amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 ·...

27

Transcript of amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 ·...

Page 1: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

����������� ������������������ ���������� �!#" � !#" ��%$ &'���(��*)+�,�-�� �.���/����%)102����������� 3 �4$5��06

798�:<;>=�?A@B=DC�?�?FEGEHI@JELKNMOKQPRKQS�;T8AU�V�WBSX8AUYSZKQM\[]?F:�^_8�`ba,PRKQScU�d*[]MeSX@J[ZS

VfS][gWJ@JM\EG[gWBSih5@JMejkScUYEYMOKml?�K5n�UQ?Aop�:<8�ELKQScUrq5M<S]Er=�?FEGErS�s�t�uFtv�wyx�z,{cz n�UQ?AoF| v PJELKYUQM\?

S w `D?FM\:~}�`�?�?FEGEN��Me=kM6��KQP w =�UQ?AoF��?F[A��?�KVfSX:~�����sbs {]�bxk� s wL�Ax t�t*|R�,?m������s2s {]�2x�� s w��Ax�z��

v PB=kPJELK(�,| {]���k�

�.�F�-�����Z�r�

�,�����6�G�¡ c¢�£>¤L£>¥��G¦c¤r§¨ X�y©*�-ªB�r«A«��rª¬��¤r§X�­�N®��I§�¯%«°�rª,¦��-£e©R�rª>±g¯B�r«A¯² ]¥�±N¥�¦�³�¦��I¢�ª¬�G¦Z¯¥�¯��6�G�¡ c¤Lª¬�I®´©µ¥�£>�i£>�Z¤L£��r«¶�r£>�Z�-ª1¦��I¢Zª¬¤r§,¦��-£<©*�rª>±·�¡�N®Z�I§¸¯¡¹c¤r¯²�I®·�G¦iº���»B¢Z§�§��N�T�¼ ¥�£²£>¯J¦��I¢�ª¬�G¦Z¯¶½¾¥À¿Á�r¿�£>��ª>�I¯¬���G§¸®.³G¤L£²�I¯TÂTÃcª>�I¯> X�I�6£>¥¸Är�I§�Å.¯>¥¸³G�¡�G¥¸®Z¤r§]³G¤L£²�I¯-¿%ÆǦȠc¤Lª>£>¥��-¢Z§¸¤Lª¥¸£�¥¸¯�¯¬����©µ¦5£>�Z¤L£f¦��-£e©R�rª>±g¯��r«,¯² ]¥�±N¥�¦�³¦��I¢�ª>�G¦c¯�¤Lª>�rÃ�©µ¥�£>�(ª>�-³G¤Lª¬®�£²�É£>���1¦Q¢Z� ¹¨�-ª�r«,¦Z�I¢�ª>�G¦Z¯�£>�Z¤L£+¤Lª¬�1¦��-�I®Z�I®ÊÃF�6�G�­ c¢�£>¤L£>¥��G¦Z¤r§�§�Å��¡�rª>�1 X�y©*�-ª¬«°¢Z§�£>�Z¤r¦5£>�Z�I¯²�.�r£>�Z�-ª¦Z�I¢�ª¬¤r§k¦��-£<©*�rª>±��¡�g®��I§¸¯I¿fËÌ�6�G¦Z�6ª¬�-£²��¹c¥��G§¸�r³G¥¸�-¤r§¸§�Ū¬�I§��-Ä�¤r¦Q£Í«¾¢Z¦Z�6£>¥��G¦�¥�¯��6Îg�Z¥¸¹c¥�£²�I®©��Z¥¸�¬�É�-¤r¦¹¨�Í�6�G�¡ c¢�£²�I®É¹QÅϤ­¯¬¥¸¦�³G§��ͯ² ]¥�±N¥�¦�³¡¦��I¢�ª>�G¦(½°«°�rªµ¹c¥¸�G§��r³G¥¸�-¤r§¸§�Å.ª>�I¤r¯²�G¦Z¤L¹]§��ÄL¤r§¸¢��I¯f�r«¶¥�£>¯f ]¤Lª¬¤r�¡�-£²�-ª¬¯TÂTÃR¹c¢�£¡©��Z¥¸�¬��ª>�IÐN¢Z¥�ª¬�I¯¡�Q¢Z¦c®�ª>�I®Z¯+�r«��Z¥¸®Z®��I¦�¢Z¦Z¥¸£>¯f�G¦´¤¯¬¥�³G�¡�G¥¸®Z¤r§�¦Z�I¢�ª¬¤r§�¦��-£-¿%Ñ�¦¡£>�Z�,�r£>���-ª*�c¤r¦Z®¡¥�£�¥¸¯k±g¦��y©µ¦¡£>�Z¤L£�ÒrÓZÔJ«°¢c¦Z�6£>¥��G¦¡£>�Z¤L£*�-¤r¦¹¨�¶�6�G�¡ c¢Z£²�I®È¹QÅȤ¡¯>�­¤r§¸§¨¯>¥¸³G�¡�G¥¸®Z¤r§¨¦��I¢�ªT¤r§X¦Z�-£,�-¤r¦Ï¤r§¸¯²�¡¹¨�¶�6�G�¡ c¢�£²�I®È¹NÅ1¤¡¯¬�­¤r§¸§¦Z�-£e©R�rª>±È�r«�¯> c¥�±g¥¸¦�³f¦��I¢�ª>�G¦Z¯I¿�,�Z¥¸¯R¤Lª>£>¥¸�-§��Õ®��N�I¯R¦Z�r£R¤r¯>¯¬¢Z�¡�Õ Zª¬¥��rª*±N¦��y©µ§��I®�³r��¤L¹¨�G¢�£B¯² c¥�±g¥¸¦�³�¦Z�I¢�ª>�G¦Z¯-ÃN¤r¦Z®È¥�£

�6�G¦Q£>¤r¥¸¦Z¯¶¤r¦4�6Îg£²�I¦Z¯>¥¸Är�f§�¥¸¯²£Õ�r«%ª>�-«°�-ª>�I¦Z�6�I¯�£²�È£>���¡�-¢�ª>ª¬�I¦Y£>§�Å_¤IÄL¤r¥¸§¸¤L¹c§��f§¸¥�£²�-ªT¤L£>¢�ª>�+�G¦�6�G�­ c¢�£>¤L£>¥��G¦Z¯�¥¸¦�¦��-£<©*�rª>±g¯Õ�r«*¯² ]¥�±N¥�¦�³­¦��I¢�ª>�G¦c¯�¤r¦Z®�ª>�I§¸�-Ä�¤r¦Q£�ª¬�I¯>¢Z§�£>¯�«�ª¬�G�Ö¦��I¢Zª>�L×¹]¥��G§��r³rÅr¿

Ø5Ù�Ú�ÛÈÜmÝYÞ*ßQà�á~â¨ã�äZã°å¨æçå¨èyé¨ê~ëNå�ìfã°å�í~è�ægê~îQí6èIï>îNå¨ðcïÇñÊêTè�å¨è�éXê~ëgå�ì ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgåÊîNô ò�ëgóÉâ¨ô�è�õ]ã�í²öNìáTã°ægóÉëgã�ðÊîNô�å¨è�é¨ê~îNôkå¨è�í6á�ìmô�ëG÷�è�êÍø�ëgé¨å¨ðXá

ù

Page 2: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

� ������������ �������� � ����������� ���

���¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã�ñÊè�á%å¨è�éXê6îNôcå¨èyí²÷�ëgêTä.óÉë]ðXè�ô°á%îNòyò�ëgêTð¨ã°åXæ�í~ë í �Xè�ã°ê%ò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgåÊîQôgé¨å¨ã�í6á�ìQëgå¨è�òLîNåðXã°áTí~ã°å¨æNé¨ã°á!��í �¨êTè�èÏð¨ã#"Fèyê~è�å�í­ægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgå¨á�$�%&�¨è('*) +�,.-0/�12/�)!34,658791(ã°áføÊîQá~è�ðiëgå;:�<>=�?A@B@C7D<FE0GHI5B,6,J+K12/�?0)F791L+­îNá1òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNôJé¨å¨ã�í6á�$M%&�¨èyá~è�îQê~è4îQô°á~ë5ê~è��Oè�êTê~è�ð í~ë�îNá.âAèyê~òyè�âXí~ê~ëgå¨á.ëgêíN�¨ê~èyáN�¨ëNô°ð]ïÇæ�îQí6èyá�$O%&�¨èyöiægã#Pgèê~ã�á~èí6ë�îMPQîNêTã°èyí²ö�ë4��å¨èyé¨ê6îQôµåXèyí²÷�ëgê~ä´óÉë]ð¨èyô°á¡áTé¨òF�çîNá�óÈé¨ô¸ïí~ã°ô°îröNè�ê(â�è�ê~òyè�âXí~ê~ëgåXá;QeîNô°áTëbò�îNô°ô�è�ðDí �¨êTè�á!�¨ëgô°ð ò�ã�ê~òyé¨ã�í~áFR�ìTS ëgâXñ¨è�ô°ð å¨è�í6á�ì­îQå¨ðVU�ëgô�íNW�ó_îNå¨åó_îNòF�¨ã�å¨è�á�$�XÖòF�ÊîNê6îQòyí6èyê~ã�áTí6ã�ò��Oè�îQí6éXê~èÈë4�Rí �¨èyá~èÈóÉë]ðXè�ô°á�ã°á�í �ÊîYí íN�¨èyö�òLîNå�ëgå¨ô�ö5ægã#PgèZY45#-45B,�34@ëNéXí6â¨é]í[$Z�²å��eîNòyí­í �Xèyö·îNê~è\?01]5B^4/�)F+�34@_�Oëgê�ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå¨áf÷Íã�í �ið¨ã°ægã�í-îNôRã°å¨â¨é]í1îQå¨ð ëgé]í6â¨éXí�ìîQå¨ð�è�Pgè�ê¬ö5øAëcëgô°è�îNå`�Oé¨å¨ò�í6ã°ëNå�ò�îNå�ø�è.òyëgóÉâ¨éXí6èyð�ø�ö(á~ëNó_è�óÈé¨ô�í6ã�ïÇô¾îLögèyê�â�è�ê~òyè�âXí~ê~ëgå5÷Íã�íN��îáTã°å¨æNô°è(�¨ã�ð¨ð¨è�å(ô°îröNè�ê�$

%&�¨èa+D/F<F791bY�-0/�12/�)!34,658791Ïã°á�ø¨îNá~èyð5ëNå�ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgåÊîNô�é¨å¨ã�í6áÕíN�ÊîQí¶îQâ¨â¨ô�ö�îNådc~îQòyí6ã#PQîQí6ã�ëgå�OéXå¨òyí~ã°ëgåfeç÷Íã�í � îg<F791],65B1]?]79?h+4á~èyí5ë4�1âAëNá~á~ã�ø¨ô°è�ëNéXí6â¨é]í\PQîNô�é¨è�á�í~ëbîç÷�è�ã°æ4�Zí~è�ð á~é¨ó QOëgêâ�ëgô�ö]åXëgó_ã°îNôBR¡ë4�Íí �Xè5ã�å¨â¨éXí~á�$jiÕëNó_óÉëgå îNò�í6ãkPQîQí~ã°ëgål�Oé¨å¨òyí~ã°ëgåXáîNê~è4íN�¨èm+�5#-4nK7956Ypoq?012<�,r58791s Q6tLR�u ùwv Q ù�xzy>{h| R�îNå¨ð í �Xèiô�ã°å¨è�îNê�á6îYí6é¨ê~îQí6èyð}�Oé¨åXòyí6ã�ëgå�~Ö÷Íã�í ��~�Q6tLRu t��OëgêM���t}� ù4� ~�Q6tLRKu���Oëgêpt���� � ~*Q6tLRKu ù �OëNê�t}� ù $�UÕè�áTã°ð¨èyá_âXã°è�òyèy÷Íã�á~è5âAëgô�öcå¨ëgóÉã¾îNôîQòyí6ã#PQîQí6ã�ëgåp�Oé¨å¨òyí~ã°ëgåXáµ÷�èfò�ëNå¨á~ã�ð¨è�êµã°åÉí �¨ã�áµâ¨îNâAèyê�îNô�á~ë�cTâ¨ã�è�ò�è�÷Íã°áTè+è�õ]â�ëgå¨èyåZí~ã¾îNôke1îQòyí6ã#PQîQí6ã�ëgå�OéXå¨òyí~ã°ëgå¨áyì]÷��¨ëNá~è­â¨ã°èyò�èyá�òLîNå(ø�èfð¨è�ñÊå¨è�ð(ø�ö4èIõ]â¨ê~èyá~á~ã�ëgå¨áÍã°å�PNëgôkPcã°åXæ1è�õ]â�ëgå¨èyåZí~ã¾îQí~ã°ëgå�QOá~é¨òF�îQáBí �¨è¶ð¨è�ñÊå¨ã�í6ã°ëNåÈë4� s R�$�%µöcâ¨ã�òLîNô¨èIõXîNó_âXô°è�á��OëNêBå¨èyí²÷�ëgêTäcá*�Oê~ëNó íN�¨ã°áBáTè�òyëgå¨ðÉægè�å¨èyê6îQí~ã°ëgåîQê~è�Oèyè�ðL�OëNêT÷ÕîNê~ð·îNå¨ð´ê~èyò�é¨êTê~èyåZí.á~ã�ægóÉëgã°ðÊîQô%åXè�é¨ê~îNôJå¨èyí~á�ì%îNáf÷�è�ô�ôJîNá­å¨èyí²÷�ëgêTäcá�ë4�µê6îQð¨ã¾îNô*øÊîNáTã°á�OéXå¨òyí~ã°ëgåié¨å¨ã�í6á�$K%&�¨è�áTè�å¨è�í6áÈîQê~èÉîNô°áTë�îQø¨ô°èÏí6ë5ò�ëNó_â¨é]í6è�QO÷Íã�íN�iíN�¨è��¨è�ô�â ë4��í �¨êTè�áN�Xëgô°ð¨ã�å¨æîYí�í �¨è�å¨è�í²÷ÕëNê~äDëgéXí~â¨éXíFR4îNê~ø¨ã�í6ê~îNêTöbøAëcëgô�èLîNå��OéXå¨òyí~ã°ëgå¨á�$�X+ò�í6éÊîQô°ô�öbã�íZ�ÊîNá�ø�è�è�å áN�XëG÷ÍåíN�ÊîQí¡åXè�é¨ê~îNôBå¨è�í6á(�Oê~ëgó�í �XèÏá~è�òyëgå¨ðiægè�åXè�ê6îYí6ã°ëNå�òLîNå�òyëgó_âXéXí6èÏòyè�êTí6îNã°å�ø�ëcëgô°è�îNå��Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨á÷Íã�í �Zo[/��./�)Íæ�îQí~è�á+íN�ÊîNå�å¨èyé¨ê6îQôRå¨è�í6áT�Oê~ëNó#íN�¨è1ñÊêTáTí­ægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgåjQN�����9�\ì*� ùw� ��R�$��²å´îNðXð¨ã�í~ã°ëgå�ìåXè�é¨ê~îNô�å¨è�í6áp�Oê~ëgó'í �¨è�áTè�òyëgå¨ð2ægè�å¨èyê6îQí~ã°ëgå îQê~è(îNø¨ô�è�í6ë�òyëgóÉâ¨éXí6èZ�OéXå¨òyí~ã°ëgå¨áÈ÷Íã�í �}341b34@C7N-ã�å¨â¨éXíÈîNå¨ð ëNéXí6â¨é]í[$m�²å;�eîNò�í1íN�¨èyö îNê~è�?A1]5B^4/�) +�34@2�Oëgê1îNåÊîNô�ëgæ�òyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNå¨á.ã�å í �Xè�á~èyå¨á~èíN�ÊîQí�îNå�öÏòyëgå�í6ã°åZé¨ëNé¨á��Oé¨å¨òyí~ã°ëgå÷Íã�íN�Éî­òyëgóÉâÊîNòyíµð¨ëNó�îNã�åîNå¨ðê6îQå¨ægèÍòLîNåÉø�è îQâ¨â¨ê~ëLõ]ã°ó_îQí~è�ðîQê~ø¨ã�í6ê6îQê~ã°ô�ö.÷�è�ô�ô�QÀ÷Íã�íN�_êTè�æ�îNêTð_í~ë1é¨å¨ã#�Oëgê~ó ò�ëgå�Pgèyê~ægèyå¨ò�èQìÊã8$ è4$%í �¨è���� ïÇå¨ëgêTóZRBø�ö_î�å¨è�í²÷ÕëNê~äë>�Rí �Xã°áÍí²ö]â�è­÷Íã�í ��îÉáTã°å¨æNô°è��¨ã°ðXð¨è�å�ô¾îLögèyê�$�X å¨ëNí �Xè�ê�òF�ÊîNê6îQòyí6èyê~ã�áTí6ã�ò��Oè�îQí6éXê~è�ë4�RíN�¨ã°á�á~èyò�ëgå¨ðæNè�å¨èyê6îQí~ã°ëgå ë>�Íå¨è�é¨ê~îNôÕåXèyí²÷�ëgê~ä óÉëcð¨è�ô�á.ã�á.í �¨îQíÈí �Xèyö·á~é¨â¨â�ëgê¬íÏô°è�îNê~å¨ã�å¨æ�îQô°ægëgêTã�íN�¨ó_á¡íN�ÊîQíîQê~è­øÊîNáTè�ð5ëgå�æNê6îNð¨ã�è�å�íÍð¨èyá~ò�èyå�í+áTé¨òF��îNáÍøÊîQò-äcâXê~ëgâ�$

�mëNêBîfø¨ã�ëgô°ëgæNã°òLîQôgã°å�í6èyê~â¨êTèyí6îQí6ã�ëgåÈë4��å¨èyé¨ê6îNô]å¨èyí~á��Oê~ëgó�í �Xè�á~èyò�ëgå¨ðÉægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgåÈëgå¨èIP]ã�èy÷ÍáíN�¨è�ëgéXí6âXéXí+ë>�BîÉá~ã°æNó_ëgã�ðÊîNôAé¨å¨ã�í�îQá+îê~èyâ¨ê~èyá~è�å�í6îQí6ã�ëgå�ë4�*í �¨è�ò�éXê~ê~èyå�í+ñÊêTã°å¨æê6îYí6è­ë4�JîÉø¨ã°ëYïô�ëgægã�òLîNôcå¨è�éXê~ëgå�$��]ã°å¨òyè�ø¨ã�ëgô°ëgæNã°òLîQôcåXè�é¨êTëgå¨á�ìZèyá~â�è�ò�ã°îNô°ô�ö�ã°åp�¨ã�æ��¨è�êRò�ëgê¬í6ã°ò�îNô¨îQê~èLîQá�ìZîNêTè¶äcåXëG÷Íåí~ë.ñÊêTè+îYíIPQîNêTã°ëgé¨á,ã�åZí~è�êTó_èyð¨ã¾îQí~è��Oê~è� céXè�å¨òyã°è�áÕøAè�í²÷Õèyè�å4í �Xè�ã°ê,óÉã°å¨ã�óÈé¨ó îNå¨ð�ó_îYõ]ã°ó1é¨ó¡�OêTè�ï Zé¨èyå¨òyöNì*åXè�é¨ê~îNôJå¨èyí~á(�Oê~ëgó�í �¨èáTè�ò�ëNå¨ð·æNè�å¨èyê6îQí~ã°ëgå´îNêTèNì�÷Íã�í �´ê~èyæ�îNê~ð�í~ë(íN�¨ã°á`c¬ñÊê~ã�å¨æ�ê6îYí6èã�å�í6è�êTâ¨ê~è�í-îQí~ã°ëgåLe¨ì¨ø¨ã�ëgô°ëgæNã°òLîQô°ô�öÈó_ëgêTè¡ê~è�îNô°ã�áTí6ã�ò íN�ÊîNå5ó_ëcð¨è�ô�á.�Oê~ëNó�í �¨è¡ñÊêTáTí�ægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgå�$

S ër÷Õè�Pgèyê�ì¨îYí�ô�èLîNá¬íJ÷Íã�íN�_êTè�æ�îNêTðÉí~ë&o�39+�,mîNåÊîNô�ëgæ­ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå¨áBø�öå¨è�í²÷ÕëgêTäZáÕë4�Få¨è�é¨êTëgå¨áã�å4í �¨è­òyëgêTí~è�õAìXí �Xè�c>ñÊê~ã�å¨æÏê6îQí~èfã°å�í~è�ê~âXê~èyí6îQí6ã�ëgåfeÏã�í6á~èyôk�¢�ÊîNá¶ø�è�òyëgóÉè( céXè�áTí~ã°ëgå¨îNø¨ô°è>$*£*èyê~ê~è�í~í

Page 3: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

è�ífîQô8$�QN� � �>��R�îQå¨ð�%&�¨ëNê~â�è.è�í+îQô8$�QN���4�>��R&�¨îDPNè1ð¨èyó_ëNå¨áTí~ê6îQí~è�ð�íN�ÊîQí�Pcã°áTéÊîNô�âÊîQíTí6è�êTå�îNå¨îNô�öcá~ã�áîQå¨ðçâÊîQíTí6è�êTå ò�ô¾îQá~á~ã�ñÊòLîYí6ã°ëNå òLîQåçøAè�ò�îNê~êTã°è�ð ëgéXíÏø�ö;�Zé¨ó_îNå¨á1ã°å��Té¨á¬í ù ����óÉá~èyòNì,ã°å á~â¨ã�í6èë>��íN�¨è��eîQòyí¡í �¨îQí�ã�í­ã°å�PNëgôkPNè�á�î5óÉã°åXã°óÈé¨ó�ë4� ù �(áTöcåÊîNâ]í6ã°òá¬í-îNægèyá(�Oê~ëgó íN�¨èê~è�í6ã°å¨î�í~ë5íN�¨èí~è�óÉâAëNê6îNô]ô°ëgø�è4$�%&�¨èÍá6îNóÉè¶á~â�è�èyð�ë4�_Pcã°áTéÊîNôÊâ¨êTë]òyè�á~áTã°å¨æ��ÊîQáµø�è�èyå_óÉèLîQá~é¨êTè�ðø�ö���ëNô°ô°áRèyíµîNôr$Q!� ��� �BRµã°å�ó_îNòLî4 Zé¨è¡óÉëgå¨äQèyöcá�$I�Êé¨êTíN�¨è�êTó_ëNê~è+íN�¨èyö`�¨îDPNè­áN�¨ër÷Íå(í �ÊîQí¶îáTã°å¨æNô°è+òyëgêTí~ã°ò�îNô�îNêTèLîã�å�Pgëgô#Pgè�ð�ã�å�Pcã°áTéÊîNôRâXê~ëcò�è�áTá~ã�å¨æ�òLîNå�ò�ëgóÉâ¨ô°è�í6è.ã�í6á ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå�ã�å�Té¨á¬í � �Yï���_óÉá~èyòMQN� � � �<ì� � � ��R�$��få�í �XèÏëNí �¨èyêT�ÊîNåXð�í �¨èÈñÊêTã°å¨æ�ê6îQí~è�á¡ë4�,å¨èyé¨ê~ëNå¨á­ã°å�Pgëgô#Pgèyð�ã°å�í �Xè�á~èÏòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNå¨áîQê~è�é¨áTéÊîNô°ô�ö ø�è�ô�ër÷ ù �4�S WNì�îNå¨ðj�¨èyå¨ò�è5îQíô�èLîNá¬í � �Yï����óÉá~è�ò�÷�ëgé¨ô�ðçøAè(å¨èyè�ð¨èyð��Té¨á¬íÏí6ëá~îNóÉâ¨ô°è�íN�¨è òyé¨ê~êTè�å�íµñÊê~ã�å¨æ­ê6îQí~è�ë>�kî¡å¨è�éXê~ëgå�$�%&�Zé¨áÕî¡ò�ëcð¨ã°å¨æ­ë4��îNåÊîNô�ëgæTPQîNê~ã°îNø¨ô�è�áJø�öÏñÊê~ã�å¨æê~îQí6èyáÍá~è�èyó_á  Zé¨ã�í~è¡ð¨é¨ø¨ã�ëgé¨áÍã°å�íN�¨è­ò�ëgå�í6èIõcí ë>� �eîNá¬íÍò�ëgê¬í6ã°ò�îNô�òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgåXá�$

��5#-4?A) /������_5Bnp?A@ ,83412/F79?�+�)F/F<F79)!Y45B10-9+��!79^4/�)���+D/F<F791bY9+��Z7 o�,BE]/�'*)�5B10-K,65BnK/F+p7 o�� �O12/�?A) 791L+oq) 79n nK791"!�/$#�+�,r)q5634, /m<F79)q, /&%(')#�*�),+?4-0/�)M341bY.-�50/b@C/�12���436587�30<FE`'*)q5B10- 5C+ Y0/�1279, /NY(')#�3+FE]79)q,�^4/�)q,r58<N34@9'F34);:���5B,BE�3�+D/�/L34)!34, /�) 79��o[79)�/N30<FEM12/�?0) 791<5�¢79)�<F79n�/L34)q5C+D791\�./�EL34^4/(n�34);!�/NY�,JE]/T@C/�10-4,JE 7 o�341�5B1], /�)q^934@¢7 o=�>����na+D/F<�')#�,6�.7�^4/�)q,r58<N34@@ 5B12/F+)5�?�E05C+*,65BnK/�+�/L341p5C+@!91279��1�, 7&+�?$A�<F/_o[79)*,BE]/&<F79n�/b@C/�,r58791O7 o�+D79nK/.<F79n�/b@C/&%�np?A@ ,65B@#3 #�/�)<F79)q,658<N34@ <F79n�/b?A,834,658791L+)5

�¡å íN�¨è�ëNíN�¨è�ê��¨îNå¨ð è�õ]â�è�ê~ã�ó_èyå�í-îNô�è�Pcã°ð¨èyå¨ò�èM�ÊîQáÏîNò�òyé¨óÈé¨ô°îQí6èyð ð¨é¨ê~ã�å¨æ�íN�¨è�ô¾îNá¬ía�Oè�÷öNèLîNêTáÈ÷��¨ã°òF�çã�å¨ð¨ã�òLîQí~è�á1íN�ÊîQíÈó_îNå�ö·ø¨ã°ëgô�ëgægã�òLîNôBåXè�é¨ê~îNô�áTöcá¬í6è�óÉáÏé¨áTè4í �¨è�í~ã°óÉã°å¨æ5ë4�ÍáTã°å¨ægô�è

Page 4: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

îQòyí6ã�ëgå â�ëNí6èyå�í6ã¾îQô°á`QOëgêaeNá~â¨ã�äNè�á!ehR.í6ë�è�å¨òyë]ð¨è�ã�åL�OëgêTó�îQí~ã°ëgå Q!� ù �<ì � � �\ì � >�<ì � � �\ì � � �<ì � �w�\ì � ù � �<ì� ��� �<ì � ��>�<ì¢�� � �<ì¢� ��� �\ì¢� � �9�<ì¢� ��� �<ì � ��� �\ì¢���4�w�BRq$

%&�¨è�áTè1è�õ]â�è�êTã°óÉè�å�í-îNô�êTè�á~éXô�í6á��Oê~ëNó/å¨è�é¨êTëgø¨ã�ëgô°ëgæQöZ�Êî[Pgè1ô°èLîQð5í~ëÉíN�¨è.ã�å�Pgè�á¬í6ã�æ�îQí6ã�ëgå5ë4�Jî,BE05B)!Y(-0/�12/�)!34,r58791�ë4�Aå¨è�é¨ê~îNôÊå¨è�í²÷ÕëgêTäó_ëcð¨è�ô�áR÷Íã°òF�Éè�óÉâ¨ô�ëGö�+�/b5 !95B10-�12/�?0)F791L+&QeëNêac¬ã°å�í6èyægê6îQí~èîQå¨ðÏñÊê~èÍå¨èyé¨ê~ëgåXáNehRBîNáJòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNåÊîNôXéXå¨ã�í~á�$ �Íè�òyè�å�í6ô�ögìZëgå¨è&�¨îNáµîNô°áTë¡áTí-îQêTí6èyðÏí6ë­òLîNêTêTö1ëgéXíèIõ]âAèyê~ã°óÉè�å�í~á,÷Íã�í �Éê~èyô¾îQí~è�ðå¨èy÷bí²öcâAèyá�ë4�Aè�ô�è�ò�í6ê~ëNå¨ã°ò&�ÊîQê~ðX÷ÕîNê~è�á~éXòF�4îNá,â¨é¨ô�á~è¶á¬í6ê~è�îNó����¢�A�QOá~èyèÏè4$ æf$O� ù 9�\ì*� ù �9�\ì*� � �4�<ì*� � � �<ì*� ��� �<ì*��� �9�<ì*� � � �\ì�� � �w�\ì�� �]ù �\ì*� ��� �<ì*� � 9�<ì*� � � �<ì*��� >��R�$(�²å�í �¨èyá~èåXèy÷ òF�¨ã°â¨á¶ëNå¨è¡òLîNå(èyå¨ò�ëcð¨è­îNåÊîQô°ëgæaPQîNêTã¾îNøXô°è�á�ø�öm,65BnK/�Y45 �T/�) /�12<F/F+µøAè�í²÷Õèyè�å5â¨é¨ô°áTè�áyì¨÷��¨ã°òF��¨îNáÈâ¨ê~îNòyí~ã°òLîQôÕîNðAPNîQåZí6îNægèyáÈëDPgè�êÏëQí �¨èyêÈè�å¨òyë]ðXã°å¨æ�óÉèyíN�¨ëcð¨á�$%&�¨è�ægë�îNôµë4��é¨å¨ð¨èyê~á¬í-îNå¨ðXã°å¨æíN�¨è1ò�îNâÊîNøXã°ô°ã�í6ã�è�áÍîNå¨ð�ô°ã°óÉã�í6îQí6ã�ëgå¨á�ë>�Bí �¨ã�á+å¨è�÷�í²öcâAèÈë>�,îNåÊîNô�ëgæÉå¨è�é¨ê~îNô �¨îNê~ðX÷ÕîNêTè1â¨êTëwPcã�ð¨è�áîQð¨ð¨ã�í~ã°ëgå¨îNôJó_ëQí6ãkPQîQí~ã°ëgåm�OëNê�íN�¨è�ëgêTèyí~ã°òLîQôµã�å�Pgè�á¬í6ã�æ�îQí6ã�ëgåië4��í �Xè_í �Xã°ê~ð·ægè�åXè�ê6îYí6ã°ëNå ë4�¶åXè�é¨ê~îNôåXèyí²÷�ëgê~ä�óÉë]ðXè�ô°á�$

�¡åXèÈó�îLö�îNô�á~ëKPcã°è�÷ÖíN�¨ê~èyáN�¨ëNô°ð�ò�ã�ê~òyé¨ã�í~ápQeãr$ è>$få¨èyé¨ê6îNôRå¨èyí~áT�Oê~ëgó/í �Xè1ñÊê~á¬í­ægè�åXè�ê6îYí6ã°ëNå_RîQáÕîNøXáTí6ê~îNòyí�óÉë]ð¨èyô°á��Oëgê,ð¨ã�ægã�í6îNôXòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNåÉëNå�å¨è�í²÷ÕëgêTäZá�ë4��áTâ¨ã°äZã�å¨æ­å¨è�é¨êTëgå¨áyì]÷��¨èyê~è íN�¨èøXã�í ù ã�á.òyë]ð¨èyð ø�ö´í �¨èÉñÊê~ã�å¨æ5ë4�¶î5å¨è�é¨êTëgå ÷Íã�í �¨ã�å î(ò�èyêTí-îQã°å á!�¨ëgê¬í.í~ã°óÉè÷Íã�å¨ð¨ër÷­ìBîQå¨ð;�ø�öií �¨è_å¨ëgå]ï\ñÊê~ã�å¨æ5ë4�¶í �¨ã�á.åXè�é¨êTëgå ÷Íã�íN�¨ã°åií �¨ã�á.í~ã°óÉè÷Íã�å¨ð¨ër÷�QeáTè�è4è>$ æL$;��� � ��R�$ S ër÷�è�Pgèyê�ìéXå¨ð¨è�ê�í �¨ã�á.òyë]ðXã°å¨æ5á~òF�¨èyó_è�î5íN�¨ê~èyáN�¨ëgô�ð òyã°ê~òyé¨ã�í�â¨êTëDP]ã�ð¨è�á1î5êTèLîNáTëgåÊîNøXô�ö´ægëcë]ðióÉë]ð¨èyô��Oëgêî4åXèyí²÷�ëgê~ä�ë4�,á~â¨ã�äZã°å¨æ4åXè�é¨êTëgå¨á¡ëgå¨ô�ö�ã#�Bí �Xè1ñÊê~ã�å¨æ�í~ã°óÉè�á+ë>�µîNô°ô%å¨è�éXê~ëgå¨áfíN�ÊîQí¡âXê~ëDPcã°ð¨è1íN�¨èã�å¨â¨éXí*ø¨ã�í6á��OëNêRîNåXëNí �¨èyê*áTâ¨ã°äZã�å¨æ+å¨èyé¨ê~ëNåîNê~è&+$#>12<FE0) 791]5��9/NYTQOé¨â.í~ë¡î �Oè�÷ ó_áTè�ò[R�$�X â¨âÊîNêTè�å�í6ô�öáTé¨òF� á¬í6êTëgå¨ægô�ö�áTöcå¨òF�Xê~ëgå¨ãkW�èyð îNò�í6ãkPcã�í²ö�ð¨ëcè�á­ëcò�òyé¨ê­ã°å�ø¨ã�ëgô°ëgæNã°òLîQô%åXè�é¨ê~îNôJáTöcáTí~è�óÉáZQOá~èyè�� � �<ì� � ��R�ø¨éXíÍó_îNå�ö(îNê~æNé¨èfí �ÊîYí ã�í¶ã°á¶åXëNíÍí �¨èyã°ê�í²öcâ¨ã°ò�îNôkóÉë]ð¨è¡ë>�Rëgâ�è�ê~îQí6ã�ëgå�$�îQí �Xè�ó_îQí6ã�òLîNô,óÉë]ð¨èyô°á��OëgêcTã�å�í6è�æNê6îQí~è4îNå¨ð ñ¨ê~è4å¨èyé¨ê~ëNå¨áNedQOëgê cTáTâ¨ã°äZã°åXæ�å¨èyé¨ê~ëgåXáNeiîNá

