e n i t i o n

o f a c o n t i n u o u s - t i m e i n p u t - s t a t e - o u t p u t s y s t e m

_x = f ( x ; u )

y = h ( x ; u )

( 1 . 2 )

w h e r e w e h a v e s p l i t t h e v e c t o r o f e x t e r n a l v a r i a b l e s w i n t o a s u b v e c t o r u t a k i n g

v a l u e s i n R

m

a n d a s u b v e c t o r y t a k i n g v a l u e s i n R

p

( w i t h m + p = q ) , c a l l e d

r e s p e c t i v e l y t h e v e c t o r o f i n p u t v a r i a b l e s a n d t h e v e c t o r o f o u t p u t v a r i a b l e s .

T h e o n l y a l g e b r a i c e q u a t i o n s i n ( 1 . 2 ) a r e t h o s e r e l a t i n g t h e o u t p u t v a r i a b l e s y

t o x a n d u , w h i l e g e n e r a l l y i n ( 1 . 1 ) t h e r e a r e a d d i t i o n a l a l g e b r a i c c o n s t r a i n t s

o n t h e s t a t e s p a c e v a r i a b l e s x .

O n e o f t h e m a i n a d v a n t a g e s o f g e n e r a l c o n t i n u o u s - t i m e s t a t e s p a c e s y s t e m s

( 1 . 1 ) o v e r c o n t i n u o u s - t i m e i n p u t - s t a t e - o u t p u t s y s t e m s ( 1 . 2 ) i s t h e f a c t t h a t t h e

r s t c l a s s i s c l o s e d u n d e r i n t e r c o n n e c t i o n , w h i l e t h e s e c o n d c l a s s i n g e n e r a l i s

n o t . I n f a c t , m o d e l i n g a p p r o a c h e s t h a t a r e b a s e d o n m o d u l a r i t y ( v i e w i n g t h e

s y s t e m a s t h e i n t e r c o n n e c t i o n o f s m a l l e r s u b s y s t e m s ) a l m o s t i n v a r i a b l y l e a d

t o a m i x e d s e t o f d i e r e n t i a l a n d a l g e b r a i c e q u a t i o n s . O f c o u r s e , i n a n u m b e r

o f c a s e s i t m a y b e r e l a t i v e l y e a s y t o e l i m i n a t e t h e a l g e b r a i c e q u a t i o n s i n t h e

s t a t e s p a c e v a r i a b l e s , i n w h i c h c a s e ( i f w e c a n a l s o e a s i l y s p l i t w i n t o u a n d y )

w e c a n c o n v e r t ( 1 . 1 ) i n t o ( 1 . 2 ) .

W e n o t e t h a t D e n i t i o n 1 . 2 . 1 d o e s n o t y e t c o m p l e t e l y s p e c i f y t h e

c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m , s i n c e ( o n p u r p o s e ) w e h a v e b e e n r a t h e r v a g u e a b o u t

t h e p r e c i s e s o l u t i o n c o n c e p t o f t h e d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s ( 1 . 1 ) . F o r

e x a m p l e , a r e a s o n a b l e c h o i c e ( b u t n o t t h e o n l y p o s s i b l e o n e ! ) i s t o r e q u i r e

w ( t ) t o b e p i e c e w i s e c o n t i n u o u s ( a l l o w i n g f o r d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e \ i n p u t s " )

a n d x ( t ) t o b e c o n t i n u o u s a n d p i e c e w i s e d i e r e n t i a b l e , w i t h ( 1 . 1 ) b e i n g s a t -

i s e d f o r a l m o s t a l l t ( e x c e p t f o r t h e p o i n t s o f d i s c o n t i n u i t y o f w ( t ) a n d n o n -

d i e r e n t i a b i l i t y o f x ( t ) ) .

N e x t w e g i v e t h e s t a n d a r d d e n i t i o n o f a n i t e a u t o m a t o n ( o r n i t e s t a t e

m a c h i n e , o r l a b e l e d t r a n s i t i o n s y s t e m ) .

D e n i t i o n 1 . 2 . 2 ( F i n i t e a u t o m a t o n ) . A n i t e a u t o m a t o n i s d e s c r i b e d b y

a t r i p l e ( L ; A ; E ) . H e r e L i s a n i t e s e t c a l l e d t h e s t a t e s p a c e , A i s a n i t e s e t

c a l l e d t h e a l p h a b e t w h o s e e l e m e n t s a r e c a l l e d s y m b o l s . E i s t h e t r a n s i t i o n r u l e ;

i t i s a s u b s e t o f L

A

L a n d i t s e l e m e n t s a r e c a l l e d e d g e s ( o r t r a n s i t i o n s , o r

e v e n t s ) . A s e q u e n c e ( l

0

; a

0

; l

1

; a

1

; : : : ; l

n ? 1

; a

n ? 1

; l

n

) w i t h ( l

i

; a

i

; l

i + 1

) 2 E f o r

i = 1 ; 2 ; : : : ; n

? 1 i s c a l l e d a t r a j e c t o r y o r p a t h .




b

l

1

a

b

c

c

a

d

l

2

l

4

l

3

F i g u r e 1 . 1 : F i n i t e a u t o m a t o n

T h e u s u a l w a y o f d e p i c t i n g a n a u t o m a t o n i s b y a g r a p h w i t h v e r t i c e s g i v e n

b y t h e e l e m e n t s o f L , a n d e d g e s g i v e n b y t h e e l e m e n t s o f E , s e e F i g u r e 1 . 1 .

T h e n A c a n b e s e e n a s a s e t o f l a b e l s l a b e l i n g t h e e d g e s . S o m e t i m e s t h e s e a r e

c a l l e d s y n c h r o n i z a t i o n l a b e l s , s i n c e i n t e r c o n n e c t i o n w i t h o t h e r a u t o m a t a t a k e s

p l a c e v i a t h e s e ( s h a r e d ) s y m b o l s . O n e c a n a l s o s p e c i a l i z e D e n i t i o n 1 . 2 . 2 t o

i n p u t - o u t p u t a u t o m a t a b y a s s o c i a t i n g w i t h e v e r y e d g e t w o s y m b o l s , n a m e l y

a n i n p u t s y m b o l i a n d a n o u t p u t s y m b o l o , a n d b y r e q u i r i n g t h a t f o r e v e r y

i n p u t s y m b o l t h e r e i s o n l y o n e e d g e o r i g i n a t i n g f r o m t h e g i v e n s t a t e w i t h

t h i s i n p u t s y m b o l . ( S o m e t i m e s s u c h a u t o m a t a a r e c a l l e d d e t e r m i n i s t i c i n p u t -

o u t p u t a u t o m a t a . ) D e t e r m i n i s t i c i n p u t - o u t p u t a u t o m a t a c a n b e r e p r e s e n t e d

b y e q u a t i o n s o f t h e f o l l o w i n g f o r m :

l

]

= ( l ; i )

o = ( l ; i )

( 1 . 3 )

w h e r e l

]

d e n o t e s t h e n e w v a l u e o f t h e d i s c r e t e s t a t e a f t e r t h e e v e n t t a k e s p l a c e ,

r e s u l t i n g f r o m t h e o l d d i s c r e t e s t a t e v a l u e l a n d t h e i n p u t i .

O f t e n t h e d e n i t i o n o f a n i t e a u t o m a t o n a l s o i n c l u d e s t h e e x p l i c i t s p e c i -

c a t i o n o f a s u b s e t I L o f i n i t i a l s t a t e s a n d a s u b s e t F L o f n a l s t a t e s .

A p a t h ( l

0

; a

0

; l

1

; a

1

; : : : ; l

n ? 1

; a

n ? 1

; l

n

) i s t h e n c a l l e d a s u c c e s s f u l p a t h i f i n

a d d i t i o n l

0

2 I a n d l

n

2 F .

I n c o n t r a s t w i t h t h e c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s d e n e d i n D e n i t i o n 1 . 2 . 1 t h e

s o l u t i o n c o n c e p t ( o r s e m a n t i c s ) o f a n i t e a u t o m a t o n ( w i t h o r w i t h o u t i n i t i a l

a n d n a l s t a t e s ) i s c o m p l e t e l y s p e c i e d : t h e b e h a v i o r o f t h e n i t e a u t o m a t o n

c o n s i s t s o f a l l ( s u c c e s s f u l ) p a t h s . I n t h e o r e t i c a l c o m p u t e r s c i e n c e p a r l a n c e t h e

d e n i t i o n o f a n i t e a u t o m a t o n i s s a i d t o e n t a i l a n \ o p e r a t i o n a l s e m a n t i c s " ,

c o m p l e t e l y s p e c i f y i n g t h e f o r m a l l a n g u a g e g e n e r a t e d b y t h e n i t e a u t o m a t o n .




N o t e t h a t t h e d e n i t i o n o f a n i t e a u t o m a t o n i s c o n c e p t u a l l y n o t v e r y d i f -

f e r e n t f r o m t h e d e n i t i o n o f a c o n t i n u o u s - t i m e s t a t e s p a c e s y s t e m . I n d e e d

w e m a y r e l a t e t h e s t a t e s p a c e L w i t h t h e s t a t e s p a c e X , t h e s y m b o l a l p h a -

b e t A w i t h t h e s p a c e W ( w h e r e t h e e x t e r n a l v a r i a b l e s t a k e t h e i r v a l u e s ) , a n d

t h e t r a n s i t i o n r u l e E w i t h t h e s e t o f d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s g i v e n b y

( 1 . 1 ) . F u r t h e r m o r e t h e p a t h s o f t h e n i t e a u t o m a t o n c o r r e s p o n d t o t h e s o -

l u t i o n s o f t h e s e t o f d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s . T h e a n a l o g y b e t w e e n

c o n t i n u o u s - t i m e i n p u t - s t a t e - o u t p u t s y s t e m s ( 1 . 2 ) a n d i n p u t - o u t p u t a u t o m a t a

( 1 . 3 ) i s o b v i o u s , w i t h t h e d i e r e n t i a t i o n o p e r a t o r

d

d t

r e p l a c e d b y t h e \ n e x t

s t a t e " o p e r a t o r

]

.

A ( m i n o r ) d i e r e n c e i s t h a t i n n i t e a u t o m a t a o n e u s u a l l y c o n s i d e r s ( a s i n

D e n i t i o n 1 . 2 . 2 ) p a t h s o f n i t e l e n g t h , w h i l e f o r c o n t i n u o u s - t i m e s t a t e s p a c e

s y s t e m s t h e e m p h a s i s i s o n s o l u t i o n s o v e r t h e w h o l e t i m e a x i s R . T h i s c o u l d b e

r e m e d i e d b y a d d i n g t o t h e n i t e a u t o m a t o n a s o u r c e s t a t e a n d a s i n k s t a t e a n d

a b l a n k l a b e l , a n d b y c o n s i d e r i n g s o l u t i o n s d e n e d o v e r t h e w h o l e t i m e a x i s Z

w h i c h \ s t a r t " a t m i n u s i n n i t y i n t h e s o u r c e s t a t e a n d \ e n d " a t p l u s i n n i t y

i n t h e s i n k s t a t e , w h i l e p r o d u c i n g t h e b l a n k s y m b o l w h e n r e m a i n i n g i n t h e

s o u r c e o r s i n k s t a t e . A l s o t h e s e t I o f i n i t i a l s t a t e s a n d t h e s e t F o f n a l s t a t e s

i n s o m e d e n i t i o n s o f a n i t e a u t o m a t o n d o n o t h a v e a d i r e c t a n a l o g o n i n t h e

d e n i t i o n o f a c o n t i n u o u s - t i m e s t a t e s p a c e s y s t e m . I n s o m e s e n s e , h o w e v e r ,

t h e y c o u l d b e v i e w e d a s a f o r m u l a t i o n o f p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s o f t h e

a u t o m a t o n .

S u m m a r i z i n g , t h e b a s i c d i e r e n c e s b e t w e e n D e n i t i o n 1 . 2 . 1 a n d D e n i t i o n

1 . 2 . 2 a r e t h e f o l l o w i n g .

- T h e s p a c e s L a n d A a r e n i t e s e t s i n s t e a d o f c o n t i n u o u s s p a c e s s u c h a s

X a n d W . ( I n s o m e e x t e n s i o n s o n e a l l o w s f o r c o u n t a b l e s e t s L a n d A . )

- T h e t i m e a x i s i n D e n i t i o n 1 . 2 . 1 i s R , w h i l e t h e t i m e a x i s i n D e n i t i o n

1 . 2 . 2 i s Z . H e r e , t o b e p r e c i s e , Z i s u n d e r s t o o d w i t h o u t a n y s t r u c t u r e o f

a d d i t i o n ( o n l y s e q u e n t i a l o r d e r i n g ) .

- I n t h e n i t e a u t o m a t o n m o d e l t h e s e t o f p o s s i b l e t r a n s i t i o n s ( e v e n t s ) i s

s p e c i e d e x p l i c i t l y , w h i l e t h e e v o l u t i o n o f a c o n t i n u o u s - t i m e s t a t e - s p a c e

s y s t e m i s o n l y i m p l i c i t l y g i v e n b y t h e s e t o f d i e r e n t i a l a n d a l g e b r a i c

e q u a t i o n s ( o n e s t i l l n e e d s t o s o l v e t h e s e e q u a t i o n s ) .

1 . 2 . 2 H y b r i d a u t o m a t o n

C o m b i n i n g D e n i t i o n s 1 . 2 . 1 a n d 1 . 2 . 2 l e a d s t o t h e f o l l o w i n g t y p e o f d e n i t i o n

o f a h y b r i d s y s t e m .

D e n i t i o n 1 . 2 . 3 ( H y b r i d a u t o m a t o n ) . A h y b r i d a u t o m a t o n i s d e s c r i b e d

b y a s e p t u p l e ( L ; X ; A ; W ; E ; I n v ; A c t ) w h e r e t h e s y m b o l s h a v e t h e f o l l o w i n g

m e a n i n g s .

- L i s a n i t e s e t , c a l l e d t h e s e t o f d i s c r e t e s t a t e s o r l o c a t i o n s . T h e y a r e

t h e v e r t i c e s o f a g r a p h .




- X i s t h e c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e o f t h e h y b r i d a u t o m a t o n i n w h i c h t h e

c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e s x t a k e t h e i r v a l u e s . F o r o u r p u r p o s e s X R

n

o r X i s a n n - d i m e n s i o n a l m a n i f o l d .

- A i s a n i t e s e t o f s y m b o l s w h i c h s e r v e t o l a b e l t h e e d g e s .

- W = R

q

i s t h e c o n t i n u o u s c o m m u n i c a t i o n s p a c e i n w h i c h t h e c o n t i n u o u s

e x t e r n a l v a r i a b l e s w t a k e t h e i r v a l u e s .

- E i s a n i t e s e t o f e d g e s c a l l e d t r a n s i t i o n s ( o r e v e n t s ) . E v e r y e d g e i s

d e n e d b y a v e - t u p l e ( l ; a ; G u a r d

l l

0

; J u m p

l l

0

; l

0

) , w h e r e l ; l

0

2 L , a 2 A ,

G u a r d

l l

0

i s a s u b s e t o f X a n d J u m p

l l

0

i s a r e l a t i o n d e n e d b y a s u b s e t

o f X X . T h e t r a n s i t i o n f r o m t h e d i s c r e t e s t a t e l t o l

0

i s e n a b l e d w h e n

t h e c o n t i n u o u s s t a t e x i s i n G u a r d

l l

0

, w h i l e d u r i n g t h e t r a n s i t i o n t h e

c o n t i n u o u s s t a t e x j u m p s t o a v a l u e x

0

g i v e n b y t h e r e l a t i o n ( x ; x

0

) 2

J u m p

l l

0

.

- I n v i s a m a p p i n g f r o m t h e l o c a t i o n s L t o t h e s e t o f s u b s e t s o f X , t h a t

i s I n v ( l ) X f o r a l l l 2 L . W h e n e v e r t h e s y s t e m i s a t l o c a t i o n l , t h e

c o n t i n u o u s s t a t e x m u s t s a t i s f y x 2 I n v ( l ) . T h e s u b s e t I n v ( l ) f o r l 2 L

i s c a l l e d t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t o f l o c a t i o n l .

- A c t i s a m a p p i n g t h a t a s s i g n s t o e a c h l o c a t i o n l 2 L a s e t o f d i e r e n t i a l -

a l g e b r a i c e q u a t i o n s F

l

, r e l a t i n g t h e c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e s x w i t h

t h e i r t i m e - d e r i v a t i v e s _x a n d t h e c o n t i n u o u s e x t e r n a l v a r i a b l e s w :

F

l

( x ; _x ; w ) = 0 : ( 1 . 4 )

T h e s o l u t i o n s o f t h e s e d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s a r e c a l l e d t h e a c -

t i v i t i e s o f t h e l o c a t i o n .

C l e a r l y , t h e a b o v e d e n i t i o n d r a w s s t r o n g l y u p o n D e n i t i o n 1 . 2 . 2 , t h e d i s -

c r e t e s t a t e s p a c e L n o w b e i n g c a l l e d t h e s p a c e o f l o c a t i o n s . ( N o t e t h a t t h e

s e t o f e d g e s E i n D e n i t i o n 1 . 2 . 3 a l s o d e n e s a s u b s e t o f L A L . ) I n

f a c t , D e n i t i o n 1 . 2 . 3 e x t e n d s D e n i t i o n 1 . 2 . 2 b y a s s o c i a t i n g w i t h e v e r y v e r t e x

( l o c a t i o n ) a c o n t i n u o u s d y n a m i c s w h o s e s o l u t i o n s a r e t h e a c t i v i t i e s , a n d b y

a s s o c i a t i n g w i t h e v e r y t r a n s i t i o n l ! l

0

a l s o a p o s s i b l e j u m p i n t h e c o n t i n u o u s

s t a t e .

N o t e t h a t t h e s t a t e o f a h y b r i d a u t o m a t o n c o n s i s t s o f a d i s c r e t e p a r t l 2 L

a n d a c o n t i n u o u s p a r t i n X . F u r t h e r m o r e , t h e e x t e r n a l v a r i a b l e s c o n s i s t o f a

d i s c r e t e p a r t t a k i n g t h e i r v a l u e s a i n A a n d a c o n t i n u o u s p a r t w t a k i n g t h e i r

v a l u e s i n R

q

. A l s o , t h e d y n a m i c s c o n s i s t s o f d i s c r e t e t r a n s i t i o n s ( f r o m o n e

l o c a t i o n t o a n o t h e r ) , t o g e t h e r w i t h a c o n t i n u o u s p a r t e v o l v i n g i n t h e l o c a t i o n

i n v a r i a n t .

I t s h o u l d b e r e m a r k e d t h a t t h e a b o v e d e n i t i o n o f a h y b r i d a u t o m a t o n h a s

t h e s a m e a m b i g u i t y a s t h e d e n i t i o n o f a c o n t i n u o u s - t i m e s t a t e - s p a c e s y s t e m ,

s i n c e i t s t i l l h a s t o b e c o m p l e m e n t e d b y a p r e c i s e s p e c i c a t i o n o f t h e s o l u t i o n s

( a c t i v i t i e s ) o f t h e d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s a s s o c i a t e d w i t h e v e r y l o c a -

t i o n . I n f a c t , i n t h e o r i g i n a l d e n i t i o n s o f a h y b r i d a u t o m a t o n ( s e e e . g . 1 ] ) t h e




a c t i v i t i e s o f e v e r y l o c a t i o n a r e a s s u m e d t o b e e x p l i c i t l y g i v e n r a t h e r t h a n g e n -

e r a t e d i m p l i c i t l y a s t h e s o l u t i o n s t o t h e d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s . O n

t h e o t h e r h a n d , s o m e b o d y a c q u a i n t e d w i t h d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w o u l d n o t

n d i t c o n v e n i e n t i n g e n e r a l t o h a v e t o s p e c i f y c o n t i n u o u s d y n a m i c s i m m e d i -

a t e l y b y t i m e f u n c t i o n s f r o m R

+

t o X . I n d e e d , c o n t i n u o u s t i m e d y n a m i c s i s

a l m o s t a l w a y s d e s c r i b e d b y s e t s o f d i e r e n t i a l o r d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a -

t i o n s , a n d o n l y i n e x c e p t i o n a l c a s e s ( s u c h a s l i n e a r d y n a m i c a l s y s t e m s ) o n e c a n

o b t a i n e x p l i c i t s o l u t i o n s . T h e d e s c r i p t i o n o f a h y b r i d a u t o m a t o n i s i l l u s t r a t e d

i n F i g u r e 1 . 2 .

x ( t ) 2 I n v ( ̀

2

)

x ( t ) 2 I n v ( ̀

1

)

F

̀

3

( x ; _x ; w ) = 0

x ( t ) 2 I n v ( ̀

3

)

̀

4

F

̀

4

( x ; _x ; w ) = 0

x ( t ) 2 I n v ( ̀

4

)

F

̀

2

( x ; _x ; w ) = 0

F

̀

1

( x ; _x ; w ) = 0

a

G u a r d

a

c

̀

1

b

G u a r d

J u m p

J u m p

J u m p

x

0

: = 0

G u a r d

x ( t )

G u a r d

c

J u m p

̀

2

̀

3

G u a r d

J u m p

G u a r d

G u a r d

J u m p

J u m p

d

b

F i g u r e 1 . 2 : H y b r i d a u t o m a t o n

A r e a s o n a b l e d e n i t i o n o f t h e t r a j e c t o r i e s ( o r s o l u t i o n s , o r i n c o m p u t e r

s c i e n c e t e r m i n o l o g y , t h e r u n s o r e x e c u t i o n s ) o f a h y b r i d a u t o m a t o n c a n b e

f o r m u l a t e d a s f o l l o w s . A c o n t i n u o u s t r a j e c t o r y ( l ; ; x ; w ) a s s o c i a t e d w i t h a

l o c a t i o n l c o n s i s t s o f a n o n n e g a t i v e t i m e ( t h e d u r a t i o n o f t h e c o n t i n u o u s

t r a j e c t o r y ) , a p i e c e w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n w : 0 ; ] ! W , a n d a c o n t i n u o u s

a n d p i e c e w i s e d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n x : 0 ; ] ! X s u c h t h a t




- x ( t ) 2 I n v ( l ) f o r a l l t 2 ( 0 ; ) ,

- F

l

( x ( t ) ; _x ( t ) ; w ( t ) ) = 0 f o r a l l t 2 ( 0 ; ) e x c e p t f o r p o i n t s o f d i s c o n t i n u i t y

o f w .

A t r a j e c t o r y o f t h e h y b r i d a u t o m a t o n i s a n ( i n n i t e ) s e q u e n c e o f c o n t i n u o u s

t r a j e c t o r i e s

( l

0

;

0

; x

0

; w

0

)

a

0

! ( l

1

;

1

; x

1

; w

1

)

a

1

! ( l

2

;

2

; x

2

; w

2

)

a

2

! : : :

s u c h t h a t a t t h e e v e n t t i m e s

t

0

=

0

; t

1

=

0

+

1

; t

2

=

0

+

1

+

2

; : : :

t h e f o l l o w i n g i n c l u s i o n s h o l d f o r t h e d i s c r e t e t r a n s i t i o n s :

x

j

( t

j

) 2 G u a r d

l

j

l

j + 1

( x

j

( t

j

) ; x

j + 1

( t

j

) ) 2 J u m p

l

j

l

j + 1

f o r a l l j = 0 ; 1 ; 2 ; : : : :

F u r t h e r m o r e , t o t h e j - t h a r r o w ! i n t h e a b o v e s e q u e n c e ( w i t h j s t a r t i n g a t

0 ) o n e a s s o c i a t e s a s y m b o l ( l a b e l ) a

j

, r e p r e s e n t i n g t h e v a l u e o f t h e d i s c r e t e

\ s i g n a l " a t t h e j - t h d i s c r e t e t r a n s i t i o n .

1 . 2 . 3 F e a t u r e s o f h y b r i d d y n a m i c s

N o t e t h a t t h e t r a j e c t o r i e s o f a h y b r i d a u t o m a t o n e x h i b i t t h e f o l l o w i n g f e a t u r e s .

S t a r t i n g a t a g i v e n l o c a t i o n t h e c o n t i n u o u s p a r t o f t h e s t a t e e v o l v e s a c c o r d i n g

t o t h e c o n t i n u o u s d y n a m i c s a s s o c i a t e d w i t h t h i s l o c a t i o n , p r o v i d e d i t r e m a i n s

i n t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t . T h e n , a t s o m e t i m e i n s t a n t i n R , c a l l e d a n e v e n t

t i m e , a n e v e n t o c c u r s a n d t h e d i s c r e t e p a r t o f t h e s t a t e ( t h e l o c a t i o n ) s w i t c h e s

t o a n o t h e r l o c a t i o n . T h i s i s a n i n s t a n t a n e o u s t r a n s i t i o n w h i c h i s g u a r d e d , t h a t

i s , a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h i s t r a n s i t i o n t o t a k e p l a c e i s t h a t t h e g u a r d o f

t h i s t r a n s i t i o n i s s a t i s e d . M o r e o v e r i n g e n e r a l t h i s t r a n s i t i o n w i l l a l s o i n v o l v e

a j u m p i n t h e c o n t i n u o u s p a r t o f t h e s t a t e . T h e n , a f t e r t h e i n s t a n t a n e o u s

t r a n s i t i o n h a s t a k e n p l a c e , t h e c o n t i n u o u s p a r t o f t h e s t a t e , s t a r t i n g f r o m

t h i s n e w c o n t i n u o u s s t a t e , w i l l i n p r i n c i p l e e v o l v e a c c o r d i n g t o t h e c o n t i n u o u s

d y n a m i c s o f t h e n e w l o c a t i o n . T h u s t h e r e a r e t w o p h e n o m e n a a s s o c i a t e d w i t h

e v e r y e v e n t , a s w i t c h a n d a j u m p , d e s c r i b i n g t h e i n s t a n t a n e o u s t r a n s i t i o n o f ,

r e s p e c t i v e l y , t h e d i s c r e t e a n d t h e c o n t i n u o u s p a r t o f t h e s t a t e a t s u c h a n e v e n t

t i m e .

A b a s i c i s s u e i n t h e s p e c i c a t i o n o f a h y b r i d s y s t e m i s t h e s p e c i c a t i o n

o f t h e e v e n t s a n d e v e n t t i m e s . F i r s t , t h e e v e n t s m a y b e e x t e r n a l l y i n d u c e d

v i a t h e l a b e l s ( s y m b o l s ) a

2 A ; t h i s l e a d s t o c o n t r o l l e d s w i t c h i n g s a n d j u m p s .

S e c o n d l y , t h e e v e n t s m a y b e i n t e r n a l l y i n d u c e d ; t h i s l e a d s t o w h a t i s c a l l e d a u -

t o n o m o u s s w i t c h i n g s a n d j u m p s . T h e o c c u r r e n c e o f i n t e r n a l l y i n d u c e d e v e n t s

i s d e t e r m i n e d b y t h e g u a r d s a n d t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s . W h e n e v e r v i o l a t i o n

o f t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s b e c o m e s i m m i n e n t , t h e h y b r i d a u t o m a t i o n h a s t o



1 0 C h a p t e r 1 . M o d e l i n g o f h y b r i d s y s t e m s

s w i t c h t o a n e w l o c a t i o n , w i t h p o s s i b l y a r e s e t o f t h e c o n t i n u o u s s t a t e . A t

s u c h a n e v e n t t i m e t h e g u a r d s w i l l d e t e r m i n e t o w h i c h l o c a t i o n s t h e t r a n s i t i o n

i s p o s s i b l e . ( T h e r e m a y b e m o r e t h a n o n e ; f u r t h e r m o r e , i t m a y b e p o s s i b l e t o

s w i t c h t o t h e s a m e l o c a t i o n . )

I f v i o l a t i o n o f t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s i s n o t i m m i n e n t t h e n s t i l l d i s c r e t e

t r a n s i t i o n s m a y t a k e p l a c e i f t h e c o r r e s p o n d i n g g u a r d s a r e s a t i s e d . T h a t i s ,

i f a t a c e r t a i n t i m e i n s t a n t t h e g u a r d o f a d i s c r e t e t r a n s i t i o n i s s a t i s e d t h e n

t h i s m a y c a u s e a n e v e n t t o t a k e p l a c e . A s a r e s u l t o n e m a y o b t a i n a l a r g e

c l a s s o f t r a j e c t o r i e s o f t h e h y b r i d a u t o m a t o n , a n d a t i g h t e r s p e c i c a t i o n o f t h e

b e h a v i o r o f t h e h y b r i d a u t o m a t o n w i l l c r i t i c a l l y d e p e n d o n a m o r e r e s t r i c t i v e

d e n i t i o n o f t h e g u a r d s . I n t u i t i v e l y t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s p r o v i d e e n f o r c i n g

c o n d i t i o n s w h e r e a s t h e g u a r d s p r o v i d e e n a b l i n g c o n d i t i o n s .

M a n y i s s u e s n a t u r a l l y c o m e u p i n c o n n e c t i o n w i t h t h e a n a l y s i s o f t h e t r a -

j e c t o r i e s o f a h y b r i d a u t o m a t o n . W e l i s t a n u m b e r o f t h e s e .

- I t c o u l d h a p p e n t h a t , a f t e r s o m e t i m e t , t h e s y s t e m e n d s u p i n a s t a t e

( l ; x ( t ) ) f r o m w h i c h t h e r e i s n o c o n t i n u a t i o n , t h a t i s , t h e r e i s n o p o s -

s i b l e c o n t i n u o u s t r a j e c t o r y f r o m x ( t ) a n d n o p o s s i b l e t r a n s i t i o n t o a n -

o t h e r l o c a t i o n . I n t h e c o m p u t e r s c i e n c e l i t e r a t u r e t h i s i s u s u a l l y c a l l e d

\ d e a d l o c k " . U s u a l l y t h i s w i l l b e c o n s i d e r e d a n u n d e s i r a b l e p h e n o m e n o n ,

b e c a u s e i t m e a n s t h a t t h e s y s t e m i s \ s t u c k " .

- T h e s e t o f d u r a t i o n s

i

m a y g e t s m a l l e r a n d s m a l l e r f o r i n c r e a s i n g i e v e n

t o s u c h a n e x t e n t t h a t

P

i = 1

i = 0

i

i s n i t e , s a y . T h i s m e a n s t h a t i s a n

a c c u m u l a t i o n p o i n t o f e v e n t t i m e s . I n t h e c o m p u t e r s c i e n c e l i t e r a t u r e

t h i s i s c a l l e d Z e n o b e h a v i o r ( r e f e r r i n g t o Z e n o ' s p a r a d o x o f A c h i l l e s a n d

t h e t u r t l e ) . T h i s n e e d n o t a l w a y s b e a n u n d e s i r a b l e b e h a v i o r o f t h e

h y b r i d s y s t e m . I n f a c t , a s l o n g a s t h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e p a r t s o f

t h e s t a t e w i l l c o n v e r g e t o a u n i q u e v a l u e a t t h e a c c u m u l a t i o n p o i n t ,

t h e n w e c a n r e - i n i t i a l i z e t h e h y b r i d s y s t e m a t u s i n g t h e s e l i m i t s , a n d

l e t t h e s y s t e m r u n a s b e f o r e s t a r t i n g f r o m t h e i n i t i a l t i m e . I n f a c t , i n

S u b s e c t i o n 2 . 2 . 3 ( t h e b o u n c i n g b a l l ) w e w i l l e n c o u n t e r a s i t u a t i o n l i k e

t h i s .

- I n p r i n c i p l e t h e d u r a t i o n s o f t h e c o n t i n u o u s t r a j e c t o r i e s a r e a l l o w e d t o b e

z e r o ; i n t h i s w a y o n e m a y c o v e r t h e o c c u r r e n c e o f m u l t i p l e e v e n t s . I n t h i s

c a s e t h e u n d e r l y i n g t i m e a x i s o f t h e h y b r i d t r a j e c t o r y h a s a s t r u c t u r e

w h i c h i s m o r e c o m p l i c a t e d t h a n R c o n t a i n i n g a s e t o f e v e n t t i m e s : a

c e r t a i n t i m e i n s t a n t t 2 R m a y c o r r e s p o n d t o a s e q u e n c e o f s e q u e n t i a l l y

o r d e r e d t r a n s i t i o n s , a l l h a p p e n i n g a t t h e s a m e t i m e i n s t a n t t w h i c h i s

t h e n c a l l e d a m u l t i p l e e v e n t t i m e . W e r e f e r e . g . t o S u b s e c t i o n 2 . 2 . 6 w h e r e

w e a l s o p r o v i d e a n e x a m p l e o f a n e v e n t w i t h m u l t i p l i c i t y 1 .

- I t m a y h a p p e n t h a t t h e h y b r i d s y s t e m g e t s s t u c k a t s u c h a m u l t i p l e

e v e n t t i m e b y s w i t c h i n g i n d e n i t e l y b e t w e e n d i e r e n t l o c a t i o n s ( a n d n o t

p r o c e e d i n g i n t i m e ) . T h i s i s s o m e t i m e s c a l l e d l i v e l o c k . S u c h a s i t u a t i o n

o c c u r s i f a l o c a t i o n i n v a r i a n t t e n d s t o b e v i o l a t e d a n d a g u a r d e d t r a n s i -

t i o n t a k e s p l a c e t o a n e w l o c a t i o n i n s u c h a w a y t h a t t h e n e w c o n t i n u o u s



1 . 2 . T o w a r d s a d e n i t i o n o f h y b r i d s y s t e m s 1 1

s t a t e d o e s n o t s a t i s f y t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s o f t h e n e w l o c a t i o n , w h i l e

t h e g u a r d f o r t h e t r a n s i t i o n t o t h e o l d l o c a t i o n i s s a t i s e d . I n s o m e c a s e s

t h i s p r o b l e m c a n b e r e s o l v e d b y c r e a t i n g a n e w l o c a t i o n , w i t h a c o n t i n u -

o u s d y n a m i c s t h a t \ a v e r a g e s " t h e c o n t i n u o u s d y n a m i c s o f t h e l o c a t i o n s

b e t w e e n w h i c h t h e i n n i t e s w i t c h i n g o c c u r s . F i l i p p o v ' s n o t i o n s o f s o -

l u t i o n s o f d i s c o n t i n u o u s v e c t o r e l d s c a n b e i n t e r p r e t e d i n t h i s w a y , c f .

S u b s e c t i o n 2 . 2 . 7 a n d C h a p t e r 3 .

- I n g e n e r a l t h e s e t o f t r a j e c t o r i e s ( r u n s ) o f t h e h y b r i d a u t o m a t o n m a y

b e v e r y l a r g e , e s p e c i a l l y i f t h e g u a r d s a r e n o t v e r y s t r i c t . F o r c e r t a i n

p u r p o s e s ( e . g . v e r i c a t i o n ) t h i s m a y n o t b e a p r o b l e m , b u t i n o t h e r c a s e s

o n e m a y w i s h t h e h y b r i d s y s t e m t o b e d e t e r m i n i s t i c o r w e l l - p o s e d , i n

t h e s e n s e o f h a v i n g u n i q u e s o l u t i o n s f o r g i v e n d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s

\ i n p u t s " ( a s s u m i n g t h a t w e h a v e s p l i t t h e v e c t o r w o f c o n t i n u o u s e x t e r n a l

v a r i a b l e s i n t o a v e c t o r o f c o n t i n u o u s i n p u t s a n d o u t p u t s , a n d t h a t e v e r y

l a b e l a a c t u a l l y c o n s i s t s o f a n i n p u t l a b e l a n d a n o u t p u t l a b e l ) . E s p e c i a l l y

f o r s i m u l a t i o n p u r p o s e s t h i s m a y b e v e r y d e s i r a b l e , a n d i n t h i s c o n t e x t

o n e w o u l d o f t e n d i s m i s s a h y b r i d m o d e l a s i n a p p r o p r i a t e i f i t d o e s n o t

h a v e t h i s w e l l - p o s e d n e s s p r o p e r t y . O n t h e o t h e r h a n d , n o n d e t e r m i n i s t i c

d i s c r e t e - e v e n t s y s t e m s a r e v e r y c o m m o n i n c o m p u t e r s c i e n c e . A s i m p l e

e x a m p l e o f a h y b r i d s y s t e m n o t h a v i n g u n i q u e s o l u t i o n s , a t l e a s t f r o m a

c e r t a i n p o i n t o f v i e w , i s p r o v i d e d b y t h e i n t e g r a t o r d y n a m i c s

_y = u

i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e r e l a y e l e m e n t

u = + 1 ; y > 0

u = ? 1 ; y < 0

? 1 u 1 ; y = 0 :

T h e r e s u l t i n g h y b r i d s y s t e m ( w i t h o u t e x t e r n a l i n p u t s ) h a s t h r e e l o c a -

t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e t h r e e s e g m e n t s o f t h e i d e a l r e l a y e l e m e n t . I t

i s d i r e c t l y s e e n t h a t f o r i n i t i a l c o n d i t i o n y ( 0 ) = 0 t h e s y s t e m c a n e v o l v e

i n e i t h e r o f t h e s e t h r e e l o c a t i o n s , y i e l d i n g t h e t h r e e s o l u t i o n s ( i ) y ( t ) = t ,

u ( t ) = 1 , ( i i ) y ( t ) = ? t , u ( t ) = ? 1 , a n d ( i i i ) y ( t ) = 0 , u ( t ) = 0 . H e n c e , i f

w e s p e c i f y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n o f t h i s h y b r i d s y s t e m o n l y b y i t s c o n t i n u -

o u s s t a t e , w h i c h i s n o t u n r e a s o n a b l e i n p h y s i c a l s y s t e m s , t h e n t h e r e a r e

t h r e e s o l u t i o n s s t a r t i n g f r o m t h e z e r o i n i t i a l c o n d i t i o n . M o r e i n v o l v e d

e x a m p l e s o f t h e s a m e t y p e w i l l b e g i v e n i n C h a p t e r 4 . A \ p h y s i c a l "

e x a m p l e o f t h e s a m e t y p e e x h i b i t i n g n o n - u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s i s t h e

c l a s s i c a l e x a m p l e , d u e t o P a i n l e v e , o f a s t i c k t h a t s l i d e s w i t h o n e e n d

o n a t a b l e a n d t h a t i s s u b j e c t t o C o u l o m b f r i c t i o n a c t i n g a t t h e c o n t a c t

p o i n t ; s e e e . g . 3 1 , p . 1 5 4 ] .

- T h e c o n t i n u o u s d y n a m i c s a s s o c i a t e d t o a l o c a t i o n m a y h a v e \ n i t e e s c a p e

t i m e " , i n t h e s e n s e t h a t t h e s o l u t i o n o f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , o r o f t h e




d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s , f o r s o m e i n i t i a l s t a t e g o e s t o \ i n n i t y "

( o r t o t h e b o u n d a r y o f t h e s t a t e s p a c e X ) i n n i t e t i m e . T h i s i s a

w e l l - k n o w n p h e n o m e n o n i n n o n l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . A s i m p l e

e x a m p l e i s p r o v i d e d b y t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n

_x ( t ) = 1 + x

2

( t ) ; x ( 0 ) = 0 ;

a s o l u t i o n o f w h i c h i s x ( t ) = t a n t . ( T h e f r a m e w o r k o f h y b r i d s y s t e m s

a l l o w s o n e , i n p r i n c i p l e , t o m o d e l t h i s a s a n e v e n t , b y l e t t i n g t h e \ e x p l o -

s i o n t i m e " (

2

i n t h e a b o v e e x a m p l e ) b e a n e v e n t t i m e , w h e r e t h e s y s t e m

m a y s w i t c h t o a n e w l o c a t i o n a n d j u m p t o a n e w c o n t i n u o u s s t a t e . )

- T h e s o l u t i o n c o n c e p t o f t h e c o n t i n u o u s - t i m e d y n a m i c s a s s o c i a t e d t o a

l o c a t i o n m a y i t s e l f b e p r o b l e m a t i c , e s p e c i a l l y b e c a u s e o f t h e p o s s i b l e

p r e s e n c e o f a l g e b r a i c c o n s t r a i n t s . I n p a r t i c u l a r , i n s o m e s i t u a t i o n s o n e

m a y w a n t t o a s s o c i a t e j u m p b e h a v i o r w i t h t h e s e c o n t i n u o u s - t i m e d y n a m -

i c s ( s e e e . g . S u b s e c t i o n 2 . 2 . 1 5 ) . W i t h i n t h e h y b r i d f r a m e w o r k t h i s c a n

b e i n c o r p o r a t e d a s i n t e r n a l l y i n d u c e d e v e n t s , w h e r e t h e s y s t e m s w i t c h e s

t o t h e s a m e l o c a t i o n b u t i s s u b j e c t t o a r e s e t o f t h e c o n t i n u o u s s t a t e .

R e m a r k 1 . 2 . 4 . O f c o u r s e , t h e d e n i t i o n o f a h y b r i d a u t o m a t o n c a n s t i l l b e

g e n e r a l i z e d i n a n u m b e r o f d i r e c t i o n s . A p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t i n g e x t e n s i o n i s t o

c o n s i d e r s t o c h a s t i c h y b r i d s y s t e m s , s u c h a s t h e s y s t e m s d e s c r i b e d b y p i e c e w i s e -

d e t e r m i n i s t i c M a r k o v p r o c e s s e s , s e e e . g . 4 0 ] . I n t h i s n o t i o n t h e e v e n t t i m e s a r e

d e t e r m i n e d b y t h e s y s t e m r e a c h i n g c e r t a i n b o u n d a r i e s i n t h e c o n t i n u o u s s t a t e

s p a c e ( s i m i l a r t o t h e n o t i o n o f l o c a t i o n i n v a r i a n t s ) , a n d / o r b y a n u n d e r l y i n g

p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n . F u r t h e r m o r e , a l s o t h e r e s u l t i n g d i s c r e t e t r a n s i t i o n s

t o g e t h e r w i t h t h e i r j u m p r e l a t i o n s a r e a s s u m e d t o b e g o v e r n e d b y a p r o b a b i l i t y

d i s t r i b u t i o n .

1 . 2 . 4 G e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t o n

I n D e n i t i o n 1 . 2 . 3 o f a h y b r i d a u t o m a t o n t h e r e i s s t i l l a n a p p a r e n t a s y m m e t r y

b e t w e e n t h e c o n t i n u o u s a n d t h e s y m b o l i c ( d i s c r e t e ) p a r t o f t h e d y n a m i c s .

F u r t h e r m o r e , t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s a n d t h e g u a r d s p l a y s t r o n g l y r e l a t e d r o l e s

i n t h e s p e c i c a t i o n o f t h e d i s c r e t e t r a n s i t i o n s . T h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z a t i o n o f

D e n i t i o n 1 . 2 . 3 t a k e s t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s a n d t h e s e t o f e d g e s E t o g e t h e r ,

a n d s y m m e t r i z e s t h e d e n i t i o n o f a h y b r i d a u t o m a t o n . ( T h e i n p u t - o u t p u t

v e r s i o n o f t h i s d e n i t i o n i s d u e t o 9 8 ] . )

D e n i t i o n 1 . 2 . 5 ( G e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t o n ) . A g e n e r a l i z e d h y -

b r i d a u t o m a t o n i s d e s c r i b e d b y a s i x t u p l e ( L ; X ; A ; W ; R ; A c t ) w h e r e

L ; X ; A ; W a n d A c t a r e a s i n D e n i t i o n 1 . 2 . 3 , a n d R i s a s u b s e t o f ( L

X )

( A

W )

( L

X ) .

A c o n t i n u o u s t r a j e c t o r y ( l ; a ; ; x ; w ) a s s o c i a t e d w i t h a l o c a t i o n l a n d a

d i s c r e t e e x t e r n a l s y m b o l a c o n s i s t s o f a n o n n e g a t i v e t i m e ( t h e d u r a t i o n o f

t h e c o n t i n u o u s t r a j e c t o r y ) , a p i e c e w i s e c o n t i n u o u s f u n c t i o n w : 0 ; ] ! W ,

a n d a c o n t i n u o u s a n d p i e c e w i s e d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n x : 0 ; ]

! X s u c h t h a t




- ( l ; x ( t ) ; a ; w ( t ) ; l ; x ( t ) ) 2 R f o r a l l t 2 ( 0 ; ) ,

- F

l

( x ( t ) ; _x ( t ) ; w ( t ) ) = 0 f o r a l m o s t a l l t 2 ( 0 ; ) ( e x c e p t i o n s i n c l u d e t h e

p o i n t s o f d i s c o n t i n u i t y o f w ) .

A t r a j e c t o r y o f t h e g e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t o n i s a n ( i n n i t e ) s e q u e n c e

( l

0

; a

0

;

0

; x

0

; w

0

) ! ( l

1

; a

1

;

1

; x

1

; w

1

) ! ( l

2

; a

2

;

2

; x

2

; w

2

) ! : : :

s u c h t h a t a t t h e e v e n t t i m e s

t

0

=

0

; t

1

=

0

+

1

; t

2

=

0

+

1

+

2

; : : :

t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h o l d :

( l

j

; x

j

( t

j

) ; a

j

; w

j

( t

j

) ; l

j + 1

; x

j + 1

( t

j

) ) 2 R ; f o r a l l j = 0 ; 1 ; 2 ; : : :

T h e s u b s e t R i n c o r p o r a t e s t h e n o t i o n s o f t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s , g u a r d s , a n d

j u m p s o f D e n i t i o n 1 . 2 . 3 i n t h e f o l l o w i n g w a y . T o e a c h l o c a t i o n l w e a s s o c i a t e

t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t

I n v ( l ) = f ( x ; a ; w ) 2 X A W j ( l ; x ; a ; w ; l ; x ) 2 R g :

( W i t h a n a b u s e o f n o t a t i o n , x a n d w d e n o t e h e r e e l e m e n t s o f X , r e s p e c t i v e l y

W , i n s t e a d o f v a r i a b l e s t a k i n g t h e i r v a l u e s i n t h e s e s p a c e s . ) F u r t h e r m o r e ,

g i v e n t w o l o c a t i o n s l ; l

0

w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g g u a r d f o r t h e t r a n s i t i o n f r o m

l t o l

0

:

G u a r d

l l

0

= f ( x ; a ; w ) 2 X A W j 9 x

0

2 X ; ( l ; x ; a ; w ; l

0

; x

0

) 2 R g

w i t h t h e i n t e r p r e t a t i o n t h a t t h e t r a n s i t i o n f r o m l t o l

0

c a n t a k e p l a c e i f a n d

o n l y i f ( x ; a ; w ) 2 G u a r d

l l

0

. F i n a l l y , t h e a s s o c i a t e d j u m p r e l a t i o n i s g i v e n b y

J u m p

l l

0

( x ; a ; w ) = f x

0

2 X j ( l ; x ; a ; w ; l

0

; x

0

) 2 R g :

N o t e t h a t t h e r e s u l t i n g l o c a t i o n i n v a r i a n t s , g u a r d s a s w e l l a s j u m p r e l a t i o n s

a r e i n p r i n c i p l e o f a m o r e g e n e r a l t y p e t h a n i n D e n i t i o n 1 . 2 . 3 , s i n c e t h e y a l l

m a y d e p e n d o n t h e c o n t i n u o u s a n d d i s c r e t e e x t e r n a l v a r i a b l e s . ( I n S u b s e c t i o n

2 . 2 . 1 3 o f C h a p t e r 2 w e s h a l l s e e t h a t t h i s i s a c t u a l l y a n a p p r o p r i a t e g e n e r a l i z a -

t i o n . ) C o n v e r s e l y , i t c a n b e r e a d i l y s e e n t h a t a n y s e t E o f e d g e s a n d l o c a t i o n

i n v a r i a n t s a s i n D e n i t i o n 1 . 2 . 3 c a n b e r e c o v e r e d f r o m a s u i t a b l y c h o s e n s e t

R a s i n D e n i t i o n 1 . 2 . 5 . T h e r e f o r e , D e n i t i o n 1 . 2 . 5 d o e s i n d e e d g e n e r a l i z e

D e n i t i o n 1 . 2 . 3 .

A f u r t h e r g e n e r a l i z a t i o n o f t h e d e n i t i o n o f a h y b r i d a u t o m a t o n w o u l d b e

t o a l l o w d i e r e n t c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e s a s s o c i a t e d w i t h d i e r e n t l o c a t i o n s .

( T h i s i s n o w t o s o m e e x t e n t c a p t u r e d i n t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s o r t h e s u b s e t

R . ) I n f a c t , s o m e o f t h e e x a m p l e s t h a t w e w i l l p r e s e n t i n C h a p t e r 2 d o m o t i v a t e

s u c h a g e n e r a l i z a t i o n .




T h e d e n i t i o n o f a ( g e n e r a l i z e d ) h y b r i d a u t o m a t o n a d m i t s c o m p o s i t i o n a l i t y

i n t h e f o l l o w i n g s e n s e ( c f . 1 ] ) . F o r s i m p l i c i t y w e s h a l l o n l y g i v e t h e d e n i t i o n s

f o r t h e g e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l ( D e n i t i o n 1 . 2 . 5 ) . C o n s i d e r t w o

g e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t a

i

= ( L

i

; X

i

; A

i

; W

i

; R

i

; A c t

i

) , i = 1 ; 2 , a n d s u p -

p o s e t h a t

W

1

= W

2

; A

1

= A

2

( T h i s i s t h e c a s e o f s h a r e d e x t e r n a l v a r i a b l e s . ) W e d e n e t h e s y n c h r o n o u s p a r -

a l l e l c o m p o s i t i o n o r i n t e r c o n n e c t i o n =

1

k

2

o f t h e t w o g e n e r a l i z e d h y b r i d

a u t o m a t a

i

; i = 1 ; 2 , a s t h e g e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t o n ( L ; X ; A ; W ; R ; A c t )

g i v e n b y

L = L

1

L

2

X = X

1

X

2

A = A

1

= A

2

W = W

1

= W

2

R = f ( ( l

1

; l

2

) ; ( x

1

; x

2

) ; a ; w ; ( l

0

1

; l

0

2

) ; ( x

0

1

; x

0

2

) ) 2 ( L X )

( A W ) ( L X ) j ( l

i

; x

i

; a ; w ; l

0

i

; x

0

i

) 2 R

i

; i = 1 ; 2 g

A c t = A c t

1

A c t

2

:

( 1 . 5 )

T h i s c o r r e s p o n d s t o t h e f u l l s y n c h r o n o u s p a r a l l e l c o m p o s i t i o n o r i n t e r c o n n e c -

t i o n o f t h e t w o g e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t a . W e m a y a l s o c o n s i d e r p a r t i a l

s y n c h r o n o u s p a r a l l e l c o m p o s i t i o n s b y s y n c h r o n i z i n g o n l y a p a r t o f t h e d i s c r e t e

e x t e r n a l v a r i a b l e s a

1

a n d i n a

2

i n A

1

, r e s p e c t i v e l y A

2

, a n d b y c o n s i d e r i n g m o r e

g e n e r a l r e l a t i o n s b e t w e e n t h e c o n t i n u o u s e x t e r n a l v a r i a b l e s w

1

a n d w

2

. F u r -

t h e r m o r e , w e m a y a l s o d e n e t h e i n t e r l e a v i n g p a r a l l e l c o m p o s i t i o n =

1

k j

2

b y t a k i n g A = A

1

A

2

a n d W = W

1

W

2

i n ( 1 . 5 ) , a n d b y d e n i n g R = R

1

R

2

.

1 . 2 . 5 H y b r i d t i m e e v o l u t i o n s a n d h y b r i d b e h a v i o r

A c o n c e p t u a l p r o b l e m i n D e n i t i o n s 1 . 2 . 3 a n d 1 . 2 . 5 i s t h e f o r m a l i z a t i o n o f

t h e n o t i o n o f t h e t i m e e v o l u t i o n c o r r e s p o n d i n g t o a h y b r i d t r a j e c t o r y , a n d i n

p a r t i c u l a r t h e e m b e d d i n g o f t h e e v e n t t i m e s i n t h e c o n t i n u o u s t i m e a x i s R .

I n D e f . 1 . 2 . 5 t i m e i s b r o k e n u p i n t o a s e q u e n c e o f c l o s e d i n t e r v a l s , w h i c h m a y

r e d u c e t o s i n g l e p o i n t s . E e c t i v e l y a c o u n t i n g l a b e l i s a d d e d t o t i m e p o i n t s

w h i c h i n d i c a t e s t o w h i c h e l e m e n t o f t h e s e q u e n c e t h e p o i n t b e l o n g s ; t h i s i s

n e c e s s a r y t o m a k e i t p o s s i b l e t h a t s t a t e v a r i a b l e s h a v e d i e r e n t v a l u e s a t t h e

\ s a m e " e v e n t t i m e . A s i m i l a r l a b e l i n g p r o c e d u r e h a s b e e n u s e d f o r i n s t a n c e

i n 1 6 2 ] , w h e r e t h e a u t h o r s s p e a k o f a \ t i m e s p a c e " . T h e s e n o t i o n s o f t i m e

a r e n o t a b l e t o c o v e r s i t u a t i o n s i n w h i c h t h e e v e n t t i m e s o f a t r a j e c t o r y h a v e

a n a c c u m u l a t i o n p o i n t b u t s t i l l t h e t r a j e c t o r y d o e s p r o g r e s s i n t i m e a f t e r t h i s




a c c u m u l a t i o n p o i n t . E x a m p l e s o f s u c h a s i t u a t i o n a r e p r o v i d e d i n S u b s e c t i o n s

2 . 2 . 3 a n d 2 . 2 . 6 . T h e r e f o r e w e p r o p o s e h e r e a s o m e w h a t m o r e g e n e r a l n o t i o n .

L e t R b e t h e c o n t i n u o u s t i m e a x i s . T h e t i m e e v o l u t i o n c o r r e s p o n d i n g t o a

h y b r i d t r a j e c t o r y w i l l b e s p e c i e d b y a s e t E o f t i m e e v e n t s . A t i m e e v e n t i n

E c o n s i s t s o f a n e v e n t t i m e t 2 R t o g e t h e r w i t h a m u l t i p l i c i t y m ( t ) , w h i c h i s

a n e l e m e n t o f N 1 , w h e r e N i s t h e s e t o f n a t u r a l n u m b e r s 1 ; 2 ; 3 ; : : : . T h e

t i m e e v e n t w i l l b e d e n o t e d b y t h e s e q u e n c e

( t

0 ]

; t

1 ]

; t

2 ]

; : : : ; t

m ( t ) ]

)

s p e c i f y i n g t h e s e q u e n t i a l l y o r d e r e d \ d i s c r e t e t r a n s i t i o n t i m e s " a t t h e s a m e

c o n t i n u o u s t i m e i n s t a n t t 2 R ( t h e e v e n t t i m e ) . F o r s i m p l i c i t y o f n o t a t i o n w e

w i l l s o m e t i m e s w r i t e t

]

; t

] ]

; t

] ] ]

; : : : f o r t

1 ]

; t

2 ]

; t

3 ]

; : : : .

A t i m e e v e n t w i t h m u l t i p l i c i t y e q u a l t o 1 i s j u s t g i v e n b y a p a i r

( t

0 ]

; t

]

)

w i t h t h e i n t e r p r e t a t i o n o f d e n o t i n g t h e t i m e i n s t a n t s \ j u s t b e f o r e " a n d \ j u s t

a f t e r " t h e e v e n t h a s t a k e n p l a c e ( a m o r e f o r m a l d e s c r i p t i o n w i l l b e g i v e n i n

a m o m e n t ) . I f t h e m u l t i p l i c i t y o f t h e t i m e e v e n t i s l a r g e r t h a n 1 ( a m u l t i p l e

t i m e e v e n t ) t h e n t h e r e a r e s o m e \ i n t e r m e d i a t e t i m e i n s t a n t s " ( \ a l l a t t h e s a m e

e v e n t t i m e t " ) o r d e r i n g t h e s e q u e n c e o f d i s c r e t e t r a n s i t i o n s t a k i n g p l a c e a t t .

T h e \ e m b e d d i n g " o f t h e d i s c r e t e d y n a m i c s i n t o t h e c o n t i n u o u s d y n a m i c s

w i l l b e p e r f o r m e d b y t h e c o m p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s

x ( t

+

) = x ( t

m ( t ) ]

)

x ( t

?

) = x ( t

0 ]

) ;

w h e r e , i n a u s u a l n o t a t i o n ,

x ( t

+

) : = l i m

# t

x ( )

x ( t

?

) : = l i m

" t

x ( ) :

N o t e t h a t e v e n t s a r e a l l o w e d t o h a v e m u l t i p l i c i t y e q u a l t o 1 , i n w h i c h c a s e

t h e r e a r e a n i n n i t e n u m b e r o f d i s c r e t e t r a n s i t i o n s t a k i n g p l a c e a t t h e s a m e

c o n t i n u o u s t i m e i n s t a n t t . I t s e e m s n a t u r a l t o r e q u i r e t h a t i n s u c h a s i t u a t i o n

t h e s e q u e n c e o f l o c a t i o n s l

1

; l

2

; l

3

; : : : a t t h i s t i m e t c o n v e r g e s t o a s i n g l e l o -

c a t i o n , a n d t h a t l i m

k ! 1

x ( t

k ]

) e x i s t s ( o r , p e r h a p s , h a s o n l y a n i t e n u m b e r

o f a c c u m u l a t i o n p o i n t s ) . A n e x a m p l e o f s u c h a s i t u a t i o n w i l l b e p r o v i d e d i n

S u b s e c t i o n 2 . 2 . 6 .

T h e s e t o f e v e n t t i m e s c o r r e s p o n d i n g t o a s e t o f t i m e e v e n t s E w i l l b e

d e n o t e d b y

E

T

R . H e n c e t h e s e t

E o f t i m e e v e n t s c a n b e w r i t t e n a s

E =

t 2 E

T

f ( t

0 ]

; t

1 ]

; : : : ; t

m ( t ) ]

) g :

F o r t h e m o m e n t w e w i l l a l l o w

E

T

t o b e a n a r b i t r a r y s u b s e t o f R , b u t l a t e r

o n ( w h e n d e a l i n g w i t h t h e s o l u t i o n c o n c e p t o f a h y b r i d s y s t e m ) w e w i l l p u t

r e s t r i c t i o n s o n

E

T

.




T h e t i m e e v o l u t i o n

E

c o r r e s p o n d i n g t o a t i m e e v e n t s e t E i s d e n e d t o b e

t h e s e t

E

= ( R n E

T

) E :

T h e u n i o n o f a l l t i m e e v o l u t i o n s

E

f o r a l l t i m e e v e n t s e t s E w i l l b e d e n o t e d

b y T . T h e n o t i o n o f a t i m e e v o l u t i o n i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 1 . 3 .

t

]

3

t

0 ]

1

t

0 ]

2

t

0 ]

3

t

2

t

1

t

] ] ]

2

t

3

t

] ]

2

t

]

2

t

] ]

1

t

]

1

F i g u r e 1 . 3 : T i m e e v o l u t i o n

W e n o w f o r m a l i z e t h e n o t i o n o f a t r a j e c t o r y o f a g e n e r a l i z e d h y b r i d a u -

t o m a t o n u s i n g t h e c o n c e p t o f t i m e e v o l u t i o n s . F o r c l a r i t y o f n o t a t i o n , w e w i l l

d i s t i n g u i s h t h e e l e m e n t s l 2 L a n d a 2 A f r o m t h e v a r i a b l e s P , r e s p e c t i v e l y

S , t a k i n g t h e i r v a l u e s i n L , r e s p e c t i v e l y A .

A t r a j e c t o r y o f t h e g e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t o n i s t h e n d e n e d b y a t i m e

e v e n t s e t E , t o g e t h e r w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g t i m e e v o l u t i o n

E

, a n d f u n c t i o n s

P :

E

! L ; x :

E

! X ; S : E ! A ; w :

E

! W , s u c h t h a t

- d i s c r e t e d y n a m i c s : f o r e v e r y t i m e e v e n t ( t

0 ]

; t

1 ]

; t

2 ]

; : : : ; t

m ( t ) ]

)

( P ( t

k ]

) ; x ( t

k ]

) ; S ( t

k ]

) ; w ( t

k ]

) ; P ( t

( k + 1 ) ]

) ; x ( t

( k + 1 ) ]

) ) 2 R ;

k = 0 ; 1 ; : : : ; m ( t ) ? 1

F u r t h e r m o r e P (

~

t ) = P ( t

m ( t ) ]

) , f o r a l l

~

t > t u p t o t h e n e x t e v e n t t i m e t

0

,

a s w e l l a s P ( t

0

0 ]

) = P ( t

m ( t ) ]

) , a n d S ( t

0

0 ]

) = S ( t

m ( t ) ]

) .

( H e r e i t i s a s s u m e d t h a t f o r a l l e v e n t t i m e s t t h e m u l t i p l i c i t y m ( t ) i s e i t h e r

n i t e , o r , i n c a s e m ( t ) =

1 , t h a t l i m

k ! 1

x ( t

k ]

) a n d l i m

k ! 1

P ( t

k ]

) b o t h

e x i s t , i n w h i c h c a s e w e d e n o t e t h e s e l i m i t s b y x ( t

m ( t ) ]

) , r e s p e c t i v e l y

P ( t

m ( t ) ]

) . )

- c o n t i n u o u s d y n a m i c s : f o r a l l e v e n t t i m e s t

1

; t

2

s u c h t h a t t h e i n t e r v a l

( t

1

; t

2

) h a s z e r o i n t e r s e c t i o n w i t h E

T

t h e f u n c t i o n w ( t ) i s p i e c e w i s e c o n -

t i n u o u s a n d t h e f u n c t i o n x i s c o n t i n u o u s a n d p i e c e w i s e d i e r e n t i a b l e o n




( t

1

; t

2

) a n d s a t i s e s

F

l ( t

1

)

( x ( t ) ; _x ( t ) ; w ( t ) ) = 0 ; f o r a l m o s t a l l t 2 ( t

1

; t

2

)

x ( t

+

1

) = x ( t

m ( t

1

) ]

1

)

x ( t

?

2

) = x ( t

0 ]

2

)

w h e r e a s

( P ( t

m ( t ) ]

1

) ; x ( t ) ; S ( t

m ( t ) ]

1

) ; w ( t ) ; P ( t

m ( t ) ]

1

) ; x ( t ) ) 2 R ;

f o r a l l t 2 ( t

1

; t

2

) :

( H e r e , a s b e f o r e , x ( t

+

1

) : = l i m

t # t

1

x ( t ) a n d x ( t

?

2

) : = l i m

t " t

2

x ( t ) . )

T h e a b o v e f o r m a l i z a t i o n o f t i m e e v o l u t i o n s o f t r a j e c t o r i e s o f h y b r i d s y s t e m s

a l s o e n a b l e s u s t o s t a t e a b e h a v i o r a l d e n i t i o n o f a h y b r i d s y s t e m , a s f o l l o w s .

D e n i t i o n 1 . 2 . 6 ( H y b r i d b e h a v i o r ) . L e t W = R

q

b e a c o n t i n u o u s c o m -

m u n i c a t i o n s p a c e a n d l e t A b e a n i t e c o m m u n i c a t i o n s p a c e . D e n e t h e u n i -

v e r s u m U o f a l l p o s s i b l e t r a j e c t o r i e s g i v e n b y t r i p l e s (

E

; a ; w ) , w i t h

E

t h e

t i m e e v o l u t i o n c o r r e s p o n d i n g t o s o m e t i m e e v e n t s e t E , a n d f u n c t i o n s

S : E ! A

w :

E

! W

w i t h t h e p r o p e r t y t h a t a t a l l e v e n t t i m e s t 2 E

T

w i t h n i t e m u l t i p l i c i t y m ( t )

t h e d i s c r e t e v a r i a b l e s s a t i s f y S ( t

m ( t ) ]

) = S ( ( t

0

)

0 ]

) w h e r e t

0

i s t h e s u b s e q u e n t

e v e n t t i m e . A h y b r i d s y s t e m w i t h c o n t i n u o u s v a r i a b l e s t a k i n g v a l u e s i n W a n d

d i s c r e t e v a r i a b l e s t a k i n g v a l u e s i n A i s n o w d e n e d t o b e a s u b s e t B o f U , a n d

i s d e n o t e d b y ( W ; A ; B ) .

F o r m a n y p u r p o s e s o n e w i l l a c t u a l l y a d a p t t h e a b o v e d e n i t i o n b y s h r i n k i n g

t h e u n i v e r s u m U . I n p a r t i c u l a r o n e m a y w a n t t o r e s t r i c t t o f u n c t i o n s w w h i c h

h a v e s o m e r e g u l a r i t y p r o p e r t i e s l i k e c o n t i n u i t y o r ( p i e c e w i s e ) d i e r e n t i a b i l i t y .

F u r t h e r m o r e , o n e m a y w i s h t o r e s t r i c t t h e a d m i s s i b l e s e t s o f e v e n t t i m e s E

T

.

A n e a s y c h o i c e i s t o r e s t r i c t t o s e t s E

T

c o n s i s t i n g o n l y o f i s o l a t e d p o i n t s h a v i n g

n o a c c u m u l a t i o n p o i n t s . T h i s e x c l u d e s h o w e v e r e x a m p l e s l i k e t h e b o u n c i n g

b a l l i n t h e n e x t c h a p t e r ( S u b s e c t i o n 2 . 2 . 3 ) . A l l o w i n g f o r a c c u m u l a t i o n p o i n t s ,

o n t h e o t h e r h a n d , c r e a t e s s o m e p r o b l e m s f o r t h e c o m p o s i t i o n a l i t y o f h y b r i d

b e h a v i o r s ( b e c a u s e t h e a c c u m u l a t i o n p o i n t s a r e r e m o v e d f r o m t h e c o n t i n u o u s

t i m e a x i s ) . W e c o m e b a c k t o t h e s e i s s u e s l a t e r o n .

R e m a r k 1 . 2 . 7 . T h e p r o j e c t i o n o f t h e h y b r i d b e h a v i o r o n t h e b e h a v -

i o r o f t h e d i s c r e t e v a r i a b l e s S i s i s g i v e n b y t h e v a l u e s t a k e n b y

t h e d i s c r e t e v a r i a b l e s a t t h e t i m e e v e n t s , t h a t i s , o n t h e s e t o f

t i m e i n s t a n t s : : : ; t

0 ]

1

; t

]

1

; t

] ]

1

; : : : ; t

m ( t

1

) ]

1

; t

0 ]

2

; t

]

2

; t

] ]

2

; : : : ; t

m ( t

2

) ]

2

; t

0 ]

3

; t

]

3

; : : : , w h e r e




: : : ; t

1

; t

2

; t

3

; : : : a r e e v e n t t i m e s . M o r e o v e r , i f m ( t

i

) i s n i t e , t h e n S ( t

0 ]

i + 1

) =

S ( t

m ( t

i

) ]

i

) . T h i s d e n e s t h e b e h a v i o r o f a d i s c r e t e - e v e n t s y s t e m .

N o t e , h o w e v e r , t h a t i n g e n e r a l t h e s e t o f \ d i s c r e t e t i m e i n -

s t a n t s " : : : ; t

0 ]

1

; t

]

1

; t

] ]

1

; : : : ; t

m ( t

1

) ]

1

; t

0 ]

2

; t

]

2

; t

] ]

2

; : : : ; t

m ( t

2

) ]

2

; t

0 ]

3

; t

]

3

; : : : o f t h i s r e s u l t -

i n g d i s c r e t e - e v e n t s y s t e m m a y h a v e a v e r y c o m p l i c a t e d s t r u c t u r e .

A n a l o g o u s l y , t h e p r o j e c t i o n o f t h e h y b r i d b e h a v i o r o n t h e b e h a v i o r o f t h e

c o n t i n u o u s v a r i a b l e s d e n e s a c o n t i n u o u s - t i m e b e h a v i o r d e n e d o n t h e t i m e

a x i s R m i n u s t h e e v e n t t i m e s a n d t h e i r a c c u m u l a t i o n p o i n t s .

1 . 2 . 6 E v e n t - o w f o r m u l a s

I n t h i s s e c t i o n w e p r o v i d e a n a l t e r n a t i v e f r a m e w o r k f o r m o d e l i n g h y b r i d s y s -

t e m s , w h i c h i s e q u a t i o n - b a s e d a n d w h i c h i s t h e r e f o r e i n s o m e s e n s e c l o s e r t o t h e

u s u a l m o d e l i n g f r a m e w o r k s f o r c o n t i n u o u s s y s t e m s t h a n t o t h e g r a p h - r e l a t e d

r e p r e s e n t a t i o n s t h a t a r e o f t e n u s e d f o r d i s c r e t e s y s t e m s . G u a r d s , i n v a r i a n t s

a n d d i s c r e t e t r a n s i t i o n s a r e s u m m a r i z e d i n D e n i t i o n 1 . 2 . 5 i n o n e a b s t r a c t s e t

R . S u c h a f o r m u l a t i o n h a s t h e a d v a n t a g e o f b e i n g g e n e r a l , b u t i n p r a c t i c e t h e

s e t R w i l l u s u a l l y b e d e s c r i b e d b y e q u a t i o n s ( t a k e n i n a g e n e r a l s e n s e t o i n c l u d e

a l s o i n e q u a l i t i e s ) . A d j o i n i n g t h e s e e q u a t i o n s t o t h e u s u a l s e t s o f d i e r e n t i a l

a n d a l g e b r a i c e q u a t i o n s l e a d s t o a d e s c r i p t i o n i n t e r m s o f w h a t w e s h a l l c a l l

e v e n t - o w f o r m u l a s . S u c h a n e q u a t i o n - b a s e d f r a m e w o r k m a y b e a n a t t r a c t i v e

w a y o f m o d e l i n g h y b r i d s y s t e m s w i t h a s u b s t a n t i a l c o n t i n u o u s - t i m e d y n a m i c s ;

s e e a l s o t h e d i s c u s s i o n i n S u b s e c t i o n 1 . 2 . 8 .

T h e s t y l e o f d e s c r i p t i o n i n t h e m e t h o d o l o g y o f e v e n t - o w f o r m u l a s i s s o m e -

w h a t s i m i l a r t o t h e w a y i n w h i c h \ s e n t e n c e s " a r e d e s c r i b e d i n m o d e l t h e o r y .

W e b e g i n b y l i s t i n g t h e t y p e s o f v a r i a b l e s t h a t m a y o c c u r . A p r e c i s e s e m a n t i c s

w i l l b e g i v e n l a t e r , b u t w e a l r e a d y i n d i c a t e t h e i n t e n d e d m e a n i n g o f t h e s y m -

b o l s i n o r d e r t o f a c i l i t a t e t h e e x p o s i t i o n . W e u s e t h e w o r d \ v a r i a b l e " b e l o w

t o d e n o t e s y m b o l s t h a t w i l l b e s u b j e c t t o e v a l u a t i o n a t t i m e p o i n t s t i n t h e

s e m a n t i c s t o b e g i v e n b e l o w . W e c o n s i d e r e x p r e s s i o n s f o r m e d f r o m v a r i a b l e s

o f t h e f o l l o w i n g t y p e s :

- c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e s , d e n o t e d b y x

1

; x

2

; : : : ; x

n

- d i s c r e t e s t a t e v a r i a b l e s , d e n o t e d b y P

1

; P

2

; : : : ; P

k

- c o n t i n u o u s c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e s , d e n o t e d b y w

1

; w

2

; : : : ; w

q

- d i s c r e t e c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e s , d e n o t e d b y S

1

; S

2

; : : : ; S

r

.

T h e v e c t o r ( x

1

; : : : ; x

k

) w i l l b e a b b r e v i a t e d b y x , a n d a s i m i l a r n o t a t i o n a l

c o n v e n t i o n w i l l b e u s e d f o r t h e o t h e r c o l l e c t i o n s o f v a r i a b l e s . I n t h e s e m a n t i c s ,

w e w i l l a s s o c i a t e t o t h e s y m b o l x a v e c t o r o f r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s o f t i m e

t a k i n g v a l u e s i n a s p a c e X . L i k e w i s e , t h e c o n t i n u o u s c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e s

w w i l l t a k e v a l u e s i n a s p a c e W . E a c h o f t h e d i s c r e t e s t a t e v a r i a b l e s P

i

w i l l

t a k e v a l u e s i n a n i t e s e t L

i

; t h e p r o d u c t L : = L

1

L

k

i s t h e s e t o f

\ l o c a t i o n s " . F i n a l l y , t h e d i s c r e t e c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e s S

i

t a k e s v a l u e s i n




a n a l p h a b e t A

i

, a n d t h e p r o d u c t A

1

A

r

w i l l b e d e n o t e d b y A . A s a

s i m p l e m n e m o n i c d e v i c e , t h e d i s c r e t e v a r i a b l e s a r e d e n o t e d b y c a p i t a l l e t t e r s

P a n d S , w h i l e t h e c o n t i n u o u s v a r i a b l e s x a n d w a r e i n l o w e r c a s e . A s n o t e d

b e f o r e , t h e n o t a t i o n a l s o s e r v e s t o e m p h a s i z e t h e n a t u r e o f a \ d i s c r e t e v a r i a b l e "

t a k i n g v a l u e s i n t h e d i s c r e t e s p a c e s L a n d A , r a t h e r t h a n b e i n g a n e l e m e n t o f

t h e s e d i s c r e t e s p a c e s .

T h e c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e s m a y b e u s e d t o l i n k s e v e r a l p a r t s o f a s y s t e m

d e s c r i p t i o n t o e a c h o t h e r . O n e m a y a l s o c o n s i d e r \ o p e n " s y s t e m s i n w h i c h t h e

b e h a v i o r o f t h e c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e s i s n o t c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h e

s y s t e m d e s c r i p t i o n i t s e l f ; i n s u c h c a s e s t h e c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e s m a y b e

t h o u g h t o f a s p r o v i d i n g a l i n k t o t h e ( u n m o d e l e d ) o u t s i d e w o r l d .

T o t h e s y m b o l s i n t r o d u c e d a b o v e w e a s s o c i a t e c e r t a i n o t h e r s y m b o l s ,

n a m e l y :

- f o r e a c h c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e x

i

, t h e r e i s a l s o a v a r i a b l e _x

i

( t h e

d e r i v a t i v e o f x

i

)

- f o r e a c h c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e x

i

a n d e a c h d i s c r e t e s t a t e v a r i a b l e P

i

t h e r e a r e v a r i a b l e s x

]

i

a n d P

]

i

( t h e n e x t v a l u e ) .

W e c o n s i d e r e x p r e s s i o n s i n a l l t h e a b o v e m e n t i o n e d v a r i a b l e s , w h i c h a r e

B o o l e a n c o m b i n a t i o n s o f w h a t w e c a l l o w c l a u s e s a n d e v e n t c l a u s e s . F o r

o u r p u r p o s e s i t s e e m s e n o u g h t o c o n s i d e r o w c l a u s e s w h i c h a r e e i t h e r o f t h e

f o r m

( _x ; x ; w ; P ) = 0 ( 1 . 6 )

( e q u a l i t y t y p e ) o r o f t h e f o r m

( x ; w ; P ) 0 ( 1 . 7 )

( i n e q u a l i t y t y p e ) , w h e r e i n b o t h c a s e s i s a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n d e n e d o n

t h e a p p r o p r i a t e d o m a i n . F u r t h e r m o r e , w e c o n s i d e r e v e n t c l a u s e s w h i c h a r e o f

t h e f o r m

( x

]

; P

]

; x ; P ; S ) 0 ( 1 . 8 )

w h e r e a g a i n i s a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n d e n e d o n t h e a p p r o p r i a t e d o m a i n .

T h e f o l l o w i n g d e n i t i o n e x p r e s s e s t h e n o t i o n t h a t a t e a c h t i m e t h e s y s t e m s

t h a t w e c o n s i d e r a r e s u b j e c t e i t h e r t o a o w o r t o a n e v e n t .

D e n i t i o n 1 . 2 . 8 . A n e v e n t - o w f o r m u l a , o r E F F , i s a B o o l e a n f o r m u l a w h o s e

t e r m s a r e c l a u s e s , a n d w h i c h c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m F _ E w h e r e F i s a

B o o l e a n c o m b i n a t i o n o f o w c l a u s e s a n d E i s a B o o l e a n c o m b i n a t i o n o f e v e n t

c l a u s e s .

R e m a r k 1 . 2 . 9 . C o m p a r i n g w i t h t h e d e n i t i o n o f a g e n e r a l i z e d h y b r i d a u -

t o m a t o n ( D e n i t i o n 1 . 2 . 5 ) , w e s e e t h a t t h e o w c l a u s e s d e t e r m i n e t h e

d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e a c t i v i t i e s t o g e t h e r w i t h \ a p a r t "




o f t h e s u b s e t R ( n a m e l y , t h e p a r t i n v o l v e d i n t h e s p e c i c a t i o n o f t h e c o n t i n u -

o u s d y n a m i c s ) , w h i l e t h e e v e n t c l a u s e s d e t e r m i n e t h e p a r t o f R s p e c i f y i n g t h e

d i s c r e t e d y n a m i c s .

R e m a r k 1 . 2 . 1 0 . W e s h a l l f r e e l y u s e a l t e r n a t i v e n o t a t i o n s i n c a s e s w h e n i t i s

c l e a r h o w t h e s e c a n b e t t e d i n t h e a b o v e f r a m e w o r k . F o r i n s t a n c e , w e w r i t e

d o w n e q u a l i t i e s i n e v e n t c o n d i t i o n s e v e n w h e n t h e a b o v e f o r m u l a t i o n g i v e s

o n l y i n e q u a l i t i e s , s i n c e a n e q u a l i t y c a n b e c o n s t r u c t e d f r o m t w o i n e q u a l i t i e s .

A l s o , w h e n f o r i n s t a n c e P i s a d i s c r e t e v a r i a b l e t h a t m a y t a k e t h e v a l u e s o n

a n d o f f , w e w r i t e \ P = o n " r a t h e r t h a n r s t d e n i n g a f u n c t i o n f r o m t h e

t w o - e l e m e n t s e t f o n ; o f f g t o R t h a t t a k e s t h e v a l u e 0 o n o n a n d 1 o n o f f , a n d

t h e n w r i t i n g \ ( P ) = 0 " .

R e m a r k 1 . 2 . 1 1 . F o r e v e n t s w i t h m u l t i p l i c i t y 1 i t i s o f t e n n o t a t i o n a l l y e a s i e r

t o u s e t h e v a r i a b l e s x

?

i

( t h e l e f t - h a n d l i m i t ) a n d x

+

i

( t h e r i g h t - h a n d l i m i t ) ,

a n d a n a l o g o u s l y P

?

a n d P

+

, t o e x p r e s s t h e v a l u e s b e f o r e a n d a f t e r t h e e v e n t

h a s t a k e n p l a c e . T h i s m e a n s t h a t w e a l s o u s e i n s t e a d o f ( 1 . 8 ) e v e n t c l a u s e s o f

t h e f o r m

( x

+

; P

+

; x

?

; P

?

; S ) 0 : ( 1 . 9 )

R e m a r k 1 . 2 . 1 2 . T o f u r t h e r l i g h t e n t h e n o t a t i o n w e s h a l l o f t e n u s e a c o m m a

t o r e p r e s e n t c o n j u n c t i o n , w h i c h i s a s t a n d a r d c o n v e n t i o n a c t u a l l y . W e u s e a

v e r t i c a l b a r t o d e n o t e d i s j u n c t i o n b e t w e e n s u c c e s s i v e l i n e s , s o t h a t

c l a u s e

1

c l a u s e

2

i s r e a d a s

c l a u s e

1

_ c l a u s e

2

:

W e s h a l l a l s o u s e i n d e x e d d i s j u n c t i o n s , w r i t i n g \ j

i 2 f 1 ; : : : ; k g

c l a u s e

i

" r a t h e r t h a n

\ c l a u s e

1

_ _ c l a u s e

k

" .

F o r t h e d e s c r i p t i o n o f c o m p l e x s y s t e m s , i t i s e s s e n t i a l t h a t a c o m p o s i t i o n

o p e r a t i o n i s a v a i l a b l e w h i c h m a k e s i t p o s s i b l e t o c o m b i n e s u b s y s t e m s i n t o

l a r g e r s y s t e m s . F o r o w c o n d i t i o n s , s u c h a c o m p o s i t i o n m a y b e b a s e d s i m p l y

o n c o n j u n c t i o n ( l o g i c a l \ a n d " ) , t o e x p r e s s t h e i n t u i t i o n t h a t t h e t i m e w e a r e

d e a l i n g w i t h h e r e i s p h y s i c a l t i m e s o t h a t i t s h o u l d b e c o m m o n t o a l l s u b -

s y s t e m s . T h i n g s a r e d i e r e n t h o w e v e r i n t h e c a s e o f e v e n t c o n d i t i o n s . I f a n

e v e n t o c c u r s i n o n e s u b s y s t e m , t h e r e a r e n o t n e c e s s a r i l y e v e n t s i n a l l o t h e r

s u b s y s t e m s ; o r i t m a y h a p p e n t h a t a t t h e s a m e p h y s i c a l t i m e i n s t a n t t h e r e a r e

u n r e l a t e d e v e n t s , p e r h a p s o f d i e r e n t m u l t i p l i c i t i e s , i n s e v e r a l s u b s y s t e m s . I t

i s t h e r e f o r e u s e f u l t o i n t r o d u c e t h e n o t i o n o f a n \ e m p t y e v e n t " , w h i c h i s d e -

n e d a s f o l l o w s . A l l o f t h e a l p h a b e t s A

i

a r e e x t e n d e d w i t h a n e l e m e n t b l a n k




t h a t i s d i e r e n t f r o m t h e e x i s t i n g e l e m e n t s ; t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h i s v a l u e i s

\ n o s i g n a l " . T h e e m p t y e v e n t i s g i v e n b y t h e c l a u s e

x

+

= x

?

; P

+

= P

?

; w

+

= w

?

; S = b l a n k : ( 1 . 1 0 )

W e n o w c o n s i d e r t h e c o m p o s i t i o n o f a n u m b e r o f E F F s . S o w e s t a r t w i t h a

n u m b e r o f e v e n t - o w f o r m u l a s F

i

_ E

i

( i = 1 ; : : : ; ` ) , w h i c h a r e t h o u g h t o f a s

d e s c r i p t i o n s o f s u b s y s t e m s . A l l o f t h e s e s u b s y s t e m s h a v e t h e i r o w n c o l l e c t i o n s

o f s y m b o l s w h i c h h o w e v e r n e e d n o t b e d i s j o i n t . T h e d i s j u n c t i o n o f E

i

w i t h

t h e e m p t y e v e n t w i l l b e d e n o t e d b y E

0

i

. T h e p a r a l l e l c o m p o s i t i o n ( o r j u s t

c o m p o s i t i o n ) o f t h e s u b s y s t e m s g i v e n b y F

i

_ E

i

i s n o w d e n e d a s t h e E F F

( F

1

_ E

1

) j j ( F

2

_ E

2

) j j j j ( F

̀

_ E

̀

) : =

= ( F

1

̂ F

2

^ ^ F

̀

) _ ( E

0

1

̂ E

0

2

^ ^ E

0

̀

) : ( 1 . 1 1 )

I n t h i s d e s c r i p t i o n o f c o m p o s i t i o n , c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n s u b s y s t e m s m a y

t a k e p l a c e b y s h a r e d v a r i a b l e s a s w e l l a s b y s h a r e d a c t i o n s .

E v e n t - o w f o r m u l a s m a y b e u s e d f o r d e s c r i b i n g h y b r i d s y s t e m s i n a s i m i l a r

w a y a s d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e u s e d f o r d e s c r i b i n g s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s .

A s i n t h e l a t t e r c a s e , a n e x a c t i n t e r p r e t a t i o n o f t h e e q u a t i o n s r e q u i r e s t h e

c o n c e p t o f a s o l u t i o n . I n c o n t i n u o u s s y s t e m s , a c h o i c e h a s t o b e m a d e h e r e

a s t o w h a t f u n c t i o n s p a c e w i l l b e u s e d . I n t h e h y b r i d s y s t e m c o n t e x t , w e s t i l l

h a v e t h i s q u e s t i o n b u t w e a l s o f a c e a f e w m o r e : i n p a r t i c u l a r , t o w h a t e x t e n t

w i l l e v e n t t i m e s b e a l l o w e d t o a c c u m u l a t e , a n d m a y m u l t i p l e e v e n t s o c c u r a t

t h e s a m e t i m e i n s t a n t ? A l r e a d y i n t h e c a s e o f s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s ,

t h e r e i s n o s u c h t h i n g a s a \ c o r r e c t " a n s w e r t o t h e q u e s t i o n t o w h a t s p a c e t h e

s o l u t i o n s o f a g i v e n d i e r e n t i a l e q u a t i o n s h o u l d b e l o n g ; a l t h o u g h s o m e s p a c e s

a r e m o r e p o p u l a r t h a n o t h e r s , t h e r e i s n o u n i q u e c h o i c e t h a t i s g o o d f o r a l l

p u r p o s e s a n d s o i n p r a c t i c e c h o i c e s m a y v a r y d e p e n d i n g o n c o n t e x t . T h e r e

i s n o r e a s o n t o e x p e c t t h a t t h e s i t u a t i o n w i l l b e d i e r e n t f o r h y b r i d s y s t e m s .

W e l i s t a f e w c h o i c e s t h a t m a y t u r n o u t t o b e u s e f u l . I n e a c h c a s e , w e u s e

a c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e X , a c o n t i n u o u s c o m m u n i c a t i o n s p a c e W , a d i s c r e t e

s t a t e s p a c e L , a n d a d i s c r e t e c o m m u n i c a t i o n s p a c e A . I t i s c o n v e n i e n t t o u s e

s o m e t o p o l o g i c a l c o n c e p t s .

R e c a l l t h a t a \ t i m e e v o l u t i o n " i s a s e t o f t h e f o r m

E

= ( R n E

T

) E

w i t h

E =

t 2 E

T

f ( t

0 ]

; t

1 ]

; : : : ; t

m ( t ) ]

) g

w h e r e

E

T

i s a s u b s e t o f R a n d m i s a f u n c t i o n f r o m

E

T

t o N

f 1 g . W e s a y

t h a t t h e t i m e e v o l u t i o n

E

a n d t h e s e t o f t i m e e v e n t s

E a r e s p e c i e d b y t h e

p a i r (

E

T

; m ) . I n o r d e r t o e a s e t h e e x p o s i t i o n w e r e s t r i c t t h r o u g h o u t t o s e t s

E

T

w h i c h a r e c l o s e d a n d n o w h e r e d e n s e s u b s e t s o f R . A s b e f o r e , w e s o m e t i m e s

w r i t e t

]

; t

] ]

; : : : f o r t

1 ]

; t

2 ]

; : : : . F u r t h e r m o r e , i n s t e a d o f t

0 ]

a n d t

m ( t ) ]

w e a l s o

s o m e t i m e s w r i t e t

?

a n d t

+

r e s p e c t i v e l y . S e t s o f t h e f o r m ( t

? ; t )

f t

?

g ( w i t h




t 2 E

T

a n d > 0 ) w i l l b e w r i t t e n a s ( t ? ; t

?

] , a n d l i k e w i s e w e w i l l w r i t e

t

+

; t + ) i n s t e a d o f ( t ; t + ) f t

+

g . A t i m e e v o l u t i o n

E

s p e c i e d b y a p a i r

( E

T

; m ) i s e q u i p p e d w i t h a t o p o l o g y g e n e r a t e d b y s u b s e t s o f t h e f o l l o w i n g f o u r

f o r m s : ( t

1

; t

2

) R n E

T

; ( t ? ; t

?

] w i t h t 2 E

T

a n d ( t ? ; t ) R n E

T

; t

+

; t + )

w i t h t 2 E

T

a n d ( t ; t + ) R n E

T

; f t

j ]

g w i t h t 2 E

T

a n d 0 < j < m ( t ) . ( F o r

t h e f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c a l n o t i o n o f \ t o p o l o g y " , s e e f o r i n s t a n c e 7 9 ] . )

T h e s t a t e s p a c e s X a n d L a n d t h e c o m m u n i c a t i o n s p a c e s W a n d A a r e g i v e n

t h e i r u s u a l t o p o l o g i e s ; i n t h e c a s e o f t h e d i s c r e t e s p a c e s t h i s m e a n s t h e d i s c r e t e

t o p o l o g y , s o t h a t a l l p o i n t s o f t h e s e s p a c e s a r e v i e w e d a s b e i n g i s o l a t e d .

W e n o w r s t d e n e a s p a c e o f t r a j e c t o r i e s t h a t i s a b o u t a s l a r g e a s o n e c a n

h a v e i f o n e w a n t s t o b e a b l e t o g i v e a m e a n i n g t o t h e e x p r e s s i o n s i n a n E F F .

D e n i t i o n 1 . 2 . 1 3 . T h e s p a c e Z / 1 / C

1

/ L

1

l o c

c o n s i s t s o f t u p l e s (

E

; x ; w ; P ; S ) ,

w h e r e

-

E

i s a t i m e e v o l u t i o n s p e c i e d b y a p a i r ( E

T

; m )

- x i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f r o m

E

t o X w h i c h i s c o n t i n u o u s l y d i e r e n -

t i a b l e o n R n E

T

- w i s a l o c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n f r o m R n E

T

t o W h a v i n g l e f t h a n d a n d

r i g h t h a n d l i m i t s a t a l l p o i n t s o f E

T

- P i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f r o m

E

t o L

- S i s a f u n c t i o n f r o m E t o A .

R e m a r k 1 . 2 . 1 4 . S i n c e L i s e n d o w e d w i t h t h e d i s c r e t e t o p o l o g y , c o n t i n u i t y o f

P m e a n s t h a t P i s c o n s t a n t o u t s i d e t h e e v e n t t i m e s .

R e m a r k 1 . 2 . 1 5 . T h e l e t t e r Z ( f o r Z e n o ) r e f e r s t o t h e f a c t t h a t i n t h e d e -

n i t i o n t h e s e t o f e v e n t t i m e s

E

T

i s a l l o w e d t o h a v e a c c u m u l a t i o n p o i n t s ; f o r

i n s t a n c e E

T

= f

1

n

j n 2 Z n f 0 g g f 0 g , o r e v e n t h e C a n t o r s e t , c o u l d b e s e t s o f

e v e n t t i m e s . N e v e r t h e l e s s , s i n c e

E

T

i s a s s u m e d t o b e c l o s e d , t h e s e a c c u m u l a -

t i o n p o i n t s a r e n e c e s s a r i l y e l e m e n t s o f E

T

. ( I f c e r t a i n a c c u m u l a t i o n p o i n t s a r e

n o t i n

E

T

, e . g . i f w e w o u l d e x c l u d e t h e a c c u m u l a t i o n p o i n t

f 0

g f r o m t h e a b o v e

e x a m p l e o f

E

T

, t h e n p r o b l e m s c o m e u p i n d e n i n g t h e c o n t i n u o u s d y n a m i c s

s t a r t i n g a t s u c h a n a c c u m u l a t i o n p o i n t . ) T h e s y m b o l

1 i n d i c a t e s t h a t e v e n t

t i m e s c a n b e o f a r b i t r a r i l y h i g h o r e v e n i n n i t e m u l t i p l i c i t y . T h e s y m b o l s C

1

a n d L

1

l o c

i n d i c a t e t h e d e g r e e o f s m o o t h n e s s t h a t i s r e q u i r e d f o r t h e t r a j e c t o r i e s

o f t h e c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e s a n d t h e c o n t i n u o u s c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e s

o n t h e o p e n s e t R

n E

T

. T h e r e q u i r e m e n t c o n c e r n i n g t h e e x i s t e n c e o f l e f t h a n d

a n d r i g h t h a n d l i m i t s a t e v e n t t i m e s ( f o r t h e s t a t e v a r i a b l e s t h i s f o l l o w s f r o m

t h e c o n t i n u i t y r e q u i r e m e n t ) i s n o t m a d e e x p l i c i t i n t h e n o t a t i o n s i n c e w e w i l l

a l w a y s i m p o s e s u c h a c o n d i t i o n .

R e m a r k 1 . 2 . 1 6 . N o t e t h a t t h e d e n i t i o n a l l o w s t h e c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e s

w t o j u m p a t e v e n t t i m e s , i . e . w e d o n o t n e c e s s a r i l y h a v e w ( t

?

) = w ( t

+

) f o r

t

2 E

T

.




T h e s p a c e w e h a v e j u s t i n t r o d u c e d i s v e r y g e n e r a l ; h o w e v e r , w e s h a l l o f t e n

w a n t t o w o r k w i t h s m a l l e r a n d m o r e m a n a g e a b l e s p a c e s . A n e x a m p l e o f s u c h

a s p a c e i s t h e f o l l o w i n g .

D e n i t i o n 1 . 2 . 1 7 . T h e s p a c e N Z / 1 / C

1 = 0

/ C

0

c o n s i s t s o f t u p l e s

(

E

; x ; w ; P ; S ) , w h e r e

-

E


T

; m ) w h e r e E

T

i s a s e t o f

i s o l a t e d p o i n t s i n R , a n d m ( t ) = 1 f o r a l l t 2 E

T


E



T

a n d w h i c h s a t i s e s x ( t

+

) = x ( t

?

) f o r a l l t 2 E

T

- w i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f r o m R n E

T

t o W


E

t o L

- S i s a f u n c t i o n f r o m E t o A .

R e m a r k 1 . 2 . 1 8 . T h e a c r o n y m N Z i n t h e a b o v e n o t a t i o n s t a n d s f o r n o n - Z e n o ;

i t r e f e r s t o t h e c o n d i t i o n t h a t t h e p o i n t s o f E a r e i s o l a t e d , i . e . t h e r e a r e n o

a c c u m u l a t i o n p o i n t s . T h e n u m b e r 1 i n d i c a t e s t h a t e v e n t s h a v e m u l t i p l i c i t y

o n e s o t h e r e i s n o n e c e s s i t y t o d e n e i n t e r m e d i a t e s t a t e s . T h e n o t a t i o n C

1 = 0

i n d i c a t e s t h a t t h e c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e s a r e d i e r e n t i a b l e b e t w e e n e v e n t s

a n d c o n t i n u o u s a c r o s s e v e n t s . N o t e t h a t i n t h i s s o l u t i o n c o n c e p t d i s c o n t i n u i t i e s

i n t h e e x t e r n a l v a r i a b l e s w ( f o r i n s t a n c e i n t h e i n p u t u ) n e c e s s a r i l y c o r r e s p o n d

t o e v e n t s .

W e a l s o d e n e a t h i r d s p a c e , w h i c h i s i n s o m e a s p e c t s m o r e r e s t r i c t e d a n d

i n o t h e r a s p e c t s m o r e g e n e r a l t h a n t h e p r e v i o u s o n e . T h e a b b r e v i a t i o n R Z

u s e d b e l o w s t a n d s f o r \ r i g h t - Z e n o " .

D e n i t i o n 1 . 2 . 1 9 . T h e s p a c e R Z / 1 / C

1 = 0

c o n s i s t s o f t u p l e s (

E

; x ; P ) , w h e r e

-

E


T

; m ) w h e r e E

T

i s a s e t o f

r i g h t i s o l a t e d p o i n t s i n R , i . e . f o r e v e r y t 2 E

T

t h e r e i s a > 0 s u c h t h a t

( t ; t + ) \ E

T

= ; , a n d m ( t ) = 1 f o r a l l t 2 E

T


E



T


E

t o L .

R e m a r k 1 . 2 . 2 0 . T h i s f u n c t i o n c l a s s i n c o r p o r a t e s n o c o m m u n i c a t i o n v a r i -

a b l e s , s o a s a s p a c e f o r s y s t e m s p e c i c a t i o n i t i s s u i t a b l e o n l y f o r \ m o n o l i t h i c "

s y s t e m s ( i . e . s y s t e m s t h a t a r e d e s c r i b e d a s o n e c l o s e d w h o l e , w i t h o u t u s e o f

s u b s y s t e m s a n d w i t h o u t c o m m u n i c a t i o n t o a n o u t s i d e w o r l d ) . T h e \ b o u n c i n g

b a l l " d i s c u s s e d i n S u b s e c t i o n 2 . 2 . 3 i s a n e x a m p l e o f a s y s t e m t h a t h a s s o l u -

t i o n s i n t h e s p a c e R Z / 1 / C

1 = 0

; t h e a n a l o g o u s s p a c e N Z / 1 / C

1 = 0

w o u l d n o t b e

s u i t a b l e f o r t h i s e x a m p l e .




V a r i o u s o t h e r f u n c t i o n s p a c e s m i g h t b e d e n e d . S i n c e a n y a t t e m p t a t

c o m p l e t e n e s s w o u l d b e f u t i l e , w e d o n o t l i s t a n y f u r t h e r e x a m p l e s , b u t w e

s h a l l f e e l f r e e t o u s e v a r i a n t s b e l o w .

