Ensino Superior Matemática Básica Unidade 11 - Polígonos Amintas Paiva Afonso.
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Unidade 5 – Produto Escalar e Produto Vetorial
1. Vetores
2. Reta
3. Plano
4.Distâncias
5. Cônicas
6. Superfícies
Uma base é formada por
vetores que são L.I.
Sejam u e v, vetores. Se u = kv u, v são L.D u, v não formam uma base.
Sejam u, v e w, vetores. Se u = av + bw u, v e w são L.D u, v e w não formam uma base.
As bases usuais, que são chamadas de bases canônicas
E= {(1, 0), (0, 1)}
E={(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}
a
bu
|u| = (a2 + b2)
Módulo de um vetorComprimento de um vetor
Dados os vetores u = (a, b) e v = (a, b, c) denota-se por módulo de u e módulo de v:
|u| = (a2 + b2) |v | = (a2 + b2 + c2)
Usando o teorema de Pitágoras, temos:
1.9 Módulo de um Vetor
Propriedades
I) u.v = |u||v|cos
II) Se u.v = 0 uv
v
u
1.10 Produto Escalar de Vetores1.10 Produto Escalar de Vetores
Geometricamente, utilizamos o produto escalar entre dois vetores quando o interesse é:
Determinar o ângulo entre esses vetores.
vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é:
u.v = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2
Dados os vetores u e v, decompondo v = v1 + v2 com v1 // u e v2 u.
v2
v1
v
u
v2
v1
v
u
O vetor v1 é chamado de projeção ortogonal de v sobre u e é denotado por:
v1 = projuv
projuv = v.u .u u.u
O produto vetorial ao contrário do produto escalar resulta em um vetor.
Notação do produto vetorial: u x v.
i j k
u x v = a1 b1 c1
a2 b2 c2
Ex: Calcule u x v sendo que u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2)
O vetor u x v é simultaneamente
ortogonal a u e v.
u
u x v v
v x u
Observações
u x v = - (v x u), a ordem de colocação dos vetores altera o sentido do vetor resultante.
(u x v).u = 0 e (u x v).v = 0
u x v = 0 se e somente se u // v (vetores L.D.).
Se é o ângulo entre os vetores u e v então:
|u x v| = |u||v| sen
O |u x v| é a área de um paralelogramo de lados iguais ao |u| e |v|.
|u|
|v|
|v| sen
Ex: Seja A r e o ângulo de r com o eixo x, para a determinação da equação da reta usa-se (I).
As retas são funções matemáticas escritas da seguinte forma: f(x) = ax +b
I) Equação fundamental
II) Equação Geral
III) Equação vetorial
IV) Equação paramétrica
Sejam os pontos A(x0, y0) e P(x, y) r. A equação fundamental da reta é dada por:
Obs: AP = P - A é chamado de vetor diretor da reta
Obs: AP = P - A é chamado de vetor diretor da reta
I) Equação fundamental da reta
tg = y - y0
x - x0
tg = y - y0
x - x0
y - y0 = m(x - x0)y - y0 = m(x - x0)AP
x0 x
y
y0
r: y - y0 = m(x - x0)
m = tg , é o ângulo entre r e o eixo x.
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