íN�¨èyö��Êî[Pgè�øAèyè�åòLîNô�ô°èyðÏó_ëgêTè¶ê~èyò�è�å�í~ô�öLRBòLîNåø�èÍí~ê6îNòyè�ðøÊîNò-ä.í6ëO��>�4�¢QeáTè�è���� ù ��R�$ %&�Xè�ê~è�è�õ]ã�áTíîÉåZé¨óÈø�è�ê+ë>��PQîNê~ã°îQí6ã�ëgå¨áÍë4�BíN�¨ã°á�ó_ëcð¨èyô\ì¨÷��¨ã�òF��îNê~è.ð¨è�áTò�êTã°ø�è�ð�îNåXð�ò�ëgóÉâÊîNêTè�ð�ã°å�îÉê~èyò�è�å�íáTé¨ê!PNèyö�QeáTè�è�� ù �9�BRq$� ã�í �iê~èyæ�îNêTð´í~ë5íN�¨èê~èyô¾îQí~ã°ëgå¨á!�¨ã°â�ë>�Õí �Xè�á~èÉó_îQí �¨èyó�îYí6ã°ò�îNôRóÉëcð¨è�ô�á+í6ëíN�¨è�äcåXëG÷Íå�ø�è��¨îDPcã�ëgé¨ê�ë4�Bø¨ã�ëgô°ëNægã°ò�îNôFå¨èyé¨ê~ëNå¨á ÷�è1êTè��Oè�êÍí6ëm� ù �\ì�� >�\ì � � �<ì�� � �<ì � ù �>�<ì�� �4� �\ì�� � �9�<ì� ��� �<ì � � >�<ì � � �4�<ì � � ù �\ìmîQå¨ðl� � � �8$�%&�¨èyá~è�ó�îYí �¨èyó�îQí~ã°ò�îNôAóÉëcð¨è�ô�á.�Oëgê¶á~âXã°äZã°å¨æå¨èyé¨ê~ëNå¨áÍð¨ëå¨ëNíâXê~ëDPcã°ð¨èî�ò�ëNó_â¨ô�èyí~èÈð¨è�áTò�êTã°âXí~ã°ëgå´ë4�µí �¨èÏèIõcí6ê~èyó_èyô�ö�ò�ëgóÉâ¨ô°èIõ�òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNô¢�OéXå¨òyí~ã°ëgå´ë4�î�ø¨ã°ëgô�ëgægã�òLîNô*å¨è�é¨êTëgå�$.� îQíN�¨è�êyìRô�ã°äNèí �Xè4ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgåÊîNôJéXå¨ã�í~á.ë4�Õí �¨è4âXê~è�Pcã�ëgé¨á.í²÷�ë�ægèyå]ïèyê6îQí~ã°ëgåXá.ë4�Õå¨è�éXê6îNôµå¨èyí²÷�ëgêTäióÉëcð¨è�ô�á�ì�í �¨èyá~è4îQê~è`+�5Bn�/b@ 5 '�/NYóÉë]ðXè�ô°á¡íN�ÊîQí��Oë]òyé¨á.ëNå �Té¨á¬íÈî�Oè�÷#îNá~â�è�ò�í6á4ë>�¡ø¨ã°ëNô°ëgægã�òLîNôÕå¨è�é¨êTëgå¨á�$VS�ëG÷�è�PNè�êyì ã�å ò�ëNó_âÊîQê~ã°áTëgå ÷Íã�í �2í �¨è�â¨ê~è�Pcã°ëgé¨áÉí²÷ÕëóÉëcð¨è�ô�áBí �¨è�öÉîNê~èÍá~éXø¨áTí6îNå�í6ã¾îQô°ô�öÈó_ëgêTè¶ê~è�îNô°ã�áTí6ã�ò4$¢�²å�âÊîQêTí6ã�ò�é¨ô°îNê�ìQí �¨è�öð¨è�áTò�ê~ã�øAè�óÈé¨òF�_øAè�í~í~è�êíN�¨è4îQòyí6é¨îNôT79?A, /b?A,µë4�Íî5ø¨ã°ëNô°ëgægã�òLîNô*å¨è�éXê~ëgå�ìBîNå¨ð �Xè�å¨òyè_í �Xèyö îNô°ô�ëG÷Öé¨á�í6ë�ã�å�Pgè�á¬í6ã�æ�îQí6èÉëgåî(í �¨èyëgê~è�í6ã�òLîNôJô�è�PgèyôJí �¨èÉâAëNá~á~ã�ø¨ã°ô�ã�í~ã°è�á+ë4��é¨áTã°å¨æl,r5BnK/¡îNá.î�ê~èyá~ëgéXê~ò�è��Oëgê­ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgåiîNå¨ðòyëgóÉóÈé¨å¨ã�òLîQí~ã°ëgå�$���¨èyê~è�îNá íN�¨è�í~ã°óÉã°å¨æÏë>�Bò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgå(áTí~è�â¨á ã°áÍé¨áTéÊîNô°ô�ödc¬í~ê~ãkPcã°îNô°ãkW�è�ðLeÏã°åíN�¨è­ó_ëcð¨èyô°á.�OêTëgó�í �Xè¡â¨ê~èyò�è�ðXã°å¨æí²÷ÕëÉægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgå¨á�Qeèyã�í �Xè�ê�í �Xê~ëgé¨æ4��îQå�îNáTá~é¨óÉè�ð5áTöcå¨òF�Xê~ëQïåXãCWLîYí6ã°ëNå�ì¨ëgê¶í �Xê~ëgé¨æ4��îNå�îNá~áTé¨óÉè�ð�á¬í6ëcòF�ÊîNá¬í6ã°ò.îNá¬ö]åXòF�¨ê~ëgåXã°ò�ã�í²öLR�ìmí �¨è­í6ã�ó_ã�å¨æÏë4�Bã�å¨ð¨ã#P]ã�ð¨éÊîNôòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNå5á¬í6èyâ¨á âXô¾îLöcá+îÏäNè�ö�ï²ê~ëNô°è��Oëgê¶ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå¨á¶ã�å�å¨è�í²÷ÕëNê~äZá+ë4�Rá~â¨ã�äZã°å¨æå¨èyé¨ê~ëgåXá�$�²å��eîNòyí�ì�í �¨èÍëgéXí~â¨éXí�ë4�Fî�áTâ¨ã°äZã°åXæ.å¨èyé¨ê~ëNå� <F791L+�5C+�,B+Jë>�AíN�¨è áTèyí�����������ë4�Aâ�ëgã°å�í6á,ã�åí~ã°óÉè÷��Xè�å� ;c¬ñÊêTè�áNe�QO÷��Xè�ê~è�� � u��������! "��#��%$>Rq$

Page 5: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

�²åÉíN�¨è áTã°óÉâ¨ô°èyáTí QOð¨èyí~è�ê~óÉã°åXã°áTí~ã°ò[R*ó_ëcð¨èyô¨ë4�kî­á~âXã°äZã°å¨æ­å¨èyé¨ê~ëNå�ëgå¨è�îNáTá~é¨óÉè�á,í �¨îQí�î�å¨èyé]ïêTëgå� ­ñÊê~èyáB÷��¨è�å¨è�Pgèyê�ã�í6á�cTâ�ëNí~è�å�í6ã°îNôCe����TQO÷��¨ã�òF�Ïó_ëcð¨è�ô�áRí �Xè�è�ô�è�òyí~ê~ã�ò�ó_èyóÈø¨ê~îNå¨è�â�ëNí6èyå�í6ã¾îQôîYí íN�¨èmc>í6ê~ã�ægægèyê&W�ëgå¨è�e4ë4�Rå¨è�é¨êTëgå� AR�ê~è�îNòF�¨è�áfîÉòyè�êTí6îNã°å5í �¨êTè�á!�¨ëgô°ð�� �>$.%&�¨ã°á�âAëQí6è�å�í~ã¾îNô�� �ã�á+í �XèÈá~é¨ó ë4�µá~ëcòLîNô�ô°èyð�è�õ]òyã�í-îYí6ëgê¬ö�â�ëgáTí~áTöcåÊîNâ]í6ã°òÏâ�ëNí~è�å�í6ã°îNô°á�Q�c��*£��L£�� á!ehRfîNå¨ð�ã�åf�¨ã�ø¨ã�í~ëgêTöâ�ëgá¬í6áTöcåÊîQâXí6ã�ò_â�ëNí6èyå�í6ã¾îQô°áOQ�c!� £��L£�� áNehRIìR÷��¨ã�òF� ê~èyá~é¨ô�í��OêTëgó íN�¨èÉñ¨ê~ã°åXæ�ë4��ëNí �¨èyê.åXè�é¨êTëgå¨áíN�ÊîQí.îNêTèÉòyëgå¨å¨èyòyí~è�ð íN�¨ê~ëgéXæ�� îdcTá¬öcåÊîNâ¨áTè�e�í~ë�å¨èyé¨ê~ëNå ;$ %&�¨èñÊê~ã�å¨æ(ë4�¶î cTâ¨êTè�á¬ö]å¨îNâXí6ã�ò�eåXè�é¨êTëgå��îQí¶í6ã�ó_è ��ò�ëNåZí~ê~ã�ø¨éXí6èyá¶í6ëÏí �¨è­â�ëNí6èyå�í6ã¾îQô����fîQí¶í6ã�ó_è��¶îNå5îNóÉëgé¨å�í¶í �¨îQíÍã°á¶óÉë]ðcïèyô°ô�è�ð2øZö íN�¨è�í~è�ê~ó������ ��������� �>Q������wR�ìÕ÷��¨ã°òF�bò�ëgåXá~ã°á¬í6á_ë4�­î! J�./�5#-9E0,#"$����� � # � îQå¨ð�î) /F+�/]791L+D/�G oq?012<�,r58791$�%��� �>Q&���'�wR $*UÕã�ëgô°ëNægã°ò�îNô°ô�öÈê~è�îNô°ã�áTí~ã°ò+á!�ÊîNâ�è�á¶ë4�%áTé¨òF�(ê~è�áTâAëNå¨á~è(�Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨áîQê~è­ã°å¨ðXã°òLîYí6è�ð�ã�å\�Rã°ægéXê~è � $

��5#-4?A) /)(>��? # /b58<N34@>+FEL3$/]/&7 o*) /F+�/]791L+D/]oq?012<�,r58791L+ � 7*H �fH 341bY�*FH �fH9�(7 oI3='�5879@C7N-458<N34@�12/�?A) 791<5

%&�¨è\c¬÷�è�ã°æ4�ZíNe+����� � #��Èã°å_í �¨èfí~è�ê~ó,����� �-�.����� �>Q����'�wR�êTè0/Êèyòyí6á�íN�¨è\cTá¬í6ê~èyå¨æNíN�fe\Qeò�îNô°ô�è�ðc¬è01ÉòLîNò�ö0e�ã�åiåXè�é¨êTëgø¨ã°ëNô°ëgæNöLRÍë4��íN�¨èáTöcåÊîNâXá~èÉøAè�í²÷Õèyè�å åXè�é¨êTëgå2·îNå¨ð´å¨èyé¨ê~ëNå l$��²åiíN�¨èòyëgå�í6èIõ]íÉë4��@C/N34)q1]5B10-�ëgå¨è�òLîNå ê~èyâ¨ô¾îQò�è3����� �_øZö îKoq?A12<�,6587914����� �>Q&�!RO$��²å2îNð¨ð¨ã�í6ã°ëNå ã�í��ÊîNáø�è�èyå òyëgå �Tè�ò�í6é¨êTè�ð í �ÊîQí5ê~îNâ¨ã°ð òF�ÊîQå¨ægè�á5ë4�.í �¨èPQîNô°éXè�ë4�$����� �>Q&�!R�îNêTèiîNô°áTë2èyá~áTè�å�í6ã°îNô(�Oëgê<F79n�/b?0,834,r58791L+Íã�å�ø¨ã�ëgô°ëNægã°ò�îNôFå¨èyé¨ê6îQô*á¬ö]á¬í6èyó_á�$�S�ëG÷�è�PNè�êT�Oëgê�á~ã�ó_âXô°ã°òyã�í²ö_÷Õè�P]ã�èy÷ �¨èyê~è5���%� ��TéXáTí îNá�îÏò�ëgå¨á¬í-îNå�í�$

%&�¨è�ê~èyáTí~ê~ã°ò�í6ã�ëgå ë4�6���%� ��í~ë å¨ëgåcï²å¨èyæ�îQí6ã#Pgè\PNîQô°é¨èyá�ã°á_ó_ëQí6ãkPQîQí~è�ð2ø�öbíN�¨è�îNáTá~é¨óÉâXí6ã�ëgåíN�ÊîQí+î_ø¨ã�ëgô°ëNægã°ò�îNô�áTöcåÊîQâ¨á~èÈã�á èyã�íN�¨è�êKcTè�õ]òyã�í-îYí6ëgê¬öAe_ëgêKcTã°åf�Xã°ø¨ã�í6ëgê¬öAeXìÊîNå¨ð�íN�ÊîQí ã�í�ð¨ëcè�á å¨ëNí

Page 6: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

òF�¨îNå¨ægè�ã�í6á�cTáTã°ægåfe�ã°å­í �XèÕò�ëNé¨ê~áTèÕë4�mîKcTô°è�îNê~åXã°å¨æQïÇâ¨ê~ëcò�èyá~á!ef$ �²åÏîNð¨ð¨ã�í6ã�ëgå�ìD�Oëgê�ó_ëNáTí*ø¨ã°ëgô�ëgægã�òLîNôåXè�é¨êTëgå¨á+ ìJè�ã�íN�¨è�êÈîNô°ôµê~èyá~â�ëgå¨á~èIï��Oé¨åXòyí6ã�ëgå¨á$�%��� �>Q&� � �wR��OëNê1â�ëgáTí~áTöcåÊîNâXí~ã°ò�å¨èyé¨ê~ëNå¨á� îQê~èc¬è�õ]ò�ã�í-îQí~ëgêTö0e\Qeãr$ è>$JâAëNá~ã�í~ãkPNèDR�ì]ëgê¶îNô�ôAë>�%íN�¨è�ó�îNê~è`cTã°åf�Xã°ø¨ã�í6ëgê¬öAeZQeãr$ è>$Jå¨è�æ�îYí6ãkPNèDRq$ �¡ø�Pcã°ëNé¨á~ô�öíN�¨è�áTè�ò�ëgåXáTí6ê~îNã°å�í~áp�Êî[Pgè�øÊîNáTã°ò�îNô°ô�ö·åXë�ã°óÉâÊîNòyí1ëgå í �Xè�ëgêTèyí6ã�òLîNôµò�ëNó_â¨ô�è�õ]ã�í²ö·ã°å�PNè�áTí~ã°æ�îYí6ã°ëNå¨áQ0�Té¨áTí�òyëgå¨á~ã�ð¨è�ê­âÊîQã°ê~á­ë4��è�õ]òyã�í-îYí6ëgê¬ö´îNå¨ðiã°åf�Xã°ø¨ã�í6ëgê¬ö�åXè�é¨êTëgå¨á�ã°å¨á¬í6èLîQð·ë4��á~ã�å¨ægô�èÏå¨è�é¨êTëgå¨á R�ìéXå¨ô°èyá~á�ëgåXèfòLîNêTè�á¶îQøAëgé]í�á~ó_îNô�ô�òyëgå¨á¬í-îNå�í��eîNò�í6ëgêTáÕã�å�í �¨è+á~ãCWyè+ë4��åXèyí²÷�ëgê~äZá�ìÊëNêÕëgå¨è ÷�îNå�í~áÕí6ëóÉëcð¨è�ôFíN�¨è�îNòyí~éÊîNô�îNêTòF�¨ã�í~è�ò�í6é¨êTè�ë>�RòyëgêTí~ã°òLîQô�ò�ã�ê~ò�éXã�í6á�QOá~èyèK� ù �4�<ì¢� � �>��R�$

�Çí�ã°áµó_îQí �¨èyó�îYí6ã°ò�îNô°ô�öÈóÉëgê~è�ò�ëNåhPNè�å¨ã�è�å�í¶í6ëÈîNá~áTé¨ó_è�í �ÊîYíÕí �Xè+â�ëNí6èyåZí~ã¾îNô �����¨îNá.PQîNô°éXè��ã�å�íN�¨èÈîNøXá~è�åXò�èÈë4�BâAëgá¬í6á¬ö]å¨îNâXí6ã�ò1â�ëNí6èyå�í6ã¾îQô°á�ìmîQå¨ð�í �¨îQí íN�¨è.íN�¨ê~èyáN�¨ëNô°ð�PQîNô�é¨è5� ��ã�á îQô�÷Õîröcá��� $��²å�î;c¬í²öcâ¨ã°ò�îNôCeÉø¨ã°ëNô°ëgægã�òLîNôAå¨è�éXê~ëgå�íN�¨è1êTè�á¬í6ã°åXæ4ó_èyóÈø¨ê~îNå¨è�âAëNí~è�å�í6ã°îNôkã°á+îNê~ëNé¨å¨ð5ï �4�ó �Èì¨íN�¨è.ñ¨ê~ã°åXæÉíN�¨ê~èyáN�¨ëgô�ð�ë4�Bî;cTêTè�á¬í6è�ðLe�å¨èyé¨ê~ëgå�ã°á�îNê~ëNé¨å¨ð5ï � �ó �1ìmîNå¨ð�îÉâAëNáTí6á¬öcåÊîNâXí~ã°òâ�ëNí~è�å�í6ã°îNô(QOã8$ è4$2��£��L£ ëgêp� £��L£�R1òF�ÊîNå¨æNè�áÏí �¨è�óÉè�ó1ø¨ê6îNåXè4âAëQí6è�å�í~ã¾îNôµí6è�óÉâ�ëgê6îNêTã°ô�ö´øZö îQíóÉëgá¬í�îp�Oè�÷�ó ��$

���%îÈå¨è�é¨êTëgå ��ÊîNáÕñ¨ê~è�ð(îYí�í6ã�ó_è�� � ìXã�íÕ÷Íã�ô°ômå¨ëNí�ñ¨ê~è¡îNægîNã°å��Oëgê�î��Oè�÷ óÉá~èyò¡î>�Àí~è�ê � � ìXå¨ëó_îQíTí6è�ê(�XëG÷ ô¾îNêTægèÈã�í6á¡ò�éXê~ê~èyå�í1â�ëNí6èyå�í6ã¾îQô ���4Q��!R¡ã�á�Q r3�'�+D79@ ?0, /�) /Joq)N30<�, 79) #�/]/�)q587�Y "!Rq$�%&�¨è�å�OëNê�î��Oè�÷}�OéXêTí �Xè�ê�óÉá~èyòfã�íÕã°áÕá¬í6ã�ô°ôIcTê~èyô°é¨ò�í-îNå�íNe1í6ë1ñ¨ê~èNìXã8$ è4$Jî.ñ¨ê~ã°åXæÈê~è� céXã°ê~èyá¶î1ô°îNê~ægèyêIPQîNô�é¨èë>� � �4Q&�!R�í �¨îNå�é¨á~é¨îNô*Q J) /�@#34,65B^4/�) /Joq)!30<�, 79) # /]/�)q587�Y "!R�$�UÕëQí ��ë4�%í �¨èyá~è¡êTè��Oê6îQòyí6ëNêTö4è�"Fèyòyí~á îQê~èóÉëcð¨è�ô�ô°è�ðiø�ö î5á~é¨ã�í-îNøXô°è J,JE0) /F+FE]79@#Yaoq?A12<�,658791 "5� �>Q&� � � � RÉì%÷��¨è�êTè3� � ã�á�íN�¨è�í6ã�ó_èë4�¶íN�¨èóÉëgá¬í1êTè�ò�èyå�íÈñÊê~ã�å¨æ5ë4� _$`�²å í �Xè�ð¨è�í6è�êTó_ã�å¨ã°á¬í6ã�ò\Qeã8$ è4$�åXëgã°áTèO�Oê~èyèDRTPgèyê~á~ã�ëgå ë4�Õí �¨è_á~â¨ã�äcã�å¨æåXè�é¨êTëgåÏó_ëcð¨èyô]ëgåXè¶îNá~áTé¨óÉè�áRíN�ÊîQí� ¡ñÊêTè�áR÷��¨èyå¨è�PNè�ê)���4Q��!R*ò�êTëgá~áTè�á��Oê~ëNó ø�è�ô�ër÷2íN�¨è.�Oé¨åXòyí6ã�ëgå� �4Q&� ��� � R*$¢X2í²öcâ¨ã�òLîNôZá!�ÊîNâ�è�ë4�Xí �¨è*�Oé¨å¨ò�í6ã°ëNå$� �4Q&��� � � R��Oëgê%î øXã°ëgô�ëgægã°ò�îNôYå¨è�é¨êTëgåÈã�á%ã�å¨ð¨ã�òLîQí~è�ðã�å �Rã°æNé¨ê~è A$ ·èîNá~áTé¨ó_èÈíN�ÊîQí5� �4Q&�-� � � R�u � �>Qr��R �Oëgêfô¾îQê~ægèaPQîNô�é¨è�á¡ë>�)�-� � � $ ·èÈ÷Íã°ô�ôòyëgå¨áTã°ð¨èyê+ã°å(í �Xã°á îNêTí~ã°ò�ô�è­ëgå¨ô�ö4ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå¨áÍã°å�ó_ëcð¨è�ô�á&�OëgêÍå¨èyí²÷�ëgê~äZá¡ë4�Bá~â¨ã�äcã�å¨æÉå¨è�é¨êTëgå¨á÷��Xè�ê~è�òLîNå îNáTá~é¨óÉè_íN�ÊîQí1èLîNòF�çå¨èyé¨ê~ëNå iðXã°ð åXëNí1ñÊêTèK�Oëgê.î�÷��¨ã�ô°è�Qeã8$ è4$ � � � � ã°á�ô¾îNêTægèDRIì�Xè�å¨òyèfã�í~á�í �Xê~è�á!�¨ëgô�ðK�Oé¨å¨ò�í6ã°ëNåK�ÊîNá�ê~è�í6é¨êTå¨è�ð4í~ë1ã�í~ápcTêTè�á¬í6ã°åXæ�PQîNô°éXè�e+� �4Qr��R�$�%&�¨èyê~è��Oëgê~è+íN�¨èá!�ÊîNâ�è�ë4�6� �_ã°á1å¨ëNíê~èyô°è�PNîQåZía�OëgêÈí �¨èyá~è(îNêTægé¨óÉè�å�í6áyì�âXê~ëDPcã°ð¨èyð íN�ÊîQí � �4Q � R�u � �>Qr��R��OëgêáTé 1Éò�ã�è�å�í6ô�ö�ô¾îNêTægè �;$

��5#-4?A) /�� �?"# /b58<N34@ +FEL3$/]/a7 o(,JE]/�,BE0) /F+FE]79@#Y oq?A12<�,658791l7 o�3 '�5879@C7N-458<N34@212/�?A) 791<5

X��Oëgê~ó_îNô � /b5 !95B10-���/�?0) 791���/�,r�.79);!`Q8�����TR���÷��¨ã°òF��÷ÕîNá.ã�å�í6ê~ëcð¨é¨òyè�ð´ã°åd� � �<ì�� � ��òyëgå¨áTã°áTí~á¡ë4�µî_ñÊåXã�í6è1á~èyí� ë4��+�/b5 !95B10-`12/�?A) 791L+�ì�î4áTèyí�� � ��� ë>��+$#91b3$/]+D/F+�ìAîm�./�5#-9E0,����� � # ��îQå¨ð�î�) /F+�/]791L+D/*oq?012<�,r587913�%��� �� � ��� � �Oëgê�èLîNòF��á¬öcåÊîNâ¨áTè�� � �� ��� QO÷��¨èyê~è� � u ��� � � � #z�%$>RIì�îNå¨ðiî,JE0) /F+FE]79@#Y(oq?A12<�,658791�� � � ��� ��� �OëNê¡èLîNòF�´å¨èyé¨ê~ëgå

Page 7: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

��� $��� ��� � � ��ã°á1íN�¨è4á~è�íë4�*'*)q5B10- ,65BnK/F+.ë4� î�å¨è�é¨êTëgå ì,íN�¨è�å íN�¨è /]79, /�1],r5634@%îQíÈíN�¨è

í~ê~ã�ægægè�ê.W�ëgå¨è�ë4�*å¨è�éXê~ëgå 4îQí¶í~ã°óÉè6�Õã�á¶ægãkPNè�å5ø�ö���4Q��!R� u � ����� ��� ����� ��� �� ��� ����� ����� � � �%�%� �>Q�� � �wR��

�²å´î_å¨ëgã°áTè�ï8�Oê~è�è.ó_ëcð¨èyôRî�åXè�é¨êTëgå �ñÊê~èyá¡îQí+í~ã°óÉè ��îQáfá~ëcëgå�îNá6���>Q&�!R�ê~èLîQòF�¨è�á � �4Q&� � � � R­ì÷��Xè�ê~è�� � ã°á�íN�¨è¡í6ã°óÉèfë4�%í �Xè�óÉëgá¬íÍê~è�òyè�å�í�ñÊê~ã�å¨æë4� $

�mëNê�áTëgó_è+á~â�è�ò�ã�ñÊè�ð�áTé¨ø¨áTèyí�������.� � � ë4�*5B1 /b?A,�12/�?0) 791L+µëgå¨è+îNá~áTé¨ó_èyá�í �ÊîYíÕí �Xè+ñÊê~ã�å¨æí~ã°óÉè�á Q�c¬á~â¨ã�äNè(í6ê6îQã°å¨á!ehR�� ���OëNêÉåXè�é¨êTëgå¨á �� ������#� � îNê~è5å¨ëNíÉð¨è�ñÊå¨èyð�ø�ö2íN�¨è5â¨ê~èyò�è�ðXã°å¨æòyëgå�PgèyåZí~ã°ëgåFì�øXéXí�îNê~è¡æNãkPgèyå`�Oê~ëgó9í �¨è¡ëgé]í6á~ã�ð¨è4$*%&�¨è¡ñÊêTã°å¨æÈí~ã°óÉè�á � ���OëgêÍîQô°ôFëQí �¨èyê¶å¨è�é¨êTëgå¨á ��� îQê~èµð¨èyí~è�ê~óÉã°åXè�ð�øZö­íN�¨è�âXê~è�Pcã�ëgé¨á~ô�ö­ð¨è�áTò�êTã°ø�è�ð1êTé¨ô°èyá�ìNîNå¨ð.íN�¨èµëgéXí6âXéXíRë>�Xí �Xè�å¨è�í²÷ÕëNê~äã�á,ægãkPNè�åÉã°åÏí �¨è&�OëgêTó ë4�Aí �¨èÍá~âXã°äNèÍí6ê~îNã°åXá �����OëgêJíN�¨èÍå¨è�é¨êTëgå¨á Èã°åÉî­á~â�è�òyã�ñÊèyð�á~è�íÕë>��79?0, /b?0,12/�?0) 791L+ �� � � �.� � � O$

�Bõ]â�è�êTã°óÉè�å�í6á��Êî[Pgè�áN�¨ër÷Íå�íN�ÊîQíµã°åpPcã�í~ê~ë�ø¨ã°ëNô°ëgægã�òLîNôcå¨èyé¨ê~ëgåXáµñÊêTè�÷Íã�í �Éá~ô�ã°æ���í6ô�öaPQîNê¬ö]ã�å¨æðXè�ô¾îLöcá�ã°å­ê~èyá~â�ëgå¨áTè,í~ë êTè�â�èyí~ã�í6ã�ëgå¨á�ë>�]íN�¨è,á6îNóÉèJò�é¨êTê~èyåZí%ã�å �Tè�ò�í6ã°ëNå�QN� >�BRq$ �få¨ô�öfé¨åXð¨è�ê�ò�èyêTí6îNã°åòyëgå¨ð¨ã�í6ã�ëgå¨áÉå¨è�é¨êTëgå¨á�îQê~è�äZå¨ër÷Íå�í~ë·ñÊêTè�ã°å î óÉëgê~è5ê~èyô°ã¾îQø¨ô°è(ó_îNå¨å¨èyêmQ!� � � �BRq$�%&�¨èyê~è��Oëgê~èëNå¨è�îNô�á~ëiò�ëgåXá~ã°ðXè�ê~áÉí �¨è +�, 7D<FEL39+�,658<ÏëNê 12795C+$#`Pgèyê~áTã°ëgå�ë>�fí �¨èm��� ��óÉë]ð¨èyô�QN��� ù ��R�ìÕ÷��¨èyê~èíN�¨è�ð¨ã#"Fèyê~è�åXò�è ���4Q&�!R�� � �4Q&��� � � R��TéXáTíægëDPgèyê~å¨áÏíN�¨è /b)F7 'F3�'�5B@ 5B, #_íN�ÊîQíå¨èyé¨ê~ëNå iñÊê~èyáîQíí~ã°óÉè+�q$ %&�¨è�òF�¨ëgã°òyè�ë4�Õí �¨è_è�õXîNòyí1ñÊê~ã�å¨æ�í~ã°óÉè�á­ã°á.ô°è��Àí�é¨â·í6ë�áTëgó_èÉé¨å¨äZå¨ër÷Íå áTí~ë]òF�¨îNáTí~ã°òâXê~ëcò�è�áTá~èyá�ì�îNå¨ðbã�íÉó�îLö �OëgêÉè�õXîNóÉâ¨ô�è5ëcò�òyé¨êí �ÊîQí� çð¨ëcè�á\1279,¶ñÊê~è�ã°åbîií6ã�ó_è(ã�åZí~è�ê PNîQô��ðXé¨ê~ã�å¨æ.÷��¨ã�òF� ���>Q��!R � � �4Q&� � � � R�� �Éì]ëgê,í �¨îQí� Èñ¨ê~è�ápcTá~â�ëgå�í-îNåXè�ëgé¨áTô�ö0eÈîYí�î­í6ã°óÉè��J÷��¨è�å� �4Q&�!R � � �4Q&� � � � R�� �`$

%&�¨è(â¨ê~è�P]ã�ëgé¨áTô�ö ðXè�á~òyê~ã�øAèyðbå¨ëNã°áTölPgèyê~á~ã�ëgå2ë4�Íí �¨è ������ó_ëcð¨è�ôÕã°áÈøÊîQá~ã°ò�îNô°ô�ö ã�ð¨è�å�í~ã°òLîQô÷Íã�í �Éí �¨è�+�/b5 !�/�) /F+�/]791L+D/ nK7�Y0/�@gã�åm� ù �9�<ì2� ù � �\ì]îNå¨ð_÷Íã�í �í �Xè+ëNíN�¨è�êµò�ëgóÉóÉëgå_ó_îQíN�¨è�ó_îQí6ã�òLîNôóÉëcð¨è�ô�á*�OëNêµåXèyí²÷�ëgê~äZá�ë4�Fá~â¨ã�äZã°å¨æ�å¨è�éXê~ëgå¨áTQeáTè�è+è>$ æL$�� ù �\ì2� � �\ì ��� ù ��R�$*�]éXøXí6ô�è ð¨ã#"Fèyê~èyå¨ò�èyáÕè�õ]ã�áTíø�èyí²÷�è�èyå�í �¨èyá~è�ó_ëcð¨è�ô�áÈ÷Íã�íN�bêTè�æ�îNêTðbí~ëiíN�¨è�ã�êí~ê~è�îQí6óÉè�å�í_ë4�+íN�¨è�êTè��Oê~îNòyí~ëgêTö è�"Fèyòyí6á�îNå¨ðíN�¨èdcTêTè�á~è�í e�ë4�ÍíN�¨è�ó_èyóÈø¨ê~îNå¨è�â�ëNí~è�å�í6ã°îNô�î>�Àí~è�êÏî�ñ¨ê~ã°åXæf$ UÕéXíÈíN�¨è�áTè(ð¨ãk"Aè�êTè�å¨òyè�áÈ÷Íã°ô�ô�ø�èã�ê~êTè�ô°è�PQîNå�í&�Oëgê�í �¨è­êTè�á~éXô�í6á¶íN�ÊîQí�îNêTè�òyëgå¨áTã°ð¨èyê~è�ð5ã°å�íN�¨ã°áÍîNê¬í6ã�ò�ô°è>$

�mëNê4í �¨èyëgê~è�í6ã°ò�îNô¡ê~èyá~é¨ô�í6á5îNø�ëgéXí5áTí6îNø¨ô�èiá¬í-îQí~è�áyì¡áTöcåXñÊêTè òF�ÊîNã�å¨á�ìfîNá~áTë]òyã¾îQí~ãkPgè´óÉè�óÉëgêTöè�í6ò>$.ã�å�å¨èyí²÷�ëgê~äZá­ë4�µá~âXã°äZã°å¨æ�åXè�é¨êTëgå¨áf÷�èÏê~è��Oèyêfí6ë�� ù �<ì*� �>�\ì*� � �<ì*� ùgù �<ì*� ù � �\ì�� ù � �\ì*� ù � �<ì*� �]ù �<ì� � >�<ì � � �w�8$ ��èyá~é¨ô�í6á+îNøAëNéXí+òyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNå¨á�÷Íã�í ��áTí6ëcòF�ÊîNá¬í6ã�ò1á~âXã°äZã°å¨æ_å¨è�éXê~ëgå¨á+ã°å�ñ¨ê~ã°åXæ�ê6îYí6èòyë]ðXã°å¨æ�ò�îNå´øAè��OëgéXå¨ð´ã°åd� ù �<ì*� ��� �\ì�îQå¨ð´ê~è�áTé¨ô�í~á­îNø�ëgéXífíN�¨èã°åL�OëgêTó�îYí6ã°ëNå5í~ê6îNå¨áTó_ã�í~í~è�ð�ø�öáTâ¨ã°äZã�å¨æÍå¨è�é¨êTëgå¨á%ã°åO� � � �r$�iÕëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgå¨á�÷Íã�í ��îÍá~ëgóÉèy÷��ÊîYí�ð¨ãk"Aè�êTè�å�í%ó_ëcð¨è�ôNë4�¨îÍáTí~ë]òF�¨îNáTí~ã°òáTâ¨ã°äZã�å¨æ�å¨è�éXê~ëgå·îNê~è1áTí6éXð¨ã°èyð·ã�åd� � � � QeáTè�èÉîNô�á~ë4í �XèÏð¨ã°áTò�é¨áTá~ã°ëNåiã�åd�� � �BRIì�îNå¨ð´ã°åd� ��� �\ì����>�4�r$%&�XèÏâAëgáTá~ã�ø¨ô°è.é¨á~èÏë4�µâf�¨îNá~èyá¡ë4�µâAèyê~ã°ëcð¨ã�òLîNô�ô�ö4ñÊêTã°å¨æ�å¨è�é¨êTëgå¨áT�Oëgê�í �¨èÏð]ö]å¨îNó_ã�ò1ø¨ã�å¨ð¨ã�å¨æ4ë4�PQîNêTã¾îNøXô°è�áÕã°á¶ã°å�PNè�áTí~ã°æ�îYí6è�ð5ã°ål� �Xù �r$