A t t h i s p o i n t w e c a n d i s c u s s t h e n o t i o n o f s o l u t i o n f o r E F F s . T h e n o t i o n

o f s o l u t i o n i s b a s e d o n t h e e v a l u a t i o n o f t h e e l e m e n t a r y c l a u s e s i n a n E F F

a t s p e c i c t i m e p o i n t s . T o b e p r e c i s e , a c l a u s e o f t h e f o r m ( _x ; x ; w ; P ) = 0

w i l l b e s a i d t o e v a l u a t e t o t r u e f o r a n e l e m e n t o f Z / 1 / C

1

/ L

1

l o c

a t a t i m e

t 2 R n E

T

i f

( _x ( t ) ; x ( t ) ; w ( t ) ; P ( t ) ) = 0 :

L i k e w i s e , a c l a u s e ( x ; w ; P ) 0 e v a l u a t e s t o t r u e a t t 2 R n E

T

i f

( x ( t ) ; w ( t ) ; P ( t ) ) 0 :

A n e v e n t c l a u s e ( x

]

; P

]

; x ; P ; S ) 0 e v a l u a t e s t o t r u e a t a t i m e t

j ]

2 E i f

e i t h e r j < m ( t ) a n d

( x ( t

( j + 1 ) ]

) ; P ( t

( j + 1 ) ]

) ; x ( t

j ]

) ; P ( t

j ]

) ; S ( t

j ]

) ) 0 ;

o r j = m ( t ) . C l e a r l y , w h e n c l a u s e s h a v e w e l l - d e n e d t r u t h v a l u e s t h e n a n y

B o o l e a n c o m b i n a t i o n a l s o h a s a w e l l - d e n e d t r u t h v a l u e . A f t e r t h e s e p r e p a r a -

t i o n s , t h e n o t i o n o f s o l u t i o n c a n b e d e n e d a s f o l l o w s .

D e n i t i o n 1 . 2 . 2 1 . A n e l e m e n t (

E

; x ; w ; P ; S ) o f Z / 1 / C

1

/ L

1

l o c

i s s a i d t o b e

a s o l u t i o n o f a g i v e n e v e n t - o w f o r m u l a i f t h e o w c o n d i t i o n e v a l u a t e s t o t r u e

f o r a l l t 2 R n E

T

a n d t h e e v e n t c o n d i t i o n e v a l u a t e s t o t r u e f o r a l l t

j ]

2 E .

S i m i l a r d e n i t i o n s c a n b e f o r m u l a t e d f o r o t h e r t i m e / t r a j e c t o r y s p a c e s . T h e

f a c t t h a t i n p r i n c i p l e d i e r e n t d e n i t i o n s h a v e t o b e g i v e n f o r d i e r e n t f u n c t i o n

s p a c e s i s a l r e a d y c o m m o n i n t h e t h e o r y o f o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s .

R e m a r k 1 . 2 . 2 2 . S o m e t i m e s a s y s t e m d e s c r i p t i o n c a n b e c o n s i d e r a b l y s i m -

p l i e d b y u s i n g w h a t m i g h t b e c a l l e d a p e r s i s t e n t - m o d e c o n v e n t i o n , w h i c h e n -

f o r c e s t h a t m o d e c h a n g e s w i l l o c c u r o n l y w h e n t h e y a r e n e c e s s a r y t o p r e v e n t

v i o l a t i o n o f o w c o n d i t i o n s . T y p i c a l l y t h e i n v o l v e d c o n d i t i o n s a r e e x p r e s s e d

a s i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s o n t h e c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e s . I n t h e m e c h a n i c s

l i t e r a t u r e t h e p e r s i s t e n t - m o d e c o n v e n t i o n i s s o m e t i m e s k n o w n a s \ K i l m i s t e r ' s

p r i n c i p l e " 8 6 ] , 3 1 ] . F o r m a l l y , a P M C s o l u t i o n f o r a g i v e n e v e n t - o w f o r m u l a

i s a s o l u t i o n h a v i n g t h e p r o p e r t y t h a t , f o r e a c h t

0

, t h e r e i s n o s o l u t i o n o f t h e

s a m e E F F t h a t c o i n c i d e s w i t h t h e g i v e n s o l u t i o n f o r t < t

0

, t h a t i s d e n e d f o r

t < t

1

f o r s o m e t

1

> t

0

, a n d t h a t h a s n o e v e n t a t t

0

.

1 . 2 . 7 S i m u l a t i o n o f h y b r i d s y s t e m s

A f t e r s p e c i f y i n g a c o m p l e t e m o d e l f o r a h y b r i d s y s t e m , t h a t i s , a s y n t a c t i c a l l y

c o r r e c t m o d e l t o g e t h e r w i t h a u n i v o c a l s e m a n t i c s , i t c a n b e u s e d f o r a n a l y s i s ,

s i m u l a t i o n a n d c o n t r o l .

F o r s i m u l a t i o n p u r p o s e s i t i s n a t u r a l t o r e q u i r e t h a t t h e h y b r i d m o d e l u n d e r

c o n s i d e r a t i o n h a s u n i q u e s o l u t i o n s f o r e v e r y i n i t i a l s t a t e a n d e v e r y e x t e r n a l




\ i n p u t " s i g n a l . S u c h h y b r i d s y s t e m s h a v e b e e n c a l l e d \ w e l l - p o s e d " , a n d i t i s

i m p o r t a n t t o d e r i v e v e r i a b l e c o n d i t i o n s w h i c h e n s u r e w e l l - p o s e d n e s s .

O n c e i t h a s b e e n e s t a b l i s h e d t h a t a p a r t i c u l a r s y s t e m i s w e l l - p o s e d i n t h e

s e n s e t h a t t r a j e c t o r i e s a r e u n i q u e l y d e n e d a t l e a s t o n s o m e i n t e r v a l , t h e n e x t

q u e s t i o n a r i s e s o f a c t u a l l y c o m p u t i n g t h e s o l u t i o n s . A l t h o u g h i n p r i n c i p l e a n y

c o n s t r u c t i v e e x i s t e n c e p r o o f f o r s o l u t i o n s m i g h t b e u s e d a s a b a s i s f o r c a l c u -

l a t i o n , t h e r e q u i r e m e n t s i m p o s e d b y n u m e r i c a l e c i e n c y a n d t h e o r e t i c a l r i g o r

a r e q u i t e d i e r e n t a n d s o m e t h o d s o f c o m p u t a t i o n m a y d i e r f r o m m e t h o d s

o f p r o o f . T h i s i s c e r t a i n l y t h e c a s e f o r s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s , w h e r e f o r

i n s t a n c e a P i c a r d i t e r a t i o n m a y b e u s e d f o r a p r o o f o f e x i s t e n c e ( w h i c h o b -

t a i n s t h e s o l u t i o n a s a l i m i t o f a p r o v a b l y c o n v e r g i n g s e q u e n c e o f f u n c t i o n s ) ,

w h e r e a s f o r s i m u l a t i o n p u r p o s e s o n e w o u l d t y p i c a l l y u s e a s t e p p i n g a l g o r i t h m

i n w h i c h t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e v a l u e o f t h e s t a t e v e c t o r a t s o m e t i m e a n d

i t s v a l u e a t t h e n e x t t i m e s t e p i s a p p r o x i m a t e d o n t h e b a s i s o f a f e w c o m p u t e d

f u n c t i o n v a l u e s . I n t h e s a m e w a y , t h e s i m u l a t i o n o f h y b r i d s y s t e m s i s n o t n e c -

e s s a r i l y t i e d t o t h e t h e o r y o f w e l l - p o s e d n e s s o f s u c h s y s t e m s . N e v e r t h e l e s s t h e

w e l l - p o s e d n e s s t h e o r y d o e s p r o v i d e a s t a r t i n g p o i n t , a n d t h e c o m b i n a t i o n o f

a l g o r i t h m s f o r m o d e s e l e c t i o n a n d j u m p d e t e r m i n a t i o n w i t h s t a n d a r d m e t h o d s

f o r t h e s i m u l a t i o n o f s m o o t h d y n a m i c s m a y a l r e a d y l e a d t o w o r k a b l e s i m u l a -

t i o n r o u t i n e s . M u c h r e m a i n s t o b e w o r k e d o u t i n t h i s a r e a h o w e v e r a n d i n t h i s

s u b s e c t i o n w e w i l l o n l y g i v e a v e r y b r i e f o u t l i n e .

B a s i c a l l y t h e r e a r e t h r e e d i e r e n t a p p r o a c h e s t o t h e s i m u l a t i o n o f h y b r i d

s y s t e m s , w h i c h e a c h m a y b e w o r k e d o u t i n m a n y d i e r e n t w a y s . T h e t h r e e

a p p r o a c h e s m a y b e b r i e y d e s c r i b e d a s f o l l o w s ( c f . 1 1 4 ] ) .

1 . T h e s m o o t h i n g m e t h o d . I n t h i s m e t h o d , o n e t r i e s t o r e p l a c e t h e h y b r i d

m o d e l b y a s m o o t h m o d e l w h i c h i s i n s o m e s e n s e c l o s e t o i t . F o r i n s t a n c e ,

d i o d e s i n a n e l e c t r i c a l n e t w o r k m a y b e d e s c r i b e d a s i d e a l d i o d e s ( p o s s i b l y p l u s

s o m e o t h e r e l e m e n t s ) , w h i c h w i l l g i v e r i s e t o r e g i m e - s w i t c h i n g d y n a m i c s , o r a s

s t r o n g l y n o n l i n e a r r e s i s t o r s , w h i c h g i v e s r i s e t o s m o o t h d y n a m i c s . S i m i l a r l y ,

i n a m e c h a n i c a l s y s t e m w i t h u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s o n e m i g h t d e s c r i b e c o l l i -

s i o n s a s i n s t a n t a n e o u s , a n d t h e n o n e m u s t a l l o w j u m p s i n v e l o c i t i e s ; o r o n e

m i g h t d e s c r i b e t h e m i n t e r m s o f a c o m p r e s s i o n a n d a d e c o m p r e s s i o n p h a s e ,

a n d i n t h a t c a s e j u m p s i n v e l o c i t i e s m a y b e a v o i d e d . I n a s i m i l a r w a y , u n i l a t -

e r a l c o n s t r a i n t s i n a n o p t i m i z a t i o n p r o b l e m m a y b e r e p l a c e d b y p e n a l t y f u n c -

t i o n s . T a k i n g a n e x t r e m e p o i n t o f v i e w , o n e m i g h t a r g u e t h a t e v e n s w i t c h e s

i n c o m p u t e r - c o n t r o l l e d p r o c e s s e s m a y b e d e s c r i b e d b y s m o o t h d y n a m i c a l s y s -

t e m s ; i n d e e d , t h e t r a n s i s t o r s i n s i d e t h e c o m p u t e r t h a t p h y s i c a l l y c a r r y o u t t h e

s w i t c h i n g c a n b e d e s c r i b e d f o r i n s t a n c e i n t e r m s o f t h e E b e r s - M o l l d i e r e n t i a l

e q u a t i o n s ( s e e e . g . 4 6 , p . 7 2 4 ] ) . R e a s o n i n g i n t h i s w a y , a p o i n t c o u l d b e m a d e

t h a t i t i s a l m o s t a l w a y s p o s s i b l e t o p r o v i d e a s m o o t h m o d e l t h a t i s \ c l o s e r t o

r e a l i t y " t h a n a c o m p e t i n g h y b r i d m o d e l .

N e v e r t h e l e s s , o n e c a n e a s i l y c o m e u p w i t h e x a m p l e s t h a t w o u l d b e r e l a t i v e l y

a w k w a r d t o d e s c r i b e o n t h e b a s i s o f s m o o t h i n g . I f o n e l o o k s a t a b o u n c i n g

p i n g - p o n g b a l l o n a a t t a b l e , t h e n t h e n o n s m o o t h m o d e l c o m e s t o m i n d

i m m e d i a t e l y s i n c e t h e t i m e d u r i n g w h i c h t h e b a l l i s i n c o n t a c t w i t h t h e t a b l e




i s v e r y s h o r t i n c o m p a r i s o n w i t h t h e i g h t p h a s e s . I n a s m o o t h m o d e l o n e

w o u l d b e f o r c e d t o s p e n d c o n s i d e r a b l e e o r t i n s p e c i f y i n g v a r i o u s p a r a m e t e r s

w h i c h i n t h e n o n s m o o t h m o d e l a r e a l l c a p t u r e d b y o n e d o m i n a n t a n d e a s i l y

o b s e r v a b l e p a r a m e t e r , n a m e l y t h e r e s t i t u t i o n c o e c i e n t . I n d e e d , t h e s t r e n g t h

o f a h y b r i d m o d e l a s o p p o s e d t o a s m o o t h m o d e l i s u s u a l l y t h e s i m p l i c i t y o f

t h e r s t .

O b v i o u s l y t h e d i s c u s s i o n a b o u t w h e t h e r t o u s e s m o o t h o r n o n s m o o t h m o d -

e l s s h o u l d b e r e l a t e d t o t h e a c t u a l p u r p o s e o f m o d e l i n g . I f a m o d e l f o r a

b o u n c i n g b a l l i s f o r m u l a t e d w i t h t h e a i m o f p r e d i c t i n g t h e n u m b e r o f b o u n c e s

t h a t w i l l o c c u r , t h e n t h e s i m p l e n o n s m o o t h m o d e l w i t h a c o n s t a n t c o e c i e n t

o f r e s t i t u t i o n i s n o t o f m u c h u s e , s i n c e i t p r e d i c t s a n i n n i t e n u m b e r o f b o u n c e s

| a n a n s w e r w h i c h i s i n c o r r e c t a n d , e v e n w o r s e , n o t i n f o r m a t i v e . A t a g e n e r a l

l e v e l o f d i s c u s s i o n o n e c a n n o t m a k e a n a r g u m e n t f o r o n e o r t h e o t h e r . B u t o n e

c a n s a y t h a t a t l e a s t f o r c e r t a i n p r o b l e m s n o n s m o o t h m o d e l s a r e m o r e c o n v e -

n i e n t t h a n s m o o t h m o d e l s . S i n c e i n t h i s b o o k w e a r e i n t e r e s t e d i n n o n s m o o t h

m o d e l i n g , w e s h a l l f u r t h e r l i m i t t h e d i s c u s s i o n t o t h a t c a s e . W e s h a l l n o t e v e n

s p e n d m u c h a t t e n t i o n t o t h e i n t e r e s t i n g q u e s t i o n s a r o u n d t h e c o n v e r g e n c e o f

s o l u t i o n s o f s m o o t h m o d e l s t o s o l u t i o n s o f n o n s m o o t h m o d e l s .

2 . T h e e v e n t - t r a c k i n g m e t h o d . T h e m o s t c o m m o n w a y o f g e n e r a t i n g t r a j e c -

t o r i e s o f h y b r i d s y s t e m s s e e m s t o b e t h e o n e t h a t i s b a s e d o n t h e f o l l o w i n g

s e q u e n c e :

( i ) s i m u l a t i o n o f t h e s m o o t h d y n a m i c s w i t h i n a g i v e n m o d e ( d i s c r e t e s t a t e ) ;

( i i ) e v e n t d e t e c t i o n ;

( i i i ) d e t e r m i n a t i o n o f a n e w d i s c r e t e s t a t e ( n e w m o d e ) ;

( i v ) d e t e r m i n a t i o n o f a n e w c o n t i n u o u s s t a t e ( r e - i n i t i a l i z a t i o n ) .

T h e i d e a i s t o s i m u l a t e t h e m o t i o n i n s o m e g i v e n m o d e u s i n g a t i m e - s t e p p i n g

m e t h o d u n t i l a n e v e n t i s d e t e c t e d , e i t h e r b y s o m e e x t e r n a l s i g n a l ( a d i s c r e t e

i n p u t , s u c h a s t h e t u r n i n g o f a s w i t c h ) o r b y v i o l a t i o n o f s o m e c o n s t r a i n t s

o n t h e c o n t i n u o u s s t a t e . I f s u c h a n e v e n t o c c u r s , a s e a r c h i s m a d e t o n d

a c c u r a t e l y t h e t i m e o f t h e e v e n t a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e v a l u e s , a n d t h e n

t h e i n t e g r a t i o n i s r e s t a r t e d f r o m t h e n e w i n i t i a l t i m e a n d i n i t i a l c o n d i t i o n i n

t h e \ c o r r e c t " m o d e ; p o s s i b l y a s e a r c h h a s t o b e p e r f o r m e d t o n d t h e c o r r e c t

m o d e .

I n g e n e r a l o n e s h o u l d e x p e c t t h a t t h e b e h a v i o r w i t h i n a g i v e n m o d e i s

a c t u a l l y g i v e n b y a m i x t u r e o f d i e r e n t i a l a n d a l g e b r a i c e q u a t i o n s ; f o r i n s t a n c e

i n t h e s i m u l a t i o n o f a s l i d i n g m o d e o n e h a s s u c h a s i t u a t i o n , c f . C h a p t e r 3 . T h e

n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o f s y s t e m s o f D A E s h a s r e c e i v e d c o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n

i n r e c e n t y e a r s , s e e f o r i n s t a n c e t h e b o o k s b y B r e n a n e t a l . 2 8 ] a n d b y H a i r e r

a n d W a n n e r 6 1 ] f o r m o r e i n f o r m a t i o n . I n t h e c o n t e x t o f h y b r i d s y s t e m s ,

s t a r t - u p p r o c e d u r e s f o r D A E s o l v e r s s h o u l d r e c e i v e p a r t i c u l a r a t t e n t i o n s i n c e

r e - i n i t i a l i z a t i o n s a r e e x p e c t e d t o o c c u r f r e q u e n t l y .




E v e n t s w i t h i n h y b r i d s y s t e m s i m u l a t i o n c a n b e d i s t i n g u i s h e d i n w h a t w e

c a l l e d e x t e r n a l l y i n d u c e d e v e n t s a n d i n t e r n a l l y i n d u c e d e v e n t s . E x t e r n a l l y i n -

d u c e d e v e n t s f o r c e a c h a n g e o f m o d e a t a c e r t a i n t i m e k n o w n i n a d v a n c e , s u c h

a s w h e n s w i t c h e s a r e t u r n e d i n a n e l e c t r i c a l n e t w o r k a c c o r d i n g t o a p r e d e -

t e r m i n e d s c h e d u l e . I n t e r n a l l y i n d u c e d ( o r s t a t e ) e v e n t s a r e m o r e d i c u l t t o

h a n d l e ; t h e s e a r e t h e e v e n t s t h a t o c c u r f o r i n t e r n a l r e a s o n s , s u c h a s w h e n a n

i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t b e c o m e s a c t i v e . T o c a t c h t h e i n t e r n a l l y i n d u c e d e v e n t s ,

a h y b r i d s y s t e m s i m u l a t o r n e e d s t o b e e q u i p p e d w i t h a n e v e n t d e t e c t i o n m o d -

u l e . S u c h a m o d u l e w i l l m o n i t o r t h e s i g n o f c e r t a i n f u n c t i o n s o f t h e s t a t e t o

s e e i f t h e r e q u i r e d i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s a r e s t i l l s a t i s e d . I n t h e c o m b i n a t i o n

w i t h a t i m e s t e p p i n g a l g o r i t h m f o r t h e s i m u l a t i o n o f c o n t i n u o u s d y n a m i c s , o n e

h a s t o t a k e i n t o a c c o u n t t h a t t h e t i m e a t w h i c h a n e v e n t t a k e s p l a c e w i l l i n

g e n e r a l n o t c o i n c i d e w i t h o n e o f t h e g r i d p o i n t s t h a t t h e c o n t i n u o u s s i m u l a -

t o r h a s p l a c e d o n t h e t i m e a x i s . B o t h t h e e v e n t t i m e i t s e l f a n d t h e v a l u e o f

t h e c o n t i n u o u s s t a t e a t t h e t i m e o f t h e e v e n t w i l l h a v e t o b e f o u n d b y s o m e

i n t e r p o l a t i o n m e t h o d .

T h e p r o b l e m o f n d i n g t h e n e x t d i s c r e t e s t a t e i s c a l l e d t h e m o d e s e l e c t i o n

p r o b l e m . T h e p r o b l e m m a y b e e a s y i n s o m e c a s e s , f o r i n s t a n c e i n a s y s t e m

i n w h i c h b u e r s a r e e m p t i e d i n a x e d o r d e r . T h e r e a r e o t h e r c a s e s t h o u g h

i n w h i c h t h e p r o b l e m c a n b e q u i t e c o m p l i c a t e d . C o n s i d e r f o r i n s t a n c e a p i l e

o f b o x e s w h o s e r e l a t i v e m o t i o n i s s u b j e c t t o a C o u l o m b f r i c t i o n l a w . S u p p o s e

t h a t s u p p o r t o n o n e s i d e i s s u d d e n l y r e m o v e d s o t h a t t h e p i l e w i l l t u m b l e

u n d e r t h e f o r c e o f g r a v i t y . I t i s n o n t r i v i a l t o d e t e r m i n e w h i c h b o x e s w i l l s t a r t

s l i d i n g w i t h r e s p e c t t o e a c h o t h e r a n d w h i c h o n e s w i l l n o t . I n t h e c a s e o f l i n e a r

c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s i t w i l l b e s h o w n i n C h a p t e r 4 h o w t h e n e x t m o d e c a n

b e a c t u a l l y d e t e r m i n e d b y s o l v i n g a n a l g e b r a i c p r o b l e m , a n d o n e c a n u s e t h i s

a s a s t a r t i n g p o i n t t o l o o k f o r e c i e n t n u m e r i c a l m e t h o d s . I n c a s e s i n w h i c h

t h e n e w m o d e h a s t o b e s e l e c t e d p a r t l y o n t h e b a s i s o f i n f o r m a t i o n f r o m t h e

c o n t i n u o u s s t a t e , o n e i s d e a l i n g w i t h a n o n c o n s t a n t m a p p i n g f r o m a c o n t i n u o u s

d o m a i n t o a d i s c r e t e d o m a i n . S u c h a m a p p i n g c a n n e v e r b e c o n t i n u o u s a n d

s o o n e w i l l h a v e t o l i v e w i t h t h e f a c t t h a t i n s o m e c a s e s d e c i s i o n s w i l l b e v e r y

s e n s i t i v e . I n s u c h s i t u a t i o n s t h e s i m u l a t i o n s o f t w a r e s h o u l d p r o v i d e a w a r n i n g

t o t h e u s e r , a n d i f i t i s d i c u l t t o m a k e a d e n i t i v e c h o i c e b e t w e e n s e v e r a l

p o s s i b i l i t i e s p e r h a p s t h e s o l v e r s h o u l d e v e n w o r k o u t a l l r e a s o n a b l e o p t i o n s i n

p a r a l l e l .

I n m a n y h y b r i d s y s t e m s t h e t r a j e c t o r i e s o f c o n t i n u o u s v a r i a b l e s c a n b e

e x p e c t e d t o b e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s , a n d i n t h e s e c a s e s t h e p r o b l e m o f r e -

i n i t i a l i z a t i o n c o m e s d o w n t o d e t e r m i n i n g t h e v a l u e o f t h e c o n t i n u o u s s t a t e

a t t h e e v e n t t i m e s o t h a t t h e s i m u l a t i o n o f t h e s m o o t h d y n a m i c s i n t h e n e w

r e g i m e c a n s t a r t f r o m a n i n i t i a l s t a t e t h a t i s c o r r e c t u p t o t h e s p e c i e d t o l -

e r a n c e . I n s o m e c a s e s h o w e v e r , s u c h a s i n m e c h a n i c a l s y s t e m s s u b j e c t t o

u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s , j u m p s n e e d t o b e c a l c u l a t e d , s e e e . g . t h e e x a m p l e s p r o -

v i d e d i n C h a p t e r 2 . T h e o r e t i c a l l y , t h e s t a t e a f t e r t h e j u m p s h o u l d s a t i s f y

c e r t a i n c o n s t r a i n t s e x a c t l y ; n i t e w o r d l e n g t h e e c t s h o w e v e r w i l l c a u s e s m a l l

d e v i a t i o n s i n t h e o r d e r o f t h e m a c h i n e p r e c i s i o n . S u c h d e v i a t i o n s m a y c a u s e




a n i n t e r a c t i o n w i t h t h e m o d e s e l e c t i o n m o d u l e ; i n p a r t i c u l a r i t m a y a p p e a r

t h a t a c e r t a i n c o n s t r a i n t i s v i o l a t e d s o t h a t a n e w e v e n t i s d e t e c t e d . I n t h i s

w a y i t m a y h a p p e n t h a t a c y c l i n g b e t w e e n d i e r e n t m o d e s o c c u r s ( \ l i v e l o c k " ) ,

a n d t h e s i m u l a t o r d o e s n o t r e t u r n t o a s i t u a t i o n i n w h i c h m o t i o n a c c o r d i n g

t o s o m e c o n t i n u o u s d y n a m i c s i s g e n e r a t e d , s o t h a t e e c t i v e l y t h e s i m u l a t i o n

s t o p s .

3 . T h e t i m e s t e p p i n g m e t h o d . I n a n u m b e r o f p a p e r s ( s e e f o r i n s t a n c e

1 1 1 , 1 2 4 , 1 4 6 ] i t h a s b e e n s u g g e s t e d t h a t i n f a c t i t m a y n o t b e n e c e s s a r y

t o t r a c k e v e n t s i n o r d e r t o o b t a i n a p p r o x i m a t e t r a j e c t o r i e s o f h y b r i d s y s t e m s .

M o r e o v e r , s u c h m e t h o d s h a v e a l r e a d y b e e n u s e d t o i m p l e m e n t s i m u l a t o r s f o r

d e m a n d i n g a p p l i c a t i o n s l i k e t h e s i m u l a t i o n o f i n t e g r a t e d c i r c u i t s w i t h t h o u -

s a n d s o f t r a n s i s t o r s 9 3 ] . T h e t e r m \ t i m e s t e p p i n g m e t h o d s " h a s b e e n u s e d t o

r e f e r t o m e t h o d s t h a t n o t a i m t o d e t e r m i n e e v e n t t i m e s ; w e s h a l l u s e t h i s t e r m

a s w e l l , e v e n t h o u g h o f c o u r s e a l s o t h e e v e n t - t r a c k i n g m e t h o d s u s e t i m e d i s -

c r e t i z a t i o n . R a t h e r t h a n g i v i n g a f o r m a l d i s c u s s i o n o f t i m e s t e p p i n g m e t h o d s ,

l e t u s i l l u s t r a t e t h e i d e a i n a n e x a m p l e .

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s y s t e m , w h i c h i s a c t u a l l y a t i m e - r e v e r s e d v e r s i o n o f

a n e x a m p l e o f F i l i p p o v 5 4 , p . 1 1 6 ] . L e t a r e l a y s y s t e m b e g i v e n b y

_x

1

( t ) = ? s g n x

1

( t ) + 2 s g n x

2

( t )

_x

2

( t ) = ? 2 s g n x

1

( t ) ? s g n x

2

( t )

( 1 . 1 2 )

w h e r e t h e s i g n u m f u n c t i o n ( o r r e l a y e l e m e n t ) s g n i s a c t u a l l y n o t a f u n c t i o n

b u t a r e l a t i o n ( o r m u l t i - v a l u e d f u n c t i o n ) s p e c i e d b y

( x > 0 ̂ s g n x = 1 ) _ ( x < 0 ̂ s g n x = ? 1 ) _

( x = 0 ^ ? 1 s g n x 1 ) : ( 1 . 1 3 )

T h e s y s t e m ( 1 . 1 2 ) m a y b e d e s c r i b e d a s a p i e c e w i s e c o n s t a n t s y s t e m ; i n e a c h

q u a d r a n t o f t h e ( x

1

; x

2

) - p l a n e t h e r i g h t h a n d s i d e i s a c o n s t a n t v e c t o r . T h e

i n t e r p r e t a t i o n o f s y s t e m s c o n t a i n i n g r e l a y e l e m e n t s w i l l b e f u r t h e r d i s c u s s e d

i n C h a p t e r 3 . I n t h e c a s e o f t h e s i m p l e e x a m p l e a b o v e i t i s s t r o n g l y s u g g e s t e d

t h a t s o l u t i o n s s h o u l d b e a s p i c t u r e d i n F i g . 1 . 4 . T h e s o l u t i o n s a r e s p i r a l i n g

t o w a r d s t h e o r i g i n , w h i c h i s a n e q u i l i b r i u m p o i n t . I t c a n b e v e r i e d t h a t

d

d t

( j x

1

( t ) j + j x

2

( t ) j ) = ? 2 w h i c h m e a n s t h a t s o l u t i o n s s t a r t i n g a t ( x

1 0

; x

2 0

)

c a n n o t s t a y a w a y f r o m t h e o r i g i n f o r l o n g e r t h a n

1

2

( j x

1 0

j + j x

2 0

j ) u n i t s o f t i m e .

H o w e v e r , s o l u t i o n s c a n n o t a r r i v e a t t h e o r i g i n w i t h o u t g o i n g t h r o u g h a n i n n i t e

n u m b e r o f m o d e s w i t c h e s ; s i n c e t h e s e m o d e s w i t c h e s w o u l d h a v e t o o c c u r i n a

n i t e t i m e i n t e r v a l , t h e r e m u s t b e a n a c c u m u l a t i o n o f e v e n t s .

C l e a r l y a n e v e n t - t r a c k i n g m e t h o d i s i n p r i n c i p l e n o t a b l e t o c a r r y o u t s i m -

u l a t i o n a c r o s s t h e a c c u m u l a t i o n p o i n t . T h e s i m p l e s t x e d - s t e p d i s c r e t i z a t i o n




−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

F i g u r e 1 . 4 : S o l u t i o n s o f F i l i p p o v ' s e x a m p l e ( 1 . 1 2 )

s c h e m e f o r ( 1 . 1 2 ) i s t h e f o r w a r d E u l e r s c h e m e

x

1 ; k + 1

? x

1 ; k

h

= ? s g n x

1 ; k

+ 2 s g n x

2 ; k

x

2 ; k + 1

? x

2 ; k

h

= ? 2 s g n x

1 ; k

? s g n x

2 ; k

( 1 . 1 4 )

w h e r e h d e n o t e s t h e s i z e o f t h e t i m e s t e p a n d t h e v a r i a b l e x

i ; k

( i = 1 ; 2 ) i s

i n t e n d e d t o b e a n a p p r o x i m a t i o n t o x

i

( t ) f o r t = k h . W i t h t h e i n t e r p r e t a t i o n

( 1 . 1 3 ) o f t h e s i g n u m f u n c t i o n t h i s d i s c r e t e - t i m e s y s t e m i s n o t d e t e r m i n i s t i c ,

h o w e v e r . A n a l t e r n a t i v e i s t o u s e a n i m p l i c i t s c h e m e . T h e s i m p l e s t c h o i c e o f

s u c h a s c h e m e i s t h e f o l l o w i n g :

x

1 ; k + 1

? x

1 ; k

h

= ? s g n x

1 ; k + 1

+ 2 s g n x

2 ; k + 1

x

2 ; k + 1

? x

2 ; k

h

= ? 2 s g n x

1 ; k + 1

? s g n x

2 ; k + 1

:

( 1 . 1 5 )

A t e a c h s t e p , x

1 ; k

a n d x

2 ; k

a r e g i v e n a n d ( 1 . 1 5 ) i s t o b e s o l v e d f o r x

1 ; k + 1

a n d

x

2 ; k + 1

. T h e e q u a t i o n s ( 1 . 1 5 ) m a y b e w r i t t e n a s a s y s t e m o f e q u a l i t i e s a n d

i n e q u a l i t i e s b y i n t r o d u c i n g s o m e e x t r a v a r i a b l e s . S i m p l i f y i n g n o t a t i o n a b i t b y

w r i t i n g s i m p l y x

i

i n s t e a d o f x

i ; k + 1

a n d x

i

f o r x

i ; k

, w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g s e t

o f e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s :

x

1

= x

1

? h u

1

+ 2 h u

2

( 1 . 1 6 a )

x

2

= x

2

? 2 h u

1

? h u

2

( 1 . 1 6 b )

( x

1

> 0

̂ u

1

= 1 )

_ ( x

1

< 0

̂ u

1

=

? 1 )

_ ( x

1

= 0

^ ? 1

u

1

1 )

( 1 . 1 6 c )




( x

2

> 0 ̂ u

2

= 1 ) _ ( x

2

< 0 ̂ u

2

= ? 1 ) _ ( x

2

= 0 ^ ? 1 u

2

1 ) :

( 1 . 1 6 d )

T h i s s y s t e m i s t o b e s o l v e d i n t h e u n k n o w n s x

1

, x

2

, u

1

, a n d u

2

f o r a r b i t r a r y

g i v e n x

1

a n d x

2

; h i s a p a r a m e t e r . I t c a n b e v e r i e d d i r e c t l y t h a t f o r e a c h

p o s i t i v e v a l u e o f h a n d f o r e a c h g i v e n ( x

1

; x

2

) t h e a b o v e s y s t e m h a s a u n i q u e

s o l u t i o n ; a l t e r n a t i v e l y , o n e m a y r e c o g n i z e t h e s y s t e m ( 1 . 1 6 ) a s a n i n s t a n c e o f

t h e L i n e a r C o m p l e m e n t a r i t y P r o b l e m o f m a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g a n d i n f e r

t h e s a m e r e s u l t f r o m g e n e r a l f a c t s a b o u t t h e L C P . I n F i g u r e ( 1 . 5 ) w e s h o w t h e

p a r t i t i o n i n g o f t h e ( x

1

; x

2

) p l a n e t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e n i n e p o s s i b l e w a y s

i n w h i c h t h e d i s j u n c t i o n s i n ( 1 . 1 6 c { 1 . 1 6 d ) c a n b e s a t i s e d . F o r i n s t a n c e , t h e

s o l u t i o n t h a t h a s x

1

= 0 a n d x

2

= 0 i s o b t a i n e d f o r t h e v a l u e s o f ( x

1

; x

2

) s u c h

t h a t t h e s o l u t i o n ( u

1

; u

2

) o f

2

4

x

1

x

2

3

5

+ h

2

4

? 1 2

? 2 ? 1

3

5

2

4

u

1

u

2

3

5

=

2

4

0

0

3

5

( 1 . 1 7 )

s a t i s e s

ju

1

j 1 a n d

ju

2

j 1 . A s i m p l e m a t r i x i n v e r s i o n s h o w s t h a t t h i s

h a p p e n s w h e n

? 5 h x

1

+ 2 x

2

5 h ; ? 5 h ? 2 x

1

+ x

2

5 h ( 1 . 1 8 )

w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e c e n t r a l a r e a i n F i g . 1 . 5 . T h e s o l u t i o n o f t h e d i s -

c r e t i z e d s y s t e m b e h a v e s l i k e t h a t o f t h e o r i g i n a l c o n t i n u o u s s y s t e m e x c e p t i n

t h e n a r r o w s t r i p s w h i c h d o n o t i n u e n c e t h e s o l u t i o n v e r y m u c h , a n d e x c e p t i n

t h e c e n t r a l a r e a w h e r e t h e d i s c r e t i z e d s o l u t i o n j u m p s t o z e r o w h e r e a s t h e c o n -

t i n u o u s s y s t e m c o n t i n u e s t o g o t h r o u g h m o d e c h a n g e s a t a h i g h e r a n d h i g h e r

p a c e . A l t h o u g h w e d o n o t p r e s e n t a f o r m a l p r o o f h e r e , i t i s p l a u s i b l e f r o m t h e

g u r e t h a t , w h e n t h e s t e p s i z e h t e n d s t o z e r o , t h e s o l u t i o n o f t h e d i s c r e t i z e d

s y s t e m c o n v e r g e s t o t h e s o l u t i o n o f t h e o r i g i n a l s y s t e m , i n c l u d i n g t h e c o n t i n -

u a t i o n o f t h i s s o l u t i o n b y x ( t ) = 0 b e y o n d t h e a c c u m u l a t i o n o f e v e n t t i m e s .

T h i s h a p p e n s i n s p i t e o f t h e f a c t t h a t t h e d i s c r e t i z e d s y s t e m o n l y g o e s t h r o u g h

n i t e l y m a n y m o d e c h a n g e s . N o t e a l s o t h a t t h e e x p l i c i t s c h e m e ( 1 . 1 4 ) s h o w s

a r a t h e r d i e r e n t a n d m u c h l e s s s a t i s f a c t o r y b e h a v i o r .

T h e d i s c u s s i o n o f t h e e x a m p l e s u g g e s t s t h a t a t l e a s t i n s o m e c a s e s a n d b y

u s i n g s u i t a b l y s e l e c t e d d i s c r e t i z a t i o n s c h e m e s i t i s p o s s i b l e t o g e t a n a c c u r a t e

a p p r o x i m a t i o n o f t h e t r a j e c t o r i e s o f a h y b r i d s y s t e m s w i t h o u t t r a c k i n g e v e n t s .

O b v i o u s l y t h e r e a r e m a n y q u e s t i o n s t o b e a s k e d , s u c h a s u n d e r w h a t c o n d i t i o n s

i t i s p o s s i b l e t o u s e a t i m e s t e p p i n g m e t h o d , w h i c h d i s c r e t i z a t i o n m e t h o d s a r e

m o s t s u i t a b l e , w h i c h o r d e r s o f c o n v e r g e n c e c a n o n e g e t , a n d w h a t c a n b e g a i n e d

b y u s i n g a v a r i a b l e s t e p s i z e r a t h e r t h a n a x e d s t e p s i z e . T h e s e m a t t e r s a r e

t o a l a r g e e x t e n t a m a t t e r o f f u t u r e r e s e a r c h .

1 . 2 . 8 R e p r e s e n t a t i o n s o f h y b r i d s y s t e m s

I n g e n e r a l , t h e q u a l i t y a n d e e c t i v e n e s s o f a n y m a t h e m a t i c a l m o d e l d e p e n d s

c r u c i a l l y o n t h e p u r p o s e o n e w a n t s t o u s e i t f o r . T h i s i s p a r t i c u l a r l y t r u e f o r




h

F i g u r e 1 . 5 : P a r t i t i o n i n g o f t h e p l a n e i n d u c e d b y ( 1 . 1 5 )

m o d e l s o f c o m p l e x s y s t e m s , a n d t h u s f o r m o s t h y b r i d s y s t e m s . F u r t h e r m o r e ,

m a t h e m a t i c a l m o d e l s o f t h e s a m e s y s t e m , w h i c h a r e e x a c t l y e q u i v a l e n t , m a y

h a v e v e r y d i e r e n t p r o p e r t i e s f r o m t h e u s e r ' s p o i n t o f v i e w . A l s o , t h e m a t h -

e m a t i c a l m o d e l ( o r l a n g u a g e ) d e s c r i b i n g t h e f u n c t i o n i n g o f t h e s y s t e m m a y

n o t b e t h e s a m e a s t h e a p p r o p r i a t e l a n g u a g e f o r m u l a t i n g t h e r e q u i r e m e n t s

w h i c h t h e s y s t e m i s e x p e c t e d t o s a t i s f y ( t h e s p e c i c a t i o n s ) . T h e s e f e a t u r e s

a r e p a r t i c u l a r l y p r e s e n t i n t h e e l d o f d i s c r e t e - e v e n t s y s t e m s ( o r d i s t r i b u t e d o r

c o n c u r r e n t s y s t e m s ) w h e r e o n e n d s i n t h e l i t e r a t u r e a w e a l t h o f d i e r e n t d e -

s c r i p t i o n s , f r o m p r o c e s s - a l g e b r a i c f o r m a l i s m s s u c h a s C C S , C S P , A C P , L O T O S

a n d l o g i c a l t h e o r i e s s u c h a s t e m p o r a l l o g i c t o g r a p h i c a l l y o r i e n t e d a p p r o a c h e s

( n e t t h e o r i e s ) s u c h a s P e t r i n e t s a n d a u t o m a t a , a l l w i t h t h e i r o w n a d v a n t a g e s

a n d d i s a d v a n t a g e s .

A s a r e s u l t , i t i s t o b e e x p e c t e d t h a t m a t h e m a t i c a l l y e q u i v a l e n t d e s c r i p t i o n s

o f a h y b r i d s y s t e m , t h a t i s , d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e s a m e h y b r i d s y s t e m ,

h a v e v e r y d i e r e n t p r o p e r t i e s , d e p e n d i n g o n t h e p u r p o s e o n e w a n t s t o u s e i t

f o r . A l s o , i t i s c l e a r t h a t c e r t a i n r e p r e s e n t a t i o n s a r e b e t t e r s u i t e d f o r t r e a t i n g a

s p e c i c s u b c l a s s o f t h e w e a l t h o f h y b r i d s y s t e m s t h a n o t h e r s . F i n a l l y , s i n c e t h e

r e p r e s e n t a t i o n f o r m a l i s m o f t e n d e n e s t h e s t a r t i n g p o i n t f o r t h e d e v e l o p m e n t

o f t o o l s f o r a u t o m a t i c a l l y c h e c k i n g c e r t a i n s y s t e m p r o p e r t i e s , t h e r e s u l t i n g

a l g o r i t h m i c p r o p e r t i e s o f d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s m a y d i e r c o n s i d e r a b l y .

I n c o n c l u s i o n , d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f h y b r i d s y s t e m s h a v e t h e i r o w n

p r o s a n d c o n s , a n d o n e c a n n o t h o p e f o r a s i n g l e r e p r e s e n t a t i o n t h a t w i l l b e

s u i t a b l e i n a l l c a s e s a n d f o r a l l p u r p o s e s . L e t u s b r i e y a n d t e n t a t i v e l y d i s c u s s




s o m e o f t h e e x p e c t e d m e r i t s o f t h e h y b r i d s y s t e m r e p r e s e n t a t i o n s w e h a v e s e e n

s o f a r .

I t m a y s e e m c l e a r t h a t t h e b e h a v i o r a l d e n i t i o n o f a h y b r i d s y s t e m ( D e f -

i n i t i o n 1 . 2 . 6 ) i s u s e f u l f r o m a c o n c e p t u a l p o i n t o f v i e w a n d f o r t h e o r e t i c a l

p u r p o s e s , b u t f o r m o s t o t h e r p u r p o s e s w i l l n o t y i e l d a c o n v e n i e n t d e s c r i p -

t i o n . I n s t e a d , i n o r d e r t o c a r r y o u t a l g o r i t h m s , o n e w i l l u s u a l l y n e e d a m o r e

m a n a g e a b l e a n d c o m p a c t h y b r i d s y s t e m r e p r e s e n t a t i o n .

D e n i t i o n s 1 . 2 . 3 a n d 1 . 2 . 5 o f a ( g e n e r a l i z e d ) h y b r i d a u t o m a t o n d o p r o v i d e

w o r k a b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f h y b r i d s y s t e m s f o r v a r i o u s a i m s . F i r s t o f a l l , t h e y

o e r a c l e a r p i c t u r e o f h y b r i d d y n a m i c s , w h i c h i s v e r y u s e f u l f o r e x p o s i t i o n

a n d t h e o r e t i c a l a n a l y s i s . A f a v o r a b l e f e a t u r e o f t h e h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l

i s t h a t t h e s e m a n t i c s o f t h e m o d e l i s q u i t e e x p l i c i t , a s w e h a v e s e e n a b o v e .

F u r t h e r m o r e , f o r a c e r t a i n t y p e o f h y b r i d s y s t e m s a n d f o r c e r t a i n a p p l i c a t i o n s ,

t h e h y b r i d a u t o m a t o n r e p r e s e n t a t i o n c a n b e q u i t e e e c t i v e .

N e v e r t h e l e s s , a d r a w b a c k o f t h e h y b r i d a u t o m a t o n r e p r e s e n t a t i o n i s i t s

t e n d e n c y t o b e c o m e r a t h e r c o m p l i c a t e d , a s w e s h a l l s e e a l r e a d y i n s o m e o f t h e

e x a m p l e s p r o v i d e d i n t h e n e x t c h a p t e r . T h i s i s f o r e m o s t d u e t o t h e f a c t t h a t

i n t h e h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l i t i s n e c e s s a r y t o s p e c i f y a l l t h e l o c a t i o n s a n d

a l l t h e t r a n s i t i o n s f r o m o n e l o c a t i o n t o a n o t h e r , t o g e t h e r w i t h a l l t h e i r g u a r d s

a n d j u m p s ( o r t o c o m p l e t e l y s p e c i f y t h e s u b s e t R o f D e n i t i o n 1 . 2 . 5 ) . I f t h e

n u m b e r o f l o c a t i o n s g r o w s , t h i s u s u a l l y b e c o m e s a n e n o r m o u s a n d e r r o r - p r o n e

t a s k . O t h e r r e l a t e d t y p e s o f ( g r a p h i c a l ) r e p r e s e n t a t i o n s o f h y b r i d s y s t e m s

t h a t h a v e b e e n p r o p o s e d i n t h e l i t e r a t u r e , s u c h a s d i e r e n t i a l ( o r d y n a m i c a l l y

c o l o r e d ) P e t r i n e t s , m a y b e m o r e e c i e n t t h a n t h e h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l

i n c e r t a i n c a s e s b u t h a v e s i m i l a r f e a t u r e s .

F o r h y b r i d s y s t e m s a r i s i n g i n a \ p h y s i c a l d o m a i n " i t s e e m s n a t u r a l t o u s e

r e p r e s e n t a t i o n f o r m a l i s m s s u c h a s e v e n t - o w f o r m u l a s , w h i c h a r e c l o s e r t o r s t

p r i n c i p l e s p h y s i c a l m o d e l i n g . F i r s t p r i n c i p l e s m o d e l i n g o f d y n a m i c a l s y s t e m s

a l m o s t i n v a r i a b l y l e a d s t o s e t s o f e q u a t i o n s , d i e r e n t i a l o r a l g e b r a i c . F u r t h e r -

m o r e , t h e h y b r i d n a t u r e o f s u c h s y s t e m s i s u s u a l l y i n r s t i n s t a n c e d e s c r i b e d

b y \ i f - t h e n " o r \ e i t h e r - o r " s t a t e m e n t s , i n t h e s e n s e t h a t i n o n e l o c a t i o n o f t h e

h y b r i d s y s t e m a p a r t i c u l a r s u b s e t o f t h e t o t a l s e t o f d i e r e n t i a l a n d a l g e b r a i c

e q u a t i o n s h a s t o b e s a t i s e d , w h i l e i n a n o t h e r l o c a t i o n a d i e r e n t s u b s e t o f

e q u a t i o n s s h o u l d h o l d . T h u s , w h i l e i n t h e ( g e n e r a l i z e d ) h y b r i d a u t o m a t o n

m o d e l t h e d y n a m i c s a s s o c i a t e d w i t h e v e r y l o c a t i o n a r e i n p r i n c i p l e c o m p l e t e l y

i n d e p e n d e n t , i n m o s t \ p h y s i c a l " e x a m p l e s ( a s w e w i l l s e e i n C h a p t e r 2 ) t h e s e t

o f e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e v a r i o u s a c t i v i t i e s o r m o d e s ( c o n t i n u o u s d y n a m i c s

a s s o c i a t e d t o t h e l o c a t i o n s ) w i l l r e m a i n a l m o s t t h e s a m e , r e p l a c i n g o n e o r m o r e

e q u a t i o n s b y s o m e o t h e r s .

S e e n f r o m t h i s p e r s p e c t i v e , t h e ( g e n e r a l i z e d ) h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l ( a n d

o t h e r s i m i l a r d e s c r i p t i o n s o f h y b r i d s y s t e m s ) m a y b e q u i t e f a r f r o m t h e k i n d o f

m o d e l o n e o b t a i n s f r o m p h y s i c a l r s t p r i n c i p l e s m o d e l i n g , a n d t h e t r a n s l a t i o n

o f t h e m o d e l i n g i n f o r m a t i o n p r o v i d e d b y e q u a t i o n s , i n e q u a l i t i e s a n d l o g i c a l

s t a t e m e n t s i n t o a c o m p l e t e s p e c i c a t i o n o f a l l t h e l o c a t i o n s o f t h e h y b r i d a u -

t o m a t o n t o g e t h e r w i t h a l l t h e p o s s i b l e d i s c r e t e t r a n s i t i o n s a n d t h e c o m p l e t e




c o n t i n u o u s - t i m e d y n a m i c s o f e v e r y l o c a t i o n m a y b e a v e r y t e d i o u s o p e r a t i o n

f o r t h e u s e r . T h i s b e c o m e s e s p e c i a l l y c l e a r i n a n o b j e c t - o r i e n t e d m o d e l i n g a p -

p r o a c h , w h e r e t h e i n t e r c o n n e c t i o n ( o r c o m p o s i t i o n ) o f h y b r i d a u t o m a t a m a y

e a s i l y l e a d t o a r a p i d g r o w t h i n n u m b e r o f l o c a t i o n s , a n d a r a t h e r e l a b o r a t e

( r e - ) s p e c i c a t i o n o f t h e r e s u l t i n g h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l o b t a i n e d b y i n t e r -

c o n n e c t i o n . T h u s f r o m t h e u s e r ' s p o i n t o f v i e w a n i n t e r e s t i n g a l t e r n a t i v e f o r

e c i e n t l y s p e c i f y i n g \ p h y s i c a l " h y b r i d s y s t e m s i s t o l o o k f o r p o s s i b i l i t i e s o f

s p e c i f y i n g s u c h s y s t e m s p r i m a r i l y b y m e a n s o f e q u a t i o n s , a s i n t h e f r a m e w o r k

o f e v e n t - o w f o r m u l a s . T h e s e t t i n g o f e v e n t - o w f o r m u l a s i s c l o s e t o t h a t o f

s i m u l a t i o n l a n g u a g e s s u c h a s M o d e l i c a

t m

5 0 ] . S o m e o f t h e m o d e l i n g c o n -

s t r u c t s i n M o d e l i c a r e l a t i n g t o h y b r i d s y s t e m s d o i n f a c t h a v e t h e f o r m o f

e v e n t - o w f o r m u l a s . S y n c h r o n o u s l a n g u a g e s l i k e L U S T R E 6 2 ] a n d S I G N A L

1 9 ] a r e a l s o r e l a t e d , b e i t m o r e d i s t a n t l y s i n c e t h e s e l a n g u a g e s o p e r a t e i n d i s -

c r e t e t i m e ; s e e 1 8 ] f o r a n a p p r o a c h t o g e n e r a l h y b r i d s y s t e m s i n s p i r e d b y t h e

S I G N A L l a n g u a g e .

T h e f o r m a l i s m o f e v e n t - o w f o r m u l a s r e s u l t s i n r a t h e r i m p l i c i t r e p r e s e n t a -

t i o n s o f a h y b r i d s y s t e m , a s o p p o s e d t o t h e a l m o s t c o m p l e t e l y e x p l i c i t r e p r e -

s e n t a t i o n s p r o v i d e d b y t h e ( g e n e r a l i z e d ) h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l . T h e p r i c e

t h a t h a s t o b e p a i d f o r t h e u s e o f m o r e i m p l i c i t r e p r e s e n t a t i o n s i s t h a t s o m e

o f t h e p r o b l e m s i n s p e c i f y i n g t h e h y b r i d s y s t e m a r e s h i f t e d t o t h e d e n i t i o n o f

i t s s o l u t i o n s ( t h e s e m a n t i c s ) .

W i t h i n t h e f r a m e w o r k o f e v e n t - o w f o r m u l a s o n e s t i l l s t r i v e s f o r c o m p l e t e

s p e c i c a t i o n s o f t h e h y b r i d s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n . I n s o m e e x a m p l e s

( e . g . t h e t w o - c a r t s e x a m p l e , t h e p o w e r - c o n v e r t e r e x a m p l e a n d t h e v a r i a b l e -

s t r u c t u r e s y s t e m s e x a m p l e i n C h a p t e r 2 ) t h e i n i t i a l d e s c r i p t i o n o f t h e h y b r i d

s y s t e m o b t a i n e d f r o m r s t p r i n c i p l e s m o d e l i n g i s i n c o m p l e t e , e s p e c i a l l y w i t h

r e g a r d t o t h e s p e c i c a t i o n o f t h e d i s c r e t e d y n a m i c s . I n f a c t , o n e w o u l d l i k e

t o a u t o m a t i c a l l y g e n e r a t e a c o m p l e t e e v e n t - o w f o r m u l a d e s c r i p t i o n b a s e d o n

t h i s i n i t i a l , i n c o m p l e t e , d e s c r i p t i o n , t o g e t h e r w i t h s o m e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n ,

l i k e t h e a s s u m p t i o n o f e l a s t i c o r n o n - e l a s t i c c o l l i s i o n s i n S u b s e c t i o n 2 . 2 . 9 . I n

C h a p t e r 4 w e w i l l i n f a c t w o r k o u t s u c h a f r a m e w o r k f o r a s p e c i a l c l a s s o f

h y b r i d s y s t e m s , c a l l e d c o m p l e m e n t a r i t y h y b r i d s y s t e m s ( i n c l u d i n g s o m e o f t h e

e x a m p l e s g i v e n i n C h a p t e r 2 ) .

A w e a l t h o f d i e r e n t f o r m a l i s m s f o r d e s c r i b i n g h y b r i d s y s t e m s h a v e b e e n

p r o p o s e d a n d a r e b e g i n n i n g t o e m e r g e i n t h e l i t e r a t u r e . M o s t o f t h e m a r e e x -

t e n s i o n s o f f o r m a l i s m s f o r d e s c r i b i n g c o n c u r r e n t s y s t e m s ( e x t e n d e d d u r a t i o n

c a l c u l u s , h y b r i d C S P , h y b r i d s t a t e c h a r t s , T L A + , Z a n d d u r a t i o n c a l c u l u s ,

V D M + + , e t c . ) , a n d a r e e c i e n t o n l y f o r r e l a t i v e l y s i m p l e c o n t i n u o u s d y n a m -

i c s , s u c h a s c l o c k t i m e e v o l u t i o n (

_

t = 1 o r

_

t = c , w h e r e c i s s o m e c o n s t a n t ) o r

c o n t i n u o u s d y n a m i c s w h i c h c a n b e r e a s o n a b l y a p p r o x i m a t e d i n t h i s w a y . F r o m

a g e n e r a l p o i n t o f v i e w i t s e e m s n a t u r a l t o t r y t o c o m b i n e p r o c e s s - a l g e b r a i c f o r -

m a l i s m s w i t h t h e d e s c r i p t i o n o f c o n t i n u o u s d y n a m i c s b y d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c

e q u a t i o n s ; b u t n o g e n e r a l t h e o r y h a s e m e r g e d s o f a r i n t h i s d i r e c t i o n .




1 . 3 N o t e s a n d R e f e r e n c e s f o r C h a p t e r 1

A b r o a d v i e w o n t h e r e s e a r c h a c t i v i t i e s i n t h e a r e a o f h y b r i d s y s t e m s d u r i n g t h e

l a s t d e c a d e c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e c o n f e r e n c e p r o c e e d i n g s 5 8 ] , 5 ] , 3 ] , 1 0 0 ] ,

6 ] , 1 3 7 ] , 1 5 3 ] , a s w e l l a s t h e j o u r n a l s p e c i a l i s s u e s 7 ] a n d 1 1 6 ] . N e e d l e s s t o

s a y t h a t m a n y v a l u a b l e a s p e c t s a n d / o r a p p r o a c h e s c o v e r e d i n t h e l i t e r a t u r e

w i l l n o t b e a d d r e s s e d i n t h e p r e s e n t a t i o n o f h y b r i d s y s t e m s i n t h i s t e x t . T h e

t e r m i n o l o g y \ h y b r i d s y s t e m s " f o r t h i s c l a s s o f s y s t e m s s e e m s t o h a v e b e e n r s t

u s e d b y W i t s e n h a u s e n 1 5 9 ] . A r e c e n t i n t r o d u c t i o n t o v a r i o u s a p p r o a c h e s i n

t h e t h e o r y o f c o n c u r r e n t p r o c e s s e s , i n p a r t i c u l a r C S P , c a n b e f o u n d i n 1 3 3 ] ;

s e e t h i s b o o k f o r f u r t h e r r e f e r e n c e s . F o r t e m p o r a l l o g i c w e r e f e r t o 1 0 4 ] a n d

1 0 5 ] . F o r a n i n t e r e s t i n g d i s c u s s i o n o n t h e s i m i l a r i t i e s a n d d i e r e n c e s b e t w e e n

t h e v i e w p o i n t s o f o n t h e o n e h a n d c o m p u t e r s c i e n c e a n d d i s c r e t e e v e n t s y s t e m s

( a u t o m a t a ) a n d o n t h e o t h e r h a n d s y s t e m s a n d c o n t r o l t h e o r y w e r e f e r t o 1 0 1 ] .

T h e r e a r e s e v e r a l u s e f u l a p p r o a c h e s t o h y b r i d s y s t e m s t h a t w e h a v e n o t d i s -

c u s s e d h e r e . O f t e n t h e s e a p p r o a c h e s h a v e b e e n d e v e l o p e d w i t h a n e y e t o w a r d s

s p e c i c a p p l i c a t i o n s o r t e c h n i q u e s . W e m e n t i o n t w o d i r e c t i o n s i n p a r t i c u l a r .

I n t h e s t u d y o f d i s c r e t e - e v e n t s y s t e m s , P e t r i n e t s e n j o y g r e a t p o p u l a r i t y b e -

c a u s e m a n y s i t u a t i o n s c a n b e m o d e l e d m u c h m o r e e c i e n t l y b y a P e t r i n e t

t h a n b y a n i t e a u t o m a t o n w i t h n o s p e c i a l s t r u c t u r e . F o r p r o p o s a l s c o n c e r n i n g

e x t e n s i o n s o f P e t r i n e t s w i t h c o n t i n u o u s d y n a m i c s , s e e f o r i n s t a n c e 4 3 , 1 1 9 ] .

I n c o n t r a s t , t h e a p p r o a c h b a s e d o n m i x e d l o g i c a l d y n a m i c a l ( M L D ) s y s t e m s

i n t r o d u c e d i n 1 6 ] i s a d i s c r e t e e x t e n s i o n o f a c o n t i n u o u s f r a m e w o r k . I n t h i s

a p p r o a c h a c l a s s o f h y b r i d s y s t e m s i s d e s c r i b e d b y l i n e a r d y n a m i c e q u a t i o n s

s u b j e c t t o l i n e a r i n e q u a l i t i e s , o n t h e b a s i s o f t h e c o r r e s p o n d e n c e t h a t c a n b e

c o n s t r u c t e d b e t w e e n p r o p o s i t i o n a l l o g i c a n d l i n e a r i n e q u a l i t i e s i n r e a l a n d i n -

t e g e r v a r i a b l e s ( s e e e . g . 1 5 7 ] ) .



C h a p t e r 2

E x a m p l e s o f h y b r i d

d y n a m i c a l s y s t e m s

2 . 1 I n t r o d u c t i o n

I n t h i s c h a p t e r w e t r e a t v a r i o u s ( r a t h e r s i m p l e ) e x a m p l e s o f h y b r i d s y s t e m s

f r o m d i e r e n t a p p l i c a t i o n a r e a s , w i t h t h e a i m o f i l l u s t r a t i n g t h e n o t i o n s o f

h y b r i d m o d e l s a n d d y n a m i c s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r . S o m e o f t h e

e x a m p l e s w i l l a l s o r e t u r n i n t h e d e v e l o p m e n t s o f t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s .

I n o r d e r t o f o r m a l i z e t h e e x a m p l e s a s h y b r i d s y s t e m s w e p r i m a r i l y u s e t h e

n o t i o n o f a h y b r i d a u t o m a t o n ( D e n i t i o n 1 . 2 . 3 ) , o r t h e f r a m e w o r k o f e v e n t - o w

f o r m u l a s a s i n t r o d u c e d i n S u b s e c t i o n 1 . 2 . 6 o f t h e p r e v i o u s c h a p t e r . A n u m b e r

o f n o t a t i o n a l c o n v e n t i o n s w i l l b e u s e d t o f a c i l i t a t e t h e p r e s e n t a t i o n o f e v e n t -

o w f o r m u l a s ; t h e s e h a v e p a r t l y a l r e a d y b e e n m e n t i o n e d i n S u b s e c t i o n 1 . 2 . 6 .

A c o m m a i s u s e d t o i n d i c a t e l o g i c a l c o n j u n c t i o n b e t w e e n s e v e r a l e x p r e s s i o n s

o n o n e l i n e , a v e r t i c a l b a r i s u s e d t o i n d i c a t e l o g i c a l d i s j u n c t i o n b e t w e e n s e v e r a l

e x p r e s s i o n s o n o n e l i n e o r b e t w e e n s u c c e s s i v e l i n e s , a n d a l e f t c u r l y b r a c k e t i s

u s e d t o i n d i c a t e l o g i c a l c o n j u n c t i o n b e t w e e n s u c c e s s i v e l i n e s . F u r t h e r m o r e , k

i n d i c a t e s p a r a l l e l c o m p o s i t i o n b e t w e e n t w o s u b s y s t e m s . T h e s y m b o l s a s s o c i -

a t e d w i t h a g i v e n s u b s y s t e m a r e n o t l i s t e d e x p l i c i t l y b u t a r e u n d e r s t o o d a s

b e i n g t h e s y m b o l s t h a t o c c u r i n t h e B o o l e a n e x p r e s s i o n s i n t h e E F F f o r t h a t

s u b s y s t e m . V a r i a b l e s a r e u n d e r s t o o d t o b e c o n t i n u o u s a c r o s s e v e n t s b y d e -

f a u l t , s o w e d o n o t e x p l i c i t l y w r i t e c o n d i t i o n s o f t h e t y p e x

+

i

= x

?

i

; l i k e w i s e ,

c o n d i t i o n s o f t h e f o r m S = b l a n k a r e n o t w r i t t e n e x p l i c i t l y . A l s o t h e e m p t y

e v e n t t h a t g o e s w i t h e a c h s u b s y s t e m i s n o t w r i t t e n e x p l i c i t l y .

2 . 2 E x a m p l e s

2 . 2 . 1 H y s t e r e s i s

C o n s i d e r a c o n t r o l s y s t e m w i t h a h y s t e r e s i s e l e m e n t i n t h e f e e d b a c k l o o p ( c f .

2 6 ] ) :

_x = H ( x ) + u ( 2 . 1 )

3 5



3 6 C h a p t e r 2 . E x a m p l e s o f h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m s

1

H

x !

? 1

?

F i g u r e 2 . 1 : H y s t e r e s i s

w h e r e t h e m u l t i - v a l u e d f u n c t i o n H i s s h o w n i n F i g u r e 2 . 1 . N o t e t h a t t h i s

s y s t e m i s n o t j u s t a d i e r e n t i a l e q u a t i o n w h o s e r i g h t - h a n d s i d e i s p i e c e w i s e

c o n t i n u o u s . T h e r e i s \ m e m o r y " i n t h e s y s t e m , w h i c h a e c t s t h e r i g h t - h a n d

s i d e o f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n . I n d e e d , t h e h y s t e r e s i s f u n c t i o n H h a s a n

a u t o m a t o n n a t u r a l l y a s s o c i a t e d t o i t , a n d t h e s y s t e m ( 2 . 1 ) c a n b e f o r m a l i z e d

a s t h e h y b r i d a u t o m a t o n d e p i c t e d i n F i g u r e 2 . 2 .

H = 1

x

L o c . i n v

x ?

H = ? 1

_x = 1 + u

_x = ? 1 + u

G u a r d : x

L o c . i n v .

G u a r d : x

F i g u r e 2 . 2 : C o n t r o l s y s t e m w i t h h y s t e r e s i s a s a h y b r i d a u t o m a t o n

I n F i g u r e 2 . 2 t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s a r e w r i t t e n i n s i d e t h e t w o c i r c l e s r e p -

r e s e n t i n g t h e t w o l o c a t i o n s , a n d t h e t r a n s i t i o n s ( e v e n t s ) a r e l a b e l e d w i t h t h e i r

g u a r d s . N o t e t h a t t h i s i s a h y b r i d s y s t e m i n v o l v i n g i n t e r n a l l y i n d u c e d s w i t c h -

i n g s , b u t n o j u m p s .

I f w e f o l l o w t h e \ p e r s i s t e n t - m o d e c o n v e n t i o n " o f R e m a r k 1 . 2 . 2 2 , t h e n a n

e v e n t - o w f o r m u l a f o r t h i s s y s t e m i s s i m p l y g i v e n b y

_x = 1 + u ; x

_x = ? 1 + u ; x ? :

( 2 . 2 )



2 . 2 . E x a m p l e s 3 7

2 . 2 . 2 M a n u a l t r a n s m i s s i o n

C o n s i d e r a s i m p l e m o d e l o f a m a n u a l t r a n s m i s s i o n 3 0 ] :

_x

1

= x

2

_x

2

=

? a : x

2

+ u

1 + v

w h e r e v i s t h e g e a r s h i f t p o s i t i o n v 2 f 1 ; 2 ; 3 ; 4 g , u i s t h e a c c e l e r a t i o n a n d

a i s a p a r a m e t e r o f t h e s y s t e m . C l e a r l y , t h i s i s a h y b r i d s y s t e m h a v i n g f o u r

l o c a t i o n s a n d a t w o - d i m e n s i o n a l c o n t i n u o u s s t a t e , w i t h c o n t r o l l e d t r a n s i t i o n s

( s w i t c h i n g s ) a n d n o j u m p s .

2 . 2 . 3 B o u n c i n g b a l l

C o n s i d e r a b a l l b o u n c i n g o n a t a b l e ; t h e b o u n c e s a r e m o d e l e d a s b e i n g i n -

s t a n t a n e o u s , w i t h r e s t i t u t i o n c o e c i e n t e a s s u m e d t o b e i n t h e o p e n i n t e r v a l

( 0 ; 1 ) . T h e r e a r e n o d i s c r e t e v a r i a b l e s ( t h e r e i s o n l y o n e l o c a t i o n ) , a n d t h e r e

i s o n e c o n t i n u o u s v a r i a b l e , d e n o t e d b y q ; t h i s v a r i a b l e i n d i c a t e s t h e d i s t a n c e

b e t w e e n t h e t a b l e a n d t h e b a l l .

I n t h e h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l o f t h i s s y s t e m t h e s y s t e m s w i t c h e s f r o m t h e

s i n g l e l o c a t i o n b a c k t o t h e s a m e l o c a t i o n w h i l e a n ( a u t o n o m o u s ) j u m p o c c u r s

i n t h e c o n t i n u o u s s t a t e g i v e n b y t h e p o s i t i o n q a n d t h e v e l o c i t y _q , s i n c e t h e

v e l o c i t y c h a n g e s a t a n e v e n t ( i m p a c t ) t i m e t f r o m _q ( t

0 ]

) i n t o _q ( t

]

) = ? e _q ( t

0 ]

) .

T h e g u a r d o f t h i s t r a n s i t i o n ( e v e n t ) i s g i v e n b y q = 0 , _q 0 .

T h e d y n a m i c s o f t h e s y s t e m c a n b e s u m m a r i z e d b y t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n

( a f t e r n o r m a l i z a t i o n o f a l l c o n s t a n t s )

q = ? 1 ( 2 . 3 )

i f q > 0 , t o g e t h e r w i t h t h e d i s c r e t e t r a n s i t i o n ( i m p a c t r u l e ) a t a n e v e n t t i m e

_q (

]

) = ? e _q (

0 ]

) ; ( 2 . 4 )

w h i c h o c c u r s i f q = 0 a n d _q 0 .

F u r t h e r m o r e t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e d y n a m i c s a t \ o r d i n a r y " t i m e i n -

s t a n t s a n d t h e d i s c r e t e t r a n s i t i o n a t a n e v e n t t i m e i s p r o v i d e d b y t h e c o m -

p a t i b i l i t y c o n d i t i o n s

l i m

t "

q ( t ) = q (

0 ]

) = q (

]

) = l i m

t #

q ( t )

l i m

t "

_q ( t ) = _q (

0 ]

)

_q (

]

) = l i m

t #

_q ( t ) :

( 2 . 5 )

U s i n g t h e c o n v e n t i o n t h a t s t a t e v a r i a b l e s a r e c o n t i n u o u s a c r o s s e v e n t s u n -

l e s s i n d i c a t e d o t h e r w i s e , o n e m a y w r i t e e q u a t i o n s ( 2 . 3 ) a n d ( 2 . 4 ) i n a n a l t e r -

n a t i v e a n d m o r e c o m p a c t f o r m a s t h e e v e n t - o w f o r m u l a ( i n t h e c o n t i n u o u s




s t a t e v e c t o r x = ( q ; _q ) )

q 0 ; q = ? 1

q = 0 ; _q

+

= ? e _q

?

:

( 2 . 6 )

I t i s c l e a r t h a t t h e s y s t e m c a n b e c o n s i s t e n t l y i n i t i a l i z e d b y p r e s c r i b i n g q ( 0

?

)

a n d _q ( 0

?

) , w i t h q ( 0

?

) 0 . I n g e n e r a l i t c a n b e a n o n t r i v i a l q u e s t i o n f o r a n

e v e n t - o w f o r m u l a t o d e t e r m i n e t h e d a t a o n e h a s t o p r o v i d e a t 0

?

i n o r d e r t o

e n s u r e t h e e x i s t e n c e o f a u n i q u e s o l u t i o n w i t h t h e s e i n i t i a l d a t a . P r e s c r i b i n g

d a t a a t 0

?

r a t h e r t h a n a t 0 a l l o w s 0 t o b e a n e v e n t t i m e .

I n t h i s e x a m p l e , e v e n t t i m e s m u s t a c t u a l l y h a v e a c c u m u l a t i o n p o i n t s ; f o r

i n s t a n c e i f w e s e t q ( 0

?

) = 0 a n d _q ( 0

?

) = 1 , t h e n i t i s e a s i l y v e r i e d t h a t

b o u n c e s t a k e p l a c e a t t i m e s 2 , 2 + 2 e , 2 + 2 e + 2 e

2

; : : : , s o t h a t w e h a v e a n

a c c u m u l a t i o n p o i n t a t

2

1 ? e

. N e v e r t h e l e s s w e a r e s t i l l a b l e t o d e n e a s o l u t i o n :

E

T

= f 2

P

k ? 1

j = 0

e

j

j k 2 N g f

2

1 ? e

g

q ( t ) = e

k

t ?

1

2

( t ? 2

P

k ? 1

j = 0

e

j

)

2

f o r t 2 ( 2

P

k ? 1

j = 0

e

j

; 2

P

k

j = 0

e

j

) ;

k = 0 ; 1 ; 2 ; : : :

= 0 f o r t >

2

1 ? e

( 2 . 7 )

( w e h a v e u s e d t h e s t a n d a r d c o n v e n t i o n t h a t a s u m m a t i o n o v e r a n e m p t y s e t

p r o d u c e s z e r o ) . O n e e a s i l y v e r i e s t h a t t h i s i s t h e o n l y p i e c e w i s e d i e r e n t i a b l e

s o l u t i o n t o ( 2 . 6 ) t h a t i s c o n t i n u o u s i n t h e s e n s e t h a t t h e l e f t - a n d r i g h t - h a n d

l i m i t s o f q ( t ) e x i s t a n d a r e e q u a l t o e a c h o t h e r f o r a l l t . N o t e t h a t i n t h e

p r e s e n t e x a m p l e t h e h y b r i d t r a j e c t o r y c a n b e n a t u r a l l y e x t e n d e d a f t e r t h e

a c c u m u l a t i o n p o i n t t = 2 ( 1 ? e )

? 1

o f e v e n t t i m e s , s i n c e b o t h t h e c o n t i n u o u s

s t a t e a n d t h e d i s c r e t e s t a t e ( t h e r e i s o n l y o n e ! ) c o n v e r g e a t t h e a c c u m u l a t i o n

p o i n t . I n t h e p r e s e n t c a s e t h e e x t e n s i o n i s j u s t t h e z e r o t r a j e c t o r y , b u t i t i s

e a s y t o m o d i f y t h e e x a m p l e i n s u c h a w a y t h a t t h e e x t e n s i o n i s m o r e i n v o l v e d .

F o r s o m e e x a m p l e s o f h y b r i d s y s t e m s h a v i n g m o r e t h a n o n e l o c a t i o n , w h e r e

t h e e x i s t e n c e o f a n e x t e n s i o n a f t e r t h e a c c u m u l a t i o n p o i n t i s m o r e p r o b l e m a t i c ,

w e r e f e r t o 8 2 ] .

2 . 2 . 4 T e m p e r a t u r e c o n t r o l s y s t e m

I n a s i m p l e m o d e l t o b e u s e d i n t e m p e r a t u r e c o n t r o l o f a r o o m ( c f . 1 ] ) , w e

h a v e o n e c o n t i n u o u s v a r i a b l e ( r o o m t e m p e r a t u r e , d e n o t e d b y ( t ) , a n d t a k i n g

v a l u e s i n R ) a n d o n e d i s c r e t e v a r i a b l e ( s t a t u s o f t h e h e a t e r , d e n o t e d b y H ( t )

a n d t a k i n g v a l u e s i n f o n ; o f f g ) . T h e c o n t i n u o u s d y n a m i c s i n t h e s y s t e m m a y

b e d e s c r i b e d b y a n e q u a t i o n o f t h e f o r m

_x = f ( x ; w ; H ) ; = g ( x ) ( 2 . 8 )



2 . 2 . E x a m p l e s 3 9

w h e r e f ( ; ) i s a ( s u c i e n t l y s m o o t h ) f u n c t i o n o f t h e c o n t i n u o u s s t a t e x , t h e

d i s c r e t e s t a t e H , a n d t h e c o n t i n u o u s e x t e r n a l v a r i a b l e w , w h i c h m a y f o r e x -

a m p l e c o n t a i n t h e o u t s i d e t e m p e r a t u r e . T h e h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l o f t h i s

s y s t e m i s g i v e n b y t w o l o c a t i o n s w i t h t h e o b v i o u s l o c a t i o n i n v a r i a n t s , a s g i v e n

i n F i g u r e 2 . 3 . N o t e t h a t t h e s p e c i c a t i o n o f t h e g u a r d s i s c r u c i a l f o r t h e s e t o f

o n

2 0

o

_x = f ( x ; o ; w )

1 9

2 0

1 9

_x = f ( x ; o n ; w )

F i g u r e 2 . 3 : T e m p e r a t u r e - t h e r m o s t a t s y s t e m a s a h y b r i d a u t o m a t o n

t r a j e c t o r i e s o f t h e h y b r i d a u t o m a t o n . F o r e x a m p l e , i f w e t a k e t h e g u a r d s t o

b e 1 9 , r e s p e c t i v e l y 2 0 , t h e n t r a n s i t i o n f r o m o n e l o c a t i o n t o a n o t h e r i s

p e r m i t t e d w h i l e t h e t e m p e r a t u r e i s b e t w e e n 1 9 a n d 2 0 , a n d t h e t e m p e r a t u r e -

t h e r m o s t a t s y s t e m w i l l b e h a v e n o n - d e t e r m i n i s t i c a l l y . T h i s s p e c i c a t i o n m a y

b e a p p r o p r i a t e i n p a r t i c u l a r w h e n t h e t h e r m o s t a t i s a c t u a l l y a h u m a n c o n -

t r o l l e r , o r i n o t h e r c i r c u m s t a n c e s i n w h i c h t h e t h e r m o s t a t t a k e s o t h e r f a c t o r s

i n t o c o n s i d e r a t i o n t h a n j u s t t h e o n e t h a t i s e x p l i c i t l y s p e c i e d i n t h e m o d e l . A

m o r e d e t a i l e d s p e c i c a t i o n m a y n o t b e w o r t h t h e e o r t f o r s o m e a p p l i c a t i o n s .

A m o r e r e s t r i c t i v e s p e c i c a t i o n o f t h e g u a r d s w o u l d b e = 2 0 , r e s p e c t i v e l y

= 1 9 ; n o t e h o w e v e r t h a t t h i s i s s t i l l n o t q u i t e e n o u g h t o o b t a i n u n i q u e s t a t e

t r a j e c t o r i e s f o r a l l i n p u t t r a j e c t o r i e s .

I n a n e v e n t - o w d e s c r i p t i o n t h e s y s t e m i s e x p l i c i t l y m o d e l e d a s a c o m -

p o s i t i o n o f t w o s u b s y s t e m s , n a m e l y t h e h e a t e r a n d t h e t h e r m o s t a t . S o w e

w r i t e

s y s t e m = h e a t e r j j t h e r m o s t a t ( 2 . 9 )

w h e r e t h e s u b s y s t e m \ h e a t e r " i s g i v e n b y ( 2 . 8 ) i n w h i c h H n o w a c t s a s a

d i s c r e t e c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e , a n d t h e s u b s y s t e m \ t h e r m o s t a t " i s g i v e n b y

2 0 ; H = o n

1 9 ; H = o f f

2 0 ; H

+

= o n

1 9 ; H

+

= o f f :

( 2 . 1 0 )

I f i t i s d e s i r e d t o s p e c i f y f o r i n s t a n c e t h a t t h e h e a t i n g c a n o n l y b e t u r n e d o n

w h e n t h e t e m p e r a t u r e i s e x a c t l y 1 9 d e g r e e s , t h e n t h e r s t e v e n t c o n d i t i o n i n




( 2 . 1 0 ) s h o u l d b e r e p l a c e d b y

= 1 9 ; H

?

= o f f ; H

+

= o n : ( 2 . 1 1 )

A l t e r n a t i v e l y w e c a n i m p o s e t h e \ p e r s i s t e n t - m o d e c o n v e n t i o n " d i s c u s s e d i n

R e m a r k 1 . 2 . 2 2 .

2 . 2 . 5 W a t e r - l e v e l m o n i t o r

O u r n e x t e x a m p l e ( t a k e n f r o m 1 ] ) i s s o m e w h a t m o r e e l a b o r a t e t h a n t h e o n e s

t h a t w e d i s c u s s e d b e f o r e . T h e e x a m p l e c o n c e r n s t h e m o d e l i n g o f a w a t e r - l e v e l

c o n t r o l s y s t e m . T h e r e a r e t w o c o n t i n u o u s v a r i a b l e s , d e n o t e d b y y ( t ) ( t h e w a t e r

l e v e l ) a n d x ( t ) ( t i m e e l a p s e d s i n c e l a s t s i g n a l w a s s e n t b y t h e m o n i t o r ) . T h e r e

a r e a l s o t w o d i s c r e t e v a r i a b l e s , d e n o t e d b y P ( t ) ( t h e s t a t u s o f t h e p u m p , t a k i n g

v a l u e s i n f o n ; o f f g ) a n d S ( t ) ( t h e n a t u r e o f t h e s i g n a l l a s t s e n t b y t h e m o n i t o r ,

a l s o t a k i n g v a l u e s i n f o n ; o f f g ) . T h e d y n a m i c s o f t h e s y s t e m i s g i v e n i n 1 ] a s

f o l l o w s . T h e w a t e r l e v e l r i s e s o n e u n i t p e r s e c o n d w h e n t h e p u m p i s o n a n d

f a l l s t w o u n i t s p e r s e c o n d w h e n t h e p u m p i s o . W h e n t h e w a t e r l e v e l r i s e s

t o 1 0 u n i t s , t h e m o n i t o r s e n d s a s w i t c h - o s i g n a l , w h i c h a f t e r a d e l a y o f t w o

s e c o n d s r e s u l t s i n t h e p u m p t u r n i n g o . W h e n t h e w a t e r l e v e l f a l l s t o 5 u n i t s ,

t h e m o n i t o r s e n d s a s w i t c h - o n s i g n a l , w h i c h a f t e r a d e l a y o f a g a i n t w o s e c o n d s

c a u s e s t h e p u m p t o s w i t c h o n .

T h e r e a r e s e v e r a l w a y s i n w h i c h o n e m a y w r i t e d o w n e q u a t i o n s t o d e s c r i b e

t h e s y s t e m , w h i c h m a y b e r e l a t e d t o v a r i o u s w a y s i n w h i c h t h e c o n t r o l l e r m a y

b e i m p l e m e n t e d . F o r i n s t a n c e t h e m o n i t o r s h o u l d s e n d a s w i t c h - o s i g n a l w h e n

t h e w a t e r l e v e l r e a c h e s 1 0 u n i t s a n d i s r i s i n g , b u t n o t w h e n t h e l e v e l r e a c h e s 1 0

u n i t s o n i t s w a y d o w n . T h i s m a y b e i m p l e m e n t e d b y t h e s i g n o f t h e d e r i v a t i v e

o f y , b y l o o k i n g a t t h e s t a t u s o f t h e p u m p , o r b y l o o k i n g a t t h e s i g n a l l a s t s e n t

b y t h e m o n i t o r . U n d e r t h e a s s u m p t i o n s o f t h e m o d e l t h e s e m e t h o d s a r e a l l

e q u i v a l e n t i n t h e s e n s e t h a t t h e y p r o d u c e t h e s a m e b e h a v i o r ; h o w e v e r t h e r e c a n

b e d i e r e n c e s i n r o b u s t n e s s w i t h r e s p e c t t o u n m o d e l e d e e c t s . T h e s o l u t i o n

p r o p o s e d i n 1 ] i s b a s e d o n t h e s i g n a l l a s t s e n t b y t h e m o n i t o r . T h e h y b r i d

a u t o m a t o n m o d e l o f t h i s s y s t e m i s g i v e n i n F i g u r e 2 . 4 .

F o r a d e s c r i p t i o n b y m e a n s o f e v e n t - o w f o r m u l a s i t s e e m s n a t u r a l t o u s e

p a r a l l e l c o m p o s i t i o n . O n e h a s t o s p e l l o u t i n w h i c h w a y t h e m o n i t o r k n o w s

w h e t h e r t h e w a t e r l e v e l i s r i s i n g o r f a l l i n g w h e n o n e o f t h e c r i t i c a l l e v e l s i s

o b s e r v e d . H e r e w e s h a l l a s s u m e t h a t t h e m o n i t o r r e m e m b e r s w h i c h s i g n a l i t

h a s l a s t s e n t . F o r t h a t p u r p o s e t h e m o n i t o r n e e d s t o h a v e a d i s c r e t e s t a t e

v a r i a b l e . W e c a n t h e n w r i t e t h e s y s t e m a s f o l l o w s :

s y s t e m = t a n k j j p u m p j j m o n i t o r j j d e l a y ( 2 . 1 2 a )

w i t h

t a n k

P = o n ; _y = 1

P = o f f ; _y = ? 2

( 2 . 1 2 b )



2 . 2 . E x a m p l e s 4 1

0

_y = 1

y 1 0

_x = 1

x = 2 x = 2

x : = 0

x : = 0

y = 1 0

_x = 1

_y = 1

x 2

1

_x = 1

_y = ? 2

y 5

2

_x = 1

_y = ? 2

x 2

3

y = 5

F i g u r e 2 . 4 : W a t e r - l e v e l m o n i t o r

p u m p

S

0

= s w

?

o n ; P

+

= o n

S

0

= s w

?

o f f ; P

+

= o f f

( 2 . 1 2 c )

m o n i t o r

y

1 0 ; Q = r e q

?

o f f

y 5 ; Q = r e q

?

o n

y = 1 0 ; Q

?

= r e q

?

o n ; Q

+

= r e q

?

o f f ; S = s w

?

o f f

y = 5 ; Q

?

= r e q

?

o f f ; Q

+

= r e q

?

o n ; S = s w

?

o n

( 2 . 1 2 d )

d e l a y

D = i n a c t i v e ; _ = 0

D 6= i n a c t i v e ; _ = 1 ; 2

D

+

= S ;

+

= 0

= 2 ; S

0

= D

?

;

+

= 0 ; D

+

= i n a c t i v e :

( 2 . 1 2 e )

R e m a r k 2 . 2 . 1 . W h e n a c t i v e , t h e d e l a y n e e d s a c l o c k ( i m p l e m e n t e d b y t h e

v a r i a b l e ) i n o r d e r t o t e l l w h e n t w o u n i t s o f t i m e h a v e p a s s e d . W h e n t h e

d e l a y i s i n a c t i v e i t d o e s n ' t n e e d t h e c l o c k , h o w e v e r ; t h e r e f o r e i t w o u l d p e r h a p s

b e b e t t e r t o s a y t h a t d u r i n g t h e s e p e r i o d s t h e c l o c k i s \ n o n e x i s t e n t " r a t h e r

t h a n t o g i v e i t s o m e a r b i t r a r y d y n a m i c s . T h i s w o u l d r e q u i r e a m o d i c a t i o n o f

t h e s e t t i n g d e s c r i b e d h e r e i n t h e s p i r i t o f t h e \ p r e s e n c e s " o f 1 8 ] .




2 . 2 . 6 M u l t i p l e c o l l i s i o n s

T h e a r e a o f m e c h a n i c a l c o l l i s i o n s o e r s a w e a l t h o f e x a m p l e s f o r h y b r i d s y s t e m s

m o d e l i n g , s e e e . g . 3 1 ] a n d t h e r e f e r e n c e s q u o t e d t h e r e i n . W e w i l l o n l y c o n s i d e r

t h e f o l l o w i n g s e e m i n g l y s i m p l e c a s e , w h i c h i s s o m e t i m e s k n o w n a s N e w t o n ' s

c r a d l e ( w i t h t h r e e b a l l s ) . C o n s i d e r t h r e e p o i n t m a s s e s w i t h u n i t m a s s , m o v -

i n g o n a s t r a i g h t l i n e . T h e p o s i t i o n s o f t h e t h r e e m a s s e s w i l l b e d e n o t e d b y

q

1

; q

2

; q

3

, w i t h q

1

q

2

q

3

. W h e n n o c o l l i s i o n s t a k e p l a c e t h e d y n a m i c s o f

t h e t h r e e m a s s e s i s d e s c r i b e d b y t h e s e c o n d - o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

_q

i

= v

i

_v

i

= F

i

f o r i = 1 ; 2 ; 3 , w i t h F

i

s o m e p r e s p e c i e d f o r c e f u n c t i o n s ( e . g . , g r a v i t a t i o n a l

f o r c e s ) .

C o l l i s i o n s ( e v e n t s ) t a k e p l a c e w h e n e v e r t h e p o s i t i o n s q

i

a n d t h e v e l o c i t i e s

v

i

s a t i s f y r e l a t i o n s o f t h e f o r m

q

i

= q

j

v

i

> v

j

f o r s o m e i 2 f 1 ; 2 ; 3 g w i t h j = i + 1 .

T h e u s u a l i m p a c t r u l e f o r t w o r i g i d b o d i e s a a n d b w i t h m a s s e s m

a

, r e s p e c -

t i v e l y m

b

, s p e c i f y i n g t h e v e l o c i t i e s v

]

a

; v

]

b

a f t e r t h e i m p a c t , i s g i v e n b y

v

]

a

? v

]

b

= ? e ( v

a

? v

a

) ( 2 . 1 3 a )

m

a

v

]

a

+ m

b

v

]

b

= m

a

v

a

+ m

b

v

b

( 2 . 1 3 b )

w h e r e e 2 0 ; 1 ] d e n o t e s t h e r e s t i t u t i o n c o e c i e n t . O f c o u r s e , t h e i m p a c t r u l e

( 2 . 1 3 ) c o n s t i t u t e s a l r e a d y a n e v e n t i d e a l i z a t i o n o f t h e \ r e a l " p h y s i c a l c o l l i s i o n

p h e n o m e n o n , w h i c h i n c l u d e s a f a s t d y n a m i c a l t r a n s i t i o n p h a s e . A l s o n o t e

t h a t ( 2 . 1 3 b ) e x p r e s s e s c o n s e r v a t i o n o f m o m e n t u m f o r s i m p l e i m p a c t s . B e l o w

w e s h a l l a p p l y t h i s r u l e i n a s i t u a t i o n w h e r e m u l t i p l e i m p a c t o c c u r s ( a s i t w a s

d o n e i n 6 3 ] ) ; o f c o u r s e o n e m a y d e b a t e w h e t h e r s u c h a n e x t e n s i o n i s \ c o r r e c t " .

L e t u s n o w c o n s i d e r N e w t o n ' s c r a d l e w i t h t h r e e b a l l s , a n d s u p p o s e t h a t a t

s o m e g i v e n t i m e i n s t a n t t 2 R w e h a v e

q

1

= q

2

= q

3

= 0

v

1

= 1

v

2

= v

3

= 0 :

( 2 . 1 4 )

H o w d o w e m o d e l t h i s c a s e w i t h t h e a b o v e i m p a c t r u l e ? T h e p r o b l e m i s t h a t

n o t o n l y t h e l e f t m a s s i s c o l l i d i n g w i t h t h e m i d d l e m a s s , b u t t h a t a l s o t h e

m i d d l e m a s s i s i n c o n t a c t w i t h t h e r i g h t m a s s ; w e t h u s e n c o u n t e r a m u l t i p l e

c o l l i s i o n .



2 . 2 . E x a m p l e s 4 3

T h e r e a r e a t l e a s t t w o w a y s t o m o d e l t h i s m u l t i p l e c o l l i s i o n b a s e d o n t h e

i m p a c t r u l e ( 2 . 1 3 ) f o r s i n g l e c o l l i s i o n s , a n d t h e s e t w o w a y s l e a d t o d i e r e n t

a n s w e r s ! O n e o p t i o n i s t o r e g a r d t h e m i d d l e a n d t h e r i g h t m a s s a t t h e m o m e n t

o f c o l l i s i o n a s a s i n g l e m a s s , w i t h m a s s e q u a l t o 2 . A p p l i c a t i o n o f t h e i m p a c t

r u l e ( 2 . 1 3 ) t h e n y i e l d s

v

+

1

=

1

3

( 1 ? 2 e )

v

+

c

=

1

3

( 1 + e )

w h e r e v

c

d e n o t e s t h e v e l o c i t y o f t h e ( c o m b i n e d ) m i d d l e a n d r i g h t m a s s . F o r

e = 1 ( p e r f e c t l y e l a s t i c c o l l i s i o n ) t h i s y i e l d s t h e o u t c o m e v

+

1

= ?

1

3

; v

+

c

=

2

3

,

w h i l e f o r e = 0 ( p e r f e c t l y i n e l a s t i c c o l l i s i o n ) w e o b t a i n t h e o u t c o m e v

+

1

= v

+

c

=

1

3

. A n o t h e r w a y o f m o d e l i n g t h e m u l t i p l e i m p a c t b a s e d o n t h e s i n g l e i m p a c t

r u l e ( 2 . 1 3 ) ( c f . 6 3 ] ) i s t o i m a g i n e t h a t t h e c o l l i s i o n o f t h e l e f t m a s s w i t h t h e

m i d d l e m a s s t a k e s p l a c e j u s t b e f o r e t h e c o l l i s i o n o f t h e m i d d l e m a s s w i t h t h e

r i g h t m a s s , l e a d i n g t o a n e v e n t w i t h m u l t i p l i c i t y a t l e a s t e q u a l t o 2 .

F o r e = 1 t h i s a l t e r n a t i v e m o d e l i n g l e a d s t o t h e f o l l o w i n g d i e r e n t d e s c r i p -

t i o n . T h e i m p a c t r u l e ( 2 . 1 3 ) s p e c i a l i z e s f o r e = 1 t o t h e e v e n t - c l a u s e

v

]

i

= v

j

v

]

j

= v

i

:

H e n c e , w e o b t a i n f o r t h e i n i t i a l c o n d i t i o n ( 2 . 1 4 ) a n e v e n t w i t h m u l t i p l i c i t y 2 ,

r e p r e s e n t i n g t h e t r a n s f e r o f t h e v e l o c i t y v

1

= 1 o f t h e r s t m a s s t o t h e s e c o n d

a n d t h e n t o t h e t h i r d m a s s , w i t h t h e v e l o c i t i e s o f t h e r s t a n d s e c o n d m a s s

b e i n g e q u a l t o z e r o a f t e r t h e c o l l i s i o n . T h i s b e h a v i o r i s d e n i t e l y d i e r e n t f r o m

t h e b e h a v i o r f o r e = 1 d e r i v e d a b o v e , b u t s e e m s t o b e r e a s o n a b l y c l o s e , a t l e a s t

f o r s m a l l t i m e , t o w h a t o n e o b s e r v e s e x p e r i m e n t a l l y f o r \ N e w t o n ' s c r a d l e " .

O n t h e o t h e r h a n d , f o r e = 0 ( p e r f e c t l y i n e l a s t i c c o l l i s i o n ) , w e o b t a i n i n

t h e s e c o n d a p p r o a c h f r o m ( 2 . 1 3 ) t h e e v e n t c l a u s e

v

]

i

=

1

2

( v

i

+ v

j

) = v

]

j

:

W i t h t h e s a m e i n i t i a l c o n d i t i o n s ( 2 . 1 4 ) a s a b o v e , t h i s g i v e s r i s e t o a n e v e n t

w i t h m u l t i p l i c i t y e q u a l t o 1 . I n f a c t , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g d i s t r i b u t i o n o f

v e l o c i t i e s a t t h e s u b s e q u e n t s s t a g e s t

0 ]

; t

]

; t

] ]

; t

] ] ]

; : : : o f t h e t i m e e v e n t a t t i m e

t :

v

1

v

2

v

3

t

0 ]

1 0 0

t

]

1

2

1

2

0

t

] ]

1

2

1

4

1

4




t

] ] ]

3

8

3

8

1

4

# # #

t

1 ]

1

3

1

3

1

3

H e n c e t h e o u t c o m e o f t h i s e v e n t w i t h m u l t i p l i c i t y

1 i s t h e s a m e a s t h e o u t c o m e

d e r i v e d b y t h e r s t m e t h o d , w i t h a n e v e n t o f m u l t i p l i c i t y 1 .

I n t e r e s t i n g v a r i a t i o n s o f b o t h m o d e l i n g a p p r o a c h e s m a y b e o b t a i n e d b y

c o n s i d e r i n g e . g . f o u r u n i t m a s s e s , w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n s

q

1

= q

2

= q

3

= q

4

= 0

v

1

= v

2

= 1

v

3

= v

4

= 0 :

( 2 . 1 5 )

A n o t h e r i n t e r e s t i n g i s s u e w h i c h m a y b e s t u d i e d i n t h e c o n t e x t o f t h i s e x a m p l e

c o n c e r n s t h e c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o f s o l u t i o n s o n i n i t i a l c o n d i t i o n s . F o r a

b r i e f d i s c u s s i o n o f t h i s s u b j e c t i n a n e x a m p l e w i t h i n e l a s t i c c o l l i s i o n s , s e e a l s o

R e m a r k 4 . 5 . 2 b e l o w .

2 . 2 . 7 V a r i a b l e - s t r u c t u r e s y s t e m

C o n s i d e r a c o n t r o l s y s t e m d e s c r i b e d b y e q u a t i o n s o f t h e f o r m _x ( t ) =

f ( x ( t ) ; u ( t ) ) , w h e r e u ( t ) i s t h e s c a l a r c o n t r o l i n p u t . S u p p o s e t h a t a s w i t c h i n g

c o n t r o l s c h e m e i s e m p l o y e d t h a t u s e s a s t a t e f e e d b a c k l a w u ( t ) =

1

( x ( t ) ) w h e n

t h e s c a l a r v a r i a b l e y ( t ) d e n e d b y y ( t ) = h ( x ( t ) ) i s p o s i t i v e a n d a f e e d b a c k

u ( t ) =

2

( x ( t ) ) w h e n y ( t ) i s n e g a t i v e . W r i t i n g f

i

( x ) = f ( x ;

i

( x ) ) f o r i = 1 ; 2 ,

w e o b t a i n t h e d y n a m i c a l s y s t e m

_x = f

1

( x ) i f h ( x ) 0

_x = f

2

( x ) i f h ( x ) 0 :

( 2 . 1 6 )

S u c h a s y s t e m i s s o m e t i m e s c a l l e d a v a r i a b l e - s t r u c t u r e s y s t e m . T h e p r e c i s e

i n t e r p r e t a t i o n o f t h e a b o v e e q u a t i o n s , w h i c h a r e i n p r i n c i p l e a m b i g u o u s s i n c e

t h e r e i s n o r e q u i r e m e n t t h a t f

1

( x ) = f

2

( x ) w h e n h ( x ) = 0 , w i l l b e d i s c u s s e d

b r i e y h e r e a n d m o r e e x t e n s i v e l y i n C h a p t e r 3 .

A v a r i a b l e - s t r u c t u r e s y s t e m c a n b e c o n s i d e r e d a s a h y b r i d s y s t e m w i t h t w o

l o c a t i o n s h a v i n g d i e r e n t a c t i v i t i e s ; t h e e x p r e s s i o n s h ( x ) 0 a n d h ( x ) 0

s e r v e a s l o c a t i o n i n v a r i a n t s . T h e p r o b l e m i n s p e c i f y i n g t h i s h y b r i d s y s t e m i s

t o d e n e t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e s y s t e m , s t a r t i n g f r o m i n i t i a l c o n d i t i o n s o n t h e

s u r f a c e h ( x ) = 0 . T h e c o m b i n e d v e c t o r e l d f ( x ) d e n e d b y f ( x ) : = f

1

( x )

f o r h ( x ) > 0 a n d f ( x ) : = f

2

( x ) f o r h ( x ) < 0 i s i n g e n e r a l d i s c o n t i n u o u s o n

t h e s w i t c h i n g s u r f a c e h ( x ) = 0 . H e n c e t h e s t a n d a r d t h e o r y f o r e x i s t e n c e a n d

u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s d o e s n o t a p p l y , a n d , i n d e e d , i t



2 . 2 . E x a m p l e s 4 5 000000000000000111111111111111x

1

F i g u r e 2 . 5 : C o l l i s i o n t o a n e l a s t i c w a l l

i s e a s y t o c o m e u p w i t h e x a m p l e s e x h i b i t i n g m u l t i p l e s o l u t i o n s f o r t h e c o n t i n -

u o u s s t a t e x . F u r t h e r m o r e , i t c a n n o t b e e x p e c t e d t h a t s t a t e t r a j e c t o r i e s x ( t )

a r e d i e r e n t i a b l e a t p o i n t s w h e r e t h e s w i t c h i n g s u r f a c e i s c r o s s e d , s o i t w o u l d

b e t o o m u c h t o r e q u i r e t h a t s o l u t i o n s s a t i s f y ( 2 . 1 6 ) f o r a l l t . O n e p o s s i b l e w a y

o u t i s t o r e p l a c e t h e e q u a t i o n ( 2 . 1 6 ) b y t h e i n t e g r a l f o r m

x ( t ) = x ( 0 ) +

Z

t

0

f ( x ( s ) ) d s ( 2 . 1 7 )

w h i c h d o e s n ' t r e q u i r e t h e t r a j e c t o r y x ( ) t o b e d i e r e n t i a b l e . A s o l u t i o n o f

( 2 . 1 7 ) i s c a l l e d a s o l u t i o n o f ( 2 . 1 6 ) i n t h e s e n s e o f C a r a t h e o d o r y . T h e i n t e r p r e -

t a t i o n ( 2 . 1 7 ) a l s o o b v i a t e s t h e n e e d f o r s p e c i f y i n g t h e v a l u e o f f o n t h e s u r f a c e

f x j h ( x ) = 0 g , a t l e a s t f o r c a s e s i n w h i c h s o l u t i o n s a r r i v e a t t h i s s u r f a c e f r o m

o n e s i d e a n d l e a v e i t i m m e d i a t e l y o n t h e o t h e r s i d e .

