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NúMEROS REALES

!e"nición de números reales...................................................................#

Clasi"cación.............................................................................................#

$úmero racional.......................................................................................%

$úmeros irracionales...............................................................................&

Clasi"cación de números racionales........................................................4

$úmeros irracionales 'amosos.................................................................(

Construcción de raíces no e)actas...........................................................(

 *opología..................................................................................................+

,ropiedades topológicas de la recta real..................................................-

Biliogra'ía.............................................................................................../

Defnición de números reales

Un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El términoproviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. Lateoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números

naturales, por ejemplo, incluyen al uno !", dos #", tres $", cuatro %", cinco &", seis'", siete (", ocho )", nueve *" y, por lo general, al cero +".

El concepto de números reales surgió a partir de la utiliación de fracciones comunespor parte de los egipcios, cerca del a-o 1.000 a.C. El desarrollo de la noción continuó

con los aportes de los griegos, ue proclamaron la existencia de los númerosirracionales. http/00definicion.de0numeros1reales0.

Clasifcación

Los números reales son los ue pueden ser expresados por un número entero $, #),!&')" o decimal %,#)2 #)*,'2 $**)&,%'(!". Esto uiere decir ue a3arcan a losnúmeros racionales ue pueden representarse como el cociente de dos enteros condenominador distinto a cero" y los números irracionales los ue no pueden serexpresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero".

4tra clasificación de los números reales puede realiarse entre números algebraicos un o de número complejo" y números trascendentes un tipo de número irracional." 

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Número racional

En matem5tica, se llama número racional a todo número ue puede representarsecomo el cociente de dos números enteros m5s precisamente, un entero y un naturalpositivo! " es decir, una fracción común con numerador  y denominador  distinto de cero.El término racional alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números

racionales se denota por , ue significa 6cociente7 Q uotient  en varios idiomaseuropeos". Este conjunto de números incluye a los números enteros y es unsu3conjunto de los números reales.

8efinimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico por ejemplo,el número decimal finito +,(& es la representación decimal del número racional $0%. Elnúmero decimal infinito periódico +,$$$... es la representación decimal del número

racional !0$". El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax 9 3, cuando ay 3 son números enteros con 6a7 distinto de cero".

Los números racionales cumplen la propiedad aruimediana o de densidad, esto es,para cualuier pareja de números racionales existe otro número racional situado entreellos, propiedad ue no esta3a presente en los números enteros, por lo ue los

números racionales son densos en la recta de los números reales.

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Números irracionales

 En matem5ticas, un número irracional es cualuier número real ue no es racional,

es decir, es un número ue no puede ser expresado como una fracción , donde m yn son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreduci3le. :rasdistinguir los números componentes de la recta real en tres categorías/ naturales,enteros y racionales", podría parecer ue ha terminado la clasificación de los números,pero aun uedan ;huecos; por rellenar en la recta de los números reales. Los númerosirracionales son los elementos de dicha recta ue cu3ren los vacíos ue dejan losnúmeros racionales.

Los números irracionales son los elementos de la recta real ue no pueden expresarsemediante el cociente de dos enteros y se caracterian por poseer infinitas cifrasdecimales no periódicas. 8e este modo, puede definirse al número irracional como un

decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solouna aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, elnúmero racional !,%!%#!$& es solo una aproximación a ( cifras decimales del númeroirracional raí cuadrada de #, el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.

Entonces, decimos con toda propiedad ue el número raí cuadrada de dos esaproximadamente igual a !,%!%#!$& en ( decimales, o 3ien es igual  a !,%!%#!$&<donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales ue hacen falta y ue jam5s terminaríamos de escri3ir.

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Clasifcación de números racionales

=úmeros >acionales ?ositivos/ son auellos ue est5n representados por fraccionespositivas. El conjunto de numero racionales positivos se designa con @A

Aa a @A 1 a 3 a @A

A3 3 1 3 3

B=úmeros >acionales =egativos/ son auellos ue est5n representados por fraccionesnegativas. El conjunto de números racionales negativos se designa con @1

1 a a @1 1 a 3 a @1

3 3 1 3 3

C El racional + est5 formado por todas las fracciones ue tienen el numerador +

D + , + D

• #

C En el conjunto de los números racionales siempre podemos intercalar otro racional,esto se llama 8ensidad en @. ?ara intercalar racionales usamos un método practico/

!.1 se ordenan de mayor a mayor.

#.1 se suman los numeradores y denominadores entre sí.

La fracción o3tenida est5 entre las fracciones dadas, el proceso puede continuarinfinitamente. Entre dos números racionales podemos intercalar un numero infinito deracionales, entonces se puede decir ue el conjunto @ es un conjunto denso.

Entre ! a ; ! a

• %

! a ! a

& %

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! A !

& A %

Números irracionales amosos

!. F =úmero ;pi; $,!%!&* ..."/ raón entre la longitud de una circunferencia y su

di5metro.

#. e =úmero ;e; #,(!)# ..."/

3. G =úmero ;5ureo; !,'!)+ ..."/

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Construcción de raíces no exactas

0spiral de *eodoroTeodoro de Cirene, fue un filósofo y matem5tico griego, nacido en Hirene hoy en díaIhahhat, Li3ia", desarrollador de la teoría de los números irracionales, ue no de3econfundirse con el filósofo cirenaico :eodoro, el Jteo.