èÍé¨áTè�ã�åÏí �¨ã�á,îNêTí~ã°ò�ô�èÕí �XèÍí~è�êTó_á 341b34@C7N- :¢1]?0nK/�)�58<N34@QîNå¨ðM) /N34@ G ^934@ ?]/NYÍã�åZí~è�êTòF�ÊîNå¨ægè�îNø¨ô�öí~ëð¨è�å¨ëQí6èTPQîNê~ã°îNø¨ô�è�áÕíN�ÊîQí¶ê~îNå¨ægè¡ëDPgèyê �/ëgêÍîNå�ã°å�í~è�ê!PQîNôFë4��� $I�ÊëgêÕá~ã°óÉâ¨ô�ã°ò�ã�í²öÏ÷Õè�îNáTá~é¨óÉè

Page 8: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

íN�ÊîQí�îNô�ô¨å¨è�éXê6îNômå¨è�í6á*�Oê~ëgó í �¨èÍñÊê~á¬í,í²÷Õë.ægè�å¨èyê6îQí~ã°ëgåXá,íN�ÊîQí�îNêTè�òyëgå¨áTã°ð¨èyê~è�ð_ã°åÏí �Xè �Oëgô�ô°ër÷Íã°åXæ�¨îDPNè1î��Oèyè�ðL�Oëgê¬÷�îQê~ð�îQê~òF�¨ã�í6è�ò�í6é¨êTè4$

� �M��� ��������� �� �a�� �`���m������� �� ���(��������

%&�XèÏó�îQíN�¨è�ó_îQí~ã°òLîQô°ô�ö4á~ã°óÉâ¨ô�è�áTí+ëgå¨èÈ÷Íã�í �¨ã�å�í �¨èÏê~îNå¨ægè1ë4�.��� �¶ï²óÉë]ð¨èyô°áfã�á íN�¨èÏëgå¨èÈ÷��¨èyê~èíN�¨è,ñÊê~ã�å¨æÍã°á�ð¨èyí~è�êTó_ã�å¨ã°á¬í6ã°òQìGîNå¨ð.øAëNíN�¡í �¨èµê~èyá~â�ëgå¨á~è��Oé¨å¨ò�í6ã°ëNå¨á%îNå¨ð­í �¨è,í �¨êTè�á!�¨ëgô°ð��Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨áîQê~è /b58/F<F/���5C+D/ <F791L+�,8341],2QOã8$ è4$TcTáTí~è�âa�Oé¨åXòyí6ã�ëgå¨á!ehR*îNá*ã°å¨ðXã°òLîYí6è�ð.ã°åa�Rã°ægéXê~è��f$ �²å1íN�¨è.�Oëgô�ô°ër÷Íã°åXæ÷�è­ê~è��Oè�ê�í6ëÈíN�¨ã°á�PNè�êTá~ã°ëNå�îQá� �Ú��JÙ��m$f%&�Xã°á�Pgèyê~áTã°ëgå(ë4��í �Xè���� �¶ï²óÉë]ð¨èyô�îNò�í6éÊîQô°ô�ö_òLîQâXí6é¨êTè�á Zé¨ã�í6èÍ÷Õèyô°ô¨íN�¨è ã�å�í6è�åXð¨è�ð4ò�îNâÊîNøXã°ô°ã�í6ã�è�áBë4��îNêTí~ã�ñÊòyã¾îNô]á~â¨ã�äZã°å¨æ�å¨è�éXê~ëgå¨á�ã°åÉâ¨é¨ô�á~èÍáTí~ê~èLîQó � �¢�A�F$

èÕ÷Íã�ô°ôZô¾îYí6è�êRîNô°áTëfð¨ã�á~ò�éXá~á������Íï²óÉëcð¨è�ô�áRë4�� IÚ��JÙ��4ìG÷��¨è�êTè�÷ÕèÍîNáTá~é¨óÉè�í �¨îQíBêTè�á~â�ëgå¨áTè�ïîQå¨ð�í �¨êTè�áN�Xëgô°ðm�Oé¨åXòyí6ã�ëgå¨á­îNêTè <F791],65B1]?_79?�+�341bY /b58/F<F/���5C+D/�@ 5B12/N34)q$5�BõXîNóÉâ¨ô�è�á��Oëgê í �¨èÏáTã°óÏïâXô°è�á¬í�åXëgå�í6ê~ã#Pcã¾îNô¶êTè�á~â�ëgå¨áTè��Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨áÉë4�fí²öcâAè�U�îNêTè�ã�å¨ð¨ã�òLîQí~è�ð2ã°å �*ã°ægé¨êTè � $�U�ö é¨áTã°å¨æ�´ëgê � ô�ã°å¨è�îNê1áTè�ægóÉè�å�í~áÉëNå¨è�òLîNå2îNâXâAëLõ]ã°ó_îQí6èK céXã�í6è4÷�è�ô�ôÕí �Xè�ê~è�áTâAëNå¨á~èIïÈîQå¨ðçí �¨êTè�áN�Xëgô°ð�OéXå¨òyí~ã°ëgå¨áÕë4��ø¨ã°ëNô°ëgægã�òLîNôXå¨è�é¨êTëgå¨á�÷Íã�í �4òyëgå�í6ã°åZé¨ëNé¨á�â¨ã�è�ò�è�÷Íã°áTè¡ô°ã°åXèLîNê*�Oé¨å¨ò�í6ã°ëNå¨á(QeîNå¨ð`�¨èyå¨ò�è÷Íã�í �(á~âXã°äZã°å¨æå¨èyé¨ê~ëNå¨á ë>�*í²öcâ�è�U�R�$

��5#-4?A) / �<����/F+�/]791L+D/�G�341bYO,BE0) /F+FE]79@#Y oq?012<�,r58791L+p7 o�3�+�/b5 !95B10-�12/�?A) 791l7 o�, # /]/�-�5

Page 9: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

����� ����� ������������������������� !�"�$# � �&%'�(�����&)·èÈñÊêTáTí­ëgø¨áTè�ê PgèÏí �ÊîYíT�Oëgê+íN�¨èÈòLîQá~èë4��'�7D79@C/N341�ã°å¨âXéXífí �Xã°áfóÉë]ðXè�ô%ã°áfòyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNô°ô�ö(îQíô�èLîNá¬í�îNá­âAër÷�è�ê �Oé¨ôµîNá­å¨è�é¨ê~îNôJå¨è�í6á��Oê~ëgó íN�¨èÏñÊê~á¬í�ægè�å¨èyê6îQí~ã°ëgå2$ ·èÉîNá~áTé¨óÉèíN�ÊîQí+*çã°åXâ¨éXíøXã�í6á �-, � ����� � ���1îNê~è ægãkPNè�å4í6ë.í �¨èT��� ��Pcã°î.*�ã�å¨â¨éXíÕå¨è�é¨êTëgå¨á0/�, � ���� � / �_ì]÷��Xè�ê~è1/ �AñÊê~èyá¶îQíî¡áTâAèyò�ã�ñ¨òÍí~ã°óÉè�243�5 ãk� ����u ù ìZîNå¨ð6/ �mð¨ëcè�á,å¨ëNíJñÊêTèÍîQíµîNô�ôXãk� ���2uV��$ ·èÍîNáTá~é¨óÉè¶í �ÊîQíJíN�¨èëNéXí6â¨é]í�ø¨ã�í�ë4��íN�¨è������ ã�á�ægã#Pgèyå�øZöÉí �Xè ñÊêTã°å¨æ.ëgêÕå¨ëNå]ïÇñÊêTã°å¨æ.ë4��î1áTâAèyò�ã�ñÊè�ð 79?0, /b?0,�12/�?0)F791ðXé¨ê~ã�å¨æ�áTëgó_è.á~â�è�òyã�ñÊèyð�í6ã°óÉè�ï\÷Íã°å¨ðXëG÷�$��få¨è1ò�îNå�í �Xè�å�áTã°óÈé¨ô°îQí6è.îNå�ö5ô¾îLögèyê~èyðm�Oè�è�ðA�OëgêT÷ÕîNê~ðåXè�é¨ê~îNô�å¨èyí�7 �Oê~ëgó�íN�¨è­ñÊê~á¬í+ægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgå5øZö5îQå�����87 � ë4�Rí²öcâ�èaX�÷��¨ã°òF� �ÊîNá�øÊîNá~ã�òLîNô�ô�öíN�¨è�á~îNó_è�îNê~òF�¨ã�í6èyòyí6éXê~è�îNá.7z$ �få¨ô�ö2ãk�¡ëgåXè�÷�îQåZí~á4í6ë êTè�áTâAèyòyí(ã°å97 � í �¨è�øXã°ëgô�ëgægã°ò�îNô°ô�öóÉëNí~ãkPQîQí6èyðbòyëgå¨á¬í6ê6îQã°å�í_íN�ÊîQí_èLîNòF�DåXè�é¨êTëgå ã�å97 � á!�¨ëgé¨ô�ð ëgå¨ô�öçí6êTã°ægægèyê ��£��L£�� á�ì�ëgêÉëgå¨ô�ö� £��L£�� á�ìXíN�¨è�å�èLîNòF�4ægîQí6è ë4�(7 �ÊîNáµí6ë.øAè á~ã°ó1é¨ô¾îQí~è�ðÉø�ö4î /L345B)Jò�ëgå¨áTã°á¬í6ã°åXæ1ë4��îQå�è�õ]òyã�í-îYí6ëgê¬öîQå¨ð�îNå�ã°åf�Xã°ø¨ã�í6ëgê¬ö�á~â¨ã�äZã°å¨æÉå¨è�éXê~ëgå�íN�ÊîQí øAëQí ��æNèyí�í �¨è�á6îNóÉè�ã°å¨â¨é]í[$&�²å:7 � ëNå¨è.åXè�è�ð�å¨ëNíó_îNäQèÏé¨á~èÉë4�,í �¨èâ�ëgá~áTã°ø¨ã�ô°ã�í²ö5í~ë5îNá~áTã°ægå´ð¨ã#"Fèyê~è�å�í(PQîNô�é¨è�á¡í6ë4íN�¨èð¨è�ô°îLö]á+;$��� �Èë4�Õî4å¨èyé¨ê~ëgå dQÀ÷��¨ã°òF�·ó_ëcð¨èyôBí �¨èí6ã�ó_èÏí �¨îQí�âÊîNá~áTè�áÈéXåZí~ã°ô,î(ñÊê~ã�å¨æ�ë>�� �ÊîNá.îNåiè�"Aè�ò�íÈëgå ���4Q&�!RÏì*áTè�è�*ã°ægé¨êTèZ�hR��Oëgê1ð¨ãk"Aè�êTè�å�íå¨è�éXê~ëgå¨á ÷Íã�í � � � �� � � $ �ÊëgêÏî�ø¨ã�ëgô°ëNægã°ò�îNô,å¨è�é¨êTëgå�ì,í �¨èyá~èðXè�ô¾îLöcá�;$��� �+ó_îLöOPNè�êTö�÷Õèyô°ô�ø�è¡ð¨ãk"Aè�êTè�å�íLìXð¨è�â�è�å¨ðXã°å¨æÏëgå�íN�¨è¡ô°èyå¨æNí ��ë>�%íN�¨è¡îYõ]ëgå(ë4� �îNå¨ðíN�¨è1ðXã°áTí6îNå¨òyèa�Oê~ëgó�íN�¨èÈá¬ö]å¨îNâ¨á~è.í6ë�íN�¨è.í~ê~ã°æNægè�ê W�ëgåXè1ë4� �ìAø¨éXí¡îQô°á~ë_ëgå�íN�¨è1ð¨ã�áTí~ê~ã°øXéXí6ã�ëgåë>�,ã°ëgå]ïÇòF�ÊîNå¨åXè�ô°á�ã°å5í �¨è1ð¨è�å¨ðXê~ã�í~ã°ò­í6êTè�è1ë>� $��²å��eîNò�íLìAã�í ã°á��Oê~è� Zé¨èyå�í6ô�ö�îNáTá~é¨óÉè�ð�íN�ÊîQí+íN�¨èðXè�ô¾îLöcá+;$�%� ��u<;$�%� �4Q��!R­îQê~èÏâÊîNê~îNóÉèyí6èyê~áfíN�ÊîQí.îNê~èÈí~é¨å¨èyð·ø�ö´á~ëNó_èÏô�èLîNêTå¨ã°å¨æ(îQô°ægëgêTã�íN�¨ó�ã°åøXã°ëgô�ëgægã°ò�îNôFåXè�é¨ê~îNôkáTöcáTí~è�óÉápQOá~è�è.è4$ æf$(� ��>��R�$ ��èyò�èyåZí í �¨èyëgê~è�í6ã�òLîNôkêTè�á~éXô�í6áa��� � �%ã°åXð¨ã°ò�îQí6èfíN�ÊîQííN�¨è¡è�õ]â¨êTè�áTá~ãkPNè.â�ër÷ÕèyêÍë4�*îåXè�é¨êTëgå(ë4��í²ö]â�è�XÌ÷Íã�íN�=*mPNîQê~ã¾îQø¨ô°è�Y0/�@#3 #w+�ã°áÕô¾îNêTægè�êÕíN�ÊîNå4íN�ÊîQíë>�Bîå¨è�éXê~ëgå5ë4�Rí²öcâ�è�XÌ÷Íã�í ��*PNîQê~ã¾îQø¨ô°è+÷�è�ã�æ���í6á �ã�í6á � iµï²ðXã°óÉè�å¨áTã°ëgå(ã°á ��Q>*¡ô°ëgæ"* R�ã�å(íN�¨è�OëNê~óÉè�ê¶òLîQá~èNìÊøXéXí�ëgå¨ô�ö ��Q?* R�ã�å(íN�¨è­ô¾îQíTí6èyê�òLîNáTè4$

����ëgå¨è�ó_îNäNèyá�é¨áTè ë>�Fí �Xè â�ëgá~áTã°ø¨ã�ô°ã�í²ö1í6ë�è�óÉâ¨ô�ëGöa�Oëgê,ò�è�ê¬í-îNã�å_åXè�é¨êTëgå¨á \Y45 �T/�)F/�1],Xð¨è�ô°îröcá;$��� �p�Oëgê.ð¨ãk"Aè�êTè�å�íÈå¨èyé¨ê~ëNå¨áDìRíN�¨è�å ëgå¨è�ò�îNå á!�¨ër÷9íN�ÊîQíÈîNå ����� ë4�¶í²öcâ�èKX ã°á�ã°ål�eîQòyíòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNåÊîNô°ô�ö\nK79)F/ /]79�./�)Joq?0@Zí �ÊîNå5å¨èyé¨ê6îNôkåXèyí6áÍë4�%í �Xè�á~îNóÉè�ëNê¶á~ã°óÉã°ô°îNêµá~ãCWyè(�Oê~ëgó�íN�¨èñ¨ê~áTíRëgê%á~è�òyëgå¨ðÏægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgå�$��Êëgê%íN�ÊîQí*â¨é¨êTâAëgáTè�÷�è�ò�ëNå¨á~ã�ð¨è�ê%í �¨è�ò�ëgå¨òyê~è�í6è�ø�ë]ëNô°èLîQå��Oé¨åXòyí6ã�ëgå@+A � �9� �Lù $CB � � �9� ��ù $Éì¨÷��¨ã°òF�5ã°á¶ð¨è�ñÊå¨èyð�ø�ö

@+A �fQ �-, � ����� � ��� � tD, � ���� � t �4R;uEFG FHù�� ãk�����2u}t �2u ù

�Oëgê¶á~ëNó_è1I�� � ù�� ���� � * $� � ëNí �Xè�êT÷Íã�á~è �

%&�Xã°á&�Oé¨å¨ò�í6ã°ëNå�îNâXâAè�îNê~á¶í6ëø�è­ê~è�ô�è�PQîNå�í�ã°å5îø¨ã°ëgô�ëgægã�òLîNô�ò�ëgå�í~è�õcíLìmá~ã�å¨ò�è�ã�í.�Oëgê~ó_îNô°ãkW�èyá�á~ëgóÉè�OëNê~ó�ë>�BâÊîQíTí6èyê~å]ïÇó�îQí~òF�¨ã°åXæÏê~è�áTâAèyòyí~ãkPgèyô�ö <F795B12<�56Y0/�12<F/�G Y0/�, /F<�,658791]$

X á~ã°åXægô°è�áTâ¨ã°äZã�å¨æ å¨è�é¨êTëgå ë4��í²öcâAèKJ QOëgê�ë4�1îNå�öDëNí �Xè�êdcTêTèLîNáTëgåÊîNø¨ô�è�eçí²öcâAè[R4òLîNåòyëgóÉâ¨éXí6è @.A ��$@�få¨è �Té¨á¬í��ÊîNá*í6ëfòF�¨ëcëgáTèÕí �¨èÕð¨è�ô°îröcáRí~ë (�Oê~ëgó�í �Xè�ã°å¨âXéXíBå¨ëcð¨èyáL/�, � ����� � / �QB�Oëgê��-, � ����� � ���hRÉîNå¨ð íN�¨è�ã°åXâ¨éXí4åXë]ð¨èyá=MN, � ���� � M���QB�Oëgê�tO, � ���� � t �4R_ã°åbá~é¨òF� î·÷ÕîLöbíN�ÊîQí;QP�R&� ��uS;QTUR�� ���Oëgê�I.u ù�� ����� � *�ìFîNå¨ðK;QPWV#� �.ã°á+áTë�óÈé¨òF��ô°îNê~ægèyê�íN�ÊîNåK;QP�R&� ���Oëgê0X �YIÕíN�ÊîQííN�¨è­å¨ëgåfWyè�êTë_âÊîQêTí6áÍë4�%í �Xè�êTè�áTâAëgåXá~è(�Oé¨å¨ò�í6ã°ëNå¨á��ZPWV#� �+îNå¨ð �[P\R�� � ð¨ë_åXëNíÍëDPgè�êTô¾îNâ5ãk�]/C^fîNåXð_/ �ñ¨ê~è­á~ã�óÈé¨ô�í6îNå¨èyëgé¨á~ô�ö�$�X ô°ôF÷�è�ã�æ���í6áÍòLîQå�ø�è­òF�¨ëgá~èyå�è� cé¨îNôkí6ë ù $

Page 10: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

�¡å íN�¨è�á~ã�ð¨è�÷�è4÷ÕëNé¨ô°ðçô�ã°äNè_í6ë�â�ëgã°å�íÈëNéXíÈí �¨îQíî�á~ã�å¨ægô�è4á~â¨ã�äZã°å¨æ�åXè�é¨êTëgå ë4�Íí²ö]â�è`XQOëgê�ë4��í²öcâ�è�U�R�òLîNå(òyëgó_âXéXí6èfíN�¨ã°á.�OéXå¨òyí~ã°ëgå @+A �Ïã°å�î`12795C+D/�G ) 7 '�?�+�,b�eîNá!�¨ã°ëNå�ìX÷��¨èyê~è¡á~ó_îNô�ôðXè�Pcã¾îQí~ã°ëgåXáBã°åÈíN�¨è�ñÊê~ã�å¨æfí6ã�ó_èyáBë4�mí �Xè�ã�å¨â¨éXíBå¨è�é¨êTëgå¨á�/�, � ���� � / �Ïì�ã�åÈí �¨è¶ð¨èyô¾îLöcá��Oê~ëgó í �¨èyá~èã�å¨â¨éXí å¨èyé¨ê~ëgåXá�ìFã�å�íN�¨è.÷�è�ã�æ���í6áfëgê�ã°å5í �¨è�ñÊê~ã�å¨æí �¨êTè�áN�Xëgô°ð�ðXë4å¨ëNí+î>"Aè�òyí í �¨è.ò�ëgêTê~èyòyí6åXè�á~áë>�Õí �Xè_ëgé]í6â¨éXí�$Z%%ë�îNòF�¨ã�è�PNèÉíN�¨ã°áyì*ã�í.áTé 1Éò�èyá.í6ë�îNá~áTã°ægå´í6ë(í �XèÉñÊêTã°å¨æ(í �Xê~è�á!�¨ëgô�ð � �>Qr��R¡ë4�íN�¨è­á~â¨ã�äZã°å¨æå¨èyé¨ê~ëgå�î�PQîNô°é¨è¡áTé¨òF��îQá ù � � ��Qeó_îYõ]ã°ó_îNô_PNîQô°é¨è¡ë4�RîNå �*£��L£�R�$

��� ÙZÜmÝGÙ�� �

3$� -�1 #O,BE0) /F+FE]79@#YM<�5B) <�?A5B, 7 ,BEL34,&<F79n�/b?A, /F+ @+A �MEL39+�34,�@C/N39+�,]* v���� Q>* x ù R -�34, /F+)5' � -�1 #�+�5#-4nK7956Y�34@f12/�?0)!34@]12/�, 7 ��5B,JE=/b58/F<F/���5C+D/ /]79@ #91279np5634@_30<�,65B^934,r58791Toq?012<�,r58791L+ ,BEL34,

<F79n�/b?A, /F+ @+A �MEL39+ ��Q>* ,�� B�R�-�34, /F+)5��¢79)(,JE]/p<N39+D/�7 o /b58/F<F/���5C+D/�/&%6/]7912/�1],r5634@ 30<�,r5B^934G,r58791�oq?012<�,r58791L+��r+�?_<FE�39+ s �`7912/ -0/�,J+a3K@C79�./�)�'�79?01bYM7 o ��Q>* ,���� R)5

��ÝGÜ�Ü��6à ��è�í�/(, � ����� � / � � MN, � ����� � M��­øAè¶í �Xè�ã�å¨â¨éXí,åXë]ð¨èyá�ë>� 7 ÷��Xè�ê~è ã�íJêTè�òyè�ãkPNè�áµí �¨è&PQîNô°éXè�á�-, � ����� � ��� � tO, � ���� � t �(ë4�¶ã�í6á � * ã�å¨â¨éXí�PQîNêTã¾îNø¨ô�è�á�$ èÉáN�¨ër÷9ã°å �eîNò�íÈî5á~ô°ã�æ���í6ô�ö�áTí~ê~ëgå¨æNè�êêTè�áTé¨ô�í¡íN�ÊîNå�ò�ô°îNã°óÉè�ð %&�¨èÏô�ër÷Õèyê¡øAëgéXå¨ð¨á(�¨ëgô�ð´îNô°êTèLîNð]ö �Oëgê í �¨èÏåZé¨óÈø�è�êTá¡ë4�µí �¨ëgáTèÏæ�îQí~è�áã�å:7 íN�ÊîQí(�¨îDPNèî4ð¨ã°êTè�ò�í¡è�ð¨æNèa�Oê~ëgó îQí¡ô�èLîNá¬ífëgåXèÏë4�Jí �¨èÏã�å¨â¨éXí+å¨ëcð¨è�á1MN, � ���� � M��m$�%&�Zé¨áã�å�íN�¨è1ò�îNá~è.ë4�&@#3 #�/�)F/NYZ12/�?0)!34@¢12/�,B+¶íN�¨è�áTèÏîNê~è.ô°ër÷�è�ê�øAëgéXå¨ð¨á �OëNê�íN�¨è1åZé¨óÈø�è�ê ë4�BægîQí6èyá+ëgåíN�¨è¡ñÊê~á¬í �¨ã°ð¨ðXè�å5ô¾îLögèyê�$

è�ò�ëgåXá~ã°ðXè�êµò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå¨á,ë4��7 ÷��Xè�ê~è á~ëgóÉèKc¬ñXõ]è�ðfe�Pgèyòyí6ëNê�� � �9� ��ù $ � ã°á�îNáTá~ã°æNå¨è�ðí~ë_íN�¨è.ã�å¨â¨éXí å¨ëcð¨è�á�MN, � ����� � M��5ìAáTë_í �¨îQí íN�¨è�ëgéXí6âXéXí+ë>�-7 ó�îLö(ø�è�Pcã�èy÷�è�ð´îNá î��Oé¨åXòyí6ã�ëgåë>�Fí �Xè+îNáTá~ã�ægå¨óÉè�å�í6áJí6ë­í �Xè ã�å¨â¨éXíµå¨ëcð¨è�á�/�, � ���� � / ��$ ·è ëNå¨ô�ö1ò�ëgå¨áTã°ð¨èyêµíN�¨è�á~èyí��·ë4��í �Xëgá~è* îQá~á~ã�ægå¨óÉè�å�í6á y , � ����� � y � ���9� �Lù $ � í~ë9/�, � ���� � / ��÷��¨è�êTè�èIõ¨îQòyí6ô�ö ëgåXè�ë4� íN�¨è=*Dã°åXâ¨éXíPQîNêTã¾îNøXô°è�á��ÊîNá1íN�¨èZPQîNô°éXè ù $l�]ã°åXò�è 7 ò�ëgóÉâ¨éXí~è�á @+A � ìJã�í1ã°á.ëgø�P]ã�ëgé¨áÈíN�ÊîQía�OëNê1í �¨è � �ðXãk"Aè�ê~èyå�í1òF�¨ëNã°ò�èyá.ë>��� � �9� �Lù $ � íN�¨è_åXèyí²÷�ëgê~ä´ò�ëNó_â¨é]í6è�á � � ð¨ã#"Fèyê~èyåZí��Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨á(�Oê~ëgó��ã�å�í6ë �9� �Lù $�$

�mëNêíN�¨è�âXê~ëcë4�fë4� /L34)�,�3$��÷�è�ñXõ î·ô�ã°å¨è�îNêÏëgêTð¨è�ê��#ëNå í �¨è5ò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgå2å¨ëcð¨è�á_ã°å7 áTë_íN�ÊîQí èLîNòF��ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå(å¨ë]ðXè êTè�òyè�ãkPNè�á�QeîNâÊîNê¬í��Oê~ëgó�ã�å¨â¨éXí å¨ëcð¨è�á�/�, � ����� � / �_îNå¨ðMN, � ���� � M���RRëgå¨ô�öÈè�ðXægè�á��Oê~ëNó ëNí �Xè�êJò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgåÏå¨ëcð¨èyáµã�å&7 í �¨îQí /b) /F<F/NY0/ ã°åÏí �Xã°áJô°ã�å¨èLîQêëNê~ð¨èyê�$�iÕëNå¨á~ã�ð¨è�êBáTëgóÉè�îNêTø¨ã�í~ê6îNê¬ö.òyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNå1å¨ëcð¨è ã�å 7 ìNîNå¨ðî+áTèyí�� ë4��îNáTá~ã°æNå¨ó_èyå�í6á� � �9� �Lù $ � í6ë+MN, � ����� � M��¡á~ë­í �ÊîYí,è�PgèyêTöòyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgåÏåXë]ð¨è¶ø�è��OëNê~è òyëgó_âXéXí6èyá,î��Oé¨åXòyí6ã�ëgå�OêTëgó��Dã�å�í6ë��9� ��ù $ QO÷Íã�í ��êTè�æ�îNêTð�í6ë(îNáTá~ã�ægå¨óÉè�å�í6áfë>�,ã°å¨â¨é]í6á��OêTëgó�� í~ë4í �¨èÈã�å¨â¨éXí+å¨ëcð¨è�á/�, � ���� � / �4R�ìm÷��¨ã�òF��ã°á¶íN�¨è1á~îNó_è(�Oëgê�èLîQòF��ë4�BíN�¨è.îNá~áTã°ægå¨óÉè�å�í~á � �!� í~ë MN, � ���� � M��\$ � ëQí6èíN�ÊîQí&�Oëgê¶íN�¨è¡ñÊê~á¬í òyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNå�å¨ë]ðXè¡ã°åQ7 ÷�è.ò�îNå�áTèyí �� u �9� �Lù $ � $

%&�¨è�å �OëNê1îNáTá~ã�ægå¨óÉè�å�í6á��Oê~ëgó"� í~ë /�, � ���� � / �iì*íN�¨èOPQîNô�é¨è�á�ê~èyò�èyãkPgèyðçø�ö·ægîQí6è �Oê~ëNóëQí �¨èyê*òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå�å¨ëcð¨è�á*ð¨ë+åXëNíRðXè�â�è�å¨ðÏëgå�í �¨èµòF�¨ëgáTè�åîNáTá~ã�ægå¨óÉè�å�í#� �$�Dí~ë&MN, � ���� � M���$S�è�å¨òyèNì�í �¨è­÷Õèyã°æ���í~è�ð�áTé¨ó�ë4�RíN�¨è�PNîQô°é¨èyá êTè�ò�èyãkPNè�ð�ø�ö Pcã¾îð¨ã°êTè�ò�í èyð¨ægèyá �Oê~ëNó�í �¨è�ã°åXâ¨éXíåXë]ð¨èyá/�, � ����� � / �ìcîNåXð��OêTëgó òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgåå¨ëcð¨èyá,íN�ÊîQíµâ¨êTè�ò�èyð¨è ã°å%��ìcîNá~áTé¨óÉè�á�îQíµó_ëgá¬í

ù �

Page 11: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

* ð¨ãk"Aè�êTè�å�íTPQîNô°éXè�á � ,(� ����� � � �K�Oëgê�í �¨è * ð¨ãk"Aè�êTè�å�í­îNáTá~ã°æNå¨ó_èyå�í6á��OêTëgó ��í~ë /�, � ����� � / �îQå¨ð�îNêTø¨ã�í~ê6îNê¬ö(îNáTá~ã°æNå¨ó_èyå�í6á��Oê~ëgó � í6ë:MN, � ����� � M��\$ �¡ø�Pcã°ëNé¨á~ô�ö4í �¨è.ëgéXí~â¨éXí ë4� ðXè�â�è�å¨ð¨áëNå¨ô�ö´ëgåií �¨è�PQîNô°é¨èë4�Õí �¨ã�á�÷�è�ã�æ���í6è�ð á~é¨ó'îNå¨ð ëgå·íN�¨èÉ÷�è�ã�æ���í6èyð á~é¨ó � ë4��íN�¨ëgáTèOPQîNô°éXè�áíN�ÊîQí êTè�ò�èyãkPNè�á Pcã°îÉð¨ã�ê~èyòyí�è�ð¨æNè�á �OêTëgó�ã�å¨â¨éXí�å¨ëcð¨è�á�MN, � ����� � M��M$.���)� ã°á¶í �¨è­í �Xê~è�á!�¨ëgô�ð�ë4�íN�¨è1íN�¨ê~èyáN�¨ëgô�ð�æ�îQí~è ìFí �Xè�å�í �XèÈó_ã�å¨ã°ó_îNô-IÕá~é¨òF��í �¨îQí � � x � # � òLîNå´îNáTá~é¨óÉèÏîQífó_ëgá¬í* x ù ð¨ã#"Fèyê~è�å�íTPQîNô�é¨è�ápQeã°åXò�ô°éXð¨ã°å¨æÉí �¨è�PNîQô°é¨è.I�u * xÌù ãk� � � x � � ��R�$�iÕëgå¨á~è� Zé¨è�å�í6ô�ögì÷Íã�í �çð¨ã#"Fèyê~èyåZí1ñXõ]è�ð2îNá~áTã°ægåXó_èyåZí~áÏë4� � � ��í6ëKMN, � ���� � M���íN�¨è4å¨ëcð¨è òLîQåçò�ëgóÉâ¨éXí~è�îQíóÉëgá¬í&* x�ù ð¨ãk"Aè�êTè�å�íT�Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨á �OêTëgó � ã�å�í6ë��9� ��ù $`$T%&�¨ã�á+öcã°èyô°ð¨á+î4âÊîNêTí~ã�í~ã°ëgå5ë4� � ã�å�í6ë* x ù è� Zé¨ã#PQîNô°èyå¨ò�è.ò�ô¾îQá~á~èyá�ì�îNåXð�ëgå¨èÈò�îNå´îNâ¨âXô�ö(í �¨è1á6îNóÉèÈîNêTægé¨óÉè�å�í��`�Oëgê+è�îNòF�´ë4�Jí �¨èyá~èè� Zé¨ãkPQîNô�è�å¨òyè�òyô¾îNáTá~èyá ��í6ëÏíN�¨è�12/&%�,�å¨ëcð¨è­ã°åQ7 QO÷Íã�í �(ê~èyæ�îNêTð(í~ëÉíN�¨è­ô°ã�å¨èLîNêÕëgê~ð¨èyê �TRq$

���RëgåXè¡áTí-îQêTí6á¶íN�¨ã°á�òyëgå¨á¬í6ê~éXòyí6ã�ëgå�÷Íã�íN��� u �9� �Lù $ � �Oëgê�í �Xè­ñ¨ê~áTíÍòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNå�å¨ë]ðXè¡ã°å7Öì%î>�Àí6èyê¡í �¨è��ZïÇíN�·åXë]ð¨èëgåXè_ægè�í6á�î(âÊîNêTí~ã�í~ã°ëgå�ë4����ã°å�í6ë�îQí�óÉëgáTíOQ>* x�ù R��è� Zé¨ã#PNîQô°è�åXò�èòyô¾îNáTá~èyá�$��få�í �¨èÏëNíN�¨è�ê��ÊîNå¨ð�íN�¨èa�eîNò�ífí �ÊîYí7 ò�ëgóÉâ¨éXí~è�á @+A ��ã°óÉâ¨ô°ã�è�á¶í �¨îQífí �XèÈëgéXí~â¨éXíåXë]ð¨èÍë4� 7 ò�ëNó_â¨é]í6è�á*�Oëgê,èLîQòF�4îNáTá~ã°æNå¨ó_èyå�íµí~ë+M , � ����� � M ��îOY45 �T/�) /�1],f�Oé¨å¨ò�í6ã°ëNå��OêTëgó �·ã�å�í6ë�9� �Lù $(ì�ãr$ è>$�ã�ífâÊîQêTí6ã�í6ã�ëgå¨á �9� �Lù $ � ã°å�í6ë � � ð¨ã#"Fèyê~è�å�í­è� céXãkPQîNô°èyå¨ò�è1ò�ô¾îQá~á~èyá � $�S èyå¨ò�èQì�íN�¨èåZé¨ó1øAèyê��fë4�kòyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgåÉå¨ëcð¨è�á�ã°å+7 íN�ÊîQí.�Êî[Pgè¡î�ð¨ã°êTè�òyí�è�ðXægè��Oê~ëNó îQíÕô�èLîNá¬í�ëgåXè ë4�kíN�¨èã�å¨â¨éXíÍåXë]ð¨èyá M , � ����� � M �á~îQí6ã�áTñÊèyá�Q?* x ù R