A s a n e x a m p l e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g m o d e l o f a n e l a s t i c c o l l i s i o n , t a k e n

f r o m 8 0 ] . C o n s i d e r a m a s s c o l l i d i n g w i t h a n e l a s t i c w a l l ; t h e e l a s t i c i t y o f t h e

w a l l i s m o d e l e d a s a ( l i n e a r ) s p r i n g - d a m p e r s y s t e m , a s s h o w n i n F i g u r e 2 . 5 .

T h e s y s t e m i s d e s c r i b e d a s a s y s t e m w i t h t w o l o c a t i o n s ( o r m o d e s ) :

m o d e 0 :

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

2

4

_x

1

_x

2

3

5

=

2

4

0 1

0 0

3

5

2

4

x

1

x

2

3

5

+

2

4

0

1

3

5

u

y =

h

1 0

i

2

4

x

1

x

2

3

5

0

m o d e 1 :

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

2

4

_x

1

_x

2

3

5

=

2

4

0 1

? k ? d

3

5

2

4

x

1

x

2

3

5

+

2

4

0

1

3

5

u

y =

h

1 0

i

2

4

x

1

x

2

3

5

0




N o t e t h a t f o r d 6= 0 t h e o v e r a l l d y n a m i c s i s n o t c o n t i n u o u s o n t h e s u r f a c e y =

x

1

= 0 , s o t h a t t h e s t a n d a r d t h e o r y o f e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s o f

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s d o e s n o t a p p l y . N e v e r t h e l e s s , i t c a n b e r e a d i l y c h e c k e d

t h a t t h e s y s t e m h a s u n i q u e s o l u t i o n s f o r e v e r y i n i t i a l c o n d i t i o n ( a s w e e x p e c t ) .

O n t h e o t h e r h a n d , m o d i c a t i o n o f t h e e q u a t i o n s m a y e a s i l y l e a d t o a h y b r i d

s y s t e m e x h i b i t i n g m u l t i p l e s o l u t i o n s . N e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r

u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s i n t h e s e n s e o f C a r a t h e o d o r y h a v e b e e n d e r i v e d i n

8 0 , 8 1 ] .

I f i n t h e g e n e r a l f o r m u l a t i o n t h e v e c t o r f

1

( x

0

) p o i n t s i n s i d e t h e s e t

f x j h ( x ) < 0 g a n d t h e v e c t o r f

2

( x

0

) p o i n t s i n s i d e f x j h ( x ) > 0 g f o r a c e r -

t a i n x

0

o n t h e s w i t c h i n g s u r f a c e h ( x ) = 0 , t h e n c l e a r l y t h e r e d o e s n o t e x i s t a

s o l u t i o n i n t h e s e n s e o f C a r a t h e o d o r y . F o r t h i s c a s e a n o t h e r s o l u t i o n c o n c e p t

h a s b e e n d e n e d b y F i l i p p o v , b y a v e r a g i n g i n a c e r t a i n s e n s e t h e \ c h a t t e r i n g

b e h a v i o r " a r o u n d t h e s w i t c h i n g s u r f a c e f x j h ( x ) = 0 g . F r o m a h y b r i d s y s t e m s

p o i n t o f v i e w t h i s c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e c r e a t i o n o f a n e w l o c a t i o n w h o s e

c o n t i n u o u s - t i m e d y n a m i c s i s g i v e n b y t h i s a v e r a g e d d y n a m i c s o n t h e s w i t c h i n g

s u r f a c e . S e e f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n C h a p t e r 3 .

2 . 2 . 8 S u p e r v i s o r m o d e l

T h e f o l l o w i n g m o d e l h a s b e e n p r o p o s e d f o r c o n t r o l l i n g a c o n t i n u o u s - t i m e i n p u t -

s t a t e - o u t p u t s y s t e m ( 1 . 2 ) b y m e a n s o f a n ( i n p u t - o u t p u t ) n i t e a u t o m a t o n ( s e e

D e n i t i o n 1 . 2 . 2 ) ; s e e 8 , 1 2 0 , 2 6 ] f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n . T h e m o d e l c o n s i s t s

o f t h r e e b a s i c p a r t s : c o n t i n u o u s - t i m e p l a n t , n i t e c o n t r o l a u t o m a t o n , a n d

i n t e r f a c e . T h e i n t e r f a c e i n t u r n c o n s i s t o f t w o p a r t s , v i z . a n a n a l o g - t o - d i g i t a l

( A D ) c o n v e r t e r a n d d i g i t a l - t o - a n a l o g ( D A ) c o n v e r t e r . T h e s u p e r v i s o r m o d e l

i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 2 . 6 .

a u t o m a t o n

C o n t i n u o u s - t i m e

s y m b o l

I n t e r f a c e

m e a s u r e m e n t c o n t r o l

i 2 I

s y m b o l

A D

u ( ) 2 P U

C o n t r o l l e r

p l a n t

o 2 O

D A

y 2 Y

F i g u r e 2 . 6 : S u p e r v i s o r m o d e l

A s s o c i a t e d t o t h e p l a n t a r e a n i n p u t s p a c e U , a s t a t e s p a c e X , a n d a n o u t p u t



2 . 2 . E x a m p l e s 4 7

s p a c e Y , w h i l e t h e c o n t r o l l e r a u t o m a t o n h a s a ( n i t e ) i n p u t s p a c e I , a s t a t e

s p a c e Q a n d a n o u t p u t s p a c e O . T h e c o n t r o l l e r a u t o m a t o n m a y b e g i v e n a s

a n i n p u t - o u t p u t a u t o m a t o n a s i n ( 1 . 3 )

q

]

= ( q ; i )

o = ( q ; i ) :

T h e A D c o n v e r t e r i s g i v e n b y a m a p A D : Y Q ! I . T h e v a l u e s o f t h i s m a p

( t h e d i s c r e t e i n p u t s y m b o l s ) a r e d e t e r m i n e d b y a p a r t i t i o n o f t h e o u t p u t s p a c e

Y , w h i c h m a y d e p e n d o n t h e c u r r e n t v a l u e o f t h e s t a t e o f t h e n i t e a u t o m a t o n .

T h e D A c o n v e r t e r i s g i v e n b y a m a p D A : O ! P U , w h e r e P U d e n o t e s t h e

s e t o f p i e c e w i s e r i g h t - c o n t i n u o u s i n p u t f u n c t i o n s f o r t h e p l a n t .

T h e d y n a m i c s c a n b e d e s c r i b e d a s f o l l o w s . A s s u m e t h a t t h e s t a t e o f t h e

p l a n t i s e v o l v i n g a n d t h a t t h e c o n t r o l l e r a u t o m a t o n i s i n s t a t e q . T h e n A D (

; q )

a s s i g n s t o o u t p u t y ( t ) a s y m b o l f r o m t h e i n p u t a l p h a b e t I . W h e n t h i s s y m b o l

c h a n g e s , t h e c o n t r o l l e r a u t o m a t o n c a r r i e s o u t t h e a s s o c i a t e d s t a t e t r a n s i t i o n ,

c a u s i n g a c o r r e s p o n d i n g c h a n g e i n t h e o u t p u t s y m b o l o

2 O . A s s o c i a t e d t o

t h i s s y m b o l i s a c o n t r o l i n p u t D A ( o ) t h a t i s a p p l i e d a s i n p u t t o t h e p l a n t u n t i l

t h e i n p u t s y m b o l o f t h e c o n t r o l l e r a u t o m a t o n c h a n g e s a g a i n .

I n t h e l i t e r a t u r e t h e d e s i g n o f t h e s u p e r v i s o r i s o f t e n b a s e d o n a q u a n t i z a t i o n

( a l s o s o m e t i m e s c a l l e d a b s t r a c t i o n ) o f t h e c o n t i n u o u s p l a n t t o a d i s c r e t e e v e n t

s y s t e m . I n t h i s c a s e o n e c o n s i d e r s e . g . a n a p p r o p r i a t e ( x e d ) p a r t i t i o n o f t h e

s t a t e s p a c e a n d t h e o u t p u t s p a c e o f t h e c o n t i n u o u s t i m e p l a n t , t o g e t h e r w i t h a

x e d s e t o f i n p u t f u n c t i o n s , a n d o n e c o n s t r u c t s a ( n o t n e c e s s a r i l y d e t e r m i n i s t i c )

d i s c r e t e - e v e n t s y s t e m c o v e r i n g t h e q u a n t i z e d c o n t i n u o u s - t i m e d y n a m i c s . T h e

e v e n t s a r e t h e n d e t e r m i n e d b y t h e c r o s s i n g o f t h e b o u n d a r i e s d e n e d b y t h e

p a r t i t i o n o f t h e s t a t e s p a c e .

2 . 2 . 9 T w o c a r t s

T h e l o g i c a l d i s j u n c t i o n ( t h e \ o r " b e t w e e n p r o p o s i t i o n s ) h i s t o r i c a l l y h a s n o t

b e e n e n t i r e l y a b s e n t f r o m t h e s t u d y o f c o n t i n u o u s d y n a m i c a l s y s t e m s ; i n p a r -

t i c u l a r , d i s j u n c t i o n s a r i s e i n t h e s t u d y o f m e c h a n i c a l s y s t e m s w i t h u n i l a t e r a l

c o n s t r a i n t s .

I n t h e s i m p l e s t c a s e o f a o n e - d i m e n s i o n a l c o n s t r a i n t , c o n s i d e r a n o n n e g a t i v e

s l a c k v a r i a b l e w h i c h i s p o s i t i v e w h e n t h e s y s t e m i s a w a y f r o m t h e c o n s t r a i n t

a n d z e r o w h e n t h e s y s t e m i s a t t h e c o n s t r a i n t . T h e d y n a m i c s o f t h e s y s t e m

w i l l i n v o l v e t h e d i s j u n c t i o n o f t w o p o s s i b i l i t i e s : t h e s l a c k v a r i a b l e i s z e r o a n d

t h e c o r r e s p o n d i n g c o n s t r a i n t f o r c e i s n o n n e g a t i v e , o r t h e c o n s t r a i n t f o r c e i s

z e r o a n d t h e s l a c k v a r i a b l e i s n o n n e g a t i v e . T h i s a l t e r n a t i v e o c c u r s i n c l a s s i c a l

t e x t b o o k s o n m e c h a n i c s s u c h a s 1 2 5 ] a n d 8 6 ] , a n d f o r t h e s t a t i c c a s e g o e s b a c k

t o F o u r i e r ( c f . 9 2 ] ) . F o r a c o n c r e t e e x a m p l e , c o n s i d e r t h e t w o - c a r t s e x a m p l e

t h a t w a s d i s c u s s e d i n 1 3 8 ] a n d 1 4 0 ] . T w o c a r t s a r e c o n n e c t e d t o e a c h o t h e r

a n d t o a w a l l b y s p r i n g s ; t h e m o t i o n o f t h e l e f t c a r t i s c o n s t r a i n e d b y a s t o p

( s e e F i g . 2 . 7 ) . I t i s a s s u m e d t h a t t h e s p r i n g s a r e l i n e a r , a n d a l l c o n s t a n t s



4 8 C h a p t e r 2 . E x a m p l e s o f h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m s 000000111111 F i g u r e 2 . 7 : T w o c a r t s

a r e s e t e q u a l t o 1 ; m o r e o v e r , t h e s t o p i s p l a c e d a t t h e e q u i l i b r i u m p o s i t i o n o f

t h e l e f t c a r t . T h e r e a r e t h r e e c o n t i n u o u s v a r i a b l e s : q

1

( t ) , w h i c h d e n o t e s t h e

p o s i t i o n o f t h e l e f t c a r t m e a s u r e d w i t h r e s p e c t t o i t s e q u i l i b r i u m p o s i t i o n , s o

t h a t q

1

( t ) a l s o s e r v e s a s a s l a c k v a r i a b l e ; q

2

( t ) , w h i c h i s t h e p o s i t i o n o f t h e

r i g h t c a r t w i t h r e s p e c t t o i t s e q u i l i b r i u m p o s i t i o n ; a n d ( t ) , w h i c h d e n o t e s t h e

c o n s t r a i n t f o r c e . T h e d y n a m i c s o f t h e s y s t e m c a n b e s u c c i n c t l y w r i t t e n b y t h e

f o l l o w i n g e v e n t - o w f o r m u l a , w h e r e e 2 0 ; 1 ] i s t h e r e s t i t u t i o n c o e c i e n t a n d

t h e n o t a t i o n

x y : ( )

x = 0

y = 0

( 2 . 1 8 )

( f o r s c a l a r v a r i a b l e s x a n d y ) i s u s e d :

8

>

>

>

<

>

>

>

:

q

1

= ? 2 q

1

+ q

2

+

q

2

= q

1

? q

2

0 q

1

0

q

1

= 0 ; q

?

1

0 ; _q

+

1

= ? e _q

?

1

:

( 2 . 1 9 )

C l a s s i c a l l y t h e r e l a t i o n 0 q

1

0 i s w r i t t e n a s q

1

0 , 0 , a n d

q

1

= 0 , w h i c h i n d e e d c o m e s d o w n t o t h e s a m e t h i n g a n d a v o i d s t h e e x p l i c i t

u s e o f d i s j u n c t i o n s .

T h e d y n a m i c s o f t h e a b o v e s y s t e m m a y a l s o b e g i v e n i n a m o r e e x p l i c i t

c o n d i t i o n - e v e n t f o r m , w i t h t h e d y n a m i c s i n e a c h m o d e g i v e n i n t h e f o r m o f

o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , r a t h e r t h a n d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s a s

i n t h e m o d e d e s c r i p t i o n s t h a t c a n b e d e r i v e d d i r e c t l y f r o m ( 2 . 1 9 ) . S i n c e t h e

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e l i n e a r , t h e y c a n e v e n b e s o l v e d e x p l i c i t l y s o t h a t o n e

c a n o b t a i n a f u l l d e s c r i p t i o n a s a h y b r i d s y s t e m i n t h e s e n s e o f 1 ] . T h i s d e -

s c r i p t i o n h o w e v e r w o u l d b e m u c h l o n g e r t h a n t h e o n e g i v e n a b o v e ( s e e 1 4 1 ]



2 . 2 . E x a m p l e s 4 9

c

y !

0

? c

u "

F i g u r e 2 . 8 : C o u l o m b f r i c t i o n c h a r a c t e r i s t i c

w h e r e p a r t o f t h e d e s c r i p t i o n h a s b e e n w o r k e d o u t ) . I n g e n e r a l , a s y s t e m

w i t h k u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s c a n b e d e s c r i b e d b y k d i s j u n c t i o n s a s i n ( 2 . 1 9 ) ,

w h e r e a s t h e n u m b e r o f d i e r e n t l o c a t i o n s ( d i s c r e t e s t a t e s ) f o l l o w i n g f r o m t h e

c o n s t r a i n t s i s 2

k

. I n t h i s s e n s e t h e d e s c r i p t i o n b y m e a n s o f e v e n t - o w f o r m u -

l a s r e p r e s e n t s a n e x p o n e n t i a l s a v i n g i n d e s c r i p t i o n l e n g t h w i t h r e s p e c t t o a

f o r m u l a t i o n b a s e d o n e n u m e r a t i o n o f t h e d i s c r e t e s t a t e s .

T h e t r a j e c t o r i e s q

1

( ) m a y b e t a k e n a s c o n t i n u o u s a n d p i e c e w i s e d i e r e n -

t i a b l e , b u t n o t a s p i e c e w i s e c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e s i n c e w e h a v e t o a l l o w

j u m p s i n t h e d e r i v a t i v e . I n p a r t i c u l a r , i f t h e s t o p i s a s s u m e d t o b e c o m p l e t e l y

i n e l a s t i c ( e = 0 ) t h e n t h e v e l o c i t y o f t h e l e f t c a r t w i l l b e r e d u c e d t o z e r o

i m m e d i a t e l y w h e n i t h i t s t h e b l o c k .

I n t h e p r e s e n t e x a m p l e , t h e s p e c i c a t i o n o f t h e j u m p r u l e ( t h e e v e n t c l a u s e )

i s q u i t e s i m p l e . H o w e v e r , i n h i g h e r - d i m e n s i o n a l e x a m p l e s o f t h i s t y p e , e s p e -

c i a l l y w h e n m u l t i p l e c o l l i s i o n s a r e i n v o l v e d , a c o m p l e t e a p r i o r i s p e c i c a t i o n

o f t h e j u m p s m a y n o t b e s o e a s y . I n f a c t , i n m a n y c a s e s o n e w o u l d l i k e t o

a v o i d a n a p r i o r i c o m p l e t e s p e c i c a t i o n o f t h e e v e n t c l a u s e s , a n d a n a t t r a c t i v e

a l t e r n a t i v e w o u l d b e t o a u t o m a t i c a l l y g e n e r a t e t h e e v e n t - c l a u s e s o n t h e b a s i s

o f i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s o f t h e t y p e q 0 , 0 , a n d q = 0 a s a b o v e , a n d

p h y s i c a l i n f o r m a t i o n c o n c e r n i n g t h e n a t u r e o f t h e c o l l i s i o n s , s u c h a s t h e r e s t i -

t i t i o n c o e c i e n t e ( s e e a l s o 3 1 ] f o r a d i s c u s s i o n ) . I n C h a p t e r 4 w e s h a l l c o m e

b a c k t o t h i s i s s u e i n t h e g e n e r a l c o n t e x t o f c o m p l e m e n t a r i t y h y b r i d s y s t e m s ,

i n c l u d i n g t h e p r e s e n t e x a m p l e .

2 . 2 . 1 0 C o u l o m b f r i c t i o n

A n e l e m e n t r e p r e s e n t i n g C o u l o m b f r i c t i o n c a n b e c o n s t r u c t e d f r o m t w o c o n -

t i n u o u s v a r i a b l e s , s a y y ( t ) a n d u ( t ) , w h i c h a r e r e l a t e d i n t h e f o l l o w i n g w a y ( s e e

F i g u r e 2 . 8 ) :




C o u l o m b

y 0 ; u = c

y = 0 ; ? c u c

y 0 ; u = ? c :

( 2 . 2 0 )

H e r e c i s s o m e n o n - n e g a t i v e c o n s t a n t , w h i l e y ( t ) d e n o t e s t h e v e l o c i t y o f a

m a s s a n d u ( t ) d e n o t e s t h e f r i c t i o n a l f o r c e a p p l i e d t o t h i s m a s s , d u e t o t h e

C o u l o m b f r i c t i o n . T h e f r i c t i o n e l e m e n t a b o v e c a n b e c o u p l e d t o a n o t h e r s y s t e m

d e s c r i p t i o n ( c o n s i s t i n g f o r i n s t a n c e o f a c o n t i n u o u s s y s t e m w i t h i n p u t s u ( t )

( f r i c t i o n a l f o r c e s ) a n d o u t p u t s y ( t ) ( v e l o c i t i e s ) b y c o n j u n c t i o n . W h e t h e r o r n o t

t h e c o m p l e t e s y s t e m w i l l h a v e s o l u t i o n s d e n e d f o r a r b i t r a r i l y l a r g e t d e p e n d s

o n t h e n a t u r e o f t h e s y s t e m a d d e d . N o t i c e a l s o t h a t i t i s n o t n a t u r a l t o a s s u m e

a p r i o r i t h a t t h e f r i c t i o n a l f o r c e s u ( t ) a r e c o n t i n u o u s ; i m a g i n e f o r e x a m p l e a

h e a v y m a s s s l i d i n g s u b j e c t t o C o u l o m b f r i c t i o n a l o n g a n u p w a r d s i n c l i n e d

p l a n e , w h i c h a f t e r c o m i n g t o r e s t w i l l i m m e d i a t e l y s l i d e d o w n s u b j e c t t o t h e

r e v e r s e d f r i c t i o n a l f o r c e . H e n c e w e c a n n o t a p r i o r i r e q u i r e t h e f u n c t i o n s u ( t )

a n d y ( t ) a p p e a r i n g i n ( 2 . 2 0 ) t o b e c o n t i n u o u s . F o r t h e c a s e i n w h i c h t h e a d d e d

s y s t e m i s a l i n e a r n i t e - d i m e n s i o n a l t i m e - i n v a r i a n t i n p u t - o u t p u t s y s t e m o f t h e

t y p e u s u a l l y s t u d i e d i n c o n t r o l t h e o r y , s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r w e l l - p o s e d n e s s

( i n t h e s e n s e o f e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s ) h a v e b e e n g i v e n i n 9 5 ] ;

s e e a l s o C h a p t e r 4 . T h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e l o c a t i o n i n s y s t e m s w i t h m u l t i p l e

C o u l o m b f r i c t i o n e l e m e n t s i s a n o n t r i v i a l p r o b l e m , c f . 1 2 9 ] a n d t h e c o m m e n t s

i n 5 0 ] .

I n m a n y c a s e s t h e c o n s t a n t c a p p e a r i n g i n t h e C o u l o m b f r i c t i o n i s a f u n c t i o n

o f t h e n o r m a l f o r c e a p p l i e d t o t h e m o v i n g m a s s d u e t o a n i m p o s e d g e o m e t r i c

i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t o f t h e t y p e a p p e a r i n g i n S u b s e c t i o n 2 . 2 . 9 . I n t h i s w a y ,

b y c o m b i n i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f S u b s e c t i o n 2 . 2 . 9 w i t h t h o s e o f t h e p r e s e n t

o n e , w e c a n d e s c r i b e g e n e r a l m u l t i - b o d y s y s t e m s w i t h g e o m e t r i c i n e q u a l i t y

c o n s t r a i n t s a n d m u l t i p l e C o u l o m b f r i c t i o n a s h y b r i d s y s t e m s ; s e e e . g . 1 2 9 , 3 1 ]

f o r a m o r e e x t e n s i v e d i s c u s s i o n .

2 . 2 . 1 1 S y s t e m s w i t h p i e c e w i s e l i n e a r e l e m e n t s

N o t e t h a t t h e C o u l o m b f r i c t i o n c h a r a c t e r i s t i c d e p i c t e d i n F i g u r e 2 . 8 c a n b e

a l s o i n t e r p r e t e d a s a n i d e a l r e l a y e l e m e n t ( w i t h o u t d e a d z o n e ) . I n t h i s c a s e ,

t h e t h i r d m o d e ( o r l o c a t i o n ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e v e r t i c a l s e g m e n t o f t h e

c h a r a c t e r i s t i c i s u s u a l l y i n t e r p r e t e d i n t h e s e n s e o f a n e q u i v a l e n t c o n t r o l a s

d e n e d b y F i l i p p o v ; s e e C h a p t e r 3 .

M o r e g e n e r a l p i e c e w i s e l i n e a r c h a r a c t e r i s t i c s c a n b e m o d e l e d i n a s i m i l a r

w a y . I n t h i s w a y , a n y d y n a m i c a l i n p u t - s t a t e - o u t p u t s y s t e m w i t h p i e c e w i s e l i n -

e a r c h a r a c t e r i s t i c s i n t h e f e e d b a c k l o o p c a n b e r e p r e s e n t e d a s a h y b r i d s y s t e m ,

w i t h t h e l o c a t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e d i e r e n t s e g m e n t s o f t h e p i e c e w i s e

l i n e a r c h a r a c t e r i s t i c s . F o r m o r e i n f o r m a t i o n , e s p e c i a l l y w i t h r e s p e c t t o w e l l -

p o s e d n e s s q u e s t i o n s w e r e f e r t o 3 3 ] a n d t h e r e f e r e n c e s q u o t e d t h e r e ; s e e a l s o

S u b s e c t i o n 4 . 1 . 5 .



2 . 2 . E x a m p l e s 5 1

2 . 2 . 1 2 R a i l r o a d c r o s s i n g

C o n s i d e r t h e r a i l r o a d c r o s s i n g f r o m 2 ] . T h e s y s t e m c a n b e d e s c r i b e d a s a

c o n j u n c t i o n o f t h r e e s u b s y s t e m s , n a m e d ` t r a i n ' , ` g a t e ' , a n d ` c o n t r o l l e r ' . T h e

t r a i n s e n d s a s i g n a l t o t h e c o n t r o l l e r a t l e a s t t w o m i n u t e s b e f o r e i t e n t e r s

t h e c r o s s i n g . W i t h i n o n e m i n u t e , t h e c o n t r o l l e r t h e n s e n d s a s i g n a l t o t h e

g a t e w h i c h i s t h e n c l o s e d w i t h i n a n o t h e r m i n u t e . A t m o s t v e m i n u t e s a f t e r

i t h a s a n n o u n c e d i t s a p p r o a c h , t h e t r a i n h a s l e f t t h e c r o s s i n g a n d s e n d s a

c o r r e s p o n d i n g s i g n a l t o t h e c o n t r o l l e r . W i t h i n o n e m i n u t e t h e c o n t r o l l e r t h e n

p r o v i d e s a r a i s e s i g n a l t o t h e g a t e , w h i c h a f t e r r e c e i v i n g t h i s s i g n a l t a k e s o n e

t o t w o m i n u t e s t o r e v e r t t o t h e o p e n p o s i t i o n . B e l o w a f o r m a l d e s c r i p t i o n

i s g i v e n i n t h e f o r m o f a n E F F i n w h i c h e x p r e s s i o n s f r o m t h e p r o p o s i t i o n a l

c a l c u l u s a r e f r e e l y u s e d . S e v e r a l v a r i a n t s a r e p o s s i b l e d e p e n d i n g o n t h e p r e c i s e

i n t e r p r e t a t i o n t h a t o n e w a n t s t o g i v e t o t h e v e r b a l d e s c r i p t i o n . T h e s y s t e m i s

n a t u r a l l y d e s c r i b e d a s a p a r a l l e l c o m p o s i t i o n o f t h r e e s u b s y s t e m s :

s y s t e m = t r a i n j j g a t e j j c o n t r o l l e r ( 2 . 2 1 a )

w i t h

t r a i n

_x = 1 ;

f Q

T

= 1

) x

5

g

P

T

= o u t ; S

T

= a p p r o a c h ; x

+

= 0 ; Q

+

T

= 1

x

2 ; P

?

T

= o u t ; P

+

T

= i n

P

?

T

= i n ; P

+

T

= o u t ; S

T

= e x i t ; Q

+

T

= 0

( 2 . 2 1 b )

g a t e

_y = 1 ;

f Q

G 1

= 1

) y

1

g ;

f Q

G 2

= 1

) y

2

g

S

C

= l o w e r ; y

+

= 0 ; Q

+

G 1

= 1

P

?

G

= o p e n ; P

+

G

= c l o s e d ; Q

+

G 1

= 0

S

C

= r a i s e ; y

+

= 0 ; Q

+

G 2

= 1

y 1 ; P

?

G

= c l o s e d ; P

+

G

= o p e n ; Q

+

G 2

= 0

( 2 . 2 1 c )

c o n t r o l l e r

_z = 1 ; f Q

C

= 1 ) z 1 g

S

T

= a p p r o a c h ; z

+

= 0 ; Q

+

C

= 1

S

C

= l o w e r ; Q

+

C

= 0

S

T

= e x i t ; z

+

= 0 ; Q

+

C

= 1

S

C

= r a i s e ; Q

+

C

= 0 :

( 2 . 2 1 d )

T h e s y s t e m a b o v e i s n o n d e t e r m i n i s t i c . N o t e h o w e n a b l i n g c o n d i t i o n s a r e f o r -

m u l a t e d i n t h e e v e n t c o n d i t i o n s , a n d e n f o r c i n g c o n d i t i o n s a r e p l a c e d i n t h e

o w c o n d i t i o n s .




A n i m p o r t a n t l i n e o f r e s e a r c h c o n s i s t s i n t h e d e v e l o p m e n t o f s o f t w a r e t o o l s

w h i c h c a n h e l p i n s t u d y i n g s a f e t y a n d l i v e n e s s p r o p e r t i e s o n t h e b a s i s o f f o r m a l

d e s c r i p t i o n s l i k e t h e o n e a b o v e f o r m o r e c o m p l i c a t e d s y s t e m s . O f t e n s u c h

p r o p e r t i e s c a n b e e x p r e s s e d a s r e a c h a b i l i t y p r o p e r t i e s ; f o r i n s t a n c e , t o u s e t h e

e x a m p l e s g i v e n i n 2 ] , i n t h e t r a i n - g a t e - c o n t r o l l e r s y s t e m o n e m a y w a n t t o

v e r i f y t h a t t h e s e t s f P

T

= i n ; P

G

= o p e n g a n d f P

G

= c l o s e d ; y 1 0 g a r e

n o t r e a c h a b l e .

2 . 2 . 1 3 P o w e r c o n v e r t e r

C o n s i d e r t h e p o w e r c o n v e r t e r i n F i g u r e 2 . 9 ( c f . 5 1 ] ) . T h e c i r c u i t i n F i g u r e 2 . 9

+

E R C

s = 1

s = 0

?

?

+

?

+

?

+

+

?

F i g u r e 2 . 9 : B o o s t c i r c u i t w i t h c l a m p i n g d i o d e

c o n s i s t s o f a n i n d u c t o r L w i t h m a g n e t i c u x l i n k a g e

L

, a c a p a c i t o r C w i t h

e l e c t r i c c h a r g e q

C

a n d a r e s i s t a n c e l o a d R , t o g e t h e r w i t h a d i o d e a n d a n i d e a l

s w i t c h , w i t h s w i t c h p o s i t i o n s s = 1 ( s w i t c h c l o s e d ) a n d s = 0 ( s w i t c h o p e n ) .

T h e d i o d e i s m o d e l e d a s a n i d e a l d i o d e w i t h v o l t a g e - c u r r e n t c h a r a c t e r i s t i c g i v e n

b y F i g u r e 2 . 1 0 . T h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n o f a n i d e a l d i o d e c a n b e s u c c i n c t l y

0

V !

I "

F i g u r e 2 . 1 0 : I d e a l d i o d e



2 . 2 . E x a m p l e s 5 3

e x p r e s s e d a s f o l l o w s :

v

D

i

D

= 0 ; v

D

0 ; i

D

0 : ( 2 . 2 2 )

T h e c i r c u i t i s u s e d t o o b t a i n a v o l t a g e a t t h e r e s i s t a n c e l o a d ( t h e o u t p u t

v o l t a g e ) t h a t i s h i g h e r t h a n t h e v o l t a g e E o f t h e i n p u t s o u r c e ; t h e r e f o r e i t i s

c o m m o n l y c a l l e d a s t e p - u p c o n v e r t e r .

I n t u i t i v e l y i t i s c l e a r t h a t t h e s y s t e m c a n b e r e p r e s e n t e d a s a h y b r i d s y s t e m

w i t h f o u r l o c a t i o n s ( o r m o d e s ) , c o r r e s p o n d i n g t o t h e t w o s e g m e n t s o f t h e d i o d e

c h a r a c t e r i s t i c a n d t h e t w o s w i t c h p o s i t i o n s . F u r t h e r m o r e , t h e t r a n s i t i o n s f r o m

a l o c a t i o n w i t h o p e n s w i t c h t o a l o c a t i o n w i t h c l o s e d s w i t c h , a n d v i c e v e r s a , a r e

c o n t r o l l e d ( e x t e r n a l l y i n d u c e d ) , w h i l e t h e t r a n s i t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o a c h a n g e

f r o m o n e s e g m e n t o f t h e d i o d e c h a r a c t e r i s t i c t o a n o t h e r a r e a u t o n o m o u s .

T a k i n g a s c o n t i n u o u s s t a t e ( e n e r g y ) v a r i a b l e s t h e e l e c t r i c c h a r g e q

C

a n d t h e

m a g n e t i c u x

L

, a n d a s s t o r e d e n e r g y t h e q u a d r a t i c f u n c t i o n

1

2 C

q

2

C

+

1

2 L

2

L

w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g d y n a m i c a l e q u a t i o n s o f t h e c i r c u i t :

2

4

_q

C

_

L

3

5

=

2

4

?

1

R

1 ? s

s ? 1 0

3

5

2

4

q

C

C

L

L

3

5

+

2

4

0

1

3

5

E +

2

4

s i

D

( s ? 1 ) v

D

3

5

:

( 2 . 2 3 )

H e r e s = 0 ; 1 d e n o t e s t h e s w i t c h , E i s t h e v o l t a g e o f t h e i n p u t s o u r c e , a n d

i

D

; v

D

, a r e r e s p e c t i v e l y t h e c u r r e n t t h r o u g h t h e d i o d e , a n d t h e v o l t a g e a c r o s s

t h e i d e a l d i o d e . T h e d y n a m i c s o f t h e c i r c u i t i s c o m p l e t e l y s p e c i e d b y ( 2 . 2 3 )

t o g e t h e r w i t h t h e s w i t c h p o s i t i o n ( a d i s c r e t e v a r i a b l e ) a n d t h e c o n s t i t u t i v e

r e l a t i o n o f t h e i d e a l d i o d e g i v e n b y ( 2 . 2 2 ) .

T h e s e p a r a t e d y n a m i c s o f t h e f o u r l o c a t i o n s a r e o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g

t h e f o l l o w i n g e q u a l i t i e s i n t o ( 2 . 2 3 ) .

- L o c a t i o n 1 : s = 0 ; v

D

= 0

- L o c a t i o n 2 : s = 1 ; i

D

= 0

- L o c a t i o n 3 : s = 0 ; i

D

= 0

- L o c a t i o n 4 : s = 1 ; v

D

= 0

T h i s y i e l d s f o r e a c h o f t h e f o u r l o c a t i o n s t h e f o l l o w i n g c o n t i n u o u s d y n a m i c s :

_q

C

= ?

1

L

L

?

1

R C

q

C

_

L

= ?

1

C

q

C

+ E

_q

C

= ?

1

R C

q

C

_

L

= E




_q

C

= ?

1

R C

q

C

_

L

= 0

_q

C

= 0

_

L

= E

I n o r d e r t o n d t h e c u r r e n t l y a c t i v e l o c a t i o n , w e r s t o b s e r v e t h e p o s i t i o n

o f t h e s w i t c h . F o r s = 0 w e h a v e t h e l o c a t i o n s 1 a n d 3 . T h e l o c a t i o n 1 i s

d e t e r m i n e d b y v

D

= 0 a n d i

D

=

L

L

0 . T h e l a t t e r i n e q u a l i t y y i e l d s t h e

l o c a t i o n i n v a r i a n t

L

0 . T h e l o c a t i o n 3 i s g i v e n b y i

D

=

L

L

= 0 a n d

v

D

= E ?

q

C

C

0 . T h i s y i e l d s t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t s

L

= 0 a n d q

C

? E 0 .

S i m i l a r l y , i f s = 1 t h e n t h e s y s t e m i s i n l o c a t i o n 2 f o r i

D

= 0 a n d t h e v o l t a g e

v

D

= ?

q

C

C

0 , g i v i n g t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t q

C

0 , a n d i n l o c a t i o n 4 i f

v

D

=

q

C

C

= 0 a n d i

D

0 , l e a d i n g t o t h e l o c a t i o n i n v a r i a n t q

C

= 0 .

F u r t h e r m o r e , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d ( b u t t e d i o u s ! ) t o w r i t e d o w n a l l t h e

t r a n s i t i o n g u a r d s , a n d t h e j u m p r e l a t i o n s . I n f a c t , i t c a n b e s e e n t h a t i n

\ n o r m a l o p e r a t i o n " , t h a t m e a n s , i f w e s t a r t f r o m a n i n i t i a l c o n t i n u o u s s t a t e

w i t h

L

0 a n d q

C

0 a n d | v e r y i m p o r t a n t l y | w i t h t h e i n p u t v o l t a g e

E 0 , t h e n n o j u m p s w i l l o c c u r a n d

L

( t ) 0 a n d q

C

( t ) 0 f o r a l l t > 0 .

L e t u s n o t e t h a t o n e o f t h e t w o l o c a t i o n i n v a r i a n t s o f l o c a t i o n 3 , n a m e l y

q

C

? E 0 e x p l i c i t l y d e p e n d s o n t h e e x t e r n a l c o n t i n u o u s v a r i a b l e E . T h u s

t h e e x a m p l e t s i n t o t h e g e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l , b u t n o t i n t h e

h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l o f D e n i t i o n 1 . 2 . 3 . A l s o , n o t e t h a t i t m a k e s s e n s e

t o d e n e t h e c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e o f l o c a t i o n s 3 a n d 4 t o b e g i v e n b y t h e

o n e - d i m e n s i o n a l s p a c e s f ( q

C

;

L

) j

L

= 0 g , r e s p e c t i v e l y f ( q

C

;

L

) j q

C

= 0 g ,

i n a c c o r d a n c e w i t h t h e r e m a r k m a d e b e f o r e t h a t i n s o m e c a s e s i t i s n a t u r a l t o

a l l o w i n t h e ( g e n e r a l i z e d ) h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l f o r d i e r e n t s t a t e s p a c e s

f o r t h e v a r i o u s l o c a t i o n s .

E q u a t i o n s ( 2 . 2 3 ) a n d ( 2 . 2 2 ) p r o v i d e a n ( i n c o m p l e t e ) e v e n t - o w f o r m u l a

d e s c r i p t i o n o f t h e s y s t e m ; i n c o m p l e t e b e c a u s e t h e e v e n t - c l a u s e s c o r r e s p o n d i n g

t o t h e d i o d e h a v e n o t b e e n s p e c i e d . T h e e x a m p l e d e m o n s t r a t e s t h a t t h e

( g e n e r a l i z e d ) h y b r i d a u t o m a t o n m o d e l m a y b e f a r f r o m a n e c i e n t d e s c r i p t i o n

o f a h y b r i d s y s t e m : w h i l e t h e e v e n t - o w m o d e l g i v e n b y ( 2 . 2 3 ) a n d ( 2 . 2 2 )

f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m m o d e l i n g , t h e h y b r i d a u t o m a t o n r e p r e s e n t a t i o n o f

t h i s s i m p l e e x a m p l e a l r e a d y b e c o m e s i n v o l v e d .

2 . 2 . 1 4 C o n s t r a i n e d p e n d u l u m

T h i s e x a m p l e , w h i c h h a s b e e n e x t e n s i v e l y d i s c u s s e d i n 2 7 ] , i s u s e d h e r e t o

i l l u s t r a t e t h a t t h e c h o i c e o f s t a t e s p a c e v a r i a b l e s m a y b e c r u c i a l f o r t h e c o m -

p l e x i t y o f t h e r e s u l t i n g h y b r i d s y s t e m d e s c r i p t i o n .

1

C o n s i d e r a m a t h e m a t i c a l

p e n d u l u m w i t h l e n g t h l t h a t h i t s a p i n s u c h t h a t t h e c o n s t r a i n e d p e n d u l u m

h a s l e n g t h l

c

, c f . F i g u r e 2 . 1 1 . T a k i n g a s c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e v a r i a b l e s

1

T h i s p o i n t w a s k i n d l y b r o u g h t t o o u r a t t e n t i o n b y P . C . B r e e d v e l d .



2 . 2 . E x a m p l e s 5 5 0000000000001111111111110000000011111111000000111111 p i n

p i n

̀

̀

c

F i g u r e 2 . 1 1 : P e n d u l u m c o n s t r a i n e d b y a p i n

x = ( ; v ) , w h e r e v i s t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e e n d o f t h e p e n d u l u m , w e

o b t a i n a h y b r i d s y s t e m w i t h t w o l o c a t i o n s ( u n c o n s t r a i n e d a n d c o n s t r a i n e d ) .

T h e u n c o n s t r a i n e d d y n a m i c s , v a l i d f o r

p i n

, i s g i v e n b y

_

=

1

l

v

_v = ? g s i n ? v

( 2 . 2 4 )

f o r s o m e f r i c t i o n c o e c i e n t . T h e c o n s t r a i n e d d y n a m i c s , v a l i d f o r

p i n

,

i s g i v e n b y t h e s a m e e q u a t i o n s w i t h l r e p l a c e d b y l

c

. I t i s i m m e d i a t e l y s e e n

t h a t t h e r e a r e n o j u m p s i n t h e c o n t i n u o u s s t a t e v e c t o r x a t t h e e v e n t t i m e s .

I n s t e a d t h e r e i s o n l y a d i s c o n t i n u i t y i n t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e d i e r e n t i a l

e q u a t i o n c a u s e d b y t h e c h a n g e f r o m l t o l

c

, o r v i c e v e r s a .

O n t h e o t h e r h a n d , i f w e w o u l d t a k e a s c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e v a r i a b l e s

a n d

_

, t h e n a t t h e m o m e n t t h a t t h e s w i n g i n g p e n d u l u m h i t s t h e p i n , t h e r e i s

a j u m p i n t h e s e c o n d s t a t e s p a c e v a r i a b l e f r o m

_

t o

l

l

c

_

, a n d c o n v e r s e l y , i f t h e

p e n d u l u m s w i n g s b a c k f r o m t h e c o n s t r a i n e d m o v e m e n t t o t h e u n c o n s t r a i n e d

m o v e m e n t t h e r e i s a j u m p f r o m

_

t o

l

c

l

_

.

C l e a r l y t h e r e s u l t i n g h y b r i d d e s c r i p t i o n i s m o r e c o m p l e x f r o m t h e h y b r i d

s y s t e m s p o i n t o f v i e w t h a n t h e ( e q u i v a l e n t ! ) d e s c r i p t i o n g i v e n b e f o r e . O n t h e

o t h e r h a n d , f r o m a p h y s i c a l m o d e l i n g p o i n t o f v i e w t h e o c c u r r e n c e o f j u m p s d u e

t o t h e \ c o l l i s i o n " o f t h e r o p e w i t h t h e p i n i s r a t h e r n a t u r a l , w h i l e t h e \ s m a r t "

c h o i c e o f t h e c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e s i n t h e r s t d e s c r i p t i o n e l i m i n a t e s i n

s o m e w a y t h e s e j u m p s .

2 . 2 . 1 5 D e g e n e r a t e V a n d e r P o l o s c i l l a t o r

I n t h i s e x a m p l e ( t a k e n f r o m 1 3 6 ] ) w e i n d i c a t e t h a t s y s t e m s d e s c r i b e d b y

d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s m a y e x h i b i t j u m p f e a t u r e s , w h i c h c o u l d m o -

t i v a t e a d e s c r i p t i o n a s a h y b r i d s y s t e m . C o n s i d e r a d e g e n e r a t e f o r m o f t h e




v a n d e r P o l o s c i l l a t o r c o n s i s t i n g o f a 1 - F c a p a c i t o r i n p a r a l l e l w i t h a n o n l i n e a r

r e s i s t o r w i t h a s p e c i c c h a r a c t e r i s t i c :

_v = i

v =

?

1

3

i

3

+ i :

( 2 . 2 5 )

T h e s e e q u a t i o n s a r e i n t e r p r e t e d a s a n i m p l i c i t l y d e n e d d y n a m i c s o n t h e o n e -

d i m e n s i o n a l c o n s t r a i n t s u b m a n i f o l d C i n ( v ; i ) s p a c e g i v e n b y

C = f ( v ; i ) j v = ?

1

3

i

3

+ i g :

D i c u l t i e s i n t h i s i n t e r p r e t a t i o n a r i s e i n t h e p o i n t s ( ? 1 ; ?

2

3

) a n d ( 1 ;

2

3

) . A t

t h e s e p o i n t s _v i s n e g a t i v e , r e s p e c t i v e l y p o s i t i v e , w h i l e t h e c o r r e s p o n d i n g t i m e -

d e r i v a t i v e o f i i n t h e s e p o i n t s i s p o s i t i v e , r e s p e c t i v e l y n e g a t i v e . H e n c e , b e c a u s e

o f t h e f o r m o f t h e c o n s t r a i n t m a n i f o l d C i t i s n o t p o s s i b l e t o \ i n t e g r a t e " t h e

d y n a m i c s f r o m t h e s e p o i n t s i n a c o n t i n u o u s m a n n e r a l o n g C .

I n s t e a d i t h a s b e e n s u g g e s t e d i n 1 3 6 ] ( s e e t h i s p a p e r f o r o t h e r r e l a t e d

r e f e r e n c e s ) t h a t a s u i t a b l e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e d y n a m i c s f r o m t h e s e s i n g u l a r

p o i n t s i s g i v e n b y t h e f o l o w i n g j u m p r u l e s :

( ? 1 ; ?

2

3

) ! ( 2 ; ?

2

3

)

( 1 ;

2

3

) ! ( ? 2 ;

2

3

)

( 2 . 2 6 )

A l t e r n a t i v e l y , t h e r e s u l t i n g s y s t e m c a n b e d e s c r i b e d a s a h y b r i d s y s t e m w i t h

t w o l o c a t i o n s w i t h c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e s b o t h g i v e n b y C a n d d y n a m i c s

d e s c r i b e d b y ( 2 . 2 5 ) , w i t h l o c a t i o n i n v a r i a n t s i ? 1 , r e s p e c t i v e l y i 1 , a n d

j u m p r e l a t i o n s g i v e n b y ( 2 . 2 6 ) .


T h e c h o i c e o f t h e e x a m p l e s i n t h i s c h a p t e r c l e a r l y r e e c t s t h e i n t e r e s t s a n d b i a s

o f t h e a u t h o r s o f t h i s t e x t . A w e a l t h o f d i e r e n t e x a m p l e s o f h y b r i d s y s t e m s

c a n b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e , s e e i n p a r t i c u l a r t h e p r o c e e d i n g s 5 8 ] , 5 ] , 3 ] ,

1 0 0 ] , 6 ] , 1 3 7 ] , 1 5 3 ] , a s w e l l a s t h e j o u r n a l s p e c i a l i s s u e s 7 ] a n d 1 1 6 ] . F o r

f u r t h e r e x a m p l e s a n d r e f e r e n c e s i n t h e c o n t e x t o f m e c h a n i c a l p r o b l e m s , a n

e x c e l l e n t s o u r c e i s 3 1 ] .



C h a p t e r 3

V a r i a b l e - s t r u c t u r e s y s t e m s

D i s c o n t i n u o u s d y n a m i c a l s y s t e m s h a v e b e e n a n o b j e c t o f s y s t e m a t i c s t u d y i n

t h e f o r m e r S o v i e t U n i o n a n d o t h e r E a s t e r n E u r o p e a n c o u n t r i e s f o r a l o n g p e -

r i o d s t a r t i n g i n t h e l a t e 1 9 4 0 s . M u c h o f t h e t h e o r y h a s b e e n d e v e l o p e d i n c l o s e

c o n n e c t i o n w i t h c o n t r o l t h e o r y , w h i c h h a s p r o v i d e d m a n y m o t i v a t i n g e x a m -

p l e s s u c h a s r e l a y c o n t r o l s a n d b a n g - b a n g c o n t r o l s i n s h o r t e s t - t i m e p r o b l e m s .

S y s t e m a t i c e x p o s i t i o n s o f t h e r e s u l t s o f t h i s r e s e a r c h a r e a v a i l a b l e i n a n u m -

b e r o f t e x t b o o k s , f o r i n s t a n c e t h e o n e s b y A n d r o n o v e t a l . 4 ] , T s y p k i n 1 5 0 ] ,

U t k i n 1 5 2 ] , a n d F i l i p p o v 5 4 ] . H e r e w e s h a l l n o t a t t e m p t t o s u m m a r i z e a l l t h i s

w o r k ; i n s t e a d w e c o n c e n t r a t e o n t h e s o l u t i o n c o n c e p t f o r d i s c o n t i n u o u s d y n a m -

i c a l s y s t e m s , a n d m o r e s p e c i c a l l y o n t h e s o - c a l l e d \ s l i d i n g m o d e " . W e f o l l o w

m a i n l y F i l i p p o v ' s b o o k . W e d o n o t a i m f o r t h e g r e a t e s t p o s s i b l e g e n e r a l i t y ; i n

p a r t i c u l a r w e l i m i t o u r s e l v e s t o s y s t e m s w i t h c o n s t a n t p a r a m e t e r s .

3 . 1 D i s c o n t i n u o u s d y n a m i c a l s y s t e m s

A t y p i c a l e x a m p l e o f t h e t y p e o f s y s t e m s c o n s i d e r e d b y F i l i p p o v c a n b e c o n -

s t r u c t e d a s f o l l o w s . L e t S

0

b e a s u r f a c e i n n - d i m e n s i o n a l s p a c e , b y w h i c h w e

m e a n t h a t S

0

i s a ( n ? 1 ) - d i m e n s i o n a l d i e r e n t i a b l e m a n i f o l d d e t e r m i n e d a s

t h e n u l l s e t o f a s m o o t h r e a l - v a l u e d f u n c t i o n o n R

n

. T h e s e t o f a l l x f o r

w h i c h ( x ) i s p o s i t i v e ( n e g a t i v e ) w i l l b e d e n o t e d b y S

+

( S

?

) . L e t f

+

b e a

c o n t i n u o u s f u n c t i o n d e n e d o n S

+

S

0

, l e t f

?

b e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n d e n e d

o n S

?

S

0

, a n d l e t f b e t h e f u n c t i o n d e n e d o n S

+

S

?

b y f ( x ) = f

+

( x )

f o r x 2 S

+

a n d f ( x ) = f

?

( x ) f o r x 2 S

?

. I t i s n o t r e q u i r e d t h a t t h e f u n c t i o n s

f

+

a n d f

?

a g r e e o n S

0

, s o t h a t i n g e n e r a l t h e f u n c t i o n f c a n n o t b e e x t e n d e d

t o a c o n t i n u o u s f u n c t i o n d e n e d o n a l l o f R

n

. N o w c o n s i d e r t h e d i e r e n t i a l

e q u a t i o n

_x ( t ) = f ( x ( t ) ) : ( 3 . 1 )

H e r e w e h a v e a d y n a m i c s y s t e m w h o s e d y n a m i c s c h a n g e s a b r u p t l y w h e n t h e

s t a t e v e c t o r c r o s s e s t h e s w i t c h i n g s u r f a c e S

0

. I n a c o n t r o l c o n t e x t , s u c h a s i t -

u a t i o n c o u l d o c c u r a s a r e s u l t o f a g a i n s c h e d u l i n g c o n t r o l l a w w h i c h s w i t c h e s

f r o m o n e f e e d b a c k t o a n o t h e r w h e n a c e r t a i n f u n c t i o n o f t h e s t a t e v a r i a b l e s

c r o s s e s a c e r t a i n t h r e s h o l d . I n g e n e r a l i t c a n n o t b e e x p e c t e d t h a t s t a t e t r a -

j e c t o r i e s a r e d i e r e n t i a b l e a t p o i n t s w h e r e t h e b o u n d a r y i s c r o s s e d , a n d s o i t

5 7



5 8 C h a p t e r 3 . V a r i a b l e - s t r u c t u r e s y s t e m s

w o u l d b e t o o m u c h t o r e q u i r e t h e v a l i d i t y o f ( 3 . 1 ) f o r a l l t . O n e p o s s i b l e w a y

o u t i s t o r e p l a c e t h e e q u a t i o n ( 3 . 1 ) b y t h e i n t e g r a l f o r m

x ( t ) = x ( 0 ) +

Z

t

0

f ( x ( s ) ) d s ( 3 . 2 )

w h i c h d o e s n ' t r e q u i r e t h e t r a j e c t o r y x ( ) t o b e d i e r e n t i a b l e . W h e n d i e r e n t i a l

e q u a t i o n s a r e i n t e r p r e t e d i n t h i s w a y t h e y a r e s o m e t i m e s c a l l e d C a r a t h e o d o r y

e q u a t i o n s . T h e i n t e r p r e t a t i o n ( 3 . 2 ) a l s o o b v i a t e s t h e n e e d f o r s p e c i f y i n g t h e

v a l u e o f f o n t h e s u r f a c e S

0

, a t l e a s t f o r c a s e s i n w h i c h s o l u t i o n s a r r i v e a t t h i s

s u r f a c e f r o m o n e s i d e a n d l e a v e i t i m m e d i a t e l y o n t h e o t h e r s i d e .

W h e t h e r o r n o t w e d o h a v e s o l u t i o n s t h a t c r o s s t h e s w i t c h i n g s u r f a c e i n s t a n -

t a n e o u s l y d e p e n d s o n t h e v e c t o r e l d s d e t e r m i n e d b y f

+

a n d f

?

. C o n s i d e r a

p o i n t x

0

o n t h e s w i t c h i n g s u r f a c e S

0

. A t t h i s p o i n t w e h a v e t w o v e c t o r s f

+

( x

0

)

a n d f

?

( x

0

) . I n t e r m s o f t h e s e v e c t o r s a n d t h e i r r e l a t i o n t o t h e t a n g e n t s p a c e

o f t h e s u r f a c e S

0

a t t h e p o i n t x

0

w e c a n d i s t i n g u i s h t h e f o l l o w i n g f o u r m a i n

c a s e s .

( i ) B o t h v e c t o r s p o i n t i n s i d e S

+

. I n t h i s c a s e , s t a t e t r a j e c t o r i e s c a n o n l y

a r r i v e a t x

0

f r o m S

?

, a n d w i l l c o n t i n u e i n S

+

. T h e C a r a t h e o d o r y i n t e r -

p r e t a t i o n i s s u c i e n t .

( i i ) B o t h v e c t o r s p o i n t i n s i d e S

?

; t h i s i s a n a l o g o u s t o c a s e ( i ) .

( i i i ) T h e v e c t o r f

+

( x

0

) p o i n t s i n s i d e S

+

a n d t h e v e c t o r f

?

( x

0

) p o i n t s i n s i d e

S

?

. I n t h i s c a s e x

0

c a n n o t b e r e a c h e d b y t r a j e c t o r i e s o f ( 3 . 1 ) . I f x

0

i s

t a k e n a s a n i n i t i a l c o n d i t i o n , t h e r e a r e t w o p o s s i b l e s o l u t i o n s t o ( 3 . 2 ) .

( i v ) T h e v e c t o r f

+

( x

0

) p o i n t s i n s i d e S

?

a n d t h e v e c t o r f

?

( x

0

) p o i n t s i n s i d e

S

+

. I n t h i s c a s e t h e C a r a t h e o d o r y i n t e r p r e t a t i o n d o e s n o t g i v e u s a

u s a b l e s o l u t i o n c o n c e p t .

F i l i p p o v i s m a i n l y c o n c e r n e d w i t h s i t u a t i o n s i n w h i c h c a s e ( i v ) o c c u r s . I t

c a n b e a r g u e d t h a t i t i s p h y s i c a l l y m e a n i n g f u l t o t r y t o d e v e l o p a l s o a s o l u t i o n

c o n c e p t f o r t h i s c a s e . F o r i n s t a n c e , i t m a y b e t h a t t h e f u n c t i o n f i s a s i m p l i e d

v e r s i o n o f a n o t h e r f u n c t i o n

~

f t h a t i s n o t a c t u a l l y d i s c o n t i n u o u s a c r o s s t h e

s w i t c h i n g s u r f a c e , b u t t h a t c h a n g e s i n a s t e e p g r a d i e n t f r o m f

+

o n o n e s i d e t o

f

?

o n t h e o t h e r s i d e o f S

0

. T h e s o l u t i o n s o f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n _x =

~

f ( x )

w i l l i n c a s e ( i v ) t e n d t o f o l l o w t h e s w i t c h i n g s u r f a c e s i n c e t h e y a r e \ p u s h e d "

o n t o S

0

f r o m b o t h s i d e s . I n a n o t h e r i n t e r p r e t a t i o n , s u p p o s e t h a t t h e t r a n s i t i o n

f r o m t h e r e g i m e d e s c r i b e d b y f

+

t o t h e o n e d e s c r i b e d b y f

?

i s c a u s e d b y

a s w i t c h i n g c o n t r o l l e r t h a t m o n i t o r s t h e s i g n o f ( x ( t ) ) . F o r a n u m b e r o f

p r a c t i c a l r e a s o n s , s w i t c h i n g w i l l n o t o c c u r e x a c t l y w h e n ( x ( t ) ) c r o s s e s t h e

z e r o v a l u e , b u t a t s o m e n e a r b y i n s t a n t o f t i m e . I n c a s e ( i v ) t h e r e s u l t w i l l b e a

\ c h a t t e r i n g " b e h a v i o r i n w h i c h t h e s y s t e m s w i t c h e s q u i c k l y f r o m o n e d y n a m i c s

t o t h e o t h e r a n d b a c k a g a i n . A l s o i n t h i s w a y a m o t i o n w i l l r e s u l t w h i c h w i l l

t a k e p l a c e m o r e o r l e s s a l o n g t h e s w i t c h i n g s u r f a c e . S o o n t h e o n e h a n d t h e r e

a r e g o o d r e a s o n s t o a l l o w f o r s o l u t i o n s a l o n g t h e s w i t c h i n g s u r f a c e i n c a s e s



3 . 2 . S o l u t i o n c o n c e p t s 5 9

o f t y p e ( i v ) , o n t h e o t h e r h a n d s e v e r a l d i e r e n t p h y s i c a l m e c h a n i s m s m a y b e

a t w o r k , a n d o n e c a n a l s o s a y t h a t t h e s i t u a t i o n i s p e r h a p s n o t c o m p l e t e l y

s p e c i e d b y t h e t w o f u n c t i o n s f

+

o n S

+

a n d f

?

o n S

?

. T h e r e f o r e F i l i p p o v

a c t u a l l y d i s c u s s e s s e v e r a l d i e r e n t s o l u t i o n c o n c e p t s .

3 . 2 S o l u t i o n c o n c e p t s

L e t u s r s t l o o k a t w h a t F i l i p p o v c a l l s t h e s i m p l e s t c o n v e x d e n i t i o n . T a k e

t h e s i t u a t i o n o f c a s e ( i v ) ; s o c o n s i d e r a p o i n t x

0

o n t h e s w i t c h i n g s u r f a c e , a n d

s u p p o s e t h a t t h e v e c t o r s f

+

( x

0

) a n d f

?

( x

0

) p o i n t i n s i d e S

?

a n d S

+

r e s p e c -

t i v e l y . S i n c e t h e s e t w o v e c t o r s a r e a t d i e r e n t s i d e s o f t h e t a n g e n t s p a c e o f

S

0

a t x

0

, t h e r e m u s t b e a c o n v e x c o m b i n a t i o n o f t h e m w h i c h l i e s i n t h e t a n -

g e n t s p a c e . D e n o t e t h e v e c t o r o b t a i n e d i n t h i s w a y b y f

0

( x

0

) . R e p e a t i n g t h e

c o n s t r u c t i o n f o r p o i n t s x o n S

0

i n a n e i g h b o r h o o d o f x

0

, w e o b t a i n a f u n c t i o n

f

0

( x ) d e n e d o n S

0

a t l e a s t i n a n e i g h b o r h o o d o f x

0

, a n d h a v i n g t h e p r o p e r t y

t h a t t h e v e c t o r f

0

( x ) a l w a y s p o i n t s i n t h e t a n g e n t s p a c e o f S

0

a t x . T h e r e f o r e ,

t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n _x = f

0

( x ) c a n b e u s e d t o d e n e a m o t i o n o n S

0

w h i c h

i s c a l l e d a s l i d i n g m o t i o n . T h e c o n c e p t o f s o l u t i o n i s n o w e x t e n d e d t o i n c l u d e

t h i s t y p e o f m o t i o n a s w e l l .

T h e s e c o n d n o t i o n o f s o l u t i o n d i s c u s s e d b y F i l i p p o v u s e s t h e s o - c a l l e d e q u i v -

a l e n t c o n t r o l m e t h o d . F o r t h e a p p l i c a t i o n o f t h i s m e t h o d , t h e f u n c t i o n f i s

s u p p o s e d t o b e o f t h e f o r m f ( x ; u ( x ) ) w h e r e u ( x ) i s a m u l t i v a l u e d f u n c t i o n

t h a t i s i n f a c t s i n g l e - v a l u e d o n S

+

S

?

b u t t h a t h a s a r a n g e o f v a l u e s U ( x ) f o r

x 2 S

0

. T h e s e t U ( x ) i s a c l o s e d i n t e r v a l . I n t h e s i t u a t i o n o f c a s e ( i v ) a b o v e ,

a n \ e q u i v a l e n t c o n t r o l " u

e q

( x ) i s s o u g h t f o r x 2 S

0

s u c h t h a t f ( x ; u

e q

( x ) ) i s

t a n g e n t t o S

0

a n d u

e q

( x ) 2 U ( x ) . T h e m o t i o n g i v e n b y _x = f ( x ; u

e q

( x ) ) , w h i c h

i s a m o t i o n a l o n g t h e s l i d i n g s u r f a c e a s i n t h e c a s e o f t h e s i m p l e s t c o n v e x d e f -

i n i t i o n , i s t h e n u s e d t o d e n e a n o t i o n o f s o l u t i o n . T h e r e s u l t i n g m o t i o n m a y

b e q u i t e d i e r e n t f r o m t h e o n e p r o d u c e d b y t h e r s t d e n i t i o n ; s e e E x a m p l e s

3 . 2 . 1 a n d 3 . 2 . 2 b e l o w .

F i l i p p o v a l s o c o n s i d e r s a t h i r d d e n i t i o n . T h i s d e n i t i o n a g a i n s t a r t s f r o m

t h e f o r m u l a t i o n _x = f ( x ; u ( x ) ) w i t h u ( x ) 2 U ( x ) , w h e r e U ( x ) i s a s i n g l e p o i n t

f o r x 2 S

+

S

?

a n d i s a c l o s e d i n t e r v a l f o r x 2 S

0

. F o r g i v e n x

0

, l e t F ( x

0

)

d e n o t e t h e s m a l l e s t c o n v e x s e t c o n t a i n i n g f f ( x

0

; u ) j u 2 U ( x

0

) g . W e c a n n o w

c o n s i d e r t h e d i e r e n t i a l i n c l u s i o n _x ( t ) 2 F ( x ( t ) ) . A w a y f r o m t h e s w i t c h i n g

s u r f a c e , t h i s i n c l u s i o n i s i n f a c t a s t a n d a r d d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n c e F ( x )

t h e n c o n s i s t s o f o n l y a s i n g l e p o i n t . O n t h e s w i t c h i n g s u r f a c e , t h e r e q u i r e m e n t

_x ( t ) 2 F ( x ( t ) ) l e a v e s c o n s i d e r a b l e l a t i t u d e ; h o w e v e r , s o l u t i o n t r a j e c t o r i e s m u s t

s t i l l f o l l o w t h e s w i t c h i n g m a n i f o l d i n t h e n e i g h b o r h o o d o f p o i n t s w h e r e c a s e

( i v ) a p p l i e s , b e c a u s e s o l u t i o n s t h a t e n t e r e i t h e r S

+

o r S

?

a r e n o t p o s s i b l e .

I n c a s e f ( x ; u ) d e p e n d s a n e l y o n u a n d t h e i n t e r v a l U ( x

0

) i s u

+

; u

?

] w i t h

u

+

= l i m

x 2 S

+

; x ! x

0

u ( x ) a n d u

?

d e n e d l i k e w i s e , a l l s o l u t i o n c o n c e p t s a r e t h e

s a m e . I n o t h e r c a s e s h o w e v e r , t h e t h i r d d e n i t i o n d o e s n o t u n i q u e l y d e t e r m i n e

t h e v e l o c i t y o f t h e m o t i o n a l o n g t h e s w i t c h i n g s u r f a c e . T h e i n d e t e r m i n i s m

t h a t i s i n t r o d u c e d t h i s w a y m a y b e v i e w e d a s a w a y o f a v o i d i n g t h e c h o i c e




b e t w e e n t h e o t h e r t w o s o l u t i o n c o n c e p t s . S u c h a c o n s e r v a t i v e s t a n c e c a n b e

w e l l - m o t i v a t e d i n a v e r i c a t i o n a n a l y s i s i n w h i c h o n e w o u l d l i k e t o b u i l d i n a

d e g r e e o f r o b u s t n e s s a g a i n s t m o d e l m i s s p e c i c a t i o n . F r o m a p o i n t o f v i e w o f

s i m u l a t i o n h o w e v e r , o n e w o u l d r a t h e r w o r k w i t h u n i q u e l y d e n e d t r a j e c t o r i e s .

I t m i g h t b e t a k e n a s a n o b j e c t i o n a g a i n s t t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d

t h a t i t r e q u i r e s t h e m o d e l e r t o s p e c i f y a f u n c t i o n f ( x ; u ) a n d a f u n c t i o n u ( x )

o n S

+

S

?

t o g e t h e r w i t h a c l o s e d i n t e r v a l U ( x ) f o r x 2 S

0

; i n t h i s w a y , t h e

m o d e l e r i s f o r c e d i n t o d e c i s i o n s t h a t h e o r s h e w o u l d p e r h a p s p r e f e r t o a v o i d .

T h e s i m p l e c o n v e x d e n i t i o n o n l y r e q u i r e s t h e s p e c i c a t i o n o f f u n c t i o n s f

+

o n

S

+

S

0

a n d f

?

o n S

?

S

0

. I t m a y b e a r g u e d h o w e v e r t h a t a s s u m i n g t h e

s i m p l e d e n i t i o n c o m e s d o w n t o m a k i n g a p a r t i c u l a r c h o i c e f o r t h e f u n c t i o n s

f ( x ; u ) a n d u ( x ) t h a t a r e u s e d i n t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d . F o r t h i s

p u r p o s e , a s s u m e t h a t t h e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f

+

a n d f

?

d e n e d o n S

+

S

0

a n d S

?

S

0

r e s p e c t i v e l y a r e e x t e n d e d i n s o m e a r b i t r a r y w a y t o c o n t i n u o u s

f u n c t i o n s t o a l l o f R

n

. I f w e n o w d e n e f ( x ; u ) b y

f ( x ; u ) =

1

2

( 1 + u ) f

+

( x ) +

1

2

( 1 ? u ) f

?

( x ) ( 3 . 3 )

t h e n f i s c o n t i n u o u s a s a f u n c t i o n o f x a n d u . F u r t h e r m o r e d e n e u ( x ) =

s g n ( ( x ) ) , w h e r e s g n i s t h e m u l t i v a l u e d f u n c t i o n d e n e d b y ( 1 . 1 3 ) . N o t e t h a t

f ( x ; u ) i s a n e i n x . I t i s e a s i l y v e r i e d t h a t t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d

a n d t h e t h i r d d e n i t i o n n o w b o t h g e n e r a t e s o l u t i o n s t h a t c o i n c i d e w i t h t h e

o n e s o b t a i n e d f r o m t h e s i m p l e c o n v e x d e n i t i o n .

T o i l l u s t r a t e t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d a n d t h e

s i m p l e s t c o n v e x d e n i t i o n , w e p r e s e n t t h e f o l l o w i n g t w o e x a m p l e s .

E x a m p l e 3 . 2 . 1 . T h i s e x a m p l e i s t a k e n f r o m 1 0 9 ] . L e t a s y s t e m b e g i v e n b y

_x

1

= c o s u ; _x

2

= ? s i n u ; y = x

2

; u = s g n y : ( 3 . 4 )

B o t h f o r x

2

> 0 a n d f o r x

2

< 0 t h e r i g h t h a n d s i d e i s c o n s t a n t a n d s o t h e

s y s t e m a b o v e c o u l d b e c a l l e d a \ p i e c e w i s e c o n s t a n t s y s t e m " . T h e t r a j e c t o r i e s

a r e s t r a i g h t l i n e s i m p i n g i n g o n t h e x

1

- a x i s a t a n a n g l e d e t e r m i n e d b y t h e

p a r a m e t e r w h i c h i s c h o s e n f r o m ( 0 ; ) . A l o n g t h e x

1

- a x i s , a s l i d i n g m o d e i s

p o s s i b l e . T h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d a p p l i e d t o ( 3 . 4 ) d e t e r m i n e s u s u c h

t h a t _x

2

= ? s i n u = 0 ; o b v i o u s l y t h i s r e q u i r e s u = 0 s o t h a t t h e s l i d i n g

m o d e i s g i v e n b y _x

1

= 1 . I f o n e w o u l d t a k e t h e s i m p l e s t c o n v e x d e n i t i o n ,

o n e w o u l d l o o k f o r a c o n v e x c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s c o l ( c o s ; ? s i n ) a n d

c o l ( c o s ; s i n ) s u c h t h a t t h e s e c o n d c o m p o n e n t v a n i s h e s . T h e r e i s o n e s u c h

c o n v e x c o m b i n a t i o n , n a m e l y

c o l ( c o s ; 0 ) =

1

2

c o l ( c o s ; ? s i n ) +

1

2

c o l ( c o s ; s i n ) :

I n t h i s c a s e t h e s l i d i n g m o d e i s g i v e n b y _x

1

= c o s . T h e q u e s t i o n w h i c h o f

t h e t w o s l i d i n g m o d e s i s t h e \ c o r r e c t " o n e h a s n o g e n e r a l a n s w e r ; d i e r e n t

a p p r o x i m a t i o n s o f t h e r e l a y c h a r a c t e r i s t i c m a y l e a d t o d i e r e n t s l i d i n g m o d e s .

T h e t h i r d d e n i t i o n l e a d s t o t h e d i e r e n t i a l i n c l u s i o n _x

1

2 c o s ; 1 ] .



3 . 2 . S o l u t i o n c o n c e p t s 6 1

L e t u s n o w c o n s i d e r a s m o o t h a p p r o x i m a t i o n a s w e l l a s a c h a t t e r i n g a p -

p r o x i m a t i o n t o t h e s l i d i n g m o d e . I n t h e s m o o t h a p p r o x i m a t i o n , w e a s s u m e

t h a t t h e r e i s a v e r y q u i c k b u t c o n t i n u o u s t r a n s i t i o n f r o m t h e v e c t o r e l d o n

o n e s i d e o f t h e s w i t c h i n g s u r f a c e t o t h e v e c t o r e l d o n t h e o t h e r s i d e . T h i s

m a y b e e e c t u a t e d b y r e p l a c i n g t h e r e l a t i o n u = s g n y b y a s i g m o i d - t y p e

f u n c t i o n , f o r i n s t a n c e

u = t a n h ( y = " ) ( 3 . 5 )

w h e r e " i s a s m a l l p o s i t i v e n u m b e r . D o i n g t h i s f o r ( 3 . 4 ) w e g e t t h e s m o o t h

d y n a m i c a l s y s t e m

_x

1

= c o s ( t a n h x

2

) ; _x

2

=

? s i n ( t a n h x

2

) ( 3 . 6 )

w h o s e t r a j e c t o r i e s a r e v e r y s i m i l a r t o t h o s e o f ( 3 . 4 ) a t l e a s t o u t s i d e a s m a l l b a n d

a l o n g t h e s w i t c h i n g c u r v e x

2

= 0 . T h e s y s t e m ( 3 . 6 ) h a s s o l u t i o n s x

1

( t ) = t + c ,

x

2

( t ) = 0 w h i c h s a t i s f y t h e e q u a t i o n s o f t h e s l i d i n g m o d e a c c o r d i n g t o t h e

e q u i v a l e n t c o n t r o l d e n i t i o n .

C o n s i d e r n e x t t h e c h a t t e r i n g a p p r o x i m a t i o n . A g a i n w e c h o o s e a s m a l l

p o s i t i v e n u m b e r " , a n d w e d e n e a \ c h a t t e r i n g s y s t e m " b y t h e e v e n t - o w

f o r m u l a

P = u p ; _x

1

= c o s ; _x

2

= ? s i n ; x

2

? "

P = d o w n ; _x

1

= c o s ; _x

2

= s i n ; x

2

"

x

2

= ? " ; P

?

= u p ; P

+

= d o w n

x

2

= " ; P

?

= d o w n ; P

+

= u p :

( 3 . 7 )

T h e t r a j e c t o r i e s o f t h i s s y s t e m a r e e x a c t l y t h e s a m e a s t h o s e o f t h e o r i g i n a l

s y s t e m ( 3 . 4 ) e x c e p t i n a b a n d o f w i d t h 2 " a r o u n d t h e s w i t c h i n g c u r v e . F o r

s m a l l " t h e s y s t e m ( 3 . 7 ) h a s s o l u t i o n s t h a t a r e c l o s e t o t r a j e c t o r i e s o f t h e f o r m

x

1

( t ) = t c o s + c , x

2

( t ) = 0 . T h e s e t r a j e c t o r i e s s a t i s f y t h e e q u a t i o n s o f t h e

s l i d i n g m o d e a c c o r d i n g t o t h e s i m p l e s t c o n v e x d e n i t i o n .

I t m a y b e n o t e d t h a t ( 3 . 6 ) i s n o t t h e o n l y p o s s i b l e s m o o t h a p p r o x i m a t i o n

t o ( 3 . 4 ) ; a n o t h e r p o s s i b i l i t y i s f o r i n s t a n c e

_x

1

= c o s ; _x

2

= ? t a n h ( x

2

= " ) s i n : ( 3 . 8 )

T h e t r a j e c t o r i e s o f t h i s s y s t e m a r e a r b i t r a r i l y c l o s e t o t h o s e o f ( 3 . 4 ) o u t s i d e a

b a n d a r o u n d t h e s w i t c h i n g c u r v e i f " i s t a k e n s m a l l e n o u g h . T h e s y s t e m ( 3 . 8 )

h a s s o l u t i o n s o f t h e f o r m x

1

( t ) = t c o s + c , x

2

( t ) = 0 w h i c h c o n f o r m t o t h e

e q u a t i o n s o f t h e s l i d i n g m o d e a c c o r d i n g t o t h e s i m p l e s t c o n v e x d e n i t i o n .

T h e s o l u t i o n a c c o r d i n g t o t h e s i m p l e s t c o n v e x d e n i t i o n c a n b e o b t a i n e d

a s a n e q u i v a l e n t c o n t r o l s o l u t i o n i f w e r e p l a c e t h e e q u a t i o n s ( 3 . 4 ) b y

_x

1

= c o s ; _x

2

= ? u s i n ; y = x

2

; u = s g n y : ( 3 . 9 )

A c t u a l l y i n t h i s c a s e t h e s m o o t h a p p r o x i m a t i o n a c c o r d i n g t o t h e r e c i p e ( 3 . 5 )

l e a d s t o t h e s y s t e m ( 3 . 8 ) .




E x a m p l e 3 . 2 . 2 . C o n s i d e r n o w t h e s y s t e m

_x

1

( t ) = ? x

1

( t ) + x

2

( t ) ? u ( t ) ( 3 . 1 0 )

_x

2

( t ) = 2 x

2

( t ) ( u

2

( t ) ? u ( t ) ? 1 ) ( 3 . 1 1 )

u ( t ) = s g n x

1

( t ) : ( 3 . 1 2 )

T h e s y s t e m h a s a s l i d i n g m o d e o n t h e i n t e r v a l x

1

= 0 , ? 1 x

2

1 . A c c o r d i n g

t o t h e s i m p l e s t c o n v e x d e n i t i o n , t h e s l i d i n g m o d e i s g i v e n b y

_x

2

= ? 2 x

2

2

( 3 . 1 3 )

w h e r a s a c c o r d i n g t o t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d t h e s l i d i n g m o d e i s g i v e n

b y

_x

2

= 2 x

2

( x

2

2

? x

2

? 1 ) : ( 3 . 1 4 )

T h e t w o d y n a m i c s ( 3 . 1 3 ) a n d ( 3 . 1 4 ) a r e q u i t e d i e r e n t ; ( 3 . 1 3 ) h a s a n u n s t a b l e

e q u i l i b r i u m a t 0 w h e r e a s ( 3 . 1 4 ) h a s t w o e q u i l i b r i a , o f w h i c h t h e o n e a t

1

2

?

1

2

p

5

i s u n s t a b l e a n d t h e o n e a t 0 i s s t a b l e . I n p a r t i c u l a r , s o l u t i o n s o f t h e s y s t e m

( 3 . 1 0 ) i n t h e \ s i m p l e s t c o n v e x " i n t e r p r e t a t i o n a n d i n t h e \ e q u i v a l e n t c o n t r o l "

i n t e r p r e t a t i o n t h a t a r e i d e n t i c a l u n t i l t h e y r e a c h a p o i n t o n t h e x

2

- a x i s w i t h

1

2

?

1

2

p

5 x

2

0 w i l l a f t e r t h i s p o i n t f o l l o w e n t i r e l y d i e r e n t p a t h s . T h e

e q u i v a l e n t c o n t r o l s o l u t i o n w i l l b e r e c o v e r e d b y a s m o o t h i n g a p p r o x i m a t i o n

s u c h a s u = t a n h ( x

1

= " ) , w h e r e a s o t h e r m e t h o d s t h a t a r e b a s e d o n s o m e t y p e

o f s a m p l i n g w i l l f o l l o w t h e s o l u t i o n a c c o r d i n g t o t h e s i m p l e s t c o n v e x d e n i t i o n .

3 . 3 R e f o r m u l a t i o n s

T h e g e n e r a l i t y i n t h e f o r m u l a t i o n o f t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d m a y b e

r e d u c e d s o m e w h a t w i t h o u t l o s s o f e x p r e s s i v e p o w e r . A s a b o v e , l e t u

+

a n d u

?

b e e x t e n d e d a r b i t r a r i l y t o c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n a l l o f R

n

. I n t r o d u c e a n e w

v a r i a b l e v , a n d d e n e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n

~

f o f t h e t w o v a r i a b l e s x a n d v b y

~

f ( x ; v ) = f ( x ;

1

2

( 1 ? v ) u

?

( x ) +

1

2

( 1 + v ) u

+

( x ) ) :

G i v e n t h a t f i s c o n t i n u o u s a s a f u n c t i o n o f x a n d u , t h e f u n c t i o n

~

f w i l l b e

c o n t i n u o u s a s a f u n c t i o n o f x a n d v . M o r e o v e r , w e h a v e

~

f ( x ; 1 ) = f ( x ; u

+

( x ) )

a n d

~

f ( x ; ? 1 ) = f ( x ; u

?

( x ) ) . I n t h e m o s t i m p o r t a n t s p e c i a l c a s e i n w h i c h t h e

e n d p o i n t s o f t h e i n t e r v a l U ( x ) f o r x 2 S

0

a r e u

+

( x ) a n d u

?

( x ) , w e c a n s i m p l y

d e n e v ( x ) = s g n ( ( x ) ) t o g e t t h e s a m e s o l u t i o n s t o _x =

~

f ( x ; v ( x ) ) a s o n e

w o u l d g e t f r o m _x = f ( x ; u ( x ) ) a c c o r d i n g t o t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d .

I n F i l i p p o v ' s t r e a t m e n t , t h e w o r d m o d e i s u s e d ( i n t h e t e r m \ s l i d i n g m o d e " )

b u t d i s c o n t i n u o u s s y s t e m s a r e n o t m o d e l e d e x p l i c i t l y a s h y b r i d s y s t e m s . B y

r e w r i t i n g t h e e q u a t i o n s i n t e r m s o f e v e n t - o w f o r m u l a s , m o r e e m p h a s i s i s

p l a c e d o n t h e m u l t i m o d a l a s p e c t s . I n t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d , w e

a r e g i v e n a f u n c t i o n f ( x ; u ) a n d a m u l t i v a l u e d f u n c t i o n u ( x ) . O n S

+

a n d



3 . 4 . S y s t e m s w i t h m a n y r e g i m e s 6 3

S

?

, u i s s i n g l e - v a l u e d ; d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o n s o n S

+

a n d S

?

b y

u

+

a n d u

?

r e s p e c t i v e l y . F o r x 2 S

0

, u c a n t a k e v a l u e s i n a c l o s e d i n t e r v a l

U ( x ) = : u

+

( x ) ; u

?

( x ) ] . I t s e e m s r e a s o n a b l e t o c o n j e c t u r e ( b u t o f c o u r s e i t

n e e d s p r o o f ) t h a t , u n d e r f a i r l y g e n e r a l c i r c u m s t a n c e s , F i l i p p o v ' s s o l u t i o n s a c -

c o r d i n g t o t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l d e n i t i o n c o r r e s p o n d t o t h e c o n t i n u o u s s t a t e

t r a c e s o f t h e s o l u t i o n s i n Z / 1 / C

1 = 0

/ C

0

o f t h e E F F

_x = f ( x ; u ) ; y = ( x )

y > 0 ; u = u

+

( x )

y < 0 ; u = u

?

( x )

y = 0 ; u

?

( x ) u u

+

( x )

( 3 . 1 5 )

F o r t h e s o l u t i o n c o n c e p t c o r r e s p o n d i n g t o t h e s i m p l e c o n v e x d e n i t i o n o n e

w o u l d r a t h e r u s e t h e f o l l o w i n g E F F :

_x =

1

2

( 1 + u ) f

+

( x ) +

1

2

( 1 ? u ) f

?

( x ) ; y = ( x )

y > 0 ; u = 1

y < 0 ; u = ? 1

y = 0 ; ? 1 u 1

( 3 . 1 6 )

T h e t h r e e - t e r m d i s j u n c t i o n i n t h e p a r t s c o r r e s p o n d i n g t o n o n - e v e n t t i m e s i n -

d i c a t e s a s y s t e m w i t h t h r e e m o d e s , o n e c o r r e s p o n d i n g t o m o t i o n i n s i d e S

+

,

a n o t h e r c o r r e s p o n d i n g t o m o t i o n i n s i d e S

?

, a n d a s l i d i n g m o d e . I n t h e s l i d i n g

m o d e , t r a j e c t o r i e s m u s t m o v e a l o n g t h e s w i t c h i n g m a n i f o l d c h a r a c t e r i z e d b y

y = 0 , a n d t h i s m o t i o n m u s t t a k e p l a c e a l o n g a v e c t o r o f t h e f o r m f ( x ; u ) w i t h

u 2 U ( x ) = u

?

( x ) ; u

+

( x ) ] o r a l o n g a s u i t a b l e c o n v e x c o m b i n a t i o n o f v e c t o r s

f

+

( x ) a n d f

?

( x ) . T h e m o t i o n o n S

+

a n d S

?

f o l l o w s t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

_x = f

+

( x ) a n d _x = f

?

( x ) r e s p e c t i v e l y . A l l t h i s i s e x p r e s s e d i n ( 3 . 1 5 ) a n d

( 3 . 1 6 ) .

I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t , a l t h o u g h t h e d e n i t i o n s h a v e b e e n d e s i g n e d

t o a v o i d s o m e o b v i o u s c a s e s o f n o n e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s , n e i t h e r e x i s t e n c e n o r

u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s t o t h e t y p e o f s y s t e m s c o n s i d e r e d i n t h i s s e c t i o n i s

a u t o m a t i c . W e s h a l l c o m e b a c k t o t h i s i s s u e b e l o w .

3 . 4 S y s t e m s w i t h m a n y r e g i m e s

S o f a r w e h a v e b e e n d i s c u s s i n g s i t u a t i o n s i n w h i c h t h e r e i s o n e s u r f a c e t h a t

d e t e r m i n e s t h e v a r i o u s r e g i m e s u n d e r w h i c h t h e s y s t e m c a n e v o l v e . S u c h a

s i t u a t i o n o c c u r s f o r i n s t a n c e w h e n f r i c t i o n a t o n e p o i n t i n a m e c h a n i c a l s y s t e m

i s m o d e l e d b y t h e C o u l o m b f r i c t i o n l a w . O f c o u r s e w e c a n e a s i l y h a v e s i t u a t i o n s

i n w h i c h t h e r e a r e m a n y p o i n t s o f f r i c t i o n a n d t h e n t h e s p a c e t h r o u g h w h i c h




t h e c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e s o f t h e s y s t e m m o v e w i l l b e d i v i d e d i n m a n y

p a r t s e a c h w i t h t h e i r o w n d y n a m i c a l r e g i m e . S u p p o s e t h a t w e h a v e k s u r f a c e s

d e t e r m i n e d b y f u n c t i o n s

1

; : : : ;

k

f r o m R

n

t o R . I n p r i n c i p l e , o n e s h o u l d n o w

a l l o w s l i d i n g m o d e s n o t j u s t a l o n g e a c h o f t h e s u r f a c e s S

i

0

: = f x j

i

( x ) = 0 g

b u t a l s o a l o n g t h e i n t e r s e c t i o n S

i

0

\ S

j

0

o f t w o s u r f a c e s , w h i c h w i l l i n g e n e r a l

b e a m a n i f o l d o f d i m e n s i o n n ? 2 , a s w e l l a s a l o n g t h e i n t e r s e c t i o n o f t h r e e

s u r f a c e s a n d s o o n . T o c r e a t e t h e s e s l i d i n g m o d e s , o n e w i l l i n g e n e r a l n e e d k

i n d e p e n d e n t c o n t r o l v a r i a b l e s , s o t h e g i v e n d y n a m i c s s h o u l d b e o f t h e f o r m

_x = f ( x ; u

1

; : : : ; u

r

)

w i t h r k ; m o r e o v e r , t h e r e s h o u l d b e e n o u g h f r e e d o m i n t h e v a r i a b l e s u

i

( x )

w h e n x i s i n t h e i n t e r s e c t i o n o f s e v e r a l s u r f a c e s S

i

0

t o a l l o w m o t i o n a l o n g

t h e s e i n t e r s e c t i o n s . I f o n e w a n t s t o e n s u r e u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s , t h e n i t

i s n a t u r a l t o l e t r b e e q u a l t o k a n d a l s o t o e s t a b l i s h a o n e - o n e c o n n e c t i o n

b e t w e e n c o n t r o l v a r i a b l e s a n d s u r f a c e s . T h e e x i s t e n c e o f s u c h a c o n n e c t i o n ,

w h i c h t i e s e a c h i n p u t v a r i a b l e u

i

t o a c o r r e s p o n d i n g \ o u t p u t v a r i a b l e " d e n e d

b y y

i

=

i

( x ) , i s a n y w a y n a t u r a l i n a p p l i c a t i o n s s u c h a s r e l a y s y s t e m s a n d

C o u l o m b f r i c t i o n . A n e v e n t - o w f o r m u l a m a y b e w r i t t e n d o w n a s f o l l o w s :

_x = f ( x ; u ) j j

i 2 k

f y

i

=

i

( x ) ; ( y

i

> 0 ; u

i

= u

i +

( x ) ) j

( y

i

< 0 ; u

i

= u

i ?

( x ) ) j ( y

i

= 0 ; u

i ?

( x ) u

i

u

i +

( x ) ) g ( 3 . 1 7 )

w h e r e k d e n o t e s t h e s e t f 1 ; : : : ; k g ; s o l u t i o n s a r e s o u g h t i n a s p a c e w i t h c o n t i n u -

o u s s t a t e t r a j e c t o r i e s . A s a b o v e , i n c a s e u

i +

( x ) = u

i +

( x ) a n d u

i ?

( x ) = u

i ?

( x )

f o r a l l i a n d a l l x 2 S

0

, i t i s p o s s i b l e t o r e w r i t e t h e s y s t e m i n s u c h a w a y t h a t

t h e c o n t r o l v a r i a b l e s a r e r e l a t e d t o t h e o u t p u t v a r i a b l e s

i

( x ) b y t h e s i g n u m

f u n c t i o n s g n . T h e d i s c o n t i n u o u s s y s t e m i s t h e n r e w r i t t e n a s a r e l a y s y s t e m .

I n t h e c a s e o f s e v e r a l c o n t r o l v a r i a b l e s t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e e q u i v a -

l e n t c o n t r o l m e t h o d a n d t h e s i m p l e s t c o n v e x d e n i t i o n c a n b e m o r e c o m p l i -

c a t e d t h a n i n t h e c a s e o f a s i n g l e c o n t r o l v a r i a b l e . C o n s i d e r t h e e x a m p l e

_x = f ( x ; u

1

; u

2

) w i t h u

i

= s g n (

i

( x ) ) f o r i = 1 ; 2 . I f

1

( x ) =

2

( x ) t h e

s t a t e s p a c e i s a c t u a l l y d i v i d e d i n t o t w o p a r t s , a n d t h e d y n a m i c s i s g i v e n b y

_x = f ( x ; 1 ; 1 ) o n o n e s i d e a n d b y _x = f ( x ; ? 1 ; ? 1 ) o n t h e o t h e r s i d e o f t h e

d i v i d i n g s u r f a c e . T h e s i m p l e c o n v e x d e n i t i o n w o u l d r e q u i r e a s l i d i n g m o t i o n

a l o n g t h e s u r f a c e t o b e g e n e r a t e d b y s o m e c o n v e x c o m b i n a t i o n o f t h e t w o v e c -

t o r s f ( x ; 1 ; 1 ) a n d f ( x ; ? 1 ; ? 1 ) , w h e r e a s t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d w o u l d

a l l o w t h e m o t i o n t o b e g e n e r a t e d b y a n a r b i t r a r y v e c t o r o f t h e f o r m f ( x ; u

1

; u

2

)

w i t h

? 1

u

1

1 a n d

? 1

u

2

1 . E v e n i n t h e c a s e i n w h i c h f d e p e n d s

l i n e a r l y o n u

1

a n d u

2

t h e a l l o w e d m o t i o n s a c c o r d i n g t o t h e t w o d e n i t i o n s a r e

i n g e n e r a l d i e r e n t . T h e e x a m p l e i s p e r h a p s a r t i c i a l t h o u g h ; i n f a c t w i t h t h e

s i m p l e c o n v e x d e n i t i o n t h e r e i s l i t t l e r e a s o n t o c o n s i d e r t h e s y s t e m a s o n e

h a v i n g t w o c o n t r o l v a r i a b l e s . I n c a s e t h e s y s t e m i s i n t e r p r e t e d a s h a v i n g t w o

c o n t r o l v a r i a b l e s a n d t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d i s u s e d t o d e n e s o l u t i o n s ,

i t i s l i k e l y t h a t t h e s o l u t i o n s a r e n o t u n i q u e l y d e t e r m i n e d s i n c e i n t h e s l i d i n g

m o d e t h e r e a r e t w o c o n t r o l v a r i a b l e s a v a i l a b l e t o s a t i s f y o n l y o n e c o n s t r a i n t .



3 . 5 . T h e V i d a l e - W o l f e a d v e r t i z i n g m o d e l 6 5

3 . 5 T h e V i d a l e - W o l f e a d v e r t i z i n g m o d e l

A s a n e x a m p l e o f a s i t u a t i o n i n w h i c h m u l t i m o d a l i t y a r i s e s i n a n a t u r a l w a y ,

l e t u s c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m w h i c h w a s s u g g e s t e d i n 1 9 5 7

b y V i d a l e a n d W o l f e a s a s i m p l e m o d e l f o r s u p p o r t i n g d e c i s i o n s o n m a r k e t i n g

e x p e n d i t u r e s . T h e p r o b l e m i s :

m a x i m i z e

Z

T

0

( x ( t ) ? c u ( t ) ) d t ( 3 . 1 8 a )

s u b j e c t t o _x ( t ) = ? a x ( t ) + ( 1 ? x ( t ) ) u ( t ) ( 3 . 1 8 b )

x ( 0 ) = x

0

2 ( 0 ; 1 ) ( 3 . 1 8 c )

0 u ( t ) 1 : ( 3 . 1 8 d )

T h e s t a t e v a r i a b l e x ( t ) r e p r e s e n t s m a r k e t s h a r e , w h e r e a s t h e c o n t r o l v a r i a b l e

u ( t ) r e p r e s e n t s m a r k e t i n g e o r t , n o r m a l i z e d i n s u c h a w a y t h a t s a t u r a t i o n

o c c u r s a t t h e v a l u e 1 . T h e c o n s t a n t c e x p r e s s e s c o s t o f a d v e r t i z i n g , a n d a

i n d i c a t e s t h e r a t e a t w h i c h s a l e s w i l l d e c r e a s e w h e n n o m a r k e t i n g i s d o n e . A

s t a n d a r d a p p l i c a t i o n o f t h e m a x i m u m p r i n c i p l e ( s e e f o r i n s t a n c e 1 4 2 ] ) s u g g e s t s

t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e f o r n d i n g c a n d i d a t e o p t i m a l s o l u t i o n s . F i r s t d e n e

t h e H a m i l t o n i a n

H ( x ; u ; ) = x ? c u + ( ? a x + ( 1 ? x ) u ) : ( 3 . 1 9 )

A c c o r d i n g t o t h e m a x i m u m p r i n c i p l e , n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r o p t i m a l i t y a r e

g i v e n ( i n t h e \ n o r m a l " c a s e ) b y t h e e q u a t i o n s ( i n s h o r t h a n d n o t a t i o n )

_x =

@ H

@

;

_

= ?

@ H

@ x

; x ( 0 ) = x

0

; ( T ) = 0 ; u = a r g m a x

u

H

( 3 . 2 0 )

w h e r e ( ) i s a n a d j o i n t v a r i a b l e . S i n c e t h e H a m i l t o n i a n i s l i n e a r i n t h e c o n t r o l

v a r i a b l e u , m a x i m i z a t i o n o v e r u l e a d s t o a r e l a y - l i k e c h a r a c t e r i s t i c :

u = 0 ; ? c + ( 1 ? x ) < 0

u = 1 ; ? c + ( 1 ? x ) > 0

0 u 1 ; ? c + ( 1 ? x ) = 0 :

( 3 . 2 1 )

I t w i l l b e c o n v e n i e n t t o i n t r o d u c e a f u n c t i o n C b y

C ( x ; ) : = ? c + ( 1 ? x ) : ( 3 . 2 2 )

T h e r e l a y c h a r a c t e r i s t i c i s c o n n e c t e d t o t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

_x = ? a x + ( 1 ? x ) u ( 3 . 2 3 )

_

= ? 1 + ( a + u ) ( 3 . 2 4 )




w h i c h w e m a y a l s o w r i t e i n v e c t o r f o r m

d

d t

2

4

x

3

5

=

2

4

? a x

a ? 1

3

5

+

2

4

1 ? x

3

5

u : ( 3 . 2 5 )

I n t h e p h a s e p l a n e w e c l e a r l y h a v e a s w i t c h i n g c u r v e g i v e n b y t h e e q u a t i o n

C ( x ; ) = 0 . I n t h e r e g i o n d e n e d b y ( 1 ? x ) < c w e h a v e t h e d y n a m i c s

_x = ? a x ;

_

= a ? 1 ( 3 . 2 6 )

w h e r e a s i n t h e r e g i o n ( 1 ? x ) > c w e h a v e

_x = ? ( a + 1 ) x + 1 ;

_

= ( a + 1 ) ? 1 : ( 3 . 2 7 )

W e h a v e t o d e t e r m i n e t h e r e l a t i o n o f t h e t w o v e c t o r e l d s t h a t a r e d e n e d

i n t h i s w a y t o t h e s w i t c h i n g c u r v e . F o r t h i s p u r p o s e w e c o m p u t e t h e t i m e

d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n y ( t ) : = C ( x ( t ) ; ( t ) ) a l o n g t h e t r a j e c t o r i e s o f e a c h o f

t h e t w o d y n a m i c s g i v e n b y ( 3 . 2 6 ) a n d ( 3 . 2 7 ) . A c t u a l l y i t t u r n s o u t t h a t t h e

r e s u l t i s t h e s a m e i n b o t h c a s e s a n d i n f a c t d o e s n ' t e v e n d e p e n d o n u , s i n c e

t h e g r a d i e n t o f C w h i c h i s g i v e n b y

@ C

@ x

@ C

@

] =

? 1

? x ] ( 3 . 2 8 )

i s o r t h o g o n a l t o t h e i n p u t v e c t o r e l d i n ( 3 . 2 5 ) . W e g e t

_y = a + x

? 1 : ( 3 . 2 9 )

S o t h e m o d e s e l e c t e d a t a g i v e n p o i n t o n t h e s w i t c h i n g c u r v e i s d e t e r m i n e d b y

t h e s i g n o f t h e q u a n t i t y a + x ? 1 . I f a + x ? 1 > 0 , t h e n w e e n t e r t h e r e g i o n

( 1 ? x ) > c c o r r e s p o n d i n g t o t h e m o d e u = 1 . I f a + x ? 1 < 0 t h e n t h e

s e l e c t e d m o d e i s t h e o n e i n w h i c h u = 0 . S i n c e b o t h d y n a m i c s a g r e e o n t h e

s i g n o f _y t h e s l i d i n g m o d e c a n n o t o c c u r a s l o n g a s a + x ? 1 6= 0 .