 Jlumno de ?rot5goras y uno de los profesores de :eeteto y ?latón, vivió la mayorparte de su vida en Jtenas, donde tuvo contactos con ?latón, uien le consagró sudi5logo Teeteto :eeteto era discípulo de :eodoro", y Iócrates. :ra3ajó en campos tan

diversos como la filosofía, la astronomía, la aritmética, la música y la educación.

Los primeros pasos de la espiral de :eodoro de Hirene.

?itagórico, creía ue la alegría y el juicio eran la 3ase para llegar a la felicidad. Esconocido so3re todo por su tra3ajo matem5tico, donde pro3ó la irracionalidad de lasraíces de los números enteros no cuadrados #, $, &..." al menos hasta !( a 3ase delmétodo tradicional pitagórico de usar la reducción al a3surdo y llegar a unainconsistencia relacionada con pares e impares.! . :am3ién desarrolló la espiral uelleva su nom3re usando el :eorema de ?it5goras y a-adiendo perpendicularmente aun segmento una unidad lo ue forma tri5ngulos cuyas hipotenusas son las sucesivas

raíces gr5ficamente.

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Toolo!ía

La Topología del griego KFMN, OlugarP, y QRMN, OestudioP" es la rama de lasmatem5ticas dedicada al estudio de auellas propiedades de los cuerpos geométricosue permanecen inalteradas por transformaciones continuas.! Es una disciplina ueestudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La:opología se interesa por conceptos como proximidad , número de agujeros, el tipo deconsistencia o textura" ue presenta un o3jeto, comparar o3jetos y clasificar, entreotros múltiples atri3utos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o

metria3ilidad, etcétera.

Los matem5ticos usan la pala3ra topología con dos sentidos/ informalmente es elsentido arri3a especificado, y de manera formal se refieren a una cierta familia desu3conjuntos de un conjunto dado, familia ue cumple unas reglas so3re la unión y laintersección. Este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espaciotopológico.

Ie suelen considerar principalmente tres ramas/

• la :opología Seneral o Honjuntista,

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• la :opología Jlge3raica y

• la :opología 8iferencial.

 Jdem5s de estas tres ramas, ue podríamos decir propiamente topológicas, laimplicación en mayor o menor medida en otras disciplinas matem5ticas hacen uemuchos consideren parte de la :opología al Jn5lisis Tuncional, la :eoría de la edida,la :eoría de =udos parte de la :opología de dimensiones 3aja", la :eoría de Srupos:opológicos, etc. Es fundamental su contri3ución a la :eoría de Srafos,  Jn5lisisatem5tico, Ecuaciones 8iferenciales, Ecuaciones Tuncionales, Varia3le Hompleja,Seometría 8iferencial, Seometría Jlge3raica, Wlge3ra Honmutativa, Estadística, :eoríadel Haos, Seometría Tractal... Xncluso tiene aplicaciones directas en Yiología,Iociología, etc.

"roiedades tooló!icas de la recta real

Con1unto ar2uimediano

Dados dos números racionales y , siempre existe un n natural tal que .

Esto quiere decir que por pequeño que sea , si consideramos la sucesión de racionales

, llegará un momento en que sobrepasasaremos a , por muy grande que

este sea.

Por ejemplo: 

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0sta es una propiedad 2ue tami3n poseían los números naturales los enteros.

!0$56!A! !0 7A R0C*A R0A7Dados dos números racionales distintos, , siempre existe otro número racional

tal que .

Para ello, si , con b y d positivos, basta con

tomar

Ejercicio: probar que eectivamente !por e"emplo, entre 3#$ y %#3 se

encuentra $#&'

()ora bien, reiterando el proceso de intoducir un racional entre cada dos racionales

distintos es claro que entre dos racionales distintos existen ininitos racionales distintos,

  Por e"emplo, a)ora entre 3#$ y $#& se encuentra &#*3, entre 3#$ y &#*3 se

encuentra **#*&, etc., tenemos asi 3#$ + ...... + **#*& + &#*3 + $#& + %#3.

 por eso se dice que el con"unto de los racionales es un con"unto denso. o tiene sentido

)ablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurr-a ni en el

con"unto de los naturales ni en el de los enteros.

Orde

nado

De

nso

Nume

rable

Estructura

algebr

aica

/emigru

 po 

0

/emigru po

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1rupo 

0

/emigru po 

,0(nillo

conmut.con*

1rupo 

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1rupo ,02uerpo

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conmut.

 

#i$lio!raía

!e"nición de números reales8 http/00definicion.de0numeros1reales0.

Hlasificación de números reales/ Zi[ipedia

$úmero racional8 9i:ipedia

$úmero irracional8 9i:ipedia

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Clasi"cación de números irracional8 9i:ipedia

$úmeros irracionales 'amosos8 9i:ipedia

0spiral de *eodoro8 9i:ipedia

 *opología8 9i:ipedia

,ropiedades topológicas de la recta real densidad de la recta real8 

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