�# � � ìÊãr$ è>$)��# * v ô°ëgæfQ?* x ù RT$

�²å í �¨è�â¨ê~ëcë4�¶ë4� /L34)q,=' �È÷Õè4òyëgå¨á¬í6ê~éXòyíp�Oê~ëNó 7 î�êTè�ô°îQí6èyð á~ã�ægó_ëNã°ðÊîNôRå¨è�é¨ê~îNôÕåXèyí 7 ��OëNê+÷��¨ã°òF��÷�èÏòLîNå´á!�¨ër÷ÖíN�ÊîQí¡ã�í(�ÊîNáMc �¨ã°æ��Le�� iµï²ð¨ã�ó_èyå¨á~ã�ëgå�ìkîQå¨ð�¨è�åXò�èóÈé¨á¬í¡ò�ëgå�í6îNã°å´îáTé¨ø¨á¬í-îNå�í6ã°îNô�åcéXóÈøAèyêÕë4��áTã°ægóÉëgã�ðÊîNô¨æ�îYí6è�á�$��]é¨òF�4âXê~ëcë4�káTí~ê~é¨ò�í6é¨êTè+÷ÕîNáÕñÊêTáTí�éXá~è�ð�ø�ö��¡ëgã°ê~îNå� � �<ì¨ã�å�îá~ëNó_è�÷��ÊîQíÍð¨ã#"Fèyê~è�å�í�ò�ëNåZí~è�õcí[$

���,ëgå¨è1òyëgå¨áTã°ð¨èyê~á �Té¨á¬í /�, � ���� � / ��îNá+ã�å¨â¨éXí+å¨ëcð¨è�á ë4� 7 ìAí �Xè�å�ð¨ã#"Fèyê~èyåZí+ñXõ]è�ð´îNáTá~ã°æNå]ïóÉè�å�í~á­í~ë�M , � ����� � M �4òLîNåiëgå¨ô�ö�áN�Xãk�Àí¡í �XèÈí �¨êTè�áN�Xëgô°ðië4�µí �¨ëgáTè �Éò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgå�å¨ëcð¨èyá�ã�å=7íN�ÊîQí �Êî[Pgè.ð¨ã°êTè�òyí è�ðXægè�á �Oê~ëgó MN, � ���� � M��\$�·è1å¨ër÷�òyëgå¨áTã°ð¨èyêfîpPNîQê~ã¾îYí6ã°ëNå 7 � ë4�-7 ÷��¨èyê~èíN�¨è4ã�å¨â¨éXíÏåXë]ð¨èyáQMN, � ����� � M���îNêTè4ð¨èyô°èyí~è�ð�ì,îQå¨ð í �¨è�,JE0) /F+FE]79@#Y9+�ë4�Íí �Xè�îNø�ëwPNè�óÉè�å�í6ã�ëgå¨èyð �ægîQí6èyá¶ã°å 7 îQê~è�Pcã°è�÷Õèyð�îQá�í �¨è¡ëgåXô�ö;cTâ¨ê~ëNægê6îNóÉó_îNø¨ô°èÍâÊîQê6îNóÉèyí~è�ê~á!e Qeëgê�c>÷Õèyã°æ���í6á!ehRÕã°å4íN�¨èéXá~éÊîNô�áTè�å¨áTè1ë4� � iµï²ð¨ã�ó_èyå¨á~ã�ëgå5íN�¨è�ëNêTö`�OëgêÍå¨èyé¨ê6îNô�å¨è�í²÷ÕëNê~äZápQB�Oëgê�îÉø¨êTã°è��Bá~éXê!Pgè�ö�áTè�èK�� �9�BRq$%&�Xè��eîQòyíÍí �ÊîYíL7 ò�ëgóÉâ¨éXí~è�á @+A �Èã°óÉâ¨ô°ã�è�á�íN�ÊîQíL7 � áN�ÊîYí~í6èyê~á �gQÀ÷Íã�í ��êTè�æ�îQê~ð(í6ëð¨ãk"Aè�êTè�å�íîQá~á~ã�ægå¨óÉè�å�í6áÍí6ëÉí �¨èyá~è$�1â¨ê~ëgæNê6îNóÉó�îQø¨ô°è¡âÊîQê6îNóÉèyí~è�ê~á R�$�%&�Zé¨á�7 � �ÊîNá+î � iµïÇð¨ã°óÉè�å¨áTã°ëgå5ë4�îYíJô°è�îNáTíL*�$ �fåÈí �¨è�ëQí �¨èyê��ÊîNå¨ð�ìgíN�¨è�êTè�á~éXô�í6áJë>���¡ëgô�ð¨øAèyê~æ+îNå¨ð�Nè�êTê~é¨ó � � �w�mîNå¨ð�­îNêTâ¨ã°åXá~äZãîQå¨ð �îNò�ã�åZí²öcêTè�� � � �mã�ó_â¨ô�ö.íN�ÊîQíµã°åÏíN�¨ã°á,òLîQá~èÍí �¨èÍåZé¨óÈø�è�ê � ë4�Fâ¨ê~ëNægê6îNóÉó_îNø¨ô°è�âÊîNê~îNó_è�í6èyê~áã�å 7 á6îQí~ã°á¬ñÊè�á * u��KQ � BqR1ã�å íN�¨è(òLîNáTè(ë4�+âXã°è�òyèy÷Íã�á~è5âAëgô�öcå¨ëgóÉã¾îNô�îNòyí~ãkPQîQí~ã°ëgå �OéXå¨òyí~ã°ëgå¨áyìêTè�áTâAèyòyí6ã#Pgèyô�ö * u �KQ � � RÕã°å�íN�¨è­òLîNáTè.ë4�*â¨ã�è�ò�è�÷Íã°áTè�èIõ]âAëgåXè�å�í6ã°îNô�îNòyí~ãkPQîQí~ã°ëgåK�OéXå¨òyí~ã°ëgå¨á�$

ùgù

Page 12: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

��� � ����� ������������ ��� #&� �&%'������&) � � ����� �&�"�������D� ��� �"� ��� ���� �"�� ���( ���

·è��Êî[PgèÈîQô°ê~è�îNðXö�á!�¨ër÷Íå�í �¨îQí��Oëgê�'�7D79@C/N341_ã�å¨â¨éXí~á+îå¨èyí²÷�ëgêTä5ë>�Bá~âXã°äZã°å¨æÉå¨èyé¨ê~ëgåXá ë4�*í²öcâAèX��¨îNáJí �¨è��Oé¨ô�ô¨ò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgåÊîQô]â�ër÷Õèyêµë>��î¡å¨èyé¨ê6îNôXå¨èyí*�Oê~ëNóÖí �XèÍñ¨ê~áTí,æNè�å¨èyê6îQí~ã°ëgåë4��á~ã�ó_ã�ô¾îNêáTãCWyèNì]îNå¨ð4ã�á�ã�åO�eîNò�íÕóÉëgê~è�â�ëG÷�è�ê �Oé¨ô8$�S ër÷Õè�Pgèyê¶å¨è�é¨ê~îNô�å¨èyí~áI�Oê~ëNó îNô°ôÊí �Xê~è�è ægè�åXè�ê6îYí6ã°ëNå¨áÕîQê~èîQô°á~ë îNø¨ô�èµí~ë âXê~ëcò�è�áTá�1]?0nK/�)�58<N34@yã°å¨âXéXí6á �Oê~ëgó � � ëgê�� � �Lù � � ìYã°å¨á¬í6èLîQð1ë4���TéXáTí*øAëcëgô°è�îNå�ã°å¨â¨é]í6á�OêTëgó �9� �Lù $ � $\�Êëgê�å¨èyí²÷�ëgêTäcá1ë4�¶á~âXã°äZã°å¨æ�å¨è�éXê~ëgå¨á1ã�í�ã°á�åÊîQí~é¨ê6îNô,í6ë�è�å¨òyë]ðXè4î�åZé¨óÉè�êTã°òLîQôã�å¨â¨éXí�PQîNê~ã°îNø¨ô�è ��� ��� øZö´íN�¨èÉñ¨ê~ã°åXæ5í~ã°óÉè 2 �����#� � � ����� �Ïë4�Õã°å¨âXéXí1åXè�é¨êTëgå / �(QOá~èyè4îNô�á~ë� ��� ��R�ìQ÷��¨è�êTè��T� �fã°á*á~ëgóÉèÕòyëgå¨á¬í-îNå�íµîNå¨ð 2 �����#� � ã�áBî+âÊîQê6îNóÉèyí~è�êRíN�ÊîQíBðXè�â�è�å¨ð¨á,ëgå.í �¨èÕí~ã°óÉè÷��Xè�å�íN�¨è ã�å¨â¨éXí�îNêTê~ã#Pgè�áyìZø¨éXí�å¨ëNíµëgå_íN�¨è�PNîQô°é¨èyáµë>�Fí �Xè ã�å¨â¨éXí*PQîNê~ã°îNø¨ô�è�á ����$*�]ã°óÉã°ô°îNê~ô�ö�ëgå¨èèIõ]âAèyòyí6áµí �ÊîYíµî�åZé¨óÉè�êTã°òLîQô¨ëgéXí~â¨éXí�t ��� ã°áJêTèLîNô�ãCWyè�ðã°åÉîNåK��� �Dø�öÏí �XèÍñ¨ê~ã°åXæ�ë>��î¡ò�èyêTí6îNã°åc¬ëgéXí6âXéXíå¨è�éXê~ëgåfe·îQíÏí~ã°óÉè 2 � � � �#� � ��t ���_÷��¨èyê~è 2 � � � �.� � � 2 �����#� � ã°áÏã�å¨ð¨èyâAèyå¨ð¨è�å�í��Oê~ëNóíN�¨èTPQîNô°éXè�á��-, � ���� � ���1ë4��í �¨è+ã°å¨â¨é]í�PQîNê~ã°îNø¨ô°èyá�$ ·èf÷Íã°ô�ôAêTè��OèyêÕí6ëÈíN�¨ã°á�óÉèyíN�¨ëcð�ë4��è�å¨òyë]ðXã°å¨æîQåÊîNô°ëNæOPQîNê~ã°îNø¨ô�è�á�øZö�í �¨è.í6ã°óÉã°åXæ_ë4�,áTã°å¨æNô°è1áTâ¨ã°äQè�á­îNá`cTô°ã�å¨èLîNêÍí6èyó_â�ëgê~îNô�ò�ëcð¨ã°å¨æ4ef$(�Êëgê íN�¨èòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNåÉë>�2�Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨á,÷Íã�í �.'�7D79@C/N341�ëgéXí6âXéXíÕëNå¨è ò�îNåÉè�ã�íN�¨è�êµè�óÉâ¨ô�ëGö1í �¨è�á6îNóÉèÍëgéXí~â¨éXíòyëgå�PgèyåZí~ã°ëgå�îNá_ø�è��OëNê~èNì�ëgêÉîNâ¨â¨ô�ö ê~ëgéXå¨ð¨ã°åXæ QOã8$ è4$ ëNå¨è(ò�ëgå¨áTã°ð¨èyê~á�î´ñÊêTã°å¨æië4� í �¨è5ëgéXí~â¨éXíåXè�é¨êTëgå '�/Jo[79) /�îÏò�è�ê¬í-îNã�å5ñ]õXèyð5í~ã°óÉè&2�îNá�îNå(ëgé]í6â¨éXí�ë4�Tc ù e�R�$

X#òyëgå¨òyê~èyí~è�èIõXîNó_âXô°è`�OëgêîNå2ã°å�í6èyê~èyáTí6ã�å¨æ �Oé¨å¨òyí~ã°ëgå ÷Íã�íN�2îNåÊîNô�ëgæ´ã°å¨â¨é]íÉîNå¨ð ø�ëcëgô°è�îNåëNéXí6â¨é]í ã�á�í �¨è �/�@C/�nK/�1],IY45C+�,65B12<�,r12/F+F+�oq?012<�,658791 " � A � Q � � R � � �9� �Lù $�ð¨èyñ¨å¨è�ð�ø�ö

� A �]Q �-, � ����� � ����R�uEFFFFG FFFFHù�� ãk������u �O^ �Oëgê¶áTëgóÉè I��u X� � ãk��� ��� � �O^ � # ù �OëgêÍîQô°ô'I � X_÷Íã�í � I��u XîQê~ø¨ã�í6ê6îQêTögì ëNí �¨èyêT÷Íã�á~è �

���%ëgåXè¡è�å¨òyë]ð¨èyá�í �¨èTPQîNô�é¨è+ë>�*ã�å¨â¨éXíIPQîNê~ã°îNø¨ô°è ���%îNáÕíN�¨è+ñÊêTã°å¨æÈí~ã°óÉè 2 �����.� � � ��� ����QOë4��ã°åXâ¨éXíåXè�é¨êTëgå�/ �JR�ìBíN�¨è�ål�Oëgê1áTé 1Éò�ã°èyå�í6ô�ö·ô¾îQê~ægè�PQîNô°é¨èyáÈë4��íN�¨è4òyëgå¨áTí6îNå�í�� � ��î�áTã°å¨æNô°èÉá~â¨ã�äcã�å¨æåXè�é¨êTëgå bòLîNå ò�ëNó_â¨é]í6è�� A �}QOè�PNè�å ÷Íã�í � ;QP\R�� �du ; PWV � � �Oëgê�îNô�ô&I � X�� � ù�� ���� � *�$>R�$%&�Xã°áT�¨ëNô°ð¨á��OëNê¡îNå�ö�êTèLîNáTëgåÊîNøXô°è1í²öcâ�èÏë4�µê~è�áTâAëNå¨á~è��Oé¨åXòyí6ã�ëgå�ì�è>$ æL$­í²öcâ�èpX1ìAëgê+í �Xè1í²öcâAè�Uòyëgå¨áTã°ð¨èyê~è�ð�øAèyô°ër÷�$

èîNô�á~ë�÷�ëgé¨ô°ð´ô�ã°äNèÈí~ë(âAëgã�å�í¡ëgéXí¡íN�ÊîQí � A �(ò�îNå´øAèò�ëNó_â¨é]í6è�ð´ø�ö´î(á~ã�å¨ægô°è1á~â¨ã�äcã�å¨æåXè�é¨êTëgå�ã�å_î(PgèyêTöM12795C+D/ ) 7 '�?�+�,_�eîQáN�¨ã�ëgå�$ �kè�í)���]P��+øAè¶íN�¨è ó_îYõ]ã°ó_îNôhPQîNô°é¨è¶íN�ÊîQíµã°á,îNáTá~é¨óÉè�ðø�ö�îNå �*£��L£*ìFîNå¨ð�ô�èyí��fQ���R¶ø�è1í �¨è.ó�îGõXã�ó�îQô�PNîQô°é¨è­í �ÊîYífòLîQå�øAèÈîNòF�¨ã°è�Pgèyð�øZö5í �XèÈá~é¨ó#ë4�í²÷�ë4�*£��L£�� áÏí �¨îQíÏîNêTê~ã#Pgè_÷Íã�í �çî5í6è�óÉâ�ëgê6îNôµð¨ã#"Fèyê~è�åXò�è4ë4��îYíÈô°è�îNáTí��\$ Uµö òF�¨ëcëgáTã°å¨æ�íN�¨èPQîNô�é¨è5� ��Q6��R.u B�� � �"!$# � �&%('*)B �Oëgê¶íN�¨è�ñ¨ê~ã°åXæÉíN�¨ê~èyáN�¨ëgô�ð�ë4�Jî cTêTè�á¬í6è�ðLegå¨è�éXê~ëgå 4ëNå¨è1îQòF�¨ã°è�Pgè�áíN�ÊîQí �ðXèyñÊå¨ã�í6èyô�ö4ñÊêTè�á�ãk� ����u �O^��Oëgê¶á~ëNó_è1I��u X�ìmîNåXð5íN�ÊîQíÍã�íÍðXë]èyá ð¨è�ñÊå¨ã�í6è�ô�ö4å¨ëQí�ñ¨ê~è­ãk�� ��� � �O^+� # ù �OëgêµîNå�öÉí²÷�ë1ðXãk"Aè�ê~èyå�í�ã°åXâ¨éXí6á ��� � �O^¶ægãkPNè�å�ã�åÉí~è�óÉâAëNê6îNôÊòyë]ð¨ã�å¨æf$��²å�îNð¨ð¨ã�í6ã�ëgå÷Íã�í ��í �Xã°á¶òF�¨ëgã�ò�è¡ë4� � �4Qr��R�íN�¨è¡å¨è�éXê~ëgå �ægã#PgèyáÍíN�¨è­ò�ëgêTê~èyòyíÍëgéXí~â¨éXí�è�PNè�å�ãk�%ã�í~á�ó_èyóÈø¨ê~îNå¨èâ�ëNí~è�å�í6ã°îNô\ì�ã�í6áfñÊêTã°å¨æ�íN�¨ê~èyáN�¨ëgô�ð�ì%îNå¨ð´í �¨èÉîNêTê~ã#PNîQô*í6ã�ó_èyáfë4��ã�í~á¡ã°å¨â¨é]íTï �*£��L£�� á1îNêTèÏá~é¨ø �Tè�òyíí~ë(å¨ëgã°áTè4$p�Êé¨ê¬í �¨èyê~óÉëgê~èÏã�í6áMc¬á6î>�Oè�í²ö�ó�îQê~ægã�åfe4ë4� B�� � �"!,# { ��%-'�)B òLîQåiø�èÏã°åXò�ê~è�îNá~èyð·éXâií~ë(íN�¨è

ùw�

Page 13: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

PQîNô�é¨è �,� !$#B ãk� �+ã°á¶òF�¨ëNá~è�å�á~ëÉô¾îNêTægèfí �¨îQí��LQ*��R�u ����P �K$%&�¨ã°á(å¨ëgã�á~è´ê~ëNø¨é¨áTí�ò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgå ë4� � A �2ø�ö î2áTâ¨ã°äZã°åXæ2åXè�é¨êTëgå ã�á5ó_îNð¨è´â�ëgá~áTã°ø¨ô�è

íN�¨ê~ëNé¨æ��4í �Xè+÷�îLö_ã°å�÷��Xã°òF�4í �Xã°á.�Oé¨åXòyí6ã�ëgå � A �.ã°á�ð¨èyñ¨å¨è�ð *��� � I *�� � ��� ���O^+� .I��u X $��ÊîNáîKPQîNô�é¨è '�/�,6�./F/�1M��îNå¨ð ù �Oëgê á~ëgóÉèÈã°åXâ¨éXí � �-, � ����� � ��� � � � � ìFíN�¨è�å´ã�ífð¨ëcè�á¡å¨ëQí¡ó�îYí~í6èyê÷��Xèyí �Xè�ê�íN�¨è�å¨è�é¨êTëgå�ñÊêTè�áµëgêµå¨ëNí[$ %&�céXá�í �Xè òyô¾îNé¨áTèZcTîNê~ø¨ã�í6ê~îNêTö0e­ã°åí �¨è�ð¨è�ñÊå¨ã�í~ã°ëgåÉë4� � A �ó_îNäQè�áÏá~éXê~è�í �ÊîYílc!�ÊîNã�ê¬ïÇí~ê~ã�ægægè�ê­áTã�í6é¨îQí6ã�ëgå¨áNe�ò�îNå øAè(î[PNëgã°ð¨èyð øZöçî�á~â¨ã�äcã�å¨æ�å¨èyé¨ê~ëgåçíN�ÊîQíòyëgóÉâ¨éXí6èyá�� A �M$

��� ÙZÜmÝGÙ�� � -�1 # @#3 #�/�) /NY�,BE0)F/F+FE]79@#Y;<�5B) <�?A5B,L7 ,BEL34,p<F79n�/b?0, /F+ � A � EL39+ ��Q>*2� ��� * R-�34, /F+p791m5B,B+*'*) +�,*E056Y�Y0/�1m@#3 #�/�)65

��ÝGÜ�Ü��6à��kèyí �fø�èBí �¨èJåZé¨ó1øAèyêkë4�XægîQí6èyákã°å�7 ëNå­íN�¨èBñÊêTáTí �¨ã�ð¨ð¨è�å­ô°îröNè�ê�$�%&�¨è,òyëgê~êTè�á~â�ëgå¨ðXã°å¨æ�;�ÊîQôk�Oá~â¨îNò�èyáÉâ¨îNêTí~ã�í6ã�ëgå íN�¨è(ã°å¨â¨é]íá~âÊîNòyè � � ã°å�í~ë·îYíó_ëgá¬í � � ð¨ã#"Fèyê~èyåZíÉâ�ëgô�öZí~ëgâAèyá\Qeãr$ è>$ã�å�í6è�êTá~èyòyí6ã�ëgå¨á¡ë4�*�¨îNôk�OáTâÊîNò�èyáFR+áTë4í �ÊîQí7 ægã#Pgè�á í �¨èÏá~îNó_è1ëgéXí6âXéXíT�Oëgê¡îQô°ô%ã°å¨â¨é]í6á��OêTëgó#íN�¨èá~îNóÉèJâAëgô�öZí6ëgâ�è4$¢�Êëgê�í �Xã°ákò�ëNå¨á~ã�ð¨è�ê~îQí6ã�ëgå¡ëgå¨è��ÊîQá�í~ë�îNô°ô�ëG÷iâ�ëgô�öZí~ëgâAèyáFí �¨îQí%îNê~è,ã�åZí~è�êTá~è�ò�í6ã�ëgå¨áë>�Ròyô°ëgáTè�ð�îNå¨ð5ëgâAèyåM�ÊîNôk�OáTâÊîNòyè�á�$

è.å¨ër÷�ò�ëgå¨áTã°ð¨èyê íN�¨ëgá~è.*���ã°å¨âXéXí6á � ��u��6~�Q ù R � ����� � ~�Q>* R � � � ù�� ����� � * $ � í �ÊîYí+êTè�â¨êTè�ïáTè�å�íÏîQô°ôL*���â�è�êTóÈéXí-îYí6ã°ëNå¨á(~�ë4� � ù�� ����� � * $�$`�Çí1áTé 1Éò�èyá1í6ë5áN�¨ër÷ íN�ÊîQí.èLîNòF� � �5ô�ã°è�á­ã�å îðXãk"Aè�ê~èyå�í+â�ëgô�öZí~ëgâAèQìmá~ã°åXò�è­í �¨ã�á ã�ó_â¨ô�ã°èyáÕí �ÊîYí � � # *�� $&%&�céXá¡îNá~áTé¨óÉè��Oëgê îò�ëgå�í6ê~îNð¨ã�òyí6ã�ëgåíN�ÊîQífí²÷�ë(âAèyê~óÈé]í-îQí~ã°ëgå¨á � ��îNå¨ð�� ���ô°ã°è�ã°å�íN�¨èÈá~îNó_è1âAëgô�öZí6ëgâ�è+��$aU�ö�ò�ëNå¨áTí~ê~é¨ò�í6ã°ëNå´íN�¨èíN�¨ê~èyáN�¨ëNô°ð(ò�ã�ê~ò�éXã�í�7 ægãkPNè�á�íN�¨èfá6îQó_è¡ëgé]í6â¨éXí.�Oëgê¶îNô�ô � ��� $��]ã�å¨ò�è � ã°á�òyëgå�PgèIõFì 7 ægãkPNè�áåXëNí,ëgå¨ô�ö.íN�¨è¶á6îNóÉè�ëgé]í6â¨éXí��OëNê � � îNå¨ð�� �� ì�øXéXíµîNô°áTëT�OëgêJîNô�ôXâ�ëgã°å�í~áBëgåÈí �Xè¶ô°ã°åXè&�iíN�ÊîQíJòyëgå]ïåXè�òyí~á�íN�¨è�áTè.í²÷�ë_â�ëgã�åZí~á�$�%&�¨ã°á¶öcã°èyô°ð¨áÍîò�ëNåZí~ê6îNðXã°òyí~ã°ëgåFì¨á~ã�å¨ò�è � A �fQ � � R�u � A �]Q � �� R*uV�(ìøXéXí�� A �]Q � R*u ù �Oëgê¶á~ëgóÉè¡â�ëgã°å�í � ëNå(íN�¨ã°áÍô�ã°å¨è(��$

�²å5ëNê~ð¨èyê�í6ëîNåÊîQô�ö0W�èfíN�¨è¡ò�ëgóÉâ¨ô�è�õ]ã�í²ö_ë4� �Oé¨å¨ò�í6ã°ëNå¨á�÷Íã�íN� '�7D79@C/N341ÉëNéXí6â¨é]íÍëgå(á~ã°æNó_ëgã�ðÊîNôåXè�é¨ê~îNôRå¨è�í6áyìkëgå¨èÈå¨èyè�ð¨áfí~ë4ñXõ�î�á~é¨ã�í-îNøXô°è1òyëgå�PgèyåZí~ã°ëgå�Oëgê�) 79?A1bY45B10-.íN�¨èÏê~è�îNô�ï8PNîQô°é¨èyð�ëgéXí¬ïâXéXí�ë4��áTé¨òF� å¨è�í6á�$O�²åiëgê~ðXè�ê¡í6ë5ó�îQäNèëgé¨ê¡áTé¨ø¨á~è� Zé¨è�å�íÏô�ëG÷�è�ê­ø�ëgé¨å¨ðiê~èyá~é¨ô�í.îNá­áTí6êTëgå¨æ�îNáâ�ëgáTá~ã°øXô°èNìkëNå¨èó�îLö´îNáTá~é¨óÉè��¨è�êTèÏí �¨è\�./N3 !�/F+�,Bâ�ëgá~áTã°ø¨ô�èÏê~ëgé¨åXð¨ã°å¨æ�òyëgå�PgèyåZí~ã°ëgåFì*÷��¨èyê~è��OëgêáTëgóÉèfîNêTø¨ã�í~ê6îNê¬öÏâÊîNê~îNó_è�í6èyê�� í �Xè+ê~è�îNô�ï8PQîNô°é¨èyð_ëNéXí6â¨é]í � ë4��íN�¨è+ëgé]í6â¨éXíÕå¨ëcð¨è+ë4�Fí �¨è å¨èyí¶ã�áêTëgé¨å¨ðXè�ð�í~ë ù ã#� � #�� $ ��ë�áTè�âÊîNê~îQí6ã�å¨æ�ã�å�í6è�ê PQîNô�ã°á�ê~è� Zé¨ã�ê~èyð�øAè�í²÷Õèyè�å´ëgéXí~â¨éXí~á í �¨îQífîQê~èêTëgé¨å¨ðXè�ð(í6ëO�êTè�áTâAèyòyí6ã#Pgèyô�ö ù $

�²å´íN�¨èÏá6îQó_è1÷ÕîLö´îNáT�Oëgê @.A ��ëgåXèÏòLîNå´áN�XëG÷Öí �ÊîYí­îNå�ö�å¨èyé¨ê6îNôRå¨èyí(�OêTëgó íN�¨èÏá~èyò�ëgå¨ðæNè�å¨èyê6îQí~ã°ëgåÈíN�ÊîQí,ò�ëNó_â¨é]í6è�á � A �få¨è�èyð¨áJí6ë��Êî[Pgè ��Q?* ,���� RRæ�îQí6èyá�$�%&�Xã°áJô°ër÷�è�êJø�ëgé¨å¨ðÏ÷Íã�ô°ôXø�èã�ó_âXê~ëDPgèyðÉí~ëZQ>* � ù R v �.ã°åí �¨è&�Oëgô�ô°ër÷Íã°å¨æfíN�¨è�ëNê~è�ó\$�%&�¨è�â¨êTë]ë4�Aë4�Aí �¨ã�áµá¬í6êTëgå¨ægèyê�áTè�âÊîNê~îQí6ã�ëgåêTè�áTé¨ô�íRè�õ]â¨ô°ëNã�í6áyìQã�å¨áTí~èLîNð1ë4�mî ø�ëgé¨åXða�Oëgê�í �¨è � iµï²ð¨ã�ó_èyå¨á~ã�ëgå�ì4�]ëgå�í-îNæ � á*øAè�í~í6èyêRé¨âXâAèyêRø�ëgé¨å¨ðë>� � � x ù � � �D���OëgêÍí �Xè.ó_îYõ]ã°ó_îNô�åZé¨óÈø�è�ê��4á~é¨òF��íN�ÊîQí�/�^4/�) #�áTèyí+ë4��4ð¨ã#"Fèyê~è�å�í ã°å¨âXéXí6á ã°å

ù

Page 14: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

æNè�å¨èyê6îNô�âAëgáTã�í~ã°ëgå·òLîNåçø�è�á!�ÊîQí~í~è�êTè�ð ø�ö î�áTã°ægóÉëgã°ð¨îNôJå¨è�éXê6îNô�å¨èyíÈ÷Íã�í �'� â¨ê~ëNægê6îNóÉó_îNø¨ô°èâ¨îNê6îNóÉèyí~è�êTá�$;�²å ëgêTð¨è�êÈí~ë·îQâ¨â¨ô�ö �¨ã°áÏêTè�áTé¨ô�íÏã�å ëgé¨êÏô°ër÷�è�êÏø�ëgé¨å¨ð2îNêTægé¨óÉè�å�íëgå¨è`�¨îNáÈí6ëòyëgå¨á¬í6ê~éXòyí �Oê~ëgó�îNå5îNê~ø¨ã�í6ê~îNêTö_á~ã�ægó_ëNã°ðÊîNô�å¨èyé¨ê6îNôkåXèyíÍ÷��¨ã°òF�5ò�ëNó_â¨é]í6è�á � A �ÉîêTè�ô°îQí6èyð5åXèyííN�ÊîQíÍá!�ÊîQí~í~è�êTá�/�^4/�) #¡á~è�í�ë4��* � ù ã�å¨â¨éXí~á�$

��� ÙZÜmÝGÙ�� � -�1 #\+�5#-4nK7956Y�34@�12/�?A)!34@*12/�,�7 ,BEL34,�<F79n�/b?0, /F+ � A ��EL39+M34, @C/N39+�, � { �B � ùE056Y�Y0/�1�?A1]5B,B+)5

��ÝGÜ�Ü��6à ��è�í 7 ø�è îQå_îQê~ø¨ã�í6ê6îQêTö.á~ã°æNó_ëgã�ðÊîNôcå¨è�éXê6îNôÊå¨è�í,÷Íã�í ���Èæ�îQí~è�áJí �¨îQí,ò�ëgóÉâ¨éXí~è�á � A �A$iÕëgå¨á~ã�ð¨è�ê(341 # áTèyí � ������ë4��á~ãkW�è�* � ù $ ��è�í���� �.øAèfáTé 1Éò�ã�è�å�í6ô�ö�ô°îNê~ægè á~ë1íN�ÊîQí�íN�¨è

åZé¨ó1øAèyê~áÕã�å���� �l�Êî[Pgè+âÊîNã°ê¬÷Íã°áTè�ðXã°áTí6îNå¨òyè # � $ �kè�íJ øAè î.áTèyí�ë>� *$� ù åZé¨óÈø�è�ê~á � ó�îYõQ�� � �*R x�� ÷Íã�íN�(âÊîNã°ê¬÷Íã°áTè¡ð¨ã°á¬í-îNå¨òyè # � $

U�ö�îNáTá~é¨óÉâXí~ã°ëgå 7 òLîNå(ð¨èyò�ã°ðXè��OëNê�*´îNê~øXã�í6ê~îNêTö_ã°åXâ¨éXí6á��OêTëgó�� � ��� JÌ÷��Xèyí �Xè�ê¶í �¨è�öîQê~è�îNô�ô�ðXãk"Aè�ê~èyå�í[$ ��è�í&7�5ø�è(î�PQîNê~ã°îQí6ã�ëgå ë>�L7 ÷��¨èyê~è(îNô�ôµ÷�è�ã�æ���í6áÏëgåçèyð¨ægè�áp�OêTëgó'íN�¨èñ¨ê~áTíÕã°å¨âXéXíIPQîNêTã¾îNøXô°è�îNê~è�óÈé¨ô�í6ã�â¨ô°ã�è�ðÏø�ö�� $�%&�¨èyå�ø�ö�îQá~á~ã�ægå¨ã�å¨æ.áTé¨ã�í6îNø¨ô�è�ñXõ]èyð4á~è�í6á�ë4�-*$� ùâ¨îNã°ê¬÷Íã°á~è�ð¨ãk"Aè�êTè�å�íåZé¨óÈø�è�ê~á��OêTëgó� ��� ��J�í~ë�í �¨è�ëQí �¨èyêQ* � ù ã�å¨â¨éXí�PQîNêTã¾îNøXô°è�áyì-7��òyëgóÉâ¨éXí6èyá�îNå�ö�òF�ÊîNê~îNòyí~è�ê~ã�áTí~ã°ò(�Oé¨å¨ò�í6ã°ëNå5ëDPNè�ê �}$