W e s t i l l h a v e t o c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y o f a s l i d i n g m o d e a t t h e p o i n t o n t h e

s w i t c h i n g c u r v e a t w h i c h a + x ? 1 = 0 , i f s u c h a p o i n t d o e s e x i s t . I t i s e a s i l y

v e r i e d t h a t t h e r e i s i n d e e d s u c h a p o i n t i n t h e r e g i o n o f i n t e r e s t ( 0 x 1 )

i f a c 1 . B e c a u s e w e a l r e a d y k n o w t h a t a s l i d i n g m o d e c a n n o t e x i s t a t o t h e r

p o i n t s i n t h e ( x ; ) - p l a n e , a s l i d i n g r e g i m e m u s t c r e a t e a n e q u i l i b r i u m . S i n c e

a t t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t o f t h e c u r v e s y = 0 a n d _y = 0 t h e g r a d i e n t o f C

a n n i h i l a t e s n o t o n l y t h e i n p u t v e c t o r i n ( 3 . 2 5 ) b u t a l s o t h e d r i f t v e c t o r , t h e s e

t w o v e c t o r s a r e l i n e a r l y d e p e n d e n t . T h i s m e a n s t h a t t h e t w o t a n g e n t v e c t o r s

c o r r e s p o n d i n g t o u = 0 a n d u = 1 a r e a l s o l i n e a r l y d e p e n d e n t . I f t h e s e v e c t o r s

p o i n t i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s , w e c a n i n d e e d c r e a t e a s l i d i n g m o d e b y c h o o s i n g

u 2 0 ; 1 ] s u c h t h a t t h e r i g h t h a n d s i d e i n ( 3 . 2 5 ) v a n i s h e s . T h e t h r e e e q u a t i o n s

i n t h r e e u n k n o w n s g i v e n b y

? a x + ( 1 ? x ) u = 0

a ? 1 + u = 0

( 1

? x ) = c



3 . 6 . N o t e s a n d r e f e r e n c e s f o r C h a p t e r 3 6 7

a r e s o l v e d i n t h e r e g i o n 0 x 1 b y

x = 1 ?

p

a c ; =

p

c = a ; u =

p

a = c ? a : ( 3 . 3 0 )

S o t h e s l i d i n g m o d e e x i s t s w h e n 0

p

a = c ? a 1 , t h a t i s , w h e n

a

( a + 1 )

2

c

1

a

: ( 3 . 3 1 )

A s s u m e n o w t h a t t h i s c o n d i t i o n h o l d s , a n d c o n s i d e r t h e d y n a m i c s ( 3 . 2 1 { 3 . 2 5 )

w i t h t h e i n i t i a l c o n d i t i o n

x

0

= 1 ?

p

a c ;

0

=

p

c = a : ( 3 . 3 2 )

B y c o m p u t i n g y i t c a n b e v e r i e d t h a t f r o m t h i s i n i t i a l c o n d i t i o n s t h e r e a r e

t h r e e p o s s i b l e c o n t i n u a t i o n s , c o r r e s p o n d i n g t o t h e t h r e e c h o i c e s u = 0 , u = 1

a n d u =

p

a = c ? a . T h i s a c t u a l l y m e a n s t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y s o l u t i o n s

t h a t h a v e i n i t i a l c o n d i t i o n ( 3 . 3 2 ) , s i n c e o n e c a n t a k e u ( t ) =

p

a = c ? a f o r s o m e

a r b i t r a r y p o s i t i v e t i m e a n d t h e n c o n t i n u e w i t h e i t h e r u = 0 o r u = 1 . S o m e o f

t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e s y s t e m ( 3 . 2 1 { 3 . 2 5 ) f o r t h e p a r a m e t e r v a l u e s a =

1

2

a n d

c = 1 a r e i l l u s t r a t e d i n F i g . 3 . 1 .

W e c o n c l u d e t h a t t h e s y s t e m ( 3 . 2 1 { 3 . 2 5 ) i s n o t w e l l - p o s e d a s a n i n i t i a l -

v a l u e p r o b l e m i f t h e p a r a m e t e r s a a n d c s a t i s f y ( 3 . 3 1 ) . H o w e v e r i t s h o u l d b e

n o t e d t h a t t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r t h e o r i g i n a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m d o

n o t h a v e t h e f o r m o f a n i n i t i a l - v a l u e p r o b l e m b u t r a t h e r o f a m i x e d b o u n d a r y

v a l u e p r o b l e m , s i n c e w e h a v e t h e m i x e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s x ( 0 ) = x

0

a n d

( T ) = 0 . A s s u c h t h e p r o b l e m i s w e l l - p o s e d a n d t h e o p t i o n o f \ l y i n g s t i l l " a t

t h e e q u i l i b r i u m p o i n t c r e a t e d b y t h e s l i d i n g m o d e i s c r u c i a l . A l s o , t h e m e a n i n g

o f t h i s e q u i l i b r i u m p o i n t a n d t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e o f u i s c l e a r : a p a r t f r o m

\ i n i t i a l " a n d \ n a l " e e c t s , t h i s v a l u e o f u i s t h e o n e t h a t i n d i c a t e s o p t i m a l

a d v e r t i z i n g e x p e n d i t u r e s . N o t e t h a t i t w o u l d b e e a s y t o r e w r i t e t h e s u g g e s t e d

o p t i m a l p o l i c y a s a f e e d b a c k p o l i c y , w i t h a f e e d b a c k m a p p i n g t h a t d e p e n d s

d i s c o n t i n u o u s l y o n x a n d t , a n d t h a t a s s u m e s o n l y t h r e e d i e r e n t v a l u e s .

3 . 6 N o t e s a n d r e f e r e n c e s f o r C h a p t e r 3

T h i s c h a p t e r o b v i o u s l y l e a n s h e a v i l y o n t h e w o r k b y F i l i p p o v a s d e s c r i b e d i n

h i s b o o k 5 4 ] . T h e b o o k , w h i c h a p p e a r e d r s t i n R u s s i a n i n 1 9 8 5 , t s i n t o

a t r a d i t i o n o f r e s e a r c h i n n o n - s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s t h a t s p a n s s e v e r a l

d e c a d e s . T h e s o l u t i o n c o n c e p t p r o p o s e d b y F i l i p p o v o r i g i n a l l y i n 1 9 6 0 5 3 ]

u s e s t h e t h e o r y o f d i e r e n t i a l i n c l u s i o n s , w h i c h i s a l r e a d y i n i t s e l f a n i m p o r t a n t

b r a n c h o f m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s ; s e e f o r i n s t a n c e 1 2 ] . I n t h e p r e s e n t b o o k o u r

p o i n t o f v i e w i s s o m e w h a t d i e r e n t . R a t h e r t h a n t r y i n g t o i n f e r i n s o m e w a y

t h e b e h a v i o r o f t h e s l i d i n g m o d e w h i c h t a k e s p l a c e o n a l o w e r - d i m e n s i o n a l

m a n i f o l d f r o m t h e s y s t e m ' s b e h a v i o r i n t h e \ m a i n " m o d e s w h i c h t a k e p l a c e

o n f u l l - d i m e n s i o n a l r e g i o n s , w e c o n s i d e r a l l m o d e s i n p r i n c i p l e o n t h e s a m e




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

F i g u r e 3 . 1 : T r a j e c t o r i e s f o r V i d a l e - W o l f e e x a m p l e . H o r i z o n t a l : x , v e r t i c a l : .

D o t t e d : s w i t c h i n g c u r v e , w i t h u = 0 t o t h e r i g h t a n d u = 1 t o t h e l e f t . D a s h e d :

t r a j e c t o r i e s l e a d i n g t o a n d f r o m t h e e q u i l i b r i u m p o i n t



3 . 6 . N o t e s a n d r e f e r e n c e s f o r C h a p t e r 3 6 9

f o o t i n g . W e b e l i e v e t h a t t h i s \ h y b r i d " p e r s p e c t i v e i s n a t u r a l i n m a n y c a s e s

a n d c a n a l s o b e u s e d e e c t i v e l y f o r t h e t y p e o f s y s t e m s c o n s i d e r e d b y F i l i p p o v

a n d o t h e r a u t h o r s i n t h e s a m e t r a d i t i o n . T h e h y b r i d p o i n t o f v i e w w i l l b e

w o r k e d o u t f u r t h e r i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s .



C h a p t e r 4

C o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s

W e h a v e a l r e a d y s e e n s e v e r a l e x a m p l e s o f s i t u a t i o n s i n w h i c h m o d e s a r e d e t e r -

m i n e d b y p a i r s o f s o - c a l l e d \ c o m p l e m e n t a r y v a r i a b l e s " . T w o s c a l a r v a r i a b l e s

a r e s a i d t o b e c o m p l e m e n t a r y i f t h e y a r e b o t h s u b j e c t t o a n i n e q u a l i t y c o n -

s t r a i n t , a n d i f a t a l l t i m e s a t l e a s t o n e o f t h e s e c o n s t r a i n t s i s s a t i s e d w i t h

e q u a l i t y . T h e m o s t o b v i o u s e x a m p l e i s t h a t o f t h e i d e a l d i o d e . I n t h i s c a s e

t h e c o m p l e m e n t a r y v a r i a b l e s a r e t h e v o l t a g e a c r o s s t h e d i o d e a n d t h e c u r r e n t

t h r o u g h i t . W h e n t h e v o l t a g e d r o p a c r o s s t h e d i o d e i s n e g a t i v e t h e c u r r e n t

m u s t b e z e r o , a n d t h e d i o d e i s s a i d t o b e i n n o n c o n d u c t i n g m o d e ; w h e n t h e c u r -

r e n t i s p o s i t i v e t h e v o l t a g e m u s t b e z e r o , a n d t h e d i o d e i s i n c o n d u c t i n g m o d e .

T h e r e a r e m a n y m o r e e x a m p l e s o f h y b r i d s y s t e m s i n w h i c h m o d e s w i t c h i n g i s

d e t e r m i n e d b y c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s . W e c a l l s u c h s y s t e m s c o m p l e m e n -

t a r i t y s y s t e m s . A s w e s h a l l s e e , c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s a r i s e n a t u r a l l y

i n a n u m b e r o f a p p l i c a t i o n s ; m o r e o v e r , i n s e v e r a l o t h e r a p p l i c a t i o n s o n e m a y

r e w r i t e a g i v e n s y s t e m o f e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s i n c o m p l e m e n t a r i t y f o r m

b y a j u d i c i o u s c h o i c e o f v a r i a b l e s .

A s a m a t t e r o f c o n v e n t i o n , w e s h a l l a l w a y s n o r m a l i z e c o m p l e m e n t a r y v a r i -

a b l e s i n s u c h a w a y t h a t b o t h v a r i a b l e s i n t h e p a i r a r e c o n s t r a i n e d t o b e n o n -

n e g a t i v e ; n o t e t h a t t h i s d e v i a t e s f r o m s t a n d a r d s i g n c o n v e n t i o n s f o r d i o d e s . S o

a p a i r o f v a r i a b l e s ( u ; y ) i s s a i d t o b e s u b j e c t t o a c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n

i f t h e f o l l o w i n g h o l d s :

u 0 ; y 0 ;

y = 0

u = 0 :

( 4 . 1 )

O f t e n w e w i l l b e w o r k i n g w i t h s e v e r a l p a i r s o f c o m p l e m e n t a r y v a r i a b l e s . F o r

s u c h s i t u a t i o n s i t i s u s e f u l t o h a v e a v e c t o r n o t a t i o n a v a i l a b l e . W e s h a l l s a y

t h a t t w o v e c t o r s o f v a r i a b l e s ( o f e q u a l l e n g t h ) a r e c o m p l e m e n t a r y i f f o r a l l i

t h e p a i r o f v a r i a b l e s ( u

i

; y

i

) i s s u b j e c t t o a c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n . I n t h e

m a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g l i t e r a t u r e , t h e n o t a t i o n

0 y u 0 ( 4 . 2 )

i s o f t e n u s e d t o i n d i c a t e t h a t t w o v e c t o r s a r e c o m p l e m e n t a r y . N o t e t h a t t h e

i n e q u a l i t i e s a r e t a k e n i n a c o m p o n e n t w i s e s e n s e , a n d t h a t t h e u s u a l i n t e r p r e -

t a t i o n o f t h e \ p e r p " s y m b o l ( n a m e l y

P

i

y

i

u

i

= 0 ) d o e s i n d e e d , i n c o n j u n c t i o n

7 1



7 2 C h a p t e r 4 . C o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s

w i t h t h e i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s , l e a d t o t h e c o n d i t i o n f y

i

= 0 g _ f u

i

= 0 g

f o r a l l i . A l t e r n a t i v e l y , o n e m i g h t s a y t h a t t h e \ p e r p " r e l a t i o n i s a l s o t a k e n

c o m p o n e n t w i s e .

T h e r e f o r e , c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s a r e s y s t e m s w h o s e o w c o n d i t i o n s c a n

b e w r i t t e n i n t h e f o r m

f ( _x ; x ; y ; u ) = 0 ( 4 . 3 a )

0 y u 0 : ( 4 . 3 b )

I n t h i s f o r m u l a t i o n , t h e v a r i a b l e s y

i

a n d u

i

p l a y c o m p l e t e l y s y m m e t r i c r o l e s .

O f t e n i t i s p o s s i b l e t o c h o o s e t h e d e n o t a t i o n s y

i

a n d u

i

i n s u c h a w a y t h a t t h e

c o n d i t i o n s a c t u a l l y a p p e a r i n t h e c o n v e n i e n t \ s e m i - e x p l i c i t " f o r m

_x = f ( x ; u ) ( 4 . 4 a )

y = h ( x ; u ) ( 4 . 4 b )

0 y u 0 : ( 4 . 4 c )

T h e o w c o n d i t i o n s ( 4 . 3 ) o r ( 4 . 4 ) s t i l l h a v e t o b e s u p p l e m e n t e d b y a p p r o p r i a t e

e v e n t c o n d i t i o n s w h i c h d e s c r i b e w h a t h a p p e n s w h e n t h e r e i s a s w i t c h b e t w e e n

m o d e s . I n s o m e a p p l i c a t i o n s i t w i l l b e e n o u g h t o w o r k w i t h t h e d e f a u l t e v e n t

c o n d i t i o n s t h a t r e q u i r e c o n t i n u i t y a c r o s s e v e n t s ; i n o t h e r a p p l i c a t i o n s o n e n e e d s

m o r e e l a b o r a t e c o n d i t i o n s .

A d d i t i o n a l c o n t i n u o u s i n p u t ( o r \ c o n t r o l " ) v a r i a b l e s m a y o f c o u r s e e a s i l y

b e a d d e d t o a s y s t e m d e s c r i p t i o n s u c h a s ( 4 . 4 ) ; d i s c r e t e i n p u t v a r i a b l e s m i g h t

b e a d d e d a s w e l l . I n t h i s c h a p t e r , h o w e v e r , w e s h a l l m a i n l y b e c o n c e r n e d w i t h

c l o s e d s y s t e m s i n w h i c h s u c h a d d i t i o n a l i n p u t s d o n o t a p p e a r . T h e m o t i v a t i o n

f o r d o i n g t h i s i s t h a t w e n e e d a n u n d e r s t a n d i n g o f t h e d y n a m i c s o f c l o s e d

s y s t e m s b e f o r e w e c a n d i s c u s s s y s t e m s w i t h i n p u t s . I t m a y b e n o t e d , t h o u g h ,

t h a t t h e d y n a m i c a l s y s t e m ( 4 . 3 a ) ( o r ( 4 . 4 a { 4 . 4 b ) ) t a k e n a s s u c h i s a n o p e n

s y s t e m , w h i c h i s \ c l o s e d " b y a d d i n g t h e c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s ( 4 . 4 c ) .

T h e r e f o r e , t h e t h e o r y o f o p e n ( o r \ i n p u t - o u t p u t " ) d y n a m i c a l s y s t e m s w i l l s t i l l

p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n t h i s c h a p t e r .

I n t h e m a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g l i t e r a t u r e , t h e s o - c a l l e d l i n e a r c o m p l e -

m e n t a r i t y p r o b l e m ( L C P ) h a s r e c e i v e d m u c h a t t e n t i o n ; s e e t h e b o o k 3 9 ] f o r

a n e x t e n s i v e s u r v e y . T h e L C P t a k e s a s d a t a a r e a l k - v e c t o r q a n d a r e a l k k

m a t r i x M , a n d a s k s w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t o n d k - v e c t o r s u a n d y s u c h t h a t

y = q + M u ; 0 y u 0 : ( 4 . 5 )

T h e m a i n r e s u l t o n t h e l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m t h a t w i l l b e u s e d b e l o w

i s t h e f o l l o w i n g 1 3 5 ] , 3 9 , T h m . 3 . 3 . 7 ] : t h e L C P ( 4 . 5 ) i s u n i q u e l y s o l v a b l e f o r

a l l d a t a v e c t o r s q i f a n d o n l y i f a l l p r i n c i p a l m i n o r s o f t h e m a t r i x M a r e

p o s i t i v e . ( G i v e n a m a t r i x M o f s i z e k

k a n d t w o n o n e m p t y s u b s e t s I a n d

J o f

f 1 ; : : : ; k

g o f e q u a l c a r d i n a l i t y , t h e ( I ; J ) - m i n o r o f M i s t h e d e t e r m i n a n t

o f t h e s q u a r e s u b m a t r i x M

I J

: = ( m

i j

)

i 2 I ; j 2 J

. T h e p r i n c i p a l m i n o r s a r e t h o s e

w i t h I = J 5 5 , p . 2 ] . ) A m a t r i x a l l o f w h o s e m i n o r s a r e p o s i t i v e i s s a i d t o b e

a P - m a t r i x .



4 . 1 . E x a m p l e s 7 3

4 . 1 E x a m p l e s

4 . 1 . 1 C i r c u i t s w i t h i d e a l d i o d e s

A l a r g e a m o u n t o f e l e c t r i c a l n e t w o r k m o d e l i n g i s c a r r i e d o u t o n t h e b a s i s o f

i d e a l l u m p e d e l e m e n t s : r e s i s t o r s , i n d u c t o r s , c a p a c i t o r s , d i o d e s , a n d s o o n .

T h e r e i s n o t n e c e s s a r i l y a o n e - t o - o n e r e l a t i o n b e t w e e n t h e e l e m e n t s i n a m o d e l

a n d t h e p a r t s o f t h e a c t u a l c i r c u i t ; f o r i n s t a n c e , a r e s i s t o r m a y u n d e r s o m e

c i r c u m s t a n c e s b e b e t t e r m o d e l e d b y a p a r a l l e l c o n n e c t i o n o f a n i d e a l r e s i s t o r

a n d a n i d e a l c a p a c i t o r t h a n b y a n i d e a l r e s i s t o r a l o n e . T h e s t a n d a r d i d e a l

e l e m e n t s s h o u l d r a t h e r b e l o o k e d a t a s f o r m i n g a c o n s t r u c t i o n k i t f r o m w h i c h

o n e c a n q u i c k l y b u i l d a v a r i e t y o f m o d e l s .

A m o n g t h e s t a n d a r d e l e m e n t s t h e i d e a l d i o d e h a s a s p e c i a l p o s i t i o n b e c a u s e

o f t h e n o n s m o o t h n e s s o f i t s c h a r a c t e r i s t i c . I n c i r c u i t s i m u l a t i o n s o f t w a r e t h a t

h a s n o a b i l i t y t o c o p e w i t h m o d e c h a n g e s , t h e i d e a l d i o d e c a n n o t b e a d m i t t e d

a s a b u i l d i n g b l o c k a n d w i l l h a v e t o b e r e p l a c e d f o r i n s t a n c e b y a h e a v i l y

n o n l i n e a r r e s i s t o r ; a p r i c e w i l l h a v e t o b e p a i d i n t e r m s o f s p e e d o f s i m u l a t i o n .

T h e a l t e r n a t i v e i s t o w o r k w i t h a h y b r i d s y s t e m s i m u l a t o r ; m o r e s p e c i c a l l y ,

t h e s o f t w a r e w i l l h a v e t o b e a b l e t o d e a l w i t h c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s .

T o w r i t e t h e e q u a t i o n s o f a n e t w o r k w i t h ( s a y ) k i d e a l d i o d e s i n c o m p l e m e n -

t a r i t y f o r m , r s t e x t r a c t t h e d i o d e s s o t h a t t h e n e t w o r k a p p e a r s a s a k - p o r t .

F o r e a c h p o r t , w e h a v e a c h o i c e b e t w e e n d e n o t i n g v o l t a g e b y u

i

a n d c u r r e n t b y

y

i

o r v i c e v e r s a ( w i t h t h e a p p r o p r i a t e s i g n c o n v e n t i o n s ) . O f t e n i t i s p o s s i b l e

t o m a k e t h e s e c h o i c e s i n s u c h a w a y t h a t t h e d y n a m i c s o f t h e k - p o r t c a n b e

w r i t t e n a s

_x = f ( x ; u ) ; y = h ( x ; u ) :

F o r l i n e a r n e t w o r k s , o n e c a n a c t u a l l y s h o w t h a t i t i s a l w a y s p o s s i b l e t o w r i t e

t h e d y n a m i c s i n t h i s f o r m . T o a c h i e v e t h i s , i t m a y b e n e c e s s a r y t o l e t u

i

d e n o t e v o l t a g e a t s o m e p o r t s a n d c u r r e n t a t s o m e o t h e r p o r t s ; i n t h a t c a s e

o n e s o m e t i m e s s p e a k s o f a \ h y b r i d " r e p r e s e n t a t i o n , w h e r e o f c o u r s e t h e t e r m

i s u s e d i n a d i e r e n t s e n s e t h a n t h e o n e u s e d i n t h i s b o o k . R e p l a c i n g t h e p o r t s

b y d i o d e s , w e o b t a i n a r e p r e s e n t a t i o n i n t h e s e m i - e x p l i c i t c o m p l e m e n t a r i t y

f o r m ( 4 . 4 ) .

F o r e l e c t r i c a l n e t w o r k s i t i s o f t e n r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h a t t h e r e a r e n o

j u m p s i n t h e c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e s , s o t h a t t h e r e i s n o n e e d t o s p e c i f y

e v e n t c o n d i t i o n s i n a d d i t i o n t o t h e o w c o n d i t i o n s ( 4 . 4 ) . C o m p l e m e n t a r i t y

s y s t e m s i n g e n e r a l d o n o t a l w a y s h a v e c o n t i n u o u s s o l u t i o n s , s o i f o n e w a n t s

t o p r o v e t h a t e l e c t r i c a l n e t w o r k s w i t h i d e a l d i o d e s d o i n d e e d h a v e c o n t i n u o u s

s o l u t i o n s , o n e w i l l h a v e t o m a k e a c o n n e c t i o n w i t h c e r t a i n s p e c i c p r o p e r t i e s

o f e l e c t r i c a l n e t w o r k s . T h e p a s s i v i t y p r o p e r t y i s o n e t h a t i m m e d i a t e l y c o m e s

t o m i n d , a n d i n d e e d t h e r e a r e c e r t a i n c o n c l u s i o n s t h a t c a n b e d r a w n f r o m

p a s s i v i t y a n d t h a t a r e r e l e v a n t i n t h e s t u d y o f p r o p e r i e s o f c o m p l e m e n t a r i t y

s y s t e m s . T o i l l u s t r a t e t h i s , c o n s i d e r t h e s p e c i c c a s e o f a l i n e a r p a s s i v e s y s t e m

c o u p l e d t o a n u m b e r o f i d e a l d i o d e s . T h e s y s t e m i s d e s c r i b e d b y e q u a t i o n s o f




t h e f o r m

_x = A x + B u

y = C x + D u

0 y u 0 :

( 4 . 6 )

U n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e s y s t e m r e p r e s e n t a t i o n i s m i n i m a l , t h e p a s s i v i t y

p r o p e r t y i m p l i e s ( s e e 1 5 5 ] ) t h a t t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x Q s u c h

t h a t

2

4

A

T

Q + Q A Q B

? C

T

B

T

Q ? C ? ( D + D

T

)

3

5

0 : ( 4 . 7 )

I f n o w f o r i n s t a n c e t h e m a t r i x D i s n o n s i n g u l a r , t h e n i t f o l l o w s t h a t D i s

a c t u a l l y p o s i t i v e d e n i t e . U n d e r t h i s c o n d i t i o n o n e c a n p r o v e t h a t t h e c o m -

p l e m e n t a r i t y s y s t e m ( 4 . 6 ) h a s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s . I f o n t h e o t h e r h a n d D i s

e q u a l t o z e r o , t h e n t h e p a s s i v i t y c o n d i t i o n ( 4 . 7 ) i m p l i e s t h a t C = B

T

Q s o t h a t

i n t h i s c a s e t h e m a t r i x C B = B

T

Q B i s p o s i t i v e d e n i t e ( a s s u m i n g t h a t B h a s

f u l l c o l u m n r a n k ) . U n d e r t h i s c o n d i t i o n t h e s y s t e m ( 4 . 6 ) h a s s o l u t i o n s w i t h

c o n t i n u o u s s t a t e t r a j e c t o r i e s , i f t h e s y s t e m i s c o n s i s t e n t l y i n i t i a l i z e d , i . e . t h e

i n i t i a l c o n d i t i o n x

0

s a t i s e s C x

0

0 . S e e 3 4 ] f o r p r o o f s a n d a d d i t i o n a l i n f o r -

m a t i o n o n t h e n a t u r e o f s o l u t i o n s t o l i n e a r p a s s i v e c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s .

T h e i m p o r t a n c e o f t h e m a t r i c e s D a n d C B i s r e l a t e d t o t h e f a c t t h a t t h e y

a p p e a r i n t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e t r a n s f e r m a t r i x C ( s I ? A )

? 1

B + D

a r o u n d i n n i t y :

C ( s I ? A )

? 1

B + D = D + C B s

? 1

+ C A B s

? 2

+ :

W e w i l l r e t u r n t o t h i s w h e n w e d i s c u s s l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s .

4 . 1 . 2 M e c h a n i c a l s y s t e m s w i t h u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s

M e c h a n i c a l s y s t e m s w i t h g e o m e t r i c i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s ( i . e . i n e q u a l i t y c o n -

s t r a i n t s o n t h e p o s i t i o n v a r i a b l e s , s u c h a s i n t h e s i m p l e e x a m p l e o f F i g u r e 2 . 7 )

a r e g i v e n b y e q u a t i o n s o f t h e f o l l o w i n g f o r m ( s e e 1 3 8 ] ) , i n w h i c h

@ H

@ p

a n d

@ H

@ q

d e n o t e c o l u m n v e c t o r s o f p a r t i a l d e r i v a t i v e s , a n d t h e t i m e a r g u m e n t s o f q , p ,

y , a n d u h a v e b e e n o m i t t e d f o r b r e v i t y :

_q =

@ H

@ p

( q ; p ) q 2 R

n

; p 2 R

n

( 4 . 8 a )

_ p = ?

@ H

@ q

( q ; p ) +

@ C

T

@ q

( q ) u ; u 2 R

k

( 4 . 8 b )

y = C ( q ) ; y 2 R

k

( 4 . 8 c )

0 y u 0 : ( 4 . 8 d )



4 . 1 . E x a m p l e s 7 5

H e r e , C ( q ) 0 i s t h e c o l u m n v e c t o r o f g e o m e t r i c i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s , a n d

u 0 i s t h e v e c t o r o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r s p r o d u c i n g t h e c o n s t r a i n t f o r c e

v e c t o r ( @ C = @ q )

T

( q ) u . ( T h e e x p r e s s i o n @ C

T

= @ q d e n o t e s a n n k m a t r i x w h o s e

i - t h c o l u m n i s g i v e n b y @ C

i

= @ q . ) T h e p e r p e n d i c u l a r i t y c o n d i t i o n e x p r e s s e s

i n p a r t i c u l a r t h a t t h e i - t h c o m p o n e n t o f u

i

c a n o n l y b e n o n - z e r o i f t h e i - t h

c o n s t r a i n t i s a c t i v e , t h a t i s , y

i

= C

i

( q ) = 0 . T h e a p p e a r a n c e o f t h e r e a c t i o n

f o r c e i n t h e a b o v e f o r m , w i t h u

i

0 , c a n b e d e r i v e d f r o m t h e p r i n c i p l e t h a t

t h e r e a c t i o n f o r c e s d o n o t e x e r t a n y w o r k a l o n g v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s t h a t a r e

c o m p a t i b l e w i t h t h e c o n s t r a i n t s . T h i s b a s i c p r i n c i p l e o f h a n d l i n g g e o m e t r i c

i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s c a n b e f o u n d e . g . i n 1 2 5 , 8 6 ] , a n d d a t e s b a c k t o F o u r i e r

a n d F a r k a s .

T h e H a m i l t o n i a n H ( q ; p ) d e n o t e s t h e t o t a l e n e r g y , g e n e r a l l y g i v e n a s t h e

s u m o f a k i n e t i c e n e r g y

1

2

p

T

M

? 1

( q ) p ( w h e r e M ( q ) d e n o t e s t h e m a s s m a t r i x ,

d e p e n d i n g o n t h e c o n g u r a t i o n v e c t o r q ) a n d a p o t e n t i a l e n e r g y V ( q ) . T h e

s e m i - e x p l i c i t c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m ( 4 . 8 ) i s c a l l e d a H a m i l t o n i a n c o m p l e -

m e n t a r i t y s y s t e m , s i n c e t h e d y n a m i c s o f e v e r y m o d e i s H a m i l t o n i a n 1 3 8 ] . I n

p a r t i c u l a r , e v e r y m o d e i s e n e r g y - c o n s e r v i n g , s i n c e t h e c o n s t r a i n t f o r c e s a r e

w o r k l e s s . I t s h o u l d b e n o t e d t h o u g h t h a t t h e m o d e l c o u l d b e e a s i l y e x t e n d e d

t o m e c h a n i c a l s y s t e m s w i t h d i s s i p a t i o n b y r e p l a c i n g t h e s e c o n d s e t o f e q u a t i o n s

o f ( 4 . 8 ) b y

_ p = ?

@ H

@ q

( q ; p ) ?

@ R

@ _q

( _q ) +

@ C

T

@ q

( q ) u ( 4 . 9 )

w h e r e R ( _q ) d e n o t e s a R a y l e i g h d i s s i p a t i o n f u n c t i o n .

4 . 1 . 3 O p t i m a l c o n t r o l w i t h s t a t e c o n s t r a i n t s

T h e p u r p o s e o f t h i s s u b s e c t i o n i s t o i n d i c a t e i n w h i c h w a y o n e m a y r e l a t e o p t i -

m a l c o n t r o l p r o b l e m s w i t h s t a t e c o n s t r a i n t s t o c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . T h e

s t u d y o f t h i s s u b j e c t i s f a r f r o m b e i n g c o m p l e t e ; w e w i l l o e r s o m e s u g g e s t i o n s

r a t h e r t h a n p r e s e n t a r i g o r o u s t r e a t m e n t . C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f m a x i m i z i n g

a f u n c t i o n a l o f t h e f o r m

Z

T

0

F ( t ; x ( t ) ; u ( t ) ) d t + F

T

( x ( T ) ) ( 4 . 1 0 )

o v e r a c o l l e c t i o n o f t r a j e c t o r i e s d e s c r i b e d b y

_x ( t ) = f ( t ; x ( t ) ; u ( t ) ) ; x ( 0 ) = x

0

( 4 . 1 1 )

t o g e t h e r w i t h t h e c o n s t r a i n t s

g ( t ; x ( t ) ; u ( t ) ) 0 : ( 4 . 1 2 )

I n t h e a b o v e , g m a y b e a v e c t o r - v a l u e d f u n c t i o n , a n d t h e n t h e i n e q u a l i t i e s

a r e t a k e n c o m p o n e n t w i s e . U n d e r s u i t a b l e c o n d i t i o n s ( s e e 6 5 ] f o r m u c h m o r e




d e t a i l e d i n f o r m a t i o n ) , c a n d i d a t e s f o r o p t i m a l s o l u t i o n s c a n b e f o u n d b y s o l v i n g

a s y s t e m o f e q u a t i o n s t h a t i s o b t a i n e d a s f o l l o w s . L e t b e a v e c t o r v a r i a b l e

o f t h e s a m e l e n g t h a s x , a n d d e n e t h e H a m i l t o n i a n H ( t ; x ; u ; ) b y

H ( t ; x ; u ; ) = F ( t ; x ; u ) +

T

f ( t ; x ; u ) : ( 4 . 1 3 )

A l s o , l e t b e a v e c t o r o f t h e s a m e l e n g t h a s g , a n d d e n e t h e L a g r a n g i a n

L ( t ; x ; u ; ; ) b y

L ( t ; x ; u ; ; ) = H ( t ; x ; u ; ) +

T

g ( t ; x ; u ) : ( 4 . 1 4 )

T h e s y s t e m r e f e r r e d t o b e f o r e i s n o w t h e f o l l o w i n g :

_x ( t ) = f ( t ; x ( t ) ; u ( t ) ) ( 4 . 1 5 a )

_

( t ) = ?

@ L

@ x

( t ; x ( t ) ; u ( t ) ; ( t ) ; ( t ) ) ( 4 . 1 5 b )

u ( t ) = a r g m a x

f u j g ( t ; x ( t ) ; u ) 0 g

L ( t ; x ( t ) ; u ; ( t ) ; ( t ) ) ( 4 . 1 5 c )

0 g ( t ; x ( t ) ; u ( t ) ) ( t ) 0 ( 4 . 1 5 d )

w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n s

x ( 0 ) = x

0

( 4 . 1 6 )

a n d n a l c o n d i t i o n s

( T ) =

@ F

T

@ x

( x ( T ) ) : ( 4 . 1 7 )

S u p p o s e t h a t u ( t ) c a n b e s o l v e d f r o m ( 4 . 1 5 c ) s o t h a t

u ( t ) = u

( t ; x ( t ) ; ( t ) ; ( t ) ) ( 4 . 1 8 )

w h e r e u

( t ; x ; ; ) i s a c e r t a i n f u n c t i o n . T h e n d e n e g

( t ; x ; ; ) b y

g

( t ; x ; ; ) = g ( t ; x ; u

( t ; x ; ; ) ) ( 4 . 1 9 )

a n d i n t r o d u c e a v a r i a b l e y ( t ) b y

y ( t ) = g

( t ; x ( t ) ; ( t ) ; ( t ) ) : ( 4 . 2 0 )

T h e s y s t e m ( 4 . 1 5 ) c a n n o w b e r e w r i t t e n a s

_x ( t ) = f ( t ; x ( t ) ; u

( t ; x ( t ) ; ( t ) ; ( t ) ) )

_

( t ) = ?

@ L

@ x

( t ; x ( t ) ; u

( t ; x ( t ) ; ( t ) ; ( t ) ) ; ( t ) ; ( t ) )

y ( t ) = g

( t ; x ( t ) ; ( t ) ; ( t ) )

0 y ( t ) ( t ) 0 :

( 4 . 2 1 )



4 . 1 . E x a m p l e s 7 7

H e r e w e h a v e a ( t i m e - i n h o m o g e n e o u s ) c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m w i t h s t a t e v a r i -

a b l e s x a n d a n d c o m p l e m e n t a r y v a r i a b l e s y a n d . T h e s y s t e m h a s m i x e d

b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 4 . 1 6 { 4 . 1 7 ) ; t h e r e f o r e o n e w i l l h a v e e x i s t e n c e a n d u n i q u e -

n e s s o f s o l u t i o n s u n d e r c o n d i t i o n s t h a t i n g e n e r a l w i l l b e d i e r e n t f r o m t h e o n e s

t h a t h o l d f o r i n i t i a l - v a l u e p r o b l e m s .

A c a s e o f s p e c i a l i n t e r e s t i s t h e o n e i n w h i c h a q u a d r a t i c c r i t e r i o n i s o p -

t i m i z e d f o r a l i n e a r t i m e - i n v a r i a n t s y s t e m , s u b j e c t t o l i n e a r i n e q u a l i t y c o n -

s t r a i n t s o n t h e s t a t e . C o n s i d e r f o r i n s t a n c e t h e f o l l o w i n g p r o b l e m : m i n i m i z e

1

2

Z

T

0

( x ( t )

T

Q x ( t ) + u ( t )

T

u ( t ) ) d t ( 4 . 2 2 )

s u b j e c t t o

_x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) ; x ( 0 ) = x

0

( 4 . 2 3 )

C x ( t ) 0 ( 4 . 2 4 )

w h e r e A , B , a n d C a r e m a t r i c e s o f a p p r o p r i a t e s i z e s , a n d Q i s a n o n n e g a t i v e

d e n i t e m a t r i x . F o l l o w i n g t h e s c h e m e a b o v e l e a d s t o t h e s y s t e m

_x = A x + B u ; x ( 0 ) = x

0

( 4 . 2 5 a )

_

= Q x ? A

T

? C

T

; ( T ) = 0 ( 4 . 2 5 b )

u = a r g m a x ?

1

2

u

T

u +

T

B u ] ( 4 . 2 5 c )

0 C x 0 ( 4 . 2 5 d )

w h e r e w e h a v e o m i t t e d t h e t i m e a r g u m e n t s f o r b r e v i t y . S o l v i n g f o r u f r o m

( 4 . 2 5 c ) l e a d s t o t h e e q u a t i o n s

d

d t

2

4

x

3

5

=

2

4

A B B

T

Q

? A

T

3

5

2

4

x

3

5

+

2

4

0

? C

T

3

5

( 4 . 2 6 a )

y = C 0 ]

2

4

x

3

5

( 4 . 2 6 b )

0 y 0 : ( 4 . 2 6 c )

N o t s u r p r i s i n g l y , t h i s i s a l i n e a r H a m i l t o n i a n c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m .

T h e s t u d y o f o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m s s u b j e c t t o s t a t e c o n s t r a i n t s i s

f r a u g h t w i t h d i c u l t i e s ; s e e H a r t l e t a l . 6 5 ] f o r a d i s c u s s i o n . T h e s e t t i n g

o f c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s m a y b e o f h e l p i n o v e r c o m i n g p a r t o f t h e s e d i -

c u l t i e s .

4 . 1 . 4 V a r i a b l e - s t r u c t u r e s y s t e m s

C o n s i d e r a n o n l i n e a r i n p u t - o u t p u t s y s t e m o f t h e f o r m

_x = f ( x ; u ) ; y = h ( x ; u ) ( 4 . 2 7 )




i n w h i c h t h e i n p u t a n d o u t p u t v a r i a b l e s a r e a d o r n e d w i t h a b a r f o r r e a s o n s

t h a t w i l l b e c o m e c l e a r i n a m o m e n t . S u p p o s e t h a t t h e s y s t e m i s i n f e e d b a c k

c o u p l i n g w i t h a r e l a y e l e m e n t g i v e n b y

u = 1 ; y 0

? 1

u

1 ; y = 0

u = ? 1 ; y 0 :

( 4 . 2 8 )

A s w e h a v e s e e n a b o v e , m a n y o f t h e s y s t e m s c o n s i d e r e d i n t h e w e l l - k n o w n b o o k

b y F i l i p p o v o n d i s c o n t i n u o u s d y n a m i c a l s y s t e m s 5 4 ] c a n b e r e w r i t t e n i n t h i s

f o r m . A t r s t s i g h t , r e l a y s y s t e m s d o n o t s e e m t o t i n t h e c o m p l e m e n t a r i t y

f r a m e w o r k . H o w e v e r , l e t u s i n t r o d u c e n e w v a r i a b l e s y

1

, y

2

, u

1

, a n d u

2

, t o g e t h e r

w i t h t h e f o l l o w i n g n e w e q u a t i o n s :

u

1

=

1

2

( 1 ? u )

u

2

=

1

2

( 1 + u ) ( 4 . 2 9 )

y = y

1

? y

2

I n s t e a d o f c o n s i d e r i n g ( 4 . 2 7 ) t o g e t h e r w i t h ( 4 . 2 8 ) , w e c a n a l s o c o n s i d e r ( 4 . 2 7 )

t o g e t h e r w i t h t h e s t a n d a r d c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s f o r t h e v e c t o r s y =

c o l ( y

1

; y

2

) a n d u = c o l ( u

1

; u

2

) :

y

1

= 0 ; u

1

0

y

1

0 ; u

1

= 0

;

y

2

= 0 ; u

2

0

y

2

0 ; u

2

= 0 :

( 4 . 3 0 )

I t c a n b e v e r i e d e a s i l y t h a t t h e t r a j e c t o r i e s o f ( 4 . 2 7 { 4 . 2 9 { 4 . 3 0 ) a r e t h e s a m e

a s t h o s e o f ( 4 . 2 7 { 4 . 2 8 ) . N o t e i n p a r t i c u l a r t h a t , a l t h o u g h ( 4 . 3 0 ) i n p r i n c i p l e

a l l o w s f o u r m o d e s , t h e c o n d i t i o n s ( 4 . 2 9 ) i m p l y t h a t u

1

+ u

2

= 1 s o t h a t t h e

m o d e i n w h i c h b o t h u

1

a n d u

2

v a n i s h i s e x c l u d e d , a n d t h e a c t u a l n u m b e r o f

m o d e s i s t h r e e .

S o i t t u r n s o u t t h a t w e c a n r e w r i t e a r e l a y s y s t e m a s a c o m p l e m e n t a r i t y

s y s t e m , a t l e a s t i f w e a r e w i l l i n g t o a c c e p t t h a t s o m e a l g e b r a i c e q u a t i o n s a p p e a r

i n t h e s y s t e m d e s c r i p t i o n . I t i s p o s s i b l e t o e l i m i n a t e t h e v a r i a b l e s y a n d u a n d

o b t a i n e q u a t i o n s i n t h e f o r m

_x = f ( x ; u

2

? u

1

)

y

1

? y

2

= h ( x ; u

2

? u

1

)

u

1

+ u

2

= 1

( 4 . 3 1 )

t o g e t h e r w i t h t h e c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s ( 4 . 3 0 ) , b u t ( 4 . 3 1 ) i s n o t i n s t a n -

d a r d i n p u t - s t a t e - o u t p u t f o r m b u t r a t h e r i n a D A E t y p e o f f o r m

F ( _x ; x ; y ; u ) = 0 : ( 4 . 3 2 )



4 . 1 . E x a m p l e s 7 9

I f t h e r e l a y i s a p a r t o f a m o d e l w h o s e e q u a t i o n s a r e b u i l t u p f r o m s u b m o d e l s

t h e n i t i s l i k e l y a n y w a y t h a t t h e s y s t e m d e s c r i p t i o n w i l l a l r e a d y b e i n t e r m s

o f b o t h d i e r e n t i a l a n d a l g e b r a i c e q u a t i o n s , a n d t h e n i t m a y n o t b e m u c h o f

a p r o b l e m t o h a v e a f e w a l g e b r a i c e q u a t i o n s a d d e d ( d e p e n d i n g o n h o w t h e

\ i n d e x " 2 8 ] o f t h e s y s t e m i s a e c t e d ) . A l t e r n a t i v e l y h o w e v e r o n e m a y r e p l a c e

t h e e q u a t i o n s ( 4 . 2 9 ) b y

u

1

=

1

2

( 1 ? u )

y

2

=

1

2

( 1 + u ) ( 4 . 3 3 )

y = y

1

? u

2

w h i c h a r e t h e s a m e a s ( 4 . 2 9 ) e x c e p t t h a t y

2

a n d u

2

h a v e t r a d e d p l a c e s . T h e

e q u a t i o n s ( 4 . 3 1 ) c a n n o w b e r e w r i t t e n a s

_x = f ( x ; 1 ? 2 u

1

)

y

1

= h ( x ; 1

? 2 u

1

) + u

2

y

2

= 1 ? u

1

( 4 . 3 4 )

a n d t h i s s y s t e m d o e s a p p e a r i n s t a n d a r d i n p u t - o u t p u t f o r m . T h e o n l y c o n c e s -

s i o n o n e h a s t o m a k e h e r e i s t h a t ( 4 . 3 4 ) w i l l h a v e a f e e d t h r o u g h t e r m ( i . e . t h e

o u t p u t y d e p e n d s d i r e c t l y o n t h e i n p u t u ) e v e n w h e n t h i s i s n o t t h e c a s e i n

t h e o r i g i n a l s y s t e m ( 4 . 2 7 ) .

4 . 1 . 5 A c l a s s o f p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m s

S u p p o s e t h a t a l i n e a r s y s t e m i s c o u p l e d t o a c o n t r o l d e v i c e w h i c h s w i t c h e s

b e t w e e n s e v e r a l l i n e a r l o w - l e v e l c o n t r o l l e r s d e p e n d i n g o n t h e s t a t e o f t h e c o n -

t r o l l e d s y s t e m , a s i s t h e c a s e f o r i n s t a n c e i n m a n y g a i n s c h e d u l i n g c o n t r o l l e r s ;

t h e n t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m m a y b e d e s c r i b e d a s a p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m .

A n o t h e r w a y i n w h i c h p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m s m a y a r i s e i s a s a p p r o x i m a t i o n s

t o n o n l i n e a r s y s t e m s . M o d e l i n g b y m e a n s o f p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m s i s a t -

t r a c t i v e b e c a u s e i t c o m b i n e s t h e r e l a t i v e t r a c t a b i l i t y o f l i n e a r d y n a m i c s w i t h

a e x i b i l i t y t h a t i s o f t e n n e e d e d f o r a p r e c i s e d e s c r i p t i o n o f d y n a m i c s o v e r a

r a n g e o f o p e r a t i n g c o n d i t i o n s .

T h e r e e x i s t d e n i t i o n s o f p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m s a t v a r i o u s l e v e l s o f g e n -

e r a l i t y . H e r e w e s h a l l l i m i t o u r s e l v e s t o s y s t e m s o f t h e f o l l o w i n g f o r m ( t i m e

a r g u m e n t s o m i t t e d f o r b r e v i t y ) :

_x = A x + B u ( 4 . 3 5 a )

y = C x + D u ( 4 . 3 5 b )

( y

i

; u

i

) 2 g r a p h ( f

i

) ( i = 1 ; : : : ; k ) ( 4 . 3 5 c )

w h e r e , f o r e a c h i , f

i

i s a p i e c e w i s e l i n e a r f u n c t i o n f r o m R t o R

2

. A s i s c o m m o n

u s a g e , w e u s e t h e t e r m \ p i e c e w i s e l i n e a r " t o r e f e r t o f u n c t i o n s t h a t w o u l d i n

f a c t b e m o r e a c c u r a t e l y d e s c r i b e d a s b e i n g p i e c e w i s e a n e . W e s h a l l c o n s i d e r




f u n c t i o n s f

i

t h a t a r e c o n t i n u o u s , a l t h o u g h f r o m s o m e p o i n t s o f v i e w i t w o u l d

b e n a t u r a l t o i n c l u d e a l s o d i s c o n t i n u o u s f u n c t i o n s ; f o r i n s t a n c e s y s t e m s i n

w h i c h t h e d y n a m i c s i s d e s c r i b e d b y m e a n s o f p i e c e w i s e c o n s t a n t f u n c t i o n s

h a v e a t t r a c t e d a t t e n t i o n i n h y b r i d s y s t e m s t h e o r y .

T h e m o d e l ( 4 . 3 5 ) i s n a t u r a l f o r i n s t a n c e a s a d e s c r i p t i o n o f e l e c t r i c a l n e t -

w o r k s w i t h a n u m b e r o f p i e c e w i s e l i n e a r r e s i s t o r s . D e s c r i p t i o n s o f t h i s f o r m

a r e q u i t e c o m m o n i n c i r c u i t t h e o r y ( c f . 9 3 ] ) . L i n e a r r e l a y s y s t e m s a r e a l s o

c o v e r e d b y ( 4 . 3 5 ) ; n o t e t h a t t h e \ s l i d i n g m o d e " c o r r e s p o n d i n g t o t h e v e r t i -

c a l p a r t o f t h e r e l a y c h a r a c t e r i s t i c i s a u t o m a t i c a l l y i n c l u d e d . P i e c e w i s e l i n e a r

f r i c t i o n m o d e l s a r e o f t e n u s e d i n m e c h a n i c s ( f o r i n s t a n c e C o u l o m b f r i c t i o n ) ,

w h i c h a g a i n l e a d s t o m o d e l s l i k e ( 4 . 3 5 ) ; s e e S u b s e c t i o n s 2 . 2 . 1 0 a n d 2 . 2 . 1 1 .

O n e n e e d s t o d e n e a s o l u t i o n c o n c e p t f o r ( 4 . 3 5 ) ; i n p a r t i c u l a r , o n e h a s t o

s a y i n w h a t f u n c t i o n s p a c e o n e w i l l b e l o o k i n g f o r s o l u t i o n s . W i t h a n e y e o n

t h e i n t e n d e d a p p l i c a t i o n s , i t s e e m s r e a s o n a b l e t o r e q u i r e t h a t t h e t r a j e c t o r i e s

o f t h e v a r i a b l e x s h o u l d b e c o n t i n u o u s a n d p i e c e w i s e d i e n t i a b l e . A s f o r t h e

v a r i a b l e u , s o m e a p p l i c a t i o n s s u g g e s t t h a t i t m a y a l s o b e t o o m u c h t o r e q u i r e

c o n t i n u i t y f o r t h i s v a r i a b l e . F o r e x a m p l e , t a k e a m a s s p o i n t t h a t i s c o n n e c t e d

b y a l i n e a r s p r i n g t o a x e d w a l l , a n d t h a t c a n m o v e i n o n e d i r e c t i o n s u b j e c t t o

C o u l o m b f r i c t i o n . I n a m o d e l f o r t h i s s i t u a t i o n t h e v a r i a b l e u w o u l d p l a y t h e

r o l e o f t h e f r i c t i o n f o r c e w h i c h , a c c o r d i n g t o t h e C o u l o m b m o d e l , h a s c o n s t a n t

m a g n i t u d e a s l o n g a s t h e m a s s p o i n t i s m o v i n g , a n d h a s s i g n o p p o s i t e t o t h e

d i r e c t i o n o f m o t i o n . I f t h e m a s s p o i n t i s g i v e n a s u c i e n t l y l a r g e i n i t i a l v e l o c i t y

a w a y f r o m t h e x e d w a l l , i t w i l l c o m e t o a s t a n d s t i l l a f t e r s o m e t i m e a n d t h e n

i m m e d i a t e l y b e p u l l e d b a c k t o w a r d s t h e w a l l , s o t h a t i n t h i s c a s e t h e f r i c t i o n

f o r c e j u m p s i n s t a n t a n e o u s l y f r o m o n e e n d o f i t s i n t e r v a l o f p o s s i b l e v a l u e s t o

t h e o t h e r . E v e n a l l o w i n g j u m p s i n t h e v a r i a b l e u , w e c a n s t i l l d e n e a s o l u t i o n

o f ( 4 . 3 5 ) t o b e a t r i p l e ( x ; u ; y ) s u c h t h a t ( 4 . 3 5 b ) a n d ( 4 . 3 5 c ) h o l d f o r a l m o s t

a l l t , a n d ( 4 . 3 5 a ) i s s a t i s e d i n t h e s e n s e o f C a r a t h e o d o r y , t h a t i s t o s a y

x ( t ) = x ( 0 ) +

Z

t

0

A x ( ) + B u ( ) ] d ( 4 . 3 6 )

f o r a l l t .

T h e r s t q u e s t i o n t h a t s h o u l d b e a n s w e r e d i n c o n n e c t i o n w i t h t h e s y s t e m

( 4 . 3 5 ) i s w h e t h e r s o l u t i o n s e x i s t a n d a r e u n i q u e . F o r t h i s , o n e s h o u l d r s t o f

a l l n d c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h , f o r a g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n x ( 0 ) = x

0

, t h e r e

e x i s t s a u n i q u e c o n t i n u a t i o n i n o n e o f t h e p o s s i b l e \ m o d e s " o f t h e s y s t e m s

( c o r r e s p o n d i n g t o a l l p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s o f t h e d i e r e n t b r a n c h e s o f t h e

p i e c e w i s e l i n e a r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s y s t e m ) . T h i s c a n b e a h i g h l y n o n t r i v i a l

p r o b l e m ; f o r i n s t a n c e i n a m e c h a n i c a l s y s t e m w i t h m a n y f r i c t i o n p o i n t s , i t m a y

n o t b e s o e a s y t o s a y a t w h i c h p o i n t s s l i d i n g w i l l t a k e p l a c e a n d a t w h i c h p o i n t s

s t i c k w i l l o c c u r . I t t u r n s o u t t o b e p o s s i b l e t o a d d r e s s t h e p r o b l e m o n t h e b a s i s

o f t h e t h e o r y o f t h e l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m a n d e x t e n s i o n s o f i t . F o r

t h e c a s e o f C o u l o m b f r i c t i o n , a l s o i n c o m b i n a t i o n w i t h n o n l i n e a r d y n a m i c s ,

t h i s i s w o r k e d o u t i n 1 2 9 ] . T h e g e n e r a l c a s e c a n b e d e v e l o p e d o n t h e b a s i s

o f a t h e o r e m b y K a n e k o a n d P a n g 8 5 ] , w h i c h s t a t e s t h a t a n y p i e c e w i s e l i n e a r



4 . 1 . E x a m p l e s 8 1

c h a r a c t e r i s t i c c a n b e d e s c r i b e d b y m e a n s o f t h e s o - c a l l e d E x t e n d e d H o r i z o n t a l

L i n e a r C o m p l e m e n t a r i t y P r o b l e m . O n t h i s b a s i s , t h e p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m

( 4 . 3 5 ) m a y a l s o b e d e s c r i b e d a s a n e x t e n d e d h o r i z o n t a l l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y

s y s t e m . R e s u l t s o n t h e s o l v a b i l i t y o f t h e E H L C P h a v e b e e n g i v e n b y S z n a j d e r

a n d G o w d a 1 4 8 ] . U s i n g t h e s e r e s u l t s , o n e c a n o b t a i n s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r

t h e e x i s t e n c e o f u n i q u e s o l u t i o n s t a r t i n g a t a g i v e n i n i t i a l s t a t e ; s e e 3 3 ] f o r

d e t a i l s .

4 . 1 . 6 P r o j e c t e d d y n a m i c a l s y s t e m s

T h e c o n c e p t o f e q u i l i b r i u m i s c e n t r a l t o m a t h e m a t i c a l e c o n o m i c s . F o r i n s t a n c e ,

o n e m a y c o n s i d e r a n o l i g o p o l i s t i c m a r k e t i n w h i c h s e v e r a l c o m p e t i t o r s d e t e r -

m i n e t h e i r p r o d u c t i o n l e v e l s s o a s t o m a x i m i z e t h e i r p r o t s ; i t i s o f i n t e r e s t t o

s t u d y t h e e q u i l i b r i a t h a t m a y e x i s t i n s u c h a s i t u a t i o n . O n a w i d e r s c a l e , o n e

m a y d i s c u s s g e n e r a l e c o n o m i c e q u i l i b r i u m i n v o l v i n g p r o d u c t i o n , c o n s u m p t i o n ,

a n d p r i c e s o f c o m m o d i t i e s . I n f a c t i n a l l k i n d s o f c o m p e t i t i v e s y s t e m s t h e

n o t i o n o f e q u i l i b r i u m i s i m p o r t a n t .

T h e t e r m \ e q u i l i b r i u m " c a n a c t u a l l y b e u n d e r s t o o d i n s e v e r a l w a y s . F o r

i n s t a n c e , t h e c e l e b r a t e d N a s h e q u i l i b r i u m c o n c e p t o f g a m e t h e o r y i s d e n e d a s

a s i t u a t i o n i n w h i c h n o p l a y e r c a n g a i n b y u n i l a t e r a l l y c h a n g i n g h i s p o s i t i o n .

S i m i l a r n o t i o n s i n m a t h e m a t i c a l e c o n o m i c s l e a d t o c o n c e p t s o f e q u i l i b r i a t h a t

c a n b e c h a r a c t e r i z e d i n t e r m s o f s y s t e m s o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s .

O n t h e o t h e r h a n d , w e h a v e t h e c l a s s i c a l n o t i o n o f e q u i l i b r i u m i n t h e t h e o r y

o f d y n a m i c a l s y s t e m s , w h e r e t h e c o n c e p t i s d e n e d i n t e r m s o f a g i v e n s e t o f

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . I t i s n a t u r a l t o e x p e c t , t h o u g h , t h a t c e r t a i n r e l a t i o n s

c a n b e f o u n d b e t w e e n t h e s t a t i c a n d d y n a m i c e q u i l i b r i u m c o n c e p t s .

I n 4 9 ] , D u p u i s a n d N a g u r n e y h a v e p r o p o s e d a g e n e r a l s t r a t e g y f o r e m -

b e d d i n g a g i v e n s t a t i c e q u i l i b r i u m p r o b l e m i n t o a d y n a m i c s y s t e m . D u p u i s

a n d N a g u r n e y a s s u m e t h a t t h e s t a t i c e q u i l i b r i u m p r o b l e m c a n b e f o r m u l a t e d

i n t e r m s o f a v a r i a t i o n a l e q u a l i t y ; t h a t i s t o s a y , t h e p r o b l e m i s s p e c i e d b y

g i v i n g a c l o s e d c o n v e x s u b s e t K o f R

k

a n d a f u n c t i o n F f r o m K t o R

k

, a n d

x 2 K i s a n e q u i l i b r i u m i f

h F ( x ) ; x ? x i 0 ( 4 . 3 7 )

f o r a l l x 2 K . T h e f o r m u l a t i o n i n s u c h t e r m s i s s t a n d a r d w i t h i n m a t h e m a t i c a l

p r o g r a m m i n g . W i t h t h e v a r i a t i o n a l p r o b l e m t h e y a s s o c i a t e a d i s c o n t i n u o u s

d y n a m i c a l s y s t e m t h a t i s d e n e d b y _x = ? F ( x ) o n t h e i n t e r i o r o f K b u t t h a t

i s d e n e d d i e r e n t l y o n t h e b o u n d a r y o f K i n s u c h a w a y a s t o m a k e s u r e t h a t

s o l u t i o n s w i l l n o t l e a v e t h e c o n v e x s e t K . T h e y t h e n p r o v e t h a t t h e s t a t i o n a r y

p o i n t s o f t h e s o d e n e d d y n a m i c a l s y s t e m c o i n c i d e w i t h t h e s o l u t i o n s o f t h e

v a r i a t i o n a l e q u a l i t y .

I n s o m e m o r e d e t a i l , t h e c o n s t r u c t i o n p r o p o s e d b y D u p u i s a n d N a g u r n e y

c a n b e d e s c r i b e d a s f o l l o w s . T h e s p a c e R

k

i n w h i c h s t a t e v e c t o r s t a k e t h e i r

v a l u e s i s t a k e n a s a E u c l i d e a n s p a c e w i t h t h e u s u a l i n n e r p r o d u c t . L e t P d e n o t e

t h e m a p p i n g t h a t a s s i g n s t o a g i v e n p o i n t x i n R

k

t h e ( u n i q u e l y d e n e d ) p o i n t




i n K t h a t i s c l o s e s t t o x ; t h a t i s t o s a y ,

P ( x ) = a r g m i n

z 2 K

j j x ? z j j : ( 4 . 3 8 )

F o r x 2 K a n d a v e l o c i t y v e c t o r v 2 R

k

, l e t

( x ; v ) = l i m

! 0

P ( x + v )

? x

: ( 4 . 3 9 )

I f x i s i n t h e i n t e r i o r o f K , t h e n c l e a r l y ( x ; v ) = v ; h o w e v e r i f x i s o n t h e

b o u n d a r y o f K a n d v p o i n t s o u t w a r d s t h e n ( x ; v ) i s a m o d i c a t i o n o f v . T h e

d y n a m i c a l s y s t e m c o n s i d e r e d b y D u p u i s a n d N a g u r n e y i s n o w d e n e d b y

_x = ( x ;

? F ( x ) ) ( 4 . 4 0 )

w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n x

0

i n K . T h e r i g h t h a n d s i d e o f t h i s e q u a t i o n i s i n g e n e r a l

s u b j e c t t o a d i s c o n t i n u o u s c h a n g e w h e n t h e s t a t e v e c t o r r e a c h e s t h e b o u n d a r y

o f K . T h e s t a t e m a y t h e n f o l l o w t h e b o u n d a r y a l o n g a ( k

? 1 ) - d i m e n s i o n a l

s u r f a c e o r a p a r t o f t h e b o u n d a r y c h a r a c t e r i z e d b y m o r e t h a n o n e c o n s t r a i n t ,

a n d a f t e r s o m e t i m e i t m a y r e - e n t e r t h e i n t e r i o r o f K a f t e r w h i c h i t m a y a g a i n

r e a c h t h e b o u n d a r y , a n d s o o n .

I n a d d i t i o n t o t h e e x p r e s s i o n ( 4 . 3 9 ) D u p u i s a n d N a g u r n e y a l s o e m p l o y a

d i e r e n t f o r m u l a t i o n w h i c h h a s b e e n u s e d i n 4 8 ] . F o r t h i s , r s t i n t r o d u c e t h e

s e t o f i n w a r d n o r m a l s w h i c h i s d e n e d , f o r a b o u n d a r y p o i n t x o f K , b y

n ( x ) = f j j j j j = 1 ; a n d h ; x ? y i 0 ; 8 y 2 K g : ( 4 . 4 1 )

I f K i s a c o n v e x p o l y h e d r o n t h e n t h e v e c t o r d e n e d i n ( 4 . 3 9 ) m a y e q u i v a l e n t l y

b e d e s c r i b e d b y

( x ; v ) = v + h v ; ?

i

( 4 . 4 2 )

w h e r e

i s d e n e d b y

: = a r g m a x

2 n ( x )

h v ; ? i : ( 4 . 4 3 )

A f u r t h e r r e f o r m u l a t i o n i s p o s s i b l e b y i n t r o d u c i n g t h e \ c o n e o f a d m i s s i -

b l e v e l o c i t i e s " . T o f o r m u l a t e t h i s c o n c e p t , r s t r e c a l l t h a t a c u r v e i n R

k

i s a

s m o o t h m a p p i n g f r o m a n i n t e r v a l , s a y ( ? 1 ; 1 ) , t o R

k

. A n a d m i s s i b l e v e l o c i t y

a t a p o i n t x w i t h r e s p e c t t o t h e c l o s e d c o n v e x s e t K R

k

i s a n y v e c t o r t h a t

a p p e a r s a s a d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e a t 0 o f a C

1

f u n c t i o n f ( t ) t h a t s a t i s e s

f ( 0 ) = x a n d f ( t ) 2 K f o r t 0 . O n e c a n s h o w t h a t t h e s e t o f a d m i s s i b l e

v e l o c i t i e s i s a c l o s e d c o n v e x c o n e f o r a n y x i n t h e b o u n d a r y o f K ; o f c o u r s e ,

t h e s e t o f a d m i s s i b l e v e l o c i t i e s i s e m p t y w h e n x

62 K a n d c o i n c i d e s w i t h R

k

i f x b e l o n g s t o t h e i n t e r i o r o f K . O n e c a n f u r t h e r m o r e s h o w ( s e e 7 1 ] ) t h a t

t h e m a p p i n g d e n e d i n ( 4 . 4 2 ) f o r g i v e n x i s i n f a c t j u s t t h e p r o j e c t i o n t o t h e

c o n e o f a d m i s s i b l e v e l o c i t i e s . I n t h i s w a y w e g e t a n a l t e r n a t i v e d e n i t i o n o f

p r o j e c t e d d y n a m i c a l s y s t e m s . T h e n e w f o r m u l a t i o n i s m o r e \ i n t r i n s i c " i n a



4 . 1 . E x a m p l e s 8 3

d i e r e n t i a l - g e o m e t r i c s e n s e t h a n t h e o r i g i n a l o n e w h i c h i s b a s e d o n t h e s t a n -

d a r d c o o r d i n a t i z a t i o n o f k - d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e . I n d e e d i t w o u l d b e

p o s s i b l e i n t h i s w a y t o f o r m u l a t e p r o j e c t e d d y n a m i c s f o r s y s t e m s d e n e d o n

R i e m a n n i a n m a n i f o l d s ; t h e i n n e r p r o d u c t o n t a n g e n t s p a c e s t h a t i s p r o v i d e d

b y t h e R i e m a n n i a n s t r u c t u r e m a k e s i t p o s s i b l e t o d e n e t h e r e q u i r e d p r o j e c -

t i o n . O n e p o s s i b l e a p p l i c a t i o n w o u l d b e t h e u s e o f p r o j e c t e d g r a d i e n t o w s t o

n d m i n i m a s u b j e c t t o c o n s t r a i n t s ; c f . f o r i n s t a n c e 7 5 ] f o r t h e u n c o n s t r a i n e d

c a s e .

A s s u m e n o w t h a t t h e s e t K i s g i v e n a s a n i n t e r s e c t i o n o f c o n v e x s e t s o f

t h e f o r m f x j h

i

( x ) 0 g w h e r e t h e f u n c t i o n s h

i

a r e s m o o t h . T h i s i s a c t u a l l y

t h e s i t u a t i o n t h a t o n e t y p i c a l l y n d s i n a p p l i c a t i o n s . I t i s t h e n p o s s i b l e t o

r e f o r m u l a t e t h e p r o j e c t e d d y n a m i c a l s y s t e m a s a c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m .

T h e c o n s t r u c t i o n i s d e s c r i b e d i n 7 1 ] a n d w e s u m m a r i z e i t b r i e y h e r e . L e t

H ( x ) d e n o t e t h e g r a d i e n t m a t r i x d e n e d b y t h e f u n c t i o n s h

i

( x ) ; t h a t i s t o s a y ,

t h e ( i ; j ) - t h e l e m e n t o f H ( x ) i s

( H ( x ) )

i j

=

@ h

i

@ x

j

( x ) : ( 4 . 4 4 )

F o r x 2 K , l e t I ( x ) b e t h e s e t o f \ a c t i v e " i n d i c e s , t h a t i s ,

I ( x ) = f i j h

i

( x ) = 0 g : ( 4 . 4 5 )

W e d e n o t e b y H

I ( x )

t h e m a t r i x f o r m e d b y t h e r o w s o f H ( x ) w h o s e i n d i c e s a r e

a c t i v e ; i t w i l l b e a s s u m e d t h a t t h i s m a t r i x h a s f u l l r o w r a n k f o r a l l x i n t h e

b o u n d a r y o f K ( \ i n d e p e n d e n t c o n s t r a i n t s " ) . O n e c a n t h e n s h o w t h a t f o r e a c h

x 2 K t h e c o n e o f a d m i s s i b l e v e l o c i t i e s i s g i v e n b y f v j H

I ( x )

v 0 g . M o r e o v e r ,

t h e s e t o f i n w a r d n o r m a l s a s d e n e d i n ( 4 . 4 1 ) i s g i v e n b y f j j j j j = 1 a n d =

H

T

I ( x )

u f o r s o m e u 0 g . C o n s e q u e n t l y , t h e p r o j e c t i o n o f a n a r b i t r a r y v e c t o r

v

0

t o t h e c o n e o f a d m i s s i b l e v e l o c i t i e s i s o b t a i n e d b y s o l v i n g t h e m i n i m i z a t i o n

p r o b l e m

m i n

v

f j j v

0

? v j j j H

I ( x )

v 0 g :

B y s t a n d a r d m e t h o d s , o n e n d s t h a t t h e m i n i m i z e r i s g i v e n b y H

T

I ( x )

u w h e r e

u i s t h e ( u n i q u e ) s o l u t i o n o f t h e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m

0 H

I ( x )

v

0

+ H

I ( x )

H

T

I ( x )

u u 0 : ( 4 . 4 6 )

N o w , c o m p a r e t h e p r o j e c t e d d y n a m i c a l s y s t e m ( 4 . 4 0 ) t o t h e c o m p l e m e n t a r i t y

s y s t e m d e n e d b y

_x = ? F ( x ) + H

T

( x ) u ( 4 . 4 7 a )

y = h ( x ) ( 4 . 4 7 b )

0 y u 0 ( 4 . 4 7 c )

w h e r e h ( x ) i s a v e c t o r d e n e d i n t h e o b v i o u s m a n n e r b y ( h ( x ) )

i

= h

i

( x ) , a n d

w h e r e t h e t r a j e c t o r i e s o f a l l v a r i a b l e s a r e r e q u i r e d t o b e c o n t i n u o u s . S u p p o s e




t h a t t h e s y s t e m i s i n i t i a l i z e d a t t = 0 a t a p o i n t x

0

i n K . F o r i n d i c e s i s u c h

t h a t h

i

( x

0

) > 0 , t h e c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s i m p l y t h a t w e m u s t h a v e

u

i

( 0 ) = 0 . F o r i n d i c e s t h a t a r e a c t i v e a t x

0

w e h a v e y

i

( 0 ) = 0 ; t o s a t i s f y

t h e i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s a l s o f o r p o s i t i v e t w e n e e d _y

i

( 0 ) 0 . M o r e o v e r ,

i t f o l l o w s f r o m t h e c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s a n d t h e c o n t i n u i t y c o n d i t i o n s

t h a t w e m u s t h a v e u

i

( 0 ) = 0 f o r i n d i c e s i s u c h t h a t _y

i

( 0 ) = 0 , a n d , v i c e v e r s a ,

_y

i

( 0 ) = 0 f o r i n d i c e s i s u c h t h a t u

i

( 0 ) > 0 . S i n c e

_y

I ( x

0

)

( 0 ) = H

I ( x

0

)

( ? F ( x

0

) + H

T

u ( 0 ) )

= H

I ( x

0

)

( ? F ( x

0

) + H

T

I ( x

0

)

u

I ( x

0

)

( 0 ) )

t h e v e c t o r u

I ( x

0

)

( 0 ) m u s t b e a s o l u t i o n o f t h e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m ( 4 . 4 6 ) .

I t f o l l o w s t h a t H

T

u ( 0 ) i s o f t h e f o r m a p p e a r i n g i n ( 4 . 4 2 ) . T h e r e v e r s e c o n -

c l u s i o n f o l l o w s a s w e l l , a n d m o r e o v e r o n e c a n s h o w t h a t \ l o c a l " e q u a l i t y o f

s o l u t i o n s a s j u s t s h o w n i m p l i e s \ g l o b a l " e q u a l i t y 7 1 ] .

4 . 1 . 7 D i u s i o n w i t h a f r e e b o u n d a r y

I n t h i s s u b s e c t i o n w e c o n s i d e r a s i t u a t i o n i n w h i c h a c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m

a r i s e s a s a n a p p r o x i m a t i o n t o a p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n w i t h a f r e e b o u n d -

a r y . W e s h a l l t a k e a s p e c i c e x a m p l e w h i c h a r i s e s i n t h e t h e o r y o f o p t i o n

p r i c i n g . F o r t h i s w e r s t n e e d t o i n t r o d u c e s o m e t e r m i n o l o g y . A E u r o p e a n p u t

o p t i o n i s a c o n t r a c t t h a t g i v e s t h e h o l d e r t h e r i g h t , b u t n o t t h e o b l i g a t i o n , t o

s e l l a c e r t a i n a s s e t t o t h e c o u n t e r p a r t y i n t h e c o n t r a c t f o r a s p e c i e d p r i c e ( t h e

\ e x e r c i s e p r i c e " ) a t a s p e c i e d t i m e i n t h e f u t u r e ( \ t i m e o f m a t u r i t y " ) . T h e

u n d e r l y i n g a s s e t c a n f o r i n s t a n c e b e a c e r t a i n a m o u n t o f s t o c k s , o r a c e r t a i n

a m o u n t o f f o r e i g n c u r r e n c y . F o r a c o n c r e t e e x a m p l e , c o n s i d e r a n i n v e s t o r w h o

h a s s t o c k s t h a t a r e w o r t h 1 0 0 n o w a n d w h o w o u l d l i k e t o t u r n t h e s e s t o c k s

i n t o c a s h i n o n e y e a r ' s t i m e . O f c o u r s e i t i s h a r d t o p r e d i c t w h a t t h e v a l u e o f

t h e s t o c k s w i l l b e a t t h a t t i m e ; t o m a k e s u r e t h a t t h e p r o c e e d s w i l l b e a t l e a s t

9 0 , t h e i n v e s t o r m a y b u y a p u t o p t i o n w i t h e x e r c i s e p r i c e 9 0 t h a t m a t u r e s i n

o n e y e a r . I n t h i s w a y t h e i n v e s t o r i s s u r e t h a t s h e c a n s e l l t h e s t o c k s f o r a t

l e a s t 9 0 .

O f c o u r s e o n e h a s t o p a y a p r i c e t o b u y s u c h p r o t e c t i o n , a n d i t i s t h e p u r p o s e

o f o p t i o n t h e o r y t o d e t e r m i n e \ r e a s o n a b l e " o p t i o n p r i c e s . T h e m o d e r n t h e o r y

o f o p t i o n p r i c i n g s t a r t e d i n t h e e a r l y s e v e n t i e s w i t h t h e s e m i n a l w o r k b y B l a c k ,

S c h o l e s , a n d M e r t o n . T h i s t h e o r y i s n o t b a s e d o n t h e l a w o f l a r g e n u m b e r s ,

b u t r a t h e r o n t h e o b s e r v a t i o n t h a t t h e r i s k t h a t g o e s w i t h c o n f e r r i n g a n o p t i o n

c o n t r a c t i s n o t a s b i g a s i t w o u l d s e e m t o b e a t r s t s i g h t . B y f o l l o w i n g a n

a c t i v e t r a d i n g s t r a t e g y i n t h e u n d e r l y i n g a s s e t , t h e s e l l e r ( \ w r i t e r " ) o f t h e

o p t i o n w i l l b e a b l e t o r e d u c e t h e r i s k . U n d e r s u i t a b l e m o d e l a s s u m p t i o n s t h e

r i s k c a n e v e n b e c o m p l e t e l y e l i m i n a t e d ; t h a t i s t o s a y , t h e c o s t o f p r o v i d i n g

p r o t e c t i o n b e c o m e s i n d e p e n d e n t o f t h e e v o l u t i o n o f t h e v a l u e o f t h e u n d e r l y i n g

a s s e t a n d h e n c e c a n b e p r e d i c t e d i n a d v a n c e . T h e \ n o - a r b i t r a g e " a r g u m e n t

t h e n s t a t e s t h a t t h i s x e d c o s t m u s t , b y t h e f o r c e o f c o m p e t i t i o n , b e t h e m a r k e t

p r i c e o f t h e o p t i o n . T h e m o d e l a s s u m p t i o n s u n d e r w h i c h o n e c a n s h o w t h a t



4 . 1 . E x a m p l e s 8 5

t h e r i s k o f w r i t i n g a n o p t i o n c a n b e e l i m i n a t e d a r e t o o s t r o n g t o b e c o m p l e t e l y

r e a l i s t i c ; n e v e r t h e l e s s , t h e y p r o v i d e a g o o d g u i d e l i n e f o r d e v i s i n g s t r a t e g i e s

t h a t a t l e a s t a r e a b l e t o r e d u c e r i s k s u b s t a n t i a l l y .

O n e o f t h e a s s u m p t i o n s m a d e i n t h e o r i g i n a l w o r k o f B l a c k a n d S c h o l e s 2 0 ]

i s t h a t t h e p r i c e p a t h s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t m a y b e d e s c r i b e d b y a s t o c h a s t i c

d i e r e n t i a l e q u a t i o n o f t h e f o r m

d S ( t ) = S ( t ) d t + S ( t ) d w ( t ) ( 4 . 4 8 )

w h e r e w ( t ) d e n o t e s a s t a n d a r d W i e n e r p r o c e s s . ( S e e a n y t e x t b o o k o n S D E s , f o r

i n s t a n c e 1 2 2 ] , f o r t h e m e a n i n g o f t h e a b o v e . ) U n d e r a n u m b e r o f a d d i t i o n a l

a s s u m p t i o n s ( f o r i n s t a n c e : t h e u n d e r l y i n g a s s e t c a n b e t r a d e d c o n t i n u o u s l y

a n d w i t h o u t t r a n s a c t i o n c o s t s , a n d t h e r e i s o n e x e d i n t e r e s t r a t e r w h i c h

h o l d s b o t h f o r b o r r o w i n g a n d f o r l e n d i n g ) , B l a c k a n d S c h o l e s d e r i v e d a p a r t i a l

d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t d e s c r i b e s t h e p r i c e o f t h e o p t i o n a t a n y t i m e b e f o r e

m a t u r i t y a s a f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s , n a m e l y t i m e t a n d t h e p r i c e S o f t h e

u n d e r l y i n g a s s e t . T h e B l a c k - S c h o l e s e q u a t i o n f o r t h e o p t i o n p r i c e C ( S ; t ) i s

( w i t h o m i s s i o n o f t h e a r g u m e n t s )

@ C

@ t

+

1

2

2

S

2

@

2

C

@ S

2

+ r S

@ C

@ S

? r C = 0 ( 4 . 4 9 )

w i t h e n d c o n d i t i o n f o r t i m e o f m a t u r i t y T a n d e x e r c i s e p r i c e K

C ( S ; T ) = m a x ( K ? S ; 0 ) ( 4 . 5 0 )

a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s

C ( 0 ; t ) = e

? r ( T ? t )

K ; l i m

S ! 1

C ( S ; t ) = 0 : ( 4 . 5 1 )

I t t u r n s o u t t h a t t h e \ d r i f t " p a r a m e t e r i n t h e e q u a t i o n ( 4 . 4 8 ) i s i m m a t e r i a l ,

w h e r e a s t h e \ v o l a t i l i t y " p a r a m e t e r i s v e r y i m p o r t a n t s i n c e i t d e t e r m i n e s t h e

d i u s i o n c o e c i e n t i n t h e P D E ( 4 . 4 9 ) .

S o f a r w e h a v e b e e n d i s c u s s i n g a E u r o p e a n p u t o p t i o n . A n A m e r i c a n p u t

o p t i o n i s t h e s a m e e x c e p t t h a t t h e o p t i o n m a y b e e x e r c i s e d a t a n y t i m e u n t i l

t h e m a t u r i t y d a t e , r a t h e r t h a n o n l y a t t h e t i m e o f m a t u r i t y . ( T h e t e r m s

\ E u r o p e a n " a n d \ A m e r i c a n " j u s t s e r v e a s a w a y o f d i s t i n c t i o n ; b o t h t y p e s o f

o p t i o n s a r e t r a d e d i n b o t h c o n t i n e n t s . ) T h e p o s s i b i l i t y o f e a r l y e x e r c i s e b r i n g s

a d i s c r e t e e l e m e n t i n t o t h e d i s c u s s i o n , s i n c e a t a n y t i m e t h e o p t i o n m a y b e i n

t w o s t a t e s : \ a l i v e " o r \ e x e r c i s e d " . F o r A m e r i c a n o p t i o n s , t h e B l a c k - S c h o l e s

e q u a t i o n ( 4 . 4 9 ) i s r e p l a c e d b y a n i n e q u a l i t y

@ C

@ t

+

1

2

2

S

2

@

2

C

@ S

2

+ r S

@ C

@ S

? r C 0 ( 4 . 5 2 )

i n w h i c h e q u a l i t y h o l d s i f t h e o p t i o n i s n o t e x e r c i s e d , t h a t i s , i f i t s v a l u e e x c e e d s

t h e r e v e n u e s o f e x e r c i s e . F o r t h e p u t o p t i o n , t h i s i s e x p r e s s e d b y t h e i n e q u a l i t y

C ( S ; t ) > m a x ( K ? S ; 0 ) : ( 4 . 5 3 )




T h e B l a c k - S c h o l e s e q u a t i o n ( 4 . 4 9 ) i s a n o n l i n e a r p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

A s i m p l e s u b s t i t u t i o n , h o w e v e r , w i l l t r a n s f o r m i t t o a l i n e a r P D E . T o t h i s e n d ,

e x p r e s s t h e p r i c e o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t S i n t e r m s o f a n e w ( d i m e n s i o n l e s s )

i n d e p e n d e n t v a r i a b l e x b y

S = K e

x

:

T o m a k e t h e o p t i o n p r i c e d i m e n s i o n l e s s a s w e l l , i n t r o d u c e v : = C = K . W e

a l s o c h a n g e t h e n a l v a l u e p r o b l e m ( 4 . 4 9 { 4 . 5 0 ) t o a n i n i t i a l v a l u e p r o b l e m b y

s e t t i n g s e t = T

? t . A f t e r s o m e c o m p u t a t i o n , w e n d t h a t t h e e q u a t i o n

( 4 . 4 9 ) i s r e p l a c e d b y

?

@ v

@

+

1

2

2

@

2

v

@ x

2

+ ( r ?

1

2

2

)

@ v

@ x

? r v = 0 : ( 4 . 5 4 )

w i t h t h e i n i t a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( f o r t h e E u r o p e a n p u t o p t i o n )

v ( x ; 0 ) = m a x ( 1

? e

x

; 0 ) ; l i m

x ! ? 1

v ( x ; ) = e

? r

; l i m

x ! 1

v ( x ; ) = 0 :

( 4 . 5 5 )

F o r t h e A m e r i c a n p u t o p t i o n , w e g e t t h e s e t o f i n e q u a l i t i e s

@ v

@

?

1

2

2

@

2

v

@ x

2

? ( r ?

1

2

2

)

@ v

@ x

+ r v 0 ( 4 . 5 6 )

v m a x ( 1 ? e

x

; 0 ) ( 4 . 5 7 )

w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

l i m

x ! 1

v ( x ; ) = 0 ( 4 . 5 8 )

a n d

v ( x ; ) = 1 ? e

x

f o r x x

f

( ) ( 4 . 5 9 )

w h e r e x

f

( ) i s t h e l o c a t i o n a t t i m e o f t h e f r e e b o u n d a r y w h i c h s h o u l d b e

d e t e r m i n e d a s p a r t o f t h e p r o b l e m o n t h e b a s i s o f t h e s o - c a l l e d \ s m o o t h p a s t -

i n g " o r \ h i g h c o n t a c t " c o n d i t i o n s w h i c h r e q u i r e t h a t v a n d @ v = @ x s h o u l d b e

c o n t i n u o u s a s f u n c t i o n s o f x a c r o s s t h e f r e e b o u n d a r y .

D e n e t h e f u n c t i o n g ( x ) b y

g ( x ) = m a x ( 1

? e

x

; 0 ) : ( 4 . 6 0 )

T h e p a r t i a l d i e r e n t i a l i n e q u a l i t y ( 4 . 5 6 ) a n d i t s a s s o c i a t e d b o u n d a r y c o n d i -

t i o n s m a y t h e n b e w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n g f o r m w h i c h i s i m p l i c i t w i t h r e s p e c t

t o t h e f r e e b o u n d a r y :

(

@ v

@

?

1

2

2

@

2

v

@ x

2

? ( r ?

1

2

2

)

@ v

@ x

+ r v ) ( v ? g ) = 0 ( 4 . 6 1 a )

@ v

@

?

1

2

2

@

2

v

@ x

2

? ( r ?

1

2

2

)

@ v

@ x

+ r v 0 ; v ? g 0 : ( 4 . 6 1 b )



4 . 1 . E x a m p l e s 8 7

T h i s a l r e a d y s u g g e s t s a c o m p l e m e n t a r i t y f o r m u l a t i o n . I n d e e d , t h e a b o v e m i g h t

b e c o n s i d e r e d a s a n e x a m p l e o f a n i n n i t e - d i m e n s i o n a l c o m p l e m e n t a r i t y s y s -

t e m , b o t h i n t h e s e n s e t h a t t h e s t a t e s p a c e d i m e n s i o n i s i n n i t e a n d i n t h e

s e n s e t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y c o m p l e m e n t a r i t y r e l a t i o n s t o b e s a t i s e d .

A c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m o f t h e t y p e t h a t w e u s u a l l y s t u d y i n t h i s c h a p -

t e r i s o b t a i n e d b y a p p r o x i m a t i n g t h e i n n i t e - d i m e n s i o n a l s y s t e m b y a n i t e -

d i m e n s i o n a l s y s t e m . F o r t h e c u r r e n t a p p l i c a t i o n i t s e e m s r e a s o n a b l e t o c a r r y

o u t t h e a p p r o x i m a t i o n b y w h a t i s k n o w n i n n u m e r i c a l a n a l y s i s a s t h e \ m e t h o d

o f l i n e s " . I n t h i s a p p r o a c h t h e r e i s a r s t s t a g e i n w h i c h t h e s p a c e v a r i a b l e

i s d i s c r e t i z e d b u t t h e t i m e v a r i a b l e i s n o t . S p e c i c a l l y , t a k e a g r i d o f , s a y , N

p o i n t s i n t h e s p a c e v a r i a b l e ( i n o u r c a s e t h i s i s t h e d i m e n s i o n l e s s p r i c e v a r i a b l e

x ) , a n d a s s o c i a t e t o e a c h g r i d p o i n t x

i

a v a r i a b l e x

i

( t ) w h i c h i s i n t e n d e d t o b e

a n a p p r o x i m a t i o n t o v ( x

i

; t ) . T h e a c t i o n o f t h e l i n e a r d i e r e n t i a l o p e r a t o r

v 7!

1

2

2

@

2

v

@ x

2

+ ( r ?

1

2

2

)

@ v

@ x

? r v ( 4 . 6 2 )

c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a l i n e a r m a p p i n g a c t i n g o n t h e s p a c e s p a n n e d b y t h e

v a r i a b l e s x

1

; : : : ; x

N

. F o r i n s t a n c e , o n a n e v e n l y s p a c e d g r i d a n a p p r o x i m a t i o n

t o t h e r s t - o r d e r d i e r e n t i a l o p e r a t o r @ = @ x i s g i v e n b y

A

1

=

1

2 h

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

? 2 2 0 0

? 1 0 1 0

.

.

.

0 ? 1 0 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

.

.

. 0 ? 1 0 1

0 0 ? 2 2

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 4 . 6 3 )

w h e r e h i s t h e m e s h s i z e , a n d t h e s e c o n d - o r d e r d i e r e n t i a l o p e r a t o r @

2

= @ x

2

i s

a p p r o x i m a t e d b y

A

2

=

1

h

2

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

? 2 1 0

0

1 ? 2 1 0

.

.

.

0 1 ? 2 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

.

.

. 0 1 ? 2 1

0

0 1

? 2

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 4 . 6 4 )

T h e m a p p i n g ( 4 . 6 2 ) i s t h e n a p p r o x i m a t e d b y t h e m a t r i x

A =

1

2

2

A

2

+ ( r ?

1

2

2

) A

1

? r I : ( 4 . 6 5 )




T h e f u n c t i o n g ( x ) i s r e p r e s e n t e d b y t h e v e c t o r g w i t h e n t r i e s g

i

= g ( x

i

) .

C o n s i d e r n o w t h e l i n e a r c o m p l e m e n t a r y s y s t e m w i t h N + 1 s t a t e v a r i a b l e s a n d

N p a i r s o f c o m p l e m e n t a r y v a r i a b l e s g i v e n b y

_x =

2

4

A 0

0 0

3

5

x +

2

4

I

0

3

5

u ( 4 . 6 6 a )

y = I ? g ] x ( 4 . 6 6 b )

0 y u 0 : ( 4 . 6 6 c )

T h e s y s t e m i s i n i t i a l i z e d a t

x

i

( 0 ) = g

i

( i = 1 ; : : : ; N ) ; x

N + 1

( 0 ) = 1 : ( 4 . 6 7 )

T h e c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m d e n e d i n t h i s w a y i s a n a t u r a l c a n d i d a t e f o r p r o -

v i d i n g a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n t o t h e d i u s i o n e q u a t i o n w i t h a f r e e b o u n d a r y

t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e B l a c k - S c h o l e s e q u a t i o n f o r a n A m e r i c a n p u t o p t i o n .

A n a t u r a l i d e a f o r g e n e r a t i n g a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s o f c o m p l e m e n t a r i t y

s y s t e m s i s t o u s e a n i m p l i c i t E u l e r m e t h o d . F o r l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s -

t e m s o f t h e f o r m

_x = A x + B u

y = C x + D u

0 y u 0

( 4 . 6 8 )

t h e m e t h o d m a y b e w r i t t e n a s f o l l o w s :

x

k + 1

? x

k

t

= A x

k + 1

+ B u

k + 1

( 4 . 6 9 a )

y

k + 1

= C x

k + 1

+ D u

k + 1

( 4 . 6 9 b )

0 y

k + 1

u

k + 1

0 ( 4 . 6 9 c )

w h e r e x

k

i s i n t e n d e d t o b e a n a p p r o x i m a t i o n t o x ( k t ) , a n d s i m i l a r l y f o r

y a n d u . A t e a c h s t e p t h i s g i v e s r i s e t o a c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m w h i c h

u n d e r s u i t a b l e a s s u m p t i o n s h a s a u n i q u e s o l u t i o n . T h e r e s u l t s o f a p p l y i n g

t h i s m e t h o d a b o v e t o t h e e q u a t i o n s f o r a n A m e r i c a n p u t o p t i o n a r e s h o w n i n

F i g . 4 . 1 ; t h e g u r e s h o w s s o l u t i o n s f o r v a r i o u s t i m e s b e f o r e e x p i r y a s a f u n c t i o n

o f t h e v a l u e o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t ( t h e v a r i a b l e S ) .

A m o r e s t a n d a r d n u m e r i c a l m e t h o d f o r d e a l i n g w i t h t h e A m e r i c a n - s t y l e

B l a c k - S c h o l e s e q u a t i o n i s t h e n i t e - d i e r e n c e m e t h o d i n w h i c h b o t h t h e t i m e

a n d s p a c e v a r i a b l e s a r e d i s c r e t i z e d ; s e e f o r i n s t a n c e 1 5 8 ] . I n g e n e r a l , a n a d v a n -

t a g e o f a \ s e m i d i s c r e t i z a t i o n " a p p r o a c h o v e r a n a p p r o a c h i n w h i c h a l l v a r i a b l e s

a r e d i s c r e t i z e d s i m u l t a n e o u s l y i s t h a t o n e m a y m a k e u s e o f t h e h i g h l y d e v e l -

o p e d t h e o r y o f s t e p s i z e c o n t r o l f o r n u m e r i c a l s o l u t i o n s o f O D E s , r a t h e r t h a n



4 . 1 . E x a m p l e s 8 9

0.5 1 1.5 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

F i g u r e 4 . 1 : V a l u e o f a n A m e r i c a n p u t o p t i o n a t d i e r e n t t i m e s b e f o r e e x p i r y .

u s i n g a u n i f o r m g r i d . W e a r e o f c o u r s e w o r k i n g h e r e w i t h a c o m p l e m e n t a r -

i t y s y s t e m r a t h e r t h a n a n O D E , a n d i t m u s t b e s a i d t h a t t h e t h e o r y o f s t e p

s i z e c o n t r o l f o r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s i s a t a n e a r l y s t a g e o f d e v e l o p m e n t .

M o r e o v e r , t h e t h e o r y o f a p p r o x i m a t i o n o f f r e e - b o u n d a r y p r o b l e m s b y c o m p l e -

m e n t a r i t y s y s t e m s h a s b e e n p r e s e n t e d h e r e o n l y f o r a s p e c i a l c a s e a n d o n t h e

b a s i s o f p l a u s i b i l i t y r a t h e r t h a n f o r m a l p r o o f , a n d m u c h f u r t h e r w o r k o n t h i s

t o p i c i s n e e d e d .

4 . 1 . 8 M a x - p l u s s y s t e m s

F r o m t h e f a c t t h a t t h e r e l a t i o n

z = m a x ( x ; y ) ( 4 . 7 0 )

m a y a l s o b e w r i t t e n i n t h e f o r m

z = x + a = y + b ; 0 a b 0 ( 4 . 7 1 )

i t f o l l o w s t h a t a n y s y s t e m t h a t c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f l i n e a r o p e r a t i o n s

a n d t h e \ m a x " o p e r a t i o n c a n a l s o b e w r i t t e n a s a c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m .

I n p a r t i c u l a r i t f o l l o w s t h a t t h e s o - c a l l e d m a x - p l u s s y s t e m s ( s e e 1 3 ] ) , w h i c h

a r e c l o s e l y r e l a t e d t o t i m e d P e t r i n e t s , c a n b e w r i t t e n a s c o m p l e m e n t a r i t y

s y s t e m s . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s a p p e a r i n d i s c r e t e t i m e , a s o p p o s e d t o t h e

o t h e r e x a m p l e s i n t h i s s e c t i o n w h i c h a r e a l l i n c o n t i n u o u s t i m e ; n o t e h o w e v e r




t h a t t h e \ t i m e " p a r a m e t e r i n a m a x - p l u s s y s t e m i s i n t h e s t a n d a r d a p p l i c a t i o n s

a c y c l e c o u n t e r r a t h e r t h a n a c t u a l t i m e . F o r f u r t h e r d i s c u s s i o n o f t h e r e l a t i o n

b e t w e e n t h e m a x a l g e b r a a n d t h e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s e e 4 4 ] .

4 . 2 E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s

H y b r i d s y s t e m s p r o v i d e a r a t h e r w i d e m o d e l i n g c o n t e x t , s o t h a t t h e r e a r e

n o e a s i l y v e r i a b l e n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r w e l l - p o s e d n e s s o f

g e n e r a l h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m s . I t i s a l r e a d y o f i n t e r e s t t o g i v e s u c i e n t

c o n d i t i o n s f o r w e l l - p o s e d n e s s o f p a r t i c u l a r c l a s s e s o f h y b r i d s y s t e m s , s u c h a s

c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . T h e a d v a n t a g e o f c o n s i d e r i n g s p e c i a l c l a s s e s i s t h a t

o n e c a n h o p e f o r c o n d i t i o n s t h a t a r e r e l a t i v e l y e a s y t o v e r i f y . I n a n u m b e r o f

s p e c i a l c a s e s , s u c h a s m e c h a n i c a l s y s t e m s o r e l e c t r i c a l n e t w o r k m o d e l s , t h e r e

a r e m o r e o v e r n a t u r a l c a n d i d a t e s f o r s u c h s u c i e n t c o n d i t i o n s .

U n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s w i l l b e l o w a l w a y s b e u n d e r s t o o d i n t h e s e n s e o f

w h a t i s s o m e t i m e s c a l l e d r i g h t u n i q u e n e s s , t h a t i s , u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s

d e n e d o n a n i n t e r v a l t

0

; t

1

) g i v e n a n i n i t i a l s t a t e a t t

0

. I t c a n e a s i l y h a p p e n i n

g e n e r a l h y b r i d s y s t e m s , a n d e v e n i n c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s , t h a t u n i q u e n e s s

h o l d s i n o n e d i r e c t i o n o f t i m e b u t n o t i n t h e o t h e r ; t a k e f o r i n s t a n c e t h e t w o -

c a r t s e x a m p l e o f S u b s e c t i o n 2 . 2 . 9 w i t h z e r o r e s t i t u t i o n c o e c i e n t . W e h a v e

h e r e o n e o f t h e p o i n t s i n w h i c h d i s c o n t i n u o u s d y n a m i c a l s y s t e m s d i e r f r o m

s m o o t h s y s t e m s . T o a l l o w f o r t h e p o s s i b i l i t y o f a n i n i t i a l j u m p , o n e m a y l e t

t h e i n i t i a l c o n d i t i o n b e g i v e n a t t

?

0

.

W e h a v e t o d i s t i n g u i s h b e t w e e n l o c a l a n d g l o b a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s .

L o c a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s , f o r s o l u t i o n s s t a r t i n g a t t

0

, h o l d s i f t h e r e e x i s t s

a n " > 0 s u c h t h a t o n t

0

; t

0

+ " ) t h e r e i s a u n i q u e s o l u t i o n s t a r t i n g a t t h e g i v e n

i n i t i a l c o n d i t i o n . F o r g l o b a l e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s , w e r e q u i r e t h a t f o r

g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n t h e r e i s a u n i q u e s o l u t i o n o n t

0

; 1 ) . I f l o c a l u n i q u e n e s s

h o l d s f o r a l l i n i t i a l c o n d i t i o n s a n d e x i s t e n c e h o l d s g l o b a l l y , t h e n u n i q u e n e s s

m u s t a l s o h o l d g l o b a l l y s i n c e t h e r e i s n o p o i n t a t w h i c h s o l u t i o n s c a n s p l i t .

H o w e v e r l o c a l e x i s t e n c e d o e s n o t i m p l y g l o b a l e x i s t e n c e . T h i s p h e n o m e n o n i s

a l r e a d y w e l l - k n o w n i n t h e t h e o r y o f s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s ; f o r i n s t a n c e

t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n _x ( t ) = x

2

( t ) w i t h x ( 0 ) = x

0

h a s t h e u n i q u e s o l u t i o n

x ( t ) = x

0

( 1 ? x

0

t )

? 1

w h i c h f o r p o s i t i v e x

0

i s d e n e d o n l y o n t h e i n t e r v a l

0 ; x

? 1

0

) . S o m e g r o w t h c o n d i t i o n s h a v e t o b e i m p o s e d t o p r e v e n t t h i s \ e s c a p e t o

i n n i t y " . I n h y b r i d s y s t e m s , t h e r e a r e a d d i t i o n a l r e a s o n s w h y g l o b a l e x i s t e n c e

m a y f a i l ; i n p a r t i c u l a r w e m a y h a v e a n a c c u m u l a t i o n o f m o d e s w i t c h e s . A n

e x a m p l e w h e r e s u c h a n a c c u m u l a t i o n o c c u r s w a s a l r e a d y d i s c u s s e d i n C h a p t e r

1 ( s e e ( 1 . 1 2 ) ) . A n o t h e r e x a m p l e c o m e s f r o m t h e s o - c a l l e d F u l l e r p h e n o m e n o n

i n o p t i m a l c o n t r o l t h e o r y 1 0 6 ] . F o r t h e p r o b l e m g i v e n b y t h e e q u a t i o n s _x

1

( t ) =

x

2

( t ) , _x

2

( t ) = u ( t ) w i t h e n d c o n s t r a i n t x ( T ) = 0 , c o n t r o l c o n s t r a i n t s j u ( t ) j 1 ,

a n d c o s t f u n c t i o n a l

R

T

0

x

2

1

( t ) d t , i t t u r n s o u t t h a t t h e o p t i m a l c o n t r o l i s b a n g -

b a n g ( i . . e . i t t a k e s o n o n l y t h e t w o e x t r e m e v a l u e s 1 a n d ? 1 ) a n d h a s a n

i n n i t e n u m b e r o f s w i t c h e s . A s s h o w n i n 9 0 ] , t h e p h e n o m e n o n i s n o t a t a l l

r a r e .



4 . 3 . T h e m o d e s e l e c t i o n p r o b l e m 9 1

4 . 3 T h e m o d e s e l e c t i o n p r o b l e m

A s n o t e d i n 1 3 8 ] i t i s n o t d i c u l t t o n d e x a m p l e s o f c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s

t h a t e x h i b i t n o n u n i q u e n e s s o f s m o o t h c o n t i n u a t i o n s . F o r a s i m p l e e x a m p l e o f

t h i s p h e n o m e n o n w i t h i n a s w i t c h i n g c o n t r o l f r a m e w o r k , c o n s i d e r t h e p l a n t

_x

1

= x

2

; y = x

2

_x

2

= ? x

1

? u

( 4 . 7 2 )

i n c l o s e d - l o o p w i t h a s w i t c h i n g c o n t r o l s c h e m e o f r e l a y t y p e

u ( t ) = 1 ; i f y ( t ) > 0

? 1 u ( t ) 1 ; i f y ( t ) = 0

u ( t ) = ? 1 ; i f y ( t ) < 0 :

( 4 . 7 3 )

( T h i s c o u l d b e i n t e r p r e t e d a s a m a s s - s p r i n g s y s t e m s u b j e c t t o a \ r e v e r s e d "

| a n d t h e r e f o r e n o n - p h y s i c a l | C o u l o m b f r i c t i o n . ) I t w a s s h o w n i n S u b -

s e c t i o n 4 . 1 . 4 t h a t s u c h a v a r i a b l e - s t r u c t u r e s y s t e m c a n b e m o d e l e d a s a c o m -

p l e m e n t a r i t y s y s t e m . N o t e t h a t f r o m a n y i n i t i a l ( c o n t i n u o u s ) s t a t e x ( 0 ) =

( x

1

( 0 ) ; x

2

( 0 ) ) = ( c ; 0 ) , w i t h j c j 1 , t h e r e a r e t h r e e p o s s i b l e s m o o t h c o n t i n u a -

t i o n s f o r t 0 t h a t a r e a l l o w e d b y t h e e q u a t i o n s a n d i n e q u a l i t i e s a b o v e :

( i ) x

1

( t ) = x

1

( 0 ) ; x

2

( t ) = 0 ; u ( t ) = ? x

1

( 0 ) ; ? 1 u ( t ) 1 ;

y ( t ) = x

2

( t ) = 0

( i i ) x

1

( t ) = ? 1 + ( x

1

( 0 ) + 1 ) c o s t ; x

2

( t ) = ? ( x

1

( 0 ) + 1 ) s i n t ;

u ( t ) = 1 ; y ( t ) = x

2

( t ) < 0

( i i i ) x

1

( t ) = 1 + ( x

1

( 0 ) ? 1 ) c o s t ; x

2

( t ) = ? ( x

1

( 0 ) ? 1 ) s i n t ;

u ( t ) = ? 1 ; y ( t ) = x

2

( t ) > 0 :

S o t h e a b o v e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s n o t w e l l - p o s e d a s a d y n a m i c a l s y s t e m . I f

t h e s i g n o f t h e f e e d b a c k c o u p l i n g i s r e v e r s e d , h o w e v e r , t h e r e i s o n l y o n e s m o o t h

c o n t i n u a t i o n f r o m e a c h i n i t i a l s t a t e . T h i s s h o w s t h a t w e l l - p o s e d n e s s i s a n o n -

t r i v i a l i s s u e t o d e c i d e u p o n i n a h y b r i d s y s t e m , a n d i n p a r t i c u l a r i s a m e a n i n g f u l

p e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c f o r h y b r i d s y s t e m s a r i s i n g f r o m s w i t c h i n g c o n t r o l

s c h e m e s .

I n t h i s s e c t i o n w e f o l l o w t h e t r e a t m e n t o f 1 4 0 ] a n d c o n s i d e r s y s t e m s o f t h e

f o r m

_x ( t ) = f ( x ( t ) ; u ( t ) ) ; x 2 R

n

; u 2 R

k

( 4 . 7 4 a )

y ( t ) = h ( x ( t ) ; u ( t ) ) ; y 2 R

k

( 4 . 7 4 b )

w i t h t h e a d d i t i o n a l c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s

0 y ( t ) u ( t ) 0 : ( 4 . 7 5 )




T h e f u n c t i o n s f a n d h w i l l a l w a y s b e a s s u m e d t o b e s m o o t h .

T h e c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s ( 4 . 7 5 ) i m p l y t h a t f o r s o m e i n d e x s e t I

f 1 ; : : : ; k g o n e h a s t h e a l g e b r a i c c o n s t r a i n t s

y

i

( t ) = 0 ( i 2 I ) ; u

i

( t ) = 0 ( i 62 I ) : ( 4 . 7 6 )

N o t e t h a t ( 4 . 7 6 ) a l w a y s r e p r e s e n t s k c o n s t r a i n t s w h i c h a r e t o b e t a k e n i n

c o n j u n c t i o n w i t h t h e s y s t e m o f n d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n n + k v a r i a b l e s

a p p e a r i n g i n ( 4 . 7 4 ) . T h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g w h i c h i n d e x s e t I h a s t h e

p r o p e r t y t h a t t h e s o l u t i o n o f ( 4 . 7 4 { 4 . 7 6 ) c o i n c i d e s w i t h t h a t o f ( 4 . 7 4 { 4 . 7 5 ) ,

a t l e a s t o n a n i n i t i a l t i m e i n t e r v a l , i s c a l l e d t h e m o d e s e l e c t i o n p r o b l e m . T h e

i n d e x s e t I r e p r e s e n t s t h e m o d e o f t h e s y s t e m .

O n e a p p r o a c h t o s o l v i n g t h e m o d e s e l e c t i o n p r o b l e m w o u l d s i m p l y b e t o

t r y a l l p o s s i b i l i t i e s : s o l v e ( 4 . 7 4 ) t o g e t h e r w i t h ( 4 . 7 6 ) f o r s o m e c h o s e n c a n d i d a t e

i n d e x s e t I , a n d s e e w h e t h e r t h e c o m p u t e d s o l u t i o n i s s u c h t h a t t h e i n e q u a l i t y

c o n s t r a i n t s y ( t ) 0 a n d u ( t ) 0 a r e s a t i s e d o n s o m e i n t e r v a l 0 ; " ] . U n -

d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t s m o o t h c o n t i n u a t i o n i s p o s s i b l e f r o m x

0

, t h e r e m u s t

a t l e a s t b e o n e i n d e x s e t f o r w h i c h t h e c o n s t r a i n t s w i l l i n d e e d b e s a t i s e d .

T h i s m e t h o d r e q u i r e s i n t h e w o r s t c a s e t h e i n t e g r a t i o n o f 2

k

s y s t e m s o f n + k

d i e r e n t i a l / a l g e b r a i c e q u a t i o n s i n n + k u n k n o w n s .

I n o r d e r t o d e v e l o p a n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h w h i c h l e a d s t o a n a l g e b r a i c

p r o b l e m f o r m u l a t i o n , l e t u s n o t e r s t t h a t w e c a n d e r i v e f r o m ( 4 . 7 4 ) a n u m b e r

o f r e l a t i o n s b e t w e e n t h e s u c c e s s i v e t i m e d e r i v a t i v e s o f y ( ) , e v a l u a t e d a t t = 0 ,

a n d t h e s a m e q u a n t i t i e s d e r i v e d f r o m u ( ) . B y s u c c e s s i v e l y d i e r e n t i a t i n g

( 4 . 7 4 b ) a n d u s i n g ( 4 . 7 4 a ) , w e g e t

y ( t ) = h ( x ( t ) ; u ( t ) ) ;

_y ( t ) =

@ h

@ x

( x ( t ) ; u ( t ) ) f ( x ( t ) ; u ( t ) ) +

@ h

@ u

( x ( t ) ; u ( t ) ) _u ( t )

= : F

1

( x ( t ) ; u ( t ) ; _u ( t ) ) ;

a n d i n g e n e r a l

y

( j )

( t ) = F

j

( x ( t ) ; u ( t ) ; : : : ; u

( j )

( t ) ) ( 4 . 7 7 )

w h e r e F

j

i s a f u n c t i o n t h a t c a n b e s p e c i e d e x p l i c i t l y i n t e r m s o f f a n d h .

F r o m t h e c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s ( 4 . 7 5 ) , i t f o l l o w s m o r e o v e r t h a t f o r e a c h

i n d e x i e i t h e r

( y

i

( 0 ) ; _y

i

( 0 ) ; : : : ) = 0 a n d ( u

i

( 0 ) ; _u

i

( 0 ) ; : : : ) 0 ( 4 . 7 8 )

o r

( y

i

( 0 ) ; _y

i

( 0 ) ; : : : ) 0 a n d ( u

i

( 0 ) ; _u

i

( 0 ) ; : : : ) = 0 ( 4 . 7 9 )

( o r b o t h ) , w h e r e w e u s e t h e s y m b o l

t o d e n o t e l e x i c o g r a p h i c n o n n e g a t i v i t y .

( A s e q u e n c e ( a

0

; a

1

; : : : ) o f r e a l n u m b e r s i s s a i d t o b e l e x i c o g r a p h i c a l l y n o n -

n e g a t i v e i f e i t h e r a l l a

i

a r e z e r o o r t h e r s t n o n z e r o e l e m e n t i s p o s i t i v e . ) T h i s




s u g g e s t s t h e f o r m u l a t i o n o f t h e f o l l o w i n g \ d y n a m i c c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m . "

P r o b l e m D C P . G i v e n s m o o t h f u n c t i o n s F

j

: R

n + ( j + 1 ) k

! R

k

( j = 0 ; 1 ; : : : ; )

t h a t a r e c o n s t r u c t e d f r o m s m o o t h f u n c t i o n s f : R

n

! R

n

a n d h : R

n

! R

k

v i a ( 4 . 7 7 ) , n d , f o r g i v e n x

0

2 R

n

, s e q u e n c e s ( y

0

; y

1

; : : : ) a n d ( u

0

; u

1

; : : : ) o f

k - v e c t o r s s u c h t h a t f o r a l l j w e h a v e

y

j

= F

j

( x

0

; u

0

; : : : ; u

j

) ( 4 . 8 0 )

a n d f o r e a c h i n d e x i 2 f 1 ; : : : ; k g a t l e a s t o n e o f t h e f o l l o w i n g i s t r u e :

( y

0

i

; y

1

i

; : : : ) = 0 a n d ( u

0

i

; u

1

i

; : : : ) 0 ( 4 . 8 1 )

( y

0

i

; y

1

i

; : : : ) 0 a n d ( u

0

i

; u

1

i

; : : : ) = 0 : ( 4 . 8 2 )

W e s h a l l a l s o c o n s i d e r t r u n c a t e d v e r s i o n s w h e r e j o n l y t a k e s o n t h e v a l u e s

f r o m 0 u p t o s o m e i n t e g e r ̀ ; t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b l e m w i l l b e d e n o t e d

b y D C P ( ̀ ) . I t f o l l o w s f r o m t h e t r i a n g u l a r s t r u c t u r e o f t h e e q u a t i o n s t h a t

i f ( ( y

0

; : : : ; y

̀

) ; ( u

0

; : : : ; u

̀

) ) i s a s o l u t i o n o f D C P ( ̀ ) , t h e n , f o r a n y ̀

0

< ̀ ,

( ( y

0

; : : : ; y

̀

0

) ; ( u

0

; : : : ; u

̀

0

) ) i s a s o l u t i o n o f D C P ( ̀

0

) . W e c a l l t h i s t h e n e s t i n g

p r o p e r t y o f s o l u t i o n s . W e d e n e t h e a c t i v e i n d e x s e t a t s t a g e ̀ , d e n o t e d b y I

̀

,

a s t h e s e t o f i n d i c e s i f o r w h i c h ( u

0

i

; : : : ; u

̀

i

) 0 i n a l l s o l u t i o n s o f D C P ( ̀ ) , s o

t h a t n e c e s s a r i l y y

j

i

= 0 f o r a l l j i n a n y s o l u t i o n o f D C P ( i f o n e e x i s t s ) . L i k e w i s e

w e d e n e t h e i n a c t i v e i n d e x s e t a t s t a g e ̀ , d e n o t e d b y J

̀

, a s t h e s e t o f i n d i c e s i

f o r w h i c h ( y

0

i

; : : : ; y

̀

i

) 0 i n a l l s o l u t i o n s o f D C P ( ̀ ) , s o t h a t n e c e s s a r i l y u

j

i

= 0

f o r a l l j i n a n y s o l u t i o n o f D C P . F i n a l l y w e d e n e K

̀

a s t h e c o m p l e m e n t a r y

i n d e x s e t f 1 ; : : : ; k g n ( I

̀

J

̀

) . I t f o l l o w s f r o m t h e n e s t i n g p r o p e r t y o f s o l u t i o n s

t h a t t h e i n d e x s e t s I

̀

a n d J

̀

a r e n o n d e c r e a s i n g a s f u n c t i o n s o f ̀ . S i n c e b o t h

s e q u e n c e s a r e o b v i o u s l y b o u n d e d a b o v e , t h e r e m u s t e x i s t a n i n d e x ̀

s u c h t h a t

I

̀

= I

̀

a n d J

̀

= J

̀

f o r a l l ̀ ̀

. W e n a l l y n o t e t h a t a l l i n d e x s e t s d e n e d

h e r e o f c o u r s e d e p e n d o n x

0

; w e s u p p r e s s t h i s d e p e n d e n c e h o w e v e r t o a l l e v i a t e

t h e n o t a t i o n .

T h e p r o b l e m D C P i s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e n o n l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y

p r o b l e m ( N L C P ) ( s e e f o r i n s t a n c e 3 9 ] ) , w h i c h c a n b e f o r m u l a t e d a s f o l l o w s :

g i v e n a s m o o t h f u n c t i o n F : R

k

! R

k

, n d k - v e c t o r s y a n d u s u c h t h a t

y = F ( x ; u ) a n d 0 y u 0 . F o r t h i s r e a s o n t h e t e r m \ d y n a m i c c o m p l e -

m e n t a r i t y p r o b l e m " a s u s e d a b o v e s e e m s n a t u r a l . A p o l o g i e s a r e d u e h o w e v e r

t o C h e n a n d M a n d e l b a u m w h o h a v e u s e d t h e s a m e t e r m i n 3 7 ] t o d e n o t e a

d i e r e n t a l t h o u g h r e l a t e d p r o b l e m .

C o m p u t a t i o n a l m e t h o d s f o r t h e N L C P f o r m a h i g h l y a c t i v e r e s e a r c h s u b j e c t

( s e e 6 4 ] f o r a s u r v e y ) , d u e t o t h e m a n y a p p l i c a t i o n s i n p a r t i c u l a r i n e q u i l i b -

r i u m p r o g r a m m i n g . T h e D C P i s a g e n e r a l i z e d a n d p a r a m e t r i z e d f o r m o f t h e

N L C P a n d g i v e n t h e f a c t t h a t t h e l a t t e r p r o b l e m i s a l r e a d y c o n s i d e r e d a m a j o r

c o m p u t a t i o n a l c h a l l e n g e , o n e m a y w o n d e r w h e t h e r t h e a p p r o a c h t a k e n i n t h e

p r e v i o u s p a r a g r a p h s c a n b e v i e w e d a s p r o m i s i n g f r o m a c o m p u t a t i o n a l p o i n t

o f v i e w . F o r t u n a t e l y , i t t u r n s o u t t h a t u n d e r f a i r l y m i l d a s s u m p t i o n s t h e D C P




c a n b e r e d u c e d t o a s e r i e s o f l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s . I n t h e c o n t e x t

o f m e c h a n i c a l s y s t e m s t h i s i d e a i s d u e t o L o t s t e d t 9 6 ] .

T o g e t a r e d u c t i o n t o a s e q u e n c e o f L C P s , a s s u m e t h a t t h e d y n a m i c s ( 4 . 7 4 )

c a n b e w r i t t e n i n t h e a n e f o r m

_x ( t ) = f ( x ( t ) ) +

P

k

i = 1

g

i

( x ( t ) ) u

i

( t )

y ( t ) = h ( x ( t ) ) :

( 4 . 8 3 )

E x t e n s i v e i n f o r m a t i o n o n s y s t e m s o f t h i s t y p e i s g i v e n f o r i n s t a n c e i n 1 2 1 ] . I n

p a r t i c u l a r w e n e e d t h e f o l l o w i n g t e r m i n o l o g y . T h e r e l a t i v e d e g r e e o f t h e i - t h

o u t p u t y

i

i s t h e n u m b e r o f t i m e s o n e h a s t o d i e r e n t i a t e y

i

t o g e t a r e s u l t

t h a t d e p e n d s e x p l i c i t l y o n t h e i n p u t s u . T h e s y s t e m i s s a i d t o h a v e c o n s t a n t

u n i f o r m r e l a t i v e d e g r e e a t x

0

i f t h e r e l a t i v e d e g r e e s o f a l l o u t p u t s a r e t h e s a m e

a n d a r e c o n s t a n t i n a n e i g h b o r h o o d o f x

0

.

W e c a n n o w s t a t e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , i n w h i c h w e u s e t h e n o t a t i o n

D C P ( ̀ ) t o i n d i c a t e e x p l i c i t l y t h e d e p e n d e n c e o f t h e d y n a m i c c o m p l e m e n t a r i t y

p r o b l e m o n t h e n u m b e r ̀ o f d i e r e n t i a t i o n s t e p s . F o r a p r o o f s e e 1 4 0 ] . R e c a l l

t h a t L

f

h d e n o t e s t h e L i e d e r i v a t i v e o f h a l o n g t h e v e c t o r e l d g i v e n b y f ; t h a t

i s , L

f

h ( x ) = ( @ h = @ x ) ( x ) f ( x ) . A l s o , t h e k - t h L i e d e r i v a t i v e L

k

f

h i s d e n e d

i n d u c t i v e l y f o r k = 2 ; 3 ; : : : b y L

k

f

h = L

f

( L

k ? 1

f

h ) w i t h L

1

f

h : = L

f

h .

T h e o r e m 4 . 3 . 1 . C o n s i d e r t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s ( 4 . 8 3 ) t o g e t h e r w i t h t h e

c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s ( 4 . 7 5 ) , a n d s u p p o s e t h a t t h e s y s t e m ( 4 . 8 3 ) h a s

c o n s t a n t u n i f o r m r e l a t i v e d e g r e e a t a p o i n t x

0

2 R

n

. S u p p o s e t h a t x

0

i s s u c h

t h a t

( h ( x

0

) ; : : : ; L

? 1

f

h ( x

0

) ) 0 ( 4 . 8 4 )

( w i t h c o m p o n e n t w i s e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e l e x i c o g r a p h i c i n e q u a l i t y ) , a n d s u c h

t h a t a l l p r i n c i p a l m i n o r s o f t h e d e c o u p l i n g m a t r i x L

g

L

? 1

f

h ( x

0

) a t x

0

a r e p o s i -

t i v e . F o r s u c h x

0

, t h e d y n a m i c c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m D C P ( ̀ ) h a s f o r e a c h

̀ a s o l u t i o n ( ( y

0

; : : : ; y

̀

) ; ( u

0

; : : : ; u

̀

) ) w h i c h c a n b e f o u n d b y s o l v i n g a s e -

q u e n c e o f L C P s . M o r e o v e r t h i s s o l u t i o n i s u n i q u e , e x c e p t f o r t h e v a l u e s o f u

j

i

w i t h i 62 J

̀

a n d j > ̀ ? .

T h i s r e s u l t i s a l g e b r a i c i n n a t u r e . W e n o w r e t u r n t o d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ;

a g a i n t h e p r o o f o f t h e s t a t e m e n t b e l o w i s i n 1 4 0 ] .

T h e o r e m 4 . 3 . 2 . A s s u m e t h a t t h e f u n c t i o n s f , g

i

, a n d h a p p e a r i n g i n ( 4 . 8 3 )

a r e a n a l y t i c . U n d e r t h e c o n d i t i o n s o f T h m . 4 . 3 . 1 , t h e r e e x i s t s a n " > 0

s u c h t h a t ( 4 . 8 3 - 4 . 7 5 ) h a s a s m o o t h s o l u t i o n w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n x

0

o n 0 ; " ] .

M o r e o v e r , t h i s s o l u t i o n i s u n i q u e a n d c o r r e s p o n d s t o a n y m o d e I s u c h t h a t

I

̀

I

I

̀

K

̀

.




E x a m p l e 4 . 3 . 3 . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g n o n l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m :

_x

1

= 1 ? x

2

u ( 4 . 8 5 a )

_x

2

= 1 ? x

1

u ( 4 . 8 5 b )

y = ? x

1

x

2

( 4 . 8 5 c )

0

y

u

0 : ( 4 . 8 5 d )

T h e f e a s i b l e s e t c o n s i s t s o f t h e s e c o n d a n d f o u r t h q u a d r a n t s o f t h e p l a n e . I n

t h e m o d e i n w h i c h u = 0 , t h e d y n a m i c s i s o b v i o u s l y g i v e n b y

_x

1

= 1 ; _x

2

= 1 : ( 4 . 8 6 )

I n t h e o t h e r m o d e , i t f o l l o w s f r o m _y = 0 t h a t u m u s t s a t i s f y t h e e q u a t i o n

( x

2

1

+ x

2

2

) u = x

1

+ x

2

( 4 . 8 7 )

w h i c h d e t e r m i n e s u a s a f u n c t i o n o f x

1

a n d x

2

e x c e p t i n t h e o r i g i n . T h e

d y n a m i c s i n t h e m o d e y = 0 i s g i v e n f o r ( x

1

; x

2

) 6= ( 0 ; 0 ) b y

_x

1

= 1 ? x

2

x

1

+ x

2

x

2

1

+ x

2

2

; _x

2

= 1 ? x

1

x

1

+ x

2

x

2

1

+ x

2

2

: ( 4 . 8 8 )

H o w e v e r , t h i s c a n b e s i m p l i e d c o n s i d e r a b l y b e c a u s e w h e n y = 0 w e m u s t h a v e

x

1

= 0 o r x

2

= 0 ; i n t h e r s t c a s e w e h a v e

_x

1

= 0 ; _x

2

= 1 ( 4 . 8 9 )

a n d i n t h e s e c o n d c a s e

_x

1

= 1 ; _x

2

= 0 : ( 4 . 9 0 )

T h e s y s t e m ( 4 . 8 5 a { 4 . 8 5 c ) h a s u n i f o r m r e l a t i v e d e g r e e 1 e v e r y w h e r e e x c e p t a t

t h e o r i g i n , w h e r e t h e r e l a t i v e d e g r e e i s 3 . T h e d e c o u p l i n g m a t r i x i s i n t h i s c a s e

j u s t a s c a l a r a n d i s g i v e n b y x

2

1

+ x

2

2

. B y T h m . 4 . 3 . 2 , w e n d t h a t e v e r y w h e r e

e x c e p t p o s s i b l y a t t h e o r i g i n a u n i q u e s m o o t h c o n t i n u a t i o n i s p o s s i b l e . T h e

s i t u a t i o n a t t h e o r i g i n n e e d s t o b e c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y . T h m . 4 . 3 . 2 d o e s

n o t a p p l y , b u t w e c a n u s e a d i r e c t a r g u m e n t . W h a t e v e r c h o i c e w e m a k e f o r

u , i f x

1

( 0 ) = 0 a n d x

2

( 0 ) = 0 t h e n t h e e q u a t i o n s ( 4 . 8 5 a { 4 . 8 5 b ) s h o w t h a t

_x

1

( 0 ) = 1 a n d _x

2

( 0 ) = 1 , s o t h a t a n y s o l u t i o n s t a r t i n g f r o m t h e o r i g i n m u s t

l e a v e t h e f e a s i b l e s e t . T h e s a m e c o n c l u s i o n c o u l d b e d r a w n f r o m t h e D C P ,

s i n c e c o m p u t a t i o n s h o w t h a t f o r t r a j e c t o r i e s s t a r t i n g f r o m t h e o r i g i n w e h a v e

y ( 0 ) = 0 , _y ( 0 ) = 0 , a n d y ( 0 ) = ? 2 s o t h a t t h e D C P i s n o t s o l v a b l e . W e

c o n c l u d e t h a t t h e s y s t e m ( 4 . 8 5 ) a s a w h o l e i s n o t w e l l - p o s e d .

E x a m p l e 4 . 3 . 4 ( P a s s i v e s y s t e m s ) . A s y s t e m ( 4 . 8 3 ) i s c a l l e d p a s s i v e ( s e e

1 5 5 ] ) i f t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n V ( x ) 0 ( a s t o r a g e f u n c t i o n ) s u c h t h a t

L

f

V ( x ) 0

L

g

i

V ( x ) = h

i

( x ) ; i = 1 ; ; k :

( 4 . 9 1 )




L e t u s a s s u m e t h e f o l l o w i n g n o n - d e g e n e r a c y c o n d i t i o n o n t h e s t o r a g e f u n c t i o n

V :

r a n k

L

g

j

L

g

i

V ( x )

i ; j = 1 ; ; k

= k ; f o r a l l x w i t h h ( x ) 0 : ( 4 . 9 2 )

S i n c e L

g

j

h

i

= L

g

j

L

g

i

V i t f o l l o w s t h a t t h e s y s t e m h a s u n i f o r m r e l a t i v e d e -

g r e e 1 , w i t h d e c o u p l i n g m a t r i x D ( x ) g i v e n b y t h e m a t r i x i n ( 4 . 9 2 ) . I f t h e

p r i n c i p a l m i n o r s o f D ( x ) a r e a l l p o s i t i v e , t h e n w e l l - p o s e d n e s s f o l l o w s . N o t e

t h a t t h e c o n d i t i o n o f D ( x ) h a v i n g p o s i t i v e p r i n c i p a l m i n o r s c o r r e s p o n d s t o a n

a d d i t i o n a l p o s i t i v i t y c o n d i t i o n o n t h e s t o r a g e f u n c t i o n V . I n f a c t , i t c a n b e

c h e c k e d t h a t f o r a l i n e a r s y s t e m w i t h q u a d r a t i c s t o r a g e f u n c t i o n V ( x ) a n d n o

d i r e c t f e e d t h o r u g h f r o m i n p u t s t o o u t p u t s , t h e d e c o u p l i n g m a t r i x D ( x ) w i l l

b e p o s i t i v e d e n i t e i f V ( x ) > 0 f o r x 6= 0 . H e n c e , i f t h e e q u a t i o n s ( 4 . 8 3 { 4 . 7 5 )

r e p r e s e n t a l i n e a r p a s s i v e e l e c t r i c a l n e t w o r k c o n t a i n i n g i d e a l d i o d e s , t h e n t h i s

s y s t e m i s w e l l - p o s e d .

4 . 4 L i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s

4 . 4 . 1 S p e c i c a t i o n

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f l i n e a r d i e r e n t i a l a n d a l g e b r a i c e q u a t i o n s a n d

i n e q u a l i t i e s

_x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) ( 4 . 9 3 a )

y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) ( 4 . 9 3 b )

0 y ( t ) u ( t ) 0 : ( 4 . 9 3 c )

T h e e q u a t i o n s ( 4 . 9 3 a ) a n d ( 4 . 9 3 b ) c o n s t i t u t e a l i n e a r s y s t e m i n s t a t e s p a c e

f o r m ; t h e n u m b e r o f i n p u t s i s a s s u m e d t o b e e q u a l t o t h e n u m b e r o f o u t p u t s .

T h e r e l a t i o n s ( 4 . 9 3 c ) a r e t h e u s u a l c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s . T h e s e t o f i n -

d i c e s f o r w h i c h y

i

( t ) = 0 w i l l b e r e f e r r e d t o a s t h e a c t i v e i n d e x s e t ; d e n i n g t h e

a c t i v e i n d e x s e t i n t h i s w a y r a t h e r t h a n b y t h e c o n d i t i o n u

i

( t ) > 0 u s e d i n t h e

p r e v i o u s s e c t i o n a l l o w s u s t o w r i t e t h e i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s c o r r e s p o n d i n g t o

a g i v e n a c t i v e i n d e x s e t a s n o n s t r i c t i n e q u a l i t i e s r a t h e r t h a n s t r i c t i n e q u a l i t i e s .

T h e a c t i v e i n d e x s e t i s i n g e n e r a l n o t c o n s t a n t i n t i m e , s o t h a t t h e s y s t e m

s w i t c h e s f r o m o n e \ o p e r a t i n g m o d e " t o a n o t h e r . T o d e n e t h e d y n a m i c s o f

( 4 . 9 3 ) c o m p l e t e l y , w e w i l l h a v e t o s p e c i f y w h e n t h e s e m o d e s w i t c h e s o c c u r ,

w h a t t h e i r e e c t w i l l b e o n t h e s t a t e v a r i a b l e s , a n d h o w a n e w m o d e w i l l b e

s e l e c t e d . A p r o p o s a l f o r a n s w e r i n g t h e s e q u e s t i o n s ( c f . 6 9 ] ) w i l l b e e x p l a i n e d

b e l o w . T h e s p e c i c a t i o n o f t h e c o m p l e t e d y n a m i c s o f ( 4 . 9 3 ) d e n e s a c l a s s o f

d y n a m i c a l s y s t e m s c a l l e d l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s .

L e t n d e n o t e t h e l e n g t h o f t h e v e c t o r x ( t ) i n t h e e q u a t i o n s ( 4 . 9 3 a { 4 . 9 3 b )

a n d l e t k d e n o t e t h e n u m b e r o f i n p u t s a n d o u t p u t s . T h e r e a r e t h e n 2

k

p o s s i b l e

c h o i c e s f o r t h e a c t i v e i n d e x s e t . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n w h e n t h e a c t i v e i n d e x



4 . 4 . L i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s 9 7

s e t i s I a r e g i v e n b y

_x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t )

y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t )

y

i

( t ) = 0 ; i 2 I

u

i

( t ) = 0 ; i 2 I

c

( 4 . 9 4 )

w h e r e I

c

d e n o t e s t h e i n d e x s e t t h a t i s c o m p l e m e n t a r y t o I , t h a t i s , I

c

= f i 2

f 1 ; : : : ; k g j i 62 I g . W e s h a l l s a y t h a t t h e a b o v e e q u a t i o n s r e p r e s e n t t h e s y s t e m

i n m o d e I . A n e q u i v a l e n t a n d s o m e w h a t m o r e e x p l i c i t f o r m i s g i v e n b y t h e

( g e n e r a l i z e d ) s t a t e e q u a t i o n s

_x ( t ) = A x ( t ) + B

I

u

I

( t )

0 = C

I

x ( t ) + D

I I

u

I

( t )

( 4 . 9 5 )

t o g e t h e r w i t h t h e o u t p u t e q u a t i o n s

y

I

c

( t ) = C

I

c

x ( t ) + D

I

c

I

u

I

( t )

u

I

c

( t ) = 0 :

( 4 . 9 6 )

H e r e a n d b e l o w , t h e n o t a t i o n M

I

, w h e r e M i s a m a t r i x o f s i z e m k a n d I

i s a s u b s e t o f f 1 ; : : : ; k g , d e n o t e s t h e s u b m a t r i x o f M f o r m e d b y t a k i n g t h e

c o l u m n s o f M w h o s e i n d i c e s a r e i n I . T h e n o t a t i o n M

I

d e n o t e s t h e s u b m a t r i x

o b t a i n e d b y t a k i n g t h e r o w s w i t h i n d i c e s i n t h e i n d e x s e t I .

T h e s y s t e m ( 4 . 9 5 ) w i l l i n g e n e r a l n o t h a v e s o l u t i o n s i n a c l a s s i c a l s e n s e f o r

a l l p o s s i b l e i n i t i a l c o n d i t i o n s . T h e i n i t i a l v a l u e s o f t h e v a r i a b l e x f o r w h i c h

t h e r e d o e s e x i s t a c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e s o l u t i o n a r e c a l l e d c o n s i s t e n t

s t a t e s . U n d e r c o n d i t i o n s t h a t w i l l b e s p e c i e d b e l o w , e a c h c o n s i s t e n t i n i t i a l

s t a t e g i v e s r i s e t o a u n i q u e s o l u t i o n o f ( 4 . 9 5 ) . T h e s y s t e m ( 4 . 9 3 ) f o l l o w s t h e

p a t h o f s u c h a s o l u t i o n ( i t \ s t a y s i n m o d e I " ) a s l o n g a s t h e v a r i a b l e s u

I

( t )

d e n e d i m p l i c i t l y b y ( 4 . 9 5 ) a n d t h e v a r i a b l e s y

I

c

( t ) d e n e d b y ( 4 . 9 6 ) a r e a l l

n o n n e g a t i v e . A s s o o n a s c o n t i n u a t i o n i n m o d e I w o u l d l e a d t o a v i o l a t i o n

o f t h e s e i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s , a s w i t c h t o a d i e r e n t m o d e h a s t o o c c u r . I n

c a s e t h e v a l u e o f t h e v a r i a b l e x ( t ) a t w h i c h v i o l a t i o n o f t h e c o n s t r a i n t s h a s

b e c o m e i m m i n e n t i s n o t a c o n s i s t e n t s t a t e f o r t h e n e w m o d e , a s t a t e j u m p i s

c a l l e d f o r . S o b o t h c o n c e r n i n g t h e d y n a m i c s i n a g i v e n m o d e a n d c o n c e r n i n g

t h e t r a n s i t i o n s b e t w e e n d i e r e n t m o d e s t h e r e a r e a n u m b e r o f q u e s t i o n s t o b e

a n s w e r e d . F o r t h i s w e s h a l l r e l y o n t h e g e o m e t r i c t h e o r y o f l i n e a r s y s t e m s ( s e e

1 6 0 , 1 5 , 8 9 ] f o r t h e g e n e r a l b a c k g r o u n d ) .

D e n o t e b y V

I

t h e c o n s i s t e n t s u b s p a c e o f m o d e I , i . e . t h e s e t o f i n i t i a l

c o n d i t i o n s x

0

f o r w h i c h t h e r e e x i s t s m o o t h f u n c t i o n s x ( ) a n d u

I

( ) , w i t h x ( 0 ) =

x

0

, s u c h t h a t ( 4 . 9 5 ) i s s a t i s e d . T h e s p a c e V

I

c a n b e c o m p u t e d a s t h e l i m i t o f




t h e s e q u e n c e d e n e d b y

V

0

I

= R

n

V

i + 1

I

=

f x

2 V

i

I

j 9 u

2 R

j I j

s . t . A x + B

I

u

2 V

i

I

; C

I

x + D

I I

u = 0

g :

( 4 . 9 7 )

T h e r e e x i s t s a l i n e a r m a p p i n g F

I

s u c h t h a t ( 4 . 9 5 ) w i l l b e s a t i s e d f o r x

0

2 V

I

b y t a k i n g u

I

( t ) = F

I

x ( t ) . T h e m a p p i n g F

I

i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d , a n d m o r e

g e n e r a l l y t h e f u n c t i o n u

I

( ) t h a t s a t i s e s ( 4 . 9 5 ) f o r g i v e n x

0

2 V

I

i s u n i q u e l y

d e t e r m i n e d , i f t h e f u l l - c o l u m n - r a n k c o n d i t i o n

k e r

B

I

D

I I

= f 0 g ( 4 . 9 8 )

h o l d s a n d m o r e o v e r w e h a v e

V

I

\ T

I

= f 0 g ; ( 4 . 9 9 )

w h e r e T

I

i s t h e s u b s p a c e t h a t c a n b e c o m p u t e d a s t h e l i m i t o f t h e f o l l o w i n g

s e q u e n c e :

T

0

I

= f 0 g

T

i + 1

I

= f x 2 R

n

j 9 ~ x 2 T

i

I

; ~ u 2 R

j I j

s . t .

x = A ~ x + B

I

~ u ; C

I

~ x + D

I I

~ u = 0 g : ( 4 . 1 0 0 )

A s w i l l b e i n d i c a t e d b e l o w , t h e s u b s p a c e T

I

i s b e s t t h o u g h t o f a s t h e j u m p

s p a c e a s s o c i a t e d t o m o d e I , t h a t i s , a s t h e s p a c e a l o n g w h i c h f a s t m o t i o n s

w i l l o c c u r t h a t t a k e a n i n c o n s i s t e n t i n i t i a l s t a t e i n s t a n t a n e o u s l y t o a p o i n t i n

t h e c o n s i s t e n t s p a c e V

I

; n o t e t h a t u n d e r t h e c o n d i t i o n ( 4 . 9 9 ) t h i s p r o j e c t i o n i s

u n i q u e l y d e t e r m i n e d . T h e p r o j e c t i o n c a n b e u s e d t o d e n e a j u m p r u l e . H o w -

e v e r , t h e r e a r e 2

k

p o s s i b l e p r o j e c t i o n s , c o r r e s p o n d i n g t o a l l p o s s i b l e s u b s e t s

o f f 1 ; : : : ; k g ; w h i c h o n e o f t h e s e t o c h o o s e s h o u l d b e d e t e r m i n e d b y a m o d e

s e l e c t i o n r u l e .

F o r t h e f o r m u l a t i o n o f a m o d e s e l e c t i o n r u l e w e h a v e t o r e l a t e i n s o m e w a y

i n d e x s e t s t o c o n t i n u o u s s t a t e s . S u c h a r e l a t i o n c a n b e e s t a b l i s h e d o n t h e b a s i s

o f t h e s o - c a l l e d r a t i o n a l c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m ( R C P ) . T h e R C P i s d e n e d

a s f o l l o w s . L e t a r a t i o n a l v e c t o r q ( s ) o f l e n g t h k a n d a r a t i o n a l m a t r i x M ( s )

o f s i z e k k b e g i v e n . T h e r a t i o n a l c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m i s t o n d a p a i r

o f r a t i o n a l v e c t o r s y ( s ) a n d u ( s ) ( b o t h o f l e n g t h k ) s u c h t h a t

y ( s ) = q ( s ) + M ( s ) u ( s ) ( 4 . 1 0 1 )

a n d m o r e o v e r f o r a l l i n d i c e s 1 i k w e h a v e e i t h e r y

i

( s ) = 0 a n d u

i

( s ) > 0

f o r a l l s u c i e n t l y l a r g e s , o r u

i

( s ) = 0 a n d y

i

( s ) > 0 f o r a l l s u c i e n t l y l a r g e

s .

1

T h e v e c t o r q ( s ) a n d t h e m a t r i x M ( s ) a r e c a l l e d t h e d a t a o f t h e R C P , a n d

1

N o t e t h e a b u s e o f n o t a t i o n : w e u s e q ( s ) b o t h t o d e n o t e t h e f u n c t i o n s 7! q ( s ) a n d t h e

v a l u e o f t h a t f u n c t i o n a t a s p e c i c p o i n t s 2 C . O n a f e w o c c a s i o n s w e s h a l l a l s o d e n o t e

r a t i o n a l f u n c t i o n s a n d r a t i o n a l v e c t o r s b y s i n g l e s y m b o l s w i t h o u t a n a r g u m e n t , w h i c h i s i n

p r i n c i p l e t h e p r o p e r n o t a t i o n .



4 . 4 . L i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s 9 9

w e w r i t e R C P ( q ( s ) , M ( s ) ) . W e s h a l l a l s o c o n s i d e r a n R C P w h o s e d a t a a r e a

q u a d r u p l e o f c o n s t a n t m a t r i c e s ( A ; B ; C ; D ) ( s u c h a s c o u l d b e u s e d t o d e n e

( 4 . 9 3 a { 4 . 9 3 b ) ) a n d a c o n s t a n t v e c t o r x

0

, n a m e l y b y s e t t i n g

q ( s ) = C ( s I ? A )

? 1

x

0

a n d M ( s ) = C ( s I ? A )

? 1

B + D :

W e s a y t h a t a n i n d e x s e t I f 1 ; : : : ; k g s o l v e s t h e R C P ( 4 . 1 0 1 ) i f t h e r e e x i s t s

a s o l u t i o n ( y ( s ) ; u ( s ) ) w i t h y

i

( s ) = 0 f o r i 2 I a n d u

i

( s ) = 0 f o r i 62 I . T h e

c o l l e c t i o n o f i n d e x s e t s I t h a t s o l v e R C P ( A ; B ; C ; D ; x

0

) w i l l b e d e n o t e d b y

S ( A ; B ; C ; D ; x

0

) o r s i m p l y b y S ( x

0

) i f t h e q u a d r u p l e ( A ; B ; C ; D ) i s g i v e n b y

t h e c o n t e x t .

I t i s c o n v e n i e n t t o i n t r o d u c e a n o r d e r i n g r e l a t i o n o n t h e e l d o f r a t i o n a l

f u n c t i o n s R ( s ) . G i v e n a r a t i o n a l f u n c t i o n f ( s ) , w e s h a l l s a y t h a t f ( s ) i s n o n -

n e g a t i v e , a n d w e w r i t e f 0 , i f

9

0

2 R 8 2 R f >

0

) f ( ) 0 g :

A n o r d e r i n g r e l a t i o n b e t w e e n r a t i o n a l f u n c t i o n s c a n n o w b e d e n e d b y f g

i f a n d o n l y i f f ? g 0 . N o t e t h a t t h i s d e n e s a t o t a l o r d e r i n g o n R ( s ) s o t h a t

w i t h t h i s r e l a t i o n R ( s ) b e c o m e s a n o r d e r e d e l d . E x t e n d i n g t h e c o n v e n t i o n s

t h a t w e a l r e a d y h a v e u s e d f o r t h e r e a l e l d w e s h a l l s a y t h a t a r a t i o n a l v e c t o r

i s n o n n e g a t i v e i f a n d o n l y i f a l l i t s e n t r i e s a r e n o n n e g a t i v e , a n d w e s h a l l w r i t e

f ( s ) g ( s ) , w h e r e f ( s ) a n d g ( s ) a r e r a t i o n a l v e c t o r s , i f f o r e a c h i n d e x i a t

l e a s t o n e o f t h e c o m p o n e n t f u n c t i o n s f

i

( s ) a n d g

i

( s ) i s i d e n t i c a l l y z e r o . W i t h

t h e s e c o n v e n t i o n s , t h e r a t i o n a l c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m m a y b e w r i t t e n i n

t h e f o r m

y ( s ) = q ( s ) + M ( s ) u ( s )

0 y ( s ) u ( s ) 0 :

( 4 . 1 0 2 )

A f t e r t h e s e p r e p a r a t i o n s , w e c a n n o w p r o c e e d t o a s p e c i c a t i o n o f t h e

c o m p l e t e d y n a m i c s o f l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . W e a s s u m e t h a t a

q u a d r u p l e ( A ; B ; C ; D ) i s g i v e n w h o s e t r a n s f e r m a t r i x G ( s ) = C ( s I ? A )

? 1

B +

D i s t o t a l l y i n v e r t i b l e , i . e . f o r e a c h i n d e x s e t I t h e k k m a t r i x G

I I

( s ) i s

n o n s i n g u l a r . U n d e r t h i s c o n d i t i o n ( s e e T h m . 4 . 4 . 1 b e l o w ) , t h e t w o s u b s p a c e s

V

I

a n d T

I

a s d e n e d a b o v e f o r m f o r a l l I a d i r e c t s u m d e c o m p o s i t i o n o f t h e

s t a t e s p a c e R

n

, s o t h a t t h e p r o j e c t i o n a l o n g T

I

o n t o V

I

i s w e l l - d e n e d . W e

d e n o t e t h i s p r o j e c t i o n b y P

I

. T h e i n t e r p r e t a t i o n t h a t w e g i v e t o t h e e q u a t i o n s

( 4 . 9 3 ) i s t h e f o l l o w i n g :

_x = A x + B u ; y = C x + D u

u

I

0 ; y

I

= 0 ; u

I

c

= 0 ; y

I

c

0

I

]

2 S ( x ) ; x

]

= P

I

] x :

( 4 . 1 0 3 )

B e l o w w e s h a l l a l w a y s c o n s i d e r t h e s y s t e m ( 4 . 9 3 ) i n t h e i n t e r p r e t a t i o n ( 4 . 1 0 3 ) .



1 0 0 C h a p t e r 4 . C o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s

4 . 4 . 2 A d i s t r i b u t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n

T h e i n t e r p r e t a t i o n o f T

I

a s a j u m p s p a c e c a n b e m a d e p r e c i s e b y i n t r o d u c i n g

t h e c l a s s o f i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n s t h a t w a s s t u d i e d b y H a u t u s 6 6 ]

( s e e a l s o 6 7 , 5 7 ] ) . T h e g e n e r a l f o r m o f a n i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n i s

= p (

d

d t

) + f ( 4 . 1 0 4 )

w h e r e p (

) i s a p o l y n o m i a l ,

d

d t

d e n o t e s t h e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e , i s t h e

d e l t a d i s t r i b u t i o n w i t h s u p p o r t a t z e r o , a n d f i s a d i s t r i b u t i o n t h a t c a n b e

i d e n t i e d w i t h t h e r e s t r i c t i o n t o ( 0 ;

1 ) o f s o m e f u n c t i o n i n C

1

( R ) . T h e

c l a s s o f s u c h d i s t r i b u t i o n s w i l l b e d e n o t e d b y C

i m p

. F o r a n e l e m e n t o f C

i m p

o f t h e f o r m ( 4 . 1 0 4 ) , w e w r i t e ( 0

+

) f o r t h e l i m i t v a l u e l i m

t # 0

f ( t ) . H a v i n g

i n t r o d u c e d t h e c l a s s C

i m p

, w e c a n r e p l a c e t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s ( 4 . 9 5 ) b y

i t s d i s t r i b u t i o n a l v e r s i o n

d

d t

x = A x + B

I

u

I

+ x

0

0 = C

I

x + D

I I

u

I

( 4 . 1 0 5 )

i n w h i c h t h e i n i t i a l c o n d i t i o n x

0

a p p e a r s e x p l i c i t l y , a n d w e c a n l o o k f o r a

s o l u t i o n o f ( 4 . 1 0 5 ) i n t h e c l a s s o f v e c t o r - v a l u e d i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n s .

I t w a s s h o w n i n 6 7 ] t h a t i f t h e c o n d i t i o n s ( 4 . 9 8 ) a n d ( 4 . 9 9 ) a r e s a t i s e d , t h e n

t h e r e e x i s t s a u n i q u e s o l u t i o n ( x ; u

I

) 2 C

n + j I j

i m p

t o ( 4 . 1 0 5 ) f o r e a c h x

0

2 V

I

+ T

I

;

m o r e o v e r , t h e s o l u t i o n i s s u c h t h a t x ( 0

+

) i s e q u a l t o P

I

x

0

, t h e p r o j e c t i o n o f

x

0

o n t o V

I

a l o n g T

I

. T h e s o l u t i o n i s m o s t e a s i l y w r i t t e n d o w n i n t e r m s o f i t s

L a p l a c e t r a n s f o r m :

̂x ( s ) = ( s I ? A )

? 1

x

0

+ ( s I ? A )

? 1

B

I

̂u

I

( s ) ( 4 . 1 0 6 )

̂u

I

( s ) = ? G

? 1

I I

( s ) C

I

( s I ? A )

? 1

x

0

; ( 4 . 1 0 7 )

w h e r e

G

I I

( s ) : = C

I

( s I ? A )

? 1

B

I

+ D

I I

: ( 4 . 1 0 8 )

N o t e t h a t t h e n o t a t i o n i s c o n s i s t e n t i n t h e s e n s e t h a t G

I I

( s ) c a n a l s o b e v i e w e d

a s t h e ( I ; I ) - s u b m a t r i x o f t h e t r a n s f e r m a t r i x G ( s ) : = C ( s I ? A )

? 1

B + D . I t

i s s h o w n i n 6 7 ] ( s e e a l s o 1 1 7 ] ) t h a t t h e t r a n s f e r m a t r i x G

I I

( s ) a s s o c i a t e d t o

t h e s y s t e m p a r a m e t e r s i n ( 4 . 9 5 ) i s l e f t i n v e r t i b l e w h e n ( 4 . 9 8 ) a n d ( 4 . 9 9 ) a r e

s a t i s e d . S i n c e t h e t r a n s f e r m a t r i c e s G

I I

( s ) t h a t w e c o n s i d e r a r e s q u a r e , l e f t

i n v e r t i b i l i t y i s e n o u g h t o i m p l y i n v e r t i b i l i t y , a n d s o ( b y d u a l i t y ) w e a l s o h a v e

V

I

+ T

I

= R

n

. S u m m a r i z i n g , w e c a n l i s t t h e f o l l o w i n g e q u i v a l e n t c o n d i t i o n s .

T h e o r e m 4 . 4 . 1 . C o n s i d e r a t i m e - i n v a r i a n t l i n e a r s y s t e m w i t h k i n p u t s a n d k

o u t p u t s , g i v e n b y s t a n d a r d s t a t e s p a c e p a r a m e t e r s ( A ; B ; C ; D ) . T h e f o l l o w i n g

c o n d i t i o n s a r e e q u i v a l e n t .

1 . F o r e a c h i n d e x s e t I

k , t h e a s s o c i a t e d s y s t e m ( 4 . 9 5 ) a d m i t s f o r e a c h

x

0

2 V

I

a u n i q u e s m o o t h s o l u t i o n ( x ; u ) s u c h t h a t x ( 0 ) = x

0

.



4 . 4 . L i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s 1 0 1

2 . F o r e a c h i n d e x s e t I

k , t h e a s s o c i a t e d d i s t r i b u t i o n a l s y s t e m ( 4 . 1 0 5 )

a d m i t s f o r e a c h i n i t i a l c o n d i t i o n x

0

a u n i q u e i m p u l s i v e - s m o o t h s o l u t i o n

( x ; u ) .

3 . T h e c o n d i t i o n s ( 4 . 9 8 ) a n d ( 4 . 9 9 ) a r e s a t i s e d f o r a l l I

k .

4 . T h e t r a n s f e r m a t r i x G ( s ) = C ( s I ? A )

? 1

B + D i s t o t a l l y i n v e r t i b l e ( a s

a m a t r i x o v e r t h e e l d o f r a t i o n a l f u n c t i o n s ) .

I n c o n n e c t i o n w i t h t h e s y s t e m ( 4 . 9 3 ) i t m a k e s s e n s e t o i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g

d e n i t i o n s .

D e n i t i o n 4 . 4 . 2 . A n i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n = p (

d

d t

) + f a s i n

( 4 . 1 0 4 ) w i l l b e c a l l e d i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e i f t h e l e a d i n g c o e c i e n t o f t h e

p o l y n o m i a l p ( ) i s p o s i t i v e , o r , i n c a s e p = 0 , t h e s m o o t h f u n c t i o n f i s n o n -

n e g a t i v e o n s o m e i n t e r v a l o f t h e f o r m ( 0 ; " ) w i t h " > 0 . A v e c t o r - v a l u e d

i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n w i l l b e c a l l e d i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e i f e a c h o f i t s

c o m p o n e n t s i s i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e i n t h e a b o v e s e n s e .

D e n i t i o n 4 . 4 . 3 . A t r i p l e o f v e c t o r - v a l u e d i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n s

( u ; x ; y ) w i l l b e c a l l e d a n i n i t i a l s o l u t i o n t o ( 4 . 9 3 ) w i t h i n i t i a l s t a t e x

0

a n d

s o l u t i o n m o d e I i f

1 . t h e t r i p l e ( u ; x ; y ) s a t i s e s t h e d i s t r i b u t i o n a l e q u a t i o n s

d

d t

x = A x + B u + x

0

y = C x + D u

2 . b o t h u a n d y a r e i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e

3 . y

i

= 0 f o r a l l i 2 I a n d u

i

= 0 f o r a l l i 62 I .

F o r a n i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n w t h a t h a s a r a t i o n a l L a p l a c e t r a n s -

f o r m ^ w ( s ) ( s u c h a s i n ( 4 . 1 0 6 ) a n d ( 4 . 1 0 7 ) ) , w e h a v e t h a t w i s i n i t i a l l y n o n n e g -

a t i v e i f a n d o n l y i f ^ w ( s ) i s n o n n e g a t i v e f o r a l l s u c i e n t l y l a r g e r e a l v a l u e s o f

s . F r o m t h i s i t f o l l o w s t h a t t h e c o l l e c t i o n o f i n d e x s e t s I f o r w h i c h t h e r e e x i s t s

a n i n i t i a l s o l u t i o n t o ( 4 . 9 3 ) w i t h i n i t i a l s t a t e x

0

a n d s o l u t i o n m o d e I i s e x a c t l y

S ( x

0

) a s w e d e n e d t h i s s e t b e f o r e i n t e r m s o f t h e r a t i o n a l c o m p l e m e n t a r i t y

p r o b l e m .

A n a l t e r n a t i v e a p p r o a c h t o t h e c o n s t r u c t i o n o f i n i t i a l s o l u t i o n s f o r l i n e a r

c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s p r o c e e d s t h r o u g h t h e l i n e a r v e r s i o n o f t h e d y n a m i c

c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m t h a t w a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 4 . 3 . I t h a s b e e n s h o w n

b y D e S c h u t t e r a n d D e M o o r t h a t t h e d y n a m i c l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b -

l e m c a n b e r e w r i t t e n a s a v e r s i o n o f t h e L C P k n o w n a s t h e \ e x t e n d e d l i n e a r

c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m " ( s e e 4 5 ] f o r d e t a i l s ) .




4 . 4 . 3 W e l l - p o s e d n e s s

M o s t o f t h e w e l l - p o s e d n e s s r e s u l t s t h a t a r e a v a i l a b l e f o r l i n e a r c o m p l e m e n -

t a r i t y s y s t e m s p r o v i d e o n l y s u c i e n t c o n d i t i o n s . F o r t h e c a s e o f b i m o d a l

l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s , i . e . s y s t e m s w i t h o n l y t w o m o d e s ( k = 1 ) ,

w e l l - p o s e d n e s s h a s b e e n c o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z e d h o w e v e r ( s e e 7 3 ] ; c f . a l s o

1 3 8 ] f o r a n e a r l i e r r e s u l t w i t h a s l i g h t l y d i e r e n t n o t i o n o f w e l l - p o s e d n e s s ) .

N o t e t h a t a s y s t e m o f t h e f o r m ( 4 . 9 3 a - 4 . 9 3 b ) h a s a t r a n s f e r f u n c t i o n g ( s ) =

C ( s I ? A )

? 1

B + D w h i c h i s a r a t i o n a l f u n c t i o n . I n t h i s c a s e t h e c o n d i t i o n s o f

T h m . 4 . 4 . 1 a p p l y i f g ( s ) i s n o n z e r o . T h e M a r k o v p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m a r e

t h e c o e c i e n t s o f t h e e x p a n s i o n o f g ( s ) a r o u n d i n n i t y ,

g ( s ) = g

0

+ g

1

s

? 1

+ g

2

s

? 2

+ :

T h e l e a d i n g M a r k o v p a r a m e t e r i s t h e r s t p a r a m e t e r i n t h e s e q u e n c e g

0

, g

1

, : : :

t h a t i s n o n z e r o . I n t h e t h e o r e m b e l o w i t i s a s s u m e d t h a t t h e o u t p u t m a t r i x C i s

n o n z e r o ; n o t e t h a t i f C = 0 a n d D 6= 0 t h e s y s t e m ( 4 . 9 3 ) i s j u s t a c o m p l i c a t e d

w a y o f r e p r e s e n t i n g t h e e q u a t i o n s _x = A x , s o t h a t i n t h a t c a s e w e d o n o t r e a l l y

h a v e a b i m o d a l s y s t e m .

T h e o r e m 4 . 4 . 4 . C o n s i d e r t h e l i n e a r c o m p l i m e n t a r i t y s y s t e m ( 4 . 9 3 ) u n d e r

t h e a s s u m p t i o n s t h a t k = 1 ( o n l y o n e p a i r o f c o m p l e m e n t a r y v a r i a b l e s ) a n d

C 6= 0 ; a l s o a s s u m e t h a t t h e t r a n s f e r f u n c t i o n g ( s ) = C ( s I ? A )

? 1

B + D i s n o t

i d e n t i c a l l y z e r o . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e s y s t e m ( 4 . 9 3 ) h a s f o r a l l i n i t i a l

c o n d i t i o n s a u n i q u e p i e c e w i s e d i e r e n t i a b l e r i g h t - Z e n o s o l u t i o n i f a n d o n l y i f

t h e l e a d i n g M a r k o v p a r a m e t e r i s p o s i t i v e .

I t i s t y p i c a l t o n d t h a t w e l l - p o s e d n e s s o f c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s i s l i n k e d

t o a p o s i t i v i t y c o n d i t i o n . I f t h e n u m b e r o f p a i r s o f c o m p l e m e n t a r y v a r i a b l e s i s

l a r g e r t h a n o n e , a n a p p r o p r i a t e m a t r i x v e r s i o n o f t h e p o s i t i v i t y c o n d i t i o n h a s

t o b e u s e d . A s m i g h t b e e x p e c t e d , t h e t y p e o f p o s i t i v i t y t h a t w e n e e d i s t h e

\ P - m a t r i x " p r o p e r t y f r o m t h e t h e o r y o f t h e L C P . R e c a l l ( s e e t h e e n d o f t h e

I n t r o d u c t i o n o f t h i s c h a p t e r ) t h a t a s q u a r e r e a l m a t r i x i s s a i d t o b e a P - m a t r i x

i f a l l i t s p r i n c i p a l m i n o r s a r e p o s i t i v e .

T o s t a t e a r e s u l t o n w e l l - p o s e d n e s s f o r m u l t i v a r i a b l e l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y

s y s t e m s , w e a g a i n n e e d s o m e c o n c e p t s f o r m l i n e a r s y s t e m t h e o r y . R e c a l l ( s e e

f o r i n s t a n c e 8 4 , p . 3 8 4 ] o r 8 9 , p . 2 4 ] ) t h a t a s q u a r e r a t i o n a l m a t r i x G ( s ) i s

s a i d t o b e r o w p r o p e r i f i t c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

G ( s ) = ( s ) B ( s ) ( 4 . 1 0 9 )

w h e r e ( s ) i s a d i a g o n a l m a t r i x w h o s e d i a g o n a l e n t r i e s a r e o f t h e f o r m s

k

f o r

s o m e i n t e g e r k t h a t m a y b e d i e r e n t f o r d i e r e n t e n t r i e s , a n d B ( s ) i s a p r o p e r

r a t i o n a l m a t r i x t h a t h a s a p r o p e r r a t i o n a l i n v e r s e ( i . e . B ( s ) i s b i c a u s a l ) . A

p r o p e r r a t i o n a l m a t r i x B ( s ) = B

0

+ B

1

s

? 1

+

h a s a p r o p e r r a t i o n a l i n v e r s e

i f a n d o n l y i f t h e c o n s t a n t m a t r i x B

0

i s i n v e r t i b l e . T h i s c o n s t a n t m a t r i x

i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d i n a f a c t o r i z a t i o n o f t h e a b o v e f o r m ; i t i s c a l l e d t h e

l e a d i n g r o w c o e c i e n t m a t r i x o f G ( s ) . I n a c o m p l e t e l y s i m i l a r w a y o n e d e n e s



4 . 4 . L i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s 1 0 3

t h e n o t i o n s o f c o l u m n p r o p e r n e s s a n d o f t h e l e a d i n g c o l u m n c o e c i e n t m a t r i x .

W e c a n n o w s t a t e t h e f o l l o w i n g r e s u l t 6 9 , T h m . 6 . 3 ] .

T h e o r e m 4 . 4 . 5 . T h e l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m ( 4 . 9 3 ) i s w e l l - p o s e d i f

t h e a s s o c i a t e d t r a n s f e r m a t r i x G ( s ) = C ( s I ? A )

? 1

B + D i s b o t h r o w a n d c o l u m n

p r o p e r , a n d i f b o t h t h e l e a d i n g r o w c o e c i e n t m a t r i x a n d t h e l e a d i n g c o l u m n

c o e c i e n t m a t r i x a r e P - m a t r i c e s . M o r e o v e r , i n t h i s c a s e t h e m u l t i p l i c i t y o f

e v e n t s i s a t m o s t o n e , i . e . a t m o s t o n e r e i n i t i a l i z a t i o n t a k e s p l a c e a t t i m e s

w h e n a m o d e c h a n g e o c c u r s .

A n a l t e r n a t i v e s u c i e n t c o n d i t i o n f o r w e l l - p o s e d n e s s c a n b e b a s e d o n t h e

r a t i o n a l c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m ( R C P ) t h a t w a s a l r e a d y u s e d a b o v e ( s e c t i o n

4 . 4 ) . F o r a g i v e n s e t o f l i n e a r s y s t e m p a r a m e t e r s ( A ; B ; C ; D ) , w e d e n o t e b y

R C P ( x

0

) t h e r a t i o n a l c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m R C P ( q ( s ) , M ( s ) ) w i t h d a t a

q ( s ) = C ( s I ? A )

? 1

x

0

a n d M ( s ) = C ( s I ? A )

? 1

B + D . F o r t h e p u r p o s e s o f

s i m p l i c i t y , t h e f o l l o w i n g r e s u l t i s s t a t e d u n d e r s o m e w h a t s t r o n g e r h y p o t h e s e s

t h a n w e r e u s e d i n t h e o r i g i n a l p a p e r 7 0 , T h m . 5 . 1 0 , 5 . 1 6 ] .

T h e o r e m 4 . 4 . 6 . C o n s i d e r t h e l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m ( 4 . 9 3 ) , a n d a s -

s u m e t h a t t h e a s s o c i a t e d t r a n s f e r m a t r i x i s t o t a l l y i n v e r t i b l e . T h e s y s t e m ( 4 . 9 3 )

i s w e l l - p o s e d i f t h e p r o b l e m R C P ( x

0

) h a s a u n i q u e s o l u t i o n f o r a l l x

0

.

A c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e r a t i o n a l c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m a n d t h e s t a n -

d a r d l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m c a n b e e s t a b l i s h e d i n t h e f o l l o w i n g w a y

7 0 , T h m . 4 . 1 , C o r . 4 . 1 0 ] .

T h e o r e m 4 . 4 . 7 . F o r g i v e n q ( s ) 2 R

k

( s ) a n d M ( s ) 2 R

k k

( s ) , t h e p r o b l e m

R C P ( q ( s ) ; M ( s ) ) i s u n i q u e l y s o l v a b l e i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s 2 R s u c h

t h a t f o r a l l > t h e p r o b l e m L C P ( q ( ) ; M ( ) ) i s u n i q u e l y s o l v a b l e .

T h e a b o v e t h e o r e m p r o v i d e s a c o n v e n i e n t w a y o f p r o v i n g w e l l - p o s e d n e s s f o r

s e v e r a l c l a s s e s o f l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . T h e f o l l o w i n g e x a m p l e i s

t a k e n f r o m 7 0 ] .

E x a m p l e 4 . 4 . 8 . A l i n e a r m e c h a n i c a l s y s t e m m a y b e d e s c r i b e d b y e q u a t i o n s

o f t h e f o r m

M q + D _q + K q = 0 ( 4 . 1 1 0 )

w h e r e q i s t h e v e c t o r o f g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s , M i s t h e g e n e r a l i z e d m a s s

m a t r i x , D c o n t a i n s d a m p i n g a n d g y r o s c o p i c t e r m s , a n d K i s t h e e l a s t i c i t y

m a t r i x . T h e m a s s m a t r i x M i s p o s i t i v e d e n i t e . S u p p o s e n o w t h a t w e s u b j e c t

t h e a b o v e s y s t e m t o u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s o f t h e f o r m

F q 0 ( 4 . 1 1 1 )

w h e r e F i s a g i v e n m a t r i x . U n d e r t h e a s s u m p t i o n o f i n e l a s t i c c o l l i s i o n s , t h e

d y n a m i c s o f t h e r e s u l t i n g s y s t e m m a y b e d e s c r i b e d b y

M q + D _q + K q = F

T

u ; y = F q ( 4 . 1 1 2 )




t o g e t h e r w i t h c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s b e t w e e n y a n d u . T h e a s s o c i a t e d

R C P i s t h e f o l l o w i n g :

y ( s ) = F ( s

2

M + s D + K )

? 1

( s M + D ) q

0

+ M _q

0

]

+ F ( s

2

M + s D + K )

? 1

F

T

u ( s ) : ( 4 . 1 1 3 )

I f F h a s f u l l r o w r a n k , t h e n t h e m a t r i x F ( s

2

M + s D + K )

? 1

F

T

i s p o s i t i v e

d e n i t e ( a l t h o u g h n o t n e c e s s a r i l y s y m m e t r i c ) f o r a l l s u c i e n t l y l a r g e s b e c a u s e

t h e t e r m a s s o c i a t e d t o s

2

b e c o m e s d o m i n a n t . B y c o m b i n i n g t h e s t a n d a r d r e s u l t

o n s o l v a b i l i t y o f L C P s w i t h T h m . 4 . 4 . 7 , i t f o l l o w s t h a t R C P i s s o l v a b l e a n d w e

c a n u s e t h i s t o p r o v e t h e w e l l - p o s e d n e s s o f t h e c o n s t r a i n e d m e c h a n i c a l s y s t e m .

T h i s p r o v i d e s s o m e c o n r m a t i o n f o r t h e v a l i d i t y o f t h e m o d e l t h a t h a s b e e n

u s e d , s i n c e p h y s i c a l i n t u i t i o n c e r t a i n l y s u g g e s t s t h a t a u n i q u e s o l u t i o n s h o u l d

e x i s t .

I n t h e a b o v e e x a m p l e , o n e c a n e a s i l y i m a g i n e c a s e s i n w h i c h t h e m a t r i x F

d o e s n o t h a v e f u l l r o w r a n k s o t h a t t h e f u l l l m e n t o f s o m e c o n s t r a i n t s a l r e a d y

i m p l i e s t h a t s o m e o t h e r c o n s t r a i n t s w i l l a l s o b e s a t i s e d ; t h i n k f o r i n s t a n c e o f a

c h a i r h a v i n g f o u r l e g s o n t h e g r o u n d . I n s u c h c a s e s t h e b a s i c r e s u l t o n s o l v a b i l -

i t y o f L C P s d o e s n o t p r o v i d e e n o u g h i n f o r m a t i o n , b u t t h e r e a r e a l t e r n a t i v e s

a v a i l a b l e t h a t m a k e u s e o f t h e s p e c i a l s t r u c t u r e t h a t i s p r e s e n t i n e q u a t i o n s l i k e

( 4 . 1 1 3 ) . O n t h e b a s i s o f t h i s , o n e c a n s t i l l p r o v e w e l l - p o s e d n e s s ; i n p a r t i c u l a r

t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e c o o r d i n a t e v e c t o r q ( t ) a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d , e v e n

t h o u g h t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e c o n s t r a i n t f o r c e u ( t ) a r e n o t .

4 . 5 M e c h a n i c a l c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s

M e c h a n i c a l s y s t e m s w i t h u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s c a n b e r e p r e s e n t e d a s s e m i -

e x p l i c i t c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s ( c f . 1 3 8 ] ) :

_q =

@ H

@ p

( q ; p ) q 2 R

n

; p 2 R

n

_ p =

?

@ H

@ q

( q ; p )

?

@ R

@ _q

( _q ) +

@ C

T

@ q

( q ) u u

2 R

k

y = C ( q ) ; y 2 R

k

( 4 . 1 1 4 a )

0 y u 0 : ( 4 . 1 1 4 b )

T h e p r e s e n t a t i o n h e r e i s t h e s a m e a s i n ( 4 . 8 ) e x c e p t t h a t w e h a v e a d d e d a

R a y l e i g h d i s s i p a t i o n f u n c t i o n R . A s s u m e t h a t t h e s y s t e m ( 4 . 1 1 4 a ) i s r e a l -

a n a l y t i c , a n d t h a t t h e u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s a r e i n d e p e n d e n t , t h a t i s

r a n k

@ C

T

@ q

( q ) = k ; f o r a l l q w i t h C ( q ) 0 : ( 4 . 1 1 5 )

S i n c e t h e H a m i l t o n i a n i s o f t h e f o r m ( k i n e t i c e n e r g y p l u s p o t e n t i a l e n e r g y )

H ( q ; p ) =

1

2

p

T

M

? 1

( q ) p + V ( q ) ; M ( q ) = M

T

( q ) > 0 ( 4 . 1 1 6 )



4 . 5 . M e c h a n i c a l c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s 1 0 5

w h e r e M ( q ) i s t h e g e n e r a l i z e d m a s s m a t r i x , i t f o l l o w s t h a t t h e s y s t e m ( 4 . 1 1 4 a )

h a s u n i f o r m r e l a t i v e d e g r e e 2 w i t h d e c o u p l i n g m a t r i x

D ( q ) =

@ C

T

@ q

( q )

T

M

? 1

( q )

@ C

T

@ q

( q ) : ( 4 . 1 1 7 )

H e n c e , f r o m M ( q ) > 0 a n d ( 4 . 1 1 5 ) i t f o l l o w s t h a t D ( q ) i s p o s i t i v e d e n i t e f o r

a l l q w i t h C ( q ) 0 . S i n c e t h e p r i n c i p a l m i n o r s o f a p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x

a r e a l l p o s i t i v e , a l l c o n d i t i o n s o f T h m . 4 . 3 . 1 a n d T h m . 4 . 3 . 2 a r e s a t i s e d , a n d

w e e s t a b l i s h w e l l - p o s e d n e s s f o r s m o o t h c o n t i n u a t i o n s . W e h a v e e s s e n t i a l l y

f o l l o w e d a n a r g u m e n t i n 9 6 ] .

A s w i t c h r u l e f o r m e c h a n i c a l c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s c a n b e f o r m u l a t e d

a s f o l l o w s . L e t u s c o n s i d e r a m e c h a n i c a l s y s t e m w i t h n d e g r e e s o f f r e e d o m

q = ( q

1

; ; q

n

) h a v i n g k i n e t i c e n e r g y

1

2

_q

T

M ( q ) _q , w h e r e M ( q ) > 0 i s t h e g e n -

e r a l i z e d m a s s m a t r i x . S u p p o s e t h e s y s t e m i s s u b j e c t t o k g e o m e t r i c i n e q u a l i t y

c o n s t r a i n t s

y

i

= C

i

( q ) 0 ; i 2 K = f 1 ; ; k g ( 4 . 1 1 8 )

I f t h e i - t h i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t i s a c t i v e , t h a t i s C

i

( q ) = 0 , t h e n t h e s y s t e m

w i l l e x p e r i e n c e a c o n s t r a i n t f o r c e o f t h e f o r m

@ C

i

@ q

( q ) u

i

, w h e r e

@ C

i

@ q

( q ) i s t h e

c o l u m n v e c t o r o f p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f C

i

a n d u

i

a L a g r a n g e m u l t i p l i e r .

L e t u s n o w c o n s i d e r a n a r b i t r a r y i n i t i a l c o n t i n u o u s s t a t e ( q

?

; _q

?

) . D e n e

t h e v e c t o r o f g e n e r a l i z e d v e l o c i t i e s

v

?

: =

@ C

I

@ q

( q

?

) _q

?

( 4 . 1 1 9 )

w h e r e I d e n o t e s t h e s e t o f a c t i v e i n d i c e s a t q

?

. I n o r d e r t o d e s c r i b e t h e

i n e l a s t i c c o l l i s i o n w e c o n s i d e r t h e s y s t e m o f e q u a l i t i e s a n d i n e q u a l i t i e s ( i n t h e

u n k n o w n s v

+

; )

v

+

= v

?

+

@ C

I

@ q

( q

?

) M

? 1

( q

?

)

@ C

T

I

@ q

( q

?

)

0 v

+

0 :

( 4 . 1 2 0 )

H e r e c a n b e i n t e r p r e t e d a s a v e c t o r o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r s r e l a t e d t o i m -

p u l s i v e f o r c e s . T h e s y s t e m ( 4 . 1 2 0 ) i s i n t h e f o r m o f a l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y

p r o b l e m ( L C P ) . T h e g e n e r a l f o r m o f a n L C P c a n b e w r i t t e n a s

y = x + M u ; 0 y u 0 ( 4 . 1 2 1 )

w h e r e t h e v e c t o r x a n d t h e s q u a r e m a t r i x M a r e g i v e n , a n d t h e v e c t o r s y a n d

u a r e t h e u n k n o w n s . A s a l r e a d y n o t e d i n t h e I n t r o d u c t i o n o f t h i s c h a p t e r , i t

i s a c l a s s i c a l r e s u l t t h a t t h e L C P ( 4 . 1 2 1 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n ( y ; u ) f o r e a c h

x i f a n d o n l y i f t h e m a t r i x M i s a P - m a t r i x , t h a t i s t o s a y , i f a n d o n l y i f a l l

p r i n c i p a l m i n o r s o f t h e m a t r i x M a r e p o s i t i v e . T h i s h o l d s i n p a r t i c u l a r i f M




i s a p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x . S i n c e

@ C

I

@ q

( q

?

) M

? 1

( q

?

)

@ C

T

I

@ q

( q

?

) > 0 , t h e L C P

( 4 . 1 2 0 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n . T h e j u m p r u l e i s n o w g i v e n b y

( q

?

; _q

?

) 7! ( q

+

; _q

+

) ;

w i t h

q

+

= q

?

; _q

+

= _q

?

+ M

? 1

( q

?

)

@ C

T

I

@ q

( q

?

) : ( 4 . 1 2 2 )

T h e n e w v e l o c i t y v e c t o r _q

+

m a y e q u i v a l e n t l y b e c h a r a c t e r i z e d a s t h e s o l u t i o n

o f t h e q u a d r a t i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m

m i n

f _q

+

j C ( q ) _q

+

0 g

1

2

( _q

+

? _q

?

)

T

M ( q ) ( _q

+

? _q

?

) ( 4 . 1 2 3 )

w h e r e q : = q

?

= q

+

. T h i s f o r m u l a t i o n i s s o m e t i m e s t a k e n a s a b a s i c p r i n c i p l e

f o r d e s c r i b i n g m u l t i p l e i n e l a s t i c c o l l i s i o n s ; s e e 3 1 , 1 1 2 ] . N o t e t h a t t h e r e i s a

s i m p l e i n t e r p r e t a t i o n t o t h e q u a d r a t i c p r o g r a m m i n g p r o b l e m ( 4 . 1 2 3 ) : i n t h e

t a n g e n t s p a c e a t t h e c o n g u r a t i o n q , t h e p r o b l e m s c a l l s f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f

t h e a d m i s s i b l e v e l o c i t y t h a t i s c l o s e s t t o t h e i m p a c t v e l o c i t y , w h e r e \ c l o s e s t " i s

i n t e r p r e t e d i n t h e s e n s e o f t h e m e t r i c g i v e n b y t h e k i n e t i c e n e r g y . A n a p p e a l i n g

f e a t u r e o f t h e t r a n s i t i o n r u l e a b o v e i s t h a t t h e e n e r g y o f t h e m e c h a n i c a l s y s t e m

w i l l a l w a y s d e c r e a s e a t t h e s w i t c h i n g i n s t a n t . O n e m a y t a k e t h i s a s a s t a r t i n g

p o i n t f o r s t a b i l i t y a n a l y s i s .

E x a m p l e 4 . 5 . 1 ( T w o c a r t s w i t h s t o p a n d h o o k ) . A s a n e x a m p l e o f t h e

s w i t c h i n g r u l e d e s c r i b e d a b o v e , l e t u s a g a i n c o n s i d e r t h e t w o - c a r t s s y s t e m o f

S u b s e c t i o n 2 . 2 . 9 . T o m a k e t h i n g s m o r e i n t e r e s t i n g , w e a d d a s e c o n d c o n s t r a i n t

w h i c h m i g h t b e r e a l i z e d a s a h o o k ( s e e F i g . 4 . 2 ) . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e

x

1

( t ) = ? 2 x

1

( t ) + x

2

( t ) + u

1

( t ) + u

2

( t ) ( 4 . 1 2 4 a )

x

2

( t ) = x

1

( t ) ? x

2

( t ) ? u

2

( t ) ( 4 . 1 2 4 b )

y

1

( t ) = x

1

( t ) ( 4 . 1 2 4 c )

y

2

( t ) = x

1

( t ) ? x

2

( t ) ( 4 . 1 2 4 d )

0 y

1

( t ) u

1

( t ) 0 ( 4 . 1 2 4 e )

0 y

2

( t ) u

2

( t ) 0 : ( 4 . 1 2 4 f )

C o n s i d e r n o w t h e m u l t i p l e - i m p a c t p o i n t ( x

1

; x

2

) = ( 0 ; 0 ) . T h e t w o -

d i m e n s i o n a l t a n g e n t s p a c e a t t h i s p o i n t c o n t a i n s s e v e r a l r e g i o n s o f i n t e r e s t

w h i c h a r e i n d i c a t e d i n F i g . 4 . 3 . I n t h e g u r e , t h e h o r i z o n t a l a x i s i s u s e d f o r

v

1

: = _x

1

a n d t h e v e r t i c a l a x i s f o r v

2

: = _x

2

. T h e c o n e o f a d m i s s i b l e p o s t - i m p a c t

v e l o c i t i e s i s g i v e n b y t h e c o n d i t i o n s v

1

0 a n d v

1

? v

2

0 ; t h i s r e g i o n h a s b e e n

l a b e l e d A i n t h e g u r e . T h e o p p o s i t e c o n e c o n t a i n s a l l p o s s i b l e p r e - i m p a c t v e -

l o c i t i e s , a n d c o n s i s t s o f t h r e e r e g i o n s w h i c h h a v e b e e n l a b e l e d B , C a n d D .

A c c o r d i n g t o t h e j u m p r u l e s p e c i e d a b o v e , a g i v e n p r e - i m p a c t v e l o c i t y w i l l

b e m a p p e d t o t h e p o s t - i m p a c t v e l o c i t y t h a t i s c l o s e s t t o i t i n t h e s e n s e o f t h e



4 . 5 . M e c h a n i c a l c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s 1 0 7

000000111111 F i g u r e 4 . 2 : T w o c a r t s w i t h s t o p a n d h o o k

A

D

v

v1

2

C

B

F i g u r e 4 . 3 : T a n g e n t p l a n e

k i n e t i c m e t r i c , w h i c h i n t h i s c a s e i s j u s t t h e s t a n d a r d E u c l i d e a n m e t r i c s i n c e

t h e m a s s e s o f b o t h c a r t s a r e a s s u m e d t o b e 1 . ( W e l e a v e i t t o t h e r e a d e r t o

w o r k o u t t h e j u m p c o n d i t i o n i n o t h e r c a s e s , f o r i n s t a n c e w h e n t h e m a s s o f t h e

r i g h t c a r t i s t w i c e t h e m a s s o f t h e l e f t c a r t . ) T h e r e f o r e , a p r e - i m p a c t v e l o c i t y

i n r e g i o n B w i l l b e m a p p e d t o a p o s t - i m p a c t v e l o c i t y o n t h e h a l i n e v

1

= 0 ,

v

2

0 , s o t h a t t h e l e f t c a r t w i l l r e m a i n i n c o n t a c t w i t h t h e s t o p w h e r e a s t h e

h o o k c o n t a c t i s n o t a c t i v e . F o r p r e - i m p a c t v e l o c i t i e s i n r e g i o n C , t h e o r i g i n i s

t h e c l o s e s t p o i n t i n t h e c o n e o f a d m i s s i b l e v e l o c i t i e s . T h i s m e a n s t h a t i f t h e

p r e - i m p a c t v e l o c i t i e s a r e s u c h t h a t v

1

0 a n d 0 v

2

? v

1

, t h e i m p a c t w i l l

b r i n g t h e s y s t e m t o a n i n s t a n t a n e o u s s t a n d s t i l l . F i n a l l y i f v

1

0 a n d v

2

? v

1

j u s t b e f o r e i m p a c t ( r e g i o n D ) , t h e n t h e h o o k c o n t a c t w i l l b e m a i n t a i n e d , s o

t h e t w o c a r t s r e m a i n a t a c o n s t a n t d i s t a n c e , w h e r e a s t h e c o n t a c t a t t h e s t o p i s

r e l e a s e d ( e x c e p t i n t h e t r i v i a l c a s e i n w h i c h t h e p r e - i m p a c t v e l o c i t i e s a r e z e r o ,

s o t h a t i n f a c t t h e r e i s n o i m p a c t a t a l l ) .

S i n c e t h e s y s t e m i n o u r e x a m p l e i s l i n e a r , w e m a y a l s o t r e a t i t b y t h e

m e t h o d s o f S e c t i o n 4 . 4 ; i n p a r t i c u l a r w e m a y a p p l y t h e R C P - b a s e d s w i t c h i n g

r u l e ( 4 . 1 0 3 ) . I n t h e p r e s e n t c a s e , t h e r a t i o n a l c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m ( 4 . 1 0 2 )

t a k e s t h e f o l l o w i n g f o r m , f o r g e n e r a l i n i t i a l c o n d i t i o n s x

i

( 0 ) = x

i 0

, _x

i

( 0 ) = v

i 0




( i = 1 ; 2 ) :

( s

4

+ 3 s

2

+ 1 ) y

1

( s ) =

= ( s

2

+ 1 ) s x

1 0

+ s x

2 0

+ ( s

2

+ 1 ) v

1 0

+ v

2 0

+

+ ( s

2

+ 1 ) u

1

( s ) + s

2

u

2

( s ) ( 4 . 1 2 5 a )

( s

4

+ 3 s

2

+ 1 ) y

2

( s ) =

= s

3

x

1 0

? ( s

2

+ 1 ) s x

2 0

+ s

2

v

1 0

? ( s

2

+ 1 ) v

2 0

+

+ s

2

u

1

( s ) + ( 2 s

2

+ 1 ) u

2

( s ) : ( 4 . 1 2 5 b )

W e a r e i n t e r e s t e d i n p a r t i c u l a r i n t h e s i t u a t i o n i n w h i c h x

1 0

= 0 a n d x

2 0

= 0 .

T o n d o u t u n d e r w h a t c o n d i t i o n s t h e r u l e ( 4 . 1 0 3 ) a l l o w s f o r i n s t a n c e a j u m p

t o t h e s t o p - c o n s t r a i n e d m o d e , w e h a v e t o s o l v e t h e a b o v e r a t i o n a l e q u a t i o n s f o r

y

2

( s ) a n d u

1

( s ) u n d e r t h e c o n d i t i o n s y

1

( s ) = 0 a n d u

2

( s ) = 0 . T h e r e s u l t i n g

e q u a t i o n s a r e

0 = ( s

2

+ 1 ) v

1 0

+ v

2 0

+ ( s

2

+ 1 ) u

1

( s ) ( 4 . 1 2 6 a )

( s

4

+ 3 s

2

+ 1 ) y

2

( s ) = s

2

v

1 0

? ( s

2

+ 1 ) v

2 0

+ s

2

u

1

( s ) : ( 4 . 1 2 6 b )

T h e s e e q u a t i o n s c a n b e r e a d i l y s o l v e d , a n d o n e o b t a i n s

y

2

( s ) = ?

1

s

2

+ 1

v

2 0

( 4 . 1 2 7 a )

u

1

( s ) = ? v

1 0

?

1

s

2

+ 1

v

2 0

: ( 4 . 1 2 7 b )

T h e s e f u n c t i o n s a r e n o n n e g a t i v e i n t h e o r d e r i n g w e h a v e p u t o n r a t i o n a l f u n c -

t i o n s i f a n d o n l y i f v

1 0

0 a n d v

2 0

0 ; s o i t f o l l o w s t h a t t h e j u m p t o t h e

s t o p - c o n s t r a i n e d m o d e i s p o s s i b l e a c c o r d i n g t o t h e R C P r u l e i f a n d o n l y i f

t h e s e c o n d i t i o n s a r e s a t i s e d . M o r e o v e r , t h e r e - i n i t i a l i z a t i o n t h a t t a k e s p l a c e

i s d e t e r m i n e d b y ( 4 . 1 2 7 b ) a n d c o n s i s t s o f t h e m a p p i n g ( v

1 0

; v

2 0

) 7! ( 0 ; v

2 0

) .

N o t e t h a t t h e s e r e s u l t s a r e i n f u l l a g r e e m e n t w i t h t h e p r o j e c t i o n r u l e b a s e d

o n t h e k i n e t i c m e t r i c . T h i s c o n c l u d e s t h e c o m p u t a t i o n s f o r t h e j u m p t o t h e

s t o p - c o n s t r a i n e d m o d e . I n t h e s a m e w a y o n e c a n v e r i f y t h a t a c t u a l l y i n a l l

c a s e s t h e R C P r u l e l e a d s t o t h e s a m e r e s u l t s a s t h e p r o j e c t i o n r u l e . I t c a n

b e p r o v e d f o r l i n e a r H a m i l t o n i a n c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s i n g e n e r a l t h a t t h e

R C P r u l e a n d t h e p r o j e c t i o n r u l e l e a d t o t h e s a m e j u m p s ; s e e 6 9 ] .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t i n t h e a b o v e e x a m p l e w e c o n s i d e r o n l y s o m e o f

t h e r s t e l e m e n t s o f i m p a c t t h e o r y . I n a p p l i e d m e c h a n i c s o n e n e e d s t o d e a l

w i t h m u c h m o r e c o m p l i c a t e d i m p a c t s i n w h i c h a l s o f r i c t i o n a l e e c t s a n d e l a s t i c

d e f o r m a t i o n s m a y p l a y a r o l e . I n a n y g i v e n p a r t i c u l a r s i t u a t i o n , o n e n e e d s t o

l o o k f o r i m p a c t m o d e l s t h a t c o n t a i n e n o u g h f r e e d o m t o a l l o w a s a t i s f a c t o r y

d e s c r i p t i o n o f a r a n g e o f o b s e r v e d p h e n o m e n a , a n d t h a t a t t h e s a m e t i m e a r e

r e a s o n a b l y i d e n t i a b l e i n t h e s e n s e t h a t p a r a m e t e r v a l u e s c a n b e o b t a i n e d t o



4 . 6 . R e l a y s y s t e m s 1 0 9

g o o d a c c u r a c y f r o m e x p e r i m e n t s . I n a d d i t i o n t o t h e m o d e l i n g p r o b l e m s , o n e

a l s o f a c e s v e r y s u b s t a n t i a l c o m p u t a t i o n a l p r o b l e m s i n s i t u a t i o n s w h e r e t h e r e

a r e m a n y c o n t a c t p o i n t s , s u c h a s f o r i n s t a n c e i n t h e s t u d y o f g r a n u l a r m a t e r i a l .

R e m a r k 4 . 5 . 2 . I f i n t h e e x a m p l e a b o v e o n e r e p l a c e s t h e i n i t i a l d a t a

( x

1 0

; x

2 0

) = ( 0 ; 0 ) b y ( x

1 0

; x

2 0

) = ( " ; 0 ) o r ( x

1 0

; x

2 0

) = ( 0 ; ? " ) , t h e n o n e

o b t a i n s q u i t e d i e r e n t s o l u t i o n s . T h e s y s t e m i n t h e e x a m p l e t h e r e f o r e d i s -

p l a y s d i s c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o n i n i t a l c o n d i t i o n s . W e s e e t h a t s u c h a p h e -

n o m e n o n , w h i c h i s q u i t e r a r e f o r o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , o c c u r s a l r e a d y

i n q u i t e s i m p l e e x a m p l e s o f h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m s . T h i s a g a i n i n d i c a t e s

t h a t t h e r e a r e f u n d a m e n t a l d i e n c e s b e t w e e n s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s a n d

h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m s ; w e a l r e a d y n o t e d b e f o r e t h a t i n s i m p l e e x a m p l e s o f

h y b r i d s y s t e m s o n e m a y h a v e r i g h t u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s b u t n o l e f t u n i q u e -

n e s s , w h i c h i s a l s o a p h e n o m e n o n t h a t n o r m a l l y d o e s n ' t o c c u r i n s y s t e m s

d e s c r i b e d b y o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s .

T h e d i s c o n t i n u o u s d e p e n d e n c e o n i n i t i a l c o n d i t i o n s m a y b e v i e w e d a s a

r e s u l t o f a n i d e a l i z a t i o n , r e e c t i n g a v e r y s e n s i t i v e d e p e n d e n c e o n i n i t i a l c o n -

d i t i o n s i n a c o r r e s p o n d i n g s m o o t h m o d e l . C e r t a i n l y t h e f a c t t h a t s u c h d i s c o n -

t i n u i t i e s a p p e a r i s a p r o b l e m i n n u m e r i c a l s i m u l a t i o n , b u t n u m e r i c a l p r o b l e m s

w o u l d a l s o o c c u r w h e n f o r i n s t a n c e t h e s t r i c t u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s i n t h e e x -

a m p l e a b o v e w o u l d b e r e p l a c e d b y v e r y s t i s p r i n g s . S o t h e h y b r i d m o d e l

i n i t s e l f c a n n o t b e h e l d r e s p o n s i b l e f o r t h e ( n e a r - ) d i s c o n t i n u i t y p r o b l e m ; o n e

s h o u l d r a t h e r s a y t h a t i t c l e a r l y e x p o s e s t h i s p r o b l e m .

4 . 6 R e l a y s y s t e m s

F o r p i e c e w i s e l i n e a r r e l a y s y s t e m s o f t h e f o r m

_x = A x + B u ; y = C x + D u ; u

i

=

? s g n y

i

( i = 1 ; : : : ; k ) ( 4 . 1 2 8 )

o n e m a y a p p l y T h m . 4 . 4 . 7 , b u t t h e a p p l i c a t i o n i s n o t s t r a i g h t f o r w a r d f o r t h e

f o l l o w i n g r e a s o n . A s n o t e d a b o v e , i t i s p o s s i b l e t o r e w r i t e a r e l a y s y s t e m

a s a c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m ( i n s e v e r a l w a y s a c t u a l l y ) . U s i n g t h e m e t h o d

( 4 . 2 9 ) , o n e a r r i v e s a t a r e l a t i o n b e t w e e n t h e n e w i n p u t s c o l ( u

1

; u

2

) a n d t h e

n e w o u t p u t s c o l ( y

1

; y

2

) t h a t m a y b e w r i t t e n i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n a s f o l l o w s

( 1 d e n o t e s t h e v e c t o r a l l o f w h o s e e n t r i e s a r e 1 , a n d G ( s ) d e n o t e s t h e t r a n s f e r

m a t r i x C ( s I ? A )

? 1

B + D ) :

2

4

u

1

( s )

u

2

( s )

3

5

=

2

4

? G

? 1

( s ) C ( s I ? A )

? 1

x

0

+ s

? 1

1

G

? 1

( s ) C ( s I ? A )

? 1

x

0

+ s

? 1

1

3

5

+

+

2

4

G

? 1

( s ) ? G

? 1

( s )

? G

? 1

( s ) G

? 1

( s )

3

5

2

4

y

1

( s )

y

2

( s )

3

5

: ( 4 . 1 2 9 )

T h e m a t r i x t h a t a p p e a r s o n t h e r i g h t h a n d s i d e i s s i n g u l a r f o r a l l s a n d s o

t h e c o r r e s p o n d i n g L C P d o e s n o t a l w a y s h a v e a u n i q u e s o l u t i o n . H o w e v e r t h e




e x p r e s s i o n a t t h e r i g h t h a n d s i d e i s o f a s p e c i a l f o r m a n d w e o n l y n e e d t o

e n s u r e e x i s t e n c e o f a u n i q u e s o l u t i o n f o r L C P s o f t h i s p a r t i c u l a r f o r m . O n t h e

b a s i s o f t h i s o b s e r v a t i o n , t h e f o l l o w i n g r e s u l t i s o b t a i n e d .

T h e o r e m 4 . 6 . 1 . 9 5 , 7 0 ] T h e p i e c e w i s e l i n e a r r e l a y s y s t e m ( 4 . 1 2 8 ) i s w e l l -

p o s e d i f t h e t r a n s f e r m a t r i x G ( s ) i s a P - m a t r i x f o r a l l s u c i e n t l y l a r g e s .

I n p a r t i c u l a r t h e t h e o r e m m a y b e u s e d t o v e r i f y t h a t t h e s y s t e m i n t h e e x a m p l e

a t t h e b e g i n n i n g o f S e c t i o n 4 . 3 , w i t h t h e \ r i g h t " s i g n o f t h e r e l a y f e e d b a c k , i s

w e l l - p o s e d .

T h e a b o v e r e s u l t g i v e s a c r i t e r i o n t h a t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o v e r i f y ( c o m p u t e

t h e d e t e r m i n a n t s o f a l l p r i n c i p a l m i n o r s o f G ( s ) , a n d c h e c k t h e s i g n s o f t h e

l e a d i n g M a r k o v p a r a m e t e r s ) , b u t t h a t i s r e s t r i c t e d t o p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m s .

F i l i p p o v 5 4 , x 2 . 1 0 ] g i v e s a c r i t e r i o n f o r w e l l - p o s e d n e s s w h i c h w o r k s f o r g e n e r a l

n o n l i n e a r s y s t e m s , b u t n e e d s t o b e v e r i e d o n a p o i n t - b y - p o i n t b a s i s .


C o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s h a v e b e e n s t u d i e d i n t e n s i v e l y s i n c e t h e m i d - s i x t i e s ,

a n d m u c h a t t e n t i o n h a s i n p a r t i c u l a r b e e n g i v e n t o t h e l i n e a r c o m p l e m e n t a r -

i t y p r o b l e m . T h e b o o k 3 9 ] b y C o t t l e , P a n g , a n d S t o n e p r o v i d e s a r i c h s o u r c e

o f i n f o r m a t i o n o n t h e L C P . T h e g e n e r a l f o r m u l a t i o n o f i n p u t - o u t p u t d y n a m i -

c a l s y s t e m s a s i n ( 4 . 4 a { 4 . 4 b ) h a s b e e n p o p u l a r i n p a r t i c u l a r i n c o n t r o l t h e o r y

s i n c e t h e e a r l y s i x t i e s . S e e f o r i n s t a n c e 1 2 1 ] f o r a d i s c u s s i o n o f n o n l i n e a r

s y s t e m s , a n d 8 4 ] f o r l i n e a r s y s t e m s . T h e c o m b i n a t i o n o f c o m p l e m e n t a r i t y

c o n d i t i o n s a n d d i e r e n t i a l e q u a t i o n s h a s b e e n u s e d f o r m e c h a n i c a l p r o b l e m s

b y L o t s t e d t 9 6 ] ; r e l a t e d w o r k h a s b e e n d o n e b y M o r e a u w h o u s e d a s o m e -

w h a t d i e r e n t f o r m u l a t i o n ( t h e \ s w e e p i n g p r o c e s s " ) 1 1 3 ] . I n t h e m e c h a n i c a l

c o n t e x t , c o m p l e m e n t a r i t y c o n d i t i o n s h a v e n o t o n l y b e e n u s e d f o r t h e d e s c r i p -

t i o n o f u n i l a t e r a l c o n s t r a i n t s b u t a l s o f o r t h e m o d e l i n g o f d r y f r i c t i o n ; s e e f o r

i n s t a n c e 1 2 9 , 1 4 6 , 1 4 5 ] . A n o t h e r a r e a w h e r e t h e c o m b i n a t i o n o f c o m p l e m e n -

t a r i t y c o n d i t i o n s a n d d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a r i s e s n a t u r a l l y i s e l e c t r i c a l c i r c u i t

s i m u l a t i o n ; e a r l y w o r k i n t h e s i m u l a t i o n o f p i e c e w i s e l i n e a r e l e c t r i c a l n e t w o r k s

h a s b e e n d o n e b y V a n B o k h o v e n 2 3 ] . T h e i d e a o f c o m b i n i n g c o m p l e m e n t a r i t y

c o n d i t i o n s w i t h g e n e r a l i n p u t - o u t p u t d y n a m i c a l s y s t e m s s e e m s t o h a v e b e e n

p r o p o s e d r s t i n 1 3 8 ] .

2

F u r t h e r i n f o r m a t i o n a b o u t c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s

i s a v a i l a b l e i n 3 3 , 3 4 , 6 8 , 6 9 , 7 0 , 7 1 , 7 2 , 7 3 , 9 5 , 1 3 9 , 1 4 0 , 1 4 1 ] .

2

I n t h e c i t e d p a p e r t h e t e r m \ c o m p l e m e n t a r y - s l a c k n e s s s y s t e m " w a s u s e d . I n l a t e r w o r k

t h i s h a s b e e n c h a n g e d t o \ c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m " b e c a u s e t h i s t e r m i s s h o r t e r a n d c o n n e c t s

m o r e c l o s e l y t o t h e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m , a n d a l s o b e c a u s e t h e E n g l i s h w o r d s l a c k n e s s

s e e m s t o b e h a r d t o t r a n s l a t e i n t o o t h e r l a n g u a g e s s u c h a s D u t c h .