%&�céXá�ìcãk��ëgå¨è¶òyëgå¨á~ã�ð¨è�êTáÕîQá /b)F7N-4)!34npn�3�'�@C/*âÊîNê~îNóÉèyí6èyê~áJë4�O7 íN�¨è�� �Ï÷�è�ã�æ���í6á,ëgåè�ðXægè�á�OêTëgó í �¨è�ñÊê~á¬í¶ã°åXâ¨éXí�PNîQê~ã¾îQø¨ô°èÍë4��7 îNå¨ð_í �¨è�� �í �¨êTè�áN�Xëgô°ð¨á�ë4��æ�îQí~è�áµí �ÊîQíÕîNêTè+ò�ëNå¨å¨è�ò�í6èyðí~ëÈá~ëNó_è ë4�kí �¨è+ëNí �¨èyê�*+� ù ã°åXâ¨éXí.PQîNêTã¾îNøXô°è�áyì�í �¨èyå 7 á!�ÊîQí~í~è�êTá �ç÷Íã�í � � �_â¨ê~ëNægê6îNóÉó_îNø¨ô°èâ¨îNê6îNóÉèyí~è�êTá�$�X òyí6é¨îNô°ô�ö.ã�å1í �Xè¶ó_ëgêTè�ægèyå¨è�ê~îNôXáTèyí~í~ã°å¨æ¡ë>��íN�¨è¶á~éXø¨á~è� céXè�å�í�îQê~ægé¨óÉè�å�íB÷�è��Êî[PgèëNå¨ô�ö � x ù â¨ê~ëgæNê6îNóÉó�îQø¨ô°è¡âÊîQê6îNóÉèyí~è�ê~áyì�á~ã�å¨ò�è�í �¨è ��ë]òyò�é¨êTê~èyå¨ò�èyá�ë>�Bí �¨è��eîNòyí~ëgê���ã°å�íN�¨è÷�è�ã�æ���í6áÍó_îrö4øAè­ò�ëNé¨å�í6è�ð�îNá�îZ+�5B10-4@C/ÕâXê~ëgægê~îNóÉó�îNøXô°è+â¨îNê6îNóÉèyí~è�ê�$

�]ã°å¨òyè�íN�¨è�á~èyí � � � � ë4�Rá~ãCWyè * � ù ÷ÕîNá òF�¨ëgá~èyåj34)6'�5B,r)!34)q5B@ #Yìm÷�è1ò�îNå�å¨ër÷�îQâ¨â¨ô�ö�íN�¨èêTè�áTé¨ô�í��OêTëgó �]ëNåZí6îNæO� � �9�\ìg÷��Xã°òF�Éã°óÉâ¨ô°ã�è�á�í �ÊîQí"*�� ù � � Q � x�ù R x�ù ìh�¨è�å¨òyè � #�Q>*6�K�hR v�� $%&�Zé¨á!7 �ÊîQá�îYí,ô°èLîQáTí Q?* �K�hR v�� òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgåÏåXë]ð¨èyá�ì]îNå¨ðÏí �Xè�ê~è��Oëgê~è�îQíµô�èLîNá¬í Q?* �Z�hR v�� � ù�Xã°ð¨ð¨èyå�éXå¨ã�í~á�$

��Ù �� ¨Ý��kßNàù $T%&�¨èÈô�ëG÷�è�ê øAëNé¨å¨ð�ë4� ��Q>* R ã�å�%&�¨èyëgê~èyó �ã�á í �XèÈô¾îNêTægè�á¬í+ô�ër÷ÕèyêføAëNé¨å¨ð��Oëgê�í �¨è1á~ãCWyèÈë4�áTã°ægóÉëgã�ðÊîNôkå¨èyé¨ê6îNôRå¨èyí~á+í �ÊîYí(�ÊîNáfáTëZ�eîNêfø�è�èyå´îNòF�¨ã°è�Pgèyð�QOå¨ëNí �TéXáTíT�Oëgê � A ��ìFø¨éXíT�Oëgê�341 #òyëgå¨òyê~èyí~è`�Oé¨å¨òyí~ã°ëgå]R�$ %&�Xè5ø�è�á¬íâ¨ê~è�Pcã°ëgé¨áTô�ö äcåXëG÷Íåbô°ër÷�è�êÏø�ëgé¨å¨ðç÷ÕîNá ��Q?* ,���� R��OëNêÈá~ëgóÉèëQí �¨èyê��OéXå¨òyí~ã°ëgå�ìXð¨é¨è¡í6ë �¡ëgã°ê~îNål�� � �r$� $�%&�¨èfê~èyá~é¨ô�í¶ë4��áTè�òyí~ã°ëgå`�Ïã�åM�]ëgå�í6îNæM� � �9��ã�ó_âXô°ã°èyáJí �ÊîQí��¨ã°á�é¨â¨â�è�ê�ø�ëgé¨å¨ðFìÊîNå¨ðZ�Xè�å¨òyè­íN�¨èô�ër÷Õèyê�ø�ëgé¨å¨ðÉë4�Aí �¨è�â¨ê~èyò�èyð¨ã°å¨æ�%&�¨è�ëNê~è�ó XìZêTè�ó_îNã°åpPQîNô°ã�ðãk��í �¨è�å¨è�éXê6îNômå¨è�í 7 òyëgóÉâ¨éXí6ã�å¨æ� A �è�óÉâ¨ô°ëröcá¶øAëQí �(á~ã�ægó_ëNã°ðÊîNôAæ�îQí~è�áÍîNå¨ð(í �Xê~è�á!�¨ëgô�ð�æ�îYí6è�á�$

ù �

Page 15: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

X+â¨âÊîQê~è�å�í~ô�ö �Oëgê1óÉëgá¬í1å¨èyé¨ê~ëNå¨á ´ã°åií �¨è_ò�ëgê¬í6è�õ ã�í.ã°á.å¨ëNí1ô°ã°äQè�ô�ö�í �ÊîYí1í �Xèjc¬÷�è�ã°æ4�Zí~áNe����� ��ë4�,ã�í6á+á¬öcåÊîNâ¨áTè�á­îNêTèÈô¾îNêTægè�è�å¨ëgéXæ���á~é¨òF��íN�ÊîQí �TéXáTífí²÷�ë�áTöcå¨òF�¨êTëgå¨ëgéXá5�*£��L£�� á¡á~é 1Éò�èí~ë�ã°å¨òyê~è�îNá~è1íN�¨èÈâ�ëNí6èyå�í6ã¾îQô � �1ëDPgèyêfí �¨è.ñÊê~ã�å¨æ�í �Xê~è�á!�¨ëgô�ð � �>Q6��R ë4�µîjc¬ê~è�á¬í6èyðfe�å¨è�éXê~ëgå $�²åí �¨îQí,ê~èyæ�îNê~ðÏíN�¨èÍò�ëgóÉó_ëNåÏó�îQíN�¨è�ó_îQí~ã°òLîQô]óÉë]ðXè�ôL�Oëgê,î¡áTâ¨ã°äZã°åXæ�åXè�é¨êTëgå;c¬ëwPNè�êTè�áTí~ã°ó_îQí6èyáNeíN�¨èÏò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgåÊîQô*ò�îNâÊîNø¨ã�ô°ã�í6ã°èyáÍë4��î4ø¨ã°ëgô�ëgægã�òLîNô�å¨èyé¨ê~ëgå2$��Çí­ã�á+óÉëgê~èÈêTèLîNô�ã°á¬í6ã°ò�í6ë(îNáTá~é¨óÉèíN�ÊîQí � á~ã°ó1é¨ô�í6îNå¨è�ëNé¨á~ô�ö�îNêTê~ãkPcã�å¨æ �*£I�A£�� á+ò�îNå5òLîNé¨áTè1îå¨èyé¨ê~ëgå5í6ëñÊê~èOQOá~è�è­í �Xè.ð¨ã�á~òyé¨á~áTã°ëgåã�å ��� � ��R�$ %&�¨è�êTè��OëgêTè.÷�èÈò�ëNå¨á~ã�ð¨è�ê�í �¨è��Oëgô°ô�ëG÷Íã�å¨æpPQîNê~ã°îQí6ã�ëgå �� A � �Q � ��R � � �9� ��ù $Èë4�JíN�¨è�OéXå¨òyí~ã°ëgå � A �%

�� A �]Q �-, � ����� � ����R�uEFFFFFFFFFG FFFFFFFFFH

ù�� ãk�%í �Xè�ê~è­èIõXã�áTí~á�áTëgóÉè � # ù á~é¨òF�5í �ÊîYí �-, � � B � � � �� � � � , � � � � � B � � � � � � îQô°ô��Êî[PNè�íN�¨è­á6îNóÉèTPQîNô°é¨è� � ãk�*è�PNè�ê¬ö(ã°å�í6èyê!PQîNô�� ��� � ë4�Bô�è�å¨æNíN� ù òyëgå�í-îNã�å¨á�í �Xè�PQîNô�é¨è�á

ë4�RîQíÍóÉëgáTí ã°å¨âXéXí&PQîNê~ã°îNø¨ô°èyá����îNê~øXã�í6ê~îNêTöNìÌëNíN�¨è�ê¬÷Íã°á~è �

�²å­íN�¨è,ò�ëgóÉóÉëgå¡ó_ëcð¨èyôgë4�XîÍáTâ¨ã°äZã�å¨æ¶å¨è�éXê~ëgå­í �¨è,óÉè�óÈøXê6îNå¨èJâ�ëNí~è�å�í6ã°îNô � ��Q��!R�ã°ákîNáTá~é¨óÉè�ðí~ë(øAèÉî@ 5B12/N34)+áTé¨ó ë4�µí �¨èâ�ëgáTí~áTöcåÊîNâXí~ã°òâ�ëNí6èyåZí~ã¾îNô�á�$�%&�Xã°á­ã°á¡òyè�êTí6îNã°åXô�ö�îQåiã�ð¨èLîQô°ãCW�îQí6ã�ëgå�ìáTã°å¨òyèÈã°áTëgô¾îYí6è�ð��*£��L£�� áfíN�ÊîQí¡îQê~ê~ã#Pgè1îQífá¬ö]å¨îNâ¨á~èyáT�eîNê îr÷ÕîLö��OêTëgó/í �¨è�í6ê~ã�ægægèyê Wyëgå¨èMQÀ÷��¨ã°òF�ã�á¶ô°ëcòLîQí~è�ð(îQíÕí �¨è¡ø�è�ægã�å¨å¨ã�å¨æÏë4��í �¨è­îGõXëNå_R�îNê~è¡áTé¨ø>�Tèyòyí�í6ëîNå(è�õ]â�ëgå¨èyåZí~ã¾îNôkðXè�òLîLö�ëNå(íN�¨è�ã�ê÷ÕîLö(í6ëÏí �¨è­í6êTã°ægæNè�ê&W�ëNå¨è4$.S è�åXò�è�á~é¨òF��ã�á~ëgô°îQí6èyð ��£��L£�� á��Êî[PNè��ÊîQê~ð¨ô�ö(îNå�ö(ã°óÉâÊîNò�íÍëgå5íN�¨èóÉè�ó1ø¨ê6îNåXè�â�ëNí~è�å�í6ã°îNô ���>Q��!RJîQí,í �¨è¶í6êTã°ægæNè�ê�Wyëgå¨è4$ �fåí �¨èÍëNíN�¨è�ê*�ÊîQå¨ð�ì��*£I�A£�� á�íN�ÊîQíµîNêTê~ã#Pgè+$#912<FE0) 791279?h+�@ #�îQí 3�Y���30<F/�1],�áTöcåÊîQâ¨á~èyá�îNêTè�cTø�ë]ëNáTí6èyðfeçîQíjc!�¨ëNí�áTâAëQí6áNeçë>�¡í �¨è�ð¨èyå¨ð¨êTã�í6ã�òí~ê~èyèNìJîNåXð �¨èyå¨ò�è_ó�îLö �Êî[Pgè4î5áTã°ægå¨ã�ñÊòLîQåZí.ã°óÉâÊîNò�í�ëgå·íN�¨è_óÉè�ó1ø¨ê6îNåXè_â�ëNí6èyå�í6ã¾îQô-���4Q&�!R­îQííN�¨è�í6êTã°ægægèyê�W�ëNå¨èl� � w�8$ ·è`�Êî[Pgè5ð¨è�ñÊå¨è�ð �� A ��ã°å á~éXòF� î�÷ÕîröçíN�ÊîQí�ìµã�å á~â¨ã�í6è�ë4��í �¨èyá~èåXëgå¨ô°ã�å¨èLîQêfè�"Aè�ò�í6á�ã°å�í �¨èã�åZí~è�ægê~îQí6ã�ëgå�ë4� �*£I�A£�� á�ì%ã�í­ã�á( Zé¨ã�í~èÉâXô¾îNé¨áTã°ø¨ô�è.íN�ÊîQí.î�ø¨ã°ëgô�ëgægã�òLîNôåXè�é¨êTëgå(òLîNå�òyëgó_âXéXí6è �� A �1ã°å�í~è�óÉâAëgê~îNô�ò�ëcð¨ã°å¨æ��Oëgê�î��eîQã°ê~ô�öô¾îNêTægè PQîNô�é¨è+ë>�]* $�X å¨èyé¨ê~ëgåòyëgóÉâ¨éXí6ã�å¨æ �� A ��å¨èyè�ð¨á%í6ëÍñÊê~èµëgå¨ô�öf÷��¨èyå.í²÷�ëMcTø¨ô�ë]ò-äZáNe�ò�ëNå¨á~ã�áTí6ã�å¨æ�ë4� �3�Y���30<F/�1],�áTöcåÊîNâXá~è�áîQô°ôµê~è�òyè�ã#Pgè�+$#912<FE0)F791279?�+5�*£��L£�� á�$ �Êé¨ê¬í �¨èyê~óÉëgê~è�î�c!�ÊîNã�ê¬ï\í6ê~ã�ægægèyêNe5á~ã�í~éÊîQí~ã°ëgå·ã°áÏî[PgëNã°ð¨èyð�ìáTã°å¨òyè 1274êTè� Zé¨ã°êTè�óÉè�å�í6áÉîNêTè(ó�îNðXèZ�OëgêÈí �¨è(ò�îNá~è�÷��¨èyåbí �Xè5åXè�é¨êTëgåbêTè�òyè�ãkPNè�á �Té¨áTí��´ëgê �á¬öcå¨òF�¨ê~ëNå¨ëgé¨á�QeëNê�îNô�ó_ëgá¬íÕá¬öcå¨òF�¨ê~ëNå¨ëgé¨á R��*£��L£�� á�$ � ëgå]ï\ñÊê~ã�å¨æ1ã�áÕêTè� Zé¨ã°êTè�ð�ëgåXô�öÉã°å�íN�¨èfò�îNá~è÷��Xè�å�íN�¨è­å¨è�éXê~ëgå5ê~èyò�è�ã#Pgèyá+îQíÍóÉëgá¬í �*£��L£�� á�ð¨é¨êTã°å¨æÉîNå�ö4í~ã°óÉèfã°å�í~è�ê!PQîNôkë>�Rô�è�å¨æNíN� �a$

�²åÉëNê~ð¨èyêRí6ë¡â¨êTëDPgè�î¡ô°ër÷ÕèyêBø�ëgé¨å¨ðp�OëgêRíN�¨è¶åZé¨óÈø�è�êJë4�b�¨ã�ð¨ð¨èyåÉéXå¨ã�í~áBã°åîNêTø¨ã�í~ê6îNê¬ö1åXè�é¨ê~îNôåXèyí6á 7 í �ÊîQí�òyëgó_âXéXí6è �� A �(÷Íã�í � áTã°ægóÉëgã�ðÊîNôBîQå¨ð í �Xê~è�á!�¨ëgô�ð æ�îQí~è�áyìRëgå¨èÉâ¨êTë]òyè�è�ðXáÏîNá�ã°åíN�¨è+âXê~ëcë4��ë4�2%&�¨è�ëNê~è�ó L$ �få¨è�å¨ër÷ ò�ëNå¨á~ã�ð¨è�êTá�îNêTø¨ã�í~ê6îNê¬öÏá~è�í6á � ��� � ë>�ká~ãkW�è�� Q?*5�.�R v ��îQå¨ð4ð¨ã#P]ã�ð¨è�áµí �¨è+ê~è�ó_îNã�å¨ã°å¨æ+*+� 1ã�å¨â¨éXíIPNîQê~ã¾îQø¨ô°èyá�ã�åZí~ë�� Q>* � �R v �fø¨ô�ë]ò-äZá�ë4�,�PQîNê~ã°îNø¨ô°èyáíN�ÊîQí�îNô�÷�îLöcá�êTè�òyè�ãkPNè íN�¨è á~îNóÉè�ã�å¨â¨éXí*PQîNô�é¨è4$��kè�í 7�fø�è�î�PQîNêTã¾îQí~ã°ëgåÏë4� 7 ÷��¨ã°òF�_ã°ð¨èyå�í6ã�ñ¨è�áíN�¨è_ñ¨ê~áTí �ã�å¨â¨éXí�PQîNê~ã°îNø¨ô�è�á�ì*îNå¨ð óÈé¨ô�í~ã°â¨ô�ã°èyá¡îNô°ôBíN�¨è�ã�ê�÷�è�ã�æ���í6á.øZö·î5ò�ëgóÉó_ëNå��eîNò�í6ëgê � $�cã°å¨òyè 7 ò�ëgóÉâ¨éXí~è�á �� A �Dì íN�¨è´å¨èyí²÷�ëgê~ä 7�´÷Íã�í � ��ò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgåDå¨ëcð¨èyá5á!�ÊîQíTí6è�êTá��÷Íã�í ��í �Xè��Xè�ô°â´ë4� � x�ù â¨ê~ëgæNê6îNóÉó�îQø¨ô°è.âÊîNê6îQó_è�í6è�êTá�$pS�è�å¨òyèZ�cëgå�í-îNæ � á­ê~èyá~é¨ô�íO� � �w�Böcã°è�ô�ð¨á� Q?* � �R v ���� � Q � x ù R x ù ì¨ã8$ è4$ � #�Q?* � ù � R v�� $

ù �

Page 16: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

����ëNå¨èÏâ¨ô°éXægá¡ã°å´î�ò�ëNó_óÉëgå�èyáTí6ã�ó�îYí6èa�Oëgê í �¨èÏåZé¨óÈø�è�ê1*çë4�µá¬ö]å¨îNâ¨á~èyá1îYí�î4ø¨ã°ëgô�ëgægã�òLîNôåXè�é¨êTëgå�ìRáTé¨òF�çîNá.* u ù �����4�iì�í �¨è_â¨ê~èyò�èyð¨ã°å¨æ�ã°å¨è� ZéÊîNô°ã�í²ö�öcã°èyô°ð¨á�î�ô�ër÷Õèyê.ø�ëgé¨å¨ð·ë4� ù �"� �OëNê�íN�¨è�åZé¨óÈø�è�ê � � ù ë4���¨ã°ð¨ðXè�å éXå¨ã�í~á.ã�å 7 $\S è�åXò�èNìRè�Pgèyåçãk�Õëgå¨è�âXê~è��Oèyê~á�í6ë�âXô°é¨æ�ã°åáTëgóÉèy÷��ÊîQí­ðXãk"Aè�ê~èyå�í(PNîQô°é¨èyáT�Oëgê¡á~ëgóÉèÈë4�µí �XèîNøAëDPNè�óÉè�å�í6ã�ëgå¨è�ðiò�ëNå¨áTí6îNå�í6á�ìkíN�¨èâ¨ê~èyò�è�ðXã°å¨æâXê~ëcë4���Oëgê �� A �}QeêTè�á~â�è�ò�í6ã#Pgè�ô�ö��Oëgê(î PQîNêTã¾îQí~ã°ëgå ë4� �� A �·í �ÊîQí(êTè0/Êèyòyí~á5ðXãk"Aè�ê~èyå�í(òF�¨ëgã°òyè�áë>�fí �¨è�âÊîNê6îQó_è�í6è�êTá_ã�å�Pgëgô#Pgè�ð]R_áTí~ã°ô°ô�öcã�è�ô°ðXá�î ô�ër÷Õèyê�ø�ëgé¨å¨ð�ë>�¡á~è�Pgè�ê~îNôT�Zé¨å¨ðXê~è�ðXáK�Oëgê_íN�¨èóÉã°åXã°ó_îNô¶á~ãkW�è�ë>�1î·á~ã°æNó_ëgã�ðÊîNô¶å¨èyé¨ê6îQô+å¨è�í4÷��¨ã°òF� òyëgó_âXéXí6èyá�í �¨è�á6îNóÉè �Oé¨åXòyí6ã�ëgå�$ %&�Zé¨á÷�èK�¨îDPNè4ð¨èyó_ëgåXáTí6ê~îQí6èyð î+�? '�+�,8341],r5634@Fð¨ãk"Aè�êTè�å¨òyè_ø�èyí²÷�è�èyå íN�¨èÉò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgåÊîNôJâ�ër÷Õèyê1ë4�'�5879@C7N-458<N34@L12/�?A) 791L+BîNå¨ðZ+�5#-4nK7956Y�34@� J12/�?0)F791L+ ".QOã8$ è4$Bòyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNô]éXå¨ã�í~á*�OêTëgóÖíN�¨èÍá~èyò�ëgå¨ðæNè�å¨èyê6îQí~ã°ëgå_Rq$

�mëNê 1]?0nK/�)q58<N34@gã°åXâ¨éXí6á�ëgé¨êµâ¨ê~è�Pcã°ëgé¨áTô�öÉá~äQèyí~òF�¨è�ð5á~ã�óÈé¨ô¾îYí6ã°ëNåÉë>��í �¨êTè�á!�¨ëgô°ð_ò�ã�ê~ò�éXã�í6áTQeãr$ è>$åXè�é¨ê~îNôAåXèyí6á��Oê~ëgó íN�¨è ñ¨ê~áTí�ægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgå_RJøZö_î�å¨èyí²÷�ëgê~äÉë4�káTâ¨ã°äZã�å¨æ.åXè�é¨êTëgå¨á�ë4�Aí²öcâAè�J��eîNã�ô°á�$5ëgê~è á~é¨êTâ¨ê~ã�á~ã°åXægô�öNìcëNå¨è+ò�îNå/b) 79^4/JíN�ÊîQí�åXë1á~éXòF��á~ã°ó1é¨ô¾îQí~ã°ëgåã�á�â�ëgá~áTã°ø¨ô�è4$ ��è�í � �� � �ø�è 341 #`�Oé¨åXòyí6ã�ëgå�$�%&�¨èyå �OëgêÉåcéXó_èyê~ã°ò�îNô¶ã°åXâ¨éXí6áÉí �¨èyê~èj/&%�5C+�,J+\127l��3 #(ë4�¡áTã°óÈé¨ô°îQí6ã�å¨æ´îNåîQê~ø¨ã�í6ê6îQêTöfíN�¨ê~èyáN�¨ëgô�ð.òyã°êTò�é¨ã�ík÷Íã�í ��Õæ�îQí~è�á�ø�ö.î�å¨è�í²÷ÕëNê~ä­ë4� � Q �wR�á~â¨ã�äcã�å¨æÍå¨è�éXê~ëgå¨á*ë4�Xí²öcâ�èIX�$iÕëNå¨á~ã�ð¨è�êRî í �¨êTè�á!�¨ëgô°ð1ò�ã°êTò�é¨ã�í�í �ÊîQíRëgéXí~â¨éXí6á ù �Oëgê%ã°å¨âXéXí6á��-, � � B � � � �d� � �Lù �cãk�%�-, x � B u�� � ìîQå¨ð��4è�ô°áTè4$��fø�P]ã�ëgé¨áTô�ö�íN�¨ã°á+òLîNå�ø�èîNòF�¨ã�è�Pgèyð´øZö�î4ò�ã�ê~ò�éXã�íf÷Íã�í ���Té¨á¬í=�í �¨êTè�á!�¨ëgô°ð´æ�îYí6è�á íN�¨è�òyã°ê~òyé¨ã�íRëgéXí~â¨éXí6á ù ãk�¢Q �-, x � B # � � X �����-, x � B � � � RI$�S�ëG÷�è�PNè�êyìcã�í��ÊîQáBøAèyè�åáN�XëG÷ÍåíN�ÊîQí�í �¨ã�áI�Oé¨å¨ò�í6ã�ëgåK�Oê~ëNó � � �Lù � � ã�å�í6ë��9� ��ù $�Q<îQáÕ÷Õèyô°ôAîNá¶îNå�ö_ê~èyáTí6êTã°ò�í6ã°ëNå_í6ë`� � ��� � � �Oëgê�á~ëgóÉè� ����R�<N341]1279,køAè­ò�ëNó_â¨é]í6è�ð�ø�öl341 #¡å¨èyí²÷�ëgê~ä(ë4�Rá~â¨ã�äZã°å¨æå¨èyé¨ê~ëgåXá ë4�*í²öcâAè�X1ìmå¨ëÉó�îYí~í6èyê�XëG÷ ó�îQåZö_å¨èyé¨ê~ëgåXá îQå¨ðM�¨ër÷ÌóÈé¨òF�(òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå4í~ã°óÉè+ã�í¶è�óÉâ¨ô°ëröcá�$�%&�Xã°á��Oëgô�ô°ër÷Íá.�Oê~ëNó�îæNè�å¨èyê6îNôJòF�ÊîQê6îNò�í6è�êTãCW�îQí6ã�ëgå�ë4�µí �¨èÏòyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNôRâ�ër÷Õèyê�ë>�Õå¨è�í²÷ÕëNê~äZá.ë>�ÕáTâ¨ã°äZã°åXæ�å¨è�é¨êTëgå¨áë>�µí²öcâ�èpXz�Oëgê åcéXó_èyê~ã°ò�îNôRã�å¨â¨éXí~áfã°å�í6è�êTó_á+ë4�,í �¨èÈòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNåÊîNô%âAër÷�è�ê¡ë4�µî4êTè�áTí~ê~ã�òyí6ã�ëgåò�îNô°ô�è�ð�� { ï�� X ë4�¶íN�¨è�òyëgó_óÉëgåió_ëcð¨èyôµë>�Íî�ê6îQå¨ð¨ëgó'îNòyò�è�áTáÈó_îNòF�¨ã°åXèmQ � X mR­íN�ÊîQíÈã�áæNãkPgèyå�ã�ål� ��w�8$

%&�céXá�ìf÷�è �Êî[Pgè·îNêTê~ãkPNè�ð}�¨è�êTè îYí�î ô°ã�ó_ã�í4ë4�.í �¨è´òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNôfâ�ëG÷�è�ê5ë4�1á~â¨ã�äcã�å¨æåXè�é¨êTëgå¨áfë4�Rí²ö]â�è�X��Oëgê åZé¨óÉè�êTã°ò�îNô�ã°å¨â¨é]í6á�$ %&�¨è� Zé¨èyáTí~ã°ëgå�îQê~ã°áTè�á�÷��¨èyíN�¨è�ê+íN�¨ã°á ô°ã�ó_ã�í-îQí~ã°ëgåã�å¨ð¨ã�òLîQí~è�áBî�÷Õè�îNäZå¨è�áTáµë>�má~â¨ã�äcã�å¨æ+åXè�é¨êTëgå¨áJã°å.ægè�åXè�ê6îQô\ìgëgê �Té¨á¬í,î ÷�èLîNäZå¨èyá~á,ë4�Êí �Xè�è�õcí6êTè�óÉè�ô�öáTã°óÉâ¨ô°è1ê~è�áTâAëNå¨á~èIï îNå¨ð´í �¨êTè�áN�Xëgô°ð�Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨á¡ë4�,í²öcâAè�X�$ �Êëgê¡îNå¨á¬÷Õèyê~ã�å¨æ5íN�¨ã°á� céXè�áTí~ã°ëgåiô°è�íéXá�ò�ëNå¨á~ã�ð¨è�ê_á~â¨ã�äcã�å¨æ åXè�é¨êTëgå¨á_÷Íã�í � <F791],r5B1]?]79?h+�/b58/F<F/���5C+D/M@ 5B12/N34)\QOã°å¨á¬í6è�îNð ë4�fâ¨ã°èyò�èy÷Íã�á~èòyëgå¨á¬í-îNå�íqRê~èyá~â�ëgå¨á~èIïîNåXðbí �Xê~è�á!�¨ëgô�ð �Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨á�ì�í6ë·÷��Xã°òF� ÷�è�êTè��Oè�ê_îNá`+�/b5 !95B10- 12/�?A) 791L+7 o IÚ��JÙ ��$��RõXîNó_âXô°è�áT�OëNê í �XèÏá~ã°óÉâ¨ô�è�áTí+å¨ëgå�í6êTãkPcã¾îQô*êTè�á~â�ëgå¨áTèp�Oé¨å¨òyí~ã°ëgåXá��Oëgê+íN�¨èÈí²öcâAè�UáTâ¨ã°äZã�å¨æå¨è�é¨êTëgå�îNê~è­ã°åXð¨ã°ò�îQí6èyð�ã°å\�Rã°æNé¨ê~è � $

ã�í �_ê~èyæ�îNê~ð_í6ë1íN�¨è+òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNômâAër÷�è�ê�ë4��á~â¨ã�äcã�å¨æÈå¨èyé¨ê~ëNå¨á�ë4��í²öcâ�è�� ã�í�ð¨ëcè�á�å¨ëNíó_îNäQè¶óÈé¨òF�Éð¨ãk"Aè�êTè�å¨òyèÍ÷��Xèyí �Xè�ê,ëgå¨è�îNô�ô°ër÷Íá��¨èyê~èÍâ¨ã°èyò�è�÷Íã°á~èÍòyëgå¨áTí6îNå�íLìZâ¨ã�è�ò�è�÷Íã°áTè�ô�ã°å¨è�îNê�ìQëgêóÉëgêTèÕægèyå¨è�ê~îNôXí²öcâAèyáJë4�mí �¨êTè�á!�¨ëgô°ð��OéXå¨òyí~ã°ëgå¨á � ��ìZîNáRô°ëgå¨æ+îNáB÷�è¶ò�ëgå¨áTã°ð¨èyêBëgå¨ô�ö��Oè�è�ðA�OëgêT÷ÕîNê~ðòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNå¨á�îNå¨ð�í �¨èJí �Xê~è�á!�¨ëgô�ð��Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨á � ���Êî[Pgè,í �¨è*PQîNô°éXèac�e��OëNê%áTó�îQô°ô�îNêTægé¨óÉè�å�í6á�$�²å�îNð¨ð¨ã�í6ã°ëNå(íN�¨è1òyëgå¨òyê~èyí~è1á!�ÊîNâ�è1ë4�BíN�¨è�ê~è�áTâAëNå¨á~èa�OéXå¨òyí~ã°ëgå¨á�ë4�Bí²öcâ�è�U ÷Íã°ô°ôkø�è�ã°ê~êTè�ô�è�PQîNå�íã�å�í �¨è(�Oëgô�ô°ër÷Íã°å¨æL$

ù��

Page 17: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

��5#-4?A) / � � � /F+�/]791L+D/�oq?012<�,r58791L+ � 7*H �fH�341bY *FH �fH9� 7 o�3Z+�/b5 !95B10-Z12/�?0) 791j7 o�, # /]/�� 5 ?�E]//L34)q,658<�?A@#34)T+FEL3$/]/�7 o�,BE]/ J,6)q563410-4@C/ "q5C+�1279,I5Bn�/]79)q,8341],bo[79)(,BE]/�) /F+�?A@ ,B+�5B1,BE05C+a34)�,658<�@C/)5

�¡åXèÕòLîQåÏáN�¨ër÷ í �ÊîYíBã°å.ò�ëgå�í~ê6îNá¬íBí6ë+íN�¨è¶îNø�ëDPgèyó_èyåZí~ã°ëgåXè�ðÈå¨èyæ�îQí~ãkPgèÕê~è�áTé¨ô�íBîNø�ëgéXíBåXè�é¨ê~îNôåXèyí6áÍë4�%í²öcâAè�X1ì¨îÉå¨è�í²÷ÕëNê~ä�ë4� �ZQ ù R�á~âXã°äZã°å¨æå¨èyé¨ê~ëNå¨á¶÷Íã�í �(êTè�á~â�ëgå¨áTè��OéXå¨òyí~ã°ëgå¨áÍë4�%í²öcâAè�UQOè4$ æf$,îNá�ã�å¨ð¨ã�òLîQí~è�ð4ã�å`�Rã°æNé¨ê~è � R�ò�îNå�á~ã�óÈé¨ô¾îYí6è îNå�ö_íN�¨ê~èyáN�¨ëgô�ð�æ�îQí~è+è�PNè�åM�Oëgê*�ê~èLîQôbPQîNô�é¨è�ðã�å¨â¨éXí�PQîNê~ã°îNø¨ô°èyá�$\%&�¨ã°á.á~ã�óÈé¨ô¾îYí6ã°ëNåièIõ]â¨ô°ëgã�í6á1îNå ã°óÉâ�ëgêTí6îNå�í.è�"FèyòyíÏë>�Íá~â¨ã�äcã�å¨æ�åXè�é¨êTëgå¨áÏë4�í²öcâ�è�U í �¨îQíÉòLîNå¨åXëNí�ø�è(ê~è�îNô°ãkW�è�ð ÷Íã�íN� á~â¨ã�äcã�å¨æiå¨è�é¨êTëgå¨áÉë4�+í²öcâ�è X Jã°å¨òyëgóÉã°å¨æ4�*£��L£�� áîQå¨ð`� £��L£�� áÍòLîQå+FE05 oq,�í �¨èfñ¨ê~ã°åXæ1í6ã�ó_è ë4�*îÈå¨è�é¨êTëgå(ã°å�î <F791],65B1]?]79?h+�ó_îNå¨å¨èyê�QN��� � ��R�$ �ëNê~èâXê~è�òyã°áTè�ô�öNì��Oëgê,î�òyè�ê¬í-îNã�åÉê~îNå¨ægèÍë4��í �Xè�â¨îNê6îNóÉèyí~è�êTáµã�å�Pgëgô#Pgè�ðFìZíN�¨èÍñÊê~ã�å¨æfí6ã�ó_è�� �¶ë>��î¡å¨èyé¨ê~ëgå �ã°å´ê~èyá~â�ëgå¨áTèÉí~ë5íN�¨èÏñÊê~ã�å¨ægá¡ë4��â¨ê~èyáTöcåÊîNâ]í6ã°òÉå¨èyé¨ê~ëgåXá îQí­í6ã�ó_èyá 2 � ���.� � � � � � �Èò�îNå·ø�è÷ÍêTã�íTí6è�å5ã°å4íN�¨è(�Oëgê~ó

� � u 2 � � � �.� � � ������ ��� ����� � I *�Q��%�%� ��R � ���%� � � � � � Q ù R

÷��Xè�ê~è 2 � � � �.� � ð¨ëcè�áfå¨ëQífð¨èyâAèyå¨ð�ëgå�íN�¨èaPQîNô°éXè�á+ë>�Jí �¨è�� ��ìFîNå¨ð�÷��Xè�ê~è+� I *�Q&�%��� ��R&u ù ã°åíN�¨è4ò�îNá~è4ë>��îNå �*£��L£ îNåXð � I *�Q������ ��R�u � ù ã°åií �¨è4ò�îNá~è�ë4��îNå;� £��L£¢$�%&�Zé¨á�ìJå¨èyé¨ê~ëNå ëNéXí6â¨é]í6á¶í �¨è��./�5#-9E0, /NY�+�?0n