C h a p t e r 5

A n a l y s i s o f h y b r i d s y s t e m s

T y p i c a l p r o p e r t i e s s t u d i e d f o r s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s i n c l u d e t h e n a t u r e o f

e q u i l i b r i a , s t a b i l i t y , r e a c h a b i l i t y , t h e p r e s e n c e o f l i m i t c y c l e s , a n d t h e e e c t s o f

p a r a m e t e r c h a n g e s . I n t h e d o m a i n o f n i t e a u t o m a t a , o n e m a y b e i n t e r e s t e d

f o r i n s t a n c e i n t h e o c c u r r e n c e o f d e a d l o c k , t h e c o r r e c t n e s s o f p r o g r a m s , i n c l u -

s i o n r e l a t i o n s b e t w e e n l a n g u a g e s r e c o g n i z e d b y d i e r e n t a u t o m a t a , a n d i s s u e s

o f c o m p l e x i t y a n d d e c i d a b i l i t y . I n t h e c o n t e x t o f h y b r i d s y s t e m s , o n e m a y e x -

p e c t t o e n c o u n t e r p r o p e r t i e s b o t h f r o m t h e c o n t i n u o u s a n d f r o m t h e d i s c r e t e

d o m a i n , w i t h s o m e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e m . I n t h i s c h a p t e r w e d i s c u s s a

n u m b e r o f e x a m p l e s .

5 . 1 C o r r e c t n e s s a n d r e a c h a b i l i t y

O v e r t h e p a s t t h r e e c e n t u r i e s , t h e i n v e s t i g a t i o n o f p r o p e r t i e s o f s m o o t h d y n a m -

i c a l s y s t e m s h a s b e e n a s u b j e c t o f i n t e n s e r e s e a r c h . I n g e n i o u s m e t h o d s h a v e

b e e n u s e d t o o b t a i n m a n y r e s u l t s o f i n t e r e s t a n d o f p r a c t i c a l r e l e v a n c e , b u t o f

c o u r s e t h e s u b j e c t i s t o o w i d e t o b e e v e r c o m p l e t e l y u n d e r s t o o d . T h e t y p i c a l

a p p r o a c h i s t o l o o k f o r p r o p e r t i e s t h a t c a n b e p r o v e n t o h o l d f o r s u i t a b l y d e -

n e d s u b c l a s s e s ; t h e r e i s n o g e n e r a l p r o o f m e t h o d , a n d u s u a l l y c o n s i d e r a b l e

i n g e n u i t y i s n e e d e d t o a r r i v e a t i n t e r e s t i n g c o n c l u s i o n s . I n t h e t h e o r y o f n i t e

a u t o m a t a h o w e v e r w e e n c o u n t e r a s i t u a t i o n t h a t i s r a d i c a l l y d i e r e n t . S i n c e

t h e n u m b e r o f s t a t e s i s n i t e , c e r t a i n p r o p e r t i e s c a n b e v e r i e d i n p r i n c i p l e

b y c h e c k i n g a l l p o s s i b l e s t a t e s . T h e c a t c h i s i n t h e w o r d s \ i n p r i n c i p l e " ; t h e

n u m b e r o f s t a t e s t o v i s i t m a y i n d e e d b e h u g e i n s i t u a t i o n s o f p r a c t i c a l i n t e r e s t ,

a n d s o o n e s h o u l d b e c o n c e r n e d w i t h t h e c o m p l e x i t y o f a l g o r i t h m s a n d v a r i o u s

h e u r i s t i c s .

5 . 1 . 1 F o r m a l v e r i c a t i o n

T h e t e r m f o r m a l v e r i c a t i o n ( o r c o m p u t e r - a i d e d v e r i c a t i o n ) i s u s e d f o r t h e

m e t h o d s t h a t h a v e b e e n d e v e l o p e d i n c o m p u t e r s c i e n c e t o a n a l y z e t h e p r o p -

e r t i e s o f d i s c r e t e s y s t e m s . O f p a r t i c u l a r i n t e r e s t i s t o p r o v e t h e c o r r e c t n e s s

o f p r o g r a m s ( u n d e r s t o o d i n a w i d e s e n s e t o i n c l u d e s o f t w a r e b u t a l s o c o m -

m u n i c a t i o n p r o t o c o l s a n d h a r d w a r e d e s c r i p t i o n s ) . T o n d b u g s i n a c o m p l e x

s o f t w a r e s y s t e m i s a h i g h l y n o n t r i v i a l m a t t e r , a s i s w e l l - k n o w n , a n d g i v e n t h e

1 1 1



1 1 2 C h a p t e r 5 . A n a l y s i s o f h y b r i d s y s t e m s

s i z e o f t h e s o f t w a r e i n d u s t r y t h e r e i s a m a j o r i n t e r e s t i n a u t o m a t e d t o o l s t h a t

c a n h e l p i n t h e v e r i c a t i o n p r o c e s s .

T h e r e a r e t w o t y p e s o f f o r m a l v e r i c a t i o n m e t h o d s , k n o w n a s t h e o r e m p r o v -

i n g a n d m o d e l c h e c k i n g . I n t h e o r e m p r o v i n g , o n e s t a r t s w i t h a r e p r e s e n t a t i o n

o f t h e p r o g r a m t o b e a n a l y z e d a n d a t t e m p t s t o a r r i v e a t a p r o o f o f c o r r e c t -

n e s s b y a p p l y i n g a s e t o f i n f e r e n c e r u l e s . T h e o r e m p r o v e r s o f t e n n e e d s o m e

h u m a n g u i d a n c e t o c o m p l e t e t h e i r t a s k i n a r e a s o n a b l e a m o u n t o f t i m e . M o r e -

o v e r , w h e n t h e p r o o f o f c o r r e c t n e s s f a i l s , a t h e o r e m p r o v e r o f t e n p r o v i d e s l i t t l e

i n d i c a t i o n o f w h a t i s w r o n g i n t h e d e s i g n . M o d e l c h e c k i n g i s i n p r i n c i p l e a

b r u t e - f o r c e a p p r o a c h , b u i l d i n g o n t h e n i t e n e s s o f t h e s t a t e s p a c e . B y s e a r c h -

i n g a l l p o s s i b i l i t i e s , t h e m e t h o d e i t h e r p r o v e s a d e s i g n t o b e c o r r e c t o r n d s a

c o u n t e r e x a m p l e . T h e a b i l i t y o f m o d e l c h e c k e r s t o n d b u g s i s o f c o u r s e v e r y

i m p o r t a n t t o s y s t e m d e s i g n e r s . T h e t i m e n e e d e d t o d o a n e x h a u s t i v e s e a r c h

i s h o w e v e r e x p o n e n t i a l i n t e r m s o f t h e n u m b e r o f v a r i a b l e s i n t h e s y s t e m , a n d

s o c o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n h a s g o n e i n t o t h e d e v e l o p m e n t o f m e t h o d s t h a t c a n

c o m b a t c o m p l e x i t y .

P r o g r a m p r o p e r t i e s t o b e s p e c i e d a r e o f t e n e x p r e s s e d i n t e r m s o f t e m p o r a l

l o g i c f o r m u l a s ; t h e s e a r e a b l e t o e x p r e s s p r o p e r t i e s l i k e \ i f t h e v a r i a b l e P i s

r e s e t t o z e r o , t h e n e v e n t u a l l y t h e v a r i a b l e Q i s r e s e t t o z e r o a s w e l l " . M o r e g e n -

e r a l l y , c o r r e c t n e s s c a n b e v i e w e d a s a n i m p l e m e n t a t i o n r e l a t i o n i n w h i c h t h e

s p e c i c a t i o n s a r e e x p r e s s e d i n s o m e l a n g u a g e , t h e d e s i g n i s e x p r e s s e d i n p o s -

s i b l y a d i e r e n t l a n g u a g e , a n d i t i s t o b e p r o v e n t h a t t h e d e s i g n \ i m p l e m e n t s "

t h e s p e c i c a t i o n . T h e r e c a n a c t u a l l y b e s e v e r a l s t a g e s o f s u c h r e l a t i o n s ; t h e n

o n e h a s a h i e r a r c h y o f m o d e l s , e a c h o f w h i c h i s p r o v e d t o b e a n i m p l e m e n t a t i o n

o f t h e o n e o n t h e n e x t h i g h e r l e v e l . A s t r u c t u r e o f t h i s t y p e i s o b t a i n e d b y t h e

d e s i g n m e t h o d o f s t e p w i s e r e n e m e n t , i n w h i c h o n e s t a r t s o n a n a b s t r a c t l e v e l

t h a t a l l o w s r e l a t i v e l y e a s y v e r i c a t i o n , a n d t h e n p r o c e e d s i n s t e p s t o m o r e a n d

m o r e r e n e d d e s i g n s w h i c h a r e v e r i e d t o b e s p e c i c w a y s o f c a r r y i n g o u t t h e

o p e r a t i o n s o n t h e p r e v i o u s l e v e l . C o n v e r s e l y , g i v e n a f u l l y s p e c i e d m o d e l , o n e

c a n t r y t o s i m p l i f y t h e m o d e l f o r t h e p u r p o s e o f c h e c k i n g a p a r t i c u l a r p r o p e r t y

b y l e a v i n g o u t d e t a i l t h a t i s b e l i e v e d t o b e i r r e l e v a n t i n c o n n e c t i o n w i t h t h a t

p r o p e r t y . T y p i c a l l y o n e t h e n g e t s a n o n d e t e r m i n i s t i c m o d e l , i n w h i c h a p r e -

c i s e b u t c o m p l i c a t e d d e s c r i p t i o n o f a p a r t o f t h e s y s t e m i s r e p l a c e d b y s o m e

c o a r s e i n f o r m a t i o n w h i c h n e v e r t h e l e s s m a y s t i l l b e e n o u g h t o e s t a b l i s h t h e d e -

s i r e d p r o p e r t y . T h i s p r o c e s s i s s o m e t i m e s c a l l e d a b s t r a c t i o n . S o m e r e d u c t i o n

o f c o m p l e x i t y m a y a l s o b e a c h i e v e d b y c h o o s i n g s u i t a b l e r e p r e s e n t a t i o n s o f

s e t s o f s t a t e s ; i n p a r t i c u l a r i t i s o f t e n u s e f u l t o w o r k w i t h B o o l e a n e x p r e s s i o n s

w h i c h c a n d e s c r i b e c e r t a i n s e t s o f s t a t e s i n a c o m p a c t w a y . M e t h o d s t h a t u s e

s u c h e x p r e s s i o n s c o m e u n d e r t h e h e a d i n g o f s y m b o l i c m o d e l c h e c k i n g . I n a d -

d i t i o n t o m o d e l c h e c k e r s t h e r e a r e a l s o e q u i v a l e n c e c h e c k e r s w h i c h v e r i f y t h e

c o r r e c t n e s s o f a d e s i g n a f t e r m o d i c a t i o n o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e o r i g i n a l

d e s i g n w a s c o r r e c t . O f c o u r s e t h e f e a s i b i l i t y o f v a r i o u s m e t h o d s t o o v e r c o m e

t h e c o m p l e x i t y b a r r i e r a l s o d e p e n d s o n t h e w a y t h a t p r o g r a m s a r e f o r m e d , a n d

i n t h i s c o n t e x t t h e i d e a o f m o d u l a r p r o g r a m m i n g i s i m p o r t a n t .

A g e n e r a l c a v e a t t h a t s h o u l d b e k e p t i n m i n d i s t h a t f o r m a l v e r i c a t i o n



5 . 1 . C o r r e c t n e s s a n d r e a c h a b i l i t y 1 1 3

c a n n e v e r g i v e a b s o l u t e c e r t a i n t y a b o u t t h e f u n c t i o n i n g o f a p i e c e o f c o m p u t e r

e q u i p m e n t . T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h a t v e r i c a t i o n m e t h o d s o p e r a t e o n a f o r m a l

m o d e l , w h i c h r e l a t e s t o t h e r e a l w o r l d t h r o u g h a f o r m a l i z a t i o n s t e p t h a t m a y

c o n t a i n m i s t a k e s . F o r i n s t a n c e , i f a d e s i g n i s f o r m a l l y p r o v e d c o r r e c t b u t t h e

i m p l e m e n t a t i o n r o u t i n e w h i c h t a k e s t h e d e s i g n t o c h i p c i r c u i t r y c o n t a i n s a n

e r r o r , t h e n t h e r e s u l t m a y s t i l l b e f a u l t y . R e p o r t e d l y t h i s i s w h a t h a p p e n e d i n

t h e c a s e o f t h e i n f a m o u s P e n t i u m d i v i s i o n b u g .

I n s p i t e o f s u c h i n c i d e n t s , f o r m a l v e r i c a t i o n m e t h o d s a n d i n p a r t i c u l a r

m o d e l c h e c k i n g c o n s t i t u t e o n e o f t h e s u c c e s s s t o r i e s o f c o m p u t e r s c i e n c e , e s -

p e c i a l l y i n t h e a r e a o f v e r i c a t i o n o f h a r d w a r e d e s c r i p t i o n s . A l l o f t h e m a j o r

c o m p u t e r r m s h a v e d e v e l o p e d t h e i r o w n a u t o m a t e d v e r i c a t i o n t o o l s , a n d

c o m m e r c i a l t o o l s a r e n d i n g t h e i r w a y t o t h e m a r k e t p l a c e . I t i s n o s u r p r i s e ,

t h e r e f o r e , t h a t a l a r g e p a r t o f t h e i n t e r e s t o f c o m p u t e r s c i e n t i s t s w h o w o r k

w i t h h y b r i d s y s t e m s g o e s t o v e r i c a t i o n . A l t h o u g h a g e n e r a l f o r m u l a t i o n o f

c o r r e c t n e s s f o r h y b r i d s y s t e m s s h o u l d b e i n t e r m s o f l a n g u a g e i n c l u s i o n ( a n d

o n e m i g h t d i s c u s s w h i c h l a n g u a g e s a r e s u i t a b l e f o r t h i s p u r p o s e ) , c e r t a i n p r o p -

e r t i e s o f i n t e r e s t c a n b e e x p r e s s e d m o r e s i m p l y a s r e a c h a b i l i t y p r o p e r t i e s , s o

t h a t t h e l e g a l t r a j e c t o r i e s a r e t h o s e i n w h i c h c e r t a i n d i s c r e t e s t a t e s a r e n o t

r e a c h e d . T h i s i s i l l u s t r a t e d i n t h e n e x t s u b s e c t i o n .

5 . 1 . 2 A n a u d i o p r o t o c o l

E x a m p l e 5 . 1 . 1 . A c e r t a i n p r o t o c o l f o r c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n t h e s u b s y s -

t e m s o f a c o n s u m e r a u d i o s y s t e m s w a s s u g g e s t e d a s a b e n c h m a r k i n 2 4 ] . T h e

p r o b l e m i s t o v e r i f y t h a t t h e p r o t o c o l i s c o r r e c t i n t h e s e n s e t h a t i s e n s u r e s

t h a t n o c o m m u n i c a t i o n e r r o r s o c c u r b e t w e e n t h e s u b s y s t e m s . W i t h o u t g o i n g

i n t o t h e d e t a i l s o f t h e a c t u a l i m p l e m e n t a t i o n ( s e e 2 4 ] f o r a m o r e e l a b o r a t e

d e s c r i p t i o n ) , t h e p r o t o c o l c a n b e d e s c r i b e d a s f o l l o w s . T h e p u r p o s e o f t h e

p r o t o c o l i s t o a l l o w t h e c o m p o n e n t s o f a c o n s u m e r a u d i o s y s t e m t o e x c h a n g e

m e s s a g e s . A c e r t a i n c o d i n g s c h e m e i s u s e d w h i c h d e p e n d s o n t i m e i n t e r v a l s

b e t w e e n e v e n t s , a n \ e v e n t " b e i n g t h e v o l t a g e o n a b u s i n t e r f a c e g o i n g f r o m

l o w t o h i g h . A b a s i c t i m e i n t e r v a l i s c h o s e n a n d t h e c o d i n g c a n b e d e s c r i b e d

a s f o l l o w s :

- t h e r s t e v e n t a l w a y s s i g n i e s a 1 ( m e s s a g e s a l w a y s s t a r t w i t h a 1 ) ;

- i f a 1 h a s l a s t b e e n r e a d , t h e n e x t e v e n t s i g n i e s 1 i f 4 b a s i c t i m e i n t e r v a l s

h a v e p a s s e d , 0 i f 6 i n t e r v a l s h a v e p a s s e d , a n d 0 1 i f 8 i n t e r v a l s h a v e p a s s e d ;

- i f a 0 h a s l a s t b e e n r e a d , t h e n e x t e v e n t s i g n i e s 0 i f 4 i n t e r v a l s h a v e

p a s s e d , a n d 0 1 i f 6 i n t e r v a l s h a v e p a s s e d ;

- i f m o r e t h a n 9 i n t e r v a l s p a s s a f t e r a 1 h a s b e e n r e a d , o r m o r e t h a n 7

a f t e r a 0 h a s b e e n r e a d , t h e m e s s a g e i s a s s u m e d t o h a v e e n d e d .

D u e t o c l o c k d r i f t a n d p r i o r i t y s c h e d u l i n g , t h e t i m i n g o f e v e n t s i s u n c e r t a i n

a n d t h e d e s i g n s p e c i c a t i o n s c a l l f o r a 5 % t o l e r a n c e i n t i m i n g . C l o c k s a r e r e s e t

w i t h e a c h e v e n t .




T o d e s c r i b e t h e p r o t o c o l u s i n g e v e n t - o w f o r m u l a s , i t i s c o n v e n i e n t t o m o d e l

t h e s e n d e r a n d t h e r e c e i v e r s e p a r a t e l y . L e t u s b e g i n w i t h t h e d e s c r i p t i o n o f t h e

s e n d e r . W e u s e t w o c o n t i n u o u s v a r i a b l e s , n a m e l y c l o c k t i m e d e n o t e d b y x

s

a n d

a n o s e t s i g n a l d e n o t e d b y u

s

. T h e r e a r e t w o d i s c r e t e s t a t e v a r i a b l e s A

s

a n d

L

s

. T h e v a r i a b l e A

s

t a k e s t h e v a l u e 1 i f c u r r e n t l y a m e s s a g e i s b e i n g s e n t a n d 0

o t h e r w i s e . T h e v a r i a b l e L

s

d e n o t e s t h e l a s t s y m b o l t h a t h a s b e e n s e n t , w h i c h

i s e i t h e r 0 o r 1 . T h e r e i s a l s o a d i s c r e t e c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e d e n o t e d b y S

s

r e p r e s e n t i n g t h e s i g n a l t o b e s e n t t o t h e r e c e i v e r ; t h i s s i g n a l i s p r e s c r i b e d f r o m

o u t s i d e i n a w a y t h a t i s n o t m o d e l e d . B e c a u s e i n t h e d e n i t i o n o f e v e n t - o w

f o r m u l a s w e h a v e t a k e n a s a d e f a u l t t h a t e v e n t s a r e n o t s y n c h r o n i z e d , w e m u s t

a l s o i n t r o d u c e a c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e b e t w e e n s e n d e r a n d r e c e i v e r w h i c h

w e d e n o t e b y C . T e c h n i c a l l y t h i s c o r r e s p o n d s t o t h e f a c t t h a t b o t h s e n d e r a n d

r e c e i v e r a r e a w a r e o f v o l t a g e s u r g e s o n t h e c o n n e c t i n g b u s . T h e o p e r a t i o n o f

t h e s e n d e r c a n n o w b e d e s c r i b e d a s f o l l o w s :

s e n d e r : c l o c k

?

s e n d e r j j e v e n t s

?

s e n d e r ( 5 . 1 a )

c l o c k

?

s e n d e r : _x

s

= 1 + u

s

; ? 0 : 0 5 u

s

0 : 0 5 ( 5 . 1 b )

e v e n t s

?

s e n d e r : C = 1 ; x

+

s

= 0 ;

A

?

s

= 0 ; w a k e u p

?

s

A

+

s

= 1 ;

L

?

s

= 0 ; e v e n t 0

?

s

L

?

s

= 1 ; e v e n t 1

?

s

( 5 . 1 c )

w a k e u p

?

s : S

s

= 1 ; A

+

s

= 1 ; L

+

s

= 1 ( 5 . 1 d )

e v e n t 0

?

s

x

s

= 4 ; S

s

= 1 ; L

+

s

= 1

x

s

= 6 ; S

s

= 0 ; L

+

s

= 0

x

s

= 8 ; S

s

= 0 1 ; L

+

s

= 1

x

s

9 ; A

+

s

= 0

( 5 . 1 e )

e v e n t 1

?

s

x

s

= 4 ; S

s

= 0 ; L

+

s

= 0

x

s

= 6 ; S

s

= 0 1 ; L

+

s

= 1

x

s

7 ; A

+

s

= 0 :

( 5 . 1 f )

N o w w e m o d e l t h e r e c e i v e r . W h i l e t h e s e n d e r a c t s a t i n t e g e r t i m e p o i n t s a s

m e a s u r e d o n i t s o w n c l o c k , t h e e v e n t s d o n o t a l w a y s t a k e p l a c e a f t e r a n i n t e g e r

n u m b e r o f t i m e u n i t s o n t h e r e c e i v e r ' s c l o c k , a s a r e s u l t o f c l o c k i n a c c u r a c i e s .

L e t u s a s s u m e t h a t t h e r e c e i v e r w i l l r o u n d t i m e s t o t h e n e a r e s t i n t e g e r i n t h e

s e t f 4 ; 6 ; 8 ; 9 g . T h e o p e r a t i o n o f t h e r e c e i v e r m a y t h e n b e d e s c r i b e d a s f o l l o w s ,

n o t a t i o n b e i n g s i m i l a r t o t h e o n e u s e d f o r t h e s e n d e r :

r e c e i v e r : c l o c k

?

r e c e i v e r j j e v e n t s

?

r e c e i v e r j j t i m e l i m i t ( 5 . 2 a )

c l o c k

?

r e c e i v e r : _x

r

= 1 + u

r

; ? 0 : 0 5 u

r

0 : 0 5 ( 5 . 2 b )




e v e n t s

?

r e c e i v e r : C = 1 ; x

+

r

= 0 ;

A

?

r

= 0 ; w a k e u p

?

r

A

+

r

= 1 ;

L

?

r

= 0 ; e v e n t 0

?

r

L

?

r

= 1 ; e v e n t 1

?

r

( 5 . 2 c )

w a k e u p

?

r : S

r

= 1 ; A

+

r

= 1 ; L

+

r

= 1 ( 5 . 2 d )

e v e n t 0

?

r

x

r

< 5 ; S

r

= 1 ; L

+

r

= 1

5 x

r

< 7 ; S

r

= 0 ; L

+

r

= 0

7 x

r

< 9 ; S

r

= 0 1 ; L

+

r

= 1

x

r

= 9 ; A

+

s

= 0

( 5 . 2 e )

e v e n t 1

?

r

x

r

< 5 ; S

r

= 0 ; L

+

r

= 0

5 x

r

< 7 ; S

r

= 0 1 ; L

+

r

= 1

x

r

= 7 ; A

+

r

= 0

( 5 . 2 f )

t i m e l i m i t : L

r

= 1 ; x

r

9 j L

r

= 0 ; x

r

7 : ( 5 . 2 g )

W e c o n s i d e r s o l u t i o n s i n N Z / 1 / C

1

/ C

0

o f t h e s y s t e m a s a w h o l e , w h i c h i s

d e s c r i b e d b y

s y s t e m : s e n d e r j j r e c e i v e r : ( 5 . 3 )

I n p a r t i c u l a r w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e q u e s t i o n w h e t h e r t h e d i s c r e t e e x t e r n a l

c o m m u n i c a t i o n t r a c e s o f s e n d e r a n d r e c e i v e r a r e i d e n t i c a l f o r a l l s o l u t i o n s .

T h e p r o t o c o l i s s a i d t o b e c o r r e c t i f t h e s t r i n g o f o u t p u t s y m b o l s i s a l w a y s

e q u a l t o t h e s t r i n g o f i n p u t s y m b o l s . T h e c o r r e c t n e s s c o n d i t i o n c a n b e d e -

s c r i b e d a s a ( d i s c r e t e ) r e a c h a b i l i t y c o n d i t i o n : n o d i s c r e t e s t a t e s ( s

1

; s

2

) w i t h

s

1

6= s

2

s h o u l d b e r e a c h a b l e . T h i s m e a n s t h a t t r a n s i t i o n s t o s u c h s t a t e s s h o u l d

n e v e r b e p o s s i b l e . T h e v e r i c a t i o n o f t h i s c o n d i t i o n r e q u i r e s i n s p e c t i o n o f t h e

j u m p c o n d i t i o n s a n d t h e t r a n s i t i o n r u l e s , a n d s i n c e t h e s e i n v o l v e c o n t i n u o u s

d y n a m i c s , w e h a v e a t e a c h d i s c r e t e s t a t e a n d f o r e a c h d i s c r e t e i n p u t v a l u e a

c o n t i n u o u s r e a c h a b i l i t y p r o b l e m . A c t u a l l y i n t h e p r e s e n t c a s e t h e c o n t i n u o u s

d y n a m i c s i s t h e s a m e a t e a c h d i s c r e t e s t a t e , s o i t s u c e s t o d r a w a s i n g l e

p i c t u r e . I n F i g . 5 . 1 t h e r e a c h a b l e s e t o f c o n t i n u o u s s t a t e s ( x

1

; x

2

) i s i n d i c a t e d

( s h a d e d ) t o g e t h e r w i t h t h e s e t o f p o i n t s t h a t s h o u l d b e a v o i d e d i n o r d e r t o

p r e v e n t i l l i c i t t r a n s i t i o n s . T h e r e a c h a b l e s e t i s a c o n e w h o s e w i d t h i s d e t e r -

m i n e d b y t h e t o l e r a n c e o f t h e c l o c k s ; i t i s s e e n t h a t t h e 5 % t o l e r a n c e i s e n o u g h

( a l t h o u g h o n l y b a r e l y s o ) t o e n s u r e t h e c o r r e c t n e s s o f t h e p r o t o c o l . A n i n -

t e r e s t i n g f e a t u r e o f t h e e x a m p l e i s t h a t a l t h o u g h a s f a r a s t h e d e s c r i p t i o n o f

t h e d y n a m i c s i s c o n c e r n e d t h e r e w o u l d b e n o n e e d t o d i s t i n g u i s h f o r i n s t a n c e

b e t w e e n t h e d i s c r e t e s t a t e s ( 1 ; 1 ) a n d ( 1 ; 0 1 ) , t h i s d i s t i n c t i o n d o e s h o w e v e r

b e c o m e i m p o r t a n t i f o n e w a n t s t o f o r m u l a t e c o r r e c t n e s s r e q u i r e m e n t s . T h e

e x a m p l e a l s o s h o w s t h a t s u c h r e q u i r e m e n t s m a y t a k e t h e f o r m o f r e a c h a b i l i t y

c o n d i t i o n s t h a t a r e u l t i m a t e l y f o r m u l a t e d i n t h e c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e .




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x1

x2

F i g u r e 5 . 1 : R e a c h a b l e s e t a n d a v o i d a n c e s e t f o r a u d i o p r o t o c o l




5 . 1 . 3 A l g o r i t h m s f o r v e r i c a t i o n

G i v e n t h a t v e r i c a t i o n p r o b l e m s c a n o f t e n b e w r i t t e n a s r e a c h a b i l i t y p r o b l e m s ,

t h e q u e s t i o n a r i s e s w h e t h e r i t i s p o s s i b l e i n p r i n c i p l e t o w r i t e a n a l g o r i t h m

t h a t w i l l d e c i d e , g i v e n a h y b r i d s y s t e m a n d a n i n i t i a l c o n d i t i o n , w h e t h e r a

c e r t a i n s t a t e i s r e a c h a b l e o r n o t . F o r n i t e a u t o m a t a , i t i s e a s y t o c o n s t r u c t

s u c h a n a l g o r i t h m , s o t h a t t h e d i s c u s s i o n i n t h i s c a s e w o u l d c o n c e n t r a t e o n

t h e e c i e n c y o f a l g o r i t h m s . I n t h e c a s e o f c o n t i n u o u s s y s t e m s o n t h e o t h e r

h a n d , a s i m p l e t e s t i s a v a i l a b l e f o r t h e c a s e o f l i n e a r n i t e - d i m e n s i o n a l t i m e -

i n v a r i a n t s y s t e m s , b u t t h e r e i s n o g e n e r a l t e s t f o r n o n l i n e a r s y s t e m s a n d i t

w o u l d b e t o o m u c h t o e x p e c t t h a t s u c h a t e s t c a n b e f o u n d . S o a l o n g a s c a l e

t h a t b e g i n s w i t h n i t e a u t o m a t a a n d e n d s w i t h g e n e r a l h y b r i d s y s t e m s , t h e r e

s h o u l d b e s o m e w h e r e a p o i n t t h a t d i v i d e s t h e s y s t e m t y p e s t h a t c a n b e t e s t e d

f o r r e a c h a b i l i t y f r o m t h o s e f o r w h i c h t h i s i s n o t t h e c a s e .

I t h a s b e e n s h o w n t h a t f o r t i m e d a u t o m a t a t h e r e a c h a b i l i t y p r o b l e m i s

d e c i d a b l e 1 ] . T i m e d a u t o m a t a c a n b e l o o k e d a t a s h y b r i d s y s t e m s i n w h i c h

t h e r e i s o n l y o n e c o n t i n u o u s v a r i a b l e c a l l e d \ t i m e " , w h i c h s a t i s e s t h e d i f -

f e r e n t i a l e q u a t i o n

_

t = 1 . T h e i n c l u s i o n o f t h i s v a r i a b l e m a k e s i t p o s s i b l e t o

e x p r e s s q u a n t i t a t i v e s t a t e m e n t s ( \ a f t e r t h e c o m m a n d l o g i n , c o n n e c t i o n t o

t h e h o s t c o m p u t e r t a k e s p l a c e w i t h i n t h r e e s e c o n d s " ) r a t h e r t h a n o n l y q u a l -

i t a t i v e s t a t e m e n t s s u c h a s i n s t a n d a r d t e m p o r a l l o g i c ( \ a f t e r t h e c o m m a n d

l o g i n , c o n n e c t i o n t o t h e h o s t c o m p u t e r t a k e s p l a c e e v e n t u a l l y " ) . F r o m t h e

s t a n d p o i n t o f n i t e a u t o m a t a t h i s i s a m a j o r e x t e n s i o n , f r o m t h e s t a n d p o i n t

o f h y b r i d s y s t e m s h o w e v e r t i m e d a u t o m a t a f o r m a r a t h e r s m a l l c l a s s .

I t w a s s h o w n i n 1 ] t h a t t h e r e a c h a b i l i t y p r o b l e m i s s t i l l d e c i d a b l e f o r h y -

b r i d s y s t e m s t h a t h a v e s e v e r a l c l o c k s r u n n i n g a t d i e r e n t r a t e s ( s o c o n t i n u o u s

v a r i a b l e s x

i

s a t i s f y i n g d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f t h e f o r m _x

i

= c

i

w h e r e t h e c

i

' s

a r e c o n s t a n t s ) , a s l o n g a s a l l i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s i n v o l v i n g t h e s e c l o c k s a r e

o f t h e f o r m x

i

k o r x

i

k ( s o n o t o f t h e f o r m x

i

x

j

) . A s s o o n a s o n e

a l l o w s t w o c l o c k s t h a t r u n a t d i e r e n t r a t e s a n d t h a t m a y b e c o m p a r e d t o e a c h

o t h e r , h o w e v e r , t h e r e a c h a b i l i t y p r o b l e m b e c o m e s u n d e c i d a b l e 1 , T h m . 3 . 2 ] .

S o i t m u s t b e c o n c l u d e d t h a t , f o r h y b r i d s y s t e m s i n w h i c h t h e r e i s a n y s e r i -

o u s i n v o l v e m e n t o f c o n t i n u o u s v a r i a b l e s , o n e c a n n o t e x p e c t t o n d a g e n e r a l

a l g o r i t h m t h a t w i l l d e c i d e r e a c h a b i l i t y .

T h i s b e i n g t h e c a s e , o n e c a n s t i l l a t t e m p t t o d e s i g n a l g o r i t h m s t h a t w i l l

s o m e t i m e s t e r m i n a t e , i n p a r t i c u l a r f o r l i m i t e d c l a s s e s o f h y b r i d s y s t e m s . T h e

t o o l H y T e c h 7 6 ] h a s b e e n b u i l t a t C o r n e l l f o r t h e r e a c h a b i l i t y a n a l y s i s o f

s y s t e m s w i t h s e v e r a l c l o c k s u n d e r c o n s t r a i n t s t h a t g u a r a n t e e t h a t t h e r e a c h a b l e

s e t s i n t h e c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e c a n a l w a y s b e d e s c r i b e d b y s e t s o f l i n e a r

i n e q u a l i t i e s . A s y m b o l i c m o d e l c h e c k e r f o r t i m e d a u t o m a t a i s K r o n o s 4 1 ] ,

d e v e l o p e d a t I M A G i n G r e n o b l e .

S o w h a t c a n b e s a i d a b o u t t h e v e r i c a t i o n o f h y b r i d s y s t e m s t h a t i n v o l v e

a s i g n i c a n t a m o u n t o f ( n o n l i n e a r ) c o n t i n u o u s d y n a m i c s ? T h e p r o b l e m i t s e l f

i s c e r t a i n l y o f i m p o r t a n c e ; t h e r e a r e m a n y c a s e s i n w h i c h c o m p u t e r p r o g r a m s

i n t e r a c t w i t h t h e c o n t i n u o u s \ r e a l " w o r l d , a n d i t c a n l i t e r a l l y b e a m a t t e r o f l i f e

a n d d e a t h t o m a k e s u r e t h a t t h e i n t e r a c t i o n t a k e s p l a c e a s e x p e c t e d . I t s h o u l d




b e n o t e d i n t h e r s t p l a c e t h a t t o o l s l i k e H y T e c h c a n s t i l l b e u s e d f o r t h e

a n a l y s i s o f h y b r i d s y s t e m s t h a t d o n o t s t r i c t l y s a t i s f y t h e i r a s s u m p t i o n s , s i n c e

o n e c a n a p p r o x i m a t e t h e g i v e n s y s t e m b y o n e t h a t d o e s f a l l w i t h i n t h e s c o p e

o f t h e t o o l . I f t h e a p p r o x i m a t i o n i s d o n e c o n s e r v a t i v e l y ( s o t h a t f o r i n s t a n c e

t h e r e a c h a b l e s e t o f t h e a p p r o x i m a t i n g s y s t e m a l w a y s c o n t a i n s t h e r e a c h a b l e

s e t o f t h e g i v e n s y s t e m ) , o n e c a n e v e n o b t a i n s t r i c t g u a r a n t e e s . I n t h e c a s e o f

t o o l s t h a t a r e b a s e d o n d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h c o n s t a n t r i g h t h a n d s i d e s

( s o t h a t t h e r e a c h a b l e s e t s a r e i n d e e d p o l y h e d r a l ) o n e w i l l n e e d t o a p p r o x i m a t e

a g i v e n f u n c t i o n b y a p i e c e w i s e c o n s t a n t f u n c t i o n . D e p e n d i n g o n t h e n a t u r e

o f t h e g i v e n f u n c t i o n , a r e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n m a y r e q u i r e a l a r g e n u m b e r

o f p i e c e s , a n d b o t h t h e m e m o r y r e q u i r e m e n t s a n d t h e c o m p u t a t i o n t i m e o f a

f o r m a l v e r i c a t i o n t o o l m a y s o o n b e c o m e p r o h i b i t i v e .

A n a l t e r n a t i v e i s t o r e s o r t t o s i m u l a t i o n : s i m p l y g e n e r a t e a l a r g e n u m -

b e r o f s c e n a r i o s t o s e e i f a n y f a u l t s o c c u r . T h i s m e t h o d o l o g y c a n p r o v i d e a t

l e a s t s o m e t e s t o f v a l i d i t y i n c a s e s w h e r e o t h e r m e t h o d s d o n o t a p p l y . P u r e l y

r a n d o m s i m u l a t i o n m a y t a k e a l o n g t i m e t o n d p o t e n t i a l l y h a z a r d o u s s i t u a -

t i o n s ; t h e r e f o r e o n e s h o u l d u s e r a r e - e v e n t s i m u l a t i o n t e c h n i q u e s w h i c h s h o u l d

b e g u i d e d a s m u c h a s p o s s i b l e b y i n f o r m a t i o n a b o u t s i t u a t i o n s w h e r e p r o b l e m s

m a y b e e x p e c t e d . S u c h i n f o r m a t i o n m i g h t c o m e f o r i n s t a n c e f r o m m o d e l c h e c k -

i n g o n a c o a r s e a p p r o x i m a t i o n o f t h e s y s t e m . A l t e r n a t i v e l y o n e m a y a t t e m p t

t o l o o k s y s t e m a t i c a l l y f o r w o r s t - c a s e s i t u a t i o n s , b y i n t r o d u c i n g a n \ a d v e r s a r y "

w h o i s m a n i p u l a t i n g d i s t u r b a n c e i n p u t s ( o r m o r e g e n e r a l l y a n y a v a i l a b l e n o n -

d e t e r m i n i s m ) w i t h m a l i c i o u s i n t e n t . T h e a d v e r s a r y ' s b e h a v i o r m a y b e f o r m a l l y

o b t a i n e d a s t h e s o l u t i o n o f a n o p t i m i z a t i o n p r o b l e m w h i c h m a y h o w e v e r b e

d i c u l t t o s o l v e ; i n g e n e r a l , o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s i n a h y b r i d s y s t e m c o n t e x t

h a v e n o t b e e n s t u d i e d m u c h y e t . I f a t t h e s a m e t i m e o n e w a n t s t o d e s i g n o p t i -

m a l s t r a t e g i e s f o r t h e s y s t e m t o r e s p o n d t o a d v e r s e c i r c u m s t a n c e s o n e o b t a i n s

a m i n i m a x g a m e p r o b l e m , w h i c h m a y b e e v e n h a r d e r t o s o l v e . E x p e r i e n c e

i n c a s e s t u d i e s s u c h a s t h e o n e i n 8 8 ] w i l l h a v e t o d e t e r m i n e t h e r a n g e s o f

a p p l i c a b i l i t y o f e a c h o f t h e p o s s i b l e m e t h o d o l o g i e s o r c o m b i n a t i o n s o f t h e m .

5 . 2 S t a b i l i t y

5 . 2 . 1 L y a p u n o v f u n c t i o n s a n d P o i n c a r e m a p p i n g s

I n t h e s t u d y o f t h e s t a b i l i t y o f n o n l i n e a r d y n a m i c a l s y s t e m s , L y a p u n o v f u n c -

t i o n s a n d P o i n c a r e m a p p i n g s p l a y a c e n t r a l r o l e . L y a p u n o v f u n c t i o n s c a n

b e u s e d t o p r o v e t h e s t a b i l i t y o f e q u i l i b r i a o r t h e i n v a r i a n c e o f c e r t a i n s e t s ;

s u c h s e t s a r e t h e l e v e l s e t s o f a s c a l a r f u n c t i o n o n t h e s t a t e s p a c e w h i c h h a s

m o n o t o n o u s b e h a v i o r a l o n g s y s t e m t r a j e c t o r i e s . T h e i d e a b e h i n d P o i n c a r e

m a p p i n g s i s t h a t o f t h e s t r o b o s c o p e . B y l o o k i n g a t t h e c o n t i n u o u s s t a t e s o n l y

a t c e r t a i n p o i n t s i n t i m e , o n e o b t a i n s a d i s c r e t e - t i m e s y s t e m . B y a n a l y z i n g

t h i s d i s c r e t e - t i m e s y s t e m , o n e m a y o b t a i n i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s t a b i l i t y o f

c e r t a i n m o t i o n s o f t h e c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m ( f o r i n s t a n c e p e r i o d i c o r b i t s ) .

F o r n o n l i n e a r s y s t e m s t h e r e a r e i n f a c t m a n y d i e r e n t n o t i o n s o f s t a b i l i t y ,



5 . 2 . S t a b i l i t y 1 1 9

r a n g i n g f r o m l o c a l s t a b i l i t y t o u n i f o r m g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y . T h e n o t i o n

o f s t a b i l i t y m a y b e a p p l i e d t o e q u i l i b r i u m p o i n t s b u t a l s o m o r e g e n e r a l l y t o

i n v a r i a n t s e t s . G i v e n a d y n a m i c a l s y s t e m , a s u b s e t M o f t h e s t a t e s p a c e i s

s a i d t o b e ( f o r w a r d ) i n v a r i a n t i f a l l t r a j e c t o r i e s t h a t h a v e t h e i r i n i t i a l p o i n t i n

M a r e i n f a c t f u l l c o n t a i n e d i n M . W i t h t h i s t e r m i n o l o g y , a n e q u i l i b r i u m m a y

s i m p l y b e d e n e d a s a n i n v a r i a n t s e t c o n s i s t i n g o f o n e p o i n t .

I n t h e h y b r i d c o n t e x t , w e h a v e a s t a t e s p a c e w i t h a c o n t i n u o u s a n d a

d i s c r e t e p a r t . T h e r e i s n o p r o b l e m i n e x t e n d i n g t h e n o t i o n o f i n v a r i a n c e t o t h i s

s e t t i n g . C o n v e r g e n c e t o a d i s c r e t e e q u i l i b r i u m p o i n t m e a n s t h a t t h e s y s t e m

e v e n t u a l l y s e t t l e s i n o n e p a r t i c u l a r m o d e ; s u c h a p r o p e r t y m a y b e o f i n t e r e s t

i n s p e c i c a p p l i c a t i o n s . C e r t a i n l y a l s o t h e n o t i o n o f i n v a r i a n c e o f a c e r t a i n

s u b s e t o f t h e d i s c r e t e s t a t e s p a c e c a n b e o f i m p o r t a n c e , f o r i n s t a n c e f r o m

a v e r i c a t i o n p o i n t o f v i e w . M e t h o d s t h a t a l l o w p r o o f s o f c o n v e r g e n c e a n d

i n v a r i a n c e a r e t h e r e f o r e a t l e a s t a s i m p o r t a n t i n h y b r i d s y s t e m s a s t h e y a r e i n

s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s .

F i r s t l e t u s r e v i e w a f e w d e n i t i o n s t h a t a r e u s e d i n s t a b i l i t y t h e o r y . C o n -

s i d e r a d y n a m i c a l s y s t e m d e n e d o n s o m e s t a t e s p a c e X w h i c h i s e q u i p p e d

w i t h s o m e m e t r i c d . T h e s t a t e s p a c e X m a y b e a p r o d u c t o f a c o n t i n u o u s s p a c e

l i k e R

k

( o r m o r e g e n e r a l l y a d i e r e n t i a b l e m a n i f o l d ) a n d a d i s c r e t e s p a c e S .

T h e s e t S o f p o s s i b l e v a l u e s o f t h e d i s c r e t e v a r i a b l e s w i l l a l w a y s b e a s s u m e d t o

c a r r y t h e d i s c r e t e m e t r i c , w h i c h m e a n s t h a t c o n v e r g e n c e i s t h e s a m e a s e v e n -

t u a l e q u a l i t y . I f o n e i s i n t e r e s t e d o n l y i n s t a b i l i t y o f t h e c o n t i n u o u s v a r i a b l e s ,

o n e m a y c o n s i d e r t h e d y n a m i c a l s y s t e m d e n e d o n t h e c o n t i n u o u s p a r t w h i c h

i s o b t a i n e d b y s i m p l y o m i t t i n g t h e s y m b o l i c p a r t s o f t r a j e c t o r i e s . N o w l e t x

0

b e a n e q u i l i b r i u m p o i n t . T h e e q u i l i b r i u m i s s a i d t o b e s t a b l e ( o r s o m e t i m e s

a l s o s t a b l e i n t h e s e n s e o f L y a p u n o v , o r m a r g i n a l l y s t a b l e ) i f f o r e v e r y " > 0

t h e r e e x i s t s a > 0 s u c h t h a t e v e r y t r a j e c t o r y t h a t s t a r t s a t a d i s t a n c e l e s s

t h a n f r o m x

0

w i l l s t a y w i t h i n a d i s t a n c e " f r o m x

0

. I n o t h e r w o r d s , a c -

c o r d i n g t o t h i s d e n i t i o n x

0

i s s t a b l e i f w e c a n g u a r a n t e e t h a t t r a j e c t o r i e s w i l l

r e m a i n a r b i t r a r i l y c l o s e t o x

0

b y g i v i n g t h e m a n i n i t i a l c o n d i t i o n s u c i e n t l y

c l o s e t o x

0

. T h e r e i s n o i m p l i c a t i o n h e r e t h a t t r a j e c t o r i e s w i l l c o n v e r g e t o

x

0

. I n t h e f o l l o w i n g n o t i o n o f s t a b i l i t y w e d o h a v e s u c h a n i m p l i c a t i o n . T h e

e q u i l i b r i u m x

0

i s s a i d t o b e a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e i f t h e r e e x i s t s " > 0 s u c h t h a t

a l l t r a j e c t o r i e s w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n s a t d i s t a n c e l e s s t h a n " t o x

0

c o n v e r g e

t o x

0

. C l e a r l y t h i s i s a l o c a l n o t i o n o f s t a b i l i t y . T h e e q u i l i b r i u m x

0

i s s a i d

t o b e g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e i f a l l t r a j e c t o r i e s o f t h e s y s t e m c o n v e r g e

t o x

0

. T h e r e a r e v a r i o u s r e l a t e d n o t i o n s s u c h a s u l t i m a t e b o u n d e d n e s s a n d

e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y t h a t w e s h a l l n o t d i s c u s s h e r e ; a l s o , a l l d e n i t i o n s m a y

b e g e n e r a l i z e d i n a s t r a i g h t f o r w a r d w a y t o t h e c a s e i n w h i c h t h e e q u i l i b r i u m

x

0

i s r e p l a c e d b y a n i n v a r i a n t s e t .

I n t h e s t a n d a r d a p p l i c a t i o n o f L y a p u n o v f u n c t i o n s t o s m o o t h d y n a m i c a l

s y s t e m s , t h e s t a b i l i t y o f a n e q u i l i b r i u m c a n b e c o n c l u d e d i f i t p o s s i b l e t o

n d a c o n t i n u o u s s c a l a r f u n c t i o n V ( x ) t h a t h a s a m i n i m u m a t x

0

a n d t h a t

i s n o n i n c r e a s i n g a l o n g t r a j e c t o r i e s . B y i m p o s i n g a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s o n t h e

L y a p u n o v f u n c t i o n V ( x ) , o n e c a n o b t a i n s t r o n g e r p r o p e r t i e s s u c h a s a s y m p -




t o t i c s t a b i l i t y a n d g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y . A t r s t s i g h t i t w o u l d s e e m t h a t

t h e c o n d i t i o n t h a t V ( x ) s h o u l d b e n o n i n c r e a s i n g a l o n g t r a j e c t o r i e s d e p e n d s o n

k n o w i n g t h e s o l u t i o n s . O f c o u r s e , a n y m e t h o d t h a t r e q u i r e s t h e c o m p u t a t i o n o f

s o l u t i o n s i s u n i n t e r e s t i n g , r s t l y b e c a u s e i t i s u s u a l l y n o t p o s s i b l e t o c o m p u t e

t h e s o l u t i o n s e x p l i c i t l y , a n d s e c o n d l y b e c a u s e t h e s t a b i l i t y p r o b l e m b e c o m e s

t r i v i a l o n c e t h e s o l u t i o n s a r e k n o w n ( b e c a u s e o n e c a n t h e n s e e i m m e d i a t e l y

f r o m t h e c o m p u t e d t r a j e c t o r i e s w h e t h e r s t a b i l i t y h o l d s ) . F o r t u n a t e l y , i f V ( x ) i s

d i e r e n t i a b l e a n d t h e s y s t e m i s g i v e n b y a d i e r e n t i a l e q u a t i o n _x ( t ) = f ( x ( t ) ) ,

o n e c a n v e r i f y t h a t V ( x ) i s n o n i n c r e a s i n g a l o n g t r a j e c t o r i e s , w i t h o u t k n o w i n g

t h e s o l u t i o n s , b y c h e c k i n g t h a t ( @ V = @ x ) ( x ) f ( x ) 0 . I n t h e c o n t e x t o f h y b r i d

s y s t e m s h o w e v e r t h i s s i m p l e c h e c k i s n o t a v a i l a b l e , s i n c e t h e s y s t e m i s n o t

g i v e n b y a s i n g l e d i e r e n t i a l e q u a t i o n a n d t h e r e m a y b e j u m p s i n t h e s t a t e

t r a j e c t o r i e s a t e v e n t t i m e s . F o r t h i s r e a s o n t h e t r a n s p l a n t a t i o n o f L y a p u n o v

t h e o r y f r o m t h e c o n t i n u o u s t o t h e h y b r i d d o m a i n i s n o t s t r a i g h t f o r w a r d .

T h e m o s t d i r e c t g e n e r a l i z a t i o n o f t h e m e t h o d o f L y a p u n o v f u n c t i o n s t o

h y b r i d s y s t e m s w o u l d b e t h e f o l l o w i n g ( s e e f o r i n s t a n c e 1 6 1 ] ) . S u p p o s e t h e r e

i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n V ( x ) d e n e d o n t h e c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e w h i c h h a s

a m i n i m u m a t a n e q u i l i b r i u m p o i n t x

0

, i s n o n d e c r e a s i n g a l o n g t r a j e c t o r i e s o n

i n t e r e v e n t i n t e r v a l s , a n d s a t i s e s V ( x

+

) V ( x

?

) w h e n e v e r x

?

a n d x

+

a r e

c o n n e c t e d t h r o u g h a j u m p r u l e . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e e q u i l i b r i u m x

0

i s s t a b l e . W i t h a p p r o p r i a t e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s o n V ( x ) , s t r o n g e r c o n c l u -

s i o n s c a n b e d r a w n ; a l s o , a n a l o g o u s s t a t e m e n t s c a n b e m a d e f o r i n v a r i a n t s e t s

i n s t e a d o f e q u i l i b r i u m p o i n t s . A s i s t h e c a s e f o r s m o o t h n o n l i n e a r s y s t e m s ,

t h e r e a r e n o g e n e r a l r u l e s f o r c o n s t r u c t i n g f u n c t i o n s t h a t s a t i s f y t h e a b o v e

p r o p e r t i e s . F o r h y b r i d s y s t e m s i n w h i c h j u m p s o c c u r , t h e c o n d i t i o n t h a t V ( x )

s h o u l d a l s o b e n o n i n c r e a s i n g a c r o s s j u m p s m a y i n t r o d u c e a n a d d i t i o n a l c o m -

p l i c a t i o n . A n e x a m p l e i n w h i c h a L y a p u n o v f u n c t i o n i s e a s y t o n d i s t h e c l a s s

o f u n i l a t e r a l l y c o n s t r a i n e d m e c h a n i c a l s y s t e m s w i t h M o r e a u ' s s w i t c h i n g r u l e

f o r i n e l a s t i c c o l l i s i o n s , w h e r e t h e e n e r g y c a n b e t a k e n a s s u c h ( s e e S e c t i o n 4 . 5 ) .

I n s o m e c a s e s , i n f o r m a t i o n f r o m t h e e v e n t c o n d i t i o n s m a y m a k e i t e a s i e r t o

c o n s t r u c t a L y a p u n o v f u n c t i o n . F o r i n s t a n c e , i n t h e c a s e o f t h e b o u n c i n g b a l l

( S u b s e c t i o n 2 . 2 . 3 ) i t i s n a t u r a l t o t a k e t h e e n e r g y a s a L y a p u n o v f u n c t i o n , a n d

i t f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e e v e n t c o n d i t i o n s t h a t V ( x

+

) = e

2

V ( x

?

) a t

e v e n t t i m e s , s o t h a t s t a b i l i t y ( e v e n g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y ) o f t h e e q u i l i b -

r i u m f o l l o w s i f t h e r e s t i t u t i o n c o e c i e n t e i s l e s s t h a n 1 . I n b e t w e e n e v e n t s , t h e

e n e r g y i s c o n s t a n t a n d s o w i t h o u t t h e i n f o r m a t i o n f r o m t h e e v e n t c o n d i t i o n s

o n e c o u l d o n l y c o n c l u d e s t a b i l i t y i n L y a p u n o v ' s s e n s e . I n g e n e r a l , s t a b i l i t y o f

a n e q u i l i b r i u m p o i n t w i l l f o l l o w i f o n e c a n n d a s c a l a r f u n c t i o n V s a t i s f y i n g

s u i t a b l e g r o w t h c o n d i t i o n s a n d h a v i n g a m i n i m u m 0 a t x

0

, w h i c h i s n o n i n -

c r e a s i n g o n t h e s e q u e n c e

1

;

2

; o f e v e n t t i m e s a n d f o r w h i c h a n i n e q u a l i t y

o f t h e f o r m V ( x ( t ) ) h ( V ( x (

k

) ) ) ( t 2 (

k

;

k + 1

) ) c a n b e p r o v e n , w h e r e h i s

a n o n n e g a t i v e f u n c t i o n s a t i s f y i n g h ( 0 ) = 0 1 6 1 , 1 2 7 ] .

G i v e n t h e e x t r e m e l y w i d e s c o p e o f t h e c l a s s o f h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m s ,

p e r h a p s n o t t o o m u c h s h o u l d b e e x p e c t e d f r o m s t u d i e s o f s t a b i l i t y t h a t a r e

c o n d u c t e d o n t h i s l e v e l o f g e n e r a l i t y ; f o r s p e c i c c l a s s e s , i t m i g h t b e e a s i e r



5 . 2 . S t a b i l i t y 1 2 1

t o c o m e u p w i t h v e r i a b l e s t a b i l i t y c r i t e r i a . F o r s y s t e m s t h a t m o v e b e t w e e n

s e v e r a l o p e r a t i n g c o n d i t i o n s e a c h r e l a t e d t o a p a r t i c u l a r r e g i o n o f t h e s t a t e

s p a c e i t m a y b e a g o o d i d e a t o l o o k f o r m u l t i p l e L y a p u n o v f u n c t i o n s d e n e d

o n e a c h o f t h e o p e r a t i n g r e g i o n s . F o r s y s t e m s t h a t c a n b e w r i t t e n a s f e e d b a c k

s y s t e m s c o n s i s t i n g o f a \ p l a n t " s a t i s f y i n g p a s s i v i t y c o n d i t i o n s a n d a s t a t i c

f e e d b a c k t h e h y p e r s t a b i l i t y t h e o r y d u e t o P o p o v 1 3 0 ] m a y b e u s e f u l ; h e r e t h e

p r o o f s a l s o u l t i m a t e l y d e p e n d o n L y a p u n o v f u n c t i o n s , b u t a s a r e s u l t o f t h e

s p e c i a l a s s u m p t i o n s i t i s p o s s i b l e t o g i v e s p e c i c r e c i p e s f o r t h e c o n s t r u c t i o n o f

t h e s e f u n c t i o n s . I n s i t u a t i o n s i n w h i c h o n e h a s d e s i g n f r e e d o m f o r i n s t a n c e i n

t h e c h o i c e o f a c o n t r o l s c h e m e , a p o s s i b l e a p p r o a c h i s t o t r y t o e n s u r e s t a b i l i t y

b y c h o o s i n g s o m e f u n c t i o n a n d m a k i n g i t a L y a p u n o v f u n c t i o n b y a s u i t a b l e

c h o i c e o f t h e d e s i g n p a r a m e t e r s .

S t a b i l i t y o f e q u i l i b r i a i s o f i n t e r e s t f o r s y s t e m s t h a t a r e s u p p o s e d t o s t a y

c l o s e t o s o m e o p e r a t i n g p o i n t . M a n y s y s t e m s h o w e v e r o p e r a t e i n a p e r i o d i c

m a n n e r , a n d i n t h a t c a s e o n e i s i n t e r e s t e d i n t h e s t a b i l i t y o f p e r i o d i c o r b i t s .

A n o f t e n u s e d i n s t r u m e n t i n t h i s c o n t e x t i s t h e P o i n c a r e m a p ( s o m e t i m e s a l s o

c a l l e d r e t u r n m a p ) . I n t h e c a s e o f s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s , t h e i d e a o f t h e

r e t u r n m a p w o r k s a s f o l l o w s . G i v e n s o m e p e r i o d i c o r b i t t h a t i s t o b e c h e c k e d

f o r s t a b i l i t y , t a k e a p o i n t o n t h e o r b i t a n d a s u r f a c e t h r o u g h t h a t p o i n t t h a t

i s t r a n s v e r s a l t o t h e o r b i t . T r a j e c t o r i e s t h a t s t a r t o n t h e s u r f a c e s u c i e n t l y

c l o s e t o t h e c h o s e n p o i n t w i l l i n t e r s e c t t h e s u r f a c e a g a i n a f t e r a t i m e t h a t i s

a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o t h e p e r i o d o f t h e o r b i t u n d e r i n v e s t i g a t i o n . T h e m a p

w h i c h t a k e s t h e i n i t i a l p o i n t o f t h e t r a j e c t o r y t o t h e p o i n t w h e r e i t i n t e r s e c t s

t h e c h o s e n s u r f a c e a g a i n i s c a l l e d t h e P o i n c a r e m a p o r r e t u r n m a p . I t i s m a p -

p i n g d e n e d o n a n e i g h b o r h o o d o f t h e p o i n t t h a t w e s t a r t e d w i t h ; o n e c o u l d

l o o k a t t h e m a p a s d e n i n g a d i s c r e t e - t i m e d y n a m i c a l s y s t e m o n a s p a c e w h o s e

d i m e n s i o n i s o n e l o w e r t h a n t h a t o f t h e o r i g i n a l s t a t e s p a c e . I t i s i n g e n e r a l a

n o n l i n e a r s y s t e m , b u t t h e p o i n t o n t h e o r b i t t h a t w e s e l e c t e d i s a n e q u i l i b r i u m

( b e c a u s e o f t h e p e r i o d i c i t y o f t h e o r b i t ) a n d s o w e c a n l i n e a r i z e t h e s y s t e m

a r o u n d t h i s e q u i l i b r i u m b y t a k i n g t h e J a c o b i a n o f t h e r e t u r n m a p p i n g . I f t h e

l i n e a r i z e d s y s t e m i s s t a b l e ( i . e . a l l e i g e n v a l u e s a r e i n s i d e t h e u n i t c i r c l e ) , t h e n

w e k n o w t h a t t h e p e r i o d i c o r b i t i s a t t r a c t i n g s o t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g p e r i -

o d i c r e g i m e i s s t a b l e . N o t e t h a t t h e m e t h o d r e q u i r e s t h e c o m p u t a t i o n o f t h e

J a c o b i a n o f t h e r e t u r n m a p , w h i c h m a y b e d o n e o n t h e b a s i s o f a l i n e a r i z a t i o n

o f t h e s y s t e m i n a n e i g h b o r h o o d o f t h e p e r i o d i c o r b i t . T h e c o m p u t a t i o n m a y

n o t b e v e r y e a s y , b u t a t l e a s t i t d o e s n o t r e q u i r e n d i n g t h e s o l u t i o n s o f t h e

f u l l o r i g i n a l n o n l i n e a r s y s t e m .

I n t h e c o n t e x t o f h y b r i d s y s t e m s , t h e i d e a o f u s i n g a r e t u r n m a p m a y

e v e n b e m o r e n a t u r a l t h a n i n t h e s m o o t h c o n t e x t , s i n c e a n y s w i t c h i n g s u r f a c e s

t h a t o c c u r p r o v i d e n a t u r a l c a n d i d a t e s f o r t h e t r a n s v e r s a l s u r f a c e s o n w h i c h t h e

r e t u r n m a p i s d e n e d . O n e h a s t o b e c a r e f u l h o w e v e r s i n c e a s m a l l p e r t u r b a t i o n

o f a n i n i t i a l c o n d i t i o n w i l l i n g e n e r a l h a v e a n e e c t o n e v e n t t i m e s o r m i g h t e v e n

c h a n g e t h e o r d e r o f e v e n t s . E s p e c i a l l y i n c a s e s w h e r e t h e d y n a m i c s b e t w e e n

e v e n t s i s f a i r l y s i m p l e ( f o r i n s t a n c e i n p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m s ) , t h e P o i n c a r e

m a p c a n n e v e r t h e l e s s b e a v e r y e c i e n t t o o l .




5 . 2 . 2 T i m e - c o n t r o l l e d s w i t c h i n g

I f a d y n a m i c a l s y s t e m i s s w i t c h e d b e t w e e n s e v e r a l s u b s y s t e m s , t h e s t a b i l i t y

p r o p e r t i e s o f t h e s y s t e m a s a w h o l e m a y b e q u i t e d i e r e n t f r o m t h o s e o f t h e

s u b s y s t e m s . T h i s c a n a l r e a d y b e i l l u s t r a t e d i n s w i t c h i n g b e t w e e n t w o l i n e a r

s y s t e m s , a s i s s h o w n b y t h e f o l l o w i n g c a l c u l a t i o n .

C o n s i d e r a s y s t e m t h a t f o l l o w s t h e d y n a m i c s _x ( t ) = A

1

x ( t ) f o r a p e r i o d

1

2

" ,

t h e n s w i t c h e s t o _x ( t ) = A

2

x ( t ) f o r a g a i n a p e r i o d

1

2

" , t h e n s w i t c h e s b a c k , a n d

s o o n . A n e v e n t - o w f o r m u l a f o r t h e s y s t e m c a n b e w r i t t e n d o w n a s f o l l o w s :

_ = 1 ;

1

2

" ;

P = 1 ; _x = A

1

x

P = 2 ; _x = A

1

x

?

=

1

2

" ;

+

= 0 ;

P

?

= 1 ; P

+

= 2

P

?

= 2 ; P

+

= 1

( 5 . 4 )

L e t u s c o n s i d e r a t i m e p o i n t t

0

a t w h i c h t h e s y s t e m b e g i n s a p e r i o d i n m o d e 1 ,

w i t h c o n t i n u o u s i n i t i a l s t a t e x

0

. A t t i m e t

0

+

1

2

" , t h e s t a t e v a r i a b l e h a s e v o l v e d

t o

x ( t

0

+

1

2

" ) = e x p (

1

2

" A

1

) x

0

= x

0

+

"

2

A

1

x

0

+

"

2

8

A

2

1

x

0

+

( t h i s i s a c o n s e q u e n c e o f t h e g e n e r a l r u l e e x p ( A ) =

P

1

k = 0

( 1 = k ! ) A

k

) . A t t i m e

t

0

+ " , w e g e t

x ( t

0

+ " ) = ( I +

"

2

A

2

+

"

2

8

A

2

2

+ ) ( I +

"

2

A

1

+

"

2

8

A

2

1

+ ) x

0

= ( I + "

1

2

A

1

+

1

2

A

2

] +

"

2

8

A

2

1

+ A

2

2

+ 2 A

2

A

1

] + ) x

0

:

I f w e c o m p a r e t h e a b o v e e x p r e s s i o n t o t h e p o w e r s e r i e s d e v e l o p m e n t f o r

e x p " (

1

2

A

1

+

1

2

A

2

) ] w h i c h i s g i v e n b y

e x p " (

1

2

A

1

+

1

2

A

2

) ] = I + "

1

2

A

1

+

1

2

A

2

] +

"

2

8

A

2

1

+ A

2

2

+ A

1

A

2

+ A

2

A

1

] +

w e s e e t h a t t h e c o n s t a n t a n d t h e l i n e a r t e r m a r e t h e s a m e , w h e r e a s t h e

q u a d r a t i c t e r m i s o b y a n a m o u n t o f A

1

A

2

? A

2

A

1

( t h e \ c o m m u t a t o r " o f

A

1

a n d A

2

) . S o t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e s o l u t i o n o f t h e s w i t c h e d s y s t e m

a n d t h a t o f t h e s m o o t h s y s t e m _x = (

1

2

A

1

+

1

2

A

2

) x o n a t i m e i n t e r v a l o f l e n g t h

" i s o f t h e o r d e r "

2

. I f w e l e t " t e n d t o z e r o , t h e n o n a n y x e d t i m e i n t e r v a l

t h e s o l u t i o n o f ( 5 . 4 ) w i l l t e n d t o t h e s o l u t i o n ( w i t h t h e s a m e i n i t i a l c o n d i t i o n )

o f t h e \ a v e r a g e d " s y s t e m

_x ( t ) = (

1

2

A

1

+

1

2

A

2

) x ( t ) : ( 5 . 5 )

I n p a r t i c u l a r , t h e s t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f t h e s w i t c h e d s y s t e m ( 5 . 4 ) w i l l f o r s m a l l

" b e d e t e r m i n e d b y t h e s t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f t h e a v e r a g e d s y s t e m ( 5 . 5 ) , t h a t



5 . 2 . S t a b i l i t y 1 2 3

i s , b y t h e l o c a t i o n o f t h e e i g e n v a l u e s o f

1

2

A

1

+

1

2

A

2

. N o w i t i s w e l l - k n o w n t h a t

t h e e i g e n v a l u e s a r e n o n l i n e a r f u n c t i o n s o f t h e m a t r i x e n t r i e s a n d s o i t m a y w e l l

h a p p e n t h a t t h e m a t r i c e s A

1

a n d A

2

a r e b o t h H u r w i t z ( a l l e i g e n v a l u e s h a v e

n e g a t i v e r e a l p a r t s ) w h e r e a s t h e m a t r i x

1

2

A

1

+

1

2

A

2

i s u n s t a b l e , o r v i c e v e r s a .

T h i s i s i l l u s t r a t e d i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e .

E x a m p l e 5 . 2 . 1 . C o n s i d e r t h e s y s t e m ( 5 . 4 ) w i t h

A

1

=

2

4

? 0 : 5 1

1 0 0

? 1

3

5

; A

2

=

2

4

? 1 ? 1 0 0

? 0 : 5

? 1

3

5

: ( 5 . 6 )

A l t h o u g h A

1

a n d A

2

a r e b o t h u n s t a b l e , t h e m a t r i x

1

2

( A

1

+ A

2

) i s H u r w i t z .

T h e r e f o r e t h e s w i t c h e d s y s t e m s h o u l d b e s t a b l e i f t h e f r e q u e n c y o f s w i t c h i n g

i s s u c i e n t l y h i g h . T h e s w i t c h i n g f r e q u e n c y t h a t i s m i n i m a l l y n e e d e d c a n b e

f o u n d b y c o m p u t i n g t h e e i g e n v a l u e s o f t h e m a p p i n g e x p (

1

2

" A

1

) e x p (

1

2

" A

2

) a s

a f u n c t i o n o f " ; s t a b i l i t y i s a c h i e v e d w h e n b o t h e i g e n v a l u e s a r e i n s i d e t h e u n i t

c i r c l e . F o r t h e p r e s e n t c a s e , i t t u r n s o u t t h a t a s w i t c h i n g f r e q u e n c y o f a t l e a s t

5 0 H z i s n e e d e d . T h e p l o t i n F i g . 5 . 2 s h o w s a t r a j e c t o r y o f t h e s y s t e m w h e n i t

i s s w i t c h e d a t 1 0 0 H z .

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

F i g u r e 5 . 2 : T r a j e c t o r y o f t h e s w i t c h e d s y s t e m d e n e d b y ( 5 . 6 ) . I n i t i a l p o i n t

m a r k e d b y a s t a r . S w i t c h i n g f r e q u e n c y 1 0 0 H z ; s i m u l a t i o n p e r i o d 2 u n i t s o f

t i m e




I n s t e a d o f s t a y i n g b o t h i n m o d e 1 a n d i n m o d e 2 f o r a t i m e i n t e r v a l o f

l e n g t h

1

2

" , w e c a n a l s o c o n s i d e r t h e s i t u a t i o n i n w h i c h m o d e 1 i s f o l l o w e d

d u r i n g a t i m e h " a n d m o d e 2 d u r i n g a t i m e i n t e r v a l ( 1 ? h ) " , w h e r e h i s a

n u m b e r b e t w e e n 0 a n d 1 . B y t h e s a m e r e a s o n i n g a s a b o v e , t h e b e h a v i o r o f

s u c h s y s t e m s o n x e d t i m e i n t e r v a l s i s w e l l a p p r o x i m a t e d b y t h a t o f t h e s y s t e m

_x ( t ) = A

h

x ( t ) , w h e r e A

h

= h A

1

+ ( 1 ? h ) A

2

. T h e c h o i c e o f t h e p a r a m e t e r

h i n u e n c e s t h e s y s t e m d y n a m i c s a n d s o h m i g h t b e c o n s i d e r e d a s a c o n t r o l

i n p u t ; t h e a v e r a g i n g a n a l y s i s r e q u i r e s , h o w e v e r , t h a t i f h v a r i e s i t s h o u l d b e

o n a t i m e s c a l e t h a t i s m u c h s l o w e r t h a n t h e t i m e s c a l e a t w h i c h t h e s w i t c h i n g

t a k e s p l a c e . W h e n m o d e 1 c o r r e s p o n d s t o \ p o w e r o n " a n d m o d e 2 i s \ p o w e r

o " , t h e p a r a m e t e r h i s k n o w n a s t h e d u t y r a t i o . I n p o w e r e l e c t r o n i c s t h e

u s e o f s w i t c h e s i s p o p u l a r b e c a u s e t h e o r e t i c a l l y i t p r o v i d e s a p o s s i b i l i t y t o

r e g u l a t e p o w e r w i t h o u t l o s s o f e n e r g y . F a s t s w i t c h i n g i s a p a r t i c u l a r f o r m o f

t h i s m e t h o d o f r e g u l a t i o n ; f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n s e e 6 . 2 . 2 .

R e m a r k 5 . 2 . 2 . U s i n g a s t a n d a r d t r i c k i n d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , o n e m a y c o n -

s i d e r t h e t i m e p a r a m e t e r t a s a s t a t e v a r i a b l e s a t i s f y i n g t h e s i m p l e d i e r e n t i a l

e q u a t i o n

_

t = 1 . T h e s y s t e m s c o n s i d e r e d i n t h i s s u b s e c t i o n m a y t h e n b e s e e n a s

p a r a l l e l c o m p o s i t i o n s o f t w o h y b r i d s y s t e m s w h i c h a r e c o u p l e d v i a a d i s c r e t e

c o m m u n i c a t i o n c h a n n e l . F o r i n s t a n c e , f o r t h e c a s e o f e q u i d i s t a n t s w i t c h i n g

i n s t a n t s o n e m a y w r i t e a n e v e n t - o w f o r m u l a a s f o l l o w s :

s y s t e m = t o p - l e v e l

j jl o w - l e v e l ( 5 . 7 a )

w i t h

t o p - l e v e l

_

t = 1 ; t

1

2

"

t

?

=

1

2

" ; t

+

= 0 ; S = t o g g l e

( 5 . 7 b )

l o w - l e v e l

_x = A

P

x

S = t o g g l e ;

P

?

= 1 ; P

+

= 2

P

?

= 2 ; P

+

= 1 :

( 5 . 7 c )

C l e a r l y t h e t o p - l e v e l m e c h a n i s m m i g h t b e r e p l a c e d b y s o m e t h i n g c o n s i d e r a b l y

m o r e c o m p l i c a t e d , w h i c h w o u l d l e a d u s i n t o l a r g e l y u n e x p l o r e d r e s e a r c h t e r r i -

t o r y . S t a b i l i t y r e s u l t s a r e a v a i l a b l e , h o w e v e r , f o r s y s t e m s o f t h e a b o v e t y p e i n

w h i c h t h e t o p - l e v e l m e c h a n i s m i s a n i t e - s t a t e M a r k o v c h a i n a n d t h e l o w - l e v e l

s y s t e m s a r e l i n e a r ( j u m p l i n e a r s y s t e m s ) ; s e e f o r i n s t a n c e 1 0 7 , 5 2 ] .

5 . 2 . 3 S t a t e - c o n t r o l l e d s w i t c h i n g

I n t h e p r e v i o u s s u b s e c t i o n w e h a v e c o n s i d e r e d s y s t e m s i n w h i c h t h e s w i t c h i n g

i s n o t a t a l l i n u e n c e d b y t h e c o n t i n u o u s s t a t e w h o s e s t a b i l i t y w e a r e i n t e r -

e s t e d i n . L e t u s n o w t a k e a n o p p o s i t e v i e w a n d c o n s i d e r s y s t e m s i n w h i c h t h e

s w i t c h i n g i s c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h e c o n t i n u o u s s t a t e . B e l o w w e s h a l l



5 . 2 . S t a b i l i t y 1 2 5

c o n s i d e r i n p a r t i c u l a r c a s e s i n w h i c h t h e d i s c r e t e s t a t e o f t h e s y s t e m i s d e t e r -

m i n e d b y t h e c u r r e n t c o n t i n u o u s s t a t e , s o t h a t t h e r e i s n o \ d i s c r e t e m e m o r y "

o r \ h y s t e r e s i s " . F o r s u c h s y s t e m s t h e c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e c a n b e t h o u g h t o f

a s b e i n g d i v i d e d i n t o c e l l s w h i c h e a c h c o r r e s p o n d t o a p a r t i c u l a r d i s c r e t e s t a t e ,

s o t h a t e a c h c e l l h a s i t s o w n c o n t i n u o u s d y n a m i c s a s s o c i a t e d t o i t . S w i t c h i n g

o f t h i s t y p e i s o f t e n r e f e r r e d t o a s s t a t e - c o n t r o l l e d , w i t h a n i m p l i c i t i d e n t i c a -

t i o n o f \ s t a t e " a n d \ c o n t i n u o u s s t a t e " . C o m p a r e a l s o t h e d i s t i n n c t i o n b e t w e e n

i n t e r n a l l y a n d e x t e r n a l l y i n d u c e d e v e n t s t h a t w a s d i s c u s s e d i n C h p a t e r 1 . W e

s h a l l c o n c e n t r a t e i n p a r t i c u l a r o n c a s e s w h e r e t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e c o n t i n u -

o u s s t a t e v a r i a b l e s a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o f t i m e ( n o j u m p s ) a n d t h e c e l l s

a l l h a v e e q u a l d i m e n s i o n ( n o m o t i o n s a l o n g l o w e r - d i m e n s i o n a l s u r f a c e s ) .

S p e c i c a l l y , l e t t h e c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e X b e d i v i d e d i n t o c e l l s X

i

c o r -

r e s p o n d i n g t o d i s c r e t e s t a t e s i 2 I , a n d s u p p o s e t h a t t h e d y n a m i c s i n e a c h

m o d e i i s g i v e n b y t h e O D E _x ( t ) = f

i

( x ( t ) ) . T o p r o v e f o r i n s t a n c e s t a b i l i t y o f

t h e o r i g i n , a p o s s i b l e s t r a t e g y i s t o l o o k f o r a L y a p u n o v f u n c t i o n V ( x ) w h i c h

i n p a r t i c u l a r s h o u l d b e s u c h t h a t

@ V

@ x

( x ) f

i

( x ) 0 w h e n x 2 X

i

. F i n d i n g a

L y a p u n o v f u n c t i o n f o r s y s t e m s w i t h a s i n g l e m o d e i s a l r e a d y i n m o s t c a s e s a

d i c u l t p r o b l e m ; i n t h e m u l t i m o d a l c a s e t h i n g s c a n o n l y b e e x p e c t e d t o b e

w o r s e i n g e n e r a l . B e l o w w e s h a l l c o n c e n t r a t e a t t e n t i o n o n s i t u a t i o n s i n w h i c h

t h e c e l l s a r e d e s c r i b e d b y l i n e a r i n e q u a l i t i e s a n d t h e d y n a m i c s i n e a c h c e l l i s

l i n e a r .

I n t h e s i n g l e - m o d e c a s e , t h e t h e o r y o f c o n s t r u c t i n g a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r

l i n e a r s y s t e m s i s c l a s s i c a l . G i v e n a l i n e a r O D E o f t h e f o r m _x ( t ) = A x ( t ) w i t h

A 2 R

n n

, o n e l o o k s f o r a q u a d r a t i c L y a p u n o v f u n c t i o n , t h a t i s , o n e o f t h e

f o r m V ( x ) = x

T

P x w h e r e P i s a p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x . F o r s u c h a f u n c t i o n ,

t h e e x p r e s s i o n

@ V

@ x

i s a q u a d r a t i c f o r m t h a t w e m a y w r i t e a s x

T

( A

T

P + P A ) x ,

a n d s o t h e f u n c t i o n V ( x ) = x

T

P x q u a l i e s a s a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e

s y s t e m _x = A x i f a n d o n l y i f t h e m a t r i x A

T

P + P A i s n e g a t i v e d e n i t e .

T o n d a L y a p u n o v f u n c t i o n o f t h i s f o r m w e m a y s o l v e t h e l i n e a r e q u a t i o n

A

T

P + P A = ? Q w h e r e Q i s s o m e g i v e n p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x ( t a k e f o r

i n s t a n c e Q = I ) a n d w h e r e P i s t h e u n k n o w n . A s t a n d a r d r e s u l t i n s t a b i l i t y

t h e o r y a s s e r t s t h a t , w h e n e v e r t h e m a t r i x A i s H u r w i t z , t h i s e q u a t i o n h a s a

u n i q u e s o l u t i o n w h i c h i s p o s i t i v e d e n i t e . S o , a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f l i n e a r

s y s t e m s c a n a l w a y s b e p r o v e d b y a q u a d r a t i c L y a p u n o v f u n c t i o n , a n d s u c h

a L y a p u n o v f u n c t i o n c a n b e f o u n d b y s o l v i n g a l i n e a r s y s t e m o f

1

2

n ( n + 1 )

e q u a t i o n s i n

1

2

n ( n + 1 ) u n k n o w n s . T h e s t a b i l i t y a n a l y s i s o f l i n e a r s y s t e m s i s

t h e r e f o r e c o m p u t a t i o n a l l y q u i t e f e a s i b l e , i n s h a r p c o n t r a s t t o t h e s i t u a t i o n f o r

g e n e r a l n o n l i n e a r s y s t e m s .

I n t h e m u l t i m o d a l c a s e i t i s a n a t u r a l i d e a t o l o o k f o r p i e c e w i s e q u a d r a t i c

L y a p u n o v f u n c t i o n s w h e n t h e d y n a m i c s i n a l l m o d e s a r e l i n e a r . I n g e n e r a l , a

d y n a m i c a l s y s t e m d e n e d o n R

n

i s s a i d t o b e q u a d r a t i c a l l y s t a b l e w i t h r e s p e c t

t o t h e o r i g i n i f t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x P a n d a s c a l a r " > 0

s u c h t h a t d ( x

T

P x ) = d t ? " x

T

x a l o n g t r a j e c t o r i e s o f t h e s y s t e m . W e s h a l l

c o n c e n t r a t e h e r e o n q u a d r a t i c s t a b i l i t y w i t h r e s p e c t t o t h e o r i g i n , a l t h o u g h

t h e r e a r e o f c o u r s e o t h e r t y p e s o f s t a b i l i t y , a n d s t a b i l i t y o f p e r i o d i c o r b i t s i s i n




m a n y a p p l i c a t i o n s p e r h a p s e v e n m o r e i n t e r e s t i n g t h a n s t a b i l i t y o f e q u i l i b r i a .

C o n s i d e r n o w a p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m ; s p e c i c a l l y , l e t t h e d y n a m i c s i n

m o d e i b e g i v e n b y _x = A

i

x . T h e s t r o n g e s t c a s e o f s t a b i l i t y o c c u r s w h e n a l l

t h e m o d e s h a v e a c o m m o n L y a p u n o v f u n c t i o n . I f t h e L y a p u n o v f u n c t i o n i s

q u a d r a t i c , t h i s m e a n s t h a t t h e r e e x i s t s a s y m m e t r i c p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x P

s u c h t h a t

A

T

i

P + P A

i

< 0 ( 5 . 8 )

f o r a l l i . I n t h i s c a s e t h e s t a b i l i t y d o e s n o t e v e n d e p e n d o n t h e s w i t c h i n g

s c h e m e . N o t e t h a t t h e c o m m o n L y a p u n o v f u n c t i o n m a y b e f o u n d , i f i t e x i s t s ,

b y s o l v i n g a s y s t e m o f l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t i e s ( L M I s ) .

T h e c o n d i t i o n ( 5 . 8 ) r e q u i r e s i n p a r t i c u l a r t h a t a l l t h e c o n s t i t u e n t m a t r i -

c e s A

i

a r e H u r w i t z . O n e c a n e a s i l y n d e x a m p l e s , h o w e v e r , i n w h i c h s t a t e -

c o n t r o l l e d s w i t c h i n g o f u n s t a b l e s y s t e m s l e a d s t o a n a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e s y s -

t e m . C o n s i d e r f o r i n s t a n c e t h e t w o l i n e a r s y s t e m s g i v e n b y t h e m a t r i c e s

A

1

=

2

4

0 : 1 ? 5

1 0 : 1

3

5

; A

2

=

2

4

0 : 1 ? 1

5 0 : 1

3

5

: ( 5 . 9 )

F i g u r e 5 . 3 s h o w s t r a j e c t o r i e s o f t h e s y s t e m s _x = A

1

x a n d _x = A

2

x s t a r t i n g

f r o m ( 1 ; 0 ) a n d ( 0 ; 1 ) r e s p e c t i v e l y . C l e a r l y b o t h s y s t e m s a r e u n s t a b l e . H o w e v e r ,

i f w e f o r m t h e s w i t c h e d s y s t e m w h i c h f o l l o w s t h e l a w _x = A

1

x o n t h e r s t a n d

t h i r d q u a d r a n t a n d t h e l a w _x = A

2

x o n t h e s e c o n d a n d f o u r t h q u a d r a n t , t h e n

t h e r e s u l t i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e a s c a n b e v e r i e d i n t h i s c a s e b y c o m p u t i n g

t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e s w i t c h e d s y s t e m e x p l i c i t l y . B y r e v e r s i n g t i m e i n t h i s

e x a m p l e o n e g e t s a n e x a m p l e o f a n u n s t a b l e s y s t e m t h a t i s o b t a i n e d f r o m

s w i t c h i n g b e t w e e n t w o a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e s y s t e m s .

F o r a s t a t e - c o n t r o l l e d s w i t c h i n g s c h e m e , t h e c o n d i t i o n ( 5 . 8 ) c a n b e r e p l a c e d

b y t h e w e a k e r c o n d i t i o n

f o r a l l i 2 I : x

T

( A

T

i

P + P A

i

) x < 0 f o r a l l x 2 X

i

, x 6= 0 : ( 5 . 1 0 )

w h i c h s t i l l i m p l i e s a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e s y s t e m s u b j e c t t o s t a t e - c o n t r o l l e d

s w i t c h i n g . T h e a b o v e c o n d i t i o n i s e v e n s u c i e n t f o r a s y m p t o t i c s t a b i l i t y i n

c a s e a s l i d i n g m o d e o c c u r s a l o n g t h e b o u n d a r y o f t w o r e g i o n s X

i

a n d X

j

,

s i n c e t h e c o n d i t i o n s x

T

( A

T

i

P + P A

i

) x < 0 a n d x

T

( A

T

j

P + P A

j

) x < 0 i m p l y

x

T

( A

T

P + P A ) x < 0 f o r a l l c o n v e x c o m b i n a t i o n s A o f A

i

a n d A

j

. A c o n c r e t e

w a y o f u s i n g t h e c r i t e r i o n ( 5 . 1 0 ) i s t o l o o k f o r s y m m e t r i c m a t r i c e s S

i

s u c h t h a t

x

T

S

i

x 0 f o r x 2 S

i

. T h e e x i s t e n c e o f a p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x P s u c h t h a t

f o r a l l i

A

T

i

P + P A

i

+ S

i

< 0 ( 5 . 1 1 )

i s t h e n s u c i e n t f o r a s y m p t o t i c s t a b i l i t y . T h i s i s t h e s o - c a l l e d S - p r o c e d u r e

( s e e e . g . 2 5 ] ) .



5 . 2 . S t a b i l i t y 1 2 7

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

F i g u r e 5 . 3 : T r a j e c t o r i e s o f t h e s y s t e m s ( 5 . 9 ) ; i n i t i a l p o i n t s m a r k e d b y s t a r s




T o f u r t h e r w e a k e n t h e c o n d i t i o n s f o r s t a b i l i t y , o n e m a y l o o k a t L y a p u n o v

f u n c t i o n s t h a t a r e p i e c e w i s e q u a d r a t i c r a t h e r t h a n q u a d r a t i c . I f a r e g i o n -

c o n t r o l l e d s y s t e m o f t h e a b o v e t y p e i s c o n s i d e r e d , t h e n a n a t u r a l i d e a i s t o

l o o k f o r a f u n c t i o n o f t h e f o r m x

T

P

i

x f o r x 2 X

i

, w h e r e o n e s h o u l d h a v e

x

T

P

i

x = x

T

P

j

x w h e n x i s i n a c o m m o n b o u n d a r y o f r e g i o n s X

i

a n d X

j

, i n

o r d e r t o m a k e t h e d e n i t i o n c o n s i s t e n t a n d t o m a k e t h e s t a n d a r d s t a b i l i t y

a r g u m e n t s w o r k . A s a p a r t i c u l a r c a s e , c o n s i d e r a s y s t e m o f t h e f o r m

_x = A

1

x i f C x 0 ; _x = A

2

x i f C x 0 ( 5 . 1 2 )

w h e r e C i s a l i n e a r m a p p i n g f r o m R

n

t o R a n d w h e r e i t i s a s s u m e d t h a t

n o s l i d i n g m o d e o c c u r s , s o t h a t w e d o n o t n e c e s s a r i l y n e e d t o a s s u m e t h a t

A

1

x = A

2

x w h e n C x = 0 . S t a b i l i t y w i l l b e g u a r a n t e e d i f w e c a n n d s y m m e t r i c

p o s i t i v e d e n i t e m a t r i c e s P

1

a n d P

2

s u c h t h a t A

T

i

P

i

+ P

i

A

i

< 0 f o r i = 1 ; 2 ,

a n d x

T

P

1

x = x

T

P

2

x w h e n C x = 0 . T h e l a t t e r c o n d i t i o n i s f u l l l e d w h e n P

1

a n d P

2

a r e g i v e n b y P

1

= P , P

2

= P + C

T

C f o r s o m e r e a l . S o a s u c i e n t

c o n d i t i o n f o r s t a b i l i t y o f t h e s y s t e m ( 5 . 1 2 ) i s t h e e x i s t e n c e o f a m a t r i x P a n d

a s c a l a r s u c h t h a t

P = P

T

> 0 ; A

T

1

P + P A

1

0 ; P + C

T

C > 0 ;

A

T

2

( P + C

T

C ) + ( P + C

T

C ) A

2

0 : ( 5 . 1 3 )

N o t e t h a t ( 5 . 1 3 ) c o n s t i t u t e s a s y s t e m o f l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t i e s . T h e c o n d i -

t i o n s a b o v e i m p l y i n p a r t i c u l a r t h a t b o t h m a t r i c e s a n d A

1

a n d A

2

a r e s t a b l e ,

s o t h a t t h e s u g g e s t e d m e t h o d c a n o n l y u s e d f o r s y s t e m s c o m p o s e d o f s t a -

b l e s u b s y s t e m s . T h e r e i s n o h e l p f r o m t h e o b s e r v a t i o n t h a t i t i s s u c i e n t i f

x

T

( A

T

1

P + P A

1

) x 0 f o r C x 0 , a n d l i k e w i s e f o r t h e o t h e r m o d e , b e c a u s e

t h e c o n d i t i o n i s i n v a r i a n t u n d e r c h a n g e o f s i g n o f x . I t c a n b e s e e n f r o m s i m p l e

e x a m p l e s t h a t a s y s t e m o f t h e f o r m ( 5 . 1 2 ) m a y w e l l b e a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e

e v e n i f A

1

a n d A

2

a r e n o t b o t h s t a b l e ; t a k e f o r i n s t a n c e

A

1

=

2

4

1 1

? 1 1

3

5

; A

2

=

2

4

? 2 1

? 1 ? 2

3

5

( 5 . 1 4 )

t o g e t h e r w i t h a n y n o n z e r o f u n c t i o n a l C .

A n e v e n f u r t h e r r e d u c t i o n o f c o n s e r v a t i s m c a n b e o b t a i n e d b y d r o p p i n g t h e

r e q u i r e m e n t t h a t t h e L y a p u n o v f u n c t i o n s h o u l d b e c o n t i n u o u s ; i n d e e d , t h e r e i s

n o p r o b l e m w i t h d i s c o n t i n u i t i e s a s l o n g a s j u m p s t h a t t a k e p l a c e a l o n g t r a j e c -

t o r i e s a r e d o w n w a r d . A g a i n , t h i s o b s e r v a t i o n i s o f n o h e l p w h e n t h e c o n s i d e r e d

L y a p u n o v f u n c t i o n s a r e p i e c e w i s e q u a d r a t i c a n d t h e c e l l s a r e h a l f s p a c e s . I n

o t h e r c a s e s , h o w e v e r , o n e m a y w r i t e d o w n t h e i n e q u a l i t i e s t h a t s h o u l d b e s a t i s -

e d b y a p i e c e w i s e q u a d r a t i c b u t n o t n e c e s s a r i l y c o n t i n u o u s L y a p u n o v f u n c t i o n

a n d a t t e m p t t o s o l v e t h e r e s u l t i n g s y s t e m b y L M I t e c h n i q u e s .

R e m a r k 5 . 2 . 3 . I n t h e a b o v e w e h a v e a s s u m e d i n a n u m b e r o f p l a c e s t h a t

n o s l i d i n g m o d e s o c c u r . T h e p r e s e n c e o f m o t i o n s a l o n g l o w e r - d i m e n s i o n a l



5 . 3 . C h a o t i c p h e n o m e n a 1 2 9

m a n i f o l d s m a y d e n i t e l y a e c t t h e s t a b i l i t y a n a l y s i s . A s s h o w n i n t h e f o l l o w i n g

s i m p l e e x a m p l e , a s l i d i n g m o d e c a n b e u n s t a b l e e v e n w h e n i t i s c o m p o s e d f r o m

t w o s t a b l e d y n a m i c s .

E x a m p l e 5 . 2 . 4 . C o n s i d e r t h e s y s t e m s _x = A

1

x a n d _x = A

2

x w i t h

A

1

=

2

4

1 2

? 2 ? 2

3

5

; A

2

=

2

4

1 ? 2

2 ? 2

3

5

( 5 . 1 5 )

a n d s u p p o s e t h a t m o d e 1 i s v a l i d f o r x

2

< 0 a n d m o d e 2 f o r x

2

> 0 . I t i s

e a s i l y v e r i e d t h a t b o t h m o d e s w o u l d b e a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e i f t h e y w o u l d

b e v a l i d o n t h e w h o l e p l a n e . O n t h e l i n e x

2

= 0 t h e r e i s a s l i d i n g m o d e w h i c h

i s o b t a i n e d b y a v e r a g i n g t h e t w o d y n a m i c s , a n d w h i c h r e s u l t s i n a n u n s t a b l e

m o t i o n _x

1

= x

1

.

5 . 3 C h a o t i c p h e n o m e n a

A s i s w e l l - k n o w n , s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s o f d i m e n s i o n t h r e e a n d h i g h e r

m a y g i v e r i s e t o c o m p l i c a t e d b e h a v i o r . A l t h o u g h t h e r e i s n o u n i v e r s a l l y a c -

c e p t e d d e n i t i o n o f \ c h a o s " , t h e t e r m i s u s u a l l y a s s o c i a t e d t o p h e n o m e n a s u c h

a s s e n s i t i v e d e p e n d e n c e o n i n i t i a l c o n d i t i o n s a n d t h e p r e s e n c e o f a t t r a c t o r s

c o n t a i n i n g s e v e r a l d e n s e o r b i t s . I n t h e l i t e r a t u r e , s e v e r a l e x a m p l e s a r e k n o w n

o f s i t u a t i o n s i n w h i c h a f e w s i m p l e s m o o t h s y s t e m s ( f o r i n s t a n c e l i n e a r s y s -

t e m s ) g i v e r i s e t o c h a o t i c p h e n o m e n a w h e n t h e y a r e c o m b i n e d i n t o a h y b r i d

s y s t e m b y s o m e s w i t c h i n g r u l e . H e r e w e b r i e y d i s c u s s t h r e e o f t h e s e e x a m p l e s .

E x a m p l e 5 . 3 . 1 ( A s w i t c h e d a r r i v a l s y s t e m ) . T h e f o l l o w i n g s y s t e m w a s

d e s c r i b e d i n 3 6 ] . C o n s i d e r N b u e r s f r o m w h i c h w o r k i s r e m o v e d a t r a t e s

i

( i = 1 ; : : : ; N ) . A s e r v e r d e l i v e r s w o r k t o o n e o f t h e b u e r s a t r a t e 1 . I t

i s a s s u m e d t h a t t h e t o t a l a m o u n t o f w o r k i n t h e s y s t e m i s c o n s t a n t , s o t h a t

P

N

i = 1

i

= 1 . A s s o o n a s o n e o f t h e b u e r s b e c o m e s e m p t y , t h e s e r v e r s w i t c h e s

t o t h a t b u e r . T h e s y s t e m h a s N c o n t i n u o u s v a r i a b l e s x

i

w h i c h d e n o t e t h e

a m o u n t s o f w o r k i n e a c h o f t h e b u e r s , a n d o n e d i s c r e t e v a r i a b l e j w h i c h

d e n o t e s t h e b u e r c u r r e n t l y b e i n g s e r v e d . T h e d y n a m i c s o f t h e s y s t e m i s

g i v e n b y t h e E F F

_x = e

j

? j j j

i 2 N

f e

T

i

x

?

= 0 ; j

+

= i g ( 5 . 1 6 )

w h e r e x i s t h e v e c t o r o f b u e r c o n t e n t s , i s t h e c o n s t a n t v e c t o r o f e x t r a c t i o n

r a t e s , e

i

d e n o t e s t h e i t h u n i t v e c t o r , a n d N i s t h e s e t f 1 ; : : : ; N g . N o t e t h a t

t h e s y s t e m i s n o t d e a d l o c k - f r e e ; i f t w o b u e r s e m p t y a t t h e s a m e t i m e , t h e r e

i s n o w a y t o c o n t i n u e . H o w e v e r i t i s s h o w n i n 3 6 ] t h a t f o r a l m o s t a l l i n i t i a l

c o n d i t i o n s t h i s n e v e r h a p p e n s .

F o r N = 2 , i t i s e a s y t o v e r i f y t h a t t h e s w i t c h e d a r r i v a l s y s t e m h a s a

s i m p l e p e r i o d i c b e h a v i o r . H o w e v e r a l r e a d y f o r N = 3 m o s t t r a j e c t o r i e s h a v e a

h i g h l y i r r e g u l a r b e h a v i o r , a n d i t c a n b e s h o w n t h a t a l l p e r i o d i c t r a j e c t o r i e s a r e




u n s t a b l e . T h e r e i s s o m e r e g u l a r i t y i n a s t a t i s t i c a l s e n s e , h o w e v e r . T h e m a i n

r e s u l t o f 3 6 ] s t a t e s t h a t t h e r e i s o n e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n w h i c h i s s t a t i o n a r y

i n t h e s e n s e t h a t i f t h e i n i t i a l c o n d i t i o n w i t h o n e o f t h e b u e r s e m p t y i s d r a w n

f r o m t h i s d i s t r i b u t i o n , t h e n t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s t a t e a t t h e n e x t e v e n t

t i m e i s t h e s a m e . T h i s d i s t r i b u t i o n g i v e s c e r t a i n p r o b a b i l i t i e s ( d e p e n d i n g o n

t h e r a t e s

1

,

2

a n d

3

) t o e a c h o f t h e t h r e e b u e r s b e i n g e m p t y , a n d w i t h i n

t h e s e c a s e s a s s i g n s a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o v e r t h e c o n t e n t s o f t h e o t h e r t w o

b u e r s , s u b j e c t , o f c o u r s e , t o t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h e s u m o f t h e c o n t e n t s

o f t h e b u e r s s h o u l d b e e q u a l t o t h e c o n s t a n t a m o u n t o f w o r k t h a t i s a l w a y s

p r e s e n t i n t h e s y s t e m . I t i s m o r e o v e r s h o w n t h a t t h i s d i s t r i b u t i o n i s s t a t i s t i c a l l y

s t a b l e , w h i c h m e a n s t h a t i f w e s t a r t w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n t h a t i s d i s t r i b u t e d

a c c o r d i n g t o s o m e a r b i t r a r y d i s t r i b u t i o n , t h e n t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s t a t e

( t a k e n a t e v e n t t i m e s ) w i l l c o n v e r g e t o t h e s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n . F i n a l l y

t h e e r g o d i c i t y p r o p e r t y h o l d s . E r g o d i c i t y m e a n s t h a t f o r a l m o s t a l l i n i t i a l

c o n d i t i o n s \ t i m e a v e r a g e s a r e t h e s a m e a s s a m p l e a v e r a g e s " , t h a t i s t o s a y

t h a t t h e v a l u e o f t h e a v e r a g e o v e r t i m e o f a n y m e a s u r a b l e f u n c t i o n o f t h e s t a t e

a t e v e n t t i m e s c a n b e c o m p u t e d a s t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h a t f u n c t i o n w i t h

r e s p e c t t o t h e s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n . B y t h i s r e s u l t , i t c a n b e c o m p u t e d t h a t

f o r a l m o s t a l l i n i t a l c o n d i t i o n s t h e a v e r a g e i n t e r e v e n t t i m e f o r t h e t r a j e c t o r y

s t a r t i n g f r o m t h a t i n i t i a l c o n d i t i o n i s e q u a l t o

1

4

(

1

2

+

2

3

+

1

3

)

? 1

.