������ �%� � ���� � I *�Q������ ��R � ����� � � � �

ã�å , /�n�/]79)!34@�<F7�Y45B10-�Qeã�å�ê~è�áTâAëNå¨á~è­í6ë_îNåÊîNô�ëgæÏã°åXâ¨éXí6á � �1ægãkPNè�å5ã°å�í6èyó_â�ëgê~îNôFòyë]ð¨ã�å¨æhRq$

ù �

Page 18: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

�* ZéÊîYí6ã°ëNå�Q ù RRê~è�Pgè�îNô°áJí �Xè�áTëgóÉèy÷��ÊîQíµáTé¨ê~â¨êTã°áTã°å¨æ(�eîNò�íJí �ÊîQí�ì�ã°åÏí �Xè�òyëgå�í6èIõ]í�ë4��, /�n�/]79)!34@<F7�Y45B10-NìAí �¨è�c¬÷�è�ã�æ���í6á!e������ �.ë4�µáTöcåÊîNâ¨áTè�á�ë4��á~â¨ã�äcã�å¨æ�å¨èyé¨ê~ëgåXá.îQê~èîNø¨ô�è1í6ë�âXô¾îLö�íN�¨èÏá6îNóÉèêTëgô°è­îQáÍíN�¨ëgáTè�ë>�Ròyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNôFé¨åXã�í6á¶ë>�*íN�¨è¡ñÊê~á¬í�í²÷�ë�æNè�å¨èyê6îQí~ã°ëgå¨á¶ë>�Rå¨èyé¨ê6îQôkå¨èyí²÷�ëgê~ä_$

X+ô°ôAá~é¨øXá~è� Zé¨èyå�í¡ô¾îLögèyê~á�î>�Àí~è�ê�í �Xè­ñ¨ê~áTí �¨ã�ð¨ð¨èyå5ô°îLögè�êÍã�å�îÏô°îröNè�êTè�ð5å¨è�é¨ê~îNôkå¨è�í&�Oê~ëgó�íN�¨èñ¨ê~áTíµægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgåÉê~è�òyè�ã#Pgè �Té¨áTí�'�7D79@C/N341�ã°å¨â¨é]í6á�ìZè�Pgè�å_ãk��í �¨èÍå¨è�í²÷ÕëNê~äã°å¨âXéXí6áµîNêTè�êTèLîNô¸ï�PQîNô�é¨è�ð�$S�è�å¨òyèNì,í �¨èyá~è�áTé¨ø¨á~è� Zé¨è�å�í4ô°îLögè�êTáÈòLîQå2è�îNá~ã�ô�öiø�è�á~ã°ó1é¨ô¾îQí~è�ð ø�ö á~â¨ã�äcã�å¨æ�å¨èyé¨ê~ëNå¨áÏë4�Íí²öcâAèX Q<îQá.ã�å¨ð¨ã°ò�îQí6èyð·ø�è��OëNê~èDRq$MS ër÷�è�Pgèyê�ì,î5á~é¨øXí~ô°èÉø¨éXí.á~èyê~ã°ëNé¨á1â¨êTëgø¨ô�è�ó îNêTã°á~èyá.ã#�ÕëNå¨è_÷ÕîNå�í6áí~ë�áTã°óÈé¨ô°îQí6è¡íN�¨ê~èyáN�¨ëgô�ð�òyã°ê~òyé¨ã�í~á�÷Íã�í � '�7D79@C/N341�ã°åXâ¨éXí6á îNå¨ð�ëgéXí6âXéXí6á�Qeëgê îNå�ö5ëNí �¨èyê�í²öcâ�èÈë4�ø�ëcëgô°è�îNå´ò�ã°êTò�é¨ã�íqR+÷Íã�íN�·áTâ¨ã°äZã�å¨æ(å¨è�é¨êTëgå¨á.ë4�Õí²öcâ�èKU+ì�è>$ æf$_÷Íã�í �iê~èyá~â�ëgå¨áTèO�Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå¨á�îNá�ã°å�*ã°ægé¨êTè � ìX÷��Xã°òF�5îNê~è¡áTé¨ø¨á¬í-îNå�í6ã°îNô°ô�ö�òyô°ëgáTè�ê�í~ëÈí �¨è­ø¨ã�ëgô°ëgæNã°òLîQô�âXê~ëNí~ëNí²öcâAèyá¶ã°å\�Rã°æNé¨ê~è � íN�ÊîNåêTè�áTâAëgåXá~èI�OéXå¨òyí~ã°ëgå¨á�ë4�cí²öcâAè�Xa$D�Çí%ã�á%ëNøhPcã�ëgé¨ákí �ÊîYíRîÍá~âXã°äZã°å¨æÍå¨èyé¨ê~ëNå1ë4�cí²öcâAèIUiò�îNå1áTã°óÈéXô¾îQí~èî '�7D79@C/N341ÏægîQí6èfëNå¨ô�ö_ãk��ã�í�ê~èyò�èyãkPgèyáT+$#>12<FE0) 791]5��9/NY+ã°åXâ¨éXí¶áTâ¨ã°äQè�á�$*%&�¨è­â¨êTëgø¨ô�è�ó9ã°á�íN�ÊîQí¶è�Pgèyåã#�Jîô¾îLögèyê ë>�Bá~âXã°äZã°å¨æÉå¨èyé¨ê~ëgåXá ë4�Rí²ö]â�è�U ê~èyò�èyãkPgèyá+ø�ë]ëNô°èLîQå5ã�å¨â¨éXí�Pcã¾îZ+$#912<FE0)F791]5��9/NY¡ã°åXâ¨éXíáTâ¨ã°äQè�á�QOè4$ æf$Bã�å�î�ò�ëcð¨ã°å¨æ�÷��¨è�êTèfî�á~â¨ã�äNè+òyëgê~êTè�áTâAëgåXð¨á�í~ëc ù e1îNå¨ð_å¨ë1áTâ¨ã°äQè+ò�ëNê~ê~èyá~â�ëgå¨ð¨áµí6ëc!�4ehR�ìcí �¨è¡åXè�é¨êTëgå¨áÍëgå�í �¨ã�á�ô¾îLöNè�ê�÷Íã°ô�ôAåXëNí�ñÊêTè¡ã°å(îK+$#>12<FE0) 791]5��9/NY+ó_îNå¨å¨èyê�ì]ø¨éXí�îQíÍáTô°ã°æ4�Zí~ô�öðXãk"Aè�ê~èyå�í�í~ã°óÉè�á¶í �¨îQí�ð¨è�â�è�å¨ð�ëgå(í �¨èyã°ê¶ò�ëNå¨ò�êTèyí6è.ã°å¨âXéXíOcTø¨ã�í6áNeL$I%&�¨è�ê~ëcëNíÍë4�*í �¨ã�á¶â¨ê~ëNø¨ô°èyóQÀ÷��¨ã°òF��ðXë]èyá�å¨ëNí�îNê~ã�á~è��OëgêÕáTâ¨ã°äZã°åXæÈå¨è�éXê~ëgå¨áÕë4�kí²öcâAèTXTRµã�á�í �Xè��eîNòyí�í �ÊîYí¶î1â�ëNí6èyå�í6ã¾îQô � �4Q&�!RíN�ÊîQíÍã�á�í �¨è¡áTé¨ó�ë4�*á~è�Pgè�ê~îNô �*£I�A£�� á îNå¨ðM� £��L£�� áÍë4�%í²öcâAè�U�÷Íã°ô�ôFã�í~á~èyôk�%øAè¡òyëgå�í6ã�åcéXëgé¨á�îNå¨ðâXã°è�òyèy÷Íã�á~èµô°ã°åXèLîNêyìQîQå¨ð.íN�ÊîQí�í �¨èµá~ô�ëgâ�è�á%ë4�¨ã�í6á�ô°ã�å¨èLîNêkâXã°è�òyè�á�÷Íã°ô�ôgð¨è�â�è�åXðÈã°å­âÊîNê¬í6ã�ò�é¨ô°îNêkëgå.íN�¨è1]?0n'�/�)�ë4�)�*£I�A£�� á¡í �ÊîYí¡ã�í+ê~è�òyè�ã#Pgè�á¡áTã°óÈéXô�í-îQå¨è�ëgéXá~ô�ö QJ�¨è�å¨òyèÏëgå�í �XèÏò�ëgå¨òyê~è�í6è�cTø�ë]ëNô°èLîQåfeã�å¨â¨éXí�ã�å�ëgéXê�ã�å�í6è�êTâ¨ê~è�í-îQí~ã°ëgå]R�$�%&�céXá�íN�¨è.âXê~è�òyã°áTè�í~ã°óÉèf÷��¨è�å � �4Q&�!R�ò�êTëgá~áTè�á íN�¨è­í �¨êTè�áN�Xëgô°ð� �4Qr��RÈ÷Íã�ô°ô�ã�åbæNè�å¨èyê6îNôÍð¨èyâAèyå¨ð ëgå í �Xè cTø�ëcëgô°è�îNåfe´ã°å¨âXéXíÉë4�+íN�¨è�áTâ¨ã°äZã�å¨æ´å¨è�é¨êTëgå�$ %&�Xã°áò�îNé¨áTè�áfîá~èyê~ã�ëgé¨áÍâ¨ê~ëNø¨ô°èyó �Oëgê�í �Xè.áTã°óÈé¨ô°îQí6ã�ëgå4ë4�RóÈé¨ô�í6ã°ô°îLögè�ê�í �¨êTè�áN�Xëgô°ð5ò�ã�ê~ò�éXã�í6á�QOëgêÍëNí �Xè�êó1é¨ô�í~ã°ô¾îLöNè�êfø�ë]ëNô°èLîQåiòyã°êTò�é¨ã�í6áFRfø�öl�����5� á.ë4��í²öcâAèOU+ì�øAèyòLîNéXá~èÉãk�µí �¨ëgáTè_åXè�é¨êTëgå¨á �ëgå·íN�¨èòyëgå¨áTã°ð¨èyê~è�ð ô¾îLögèyê_í �¨îQí_îNê~è5ñÊê~ã�å¨æ QeîNå¨ð �¨è�å¨òyè�ê~èyâ¨ê~èyá~èyåZí�îgc ù eiã°å2í �¨è5á~ã�óÈé¨ô°îQí6ã�ëgå ë4�¡îø�ëcëgô°è�îNåçò�ã�ê~ò�éXã�íqR1ðXë·å¨ëQíÏñÊê~è5ã°å2î +$#>12<FE0) 791]5��9/NY4ó_îNå¨å¨èyê�ì�íN�¨è(á~ã�óÈé¨ô¾îYí6ã°ëNå ë4��í �¨êTè�áN�Xëgô°ðægîQí6èyá�ìkëgêfè�Pgèyå·ë4�µáTã°óÉâ¨ô°èyê+ø�ë]ëgô�èLîNå�æ�îQí6èyá�QeáTé¨òF�·îNá(X � ��R�ìFø�ö�í �¨è`12/&%�,*ô¾îLögèyê¡ë4�µá~â¨ã�äcã�å¨æåXè�é¨êTëgå¨á�ë4�*í²öcâ�è�U ø�è�òyëgó_èyáÍã°óÉâAëgáTá~ã�ø¨ô°è>$

��� ÙZÜmÝGÙ�� � -�1 #�,BE0)F/F+FE]79@#Y;<�5B) <�?A5B,p7 o � -�34, /F+KEL34^D5B10-l) /N34@ G ^934@ ?_/NY 5B1 /b?A,B+�oq) 79n � � �Lù � �<N341�'�/(+�5Bnp?A@#34, /NY ')#K3K12/�,r�.79);!Z7 o �KQ �wRT+�/b5 !95B10-�12/�?A) 791L+�7 o�, # /]/ � 5

��ÝGÜ�Ü��6à iÕëgå¨áTã°ð¨èyêÈñÊê~á¬íîNå îNêTø¨ã�í~ê6îNê¬öiíN�¨ê~èyáN�¨ëNô°ð æ�îQí~è��#÷Íã�í �çã�å¨â¨éXí~á�� �-, � ���� � ��� ���Oê~ëNó� � �Lù � � íN�ÊîQí�ëgéXí~â¨éXí~á ù ãk��� ����4,�� � ��� # � ìRîQå¨ð ��ëNíN�¨è�ê¬÷Íã°áTè4$ èáN�XëG÷ í �ÊîQí���ò�îNå·ø�èáTã°óÈéXô¾îQí~è�ð�ø�ö´î4å¨è�í²÷ÕëNê~äm�Êî[Pcã°åXæ�î4òyëgå¨á¬í-îNå�í�åZé¨óÈø�è�ê�Qeãr$ è>$ �KQ ù R!R�ë4�µáTâ¨ã°äZã°åXæ�å¨è�é¨êTëgå¨á­ë4�í²öcâ�èTU ÷Íã�í �_ê~èyæ�îNê~ðÉí6ë�í6è�óÉâ�ëgê6îNôÊòyë]ðXã°å¨æ�ë4��åXèyí²÷�ëgê~äÉã°å¨âXéXí6á �-, � ����� � ���KQJ�Oëgê�î­á~é 1Éò�ã�è�å�í6ô�öáTó�îQô°ô�PQîNô°éXèÉë>��í �¨èÉò�ëNå¨áTí6îNå�í ��R�$ �få¨èÉè�óÉâ¨ô°ëröcá��Xè�ê~èÉí �¨èÉá6îQó_èÉò�ëgåXáTí6êTé¨òyí~ã°ëgå îNá��Oëgê�íN�¨èáTã°óÈéXô¾îQí~ã°ëgå­ë4�¨î ô°ã�å¨èLîQê.QOê~èyá~â�è�òyí~ãkPNè�ô�ö�áTã°ægóÉëgã°ð¨îNôBRAægîQí6èµægãkPNè�å.ã°å`��� � �\ìY÷��¨ã°òF�1öcã�è�ô°ðXáRî�á~â¨ã�äcã�å¨æåXè�é¨êTëgå �÷��¨ëNá~è�ñÊêTã°å¨æ+í~ã°óÉèÕêTè�â¨êTè�á~èyå�í6á,í �¨è�÷�è�ã�æ���í6è�ðáTé¨ó � ����4,�� � ���Êã°åÈí~è�óÉâAëgê~îNôcò�ëcð¨ã°å¨æL$�²åÉâÊîNê¬í6ã�ò�é¨ô°îNê� .ñÊêTè�á�îQíµëgêJø�è��OëgêTè+îfñXõ]è�ðÉí6ã�ó_è�2�QÀ÷��¨ã°òF�Éð¨ëcè�áµå¨ëNí,ð¨èyâAèyå¨ð�ëNå �-, � ���� � ����Rã#��� ����4, � � ��� # � ì�îNå¨ð�î>�Àí6èyêÍí~ã°óÉè&2�ëNíN�¨è�ê¬÷Íã°á~è>$ ·è1îQê~ê6îQå¨ægè¡í �ÊîYí íN�¨è­ê~è�áTé¨ô�í~ã°å¨æ �*£��L£

ù �

Page 19: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

�OêTëgó 1îNê~êTãkPNè�áµîQíµî¡á~é¨øXá~è� Zé¨èyå�í�á~âXã°äZã°å¨æ¡åXè�é¨êTëgå� � ìg÷��¨ã�òF�_êTè�ò�èyãkPNè�áµã°åîNð¨ðXã�í6ã�ëgåîNå �*£��L£�OêTëgó'îNå îNé]õ]ã�ô°ã¾îQêTö�áTâ¨ã°äZã°åXæ�å¨è�éXê~ëgå ÷��¨ëNá~è4ñÊêTã°å¨æ�í~ã°óÉè_ðXè�â�è�å¨ð¨áÏëNå 2 �����.� � ìJø¨éXíÏå¨ëQíÈëgå�-, � ����� � ��� $ ã�í ��îÉáTé¨ã�í6îNø¨ô�è�òF�Xëgã°òyè1ë4�*÷Õèyã°æ���í6á+îNå¨ð�ð¨è�ô°îröcá��Oëgê � ìÊí �¨è�å¨èyé¨ê~ëgå�÷Íã°ô°ô�ñ¨ê~èã#�BîQå¨ð(ëgå¨ô�ö�ãk� _ñÊêTè�á�îQí�ëgê¶ø�è��OëgêTè¡í6ã°óÉè 2z$

�¡ø�Pcã°ëNé¨á~ô�ö ëgåXè4òLîNåçáTã°óÈéXô¾îQí~è�ã°å·í �¨è�á~îNó_è_÷�îLö íN�¨è4÷��¨ëgô�è�ñÊêTáTíÏô°îröNè�êÈë>�+îQåZö ægãkPNè�åíN�¨ê~èyáN�¨ëNô°ð òyã°ê~òyé¨ã�í @ $ �²åçëgêTð¨è�ê�í6ë�á~ã°ó1é¨ô¾îQí~èÉíN�¨è�áTé¨ø¨áTè� Zé¨è�å�íÉô¾îLöNè�ê~á1ë4� @ ÷Íã�í � á~â¨ã�äcã�å¨æåXè�é¨êTëgå¨áÈë4�Õí²ö]â�è`U+ì%ëgå¨è_òLîNå·è�óÉâ¨ô°ërö´í �Xè�ò�ëNå¨áTí~ê~é¨ò�í6ã°ëNå �Oê~ëgó � � �r$\%&�¨è�â¨êTè�Pcã°ëNé¨á~ô�ö·ðXè�ïáTò�êTã°ø�è�ð5á~â¨ã�äcã�å¨æÏå¨èyé¨ê~ëgåXá � ê~èyâ¨ê~èyá~èyåZí�í �Xè�ëNéXí6â¨é]í6áÍë4�*æ�îQí6èyá��Oê~ëgó9í �¨è¡ñÊêTáTí�ô¾îLöNè�ê¶ë4� @ ø�öñ¨ê~ã°åXæ�ã#�AîNå¨ðÉëgå¨ô�ö1ãk��í �¨èÍòyëgê~êTè�á~â�ëgå¨ðXã°å¨æ�æ�îQí~è¶ã°å @ ëgéXí~â¨éXí~á ù $�S�ëG÷�è�PNè�êyì]í �Xè�âXê~è�òyã°áTèÍí~ã°óÉèîYíf÷��¨ã°òF� � ñÊêTè�á­ã°å�íN�¨ã°áfò�îNá~èð¨èyâAèyå¨ð¨á­ëgå �-, � ���� � ���m$�S èyå¨ò�èQì�øAè��Oëgê~èÏëgåXèÏòLîNå´é¨áTèíN�¨èc¬øAëcëgô°è�îNåfeëgéXí~â¨éXí~á+ë4�BíN�¨è�áTèÈæ�îQí~è�á � îNá ã°å¨âXéXí6á��Oëgê�ëNí �¨èyê áTâ¨ã°äZã�å¨æ�å¨èyé¨ê~ëNå¨á+ë4�Rí²ö]â�è�U í6ëáTã°óÈéXô¾îQí~è+í �¨è­áTé¨ø¨á~è� Zé¨è�å�í¡ô°îröNè�êTá�ë>� @ îNòyò�ëgêTð¨ã°åXæí~ëÏí �¨è­ò�ëNå¨áTí~ê~é¨ò�í6ã°ëNå5ã�ål�� � �\ìÊëgåXè(�ÊîNá¶í6ëèyó_âXô°ërö�î+áTöcå¨òF�Xê~ëgå¨ãkWLîQí~ã°ëgå1ó_ëcð¨é¨ô�è�îQáRò�ëNå¨áTí~ê~é¨ò�í6è�ðã�å.í �XèÕâ¨êTë]ë4�¨ë4�_%&�¨è�ëNê~è�ó � $ ù ã�åM�� � �r$

����� # �������& ���� !)(� � �() � ����� -� � ����) ������ � �\���� ������&) ������ �

·è&�Êî[Pgè¶á!�¨ër÷Íå_ã�å1í �Xè¶â¨ê~èyò�è�ðXã°å¨æ¡áTè�òyí~ã°ëgåÏíN�ÊîQíJã�åÈò�ëgå�í~ê6îNá¬íJí6ë������5� áJë4�Êí²öcâAè�X1ìQå¨èyí²÷�ëgêTäcáë>�Já~â¨ã�äZã°å¨æÉå¨è�éXê~ëgå¨á ë4�Bí²öcâ�è�U ò�îNå�áTã°óÈé¨ô°îQí6è¡åXè�é¨ê~îNô*åXèyí6á �Oê~ëgó�íN�¨è '*) +�,�ægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgå�è�Pgèyå�OëNê*í �Xè¶òLîNáTè¶ë4� ) /N34@ G ^934@ ?_/NYÕå¨è�í²÷ÕëNê~äÈã�å¨â¨éXí�$ S�è�å¨òyèNì�í �¨è. céXè�áTí~ã°ëgåÉîNêTã°áTè�áR÷��¨è�í �¨èyêJå¨èyí²÷�ëgêTäcáë>��á~âXã°äZã°å¨æ�å¨èyé¨ê~ëgåXáÕë4�Aí²ö]â�èTU2òLîNå�îNô°áTë­á~ã°ó1é¨ô¾îQí~è�Qeê~èyá~â�è�ò�í6ãkPNè�ô�öÉîNâ¨â¨êTërõ]ã�ó�îQí~èDRBå¨èyé¨ê6îNômå¨è�í6á�OêTëgó�í �¨èK+D/F<F791bYÈægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgå�÷��¨ã°òF� �Êî[PNèÉêTèLîNô¸ï�PQîNô�é¨è�ð�ã�å¨â¨éXí�341bY79?0, /b?0,r$�%&�¨ã°á( Zé¨èyáTí~ã°ëgåã�áÏîNå¨á¬÷Õèyê~èyð î 1ÉêTó�îQí~ãkPNè�ô�ö´ã�å}� � � �<ìµø�ö áN�¨ër÷Íã°åXæ�í �ÊîQí�ìB÷Íã�íN� ê~èyæ�îNê~ð í~ë�í6èyó_â�ëgê6îQô�òyë]ð¨ã�å¨æë>�Èê~è�îNô�ï8PQîNô°é¨èyð�PNîQê~ã¾îQø¨ô°èyá ��ì�341 #�<F791],65B1]?_79?�+poq?012<�,r58791 � � � �Lù � � � � � �Lù � � ò�îNå ø�èîQâ¨â¨ê~ëLõ]ã°ó_îQí~è�ð·îNê~ø¨ã�í6ê~îNêTö�ò�ô°ëNá~è�ô�ödQO÷Íã�í �iê~èyæ�îNê~ð´í6ë5é¨å¨ã#�Oëgê~ó ò�ëgå�Pgèyê~ægèyå¨ò�èQìBã8$ è4$K�*��R¡ø�öiîëNå¨è��¨ã°ð¨ðXè�å5ô¾îLögèyê¶å¨èyí²÷�ëgê~ä(ë4�*á~âXã°äZã°å¨æå¨èyé¨ê~ëNå¨áÍë4�*í²öcâ�èaU $

�²åM�eîQòyíLì]í �¨ã�á�ê~èyá~é¨ô�í��¨ëgô°ðXá¶å¨ëNí �Té¨á¬í&�OëgêÕí �Xè�áTã°óÉâ¨ô°è á~òF�¨èyó_è­ë4�*ô°ã�å¨èLîQê�í6èyó_â�ëgê~îNôFòyë]ð¨ã�å¨æðXè�á~òyê~ã�øAèyðbîYíÏí �¨è4ø�è�æNã°å¨å¨ã�å¨æ�ë4��áTè�òyí~ã°ëgå � $ � ìJø¨é]íÉîNô°áTëm�OëgêÏîNå�ö ëQí �¨èyêÈá~òF�¨èyó_è(ë4��òyë]ð¨ã�å¨æîQåÊîNô°ëNæOPQîNê~ã°îNø¨ô�è�áÍø�ö�íN�¨è1í6ã�ó_ã�å¨æë4�,á~ã�å¨ægô�è.áTâ¨ã°äQè�á+íN�ÊîQífã�á`cTòyëgå�í6ã�åcéXëgé¨á~ô�ö5ê~è�ô°îQí6èyðfe�í~ë_í �Xã°ááTòF�¨è�óÉè4$ %&�Zé¨á��OëgêÍè�õXîNóÉâ¨ô�èNì�ã�í îNô°áTëK�¨ëNô°ð¨á�ãk�Bî_å¨èyé¨ê~ëgå�í �ÊîQí ñÊê~èyáfîQí�í6ã�ó_è 2 � � � �­ð¨ëcè�áåXëNí�è�å¨òyë]ð¨è¡íN�¨è�îNåÊîNô�ëgæÏåZé¨óÈø�è�ê � ì¨øXéXí�ã°å¨á¬í6èLîQð y { � ëgê � � $

�²å_îQð¨ð¨ã�í~ã°ëgå.í �¨èyê~è¶è�õ]ã�áTí6á,è�P]ã�ð¨è�åXò�è¶í �ÊîYíJó�îQåZö1â¨ê6îQòyí6ã�òLîNô�ô�ö�ê~èyô°è�PNîQåZíJîNåÊîNô�ëgæ��Oé¨å¨ò�í6ã�ëgå �ò�îNåÉøAè�îNâ¨âXê~ëLõ]ã°ó_îQí6èyðÉø�öZ+�n�34@B@Yå¨èyí²÷�ëgêTäcá�ë4��áTâ¨ã°äZã�å¨æ­å¨è�é¨êTëgå¨áµë4��í²ö]â�è U�$�X ô¾îNêTægè¶åZé¨óÈø�è�êë>�.êTè�áTé¨ô�í~á4ê~èyæ�îNê~ðXã°å¨æ âXê6îNò�í6ã°ò�îNôfîQâ¨â¨ô°ã�òLîQí~ã°ëgåXá_ë4�­ô�èLîNêTå¨ã°åXæ ÷Íã�íN��øÊîNò-äZâ¨êTëgâ ëNåDá~ã°æNó_ëgã�ðÊîNôåXè�é¨ê~îNôFå¨è�í6á�áTé¨ægægèyáTí�íN�ÊîQí�í �¨è ê~è�ô�è�PQîNå�íÕí6îNê~æNèyí.�OéXå¨òyí~ã°ëgå¨á�� �OëNêµíN�¨è�áTè­îNâ¨â¨ô�ã°òLîYí6ã°ëNå¨á,òLîNå4ø�èô�èLîNêTå�í�Q<îQå¨ðp�¨è�åXò�èÍîNâ¨âXê~ëLõ]ã°ó_îQí6èyð_R%ø�öÈáTã°ægóÉëgã�ðÊîNô�å¨èyé¨ê6îNôXå¨èyí~áR÷Íã�íN�î+ê6îQíN�¨è�êRá~ó_îNô°ôcåZé¨óÈø�è�êë>�Êá~ã�ægó_ëNã°ðÊîNôNæ�îQí6èyá�$�X+ð¨ð¨ã�í6ã�ëgåÊîNô�èyó_â¨ã�ê~ã�òLîNô�è�P]ã�ð¨è�åXò�è�áTé¨ægægèyáTí6á*í �ÊîQí%í �XèÕâ¨êTè�ò�ã�á~è��Oëgê~ó�ë4�¨íN�¨èáTã°ægóÉëgã�ðÊîNô¨îQò�ã�í!PQîQí6ã�ëgåp�Oé¨å¨òyí~ã°ëgåÉã°á,å¨ëQíÕã�ó_â�ëgêTí6îNå�í��OëgêJí �¨è�åZé¨óÈø�è�êµë4��áTã°ægóÉëgã�ðÊîNôXægîQí6èyáµíN�ÊîQí

ù �

Page 20: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

îQê~èÏå¨èyè�ð¨èyð�$a%&�Zé¨á­ëgå¨èÏò�îNåiîNê~æNé¨è1í �¨îQífí �XèÈí-îNêTægèyíT�OéXå¨òyí~ã°ëgå¨á � d� � �Lù � � � � � �Lù � � íN�ÊîQíîQê~ã°áTè+ã�å�îNâ¨â¨ô�ã°ò�îQí6ã�ëgå_âXê~ëgø¨ô�è�óÉáÕò�îNå�ã°å_ægè�å¨èyê6îNôAøAèfîNâ¨â¨êTërõ]ã�ó�îQí~è�ðZ Zé¨ã�í6è�÷Õèyô°ôFø�ö�á~ã°æNó_ëgã�ðÊîNôåXè�é¨ê~îNômå¨èyí~á�÷Íã�íN��î�á~ó_îNô°ôXåcéXóÈøAèyê��+ë>��á~ã�ægóÉëgã°ðÊîQôXé¨å¨ã�í6á,í �ÊîYí�èyó_âXô°ëröÏí �¨è��Oëgô�ô°ër÷Íã°å¨æp@ 5B12/N34)+�34,6?0)N34, /NY`30<�,65B^934,r58791�oq?012<�,r58791�~

~�Q6tLR�uEFG FH

� � ãk�¢tZ� �t � ãk������tZ� ùù�� ãk�¢tZ� ù �

%&�Xè îQâ¨â¨ê~ëLõ]ã°ó_îQí~ã°ëgåÏêTè�á~éXô�í,ë4���� � �Êã°óÉâ¨ô�ã°è�á%í �ÊîYí,ã°åÏí �¨ã�áJòLîNáTè � òLîNå_îNô�á~ë¡ø�è îQâ¨â¨ê~ëLõ]ã°ó_îQí~è�ð Zé¨ã�í6è¡÷�è�ô°ôkø�ö(îÏå¨è�í²÷ÕëNê~ä(ë4� �ZQ �wR�+�/b5 !95B10-�12/�?A) 791L+Õë4�*í²öcâ�èaU $

%&�céXá�ì�ëgå¨èÏó_îLö�á~îrö�í �ÊîQí+÷Íã�í �´êTè�æ�îNêTð�í6ë(ò�ã�ê~òyé¨ã�í+ò�ëgóÉâ¨ô°èIõ]ã�í²ö\�Oëgêfò�ëNó_â¨é]í6ã°åXæ(îNåÊîNô�ëgæ�OéXå¨òyí~ã°ëgå¨áyìRå¨è�í²÷ÕëNê~äZáÈë4�Õá~â¨ã�äcã�å¨æ�åXè�é¨êTëgå¨á1ë>�Õí²öcâAèKU îNêTè�îYí1ô�èLîNá¬í1îQá.â�ër÷Õèyê!�Oé¨ô�îNá1åXè�é¨ê~îNôåXèyí6á��OêTëgó�í �¨èÕá~è�òyëgå¨ðægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgå�$��Êé¨ê¬í �¨èyê~óÉëgê~èQìNëgéXêBâ¨ê~è�Pcã°ëgé¨áTô�ö.ð¨è�áTò�êTã°ø�è�ð`@C79�./�)�øAëNé¨å¨ð¨á�OëNê í �XèÈá~ãkW�èÈë4�µå¨èyé¨ê6îQôRå¨è�í6áT�Oê~ëNó�íN�¨è1ñÊêTáTí¡í²÷�ë�ægè�åXè�ê6îYí6ã°ëNå¨á�QJ�OëNê+å¨è�í6á+íN�ÊîQí¡òyëgó_âXéXí6è1íN�¨è�OéXå¨òyí~ã°ëgå¨á @.A �4ì � A �Èëgê �� A ��R�ã°óÉâ¨ô�öÏí �ÊîQí�å¨èyí²÷�ëgê~äZáÍë4�%á~âXã°äZã°å¨æÏåXè�é¨êTëgå¨á¶ë4��í²öcâAè�UDîQê~èã�åp�eîNòyí�+�,6)q58<�,r@ #�nK79)F/ /]79�./�)Joq?0@Gí �ÊîNåå¨èyé¨ê6îQôÊå¨èyí~á��OêTëgóÖíN�¨è¶ñÊê~á¬íJí²÷Õë.ægè�å¨èyê6îQí~ã°ëgåXá %ã°åëgê~ðXè�êí~ë�îQòF�¨ã°è�Pgè�á~è�â¨îNê6îQí~ã°ëgå5ê~èyá~é¨ô�í6áÍø�èyí²÷�è�è�å��� � � á�ë4��, # /]/ � îNåXð�å¨èyé¨ê6îNôkåXèyí6á��Oê~ëNó�í �¨è­ñÊêTáTíí²÷�ë�ægèyå¨è�ê~îQí6ã�ëgå¨á1ã�í��TéXáTíÏêTè�ó_îNã°å¨á­í6ë Pgè�êTãk�Àö´í �¨îQíÈã�å¨áTí~èLîNðçë4�¶î�á~ã�å¨ægô°èÉá~âXã°äZã°å¨æ�å¨è�é¨êTëgåçë4�í²öcâ�è�X�îQô°á~ëÉîÏá~ã�å¨ægô�è¡á~â¨ã�äcã�å¨æå¨è�éXê~ëgå5ë4�%í²ö]â�è�U ò�îNå5ò�ëgóÉâ¨éXí~è @.A � � � A �ÏîNå¨ð �� A �M$

è�ê~è��Oèyê_í~ë�� � � îNå¨ð ��� � ���OëgêÉð¨è�í-îNã�ô°áÉë4�fí �Xè�â¨êTë]ë4�OáÉë4�¡íN�¨è�îNø�ëDPgèyó_èyåZí~ã°ëgåXè�ð�áTã°óÏïéXô¾îQí~ã°ëgåçêTè�á~éXô�í6á�$j�ÇíòLîNå2øAè(áTè�è�åd�Oê~ëgó'í �¨èyá~è5â¨ê~ëcë4�OáÈíN�ÊîQí � �OëgêÏâAëNá~ã�í~ãkPNè�ê~è�áTé¨ô�í~áÉîNøAëNéXííN�¨è­ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgåÊîNôFâAër÷�è�ê�ë4����� �5� á�ë4�*í²öcâ�èaU ��í �¨è�ö(ð¨ëå¨ëNí îNòyí~éÊîNô�ô�ö4êTè� Zé¨ã�ê~è¡í �ÊîYí�íN�¨èêTè�áTâAëgåXá~è�ï%ëNêRí �¨êTè�á!�¨ëgô°ðp�Oé¨åXòyí6ã�ëgå¨áJîQê~è�â¨ã�è�òyèy÷Íã°áTè¶ô°ã�å¨èLîNê�Qeãr$ è>$*ë4�mí²öcâ�è�U&R�$���îQíN�¨è�êBã�íBáTé 1Éò�è�áí~ëÏîNáTá~é¨óÉè+í �¨îQí��*£��L£�� á&�¨îDPNèfá~ëNó_è á~ó_îNô°ômô°ã�å¨èLîQê~ô�öÈã°å¨òyê~èLîQá~ã°åXæÈá~èyægó_èyå�íÍîNå¨ðZ� £��L£�� á&�Êî[PgèáTëgóÉè+á~ó_îNô�ôÊô°ã°åXèLîNêTô�öÏð¨èyò�êTèLîNáTã°å¨æÈáTè�ægóÉè�å�í�$�%&�¨è�áTèfâ¨ê~ëNâAèyêTí6ã�è�áÕîNê~è îNâ¨â¨êTëLõXã�ó�îYí6è�ô�öá6îQí~ã°á¬ñÊè�ðø�ö���£��L£�� á�îNå¨ð� £��L£�� á­ë4�,øXã°ëgô�ëgægã°ò�îNôkå¨èyé¨ê~ëgåXá�Qeá~èyè��Rã°ægéXê~è � R�$(�²å �� � �<ì*� ���>�Jî4òyëgó_âXô°èyí~èòF�¨îNê6îNò�í6èyê~ãCW�îQí6ã�ëgå5ë4�Bí �Xè.òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNôkâAër÷�è�ê ë4�*�����5� á+ë4�Rí²ö]â�è�U ã°áÍægã#Pgè�å�ã°å5í6è�êTó_á�ë4�îÏêTè�áTí~ê~ã�òyí6ã�ëgålQeò�îNô°ô�è�ð��Íï�� X mR�ë4�%í �¨è(�eîNóÉã°ô�ã¾îNê,óÉë]ð¨èyô�ë4�RîÉê~îNå¨ð¨ëNó�îNòyò�è�áTá+ó_îNòF�¨ã�å¨è4$

�²å.îQð¨ð¨ã�í~ã°ëgå¡ã�íkã°áká!�¨ër÷Íå.ã�åO� � � ��í �ÊîYíkí �¨èJáTã°óÈé¨ô°îQí6ã�ëgåfë4�cáTã°ægóÉëgã°ð¨îNôQåXè�é¨ê~îNô�å¨èyí~á�øZö���� � � áò�îNå·îNô°áTë5ø�èòLîNêTê~ã�è�ðiëgéXí¡÷Íã�íN�iíN�¨èø¨ã°ëNô°ëgægã�òLîNô�ô�ö(óÉëgê~èÏêTèLîNô�ã°á¬í6ã°ò1ó_ëcð¨è�ôRë4�¶î�+�, 7D<FEL39+�,r58<+ëgê12795C+$#5á~âXã°äZã°å¨æ å¨è�é¨êTëgå�$g�Çí�ã°á_èLîNá¬öbí~ë á~èyè�í �ÊîQí_í �¨è �Oé¨å¨òyí~ã°ëgåXá @+A �bì�� A � îNå¨ð �� A �òyëgå¨áTã°ð¨èyê~è�ð��¨èyê~èNì�ò�îNå·ø�èÏò�ëNó_â¨é]í6è�ð´ø�ö´î�á~ã�å¨ægô�èZ12795C+$#Èá~âXã°äZã°å¨æ(å¨èyé¨ê~ëNåië>��í²öcâ�è�X ëNê�U�$�Êé¨ê¬í �¨èyê~óÉëgê~èQì¨ã�í�ã°á¶áN�XëG÷Íå5ã°ål��� ù �kíN�ÊîQí¶è�Pgèyå�÷Íã�íN� ^4/�)$#�12795C+$#+áTâ¨ã°äZã�å¨æå¨è�é¨êTëgå¨áÍë4�%í²öcâAè�XëNê�U�ëNå¨èòLîNå´ã°å´â¨êTã°å¨òyã°â¨ô�è1ò�îNê~ê¬ö�ëgéXí�îNêTø¨ã�í~ê6îNê¬ö Y45#-45B,834@�ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå¨á+÷Íã�í �iîNå�ö�ð¨èyá~ã�ê~è�ððXè�ægêTè�è´ë4��ê~èyô°ã¾îQø¨ã°ô�ã�í²ö�$VS ër÷�è�Pgèyê�ì¡å¨ëNã°á~è�ò�è�ê¬í-îNã�å¨ô�ö î>"Aè�ò�í6á4í �Xè�ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgåÊîNô�âAër÷�è�ê(ë4�åXèyí²÷�ëgê~äZá4ë4�fá~â¨ã�äcã�å¨æiå¨è�é¨êTëgå¨á��OëgêÉîNåÊîNô�ëgæ·ã�å¨â¨éXí�ì�îNåXðb÷�è�ê~è��Oè�êÉí6ë�� � � ��÷Íã�í �bê~è�ægîNê~ð í6ëô�ã°óÉã�í~á�ë>�Jí �¨èÈòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNåÊîNô�âAër÷�è�ê¡ë4�,åXèyí²÷�ëgê~äZá­ë4��12795C+$#1áTâ¨ã°äZã�å¨æ4å¨èyé¨ê~ëgåXá+÷Íã�íN�´îNåÊîNô�ëgæã�å¨â¨éXí�$

� �

Page 21: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

� � O��� ������� O��

·è�Êî[PgèiîNå¨îNô�ö0W�èyð ã°å�í �Xã°á(îNê¬í6ã°òyô°è5í �¨è�òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNô â�ër÷Õèyê(ë4�1åXèyí²÷�ëgê~äZá(ë4�.á~â¨ã�äcã�å¨æåXè�é¨êTëgå¨á÷Íã�í � êTè�æ�îNêTðçí6ë�í6èyó_â�ëgê6îQôÕò�ëcð¨ã�å¨æ�÷Íã�í � áTã°å¨ægô�è4á~âXã°äNèyá�$j�Çíí6é¨êTå¨áëgéXíÏíN�ÊîQíÏí �Xã°áòyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNåÊîNômó_ëcð¨èyô2�ÊîNá�îQí�ô�èLîNá¬í�í �¨è+á6îNóÉèfò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgåÊîQô�â�ër÷ÕèyêÍîNá�å¨èyé¨ê6îQô�å¨èyí~á.�Oê~ëNóíN�¨è_ñ¨ê~áTí.í²÷Õë�ægè�å¨èyê6îQí~ã°ëgåXá`Qeãr$ è>$(óÈé¨ô�í~ã°ô°îröNè�ê¡â�è�êTò�è�â]í6ê~ëNå¨áÏîNå¨ð á~ã°æNó_ëgã�ðÊîNôBåXè�é¨ê~îNô�åXèyí6á R.ë4�î5á~ã�ó_ã�ô¾îNêfáTãCWyè4$\�Êé¨êTíN�¨è�êTó_ëgêTèÉ÷�èK�¨îDPNè4è�õA�¨ã�ø¨ã�í~è�ð·ò�ëgå¨òyê~è�í6èK�Oé¨åXòyí6ã�ëgå¨á­÷��¨ã°òF� ê~è� Zé¨ã�ê~è��OëgêíN�¨è�ã�ê¶ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå�á~ã�ægå¨ã�ñÊòLîNå�í~ô�öao[/��./�)�å¨è�éXê~ëgå¨áÍã�å�îÏå¨è�í²÷ÕëNê~ä(ë4�*+�/b5 !95B10-¡åXè�é¨êTëgå¨á�$

%&�¨è�â¨êTë]ë>��ë4�&%&�Xè�ëgêTè�ó �îNâ¨â�èLîQê~á­í6ë�ø�èÉë4�¶ã°åXð¨è�â�è�å¨ðXè�å�íÏã°å�í~è�ê~èyáTí.ã°åií �¨èÉí �¨èyëgêTöië4�áTã°ægóÉëgã�ðÊîNôXåXè�é¨ê~îNômå¨èyí~á�ìcá~ã°åXò�èÍã�í,â¨êTëDP]ã�ð¨è�á,í �Xè á¬í6ê~ëNå¨ægè�á¬íÕô�ër÷Õèyêµø�ëgé¨åXð�ê~èyá~é¨ô�í*�Oëgê,á~ã°æNó_ëgã�ðÊîNôåXè�é¨ê~îNô*åXèyí6á�í �ÊîYífã°á�ò�éXê~ê~èyå�í6ô�ö5äZå¨ër÷Íå�$ �Çífã�ó_â¨êTëDPgè�áÍí �Xè1ô¾îQê~ægèyáTí â¨ê~è�P]ã�ëgé¨áTô�ö(äZå¨ër÷Íå�ô°ër÷�è�êø�ëgé¨åXð ��Q?* ,���� RO�� � �Õí6ë$��Q?* R�$%&�¨ã°áÈåXèy÷9ô°ër÷�è�êÈø�ëgé¨å¨ðçêTè�áTé¨ô�íÏã�áÈîNô�á~ë�ë>�Íã°å�í6èyê~è�á¬í��Oê~ëNóíN�¨è�í6èyòF�¨å¨ã°ò�îNô¶â�ëgã°å�íë4� Pcã°èy÷­ì�á~ã�å¨ò�è(ã�íÈâ¨ê~ëDPcã°ð¨èyáÉíN�¨è�ñÊê~á¬íÉäcåXëG÷Íå îNâ¨â¨ô�ã°ò�îQí6ã�ëgå ë4� ê~èyò�è�å�íêTè�áTé¨ô�í~á�� � �D�,îNø�ëgéXí í �¨è�c �cëgå�í-îNæQïÇð¨ã°óÉè�åXá~ã°ëNåfe�ë4�,åXè�é¨ê~îNôBå¨è�í6á�$�%&�¨ã�á¡ã°áfî4åXèy÷ åXëNí6ã�ëgå�ë4�µîc¬ð¨ã°óÉè�å¨áTã°ëgåLeZ�Oëgê­î�å¨è�é¨ê~îNôJå¨è�í�íN�ÊîQí�ã°á¡ã�åiî(òyè�ê¬í-îNã�åiáTè�å¨áTè_ðXéÊîNôBí6ë(í �Xè��eîQó_ã�ô°ã¾îQê�òyëgå¨òyè�âXíë>��íN�¨è��µîNâ¨å¨ã�ä�ï i.�¨è�ê PgëgåXè�å¨äZã°á.ð¨ã°óÉè�åXá~ã°ëNå�ë4��î�å¨èyé¨ê6îQôµåXèyíKQeëgåXèÉêTè�â¨ô°îNò�èyá c¬í �¨èyê~èè�õ]ã�áTí6á�îáTèyí ��ë4� �iã�å¨â¨éXí~áZ$�$�$Ne ø�ö c �OëgêÏîNô�ô�áTèyí~á ��ë4� �´ã°å¨âXéXí6áZ$�$�$!e ã°å íN�¨è�ð¨èyñ¨å¨ã�í~ã°ëgå ë>��íN�¨èðXã°óÉè�å¨áTã°ëgå_Rq$

X+áÕíN�¨èfê~è��Oè�êTè�å¨òyè�á¶ã°å_í �¨ã�á�îNê¬í6ã°òyô°è�ã°å¨ðXã°òLîYí6èNìZí �Xè+í �¨èyëgê~è�í6ã�òLîNôAã°å�PgèyáTí6ã�æ�îQí~ã°ëgå_ë4��å¨èyí²÷�ëgêTäcáë>��á~â¨ã�äcã�å¨æÈå¨èyé¨ê~ëNå¨á�ã°á�å¨ëNí�î1å¨èy÷ êTè�á~è�îNê~òF��í~ëgâ¨ã°ò>$��²åZ�eîNò�í�ã�í.�ÊîNáÕî1ô°ëgåXæ1í6ê~îNð¨ã�í~ã°ëgåÉã°åÉí �¨èyëQïêTèyí~ã°òLîQôkå¨è�é¨êTëgø¨ã�ëgô°ëgæQögìXøXã°ëgâf��öcá~ã�ò�áyìAîQå¨ð5íN�¨è�ëNê~èyí~ã°ò�îNôkâf��öcá~ã°òyá�$.S ër÷Õè�Pgèyê�ì�îó_îQí �¨èyó�îYí6ã°ò�îNô°ô�öêTã°ægëNê~ëgé¨á�îNå¨îNô�öcá~ã�á.ë>��í �¨è <F79n�/b?A,834,658791b34@ /]79�./�)¡ë4�¶å¨è�í²÷ÕëgêTäZáÈë4�¶áTâ¨ã°äZã°åXæ�å¨èyé¨ê~ëgåXáa�ÊîNá.á~ë�eîQê�ø�è�èyå�óÉã°á~áTã°å¨æL$ ·è.ø�è�ô�ã°è�Pgè­í �ÊîQí�áTé¨òF��îNåÊîQô�öcá~ã�á�÷Íã�ô°ô�ø�è��Xè�ô°âA�Oé¨ôkã°å5é¨å¨ð¨èyê~á¬í-îNå¨ðXã°å¨æ�íN�¨èëNê~æ�îNåXãCWLîYí6ã°ëNå4ë4�*ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå¨á¶ã°å(òyëgó_âXô°è�õ4ø¨ã°ëNô°ëgægã�òLîNômå¨èyé¨ê6îQôkáTöcáTí~è�óÉá�$

�²åçîNð¨ð¨ã�í6ã�ëgå áTé¨òF�2îNåÊîNô�ö]áTã°á1îNâ¨â�èLîNêTá1í6ë�ø�èZ�¨èyô°âL�OéXô��Oëgê.è�PQîNô�éÊîQí6ã�å¨æ�íN�¨è4â�ëNí6èyå�í6ã¾îQôµò�îYïâ¨îNø¨ã°ô�ã�í~ã°è�á¶ë>��PNîQê~ã°ëNé¨á ðXè�á~ã�ægå¨á ë4��c[34)q,65 '�<�5634@¨å¨èyí²÷�ëgêTäcá¡ë>�Já~â¨ã�äZã°å¨æ_å¨è�é¨êTëgå¨á!e¨ì�ã°å�âÊîNê¬í6ã°òyé¨ô¾îQêë>�RáTã°ô°ã�ò�ëgå�ã°óÉâ¨ô°èyó_èyåZí6îQí6ã�ëgå¨áµë4�%ã°å�í6èyægê6îYí6è�ð(òyã°ê~òyé¨ã�í~áÕí �¨îQíÍò�ëgóÉâ¨éXí~èf÷Íã�íN�5âXé¨ô°áTè�á�QN� ù >�<ì � ù �4�<ì� � �4�<ìC� � � �\ì¢� ��� �<ì�� � � �\ìC� � �>�<ì � �]ù �<ì¢� ��� �<ì � � w��� � � �<ì¢��� >�<ì ���>�9�BRq$��ÊëgêÍè�õXîNóÉâ¨ô°è¡íN�¨è.êTè�áTé¨ô�í~á�ë>�Rí �Xã°áîQêTí6ã�ò�ô�èîNå¨ð·íN�¨ëgáTè�ã°å�����9�µáN�XëG÷ íN�ÊîQí­í �Xè�ê~è_è�õ]ã°á¬í1ðXê6îNá¬í6ã°òð¨ã#"Fèyê~èyå¨ò�èyá1ø�èyí²÷�è�è�å íN�¨èÉò�ëgóÏïâXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNô�òLîNâÊîQø¨ã°ô�ã�í6ã�è�á¶ë4�,åXèyí²÷�ëgê~äZá¡ë4�JáTâ¨ã°äZã�å¨æ4å¨èyé¨ê~ëgåXá+í �ÊîYí+ëgâ�è�ê~îQí6è�÷Íã�íN��ê~èyòyí-îQå¨ægé¨ô°îNêâXé¨ô°áTè�á�Qeãr$ è>$Bí²ö]â�è�X(R�îNå¨ð(í �Xëgá~è¡í �¨îQí�ëgâAèyê6îQí~èf÷Íã�íN�(í~ê~ã°îNå¨ægé¨ô°îNê�â¨éXô°á~èyá�Qeã8$ è4$Bí²öcâ�è�U&R�$

��� ����Ü]Û�OÙcÞ�mÙ�� Ù�� GßNà��,÷ÕëgéXô°ð(ô°ã�äNè+í~ëÈí �ÊîNåXä3�Jð¨éÊîNêTð¨ëO�]ëgå�í-îQæîNå¨ð5îNå5îNå¨ëgå�öcóÉëgé¨áêTè��Oèyê~è�è��Oëgê�íN�¨è�ã�ê&�¨è�ô�âL�Oé¨ô�òyëgó_óÉè�å�í~á�$

���� �����(�����(�

� ù � l$�X øAèyô°èyá�ì4 =I79)�,658<F791]58<F+)� ��/�?0)!34@(=�5B) <�?A5B,B+m7 o`,BE]/�=I/�) /)'�)!34@T=I79)q, /&% "Iì.i�îNóÈøXê~ã°ðXægè

�]ù

Page 22: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

��å¨ãkPNè�ê~áTã�í²öM£JêTè�á~áyì ù � �Xù $� � � l$�X øAèyô°èyá�ì0S�$hUÕèyê~ægó_îNå�ì �&$ �îQê~æ�îNô�ã�í�ì �&$ZîNå¨ð �µîgîNð¨ã°îXì c �]â¨îQí6ã�ëNí6èyó_â�ëgê6îQô]ñÊêTã°å¨æ­âÊîQí¬ï

í~è�ê~åXá�ã°å�íN�¨èT�Oê~ëNåZí6îNô�ò�ëgê¬í6è�õ4ë4��ø�è��Êî[Pcã°å¨æÏóÉëgå¨äQèyöcáNeXì�� 5�7 o���/�?A) 7 /]E>#D+�5879@C7N- #Qì0Pgëgôr$ �>�Xìâ¨â ù������ � ù�� � ì ù � � L$

��>��X�$�X+èyêTí6áTè�å�ì�è�ð�$�ì4 ��)!345B1 ?�E]/F79) # � � /L34,65879G ? /�n�/]79)!34@ -T+�/]/F<�,B+m7 o �&)N345B1 ��?012<�,658791 "Iì�Jô°áTè�Pcã°èyê�ì ù � � L$

� �4�a� $ �p$¢X+ã�í²ögîNåçîNåXð ��$��*$¢U�îQê~ê~ër÷­ì�c!£RîNê~îNð¨ã°æNó�ì%ô°ëgæNã°òLîQôBâAèyê!�OëgêTó�îQå¨ò�èQìBîNå¨ð·í6ê6îQã°å¨ã�å¨æë4��ê~è�òyé¨ê~êTè�å�í¶êTè��Oê6îQòyí6ëNêTöå¨èyé¨ê6îNô�å¨è�í²÷ÕëgêTäZáNe¨ì ��/�?0)N34@0:�H�34)N34@B@C/�@�� ��<�58/�1],r5 '�<a=I79n�/b?0,�34G,658791L+�ìLPgëNô8$ ù ìÊâXâ. � � � ì ù � � L$

� � � l$AXa$fX ê~ø¨ã�ø�ìXèyð�$�ì ?�E]/��(341bY�'�7D7 !K7 o ��)!345B1 ?�E]/F79) #�341bY ��/�?0)N34@ ��/�,6�.79);!D+ "Iì � %Õï£Jê~èyá~áyì2i�îQóÈø¨ê~ã�ð¨ægèQì ù � ��� $

� � � $�U�îNã�ê�ì i�$ �¡ëcòF��ì $� èy÷ÍáTëgóÉèNì �p$%îNå¨ð UÕêTã�íTí6è�åFì(c4�Íè�ô�ã¾îNø¨ô�èÏí6è�óÉâ�ëgê6îNô,óÉë]ðXé¨ô¾îYïí~ã°ëgå�ã�å�ò�ëgê¬í6ã°ò�îNôBáTâ¨ã°äQèí~ê6îNã�å¨á¡ã°å�íN�¨èÉîL÷�îNäQè_óÉëgå¨äQèyö0e¨ì�HI) 7D<)5�7 op,BE]/ � #>n�/]7D+�5B?0n 791�=#91b34np58<F+a7 o ��/�?0)N34@2HI) 7D<F/F+F+�5B10-Nì îNáN�Xã°å¨æNí~ëgå�ì����AX1ì ù � � �f$

� �9� $ UÕã¾îNô�è�ämìBîQå¨ðj�.$ �Íã°èyäNèQì�c4��èyô°ã°îNø¨ã°ô�ã�í²ö�îNå¨ðçã°åA�Oëgê~ó_îQí6ã�ëgå�í6ê~îNå¨á~óÉã°áTá~ã�ëgå ã°å á~â¨ã�äcã�å¨æå¨èyé¨ê~ëNå¨áNe¨ì ?L) /�1bY9+�5B1 ��/�?A) 7D+D<�58/�12<F/�ìLPNëgô8$ ù � ìÊâ¨â\� � � �0� 4�¨ì ù � ��� $

� � �5�&$_UÕã�è�å¨èyå¨áTí~ë]ò-ämì.c!X�ó_ëcð¨èyôkë4�RåXè�ëcò�ëgê¬í6è�õAe¨ì ��/�,r�.79);! �p=I79n�/b?0,�34,6587915B1 ��/�?0)!34@ � #w+�G, /�na+�ìLPgëNô8$ � ìÊâXâ ù � � � ��� �Xì ù � � � $

� � � L$ �$DUÕër÷Õèyê�ìQîNå¨ð ��$DUÕèyè�ó_îNå�ì� ?�E]/ �T7D7 !�7 o 7 � 7 � * � �>7 %6/b@C79)q5B10-���/N34@ 5C+�,r58< ��/�?0)N34@:�7�Y0/�@ +&��5B,BE�,JE]/� 7.12/�)!34@�� 7I?A)!34@ � *qnp?A@#34,658791�� #D+�, /�n�"Iì��]â¨ê~ã�å¨ægèyê�ì � è�÷ �µëNê~ämì ù � ��� $

� ù �>��£¢$]� $fi.�céXê~òF�¨ô°îNå¨ð�ìÊîQå¨ð`%($ L$f�]è �Tå¨ër÷ÍáTäcã<ì$ ?�E]/p=I79n�/b?0,834,r58791b34@ ��)!345B1 "Iì � %Õï £Jê~è�áTá�ìù � � L$

� ùgù � l$�i�$ iÕê6îQã°ê�ìFîNå¨ð� $ U�ã¾îNô�è�ämì&c ��ëgå]ï UÕëgô�íNW�ó_îNå¨å�ðXöcåÊîNóÉã°ò�á+ã°å�å¨è�í²÷ÕëNê~äZá­ë4�µá~â¨ã�äcã�å¨æå¨èyé¨ê~ëNå¨áNe¨ì - Y4^93412<F/F+�5B1���/�?A)!34@ *�1[o[79)qn�34,658791lHI) 7D<F/F+F+�5B10-�� #w+�, /�na+�ì¢PNëgô8$ � ì �ëgêTæ�îNå�­îNéL�Oó_îNå¨åFì]�XîNå��îQí~è�ë¨ìÊâXâ ù � � � ùgù�� ì ù � � �L$

� ùw� ��U�$ �¡îQá �¡é¨âXí-î]ì �p$��]òF�¨å¨ã�í6ægèyê�ìMc %&�¨è·â�ër÷Õèyê(ë4�ÏîNâXâ¨ê~ëLõ]ã°ó_îQí6ã�å¨æ î2òyëgó_â¨îNê~ã�á~ëgå ë4�îNò�í6ã#PNîYí6ã°ëNå\�Oé¨åXòyí6ã�ëgå¨á!e¨ì - Y4^93412<F/F+�5B1���/�?0)N34@ *�1[o[79)qn�34,658791mH.) 7D<F/F+F+�5B10- � #D+�, /�na+�ì_Pgëgôr$� ì �ëgê~ægîNå ��îQéL�Oó�îQå¨ålQ8�XîNå��îQí~è�ëhRIì¨â¨â �Xù � � ����� ì ù � � L$

� ù >� l$ ��$ �fè��µëgå¨æ¨ì<��$ ��$b�Rã�å¨ð¨ô°è�ögì�îNå¨ði�$2�Rã�è�ô�ð¨á�ìIc!%&�¨è.ð¨è�áTã°ægåFìb�eîNøXê~ã°ò�îQí6ã�ëgå�ìmîNåXð�í6èyáTíë4�Aî¡å¨è�÷ ���¢�A����ö]øXê~ã°ðÉîNå¨îNô°ëgæYï²ð¨ã�ægã�í6îNô�å¨è�éXê6îNôÊâ¨êTë]òyè�áTá~ã°åXæ�èyô°èyó_èyåZíNe¨ì�* 7 7 7 ?f)!341L+)5 791��/�?A)!34@ ��/�,r�.79);!D+�ìLPNëgô8$ ]ì¨â¨â� � � �>�¨ì ù � ��� $

� ù �4����$ L$ �fëgéXægô¾îNáyì�i�$ �­ëcòF��ì l$ �î4�¨ër÷ÕîNô°ðFì ��$�Xa$.i�$��îNêTí~ã°å�ì�îNå¨ð�S�$.S�$��]é¨îNê~è�WNìc4�Íè�òyé¨ê~êTè�å�í5è�õ]ò�ã�í-îQí~ã°ëgåDã�å å¨è�ëcò�ëgê¬í6ã�òLîNô ò�ã°êTò�é¨ã�í6á!e¨ì���<�58/�12<F/�ì�Pgëgôr$ ��� � ì â¨â � �Xù � � ��� ìù � ��� $

���

Page 23: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

� ù � � ��$>�Êè�ê~á¬í6èyê�ìZîNå¨ð ��$��]âXê~é¨á¬í6ëgå�ì ��$�ì cNiÕê6îNò-äZã°åXæfí �¨è¶å¨èyé¨ê~ëNåÊîNôXòyë]ðXè�e¨ì ��<�58/�12<F/�ì9Pgëgôr$ � �4�]ìâ�� ��� �"� � �]ì ù � ��� $

� ù�� � $ �¡è�ê~á¬í6å¨èyê�ì�c X+á~áTë]òyã¾îQí~ãkPNè5óÉè�óÉëgê¬öçã°åbî·å¨è�í²÷ÕëNê~ä ë4�+� ø¨ã°ëNô°ëgægã�òLîNô ��å¨è�é¨êTëgå¨á!e¨ì - Y4G^93412<F/F+\5B1 ��/�?A)!34@ *�1[o[79)qn�34,658791 HI)F7D<F/F+F+�5B10- � #D+�, /�na+�ì�Pgëgôr$ ]ì �ëgêTæ�îNå �­îNéL�Oó_îNå¨åFì�XîQå��îQí6èyë¨ìÊâ¨â � � � � �]ì ù � �Xù

� ù �9� $ �­èyê~á¬í6å¨èyê�ì c!%¶ã�ó_è�áTí~ê~é¨ò�í6é¨êTèÏë4�Jí �¨èÈîNòyí~ãkPcã�í²ö5ã°å�å¨è�é¨ê~îNôRåXèyí²÷�ëgê~ä�ó_ëcð¨è�ô�áNe¨ì H*E>#w+)5��/�^ 597�ìfPgëNô8$ �]ù ì¨â¨â.� � �"� � � ì ù � ��� $

� ù � � $ �¡è�êTáTí~å¨è�êyìZîNå¨ð�L$ ��$>PQîNå�S èyó_óÉè�åFì cNS ër÷2í6ë¡ð¨èyá~òyê~ã°ø�èÍå¨è�éXê~ëgåÊîQôÊîNòyí~ãkPcã�í²ö %á~â¨ã�äNèyá�ìê~îQí6èyá�ìÉëgê îQá~á~èyóÈø¨ô�ã°è�á � e¨ì�- Y4^93412<F/F+j5B1 ��/�?0)!34@ *�1[o[79)qn�34,r58791�H.) 7D<F/F+F+�5B10- � #w+�, /�na+�ìPNëgô8$ � ì �ëgêTæ�îNå ��îQéL�Oó�îQå¨å�ì]�]îNå��îQí6èyë¨ìÊâ¨â\� � �0���4�Xì ù � � �f$

� ù � � $ �¡è�êTáTí~å¨è�êyì ��$@�Íã�í WQì,îNå¨ð L$���$ PQîNådS èyó_óÉè�åFìac X/ø¨ã°ëgô�ëgægã�òLîNô�ô�ö�óÉëNí6ã#PQîQí6èyðçîNå¨ðîNå¨îNô�öZí6ã�òLîNô�ô�ö�á~ëgô�é¨ø¨ô°è_ó_ëcð¨èyô�ë4��òyëgô°ô�è�òyí~ãkPNè_ëgáTò�ã�ô°ô¾îYí6ã°ëNå¨á­ã°å íN�¨è4ò�ëNêTí6èIõ K�F$ %&�Xè�ëgê¬ö ë4�÷�èLîNä�ô�ë]ò-äZã�å¨æ�e¨ì ��5879@ 5.= # '�/�)�1<5°ìAPgëgôr$ � � ì¨âXâ. � � ��>�Xì ù � � L$

� � �>��£¢$ $ �¡ëgô°ð¨ø�è�êTæ¨ì�îNå¨ð l$ ��$ Nè�ê~êTé¨ó5ì�cNUÕëgéXå¨ð¨ã°åXæ·í �Xè �µîNâ¨åXã°ägï i.�¨èyê!PNëgå¨è�åXäcã�á�ð¨ã¸ïóÉè�å¨áTã°ëgå5ë4�Jòyëgå¨òyè�âXí¡òyô¾îNáTá~èyá+âÊîNê~îNóÉèyí6èyê~ãkW�è�ð�ø�ö�êTèLîNô�åZé¨óÈø�è�êTáNe¨ì : 30<FE05B12/�� /N34)q1]5B10-NìPNëgô8$ ù � ì¨â¨â ù ù � ù � � ì ù � ��� $

� �]ù � l$LS èyê~ê~ó_îNå¨åFì L$LX�$]S èyêTí WQìÊîNå¨ðMX�$f£Jê��é¨ægèyô�ï UÕè�å¨åXèyí~í�ì�c!X åÊîNô�ö]áTã°á�ë>�*á¬öcåXñÊê~è­òF�ÊîQã°å¨á!e¨ì��79)!Y45B,�3�/b) /�/b)q5B1],<ì ����� � � $��í~í~â ��� ÷¶÷¶÷�$ å¨ëgê~ðXã�í-îA$ ð¨ä � ô�ë]òyã°åL�Oë � â¨ê~èyâ¨ê~ã�å�í6á�$ ��í6óÉô8$

� ��� � L$ L$ S�ëgâXñÊèyô°ð�ì�cN£RîYí~í6èyê~åiê~èyò�ëgægåXã�í6ã�ëgå´ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgå�é¨áTã°å¨æ�îNòyí~ã°ëgå´â�ëNí6èyå�í6ã¾îQôBí6ã°óÉã°åXæ�Oëgê¶á¬í6ã�óÈé¨ô°éXá�ê~èyâ¨ê~èyá~è�å�í6îQí6ã�ëgå¨áNeXì �(34,6?A) /�ìfPgëNô8$ �� � ì¨â¨â � � ì ù � � � $

� � >� L$ L$�S ëgâXñ¨è�ô°ðFìBîNå¨ð Xa$ ��$ l$ S�è�ê!WNì�c4��îNâ¨ã�ð·ô�ë]ò�îNôJáTöcå¨òF�Xê~ëgå¨ãkWLîQí~ã°ëgå ë4�ÍîNò�í6ã°ëNå â�ëQïí~è�å�í6ã°îNô°á �%%ër÷�îNêTð¨á1òyëgóÉâ¨éXí-îYí6ã°ëNå´÷Íã�í �·ò�ëgé¨âXô°è�ð·ã°å�í6èyægê6îYí6è�ï²îNå¨ð]ï\ñÊê~èå¨èyé¨ê~ëNå¨áNe¨ì*HI)F7D<)5�(34,r@ 5,-�<N3�Y�5 ��<�5 5°ìLPNëgô8$ ��� ì¨â¨â �"��� � � �"�"��� ì ù � � � $

� � �4��%($�S�ëgê~ã�å¨òF�¨ã\ì L$ �%î>W�WLîQê~ë¨ì(X�$ �ë]ëNê~èNìfîNå¨ð i�$��­ëcòF��ìMc X ð¨èyô¾îLö�ï²ô�ã°å¨è�ø¨îNá~èyðÌó_ëYïí~ã°ëgåÏð¨è�í6èyòyí6ã�ëgåòF�¨ã°âLe¨ì - Y4^93412<F/F+�5B1 ��/�?0)N34@�*q1[o[79)qn�34,r58791OHI) 7D<F/F+F+�5B10-�� #D+�, /�na+�ì�PNëgô8$ Xì�ëNê~æ�îNå �­îNéL�Oó_îNå¨åFì_�XîNå �îQí~è�ë¨ìÊâXâ ��� � �0� ùw� ì ù � �]ù $

� � � ��X�$ gî4�¨å¨äQèNì ��$,�ÍëNí �Fì*îQå¨ð S�$ �¡ô¾îNêyì�c!X �A� � � �¡îYí-î /Êër÷¡X+êTòF�¨ã�í~è�òyí~é¨ê~è��Oëgê­î�� èyé]ïêTë]òyëgó_âXéXí6èyêO�OëgêM�câ¨ã°äQè�ï £JêTë]òyè�á~áTã°å¨æ ��è�é¨ê~îNô � è�í²÷ÕëNê~äZá;Q �����L£�� � ��R e¨ì�:�58<�) 7 ��/�?0) 7Yìâ¨â � � � � ��]ì ù � �"� $

� ��� �ai�$ %($ Nã°é·îNå¨ð;£¢$¢S�$ $ �kèyëgå¨æ¨ì�c!X+å îNåÊîNô�ëgæ ���¢�A�fí~ã°óÉè�ï²èyå¨ò�ëcð¨èyð·âÊîYí~í6èyê~å·ò�ô¾îQá~á~ã¸ïñÊèyêNe¨ì¢H.) 7D<)5.7 o�,BE]/��[,BE -�?�+�,r)!34@ 56341 =I791[o[/�) /�12<F/O791 ��/�?0)!34@��/�,r�.79);!D+�ìFã�å i�îNåZø�è�ê~ê~îXìX é¨áTí~ê6îNô�ã¾îXì]â¨â �cùw� ï �cù � ì ù � �"� $