E x a m p l e 5 . 3 . 2 ( A v i b r a t i n g s y s t e m w i t h a o n e - s i d e d s p r i n g ) . I n 7 4 ]

a m e c h a n i c a l s y s t e m i s d e s c r i b e d t h a t c o n s i s t s o f a v i b r a t i n g b e a m a n d a o n e -

s i d e d s p r i n g . T h e s p r i n g i s p l a c e d i n t h e m i d d l e o f t h e b e a m i n s u c h a w a y t h a t

i t b e c o m e s a c t i v e o r i n a c t i v e w h e n t h e m i d p o i n t o f t h e b e a m p a s s e s t h r o u g h

i t s e q u i l i b r i u m p o s i t i o n . T h e s y s t e m i s s u b j e c t t o a p e r i o d i c a l e x c i t a t i o n f r o m

a r o t a t i n g m a s s u n b a l a n c e a t t a c h e d t o t h e b e a m . T h e m o d e l p r o p o s e d i n 7 4 ]

h a s t h r e e d e g r e e s o f f r e e d o m . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e g i v e n b y

M q + B _q + ( K + H ) q = G f ( 5 . 1 7 )

i f t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e m i d p o i n t o f t h e b e a m i s p o s i t i v e , a n d b y

M q + B _q + K q = G f ( 5 . 1 8 )

i f t h e d i s p l a c e m e n t i s n e g a t i v e . H e r e , q i s t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l c o n g u r a t i o n

v a r i a b l e , M i s t h e m a s s m a t r i x , B i s t h e d a m p i n g m a t r i x , K i s t h e s t i n e s s

m a t r i x w h e n t h e s p r i n g i s n o t a c t i v e , H i s t h e a d d i t i o n a l s t i n e s s d u e t o t h e

s p r i n g , f i s t h e e x c i t a t i o n f o r c e , a n d G i s a n i n p u t v e c t o r .

T h e m a i n e m p h a s i s i n 7 4 ] i s o n c o n t r o l d e s i g n a n d n o e x t e n s i v e s t u d y o f

c h a o t i c p h e n o m e n a i s u n d e r t a k e n . S t i l l t h e a n a l y s i s s h o w s a t l e a s t t h a t t h e r e

a r e s e v e r a l u n s t a b l e p e r i o d i c o r b i t s . I n t h e c i t e d p a p e r t h e a i m i s t o a d d a

c o n t r o l l e r t o t h e s y s t e m w h i c h w i l l s t a b i l i z e o n e o f t h e s e o r b i t s . B e c a u s e t h e

c o n t r o l t a k e s p l a c e a r o u n d a n o r b i t t h a t i s a l r e a d y p e r i o d i c b y i t s e l f ( a l t h o u g h

u n s t a b l e ) , o n e m a y e x p e c t t h a t a r e l a t i v e l y s m a l l c o n t r o l e o r t w i l l b e n e e d e d

f o r s t a b i l i z a t i o n o n c e t h e d e s i r e d p e r i o d i c r e g i m e h a s b e e n a c h i e v e d . T h i s i d e a

o f u s i n g o n l y a s m a l l c o n t r o l i n p u t b y m a k i n g u s e o f t h e i n t r i n s i c n o n l i n e a r



5 . 3 . C h a o t i c p h e n o m e n a 1 3 1

p r o p e r t i e s o f t h e g i v e n s y s t e m i s o n e o f t h e l e a d i n g t h e m e s i n t h e r e s e a r c h

l i t e r a t u r e o n \ c o n t r o l o f c h a o s " .

E x a m p l e 5 . 3 . 3 ( T h e d o u b l e s c r o l l c i r c u i t ) . A w e l l - k n o w n e x a m p l e o f a

s i m p l e e l e c t r i c a l n e t w o r k t h a t s h o w s c h a o t i c b e h a v i o r i s C h u a ' s c i r c u i t , d e -

s c r i b e d f o r i n s t a n c e i n 3 8 ] . T h e c i r c u i t c o n s i s t s o f t w o c a p a c i t o r s , o n e i n d u c -

t o r , o n e l i n e a r r e s i s t o r a n d o n e ( a c t i v e ) n o n l i n e a r r e s i s t o r . T h e e q u a t i o n s m a y

b e g i v e n i n t h e f o r m o f a f e e d b a c k s y s t e m w i t h a s t a t i c p i e c e w i s e l i n e a r e l e m e n t

i n t h e f e e d b a c k l o o p , a s f o l l o w s :

_x

1

= ( x

1

? u )

_x

2

= x

1

? x

2

+ x

3

_x

3

= ? x

2

y = x

1

( 5 . 1 9 )

a n d

y ? 1 ; u = m

1

x ? ( m

0

? m

1

)

? 1 y 1 ; u = m

0

x

y 1 ; u = m

1

x + ( m

0

? m

1

) :

( 5 . 2 0 )

N o t e t h a t t h e f u n c t i o n d e n e d i n ( 5 . 2 0 ) i s c o n t i n u o u s , s o t h a t t h e a b o v e s y s t e m

m a y a l s o b e l o o k e d a t a s a t h r e e - d i m e n s i o n a l d y n a m i c a l s y s t e m d e n e d b y a

p i e c e w i s e l i n e a r c o n t i n u o u s v e c t o r e l d . T h e s y m b o l s , , m

0

a n d m

1

d e n o t e

p a r a m e t e r s . I f o n e s t u d i e s t h e s y s t e m ' s b e h a v i o r i n t e r m s o f t h e s e p a r a m e t e r s

o n e n d s a r i c h v a r i e t y o f m o t i o n s . F o r s o m e p a r a m e t e r v a l u e s , t r a j e c t o r i e s

o c c u r t h a t l o o k l i k e t w o c o n n e c t e d s c r o l l s , a n d f o r t h i s r e a s o n t h e s y s t e m a b o v e

i s a l s o k n o w n a s t h e \ d o u b l e s c r o l l s y s t e m " . T h e p r e s e n c e o f c h a o s ( i n o n e o f

t h e p o s s i b l e d e n i t i o n s ) i s s h o w n i n 3 8 ] f o r t h e v a l u e s m

0

= ? 1 = 7 , m

1

= 2 = 7 ,

= 7 , a n d n e a r 8 . 6 .

T h e e x a m p l e s a b o v e p r e s e n t j u s t a f e w i n s t a n c e s o f c h a o s i n n o n s m o o t h

d y n a m i c a l s y s t e m s ; m a n y m o r e e x a m p l e s c a n b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e . W e

h a v e c h o s e n e x a m p l e s t h a t e x h i b i t s w i t c h i n g b e t w e e n d i e r e n t m o d e s . T h e

e a r l i e s t e x a m p l e s o f c h a o s i n n o n s m o o t h s y s t e m s a r e r e l a t e d t o w h a t m i g h t

b e c a l l e d i m p a c t i n g s y s t e m s i n w h i c h t h e r e a r e s t a t e - g e n e r a t e d e v e n t s b u t n o

c h a n g e s o f m o d e . T h e s t a n d a r d e x a m p l e i s t h e o n e o f a b a l l b o u n c i n g o n a

v i b r a t i n g t a b l e , w h i c h i s d i s c u s s e d i n t h e w e l l k n o w n t e x t b o o k 5 9 ] . I n c o n t e x t s

o f t h i s t y p e i t i s n a t u r a l t o l o o k f o r p a r a m e t e r c h a n g e s t h a t w i l l l e a d f r o m a

s i t u a t i o n i n w h i c h t h e r e a r e n o i m p a c t s t o a s i t u a t i o n i n w h i c h o n e d o e s h a v e

( l o w - v e l o c i t y ) i m p a c t s . T h e a s s o c i a t e d b i f u r c a t i o n s a r e c a l l e d g r a z i n g b i f u r c a -

t i o n s o r b o r d e r c o l l i s i o n b i f u r c a t i o n s ; s e e f o r i n s t a n c e 3 2 ] . I m p a c t i n g s y s t e m s

c a n b e s e e n a s l i m i t i n g c a s e s o f s i t u a t i o n s i n w h i c h a c o n t a c t r e g i m e e x i s t s f o r

a v e r y s h o r t t i m e p e r i o d . I n m a n y m e c h a n i c a l a p p l i c a t i o n s i t i s r e a s o n a b l e t o




c o n s i d e r s y s t e m s t h a t a r e s u b j e c t t o d i e r e n t r e g i m e s f o r p e r i o d s o f c o m p a r a -

b l e l e n g t h . T h e o n e - s i d e d s p r i n g m e n t i o n e d a b o v e i s a n e x a m p l e o f t h i s t y p e .

C h a o t i c b e h a v i o r h a s a l s o b e e n s h o w n t o o c c u r f o r i n s t a n c e i n p e r i o d i c a l l y

e x c i t e d m e c h a n i c a l s y s t e m s s u b j e c t t o C o u l o m b f r i c t i o n , a n d a l s o i n t h i s c a s e

o n e t y p i c a l l y s e e s d i e r e n t r e g i m e s t h a t c o e x i s t o n t h e s a m e t i m e s c a l e ; s e e

f o r i n s t a n c e 1 3 1 ] . I n a n e l e c t r i c a l c i r c u i t c o n t e x t , t h e o c c u r r e n c e o f c h a o t i c

p h e n o m e n a i n s y s t e m s w i t h d i o d e s , a n d i n p a r t i c u l a r D C - D C c o n v e r t e r s , i s

w e l l d o c u m e n t e d ; s e e f o r i n s t a n c e 4 2 , 4 7 ] . I n t h i s c o n t e x t o n e t y p i c a l l y h a s

l i n e a r d y n a m i c s i n e a c h m o d e . I n p a r t i c u l a r i t i s n o t e d f r o m t h e s e e x a m p l e s

t h a t l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s , w h i c h w e r e e x t e n s i v e l y d i s c u s s e d i n t h e

p r e v i o u s c h a p t e r , m a y e x h i b i t c h a o t i c b e h a v i o r .


T h e i s s u e o f f o r m a l v e r i c a t i o n h a s b e e n e x t e n s i v e l y d i s c u s s e d i n c o m p u t e r

s c i e n c e . V a r i o u s m e t h o d o l o g i e s e x i s t ; s e e f o r i n s t a n c e 9 1 , 1 1 0 ] . I n t h e p a r -

t i c u l a r c o n t e x t o f h y b r i d s y s t e m s , m a n y p a p e r s r e l a t e d t o v e r i c a t i o n c a n b e

f o u n d i n t h e w o r k s h o p p r o c e e d i n g s 5 8 , 5 , 3 , 1 0 0 , 6 , 1 3 7 , 1 5 3 ] ; s e e a l s o 8 7 ] .

A c l a s s i c a l t e x t o n s t a b i l i t y i s t h e b o o k b y H a h n 6 0 ] ; f o r t h e s p e c i a l c a s e o f

l i n e a r s y s t e m s s e e a l s o G a n t m a c h e r 5 6 ] . A s w i t c h e d l i n e a r s y s t e m c a n s o m e -

t i m e s b e l o o k e d a t a s a s m o o t h s y s t e m w i t h a n o n s m o o t h f e e d b a c k . T h e s t u d y

o f s u c h s y s t e m s h a s a l o n g h i s t o r y ; s e e f o r i n s t a n c e P o p o v ' s b o o k 1 3 0 ] . I n

t h e c o n t r o l c o n t e x t , t h e i s s u e o f s t a b i l i t y i s c l o s e l y r e l a t e d t o s t a b i l i z a t i o n .

T h i s t o p i c w i l l b e d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r . I n S u b s e c t i o n 5 . 2 . 3 w e

h a v e p a r t l y f o l l o w e d t h e p a p e r 8 3 ] b y J o h a n s s o n a n d R a n t z e r , w h i c h g i v e s

a n i c e s u r v e y o f q u a d r a t i c s t a b i l i t y f o r h y b r i d s y s t e m s . O t h e r r e f e r e n c e s o f

i n t e r e s t i n t h i s c o n n e c t i o n i n c l u d e 1 2 6 , 1 2 7 ] . T h e l i t e r a t u r e o n c h a o s i s o f

c o u r s e e n o r m o u s ; s e e f o r i n s t a n c e 5 9 , 1 2 3 , 1 3 4 ] f o r e n t r i e s i n t o t h e l i t e r a t u r e .

A s p e c i c l i s t o f r e f e r e n c e s o n t h e a n a l y s i s o f n o n s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s

c a n b e f o u n d a t a u s e f u l w e b s i t e m a i n t a i n e d a t t h e U n i v e r s i t y o f C o l o g n e

( w w w . m i . u n i - k o e l n . d e / m i / F o r s c h u n g / K u e p p e r / F o r s c h u n g 1 . h t m ) .



C h a p t e r 6

H y b r i d c o n t r o l d e s i g n

I n t h i s c h a p t e r w e i n d i c a t e s o m e d i r e c t i o n s i n h y b r i d c o n t r o l d e s i g n . A p a r t

f r o m t h e i n t r o d u c t i o n o f a f e w g e n e r a l c o n c e p t s , t h i s w i l l b e m a i n l y d o n e b y

t h e t r e a t m e n t o f s o m e i l l u s t r a t i v e e x a m p l e s .

T h e a r e a o f h y b r i d c o n t r o l d e s i g n i s v e r y d i v e r s e . T h e c h a l l e n g i n g t o p i c

o f c o n t r o l l i n g g e n e r a l h y b r i d s y s t e m s i s a w i d e o p e n p r o b l e m , a n d , f o l l o w i n g

u p o n o u r d i s c u s s i o n i n C h a p t e r 1 o n t h e m o d e l l i n g o f h y b r i d s y s t e m s , i t i s

n o t t o b e e x p e c t e d t h a t a p o w e r f u l ( a n d n u m e r i c a l l y t r a c t a b l e ) t h e o r y c a n

b e d e v e l o p e d f o r g e n e r a l h y b r i d s y s t e m s . P a r t i c u l a r c l a s s e s o f h y b r i d s y s t e m s

f o r w h i c h c o n t r o l p r o b l e m s h a v e b e e n a d d r e s s e d i n c l u d e , a m o n g o t h e r s , b a t c h

c o n t r o l p r o c e s s e s , p o w e r c o n v e r t e r s a n d m o t i o n c o n t r o l s y s t e m s , a s w e l l a s

e x t e n s i o n s o f r e a c t i v e p r o g r a m s y n t h e s i s t o t i m e d a u t o m a t a . F u r t h e r m o r e ,

i n s o m e s i t u a t i o n s i t i s f e a s i b l e t o a b s t r a c t t h e h y b r i d s y s t e m t o a d i s c r e t e -

e v e n t s y s t e m ( o r t o a n a u t o m a t o n o r P e t r i - n e t ) , i n w h i c h c a s e r e c o u r s e c a n

b e t a k e n t o d i s c r e t e - e v e n t c o n t r o l t h e o r y . S i n c e o u r a i m i s t o e x p o s e s o m e

g e n e r a l m e t h o d s , w e w i l l n o t e l a b o r a t e o n t h e s e m o r e s p e c i c a r e a s , b u t i n s t e a d

i n d i c a t e i n S e c t i o n 6 . 1 s o m e g e n e r a l m e t h o d s o f h y b r i d c o n t r o l d e s i g n b a s e d o n

g a m e t h e o r y a n d v i a b i l i t y t h e o r y ( o r , i n c o n t r o l t h e o r e t i c p a r l a n c e , t h e t h e o r y

o f c o n t r o l l e d i n v a r i a n c e ) . I n p a r t i c u l a r , w e d i s c u s s t h e s y n t h e s i s o f c o n t r o l l e r s

e n f o r c i n g r e a c h a b i l i t y s p e c i c a t i o n s .

T h e m a i n e m p h a s i s i n t h i s c h a p t e r w i l l b e o n t h e d e s i g n o f h y b r i d c o n t r o l l e r s

f o r c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s a s o r d i n a r i l y c o n s i d e r e d i n c o n t r o l t h e o r y . F r o m a

c o n t r o l p e r s p e c t i v e t h i s s u b j e c t h a s c l a s s i c a l r o o t s , a n d w e w i l l a c t u a l l y r e f o r -

m u l a t e s o m e c l a s s i c a l n o t i o n s i n t o t h e m o d e r n p a r a d i g m o f h y b r i d s y s t e m s . I n

p a r t i c u l a r , i n S e c t i o n 6 . 2 w e i n t r o d u c e s o m e g e n e r a l t e r m i n o l o g y o n s w i t c h i n g

c o n t r o l , a n d w e g i v e r e l a t i o n s w i t h t h e c l a s s i c a l n o t i o n s o f p u l s e w i d t h m o d u l a -

t i o n a n d s l i d i n g m o d e c o n t r o l . F u r t h e r m o r e , i n c o n t i n u a t i o n o f t h e d i s c u s s i o n

o f q u a d r a t i c s t a b i l i t y i n S u b s e c t i o n 5 . 2 . 3 , w e d i s c u s s t h e q u a d r a t i c s t a b i l i z a t i o n

o f m u l t i - m o d a l l i n e a r s y s t e m s . I n S e c t i o n 6 . 3 w e c o n s i d e r t h e s p e c i c t o p i c o f

s t a b i l i z i n g c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s b y s w i t c h i n g c o n t r o l s c h e m e s . T h i s , p a r t l y

c l a s s i c a l , a r e a h a s r e g a i n e d n e w i n t e r e s t b y t h e d i s c o v e r y t h a t t h e r e a r e l a r g e

c l a s s e s o f n o n l i n e a r c o n t i n u o u s t i m e s y s t e m s t h a t a r e c o n t r o l l a b l e a n d c a n b e

s t a b i l i z e d b y s w i t c h i n g c o n t r o l s c h e m e s , b u t n e v e r t h e l e s s c a n n o t b e s t a b i l i z e d

b y c o n t i n u o u s s t a t e f e e d b a c k . A l s o w e w i l l i n d i c a t e t h a t f o r c o n t r o l l i n g c e r t a i n

p h y s i c a l s y s t e m s , s w i t c h i n g c o n t r o l s c h e m e s m a y b e a n a t t r a c t i v e o p t i o n w h i c h

1 3 3



1 3 4 C h a p t e r 6 . H y b r i d c o n t r o l d e s i g n

a l l o w s f o r a c l e a r p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n .

6 . 1 S a f e t y a n d g u a r a n t e e p r o p e r t i e s

L e t u s c o n s i d e r a h y b r i d s y s t e m , e i t h e r g i v e n ( s e e C h a p t e r 1 ) a s a ( g e n e r a l i z e d )

h y b r i d a u t o m a t o n ( D e n i t i o n s 1 . 2 . 3 a n d 1 . 2 . 5 ) , a s a h y b r i d b e h a v i o r ( D e n i -

t i o n 1 . 2 . 6 ) , o r d e s c r i b e d b y e v e n t - o w f o r m u l a s ( S u b s e c t i o n 1 . 2 . 6 ) . C o n s i d e r

t h e t o t a l b e h a v i o r B o f t h e h y b r i d s y s t e m , e . g . , i n t h e ( g e n e r a l i z e d ) h y b r i d

a u t o m a t o n m o d e l , t h e s e t o f t r a j e c t o r i e s o f t h e h y b r i d s y s t e m g i v e n b y f u n c -

t i o n s P :

E

! L , x :

E

! X , S : E ! A , w :

E

! W , f o r t i m e e v e n t s e t s E ,

a n d t h e c o r r e s p o n d i n g t i m e e v o l u t i o n s

E

. A p r o p e r t y , P , o f t h e h y b r i d s y s t e m

i s a m a p

P : B ! f t r u e , f a l s e g :

A t r a j e c t o r y s a t i s e s p r o p e r t y P i f P ( ) = t r u e , a n d t h e h y b r i d s y s t e m

s a t i s e s p r o p e r t y P i f P ( ) = t r u e f o r a l l t r a j e c t o r i e s 2 B .

A s a l r e a d y i n d i c a t e d i n C h a p t e r 5 i n t h e c o n t e x t o f v e r i c a t i o n , a l t h o u g h

a g e n e r a l f o r m u l a t i o n o f c o r r e c t n e s s o f a h y b r i d s y s t e m s h o u l d b e i n t e r m s

o f l a n g u a g e i n c l u s i o n , c e r t a i n p r o p e r t i e s o f i n t e r e s t o f a h y b r i d s y s t e m c a n

b e o f t e n e x p r e s s e d m o r e s i m p l y a s r e a c h a b i l i t y p r o p e r t i e s o f t h e d i s c r e t e a n d

c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e s , s o t h a t l e g a l t r a j e c t o r i e s a r e t h o s e i n w h i c h c e r t a i n

s t a t e s a r e n o t r e a c h e d . T h u s , l e t a s a b o v e L d e n o t e t h e d i s c r e t e p a r t o f t h e

s t a t e s p a c e a n d X t h e c o n t i n u o u s p a r t o f t h e s t a t e s p a c e o f t h e h y b r i d s y s t e m .

G i v e n a s e t F ( L X ) w e d e n e a s a f e t y p r o p e r t y , d e n o t e d b y F , b y

F ( ) =

8

<

:

t r u e i f f o r a l l t 2

E

; ( P ( t ) ; x ( t ) ) 2 F

f a l s e o t h e r w i s e

A l s o , w e c a n d e n e a g u a r a n t e e p r o p e r t y , d e n o t e d b y } F , b y

} F ( ) =

8

<

:

t r u e i f t h e r e e x i s t s t 2

E

s u c h t h a t ( P ( t ) ; x ( t ) ) 2 F

f a l s e o t h e r w i s e

( T h e n o t a t i o n s a n d

} o r i g i n a t e f r o m t e m p o r a l l o g i c , c f . 1 0 4 ] . ) T h e s e t w o

c l a s s e s o f p r o p e r t i e s a r e d u a l i n t h e s e n s e t h a t f o r a l l s u b s e t s F L X a n d

a l l t r a j e c t o r i e s

} F ( ) ( ) : F

c

( )

w h e r e F

c

d e n o t e s t h e c o m p l e m e n t o f t h e s e t F . T h u s , i n p r i n c i p l e , w e m a y

o n l y c o n c e n t r a t e o n s a f e t y p r o p e r t i e s .

R e m a r k 6 . 1 . 1 . O f c o u r s e , o n e c a n s t i l l d e n e o t h e r p r o p e r t i e s g i v e n a s u b s e t

F

L

X . F o r e x a m p l e , o n e m a y r e q u i r e t h a t w i l l e n t e r t h e s u b s e t F



6 . 1 . S a f e t y a n d g u a r a n t e e p r o p e r t i e s 1 3 5

a t s o m e n i t e t i m e i n s t a n t , a n d f r o m t h e n o n w i l l r e m a i n i n F . T h i s c a n b e

s e e n a s a c o m b i n a t i o n o f a g u a r a n t e e a n d a s a f e t y p r o p e r t y . A l t e r n a t i v e l y ,

o n e m a y d e n e a p r o p e r t y b y r e q u i r i n g t h a t e n t e r s t h e s e t F a t i n n i t e l y

m a n y t i m e i n s t a n t s . A l s o t h i s p r o p e r t y c a n b e r e g a r d e d a s a c o m b i n a t i o n o f

g u a r a n t e e a n d s a f e t y ( a f t e r a n y n i t e t i m e i n s t a n t w e a r e s u r e t h a t w i l l v i s i t

F ) . F r o m a c o m p u t a t i o n a l p o i n t o f v i e w t h e s e \ c o m b i n e d " p r o p e r t i e s c a n o f t e n

b e s t u d i e d b y c o m b i n i n g t h e a l g o r i t h m s f o r s a f e t y a n d g u a r a n t e e p r o p e r t i e s ,

s e e ( e s p e c i a l l y f o r t h e n i t e a u t o m a t o n c a s e ) 1 0 2 ] .

6 . 1 . 1 S a f e t y a n d c o n t r o l l e d i n v a r i a n c e

F o r n i t e a u t o m a t a ( D e n i t i o n 1 . 2 . 2 ) t h e s t u d y o f s a f e t y p r o p e r t i e s , a s w e l l

a s o f g u a r a n t e e p r o p e r t i e s , i s r e l a t i v e l y e a s y . I n p a r t i c u l a r , l e t u s c o n s i d e r

a u t o m a t a g i v e n b y t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z a t i o n o f i n p u t - o u t p u t a u t o m a t a ( 1 . 3 ) :

l

]

2 ( l ; i )

o = ( l ; i )

( 6 . 1 )

w h e r e : L I ! 2

L

d e n e s t h e p o s s i b l e s t a t e s u c c e s s o r s l

]

t o a s t a t e l g i v e n

t h e c o n t r o l i n p u t i 2 I . T h i s m o d e l s a u t o m a t a w h e r e t h e t r a n s i t i o n s a r e o n l y

p a r t i a l l y c o n t r o l l e d , o r n o n - d e t e r m i n i s t i c a u t o m a t a .

L e t F L b e a g i v e n s e t . R e c a l l t h a t a t r a j e c t o r y h a s p r o p e r t y F

i f i t s d i s c r e t e s t a t e t r a j e c t o r y P ( t ) s a t i s e s P ( t ) 2 F f o r a l l t i m e i n s t a n t s t .

T h i s m o t i v a t e s t h e f o l l o w i n g i n v a r i a n c e d e n i t i o n . F i r s t , f o r a n y i n i t i a l s t a t e

l

0

a t t i m e 0 , a n d a c o n t r o l s e q u e n c e i

0

; i

1

; i

2

; : : : a t t h e t i m e i n s t a n t s 0 ; 1 ; 2 ; : : : ,

l e t u s d e n o t e t h e r e s u l t i n g s t a t e t r a j e c t o r i e s o f ( 6 . 1 ) b y l

0

; l

1

; l

2

; l

3

; : : : , w h e r e

l

1

2 ( l

0

; i

0

) , l

2

2 ( l

1

; i

1

) , l

3

2 ( l

2

; i

2

) , a n d s o o n . A s u b s e t V L i s c a l l e d

c o n t r o l l e d i n v a r i a n t f o r ( 6 . 1 ) i f f o r a l l l

0

2 V t h e r e e x i s t s a c o n t r o l s e q u e n c e

i

0

; i

1

; i

2

; : : : s u c h t h a t a n y r e s u l t i n g s t a t e t r a j e c t o r y l

0

; l

1

; l

2

; l

3

; : : : o f ( 6 . 1 )

r e m a i n s i n V , t h a t i s , l

j

2 V f o r j = 0 ; 1 ; 2 ; : : : .

D e n e f o r a n y s u b s e t V L i t s c o n t r o l l a b l e p r e d e c e s s o r c o n ( V ) b y

c o n ( V ) = f l 2 L j 9 i 2 I s u c h t h a t ( l ; i ) V g : ( 6 . 2 )

I t f o l l o w s t h a t V i s c o n t r o l l e d i n v a r i a n t i f a n d o n l y i f

V c o n ( V ) : ( 6 . 3 )

I n o r d e r t o c o m p u t e t h e s e t o f d i s c r e t e s t a t e s l 2 F f o r w h i c h t h e r e e x i s t s a

c o n t r o l a c t i o n i

0

; i

1

; i

2

; : : : s u c h t h a t t h e s t a t e w i l l r e m a i n i n F f o r a l l f u t u r e

d i s c r e t e t i m e s 0 ; 1 ; 2 ; : : : w e t h u s h a v e t o c o m p u t e t h e m a x i m a l c o n t r o l l e d

i n v a r i a n t s u b s e t c o n t a i n e d i n F . T h i s c a n b e d o n e v i a t h e f o l l o w i n g a l g o r i t h m .

V

0

= F

V

j ? 1

= F \ c o n ( V

j

) ; f o r j = 0 ; ? 1 ; ? 2 ; : : : ; u n t i l

V

j ? 1

= V

j

:

( 6 . 4 )




C l e a r l y , t h e s e q u e n c e o f s u b s e t s V

0

; V

? 1

; V

? 2

; : : : i s n o n - i n c r e a s i n g , a n d s o ,

b y n i t e n e s s o f F , t h e a l g o r i t h m c o n v e r g e s i n a t m o s t j F j s t e p s . A t e a c h s t e p

o f t h e a l g o r i t h m , t h e s e t V

j

c o n t a i n s t h e d i s c r e t e s t a t e s f o r w h i c h t h e r e e x i s t s

a s e q u e n c e o f c o n t r o l a c t i o n s i

j

; i

j + 1

; i

j + 2

; : : : ; i

? 1

w h i c h w i l l e n s u r e t h a t t h e

s y s t e m r e m a i n s i n F f o r a t l e a s t ? j s t e p s . I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e s u b s e t

o b t a i n e d i n t h e n a l s t e p o f t h e a l g o r i t h m , t h a t i s

V

( F ) : = V

j ? 1

= V

j

i s t h e m a x i m a l c o n t r o l l e d i n v a r i a n t s u b s e t c o n t a i n e d i n F . I n d e e d , V

( F ) i s

c l e a r l y a c o n t r o l l e d i n v a r i a n t s u b s e t o f F , s i n c e i t s a t i s e s b y c o n s t r u c t i o n

V

( F ) = F

\ c o n ( V

( F ) )

a n d t h e r e f o r e V

( F ) s a t i s e s ( 6 . 3 ) , a s w e l l a s V

( F ) F . F u r t h e r m o r e , i t

c a n b e s h o w n i n d u c t i v e l y t h a t a n y c o n t r o l l e d i n v a r i a n t s u b s e t V F s a t i s e s

V V

j

f o r j = 0 ; ? 1 ; ? 2 ; : : : , a n d h e n c e V V

( F ) , p r o v i n g m a x i m a l i t y o f

V

( F ) .

H e n c e f o r e v e r y s t a t e l 2 V

( F ) t h e r e e x i s t s a c o n t r o l a c t i o n s u c h t h a t

t h e r e s u l t i n g t r a j e c t o r y s a t i s e s p r o p e r t y F , a n d t h e s e a r e p r e c i s e l y a l l t h e

s t a t e s f o r w h i c h t h i s i s p o s s i b l e .

N o t e t h a t a l g o r i t h m ( 6 . 4 ) i s c o n s t r u c t i v e a l s o w i t h r e g a r d t o t h e r e q u i r e d

c o n t r o l a c t i o n : i n t h e p r o c e s s o f c a l c u l a t i n g V

j ? 1

w e c o m p u t e f o r e v e r y l 2

V

j ? 1

a c o n t r o l v a l u e i s u c h ( l ; i ) V

j

. S o , a t t h e e n d o f t h e a l g o r i t h m w e

h a v e c o m p u t e d f o r e v e r y l 2 V

( F ) a s e q u e n c e o f c o n t r o l v a l u e s w h i c h k e e p s

t h e t r a j e c t o r i e s e m a n a t i n g f r o m l i n F ( i n f a c t , i n V

( F ) ) . F u r t h e r m o r e ,

o u t s i d e V

( F ) w e s t i l l h a v e c o m p l e t e f r e e d o m o v e r t h e c o n t r o l a c t i o n .

U s i n g t h e d u a l i t y b e t w e e n s a f e t y p r o p e r t i e s a n d g u a r a n t e e p r o p e r t i e s , w e

c a n a l s o i m m e d i a t e l y d e r i v e a n a l g o r i t h m f o r c h e c k i n g t h e p r o p e r t y } F :

S

0

= F

S

j ? 1

= F c o n ( S

j

) ; f o r j = 0 ; ? 1 ; ? 2 ; : : : ; u n t i l

S

j ? 1

= S

j

:

( 6 . 5 )

H e r e S

j

c o n t a i n s t h e d i s c r e t e s t a t e s f r o m w h i c h a v i s i t t o F c a n b e e n f o r c e d

a f t e r a t m o s t ? j s t e p s . F u r t h e r m o r e , S

0

; S

? 1

; S

? 2

; : : : i s a n o n - d e c r e a s i n g

s e q u e n c e , a n d t h e l i m i t i n g s e t

S

( F ) : = S

j ? 1

= S

j

d e n e s t h e s e t o f l o c a t i o n s f o r w h i c h t h e r e e x i s t s a c o n t r o l a c t i o n s u c h t h a t

t h e r e s u l t i n g t r a j e c t o r y o f t h e n i t e a u t o m a t o n s a t i s e s p r o p e r t y

} F .

A s n o t e d i n C h a p t e r 1 t h e t w o m o s t \ o p p o s i t e " e x a m p l e s o f h y b r i d s y s -

t e m s a r e o n t h e o n e h a n d n i t e a u t o m a t a ( D e n i t i o n 1 . 2 . 2 ) a n d c o n t i n u o u s -

t i m e s y s t e m s ( D e n i t i o n 1 . 2 . 1 ) . I t t u r n s o u t , r o u g h l y s p e a k i n g , t h a t a l s o f o r

c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s a s a f e t y p r o p e r t y F c a n b e c h e c k e d i n a s i m i l a r




w a y a s a b o v e , p r o v i d e d t h e s u b s e t F o f t h e c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e X i s a

s u b m a n i f o l d o f X . I n d e e d , l e t u s c o n s i d e r f o r c o n c r e t e n e s s a c o n t i n u o u s - t i m e

i n p u t - s t a t e - o u t p u t s y s t e m

_x = f ( x ) + g ( x ) u + p ( x ) d

y = h ( x )

( 6 . 6 )

w h e r e , c o m p a r e d w i t h ( 1 . 2 ) , w e h a v e s p l i t t h e i n p u t v a r i a b l e s i n t o a s e t o f

c o n t r o l v a r i a b l e s u 2 R

m

a n d a s e t o f d i s t u r b a n c e v a r i a b l e s d 2 R

l

. T h e

i n t e r p r e t a t i o n i s s i m i l a r t o ( 6 . 1 ) : p a r t o f t h e i n p u t v a r i a b l e s c a n b e c o m p l e t e l y

c o n t r o l l e d , w h i l e t h e r e m a i n i n g p a r t i s t o t a l l y u n c o n t r o l l a b l e . F u r t h e r m o r e ,

a s c o m p a r e d w i t h ( 1 . 2 ) w e h a v e a s s u m e d f o r s i m p l i c i t y o f e x p o s i t i o n t h a t

t h e d e p e n d e n c e o n t h e i n p u t v a r i a b l e s u a n d d i s o f a n a n e n a t u r e v i a t h e

m a t r i c e s g ( x ) a n d p ( x ) ( s e e f o r t h e g e n e r a l c a s e e . g . 1 2 1 ] , C h a p t e r 1 3 ) .

N o w , l e t F b e a g i v e n s u b m a n i f o l d o f t h e s t a t e s p a c e X . D e n o t e t h e t a n g e n t

s p a c e o f X a t a p o i n t x 2 X b y T

x

X , a n d t h e t a n g e n t s p a c e o f a n y s u b m a n i f o l d

N X a t a p o i n t x 2 N b y T

x

N . F u r t h e r m o r e , d e n e G ( x ) a s t h e s u b s p a c e

o f T

x

X s p a n n e d b y t h e i m a g e o f t h e m a t r i x g ( x ) , a n d s i m i l a r l y P ( x ) a s t h e

s u b s p a c e o f T

x

X s p a n n e d b y t h e i m a g e o f t h e m a t r i x p ( x ) .

C o n s i d e r t h e a l g o r i t h m

N

0

= F

N

j ? 1

=

f x

2 N

j

jf ( x ) + P ( x )

T

x

N

j

+ G ( x )

g

f o r j = 0 ; ? 1 ; ? 2 ; : : : ; u n t i l

N

j ? 1

= N

j

( 6 . 7 )

w h e r e w e a s s u m e t h a t t h e s u b s e t s N

j ? 1

X p r o d u c e d i n t h i s w a y a r e a l l

s u b m a n i f o l d s o f X ( s e e f o r s o m e t e c h n i c a l c o n d i t i o n s e n s u r i n g t h i s p r o p e r t y , a s

w e l l a s f o r c o m p u t i n g N

j ? 1

i n l o c a l c o o r d i n a t e s , 1 2 1 ] , C h a p t e r s 1 1 a n d 1 3 ) . I t

i s i m m e d i a t e l y s e e n t h a t t h e s e q u e n c e o f s u b m a n i f o l d s N

j

f o r j = 0 ; ? 1 ; ? 2 ; : : :

i s n o n - i n c r e a s i n g , t h a t i s

N

0

N

? 1

N

? 2

a n d s o b y n i t e - d i m e n s i o n a l i t y o f F t h e a l g o r i t h m w i l l c o n v e r g e i n a t m o s t

d i m F s t e p s t o a s u b m a n i f o l d

N

( F ) : = N

j ? 1

= N

j

s a t i s f y i n g t h e p r o p e r t y

f ( x ) + P ( x ) T

x

( N

( F ) ) + G ( x ) ; f o r a l l x 2 N

( F ) ( 6 . 8 )

A l s o i n t h i s c a s e ( s e e e . g . 1 2 1 ] ) i t c a n b e s h o w n t h a t N

( F ) i s t h e m a x i m a l

s u b m a n i f o l d w i t h t h i s p r o p e r t y . F o r t h i s r e a s o n N

( F ) i s c a l l e d t h e m a x i m a l

c o n t r o l l e d i n v a r i a n t s u b m a n i f o l d c o n t a i n e d i n F .




U n d e r a c o n s t a n t r a n k a s s u m p t i o n ( s e e a g a i n 1 2 1 ] , C h a p t e r s 1 1 a n d 1 3 ,

f o r d e t a i l s ) i t c a n b e s h o w n t h a t ( 6 . 8 ) i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f a ( s m o o t h ) s t a t e

f e e d b a c k u = ( x ) s u c h t h a t t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m

_x = f ( x ) + g ( x ) ( x ) + p ( x ) d ( 6 . 9 )

l e a v e s t h e s u b m a n i f o l d N

( F ) i n v a r i a n t , f o r a n y d i s t u r b a n c e f u n c t i o n d ( ) .

H e n c e , t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m ( 6 . 9 ) s t a r t i n g i n N

( F ) s a t i s f y

p r o p e r t y F .

A l g o r i t h m 6 . 7 c a n b e r e g a r d e d a s a n i n n i t e s i m a l v e r s i o n o f A l g o r i t h m 6 . 4 ;

i t r e p l a c e s t h e t r a n s i t i o n s i n t h e n i t e a u t o m a t o n b y c o n d i t i o n s o n t h e v e l o c i t y

v e c t o r _x a n d w o r k s o n t h e t a n g e n t s p a c e o f t h e s t a t e s p a c e m a n i f o l d X . N o t e

a l s o t h a t t h e n i t e n e s s p r o p e r t y o f F i n A l g o r i t h m 6 . 4 h a s b e e n r e p l a c e d i n

A l g o r i t h m 6 . 7 b y t h e n i t e - d i m e n s i o n a l i t y o f t h e s u b m a n i f o l d F .

A l g o r i t h m 6 . 7 w o r k s w e l l p r o v i d e d t h e s e t F ( a s w e l l a s a l l t h e s u b s e q u e n t

s u b s e t s N

? 1

; N

? 2

; N

? 3

; : : : ) i s a s u b m a n i f o l d , b u t b r e a k s d o w n f o r m o r e g e n -

e r a l s u b s e t s . A f o r t i o r i f o r g e n e r a l h y b r i d s y s t e m s i t i s n o t c l e a r h o w t o e x t e n d

t h e a l g o r i t h m .

6 . 1 . 2 S a f e t y a n d d y n a m i c g a m e t h e o r y

A n o t h e r a p p r o a c h t o c h e c k i n g s a f e t y p r o p e r t i e s o f t h e f o r m F i s b a s e d o n

d y n a m i c g a m e t h e o r y . I n d e e d , c o n s i d e r a c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m

_x = f ( x ; u ; d ) ( 6 . 1 0 )

w h e r e , a s b e f o r e i n ( 6 . 6 ) , u 2 U a r e t h e c o n t r o l i n p u t s ( c o r r e s p o n d i n g t o

t h e r s t p l a y e r ) a n d d 2 D a r e t h e d i s t u r b a n c e i n p u t s ( c o r r e s p o n d i n g t o t h e

s e c o n d p l a y e r w h o i s k n o w n a s t h e a d v e r s a r y ) . H o w e v e r , w e a l l o w U a n d D

t o b e a r b i t r a r y s e t s , n o t n e c e s s a r i l y R

m

a n d R

l

, i m p l y i n g t h a t ( p a r t o f ) t h e

c o n t r o l a n d d i s t u r b a n c e i n p u t s m a y b e d i s c r e t e .

F u r t h e r m o r e , c o n t r a r y t o t h e s u b m a n i f o l d s F c o n s i d e r e d b e f o r e , w e a s s u m e

t h a t t h e s a f e t y s u b s e t F i s g i v e n b y i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s , t h a t i s

F = f x 2 X j k ( x ) 0 g ( 6 . 1 1 )

w h e r e k : X ! R i s a d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n w i t h

@ k

@ x

( x ) 6= 0 o n t h e b o u n d a r y

@ K = f x 2 X j k ( x ) = 0 g

L e t n o w t

0 , a n d c o n s i d e r t h e c o s t f u n c t i o n

J : X U D R

?

! R ( 6 . 1 2 )

w h e r e U a n d D d e n o t e t h e a d m i s s i b l e c o n t r o l , r e s p e c t i v e l y , d i s t u r b a n c e f u n c -

t i o n s , w i t h t h e e n d c o n d i t i o n

J ( x ; u ( ) ; d ( ) ; t ) = k ( x ( 0 ) ) : ( 6 . 1 3 )




T h i s f u n c t i o n m a y b e i n t e r p r e t e d a s t h e c o s t a s s o c i a t e d w i t h a t r a j e c t o r y o f

( 6 . 1 0 ) s t a r t i n g a t x a t t i m e t 0 a c c o r d i n g t o t h e i n p u t f u n c t i o n s u ( ) a n d

d ( ) , a n d e n d i n g a t t i m e t = 0 a t t h e n a l s t a t e x ( 0 ) . F u r t h e r m o r e , d e n e t h e

v a l u e f u n c t i o n

J

( x ; t ) = m a x

u 2 U

m i n

d 2 D

J ( x ; u ; d ; t ) : ( 6 . 1 4 )

T h e n t h e s e t

f x

2 X

jm i n

t

0

2 t ; 0 ]

J

( x ; t

0

)

0

g ( 6 . 1 5 )

c o n t a i n s a l l t h e s t a t e s f o r w h i c h t h e s y s t e m c a n b e f o r c e d b y t h e c o n t r o l u t o

r e m a i n i n F f o r a t l e a s t j t j t i m e u n i t s , i r r e s p e c t i v e o f t h e d i s t u r b a n c e f u n c t i o n

d .

T h e v a l u e f u n c t i o n J

c a n b e c o m p u t e d , i n p r i n c i p l e , b y s t a n d a r d t e c h -

n i q u e s f r o m d y n a m i c g a m e t h e o r y ( s e e e . g . 1 4 ] ) . D e n e t h e ( p r e - ) H a m i l t o n i a n

o f t h e s y s t e m ( 6 . 1 0 ) b y

H ( x ; p ; u ; d ) = p

T

f ( x ; u ; d ) ( 6 . 1 6 )

w h e r e p i s a v e c t o r i n R

n

c a l l e d t h e c o s t a t e . T h e o p t i m a l H a m i l t o n i a n i s

d e n e d b y

H

( x ; p ) = m a x

u 2 U

m i n

d 2 D

H ( x ; p ; u ; d ) ( 6 . 1 7 )

I f J

i s a d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n o f x ; t , t h e n J

i s a s o l u t i o n o f t h e H a m i l t o n -

J a c o b i e q u a t i o n

?

@ J

( x ; t )

@ t

= H

( x ;

@ J

( x ; t )

@ x

) ( 6 . 1 8 a )

J

( x ; 0 ) = k ( x ) ( 6 . 1 8 b )

I t f o l l o w s t h a t t h e r e e x i s t s a c o n t r o l a c t i o n s u c h t h a t t h e t r a j e c t o r y e m a n a t i n g

f r o m a s t a t e x h a s p r o p e r t y F i f a n d o n l y i f ( c o m p a r e w i t h ( 6 . 1 5 ) )

J

( x ; t

0

) 0 f o r a l l t

0

2 ( ? 1 ; 0 ] : ( 6 . 1 9 )

I n 9 9 ] i t i s i n d i c a t e d h o w t o s i m p l i f y t h i s c o n d i t i o n b y c o n s i d e r i n g a m o d i e d

H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n . I n d e e d , t o p r e v e n t s t a t e s f r o m b e i n g r e l a b e l e d a s

s a f e o n c e t h e y h a v e b e e n l a b e l e d a s u n s a f e ( J

( x ; t ) b e i n g n e g a t i v e f o r s o m e

t i m e t ) , o n e m a y r e p l a c e ( 6 . 1 8 ) b y

?

@ J

( x ; t )

@ t

= m i n

f 0 ; H

( x ;

@ J

( x ; t )

@ x

)

g ( 6 . 2 0 a )

J

( x ; 0 ) = k ( x ) ( 6 . 2 0 b )

A s s u m e t h a t ( 6 . 2 0 ) h a s a d i e r e n t i a b l e s o l u t i o n J

( x ; t ) w h i c h c o n v e r g e s f o r

t ! ? 1 t o a f u n c t i o n

J . T h e n t h e s e t

N

( F ) =

f x

j

J ( x )

0

g




i s t h e s e t o f i n i t i a l s t a t e s o f t r a j e c t o r i e s t h a t , u n d e r a p p r o p r i a t e c o n t r o l a c -

t i o n , w i l l r e m a i n i n F f o r a l l t i m e . F u r t h e r m o r e , t h e a c t u a l c o n s t r u c t i o n o f

t h e c o n t r o l l e r t h a t e n f o r c e s t h i s p r o p e r t y n e e d s o n l y t o b e p e r f o r m e d o n t h e

b o u n d a r y o f N

( F ) .

A l t h o u g h i n m a n y c a s e s t h e ( n u m e r i c a l ) s o l u t i o n o f t h e H a m i l t o n - J a c o b i

e q u a t i o n s ( 6 . 1 8 ) o r ( 6 . 2 0 ) i s a f o r m i d a b l e t a s k , i t p r o v i d e s a s y s t e m a t i c a p -

p r o a c h t o c h e c k i n g s a f e t y p r o p e r t i e s f o r c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s , a n d a s t a r t -

i n g p o i n t f o r c h e c k i n g s a f e t y p r o p e r t i e s f o r c e r t a i n c l a s s e s o f h y b r i d s y s t e m s ,

s e e e . g . 9 9 ] f o r t w o w o r k e d e x a m p l e s .

6 . 2 S w i t c h i n g c o n t r o l

I n s o m e s e n s e , t h e u s e o f h y b r i d c o n t r o l l e r s f o r c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s i s c l a s -

s i c a l . I n d e e d , w e c a n l o o k a t v a r i a b l e s t r u c t u r e c o n t r o l , s l i d i n g m o d e c o n t r o l ,

r e l a y c o n t r o l , g a i n s c h e d u l i n g a n d e v e n f u z z y c o n t r o l a s e x a m p l e s o f h y b r i d c o n -

t r o l s c h e m e s . T h e c o m m o n c h a r a c t e r i s t i c o f a l l t h e s e c o n t r o l s c h e m e s i s t h e i r

s w i t c h i n g n a t u r e ; o n t h e b a s i s o f t h e e v o l u t i o n o f t h e p l a n t ( t h e c o n t i n u o u s -

t i m e s y s t e m t o - b e - c o n t r o l l e d ) a n d / o r t h e p r o g r e s s o f t i m e t h e h y b r i d c o n t r o l l e r

s w i t c h e s f r o m o n e c o n t r o l r e g i m e t o a n o t h e r .

6 . 2 . 1 S w i t c h i n g l o g i c

O n e w a y o f f o r m a l i z i n g s w i t c h i n g c o n t r o l f o r a c o n t i n u o u s - t i m e i n p u t - s t a t e -

o u t p u t s y s t e m i s b y m e a n s o f F i g u r e 6 . 1 . H e r e t h e s u p e r v i s o r h a s t o d e c i d e o n

t h e b a s i s o f t h e i n p u t a n d o u t p u t s i g n a l s o f t h e s y s t e m , a n d p o s s i b l y e x t e r n a l

( r e f e r e n c e ) s i g n a l s o r t h e p r o g r e s s o f t i m e , w h i c h o f t h e , o r d i n a r y , c o n t i n u o u s -

t i m e c o n t r o l l e r s i s a p p l i e d t o t h e s y s t e m . T h e g u r e i n d i c a t e s a n i t e n u m b e r

o f c o n t r o l l e r s ; h o w e v e r , w e c o u l d a l s o h a v e a c o u n t a b l e s e t o f c o n t r o l l e r s . O f

c o u r s e t h e r e c o u l d i n f a c t b e a c o n t i n u u m o f c o n t r o l l e r s , b u t t h e n t h e r e s u l t i n g

c o n t r o l s c h e m e s w o u l d n o l o n g e r b e r e f e r r e d t o a s s w i t c h i n g c o n t r o l s c h e m e s .

I n m a n y c a s e s t h e d i e r e n t c o n t r o l l e r s c a n a l l b e g i v e n t h e s a m e s t a t e s p a c e

( s h a r e d s t a t e v a r i a b l e s ) , w h i c h l e a d s t o t h e s i m p l e r s w i t c h i n g c o n t r o l s t r u c t u r e

g i v e n i n F i g u r e 6 . 2 . I n t h i s c a s e t h e s u p e r v i s o r g e n e r a t e s a d i s c r e t e s y m b o l

c o r r e s p o n d i n g t o a c o n t r o l l e r

c

( ) p r o d u c i n g t h e c o n t r o l s i g n a l u

. A n

e x a m p l e o f a s w i t c h i n g c o n t r o l s c h e m e w a s a l r e a d y e n c o u n t e r e d i n S u b s e c t i o n

2 . 2 . 8 ( t h e s u p e r v i s o r m o d e l ) , i n w h i c h c a s e t h e s u p e r v i s o r i s a n i t e a u t o m a t o n

w h i c h p r o d u c e s c o n t r o l s i g n a l s o n t h e b a s i s o f t h e m e a s u r e m e n t o f t h e o u t p u t

o f t h e p l a n t a n d t h e d i s c r e t e s t a t e o f t h e a u t o m a t o n .

T h e s u p e r v i s o r i n F i g u r e s 6 . 1 a n d 6 . 2 i s s o m e t i m e s c a l l e d a s w i t c h i n g l o g i c .

O n e o f t h e m a i n p r o b l e m s i n t h e d e s i g n o f a s w i t c h i n g l o g i c i s t h a t u s u a l l y i t

i s n o t d e s i r a b l e t o h a v e \ c h a t t e r i n g " , t h a t i s , v e r y f a s t s w i t c h i n g . T h e r e a r e

b a s i c a l l y t w o w a y s t o s u p p r e s s c h a t t e r i n g : o n e i s s o m e t i m e s c a l l e d h y s t e r e s i s

s w i t c h i n g l o g i c a n d t h e o t h e r d w e l l - t i m e s w i t c h i n g l o g i c .

( H y s t e r e s i s s w i t c h i n g l o g i c ) .



6 . 2 . S w i t c h i n g c o n t r o l 1 4 1

m

C o n t r o l l e r

1

C o n t r o l l e r

2

s u p e r v i s o r

C o n t r o l l e r

m ? 1 p l a n t

C o n t r o l l e r

y u

u

1

u

2

u

m ? 1

u

m

F i g u r e 6 . 1 : S w i t c h i n g c o n t r o l

s

p l a n t

y u

s u p e r v i s o r

u

c

( )

F i g u r e 6 . 2 : S w i t c h i n g c o n t r o l w i t h s h a r e d c o n t r o l l e r s t a t e




C h o o s e h > 0 . S u p p o s e a t s o m e t i m e t

0

, t h e s u p e r v i s o r

s

h a s j u s t

c h a n g e d t h e v a l u e o f t o q . T h e n i s h e l d x e d a t t h e v a l u e q u n l e s s

a n d u n t i l t h e r e e x i s t s s o m e t

1

> t

0

a t w h i c h

p

+ h <

q

( o r ( 1 + h )

p

<

q

, i f a s c a l e - i n v a r i a n t c r i t e r i o n i s n e e d e d ) f o r s o m e p . I f t h i s o c c u r s

t h e n i s s e t e q u a l t o p . H e r e

d e n o t e s s o m e p e r f o r m a n c e c r i t e r i u m

d e p e n d i n g o n a n d s o m e s i g n a l d e r i v e d f r o m t h e i n p u t a n d t h e o u t p u t

s i g n a l s o f t h e c o n t i n u o u s - t i m e p l a n t , w h i c h i s u s e d i n t h e s w i t c h i n g l o g i c .

C l e a r l y , b e c a u s e o f t h e t r e s h o l d p a r a m e t e r h n o i n n i t e l y f a s t s w i t c h i n g

w i l l o c c u r . ( T h e i d e a i s s i m i l a r t o t h e u s e o f a b o u n d a r y l a y e r a r o u n d t h e

s w i t c h i n g s u r f a c e i n o r d e r t o a v o i d c h a t t e r i n g i n s l i d i n g m o d e c o n t r o l ;

s e e S u b s e c t i o n 6 . 2 . 3 . )

( D w e l l - t i m e s w i t c h i n g l o g i c ) .

T h e b a s i c i d e a i s t o h a v e s o m e x e d t i m e > 0 ( c a l l e d t h e d w e l l - t i m e )

s u c h t h a t , o n c e a s y m b o l i s c h o s e n b y t h e s u p e r v i s o r i t w i l l r e m a i n

c o n s t a n t f o r a t l e a s t a t i m e e q u a l t o . T h e r e a r e m a n y v e r s i o n s o f

d w e l l - t i m e s w i t c h i n g l o g i c s .

W e r e f e r t o 1 1 5 ] f o r f u r t h e r d e v e l o p m e n t s a n d o t h e r s w i t c h i n g l o g i c s c h e m e s .

F r o m a g e n e r a l h y b r i d s y s t e m p o i n t o f v i e w a c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m ( p l a n t )

c o n t r o l l e d b y s w i t c h i n g l o g i c i s a h y b r i d s y s t e m w i t h c o n t i n u o u s s t a t e c o r r e -

s p o n d i n g t o t h e c o n t i n u o u s s t a t e o f t h e p l a n t a n d t h e c o n t i n u o u s s t a t e o f t h e

c o n t r o l l e r , t o g e t h e r w i t h d i s c r e t e s t a t e s r e s i d i n g i n t h e c o n t r o l l e r . U s u a l l y , t h e

t r a n s i t i o n f r o m o n e d i s c r e t e s t a t e t o a n o t h e r w i l l n o t g i v e r i s e t o a j u m p i n

t h e c o n t i n u o u s s t a t e o f t h e p l a n t , a l t h o u g h i t c o u l d g i v e r i s e t o a j u m p i n t h e

c o n t i n u o u s s t a t e o f t h e c o n t r o l l e r ( \ r e s e t t i n g " t h e c o n t r o l l e r ) . S e e n f r o m t h i s

p o i n t o f v i e w i t i s c l e a r t h a t s w i t c h i n g c o n t r o l , a l t h o u g h b e i n g a v e r y g e n -

e r a l c o n c e p t , c e r t a i n l y d o e s n o t c o v e r a l l p o s s i b l e h y b r i d c o n t r o l s t r a t e g i e s f o r

c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s . I n f a c t , t h e f o l l o w i n g h y b r i d c o n t r o l e x a m p l e ( t a k e n

f r o m 1 6 3 ] ) e x h i b i t s j u m p s i n t h e c o n t r o l l e d p l a n t a n d t h e r e f o r e d o e s n o t t

w i t h i n t h e s w i t c h i n g c o n t r o l s c h e m e .

E x a m p l e 6 . 2 . 1 ( J u g g l i n g r o b o t ) . C o n s i d e r a o n e d e g r e e - o f - f r e e d o m j u g -

g l e r , i . e . , a s y s t e m c o m p o s e d o f a n o b j e c t ( a b a l l ) s u b j e c t t o g r a v i t y , w h i c h

b o u n c e s o n a c o n t r o l l e d m a s s ( a o n e d e g r e e - o f - f r e e d o m r o b o t ) .

m

1

y

1

=

? m

1

g

m

2

y

2

= ? m

2

g + u

y

1

? y

2

0

_y

1

( t

+

k

) ? _y

2

( t

+

k

) = ? e _y

1

( t

?

k

) ? _y

2

( t

?

k

) ]

( 6 . 2 1 )

w h e r e e

2 0 ; 1 ] i s N e w t o n ' s r e s t i t u t i o n c o e c i e n t ( s e e a l s o S u b s e c t i o n 2 . 2 . 3 ) .

H e r e y

1

r e p r e s e n t s t h e h e i g h t o f t h e b a l l , w h i l e y

2

r e p r e s e n t s t h e v e r t i c a l c o -

o r d i n a t e o f t h e j u g g l i n g r o b o t ( w h i c h i s c o n t r o l l e d b y u ) . T h e o n l y w a y o f

i n u e n c i n g t h e t r a j e c t o r y o f t h e b a l l i s t h r o u g h t h e i m p a c t s , i . e . , a t t h e t i m e s




t

k

s u c h t h a t y

1

( t

k

) ? y

2

( t

k

) = 0 , w h e n t h e v e l o c i t y o f t h e b a l l i s r e s e t d e p e n d i n g

o n i t s i n i t i a l v e l o c i t y a n d t h e i n i t i a l v e l o c i t y o f t h e r o b o t . N o t e t h a t i n o r d e r

t o c o m p u t e t h e v e l o c i t y o f t h e b a l l ( a n d o f t h e r o b o t ) j u s t a f t e r a n i m p a c t t i m e

o n e a l s o n e e d s t o i n v o k e t h e l a w o f c o n s e r v a t i o n o f m o m e n t u m , t h a t i s ,

m

1

_y

1

( t

?

k

) + m

2

_y

2

( t

?

k

) = m

1

_y

1

( t

+

k

) + m

2

_y

2

( t

+

k

) :

6 . 2 . 2 P W M c o n t r o l

I n s o m e a p p l i c a t i o n s o n e e n c o u n t e r s c o n t r o l s y s t e m s o f t h e f o l l o w i n g f o r m :

_x = f ( x ; u ) ; x 2 X ; u 2 U ; ( 6 . 2 2 )

w h e r e X i s s o m e c o n t i n u o u s s p a c e , s a y R

n

, w h i l e t h e i n p u t s p a c e U i s a n i t e

s p a c e ( o r , m o r e g e n e r a l l y , t h e p r o d u c t o f a c o n t i n u o u s a n d a n i t e s p a c e ) . A n

a p p e a l i n g c l a s s o f e x a m p l e s c o n s i s t s o f p o w e r c o n v e r t e r s , s e e e . g . S u b s e c t i o n

2 . 2 . 1 3 , w h e r e t h e d i s c r e t e i n p u t s c o r r e s p o n d t o t h e s w i t c h e s b e i n g c l o s e d o r

o p e n . S i n c e t h e i n p u t s p a c e i s n i t e s u c h s y s t e m s c a n b e c o n s i d e r e d a s a

s p e c i a l c a s e o f h y b r i d s y s t e m s .

I n s o m e c a s e s , f o r i n s t a n c e i n p o w e r c o n v e r t e r s , i t m a k e s s e n s e t o r e l a t e

t h e b e h a v i o r o f t h e s e h y b r i d s y s t e m s t o t h e b e h a v i o r o f a n a s s o c i a t e d c o n t r o l

s y s t e m w i t h c o n t i n u o u s i n p u t s , u s i n g t h e n o t i o n o f P u l s e W i d t h M o d u l a t i o n .

C o n s i d e r f o r c o n c r e t e n e s s a c o n t r o l s y s t e m w i t h U = f 0 ; 1 g , t h a t i s ,

_x = f ( x ; u ) ; u 2 f 0 ; 1 g : ( 6 . 2 3 )

T h e P u l s e W i d t h M o d u l a t i o n ( P W M ) c o n t r o l s c h e m e f o r ( 6 . 2 3 ) c a n b e d e -

s c r i b e d a s f o l l o w s . C o n s i d e r a s o - c a l l e d d u t y c y c l e o f x e d s m a l l d u r a t i o n .

O n e v e r y d u t y c y c l e t h e i n p u t u i s s w i t c h e d e x a c t l y o n e t i m e f r o m 1 t o 0 . T h e

f r a c t i o n o f t h e d u t y c y c l e o n w h i c h t h e i n p u t h o l d s t h e x e d v a l u e 1 i s k n o w n

a s t h e d u t y r a t i o a n d i s d e n o t e d b y . T h e d u t y r a t i o m a y a l s o d e p e n d o n t h e

s t a t e x ( o r , m o r e p r e c i s e l y , o n t h e v a l u e o f t h e s t a t e s a m p l e d a t t h e b e g i n n i n g

o f t h e d u t y c y c l e ) . O n e v e r y d u t y c y c l e t ; t + ] t h e i n p u t i s t h e r e f o r e d e n e d

b y

u ( ) = 1 ; f o r t < t +

u ( ) = 0 ; f o r t +

< t +

( 6 . 2 4 )

I t f o l l o w s t h a t t h e s t a t e x a t t h e e n d o f t h i s d u t y c y c l e i s g i v e n b y

x ( t + ) = x ( t ) +

Z

t +

t

f ( x ( ) ; 1 ) d +

Z

t +

t +

f ( x ( ) ; 0 ) d ( 6 . 2 5 )

T h e i d e a l a v e r a g e d m o d e l o f t h e P W M c o n t r o l l e d s y s t e m i s o b t a i n e d b y l e t t i n g

t h e d u t y c y c l e d u r a t i o n g o t o z e r o . I n t h e l i m i t , t h e a b o v e f o r m u l a ( 6 . 2 5 )

t h e n y i e l d s

_x ( t ) = l i m

! 0

x ( t + ) ? x ( t )

= f ( x ( t ) ; 1 ) + ( 1 ? ) f ( x ( t ) ; 0 ) ( 6 . 2 6 )




T h e d u t y r a t i o c a n b e t h o u g h t o f a s a c o n t i n u o u s - v a l u e d i n p u t , t a k i n g i t s

v a l u e s i n t h e i n t e r v a l 0 ; 1 ] . H e n c e f o r s u c i e n t l y s m a l l t h e t r a j e c t o r i e s o f

t h e c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m ( 6 . 2 6 ) w i l l b e c l o s e t o t r a j e c t o r i e s o f t h e h y b r i d

s y s t e m ( 6 . 2 3 ) . N o t e t h a t i n g e n e r a l t h e f u l l b e h a v i o r o f t h e h y b r i d s y s t e m

( 6 . 2 3 ) w i l l b e r i c h e r t h a n t h a t o f ( 6 . 2 6 ) ; n o t e v e r y t r a j e c t o r y o f ( 6 . 2 3 ) c a n b e

a p p r o x i m a t e d b y t r a j e c t o r i e s o f ( 6 . 2 6 ) .

T h e P u l s e W i d t h M o d u l a t i o n c o n t r o l s c h e m e o r i g i n a t e s f r o m t h e c o n t r o l

o f s w i t c h i n g p o w e r c o n v e r t e r s , w h e r e u s u a l l y i t i s r e a s o n a b l e t o a s s u m e t h a t

t h e s w i t c h e s c a n b e o p e n e d ( u = 0 ) a n d c l o s e d ( u = 1 ) s u c i e n t l y f a s t a t a n y

r a t i o 2 0 ; 1 ] .

A s i m i l a r a n a l y s i s c a n b e p e r f o r m e d f o r a c o n t r o l s y s t e m ( 6 . 2 3 ) w i t h a r b i -

t r a r y n i t e i n p u t s p a c e U R

m

. T h e n t h e P W M - a s s o c i a t e d c o n t i n u o u s - t i m e

s y s t e m h a s c o n t i n u o u s i n p u t s t a k i n g v a l u e s i n t h e c o n v e x h u l l o f U .

6 . 2 . 3 S l i d i n g m o d e c o n t r o l

A c l a s s i c a l e x a m p l e o f s w i t c h i n g c o n t r o l i s v a r i a b l e s t r u c t u r e c o n t r o l , a s a l r e a d y

p a r t l y d i s c u s s e d i n S u b s e c t i o n 2 . 2 . 7 a n d C h a p t e r 3 . C o n s i d e r a c o n t r o l s y s t e m

d e s c r i b e d b y e q u a t i o n s o f t h e f o r m

_x ( t ) = f ( x ( t ) ; u ( t ) )

w h e r e u i s t h e ( s c a l a r ) c o n t r o l i n p u t . S u p p o s e t h a t a s w i t c h i n g c o n t r o l

s c h e m e i s e m p l o y e d t h a t u s e s a s t a t e f e e d b a c k l a w u ( t ) =

+

( x ( t ) ) w h e n

t h e s c a l a r v a r i a b l e y ( t ) d e n e d b y y ( t ) = h ( x ( t ) ) i s p o s i t i v e a n d a f e e d b a c k

u ( t ) =

?

( x ( t ) ) w h e n e v e r y ( t ) i s n e g a t i v e . W r i t i n g f

+

( x ) = f ( x ;

+

( x ) ) a n d

f

?

( x ) = f ( x ;

?

( x ) ) , w e o b t a i n a d y n a m i c a l s y s t e m t h a t o b e y s t h e e q u a -

t i o n _x ( t ) = f

+

( x ( t ) ) o n t h e s u b s e t w h e r e h ( x ) i s p o s i t i v e , a n d t h a t f o l -

l o w s _x ( t ) = f

?

( x ( t ) ) o n t h e s u b s e t w h e r e h ( x ) i s n e g a t i v e . T h e s u r f a c e

f x j h ( x ) = 0 g i s c a l l e d t h e s w i t c h i n g s u r f a c e . T h e e q u a t i o n s c a n b e t a k e n

t o g e t h e r i n t h e f o r m ( s e e ( 3 . 3 ) )

_x =

1

2

( 1 + v ) f

+

( x ) +

1

2

( 1 ? v ) f

?

( x ) ; v = s g n ( h ( x ) ) ( 6 . 2 7 )

T h e e x t e n s i o n t o m u l t i v a r i a b l e i n p u t s u a n d o u t p u t s y i s s t r a i g h t f o r w a r d .

S o l u t i o n s i n F i l i p p o v ' s s e n s e ( c f . C h a p t e r 3 ) c a n b e u s e d i n t h e s i t u a t i o n i n

w h i c h t h e r e i s a \ c h a t t e r i n g " b e h a v i o r a r o u n d t h e s w i t c h i n g s u r f a c e h ( x ) = 0 .

T h e r e s u l t i n g s o l u t i o n s w i l l r e m a i n o n t h e s w i t c h i n g s u r f a c e f o r s o m e t i m e .

F o r s y s t e m s o f t h e f o r m ( 6 . 2 7 ) , w h e r e v i s t h e i n p u t , t h e d i e r e n t s o l u t i o n

n o t i o n s d i s c u s s e d b y F i l i p p o v a l l l e a d t o t h e s a m e s o l u t i o n , w h i c h i s m o s t e a s i l y

d e s c r i b e d u s i n g t h e c o n c e p t o f t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l v

e q

( x ) . T h e e q u i v a l e n t

c o n t r o l i s d e n e d a s t h e f u n c t i o n o f t h e s t a t e x , w i t h v a l u e s i n t h e i n t e r v a l

? 1 ; 1 ] , t h a t i s s u c h t h a t t h e v e c t o r e l d d e n e d b y

_x ( t ) =

1

2

( 1 + v

e q

( x ) ) f

+

( x ) +

1

2

( 1 ? v

e q

( x ) ) f

?

( x )

l e a v e s t h e s w i t c h i n g s u r f a c e h ( x ) = 0 i n v a r i a n t ( s e e C h a p t e r 3 f o r f u r t h e r

d i s c u s s i o n ) .




I n s l i d i n g m o d e c o n t r o l , o r b r i e y , s l i d i n g c o n t r o l , t h e t h e o r y o f v a r i a b l e

s t r u c t u r e s y s t e m s i s a c t u a l l y t a k e n a s t h e s t a r t i n g p o i n t f o r c o n t r o l d e s i g n .

I n d e e d , s o m e s c a l a r v a r i a b l e s d e p e n d i n g o n t h e s t a t e x a n d p o s s i b l y t h e t i m e

t i s c o n s i d e r e d s u c h t h a t t h e s y s t e m h a s a \ d e s i r e d b e h a v i o r " w h e n e v e r t h e

c o n s t r a i n t s = 0 i s s a t i s e d . T h e s e t s = 0 i s c a l l e d t h e s l i d i n g s u r f a c e . N o w

a c o n t r o l l a w u i s s o u g h t s u c h t h a t t h e f o l l o w i n g s l i d i n g c o n d i t i o n i s s a t i s e d

( s e e e . g . 1 4 4 ] )

1

2

d

d t

s

2

? j s j ( 6 . 2 8 )

w h e r e i s a s t r i c t l y p o s i t i v e c o n s t a n t . E s s e n t i a l l y , ( 6 . 2 8 ) s t a t e s t h a t t h e

s q u a r e d \ d i s t a n c e " t o t h e s l i d i n g s u r f a c e , a s m e a s u r e d b y s

2

, d e c r e a s e s a l o n g

a l l s y s t e m t r a j e c t o r i e s . T h u s i t c o n s t r a i n t s t r a j e c t o r i e s t o p o i n t t o w a r d s t h e

s l i d i n g s u r f a c e . N o t e t h a t t h e l e f t h a n d s i d e c a n b e a l s o w r i t t e n a s s _s ; a m o r e

g e n e r a l s l i d i n g c o n d i t i o n c a n t h e r e f o r e b e f o r m u l a t e d a s d e s i g n i n g u s u c h t h a t

s _s < 0 f o r s 6= 0 .

T h e m e t h o d o l o g y o f s l i d i n g c o n t r o l c a n b e b e s t d e m o n s t r a t e d b y g i v i n g a

t y p i c a l e x a m p l e .

E x a m p l e 6 . 2 . 2 . C o n s i d e r t h e s e c o n d - o r d e r s y s t e m

q = f ( q ; _q ) + u

w h e r e u i s t h e c o n t r o l i n p u t , q i s t h e s c a l a r v a r i a b l e o f i n t e r e s t ( e . g . t h e p o s i t i o n

o f a m e c h a n i c a l s y s t e m ) , a n d t h e d y n a m i c s d e s c r i b e d b y f ( p o s s i b l y n o n - l i n e a r

o r t i m e - v a r y i n g ) i s n o t e x a c t l y k n o w n , b u t e s t i m a t e d b y

̂

f . T h e e s t i m a t i o n

e r r o r o n f i s a s s u m e d t o b e b o u n d e d b y s o m e k n o w n f u n c t i o n F ( q ; _q ) :

j

̂

f ? f j F :

I n o r d e r t o h a v e t h e s y s t e m t r a c k s o m e d e s i r e d t r a j e c t o r y q ( t ) = q

d

( t ) , w e

d e n e a s l i d i n g s u r f a c e s = 0 w i t h

s = _e + e

w h e r e e = q

? q

d

i s t h e t r a c k i n g e r r o r , a n d t h e c o n s t a n t > 0 i s s u c h t h a t t h e

e r r o r d y n a m i c s s = 0 h a s d e s i r a b l e p r o p e r t i e s ( e . g . s u c i e n t l y f a s t c o n v e r g e n c e

o f t h e e r r o r t o z e r o ) . W e t h e n h a v e

_s = f + u

? q

d

+ _e :

T h e b e s t a p p r o x i m a t i o n ^ u o f a c o n t i n u o u s c o n t r o l l a w t h a t w o u l d a c h i e v e _s = 0

i s t h e r e f o r e

̂u = ?

̂

f + q

d

? _e :

N o t e t h a t ^ u c a n b e i n t e r p r e t e d a s o u r b e s t e s t i m a t e o f t h e e q u i v a l e n t c o n t r o l .

I n o r d e r t o s a t i s f y t h e s l i d i n g c o n d i t i o n ( 6 . 2 8 ) w e a d d t o ^ u a t e r m t h a t i s

d i s c o n t i n u o u s a c r o s s t h e s l i d i n g s u r f a c e :

u = ̂u ? k s g n s ( 6 . 2 9 )




w h e r e s g n i s t h e s i g n u m f u n c t i o n d e n e d i n ( 1 . 1 3 ) . B y c h o o s i n g k i n ( 6 . 2 9 )

l a r g e e n o u g h w e c a n g u a r a n t e e t h a t t h e s l i d i n g c o n d i t i o n ( 6 . 2 8 ) i s s a t i s e d .

I n d e e d , w e m a y t a k e k = F + . N o t e t h a t t h e c o n t r o l d i s c o n t i n u i t y k a c r o s s

t h e s l i d i n g s u r f a c e s = 0 i n c r e a s e s w i t h t h e e x t e n t o f p a r a m e t r i c u n c e r t a i n t y

F .

T h e o c c u r r e n c e o f a s l i d i n g m o d e m a y n o t b e d e s i r a b l e f r o m a n e n g i n e e r i n g

p o i n t o f v i e w ; d e p e n d i n g o n t h e a c t u a l i m p l e m e n t a t i o n o f t h e s w i t c h i n g m e c h -

a n i s m , a q u i c k s u c c e s s i o n o f s w i t c h e s m a y o c c u r w h i c h m a y l e a d t o i n c r e a s e d

w e a r a n d t o h i g h - f r e q u e n c y v i b r a t i o n s i n t h e s y s t e m . H e n c e f o r t h e a c t u a l

i m p l e m e n t a t i o n o f s l i d i n g m o d e c o n t r o l i t i s u s u a l l y n e e d e d , i n o r d e r t o a v o i d

v e r y f a s t s w i t c h i n g , t o e m b e d t h e s l i d i n g s u r f a c e i n a t h i n b o u n d a r y l a y e r , s u c h

t h a t s w i t c h i n g w i l l o n l y o c c u r o u t s i d e t h i s b o u n d a r y l a y e r ( h y s t e r e s i s s w i t c h i n g

l o g i c ) . F u r t h e r m o r e , t h e d i s c o n t i n u i t y s g n s i n t h e c o n t r o l l a w c a n b e f u r t h e r

s m o o t h e n e d , s a y , b y r e p l a c i n g s g n b y a s t e e p s i g m o i d f u n c t i o n . O f c o u r s e , s u c h

m o d i c a t i o n s m a y d e t e r i o r a t e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m .

O n e o f t h e m a i n a d v a n t a g e s o f s l i d i n g m o d e c o n t r o l , i n a d d i t i o n t o i t s c o n -

c e p t u a l s i m p l i c i t y , i s i t s r o b u s t n e s s w i t h r e s p e c t t o u n c e r t a i n t y i n t h e s y s t e m

d a t a . A p o s s i b l e d i s a d v a n t a g e i s t h e e x c i t a t i o n o f u n m o d e l e d h i g h - f r e q u e n c y

m o d e s .

6 . 2 . 4 Q u a d r a t i c s t a b i l i z a t i o n b y s w i t c h i n g c o n t r o l

I n c o n t i n u a t i o n o f o u r d i s c u s s i o n o f q u a d r a t i c s t a b i l i t y i n C h a p t e r 5 , l e t u s n o w

c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f q u a d r a t i c s t a b i l i z a t i o n o f a m u l t i - m o d a l l i n e a r s y s t e m

_x = A

i

x ; i 2 I ; x 2 R

n

( 6 . 3 0 )

w h e r e I i s s o m e n i t e i n d e x s e t . T h e p r o b l e m i s t o n d a s w i t c h i n g r u l e s u c h

t h a t t h e c o n t r o l l e d s y s t e m h a s a s i n g l e q u a d r a t i c L y a p u n o v f u n c t i o n x

T

P x . I t

i s n o t d i c u l t t o s h o w t h a t t h i s p r o b l e m c a n b e s o l v e d i f t h e r e e x i s t s a c o n v e x

c o m b i n a t i o n o f t h e m a t r i c e s A

i

, i 2 I , w h i c h i s H u r w i t z ( c o m p a r e w i t h t h e

c o r r e s p o n d i n g d i s c u s s i o n i n C h a p t e r 5 , S u b s e c t i o n 5 . 2 . 3 ) . T o v e r i f y t h i s c l a i m ,

a s s u m e t h a t t h e m a t r i x

A : =

X

i

A

i

(

i

0 ;

P

i

= 1 ) ( 6 . 3 1 )

i s H u r w i t z . T a k e a p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x Q , a n d l e t P b e t h e s o l u t i o n o f

t h e L y a p u n o v e q u a t i o n A

T

P + P A = ? Q ; b e c a u s e A i s H u r w i t z , P i s p o s i t i v e

d e n i t e . L e t n o w x b e a n a r b i t r a r y n o n z e r o v e c t o r . F r o m x

T

( A

T

P + P A ) x < 0

i t f o l l o w s t h a t

X

i

i

x

T

( A

T

i

P + P A

i

) x ] < 0 : ( 6 . 3 2 )

B e c a u s e a l l t h e

i

a r e n o n n e g a t i v e , i t f o l l o w s t h a t a t l e a s t o n e o f t h e n u m -

b e r s x

T

( A

T

i

P + P A

i

) x m u s t b e n e g a t i v e , a n d i n f a c t w e o b t a i n t h e s t r o n g e r



6 . 3 . H y b r i d f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n 1 4 7

s t a t e m e n t

i 2 I

f x j x

T

( A

T

i

P + P A

i

) x ?

1

N

x

T

Q x g = R

n

( 6 . 3 3 )

w h e r e N d e n o t e s t h e n u m b e r o f m o d e s .

I t i s c l e a r h o w a s w i t c h i n g r u l e f o r ( 6 . 3 0 ) m a y b e c h o s e n s u c h t h a t a s y m p -

t o t i c s t a b i l i t y i s a c h i e v e d ; f o r i n s t a n c e t h e r u l e

i ( x ) : = a r g m i n x

T

( A

T

i

P + P A

i

) x ( 6 . 3 4 )

i s a n o b v i o u s c h o i c e .

T h e m i n i m u m r u l e ( 6 . 3 4 ) i n d e e d l e a d s t o a n a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e s y s t e m ,

w h i c h i s w e l l - d e n e d i f o n e e x t e n d s t h e n u m b e r o f d i s c r e t e s t a t e s s o a s t o

i n c l u d e p o s s i b l e s l i d i n g m o d e s . T o a v o i d s l i d i n g m o d e s , t h e m i n i m u m r u l e

m a y b e a d a p t e d s o t h a t t h e r e g i o n s i n w h i c h d i e r e n t m o d e s a r e a c t i v e w i l l

o v e r l a p r a t h e r t h a n j u s t t o u c h . F o r i n s t a n c e , a m o d i e d s w i t c h i n g r u l e ( b a s e d

o n h y s t e r e s i s s w i t c h i n g l o g i c ) m a y b e c h o s e n w h i c h i s s u c h t h a t t h e s y s t e m

w i l l s t a y i n m o d e i a s l o n g a s t h e c o n t i n u o u s s t a t e x s a t i s e s

x

T

( A

T

i

P + P A

i

) x ?

1

2 N

x

T

Q x : ( 6 . 3 5 )

W h e n t h e b o u n d i n ( 6 . 3 5 ) i s r e a c h e d , a s w i t c h w i l l t a k e p l a c e t o a n e w m o d e

j t h a t m a y f o r i n s t a n c e b e d e t e r m i n e d b y t h e m i n i m u m r u l e . A t t h e t i m e

a t w h i c h t h e n e w m o d e j i s e n t e r e d , t h e n u m b e r x

T

( A

T

j

P + P A

j

) x m u s t b e

l e s s t h a n o r e q u a l t o ?

1

N

x

T

Q x . S u p p o s e t h a t t h e s w i t c h t o m o d e j o c c u r s a t

c o n t i n u o u s s t a t e x

0

. T h e t i m e u n t i l t h e n e x t m o d e s w i t c h i s g i v e n b y

j

( x

0

) = m i n f t 0 j x

T

0

e

t A

T

j

A

T

j

P + P A

j

+

1

2 N

Q ] e

t A

j

x

0

0 g ( 6 . 3 6 )

( t a k e n t o b e i n n i t y i f t h e s e t o v e r w h i c h t h e m i n i m u m i s t a k e n i s e m p t y ) .

N o t e t h a t

j

( x

0

) i s p o s i t i v e , i t s d e p e n d e n c e o n x

0

i s l o w e r s e m i - c o n t i n u o u s ,

a n d s a t i s e s

j

( x

0

) =

j

( x

0

) f o r a l l n o n z e r o r e a l . T h e r e f o r e t h e r e i s a

p o s i t i v e l o w e r b o u n d t o t h e t i m e t h e s y s t e m w i l l s t a y i n m o d e j , n a m e l y

T

j

: = m i n f

j

( x

0

) j k x

0

k = 1 ; x

T

0

( A

T

i

P + P A

i

) x

0

= ?

1

2 N

x

T

0

Q x

0

g :

( 6 . 3 7 )

S o u n d e r t h i s s w i t c h i n g s t r a t e g y t h e s y s t e m i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e a n d t h e r e

w i l l b e n o c h a t t e r i n g .

6 . 3 H y b r i d f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n

I n t h i s s e c t i o n w e t r e a t a f e w e x a m p l e s o f ( s i m p l e ) c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s

t h a t c a n b e s t a b i l i z e d b y h y b r i d f e e d b a c k , s o a s t o i l l u s t r a t e t h e p o t e n t i a l o f

h y b r i d f e e d b a c k s c h e m e s .




6 . 3 . 1 E n e r g y d e c r e a s e b y h y b r i d f e e d b a c k

F i r s t w e c o n s i d e r t h e w e l l - k n o w n h a r m o n i c o s c i l l a t o r , w i t h e q u a t i o n s g i v e n a s

( a f t e r a n o r m a l i z a t i o n o f t h e c o n s t a n t s )

_q = v

_v = ? q + u

y = q

( 6 . 3 8 )

I t i s w e l l - k n o w n t h a t t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r c a n n o t b e a s y m p t o t i c a l l y s t a b i -

l i z e d u s i n g s t a t i c o u t p u t f e e d b a c k . H o w e v e r , s i n c e t h e s y s t e m i s c o n t r o l l a b l e

a n d o b s e r v a b l e , i t c a n b e a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e d u s i n g d y n a m i c o u t p u t f e e d -

b a c k . ( O n e o p t i o n i s t o b u i l d a n o b s e r v e r f o r t h e s y s t e m , a n d t o s u b s t i t u t e

t h e e s t i m a t e o f t h e s t a t e p r o d u c e d b y t h i s o b s e r v e r i n t o t h e a s y m p t o t i c a l l y

s t a b i l i z i n g s t a t e f e e d b a c k l a w . ) A s a n i l l u s t r a t i o n o f t h e n o v e l a s p e c t s c r e a t e d

b y h y b r i d c o n t r o l s t r a t e g i e s , w e w i l l s h o w ( b a s e d o n 9 ] ) t h a t t h e h a r m o n i c

o s c i l l a t o r c a n b e a l s o a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e d b y a h y b r i d s t a t i c o u t p u t f e e d -

b a c k .

E x a m p l e 6 . 3 . 1 . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g c o n t r o l l e r a u t o m a t o n f o r t h e h a r -

m o n i c o s c i l l a t o r . I t c o n s i s t s o f t w o l o c a t i o n s , d e n o t e d + a n d ? . I n e a c h

l o c a t i o n w e d e n e a c o n t i n u o u s s t a t i c o u t p u t f e e d b a c k u

+

( q ) , r e s p e c t i v e l y

u

?

( q ) b y

u

+

( q ) =

8

<

:

0 f o r q 0

? 3 q f o r q < 0

( 6 . 3 9 )

a n d

u

?

( q ) =

8

<

:

? 3 q f o r q 0

0 f o r q < 0

( 6 . 4 0 )

F u r t h e r m o r e , w e d e n e a d w e l l - t i m e T

+

, r e s p e c t i v e l y T

?

f o r e a c h l o c a t i o n ,

w h i c h s p e c i e s h o w l o n g t h e c o n t r o l l e r w i l l r e m a i n i n a l o c a t i o n b e f o r e a t r a n -

s i t i o n i s m a d e , e i t h e r t o t h e o t h e r o r t o t h e s a m e l o c a t i o n . T h e v a l u e o f q a t

t h e t r a n s i t i o n t i m e i s d e n o t e d b y q

t r

. T h e c o n t r o l l e r a u t o m a t o n i s d e p i c t e d i n

F i g u r e 6 . 3 .

T o v e r i f y t h a t s u c h a h y b r i d f e e d b a c k a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e s ( 6 . 3 8 ) , c o n -

s i d e r t h e e n e r g y f u n c t i o n H ( q ; p ) =

1

2

( q

2

+ v

2

) . I n t h e r e g i o n w h e r e u = 0

t h e r e i s n o c h a n g e i n t h e e n e r g y . W h e n u ( q ) = ? 3 q , t h e t i m e - d e r i v a t i v e o f t h e

e n e r g y a l o n g t h e s o l u t i o n i s

d

d t

(

1

2

( q

2

( t ) + v

2

( t ) ) ) = ? 3 q ( t ) v ( t )

s o t h a t t h e e n e r g y d e c r e a s e s i f q v > 0 . A s s h o w n i n F i g u r e 6 . 3 , a f t e r a

t r a n s i t i o n t h e i n p u t u =

? 3 q i s i n o p e r a t i o n o n l y w h e n t h e s i g n o f q ( t )

v ( t )




T

?

=

3

4

u

?

( q )

?

q

t r

< 0

u

+

( q )

T

+

=

3

4

+

q

t r

0

q

t r

< 0

q

t r

0

F i g u r e 6 . 3 : H y b r i d f e e d b a c k f o r t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r

c h a n g e s f r o m n e g a t i v e t o p o s i t i v e , a n d t h e n f o r a t m o s t

3

4

t i m e u n i t s , i n w h i c h

q ( t ) v ( t ) r e m a i n s p o s i t i v e . ( N o t e t h a t w i t h u = ? 3 q t h e s o l u t i o n s q ( t ) a n d

v ( t ) o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m a r e s h i f t e d s i n u s o i d s w i t h f r e q u e n c y 2 ; h e n c e

t h e p r o d u c t q ( t ) v ( t ) i s a s h i f t e d s i n u s o i d w i t h f r e q u e n c y 4 . H o w e v e r , s i n c e

4

>

3

4

, q ( t ) v ( t ) w i l l n o t c h a n g e s i g n d u r i n g t h e t i m e t h e i n p u t u = ? 3 q i s i n

o p e r a t i o n . )

A n a l t e r n a t i v e a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z i n g h y b r i d f e e d b a c k , t h i s t i m e h a v -

i n g t h r e e l o c a t i o n s i s p r o v i d e d b y t h e f o l l o w i n g c o n t r o l l e r a u t o m a t o n d e p i c t e d

i n F i g u r e 6 . 4 , w i t h > 0 s m a l l . I n o r d e r t o v e r i f y t h a t t h i s h y b r i d f e e d -

q

t r

0

q

t r

< 0

q

t r

< 0

u = ? 3 q

T

?

=

d

q

t r

0

+

q

t r

0 q

t r

< 0

?

T

d

=

4

? 2

u = 0

T

+

=

u = 0

F i g u r e 6 . 4 : A n a l t e r n a t i v e h y b r i d f e e d b a c k

b a c k a l s o s t a b i l i z e s t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r , c o n s i d e r a g a i n t h e t o t a l e n e r g y

H ( q ; v ) =

1

2

( q

2

+ v

2

) . A t t h e l o c a t i o n s + a n d ? t h e r e i s n o c h a n g e i n e n e r g y .

T h e s e t w o l o c a t i o n s s e r v e t o d e t e c t a s h i f t o f q f r o m p o s i t i v e t o n e g a t i v e i n

t h e c a s e o f l o c a t i o n + , a n d f r o m n e g a t i v e t o p o s i t i v e i n t h e c a s e o f l o c a t i o n




? . I n b o t h c a s e s t h e c h a n g e i n s i g n w i l l o c c u r w i t h i n a b o u n d e d n u m b e r o f

t r a n s i t i o n p e r i o d s . T h e n t h e l o c a t i o n i s s h i f t e d t o d , w h i c h s e r v e s a s a d i s s i -

p a t i o n l o c a t i o n . F u r t h e r m o r e , s i n c e d u r i n g b o t h + a n d ? t h e t r a j e c t o r y t u r n s

c l o c k w i s e , w h e n d i s s w i t c h e d o n , t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s t a r t s a t e i t h e r t h e r s t

o r t h e t h i r d o r t h a n t ( i . e . q v > 0 ) , a n d s i n c e T

d

=

4

? 2 , t h e s o l u t i o n

s t a y s i n t h a t o r t h a n t a s l o n g a s d i s o n . F u r t h e r m o r e , w h e n t h e l o c a t i o n d i s

r e a c h e d a f t e r a t r a n s i t i o n , t h e r e i s a l o s s o f o r d e r o f

3

4

o f t h e e n e r g y ( u p t o )

b e f o r e o n e o f t h e l o c a t i o n s + o r ? i s s w i t c h e d o n , d e p e n d i n g o n w h e t h e r q 0

o r q < 0 , a n d t h e s e a r c h f o r t h e c h a n g e o f t h e s i g n s t a r t s a g a i n . A l l i n a l l ,

o n c e + i s o n w i t h q 0 , o r ? i s o n w i t h q < 0 , t h e h y b r i d t r a j e c t o r y p a s s e s

t h r o u g h d i n n i t e l y o f t e n , w i t h b o u n d e d g a p s b e t w e e n o c c u r r e n c e s , a n d e a c h

t i m e t h e r e i s a p r o p o r t i o n a l l o s s o f e n e r g y o f o r d e r c l o s e t o

3

4

. T h e c o n c l u s i o n

i s t h a t H ( q ; v ) t e n d s t o z e r o , u n i f o r m l y f o r q ( 0 ) ; v ( 0 ) i n a c o m p a c t s e t . T h i s

p r o v e s t h e a s y m p t o t i c s t a b i l i z a t i o n , p r o v i d e d t h e h y b r i d i n i t i a l c o n d i t i o n s a t -

i s e s q 0 i n l o c a t i o n + , o r q < 0 i n l o c a t i o n ? . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o c h e c k

t h a t s t a r t i n g f r o m a n a r b i t r a r y i n i t i a l c o n d i t i o n , t h e h y b r i d t r a j e c t o r y r e a c h e s

o n e o f t h e s e s i t u a t i o n s w i t h i n a n i n t e r v a l o f l e n g t h

2

, a n d t h u s a s y m p t o t i c

s t a b i l i t y i s s h o w n .

T h e m a i n d i e r e n c e b e t w e e n b o t h h y b r i d f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n s c h e m e s i s

t h a t i n t h e r s t c a s e w e h a d o n l y t w o l o c a t i o n s w i t h a n o n l i n e a r c o n t r o l , w h i l e

i n t h e s e c o n d c a s e w e o n l y e m p l o y l i n e a r f e e d b a c k a t t h e p r i c e o f h a v i n g t h r e e

l o c a t i o n s . F u r t h e r m o r e , o n e c o u l d c o m p a r e t h e c o n v e r g e n c e a n d r o b u s t n e s s

p r o p e r t i e s o f b o t h s c h e m e s , a s w e l l a s c o m p a r e t h e t w o s c h e m e s w i t h a d y n a m i c

a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z i n g o u t p u t f e e d b a c k .

A s a p r e l i m i n a r y c o n c l u s i o n o f t h i s s u b s e c t i o n w e n o t e t h a t t h e a b o v e h y -

b r i d f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n s t r a t e g i e s f o r t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r a r e b a s e d o n

e n e r g y c o n s i d e r a t i o n s . I n d e e d , t h e h y b r i d f e e d b a c k s c h e m e s w e r e c o n s t r u c t e d

i n s u c h a m a n n e r t h a t t h e e n e r g y i s a l w a y s n o n - i n c r e a s i n g a l o n g t h e h y b r i d

t r a j e c t o r i e s . T h e d i c u l t y o f t h e a c t u a l p r o o f o f a s y m p t o t i c s t a b i l i t y l i e s i n

s h o w i n g t h a t t h e e n e r g y i s i n d e e d i n a l l c a s e s n o n - i n c r e a s i n g , a n d t h a t m o r e -

o v e r e v e n t u a l l y a l l e n e r g y i s d i s s i p a t e d . ( T h e i d e a i s s o m e w h a t s i m i l a r t o

L a S a l l e ' s v e r s i o n o f L y a p u n o v s t a b i l i t y t h e o r y : t h e L y a p u n o v f u n c t i o n s h o u l d

b e a l w a y s n o n - i n c r e a s i n g a l o n g t r a j e c t o r i e s , w h i l e t h e r e s h o u l d b e n o n o n -

t r i v i a l i n v a r i a n t s e t s w h e r e t h e L y a p u n o v f u n c t i o n r e m a i n s c o n s t a n t . ) T h e

t o o l s f o r s h o w i n g t h i s , h o w e v e r , a r e r a t h e r a d h o c . F u r t h e r m o r e , t h e r e i s n o t

y e t a s y s t e m a t i c p r o c e d u r e t o c o n s t r u c t h y b r i d f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n s t r a t e -

g i e s . T h e m a i n p r o b l e m s e e m s t o b e t h a t i n t h e h y b r i d c a s e w e d o n o t h a v e

a n e x p l i c i t e x p r e s s i o n o f t h e e n e r g y d e c r e a s e a n a l o g o u s t o t h e t i m e - d e r i v a t i v e

d

d t

H =

@ H

@ x

( x ) f ( x ; u ) o f t h e e n e r g y H f o r a c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m _x = f ( x ; u ) .

C l e a r l y , t h e i d e a o f a n o n - i n c r e a s i n g e n e r g y c a n b e e x t e n d e d f r o m p h y s i c a l

e n e r g y f u n c t i o n s H t o g e n e r a l L y a p u n o v f u n c t i o n s V ( w i t h t h e u b i q u i t o u s

d i c u l t y o f n d i n g f e a s i b l e L y a p u n o v f u n c t i o n s ) . T h e s e t t i n g s e e m s s o m e w h a t

s i m i l a r t o t h e u s e o f c o n t r o l L y a p u n o v f u n c t i o n s i n t h e f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n

o f n o n l i n e a r c o n t r o l s y s t e m s , s e e e . g . 1 4 3 ] .




6 . 3 . 2 S t a b i l i z a t i o n o f n o n h o l o n o m i c s y s t e m s

W h i l e t h e a b o v e e x a m p l e o f s t a b i l i z i n g a h a r m o n i c o s c i l l a t o r b y h y b r i d s t a t i c

o u t p u t f e e d b a c k m a y n o t s e e m v e r y c o n v i n c i n g , s i n c e t h e g o a l c o u l d b e a l s o

r e a c h e d b y o t h e r m e a n s , w e n o w t u r n t o a d i e r e n t c l a s s o f s y s t e m s w h e r e

t h e u s e f u l n e s s o f h y b r i d f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n s c h e m e s i s i m m e d i a t e l y c l e a r .

I n d e e d , l e t u s c o n s i d e r t h e e x a m p l e o f t h e n o n h o l o n o m i c i n t e g r a t o r

_x = u

_y = v

_z = x v ? y u

( 6 . 4 1 )

w h e r e u a n d v d e n o t e t h e c o n t r o l s . T o i n d i c a t e t h e p h y s i c a l s i g n i c a n c e o f

t h i s s y s t e m i t c a n b e s h o w n t h a t a n y k i n e m a t i c c o m p l e t e l y n o n - h o l o n o m i c

m e c h a n i c a l s y s t e m w i t h t h r e e s t a t e s a n d t w o i n p u t s c a n b e c o n v e r t e d i n t o t h i s

f o r m ( s e e e . g . 1 1 8 ] ) .

T h e n o n h o l o n o m i c i n t e g r a t o r i s t h e p r o t o t y p e o f a n o n l i n e a r s y s t e m , w h i c h

i s c o n t r o l l a b l e , b u t n e v e r t h e l e s s c a n n o t b e a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e d u s i n g c o n -

t i n u o u s s t a t e f e e d b a c k ( s t a t i c o r d y n a m i c ) . T h e r e a s o n i s t h a t t h e n o n h o l o -

n o m i c i n t e g r a t o r v i o l a t e s w h a t i s c a l l e d B r o c k e t t ' s n e c e s s a r y c o n d i t i o n 2 9 ] ,

w h i c h i s f o r m u l a t e d i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

T h e o r e m 6 . 3 . 2 . C o n s i d e r t h e c o n t r o l s y s t e m

_x = f ( x ; u ) ; x 2 R

n

; u 2 R

m

; f ( 0 ; 0 ) = 0 ; ( 6 . 4 2 )

w h e r e f i s a C

1

f u n c t i o n . I f ( 6 . 4 2 ) i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z a b l e ( a b o u t 0 ) u s i n g

a c o n t i n u o u s f e e d b a c k l a w u = ( x ) , t h e n t h e i m a g e o f e v e r y o p e n n e i g h b o r h o o d

o f ( 0 ; 0 ) u n d e r f c o n t a i n s a n o p e n n e i g h b o r h o o d o f 0 .

R e m a r k 6 . 3 . 3 . S i n c e w e a l l o w f o r c o n t i n u o u s f e e d b a c k l a w s ( i n s t e a d o f C

1

o r l o c a l l y L i p s c h i t z f e e d b a c k l a w s ) s o m e c a r e s h o u l d b e t a k e n i n c o n n e c t i o n

w i t h t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m .