� � �9� ��$ Në��¨å¨á¬í6ëgå�ì+îNå¨ð�� $ �$� éFì=�¢79?A1bY�34,658791L+�7 o;=I/�@B@ ?0@#34) ��/�?A) 7 /]E>#D+�5879@C7N- #Qì � %Õï£Jê~èyá~áyì2i�îQóÈø¨ê~ã�ð¨ægèQì ù � ��� $

Page 24: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

� � � � �p$*%($ Né¨ð¨ð�ìÍîNåXð �p$*X+ãC�¨îNê6îXì�cN£Jé¨ô°áTè�âXê~ëgâÊîQæ�îQí6ã�ëgå2å¨èyí²÷�ëgê~äZá �X#å¨èyé¨ê6îNôÍå¨è�í²÷ÕëNê~äóÉë]ðXè�ômí �ÊîQí�é¨á~èyáÍí~è�óÉâAëNê6îNô�ò�ëcð¨ã°åXæÈø�ö�îNò�í6ã°ëNå�âAëNí~è�å�í6ã°îNô°á!e¨ì ��/�?0)!34@ ��/�,6�.79);!D+�ìAPNëgô8$ � ìâ¨â � � � �]ù � ì ù � � A$

� � � � l$ �­îNê~âXã°å¨áTäcã<ìFîQå¨ðmXa$ �îNòyã°å�í²öcê~èQì�cN£*ëNô�öcå¨ëgóÉã¾îNôkø�ëgé¨åXð¨á �Oëgê � iµï²ð¨ã�ó_èyå¨á~ã�ëgå�ë>�Já~ã�æQïóÉëgã°ð¨îNô�îNå¨ð(ægè�åXè�ê6îQô £��eî 1_îNå�å¨è�éXê6îNô�åXèyí²÷�ëgê~äZáNeXìmí~ëîNâ¨â�èLîNê¶ã�å�í �Xè � 5�7 o�=I79n�/ 5 341bY� #D+�, /�n ��<�58/�12<F/F+�$

� ��>����$ �¡èyó_âXí~è�êyì� $ �¡è�êTáTí6åXè�ê�ì L$���$>PQîNåpS�è�óÉó_èyå�ì�S�$NîNå¨ð îNægå¨èyê�ì c %*èyó_â�ëgê6îQô]òyë]ð¨ã�å¨æã�åíN�¨è�á~é¨ø]ïÇó_ã�ô°ô�ã°á~èyò�ëgåXðÈê6îNåXægè� BóÉëcð¨è�ô¨ë>��øÊîNêTå_ër÷Íô�îNé¨ðXã�í6ëNêTöÏâÊîYí ��÷�îLö0e¨ì"- Y4^93412<F/F+ 5B1��/�?A)!34@ *q1[o[79)�n�34,658791 HI) 7D<F/F+F+�5B10-� #D+�, /�na+�ìLPNëgô8$ � ì � %Õï £Jê~èyá~áyì�i�îNó1ø¨ê~ã�ð¨ægèNìXâ¨â ùD� � �ù 4�Xì ù � ��� $

� ù �ai�$ �¡ë]òF�FìJîNå¨ðl%($ £%ëgægægã�ë¨ìTc �é¨ô�í~ã°â¨ô�öcã°å¨æ4÷Íã�í � á¬öcåÊîNâ¨áTè�áîNå¨ð·å¨è�éXê~ëgå¨á!e¨ìBã�å ��_5B10-4@C/��/�?A) 791\=I79n�/b?0,�34,658791Êì>%($ �ò �¡è�å¨åÊî]ì L$ �¡î[P]ã�á�ìYîNå¨ð�� $w�.$��FëgêTå¨èyíNW�è�êyìQèyð¨á�$�ì�X òLîNð¨èyó_ã�ò£Jê~èyá~áyì U�ëgáTí~ëgå�ìÊâ¨â� ù � �>4� � ì ù � ��� $

� � ��£¢$ �¡ëgã�ê6îNå�ìIc � iµïÇð¨ã°óÉè�åXá~ã°ëNå�ã°å�ò�ã�ê~ò�éXã�í ò�ëgóÉâ¨ô°èIõ]ã�í²ö0e¨ì H.) 7D<)5.7 oa,BE]/ ���4,JE * 7 7 7 =I791]Go[/�) /�12<F/�791 =I79n�/b?0,834,r58791b34@�=I79n�/b@C/&%�5B, #Yì¨â¨â �Xù � ��� ì ù � ��� $

� >� L$ �¡ê��éXægè�êyìÊîNå¨ð\�.$fX ã°â¨ô�èNì�c �é¨ô�í6ã°èyô°èyòyí6êTë]ðXèfã°å�PgèyáTí~ã°æ�îQí~ã°ëgå�ë>�RóÉëgå¨äQèyö�á¬í6ê~ã°îQí6è¡òyëgêTí~è�õ áTâ¨ã°äQèí~ê6îNã�å´ò�ëgêTê~è�ô°îQí6ã�ëgå¨áfã�å�í �¨èã°åA�Oê6îNægê~îNåZé¨ô¾îQêfô¾îLögèyê~áyì �"5 ��/�?A) 7 /]E>#D+�5879@C7N- #Qì PNëgô8$ � �Xìâ¨â.� � � � ��� � ì ù � � � $

� 4�4� ��$ ��îNâ¨ãk Zé¨èNì¢c4�Íè�òF�Xè�ê~òF�Xè�á. ZéÊîQåZí~ã�í6îQí6ã#Pgè�áJáTé¨ê,ô � è�õ]ò�ã�í-îQí~ã°ëgå1è�ô°èyòyí~ê~ãC Zé¨è¶ðXè�á,å¨è�ê �OáJí6ê6îQã�í6èyèòyëgó_óÉèfé¨åXè�â�ëgô°îNê~ãkWLîQí~ã°ëgåfeXì �"5 H*E>#D+�5879@ 5¢H&34,BE]79@ 5 /�1<5°ìLPNëgô8$ � ìÊâ¨â ��� � � � � ì ù � ���A$

� � � l$%�kè�á!�¨å¨ë¨ì �a$ ��$ �kã�å�ìAX�$L£Jã�å¨äZé¨á�ìÊîQå¨ðM� $L�]òF�¨ëcò-äNèyå�ì�c �é¨ô�í6ã�ô¾îLögèyê��Oèyè�ðL�Oëgê¬÷�îQê~ð�å¨è�íTï÷�ëgê~äZáµ÷Íã�í ��î.å¨ëNå¨âAëNô�öcå¨ëgóÉã¾îNô¨îNòyí~ãkPQîQí6ã�ëgå��Oé¨å¨òyí~ã°ëgå_òLîNå�îNâ¨â¨êTëLõXã�ó�îYí6è îNå�ö��OéXå¨òyí~ã°ëgåfeXì��/�?A)!34@ ��/�,r�.79);!D+�ìLPNëgô8$ � ì¨â¨â �"�Xù � ��� �]ì ù � � L$

� � ����$"�kè�á¬í6ã�è�å¨å¨èQì�c�fèyí~è�ê~óÉã°å¨îQí6ã�ëgå1ë4��í �Xè¶â¨ê~èyò�ã°áTã°ëgåÏë>�FáTâ¨ã°äQèÍí~ã°óÉã°å¨æ ã°åÈíN�¨è�Pcã°á~é¨îNô¨ò�ëNêTí6èIõë4�RîNåÊîQè�áTíN�¨èyí~ã°áTè�ð5òLîQí~áNe¨ì ��5879@ 5I= # '�/�)q12/�,658<F+�ìLPgëgôr$<�>�¨ì¨âXâ � � � �Xù ì ù � �"� $

� ��9� $ �îgîQá~á�ì�c �µîNâ¨åXã°ägï i.�¨èyê!PNëgå¨è�åXäcã�áfð¨ã�ó_èyå¨á~ã�ëgå�ë>�Jå¨è�éXê6îNô%å¨èyí~áNe¨ìAã°å ?�E]/���341bY�'�7D7 !7 o �&)N345B1 ?�E]/F79)$#�341bY ��/�?A)!34@���/�,r�.79);!D+�ì l$4Xa$�X+êTø¨ã°øFìgè�ð�$�ì% � % £JêTè�á~á�Q8i�îQóÈø¨ê~ã�ð¨ægèQìù � ��� R�ì]â¨â ù ����� � ù ��� L$

� � � $ �îgîNáTá�ì�c;�få�í �¨è.ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgåÊîNôkòyëgóÉâ¨ô°èIõXã�í²ö(ë4�,å¨è�í²÷ÕëgêTäZá¡ë4�Já~âXã°äZã°å¨æ_å¨è�éXê~ëgå¨á!e¨ì- Y4^93412<F/F+�5B1���/�?0)!34@ *q1[o[79)�n�34,658791 HI) 7D<F/F+F+�5B10-�� #w+�, /�na+�ì PgëNô8$ �]ì�\� % £JêTè�á~á`Q8i�îNóÏïø¨êTã°ð¨æNèDR�ìXâ¨â ù � � ù � �Xì ù � ��� $

� � � $��îNîNá~áyìTc �kër÷�è�ê�øAëgéXå¨ð¨á(�Oëgê¡í �¨èòyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNôRâ�ër÷Õèyê.ë4��å¨è�í²÷ÕëgêTäZá1ë4�Õá~â¨ã�äcã�å¨æå¨èyé¨ê~ëNå¨áNe¨ì ��/�?0)N34@*=I79n�/b?0,834,r58791ÊìLPNëgô8$ � Q ù RIì¨â¨â ù �0���Xì ù � �"� $

�����>� $ �îgîNá~áyìIc!X+åÊîQô°ëgæÏòyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgåXá�ëgå(å¨èyí²÷�ëgêTäcá ë4�*á~â¨ã�äcã�å¨æå¨è�éXê~ëgå¨á!e¨ì2HI) 7D<)5�7 o(,JE]/�[,BE *�,834@ 56341���79) !D+FE]7 / 791 ��/�?0)!34@ ��/�,B+�ì ëNê~ô°ð\�cò�ã°èyå�í6ã�ñ¨ò�£JêTè�á~áyì ù � ��� $

� �

Page 25: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

��� ù � $%�îgîQá~á�ì c;�få_íN�¨è�ò�ëgóÉâ¨éXí6îQí6ã�ëgåÊîNô¨â�ër÷Õèyê�ë>�kå¨ëgã�áTöÏáTâ¨ã°äZã°åXæ.å¨èyé¨ê~ëNå¨áNe¨ì - Y4^93412<F/F+ 5B1��/�?A)!34@�*q1[o[79)�n�34,658791�HI) 7D<F/F+F+�5B10-=� #D+�, /�na+�ì�Pgëgôr$ � ì � %Õï £,êTè�áTáTQri�îNóÈø¨êTã°ð¨ægè[R�ìgâXâ �cùgù ��]ù �]ì ù � ��� $

��� � � $ �îNîNá~áyìpc!X åbè 1_òyã°èyåZí_ã°óÉâ¨ô�è�óÉè�å�í-îQí~ã°ëgå·ë4�fáTã°ægóÉëgã�ðÊîNôµå¨è�é¨ê~îNô¶å¨è�í6áÉã°åçí6èyó_â�ëgê6îQôòyë]ð¨ã�å¨æÈ÷Íã�íN�(å¨ëgã°á¬ö�á~âXã°äZã°å¨æå¨èyé¨ê~ëNå¨áNe¨ì¨í~ë�îQâ¨âAè�îNê¶ã°å ��/�?A)!34@*=I79n�/b?0,�34,658791]$� %�£Rï��¨ëgáTí ,îNê~òF�XãkPgè>$ òyã°á�$ ë��Xã°ëQïÇáTí-îYí6è4$ è�ðXé� %�£Rï\ñÊô°èyåÊîNóÉè� � âXé¨ø � å¨èyé¨ê~ëNâ¨ê~ëgáTè � ó_îgîNáTá�$ á~ã�ægó_ëNã°ðÊîNô¸ï²áTâ¨ã°äZã°åXæf$ âXá�$ � $

����>� $ �îgîNá~áyìcîNå¨ð�U�$��ÍéL�>ì¢c;�fåÏí �¨èÍêTè�ô°è�PQîNå¨ò�è¶ë>�AíN�¨è¶áN�ÊîQâAèÍë4�AâAëNáTí6á¬öcåÊîNâXí~ã°ò¶â�ëNí6èyåZí~ã¾îNô�á�Oëgê_í �¨è�òyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgå¨îNô+â�ër÷Õèyê5ë>���câ¨ã°äZã°åXæ � è�éXê~ëgå¨á!e¨ì�HI) 7D<)5p7 o�,JE]/ *�1], /�)q1b34,r58791b34@=I791[o[/�) /�12<F/�791 -�)q,65 '�<�5634@ ��/�?A)!34@ ��/�,r�.79);!D+ :�*>=9- ��� � � � ì ��i ��� iÕã°èQì]£RîQê~ã°áyìXâ¨â �cù � ���� �Xì ù � � � $

�����4� $��îgîNáTá�ì �p$>�]òF�¨å¨ã�í6ægèyê�ì�îQå¨ð+�&$��cëgå�í-îNæ¨ì�c;�få1í �XèÕò�ëNó_â¨é]í-îQí~ã°ëgåÊîQô�âAër÷�è�êBë4�¨á~ã°æNó_ëgã�ðPNè�ê~áTé¨á­øAëcëgô�èLîNå5í �¨êTè�áN�Xëgô°ð�òyã°ê~òyé¨ã�í~áNe¨ì¢H.) 7D<)5.7 o�,BE]/�� (�1bY-�1]1]?f34@�* 7 7 7 � #9n�/]7D+�5B?An791 ��79?01bY�34,r58791L+ 7 o=I79n�/b?0, /�) ��<�58/�12<F/�ì,â¨â � � �rï � � � ì ù � �Xù $Rè�õcí6èyå¨ð¨è�ð Pgè�êTá~ã�ëgå îQâ]ïâ�èLîNêTè�ðDã�å ?�E]/F79) /�,658<N34@ - Y4^93412<F/F+ 5B1 ��/�?0)!34@�=I79n�/b?0,�34,658791�341bY � /N34)q1]5B10-Nì ��$�£¢$�Íërö]òF�XëG÷ÍðL�céXêTögì �p$ �p$&�]ã°é�ì Xa$ �fê~ô�ã�í~á~ä�ögì è�ð¨ã�í6ëgêTá�ì �¡ô�éZ÷�è�ê\X+ò�îNð¨èyó_ã�ò £,éXø¨ô°ã�áN�¨èyê~áQ6UÕëgáTí~ëgå_RIì¨â¨â ùw� � � ù �]ù ì ù � � �f$

��� � � $��îgîNáTá�ìZîNåXðp£�$ �fê~â�ëgå¨è�åFì c;�få1í �XèÕè�"Aè�ò�íJë4��îNå¨îNô°ëgæ�å¨ëgã�á~è�ã°åÈð¨ã�á~òyê~èyí~è�ï\í6ã°óÉè�îNåÊîNô�ëgæòyëgó_âXéXí-îQí~ã°ëgåXáNe¨ì - Y4^93412<F/F+�5B1 ��/�?0)!34@ *�1[o[79)qn�34,658791�HI) 7D<F/F+F+�5B10-=� #D+�, /�na+�ì>Pgëgôr$ � ì \� %£Jê~èyá~áaQ8i�îNó1ø¨ê~ã�ð¨ægèDRIì ù � � �A$

��� � � $ �îgîQá~á�ì�îNåXð l$ �]òF�¨óÉã�íTíLìIcNUÕëNé¨å¨ð¨á��Oëgê¶í �¨è � iµï²ðXã°óÉè�å¨áTã°ëgå5ë4�JîÉá~â¨ã�äZã°å¨æå¨èyé¨ê~ëgå÷Íã�í �`PQîNê~ã°îNø¨ô°è+ð¨è�ô°îröcá!e¨ìÊã°å(â¨êTè�âÊîNê~îQí6ã�ëgå�$

��� �9� l$ �î4�¨ër÷�îQô°ð�ì�� � � *�-�1b34@C7N-9+�7 o ��/�?A) 791b34@�� 5C+�?L34@ HI)F7D<F/F+F+�5B10-��8- � #>1],BE]/F+�5C+ 7 o�¢79)qn 341bY�2?A12<�,658791Êìf£��¨ð]ïÇð¨ã°áTá~èyêTí-îYí6ã°ëNå�îYí¶í �¨è�i�îNôr$f�²å¨áTí�$më4� %%è�òF�Xå¨ëgô°ëNæNögì ù � ��� $

��� � � l$ �î4�¨ër÷�îQô°ð�ìIc!X å�X+å¨îNô°ëgæ�� ���0���cöcáTí~è�ó �Oëgê �cí~è�ê~èyëgá~òyëgâ¨ã�ò �fã�á~ã�ëgåfe¨ì *�@ ?0�./�) -T<N34GY0/�np58<THI?"'�@ 5C+FE]/�) +�ì]UÕëgá¬í6ëgå�ì ù � � �f$

��� � � � $ �.$��îQã°å¨èyå�ìµîNå¨ðj%($ L$*�]è��Tå¨ër÷Íá~äZã\ìac4�Íè�ô�ã¾îNø¨ã�ô°ã�í²ö�ë4� á~â¨ã�äNè4í~ã°óÉã°å¨æ�ã°åçå¨èyë]òyëgêTí~ã°òLîQôå¨èyé¨ê~ëNå¨áNe¨ì ��<�58/�12<F/�ìAPgëgôr$ ��� � ìXâ¨â ù � � � ù � � � ì ù � ��� $

� � �>�ai�$%�è�îNð�ì� -�1b34@C7N-�� � � *T341bY ��/�?0)!34@<� #D+�, /�na+ "Iì0X ð¨ð¨ã�á~ëgå]ï èyá~ô�èyö Q �ÍèLîQð¨ã°å¨æ�R�ì ù � � � $� �]ù � L$���$ 5èLîNð¨ëNê�ìpXa$ é�ìpi�$�iÕëgô°èQì ��$ ��ã°å�í6éXåfW�èQìîNå¨ð�£�$�i.�Xã°å�í6ê~îNäZé¨ô°òF�ÊîQã\ì cN£JêTëQï

ægê~îNóÉó�îNøXô°è�ã°óÉâ¨é¨ô°áTèÈå¨èyé¨ê6îNôJòyã°êTò�é¨ã�í6áNeXìd� �-�-�g%%ê6îNå¨á�$�ëgå � èyé¨ê6îQô � èyí²÷�ëgêTäcáyì¢PNëgô8$ � ìâ¨â ù � ù � ù � � ì ù � �Xù $

� ��� ��X�$ �é¨ê~ê~îLögì�îNåXð ��$w%RîQê6îNáTá~è�åXäNë¨ì -�1b34@C7N-4?]/ ��/�?0)!34@�� � � *)�>-�HI?A@ +D/ �_,6) /N34n - /�/b) 7�30<FEcìi.�ÊîQâ¨ó�îQå � S+îNô�ô\ì ù � � �f$

� �

Page 26: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

� � >� ��$A£�$ ��ëgêTíN�¨óÉëgê~è+îNå¨ð L$ �p$ �Jô°ã°îNá�ì c�fã�á~ò�êTã°óÉã°åÊîYí6ã°ëNåÉë>�*áTâ¨ã°äQè¡âÊîQíTí6è�êTå¨á¶ø�ö4ð¨èyå¨ð¨êTã�í6ã�òâ¨êTë]òyè�áTá~ã°åXæ�ã°å�î_å¨è�í²÷ÕëNê~ä�ë>�Já~ã�ô°ã°òyëgå(å¨è�éXê~ëgóÉëgê~âL�¨áNe¨ì HI) 7D<F/F/NY45B10-9+�7 o�,BE]/ � ,BE -�1]1]?f34@=I791[o[/�) /�12<F/�791;=I79n�/b?0,�34,658791b34@ ��/�?0)F7D+D<�58/�12<F/�ì0X+ò�îNð¨èyó_ã�ò(£Jê~è�áTá�Q8�XîQå �fã°è�æNëhR�ì ù � �"� ìí~ë_îQâ¨âAè�îNê�$

� � �4� ��$9�F$4£%è�êTê~èyíTíLì �&$4%($ ��ëNô°ô°áyìgîNåXð $�i�$�i�îgîNå�ì c �fã°áTéÊîNôcå¨è�éXê~ëgå¨áJêTè�áTâAëgåXá~ãkPNèÕí6ëT�eîQò�è�áRã°åíN�¨è�óÉëgå¨äNè�ö.í~è�óÉâAëNê6îNôcò�ëgê¬í6èIõLeXì"7 %6/]/�)q5BnK/�1],834@ �&)N345B1 ��/F+D/N34)F<FEcì9Pgëgôr$4� �cìgâ¨â� � � � 4� � ìù � ��� $

� � � � �p$DXa$w£Jê6îYí~íLìhHI?A@ +D/�=I79n�/b?0,�34,658791Êì4£��¨ðcïÇí �Xè�á~ã�áRã�å­íN�¨è �fè�âXí�$Yë>� �Jô°èyò4$��Jå¨æf$YîNå¨ðaiÕëgóÉâ�$�]òyã8$�ì � %¡ì i�îNóÈøXê~ã°ðXægèNì����AX1ì ù � � � $

� ��� ���.$ ��ã�è�äQèNì ��$� îNê~ô°îNå¨ð�ì���$4PQîNåO�cí~è�Pgèyå¨ã°ò-ämì]îNå¨ð� $�UÕã°îNô°èyämì� �fH * * 7 � � 7 %6/b@C79)q5B10-�,JE]/��/�?A)!34@*=I7�Y0/ "Iì \� %g£Jê~èyá~á�ì i�îNó1ø¨ê~ã�ð¨ægèNì ù � �"� $

� � �9����$ �Íã�íNWNì� $ �¡è�ê~á¬í6å¨èyê�ì ��$ �Êé¨èyåZí~è�áyì�îQå¨ð ��$¢PQîNåjS�è�óÉó_èyå�ì�c!X ø¨ã°ëNô°ëgægã�òLîNô�ô�ö5óÉëNí6ã¸ïPQîQí~è�ðiîNå¨ð·îNåÊîNô�öZí6ã°ò�îNô°ô�ö(á~ëgô�é¨ø¨ô�èÈó_ëcð¨èyôBë4��ò�ëgô�ô°è�ò�í6ã#PgèÏîNáTò�ã�ô°ô¾îYí6ã°ëNå¨á+ã�å�í �¨èò�ëNêTí6èIõ ��!�F$X â¨â¨ô°ã�òLîQí~ã°ëgåXáfí6ë5ø¨ã°å¨ðXã°å¨æ�îNå¨ð·âÊîQí~í~è�êTå á~èyægóÉè�å�í-îQí~ã°ëgåLe¨ì ��5879@ 5T= # '�/�)q12/�,658<F+�ì¢PNëgô8$ � ù ìâ¨â�4� � � � � ì ù � � �L$

� � � �5�&$ %($ ��ëgô�ô°áyì�c!UÕê6îNã�å´ó_èyòF�ÊîNå¨ã�á~óÉá��Oëgê­ã�åhPQîNêTã¾îNå�í(Pcã°áTéÊîNô,ê~èyò�ëgæNå¨ã�í~ã°ëgåiîNå¨ð·ô°è�îNê~å¨ã�å¨æ�e¨ì�T/FEL34^D5879?0)!34@bHI) 7D<F/F+F+D/F+�ìLPgëNô8$ ]ì¨â¨â ùgù � ù � ì ù � � �f$

� � � �5�&$.%($ ��ëgô�ô°áyìÍîNå¨ð l$ L$.%*ëDPgèyèNìMc!£,êTë]òyè�áTá~ã°åXæçá~â�è�è�ð ã°åbí �¨è�òyè�ê~èyø¨ê6îQôfò�ëgê¬í6èIõFì+îNå¨ðíN�¨è.åXè�é¨êTëgâf��öcá~ã°ëNô°ëgæNö(ë>��Pcã°á~é¨îNô�øÊîNò-ä�÷�îQê~ð�ó_îNá~äZã°åXæ�e¨ì�HI)F7D<)5 ��7 # 5 ��7D<)5 � 5°ì]PNëgô8$ � � �cìâ¨â � � ù � ì ù � � �f$

� � �>��%($ L$I�]è �TåXëG÷ÍáTäZã\ì�c!%¶ã�ó_è`�OëgêÉîiå¨èy÷/åXè�é¨ê~îNô òyë]ðXè � e¨ì��(34,6?A) /�ì�PgëNô8$ �� � ìÕâ¨â �]ù � ��� ìù � ��� $

� �Xù � ��$*�A�¨îNáTí~ê~ã\ì,îQå¨ð ��$�X � �~îQåÊîNæ�îNðXð¨èNì�cN�Êê~ëNó áTã°óÉâ¨ô°è�îNá~áTë]òyã¾îQí~ã°ëgå¨á.í6ë�áTöcá¬í6è�ó_îQí~ã°ò(ê~è�îYïáTëgå¨ã°åXæ �î�ò�ëgåXå¨è�ò�í6ã°ëNå¨ã°á¬ífê~èyâ¨ê~èyá~èyåZí6îQí6ã�ëgå�ë4�µê~éXô°è�áyì PQîNêTã¾îNø¨ô�è�á îNå¨ð�ðXöcåÊîQó_ã�ò1ø¨ã�å¨ð¨ã°åXægáé¨áTã°å¨æ�í6èyó_â�ëgê6îQôcá¬öcå¨òF�¨ê~ëNåZö0e¨ì �T/FEL34^D5879?0)!34@A341bY ��)!345B1���<�58/�12<F/F+�ì9PNëgô8$ ù�� ìQâ¨âp� ù � �0� � �¨ìù � � L$

� ��� � L$9�A�¨îr÷�è�ï�%RîLöcô°ëNê�ì>£�$ NèLî[PNëgå¨á�ìgîNå¨ð l$ �µîNå �¡îgîNô°èyå�ìbcN£Jê~ëNøÊîNø¨ã�ô°ã°á¬í6ã�òRø¨ã�í�áTí6êTèLîNó�åXè�é¨ê~îNôòF�¨ã�â Bí �Xè�ëgê¬ö�$ e¨ì*=I791]12/F<�,r58791���<�58/�12<F/�ìAPgëNô8$ Xì¨âXâ. ù � � � � ì ù � �]ù $

� � >� �p$ l$>�A�¨èyâf�¨è�êTð�ì���/�?A) 7 '�5879@C7N- #Yì NêTð.èyð�$�ì�� õ0�Oëgê~ð � å¨ã#Pgè�êTá~ã�í²ö�£,êTè�áTá�ì � è�÷ �µëgêTä�ì ù � � �L$� � �4� �p$ l$¢�A�Xè�âf�¨èyê~ð�ì*è�ð�$�ì ?�E]/ � #91b3$/b,r58< � )r-�341]5��D34,658791 7 op,BE]/ ��)!345B1Êì9Nê~ð´èyð�$�ì � õ0�Oëgê~ð

��å¨ãkPNè�ê~áTã�í²öM£JêTè�á~áyì � èy÷ �µëgê~ämì ù � � �L$� ��� � $4�]ã°åXægè�êyì c �cöcå¨òF�Xê~ëgå¨ãkWLîQí~ã°ëgå1ë4� � èyé¨ê~ëgå¨îNô"�Íè�áTâAëNå¨á~èyá,îNáJîT£JéXí6îQí6ã#Pgè�U�ã°å¨ð¨ã�å¨æ�5è�òF�]ï

îNåXã°á~ó�e¨ìf�²å ?�E]/ �(341bY�'�7D7 !`7 o ��)!345B1 ?�E]/F79) #Z341bY ��/�?A)!34@ ��/�,6�.79);!D+�ì l$_Xa$]X ê~ø¨ã�ø�ìèyð�$�ì \� %Õï £Jê~èyá~á�ì2i�îNóÈøXê~ã°ðXægèNì¨âXâ �"� � � �"� �Xì ù � � � $

���

Page 27: amath.kaist.ac.kramath.kaist.ac.kr/.../lecturenotes/spiking_neurons_2.pdf · 2015-11-25 · ¨ëgå¨èÕòyô¾îNáTá~ã ñÊè á%å¨è éXê6îNôcå¨èyí²÷ëgêTä.óÉë]ðXè

� �"� � $��]ë4�Àí6ä�öNì¢c �]é¨ø]ïÇó_ã�ô°ô�ã°á~èyò�ëgåXð.òyëgã°å¨òyã°ð¨èyå¨ò�è¶ðXèyí6èyòyí~ã°ëgåÏã�åîNòyí~ãkPgèÕð¨è�å¨ðXê~ã�í~ã°òÕí~ê~èyè�e¨ì���/�?AG) 7D+D<�58/�12<F/�ìAPNëgô8$ � � ì¨â¨â ù �h� ù ì ù � � �f$

� � �9�5�&$���$T�]ëgå�í-îNæXì c �A�ÊîYí~í6èyê~ã�å¨æ îNô°ô.á~è�í6á´ë4� ��â�ëgã�åZí~á�ã°å � ægè�åXè�ê6îQôÈâAëNá~ã�í~ã°ëgå � êTè� Zé¨ã°êTè�áQ �+� ù R v�� âÊîQê6îNóÉèyí~è�ê~á!e¨ì"/b) /�/b)q5B1],<ì Q6�Êè�ø�$ ù � �"� R�ìáTè�è���í~í6â ��� ÷¶÷¶÷�$ ó_îQí �2$ êTéXí6ægèyê~á�$ èyð¨é �

�á~ëgå�í6îNæ � âÊîQâAèyê~á�$ ��í6óÉô8$

� � � �ai�$��.$T�Zí6è�PNè�å¨áyìîNå¨ð X�$ ��îNðXëgê�ì�c!�²åL�OëgêTó�îYí6ã°ëNå íN�¨ê~ëgéXæ���î á~âXã°äZã°å¨æ å¨è�é¨êTëgåfe¨ì - Y4G^93412<F/F+l5B1 ��/�?0)!34@ *q1[o[79)�n�34,658791gHI)F7D<F/F+F+�5B10- � #D+�, /�na+�ì�PgëNô8$ � ì� � % £Jê~è�áTá Q8i�îNóÏïø¨êTã°ð¨æNèDR�ìXâ¨â � � � �Xù ì ù � �"� $

� � � � L$ �p$f%*îLö]ô�ëgê�ìXîNå¨ð �.$ ��$]X+ô°îDPcã<ì�c �îYí �¨èyó�îQí~ã°ò�îNô�îNå¨îNô�öcá~ã�á�ë4�RîÈò�ëgóÉâ�èyí6ã�í6ã#Pgèfå¨è�í²÷ÕëNê~ä�OëgêfîQí~í~è�å�í6ã�ëgåfe¨ìkã�å �:34,JE]/�n�34,658<N34@9- /�/b)F7�30<FE]/F+�, 7 ��/�?0)!34@ ��/�,6�.79);!D+�ì L$ ��$ %RîLöcô°ëgêyìèyð�$�ì ��ëgêTíN�]ï S�ëgô°ô°îNå¨ð QJX+óÉáTí~è�ê~ð¨îNóZRIì¨â¨â�4� ù �> ��� ì ù � � L$

���4�>�a� $.%($&%&�¨ëgê~â�èNìfîNå¨ð l$&�²óÈø�è�ê¬íLì`c!UÕã°ëgô�ëgægã�òLîNôÍò�ëNå¨áTí~ê6îNã�åZí~á(ëgå òyëgå¨å¨èyòyí~ã°ëgå¨ã�áTí(óÉë]ðcïèyô°ô°ã�å¨æ�e¨ìL�²å �=I791]12/F<�,r58791]5C+�n 5B1H�/�) +�/]/F<�,r5B^4/�ì ��$b£��Oè�ã#�Oè�êyì � $2�]òF�¨êTèyí6èyê�ì2�.$2�ÊëgæNè�ô°ó_îNå]ï�]ëNé¨ô°ã��èNì¨îQå¨ð���$_�Zí6è�èyô°áyìÊè�ð¨á�$�ì �Jô°áTè�Pcã°èyê�ì � ëNêTí �cï S ëNô°ô¾îQå¨ð�ìcâ¨â � � ��� ì ù � � � $

��� ù ��S�$�i�$ %*é¨ò-ä�÷�è�ô�ô\ì *q1],r) 7�Y4?]<�,r58791�, 7 ?�E]/F79) /�,r58<N34@ ��/�?A) 7 '�5879@C7N- # "Iì PgëNô8$ ù îNå¨ð � ì i�îNóÏïø¨êTã°ð¨æNè�� å¨ã#Pgè�êTá~ã�í²öM£Jê~è�áTá�ì i�îNóÈøXê~ã°ðXægèNì ù � � � $

��� � � ��$ �p$ �µîNô�ã¾îNå�íLì =�5B) <�?A5B,B+p7 o(,BE]/(:m5B1bY "Iì<� õ0�Oëgê~ð ��å¨ãkPNè�ê~áTã�í²öM£JêTè�á~áyì ù � � �f$��� >� l$%��$ ��îNæ��¨ô�ëgé¨ô\ì L$%��$ 5èLîNð¨ëNê�ì ��$ $���èy÷�ò�ëgó1ø�ì¨è�ðXá�$�ì �_5B@ 58<F791 *�n�/b@C/�nK/�1],834,r58791L+(7 o

HI?0@ +D/�=I7�Y0/NY ��/�?A)!34@ ��/�,6�.79);!D+�ì �¡ô°é�÷�è�ê�X+ò�îNð¨è�óÉã°ò�£Jé¨øXô°ã°á!�¨è�êTá�ì ù � � �f$���>�4� L$ �2�¨îNë¨ì5 �_, 7D<FEL39+�,658< ��5B,@�_,r) /N34n ��/�?0)N34@ ��/�,6�.79) !D+)��?�E]/F79) # :@�_5Bnp?0@#34,r58791L+�341bY - /bG

/b@ 58<N34,658791L+ "Iì]£��¨ð�$b%&�¨è�áTã°á�ã°å(í �¨è �fè�â]í[$Êë4��iÕëgó_â2$2�cò�ã8$�ì �ÍëGögîNô¢S ëgô�ô°ër÷ÕîröNì � å¨ã#Pgèyê~á~ã�í²öë4� �këgå¨ð¨ëNå�ì ù � � � $

� �