I t i s r e a d i l y s e e n t h a t t h e n o n h o l o n o m i c i n t e g r a t o r d o e s n o t s a t i s f y t h e

c o n d i t i o n m e n t i o n e d i n T h e o r e m 6 . 3 . 2 ( B r o c k e t t ' s n e c e s s a r y c o n d i t i o n ) , d e -

s p i t e t h e f a c t t h a t i t i s c o n t r o l l a b l e ( a s c a n b e r a t h e r e a s i l y s e e n ) . I n d e e d ,

( 0 ; 0 ; ) 62 I m ( f ) f o r a n y 6= 0 , a n d s o t h e n o n h o l o n o m i c i n t e g r a t o r c a n n o t b e

s t a b i l i z e d b y a t i m e - i n v a r i a n t c o n t i n u o u s f e e d b a c k .

I n f a c t , t h e n o n h o l o n o m i c i n t e g r a t o r i s a n e x a m p l e o f a w h o l e c l a s s o f

s y s t e m s , s h a r i n g t h e s a m e p r o p e r t y . F o r e x a m p l e , a c t u a t e d m e c h a n i c a l s y s t e m s

s u b j e c t t o n o n h o l o n o m i c k i n e m a t i c c o n s t r a i n t s ( l i k e r o l l i n g w i t h o u t s l i p p i n g )

d o n o t s a t i s f y B r o c k e t t ' s n e c e s s a r y c o n d i t i o n , b u t a r e o f t e n c o n t r o l l a b l e .

F o r t h e n o n h o l o n o m i c i n t e g r a t o r w e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s l i d i n g m o d e

c o n t r o l l a w ( t a k e n f r o m 2 1 ] ) :

u = ? x + y s g n z

v = ? y ? x s g n z

( 6 . 4 3 )




C o n s i d e r a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e ( x ; y ) - s u b s p a c e :

V ( x ; y ) =

1

2

( x

2

+ y

2

)

T h e t i m e - d e r i v a t i v e o f V a l o n g t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m ( 6 . 4 1 {

6 . 4 3 ) i s n e g a t i v e :

_

V = ? x

2

+ x y s g n z ? y

2

? x y s g n z = ? ( x

2

+ y

2

) = ? 2 V : ( 6 . 4 4 )

I t a l r e a d y f o l l o w s t h a t t h e v a r i a b l e s x ; y c o n v e r g e t o z e r o . N o w l e t u s c o n s i d e r

t h e v a r i a b l e z . U s i n g e q u a t i o n s ( 6 . 4 1 { 6 . 4 3 ) w e o b t a i n

_z = x v ? y u = ? ( x

2

+ y

2

) s g n z = ? 2 V s g n z ( 6 . 4 5 )

S i n c e V d o e s n o t d e p e n d o n z a n d i s a p o s i t i v e f u n c t i o n o f t i m e , t h e a b s o l u t e

v a l u e o f t h e v a r i a b l e z w i l l t h u s d e c r e a s e a n d w i l l b e a b l e t o r e a c h z e r o i n n i t e

t i m e p r o v i d e d t h e i n e q u a l i t y

2

Z

1

0

V ( ) d > j z ( 0 ) j ( 6 . 4 6 )

h o l d s . I f t h i s i n e q u a l i t y i s a n e q u a l i t y , t h e n z ( t ) c o n v e r g e s t o t h e o r i g i n i n

i n n i t e t i m e . O t h e r w i s e , i t c o n v e r g e s t o s o m e c o n s t a n t n o n - z e r o v a l u e t h a t

h a s t h e s a m e s i g n a s z ( 0 ) . A f t e r r e a c h i n g z e r o z ( t ) w i l l r e m a i n t h e r e , s i n c e

a c c o r d i n g t o ( 6 . 4 5 ) , a l l t r a j e c t o r i e s a r e d i r e c t e d t o w a r d s t h e s u r f a c e z = 0 ( t h e

s l i d i n g s u r f a c e ) , w h i l e x a n d y a l w a y s c o n v e r g e t o t h e o r i g i n w h i l e w i t h i n t h i s

s u r f a c e .

F r o m ( 6 . 4 4 ) i t f o l l o w s t h a t

V ( t ) = V ( 0 ) e

? 2 t

=

1

2

( x

2

( 0 ) + y

2

( 0 ) ) e

? 2 t

:

S u b s t i t u t i n g t h i s e x p r e s s i o n i n ( 6 . 4 6 ) a n d i n t e g r a t i n g , w e n d t h a t t h e c o n d i -

t i o n f o r t h e s y s t e m t o b e a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e i s t h a t

1

2

( x

2

( 0 ) + y

2

( 0 ) ) j z ( 0 ) j :

T h e i n e q u a l i t y

1

2

( x

2

+ y

2

) < j z j ( 6 . 4 7 )

d e n e s a p a r a b o l i c r e g i o n i n t h e s t a t e s p a c e . T h e a b o v e d e r i v a t i o n i s s u m m a -

r i z e d i n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

T h e o r e m 6 . 3 . 4 . I f t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r t h e s y s t e m ( 6 . 4 1 ) d o n o t b e l o n g

t o t h e r e g i o n d e n e d b y ( 6 . 4 7 ) , t h e n t h e c o n t r o l ( 6 . 4 3 ) a s y m p t o t i c a l l y s t a b i l i z e s

t h e s y s t e m .




I f t h e i n i t i a l d a t a a r e i n s i d e t h e p a r a b o l i c r e g i o n d e n e d b y ( 6 . 4 7 ) , w e c a n

u s e a n y c o n t r o l l a w t h a t r s t s t e e r s i t o u t s i d e . I n f a c t , a n y n o n z e r o c o n s t a n t

c o n t r o l c a n b e a p p l i e d . N a m e l y , i f u = u

0

= c o n s t , v = v

0

= c o n s t , t h e n

x ( t ) = u

0

t + x

0

y ( t ) = v

0

t + y

0

z ( t ) = x ( t ) v

0

? y ( t ) u

0

= t ( x

0

v

0

? y

0

u

0

) + z

0

W i t h s u c h x , y a n d z t h e l e f t h a n d s i d e o f ( 6 . 4 7 ) i s q u a d r a t i c w i t h r e s p e c t t o

t i m e t , w h i l e t h e r i g h t h a n d s i d e i s l i n e a r . H e n c e , t h e s t a t e w i l l a l w a y s l e a v e t h e

p a r a b o l i c r e g i o n d e n e d b y ( 6 . 4 7 ) , a n d t h e n w e s w i t c h t o t h e c o n t r o l g i v e n b y

( 6 . 4 3 ) . N o t e t h a t t h e r e s u l t i n g c o n t r o l s t r a t e g y i s i n h e r e n t l y h y b r i d i n n a t u r e :

r s t w e a p p l y t h e c o n s t a n t c o n t r o l u = u

0

, v = v

0

i f t h e s t a t e b e l o n g s t o t h e

p a r a b o l i c r e g i o n d e n e d b y ( 6 . 4 7 ) , a n d i f t h e s y s t e m i s o u t s i d e t h i s r e g i o n t h e n

w e s w i t c h t o t h e s l i d i n g c o n t r o l ( 6 . 4 3 ) .

A p o s s i b l e d r a w b a c k o f t h e a b o v e h y b r i d f e e d b a c k s c h e m e i s c a u s e d b y t h e

a p p l i c a t i o n o f s l i d i n g c o n t r o l : i n p r i n c i p l e w e w i l l g e t c h a t t e r i n g a r o u n d t h e

s l i d i n g s u r f a c e z = 0 . A l t h o u g h t h i s c a n b e r e m e d i e d w i t h t h e u s u a l t o o l s i n

s l i d i n g c o n t r o l ( e . g . p u t t i n g a b o u n d a r y l a y e r a r o u n d t h e s l i d i n g s u r f a c e , o r

a p p r o x i m a t i n g t h e s g n f u n c t i o n b y a s t e e p s i g m o i d f u n c t i o n ) , i t m o t i v a t e s t h e

s e a r c h f o r a n a l t e r n a t i v e h y b r i d f e e d b a c k s c h e m e t h a t c o m p l e t e l y a v o i d s t h e

c h a t t e r i n g b e h a v i o r .

R e m a r k 6 . 3 . 5 . A n a l t e r n a t i v e s l i d i n g m o d e f e e d b a c k l a w c a n b e f o r m u l a t e d

a s f o l l o w s :

u = ? x +

y

x

2

+ y

2

s g n z

v = ? y ?

x

x

2

+ y

2

s g n z :

( 6 . 4 8 )

T h i s f e e d b a c k w i l l r e s u l t i n t h e s a m e e q u a t i o n ( 6 . 4 4 ) f o r t h e t i m e - d e r i v a t i v e o f

V , w h i l e t h e e q u a t i o n ( 6 . 4 5 ) f o r t h e t i m e - d e r i v a t i v e o f z i s i m p r o v e d t o

_z = ? s g n z : ( 6 . 4 9 )

O f c o u r s e , t h e p r i c e t h a t n e e d s t o b e p a i d f o r t h i s m o r e f a v o r a b l e b e h a v i o r i s

t h a t t h e c o n t r o l ( 6 . 4 8 ) i s u n b o u n d e d f o r x

2

+ y

2

t e n d i n g t o z e r o .

I n c o n n e c t i o n t o t h e a b o v e h y b r i d f e e d b a c k s c h e m e s ( 6 . 4 3 ) a n d ( 6 . 4 8 ) w e

c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g a l t e r n a t i v e s c h e m e , t a k e n f r o m 7 7 , 7 8 ] . L e t q = ( x ; y ; z ) ,

a n d d e n e W ( q ) = ( w

1

( q ) ; w

2

( q ) ) 2 R

2

b y

w

1

( q ) = z

2

w

2

( q ) = x

2

+ y

2




W e n o w d e n e f o u r r e g i o n s i n R

2

, a n d c o n s t r u c t t h e f o l l o w i n g h y b r i d f e e d -

b a c k w i t h f o u r l o c a t i o n s .

1 . P i c k f o u r c o n t i n u o u s f u n c t i o n s

k

: 0 ; 1 ) ! R ; k 2 I = f 1 ; 2 ; 3 ; 4 g w i t h

t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s .

( a )

k

( 0 ) = 0 f o r e a c h k 2 f 1 ; 2 ; 3 ; 4 g .

( b ) f o r e a c h k 2 f 1 ; 2 ; 3 ; 4 g a n d f o r a l l w > 0

0 <

1

( w ) <

2

( w ) <

3

( w ) <

4

( w ) :

( c )

1

a n d

2

a r e b o u n d e d .

( d )

1

i s s u c h t h a t i f w ! 0 e x p o n e n t i a l l y f a s t t h e n

w

1

( w )

! 0 e x p o -

n e n t i a l l y f a s t .

( e )

4

i s d i e r e n t i a b l e o n s o m e n o n - e m p t y , h a l f - o p e n i n t e r v a l ( 0 ; c ] a n d

d

4

d w

( w ) <

4

( w )

w

; w 2 ( 0 ; c ] :

M o r e o v e r , i f w ! 0 e x p o n e n t i a l l y f a s t , t h e n

4

( w ) ! 0 e x p o n e n -

t i a l l y f a s t .

2 . P a r t i t i o n t h e c l o s e d p o s i t i v e q u a d r a n t R

2

i n t o f o u r o v e r l a p p i n g

r e g i o n s

R

1

= f ( w

1

; w

2

) 2 : 0 w

2

<

2

( w

1

) g

R

2

= f ( w

1

; w

2

) 2 :

1

( w

1

) < w

2

<

4

( w

1

) g

R

3

= f ( w

1

; w

2

) 2 : w

2

>

3

( w

1

) g

R

4

= f ( 0 ; 0 ) g :

3 . D e n e t h e c o n t r o l l a w

( u ( t ) ; v ( t ) )

T

= g

( t )

( q ( t ) )

w h e r e ( t ) i s a p i e c e w i s e c o n s t a n t s w i t c h i n g s i g n a l t a k i n g v a l u e s i n I =

f 1 ; 2 ; 3 ; 4

g a n d

g

1

( q ) =

2

4

1

1

3

5

g

2

( q ) =

2

6

6

4

x +

y z

x

2

+ y

2

y ?

x z

x

2

+ y

2

3

7

7

5




g

3

( q ) =

2

6

6

4

? x +

y z

x

2

+ y

2

? y ?

x z

x

2

+ y

2

3

7

7

5

g

4

( q ) =

2

4

0

0

3

5

:

T h e s i g n a l ( t ) i s d e n e d t o b e c o n t i n u o u s f r o m t h e r i g h t a n d i s d e t e r -

m i n e d r e c u r s i v e l y b y

( t ) = ( q ( t ) ;

?

( t ) ) ;

?

( t

0

) =

0

2 I

w h e r e

?

( t ) d e n o t e s t h e l i m i t o f ( t ) f r o m b e l o w a n d : R

3

I ! I i s

t h e t r a n s i t i o n f u n c t i o n

( q ; ) =

8

<

:

i f W ( q )

2 R

m a x f k 2 I : W ( q ) 2 R

k

g o t h e r w i s e

A t y p i c a l e x a m p l e i s o b t a i n e d b y t a k i n g

1

( w

1

) = ( 1 ? e

?

p

w

1

) ,

2

= 2

1

,

3

= 3

1

, a n d

4

= 4

1

. T h e r e s u l t i n g r e g i o n s R

1

; R

2

a n d R

3

a r e s h o w n i n

F i g u r e 6 . 5 .

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

w

2

3

4

1

w

1

2

R

1

R

2

R

3

F i g u r e 6 . 5 : A t y p i c a l p a r t i t i o n o f

A l t h o u g h t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s n o t g l o b a l l y L i p s c h i t z , g l o b a l e x i s t e n c e

o f s o l u t i o n s c a n b e e a s i l y e s t a b l i s h e d . I n d e e d , s i m p l e c a l c u l a t i o n s s h o w t h a t

_w

1

2 w

1

+ w

2

; _w

2

2 w

2

+ 2 :

S i n c e t h e b o u n d s f o r t h e r i g h t - h a n d s i d e s o f t h e a b o v e e q u a t i o n s a r e g l o b a l l y

L i p s c h i t z w i t h r e s p e c t t o w

1

a n d w

2

, t h e s e v a r i a b l e s a n d t h e i r d e r i v a t i v e s a r e

b o u n d e d o n a n y n i t e i n t e r v a l , f r o m w h i c h t h e g l o b a l e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s

c a n b e e s t a b l i s h e d ( s e e 7 8 ] f o r d e t a i l s ) . N o t e t h a t i f w e s t a r t i n r e g i o n R

1

,

t h e n w e a p p l y t h e c o n s t a n t c o n t r o l u = 1 a n d v = 1 a s i n t h e p r e v i o u s h y b r i d




s l i d i n g m o d e d e s i g n . F o r t h e s a m e r e a s o n a s g i v e n a b o v e , t h i s w i l l l e a d u s t o

t h e r e g i o n R

2

. F u r t h e r m o r e , i f t h e s w i t c h i n g s i g n a l i s e q u a l t o 2 o r 3 w e o b t a i n

( c o m p a r e w i t h ( 6 . 4 9 ) )

_w

1

= ? 2 w

1

a n d s o w

1

, a n d h e n c e z , w i l l c o n v e r g e t o z e r o . D e t a i l e d a n a l y s i s ( c f . 7 8 ] )

i n d e e d s h o w s t h i s t o h a p p e n , a n d m o r e o v e r s h o w s t h a t a l s o x a n d y c o n v e r g e

t o z e r o . T h e c o n v e r g e n c e o f a l l v a r i a b l e s i s e x p o n e n t i a l .

L e t u s t r y t o s u m m a r i z e w h a t w e h a v e l e a r n e d f r o m t h i s e x a m p l e o f h y b r i d

f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n o f a n o n h o l o n o m i c s y s t e m . A s a g e n e r a l r e m a r k , t h e r e

s e e m s t o b e a t t h e m o m e n t n o g e n e r a l d e s i g n m e t h o d o l o g y f o r c o n s t r u c t i n g

h y b r i d f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n s c h e m e s . T h e r s t s c h e m e f o r a s y m p t o t i c s t a b i -

l i z a t i o n o f t h e n o n h o l o n o m i c i n t e g r a t o r t h a t w e d i s c u s s e d i s b a s e d o n s l i d i n g

c o n t r o l , w h i l e a l s o t h e s e c o n d s c h e m e t a k e s m u c h i n s p i r a t i o n f r o m s u c h s l i d i n g

c o n t r o l s c h e m e s . H o w e v e r i t i s n o t e a s y t o e x t r a c t a s y s t e m a t i c d e s i g n m e t h o d -

o l o g y f r o m t h i s e x a m p l e . F u r t h e r m o r e , t h e a c t u a l p r o o f s t h a t t h e p r o p o s e d

h y b r i d f e e d b a c k s c h e m e s d o w o r k a r e t y p i c a l l y c o m p l i c a t e d a n d r a t h e r a d h o c .

6 . 3 . 3 S e t - p o i n t r e g u l a t i o n o f m e c h a n i c a l s y s t e m s b y e n -

e r g y i n j e c t i o n

I n a n a l o g y w i t h S u b s e c t i o n 6 . 3 . 1 l e t u s c o n t i n u e w i t h h y b r i d f e e d b a c k s t r a t e g i e s

t h a t a r e b a s e d o n e n e r g y c o n s i d e r a t i o n s . I n s t e a d o f d e c r e a s i n g t h e e n e r g y o f

t h e s y s t e m i n b r i n g i n g t h e s y s t e m t o a d e s i r e d r e s t c o n g u r a t i o n , t h e r e a r e

a l s o c a s e s w h e r e a c t u a l l y w e l i k e t o \ i n j e c t " e n e r g y i n t o t h e s y s t e m i n a n

e c i e n t m a n n e r . A t y p i c a l e x a m p l e o f t h i s i s t o s w i n g u p a p e n d u l u m f r o m

i t s h a n g i n g p o s i t i o n t o t h e u p r i g h t p o s i t i o n , c f . 1 0 ] . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n

o f a p e n d u l u m a r e g i v e n b y

J

p

? m g l s i n + m u l c o s = 0 : ( 6 . 5 0 )

H e r e m d e n o t e s t h e m a s s o f t h e p e n d u l u m , c o n c e n t r a t e d a t t h e e n d , l d e n o t e s

t h e l e n g t h , a n d J

p

i s t h e m o m e n t o f i n e r t i a w i t h r e s p e c t t o t h e p i v o t p o i n t .

T h e a n g l e b e t w e e n t h e v e r t i c a l a n d t h e p e n d u l u m i s d e n o t e d b y , w h e r e i s

p o s i t i v e i n t h e c l o c k w i s e d i r e c t i o n . T h e a c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y i s g a n d t h e

h o r i z o n t a l a c c e l e r a t i o n o f t h e p i v o t p o i n t i s u . N o t e t h a t t h e l i n e a r i z e d s y s t e m s

a r e c o n t r o l l a b l e , e x c e p t w h e n =

2

o r ?

2

, i . e . e x c e p t w h e n t h e p e n d u l u m i s

h o r i z o n t a l . O n e w a y t o s w i n g t h e p e n d u l u m t o i t s u p r i g h t p o s i t i o n i s t o i n j e c t

i n t o t h e s y s t e m a n a m o u n t o f e n e r g y s u c h t h a t t h e t o t a l e n e r g y c o r r e s p o n d s t o

t h e p o t e n t i a l e n e r g y o f t h e u p r i g h t p o s i t i o n . O n c e t h e p e n d u l u m i s s u c i e n t l y

c l o s e t o t h e u p r i g h t p o s i t i o n o n e t h e n s w i t c h e s t o a ( s a y , l i n e a r ) c o n t r o l l e r i n

o r d e r t o k e e p t h e s y s t e m n e a r t h i s u p r i g h t e q u i l i b r i u m | s o t h i s i s a l r e a d y a

s w i t c h i n g c o n t r o l s t r a t e g y ! T h e e n e r g y o f t h e s y s t e m i s g i v e n b y

E =

1

2

J

p

_

2

+ m g l c o s ( 6 . 5 1 )




C o m p u t i n g t h e d e r i v a t i v e o f E w i t h r e s p e c t t o t i m e w e n d

d E

d t

= J

p

_

? m g l

_

s i n = m u l

_

c o s ( 6 . 5 2 )

I t f o l l o w s f r o m ( 6 . 5 2 ) t h a t i t i s e a s y t o c o n t r o l t h e e n e r g y . O n l y f o r

_

c o s = 0 ,

t h a t i s , f o r

_

= 0 , =

2

, o r = ?

2

, c o n t r o l l a b i l i t y o f t h e e n e r g y i n c r e a s e

i s l o s t . P h y s i c a l l y t h e s e s i n g u l a r s t a t e s c o r r e s p o n d t o t h e c a s e w h e n t h e p e n -

d u l u m r e v e r s e s i t s v e l o c i t y o r w h e n i t i s h o r i z o n t a l . C o n t r o l a c t i o n i s m o s t

e e c t i v e w h e n t h e a n g l e i s c l o s e t o 0 o r a n d t h e v e l o c i t y i s l a r g e . T o i n -

c r e a s e e n e r g y t h e h o r i z o n t a l a c c e l e r a t i o n o f t h e p i v o t u s h o u l d b e p o s i t i v e w h e n

t h e q u a n t i t y

_

c o s i s n e g a t i v e . T o c h a n g e t h e e n e r g y a s q u i c k l y a s p o s s i b l e

t h e m a g n i t u d e o f t h e c o n t r o l s i g n a l s h o u l d b e a s l a r g e a s p o s s i b l e .

L e t t h e d e s i r e d e n e r g y b e E

0

. T h e f o l l o w i n g s l i d i n g c o n t r o l l a w i s a s i m p l e

s t r a t e g y f o r a c h i e v i n g t h e d e s i r e d e n e r g y :

u = s a t

c

( k ( E

? E

0

) ) s g n (

_

c o s ) ( 6 . 5 3 )

w h e r e k i s a d e s i g n p a r a m e t e r . I n t h i s e x p r e s s i o n t h e f u n c t i o n s a t

c

s a t u r a t e s

t h e c o n t r o l a c t i o n a t t h e l e v e l c . T h e s t r a t e g y i s e s s e n t i a l l y a b a n g - b a n g

s t r a t e g y f o r l a r g e e r r o r s a n d a p r o p o r t i o n a l c o n t r o l f o r s m a l l e r r o r s . F o r l a r g e

v a l u e s o f k t h e s t r a t e g y ( 6 . 5 3 ) i s a r b i t r a r i l y c l o s e t o t h e s t r a t e g y t h a t g i v e s t h e

m a x i m u m i n c r e a s e o f e n e r g y .

L e t u s n o w d i s c u s s s t r a t e g i e s f o r b r i n g i n g t h e p e n d u l u m f r o m r e s t i n d o w n -

w a r d p o s i t i o n t o a s t a t i o n a r y p o s i t i o n i n t h e u p r i g h t e q u i l i b r i u m . T h e p o t e n t i a l

e n e r g y o f t h e p e n d u l u m i s n o r m a l i z e d t o b e z e r o a t t h e u p r i g h t p o s i t i o n a n d

i s t h u s e q u a l t o ? 2 m g l a t t h e d o w n w a r d p o s i t i o n . O n e w a y t o s w i n g u p t h e

p e n d u l u m i s t h e r e f o r e t o c o n t r o l i t i n s u c h a w a y t h a t i t s e n e r g y i n c r e a s e s f r o m

? 2 m g l t o 0 . A v e r y s i m p l e s t r a t e g y t o a c h i e v e t h i s i s a s f o l l o w s . A c c e l e r a t e

t h e p e n d u l u m w i t h m a x i m u m a c c e l e r a t i o n i n a n a r b i t r a r y d i r e c t i o n a n d r e -

v e r s e t h e a c c e l e r a t i o n w h e n t h e v e l o c i t y b e c o m e s z e r o . I t c a n b e s e e n t h a t t h i s

s t r a t e g y i s o p t i m a l a s l o n g a s t h e p e n d u l u m d o e s n o t r e a c h t h e h o r i z o n t a l p o -

s i t i o n , b e c a u s e i t f o l l o w s f r o m ( 6 . 5 2 ) t h a t t h e a c c e l e r a t i o n s h o u l d b e r e v e r s e d

w h e n t h e p e n d u l u m r e a c h e s t h e h o r i z o n t a l p o s i t i o n .

T h e b e h a v i o r o f t h e s w i n g d e p e n d s c r i t i c a l l y o n t h e m a x i m u m a c c e l e r a t i o n

c o f t h e p i v o t . I f c i s l a r g e e n o u g h t h e p e n d u l u m c a n b e b r o u g h t u p i n o n e

s w i n g , b u t o t h e r w i s e m u l t i p l e s w i n g s a r e r e q u i r e d .

I n f a c t i t c a n b e s e e n t h a t i f c 2 g t h e n o n e s w i n g i s s u c i e n t b y r s t

u s i n g t h e m a x i m u m a c c e l e r a t i o n u n t i l t h e d e s i r e d e n e r g y i s o b t a i n e d , a n d t h e n

s e t t i n g t h e a c c e l e r a t i o n t o z e r o . ( N o t e t h a t w i t h c = 2 g t h i s c o m e s d o w n t o

m a x i m u m a c c e l e r a t i o n u n t i l t h e p e n d u l u m i s h o r i z o n t a l , a n d t h e n s w i t c h i n g

o t h e a c c e l e r a t i o n . ) H o w e v e r , u s i n g m o r e t h a n t w o s w i t c h e s a s a b o v e , i t

c a n b e s e e n t h a t i t i s p o s s i b l e t o b r i n g t h e p e n d u l u m i n u p r i g h t p o s i t i o n i f

4

3

g

c < 2 g . I n f a c t , i f c =

4

3

g t h e n w e m a x i m a l l y a c c e l e r a t e t i l l t h e p e n d u l u m

i s h o r i z o n t a l , a n d t h e n w e m a x i m a l l y r e v e r s e t h e a c c e l e r a t i o n u n t i l t h e d e s i r e d

e n e r g y i s r e a c h e d , a t w h i c h m o m e n t w e s e t t h e a c c e l e r a t i o n e q u a l t o z e r o .

I t i s i n t e r e s t i n g t o c o m p a r e t h e s e e n e r g y - b a s e d s w i t c h i n g s t r a t e g i e s w i t h

m i n i m u m t i m e s t r a t e g i e s . I n d e e d , f r o m P o n t r y a g i n ' s M a x i m u m p r i n c i p l e i t




f o l l o w s t h a t m i n i m u m t i m e s t r a t e g i e s f o r j u j b o u n d e d b y c a r e o f b a n g - b a n g

t y p e a s w e l l . I t c a n b e s h o w n t h a t t h e s e s t r a t e g i e s a l s o h a v e a n i c e i n t e r p r e -

t a t i o n i n t e r m s o f e n e r g y . T h e y w i l l i n j e c t e n e r g y i n t o t h e p e n d u l u m a t a

m a x i m u m r a t e a n d t h e n r e m o v e e n e r g y a t m a x i m u m r a t e i n s u c h a w a y t h a t

t h e e n e r g y c o r r e s p o n d s t o t h e e q u i l i b r i u m e n e r g y a t t h e m o m e n t w h e n t h e

u p r i g h t p o s i t i o n i s r e a c h e d . I n f a c t , f o r s m a l l v a l u e s o f c t h e m i n i m u m - t i m e

s t r a t e g i e s p r o d u c e c o n t r o l s i g n a l s t h a t a t r s t a r e i d e n t i c a l t o t h o s e p r o d u c e d

b y t h e e n e r g y - b a s e d s t r a t e g i e s . T h e n a l p a r t o f t h e c o n t r o l s i g n a l s , h o w e v e r ,

i s d i e r e n t , b e c a u s e t h e e n e r g y - b a s e d c o n t r o l s t r a t e g i e s w i l l s e t t h e a c c e l e r a -

t i o n e q u a l t o z e r o w h e n t h e d e s i r e d e n e r g y h a s b e e n o b t a i n e d , w h i l e i n t h e

m i n i m u m - t i m e s t r a t e g i e s t h e r e i s a n \ o v e r s h o o t " i n t h e e n e r g y .

I n p r i n c i p l e , t h e s a m e r e a s o n i n g c a n b e u s e d f o r s e t - p o i n t r e g u l a t i o n o f

o t h e r m e c h a n i c a l s y s t e m s .


S e c t i o n 6 . 1 i s m a i n l y b a s e d o n 9 9 ] a n d 1 0 2 ] . T h e t h e o r y o f c o n t r o l l e d i n v a r i -

a n c e f o r l i n e a r s y s t e m s c a n b e f o u n d i n 1 6 0 ] , 1 5 ] , a n d f o r t h e n o n l i n e a r c a s e

e . g . i n 1 2 1 ] . I n a m o r e g e n e r a l c o n t e x t t h e p r o p e r t y o f c o n t r o l l e d i n v a r i a n c e

h a s b e e n s t u d i e d a s \ v i a b i l i t y t h e o r y " , c f . 1 1 ] . C o n c e p t u a l l y v e r y m u c h r e -

l a t e d w o r k i n t h e a r e a o f d i s c r e t e - e v e n t s y s t e m s i s t h e w o r k o f W o n h a m a n d

c o - w o r k e r s , s e e e . g . 1 3 2 ] , 1 4 9 ] . F o r o p t i m a l c o n t r o l o f h y b r i d s y s t e m s , i n p a r -

t i c u l a r t h e e x t e n s i o n o f t h e M a x i m u m P r i n c i p l e t o t h e h y b r i d c a s e , w e r e f e r

t o 1 4 7 ] . S u b s e c t i o n 6 . 2 . 1 i s l a r g e l y b a s e d o n 1 1 5 ] , w h i l e p a r t o f S u b s e c t i o n

6 . 2 . 3 i s b a s e d o n t h e e x p o s i t i o n o f s l i d i n g m o d e c o n t r o l i n 1 4 4 ] . T h e r e i s a

s u b s t a n t i a l b o d y o f l i t e r a t u r e o n t h e t o p i c o f q u a d r a t i c s t a b i l i z a t i o n t h a t w e

t o u c h e d u p o n i n S u b s e c t i o n 6 . 2 . 4 . A f e w r e f e r e n c e s a r e 1 0 3 ] , 1 2 8 ] , a n d 1 5 4 ]

w h e r e t h e s w i t c h i n g r u l e a c c o r d i n g t o ( 6 . 3 5 ) i s s u g g e s t e d . S u b s e c t i o n 6 . 3 . 1 i s

t a k e n f r o m 9 ] . T h e r s t p a r t o f S u b s e c t i o n 6 . 3 . 2 i s b a s e d o n 2 1 ] , s e e a l s o 2 2 ] .

T h e s e c o n d p a r t o f S u b s e c t i o n 6 . 3 . 2 i s b a s e d o n 7 8 ] , s e e a l s o 7 7 ] . F i n a l l y ,

S u b s e c t i o n 6 . 3 . 3 i s b a s e d o n 1 0 ] . O f c o u r s e , t h e r e i s m u c h a d d i t i o n a l w o r k

o n t h e c o n t r o l o f h y b r i d s y s t e m s t h a t w e d i d n o t d i s c u s s h e r e . F o r f u r t h e r

i n f o r m a t i o n t h e r e a d e r m a y r e f e r t o t h e p a p e r s i n t h e r e c e n t s p e c i a l i s s u e s 7 ]

a n d 1 1 6 ] . A s u r v e y o f h y b r i d s y s t e m s i n p r o c e s s c o n t r o l i s a v a i l a b l e i n 9 4 ] .



B i b l i o g r a p h y

1 ] R . A l u r , C . C o u r c o u b e t i s , N . H a l b w a c h s , T . A . H e n z i n g e r , P . - H . H o ,

X . N i c o l l i n , A . O l i v e r o , J . S i f a k i s , a n d S . Y o v i n e . T h e a l g o r i t h m i c a n a l -

y s i s o f h y b r i d s y s t e m s . T h e o r e t i c a l C o m p u t e r S c i e n c e , 1 3 8 : 3 { 3 4 , 1 9 9 5 .

2 ] R . A l u r a n d D . L . D i l l . A t h e o r y o f t i m e d a u t o m a t a . T h e o r e t i c a l C o m -

p u t e r S c i e n c e , 1 2 6 : 1 8 3 { 2 3 5 , 1 9 9 4 .

3 ] R . A l u r , T . A . H e n z i n g e r , a n d E . D . S o n t a g , e d s . H y b r i d S y s t e m s I I I .

L e c t . N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 1 0 6 6 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 6 .

4 ] A . A n d r o n o v a n d C . C h a i k i n . T h e o r y o f O s c i l l a t i o n s . P r i n c e t o n U n i v .

P r e s s , P r i n c e t o n , N J , 1 9 4 9 .

5 ] P . A n t s a k l i s , W . K o h n , A . N e r o d e , a n d S . S a s t r y , e d s . H y b r i d S y s t e m s

I I . L e c t . N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 7 3 6 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 5 .

6 ] P . A n t s a k l i s , W . K o h n , A . N e r o d e , a n d S . S a s t r y , e d s . H y b r i d S y s t e m s

I V . L e c t . N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 1 3 8 6 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 7 .

7 ] P . A n t s a k l i s a n d A . N e r o d e , g u e s t e d s . S p e c i a l I s s u e o n H y b r i d C o n t r o l

S y s t e m s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 4 3 ( 4 ) , A p r i l 1 9 9 8 .

8 ] P . J . A n t s a k l i s , J . A . S t i v e r , a n d M . D . L e m m o n . H y b r i d s y s t e m m o d -

e l i n g a n d a u t o n o m o u s c o n t r o l s y s t e m s . I n H y b r i d S y s t e m s ( R . L . G r o s s -

m a n , A . N e r o d e , A . P . R a v n , a n d H . R i s c h e l e d s . ) , L e c t . N o t e s . C o m p .

S c i . , v o l . 7 3 6 , S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 9 3 , p p . 3 6 6 { 3 9 2 .

9 ] Z . A r t s t e i n . E x a m p l e s o f s t a b i l i z a t i o n w i t h h y b r i d f e e d b a c k . I n H y b r i d

S y s t e m s I I I ( R . A l u r , T . A . H e n z i n g e r , a n d E . D . S o n t a g e d s . ) , L e c t .

N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 1 0 6 6 , S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 9 6 , p p . 1 7 3 { 1 8 5 .

1 0 ] K . J .

A s t r o m a n d K . F u r u t a . S w i n g i n g u p a p e n d u l u m b y e n e r g y c o n t r o l .

I n P r o c . 1 3 t h I F A C W o r l d C o n g r e s s , V o l . E , 1 9 9 6 , p p . 3 7 { 4 2 .

1 1 ] J . - P . A u b i n . V i a b i l i t y T h e o r y . B i r k h a u s e r , B o s t o n , 1 9 9 1 .

1 2 ] J . - P . A u b i n a n d A . C e l l i n a . D i e r e n t i a l I n c l u s i o n s : S e t - v a l u e d M a p s a n d

V i a b i l i t y T h e o r y . S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 8 4 .

1 5 9



1 6 0 B i b l i o g r a p h y

1 3 ] F . B a c c e l l i , G . C o h e n , G . J . O l s d e r , a n d J . P . Q u a d r a t . S y n c h r o n i z a t i o n

a n d L i n e a r i t y . W i l e y , N e w Y o r k , 1 9 9 2 .

1 4 ] T . B a s a r a n d G . J . O l s d e r . D y n a m i c N o n - c o o p e r a t i v e G a m e T h e o r y ( 2 n d

e d . ) . A c a d e m i c P r e s s , B o s t o n , 1 9 9 5 .

1 5 ] G . B a s i l e a n d G . M a r r o . C o n t r o l l e d a n d C o n d i t i o n e d I n v a r i a n t s i n L i n e a r

S y s t e m T h e o r y . P r e n t i c e H a l l , E n g l e w o o d C l i s , N J , 1 9 9 2 .

1 6 ] A . B e m p o r a d a n d M . M o r a r i . C o n t r o l o f s y s t e m s i n t e g r a t i n g l o g i c , d y -

n a m i c s , a n d c o n s t r a i n t s . A u t o m a t i c a , 3 5 : 4 0 7 { 4 2 8 , 1 9 9 9 .

1 7 ] A . B e n v e n i s t e . C o m p o s i t i o n a l a n d u n i f o r m m o d e l l i n g o f h y b r i d s y s t e m s .

I n P r o c . 3 5 t h I E E E C o n f . D e c . C o n t r . , K o b e , J a p a n , D e c . 1 9 9 6 , p p .

1 5 3 { 1 5 8 .

1 8 ] A . B e n v e n i s t e . C o m p o s i t i o n a l a n d u n i f o r m m o d e l l i n g o f h y b r i d s y s t e m s .

I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 4 3 : 5 7 9 { 5 8 4 , 1 9 9 8 .

1 9 ] A . B e n v e n i s t e a n d P . L e G u e r n i c . H y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m s t h e o r y a n d

t h e S I G N A L l a n g u a g e . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 3 5 : 5 3 5 { 5 4 6 , 1 9 9 0 .

2 0 ] F . B l a c k a n d M . S c h o l e s . T h e p r i c i n g o f o p t i o n s a n d c o r p o r a t e l i a b i l i t i e s .

J o u r n a l o f P o l i t i c a l E c o n o m y , 8 1 : 6 3 7 { 6 5 9 , 1 9 7 3 .

2 1 ] A . B l o c h a n d S . D r a k u n o v . S t a b i l i z a t i o n o f a n o n h o l o n o m i c s y s t e m v i a

s l i d i n g m o d e s . I n P r o c . 3 3 r d I E E E C o n f . D e c . C o n t r . , L a k e B u e n a V i s t a ,

D e c . 1 9 9 4 , p p . 2 9 6 1 { 2 9 6 3 .

2 2 ] A . B l o c h a n d S . D r a k u n o v . S t a b i l i z a t i o n a n d t r a c k i n g i n t h e n o n h o l o -

n o m i c i n t e g r a t o r v i a s l i d i n g m o d e s . S y s t . C o n t r . L e t t . , 2 9 : 9 1 { 9 9 , 1 9 9 6 .

2 3 ] W . M . G . v a n B o k h o v e n . P i e c e w i s e L i n e a r M o d e l l i n g a n d A n a l y s i s .

K l u w e r , D e v e n t e r , t h e N e t h e r l a n d s , 1 9 8 1 .

2 4 ] D . B o s s c h e r , I . P o l a k , a n d F . V a a n d r a g e r . V e r i c a t i o n o f a n a u d i o c o n -

t r o l p r o t o c o l . I n F o r m a l T e c h n i q u e s i n R e a l - T i m e a n d F a u l t - T o l e r a n t

S y s t e m s ( H . L a n g m a a c k , W . - P . d e R o e v e r , a n d J . V y t o p i l e d s . ) , L e c t .

N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 8 6 3 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 4 .

2 5 ] S . P . B o y d , L . E l G h a o u i , E . F e r o n , V . B a l a k r i s h n a n . L i n e a r M a t r i x

I n e q u a l i t i e s i n S y s t e m a n d C o n t r o l T h e o r y . S I A M S t u d i e s i n A p p l i e d

M a t h e m a t i c s , v o l . 1 5 , S I A M , P h i l a d e l p h i a , 1 9 9 4 .

2 6 ] M . S . B r a n i c k y , V . S . B o r k a r , a n d S . K . M i t t e r . A u n i e d f r a m e w o r k

f o r h y b r i d c o n t r o l . I n P r o c . 3 3 r d I E E E C o n f . D e c . C o n t r . , L a k e B u e n a

V i s t a , D e c . 1 9 9 4 , p p . 4 2 2 8 { 4 2 3 4 .

2 7 ] F . B r e i t e n e c k e r a n d I . H u s i n s k y , e d s . C o m p a r i s o n o f S i m u l a t i o n S o f t -

w a r e . E U R O S I M | S i m u l a t i o n N e w s , n o . 0 { 1 9 , 1 9 9 0 { 1 9 9 7 .



B i b l i o g r a p h y 1 6 1

2 8 ] K . E . B r e n a n , S . L . C a m p b e l l , a n d L . R . P e t z o l d . N u m e r i c a l S o l u t i o n

o f I n i t i a l - V a l u e P r o b l e m s i n D i e r e n t i a l - A l g e b r a i c E q u a t i o n s . N o r t h -

H o l l a n d , A m s t e r d a m , 1 9 8 9 .

2 9 ] R . W . B r o c k e t t . A s y m p t o t i c s t a b i l i t y a n d f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n . I n

D i e r e n t i a l G e o m e t r i c C o n t r o l T h e o r y ( R . W . B r o c k e t t , R . M i l l m a n ,

a n d H . J . S u s s m a n n e d s . ) , B i r k h a u s e r , B o s t o n , 1 9 8 3 .

3 0 ] R . W . B r o c k e t t . H y b r i d m o d e l s f o r m o t i o n c o n t r o l s y s t e m s . I n

E s s a y s o n C o n t r o l : P e r s p e c t i v e s i n t h e T h e o r y a n d i t s A p p l i c a t i o n s

( H . L . T r e n t e l m a n a n d J . C . W i l l e m s e d s . ) , P r o g r e s s C o n t r . S y s t . T h . ,

v o l . 1 4 , B i r k h a u s e r , B o s t o n , p p . 2 9 { 5 3 , 1 9 9 3 .

3 1 ] B . B r o g l i a t o . N o n s m o o t h I m p a c t M e c h a n i c s . M o d e l s , D y n a m i c s a n d

C o n t r o l . L e c t . N o t e s C o n t r . I n f o r m . S c i . , v o l . 2 2 0 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 6 .

3 2 ] C . J . B u d d . N o n - s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s a n d t h e g r a z i n g b i f u r c a -

t i o n . I n N o n l i n e a r M a t h e m a t i c s a n d i t s A p p l i c a t i o n s ( P . J . A s t o n e d . ) ,

C a m b r i d g e U n i v . P r e s s , C a m b r i d g e , 1 9 9 6 , p p . 2 1 9 { 2 3 5 .

3 3 ] M . K . C a m l b e l a n d J . M . S c h u m a c h e r . W e l l - p o s e d n e s s o f a c l a s s o f

p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m s . I n P r o c . E u r o p e a n C o n t r o l C o n f e r e n c e ' 9 9 ,

K a r l s r u h e , A u g . 3 1 { S e p t . 3 , 1 9 9 9 .

3 4 ] M . K . C a m l b e l , W . P . M . H . H e e m e l s , a n d J . M . S c h u m a c h e r . T h e

n a t u r e o f s o l u t i o n s t o l i n e a r p a s s i v e c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . I n P r o c .

3 8 t h I E E E C o n f . D e c . C o n t r . , P h o e n i x , A r i z o n a , D e c . 1 9 9 9 .

3 5 ] Z . C h a o c h e n , C . A . R . H o a r e , a n d A . P . R a v n . A c a l c u l u s o f d u r a t i o n s .

I n f o r m . P r o c e s s . L e t t . , 4 0 : 2 6 9 { 2 7 6 , 1 9 9 1 .

3 6 ] C . C h a s e , J . S e r r a n o , a n d P . J . R a m a d g e . P e r i o d i c i t y a n d c h a o s f r o m

s w i t c h e d o w s y s t e m s : c o n t r a s t i n g e x a m p l e s o f d i s c r e t e l y c o n t r o l l e d c o n -

t i n u o u s s y s t e m s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 3 8 : 7 0 { 8 3 , 1 9 9 3 .

3 7 ] H . C h e n a n d A . M a n d e l b a u m . L e o n t i e f s y s t e m s , R B V ' s a n d R B M ' s .

I n A p p l i e d S t o c h a s t i c A n a l y s i s ( M . H . A . D a v i s a n d R . J . E l l i o t t e d s . ) ,

S t o c h a s t i c s M o n o g r a p h s , v o l . 5 , G o r d o n & B r e a c h , N e w Y o r k , 1 9 9 1 , p p .

1 { 4 3 .

3 8 ] L . O . C h u a , M . K o m u r o , a n d T . M a t s u m o t o . T h e d o u b l e s c r o l l f a m i l y .

I E E E T r a n s . C i r c u i t s S y s t . , 3 3 : 1 0 7 2 { 1 1 1 8 , 1 9 8 6 .

3 9 ] R . W . C o t t l e , J . - S . P a n g , a n d R . E . S t o n e . T h e L i n e a r C o m p l e m e n t a r i t y

P r o b l e m . A c a d e m i c P r e s s , B o s t o n , 1 9 9 2 .

4 0 ] M . H . A . D a v i s . M a r k o v M o d e l s a n d O p t i m i z a t i o n . C h a p m a n a n d H a l l ,

L o n d o n , 1 9 9 3 .




4 1 ] C . D a w s , A . O l i v e r o , S . T r i p a k i s , a n d S . Y o v i n e . T h e t o o l k r o n o s . I n

H y b r i d S y s t e m s I I I . V e r i c a t i o n a n d C o n t r o l ( E . D . S o n t a g , R . A l u r ,

a n d T . A . H e n z i n g e r e d s . ) , L e c t . N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 1 0 6 6 , S p r i n g e r ,

B e r l i n , 1 9 9 6 , p p . 2 0 8 { 2 1 9 .

4 2 ] J . H . B . D e a n e a n d D . C . H a m i l l . C h a o t i c b e h a v i o r i n c u r r e n t - m o d e

c o n t r o l l e d D C - D C c o n v e r t o r . E l e c t r o n . L e t t . , 2 7 : 1 1 7 2 { 1 1 7 3 , 1 9 9 1 .

4 3 ] I . D e m o n g o d i n a n d N . T . K o u s s o u l a s . D i e r e n t i a l P e t r i n e t s : r e p r e s e n t -

i n g c o n t i n u o u s s y s t e m s i n a d i s c r e t e - e v e n t w o r l d . I E E E T r a n s . A u t o m a t .

C o n t r . , 4 3 : 5 7 3 { 5 7 9 , 1 9 9 8 .

4 4 ] B . D e S c h u t t e r a n d B . D e M o o r . M i n i m a l r e a l i z a t i o n i n t h e m a x a l g e -

b r a i s a n e x t e n d e d l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m . S y s t . C o n t r . L e t t . ,

2 5 : 1 0 3 { 1 1 1 , 1 9 9 5 .

4 5 ] B . D e S c h u t t e r a n d B . D e M o o r . T h e l i n e a r d y n a m i c c o m p l e m e n t a r i t y

p r o b l e m i s a s p e c i a l c a s e o f t h e e x t e n d e d l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b -

l e m . S y s t . C o n t r . L e t t . , 3 4 : 6 3 { 7 5 , 1 9 9 8 .

4 6 ] C . A . D e s o e r a n d E . S . K u h . B a s i c C i r c u i t T h e o r y . M c G r a w - H i l l , N e w

Y o r k , 1 9 6 9 .

4 7 ] M . D i B e r n a r d o , F . G a r o f a l o , L . G l i e l m o , a n d F . V a s c a . S w i t c h i n g s ,

b i f u r c a t i o n s , a n d c h a o s i n D C / D C c o n v e r t e r s . I E E E T r a n s . C i r c u i t s

S y s t . I , 4 5 : 1 3 3 { 1 4 1 , 1 9 9 8 .

4 8 ] P . D u p u i s . L a r g e d e v i a t i o n s a n a l y s i s o f r e e c t e d d i u s i o n s a n d c o n -

s t r a i n e d s t o c h a s t i c a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s i n c o n v e x s e t s . S t o c h a s t i c s ,

2 1 : 6 3 { 9 6 , 1 9 8 7 .

4 9 ] P . D u p u i s a n d A . N a g u r n e y . D y n a m i c a l s y s t e m s a n d v a r i a t i o n a l i n e q u a l -

i t i e s . A n n a l s o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 4 4 : 9 { 4 2 , 1 9 9 3 .

5 0 ] H . E l m q v i s t , F . B o u d a u d , J . B r o e n i n k , D . B r u c k , T . E r n s t , P . F r i t z o n ,

A . J e a n d e l , K . J u s l i n , M . K l o s e , S . E . M a t t s s o n , M . O t t e r , P . S a h l i n ,

H . T u m m e s c h e i t , a n d H . V a n g h e l u w e . M o d e l i c a

t m

| a u n i e d o b j e c t -

o r i e n t e d l a n g u a g e f o r p h y s i c a l s y s t e m s m o d e l i n g . V e r s i o n 1 , S e p t e m b e r

1 9 9 7 .

w w w . D y n a s i m . s e / M o d e l i c a / M o d e l i c a 1 . h t m l .

5 1 ] G . E s c o b a r , A . J . v a n d e r S c h a f t , a n d R . O r t e g a . A H a m i l t o n i a n

v i e w p o i n t i n t h e m o d e l l i n g o f s w i t c h i n g p o w e r c o n v e r t e r s . A u t o m a t i c a ,

3 5 : 4 4 5 { 4 5 2 , 1 9 9 9 .

5 2 ] X . F e n g , K . A . L o p a r o , Y . J i , a n d H . J . C h i z e k . S t o c h a s t i c s t a b i l i t y

p r o p e r t i e s o f j u m p l i n e a r s y s t e m s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 3 7 : 3 8 {

5 3 , 1 9 9 2 .




5 3 ] A . F . F i l i p p o v . D i e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h d i s c o n t i n u o u s r i g h t - h a n d s i d e .

M a t . S b . ( N . S . ) , 5 1 ( 9 3 ) : 9 9 { 1 2 8 , 1 9 6 0 . ( R u s s i a n . T r a n s l a t e d i n : M a t h .

U S S R - S b . )

5 4 ] A . F . F i l i p p o v . D i e r e n t i a l E q u a t i o n s w i t h D i s c o n t i n u o u s R i g h t h a n d

S i d e s . K l u w e r , D o r d r e c h t , 1 9 8 8 .

5 5 ] F . R . G a n t m a c h e r . T h e T h e o r y o f M a t r i c e s , V o l . I . C h e l s e a , N e w Y o r k ,

1 9 5 9 .

5 6 ] F . R . G a n t m a c h e r . T h e T h e o r y o f M a t r i c e s , V o l . I I . C h e l s e a , N e w Y o r k ,

1 9 5 9 .

5 7 ] A . H . W . G e e r t s a n d J . M . S c h u m a c h e r . I m p u l s i v e - s m o o t h b e h a v i o r i n

m u l t i m o d e s y s t e m s . P a r t I : S t a t e - s p a c e a n d p o l y n o m i a l r e p r e s e n t a t i o n s .

A u t o m a t i c a , 3 2 : 7 4 7 { 7 5 8 , 1 9 9 6 .

5 8 ] R . I . G r o s s m a n , A . N e r o d e , A . P . R a v n , a n d H . R i s c h e l , e d s . H y b r i d

S y s t e m s . L e c t . N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 7 3 6 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 3 .

5 9 ] J . G u c k e n h e i m e r a n d P . H o l m e s . N o n l i n e a r O s c i l l a t i o n s , D y n a m i c a l

S y s t e m s , a n d B i f u r c a t i o n s o f V e c t o r F i e l d s . S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 8 3 .

6 0 ] W . H a h n . S t a b i l i t y o f M o t i o n . S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 6 7 .

6 1 ] E . H a i r e r a n d G . W a n n e r . S o l v i n g O r d i n a r y D i e r e n t i a l E q u a t i o n s I I :

S t i a n d D i e r e n t i a l - A l g e b r a i c P r o b l e m s . S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 1 .

6 2 ] N . H a l b w a c h s , P . C a s p i , P . R a y m o n d , a n d D . P i l a u d . T h e s y n c h r o n o u s

d a t a o w p r o g r a m m i n g l a n g u a g e l u s t r e . P r o c . I E E E , 7 9 : 1 3 0 5 { 1 3 2 0 ,

1 9 9 1 .

6 3 ] I . H a n a n d B . J . G i l m o r e . M u l t i - b o d y i m p a c t m o t i o n w i t h f r i c t i o n . A n a l -

y s i s , s i m u l a t i o n , a n d e x p e r i m e n t a l v a l i d a t i o n . A S M E J . o f M e c h a n i c a l

D e s i g n , 1 1 5 : 4 1 2 { 4 2 2 , 1 9 9 3 .

6 4 ] P . T . H a r k e r a n d J . - S . P a n g . F i n i t e - d i m e n s i o n a l v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y

a n d n o n l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s : A s u r v e y o f t h e o r y , a l g o r i t h m s

a n d a p p l i c a t i o n s . M a t h . P r o g r . ( S e r . B ) , 4 8 : 1 6 1 { 2 2 0 , 1 9 9 0 .

6 5 ] R . F . H a r t l , S . P . S e t h i , a n d R . G . V i c k s o n . A s u r v e y o f t h e m a x i m u m

p r i n c i p l e s f o r o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m s w i t h s t a t e c o n s t r a i n t s . S I A M

R e v i e w , 3 7 : 1 8 1 { 2 1 8 , 1 9 9 5 .

6 6 ] M . L . J . H a u t u s . T h e f o r m a l L a p l a c e t r a n s f o r m f o r s m o o t h l i n e a r s y s -

t e m s . I n M a t h e m a t i c a l S y s t e m s T h e o r y ( G . M a r c h e s i n i a n d S . K . M i t t e r

e d s . ) , L e c t . N o t e s E c o n . M a t h . S y s t . , v o l . 1 3 1 , S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 7 6 ,

p p . 2 9 { 4 7 .

6 7 ] M . L . J . H a u t u s a n d L . M . S i l v e r m a n . S y s t e m s t r u c t u r e a n d s i n g u l a r

c o n t r o l . L i n . A l g . A p p l . , 5 0 : 3 6 9 { 4 0 2 , 1 9 8 3 .




6 8 ] W . P . M . H . H e e m e l s . L i n e a r C o m p l e m e n t a r i t y S y s t e m s : A S t u d y i n

H y b r i d D y n a m i c s . P h . D . d i s s e r t a t i o n , E i n d h o v e n U n i v . o f T e c h n o l . ,

N o v . 1 9 9 9 .

6 9 ] W . P . M . H . H e e m e l s , J . M . S c h u m a c h e r , a n d S . W e i l a n d . L i n e a r c o m -

p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . I n t e r n a l R e p o r t 9 7 I / 0 1 , D e p t . o f E E , E i n d h o v e n

U n i v . o f T e c h n o l . , J u l y 1 9 9 7 . T o a p p e a r i n S I A M J . A p p l . M a t h .

w w w . c w i . n l / j m s / P U B / A R C H / l c s

?

r e v i s e d . p s . Z ( r e v i s e d v e r s i o n ) .

7 0 ] W . P . M . H . H e e m e l s , J . M . S c h u m a c h e r , a n d S . W e i l a n d . T h e r a t i o n a l

c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m . L i n . A l g . A p p l . , 2 9 4 : 9 3 { 1 3 5 , 1 9 9 9 .

7 1 ] W . P . M . H . H e e m e l s , J . M . S c h u m a c h e r , a n d S . W e i l a n d . P r o j e c t e d

d y n a m i c a l s y s t e m s i n a c o m p l e m e n t a r i t y f o r m a l i s m . T e c h n i c a l R e p o r t

9 9 I / 0 3 , M e a s u r e m e n t a n d C o n t r o l S y s t e m s , D e p t . o f E E , E i n d h o v e n

U n i v . o f T e c h n o l . , 1 9 9 9 .

7 2 ] W . P . M . H . H e e m e l s , J . M . S c h u m a c h e r , a n d S . W e i l a n d . A p p l i c a t i o n s

o f c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . I n P r o c . E u r o p e a n C o n t r o l C o n f e r e n c e ' 9 9 ,

K a r l s r u h e , A u g . 3 1 { S e p t . 3 , 1 9 9 9 .

7 3 ] W . P . M . H . H e e m e l s , J . M . S c h u m a c h e r , a n d S . W e i l a n d . W e l l - p o s e d n e s s

o f l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m s . I n P r o c . 3 8 t h I E E E C o n f . D e c .

C o n t r . , P h o e n i x , A r i z o n a , D e c . 1 9 9 9 .

7 4 ] M . F . H e e r t j e s , M . J . G . v a n d e M o l e n g r a f t , J . J . K o k , R . H . B . F e y , a n d

E . L . B . v a n d e V o r s t . V i b r a t i o n c o n t r o l o f a n o n l i n e a r b e a m s y s t e m .

I n I U T A M S y m p o s i u m o n I n t e r a c t i o n b e t w e e n D y n a m i c s a n d C o n t r o l i n

A d v a n c e d M e c h a n i c a l S y s t e m s ( D . H . v a n C a m p e n e d . ) , K l u w e r , D o r -

d r e c h t , t h e N e t h e r l a n d s , 1 9 9 7 , p p . 1 3 5 { 1 4 2 .

7 5 ] U . H e l m k e a n d J . B . M o o r e . O p t i m i z a t i o n a n d D y n a m i c a l S y s t e m s .

S p r i n g e r , L o n d o n , 1 9 9 4 .

7 6 ] T . A . H e n z i n g e r , P . - H . H o , a n d H . W o n g - T o i . A u s e r g u i d e t o h y t e c h .

I n T o o l s a n d A l g o r i t h m s f o r t h e C o n s t r u c t i o n a n d A n a l y s i s o f S y s t e m s

( E . B r i n k s m a , W . R . C l e a v e l a n d , a n d K . G . L a r s e n e d s . ) , L e c t . N o t e s

C o m p . S c i . , v o l . 1 0 1 9 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 5 , p p . 4 1 { 7 1 .

7 7 ] J . P . H e s p a n h a a n d A . S . M o r s e . S t a b i l i z a t i o n o f n o n h o l o n o m i c i n t e g r a -

t o r s v i a l o g i c - b a s e d s w i t c h i n g . I n P r o c . 1 3 t h I F A C W o r l d C o n g r e s s , V o l .

E : N o n l i n e a r S y s t e m s I , 1 9 9 6 , p p . 4 6 7 { 4 7 2 .

7 8 ] J . P . H e s p a n h a a n d A . S . M o r s e . S t a b i l i z a t i o n o f n o n h o l o n o m i c i n t e g r a -

t o r s v i a l o g i c - b a s e d s w i t c h i n g . A u t o m a t i c a , 3 5 : 3 8 5 { 3 9 3 , 1 9 9 9 .

7 9 ] S . - T . H u . E l e m e n t s o f G e n e r a l T o p o l o g y . H o l d e n - D a y , S a n F r a n c i s c o ,

1 9 6 4 .




8 0 ] J . - I . I m u r a a n d A . J . v a n d e r S c h a f t . C h a r a c t e r i z a t i o n o f w e l l - p o s e d n e s s

o f p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m s . F a c . M a t h . S c i . , U n i v . T w e n t e , M e m o r a n d u m

1 4 7 5 , 1 9 9 8 .

8 1 ] J . - I . I m u r a a n d A . J . v a n d e r S c h a f t . W e l l - p o s e d n e s s o f a c l a s s o f p i e c e -

w i s e l i n e a r s y s t e m s w i t h n o j u m p s . I n H y b r i d S y s t e m s : C o m p u t a t i o n a n d

C o n t r o l ( F . W . V a a n d r a g e r a n d J . H . v a n S c h u p p e n e d s . ) , L e c t . N o t e s

C o m p . S c i . , v o l . 1 5 6 9 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 9 , p p . 1 2 3 { 1 3 7 .

8 2 ] K . H . J o h a n s s o n , M . E g e r s t e d t , J . L y g e r o s , a n d S . S a s t r y . R e g u l a r i z a t i o n

o f Z e n o h y b r i d a u t o m a t a . M a n u s c r i p t , O c t o b e r 2 2 , 1 9 9 8 . S u b m i t t e d f o r

p u b l i c a t i o n .

8 3 ] M . J o h a n s s o n a n d A . R a n t z e r . C o m p u t a t i o n o f p i e c e w i s e q u a d r a t i c

L y a p u n o v f u n c t i o n s f o r h y b r i d s y s t e m s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . ,

4 3 : 5 5 5 { 5 5 9 , 1 9 9 8 .

8 4 ] T . K a i l a t h . L i n e a r S y s t e m s . P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i s , N . J . , 1 9 8 0 .

8 5 ] I . K a n e k o a n d J . S . P a n g . S o m e n b y d n l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b -

l e m s . L i n . A l g . A p p l . , 3 4 : 2 9 7 { 3 1 9 , 1 9 8 0 .

8 6 ] C . W . K i l m i s t e r a n d J . E . R e e v e . R a t i o n a l M e c h a n i c s . L o n g m a n s , L o n -

d o n , 1 9 6 6 .

8 7 ] S . K o w a l e w s k i , S . E n g e l l , J . P r e u s s i g , a n d O . S t u r s b e r g . V e r i c a t i o n

o f l o g i c c o n t r o l l e r s f o r c o n t i n u o u s p l a n t s u s i n g t i m e d c o n d i t i o n / e v e n t -

s y s t e m m o d e l s . A u t o m a t i c a , 3 5 : 5 0 5 { 5 1 8 , 1 9 9 9 .

8 8 ] S . K o w a l e w s k i , M . F r i t z , H . G r a f , J . P r e u s s i g , S . S i m o n , O . S t u r s b e r g ,

a n d H . T r e s e l e r . A c a s e s t u d y i n t o o l - a i d e d a n a l y s i s o f d i s c r e t e l y c o n -

t r o l l e d c o n t i n u o u s s y s t e m s : t h e t w o t a n k s p r o b l e m . I n F i n a l P r o g r a m a n d

A b s t r a c t s H S ' 9 7 ( H y b r i d S y s t e m s V ) , U n i v . N o t r e D a m e , 1 9 9 7 , p p . 2 3 2 {

2 3 9 .

8 9 ] M . K u i j p e r . F i r s t - O r d e r R e p r e s e n t a t i o n s o f L i n e a r S y s t e m s . B i r k h a u s e r ,

B o s t o n , 1 9 9 4 .

9 0 ] I . K u p k a . T h e u b i q u i t y o f F u l l e r ' s p h e n o m e n o n . I n N o n l i n e a r C o n t r o l l a -

b i l i t y a n d O p t i m a l C o n t r o l ( H . J . S u s s m a n n e d . ) , M o n o g r a p h s T e x t b o o k s

P u r e A p p l . M a t h . , v o l . 1 3 3 , M a r c e l D e k k e r , N e w Y o r k , 1 9 9 0 , p p . 3 1 3 {

3 5 0 .

9 1 ] R . P . K u r s h a n . C o m p u t e r - A i d e d V e r i c a t i o n o f C o o r d i n a t e d P r o c e s s e s .

P r i n c e t o n U n i v . P r e s s , P r i n c e t o n , 1 9 9 4 .

9 2 ] C . L a n c z o s . T h e V a r i a t i o n a l P r i n c i p l e s o f M e c h a n i c s . U n i v . T o r o n t o

P r e s s , T o r o n t o , 1 9 4 9 .

9 3 ] D . M . W . L e e n a e r t s a n d W . M . G . v a n B o k h o v e n . P i e c e w i s e L i n e a r

M o d e l i n g a n d A n a l y s i s . K l u w e r , D o r d r e c h t , t h e N e t h e r l a n d s , 1 9 9 8 .




9 4 ] B . L e n n a r t s o n , M . T i t t u s , B . E g a r d t , a n d S . P e t t e r s s o n . H y b r i d s y s t e m s

i n p r o c e s s c o n t r o l . I E E E C o n t r o l S y s t e m s M a g a z i n e , 1 6 ( 5 ) : 4 5 { 5 6 , O c t .

1 9 9 6 .

9 5 ] Y . J . L o o t s m a , A . J . v a n d e r S c h a f t , a n d M . K . C a m l b e l . U n i q u e n e s s

o f s o l u t i o n s o f r e l a y s y s t e m s . A u t o m a t i c a , 3 5 : 4 6 7 { 4 7 8 , 1 9 9 9 .

9 6 ] P . L o t s t e d t . M e c h a n i c a l s y s t e m s o f r i g i d b o d i e s s u b j e c t t o u n i l a t e r a l

c o n s t r a i n t s . S I A M J . A p p l . M a t h . , 4 2 : 2 8 1 { 2 9 6 , 1 9 8 2 .

9 7 ] P . L o t s t e d t . N u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f t i m e - d e p e n d e n t c o n t a c t a n d f r i c t i o n

p r o b l e m s i n r i g i d b o d y m e c h a n i c s . S I A M J . S c i . S t a t . C o m p . , 5 : 3 7 0 { 3 9 3 ,

1 9 8 4 .

9 8 ] J . L y g e r o s , D . N . G o d b o l e , a n d S . S a s t r y . V e r i e d h y b r i d c o n t r o l l e r s f o r

a u t o m a t e d v e h i c l e s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 4 3 : 5 2 2 - 5 3 9 , 1 9 9 8 .

9 9 ] J . L y g e r o s , C . T o m l i n , a n d S . S a s t r y . C o n t r o l l e r s f o r r e a c h a b i l i t y s p e c i -

c a t i o n s f o r h y b r i d s y s t e m s . A u t o m a t i c a , 3 5 : 3 4 9 { 3 7 0 , 1 9 9 9 .

1 0 0 ] O . M a l e r , e d . H y b r i d a n d R e a l T i m e S y s t e m s . L e c t . N o t e s C o m p . S c i . ,

v o l . 1 3 8 6 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 7 .

1 0 1 ] O . M a l e r . A u n i e d a p p r o a c h f o r s t u d y i n g d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s d y -

n a m i c a l s y s t e m s . I n P r o c . 3 7 t h I E E E C o n f . D e c . C o n t r . , T a m p a , U S A ,

D e c . 1 9 9 8 , p p . 3 7 { 4 2 .

1 0 2 ] O . M a l e r , A . P n u e l i , a n d J . S i f a k i s . O n t h e s y n t h e s i s o f d i s c r e t e c o n -

t r o l l e r s f o r t i m e d s y s t e m s . I n T h e o r e t i c a l A s p e c t s o f C o m p u t e r S c i e n c e ,

L e c t . N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 9 0 0 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 5 , p p . 2 2 9 { 2 4 2 .

1 0 3 ] J . M a l m b o r g , B . B e r n h a r d s s o n , a n d K . J .

A s t r o m . A s t a b i l i z i n g s w i t c h i n g

s c h e m e f o r m u l t i c o n t r o l l e r s y s t e m s . I n P r o c . 1 3 t h I F A C W o r l d C o n g r e s s ,

V o l . F , 1 9 9 6 , p p . 2 2 9 { 2 3 4 .

1 0 4 ] Z . M a n n a , A . P n u e l i . T h e T e m p o r a l L o g i c o f R e a c t i v e a n d C o n c u r r e n t

S y s t e m s : S p e c i c a t i o n . S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 2 .

1 0 5 ] Z . M a n n a , A . P n u e l i . T e m p o r a l V e r i c a t i o n o f R e a c t i v e S y s t e m s : S a f e t y .

S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 9 5 .

1 0 6 ] C . M a r c h a l . C h a t t e r i n g a r c s a n d c h a t t e r i n g c o n t r o l s . J . O p t i m . T h .

A p p l . , 1 1 : 4 4 1 { 4 6 8 , 1 9 7 3 .

1 0 7 ] M . M a r i t o n . A l m o s t s u r e a n d m o m e n t s s t a b i l i t y o f j u m p l i n e a r s y s t e m s .

S y s t . C o n t r . L e t t . , 1 1 : 3 9 3 { 3 9 7 , 1 9 8 8 .

1 0 8 ] M . M a r i t o n . J u m p L i n e a r S y s t e m s i n A u t o m a t i c C o n t r o l . M a r c e l D e k k e r ,

N e w Y o r k , 1 9 9 0 .




1 0 9 ] S . E . M a t t s o n . O n o b j e c t - o r i e n t e d m o d e l l i n g o f r e l a y s a n d s l i d i n g m o d e

b e h a v i o u r . I n P r o c . 1 9 9 6 I F A C W o r l d C o n g r e s s , V o l . F , 1 9 9 6 , p p . 2 5 9 {

2 6 4 .

1 1 0 ] K . L . M c M i l l a n . S y m b o l i c M o d e l C h e c k i n g . K l u w e r , B o s t o n , 1 9 9 3 .

1 1 1 ] J . J . M o r e a u . A p p r o x i m a t i o n e n g r a p h e d ' u n e e v o l u t i o n d i s c o n t i n u e .

R . A . I . R . O . A n a l y s e n u m e r i q u e / N u m e r i c a l A n a l y s i s , 1 2 : 7 5 { 8 4 , 1 9 7 8 .

1 1 2 ] J . J . M o r e a u . L i a i s o n s u n i l a t e r a l e s s a n s f r o t t e m e n t e t c h o c s i n e l a s t i q u e s .

C . R . A c a d . S c . P a r i s , 2 9 6 : 1 4 7 3 { 1 4 7 6 , 1 9 8 3 .

1 1 3 ] J . J . M o r e a u . S t a n d a r d i n e l a s t i c s h o c k s a n d t h e d y n a m i c s o f u n i l a t e r a l

c o n s t r a i n t s . I n U n i l a t e r a l P r o b l e m s i n S t r u c t u r a l A n a l y s i s ( G . d e l P i e r o

a n d F . M a c e r i e d s . ) , S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 8 3 , p p . 1 7 3 { 2 2 1 .

1 1 4 ] J . J . M o r e a u . N u m e r i c a l a s p e c t s o f t h e s w e e p i n g p r o c e s s . P r e p r i n t , 1 9 9 8 .

1 1 5 ] A . S . M o r s e . C o n t r o l u s i n g l o g i c - b a s e d s w i t c h i n g . I n T r e n d s i n C o n t r o l

( A . I s i d o r i e d . ) , S p r i n g e r , L o n d o n , 1 9 9 5 , p p . 6 9 { 1 1 4 .

1 1 6 ] A . S . M o r s e , C . C . P a n t e l i d e s , S . S . S a s t r y , a n d J . M . S c h u m a c h e r , g u e s t

e d s . S p e c i a l I s s u e o n H y b r i d S y s t e m s . A u t o m a t i c a , 3 5 ( 3 ) , M a r c h 1 9 9 9 .

1 1 7 ] A . S . M o r s e a n d W . M . W o n h a m . S t a t u s o f n o n i n t e r a c t i n g c o n t r o l . I E E E

T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 1 6 : 5 6 8 { 5 8 1 , 1 9 7 1 .

1 1 8 ] R . M . M u r r a y a n d S . S . S a s t r y . N o n h o l o n o m i c m o t i o n p l a n n i n g . S t e e r i n g

u s i n g s i n u s o i d s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 3 8 : 7 0 0 { 7 1 6 , 1 9 9 3 .

1 1 9 ] G . M . N e n n i n g e r , M . K . S c h n a b e l , a n d V . G . K r e b s . M o d e l l i e r u n g , S i m -

u l a t i o n u n d A n a l y s e h y b r i d e r d y n a m i s c h e r S y s t e m e m i t N e t z - Z u s t a n d s -

M o d e l l e n . A u t o m a t i s i e r u n g s t e c h n i k , 4 7 : 1 1 8 { 1 2 6 , 1 9 9 9 .

1 2 0 ] A . N e r o d e a n d W . K o h n . M o d e l s f o r h y b r i d s y s t e m s : A u t o m a t a , t o p o l o -

g i e s , c o n t r o l l a b i l i t y , o b s e r v a b i l i t y . I n H y b r i d S y s t e m s ( R . L . G r o s s m a n ,

A . N e r o d e , A . P . R a v n , a n d H . R i s c h e l e d s . ) , L e c t . N o t e s . C o m p . S c i . ,

v o l . 7 3 6 , S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 9 3 , p p . 3 1 7 { 3 5 6 .

1 2 1 ] H . N i j m e i j e r a n d A . J . v a n d e r S c h a f t . N o n l i n e a r D y n a m i c a l C o n t r o l

S y s t e m s . S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 9 0 .

1 2 2 ] B . k s e n d a l . S t o c h a s t i c D i e r e n t i a l E q u a t i o n s . A n I n t r o d u c t i o n w i t h

A p p l i c a t i o n s ( 5 t h e d . ) . S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 8 .

1 2 3 ] E . O t t . C h a o s i n D y n a m i c a l S y s t e m s . C a m b r i d g e U n i v . P r e s s , 1 9 9 3 .

1 2 4 ] L . P a o l i , M . S c h a t z m a n . S c h e m a n u m e r i q u e p o u r u n m o d e l e d e v i -

b r a t i o n s a v e c c o n t r a i n t e s u n i l a t e r a l e s e t p e r t e d ' e n e r g i e a u x i m p a c t s , e n

d i m e n s i o n n i e . C . R . A c a d . S c i . P a r i s , S e r . I M a t h . , 3 1 7 : 2 1 1 { 2 1 5 , 1 9 9 3 .




1 2 5 ] J . P e r e s . M e c a n i q u e G e n e r a l e . M a s s o n & C i e . , P a r i s , 1 9 5 3 .

1 2 6 ] S . P e t t e r s s o n . M o d e l i n g , C o n t r o l a n d S t a b i l i t y A n a l y s i s o f H y b r i d S y s -

t e m s . L i c e n t i a t e t h e s i s , C h a l m e r s U n i v e r s i t y , N o v . 1 9 9 6 .

1 2 7 ] S . P e t t e r s s o n a n d B . L e n n a r t s o n . S t a b i l i t y a n d r o b u s t n e s s f o r h y b r i d

s y s t e m s . I n P r o c . 3 5 t h I E E E C o n f . D e c . C o n t r . , K o b e , J a p a n , D e c .

1 9 9 6 , p p . 1 2 0 2 { 1 2 0 7 .

1 2 8 ] S . P e t t e r s s o n a n d B . L e n n a r t s o n . C o n t r o l l e r d e s i g n o f h y b r i d s y s t e m s .

I n H y b r i d a n d R e a l - T i m e S y s t e m s ( O . M a l e r e d . ) , L e c t . N o t e s C o m p .

S c i . , v o l . 1 2 0 1 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 7 , p p . 2 4 0 { 2 5 4 .

1 2 9 ] F . P f e i e r a n d C . G l o c k e r . M u l t i b o d y D y n a m i c s w i t h U n i l a t e r a l C o n t a c t s .

W i l e y , C h i c h e s t e r , 1 9 9 6 .

1 3 0 ] V . M . P o p o v . H y p e r s t a b i l i t y o f C o n t r o l S y s t e m s . S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 7 3 .

1 3 1 ] K . P o p p a n d P . S t e l t e r . S t i c k - s l i p v i b r a t i o n s a n d c h a o s . P h i l . T r a n s .

R o y . S o c . L o n d . A , 3 3 2 : 8 9 { 1 0 5 , 1 9 9 0 .

1 3 2 ] P . J . R a m a d g e a n d W . M . W o n h a m . S u p e r v i s o r y c o n t r o l o f a c l a s s o f

d i s c r e t e e v e n t p r o c e s s e s . S I A M J . C o n t r . O p t . , 2 5 : 2 0 6 { 2 3 0 , 1 9 8 7 .

1 3 3 ] A . W . R o s c o e . T h e T h e o r y a n d P r a c t i c e o f C o n c u r r e n c y . P r e n t i c e H a l l ,

L o n d o n , 1 9 9 8 .

1 3 4 ] D . R u e l l e . T u r b u l e n c e , S t r a n g e A t t r a c t o r s , a n d C h a o s . W o r l d S c i e n t i c ,

S i n g a p o r e , 1 9 9 5 .

1 3 5 ] H . S a m e l s o n , R . M . T h r a l l , a n d O . W e s l e r . A p a r t i t i o n t h e o r e m f o r

E u c l i d e a n n - s p a c e . P r o c . A m e r . M a t h . S o c . , 9 : 8 0 5 { 8 0 7 , 1 9 5 8 .

1 3 6 ] S . S . S a s t r y a n d C . A . D e s o e r . J u m p b e h a v i o r o f c i r c u i t s a n d s y s t e m s .

I E E E T r a n s . C i r c u i t s S y s t . , 2 8 : 1 1 0 9 { 1 1 2 4 , 1 9 8 1 .

1 3 7 ] S . S . S a s t r y a n d T . A . H e n z i n g e r , e d s . H y b r i d S y s t e m s : C o m p u t a t i o n

a n d C o n t r o l . L e c t . N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 1 3 8 6 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 8 .

1 3 8 ] A . J . v a n d e r S c h a f t a n d J . M . S c h u m a c h e r . T h e c o m p l e m e n t a r y -

s l a c k n e s s c l a s s o f h y b r i d s y s t e m s . M a t h . C o n t r . S i g n a l s S y s t . , 9 : 2 6 6 { 3 0 1 ,

1 9 9 6 .

1 3 9 ] A . J . v a n d e r S c h a f t a n d J . M . S c h u m a c h e r . H y b r i d s y s t e m s d e s c r i b e d

b y t h e c o m p l e m e n t a r i t y f o r m a l i s m . I n H y b r i d a n d R e a l - T i m e S y s t e m s

( O . M a l e r e d . ) , L e c t . N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 1 2 0 1 , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 7 ,

p p . 4 0 3 { 4 0 8 .

1 4 0 ] A . J . v a n d e r S c h a f t a n d J . M . S c h u m a c h e r . C o m p l e m e n t a r i t y m o d e l i n g

o f h y b r i d s y s t e m s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 4 3 : 4 8 3 { 4 9 0 , 1 9 9 8 .




1 4 1 ] J . M . S c h u m a c h e r . L i n e a r s y s t e m s a n d d i s c o n t i n u o u s d y n a m i c s . I n

O p e r a t o r s , S y s t e m s , a n d L i n e a r A l g e b r a ( U . H e l m k e , D . P r a t z e l - W o l t e r s ,

a n d E . Z e r z e d s . ) , B . G . T e u b n e r , S t u t t g a r t , 1 9 9 7 , p p . 1 8 2 { 1 9 5 .

1 4 2 ] A . S e i e r s t a d a n d K . S y d s a e t e r . O p t i m a l C o n t r o l T h e o r y w i t h E c o -

n o m i c A p p l i c a t i o n s . A d v a n c e d T e x t b o o k s i n E c o n o m i c s , v o l . 2 4 , N o r t h -

H o l l a n d , A m s t e r d a m , 1 9 8 7 .

1 4 3 ] R . S e p u l c h r e , M . J a n k o v i c , a n d P . V . K o k o t o v i c . C o n s t r u c t i v e N o n l i n e a r

C o n t r o l . S p r i n g e r , L o n d o n , 1 9 9 7 .

1 4 4 ] J . - J . E . S l o t i n e a n d W . L i . A p p l i e d N o n l i n e a r C o n t r o l . P r e n t i c e - H a l l ,

E n g l e w o o d C l i s , N e w J e r s e y , 1 9 9 1 .

1 4 5 ] D . E . S t e w a r t . C o n v e r g e n c e o f a t i m e - s t e p p i n g s c h e m e f o r r i g i d - b o d y

d y n a m i c s a n d r e s o l u t i o n o f P a i n l e v e ' s p r o b l e m . A r c h . R a t i o n . M e c h .

A n a l . , 1 4 5 : 2 1 5 { 2 6 0 , 1 9 9 8 .

1 4 6 ] D . E . S t e w a r t , J . C . T r i n k l e . A n i m p l i c i t t i m e - s t e p p i n g s c h e m e f o r r i g i d

b o d y d y n a m i c s w i t h i n e l a s t i c c o l l i s i o n s a n d C o u l o m b f r i c t i o n . I n t . J .

N u m e r . M e t h o d s E n g r g . , 3 9 : 2 6 7 3 { 2 6 9 1 , 1 9 9 6 .

1 4 7 ] H . J . S u s s m a n n . A n o n s m o o t h h y b r i d m a x i m u m p r i n c i p l e . I n P r o c .

W o r k s h o p o n N o n l i n e a r C o n t r o l ( G h e n t , M a r c h 1 9 9 9 ) , L e c t . N o t e s

C o n t r . I n f o r m . S c i . , S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 9 9 .

1 4 8 ] R . S z n a j d e r a n d M . S . G o w d a . G e n e r a l i z a t i o n s o f p

0

- a n d p - p r o p e r t i e s ;

e x t e n d e d v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s . L i n .

A l g . A p p l . , 2 2 3 / 2 2 4 : 6 9 5 { 7 1 5 , 1 9 9 5 .

1 4 9 ] J . G . T h i s t l e a n d W . M . W o n h a m . C o n t r o l o f i n n i t e b e h a v i o r o f n i t e

a u t o m a t a . S I A M J . C o n t r . O p t . , 3 2 : 1 0 7 5 { 1 0 9 7 , 1 9 9 4 .

1 5 0 ] Y a . Z . T s y p k i n . R e l a y C o n t r o l S y s t e m s . C a m b r i d g e U n i v . P r e s s , C a m -

b r i d g e , 1 9 8 4 .

1 5 1 ] V . I . U t k i n . V a r i a b l e s t r u c t u r e s y s t e m s w i t h s l i d i n g m o d e s . I E E E T r a n s .

A u t o m . C o n t r . , 2 2 : 2 1 2 - 2 2 2 , 1 9 7 7 .

1 5 2 ] V . I . U t k i n . S l i d i n g M o d e s i n C o n t r o l O p t i m i z a t i o n . S p r i n g e r , B e r l i n ,

1 9 9 2 .

1 5 3 ] F . W . V a a n d r a g e r a n d J . H . v a n S c h u p p e n , e d s . H y b r i d S y s t e m s : C o m -

p u t a t i o n a n d C o n t r o l . L e c t . N o t e s C o m p . S c i . , v o l . 1 5 6 9 , S p r i n g e r , B e r l i n ,

1 9 9 9 .

1 5 4 ] M . W i c k s , P . P e l e t i e s , a n d R . D e C a r l o . S w i t c h e d c o n t r o l l e r s y n t h e s i s f o r

t h e q u a d r a t i c s t a b i l i s a t i o n o f a p a i r o f u n s t a b l e l i n e a r s y s t e m s . E u r . J .

C o n t r . , 4 : 1 4 0 { 1 4 7 , 1 9 9 8 .




1 5 5 ] J . C . W i l l e m s . D i s s i p a t i v e d y n a m i c a l s y s t e m s . P a r t I : G e n e r a l t h e o r y .

A r c h . R a t i o n a l M e c h . A n a l . , 4 5 : 3 2 1 { 3 5 1 , 1 9 7 2 .

1 5 6 ] J . C . W i l l e m s . P a r a d i g m s a n d p u z z l e s i n t h e t h e o r y o f d y n a m i c a l s y s -

t e m s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 3 6 : 2 5 9 { 2 9 4 , 1 9 9 1 .

1 5 7 ] H . P . W i l l i a m s . M o d e l B u i l d i n g i n M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g ( 3 r d e d . ) .

W i l e y , N e w Y o r k , 1 9 9 3 .

1 5 8 ] P . W i l m o t t , S . D . H o w i s o n , a n d J . N . D e w y n n e . T h e M a t h e m a t i c s o f

F i n a n c i a l D e r i v a t i v e s : A S t u d e n t I n t r o d u c t i o n . C a m b r i d g e U n i v . P r e s s ,

C a m b r i d g e , 1 9 9 5 .

1 5 9 ] H . S . W i t s e n h a u s e n . A c l a s s o f h y b r i d - s t a t e c o n t i n u o u s - t i m e d y n a m i c

s y s t e m s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 1 1 : 1 6 1 { 1 6 7 , 1 9 6 6 .

1 6 0 ] W . M . W o n h a m . L i n e a r M u l t i v a r i a b l e C o n t r o l : A G e o m e t r i c A p p r o a c h

( 3 r d e d . ) . S p r i n g e r , N e w Y o r k , 1 9 8 5 .

1 6 1 ] H . Y e , A . N . M i c h e l , a n d L . H o u . S t a b i l i t y o f h y b r i d d y n a m i c a l s y s t e m s .

I n P r o c . 3 4 t h I E E E C o n f . D e c . C o n t r . , N e w O r l e a n s , D e c . 1 9 9 5 , p p .

2 6 7 9 { 2 6 8 4 .

1 6 2 ] H . Y e , A . N . M i c h e l , a n d L . H o u . S t a b i l i t y t h e o r y f o r h y b r i d d y n a m i c a l

s y s t e m s . I E E E T r a n s . A u t o m a t . C o n t r . , 4 3 : 4 6 1 { 4 7 4 , 1 9 9 8 .

1 6 3 ] A . Z a v o l a - R i o a n d B . B r o g l i a t o . H y b r i d f e e d b a c k s t r a t e g i e s f o r t h e c o n -

t r o l o f j u g g l i n g r o b o t s . I n M o d e l l i n g a n d C o n t r o l o f M e c h a n i c a l S y s t e m s

( A . A s t o l e t a l . e d s . ) , I m p e r i a l C o l l e g e P r e s s , 1 9 9 7 , p p . 2 3 5 { 2 5 2 .



I n d e x

a b s t r a c t i o n , 4 7 , 1 1 2 , 1 3 3

a c c u m u l a t i o n p o i n t , 1 0 , 1 7

a c t i v e i n d e x s e t , 9 3 , 9 6

a c t i v i t i e s , 7

A D c o n v e r t e r , 4 6

a d m i s s i b l e v e l o c i t y , 8 2

a d v e r s a r y , 1 1 8

a n e , 9 4

a u t o n o m o u s j u m p , 9

a u t o n o m o u s s w i t c h i n g , 9

a v e r a g i n g , 1 2 2

b i c a u s a l , 1 0 2

b o r d e r c o l l i s i o n b i f u r c a t i o n , 1 3 1

b o u n c i n g b a l l , 3 7

B r o c k e t t ' s n e c e s s a r y c o n d i t i o n , 1 5 1

C a r a t h e o d o r y e q u a t i o n s , 5 8

C a r a t h e o d o r y s o l u t i o n , 4 5

c e l l , 1 2 5

c h a o s , 1 2 9

c o n t r o l o f , 1 3 1

c h a t t e r i n g , 5 8

c h a t t e r i n g a p p r o x i m a t i o n , 6 1

c o m m u n i c a t i o n v a r i a b l e , 1 8

c o m m u t a t o r , 1 2 2

c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m

d y n a m i c , 9 3 , 9 4

l i n e a r , 7 2 , 9 4 , 1 0 3 , 1 0 9

n o n l i n e a r , 9 3

r a t i o n a l , 9 8 , 1 0 3

c o m p l e m e n t a r i t y s y s t e m , 7 1

H a m i l t o n i a n , 7 5 , 7 7

l i n e a r , 7 7 , 9 6 , 1 0 3

b i m o d a l , 1 0 2

n o n l i n e a r , 9 5

p a s s i v e , 7 4

c o m p l e m e n t a r y v a r i a b l e s , 7 1

c o m p o s i t i o n a l i t y , 1 4

c o m p u t e r - a i d e d v e r i c a t i o n , 1 1 1

c o n c u r r e n t p r o c e s s e s , 3 4

c o n s i s t e n t s t a t e , 9 7

c o n s i s t e n t s u b s p a c e , 9 7

c o n s t r a i n e d p e n d u l u m , 5 4

c o n t i n u o u s s t a t e v a r i a b l e , 3

c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m s , 3

c o n t r o l L y a p u n o v f u n c t i o n s , 1 5 0

c o n t r o l l a b l e p r e d e c e s s o r , 1 3 5

c o n t r o l l e d i n v a r i a n t , 1 3 5

c o n t r o l l e d j u m p , 9

c o n t r o l l e d s w i t c h i n g , 9

c o r r e c t , 1 1 1 , 1 1 3

c o s t f u n c t i o n , 1 3 8

C o u l o m b f r i c t i o n , 4 9 , 6 4 , 8 0

D A c o n v e r t e r , 4 6

D C - D C c o n v e r t e r , 1 3 2

D C P , s e e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b -

l e m , d y n a m i c

d e a d l o c k , 1 0

d e c o u p l i n g m a t r i x , 9 4

d e t e r m i n i s t i c i n p u t - o u t p u t a u -

t o m a t a , 5

d i e r e n t i a l i n c l u s i o n , 6 7

d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s , 4 ,

5 5

d i o d e , 5 2 , 7 1 , 7 3

d i s c r e t e s t a t e s , 6

d o u b l e s c r o l l s y s t e m , 1 3 1

d u r a t i o n , 1 2

d u t y c y c l e , 1 4 3

d u t y r a t i o , 1 2 4 , 1 4 3

d w e l l - t i m e s w i t c h i n g l o g i c , 1 4 2

d y n a m i c g a m e t h e o r y , 1 3 8

1 7 1



1 7 2 I n d e x

e a r l y e x e r c i s e , 8 5

E F F , s e e e v e n t - o w f o r m u l a

e m b e d d e d s y s t e m s , 2

e n e r g y , 7 5 , 1 0 6 , 1 2 0

e q u i l i b r i u m , 8 1 , 1 1 9

e q u i v a l e n t c o n t r o l m e t h o d , 5 9 , 6 0 ,

6 3 , 6 4

e r g o d i c i t y , 1 3 0

e v e n t , 4 , 7 , 9

e x t e r n a l l y i n d u c e d , 9 , 2 7

i n t e r n a l l y i n d u c e d , 9 , 2 7

m u l t i p l e , 1 0

e v e n t c l a u s e , 1 9

e v e n t t i m e , 9 , 1 5

e v e n t - o w f o r m u l a , 1 9

e v e n t - t r a c k i n g m e t h o d , 2 6

e x e c u t i o n , 8

e x e r c i s e p r i c e , 8 4

e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s

g l o b a l , 9 0

l o c a l , 9 0

e x t e r n a l v a r i a b l e , 3

n i t e a u t o m a t o n , 4

o w c l a u s e , 1 9

f o r m a l v e r i c a t i o n , 1 1 1

f r e e b o u n d a r y , 8 4

F u l l e r p h e n o m e n o n , 9 0

g a i n s c h e d u l i n g , 5 7 , 7 9

g e n e r a l i z e d h y b r i d a u t o m a t o n , 1 2

g e o m e t r i c i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s ,

7 4

g r a z i n g b i f u r c a t i o n , 1 3 1

g u a r a n t e e p r o p e r t y , 1 3 4

G u a r d , 7

H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n , 1 3 9

H a m i l t o n i a n , 6 5 , 7 5 , 7 6 , 1 0 4

h i g h c o n t a c t , 8 6

H u r w i t z , 1 2 3

h y b r i d a u t o m a t o n , 6

h y b r i d b e h a v i o r , 1 7

h y b r i d s y s t e m , 1

h y p e r s t a b i l i t y , 1 2 1

h y s t e r e s i s , 3 5

h y s t e r e s i s s w i t c h i n g l o g i c , 1 4 0

i m p a c t i n g s y s t e m s , 1 3 1

i m p l e m e n t a t i o n r e l a t i o n , 1 1 2

i m p l i c i t E u l e r m e t h o d , 8 8

i m p u l s i v e f o r c e s , 1 0 5

i m p u l s i v e - s m o o t h d i s t r i b u t i o n s ,

1 0 0

i n d e x , 7 9

i n i t i a l s o l u t i o n , 1 0 1

i n i t i a l l y n o n n e g a t i v e , 1 0 1

i n p u t s y m b o l , 5

i n p u t v a r i a b l e , 4

i n p u t - o u t p u t a u t o m a t o n , 1 3 5

i n p u t - s t a t e - o u t p u t s y s t e m , 4

i n t e r c o n n e c t i o n , 1 4

i n t e r l e a v i n g p a r a l l e l c o m p o s i t i o n ,

1 4

i n v a r i a n t , 1 1 9

i n w a r d n o r m a l , 8 2

j u g g l i n g r o b o t , 1 4 2

J u m p , 7

j u m p l i n e a r s y s t e m , 1 2 4

j u m p r u l e , 1 0 6

j u m p s p a c e , 9 8

K i l m i s t e r ' s p r i n c i p l e , 2 4

l a b e l s , 5

L a g r a n g i a n , 7 6

L a p l a c e t r a n s f o r m , 1 0 0

L C P , s e e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b -

l e m , l i n e a r

l e a d i n g M a r k o v p a r a m e t e r , 1 1 0

l e a d i n g r o w c o e c i e n t m a t r i x , 1 0 2

l e x i c o g r a p h i c a l l y n o n n e g a t i v e , 9 2

L i e d e r i v a t i v e , 9 4

l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t y , 1 2 6

l i v e l o c k , 1 0

l o c a t i o n , 6

l o c a t i o n i n v a r i a n t , 7

L y a p u n o v f u n c t i o n , 1 1 8 , 1 2 5

m u l t i p l e , 1 2 1

M a r k o v c h a i n , 1 2 4

M a r k o v p a r a m e t e r , 1 0 2



I n d e x 1 7 3

l e a d i n g , 1 0 2

m a t h e m a t i c a l e c o n o m i c s , 8 1

m a x a l g e b r a , 9 0

m a x - p l u s s y s t e m , 8 9

m a x i m a l c o n t r o l l e d i n v a r i a n t s u b -

m a n i f o l d , 1 3 7

m a x i m a l c o n t r o l l e d i n v a r i a n t s u b -

s e t , 1 3 6

m e t h o d o f l i n e s , 8 7

m i n o r , 7 2

m o d e , 5 3 , 9 6

m o d e s e l e c t i o n , 2 7 , 9 1 , 9 8

m o d e l c h e c k i n g , 1 1 2

s y m b o l i c , 1 1 2

m u l t i - b o d y s y s t e m s , 5 0

m u l t i p l e c o l l i s i o n s , 4 2

m u l t i p l e t i m e e v e n t , 1 5

m u l t i p l i c i t y , 1 5 , 1 0 3

N e w t o n ' s c r a d l e , 4 2

N L C P , s e e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b -

l e m , n o n l i n e a r

n o n - d e t e r m i n i s t i c a u t o m a t o n , 1 3 5

n o n - Z e n o , 2 3

n o n h o l o n o m i c i n t e g r a t o r , 1 5 1

o b j e c t - o r i e n t e d m o d e l i n g , 3

o p t i m a l c o n t r o l , 7 5 , 9 0

o p t i m i z a t i o n , 6 5

o p t i o n p r i c i n g , 8 4

o u t p u t s y m b o l , 5

o u t p u t v a r i a b l e , 4

P - m a t r i x , 7 2 , 1 0 2

p a r a l l e l c o m p o s i t i o n , 2 1 , 1 2 4

p a s s i v i t y , 7 3 , 9 5

p e r p ( ) , 7 1 , 9 9

p e r s i s t e n t - m o d e c o n v e n t i o n , 2 4 , 3 6

p i e c e w i s e l i n e a r s y s t e m , 7 9 , 1 0 9 ,

1 3 1

P o i n c a r e m a p p i n g , 1 1 8 , 1 2 1

p o w e r c o n v e r t e r , 5 2 , 1 4 3

p r i n c i p a l m i n o r , 7 2 , 1 1 0

p r o j e c t e d d y n a m i c a l s y s t e m , 8 1

p r o p e r t y , 1 3 4

P u l s e W i d t h M o d u l a t i o n , 1 4 3

p u t o p t i o n

A m e r i c a n , 8 5

E u r o p e a n , 8 4

q u a d r a t i c s t a b i l i z a t i o n , 1 4 6

q u a n t i z a t i o n , 4 7

r a i l r o a d c r o s s i n g e x a m p l e , 5 1

R C P , s e e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b -

l e m , r a t i o n a l

r e a c h a b i l i t y , 1 1 3 , 1 1 5 , 1 1 7 , 1 3 4

r e i n i t i a l i z a t i o n , 1 0 3

r e l a t i v e d e g r e e , 9 4

r e l a y , 5 0 , 6 4 , 6 5 , 7 8 , 1 0 9

r e s t i t u t i o n c o e c i e n t , 3 7

r e t u r n m a p , 1 2 1

R i e m a n n i a n m a n i f o l d , 8 3

r i g h t u n i q u e n e s s , 9 0

r i g h t - Z e n o , 2 3 , 1 0 2

r o w p r o p e r , 1 0 2

r u n , 8

s a f e t y p r o p e r t y , 1 3 4

s e m a n t i c s , 5

s e m i - e x p l i c i t , 7 2

s g n , s e e s i g n u m

s i g m o i d , 6 1

s i g n u m , 2 8 , 6 0 , 1 4 6

s i m p l e s t c o n v e x d e n i t i o n , 5 9 , 6 0 ,

6 3 , 6 4

s i m u l a t i o n , 2 4 , 1 1 8

s l a c k , 1 1 0

s l i d i n g m o d e , 5 7 , 6 6 , 1 2 6 , 1 2 8

s l i d i n g m o d e c o n t r o l , 1 4 5

s l i d i n g m o t i o n , 5 9

s m o o t h a p p r o x i m a t i o n , 6 1

s m o o t h p a s t i n g , 8 6

s m o o t h i n g m e t h o d , 2 5

s t a b l e , 1 1 9

a s y m p t o t i c a l l y , 1 1 9

L y a p u n o v , 1 1 9

q u a d r a t i c a l l y , 1 2 5

s t a t i s t i c a l l y , 1 3 0

s t a t e s p a c e , 3 , 4

s t e p w i s e r e n e m e n t , 1 1 2

s t o r a g e f u n c t i o n , 9 5



1 7 4 I n d e x

s u p e r v i s o r , 4 6 , 1 4 0

s w i t c h i n g c u r v e , 6 6

s w i t c h i n g l o g i c , 1 4 0

s w i t c h i n g s u r f a c e , 5 7

s y n c h r o n o u s p a r a l l e l c o m p o s i t i o n ,

1 4

t e m p o r a l l o g i c , 1 1 2 , 1 1 7

t h e o r e m p r o v i n g , 1 1 2

t h e r m o s t a t , 3 8

t i m e e v e n t , 1 5

t i m e e v o l u t i o n , 1 5 , 1 6

t i m e o f m a t u r i t y , 8 4

t i m e d a u t o m a t a , 1 1 7

t i m e d P e t r i n e t , 8 9

t i m e s t e p p i n g m e t h o d , 2 8

t o t a l l y i n v e r t i b l e , 9 9

t r a j e c t o r y , 8 , 1 3 , 1 6

t r a n s i t i o n r u l e , 4

An Introduction to Hybrid Dynamical Systems

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